1

Corso di

Matematica Finanziaria

II modulo

Docente: Prof.ssa Carla Barracchini

APPUNTI

SULLA TEORIA DI PORTAFOGLIO

2

Introduzione

La teoria del portafoglio vuole essere un supporto

formale per linvestitore che deve effettuare delle

scelte finanziarie finalizzate al raggiungimento di

obbiettivi di rendimento, fissato un orizzonte temporale

e subordinatamente ad un profilo di rischio accettabile.

Le scelte possono essere sintetizzate con la seguente

tabella

Finalit Intervallo di

variabilit

Tipologie di titoli

Tolleranza al rischio

Il livello di perdita annuale che si pu sopportare senza abbandonare il progetto di investimento

Basso: da 0% a 5%

Moderato: da 6%

a 15% Alto: da 16% a

25%

fondi monetari e certificati di deposito

obbligazioni a medio e

lungo termine, azioni solide in mercati maturi

azioni a crescita aggressiva

Obbiettivi di rendimento

Quale componente del rendimento si vuole enfatizzare: reddito, crescita o entrambi?

Reddito: fonte stabile di reddito annuale

Crescita/reddito: in parte reddito stabile e in parte crescita

Crescita: crescita del valore del portafoglio

Reddito: obbligazioni

Crescita/reddito: azioni solide in mercati maturi

Crescita: azioni a crescita

aggressiva

Orizzonte temporale

Per quanto tempo si intende mantenere linvestimento?

Breve: da 1 a 5 anni

Lungo:pi di 5anni

fondi monetari , certificati di deposito, obbligazioni di breve e medio periodo (meno di 5 anni)

azioni a crescita aggressiva

3

Attualmente uno degli strumenti usato dagli investitori

istituzionali per la costruzione e realizzazione di

un'analisi statico-quantitativa dei mercati il modello

scoperto agli inizi degli anni 50 da Harry Markowitz

(Portfolio Selection 1952). Lo scopo della sua teoria

quello di costruire un portafoglio che dato un rischio

contenuto offra il massimo rendimento atteso.

In realt non esiste un portafoglio ideale in termini

assoluti, ma tanti portafogli in relazione alla diversa

propensione al rischio di ciascun investitore.

Considerati i contenuti fortemente innovativi del modello

ma data la difficolt di utilizzo dello stesso, nel 1963 un

allievo di Markowitz, W. Sharpe ne diede una versione

semplificatrice.

Ulteriori sviluppi si sono avuti da parte di Linter nel

1965 e Massin nel 1966 che hanno caratterizzato i

prezzi di equilibrio in un mercato che seguiva le regole

del modello di Markowitz.

Non tutti i modelli di selezione del portafoglio si rifanno

allapproccio di Markowitz: recentemente due

ricercatori, Konno e Yamasaky, hanno proposto un

4

modello di relazione di portafoglio che ha il pregio di

formularsi come un problema di programmazione lineare

e si posa su ipotesi simili a quelle di Markowitz.

Non vanno poi trascurati gli approcci basati sui concetti

della analisi multicriteria, che rifiuta lapproccio

razionale ottimizzante e critica il concetto di soluzione

ottima. Secondo questa analisi i modelli di selezione del

portafoglio vanno intesi come un insieme di procedure

che per un verso restringono il campo delle alternative

possibili e per altro verso procedono ad evidenziare

portafogli particolarmente adatti alle esigenze e alle

possibilit del decisore.

Lapproccio di Markowitz ha poi fornito le basi al pi

noto dei modelli di equilibrio dei mercati finanziari: il

CAPM (Capital Asset Pricing Model).

Essendo la teoria del portafoglio basata sul concetto di

rischio e rendimento dei singoli titoli necessario

definire prima tali grandezze in termini finanziari.

5

1.Rendimenti incerti

Consideriamo un titolo e la sua variabile di rendimento in

un intervallo di tempo che assumiamo unitario.

Un titolo di puro sconto acquistato al prezzo P oggi, in

t=0, e che vale M in t=1, considerato un titolo certo,

non rischioso.

Per esso la varianza (o rischiosit) nulla ed il

rendimento (certo) noto:

P M 0 1 t P(1+i)=M

i=(M-P)/P

Nella teoria del portafoglio il tasso effettivo di

rendimento, nel periodo considerato, viene anche

indicato con r o R:

R=(M-P)/P

Se consideriamo invece un titolo con cedole intermedie

(nellintervallo considerato) allora il rendimento

effettivo non noto se non ex post, una volta che si

siano reinvestite le cedole e ritirato alla scadenza il

capitale, pur essendo noto il prezzo di acquisto P pagato

in t=0. Per esempio:

6

P iC iC+C

t=0 t=1

Il montante M in t=1 (che include anche eventuali premi e

reinvestimenti di cedole) non noto con certezza, ed ha

il carattere di una variabile casuale, per esempio

Mk = iC(1+jk) + (iC+C)

con probabilit pk e possiamo, quindi, considerare la v.c.

rendimento del titolo avente le uscite

Rk=(Mk-P)/P

con probabilit pk.

Definiamo rendimento atteso (1)

e assumiamo come misura della rischiosit del titolo, la

varianza (2)

==k

kkk REpRR2222 )()()(

(la varianza una misura di quanto il rendimento

effettivo, Rk, che si realizza possa discostarsi, in media,

dal valore atteso). Nel caso di titoli azionari anchessi

appartenenti alla classe di attivit finanziarie rischiose

kk

k pR=

7

il rendimento del titolo, dato il prezzo Pt al tempo

iniziale t, ed il prezzo Pt+1 al tempo t+1, viene calcolato

da: (3)

t

tttt P

DPPR 11 ++ +=

Definiamo, poi, come fattore di rendimento il seguente

rapporto: (4)

t

tt

PDPR 11* ++ +=

Dove Dt+1 sono i dividendi pagati, di solito in contante,

tra il tempo t ed il tempo t+1.

Spesso per semplicit si assume che le realizzazioni

possibili, Rk, siano tutte equiprobabili, non avendo

sufficienti informazioni sulleffettiva probabilit pk associata

a ciascuna realizzazione. I rendimenti di un titolo vengono

determinati utilizzando i prezzi del titolo a diverse

scadenze. Per esempio, supponiamo di conoscere i prezzi

di un titolo ai tempi t=0,1,2.,N mesi

P0 P1 P2 PN

0 1 2 N

8

possiamo quindi calcolare il rendimento mensile,

assumendo che abbia le realizzazioni

0

011 P

PPR =

con probabilit pari a pk=1/N, e in generale la

realizzazione

1

1

=

k

kkk P

PPR

con probabilit pk=1/N, con k=1,2,..N.

Il rendimento atteso (mensile) del titolo :

2. Rendimenti come variabili casuali Normali

Il rendimento di un titolo rischioso pu essere trattato

come variabile casuale con valore atteso e varianza 2,

parametri che ci permettono di elaborare una teoria del

portafoglio per la determinazione della combinazione

ottimale dei titoli da inserire in un portafoglio di titoli

rischiosi.

