Terza settimana

02/05/2005 C.Barbieri Astronomia I AA 2004-05 1

Terza settimana

La sfera celesteSistemi di riferimento astronomiciIl Tempo sideralePrime nozioni sui moti dell'equinozioTrasformazioni di coordinateEsercizio svoltiEsercizi per casa


La sfera celeste - 1 Ritorniamo al modello di sfera celeste di raggio indeterminato. Ciò

significa anche implicitamente che il centro della sfera celeste, a tutto rigore passante per l'osservatore (sfera topocentrica, sistemi di riferimento topocentrici), all'atto pratico può essere trasferito nel centro della Terra, o del Sole, o del baricentro del sistema solare (sfera geocentrica, eliocentrica, baricentrica) senza che ci si debba preoccupare di tale traslazione a meno che la distanza al corpo celeste in esame sia piccola. Dovremo pertanto fare attenzione per la Luna, i pianeti, il Sole, gli asteroidi, le comete, le stelle vicine, ma per la gran parte delle stelle, per le galassie e i corpi a distanza cosmologica l'origine del riferimento di coordinate è irrilevante.

Sulla sfera celeste, possiamo misurare distanze angolari relative (ad es. tra due stelle) ancor prima di aver istituito un vero sistema di riferimento, e dunque possiamo usare cerchi massimi e angoli al centro. La Luna e il Sole forniscono un grossolano indicatore per osservazioni visuali, avendo entrambi i corpi diametro angolare apparente di circa mezzo grado.


La sfera celeste - 2Con dispositivi puramente meccanici, ad es. l'occhio più traguardi e livelle (i soli mezzi disponibili fino agli inizi del XVII secolo), si potevano raggiungere precisioni di 1 o 2 primi d'arco (una avvertenza, la visione fornisce impressioni associate con archi, non con angoli; per questa ragione per esempio la Luna all'orizzonte sembra molto più grande che allo Zenit). Con dispositivi ottici, la precisione sulla distanza e/o posizione relativa può raggiungere il millesimo di secondo d'arco.Molto più delicato è il problema di definire e mantenere un sistema di riferimento assoluto, coerente su tutta la sfera celeste, in modo da operare con angoli e direzioni dal centro. Il satellite europeo Hipparcos, i cui dati divennero disponibili dal 1997, ha portato a sostanziali miglioramenti rispetto ai cataloghi precedenti, grazie a due cruciali vantaggi, cioè l'assenza di orizzonte e l'assenza di rifrazione atmosferica.


Zenit e Polo CelesteDa ogni località sulla terra, la volta celeste appare ruotare attorno a una direzione che definisce i poli celesti, di cui solo uno è visibile sopra all’orizzonte. Si noti la località della costruzione, ciascun luogo ha associato un sistema di cerchi verticali rispetto ai quali la volta celeste ruota in continuazione. Le stelle sorgono a Est e tramontano a Ovest.

Una stella come X, il cui cerchio parallelo non va mai sotto l’orizzonte, si dice circumpolare (per quella località), ed è visibile tutta la notte. V’è comunque tutta una calotta sferica che non sorge mai sopra l’orizzonte, ed è invisibile da quella data località (tranne che all'equatore).


Il sistema Alt-AzimutaleIl sistema Alt- Azimutale (o orizzontale) si basa sul piano orizzontale e sulla retta ad esso perpendicolare, cioe’ la verticale. Almeno in linea di principio, questo sistema si puo’ realizzare immediatamente con dispositivi semplici, quali il filo a piombo e la livella. I punti in cui la verticale taglia la sfera celeste si chiamano rispettivamente Zenit Z (sopra alla testa), e Nadir (sotto i piedi, inosservabile) Z’. Il piano passante per l’osservatore e perpendicolare alla verticale (ad es. la superficie libera di un liquido) si chiama orizzonte astronomico, da non confondere con l'orizzonte visibile ad es. da un aereo. Consideriamo ora il polo celeste P, e conduciamo il grande cerchio per P e Z; questo cerchio e’ il meridiano dell’osservatore, e ovviamente deve contenere anche Z’ e l’altro polo S. Il meridiano taglia l’orizzonte in due punti, cioè il vero Nord (dal lato di P rispetto a Z) e vero Sud. Ogni altro circolo passante per Z, Z’ (cioe’ contenete la verticale) si chiama appunto circolo verticale. In particolare quello a 90° dal meridiano si chiama ‘primo verticale’; esso definisce sull’orizzonte i punti di vero Est (E) e vero Ovest (W). Questi quattro punti sull’orizzonte N,S,E,W sono i punti cardinali.


