Termodinamica

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Gli argomenti di queste note riguardano alcuni alcuni concetti relativialla

TermodinamicaMeccanica dei fluidi

Lo scopo è quello di fornire nozioni basilari necessarie ed utili peraffrontare lo studio della Propulsione Aerospaziale e dell’Aerodinamica.

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Prima di cominciare questa breve e non approfonditatrattazione degli argomenti prima elencati, si ritieneopportuno richiamare alcuni concetti di base della fisicamolto utili per la comprensione sia della termodinamicasia della meccanica dei fluidi

LE PROPRIETA’ DELLA MATERIA

E’ difficile dare una definizione di materia. Per gli scopi di queste pagine sireputa più utile parlare delle proprietà della materia.

Esse sono:EstensioneMassaGravitazioneIndistruttibilitàInerziaCoesione

Estensione. E’ l’abilità della materia ad esistere in uno spazio tridimensionalecaratterizzato quindi da lunghezza, larghezza e profondità.

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LE PROPRIETA’ GENERALI DELLA MATERIA

Massa. La massa è l’ammontare di materia che costituisce un determinatooggetto.

Gravitazione. Essa è l’attrazione che ogni oggetto dell’universo esercita su ognialtro oggetto dell’universo. Un esempio significativo è l’attrazione che la Terraesercita su ogni oggetto. Questa attrazione altro non è che la nota forza peso.

Indistruttibilità. Indistruttibilità significa che la materia non può essere creata odistrutta.

Quanto ora detto si compendia nel principio della Conservazione della materia.Tuttavia questo principio cade in difetto in alcuni casi.

Infatti nella fissione o nella fusione nucleare la materia può essere trasformatain energia.

LE PROPRIETA’ GENERALI DELLA MATERIA

Per tener conto di questo fatto il principio della conservazione è statoallargato nel principio della conservazione della Massa-Energia. Essostabilisce che né la massa né l’energia possono essere create o distrutte mapossono essere convertite l’una (la massa) nell’altra (energia).

Inerzia. L’inerzia è la tendenza della materia a rimanere in stato di quieteo, se è in movimento, a continuare a muoversi a velocità costante e sullastessa traiettoria rettilinea a meno che non intervenga una causa (forza)esterna. Quello ora enunciato è il Primo Principio della Dinamica o Principiodi Inerzia.

Coesione. La coesione è l’attrazione che le molecole simili costituenti lamateria esercitano le une sulle altre. La coesione è grande nei solidi, minorenei liquidi quasi nulla nei gas.

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I VARI STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA

Il modello accettato attualmente circa la struttura della materiaconsidera quest’ultima costituita da miscugli omogenei edeterogenei d’individui chimici.

Questi possono essere sostanze elementari o composti;ambedue le categorie sono costituite da atomi.

La materia si presenta in tre stati di aggregazione,

solido,

liquido,

gassoso

CARATTERISTICHE DELLA MATERIA NEI VARI STATI DI AGGREGAZIONE

I Solidi sono caratterizzati da massa e volume propri.

I solidi sono anche caratterizzati da forma propria

Stato solido: ad una data temperatura, atomi e molecole sono legatida forze sufficienti perché il moto termico, sempre presente, salvoche allo zero assoluto, non modifichi le mutue posizionipermanentemente.

Perciò la forma ed il volume sono praticamente ben definiti.

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SOLIDI

Indipendentemente dalla forma esteriore, l’esame a livellomicroscopico di un solido rivela sempre una struttura interna ordinatasecondo schemi più o meno complessi.

Essa è detta struttura cristallina.

Nella struttura cristallina, le molecole o gli atomi, che compongonola sostanza in esame, occupano posizioni fisse e ben determinate.

La compattezza della struttura stessa determina alcune delle suecaratteristiche fisiche e meccaniche (densità, resistenzameccanica, durezza, fragilità, ecc.).


I liquidi sono caratterizzati da massa e volume propri; i gas hanno solomassa propria. Essi sono detti anche fluidi.

I fluidi (liquidi e gas: dal verbo latino “fluere = scorrere”) prendono laforma del recipiente che li contiene.

Stato liquido: i legami interatomici e intermolecolari sonoallentati, permettendo così una certa mobilità degli atomi e dellemolecole ma non l'allontanamento definitivo.

Il volume resta perciò praticamente definito, mentre non lo è più laforma.

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I gas hanno solo massa propria.

I gas hanno l’ulteriore caratteristica di tendere ad occupare tutto il volumea loro disposizione.

Pertanto non hanno volume proprio.

Stato gassoso: le particelle, avendo una energia termica moltosuperiore all'energia di interazione interatomica eintermolecolare, tendono ad allontanarsi l'una dall'altra epraticamente non si influenzano tra loro.

Si ha perciò la massima espansione nello spazio disponibile.

FLUIDI

Nei fluidi non c’è ordine strutturale e perciò le molecole sonodisposte “alla rinfusa”.

Ciò permette che possano muoversi l’una rispetto all’altradeterminando lo scorrimento e la facile “deformabilità” della massacon una “velocità” più o meno grande.

La viscosità rappresenta la facilità con cui i vari strati, di cuipossiamo immaginare composta una massa fluida, possonoscorrere gli uni sugli altri e l’attrito viscoso è una forza che sioppone al movimento all’interno di un fluido.

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La densità, cioè la grandezza ottenuta dividendo la massa diun corpo per il suo volume.

Nel caso dei solidi e dei liquidi, ha lo stesso ordine digrandezza.

Nel caso dei gas essa è molto più piccola, circa 1000 volte dimeno.


LA NATURA DELLA MATERIA

Processo passaggio

Fusione S L

Sublimazione S G

Solidificazione L S

Evaporazione L G

Condensazione G L

Come si è detto la materia non si crea e non si distrugge. Però essa può cambiare il suostato di aggregazione.

Questi passaggi di stato sono diversi a seconda dello stato di aggregazione di partenza edi quello di arrivo.

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PRINCIPI BASE: LA MASSA

Si ritiene utile approfondire alcuni concetti relativi alla massa.La massa è una proprietà fondamentale della materia e come tale può esseredescritta da fenomeni legati al suo comportamento

FENOMENI INERZIALI FENOMENI GRAVITAZIONALILa massa è una proprietà graziealla quale la materia resiste adogni variazione del suo stato dimoto. Questa è l’inerzia delcorpo.

La massa è la sorgente dellagravitazione che descrivel’azione che una massaesercita su di un’altra massa.La forza gravitazionale sichiama peso.

PRINCIPI BASE: LA MASSA

Differenza fra la massa ed il peso di un corpo

La massa è unaproprietà intrinseca diun corpo e non èfunzione dellaposizione nel campogravitazionale.

Il peso non è una proprietà del corpo.Esso è una forza esercitata sulla materiao massa che costituisce il corpo ed èdeterminata dalla posizione della massao del corpo nel campo gravitazionale.

La relazione che lega le due grandezze è: mgP accelerazione di gravità(al livello del mare 9.808 m/s2)

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Unità di misura della massa

•Kilogrammo

•Libbra

•Slug

Kg Libbra Slug

Kg 1 2.20 6.85x10-2

Libbra 0.454 1 3.11x10-2

Slug 14.594 32.17 1

Tabella di conversione fra le unità di misura

Lo slug è quellamassa, che sottol’azione di 1lbf, subisce unaaccelerazione di 1ft/s2

1 Kg è uguale a 2.20 libbre o 6.85x10-2 slug

PRINCIPI BASE: FORZA

Definizione: Una Forza rappresenta l’azione esercitata da uncorpo o da una particella su di un altro corpo.

Azione per contatto(es. pressione)

Azione a distanza(es. forze elettromagnetiche,

gravitazionali)

Caratteristiche di una forza:•Intensità•Direzione•Verso

La Forza è una grandezzavettoriale

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UNITA’ DI MISURA DELLA FORZA

Kgf lbf Newton (N)

Kgf 1 2.20 9.80665

lbf 0.453592 1 4.45

Newton (N)

1.02x10-1 2.25x10-1 1

PRINCIPI BASE: LAVORO

DEFINIZIONE: il lavoro e’ dato dal prodotto della forza perlo spostamento del punto di applicazione della forza nelladirezione della forza stessa

F FP0 P1

P0 P1P0P1 spostamento

Lavoro = F x spostamento = F x P0P1

Caso in cui forza e spostamento hanno la stessa direzione

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PRINCIPI BASE: LAVORO

DEFINIZIONE: il lavoro e’ dato dal prodotto della forza perlo spostamento del punto di applicazione della forza nelladirezione della forza stessa

Caso in cui forza e spostamento hanno direzioni diverse

F

P0 P1Ft

P0 P1

P0P1 spostamento

L = Ft x P0P1

PRINCIPI BASE: L’ENERGIA

Definizione: L’Energia è la capacità di un corpo di compiere un lavoro

Energia cinetica:E’ la capacità di un corpoa compiere lavoro a causadel suo moto. Per un corpoDi massa m e velocità V si ha:

Energia potenziale:E’ la capacità di un corpoa compiere lavoro a causadella sua posizione.

Poiché l’energia di un corpo è misurata in termini del lavoro che essopuò fare, essa ha le stesse dimensioni fisiche del lavoro

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21 mV

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FORME DI ENERGIA POTENZIALE

LAVORO MECCANICO CALORE

Il lavoro meccanico ed il calore sono due forme di energia. Infatti

1 Joule (unità di misura del lavoro meccanico)

è ugualea 4.18688 Calorie

(unità di misura della energia sotto forma di calore)

UNITA’ DI MISURA DELL’ENERGIA

caloria Joule BTU

caloria 1 4.18688 3.97x10-3

Joule 2.39x10-1 1 9.48x10-4

BTU 2.52x102 1055.56 1

Unità di misura dell’energia sotto forma di calore

BTU=British Termal Unit (unità termica britannica)1 BTU è uguale 2.52x102 oppure a 1055.56 Joule

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UNITA’ DI MISURA DELL’ENERGIA

Joule kWh lbf ft

Joule 1 2.78x10-7 7.38x10-1

kWh 3.6x106 1 2.66x106

lbf ft 1.36 3.77x10-7 1

Unità di misura dell’energia sotto forma di lavoro

kWh=chilowattora; lbf ft= libbre-forza piede1 Joule è uguale a 2.78x10-7 kWh oppure a 7.38x10-1 lbf ft

UNITA’ DI MISURA DELLA POTENZA

CV Hp lbf ft/s W

CV 1 9.86x10-1 5.42x102 7.35x102

Hp 1.01 1 550 7.46x102

lbf ft/s 1.84x10-3 1.82x10-3 1 1.36

W 1.36x10-3 1.34x10-3 7.38x10-1 1

CV=cavallo vapore; Hp= cavallo vapore britannico

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PREMESSALa termodinamica può essere definita come la parte della Fisica chestudia tutti i processi nei quali si manifestano trasferimenti dienergia.

Questi processi riguardano un gran numero di fenomeni dellaNatura.

Ad esempio :i fenomeni meteorologicii fenomeni vulcanici,la trasmissione del calore,i processi vitali……………………………………….

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PREMESSA

Pertanto la Termodinamica va al di là dei confini della stessaFisica in quanto è molto utile nello studio della Chimica,dell'Ingegneria, della Biologia,...

La Termodinamica è una branca della scienza estremamenteinteressante ed è capace di spiegare eventi che coinvolgono unenorme numero di particelle utilizzando un piccolo numero digrandezze fisiche e pochi assiomi, detti Principi o Leggi dellaTermodinamica.

SCOPO DEL CORSOLo scopo di queste brevi note è quello di pervenire ad una semplicee rigorosa esposizione del Primo e del Secondo Principio dellaTermodinamica.

Verranno definiti i concetti di Lavoro, Temperatura e Calore.

Il Primo Principio sarà definito solo in termini di Lavoro e Calore.

Il concetto termodinamico di Energia sarà definitoquantitativamente, e sarà mostrato che l’Energia Interna è unaproprietà della materia.

Si accennerà ai Flussi Stazionari parlando dei sistemi aperti.

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SCOPO DEL CORSOIl Secondo Principio verrà definito come fatto a se stante e verranno puredate le definizioni equivalenti come suoi corollari.

Si definirà il concetto di Reversibilità.

Sarà mostrato che anche l’Entropia è una proprietà del sistema.

Di essa verranno date delle definizioni operative pur non tralasciando iconcetti teorici.

Infine si accennerà il concetto di Entalpia.

Introduzione

Passando a fatti un po’ più concreti, si può affermare che senza laTermodinamica non potrebbero essere spiegati tanti fatti e processisia pure apparentemente esclusivamente di tipo meccanico.

Infatti, si consideri a semplice titolo esemplificativo, un sistemacostituito da un cosiddetto Oscillatore smorzato, nel quale ilsistema è costituito dalla massa oscillante di valore m e velocità v el’ambiente è costituito da tutto il resto, compreso il fluido, il cuicoefficiente di attrito viscoso è g, in cui avviene il moto.

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Introduzione

La diminuzione dell'energia meccanica H di questo oscillatoresmorzato, secondo le leggi della Meccanica, è:

02 vm

tH

Cosa succede dell'energia dissipata?

Di quanto si riscalda la massa m al termine del moto?

Cosa cambia nel fluido?

Il fenomeno è reversibile?

Cioè, una volta che il moto è terminato, è possibile che ilfluido restituisca l'energia accumulata e la massa si rimettaspontaneamente ad oscillare riportandosi alle condizioniiniziali?

Introduzione

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Introduzione

In genere le risposte della Meccanica a queste domande sono

inesistenti,

incomplete ,

inadeguate.

Introduzione

Ora si consideri una certa quantità digas posta in un recipiente avente ilcoperchio mobile e su questo siponga una massa m.

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IntroduzioneQuando il gas viene riscaldato esso si espande e sollevala massa m posta sul coperchio.

Domande:

Perché il gas si espande?

Perché la massa m acquista energia cinetica?

Quali sono i meccanismi di trasmissione dell'energia?

Anche per queste domande la meccanica è in grado dioffrire solo risposte qualitative.

Introduzione

Si sono viste due esperienze coinvolgenti due sistemi diversi vale a dire:

L’oscillatore smorzato

Un recipiente pieno di gas che si espande

Per quello che caratterizza le due sperimentazioni la meccanica nonfornisce sufficienti spiegazioni.

La termodinamica è in grado di provvedere a ciò.

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Introduzione

La Termodinamica concentra l'attenzione su tre entità:

il sistema, l'ambiente e la superficie di contorno che delimita ilsistema dall'ambiente.

•Il sistema è il soggetto dell'indagine scientifica ed è costituito dauna certa quantità di materia;

• l'ambiente è tutto ciò con cui esso interagisce;

•la superficie di contorno delimita l’estensione del sistema e condiziona il tipo di interazione.

Introduzione

L'idea chiave che accomuna il gran numero di oggetti che di volta involta costituiscono il sistema, è il concetto di statotermodinamico.

Un sistema è in un particolare stato termodinamico, sia in ognisua parte sia nella sua globalità, quando è caratterizzato in ognisuo punto dalle stesse grandezze termodinamiche.

Di queste si parlerà più avanti.

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Occorre ora considerare due concetti basilari in termodinamica.

Ad uno di essi si è già accennato in precedenza è arrivato il momentodi completare i concetti già espressi.

Tutto ciò porterà alla enunciazione del

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

TEMPERATURA E CALORE


Per definire lo stato termico di un corpo e per descrivere i fenomeni di tipotermico in cui esso può essere coinvolto, sono necessarie due grandezze:la temperatura ed il calore.

Il calore è “quella cosa” che si può misurare in base al riscaldamentodi una sostanza e si comporta in modo da passare da un corpoall’altro senza aumentare né diminuire, cioè è qualcosa che siconserva.

Esso provoca variazioni di temperatura, dilatazioni termiche,passaggi di stato.

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Quindi il Calore è l’energia che serve per far muovere leparticelle, molecole o atomi, di cui sono composte le sostanze equindi è parte del contenuto energetico della massa di materiache costituisce il corpo in esame.

La Temperatura è la grandezza con cui si misura lo stato, omeglio, questo livello energetico di un corpo.

Essa è analoga all’altezza per l’energia potenziale meccanica o latensione (la differenza di potenziale) per la corrente (energia)elettrica.



Quindi in definitiva Temperatura e Calore sono concetti ben diversi:

la prima è una misura, un indice;il secondo è un’energia.

La temperatura di un corpo ne esprime lo stato termico ed è unindice della tendenza del calore ad abbandonare il corpo.

Se la temperatura di un corpo è alta non significa necessariamenteche il corpo possiede molto calore, ma che possiede un’altatendenza a cedere quello che ha.

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Come già detto, la Temperatura è la grandezza fisica che descrive lo statotermico di un corpo (solido, liquido o gassoso) e costituisce quindi un indicenumerico che può essere definito in maniera operativa con la descrizione diun dispositivo atto a misurarlo.

In realtà, nei vari dispositivi realizzati per misurare la temperatura, questanon viene misurata direttamente ma si utilizza la misura di alcune proprietàdei corpi che dipendono dalla temperatura.

Scegliendo una di queste proprietà e perciò una di queste grandezze, sifissa in realtà un tipo di strumento di misura della temperatura, cioè untermometro.


Con un tale strumento si può misurare la temperatura di ogni altro corpo inbase alla seguente osservazione sperimentale.Se due corpi aventi diverso stato termico e quindi diversa temperaturavengono messi a contatto, in assenza di reazioni chimiche e dicambiamento di fase, cioè di stato di aggregazione, essi raggiungonodopo un certo intervallo di tempo la stessa temperatura, o meglio lo stessostato termico.

Un esempio è costituito da un capillare di vetro dove un liquido, di solitomercurio, può dilatarsi e salire a seconda della temperatura.

Questo strumento sfrutta la tendenza di tutti i materiali a cambiare ilproprio volume a seconda della temperatura.

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Per eseguire misurazioni di temperatura vengono definite delle scaletermometriche.

Le più importanti e diffuse nell’uso pratico sono:

Scala centigrada o Celsius

Scala Fahrenheit

Scala assoluta o Kelvin

Scala centigrada o Celsius

Questa scala termometrica prende come punto di riferimento zero lafusione del ghiaccio e come punto di riferimento cento l’ebollizionedell’acqua in condizioni standard, cioè alla pressione corrispondente allivello del mare ad una latitudine di 45°.

L'intervallo così definito viene diviso in cento parti uguali a ciascunadelle quali Celsius diede il nome di “grado centigrado” (°C).

Si tratta di una scala convenzionale.


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Scala Fahrenheit

La scala Fahrenheit pone uguale a zero (0°F) la temperatura piùbassa raggiungibile con una miscela ghiaccio-cloruro di ammonio(corrispondente a circa –18°C) ed uguale a cento (100°F) latemperatura media del corpo umano.

Dividendo in cento parti l'intervallo fra i due punti, ne deriva che 1grado Fahrenheit risulta essere circa 0,55 gradi centigradi.

Infatti la temperatura di fusione della soluzione è di circa -17,5 gradi(sotto lo zero centigrado), per cui l'intervallo fra tale temperatura e i noti37 gradi del corpo umano (sano) risulta essere di 55,5 gradi centigradi.


Scala FahrenheitLa temperatura dell'ebollizione dell'acqua misurata in gradi Fahrenheit(°F) risulta quindi essere di circa 212°F, mentre lo zero centigradocorrisponde a 32°F, per cui l'intervallo dei 100 gradi centigradi risultaessere di 180 gradi Fahrenheit.

In altre parole e riferendosi alla scala Celsius, per questa scalatermometrica è stato assegnato il punto di fusione del ghiaccio a 32gradi (32°F) e il punto di ebollizione dell'acqua a 212 gradi (212°F).

La scala Fahrenheit è impiegata diffusamente ed è praticamente lasola usata nei paesi anglosassoni in particolare negli USA.

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La scala assolutaQuesta scala termometrica, la cui unità di misura è il grado Kelvin(°K), prende come unico riferimento l’estremo inferiore teorico delletemperature raggiungibili in natura assegnandole il valore 0°K.

Lo zero Kelvin rappresenta il limite inferiore delle temperatureraggiungibili in natura e non esistono temperature Kelvin negative.

Per questa ragione questa non è una scala convenzionale maassoluta.