=

==

N

kkRN

RE1

1)(

9

Di solito ci si assume in modo da semplificare lanalisi.

Infatti la v.c. normale descritta interamente da media

e varianza sufficienti per ottenere un quadro completo

dei possibili rendimenti di unattivit finanziaria.

La media e la varianza di un titolo non sono le uniche

misure adottate per misurare rispettivamente il

rendimento atteso e il rischio di un titolo. Tuttavia se il

rendimento del titolo considerato ha una distribuzione

normale allora esse racchiudono in forma sintetica tutte

le informazioni possibili su quel titolo.

Vediamo perch e in quali circostanze si possa modellare

il rendimento di un titolo come variabile casuale normale.

Dalla (4) possiamo anche definire il logaritmo del

rendimento R per periodo: (5)

t

tt

PDP

r 11ln ++ +=

poich 1=t

t

PP

)1ln(1ln 11 tt

ttt RP

DPPr +=

++= ++

Con un R inferiore a 0,15 r sar approssimativamente

uguale a R. Perci al fine di analizzare lipotesi di

10

normalit dei rendimenti pi conveniente analizzare i

rendimenti logaritmici.

Si consideri landamento del rendimento di un titolo

1,2,N giorni. Sia Rt(1) il rendimento semplice per un

giorno, dal giorno t al giorno t+1 e sia rt(1) il

corrispondente rendimento logaritmico tale che

))1(1ln()1( tt Rr +=

Ipotizzando che i pagamenti in contante siano

immediatamente reinvestiti nel titolo a prezzo corrente

di mercato, possiamo definire come rendimento composto

di n giorni Rt(n) dal giorno t al giorno t+n il prodotto di

una sequenza ininterrotta di rendimenti semplici

giornalieri

1+Rt(n)=[1+Rt(1)][1+Rt+1(1)][1+Rt+n-1(1)]

Se non vi sono pagamenti durante il periodo di

investimento di n giorni, il rendimento composto Rt(n)

sar identico al rendimento semplice definito

dallequazione (3) per il periodo di n giorni.

Il rendimento logaritmico rt corrispondente a Rt(n)

1 1

definito come rt(n)=ln[1+Rt(n)]. Dalle propriet del

logaritmo abbiamo (6)

Cio il rendimento logaritmico di un investimento della

durata di n giorni uguale alla somma degli n rendimenti

logaritmici giornalieri realizzati durante il periodo

dinvestimento di n giorni.

Supponiamo ora che i rendimenti logaritmici per

investimenti della durata di un giorno siano delle

variabili casuali indipendenti identicamente distribuite,

con media e varianza 2. In base a condizioni

sufficientemente generali circa la distribuzione di tali

rendimenti, il teorema del limite centrale afferma che il

rendimento logaritmico di n giorni definito nellequazione

(6) converger verso una distribuzione normale con

media n e varianza n2 al crescere di n.

Fintanto che i rendimenti logaritmici giornalieri sono v.c.

statisticamente indipendenti con varianza finita, la

distribuzione dei rendimenti logaritmici per intervalli di

tempo pi lunghi converger verso una distribuzione

normale al crescere della durata del periodo

=

=

=

+++ =+=+=+1

0

1

0

1

0)1()]1(1ln[))]1(1(ln[)](1ln[

n

k

n

k

n

kktktktt rRRnR

1 2

dinvestimento. Levidenza empirica indica che la

convergenza si ottiene per periodi di una settimana o di

un mese circa. Questo risultato importante per lo

studio dellandamento dei corsi azionari perch vi sono

numerosi contributi nella letteratura statistica e in

quella del calcolo delle probabilit che analizzano proprio

le caratteristiche delle distribuzioni normali. I risultati

di tali studi possono essere applicati se i rendimenti

logaritmici si distribuiscono, asintoticamente, in modo

normale.

Vi un unico caso in cui i rendimenti logaritmici si

distribuiscono in modo perfettamente normale per

qualsiasi periodo di investimento. Se i rendimenti

logaritmici giornalieri rt(1) si distribuiscono essi stessi

in modo normale, i rendimenti rt(n) per investimenti di n

giorni si distribuiscono anchessi in modo normale per

tutti gli n1. In questo caso rt(n) sar uguale alla somma

di n variabili casuali normalmente distribuite e non

occorrer fare riferimento al teorema del limite

centrale per ottenere la normalit di rt(n).

1 3

Da studi iniziali sulla distribuzione dei rendimenti dei

titoli azionari risulta che la varianza campionaria di

rendimenti logaritmici aumenta in modo approssimativa-

mente lineare con la durata del periodo di investimento.

Questi risultati sembrano favorire lipotesi che i rendi-

menti logaritmici di un titolo azionario tendano a distri-

buirsi, asintoticamente, in modo normale, con varianza

finita della distribuzione dei rendimenti giornalieri. Da

questi studi, tuttavia, risulta anche che, per rendimenti

misurati per brevi intervalli di tempo, si possono

osservare valori estremi, positivi e negativi, pi elevati

che ci si potrebbe aspettare se tali rendimenti fossero

distribuiti normalmente. Il fatto che nella distribuzione

di rendimenti logaritmici giornalieri si possano riscon-

trare delle code abbastanza spesse (fat tails) contrad-

dice lipotesi che tali rendimenti siano normalmente

distribuiti ed induce a pensare che per intervalli pi

lunghi la normalit dei rendimenti logaritmici sia,

quantomeno, un risultato asintotico.

14

3.Portafoglio di due titoli rischiosi

Supponiamo ora che un investitore scelga di investire in

due titoli rischiosi B1 ed B2, uniperiodali (della durata di

un anno

per esempio). Facciamo poi lipotesi che i titoli siano

infinitamente divisibili, ossia che si possa acquistare un

titolo anche solo parzialmente e quanto si realizza in t=1

proporzionale a quanto si investito in t=0.

Consideriamo allora il portafoglio che consiste

nellinvestire:

x1 nel titolo B1

x2 nel titolo B2

con

x1+ x2=1, x i0

dove x i la frazione del capitale unitario che vogliamo

investire nel titolo B i (se W il capitale totale da

investire e W i le quote da investire nel titolo i, allora x i=

W i/W).

Note le caratteristiche rischio/rendimento dei singoli

titoli B1 ed B2, la composizione del portafoglio dipende

da x1 e x2. Combinando la composizione linvestitore pu

1 5

cambiare il rendimento ed il rischio del portafoglio.

Come vedremo rischio/rendimento del portafoglio si

potranno esprimere in funzione di rischio/rendimento dei

singoli titoli. Indichiamo con R i la v.c. rendimento dei

titoli:

R1 ={R(1)k,p(1)k} k=1,.. N1 R2 ={R(2)k,p(2)k} k=1,.. N2 dove R(1)k=(M(1)k-P1)/P1

si realizza con probabilit p(i )k.

Essendo P1 il prezzo in t=0 del titolo B1 ed M(1)k le

realizzazioni in t=1 con probabilit p(1)k. Analogamente

per R2. Indichiamo con R il rendimento del portafoglio,

che sar una v.c., le cui realizzazioni dipendono da quelle

dei titoli componenti.