La sfera altazimutale

Due avvertenze: 1- in molte applicazioni l'azimut si conta da N e non da S, e in alcuni sistemi il verso dell'angolo è antiorario. 2 - talvolta conviene usare l'angolo z = 90°-h, detto distanza zenitale.Per passare dalla sfera topocentrica a quella geocentrica si deve conoscere la posizione della località sull’ellissoide, con il metodo visto in precedenza. Questo passaggio è necessario quando si osservano corpi a piccola distanza dall’osservatore, ad es. quelli del Sistema Solare (pianeti, asteroidi, comete).

L’altezza del Polo celeste visibile sopra

all’orizzonte si dice latitudine astronomica del luogo. Con temine arabo, si dicono almucantarat, o almucantar, i paralleli di altezza. Data la stella X diremo azimut A l'arco SX' o l'angolo al centro SOX', e altezza h l'arco X'X ovvero l'angolo X'OX. La coppia (A, h) dipende dalla località e cambia con il passare dei minuti causa la rotazione della volta celeste. Se h < 0 l'oggetto è invisibile (sotto all'orizzonte).

0h A 24h, 0° A 360°

0° h 90°


Angolo Orario e Declinazione (sistema orario)

HA(X) = arco MX’(X) = arco X’X

Sulla sfera celeste, il meridiano taglia l’equatore celeste dalla parte del Sud nel punto M (mezzocielo). Per ogni stella X, si conduca il cerchio massimo passante per il polo visibile P (detto cerchio orario di P), cerchio che evidentemente passa anche per l’altro polo, e che interseca l’equatore in X’. Diremo angolo orario HA e declinazione di X la coppia di coordinate angolari:

o i corrispondenti angoli al centro.


Sistema OrarioRipetendo, sia X’ l’intersezione tra cerchio orario e equatore: si chiamerà angolo orario di X, HA(X), l’arco MX’, usualmente contato verso Ovest da M, e espresso in (h m s) tra 0h e 24h :

HA(X) = arco MX’ , 0h HA(X) 24h

(sono possibili altre scelte, ad es. è intuitivo misurare HA positivo verso W da 0h a 12h, e negativo verso E da 0h a –12h, così come si possono usare gradi o radianti).Quando HA = 0h , si dice che la stella è in culminazione superiore, quando HA = 12h , la si dice in culminazione inferiore.

La seconda coordinata di X, chiamata declinazione , è l’arco X’X, contato in (° ’ ”) da 0° a 90°, positiva verso il Polo celeste Nord, e negativa verso il Polo celeste Sud:

(X) = arco X’X , -90° (X) +90°


L’eclitticaConsideriamo il luogo occupato dal Sole durante il suo moto annuale sull’eclittica, cioè il cerchio maggiore descritto in un anno alla velocità angolare di circa 1°/giorno, in senso diretto (verso Est). L’eclittica è inclinata sull’equatore di un angolo 23°27’, angolo detto obliquità dell’eclittica.

Equatore e eclittica si intersecano in due punti opposti, detti equinozi; quello vernale è dove il Sole (indicato con ⊙) transita all’inizio della primavera, attorno al 21 marzo; quello autunnale si ha 6 mesi più tardi, attorno al 21 settembre. In entrambi i punti si ha (⊙) = 0°, ma la derivata di (⊙) è positiva nel primo caso, negativa nel secondo. Il punto vernale si indica usualmente con il segno astrologico dell’Ariete, graficamente approssimato

con la lettera greca (gamma), il punto di autunno con il segno astrologico

della Libra , approssimato con la lettera greca (Omega).

I punti sull’eclittica a 90° dagli equinozi si chiamano solstizi, rispettivamente di estate (circa il 21 giugno) e di inverno (circa al 22 dicembre); la declinazione del Sole in questi punti è ⊙ = .


Equatore celeste e eclitticaI grandi cerchi passanti per i poli e gli equinozi o i solstizi, si dicono coluro degli equinozi (o rispettivamente dei solstizi). I poli dell’eclittica appartengono al coluro dei solstizi. Il Polo eclitticale E e’ nella costellazione del Draco, vicino alla nebulosa gassosa NGC 6543. La stella brillante piu’ vicina a E e’ Draconis, di quarta magnitudine visuale, a circa 3° di distanza.