La scala Rèaumur (in disuso)La scala introdotta nel 1732 dal fisico francese A.R. Rèaumur è costruita

attribuendo il valore zero alla temperatura del ghiaccio fondente in equilibriocon l’acqua alla pressione atmosferica a livello del mare.

Il valore 80 viene dato alla temperatura di ebollizione dell’acqua distillata apressione atmosferica a livello del mare.

L’intervallo 0-80 è diviso in 80 parti uguali ognuna delle quali è detta gradoReaumur (°r).

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La scala Rankine (poco usata)Questa scala fu introdotta verso il 1860 dal fisico inglese W.J. Rankine.

E’ la scala assoluta dei gradi Fahrenheit.

Essa è costruita attribuendo il valore 491.67 alla temperatura del ghiacciofondente in equilibrio con l’acqua alla pressione atmosferica al livello del mare.

Viene poi attribuito il valore 671.67 alla temperatura dell’acqua distillata allapressione atmosferica al livello del mare.

L’intervallo fra i due valori viene diviso in 180 parti a ciascuna delle quali è dato ilnome di grado Rankine (°R).


Per l’importanza che la grandezza temperatura assume in ogni aspettoprofessionale, è necessario saper passare dalle misure in una dellescale termometriche alle corrispondenti di un'altra.

Per passare da una scala termometrica all’altra si possono utilizzare le seguenti relazioni:

da centigrada a fahrenheit: TF = 9/5 TC + 32

da centigrada ad assoluta: TK = TC + 273,16

da assoluta a fahrenheit: TF = 9/5 TK – 459,6

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Per avere un'idea approssimata, ma sufficiente a scopi pratici che nonrichiedano grande precisione, possono essere utilizzate le seguentidue regole:

per passare da gradi centigradi (°C) a gradi Fahrenheit (°F), simoltiplica per 2 e si aggiunge 30.

viceversa,

per passare da gradi Fahrenheit (°F) a gradi centigradi (°C) sitoglie 30 e si divide per 2.

Se però si vuole un dato esatto si può ricorrere alla seguenteproporzione:

°C:100=(°F-32):180

dalla quale si ricavano le seguenti due relazioni esatte:


1.8 32F C

32 /1.8C F

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T TC TF Tr TK TR

TC 1

TF 1

Tr 1

TK 1

TR 1

5 329 FT

54 rT 273.15KT 5 273.15

9 RT

Corrispondenza delle temperature nelle cinque scale termometriche

9 325 cT

9 324 rT

9 459.675 KT 459.67RT

45 CT 4 32

9 FT 4 218.525 KT 4 218.52

9 RT

273.15CT 5 255.379 FT

5 273.154 rT 5

9 RT

9 491.675 CT 459.67FT 9 491.67

4 rT 95 KT

INTRODUZIONE ALLA TERMODINAMICA

La termodinamica si occupa principalmente delle trasformazioni dicalore in lavoro meccanico e delle trasformazioni inverse di lavoromeccanico in calore.

E’ da relativamente poco tempo che il calore viene considerato unaforma di energia e come tale esso può essere trasformato in altreforme di energia.

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In precedenza fin dall’antichità si pensava che il calore fosse unaspecie di fluido indistruttibile detto calorico.

Addirittura si pensava che esso, rappresentato dal fuoco, fosse laquarta sostanza fondamentale della natura (le altre tre erano laterra, l’aria e l’acqua).

In questo ambito i fenomeni di riscaldamento dei corpi venivanointerpretati come passaggio di questo fluido da un corpo ad un altro.


E’ stato solamente verso la metà dell’ottocento soprattutto per merito discienziati come Carnot, Joule, Clausius ed altri, che il calore fuufficialmente riconosciuto come forma di energia.

Quindi furono fissati i criteri secondo i quali è stato possibile stabilire unaequivalenza tra calore e lavoro meccanico.

Poi furono enunciati i principi della termodinamica e soprattutto il primoprincipio della termodinamica.

Esso oggi è universalmente conosciuto come principio di conservazionedell’energia per i sistemi termodinamici.

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La via per capire e comprendere l’equivalenza esistente tra calore edenergia meccanica si basa sulla cosiddetta interpretazione cinetica deifenomeni termodinamici o teoria cinetica molecolare.

Essa fa risalire tutti i fenomeni termici ai disordinati movimenti degli atomie delle molecole che costituiscono la materia dei corpi e dei sistemi chesono coinvolti nei fenomeni che si vogliono analizzare.


Da questo punto di vista, lo studio dei fenomeni termici e del calore sitrasforma nello studio di una particolare branca della meccanica.

Si tratta della meccanica di un insieme di particelle, gli atomi o lemolecole, costituenti i corpi in esame.

Il sistema ha un elevato numero di componenti e quindi perdeimportanza la descrizione dettagliata del loro singolo stato e del lorosingolo movimento.

Pertanto cui si debbono necessariamente considerare le proprietà mediedel loro intero insieme.

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Questo ramo della meccanica, che si è sviluppato soprattutto permerito di scienziati come Maxwell, Boltzmann ed altri, è dettomeccanica statistica.

Esso ha fornito un’ottima chiave interpretativa dei fenomenitermodinamici, consentendo la comprensione ed la formulazionedelle leggi fondamentali che li regolano e li governano.

Pare una cosa abbastanza tosta e difficile.

E lo è


In realtà nella termodinamica pura il metodo che si adotta per spiegare ifenomeni parte da un punto di vista completamente diverso.

Infatti i principi fondamentali vengono considerati come postulati fondatisull’esperienza.

Si giunge così a conclusioni e si ottengono risultati dallo studio edall’osservazione dei fenomeni termodinamici senza far ricorso alla teoriacinetica molecolare, cioè senza entrare nel meccanismo cinetico deifenomeni stessi.

Si tornerà più avanti su quanto ora detto per ampliare il concetto.

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Più volte finora è stato utilizzato il termine Sistema.E’ arrivato il momento di capirne di più.

L’applicazione di principi scientifici alla soluzione di un qualunqueproblema deve necessariamente partire con la separazione di una regionedi spazio limitata riempita di una quantità finita di materia da tutto quanto lacirconda.

Questa parte che viene idealmente isolata e su cui si concentral’attenzione viene chiamata sistema.

Tutto ciò che è esterno al sistema e che quindi non vi fa parte purpotendone influenzare il comportamento, viene detto ambientecircostante.

DEFINIZIONE DI SISTEMA FISICO


Un sistema fisico è perciò costituito da un solido, un liquido, ungas, una soluzione satura o non, ecc. racchiusa in una porzione dispazio delimitata da superfici reali e/o fittizie

Quando un sistema fisico è grande abbastanza da essere rilevabileed osservabile direttamente dai nostri sensi, allora esso è dettosistema macroscopico.

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Un sistema fisico può essere costituito da una certa quantità di unfluido omogeneo (gas) e il suo stato termodinamico è determinato daivalori di pressione e temperatura del gas (poi si vedrà perché).

TIPI DI SISTEMI FISICI

Un sistema fisico viene detto:

Isolato, se non scambia né materia né energia con l’ambiente.

Chiuso, se scambia energia ma non materia con l’ambiente.

Aperto, se scambia materia ed energia con l’ambiente.

Poiché il calore è una forma di energia, un sistema per essere isolatonon deve scambiare neanche calore con l’ambiente.

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Ad esempio, una pentola senza coperchio in cui ci sia dell’acquache bolle non costituisce un sistema chiuso perché a causadell’evaporazione c’è una dispersione di una parte dell’acquanell’ambiente.

Se si trascura il fenomeno delle meteoriti e della polvere cosmica, laTerra può essere sostanzialmente considerato un sistema chiusoma non isolato in quanto riceve calore e perciò energia dal sole edisperde energia termica nella forma di radiazione infrarossa versolo spazio cosmico.

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I sistemi con cuiun sistema nonisolato scambiaenergia sonodetti sorgenti.

Un sistema e lesue sorgentiformano nel loroinsieme unsistema isolatose le sorgentinon scambianoenergia con altrisistemi.


PROPRIETA’ DEI SISTEMI FISICI

Si possono distinguere due tipi di proprietà di ogni sistema:

Le proprietà intensive

Le proprietà estensive

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Proprietà intensive

Una proprietà di un sistema si dice intensiva quando il valore dellagrandezza che ne fornisce la misura è lo stesso sia per l'intero sistema cheper le sue parti comunque piccole esse siano.

Temperatura, Pressione, Vettore di polarizzazione, Vettore dimagnetizzazione

Proprietà estensive

Una proprietà di un sistema si dice estensiva se, suddividendo il sistema inpiù parti, la somma dei valori della grandezza che fornisce la misura diquella proprietà per le parti è eguale al valore della misura della proprietàdell’intero sistema.

Volume, massa, Energia interna, Entropia


Proprietà estensive

Le proprietà estensive di un sistema diventano intensive quandovengono divise per la massa del sistema.

In tal caso esse sono contraddistinte dall'aggettivo specifico.

Volume specifico, Energia interna specifica, Entropia specifica

Se in un sistema non avviene nessun cambiamento, cioè se tutte lesue proprietà pressione, temperatura, volume, composizione chimicaecc.., rimangono costanti, si dice che il sistema è in equilibrio.


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Per poter seguire le variazioni delle proprietà dei sistemi e quindi le lorotrasformazioni, è necessario definire anche le caratteristiche peculiaridelle pareti che costituiscono le superficie di contorno del sistema.

Le pareti possono essere di vari tipi:

Impermeabili;

Adiabatiche

Diatermiche

Rigide e fisse


Parete impermeabile

è una parete che impedisce lo scambio di materia fra sistema edambiente. Un sistema delimitato da una parete impermeabile è unsistema chiuso.

Parete adiabatica o termicamente isolata

è una parete che non permette scambi di calore. Se un sistema inequilibrio è delimitato da una parete adiabatica, per modificarne lo statotermodinamico è necessario spostare la parete. Un sistema delimitato dapareti adiabatiche viene detto termicamente isolato.

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Parete diatermica o termicamente conduttrice

è una parete non adiabatica, cioè una parete che consente scambi dicalore.

Parete rigida e fissa

è una parete che impedisce al sistema di eseguire o subire lavoromeccanico. Un tale sistema si dice meccanicamente isolato.


Parete rigida, fissa ed adiabatica

è una parete che non consente alcuno scambio di energia tra il sistemae l’ambiente circostante. In questo caso il sistema viene dettoenergeticamente isolato.

Nel seguito non sono presi in considerazione eventuali scambi di energiacon il sistema dovuti a campi di forze esterne (campi gravitazionali,elettromagnetici,…etc.).

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STATO DI UN SISTEMA

Un sistema macroscopico è costituito da un numero grandissimo diparticelle microscopiche (atomi e/o molecole).

Però non è né utile né possibile seguire e descrivere il suocomportamento specificando istante per istante lo stato di moto diciascuno dei suoi componenti microscopici.

Infatti in meccanica lo stato di un sistema è completamente definitoquando in ogni istante sono note la posizione e la velocità di ognipunto materiale del sistema stesso (un punto materiale è un puntodotato di massa).

Questo significa che bisogna conoscere 6N variabili per un sistemacomposto di N punti materiali (un punto materiale libero di muoversinello spazio ha 6 gradi di libertà, cioè ha sei possibilità dimuoversi:

tre possibilità di muoversi lungo le direzioni degli assi di unsistema di riferimento cartesiano ortogonale;

tre possibilità di ruotare intorno a tali assi.

STATO DI UN SISTEMA

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STATO DI UN SISTEMA

In termodinamica si introduce un concetto di stato di un sistemadiverso e molto più semplice.

In pratica non è conveniente usare la definizione meccanica perdefinire lo stato di un sistema termodinamico.

Infatti il sistema contiene un numero grandissimo di punti materiali(gli atomi e le molecole) e quindi è impossibile assegnare le 6Nvariabili per ognuno di essi per specificarne lo stato.

Inoltre le quantità trattate in termodinamica rappresentano proprietàmedie del sistema per cui la conoscenza dettagliata del moto(velocità e posizione) di ogni punto materiale è del tutto superfluaed inutile.

Un sistema macroscopico può essere descritto, cioè il suo stato puòessere indicato in ogni istante, utilizzando parametri macroscopici diinsieme o grandezze, che indichino le caratteristiche del sistemastesso sia nel suo complesso sia in sue porzioni macroscopiche.

STATO DI UN SISTEMA

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STATO DI UN SISTEMA

Questi parametri o grandezze vengono detti grandezze termodinamiche oparametri termodinamici di stato, nel senso che indicano in ognimomento lo stato termodinamico del sistema nel suo insieme.

Ad esempio si consideri un sistema costituito dal contenuto di un cilindro diun motore a scoppio di un’automobile.

Prima dello scoppio l’analisi chimica di tale contenuto rivelerebbe unamiscela di idrocarburi ed aria.

Dopo lo scoppio l’analisi mostrerebbe la presenza di prodotti dicombustione descrivibili in termini di determinati composti chimici.

STATO DI UN SISTEMA

Specificando le quantità relative delle varie sostanze presenti si ottienela descrizione della composizione del sistema.

Questo sistema occupa in ogni istante un certo volume che dipendedalla posizione del pistone.

Il volume può essere facilmente misurato ed in laboratorio.

Ad esempio esso può essere registrato automaticamente mediante undispositivo connesso al pistone.

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STATO DI UN SISTEMA

Un’altra quantità indispensabile per descrivere il sistema in esame èla pressione dei gas nel cilindro.

Dopo lo scoppio la pressione è alta, dopo lo scarico la pressione èbassa.

Anche per la pressione si possono utilizzare in laboratorioapparecchiature che ne misurino e ne registrino automaticamente levariazioni.

STATO DI UN SISTEMA

C’è infine un’altra grandezza senza la quale non è possibile descriverecorrettamente il funzionamento del motore: la temperatura.

Si comprende ora quali possono essere i parametri di stato cioè quelli ingrado di descrivere completamente lo stato del sistema

Ad esempio i parametri di stato sono la massa (intesa qui come quantitàdi materia che compone il sistema), il volume, la pressione, lacomposizione, la densità (cioè la massa riferita al volume da essaoccupato), la temperatura.

Si può dimostrare che i valori di tali parametri di stato sono riconducibili aproprietà microscopiche mediate su porzioni macroscopiche del sistemastesso.

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LA PRESSIONE

In precedenza si è parlato di calore, si è parlato di grandezzedi stato e fra esse particolare attenzione è stata dedicataalla temperatura.

E’ ora opportuno parlare di un’altra grandezza di stato:

la pressione

LA PRESSIONE

Generalmente la pressione viene definita come una forza per unitàdi superficie.

Questa definizione serve principalmente a definire le dimensionidella pressione ma nulla dice su come nasce questa forza per unitàdi superficie.

I gas sono costituiti da particelle dotate di un moto caotico.

Se una certa quantità di gas viene racchiusa in un contenitore si hache le particelle nel loro moto urtano contro la superficie delcontenitore.

La pressione è l’effetto macroscopico di tutti questi urti.

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V1 V2

V2 = V1

a1 a2

a2 a1

Urto elastico

PRESSIONE IN UN FLUIDO

P

Vn1 Vn2

Vt1Vt2

Quantità di moto tangenziale prima dell’urto=m Vt1

Quantità di moto tangenziale prima dell’urto=m Vt2Variazione nulla

Quantità di moto normale prima dell’urto=-m Vn1

Quantità di moto normale prima dell’urto=m Vn2

Variazione=m(Vn2+Vn2)==2mVn

Vn2 = -Vn1

Vt2 = Vt1

Urto Elastico

V1 V2

V2 = V1


P

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CONSEGUENZA DELL’URTO ELASTICO DELLA PARTICELLA SULLA PARETE

VARIAZIONEDELLA QUANTITA’DI MOTO NORMALE ALLA PARETE

FORZAESERCITATADALLA PARTICELLASULLA PARETE

PRESSIONE

(STATICA)

V1 V2


P

PRESSIONE IN UN FLUIDORIEPILOGO

• Poiché l’urto della particella sulla superficie è elastico non cisono variazioni della quantità di moto in direzione tangenzialema solo in direzione normale.

• Ne consegue che la forza esercitata dalla particella sullasuperficie e la conseguente reazione sono perpendicolari allasuperficie che circonda il punto P.

• La forza esercitata dalla particella sulla parete e’ la pressionestatica che il fluido esercita sulla parete.

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UNITA’ DI MISURA DELLA PRESSIONE

atm bar Pa psi inHg

atm 1 1.01 101325 14.70 29.92

bar 9.87x10-1 1 105 14.50 29.52

Pa 9.87x10-6 10-5 1 1.45x10-4 2.95x10-4

psi 6.80x10-2 6.89x10-2 6.89x103 1 2.04

inHg 3.35x10-2 3.39x10-2 3.39x103 4.91x10-1 1

Nella definizione della pressione data in precedenza si è preso in considerazioneun gas racchiuso in un recipiente.

Nello sviluppo del corso di propulsione come pure nello studio dell’aerodinamicai sistemi considerati saranno costituiti da gas contenuti in spazi delimitati dasuperfici reali e/o fittizie.

Pertanto nel proseguire lo studio della termodinamica è opportuno fissarel’attenzione sui gas e sulle leggi che regolano il loro comportamento.

Si perverrà a delle relazioni utili ed ad un modello che schematizza in modoabbastanza aderente alla realtà il comportamento di un gas:

il gas perfetto.

I GAS E LE LORO LEGGI

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Tra i parametri rilevabili durante l’evoluzione di un fenomeno fisico che haper “protagonista” un gas, quelli che risultano essenziali per seguirnel’evoluzione e per descrivere lo stato del gas durante tale fenomeno sonocome già detto:

la pressione,il volume,la temperatura.

Queste tre grandezze sono legate tra loro in tutti i fenomeni evolutivi chepossono interessare una massa gassosa.


I gas sono sostanze fluide caratterizzate dal fatto di avere massa propriama non forma né volume, anzi essi tendono ad occupare tutto il volumemesso a loro disposizione.

Posti in un recipiente chiuso essi lo occupano totalmente.

Se poi il recipiente ha un coperchio scorrevole, cioè se si fa variare ilvolume V del recipiente che contiene una massa gassosa, questaoccuperà tutto il volume.

Pertanto se V aumenta la massa di gas si “espande” per occuparlotutto.Invece se V diminuisce essa si “contrae” per adattarsi a questa nuovasituazione.

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Le molecole che costituiscono il gas sono sempre in movimentoe, come visto in precedenza, urtando contro le pareti del recipiente chele contiene esercitano su di esse delle azioni che complessivamentesono misurabili mediante una grandezza detta pressione.

Quando si fa aumentare il volume del recipiente, lasciando costante lamassa di gas in esso contenuto, e perciò il numero di molecole, aumentalo spazio che esse hanno a disposizione per i loro movimenti

Pertanto diminuiscono gli urti sulle pareti e quindi la pressione che il gasesercita sulle pareti del recipiente stesso.


Sempre a parità di massa gassosa e quindi di numero di molecole, seil volume del recipiente diminuisce si riduce lo spazio disponibile equindi aumentano gli urti delle particelle sulle pareti e perciò aumentala pressione che il gas esercita sulle pareti del recipiente.

Infatti, facendo proprio un esperimento di questo tipo si può rilevareche il gas racchiuso nel recipiente ha un comportamento analogo aquello di una molla (questa proprietà viene sfruttata nella costruzionedegli ammortizzatori a gas in uso sulle auto e sui velivoli).

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In quanto detto finora si è mantenuta costante la temperatura dellamassa di gas.

Infatti se si fornisce calore facendo aumentare la temperatura, aumental’agitazione molecolare per cui aumentano sia il numero sia l’intensitàdegli urti sulle pareti del recipiente e quindi aumenta la pressione.

Pertanto ci sarebbero due diverse cause cui attribuire l’aumento dellepressione. Per il momento se ne esclude una e si ragiona mantenendocostante la temperatura.

Dunque, mantenendo la temperatura costante si può dire che volume epressione di un gas sono grandezze inversamente proporzionali traloro o che il loro prodotto è costante.