Infatti se la ricchezza alla fine del periodo :

W=W+W1R(1)i+W2R(2)j

il rendimento del portafoglio di composizione (x1, x2)

dato da

=

WWWRij

' cos che

jiii

ij RxRxWRW

WRW

R )2(2)1(1)2(2)1(1 +=+=

16

Cio la v.c. rendimento del portafoglio una

combinazione lineare della v.c. rendimento dei singoli

titoli ed si avr

N=N1N2 possibili uscite

con valore R ij(i=1 N1; j=1 N2)

e probabilit composta p ij=p(R(1)i,R(2)j) affinch si

realizzi levento R(1)i per la v.c. R1 e levento R(2)j per la

v.c. R2.

Poich almeno una delle N coppie possibili si realizza:

e

se si fissa R(1)k per B1,con k=1 N1.

Dove p(1)k la probabilit che titolo esca con

realizzazione R(1)k qualunque sia quella del secondo titolo.

Analogamente p(2)k per il secondo titolo. Pertanto le

probabilit marginali si possono ottenere sommando per

riga e per colonna le probabilit congiunte

=1 2

1N

i

N

jijp

=

=

1

1)1( 1

N

kkp

=

=

2

1)1(

N

jkjk pp

1 7

R21 R2j R2N

R11

R1i

R1N

p11

p ij

pNN

p(1)1

p(1)i

p(1)N

p(2)1 p(2)j p(2)N

Il problema che le probabilit congiunte non si

conoscono, ma in genere sono note le quelle marginali,

sufficienti a calcolare il rendimento atteso del

portafoglio, E(R) o :

Quindi noti i rendimenti attesi dei singoli titoli

componenti il portafoglio, il rendimento atteso del

portafoglio la combinazione lineare dei due rendimenti.

Il rischio del portafoglio, misurato dalla varianza 2(R),

dipende dalle varianze dei singoli titoli e dalle

= = = = = = = =

=+=+===1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1)2(2)1(1)2(2)1(1 )()(

N

i

N

j

N

i

N

j

N

i

N

j

N

i

N

jijjijiijjiijij pRxPRxpRxRxpRRE

= = = =

+=+=+=1 2 2 1

1 1 1 12211)2()2(2)1()1(1)2(2)1(1 [][

N

i

N

j

N

j

N

i i jjjiiijjiji xxpRxpRxpRxpRx

18

correlazioni esistenti fra i vari titoli. (La correlazione

viene misurata tramite la covarianza fra le v.c. R1 ed R2.)

Se le coppie di possibili realizzazioni aventi tutte uguali

probabilit di verificarsi sono disposte come in figura a

sinistra, allora c una relazione inversa tra R1 ed R2. Un

portafoglio composto da questi due titoli avr un

rendimento atteso stabile perch si recupera su

unattivit quello che si perde sullaltra.

Al contrario una relazione tra rendimenti positiva, come

in figura a destra, determiner un portafoglio con un

rendimento atteso o molto alto o molto basso.

Definiamo la covarianza che esprime la relazione tra R1

ed R2:

mentre

(Notiamo che se la probabilit che in entrambi i titoli sia

la realizzazione di R1 che di R2 sia maggiore (minore) dei

rispettivi rendimenti attesi, allora la covarianza

positiva. Al contrario se i rendimenti si muovono in

maniera discordante rispetto ai rispettivi rendimenti

= =

==

1 2

1 12)2(1)1(1221 ))((),cov(),cov(

N

i

N

jijji pRRRRRR

2),cov( iii RR =

19

attesi, allora la varianza negativa. Vediamo allora la

covarianza negativa in figura a sinistra e positiva in

figura a destra.)

Se cov=0 si dice che le v.c. sono non correlate, e ci pu

accadere (condizione sufficiente ma non necessaria) se

esse sono statisticamente indipendenti, cio P ij=p(1)ip(2)j

4.Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi

Calcoliamo la varianza di un portafoglio:

1221

22

22

21

21 2 xxxx ++=

Spesso meglio utilizzare il coefficiente di

correlazione, che non dipende dallunit di misura delle

variabili ed una sorta di covarianza normalizzata,

compreso nellintervallo (-1,1):

21

1212

=

= =

=+=+==1 2

1 1

22)2(21)1(1

22211)2(2)1(1

22 )]()([)()()(N

i

N

jijjiijjiijij pRxRxpxxRxRxpRR

=++= ijjiji pRRxxRxRx )])((2)()([ 2)2(1)1(2122)2(2221)1(21

=++= ijjiijjiji pRRxxpRxpRx ))((2)()( 2)2(1)1(212

2)2(22

21)1(

21

20

da cui

Poich cov(Ri,Ri)=2i introduciamo la matrice di varianza-

covazianza (simmetrica):

Ponendo X=[x1,x2] si ha

Possiamo ora rappresentare ogni portafoglio ammissibile

nel piano cartesiano media-varianza MV.

Sappiamo dal vincolo di bilancio che x1+x2=1, cio che

tutta la ricchezza disponibile viene investita, e che x i0,

cio che non sono ammesse vendite allo scoperto,

pertanto dobbiamo stimare un solo parametro, visto che

x1=1-x2 e che quindi linsieme che otteniamo nel piano MV

unidimensionale in cui rappresentiamo una curva di

equazioni(7):

con x2[0,1]

2112122

22

21

21

22

2)( xxxxR ++=

222112

21122

1

=V

VXXR ')(2 =

2 1

Eliminando x2 otteniamo lequazione di una curva nel

piano MV, luogo geometrico dei portafogli ammissibili.

Osserviamo che:

x2=0 =1, 2= 12

x2=1 =2, 2= 22

quindi i due estremi sono i punti P1 e P2 relativi ai singoli

titoli B1 ed B2, cio si investe tutto o nelluno o nellaltro

titolo.

Al variare di x2 fra 0 e 1 otteniamo una curva che

congiunge i due estremi.

Supponiamo che B1 sia il titolo a media e varianza

inferiori.

Analizziamo i casi particolari al variare del coefficiente

di correlazione:

++=

+=

21122222

22

212

22212

)1(2)1()1(

xxxx

xx

2 2

a) Perfetta correlazione: =1

In tal caso si ha (8):

Dalla seconda equazione esplicitiamo x2:

e sostituendo nella prima equazione:

che lequazione di una retta con coefficiente angolare

b>0 che dipende dalla relazione tra i rendimenti attesi e

le varianze dei due titoli, ed intercetta pari ad a. La

frontiera efficiente in tal caso rappresentata dal

segmento di retta congiungente i due punti P1 e P2.

2 P2

1 P1

12 22

+=++=

+=2

2212212222

22

21

22

22212

])1[()1(2)1()1(

xxxxxx

xx

12

12

=x

ba+=

+

=

++=

+=12

12

12

2121

12

111212112112

12

11 )(

2 3

b) Perfetta correlazione negativa: =-1

Si ha (9):

da cui:

2212 )1( xx =

quindi essendo

0)1( 2212 xx

per

21

12

+x

si ha

+

=

2212

2212

)1()1(

xx

xx

rispettivamente per:

24

Se x2=1/(1+2) allora =0, cio il portafoglio a rischio nullo ed il rendimento :

21

2112

+

+=

Nel caso 2) si ha:

21

12

+

+=x

e sostituendo nella prima equazione della (9):

1121

12

21

21122

21

11

21

1 )1( ba +=+

++

+=

+

++

+

+=

che lequazione di una retta con coefficiente angolare

b1>0.