Ascensione Retta e Declinazione(sistema equatoriale)

Data una stella X, si conduca il grande cerchio per il polo celeste NCP e X, che interseca l’equatore in X’; come origine della prima coordinata angolare si scelga il punto vernale (o equinozio) , e si misuri l’arco X’ in senso diretto: questo arco e’ la Ascensione Retta di X, indicata di solito con la lettera greca , arco X’ = AR(X) = (X), e misurata in (h m s) da 0h a 24h. Si noti il verso di , opposto a quello di HA. L’ascensione retta può anche essere definita come l’angolo al polo tra l’angolo orario della stella e il coluro vernale. Per il Sole, agli equinozi, ⊙ = 0h and 12h

La declinazione di X e’ definita come prima, (X) = arco X’X, 0 | (X)| 90°. Il polo nord dell’eclittica E ha (E) = 18h, (E) = 90° - .


Il Tempo SideraleSi definisca ora tempo siderale ST l'angolo orario del punto :

( )ST HA ^che è quantità continuamente variabile tra 0h e 24h, a causa della rotazione della Terra. Prendendo in considerazione il verso opposto di HA rispetto a quello di , per una qualunque stella X abbiamo la relazione fondamentale :

(X) (X)ST HA che fissa la trasformazione tra il sistema orario e quello equatoriale. L'applicazione pratica della formula richiede che si consideri la convenzione adottata per HA, perché per definizione 0h 24h. Ad ogni modo, quando la stella transita nel meridiano superiore (HA = 0h), la sua ascensione retta coincide con il tempo siderale. Questa importantissima relazione può essere letta in entrambi i versi: se conosciamo bene ST allora determiniamo la delle stelle che transitano in meridiano; se invece abbiamo un catalogo di stelle fondamentali per le quali conosciamo bene la , allora determiniamo bene ST misurando i transiti di tali stelle.


Il Tempo Siderale e la rotazione della Terra

ST è quantità variabile nel tempo, causa la rotazione della Terra, in modo abbastanza regolare; anzi, per ora ignoriamo qualunque deviazione dalla uniformità. Potremmo allora costruirci un orologio speciale la cui lettura coincidesse ad ogni istante con ST. Per tutte le applicazioni pratiche potremmo allora legittimamente identificare ST con un tempo, purché ci rimanga ben presente la definizione rigorosa di ST come angolo istantaneo sull'equatore celeste tra il meridiano e il punto . Questo è il metodo usato negli ultimi secoli per costruire i cataloghi fondamentali di stelle. Le osservazioni mostrano tuttavia che la rotazione della Terra non è così uniforme come si poteva supporre nel passato. Sia la direzione che il modulo del vettore rotazione diurna mostrano andamenti secolari e fluttuazioni a corto periodo (precessione, nutazione, nutazione euleriana, irregolarità varie) che sono ben misurabili. Si deve dunque fare molta attenzione nell'uso di ST come unità di tempo.


I moti dell’equinozio - 1L'ascensione retta rimarrà costante tanto quanto il punto vernale rimane fisso rispetto alle stelle. In realtà, è soggetto a moti secolari e periodici dovuti all'osservatore, e le coordinate stesse avranno piccole e lente variazioni a causa del moto delle stelle rispetto al Sole (moti propri). Anche l'obliquità dell'eclittica non è proprio costante. Tuttavia, su corte

scale temporali (ad es. 1 anno), la coppia ordinata (, ) rimarrà quasi costante, e per periodi più lunghi si possono derivare formule di correzione

accurate. Dunque, il sistema equatoriale è quello fondamentale per ogni accurata descrizione della volta celeste, ed è quello usato dai maggiori cataloghi stellari. Alcuni cataloghi: AGK3 e FK4, SAO PPM, FK5, USNO, HIPPARCOS, TYCHO, GSC (HST). Tali cataloghi danno la coppia (, ) a un’epoca iniziale (oggi J2000.0, nel passato recente B1950.0), e talvolta anche i moti propri, oltre alla magnitudine e (non sempre) il tipo spettrale.