Questo fatto va sotto il nome di

LEGGE DI BOYLE (o legge della isoterma)

che pertanto si enuncia dicendo che:

In un gas, a temperatura costante e lontano da quella diliquefazione, pressione p e volume v sono grandezzeinversamente proporzionali tra loro secondo una costante kdipendente essenzialmente dalla natura del gas e dallatemperatura:

a T = cost

pv k

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80000

580000

1080000

1580000

2080000

2580000 0,10,20,30,40,50,60,70,80,91 1,11,21,31,41,51,61,71,81,92 2,12,22,32,42,52,62,72,82,9

T=288.15 K

T=500 K

T=1000 K

T=2000 K

Aumento della temperatura

P(N/m^3)

v(m^3/Kg)

TRASORMAZIONEISOCORA


Si supponga ora di far variare la temperatura di un gas fornendo calore emantenendo costante il volume.

Il calore fornito o meglio l’energia sotto forma di calore fa aumentarel’attività molecolare in quanto si innalza l’energia cinetica delle particelleche costituiscono il gas.

Il numero di urti delle particelle contro le pareti del recipiente aumenta.

Allora nelle condizioni la pressione aumenta secondo una legge diproporzionalità diretta con la temperatura.

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LEGGE DI GAY-LUSSAC (o legge della isocora)


In un gas, facendo variare la temperatura (fornendo osottraendo calore) e mantenendo costante il volume, lapressione varia secondo una legge di proporzionalità diretta.

a v = cost

0 1p p kt

in cui, se t è misurata in °C, p0 è la pressione a 0°C ek1 è una costante che dipende dalla massa di gas inesame.


LEGGE DI GAY-LUSSAC ( o della isocora)

Se la temperatura è misurata secondo la scala assoluta oKelvin che pone lo zero a -273,15°C in corrispondenza delquale cessa qualunque attività cinetica molecolare, allorala relazione diventa:

1Tp k

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0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000 0 1002003004005006007008009001000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

v=0.5(m^2/Kg)

v=1 (m^3/Kg)

v=2 (m^3/Kg)

v=4 (m^3/Kg)

Zona privadi significato

T (K)

P (N/m^3)

TRASFORMAZIONEISOCORA


Se, invece si fa variare la temperatura di un gas (fornendocalore) e mantenendo questa volta costante la pressione, si sache aumenta l’attività molecolare.

In queste condizioni, allora, è il volume che aumenta secondouna legge di proporzionalità diretta con la temperatura.

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LEGGE DI VOLTA o di CHARLES ( o della isocora)


In un gas, facendo variare la temperatura (fornendo o sottraendocalore) mantenendo costante la pressione, il volume variasecondo una legge di proporzionalità diretta:

0 2k tv v a p = cost

in cui, se t è misurata in °C, v0 è il volume a 0°C e k2 è una costante che dipende dalla massa di gas in esame.

LEGGE DI VOLTA o di CHARLES


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Se la temperatura è misurata secondo la scala assoluta o Kelvin che ponelo zero a -273,15°C in corrispondenza del quale cessa qualunque attivitàcinetica molecolare, allora la relazione diventa:

2Tv kGli esempi indicati dei modi in cui possono variare le grandezzecaratteristiche di un gas sono casi limite nel senso che nella maggioranzadei casi, facendo variare la temperatura, variano sia il volume sia lapressione.


LEGGE DI VOLTA o di CHARLES

GAS PERFETTO

Per studiare i gas si utilizza generalmente un modello fisico-matematicoche permette di simulare il loro comportamento.

Questo si fa perché in realtà ed in determinate condizioni e circostanze ilcomportamento dei gas si discosta dalle leggi che sono state appenaindicate.

Questo gas (che non esiste in natura) viene detto gas perfetto

Esso non liquefa mai (le leggi viste in precedenza sono valide in campi ditemperatura lontani dal punto di liquefazione del gas in esame) per cui ilsuo comportamento segue perfettamente le leggi appena indicate.

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Inoltre, le particelle di cui è costituito hanno un covolume, cioè unvolume proprio, nullo (o comunque trascurabile rispetto al volume delrecipiente che contiene il gas).

Inoltre fra di loro non esistono interazioni a distanza e gli urti tra lorosono perfettamente elastici.

In particolare, alla temperatura di 0°K (Kelvin) questo gas non ha piùvolume e pressione come si è visto con le leggi di Volta e di Gay-Lussac.

Lo zero della scala termometrica Kelvin, lo “zero assoluto” come siusa dire, è per tale ragione una temperatura teorica ed ideale che nonpuò in pratica essere mai raggiunta né tantomeno superata.

GAS PERFETTO

LEGGE DI STATO

Nell’ipotesi di validità del modello di gas perfetto, cioè per valori ditemperatura (per un gas reale) lontani dal punto di liquefazione, le tre leggidi Boyle, di Gay-Lussac e di Volta sono conglobabili in una sola legge chedescrive lo stato di un gas in ogni momento della sua evoluzione duranteun fenomeno.

Tale legge è detta legge di stato.

Questa legge o equazione di stato coinvolge le tre grandezze chedefiniscono lo stato di un sistema cioè:

La temperatura,Il volume,La pressione.

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pv nRT

Questa legge è rappresentata analiticamente dalla relazione:

che è detta EQUAZIONE DI STATO o EQUAZIONE CARATTERISTICADEI GAS PERFETTI.In essa:p è la pressione del gas,v il suo volume,n la quantità di gas in esame, espressa in numero di moli (n = m/M in cui mè la massa di gas in esame ed M è la massa atomica o molecolare),R = 8,31 J/°K x mole è una costante (perchè il gas è perfetto) dettacostante universale dei gas..

LEGGE DI STATO

Nel corso dello studio dell’aerodinamica e del funzionamento dei motori risultapiù conveniente utilizzare una forma dell’equazione di stato derivata da quellavista in precedenza. Vale a dire

EQUAZIONE DI STATOo

EQUAZIONE CARATTERISTICA DEI GAS PERFETTI

pv RT

Dove R dipende dal tipo di gas che si considera.Nel Sistema Internazionale per l’aria si ha che R=287 [J/KgK].Dalla relazione ora scritta è facile ricavare tutte le leggi dei gas ricavate inprecedenza.Per maggiore chiarezza si faccia riferimento alla pagina seguente.

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LE LEGGI DEI GAS

11 1

2 2

33 3

ISOCORART p Rv k p costk T k

ISOTERMAT k pv Rk costISOBARA

R v Rp k v T costk T k

TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE

Quando sono state presentate le leggi sui gas si sono descritte alcuneesperienze quali fornire calore oppure cambiare il volume.

Si è detto poi che pressione, volume e temperatura definiscono in modocompleto la condizione in cui permane il gas prima che ciascuna delleesperienze effettuate.

Pertanto esse sono state definite come grandezze di stato.

Tutte queste esperienze sono state effettuate tenendo di volta in volta costanteuna delle grandezze caratteristiche del gas.

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TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE

L’esperienza mostra che, alla fine dell’esperimento, le grandezzetermodinamiche non tenute costanti sono cambiate e le leggi trovate indicanoil modo di calcolare i nuovi valori che esse hanno assunto.

Il fatto che le grandezze termodinamiche sono cambiate indica che il sistemaha subito una trasformazione.

Una trasformazione termodinamica.

Quindi si può dire che un sistema termodinamico subisce una trasformazionetermodinamica tutte le volte che i valori delle sue grandezze termodinamichesubiscono una variazione e quale che sia la causa che provochi questavariazione.

TEMPERATURA E PRINCIPIO ZERO DELLA TERMODINAMICA

Dunque per descrivere i fenomeni termodinamici è necessario che sirenda quantitativo, e perciò misurabile, il criterio con cui sensorialmente sidistingue il diverso stato termico in cui un sistema può trovarsi(caldo, freddo, tiepido, ecc).

Come già ampiamente detto la grandezza fisica che descrive lo statotermico di un sistema (solido, liquido o gassoso) è la temperatura checostituisce quindi un indice numerico che può essere chiaramente definitoin modo operativo con la descrizione di un dispositivo atto a misurarlo.

Come ben si sa tale dispositivo è il termometro che usa delle proprietàdella materia collegate allo stato termico di un corpo e quindi alla suatemperatura.

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Con un tale strumento si può misurare la temperatura di ogni altrocorpo in base all’osservazione sperimentale che,

se due corpi aventi diverso stato termico e quindi diversatemperatura vengono messi a contatto, in assenza di reazionichimiche e di cambiamento di fase, cioè di stato diaggregazione, raggiungono dopo un certo intervallo di tempo unostato di equilibrio,

detto

equilibrio termodinamico.


Questa osservazione sperimentale viene enunciata nella forma:

se due corpi sono in equilibrio termico con un terzo corpo, essi sono in equilibrio termico tra loro

Questa formulazione spesso viene considerata come un principiodetto

Principio Zero della Termodinamica

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PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Come già detto in precedenza

la termodinamica si occupa degli scambi energetici tra un sistema e l’ambiente con cui esso può interagire, con particolare riguardo

alla trasformazione di lavoro in calore e di calore in lavoro.

Il principio di conservazione dell’energia limitato alle sole forme dienergia meccanica (potenziale e cinetica) non può essere verificatosperimentalmente, in quanto esso può essere considerato validosolo nelle condizioni ideali in cui non siano presenti forze di tipodissipativo (es. attrito).

Grave provocazione (che significa quanto ora detto?????)


Il fatto saliente confermato da osservazioni emisure sperimentali è che ogni qualvolta chel’energia meccanica di un sistema diminuisce o“scompare”, per la presenza di resistenze che sioppongono al moto o per altre cause si ha la“produzione” di una determinata quantità dicalore.

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Viceversa, sotto certe condizioni , se sifornisce ad un sistema una determinataquantità di calore, operando in modo che latemperatura rimanga costante, si osservache il sistema compie lavoro, o muta il suostato di aggregazione o interagisce medianteun processo energetico con l’ambienteesterno.


Sulla base di queste considerazioni si è stabilito che esiste un rapportocostante tra lavoro e calore

Ciò sta a significare che quando una determinata quantità di lavoro vieneconvertita integralmente in calore si sviluppa sempre la stessa quantità dicalore.

Questo rapporto detto equivalente meccanico del calore ed indicato conJ fu determinato da Joule e vale:

4.18 joule/caloria.

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La caloria è pari al calore necessario per innalzare la temperaturadi un grammo di acqua di 1°C.

In altre parole si può affermare che

se 4.18 joule di lavoro vengono convertiti in calore, questoceduto ad 1 grammo di acqua ne innalza la temperatura di 1°C.

Tutto ciò viene compendiato nella relazione analitica, detta principiodi equivalenza:

L JQ

o anche 0J Q L


Poiché J non dipende dalla trasformazione utilizzata per trasformare tuttoil lavoro L nel calore Q, il suo valore dipende solo dalle unità di misura eperciò ha le caratteristiche di una costante universale.

Se si esprimono lavoro e calore con le stesse unità di misura alloraJ = 1 e si ha:

0Q L e questo porta a considerare calore e lavoro come due forme diverse dellastessa grandezza fisica che è l’energia.

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Il principio di equivalenza tra calore e lavoro è uno dei capisaldi ditutta la fisica e consente di poter affermare che

…..il calore rappresenta una forma di energia in transitoattraverso il contorno di un sistema a causa di una differenza ditemperatura tra l’interno del contorno e l’ambientecircostante……


FACCIAMO IL PUNTO

Si è detto che la termodinamica studia le reciproche trasformazioni di calore inlavoro e viceversa.

Si è poi detto che lavoro e calore sono due facce della stessa medaglia vale a diresono due forme dell’energia.

Infatti si parlerà di energia sotto forma di calore e di energia sotto forma dilavoro meccanico.

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FACCIAMO IL PUNTO

Si tratteranno quindi i processi termodinamici che implicano le trasformazionidelle due forme di energia.

Quale che sia la/le trasformazione/i considerata/e l’energia complessiva delsistema deve restare costante.

Il primo Principio della termodinamica è il principio della conservazionedell’energia applicato ai sistemi termodinamici.

Dell’energia sotto forma di calore si è già detto.

Occorre ora valutare il lavoro che un sistema scambia con l’ambiente esterno nelcorso delle diverse trasformazioni termodinamiche.

LAVORO IN UNA TRASFORMAZIONE

In generale, quando in una trasformazione termodinamica aumenta ilvolume, il sistema compie lavoro sui corpi circostanti. Se invece ilvolume diminuisce, il sistema è sottoposto ad un lavoro esterno.

Si consideri, allora, un cilindromunito di un pistone mobile diarea S, nel quale sia contenuta unacerta quantità di gas e si suppongache inizialmente il pistone sia inequilibrio in modo che la pressioneinterna p sia uguale a quellaesterna.

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Mantenendo costante lapressione, si faccia aumentare latemperatura per cui, dovendoaumentare conseguentemente ilvolume, il pistone si sposta di untratto h tale che la variazione divolume è:

2 1v v v S h


La forza esercitata sul pistone èpari a pS ed è diretta nella stessadirezione dello spostamento percui il lavoro compiuto dal gasdurante l’espansione è:

L p S h p v

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L p S h p v

Nelle figure in cui sono rappresentategraficamente le relazioni che esprimonoil lavoro, questo è rappresentatodall’area compresa tra la linea cherappresenta la trasformazione, l’assedelle ascisse, sul quale sono riportati ivolumi, e le rette parallele all’asse delleordinate passanti per i punti cherappresentano gli stati iniziale e finaledella trasformazione.


Se il gas subisce una compressione, allora la differenza Δv tra il volumefinale e quello iniziale è negativa e quindi è negativo anche il relativolavoro.

In questo secondo caso sono le forze esterne che, esercitando una certapressione sul pistone mobile, compiono un lavoro sul gas.

Più in generale, se si trasferisce energia meccanica dall’esterno alsistema il lavoro è negativo.

Se è il sistema a trasferire energia meccanica all’ambiente il lavoro èpositivo.

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Se durante il processo la pressione nonrimane costante, si può suddividere latrasformazione in tanti piccoli intervalliin ognuno dei quali la pressione pi puòessere ritenuta costante e, dopo avercalcolato il lavoro Li per ogni singoloprocesso elementare, dato da:

i iiL p v si sommano i risultati ottenuti in modo che il lavoro totale Lrisulta:

ii iL pL v


dL = p S dh = p dvda cui:

Il lavoro dipende non solo dallo statoiniziale e da quello finale, ma ancheda quelli intermedi, cioè dipende daltipo di trasformazione seguita.

f

i

v

v

L dL p dv

Se si considera che la trasformazione avvenga con continuità, potendoimmaginare spostamenti infinitesimi dh del pistone e perciò variazioniinfinitesime dv del volume, si può scrivere:

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LAVORO NELLE DIVERSETRASFORMAZIONI

(ISOBARA)

p

Av Bv

B AL p v v Se la trasformazione va da A a B sitratta di una espansione.

Il sistema compie lavorosull’ambiente esterno (il sistemacede energia sotto forma di lavoro).

Se la trasformazione va da B ad A sitratta di una compressione.

L’ambiente esterno compie lavorosul sistema (il sistema riceve energiasotto forma di lavoro).

v

Area parial lavoroCompiuto durante latrasformazione

LAVORO NELLE DIVERSETRASFORMAZIONI

(ISOCORA)

p

v

Ap

Bp

Av

Il questa trasformazione non c’è variazione di volume ma cambia solo la pressione. Pertanto

0 0

B A B A

B A

L p p v v

v v v L

Se si sta considerando un cilindrocon un coperchio fisso, secondoquanto visto in precedenza anche sela pressione esercitata dal gas sulcoperchio varia il coperchio non sisposta. Non essendoci spostamentoil lavoro della forza di pressione sulcoperchio è nullo.

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LAVORO NELLE DIVERSE TRASFORMAZIONI(ISOTERMA)

0

ln ln

ln ln

B BB B

A AA AB B

B A

A BA A

p v R T k p d v v d pp d v v d p

v vd vL p d v k k R Tv v v

p pd pL v d p k k R Tp p p

Nel caso di trasformazionicicliche, cioè ditrasformazioni in cui lo statofinale coincide con quelloiniziale, il lavoro durante ilciclo è rappresentato, nelpiano (p,v), detto anchepiano di Clapeyron, dall’arearacchiusa dalla curva cherappresenta il ciclo stesso.


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Infatti, se A e B sono gli statidel ciclo, corrispondenti alvolume iniziale vA ed a quellofinale vB, il lavoro lungo latrasformazione ACB è positivoed è dato dall’area del poligonomistilineo di vertici ACBB’A’; inmaniera analoga, il lavorolungo la trasformazione BDA ènegativo ed è dato dall’area delpoligono mistilineo di verticiBDAA’B’.


Il lavoro totale è positivo onegativo a seconda il versodella trasformazione.

Esso è positivo, comeindicato in figura, se il versodi percorrenza del ciclo èquello orario, mentre ènegativo se il verso èantiorario.

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I PRINCIPI DELLA TERMODINAMICA

Il viaggio verso l’enunciazione e lo studio dei principi della termodinamica èconcluso.

Ora si hanno tutte le informazioni e le conoscenze per parlare di questi principi.

Vale a dire:

Il primo principio: Conservazione dell’Energia

Secondo principio: Entropia e fatti connessi.


Il Primo Principio della Termodinamica, nella definizione piùgenerale e quindi nell’espressione matematica che losintetizza, esprime tre aspetti fondamentali:

1. postula l’esistenza di un’altra grandezza di stato chiamataenergia interna;

2. conferma la definizione operativa del calore come forma dienergia in transito per effetto di una differenza di temperatura;

3. rappresenta una formulazione più generalizzata del principio diconservazione dell’energia.

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Prima di affrontare l’analisi e la definizione del primo principiodella termodinamica, però, è bene premettere alcune convenzionicomunemente adottate nello studio e nell’illustrazione deifenomeni termodinamici.

Esse servono per distinguere mediante segno algebrico il versodelle due forme di energia calore Q e lavoro L.

Alcune di esse sono già state discusse in precedenza.


Il calore Q è positivo onegativo a seconda che ilsistema assorba calore oceda calore all’ambienteesterno.

Il lavoro L è positivo onegativo a seconda che ilsistema compia lavoro osubisca lavoro dall’esterno.

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Ciò premesso, si consideri un processo non ciclico nel quale unsistema si trova alla fine della trasformazione da esso subita in unostato finale diverso da quello iniziale.

Ad esempio si potrebbe far compiere la trasformazione, dallo statoiniziale a quello finale, in parte fornendo calore ed in parte fornendolavoro

Ciò si può fare in molti modi diversi e con diversi valori di Q ed L.


da cui si deduce che, mentre Q ed L, separatamente, dipendono dallaparticolare trasformazione seguita, la differenza Q - L non dipende daessa ed dipende unicamente dello stato iniziale e di quello finale delsistema.

Quindi si può scrivere

Come dato sperimentale diretto si ricava:

1 1 2 2 n nQ - L = Q - L = . . . = Q - L


1 1 2 2 n n

Q - L = Q - L = . . . = Q - L = U

Ma cosa rappresenta U? e perché è stataindicata la sua variazione?

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Le risposte alle precedenti domande si possono trovareconsiderando la seguente esperienza.

Si prenda in esame un sistema costituito da un cilindro nel qualesia presente una certa quantità di gas.

Si riscaldi il gas all’interno del cilindro mantenendo costante ilvolume del sistema.

Come si sa la trasformazione subita dal gas è isocora e si ha unaumento sia della pressione sia della temperatura.

Inoltre poiché il volume è costante il sistema non scambia lavoromeccanico con l’ambiente circostante.

V=cost


V=cost

L’aumento della pressione è dovuto all’aumento degli urtidelle particelle sulle pareti del cilindro.

Tale aumento è dovuto alla maggiore velocità possedutadalle particelle.

Pertanto si può dire che l’energia sotto forma di calorefornita al gas si sia trasformata in energia cinetica delleparticelle.

Gli effetti macroscopici dell’aumento dell’energia cineticamicroscopica sono un aumento della temperatura ed uncorrispondente aumento del numero di urti sulle pareti delcilindro e quindi un aumento della pressione.

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V=cost

Si consideri l’espressione scritta in precedenza qui riportata nella sua forma generale.

0

Q L UperòLquindiQ U

Da quanto formalmente scritto qui di fianco eda quanto detto prima si deduce il significatodella grandezza termodinamica U.