Il portafoglio a rischio nullo ha composizione ),( 21 = xxx

con

21

12

+=x e

21

221 1

+== xx

e rendimento atteso

)( 1221

11

21

2112

+

+=+

+=

Possiamo allora rappresentare la frontiera di portafoglio

2 P2 1 P1 12 22

2 5

Dalla figura possiamo evincere che in presenza di 2 titoli

perfettamente non correlati si pu costruire un

portafoglio a rischio nullo calcolando le giuste porzioni di

x1 e x2.

c) Rendimenti non correlati:=0

Si ha (10):

+=

+=22

22

212

22212

)1()1(

xx

xx

esplicitando x2 dalla prima equazione si ha

12

22

12

12 1;

=

= xx

e sostituendo nella seconda

22

2

12

121

2

12

22 )()(

+

=

che nel piano (,) lequazione di una conica, mentre nel

piano (2,) lequazione di una parabola:

2 P2 1 P1 12 22

22

21

21

22

221

212

22

21

22

21

21

2212

2 )(2)()()()( ++++=+=

26

Per trovare il portafoglio a rischio minimo possiamo

utilizzare trovare il minimo della funzione 2(x2).

1. Si ha:

da cui

mentre dal vincolo di bilancio si ha

e poich

otteniamo che (x1,x2) minimizzano 2 (o ) e sono

quindi il portafoglio a rischio minimo:

22

22

21

22

2 )1( xx +=

02)1(2 2222122

2

=+=

xxdxd

22

21

21

2

+=x

22

21

22

1

+=x

0)(2 22212

22

>+=

dxd

2 7

e rendimento:

Osserviamo che allo stesso risultato si poteva pervenire

trovando il min della funzione 2()

d) Caso generico: (-1,1)

In questo caso le equazioni descritte dal sistema MV

descrivono una conica (piano ,) o una parabola (piano

2,)

Il portafoglio a rischio minimo si determina ugualmente

risolvendo il problema di minimizzazione.

=-1 =0 2 1 =1 2

222

22

1

212

12

22

21

222 )()(

++

+=

22

21

221

212

1222

21

21

1 )(

+

+=

++=

28

Dallequazione

[ ][ ]212122212122212122121221222122

12

212122

21

21

222

12

2

2))((2)2()(1

))((2)()()(1

++++++

=

++

=

osserviamo che

0)2( 212221 >+ per + per 1~2 21

22

21 >=

+<

in modo che soddisfatta la condizione (-1,1).

Minimizziamo ora la funzione

212222

22

21

222

2 )1(2)1()( xxxxx ++=

ottenendo

0)21(22)1(2 2122222122

=++= xxxdxd

da cui

2122

21

2112 2

)(

+

=x

e considerando che

odx

d>+= )2(2 212221

2

22

x2 punto di minimo e che x2>0 per 1-2>0, cio

29

Quindi il portafoglio a rischio minimo esiste per

(-1,1/2).

In tali casi il portafoglio ((1-x2),x2) ha rendimento

=+x2(2-1). Se x2(0,x2) si hanno portafogli non

preferiti mentre per x2(x2,1) si hanno i punti della

frontiera efficiente.

5.Vendite allo scoperto

In questo caso eliminiamo la condizione x i0 assumendo

invece x i R. Quindi se ad esempio x1 1, cio x1 negativo vuol dire che il titolo B1 venduto

allo scoperto, cio loperatore vende titoli che non

possiede, deve prenderli in prestito per poterli vendere

e si impegna poi a restituirli ad una data futura

concordata. Si indebita allo scopo di acquistare di pi

(x2 >1) del titolo B2.

In questo caso otteniamo come luogo dei punti

ammissibili del piano rischio-rendimento le stesse curve

ottenute prima, ma non dobbiamo considerare solo la

porzione di curva compresa fra i punti P1 e P2 ma tutta la

curva come rappresentato in figura rispettivamente

30

per =1, =-1, (-1,1)

x1

3 1

Loperatore sceglier la composizione che massimizza la

propria soddisfazione, restringendo lanalisi ai soli punti

della frontiera efficiente.

Nota una utilit del danaro u(x), la funzione

D(,)=u()-

oppure D(,)=u()- con ,>0 e (0,1) pu essere assunta come funzione di utilit nel piano

(,). Comunque non sempre necessario partire da una

funzione u(x), ma sufficiente che una funzione D

soddisfi alcuni criteri generali che richiediamo debbano

valere per una funzione di utilit. Cio le curve di

isoutilit D(,)=C esplicitate in =F(,C) devono essere

crescenti e convesse, in quanto al crescere di , cio

aumentando il rischio, la soddisfazione resta la stessa

solo se si ottiene un rendimento maggiore (da cui F>0).

Inoltre se il rischio non elevato un piccolo aumento di

rischio sar compensato, per lindifferenza da un piccolo

aumento di rendimento, ma se il rischio elevato, un

aumento anche piccolo del rischio sar compensato, per

lindifferenza, da un maggior incremento del rendimento

(da cui F>0). Perci le curve sono come in figura.

3 2

Non possibile considerare curve di isoutilit

decrescenti (vedi figura) perch allora linvestitore

stima di pari soddisfazione portafogli aventi basso

rischio e alto rendimento e portafogli aventi alto rischio

e basso rendimento contraddicendo il criterio MV.

Vediamo qualche esempio di funzioni di utilit D:

a) D(,)=-a con a>0 e costante.

Le curve di isoutilit hanno equazione D=c (costante) ,

ossia

-a=c che sono rette di pendenza a ed intercetta c.

3 3

b) D(,)=/, le curve di isoutilit =c sono rette

passanti per lorigine con coefficiente angolare c.

c) D(,)=-a2 a>0, le curve di isoutilit sono date da

=a2+c cio parabole con intercetta c.

d) D(,)=-1/(b-) con

34

P2 P1

Invece per un investitore mediamente avverso al rischio

il portafoglio di scelta ottimale sar:

P2 P1

Per un investitore poco avverso al rischio il punto scelto

cadr lontano dal portafoglio di rischio minimo:

P2 P 1

Mentre il punto scelto potrebbe superare il punto P2 se

fossero consentite vendite allo scoperto, investendo pi

di quel che si ha nel solo titolo B2:

3 5

P2 P 1

Sempre per quel che riguarda il problema di scelta

ottimale individuale del portafoglio supponiamo nota la

funzione di preferenza D(,).

Per determinare il punto della frontiera efficiente che

fornisce la massima utilit non necessario determinare

prima la frontiera efficiente, ma possiamo risolvere

direttamente il problema di ottimizzazione.