I moti dell’equinozio - 2Il punto vernale ha tre tipi di moto:•La precessione lunisolare, che lo fa scivolare incontro al Sole di circa 52”.3 all’anno, sull’eclittica; è dunque un moto periodico con lunghissimo periodo (circa 26.000 anni, per cui lo si può considerare un effetto secolare)•La precessione planetaria, che altera a livello di –0”.47/anno, anche in questo caso con lunghissimo periodo •La nutazione, un insieme di fenomeni a corto periodo dovuti , alla retrogradazione dei nodi dell’orbita lunare (18.6 anni), alla variabile distanza Terra-Luna (periodo 1 mese lunare), alla variabile distanza Terra-Sole (periodo 1 anno), a un insieme di cause geofisiche. Servono oltre 110 termini per esprimere la nutazione con sufficiente precisione!

Le coordinate equatoriali osservate a una certa data vanno pertanto corrette a una certa epoca (ad es. al J2000.0) con opportune formule; se si tiene conto solo dei fenomeni secolari (precessione luni-solare + precessione planetaria = precessione generale) si hanno le cosiddette coordinate medie.


Cataloghi fondamentaliLa costruzione di un catalogo fondamentale è una operazione molto complessa. Molti cataloghi stellari hanno infatti una natura differenziale, cioè danno posizioni relative a un insieme di stelle fondamentali. Dal 1964 si usò il catalogo detto FK4, contenente circa 1500 stelle brillanti. La sua revisione, FK5, pubblicata nel 1988 (Fricke et al.) dà le posizioni e moti propri di 1535 stelle brillanti, con una nuova determinazione della posizione di , con l'adozione delle nuove costanti di precessione raccomandate dalla International Astronomical Union (IAU) nel 1976, e l'eliminazione della aberrazione ellittica dalle coordinate medie. Fu pubblicata anche una estensione dell'FK5 contenente altre 3117 stelle secondarie più deboli, fino alla mag. 9.5.Dal 1997, è disponibile un nuovo riferimento fondamentale, chiamato International Celestial Reference Frame (ICRF), basato sulle posizioni di un piccolo numero di radiosorgenti extragalattiche. Il catalogo basato su questo riferimento, la cui origine è stata traslata nel baricentro del Sistema Solare, è chiamato International Celestial Reference System (ICRS). Il catalogo del satellite astrometrico europeo Hipparcos è stato riferito a questo sistema, e così lo sono le effemeridi dei corpi del Sistema Solare System pubblicate dal Jet Propulsion Laboratory.


Coordinate eclitticali

Le longitudini eclitticali si danno di solito in (° ’ ”) tra 0° and 360°, nello stesso verso diretto delle Ascensioni Rette.Le latitudini eclitticali si danno in (° ’ ”) tra 0° e 90°, come le declinazioni.

Il sistema di coordinate eclitticali ha l'eclittica come piano fondamentale, piano inclinato su quello dell'equatore celeste dell'angolo (obliquità dell'eclittica). L'origine del sistema di coordinate è lo stesso punto vernale origine delle coordinate equatoriali.


Coordinate galattiche Nel sistema galattico, il piano fondamentale è determinato dalla distribuzione nello spazio della materia cosmica. Dunque la costruzione pratica del riferimento non dipende da misure di direzione ma da conteggi di stelle (nel vecchio sistema detto ( lI,bI)), oppure dalla determinazione della brillanza superficiale dell'Idrogeno interstellare, cioè della intensità della riga 21-cm (1420 MHz) nel nuovo sistem (lII,bII), che ora viene indicato con (l,b).

Le coordinate equatoriali del Polo Nord Galattico G, l'angolo di posizione GC e le

coordinate equatoriali del centro galattico da tale polo sono (B1950.0) :

G = 12h49m, G = +27°.4, GC = 123°, GC = 17h45m, GC = -28°.6

Le coordinate galattiche non sono mai usate per dare posizioni di alta precisione.


Coordinate galattocentricheNon si confondano le coordinate galattiche, il cui centro è sempre l'osservatore (o il Sole all'atto pratico), con le coordinate galattocentriche (X, Y, Z), che hanno lo stesso piano fondamentale, ma la cui origine è il centro della Via Lattea. La distanza del Sole da tale centro, situato nella costellazione del Sagittario, si stima a circa 8 kiloparsec.La direzione del CG è individuata da una forte radiosorgente. Probabilmente al centro c'è un buco nero di massa di qualche milione di masse solari.