Essa rappresenta l’energia interna possedutadal gas.

Pertanto il calore fornito al sistema si ètrasformato in energia interna (l’energiacinetica posseduta dalle particelle la cui misuramacroscopica è la temperatura).


V=cost

Riepilogando:

All’inizio dell’esperienza il gas è ad una certa temperaturavale a dire le sue particelle hanno una certa velocità, unacerta energia cinetica e quindi un certo livello di energiainterna U.

Viene somministrato calore al sistema imponendo che ilvolume resti costante, pertanto il sistema non scambiaenergia sotto forma di lavoro con l’ambiente esterno.

L’energia fornita sotto forma di calore fa aumentare l’energiacinetica delle particelle, l’energia interna aumenta ed anche latemperatura aumenta.

Questo spiega perché nella espressione precedente si èusato il simbolo della variazione accanto al simbolodell’energia interna.

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Riepilogando ed approfondendo:

Le forme microscopiche di energia sono direttamenteconnesse con certe proprietà delle particelle costituenti ilsistema, come ad esempio l’energia cinetica legata al motodi agitazione molecolare, o come l’energia potenziale legataalle forze di mutua interazione tra le stesse particelle, oancora l’energia di legame chimico che tiene insieme gliatomi per formare le molecole.

La somma delle forme microscopiche di energia costituiscequella che viene chiamata energia interna del sistema.

Va da se che tutta la trattazione considera il gas fermo nelcilindro o più in generale nello spazio delimitato dalle paretidel sistema. La massa complessiva del gas non si muovema si muovono le singole particelle.


Ponetevi le seguenti domende:

Che succede se invece di fornire calore al sistemalo si sottrae mantenendo ancora costante il volume?

Come variano pressione, temperatura ed energia interna?

In generale si può dire che il parametro termodinamico U (energia interna) dipende dalla temperatura?Perché?

Su questo si tornerà più avanti.

V=cost

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Si consideri ancora il sistema visto in precedenza.

Ancora ad esso venga fornita energia sotto forma dicalore Q.

Ora però una delle pareti del cilindro è mobile. Pertantol’ipotesi di trasformazione isocora (a volume costante)viene rimossa.

Il sistema può scambiare energia sotto forma di lavoro Lcon l’ambiente esterno.

L’espressione precedentemente vista si scrive ora

Q L U


Q L U

Nel caso in esame si può dire che l’energia sotto formadi calore fornita al sistema

parte si trasforma in energia sotto forma di lavoro cheil sistema compie sull’ambiente esterno perché ilvolume aumenta;

parte va ad aumentare l’energia cinetica delleparticelle, la temperatura del gas contenuto nel cilindroe quindi l’energia interna.

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Q L U Quanto visto nel corso dell’esperimento rende anche conto del fatto che ilprimo Principio della termodinamica altro non è se non il principio diconservazione dell’energia per i sistemi termodinamici.

Infatti la somma di tutte le energie in gioco è sempre la stessa nonpotendosi l’energia né crearsi nè distruggersi.

Qualunque sia la trasformazione termodinamica seguita dal sistema tuttal’energia che in esso viene immessa deve sempre essere uguale alla sommadi quella che il sistema restituisce all’ambiente esterno e di quella che ilsistema immagazzina dentro di se.

In definitiva si può affermare che nelle trasformazioni tipicamentetermodinamiche, come ad esempio i processi di riscaldamento o diraffreddamento, non c’è generalmente alcuna variazione dell’energiamacroscopica del sistema.

Nelle stesse trasformazioni varia l’energia a livello microscopico.

Pertanto si può dire che la variazione ΔU può essere consideratasolo come variazione dell’energia interna del sistema e si puòallora scrivere:

f i n a le in i z ia l eQ L U U U

Q L U da cui si ha:


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Q L U Energia che entra

Energia che esce

Energia che restanel Sistema

Nel caso in esame

Sulla base di quanto detto si può enunciare finalmente il PrimoPrincipio della Termodinamica:

QUALUNQUE SIA IL PROCESSO, LA COMPOSIZIONE CHIMICA ED IL MODODI SCAMBIARE CALORE E LAVORO TRA UN SISTEMA E L’AMBIENTE

ESTERNO, LA SOMMA ALGEBRICA DI CALORE Q E DI LAVORO L DIPENDEUNICAMENTE DAGLI STATI INIZIALE E FINALE DEL SISTEMA E NONDALLA PARTICOLARE TRASFORMAZIONE, ED È UGUALE ALLA RELATIVAVARIAZIONE POSITIVA O NEGATIVA DELL’ENERGIA INTERNA.

Pertanto come più volte ripetuto questo principio può essere consideratocome una estensione del principio di conservazione dell’energiameccanica a quei fenomeni nei quali il sistema presenta anche scambi dicalore con l’esterno.

ENUNCIATO DEL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

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ENERGIA INTERNA DI UN GAS PERFETTO

Il Primo Principio della termodinamica ha introdotto una nuova grandezzatermodinamica: l’Energia Interna U.

L’esperienza considerata ha mostrato come fra Energia Interna e Temperatura cisia un legame almeno dal punto di vista concettuale.

Si vuole ora trovare formalmente tale legame.

Per fare ciò si suppone che il gas considerato segua il modello del Gas Perfettorispettando tutte le ipotesi e le limitazione che sono alla base del modello.

L’ESPERIENZA DI JOULEPer dimostrare in modo rigoroso che l’Energia Interna U dipende solodalla temperatura si può utilizzare un esperimento fatto da Joule ecomunemente chiamato espansione senza lavoro esterno.

A tale scopo si consideri l’apparato qui di seguito indicato.

I due recipienti A e B sonocollegati fra loro tramite ilrubinetto R.

Le pareti di A e B consentonoil passaggio di energia sottoforma di calore sono cioèdiabatiche.


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L’ESPERIENZA DI JOULEI due recipienti sono posti in un termostato o in un calorimetro. Inoltreessi sono in condizioni di isolamento termico con l’ambiente esterno.

Nel recipiente A c’è una certa massa di gas che occupa il volume VA allapressione pA .

Nel recipiente B, il cui volume è VB , è stato fatto il vuoto.

Tutto il sistema è in equilibriotermico alla Temperatura Tindicata dal termometro.


L’ESPERIENZA DI JOULE

Aprendo il rubinetto R si fa espandere bruscamente il gas da A versoB fino a che la pressione raggiunge un nuovo valore di equilibrio p’.

Attraverso il termometro posto nel calorimetro, si può osservare che latemperatura rimane costante, il che significa che non ci sono scambitermici tra i due recipienti ed il liquido del calorimetro.

Alla fine dell’esperimento èvariata:

la pressione da p a p’<p

la distribuzione della massadel gas ed esso occupa unvolume finale vA+vB>vA.


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L’ESPERIENZA DI JOULE

Durante l’esperienza non è stato né fornito né sottratto calore, alloraQ=0.

La pressione è variata ma poiché le pareti dei due recipienti sono rigidenon è stato compiuto alcun lavoro, per cui è anche L=0.

Applicando il primo principio della termodinamica si ha ΔU=0 da cui

U2=U1

Da questa relazione si può trarre allora la conclusione che pur essendovariata la pressione ed il volume ma non la temperatura del gas, l’energiainterna non è variata.Pertanto essa deve necessariamente essere una funzione della solatemperatura, cioè deve essere:

( )U U T



Visto, allora che l’energia interna è funzione della sola temperatura eperciò solo dello stato del gas, per calcolare la sua variazione quando ilgas passa da uno stato ad un altro a diversa temperatura, si puòutilizzare una particolare trasformazione.

Infatti, il risultato a cui si perviene è sempre lo stesso, qualunque sia latrasformazione seguita per passare da uno stato termodinamico all’altro equindi conviene utilizzare la trasformazione più comoda e cioè quella avolume costante, nella quale, essendo Δv=0 è anche L=0.

Dalla relazione essendo L=0 si ha:Q L U

Q U

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Al fine di valutare il calore fornito durante la trasformazione occorreintrodurre il concetto di calore specifico.

Esso può essere definito come:

la quantità di calore necessaria per innalzare di 1 grado la temperatura diuna massa unitaria di gas.

Ovviamente la quantità di calore necessaria dipende dal tipo ditrasformazione che il gas sta subendo.

Così si potrà parlare di calore specifico a volume costante e calore specifico apressione costante.

Ovviamente non ha senso parlare di calore specifico a temperatura costante.


I due calori specifici vengono indicati nella seguente maniera:

v

p

c

c

Calore specifico a volume costante

Calore specifico a pressione costante

Vale la relazione

p vc c

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p vc cLa relazione precedente trova la sua giustificazione osservando che quando sisomministra calore ad un gas mantenendo costante la pressione il volumeaumenta e viene compiuto lavoro sull’ambiente esterno.

Pertanto una parte dell’energia sotto forma di calore va ad aumentare l’energiainterna e fa aumentare la temperatura del gas. Un’altra parte viene trasformata inenergia sotto forma di lavoro.

Ciò non avviene in una trasformazione a volume costante. Infatti in questo casonon viene fatto alcun lavoro e tutta l’energia sotto forma di calore va adaumentare l’energia interna e quindi la temperatura.


Si ritorni ora alla trasformazione a volume costante introdotta in precedenza.

Si è visto cheU Q

Per quanto detto a propositodel calore specifico si ha

( )v v finale inizialeQ mc T mc T T

Da cui v

finale iniziale v finale iniziale

U mc T

U U mc T T

Relazione che consente di calcolare la variazionedi energia interna di un gas perfetto in relazionead una assegnata variazione di temperatura.

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TRASFORMAZIONE ADIABATICA

In precedenza si sono considerate varie trasformazioni che un gas può subire.

Si vuole considerare ora un particolare tipo di trasformazione che si incontra moltospesso sia nello studio dei motori sia in altre discipline.

Si tratta della trasformazione adiabatica nel corso della il sistema considerato nonscambia energia sotto forma di calore con l’ambiente esterno.

Nei compressori e nelle turbine dei motori a getto le trasformazioni che subisconol’aria in un caso, la miscela di aria e gas combusti nell’altro possono essereschematizzate mediante trasformazioni adiabatiche.


Una trasformazione che avviene senza scambio di calore (Q=0) conl’esterno è detta trasformazione adiabatica.

In pratica si tratta di un processo durante il quale il sistema in esame ècostantemente isolato termicamente dall’ambiente esterno.

Applicando il primo principio della termodinamica a questo tipo ditrasformazione, essendo Q=0, si ha:

per cui, ricordando che è: L=pΔv e ΔU=mcvΔT si ha:

U L

vm c T p v

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Da questa relazione si evince che nel caso di unaespansione, essendo il sistema termicamente isolato, il lavoropositivo viene eseguito dal sistema a spese dell’energia interna cheperciò diminuisce, determinando anche una diminuzione ditemperatura.

Nel caso di una compressione, invece, il lavoro compiuto sulsistema, e perciò convenzionalmente negativo, andrà adincrementare l’energia interna del gas, con conseguente aumentodella temperatura.

vm c T p v


Il calcolo differenziale, applicato a questa trasformazione, consente dideterminarne l’equazione, detta equazione di Poisson (1):

1 1 2 2 = c o s tvp p v p v valida per qualunque quantità di gas in esame e qualunque siano i suoi stati iniziale e finale.Ricordando, poi, che pv=RT, e cioè p=nRT/v ed anche v=RT/p, si ha anche che è:

1 1

1 1 2 2

1 = c o s tT v T v T v

o anche: 1 1 1

1 1 2 2 = c o s tT p T p T p

1-Lo sviluppo completo è nell’appendice A alla fine di queste note relative allatermodinamica

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Nelle relazioni precedenti si ha che:

è il rapporto tra il calore specifico a pressione costante, cioè il calorenecessario per far aumentare di 1 grado la temperatura di una massaunitaria di gas durante una trasformazione a pressione costante

ed il calore specifico a volume costante, cioè il calore necessario perfar aumentare di 1 grado la temperatura di una massa unitaria di gasdurante una trasformazione a volume costante.

Inoltre per la costante del gas R prima vista si ha:

p

v

cc

p vR c c

Tale rapporto è sempre maggiore di 1 perché, come già visto, il calorespecifico a pressione costante è sempre maggiore di quello a volumecostante in quanto durante una trasformazione isobara si compie lavoroe quindi è necessario più calore per riscaldare la massa di gas.

Inoltre, tale rapporto per un dato gas varia con la temperatura e varia dagas a gas in relazione al numero di atomi contenuti nella molecola delgas esaminato.

In particolare per l’aria e per tutti i gas biatomici alla temperatura di 15 °C , si ha che è:

1 .4


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Quando sirappresentagraficamente unatrasformazioneadiabatica sul piano diClapeyron (p,v), acausa del fatto che γ èmaggiore di 1, lecurve debbono averein ogni punto unapendenza maggioredelle corrispondentiisoterme passanti perlo stesso punto.

adiabatica

isoterma


adiabatica

isoterma

Se si considera una curvaadiabatica, ottenuta peresempio con un processodi espansione che porta ilsistema dallo stato A allostato B, si può notare cheal diminuire dellapressione, diminuisceanche la temperaturaperché la curva intersecacontinuamente isoterme atemperature via via piùbasse.

Per leisotermeT cresce inquestadirezione

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IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA PER I SISTEMI APERTI –

L’ENTALPIA

Tutte le considerazioni svolte fino ad ora hanno riguardato sistemi formati da masse digas racchiuse in recipienti e quindi con moti macroscopici nulli o di scarsa entità.

Per lo studio dei motori risulta utile considerare masse di gas in movimento quindi dotatedi velocità non trascurabili.

In altre parole oltre al ben noto moto delle molecole a livello microscopico c’è un moto ditutta la massa di gas.

Il sistema non è più chiuso ma aperto.

Questo introduce nel discorso della conservazione dell’energia e quindi del primoprincipio della termodinamica una nuove aliquote di energia da considerare.


L’ENTALPIA

Si consideri un condotto in cui scorre un gas.

Questo tipo di moto può schematizzare il funzionamento di una presa d’aria.

Oppure il gas che fluisce nei canali mobili e fissi di una turbina o di un compressore.

massa mdi gas con velocità V

Compressore

Turbina

V

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L’ENTALPIA

massa mdi gas con velocità V

Si faccia l’ipotesi che le pareti siano impermeabili.Pertanto la massa di gas che entra nella sezione S1dovrà tutta uscire solo dalla sezione S2.

VS1 S2

Le pareti del condotto siano rigide ed adiabatiche.

Pertanto il gas non può scambiare energia sotto forma di calore ed energia sotto forma dilavoro con l’ambiente circostante.

L’energia che il gas possiede all’ingresso nel condotto (sezione S1) è uguale all’energia cheesso possiede all’uscita del condotto (sezione S2).

Si vuole vedere ora in dettaglio le varie aliquote di questa energia.

Facendo l’ipotesi che il gas abbia massa unitaria, va considerata l’energia cineticaassociata al moto del gas con velocitàV.


L’ENTALPIA

L’energia cinetica in questione è:2

2V

agitazionemolecolare

Le particelle costituenti il gas si muovono con una certa velocità, si attraggonoreciprocamenteed hanno ciascuna una energia potenziale.

Come visto in precedenza una misura dell’energia posseduta dal gas a livello microscopico e

comprendente tutte le energie in gioco è dalla dall’energia interna U.L’aliquota di energia per unità di massa sarà indicata con la stessa lettera ma in formato

minuscolou.

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L’ENTALPIA

2 1 3

la massa di fluido 2 spinge la massa 1 che a sua volta spinge la 3. L’energia scambiata è il lavoro di travasamento.

C’è poi il lavoro di travasamento.

Questo è un concetto tipico dei sistemi aperti.Esso rappresenta l’energia posseduta dal fluidoper il fatto che esso entra nel condotto quindispinge il fluido che lo precede e viene spintoda quello che lo segue. Queste ‘spinte’rappresentanoscambi di energia.

Il lavoro di travasamento è dato dal prodotto della pressione del fluido per il volume da essooccupato (in questo caso trattandosi del volume occupato dall’unità di massa si parla di

volume specifico. Quindi si ha pv.

L’entalpia statica è una misura dell’energia posseduta a livello microscopico essendo dovutasia all’agitazione molecolare (energia interna) sia al lavoro di travasamento.

Per unità di massa essa si esprime come h=u+pv


L’ENTALPIA

Tenendo conto che le’energia posseduta dal fluido mentre esso attraversa il condotto ècostante e tenendo conto di tutte le aliquote si ha:

2 2

2 2V Vu pv h cost

Energia interna

Lavoro di travasamento

Energia cinetica macroscopica

Entalpia statica

Questa è la formulazione del primoprincipio della termodinamica per i sistemiaperti

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OSSERVAZIONE

Più volte si è sottolineato che il concetto fondamentale su cui si basa ilprimo principio della termodinamica è quello della conservazionedell’energia.

Le varie forme di energia scambiate fra sistema ed ambiente sipossono trasformare l’una nell’altra in modo che l’energia totaledell’insieme sistema + ambiente rimanga costante.

Però questo primo principio non pone né stabilisce alcuna condizioneriguardo alla convertibilità delle varie forme di energia.

Ciò sta a significare che tutte le forme di energia sono equivalente aifini di possibili trasformazioni dirette ed inverse di una forma di energiain un’altra.

OSSERVAZIONE

L’esperienza mostra che:

alcune forme di energia, come ad esempio quella meccanica o quellaelettromagnetica, si possono trasformare senza alcuna limitazione inquella termica o sotto forma di calore. (esempi notevoli riguardanol’energia meccanica che si trasforma in calore a causa dell’attrito ol’energia elettrica che si trasforma in calore attraversando particolari tipidi conduttori)

le trasformazioni inverse sono invece soggette a precise e definitecondizioni fisiche.

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OSSERVAZIONE

Per esempio, se si aziona il sistema frenante di un’auto si arresta il suomoto e l’energia cinetica da essa posseduta si trasforma in calore perriscaldamento dei freni stessi.

Viceversa, per quanto possiamo fornire calore riscaldando i freni diun’auto, questa non si metterà mai in moto.

Quindi la natura fissa un senso privilegiato alle trasformazionienergetiche.

Se fosse possibile convertire incondizionatamente calore inlavoro, potremmo realizzare un dispositivo che, prelevando caloredall’ambiente, dalla crosta terrestre o dal mare , lo trasformi in lavoro.

OSSERVAZIONE

Poiché la quantità di calore posseduta dalla terra o dal marepraticamente infinita, si potrebbe realizzare un cosiddetto motoperpetuo di seconda specie.

Cioè si potrebbe realizzare un dispositivo, una macchina che senzacontravvenire ad alcuna legge di conservazione, trasformerebbeindefinitamente nel tempo e senza alcuna spesa di produzione, calorein energia meccanica o elettromagnetica utilizzando una sola sorgentead una generica temperatura.

L’esperienza indica che ciò non è possibile o meglio nessuno è ancorariuscito nell’impresa.

Su questa questione si torneràpiù avanti.

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OSSERVAZIONE

In definitiva l’energia meccanica e/o elettromagnetica può essereintegralmente trasformata in calore.

Non vale il viceversa.

Ai fini delle trasformazioni energetiche, il calore è una specie di energia di“serie b” e questa limitazione trova la sua giustificazione nel fatto che intutti i fenomeni di trasformazione energetica il calore si estrinsecasempre come una forma di “energia degradata” tanto menoutilizzabile quanto minore è la temperatura media alla quale esso èdisponibile.

Avendo a disposizione una certa quantità di energia sotto forma dicalore solo una parte di essa si trasforma in lavoro, in certe condizionie circostanze mediante l’impiego delle cosiddette macchine termiche.

La parte rimanente si degrada in quanto, durante la trasformazione, èstata portata ad una temperatura più bassa.

Se si vuole continuare ad utilizzare questa energia termicaresidua, bisogna portarla in stati termici sempre più bassi, fino a che adun certo punto questa forma di energia è talmente degradata che nonpuò essere tecnicamente più sfruttata.

OSSERVAZIONE

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Il Secondo Principio della Termodinamica affronta e spiega ledifferenze di ‘qualità’ fra le varie forme di energia.