La regione ammissibile definita dalle equazioni

parametriche:

=++=

=+=VXXxxxx

Xxx'2

'

212122

22

21

21

22211

x1+x2=1 e dove =(1,2)

Quindi per ogni fissata composizione, X=(x1,x2), possiamo

calcolare direttamente il valore di soddisfazione

corrispondente:

F(X)=F(x1,x2)=D((x1,x2),(x1,x2))

x1+x2=1

36

(che si pu anche scrivere UX=1, con U=(1,1,,1))

Impostiamo allora il problema di ottimo:

max F(X)

UX=1

che risolto ci da il portafoglio ottimo.

Essendo il vincolo lineare si ha x1=1-x2 e quindi possiamo

scrivere:

++=

+=

212222

22

21

22

22212

)1(2)1()1(

xxxx

xx

e considerare allora

f(x2)=D((x2),(x2))=F((1-x2),x2)

risolvendolo come problema di libero max f(x2)

Se D tale che le curve di isoutilit sono crescenti e

convesse e la frontiera efficiente una funzione

crescente e concava, allora il problema di ottimo da

soluzione unica.

Una volta trovato il portafoglio che rende massima la

funzione di utilit, calcoliamo i corrispondenti valori di

rendimento atteso e rischio ricavandoli dal sistema

parametrico media-varianza.

3 7

7. Modello di Markowitz: portafoglio con n titoli

rischiosi

Markowitz sostiene che la varianza della media dei

rendimenti decresce all'aumentare del numero n dei

titoli. E' per questo motivo che egli effettua la sua

analisi su n titoli, evidenziando l'importanza della

diversificazione del portafoglio per ridurne il rischio.

Nel caso di un portafoglio con n titoli rischiosi, B1, B2,,

Bn, il problema della costruzione ottimale non

sostanzialmente differente dal caso di un portafoglio di

due titoli.

Ricordiamo le ipotesi che stanno alla base del problema

in esame:

Tutti i titoli hanno la medesima durata (modello

uniperiodale)

I titoli sono infinitamente divisibili

Sono consentite vendite allo scoperto;

Non esistono rischi di insolvenza (il solo rischio

misurato dalla varianza o dalla deviazione standard)

Non esistono gravami fiscali o costi di transazione

38

Gli agenti sono price taker: non influenzano i prezzi

dei titoli ed il mercato (esiste una base oggettiva per

tutti che la frontiera efficiente)

Gli agenti sono massimizzatori del profitto o

dellutilit attesa

Il mercato coerente (assenza di arbitraggio)

La distribuzione dei rendimenti di tipo Normale con

media e varianza 2

Si in presenza di investitori avversi al rischio

(u(x)

39

22)(

2

1)(

2 )()( kkikkN

iikk REpR k

k

kk

== =

o la deviazione standard 2kk =

che viene usata come stima della rischiosit. Dovremo

allora analizzare il portafoglio (generico) che si ottiene

investendo x1 lire in B1,,, xn lire in Bn tenendo conto

del vincolo di bilancio

x1+ x2++ xn =1

In forma compatta, il portafoglio di composizione

X=(x1,,xn) ha vincolo UX=1 dove U=(1,,1). Osserviamo

che se non mettiamo il vincolo di non negativit x i0,

significa che sono consentite vendite allo scoperto.

Nel portafoglio di composizione X=(x1,x2,,xn),

analogamente al caso di 2 soli titoli, si trova che il

rendimento atteso di portafoglio (X), una

combinazione lineare dei rendimenti attesi dei singoli

titoli:

(X) = x11+x22++xnn

= X

dove =(1,,n).

40

Per quanto riguarda la varianza 2(X) del portafoglio di

composizione X ci aspettiamo che, analogamente al caso

con due titoli, intervengano le covarianze dei due titoli a

due a due. Supponendo che siano note le probabilit

congiunte per titoli a due a due, (Br, Bs), ossia

P(R(r) ir, R(s) is) ir=1,,Nr; is=1,,Ns

Per cui si ha

srisirsis

N

i

N

irirsr srr

r

r

s

s

rRRpRRBB

,)()()(1 1

)( )())((),cov( == = =

potremmo disporre le varianze e le covarianze degli n

titoli in una matrice V, detta matrice varianza-

covarianza, con

V(i,i)= cov (B i, B i) = i2

V(i,j)=V(j,i)= cov(Bi,BJ)= i ,j

E dove

11. 1n

V=

n1 nn

La matrice V (quadrata di ordine n) ovviamente

simmetrica, e noi assumeremo che sia anche definita

positiva.

4 1

La varianza del portafoglio di composizione X=(x1, x2,,

xn), analogamente al caso di due titoli, risulta essere la

forma quadratica associata alla matrice di varianza-

covarianza V:

2(X)=XVX = jin

jiji xxV

= 1,,

e la deviazione standard del portafoglio

)()( 2 XX =

Riassumendo, note le caratteristiche dei singoli titoli B1,

B2,,Bn per il portafoglio di composizione X=(x1, x2,, xn)

si ha:

2(X)=XVX

(X)= X

UX=1

Dove

=(1,2,n),

V i ,j = cov(B i, Bj) = i ,j;

U=(1,,1).

42

8. Portafoglio ottimo

8.1. Caso con assenza di vincoli di non negativit e di

attivit a rendimento certo

Se supponiamo che un investitore abbia una data

funzione di preferenza individuale D(,) o D(2,) da

massimizzare, potremo risolvere direttamente il

problema di ottimo, per determinare il portafoglio di

massima soddisfazione:

max F(x1, x2,, xn) = D((x1, x2,, xn), (x1, x2,, xn))

1=i

ix

oppure eliminare il vincolo di uguaglianza e risolvere un

problema di libero in (n-1) variabili.

Esempio.Se loperatore assume D(,)=-a2 si avr

max F(x1, x2,, xn) = X-aXVX

UX=1

Ed essendo V definita positiva, -V definita negativa, ed

il problema di max ha ununica soluzione che definisce il

portafoglio ottimo.

43

Inoltre, essendo il vincolo lineare e la funzione obiettivo

concava, il problema di ottimizzazione convessa cos

che le condizioni del I ordine sono necessarie e

sufficienti per risolvere il problema.

Come si visto anche per il caso di due titoli, conviene a

volte risolvere la parte tecnica comune a tutti gli

investitori, e determinare nel piano (,) o (2,) la

regione dei portafogli ammissibili e la frontiera

efficiente (luogo dei portafogli efficienti).