Foto del Centro della Via Lattea (Anglo Australian Observatory)


La rotazione della Via LatteaIl Sole, e così tutto il Sistema Solare, orbita attorno al Centro Galattico su un'orbita quasi circolare (e quasi piana) alla velocità di circa 250 km/sec. La durata di una rivoluzione completa è di circa 220 milioni di anni. Dunque, se il Sistema Solare si è formato circa 4.6 miliardi di anni orsono, il Sole ha compiuto una ventina di rivoluzioni complete. In aggiunta a questa rivoluzione galattica, il Sole si muove rispetto alle stelle vicine (moto peculiare del Sole) in direzione del cosidetto 'apice del moto solare' (posizione approssimata = 18:01, = +26 al 2000.0) ) con una velocità di circa 20 km/s. Questo moto fu scoperto da William Herschel nel 1783. Si faccia attenzione che il verso della rotazione della Galassia fa sì che in effetti quello che noi chiamiamo Polo Nord Galattico (situato nella costellazione della Coma) sia il polo sud nella usuale definizione collegata con il verso del vettore 'momento angolare'.


Alcune galassie a spirale

M31 (sopra), M33 (a lato). Foto Prese con i telescopi di Asiago


Trasformazioni di coordinate

Questo Capitolo considera varie regole per trasformare le coordinate da un sistema a un altro. Verranno usate due tecniche, quella della rotazione di matrici e quelle della trigonometria sferica. E' utile ricordare che nella gran parte dei casi le trasformazioni saranno rotazioni rigide attorno all'origine, con in più talvolta una traslazione da un'origine all'altra. Più avanti tuttavia incontreremo fenomeni che distorcono (beninteso, lievemente) l'aspetto della volta celeste, ad es. l'aberrazione, o la deflessione gravitazionale della luce.


Trasformazioni mediante rotazione di matrici

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

X x xX y yY z zZ

Y x xY y yY z zY

Z x xZ y yZ z zZ

Dati due riferimenti Cartesiani ortogonali (x, y, z) e (X, Y, Z) aventi la stessa origine O, per trasformare l'uno nell'altro si possono usare le seguenti relazioni

o anche, con notazione matriciale:

X x

Y y

Z z

R

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

xX yX zX

xY yY zY

xZ yZ zZ

R


Da cartesiane a polariDato il punto P(x, y ,z) = P(X, Y, Z) a distanza r da O, si introduca il sistema polare (r, , ), e il sistema ruotato (sempre per O) (R, , B) ( si è detto che alcuni autori preferiscono usare il complemento of come angolo polare):

cos cos

cos sin

sin

x r

y r

z r

cos cos

cos sin

sin

X r B

Y r B

Z r B

cos cos cos cos

cos sin cos sin

sin sin

B

B

B

R

dove la matrice di rotazione R deve essere specificata di volta in volta. Si noti la scomparsa di ogni dipendenza da r, cosicché queste relazioni si applicano anche alla sfera unitaria. La trasformazione inversa si ottiene scambiando il ruolo di (x, y, z) con (X, Y, Z), facendo attenzione a mantenere il verso positivo degli angoli. Cio' implica che la matrice della rotazione inversa è la trasposta di R:

1 T R R Tij jiR R 1( ) ( ) R R 1 1 1( )i j j i

R R R R


Successione di rotazioniIn generale, una qualunque rotazione si può sempre supporre come risultato di tre diverse rotazioni successive, R1 attorno all'asse x, R2 attorno all'asse y, R3

attorno all'asse z, R=R1R2R3, con:

1 1 1 1

1 1

1 0 0

( ) 0 cos sin

0 sin cos

R

2 2

2 2

2 2

cos 0 sin

( ) 0 1 0

sin 0 cos

R

3 3

3 3 2 3

cos sin 0

( ) sin cos 0

0 0 1

R


Da equatoriali a eclittiche - 1Come primo esempio, consideriamo la trasformazione da equatoriale (, ) a eclittica (, ), orientando gli assi x e X da O verso il punto , e dirigendo l'asse z verso il polo nord celeste P, e l'asse Z verso il polo eclittico Nord E. I valori degli angoli sono:

I due sistemi sono dunque connessi da una rotazione di 23°.5 (l'obliquità dell'eclittica) attorno all'asse x, R1(), o inversamente di - attorno all'asse X:

30 , , , , , , etc.