Esso introduce una nuova grandezza termodinamica di stato (cioè in grado di definire lo stato di un sistema):

l’ENTROPIA.

IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

L’ENTROPIA

Il Secondo Principio della termodinamica può essere chiarito ricorrendo avari enunciati, ognuno dei quali ne mette in risalto un aspetto particolare.

Per questo motivo conviene affrontarne lo studio da alcuni particolari puntidi vista che ne mettono in evidenza principalmente:

l’aspetto pratico del principio stesso;

la direzione spontanea secondo cui si evolvono i processi naturali;

l’irreversibilità dei fenomeni reali.


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L’ENTROPIASi riprenda in esame il concetto di verso delle trasformazioni termodinamiche e si facciariferimento alle figure seguenti. Le pareti del sistema sono rigide, adiabatiche edimpermeabili.

GAS VUOTO GAS

Il passaggio dallo stato iniziale a quello finale è agevole ed èpratica corrente. Infatti rimosso il setto che divide ilserbatoio con il gas dal recipiente vuoto il gas espande edoccupa tutto il volume disponibile.

Stato iniziale Stato finale

Setto divisorio

Pareti rigide, adiabatiche edImpermeabili.

1m 2m

1U 2U


L’ENTROPIA

Per le ipotesi fatte sulle pareti del sistema non c’è scambio di massa con l’esterno inoltrenon c’è scambio di energia sotto forma di calore e di lavoro. Pertanto

1 2

1 2

0m mL QU U

Conservazione della massa

Conservazione dell’energia

Il primo principio della termodinamica è rispettato.

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IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICAL’ENTROPIA

Consideriamo ora il processo inverso per lo stesso sistema con le stesse ipotesi.

GAS VUOTOSetto divisorio

GAS

Stato iniziale (1) Stato finale (2)

1m

1U

2m

2U

Per le ipotesi fatte sulle pareti del sistema non c’è scambio di massa con l’esterno inoltrenon c’è scambio di energia sotto forma di calore e di lavoro. Pertanto

1 2

1 2

0m mL QU U

Conservazione della massa

Conservazione dell’energia

Il primo principio della termodinamica è rispettato.


L’ENTROPIA

L’esperienza dice che il processo inverso non è possibile. In sintesi

Possibile realizzabile

Impossibile irrealizzabile

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L’ENTROPIA

L’esperienza mostra che dopo che il gas ha occupato tutto il volume disponibile non èpossibile tornare indietro e portare il gas nel volume iniziale senza alcun problema.

Eppure in tutti e due casi il primo principio della termodinamica è rispettato come pure ilprincipio della conservazione della massa.

L’esperienza dice che il processo può avvenire in una sola direzione.

Su questo il primo principio della termodinamica non dice alcunché.


L’ENTROPIA

Va poi notato che un gas occupa sempre tutto il volume che ha a disposizione e che in talevolume la posizione delle molecole del gas è estremamente casuale dato la loro agitazioneed il loro movimento caotico.

Mettendo a disposizione del gas un volume maggiore (come accade nel primo caso) lacasualità della posizione delle molecole il gas aumenta diventa meno ‘organizzato’ piùcaotico.

Prima dell’apertura del setto, poiché il volume a disposizione delle molecole era minore, ilgas era più ‘organizzato’ la posizione delle molecole meno incerta anche se casuale.

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L’ENTROPIASi consideri ora una nuova esperienza. In un recipiente le cui pareti sonoimpermeabili, rigide adiabatiche vengono posti due blocchi di diverso materiale, di massadiversa ed a differente temperatura.

I due blocchi siano separati da un setto che impedisca il loro contatto

maggiore

AT minore

BT

BT

AT

Se si consente ai due blocchidi venire in contatto c’è unflusso di calore dal bloccopiù caldo a quello piùfreddo.

Dopo un certo periodotransitorio i due blocchiassumono la stessatemperatura.


L’ENTROPIA

maggiore

AT minore

BT

BT

AT

Si consideri ora la trasformazione inversa.Si pensi cioè di riportare i due blocchi alla situazione di partenza in cui uno abbia unatemperatura maggiore dell’altro.L’esperienza mostra che una trasformazione del genere non è possibile e non si puòrealizzare con la stessa facilità e ‘naturalezza’ con cui si è verificata quellaprecedentemente descritta.Anche in questo caso si vede come il processo abbia una sua direzione non invertibile.

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L’ENTROPIALa direzione di cui si parla sembra essere legata al disordine, alla casualità ed allaincertezza tipiche della scala microscopica del sistema.

Il sistema è inabile ad autoorganizzarsi.

L’esempio dei due blocchi dimostra che lo stato organizzato e strutturato dei due blocchiseparati, sia per quello ad alta temperatura sia per quello a temperatura più bassa, tendeverso uno stato più disorganizzato o meno strutturato caratterizzato da una temperaturaunica più bassa.

Il secondo principio della termodinamica descrive la direzionalità di un processo medianteuna proprietà del sistema che possa a livello macroscopico dar conto del disordine, dellacasualità e della incertezza a livello microscopico.

Questa proprietà del sistema è chiamata entropia.

L’esperienza indica che l’entropia di un sistema isolato durante una qualunquetrasformazione di quest’ultimo deve crescere o tuttalpiù restare costante.


L’ENTROPIA

Indicando con la lettera S l’entropia il precedente principio si esprime formalmente:

0

0

sistema isolato

finale iniziale

dS

oppure

S S

Questa formulazione detta anche dell’aumentodell’entropia è dovuta a Clausius.Questi cercava di trovare una diversa formulazione delprincipio della conservazione dell’energia.Tuttavia nella sua ricerca egli rifletté su due esempi diirreversibilità dei processi in cui sia coinvolta l’energia sottoforma di calore.Vale a dire:

Il calore sembra passare in modo naturale da un corpo più caldo ad un corpo più freddo emai dal freddo al caldo. Dunque lo scambio termico avviene sempre in manierairreversibile.Inoltre l’attrito converte il lavoro meccanico in calore ma in natura pare non ci sia unprocesso comparabile che trasformi tutto il calore disponibile in lavoro meccanico.

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L’ENTROPIAClausius individuò in queste due classi di fenomeni spontanei due tipi di cambiamento:

Il cambiamento di temperatura (energia sotto forma di calore che passa dal caldo alfreddo)Cambiamento di energia (energia meccanica che si trasforma in energia sotto forma dicalore)

Egli suppose che questi due tipi di cambiamento dovessero avere la stessa natura.

Essi dovevano essere due aspetti diversi dello stesso fenomeno: la variazione di entropia nelsenso che:

Tutte le trasformazioni naturali che avvengono spontaneamente devono essereaccompagnate da un aumento di entropia.


L’ENTROPIA

Clausius stabilì anche un modo di quantificare la variazione di entropiatenendo presente la temperatura che caratterizza il calore che intervienenella trasformazionePertanto:

0dQdST

Enunciato di Clausius del secondo principio della termodinamica

La relazione precedente sarà chiarita dalle considerazioni che seguono

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L’ENTROPIA

Da quanto detto in precedenza si evince che esistono due tipi di trasformazioni:

Le trasformazioni reversibiliLe trasformazioni irreversibili

Generalmente:Le trasformazioni reversibili sono tutti quei processi realizzati mediante unasuccessione di infiniti stati di equilibrio, tali che ogni stato differisca dalprecedente o dal seguente per variazioni infinitesime dei valori dei parametritermodinamici.

Praticamente, le trasformazioni reversibili sono trasformazioni che, una volta che ilsistema sia stato riportato nello stato iniziale, non lasciano traccia o cambiamentinell’ambiente.

Già da quanto detto appare la idealità della cosa.


L’ENTROPIA

In contrapposizione tutte le altre trasformazioni sono dette trasformazioniirreversibili, nel senso che nessuna combinazione di processi può mai annullarei loro effetti e quindi esse lasciano una traccia non cancellabile in natura. (Che sitratti dell’aumento dell’entropia e della predisposizione naturale delletrasformazioni verso un maggior disordine ad una maggiore incertezza ed ad unamaggiore casualità?)

In altre parole, una volta operata una modificazione nel sistema, questo non puòessere riportato nelle condizioni iniziali senza produrre qualche mutamento fisicooperativamente definibile e misurabile nel sistema stesso o nell’ambiente esternoche ha interagito con esso.

In buona sostanza,

le trasformazioni reversibili,introdotte come comodo e ingegnoso artificio per studiare la termodinamica deisistemi,rappresentano un processo ideale anche se concettualmente possibile.

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L’ENTROPIA

Da un punto di vista pratico i processi reversibili come si vedrà sono piùvantaggiosi di quelli irreversibili e le trasformazioni reversibili rappresentano unlimite al quale dovrebbero tendere le trasformazioni reali di calore in lavoro perrealizzare le condizioni ottimali.

Detto ciò è interessante vedere se si riesce a trovare una grandezza fisicamediante la quale valutare il grado di irreversibilità di una trasformazionereale caratterizzata da uno scambio energetico.

Si vuole trovare una grandezza, correlata con il calore perduto o con il lavoroottenuto durante una trasformazione, che ci possa fornire una misura di quantouna trasformazione irreversibile si allontani dalle condizioni ideali di uncorrispondente processo reversibile.

Nelle trasformazioni di calore in lavoro bisogna sempre tener conto del fatto che ilcalore ha una specie di quotazione in valore connessa con la temperatura a cuisi trova.Pertanto è più facile trasformare calore in lavoro quando esso si trova ad altatemperatura che non quando si trova a bassa temperatura.


L’ENTROPIA

Queste considerazioni portano a dire che per definire la grandezzacapace di misurare il grado di irreversibilità del processo in esame:

Non si può fare riferimento solo al calore Q perché il lavoro ottenibile oil lavoro perduto rispetto ad un processo reversibile non può dipenderesolo dalla quantità di calore coinvolta nella trasformazione.

In qualche modo deve comparire la temperatura a cui il calore èdisponibile

Pertanto conviene adoperare una combinazione di calore Q etemperatura T, per esempio il rapporto Q/T in cui T è la temperatura chequalifica la quantità di calore Q scambiata nel processo.

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L’ENTROPIA

Da un punto di vista operativo si può dire che ogni trasformazioneriguardante, direttamente o indirettamente, l’energia termica lascia sempre unatraccia tanto più marcata quanto più il processo in esame si discosta dallo stessoprocesso idealizzato con una successione di trasformazioni reversibili.

Tale traccia è connessa col rapporto Q/T.

L’entropia misura il lavoro sprecato in un processo reale rispetto a quelloteoricamente ottenibile con un corrispondente processo reversibile. Essa crescedopo ogni processo reale.

L’entropia è generalmente indicata con il simbolo S e fisicamente è rappresentatadal rapporto Q/T tra il calore Q scambiato da un sistema durante unatrasformazione termodinamica e la temperatura T alla quale avviene lo scambio.

E’ esattamente quello che intendeva Clausius

IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICAI MOTI PERPETUI

In precedenza si è accennato al moto perpetuo di seconda specie ed alla impossibilità direalizzare una macchina che, senza contravvenire ad alcuna legge diconservazione, trasformi indefinitamente nel tempo calore in energia meccanica oelettromagnetica utilizzando una sola sorgente ad una generica temperatura.

Per concludere queste note si ritiene opportuno spendere alcune parole sul motoperpetuo di seconda specie e sulla sua connessione con il secondo principio dellatermodinamica.

Per quel che concerne il moto perpetuo di prima specie l’impossibilità realizzativasta nel fatto che esso viola palesemente il principio di conservazione dell’energia.

Infatti in tutti i moti c’è dissipazione di energia a causa dell’attrito. Nel moto perpetuodi prima specie tutta l’energia dissipata dovrebbe essere creata dal nulla.

L’esempio classico è un motore elettrico che mette in moto un generatore elettricoche a sua volta muove il generatore elettrico indefinitamente. Ovviamente ciò non èpossibile

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LE MACCHINE TERMICHE

Ora si torni al moto perpetuo di seconda specie.

Per comprendere meglio tutta la questione occorre introdurre il concetto di macchinatermica.

Una macchina termica è un dispositivo capace di trasformare in lavoro in modocontinuativo il calore assorbito da una sorgente.

Nella tecnica la trasformazione di energia termica in energia meccanica vieneeffettuata adoperando soprattutto i fluidi.

Infatti riscaldando un fluido esso si espande compiendo così un lavoro versol’esterno a spese del calore sottratto alla sorgente.



E’ chiaro che per ottenere un processo continuativo è necessario ricorrere ad undispositivo che possa periodicamente ritornare nelle stesse condizioni di partenza.

Cioè che lavori mediante una successione di operazioni cicliche. Questo perchéun sistema complesso formato di materiaoperante, meccanismi, accessori, ecc., non può modificarsi all’infinito in unostesso senso.

In pratica, per riportare il sistema nelle condizioni iniziali basta comprimere il fluidosottraendo il calore di compressione mediante contatto diretto con una sorgente atemperatura minore della prima.

Questa seconda sorgente, che di solito è costituita dall’ambiente esterno, vienecomunemente chiamata refrigerante.

Quindi per funzionare, una macchina termica deve lavorare con almeno due sorgenti dicalore. Infatti preleva calore dalla sorgente a temperatura maggiore (caldaia), mentre allasorgente a temperatura minore (refrigerante) cede la quantità di calore non trasformatain lavoro.

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Perciò usufruendo di due sorgenti a temperatura diversa, mediante un processociclico che consenta il trasferimento di una parte del calore da quella a temperaturapiù elevata a quella a temperatura più bassa, si può “produrre” energia e compierelavoro nel senso meccanico della parola.

Inoltre, poiché come si è già visto per ogni ciclo la variazione di energia interna ènulla, cioè è ΔU=0, dall’espressione del primo principio della termodinamica si ha:

ΣQ rappresenta la somma algebrica delle quantità di calore scambiate dal sistematermodinamico con le sorgenti.In particolare, se per ogni ciclo indichiamo con Q2 il calore sottratto dal fluido allasorgente a temperatura maggiore T2 e con Q1 il calore ceduto al refrigerante atemperatura minore T1, solo la differenza Q2- Q1 si trasformerà in lavoro utile.

Q L



La relazione precedente potrà allora essere scritta come:

da cui si evince allora che non tutto il calore che viene sottratto alla sorgente atemperatura più elevata si trasforma in lavoro ma solo una parte. La rimanentecome spesso e comunemente si dice viene dissipata.

Ancora una volta si ritrova il fatto che il calore rappresenta una forma dienergia di serie ‘b’.

Finora nessuno è mai riuscito a produrre con continuità energia meccanica dalsolo raffreddamento di un sistema, cioè nessuno è mai riuscito a costruire unamacchina reale che possa trasformare in lavoro il calore sottratto ad una solasorgente senza cederne una quantità finita ad un’altra a temperatura piùbassa.

L’impossibilità di realizzare una siffatta macchina esprime praticamentel’impossibilità del moto perpetuo di seconda specie.

2 1Q Q L

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Sulla base di quanto detto si perviene all’enunciato del secondo principio dellatermodinamica dato da Lord Kelvin:

È IMPOSSIBILE REALIZZARE UNA TRASFORMAZIONE ILCUI RISULTATO FINALE SIA SOLAMENTE QUELLO DICONVERTIRE IN ENERGIA MECCANICA OELETTROMAGNETICA IL CALORE PRELEVATO DA UNASOLA SORGENTE.


Oltre alla formulazione vista in precedenza, Clausius ha dato un altro enunciato delsecondo principio della termodinamica.

Anche questo si riferisce alle macchine termiche.

Clausius afferma che

È impossibile realizzare una trasformazione il cui unicorisultato sia quello di trasferire calore da un corpo atemperatura più bassa ad un corpo a temperatura piùalta.

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LE MACCHINE TERMICHERIEPILOGO

Lord Kelvin: È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello diconvertire in lavoro tutto il calore assorbito da una sola sorgente.

T2

macchinatermica L=Q

Q MACCHINA IRREALIZZABILE

MACCHINA

REALIZZABILE

T2

macchinatermica

T1<T2

L=Q2-Q1

Q2

Q1

IL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICALE MACCHINE TERMICHE - RIEPILOGO

Clausius: È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello ditrasferire calore da un corpo ad un altro avente una temperatura maggiore o uguale aquella del primo.

MACCHINA IRREALIZZABILE!

T2

macchinatermica

T1<T2

Q

Q

MACCHINA REALIZZABILE!

T2

macchinatermica

T1<T2

Q2=Q1+L

Q1

L

Un passaggio di calore da un corpo più freddo ad uno più caldo può essere realizzato mediante unamacchina solamente a spese di un lavoro fornito dall’ambiente esterno (come nel caso delfrigorifero, che assorbe energia elettrica).

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APPENDICE AEQUAZIONE DI POISSON O DELLA TRASFORMAZIONE ADIABATICA

Dal Primo principio della termodinamica applicato ad una trasformazione adiabatica:

_ _

v

Q Lin forma differenziale

dQ pdv c dT pdv

Dalla equazione di

stato

pv RTdifferenziando

p vpdv vdp RdT dT dv dpR R

1

v v

v v

c cpdv vdp pdvR R

c cpdv vdpR R

Tenendo conto delle relazioni per i calori specifici si ha

11

11

v v

p v

v

c cR c c

cR

APPENDICE AEQUAZIONE DI POISSON O DELLA TRASFORMAZIONE ADIABATICA

Pertanto

11 1

dp dvp v

dp dvp v

Integrandoln lnln ln

p v cstp v cst

Da cui

ln p cst pv cstv

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La meccanica dei fluidi è il ramo della fisica che studia le proprietà dei fluidi ed i fenomeni in cui essi sono coinvolti.

La meccanica dei fluidi si comprende:

l’idrostatica o statica dei fluidi o fluido statica

la dinamica dei fluidi o fluidodinamica (che comprende l’aerodinamica, lagasdinamica, l’idrodinamica e l’oleodinamica) che si occupa dei fluidi inmovimento.

In queste note verranno definite le principali leggi che regolano i fenomenilegati alla idrostatica ed alla fluidodinamica.

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STATI DELLA MATERIATanto per ripetersi la materia si può presentare in tre diversi stati diaggregazione:

Solidi

Liquidi

gas e vapori

I corpi solidi tendono ad essere rigidi e a mantenere la propria forma. Infattisi dice che essi hanno forma e volume propri.

I liquidi hanno volume proprio ma tendono a prendere la forma delrecipiente che li contiene.

I gas non hanno né forma né volume proprio e tendono ad occupare tutto ilvolume a loro disposizione.

I fluidi tendono a deformarsi scorrendo (il temine fluido infatti deriva dallatino "fluere" = scorrere ).

I fluidi comprendono liquidi, vapori e gas

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Oltre a quanto già detto solidi e fluidi (liquidi e gas) si comportano in modo diversiquando vengono sottoposti all’azione di forze.

I fluidi cambiano forma sotto l’azione di forze tangenziali o parallele alla superficiedi scorrimento anche molto piccole.

I solidi invece per sottostare allo stesso tipo di deformazione devono esseresoggetti a forze tangenziali piuttosto elevate.

Questo comportamento diverso dipende dalla differente struttura molecolare deisolidi e dei fluidi.

Nei solidi la distanza fra le molecole è molto piccola per cui le forze di attrazionemolecolare o di coesione sono piuttosto forti.

Ciò fa si che se sottoposti all’azione di una forza esterna moderata il solido sideforma. Però questa deformazione scompare rimuovendo la forza applicata

STATI DELLA MATERIA

STATI DELLA MATERIA

Nei liquidi ed ancora di più nei gas le forze di coesione molecolare sono piuttostodeboli.

Le particelle hanno una ampia libertà di movimento che consente loro dicambiare continuamente la loro posizione relativa.

Si consideri un fluido in quiete.

La sua massa si può pensare costituita da strati sovrapposti.

Questi strati possono esercitare fra loro solo sforzi normali.

La presenza di sforzi tangenziali implicherebbe uno slittamento dei vari strati.

Quindi ci sarebbe movimento e ciò contrasterebbe con l’ipotesi fatta di fluido inquiete.

Pertanto nei fluidi esistono sforzi tangenziali solo quando c’è moto relativo di unostrato sull’altro.