In questo caso per ogni fissato livello di rendimento =pi

(costante fissata), cerchiamo il portafoglio minimo, ossia

il vettore X*(pi*) che minimizza la varianza, soluzione del

problema di ottimo

min 2(X) = XVX

X=pi*

UX=1

Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

introduciamo la seguente funzione

XUXVXXXL '1()'*('),,( 2121 ++= pi

44

si ottiene

( )[ ])2(1*))(*(

)(1*)(*

22

11

pipipi

pipipi

+=

+=

x

UVRVx

x*(pi) un punto della frontiera (efficiente) della

regione G dei portafogli ammissibili, e nel piano (2,)

tale frontiera una parabola di vertice (2m=1/; m=/) G m 2m Interessa anche riportare la frontiera efficiente nel

piano (,). In tal caso le ultime due equazioni ,

forniscono per frontiera della regione G nel piano (,)

un arco di iperbole

m m Propriet della frontiera efficiente

Quindi, se

X1=pi1*Y+Z

45

soluzione ottima corrispondente al rendimento pi1* (con

varianza 12) e

X2=pi2*Y+Z

soluzione ottima corrisponde al rendimento pi2* allora

la soluzione ottima corrispondente al rendimento

(combinazione lineare convessa)

pi*=api1*+(1-a)pi2*

data da

X*=aX1+(1-a)X2

Con ci si dimostrato che se sono consentite vendite

allo scoperto, qualunque combinazione lineare convessa di

portafogli di frontiera ancora un portafoglio di

frontiera.

Dati X1 e X2, due portafogli di frontiera con rendimenti

attesi pi1 e pi2, per ogni a R

X*=aX1+(1-a)X2

il portafoglio di frontiera corrispondente al

rendimento atteso

pi*=api1*+(1-a)pi2*

46

Come ottenere un portafoglio di frontiera

Tutti i portafogli di frontiera si possono ottenere a

partire da due qualunque di essi.

Noti due portafogli di frontiera X1 ed X2 corrispondenti

ai rendimenti attesi pi1* e pi2* per determinare la

soluzione ottima corrispondente al rendimento atteso di

un livello * sufficiente determinare il valore di a tale

che

*=api1*+(1-a)pi2*

ossia

a= (-pi2*)/(pi1*-pi2*)

1-a= (pi1*-)/(pi1*-pi2*)

si ha immediatamente

X*=aX1+(1-a)X2

8.2. Portafogli che includono unattivit non rischiosa

Insieme ai titoli rischiosi consideriamo solo un titolo non

rischioso. Questo perch nel caso uniperiodale se ci

fosse pi di un titolo non rischioso, la nostra preferenza

andr sicuramente su quel titolo certo che ha il massimo

rendimento. Consideriamo il titolo non rischioso N, la cui

47

varianza quindi nulla, f=0 ed il cui rendimento certo

un determinato valore Rf*.

8.2.a.Portafoglio con un titolo rischioso ed uno certo

Supponiamo che nel mercato sia possibile effettuare

operazioni di debito o credito esenti da rischio ad un

tasso effettivo di rendimento Rf. Investendo un capitale

C in tale titolo non rischioso N, a fine periodo si avr il

montante C(1+Rf).

Supponiamo che sia disponibile anche un titolo rischioso

B, con varianza B2 e rendimento atteso B.

B B

Rf B

E naturale richiedere

B>Rf

altrimenti opteremo per il titolo non rischioso, per il

criterio M/V e non vi sarebbe il problema della

diversificazione del portafoglio (per aumentare il

rendimento atteso).

48

Consideriamo allora il portafoglio ottenuto investendo xf

lire nel titolo N e (1-xf) nel titolo B, otteniamo un

portafoglio (xf, 1-xf) avente rendimento atteso

=xfRf+(1-xf)B

e varianza

22

22222

)1()1(2)1(

Bf

BfafffBfff

x

xxxx

=

++=

in quanto la varianza del titolo certo nulla. Inoltre

anche la covarianza tra un titolo certo ed un titolo

rischioso sempre nulla.

Si deduce poi la deviazione standard

=(1-xf)B

Esaminando il parametro xf dalle equazioni precedenti

otteniamo il luogo, nel piano (,) dei portafogli

ammissibili.

Essendo

(1-xf)=/B e xf=1-/B

si ottiene

B

fBf

B

Bff

BB

fB

RR

RR

R

+=

=

+

= 1

49

che lequazione della retta nel piano(,), la retta congiungente i due punti rappresentativi di N ed B (che anche la frontiera efficiente). B * B RfN * B

Lultima equazione quella della frontiera efficiente di

un portafoglio composto da un titolo privo di rischio ed

un portafoglio rischioso. La quantit Rf viene chiamata

premio per il tempo mentre il coefficiente m=(B-RF)/B

rappresenta il premio per il rischio e misura lincremento

di rendimento di corrispondente ad un incremento

unitario di rischiosit. A seconda delle curve di isoutilit

si avr la scelta del portafoglio ottimo (che massimizza

lutilit D(,).

La soluzione ottima, geometricamente, un punto (*,*)

di tangenza, e, dovendo appartenere alla retta, soddisfa

bf

fB

fA

x

RR

*1*

**

=

+

=

la quantit investita nel titolo N, e

50

Bfx

**)1( =

la quantit investita in B.

Se il punto di tangenza sopra B, ossia *>B, allora

xf

5 1

=(1, 2,, n) i rendimenti attesi e V la matrice (n*n)

di varianze-covarianze.

Per un portafoglio P di composizione Y=(y1, y2,, yn), y i

=1, si ha quindi il rendimento atteso

p= Y

e varianza

VYYp '2

=

e lanalisi oggettiva che ogni operatore pu fare porta

alla determinazione della frontiera efficiente della

regione ammissibile che abbiamo gi visto. Per esempio

nel piano (,) si ottiene un ramo di iperbole del tipo

min G min Con i soli titoli rischiosi non possibile comporre un

portafoglio che abbia un livello di rischiosit inferiore al

valore minimo m (perch tutti i punti della regione

ammissibile hanno varianza maggiore).

Se invece disponibile unattivit non rischiosa N con

tasso effettivo di rendimento Rf, e varianza nulla, allora

combinando gli (n+1) titoli possibile ampliare la regione

5 2

ammissibile ed avere dei portafogli con rischiosit

inferiore a m.

Di nuovo assumiamo Rf

5 3

11

==

n

iiy

e

x i =(1- xf) y i i=1, , n

in tal modo il rendimento e la varianza del portafoglio si

riscrivono come

i

n

iifff yxRx

=

+=1

)1(

p

VYYx f ')1( 22 = p2 dove intervengono il rendimento p e la varianza p2 di

un generico portafoglio costituito dagli n titoli rischiosi

B1, B2, , Bn di composizione (y1, yn) con y i=1.

Inoltre dallultima equazione, la deviazione standard

=(1-xf)p ( )Tyyp '= e mettendo a sistema le equazioni di e :

= xfRf+(1-xf)p

=(1-xf)p

si ottiene

(1-xf)=/p; xf=1-(/p)

fp

fp RR

+

=

54

che nel piano (,) lequazione di una retta,

congiungente il punto (0, Rf) del titolo N con un qualsiasi

punto (p,p) della regione ammissibile del problema con

soli n titoli rischiosi.

L(linea di mercato) m G N Quindi la regione ammissibile si ampliata, un cono di

vertice (0,Rf), nel titolo N, e la frontiera ora una

retta: la retta L uscente dal punto (0,Rf) e tangente al

ramo di iperbole della vecchia frontiera efficiente F

(ossia dei soli titoli rischiosi). Il punto di tangenza, m

(m,m), quello che corrisponde al portafoglio di

mercato (o portafoglio aleatorio ottimo) di composizione

( )mnm yy ,...,1 (ottenuto come nel caso ci siano solo titoli rischiosi nel portafoglio) con rendimento atteso m e

varianza m2.