2 2 2xX xY xZ yY zZ zY

1

1 0 0 1 0 0

( ) 0 cos sin 0 0.9171 0.3987

0 sin cos 0 0.3987 0.9171

R


Da equatoriali a eclittiche - 2

cos cos cos cos

cos sin cos sin cos sin sin

sin cos sin sin sin cos

e l'inversa è (attenzione ai segni):

cos cos cos cos

cos sin cos sin cos sin sin

sin cos sin sin sin cos

Si noti che sono necessarie tre equazioni per determinare due angoli e i loro segni (quadranti). Abbiamo anche già rilevato che ci vuole estrema cura nel fare i conti in prossimità dei poli.


Da Alt-Az a orarie e equatoriali -1Con la stessa tecnica possiamo trasformare le coordinate Alt-Az (A, h) (con la nostra origine dal Sud; si faccia attenzione anche al fatto che vari autori usano la distanza zenitale z in luogo della altezza h) in Angolo Orario e Declinazione, (HA, ), e poi dalla conoscenza del tempo siderale TS, in equatoriali (, ). In questo caso gli assi x e X punteranno entrambi verso W, l'asse y a S, l'asse z verso lo zenit Z, l'asse Y a M sull'equatore celeste e l'asse Z verso il polo celeste Nord. Chiaramente si deve conoscere la latitudine astronomica del sito. La matrice di rotazione sarà in tal caso: 1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

R

Tuttavia, per convenzione il verso degli angoli cartesiani è opposto a quello di HA e A, entrambi crescenti in verso retrogrado, e dunque:

sin cos sin cos

cos cos cos cosh sin sin cos

sin cos cos cos sin sin

HA A h

HA A h

A h h

cos sin cos sin

cos cos cos cos sin sin cos

sin cos cos cos sin sin

h A HA

h A HA

h HA


Da Alt-Az a orarie e equatoriali -2Supponiamo ora di conoscere le coordinate equatoriali (, ) della stella X e il tempo siderale ST, cosicché HA è anche immediatamente noto. Per puntare un telescopio avente montatura Alt-Azimutale, dobbiamo calcolare (A, h) dalle precedenti relazioni; la terza equazione ci dirà se la stella è visibile sopra all'orizzonte. Il limite di visibilità h = 0° si raggiunge quando:

cos tan tanHA (relazione che dà l'angolo orario del sorgere e del tramontare). Allo stesso modo, l'Azimut del sorgere e del tramontare è dato da:

cos sin secA


Da Alt-Az a orarie e equatoriali -3

sin cosarctan

cos cos sin sin cos

HAA

HA

arcsin cos cos cos sin sinh HA

Si trovano facilmente anche le due seguenti relazioni:

la cui applicazione pratica esige la solita cautela sul quadrante di arrivo.

Come utile esercizio si applichino tali relazioni a stelle circumpolari, provando l'esistenza di una massima e una minima digressione dal meridiano.


Velocità Angolari - 1E' utile derivare le velocità angolari usando il tempo siderale come variabile, e trascurando gli effetti della rifrazione atmosferica (oltre a altri termini molto più piccoli dovuti ai movimenti di equinozio e di polo):

1dHA

dt 0 cos cos sin cosh h HA

Da queste e dalle precedenti relazioni otteniamo:

cos sin , sin cos tan cosh A A A h

La velocità in altezza è sempre ristretta tra 1 (cioè 15°/(ora siderale), è nulla per un telescopio ai poli geografici, ed è massima per un telescopio all'equatore. Più complesso è il comportamento della velocità azimutale. All'orizzonte vale sin , e dunque è positiva nell'emisfero Nord e negativa in quello Sud, sia al sorgere che al tramonto (e ovviamente stazionaria sull'equatore terrestre). Ciò si può capire anche ricordando che abbiamo definito il verso apparente di rotazione della volta celeste rivolgendo le spalle al polo visibile.