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CHIARIMENTI SUGLI SFORZI

Gli Sforzi

In precedenza si è parlato genericamente di sforzi, azioni ecc. Perchiarezza si ritiene di dare maggiori informazioni su questo concettofondamentale in tutte le scienze ingegneristiche legate agli aeromobili enon solo.

Un corpo solido può trovarsi in equilibrio statico pur essendo sottopostoa forze : in tal caso queste ultime tendono a deformarlo.

Il rapporto tra l'intensità F della forza applicata e l'area A del corpo sullaquale detta forza agisce uniformemente è chiamato sforzo:

AFS

Supponendo che il solido sia vincolato in modo chel'applicazione di una forza non ne modifichi lo statodi quiete, a seconda della direzione della forzarispetto alla superficie di applicazione si hanno varitipi di sforzi:

I VARI TIPI DI SFORZO

Sforzo di trazione:

si ha quando la forza vieneapplicata perpendicolarmente eduniformemente ad una superficiedel corpo, in modo da tendere adallungarlo.

Sforzo di compressione:

è come nel casoprecedente, solo che ladirezione della forza è tale datendere ad accorciare il corpo.

Gli sforzi di trazione ecompressione, deformando ilcorpo nella direzione in cuivengono applicati, produconovariazioni relative dellalunghezza che si definisconodeformazioni:

LLNEDEFORMAZIO

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I VARI TIPI DI SFORZO

Sforzo di taglio:

si ha quando una forza è applicatatangenzialmente ad una superficiedel corpo. L'effetto di questo tipo disforzo è chiamato deformazione discorrimento.

Nei fluidi gli sforzi normali dannoorigine alle pressioni.

Gli sforzi tangenziali sonoresponsabili dei movimenti reciprocidei diversi strati in cui si può pensaredivisa la massa di fluido.

Pertanto si può dare un’altradefinizione di fluido: esso è unmezzo continuo nel quale, inequilibrio, gli sforzi siano semprenormali alle rispettivesuperfici, ovvero un mezzo che nonpossa sopportare sforzi di tagliosenza deformarsi per scorrimento.

Questi sforzi intervengono in maniera essenziale nello studio della viscosità edei suoi effetti.

IL FLUIDO CONTINUO

In precedenza si è utilizzata la locuzione mezzo continuo nella definizione difluido.

Si è detto che i fluidi sono caratterizzati da forze di coesione molto basse e che leparticelle che li costituiscono possono cambiare con facilità la loro posizionerelativa.

Pertanto pensando ad un fluido è lecito pensare a particelle separate fra di loro daun certo spazio.

In altre parole si può paragonare un fluido allo spazio in cui i corpi celesti sonoseparati dal vuoto siderale (fatte salve le relative proporzioni).

In questo modo è difficile definire le proprietà di un fluido punto per punto.

Giova a questo punto l’ipotesi del fluido continuo.

Secondo tale ipotesi un fluido è costituito da particelle senza la presenza di spazivuoti.

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IL FLUIDO CONTINUO

E’ chiaro che l’ipotesi del continuo presa a sé e ben lungi da essere realistica inquanto è ben noto che la materia è discontinua.

Se però si considera un volume di spazio la cui lunghezza caratteristica minoresia molto più grande del cammino libero medio molecolare, è lecito utilizzaretale ipotesi.

In altri termini il fluido continuo può essere immaginato come un mezzo nel qualeun volume piccolissimo contiene un numero di molecole talmente grande che sipossa supporre la materia distribuita con continuità.

Per la chiarezza:si definisce cammino libero medio molecolare lo spazio che una molecolamediamente percorre prima di entrare in collisione con un’altra molecola.

LE PROPRIETA’ DEI FLUIDI

Una prima proprietàimportante di unasostanza è la suadensità assoluta opiù semplicementedensità r, definitacome il rapporto trala sua massa e il suovolume:

Vm

r

Per un fluido omogeneo la densitàpuò dipendere da fattori quali pressionee temperatura:

•per i liquidi la densità varia molto pocoal variare di temperatura epressione, quindi anche per ampievariazioni di queste ultime la possiamoconsiderare costante. Si dice che iliquidi sono incomprimibili;

•per i gas la densità dipendesensibilmente da pressione etemperatura, ed è quindi necessarioprecisare questi parametri quando siparla di densità di un gas.

La densità si misura in Kg/m³ o ing/cm³, con la conversione: 1 g/cm³ =1 · 10³ kg/m³.

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Come detto i liquidi sono incomprimibili.

In realtà variando pressione e temperatura anche la comprimibilitàdi un liquido subisce un cambiamento, sebbene così piccolo dapotersi trascurare in prima approssimazione.

Il coefficiente di dilatazione ( di volume V ) di un liquido è b(misurato in °C-1) :

Come si vedrà più avanti anche i gas possono essere consideratiincomprimibili sotto particolari condizioni.

TV

V

b1


Direttamente dipendente dalla densità è il peso specifico, definito come ilrapporto tra il peso di un corpo ed il suo volume. Esso non è altro che r gdove g è l’accelerazione di gravità:

L'unità di misura del peso specifico è il N/m³ quando la densità è misurata in kg/m³.

Vgm

VPg

r


La densità relativa di una sostanza è il rapporto tra la densità assolutadella sostanza in questione e quella dell'acqua.

La densità relativa è una grandezza adimensionale. Un corpo con densitàrelativa minore dell'unità galleggerà, mentre uno con densità relativamaggiore dell'unità affonderà.

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LA PRESSIONE NEI FLUIDI

Definiamo la pressione come:

o, in simboli:

superficielareperpendico forza intensitàpressione

SFp

Superficie S

VARIAZIONI DI PRESSIONE NEI FLUIDI

Se un fluido è in equilibrio lo è pure in ogni sua parte.

Le leggi che regolano le variazioni di pressione nei fluidi sono diverse aseconda che questi ultimi si trovino allo stato liquido o gassoso, inquanto in generale le caratteristiche di comprimibilità sono diverse aseconda dello stato in cui si trova la materia fluida.

VARIAZIONI DI PRESSIONE NEI LIQUIDI

Considerando la densità r costante, la pressione in un punto all'interno diun volume di liquido si calcola attraverso la legge di Stevino.

Invece il principio di Pascal ci dice come si trasmettono variazioni dipressione attraverso il fluido stesso.

Queste sono le leggi dell’idrostatica.

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LA LEGGE DI STEVINO

Prendiamo una colonna di liquido disezione di area A ed altezza h (larisultante delle forze sul pianoorizzontale sarà nulla in quanto lacolonna considerata si suppone nonavere accelerazione in sensoorizzontale). La massa di tale colonnaliquida è:

Il suo peso è:

hAVm rr

P m g g A h

A

h

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LA LEGGE DI STEVINO

Alla base della colonna la pressione sarà maggiore di quella alla sommità, perchéoltre alla forza di pressione sarà presente il peso della colonna. Indicando con p lapressione sul fondo, la forza verso l'alto esercitata dalla superficie inferiore perbilanciare la forza esercitata dalla parte superiore sarà (dalla definizione, per imoduli si ha F = p · A ):

ghAApPApAp r 00

Ovvero:

Il risultato è appunto che la pressione aumenta linearmente con laprofondità e ad una profondità h essa è aumentata di una quantità

rispetto alla pressione po della quota di riferimento da cui è misuratala profondità h. Questo risultato è noto come Legge di Stevino.

Questa legge può essere applicata anche all’aria per valutare comela pressione varia con la quota.

hgpp r 0

hg r

LA LEGGE DI STEVINO

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“ una pressione esercitata in un punto di una massafluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte ledirezioni con la stessa intensità (su superficiuguali).”

IL PRINCIPIO DI PASCAL

Questo principio che ha una ampia applicazione pratica può esserespiegato utilizzando la legge di Stevino che dice

la pressione p in un punto P a profondità h dalla superficielibera del liquido è :

Poiché i liquidi sono praticamente incomprimibili, aumentando lapressione po di una quantità p0, la densità r nella precedenteequazione rimarrà costante e di conseguenza in P avremo un nuovovalore di pressione p' :

hgpp r 0

hgppp r 00'


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La variazione di pressione avvenuta nel punto P dopo ilcambiamento della pressione alla quota di riferimento è:

Quindi anche nel punto P la pressione è aumentata di un valore ppari a p0 e da ciò si deduce che:

La variazione di pressione si è trasmessa ad ogni parte delfluido ed in ogni direzione (quindi anche alle pareti delrecipiente), confermando quanto enunciato dal principio.

0000' phgphgppppp rr


Elevatore idraulico:

secondo il principio di Pascal la pressione si trasmette invariata in tutte ledirezioni su superfici di area uguale all'interno di un fluido.

In un sistema di recipienti comunicanti tra loro come quello in figura èpossibile sfruttare il principio per ottenere forze di intensità diversa da quellaapplicata ad una delle due superfici del liquido.

APPLICAZIONI DEL PRINCIPIO DI PASCAL

2 1 22 1

2 1 1

F F SF FS S S

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Freni idraulici:

Si tratta sempre di unaapplicazione del principio diPascal; la pressione delpiede sul pedale si trasmetteattraverso l'olio dei freni alleganasce e da queste altamburo.


Olio sotto pressione

Olio di riserva

Comandi

Alettone


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…..un corpo immerso in un fluido inequilibrio subisce una spinta diretta dalbasso verso l'alto di intensità pari al pesodel volume del fluido spostato…..

IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

Si è fatta l’ipotesi che il fluido sia in equilibrio e quindi la forza diArchimede non solo è diretta verso l'alto ma deve passare per il centrodi massa della porzione di fluido spostato.

Quest'ultimo punto è detto centro di spinta e non coincidenecessariamente con il centro di massa di un corpo immerso.

IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

La spinta idrostatica o spinta di Archimede è una forza diretta versol'alto perché la pressione sul fondo del corpo immerso è maggiore diquella sulla sommità.

La spinta verso l'alto sarà quindi pari al peso del fluido contenuto nelvolume (si ricorda che r è la densità del fluido):

VgPS fluido rSi noti che comunque questo risultatonon dipende dalla forma del corpo né daltipo di fluido in cui esso è immerso.

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L'aria forma attorno alla Terra uno strato gassoso chiamatoatmosfera, spesso qualche centinaio di chilometri.

Essendo attirata verso il basso dal proprio peso, l'aria esercita sullasuperficie terrestre una certa pressione.

Con l'aumentare della quota rispetto il livello del mare la pressioneatmosferica decresce in quanto diminuisce lo spessore di atmosferasovrastante.

Come per una colonna d'acqua, infatti, anche la pressione di unacolonna d'aria diminuisce con l'altezza se ci si muove verso l'altopartendo dalla superficie terrestre.

LA PRESSIONE ATMOSFERICA


Essendo l'acqua pressoché incompressibile, la sua densità r rimanecostante e si può affermare che la pressione sia proporzionale alla quotasecondo una legge lineare di variazione (legge di Stevino).

Nell'aria, se ci si innalza dalla superficie terrestre, si va a sopportare unapressione corrispondente ad una colonna d'aria sempre meno alta.

Però l'aria è un gas e quindi è compressibile e pressione e volume varianoin maniera inversa.

Pertanto più la pressione diminuisce più il volume aumenta e diminuiscela densità dell’aria.

Quindi, per grandi differenze di quota, non è possibile applicare la legge diStevino.

Di conseguenza la diminuzione di pressione dell'aria all’aumentare dellaquota non è una funzione lineare di quest’ultima.

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In pratica la pressione dell'aria diminuisce di una frazione costanteper un dato aumento di altitudine:

a circa 5,5 Km dal livello del mare la pressione atmosferica haun valore che è circa la metà di quello assunto a livello delmare;

salendo di altri 5,5 Km (quindi fino ad una altitudine di 11 Km)la pressione si dimezza ancora, diventando 1/4 del valore allivello del mare.

Tuttavia questo comportamento si manifesta fino ad una certa quota(proprio 11Km) al di sopra della quale l’andamento della pressionevaria con leggi diverse.


LA PRESSIONE ATMOSFERICAIL MODELLO DELL’ISA

Quanto ora detto può essere dimostrato in modo rigoroso.

Quando è diventato necessario conoscere le proprietà dell’atmosfera, in base adosservazioni sperimentali e grazie alla termodinamica è stato messo a punto unmodello fisico-matematico di atmosfera detto Atmosfera Standard o ISA(International Standard Atmosphery).

Le ipotesi alla base del modello sono:L’aria è un miscuglio di gas a composizione costante;L’aria segue il modello del gas perfettoL’aria è seccaLa temperatura a livello del mare è 15 °C (288.15 K)La temperatura decresce con la quota (fino a 11 Km) di 6.5 gradi ogni 1000 metrisecondo la relazione

( ) 15 0.0065T z z ( ) 288.15 0.0065T z z In gradi °C In gradi K

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L’aria è in equilibrio statico e le grandezze ad essa relative soddisfino l’equazione

Quest’ultima relazione è proprio la legge di Stevino.

Infatti si consideri lo schema seguente

dp gdz


Le pressioni agenti sulle superficilaterali del cubetto vale a dire lesuperfici perpendicolari agli assiX ed Y devono essere uguali.Se così non fosse il volumetto simetterebbe in movimento incontrasto con l’ipotesi che l’aria èin quiete.


Le pressioni agenti sulle superficiperpendicolari all’asse Z nonpossono essere uguali.Infatti la loro differenza moltiplicataper la superficie dS=dxdy devedare luogo ad una forza in grado diequilibrare il peso dW.Si ha:

Detti poi p e p+dp i valori dellapressione sulle facce A e B dovràessere:

dW gdV gdxdydz

dW p p dp dS gdxdydx dpdxdy

dp gdz

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Se l’equazione precedente viene applicata ad un liquido per calcolare lavariazione della pressione passando da un livello Z0=0 (di riferimento) acui la pressione è p0 ad un generico livello Z si ha:

0 0

p Z

p Z

dp gdz

Poiché i liquidi sono incompressibili cost

Considerando in prima approssimazione anche l’accelerazione di gravità costante, si ha:

0 0 0

0

p Z Z

p Z Z

dp gdz g dz

p p gZ

Da questa relazione si vedeche in un liquido la variazionedi pressione è direttamenteproporzionale alla variazionedel livello considerato. Tuttocome visto in precedenza.


Nel caso dell’aria la densità non può essere considerata costante.

Avendo fatto l’ipotesi che l’aria segue il modello del gas perfetto lapressione e la densità sono due variabili di stato legate dalla relazione:

pp RTRT

Pertanto la relazione prima vista diventa:

1p dpdp g dz g dzRT p RT

Considerando che la temperatura segue la legge

0 0.0065T T z

0 0.0065dp g dzp R T z

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L’ATMOSFERAIL MODELLO DELL’ISA

0 0.0065dp g dzp R T z

Volendo calcolare la variazione di pressione atmosferica passando dal livello del mare (Z=0) ad un certa quota Z, occorre integrare la relazione precedente. Si ha:

0 00

5.256

0

1 0.0065

1 0.0000226

p Z

p

dp g dzp RT z

p Zp

Applicando l’equazione di stato siottengono le relazioni per la densitàed il peso specifico.

4.256

0

4.256

0

1 0.0000226

1 0.0000226

Z

Z

0 0 0, ,p Sono la pressione, ladensità, ed il peso specificoal livello del mare.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0

pp

0 0

,

L’ATMOSFERAIL MODELLO DELL’ISA

( )Z metri

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Z(metri) p/p0 r/r00 1 1

500 0.942018 0.9527841000 0.8867888 0.9072941500 0.8342113 0.8634832000 0.784187 0.821312500 0.7366199 0.7807313000 0.6914166 0.7417043500 0.6484862 0.7041874000 0.6077402 0.668144500 0.5690925 0.6335225000 0.5324595 0.6002935500 0.4977597 0.5684136000 0.4649142 0.5378466500 0.4338461 0.5085527000 0.404481 0.4804957500 0.3767464 0.4536388000 0.3505723 0.4279458500 0.3258904 0.403389000 0.3026349 0.3799089500 0.2807418 0.357496

10000 0.2601492 0.3361110500 0.2407971 0.31571711000 0.2226276 0.296284

Rapporti dei valori delle diverse grandezze dell’atmosfera in funzione della quota.

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FLUIDODINAMICA

La fluidodinamica (talvolta in passato detta fluodinamica) è la scienza chestudia il moto dei fluidi.

Essa è alla base dell’Aerodinamica e della Gasdinamica.

Queste due discipline sono fondamentali per comprendere ilfunzionamento degli aeromobili e dei propulsori.

Le caratteristiche del moto di un fluido possono essere definite a secondadelle caratteristiche assunte dalla velocità lineare ed angolare deglielementi costituenti il fluido stesso.

Velocità lineare V:

se V è costante nel tempo per ogni punto dello spazio ( ma puòvariare da un punto all'altro ) allora il moto si dice stazionario. Unesempio di ciò è l’aria che circola nella galleria del vento duranteuna prova a velocità costante;

se V è funzione del tempo per ogni punto dello spazio il moto sidice non stazionario (o instazionario); un esempio di ciò sonole scie generate dai corpi immersi in una corrente fluida;

se V varia in modo irregolare da punto a punto e da un istanteall'altro il moto si dice turbolento. Un esempio sono le sciegenerate dalle superfici portanti dei velivoli, dai propulsori ed ivortici che sono alla base della genesi della portanza e dellaresistenza.

FLUIDODINAMICA

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Velocità angolare delle particelle del fluido attorno ad unpunto:

se in corrispondenza di ogni punto gli elementi di fluido hannovelocità angolare nulla attorno a tale punto il moto si diceirrotazionale ;

se in corrispondenza di ogni punto gli elementi di fluido hannovelocità angolare non nulla attorno ad un punto il moto èrotazionale;

FLUIDODINAMICA

FLUIDODINAMICA

Accettando l’ipotesi di fluido continuo, un campo fluidodinamico, nel nostrocaso il moto di una massa di gas, è completamente definito quando inogni punto del campo si conoscano:

le grandezze termodinamiche di stato

pressione,temperatura,densità, etc.

le grandezze cinematichevelocità,accelerazione.

Come precedentemente detto il moto si dice stazionario quando tutte legrandezze che lo definiscono non variano nel tempo.Altrimenti il moto è detto instazionario.

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FLUIDODINAMICA

In generale quindi un campo fluidodinamico è descritto quando è nota lasoluzione del seguente sistema di equazioni.x, y, z sono le coordinate spaziali rispetto ad un fissato sistema diriferimento X, Y, Z.

( , , , ) 0( , , , ) 0( , , , ) 0

( , , , ) 0

( , , , ) 0

p x y z tT x y z t

x y z t

V x y z t

a x y z t

Campo di moto tridimensionaleinstazionario

( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0

( , , ) 0

( , , ) 0

p x y zT x y z

x y z

V x y z

a x y z

0

0

0

0

0

ptTt

tVtat

Campo di moto tridimensionalestazionario

Il motodipendeda tutte e trele coordinatespaziali

FLUIDODINAMICA

In generale quindi un campo fluidodinamico è descritto quando è nota la soluzione del seguente sistema di equazioni.

( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0

( , , ) 0

( , , ) 0

p x y tT x y t

x y t

V x y t

a x y t

Campo di moto bidimensionale instazionario

( , ) 0( , ) 0( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

p x yT x y

x y

V x y

a x y

0

0

0

0

0

ptTt

tVtat

Campo di moto bidimensionalestazionario

Il motodipende soloda duecoordinateSpaziali.

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FLUIDODINAMICA

In generale quindi un campo fluidodinamico è descritto quando è nota la soluzione del seguente sistema di equazioni.

( , ) 0( , ) 0( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

p x tT x t

x t

V x t

a x t

Campo di moto monodimensionale instazionario

( ) 0( ) 0( ) 0

( ) 0

( ) 0

p xT x

x

V x

a x

0

0

0

0

0

ptTt

tVtat

Campo di moto monodimensionalestazionario

Il motodipende soloda una coordinataSpaziale.

MOTO INSTAZIONARIO TURBOLENTO E ROTAZIONALE

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FLUIDODINAMICA COMPRIMIBILITA’

Alcuni dei concetti più importanti della fluidodinamica sono quelli legati allacomprimibilità dei fluidi.

La comprimibilità è un’altra proprietà della materia.