5 5

La nuova frontiera efficiente la retta L congiungente il

titolo N con il punto rappresentativo di m, ed come se

ci fossimo ricondotti al problema di investire xf lire nel

titolo certo N e (1-xf) lire nel portafoglio m con

rendimento m e varianza m2 (che svolge lo stesso ruolo

del titolo B nel caso semplice di due titoli visti prima). Il

portafoglio m di composizione ( )mnm yy ,...,1 ha il ruolo di mostrare un comportamento che comune a tutti gli

operatori. Infatti tra tutti i portafogli rischiosi possibili

essi ripartiscono tutti la loro ricchezza nei titoli

rischiosi in proporzione al portafoglio di mercato. In ci

consiste il teorema della separazione: gli investitori

individuano il portafoglio m (ed il punto (m,m)), e solo

successivamente risolvono il problema di investire xf in

N ed (1- xf) in m, quindi la proporzione dei titoli rischiosi

da inserire in portafoglio m viene determinata

indipendentemente dalle preferenze degli investitori.

Quanto investire, ossia la scelta ottima di xf, dipender

poi solo dalla particolare avversione al rischio

(individuale), ma una volta determinato xf (da investire

56

nel titolo certo) la composizione del portafoglio di n

titoli rischiosi mnf

mf

mf yxyxyx )1(,...,)1(,)1( 21

in cui si nota che la scelta di xf cambia con linvestitore

mentre i valori del portafoglio di mercato sono gli stessi

per tutti gli operatori.

La seguente

fm

fm RR

+

=

lequazione della frontiera efficiente detta anche linea

critica o retta di mercato (capital market line) che

rappresenta le preferenze di tutti gli operatori e la

tendenza del mercato.

La sua pendenza

m

fm R

=

detta prezzo di mercato del rischio e ci dice il premio,

cio lincremento di rendimento corrispondente ad un

incremento unitario di rischiosit per i portafogli

efficienti.

La retta fornisce una relazione oggettiva, valida per

tutti gli investitori. Ci dice cio che un portafoglio

5 7

composto razionalmente con i titoli disponibili, deve

avere rendimento atteso uguale al tasso Rf maggiorato di

. Ora vediamo come determinare il portafoglio di

mercato. Sappiamo che la regione ammissibile

costituita da rette uscenti dal punto Rf e congiungenti N

con i punti P della regione delimitata da F. Le rette di

pendenza

p

fpp

R

=

variano quindi al variare del punto P nella regione

delimitata dal ramo di iperbole. Il punto di tangenza che

individua il portafoglio di mercato corrisponde quindi alla

retta che ha pendenza p massima, inoltre poich Rf

58

=

=

=

=

n

ii

jij

iij

n

ifii

p

fp

y

as

yyV

RyR

1

1

1

..

max

8.3. Portafoglio con vincoli di non negativit e

assenza del titolo certo

In questo caso dobbiamo aggiungere al modello di

Markowitz i vincoli di non negativit x i 0.

Il portafoglio (x1,, xn) ha di nuovo valore atteso del

rendimento e varianza rispettivamente

(X)= X

2(X)=XVX

ma i vincoli ora sono

UX=1 e X0

Per determinare la frontiera della regione ammissibile G,

di nuovo, fissiamo un livello di rendimento pi* (compreso

tra il minimo e il massimo dei rendimenti attesi dei

singoli titoli rischiosi) e risolviamo il problema di ottimo

59

minXVX

RX=pi

UX=1

x0

La risoluzione del problema pi complessa e utilizza la

seguente lagrangiana:

L=XVX-1( X-pi)-2(UX-1)-KX

con 1,2 e K=( k1,, kn) sono moltiplicatori di Lagrange.

Tutta la regione G ammissibile rappresentata nel piano

(2,) dalle equazioni

2=XVX

= X

U'X=1

X0

la cui frontiera nel piano una curva costituita da archi

di parabole, e quindi differenziabile con continuit

eccetto che in un numero finito di punti, detti vertici

(corner portfolios) che collegano tra loro archi

appartenenti a parabole diverse, ed ogni arco appartiene

60

alla frontiera della regione ammissibile di un

sottoinsieme degli n titoli.

G 2

8.4. Portafoglio con vincoli di non negativit e in

presenza del titolo certo

In tal caso sono presenti nel portafoglio n titoli rischiosi

le cui percentuali devono soddisfare il vincolo di non

negativit ed un titolo a rendimento certo la cui quota

xn+1 pu in alcuni casi assumere valori negativi. Ci

significa che linvestitore pu ricorrere a prestiti in

denaro ad un tasso fissato allinizio del periodo

supponendo che i prestiti e i crediti siano ottenibili allo

stesso tasso, cos da evitare lintroduzione di due titoli

distinti a rendimento certo.

Si hanno tre possibilit:

il ricorso al prestito vietato ed ammesso solo

linvestimento

6 1

vi sono delle limitazioni al prestito

il ricorso al prestito e linvestimento sono illimitati

9. I limiti dell'approccio media/varianza

Il modello di Markowitz, con un approccio immediato e

comprensibile, ha la capacit di dare giustificazione a

due regole empiriche di carattere intuitivo e di larga

adozione pratica:

i vantaggi della diversificazione,

la disponibilit che ogni operatore dimostra ad un

"trade-off" tra rischio e rendimento: rischio di pi se

ho la possibilit di guadagnare di pi.

Naturalmente, come accade ad ogni rispettabile modello

economico finanziario, anche l'approccio di Markowitz

stato oggetto di numerose critiche. Ne presentiamo

alcune.

Solo particolari funzioni di utilit Von Neumann

Morgenstern sono coerenti col criterio media-varianza.

6 2

La varianza pu essere ragionevolmente considerata un

parametro "sfavorevole" solo per v.c. la cui

distribuzione di probabilit simmetrica.

La varianza (anche per v.c. aventi distribuzione

simmetrica) non rappresenta che una dimensione del

rischio associato ad un portafoglio.

Il modello si riferisce a portafogli uniperiodali,

un'estensione del modello ad un orizzonte

multiperiodale non risulta altrettanto espressivo e

gestibile.

Sembra che le ragioni di fondo di tale inadeguatezza

nascano dalla natura statica del modello stesso; oggi

un'impostazione soddisfacente delle problematiche di

selezione di portafoglio deve risultare necessariamente

dinamica in quanto occorre affrontare congiuntamente il

problema della scelta e il problema della gestione.

La minimizzazione del rischio dei portafogli efficienti

si basa sulle presenza di titoli poco correlati o

addirittura negativamente correlati; in presenza di

titoli a forte correlazione positiva, quali ad esempio i

6 3

titoli obbligazionari, il modello di Markowitz funziona

poco.

La determinazione effettiva della matrice delle

covarianze presenta notevoli difficolt sia per quanto

concerne le metodologie statistiche utilizzate sia per

la numerosit dei titoli presenti sul mercato.