Velocità Angolari - 2Consideriamo un telescopio con montatura Alt-az, e notiamo che il campo di vista è in continua rotazione con variabile velocità angolare, dato che la sfera celeste ruota attorno a una direzione che non coincide con quella degli assi meccanici. Per una data stella X, si chiami angolo parallattico q l'angolo:

ˆZPXq sin cosˆZPX

cos

Aq

La derivata temporale di q è:

cos cos cos cos

cos cos cos

A Aq A

q h

Nel caso particolare di una stella che transiti per lo Zenit ( = ) la velocità

azimutale diviene infinitamente grande quando la stella si avvicina al meridiano; per questa ragione un telescopio in montatura Alt-az ha una zona cieca attorno allo Zenit, dunque un cono la cui apertura si può rendere inferiore a 1° con una attenta scelta dei motori e dei controlli.


Velocità Angolari - 3

Per una stella circumpolare, alla massima digressione la velocità è tutta in altezza; questo fatto può essere sfruttato per determinare con esattezza il meridiano e la latitudine del luogo.La rotazione di campo si incontra anche nei telescopi in montatura equatoriale se parte della struttura è fissa rispetto al suolo, ad es. nel cosiddetto fuoco Coudè, in cui la luce è portata a un grande spettrografo sul pavimento dell'osservatorio.


Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 1

La trigonometria sferica è il secondo metodo di trasformazione. Ad esempio, la Figura dà gli elementi necessari per effettuare la trasformazione tra coordinate equatoriali e eclittiche per mezzo dei gruppi di Gauss. Troveremmo facilmente le stesse equazioni già viste prima, e le loro inverse.


Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 2Dato che la trasformazione da equatoriali a galattiche è più complicata, è meglio vederla in dettaglio. Sia P il polo celeste Nord, G il centro galattico e CG il piano galattico. Data la stella X, dai triangoli sferici otteniamo:

GC GC

GC G G G

G G G

cos sin( ) cos sin( )

cos cos( ) cos sin sin cos cos( )

sin sin sin cos cos cos( )

b l

b l

b

G GC

G G G GC

G G GC

cos sin( ) cos sin( )

cos cos( ) sin cos cos sin cos( )

sin sin sin cos sin cos( )

b l

b b l

b b l


Trasformazioni mediante la trigonometria sferica - 3Se uno preferisse la tecnica della rotazione di matrici, ricordi le coordinate equatoriali dei 3 punti: (0,0), G (192°.3, +27°.4), GC (265°.6,-28°.9)(all'epoca B1950.0, secondo la definizione dell'IAU), e calcoli le distanze angolari:

cos cos 0.86760G xZ 150 .2G xZ cos cos 0.06690GC xX 93 .9GC xX

G

0.06690 0.49273 0.86760

0.87276 0.45035 0.18838

0.48354 0.74459 0.46020

R

Si noti che le coordinate equatoriali della stella si devono precessare al B1950.0 prima della trasformazione. Benché non siano state definite formalmente dall'IAU, se teniamo conto che le coordinate galattiche non vengono mai usate in lavori di alta precisione astrometrica, possiamo assumere i seguenti valori all'epoca J2000:

G (192°.84, +27°.13) = (12h51m, +27°07’.7), GC (266°.41, -28°.94) = (17h45m.6, -28°56’.2) .


La distanza angolare tra due stelleApplichiamo le precedenti relazioni al calcolo della distanza angolare (sulla volta celeste) tra due stelle X1 e X2, un numero che è ovviamente indipendente dal

particolare sistema di coordinate. Per essere specifici, consideriamo coordinate equatoriali, e conduciamo il grande circolo per le due stelle (vedi Figura):

Si chiami angolo di posizione p l'angolo contato dal Nord verso Est, che è anche l'angolo al vertice X1 del triangolo sferico

X1PX2. Dunque:

1 2 1 2 1 2 1 2cos X X sin sin cos cos cos , =

1 2 2

1 2 1 2 1 2

sin X X sin cos sin

sin X X cos cos sin sin cos cos

p

p


Da equatoriali a eclittiche per il SoleApplichiamo le trasformazioni tra coordinate equatoriali e eclittiche al Sole (assumendo che ⊙ = 0°, una approssimazione valida per gli scopi presenti):

sin tan / tan € €

cosicché, con dovuta considerazione alla data (cioè al quadrante in cui si situa il Sole), la misura di ⊙ dà ad ogni istante l'origine delle

Ascensioni Rette, cioè del punto . Questa considerazione sottolinea il ruolo fondamentale giocato dal Sole (e non dalle stelle!) nel definire il Tempo Siderale.

Si faccia attenzione che dopo il solstizio d'estate, l'arco tra il Sole e diventa maggiore di 180°.