Tutti i corpi diminuiscono il loro volume quando sono sottoposti ad aumenti dipressione.

Questa proprietà è molto spiccata nei gas mentre lo è poco nei liquidi e nei solidi.

Si consideri un volume di gas V soggetto ad una pressione p.

Se sull’intera superficie che delimita il volume in questione tale pressione vieneaumentata di un p l’esperienza mostra che si ha una diminuzione di volume Vdirettamente proporzionale al volume iniziale V ed alla variazione di pressione p.


Quanto detto si traduce formalmente nella seguente relazione:

v pv K

Nella relazione a è detto coefficiente di comprimibilità ed ha le dimensionidell’inverso di una pressione. La variazione di pressione è intesa in sensopositivo (la pressione aumenta) pertanto il segno meno sta ad indicare chela variazione di volume è negativa (il volume decresce).Il coefficiente di comprimibilità è l’inverso del modulo di elasticità K per cuila relazione ora vista diventa

vv v p Pv

Nei liquidi i moduli di elasticità sono dell’ordine delle migliaiadi atmosfere cioè presentano valori molto grandi. Ad esempioper l’acqua K=20000 atm. Questo significa che anchegrosse variazioni di pressione producono scarse variazioni divolume. I liquidi sono praticamente incomprimibili.

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FLUIDODINAMICACOMPRIMIBILITA’

Ad esempio la variazione percentuale di volume dell’acqua supposta sottoposta ad una pressione di 300 atmosfere secondo la relazione precedente è

300 100 1.5%20000

vv

I gas invece sono molto compressibili nel senso che basta anche una piccolavariazione di pressione per avere delle significative variazioni di volume.

Va poi detto che è possibile comprimere un gas in maniere diverse. Infatti puòaccadere che la temperatura sia mantenuta costante oppure che latrasformazione sia isoentropica (ad entropia costante).

Ciò si traduce nel fatto che il modulo di elasticità dipende da come si effettua lacompressione. Pertanto secondo quanto detto si avrà un modulo di elasticitàisotermo KT o un modulo di elasticità isoentropico KS .


Applicando quanto appreso dalla termodinamica si è giunti alla conclusione che:

pS

T v

cKK c

Per i liquidi il rapporto vale 1 per cui non fa differenza il come viene effettuata la compressione.

Nei gas il rapporto è maggiore di 1 (per l’aria a temperatura ambiente vale 1.4.Inoltre KT è uguale al valore della pressione di equilibrio p. Pertanto si ha:

T

S

K pK p

Per l’aria in condizioni standard (T=15 °C e p=1 atm) si ha 11.4

T

S

K atmK atm

Confrontando questi valori con i corrispondenti valori dell’acqua KT =KS =20000 si deduce che in un processo isotermico l’aria è 20000 volte più compressibile dell’acqua ed in un processo isoentropico l’aria è circa 14286 volte più comprimibile dell’acqua.

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La relazione della comprimibilità può essere scritta anche in termini di variazioni didensità. Si ha:

v p v m p pv K v m K K

p pp K

La scomparsa del segno meno è dovuta al fatto che contrariamente a quanto succede per i volumi, la variazione di densità ha lo stesso segno della variazione di pressione. In altri termini se la pressione aumenta si ha un aumento della densità.

Il denominatore della frazione asecondo membro ha le dimensioni diuna velocità al quadrato. Infatti

2 2

22 23

/' /

'

K pressione Forza Superficiedensita Massa volume

MLt LL t velocita

ML


Il denominatore a secondo membro rappresenta il quadrato di una velocità. Ad essa si dail nome di velocità del suono ed è lecito scrivere:

K pa

La velocità del suono rappresenta la velocità con cui si propaganonel gas le piccole perturbazioni di pressione. Poiché il suono altronon è che la trasmissione di compressioni ed espansioni da qui ilnome di questa variabile. Essa dipende da grandezze chedefiniscono lo stato termodinamico di un fluido per cui anch’essaè una variabile termodinamica di stato.

Si è detto che il modulo di elasticità dipende dal modo i cui avviene la compressione e si sono definiti due valori di esso: quello isotermo e quello isoentropico.

Allo stesso modo è possibile definire due tipi di velocità del suono: la velocità del suono Newtoniana e la velocità del suono Laplaciana.

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Si ha:

Le due velocità prendono il nome dai due scienziati che studiarono la propagazione delsuono.Newton suppose che il processo di propagazione del suono fosse isotermo.Laplace suppose che il processo fosse isoentropico.In realtà fu Laplace che trovò l’accordo fra i dati teorici e le esperienze da lui condotte.Quindi la espressione vera della velocità del suono è quella da lui proposta.Per l’aria ipotizzando che segua il modello del gas perfetto e che si trovi alle condizionistandard si ha:

TN

SL

K pa

K pa

Processo isotermo

Processo isoentropico

1.4 287 288.15 340.26Lp ma RT

s


Dalla relazioneprecedente sivede come lavelocità delsuono dipendadallatemperatura.Poichéall’aumentaredella quota latemperaturadiminuisceanche la velocitàdel suonodiminuisce comemostrato daldiagramma:

200

220

240

260

280

300

320

340

360 0 5001000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

10500

11000

T (K)

a (m/s)

Z (metri)

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Le relazioni precedentemente trovate possono essere dimostrate come segue. Si fa notare che è stata fatta l’ipotesi che il gas segua il modello del gas perfetto.

v pv K

Si riscriva questa relazione in forma differenziale invece che in forma

finita.

dv dpv K

Si consideri l’equazione della trasformazione isoterma.pv costPremesso ciò si può scrivere

0

TT

pv cost vdp pdvvdv dpp

v dp dp K pp v K


Si consideri ora una trasformazione isoentropica. L’equazione è: pv cst

Pertanto è lecito scrivere:

11

1

S S

SS

v p dv dpv K v K

dalla equazione pv costv dpv dp v pdv dvpv

v dp dp K ppv v K

E quindiS

T

KK

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Si consideri ora l’espressione della velocità del suono:K p dpa

d

Da queste espressione si possono dedurre le seguenti considerazioni:

La velocità del suono mette in stretta correlazione le cause (variazioni dipressione) con gli effetti (le variazioni di densità).

La velocità del suono è tanto maggiore quanto maggiore è il modulo di elasticitàe quindi quanto minore è il coefficiente di comprimibilità.Questo spiega i diversi valori della velocità del suono nei diversi stati diaggregazione della materia. Nei solidi la velocità del suono è molto più elevata chenei liquidi e nei gas.

Per un fluido incomprimibile essendo la variazione di densità nulla ne consegueche la velocità del suono è infinita.


La domanda che ora è lecito porsi è la seguente:

quando un gas può essere considerato incompressibile?

o più in generale esiste un parametro che consente di valutare a priori ilcomportamento di un fluido per quanto riguarda la comprimibilità?

La risposta è positiva ed il parametro in questione è il Numero di Mach o M (dalnome del fisico austriaco Ernst Mach).

Si ha: VMa

Velocità del gas

Velocità del suono nel gas nelle condizioni di pressione e temperatura in cui si svolge il moto.

Questo parametro consente di stabilire per un fluido la attendibilità o meno dell’ipotesi di incomprimibilità.

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Per comprendere come il numero di Mach consenta di definire il comportamentocompressibile o meno di un fluido in movimento occorre considerare la seguenteespressione

212

V Essa ha le dimensioni di una pressione. Infatti

22

3 2 2 2

1M L MLdensità velocitàL t t L

forzapressione

superficie

Infatti l’espressione prende il nome di pressione dinamica ed è la pressione che un fluido in movimento esercita su una qualunque superficie perpendicolare alla direzione del moto.


Le variazioni di pressione che si manifestano in un fluido sono esprimibili infunzione della pressione dinamica. Infatti con buona approssimazione si puòscrivere:

212

p V

Poichè

22 2

2 2

1 1 12 2 2

p V M Ma a

2 pa

Si può scrivere

Si è trovata una relazione che collega la variazione percentuale di densità con ilquadrato del numero di Mach. Pertanto il quadrato del numero di Mach può essereritenuto come una misura della comprimibilità dei fluidi.Nella pagina seguente è riportata una tabella in cui sono riportate le variazioni didensità in funzione del numero di Mach.

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Mach r/r %0 0

0.05 0.1250.1 0.5

0.15 1.1250.2 2

0.25 3.1250.3 4.5

0.35 6.1250.4 8

0.45 10.1250.5 12.5

0.55 15.1250.6 18

0.65 21.1250.7 24.5

0.75 28.1250.8 32

0.85 36.1250.9 40.5

0.95 45.1251 50

Comportamentoincompressibile

Comportamentocompressibile

Comportamentoin prima approssimazioneancora incompressibile

Si noti che M=0significa che la velocitàdel suono è infinita. Ilfluido è incompressibileesattamente infatti lavariazione di densità ènulla. Per tutti gli altrivalori del Mach fino a0.3 la variazione didensità è trascurabile.Da Mach 0.3 a 0.5l’approssimazione nelconsiderare il fluidoincompressibile cresce.Oltre Mach 0.5 il fluidoè compressibile.

0

10

20

30

40

50

60 0 0,050,10,150,20,250,30,350,40,450,50,550,60,650,70,750,80,850,90,951

Mach

IncompressibileCompressibile

Comportamentoin prima approssimazioneancora incompressibile

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FLUIDODINAMICA

Nello studio della fluidodinamica sono importanti alcune definizioniquali:

TraiettoriaLinea di correnteTubo di flusso

Inoltre è utile prendere in esame alcune leggi concernenti il moto deifluidi. In particolare:

Il principio di conservazione della massaIl principio di Bernouilli.

FLUIDODINAMICA

Come in cinematica per il moto di un corpo o di un punto così in fluidodinamica sidefinisce traiettoria di una particella fluida la curva che è il luogo delle successiveposizioni assunte dalla particella nei vari istanti.

La linea di corrente è la curva o luogo dei punti aventi la proprietà che la tangentealla curva in ogni punto indica la direzione del vettore velocità della particella inquel punto.

A

B C D E

Linea di corrente

AVBV

CV

DV

EV

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FLUIDODINAMICA

Si consideri in un campo di moto una linea chiusa.

Si considerino le infinite linee di corrente che passano per i punti della lineachiusa.

Si definisce tubo di flusso lo spazio racchiuso dalla superficie creata dalle linee dicorrente.

Poiché la velocità del fluido è tangente alle linee di corrente il fluido non puòattraversare la superficie del tubo di flusso.

Il fluido che scorre all’interno del tubo di flusso non può uscire dalla superficielaterale del tubo di flusso.

Il fluido che scorre all’esterno non può entrare nel tubo di flusso.

FLUIDODINAMICAESEMPIO DI TUBO DI FLUSSO

Linee di corrente

Linea chiusa

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FLUIDODINAMICACONSERVAZIONE DELLA MASSA

La definizione di tubo di flusso porta come conseguenza il fatto che le sue paretisono impermeabili.

Come visti non è possibile che la massa di fluido passi, in un senso onell’altro, attraverso le sue superfici.

La massa di fluido può solo passare attraverso la superficie delimitata dalla lineachiusa su cui si appoggiano le linee di corrente.

Quindi se si considera un tubo di flusso di lunghezza limitata si può dire che lamassa di fluido che entra nel tubo di flusso deve poi tutta quanta uscire da tubo diflusso.

Questo non è altro che il principio della conservazione della massa.

Il passaggio avviene attraverso le due superfici che delimitano l’ingresso e l’uscitadel tubo di flusso.

FLUIDODINAMICACONSERVAZIONE DELLA MASSA

Tanto per fare un esempio pratico si consideri il condotto di scarico di un motore.

Che sia a turbina che sia a razzo non ha alcuna rilevanza.

Le pareti del condotto sono impermeabili. Pertanto tutta la massa di gas cheentra nel condotto di scarico deve poi uscire.

Tanto per essere precisi il gas in questione è composto da aria e prodotti dicombustione, nel caso del motore a turbina, da prodotti di combustione nelmotore a razzo.

Gas in uscita

Gas in ingresso

Massa di gas in ingresso = massa di gas in uscita

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15/03/2013

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FLUIDODINAMICA CONSERVAZIONE DELLA MASSA

V2V1

Massa di gas in ingresso = massa di gas in uscita

S1S2

1 2

La quantità di gas che passa attraverso la superficie S1nell’unità di tempo (portata) è 1 1 1 1m V S

La quantità di gas che passa attraverso la superficie S2 nell’unità di tempo (portata) è

2 2 2 2m V S

Per il principio della conservazione della massa siha:

1 2

1 1 1 2 2 2

m mV S V S


1 2

1 1 1 2 2 2

m mV S V S

Questa relazione prende il nome di teorema della costanzadella portata.

Quanto detto per la sezione di ingresso e di uscita può essereripetuto per qualunque altre due sezioni del condotto. Per cuiè lecito scrivere:

VS cost

Nel caso di fluido incompressibile si ha cost VS cost

Come si vede in un condotto a sezione variabile l’area della sezione e la velocitànella stessa sezione hanno andamenti opposti.

Se la sezione aumenta la velocità diminuisce. Se invece la sezione diminuisce lavelocità aumenta.

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Se per il fluido in esame non può valere l’ipotesi della incompressibilità allora ilteorema della costanza della portata è:

VS cost

Differenziando si ha 0VSd VdS SdV

Dividendo ambo i membri della equazione per VS si ha:

0d dS dVS V

Inoltre si ha:

2d dVMV


Per cui

2

2 1

dS d dV dV dVMS V V V

dS dVMS V

Questa equazione ricavata dal teorema della costanza della portatastabilisce una precisa quanto utile relazione fra la variazione di sezione, laconseguente variazione di velocità ed il numero di Mach della corrente fluida.

Essa riveste particolare importanza nello studio dei condotti di scarico e delleprese d’aria dei motori a turbina.

Pertanto si tornerà su di essa in quella sede.

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FLUIDODINAMICAEQUAZIONE DI BERNOUILLI

V+dVpA

V(p+dp)A

Direzione del moto

ds

Il principio di Bernouilli discende dal più generale principio della conservazionedell’energia.Questo principio mette in relazione le variazioni di velocità con le variazioni dipressione che una particella subisce durante il suo moto lungo una linea dicorrente.Pertanto si considera in un fluido in moto stazionario unidimensionale una linea dicorrente di lunghezza ds ed di sezione retta A.All’uopo si faccia riferimento al disegno qui sopra riportato.


Il volume elementare di fluido Ads è delimitato da due facce perpendicolari alladirezione della velocità.In corrispondenza di esse la velocità passerà dal valore V al valore V+dV.La pressione sulla faccia perpendicolare alla velocità V sia p. Sulla faccia relativaalla velocità V+dV la pressione arriverà al valore p+dp.La forza risultante che agisce sul tronco infinitesimo sarà dovuta alle sole forze dipressione. Sarà

In base al secondo principio della dinamica tale forza sarà uguale al prodottodella massa dell’elemento di fluido per l’accelerazione

( )pA p dp A Adp

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La massa dell’elemento sarà data da A d s L’accelerazionedVdt

Pertanto si hadV dsAdp Ads A dV AVdVdt dt

dp VdV

Per i flussi incompressibili r=cost integrando si ha:

2

2

12

12

p V

p V cost


212

p V cost

Pressione statica Pressione dinamica

Questa espressione detta equazione di Bernouilli per i fluidi incompressibili erappresenta il principio di Bernouilli per questo tipo di fluido.

Il suo enunciato è:

In un campo aerodinamico incomprimibile, lungo una linea di corrente lasomma della pressione statica e della pressione dinamica è costante.

Perché il principio in questione deriva dal principio della conservazionedell’energia? Provate a rispondere voi.

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212

p V cost

Pressione statica Pressione dinamica

Come si vede dalla relazione ad unaumento della velocità corrisponde unadiminuzione della pressione.

Quindi riassumendo e ricordando laespressione della conservazione dellaportata per flussi incompressibili sihanno le situazioni indicate nella tabellaqui di fianco.

Aumenta diminuisce aumenta

Diminuisce aumenta diminuisce


Si vuole ora rimuovere l’ipotesi di incompressibilità e ricavare il principio di Bernouilli per i flussi compressibili.

Dalla espressione dp VdV E dalla relazione2

2

p paa

Si ha

22

2

2

2

dV V dVdp VdV V pV a V

dVdp pMV

dp dVMp V

Come si vede ad una variazionedi velocità corrisponde unavariazione di velocità di segnoopposto la cui entità dipende dalnumero di Mach.

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Infine ricordando che 2

dpda

Si può scrivere

22

2 2

2

V V dV dVd dV Ma a V V

d dVMV

Questa relazione indica che le variazioni di densità dipendono dalle variazioni della valocità e dal numero di Mach.

In particolare le variazioni di densità sono trascurabili per bassi valori del numero di Mach e diventano apprezzabili al crescere del Mach.

Si ritrova una conclusione a cui si era già giunti in precedenza.

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Si visto in precedenza come ed in quali condizioni un fluido può essereconsiderato incompressibile o meno.

Il comportamento del fluido ed il campo di moto che in esso viene generato dalmoto di un corpo è differente nel caso in cui il fluido può essere consideratoincompressibile o nel caso in cui sia valida la ipotesi di compressibilità.

Si è visto poi che il numero di Mach è un indice del comportamento del fluido.

Se il moto di un corpo in seno ad un fluido è caratterizzato da valori del numerodi Mach fino a 0.3-0.5 si può dire che i fenomeni legati alla compressibilità nonsono importanti (le variazioni di densità sono trascurabili).

Se il numero di Mach del corpo supera questo valore allora i fenomeni legati allacompressibilità diventano importanti (le variazioni di densità non sono piùtrascurabili).

CAMPI DI MOTO

CAMPI DI MOTO

In precedenza si è visto che i piccoli disturbi si propagano nel fluido con lavelocità del suono.

Inoltre la sola presenza di un corpo in un fluido costituisce una fonte di disturbo.Ciascun punto della sua superficie genera un disturbo che si propaga nello spaziosecondo delle superfici sferiche in cui centro è il punto del corpo che lo genera.

Per spiegare quali siano le differenze del moto a seconda che la velocità siaminore, uguale o maggiore della velocità del suono occorre procedere ad alcunesemplificazioni.

In questa ottica non si considererà un corpo ma bensì un punto materiale che simuove all’interno di un fluido e che quindi genera un disturbo che si propaga intutte le direzioni. Il punto è il centro di una sfera la cui superficie portal’informazione della presenza nel fluido del punto.

Un ulteriore semplificazione è che si considera il moto piano per cui i disturbigenerati dal punto in movimento si propagano secondo delle circonferenze il cuicentro è il punto stesso.

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CAMPI DI MOTO

Secondo quanto detto in ciascun istante di tempo il punto emette un’onda dipressione di intensità infinitesima che viaggia con la velocità del suono.

Pertanto il campo di pressione all’interno del fluido, cioè il valore della pressione inun punto del campo, è dato dalla sovrapposizione delle onde di pressione chearrivano in quel punto.

Il caso più semplice si ha quando il punto materiale che genera il disturbo è fermo.

Lo schema di propagazione del disturbo è rappresentato nella figura della paginaseguente.

La situazione è familiare in quanto che essa è identica a quella che si verificaquando viene gettato un sasso in uno stagno.

CAMPO DI MOTO - CORPO PUNTIFORME FERMO V=0

In questo schema, comepure in quelli in cui il puntosi muove, la posizionesegnata con 0 è laposizione attuale del punto.La posizione -1 è laposizione occupata dalpunto una unità di tempo fa(ad esempio un secondofa).La posizione -2 quella didue secondi fa. Infine laposizione -3 quella di tresecondi fa.Il cerchio più interno (checoincide con il punto)rappresenta l’onda cheporta l’informazione dellapresenza del puntogenerata all’istante 0.

Il cerchio -1 rappresenta l’onda di pressione generata una unità di tempo fa. E così via.

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P

Il valore della pressione nel punto P sarà la somma delle pressioni relative alle onde -3 e -2 e fra poco ad esso si aggiungerà il valore della pressione relativa all’onda -1.

3 2punto Ppressione p p

CAMPO DI MOTO - CORPO PUNTIFORME FERMO V=0

CAMPO DI MOTO CORPO PUNTIFORME A VELOCITA SUBSONICA

La situazione cambia aspettoquando si ipotizza che ilpunto generatore del disturbodi pressione si muove.Ancora il disturbo dipressione si propaga in tuttele direzioni.Le posizioni del punto comepure le posizioni delle ondeche portano il disturbo sonoindicate con i numeri 0, -1, -2e -3.Il punto si muove in direzionedella freccia.Come si vede il fluido che stadavanti al punto vieneinformato della presenza diquesto prima che esso arrivi.

P

P’

' 3 2punto Ppressione p p

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CAMPO DI MOTO CORPO PUNTIFORME A VELOCITA SONICA

P

P’

3 3Vt at

In definitiva il fluido si preparaall’arrivo del corpo poichél’informazione della suapresenza viaggia alla velocitàdel suono e quindi va più velocedel punto.

Va poi detto che il raggio delcerchio -1 è at (dove a è lavelocità del suono). Quello delcerchio -2 è 2at. Infine il raggiodel cerchio -3 è 3at.

Se il punto viaggia alla velocità Vallora la distanza fra la posizione0 e quella -3 sarà 3Vt.

CAMPO DI MOTO SUBSONICO

Per veder un caso pratico basta pensare ad corpo di forma qualsiasi o ad unprofilo alare immerso in una corrente subsonica. Le cose non cambiano moltofra l’uno e l’altro caso

Come si vede dagli schemi, poiché il fluido è informato della presenza del corpo, le linee di corrente si aprono per consentirne il passaggio.

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Il campo di moto cambiatotalmente quando ilpunto generatore deldisturbo viaggia avelocità sonica cioèquando V=a.

In questo caso ladistanza fra la posizioneattuale del punto equella precedente èeguale al raggio delcerchio che porta ildisturbo.

Questo accade per tuttele posizioni toccate dalpunto e per tutti i raggidelle circonferenzerelative agli istantiprecedenti.

P

P’

'

3 2punto P

punto P

pressione p p

pressione pressione del campo indisturbato

Zona del silenzio


Il punto generatore deldisturbo stesso e l’ondache porta l’informazionearrivanocontemporaneamente intutti gli istanti e per tutte leposizioni del punto.

La conseguenza è che ipunti del campo che sitrovano dietro al puntogeneratore del disturbosanno della presenza delpunto stesso.

Tutti i punti davanti alpunto non sanno né dellapresenza né dell’arrivo delpunto. Infatti punto edisturbo arrivano insieme.

P

P’

'

3 2punto P

punto P

pressione p p

pressione pressione del campo indisturbato

Zona del silenzio

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CAMPO DI MOTO CORPO PUNTIFORME A VELOCITA SUPERSONICA

3at

In questo caso ilpunto generatoredel disturbo viaggiaad una velocitàmaggiore di quelladel suono. Cioèviaggia più velocedel suono. Pertantoin punto arriva primadi qualunque ondache portal’informazione deldisturbo.Le onde sono tuttetangenti a due retteche partono dallaposizione attuale delpunto che crea ildisturbo


Dalla figura e da quantodetto si possono ricavarele regole di Karman deiflussi supersonici.

La regola dei segnaliperduti: gli effetti dellavariazione di pressionedovuti al moto di uncorpo che si muove avelocità maggiore diquella del suono nonpossono raggiungerepunti del campo situatidavanti al corpo stesso.

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Zona di azione e zona delsilenzio:Un corpo fermo immerso inuna corrente supersonicaproduce effetti solo sui puntiche giacciono su oppuredentro il cono di Mach chesi estende a valle del corpo.

Viceversa la pressione e lavelocità in un puntoqualsiasi della correntepossono essere influenzatisoltanto da disturbi agenti inpunti che giacciono su odentro un cono che siestende a valle del puntoconsiderato e che abbia lostesso vertice del cono diMach.


La regola dell’azione concentrata

La vicinanza ai cerchi cherappresentano i differenti impulsi dipressione è una misuradell’intensità del disturbo dipressione in ciascun punto delcampo di moto.

Per un punto fermo l’intensità deldisturbo è simmetrica rispetto alpunto. I cerchi sono concentrici.

Per una sorgente in motosubsonico l’intensità è asimmetrica.

Per una sorgente in motosupersonico si ha la regoladell’azione concentrata: il disturbodi pressione è ampiamenteconcentrato nei dintorni del cono diMach che forma il limite esternodella zona di azione.

Questa regola spiega perche un proiettile o un corpo che si muove a velocità supersonica non può essere udito fino a che l’onda attaccata al corpo non passa sopra l’osservatore perché quando questo accade il rumore è concentrato in un ‘bang’.

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CAMPI DI MOTO DI UN CORPO PUNTIFORME

CAMPO DI MOTO DI UN CORPO PUNTIFORME -SUPERSONICO

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ONDE D’URTO

I flussi supersonici sono caratterizzati dalla presenza delle onde d’urto. Siritiene utile spendere alcune parole su questo importante quanto fastidiosofenomeno.

Le onde d’urto sono delle superfici di discontinuità nel senso che attraversoesse si ha una variazione istantanea delle grandezze termofluidodinamichedella corrente (pressione, temperatura, densità, velocità e numero di Mach).

Le onde d’urto hanno uno spessore pari a qualche libero cammino mediomolecolare.

Quindi la discontinuità deriva dal fatto che in ‘poco’ spazio si ha unavariazione finita delle grandezze.

Le onde d’urto sono dissipative. Attraverso esse aumenta l’entropia.

Pertanto parte dell’energia posseduta dalla corrente viene degradata e siritrova nel fluido sotto forma di calore.

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ONDE D’URTO

Esistono due tipi di onde d’urto:

le onde d’urto normali;

le onde d’urto oblique.

La differenza deriva da come esse si pongono rispetto alladirezione della corrente.

Direzionedellacorrente Onda

d’urto

Direzionedellacorrente

Ondad’urtoobliqua

ONDE D’URTO

Nelle onde d’urto normali esso passa da valori supersonici a valori subsonici.

Nelle onde d’urto oblique esso resta a valori supersonici.

Ciò sta a significare che le onde d’urto normali sono più forti delle onde d’urtooblique e quindi più dissipative.

Particolare attenzione vieneposta a quanto succede alnumero di Mach della correntequando questa attraversal’onda d’urto.

In precedenza si è detta cheesso diminuisce.

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ESEMPI DI ONDE D’URTO


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ONDE D’URTO

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ONDE D’URTO

ONDE D’URTO

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ONDE D’URTO

Sistema di onde d’urto

ONDE D’URTO

In questo caso comein quelli precedenti leonde d’urto sonovisibili. Ciò dipendedal fatto che ladensità dell’ariaattraverso esseaumenta a causa delbrusco aumento dellapressione e ciò rendechiaramente visibiletutto il sistema cheaccompagna l’aereodurante il volo.

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ONDE D’URTO

Questa è una storica fotografia di unsistema di onde d’urto intorno ad unproiettile in volo supersonico pubblicatadal fisico Ernst Mach nel 1887.

La tecnica alla base della fotografiasfrutta il fatto che attraverso le onded’urto la densità aumenta. E questo creail contrasto che rende visibile l’ondad’urto.

ONDE D’URTO

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ONDE D’URTO

1M 2M

2 1M M M

ONDE D’URTO

Le seguenti equazioni mettono in relazioni i parametri della corrente a montedell’onda d’urto normale (pedice 1) con i parametri della corrente a valle dell’ondad’urto normale (pedice 2).

21

22

1

112

12

p

v

MM

M

cc

222

1

2 11 1

p Mp

2 22 2

22

1 22

1 21 12 1

12 1

M MTT

M

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ONDE D’URTO

22 222 2 22

2 1

2 2 2 2 212 2 2 2

12

22

12 12 11 1 2 11 1

1 2 1 21 1 1 12 1 2 1

12 1

p M MMpT

M M M MT

M


Mach p2/p1 T2/T1 r2/r1

1 1 1 11,1 1,245 1,064938 1,1690821,2 1,513333 1,127994 1,3416151,3 1,805 1,190873 1,5156951,4 2,12 1,254694 1,6896551,5 2,458333 1,320216 1,8620691,6 2,82 1,387969 2,0317461,7 3,205 1,45833 2,1977191,8 3,613333 1,531578 2,3592231,9 4,045 1,607916 2,5156792 4,5 1,6875 2,666667

2,1 4,978333 1,77045 2,8119022,2 5,48 1,85686 2,951222,3 6,005 1,946801 3,0845482,4 6,553333 2,040332 3,2118962,5 7,125 2,1375 3,3333332,6 7,72 2,238343 3,448982,7 8,338333 2,342892 3,5589912,8 8,98 2,451173 3,6635512,9 9,645 2,563207 3,7628643 10,33333 2,679012 3,857143

M1 (a monte) M2 (a valle)1 1

1.1 0.911771.2 0.842171.3 0.7859571.4 0.7397091.5 0.7010891.6 0.6684371.7 0.6405441.8 0.6165011.9 0.5956162 0.57735

2.1 0.5612772.2 0.5470562.3 0.5344112.4 0.5231182.5 0.5129892.6 0.5038712.7 0.4956342.8 0.4881672.9 0.481383 0.475191

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ONDE D’URTO

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 1 1,11,21,31,41,51,61,71,81,92 2,12,22,32,42,52,62,72,82,932M

1M

21

22

1

112

12

1.4

MM

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

222

1

2 11 1

p Mp

Mach

2

1

pp

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1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

2 22 2

22

1 22

1 21 12 1

12 1

M MTT

M

Mach

2

1

TT

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

22 222 2 22

2 1

2 2 2 2 212 2 2 2

12

22

12 12 11 1 2 11 1

1 2 1 21 1 1 12 1 2 1

12 1

p M MMpT

M M M MT

M

Mach

2

1

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ONDE D’URTO


21

21

21

01 121

12

112

2 11 1

o

M

Mpp

M

Pressione totale a valle dell’urto

Pressione totale a monte dell’urto

Come si vedrà in un altro corso la pressione totale è una misura della sfruttabilitàdell’energia posseduta dalla corrente. Più l’energia è degradata maggiore sarà l’entropiaminore sarà la pressione totale.

ONDE D’URTO

Le seguenti equazioni mettono in relazioni i parametri della corrente a montedell’onda d’urto normale (pedice 1) con i parametri della corrente a valle dell’ondad’urto normale (pedice 2). Qui si tratta della variazione di entropia attraverso l’urto.

2 12

1

21

2 1ln1 1 1

1 2 1ln1 1 1

s sR M

M

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ONDE D’URTO

M1 po2/po1 (s2-s1)/R1 1 0

1.1 0.998928 0.00107261.2 0.992798 0.00722771.3 0.979374 0.0208421.4 0.958194 0.04270461.5 0.929787 0.07280031.6 0.8952 0.11070781.7 0.855721 0.15581081.8 0.812684 0.20741321.9 0.767357 0.2648036

2 0.720874 0.32729112.1 0.674203 0.39422372.2 0.628136 0.46499812.3 0.583295 0.53906312.4 0.540144 0.61591972.5 0.499015 0.69511952.6 0.460123 0.77626152.7 0.42359 0.85898862.8 0.389464 0.94298422.9 0.357733 1.0279683

3 0.328344 1.1136938

ONDE D’URTO

Mach

02

01

pp

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

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182

ONDE D’URTO

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

Mach

2 1s sR

ONDE D’URTO

Come si è visto dai precedenti grafici attraverso le onde d’urto si hauna brusca variazione delle grandezze termofluidodinamiche dellacorrente. Le variazioni sono mostrate nella seguente tabella.

Grandezza Modo di variareTemperatura totale Resta costante

Pressione totale Diminuisce

Temperatura statica Aumenta

Pressione statica Aumenta

Densità AumentaVelocità Diminuisce

Numero di Mach Diminuisce

Entropia Aumenta

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ONDE D’URTO

Le onde d’urto che vengono consideratesono dette adiabatiche perché non ci sonoscambi di energia sotto forma di calore.Inoltre, poiché non vi sono altri scambi dienergia in nessuna altra forma, si ha chel’energia totale posseduta dalla corrente equindi la temperatura totale sono costanti.

Le onde d’urto sono solo di compressione, pertanto la pressione, la temperaturastatica e quindi la densità aumentano.

Inoltre, se l’energia totale resta costante e l’energia potenziale (pressione etemperatura statica) cresce, l’energia cinetica diminuisce e quindi sia la velocitàsia il numero di Mach diminuiscono.

ONDE D’URTO

La brusca variazione che subiscono levariabili termofluidodinamiche dellacorrente attraverso l’onda d’urto ha uncosto. Infatti si ha un aumentodell’entropia. Pertanto anche se illivello energetico risulta costante si hauna degradazione dell’energia adisposizione.

Di conseguenza diminuisce la pressione totale che è una misura dellasfruttabilità del livello energetico della corrente.

Si vedrà in seguito come ciò condizioni sia il funzionamento sia la scelta deltipo di presa d’aria che debba funzionare anche in condizioni supersoniche.

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ONDE D’URTO - GENESI

A questo punto sorgono spontanee alcune domande:

Come si forma una onda d’urto?

Esistono solo onde d’urto di compressione?

Perché?

Perche l’entropia aumenta?

Quali sono le cause della dissipazione dell’energia?


Per spiegare il processo di formazione delle onde d’urto è opportuno fare leseguenti considerazioni.

La prima discende dalla termodinamica dei sistemi aperti. In questo caso è lecitopensare che ogni elemento di fluido spostandosi esercita un’azione su l’elementoche lo precede spostandolo dalla sua posizione.

Esso subisce poi un’azione dall’elemento che lo segue e che lo sposta dalla suaposizione da esso occupata.

Inoltre qualunque statostazionario in cui il fluido si puòtrovare è sempre raggiuntoattaverso una serie di statiinstazionari cheasintoticamente consentono alfluido in un lungo periodo ditempo di raggiungere lacondizione in cui esso si trova.

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Per capire come si possa formare un’onda d’urto siconsideri il meccanismo riportata qui di fianco.

Si abbia un cilindro riempito da un gas che si trova incondizioni di quiete (cioè in condizioni stazionarie).Il pistone si muove verso destra.

Per meglio comprendere ciò che accade si faccial’ipotesi che la graduale accelerazione del pistone siaapprossimata da una serie di istantanei aumenti divelocità .

Questi aumenti avvengono ad intervalli di tempouguali e nel corso di essi il pistone si muoveattraverso il fluido a velocità costante.

Nella figura t rappresenta l’unità di tempo.


Nella figura è riportata la distribuzione della pressionenel condotto a vari istanti di tempo contati a partiredall’inizio del moto del pistone (t=0).

La linea tratteggiata rappresenta istante per istante laposizione del pistone.

Dopo il primo spostamento del pistone (t=1) l’onda dipressione si è spostata verso destra interessando unamassa di gas indicata dalla lettera a. Questa massa digas ha una pressione superiore a quella restante nelpistone e si sposta verso destra alla stessa velocità delpistone.

Fra l’istante t=1 e t=2 la massa a riceve un ulterioreincremento di pressione e velocità a causa delsecondo movimento del pistone. L’onda di pressioneoriginaria si muove attraverso il condotto ed impartisceun impulso di pressione e velocità alla massa b.

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Il processo continua sia perché le onde di pressioneviaggiano nel condotto sia perché nuove onde dipressione vengono generate dal movimento delpistone.

Questo provoca il costante aumento della pressionedelle diverse masse di fluido come indicato nellafigura qui di fianco.

Quindi la massa di fluido vicino al pistone ha unapressione ed una temperatura maggiore delle massepiù lontane.

In sintesi

a b c d e

a b c d e

p p p p pT T T T T


Ora, come è noto, le onde di pressione si spostanoalla velocità del suono e questa dipende dallatemperatura.

Pertanto le masse di fluido si muovono con unavelocità tanto più grande quanto minore è la lorodistanza dal pistone.

Indicata con Vs la velocità del suono si ha:

sa sb sc sd seV V V V V

Ad esempio all’istante t=3 l’onda della massa a simuove verso destra con una velocità superiore alleonde di pressione delle altre masse.

Di conseguenza le onde di pressione più vicine alpistone tendono a sovrapporsi a quelle più lontane.

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Il risultato finale di tutto questo processo è che il profilo dell’onda diviene sempre più ripido. Le diverse onde di pressione tendono a sovrapporsi fino a dare origine al tempo t=5 si genera un’onda d’urto.

Se il processo continua grazie all’apporto di onde di pressione sempre più fortil’intensità dell’onda d’urto cresce.


Se si inverte il ragionamento, se cioèsi ipotizza che il pistone si spostiverso sinistra causando onde diespansione si vede come le massedi fluido hanno pressionetemperatura più basse quanto piùsono vicine al pistone.

Pertanto la velocità di propagazione delle onde di espansione è minore per le ondenelle masse più vicine al pistone rispetto a quelle nelle masse più lontane.Non può avvenire la sovrapposizione delle onde.Pertanto il profilo dell’onda di espansione diventa sempre meno ripido.

Questa è la ragione per cuiesistono solo onde d’urto dicompressione e non diespansione.

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ONDE D’URTO – L’AUMENTO DI ENTROPIA E LA

DISSIPAZIONE DI ENERGIA Due delle domande poste in precedenza devono ora avere risposta.

Perché aumenta l’entropia attraverso l’urto e perché c’è dissipazione dienergia?.

Le relazione scritta in precedenza ed il grafico che da essa è statodedotto mostrano che effettivamente attraverso un’onda d’urtol’entropia cresce.

Però accanto alla dimostrazione analitica si vuole cercare di fornireanche una spiegazione fisica anche alla luce di quanto detto nella parterelativa alla termodinamica.

Come si è visto le onde d’urto provocano una forte compressione delgas.

ONDE D’URTO – L’AUMENTO DI ENTROPIA E LA

DISSIPAZIONE DI ENERGIA L’aumento della pressione porta un aumento della temperatura diconseguenza aumenta l’energia interna del gas.

A livello microscopico aumenta la velocità delle particelle del gas.

Il moto diventa ancora più caotico e disorganizzato, la posizione delleparticelle del gas è più casuale.

Come visto nella parte relativa alla termodinamica tutto questomacroscopicamente si traduce in un aumento dell’entropia.

L’aumento dell’energia interna del gas si ha a discapito dell’energiacomplessiva posseduta dal gas. Quindi una parte di questa vienedegradata in energia sotto forma di calore.

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ONDE D’URTO OBLIQUE

Come detto in precedenza esistono due tipi di onde d’urto

Le onde d’urto normali,Le onde d’urto oblique.

Di quelle normali si è già detto si vuole ora dedicare attenzione alle onde d’urto oblique.

Queste sono poste in maniera obliqua rispetto alla corrente indisturbata e nascono quando una corrente supersonica incontra una rampa come quella posta qui sotto.

1 1M 2 1M

1 2 1M M A differenza delle onde d’urto normali nelle quali la corrente a valle dell’onda diventa subsonica, nelle onde d’urto oblique la corrente a valle dell’onda è ancora supersonica.


Occorre ora comprendere due coseessenziali relative all’onda d’urto obliqua:

•perché la corrente a valle di essa è ancorasupersonica;

•perché essa è meno dissipativa rispetto aduna onda d’urto normale a parità di numerodi Mach a monte di essa.

Si consideri lo schema qui difianco. In esso:

M1 Mach a monte dell’ondaM1n Componente normale all’ondad’urto del numero di Mach amonte.M1t Componente tangenzialeall’onda d’urto del numero diMach a monte.M2 Mach a valle dell’onda.M2n Componente normale all’ondad’urto del numero di Mach a valle.M2t Componente tangenzialeall’onda d’urto del numero diMach a valle.

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Attraverso l’onda d’urto la componente tangenziale del numero di Mach nonvaria mentre la componente normale viene ridotta.

Pertanto il numero di Mach a valle è ancora supersonico.

Inoltre poiché l’onda d’urto influenza solo solo la componente normale delnumero di Mach la dissipazione è minore.

Tutto funziona come se la corrente si appressasse ad una onda d’urtonormale con una velocità minore.


Un esempio di onde d’urto oblique si trova nelle prese d’aria dei moderni velivolisupersonici.

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IL BOMBARDIERE SUPERSONICO VALKYRIE XB70

Termodinamica

Science

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