Esercizi svolti - 1 1 -Sia data una stella con ascensione retta = 18h30m00.00s e declinazione = – 00o15’00”.0, all’equinozio della data. Per l’Osservatorio di Asiago–Cima Ekar (longitudine 11o34’07”E, latitudine +45o50’58”, altezza s.l.m. 1395m) si determinino gli angoli orari del sorgere e tramontare al 23 luglio 2003, trascurando la correzione per rifrazione atmosferica.Dalle Lezioni abbiamo che il limite di visibilità (h > 0) si ha quando:

cos tan tanHA

Essendo la stella quasi equatoriale ci si aspetta che il sorgere e tramontare sia praticamente nei punti cardinali E e W, e infatti il conto con l’equazione dimostra che HA = 89°.74 = 5h.98 = 5h59m.

Si provi a rifare i conti per stelle con variabile tra – 30° (il limite pratico di visibilità da Asiago) fino alle stelle circumpolari. Se poi l’astro fosse il Sole, oppure la Luna: le coordinate di catalogo si riferiscono ai centri, per cui questa relazione darebbe l’istante del sorgere e tramontare del centro dei due dischi (sempre a meno della rifrazione atmosferica).


Esercizi svolti - 22) Distanza angolare tra due stelleDeterminare la distanza angolare tra due stelle di coordinate equatoriali note, verificando il metodo nel seguente caso: (1,1)= (21h30m45s.15, +40°20'50".2), (2,2)= (2h10m15s.58, -42°40'30".7) e discutendo la precisione raggiungibile quando la distanza angolare tende a 0° o a 180°.

La distanza angolare d tra due astri di nota AR e Dec si trova dalla formula:

212121 coscoscossensencos d

e la stessa formula si può applicare per qualunque altro sistema di coordinate.Mettiamo tutti i valori in gradi e decimali, mantenendo 8 cifre significative:

6881251.3221 34727778.401 56491668.322 67519444.422

Nel caso particolare in linea di principio si deve solo fare attenzione alla differenza di AR, dato che l'arco

1232084.290)166667.2512542.21(15 hh21

è maggiore di 180°; il suo coseno vale: 0.34404006.


Esercizi svolti (cont.)Usiamo allora come AR della prima stella il valore: 1 = - (360° - 322°.6881251) = -37°.31187490 da cui il valore = 69°.87679158, il cui coseno vale come prima 0.34404006. Quindi la formula automaticamente tiene conto di questa caratteristica; tuttavia è utile ricordare che nella definizione di triangolo sferico intervengono sempre archi di lunghezza minore di 180°.A questo punto abbiamo:

cos 0.64741888 ( 0.67784143) 0.76213437 0.73520813 0.34404006

0.24607227

d

d = 104°.2452106 = 104°14'42".758


Esercizi svolti (cont.)Non conviene usare la formula precedente quando la distanza tra le due stelle è troppo vicina a 0° perché allora il coseno varia troppo lentamente; conviene piuttosto considerare un triangolo piano. Se le AR sono espresse in ore minuti e secondi di tempo allora converrà esprimere le differenze in AR e Dec rispettivamente in secondi di tempo e secondi d'arco e ottenere la distanza d in secondi d'arco dalla formula:

22 )(cos15 d

Come limite di validità si può porre un lato massimo sui 10' (cos d > 0.999995). Se proprio si vuole, si può anche porre:

2coscos 21


Esercizi per casa1) Discutere gli elementi dei triangoli sferici passanti per:

il punto vernale , il punto a (,) = (6h, 0°), il polo celeste Nord il punto vernale , il punto a (,) = (18h, 0°), il polo celeste Nord il punto vernale , il punto a (,) = (21h, 0°), il polo celeste Nord

A quali date il Sole avrà le dette ascensioni rette? E quali le declinazioni solari in tali date?

2) le coordinate equatoriali del Sole al 26 gennaio sono:

= 20h33m52s.89 , = -18°44’55”.7

a) Ricavare la durata della notte astronomica per un sito a 56° di latitudine. b) Ricavare le coordinate eclitticali del Sole alla stessa data

3) Si supponga che la posizione di Giove sia (11h40m30s.4, +9°44'39"), e che quella del suo sesto satellite sia (11h38m05s.4, +10°10'57"). Si calcolino l'angolo di posizione e la distanza relativa a Giove del satellite.

Terza settimana

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