La risoluzione del problema di minimizzazione vincolata

della varianza presenta qualche difficolt computa-

zionale ove si impongano alle variabili decisionali

vincoli pi aderenti alle condizioni dei mercati reali

quali ad esempio: x i0, oppure x i multiplo intero di un

lotto minimo

Essendo i valori degli input (matrice delle covarianze e

rendimenti medi) stimati, e dunque noti con margini di

incertezza, le difficolt computazionali aumentano

quando si rendono necessarie le cosiddette "analisi di

sensitivit" al variare degli input stessi (dove per

analisi di sensitivit si intende la stabilit di una

soluzione ottimale al variare di uno o pi input del

problema)

64

10. Altri approcci alla selezione del portafoglio

Il modello di Markowitz per la selezione di portafoglio

non l'unico proposto e ci sembra doveroso segnalarne

altri: alcuni si ispirano, come Markowitz, alla logica

razionale ottimizzante, altri alla logica dell'analisi

multicriteria.

Il modello di Sharpe (noto anche come S.I.M. "single

index model") corrisponde ad un caso particolare di

Markowitz e presenta notevoli vantaggi applicativi, dove

si considerino le grandi difficolt collegate con la

determinazione della matrice delle covarianze in un

mercato dove siano presenti diverse centinaia di

portafogli elementari.

Nel modello di Sharpe si ipotizza che le v.c. che

esprimono i rendimenti periodali dei vari investimenti

rischiosi possano essere "spiegate" da un'unica v.c. I

(indice).

La v.c. I rappresenta la variazione dellindice di mercato

scelto come rappresentativo dellandamento dei titoli

In pratica lindice di Sharpe mette a confronto il rischio

ed il rendimento di un portafoglio di attivit rischiose

6 5

con quello di unattivit priva di rischio. E una misura del

rendimento in eccesso di unattivit rischiosa rispetto ad

una priva di rischio per unit di rischio:

indice di Scarpe = (rendimento medio del portafoglio -

rendimento di unattivit priva di rischio)/deviazione

standard attivit rischiosa.

Tale confronto descrive se il maggior rischio a cui si

sottoposti investendo denaro in unattivit rischiosa ha

comportato un maggior guadagno: indica cio se

convenuto fare linvestimento o se sarebbe stato meglio

rimanere liquidi.

Un'ulteriore generalizzazione del modello di Markowitz

associa ad ogni portafoglio, oltre al valore medio e alla

varianza (che sono i momenti centrali di ordine uno e

due), anche il momento centrale di ordine tre:

e interpreta il valor medio e 3 quali indicatori

"favorevoli", la varianza come indicatore "sfavorevole".

33 ))(( RExp ii =

66

L'utilizzo del terzo momento centrale vuole ovviare al

fatto che la varianza considera allo stesso modo scarti

al di sotto del valor medio e scarti al di sopra.

Il momento 3 di un portafoglio, combinazione lineare di

portafogli elementari, ha per un'espressione pi

complicata della varianza, e la schematizzazione dell'ap-

proccio risulta particolarmente pesante.

Inoltre esistono v.c. con distribuzione di probabilit

asimmetrica e 3=0.

Quando poi la distribuzione di probabilit del rendimento

simmetrica, risulta 3=0, e dunque, il modello viene a

coincidere con quello di Markowitz.

Un modello semplice e di significato finanziario pi

immediato propone la selezione del portafoglio in base ad

una f.d.u. logaritmica: la scelta di tale f.d.u. si giustifica

se osserviamo che equivale alla massimizzazione della

media geometrica dei rendimenti.

Recentemente H. Konno e H. Yamazaki (1991) hanno

proposto un modello di selezione di portafoglio che si

formula in termini di programmazione lineare e che

fornisce soluzioni assai simili a quelle di Markowitz e

6 7

coincidenti con esse nel caso di rendimenti aventi

distribuzione di probabilit normale.

H. Konno e H. Kamazaki cerano quei portafogli per i quali

la v.c. rendimento ha minima deviazione assoluta dal suo

valore medio.

Le impostazioni basate sull'analisi muticriteria, invece,

tendono al superamento dello schema, radicato e

criticabile, della logica razionale ottimizzante e cercano

piuttosto di selezionare portafogli soddisfacenti,

oppure, di scartare portafogli sicuramente inaccettabili.

L'analisi muticriteria prevede innanzitutto che in un

processo decisionale il sistema di preferenze del

decisore, i vincoli e gli obiettivi vanno definendosi e

precisandosi nel contesto del processo stesso, ed inoltre

ogni alternativa risulta variamente caratterizzata da

parametri qualitativi e quantitativi, spesso non commen-

surabili tra di loro, che non possono essere rappresen-

tati e conglobati da un'unica funzione di utilit.

Su questi fondamenti, i modelli di selezione di portafogli

vanno visti come una serie di procedure che, da un lato,

restringono il campo delle alternative escludendo porta-

68

fogli certamente non selezionabili, per l'altro lato

considerano i vari parametri qualitativi e quantitativi

associati ai portafogli non scartati e procedono con

tecniche specifiche ad evidenziare i portafogli pi adatti

alle esigenze e alle disponibilit del soggetto economico

valutatore.

11. Breve applicazione pratica alle teorie esposte

Con lo scopo di approfondire la ricerca abbiamo svolto unanalisi pratica della teoria esposta utilizzando come strumento il foglio elettronico Excel. La volatilit in Excel si esprime con VAR(x) dove x indica la variazione percentuale progressiva del titolo. La volatilit pu anche essere espressa dalla formula DEV.ST.(A,B)*RADQ(X)*100. Si parla in questo modo di deviazione standard. I parametri (A,B) esprimono lintervallo oggetto di disanima (linizio e la fine). A seconda poi dellintervallo temporale in cui losservazione compiuta si avr che X=252 se su base annua, X=64 se su base semestrale, X=5 se su base settimanale. La covarianza espressa dalla seguente formula COVARIANZA(X;Y) in cui X esprime le variazioni percentuali del primo titolo ed Y le variazioni percentuali del secondo.

69

E s emp i oE s emp i oE s emp i oE s emp i o

TELECOM

TELECOM 0,00058 OLIVETTI 0,000539 TIM 0,000473 GENERALI 0,000036 ALLEANZA 0,000086 COMIT 0,000062 FIDEURAM 0,000244 EDISON 0,000064 ENI -0,000004 STM 0,000522 MEDIASET 0,000369 BIPOP 0,000028

0,002999

Matrice varianze/covarianze:

esprime in forma matriciale la relazione dei titoli espressi in portafoglio secondo le formule di cui sopra. La covarianza con lo stesso titolo coincide con la sua varianza.

E s emp i oE s emp i oE s emp i oE s emp i o

T E L E C O M O L I V E T T I T I M G E N E R A L I A L L E A N Z A C O M I T F I D E U R A M E D I S O N E N I S T M M E D I A S

E T B I P O P

T E L E C OM

0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 0 04

0 , 0 0 0 0 4 0 , 0 0 0 0 9 6 E - 0 5 0 , 0 0 0 2 4 0 , 0 0 0 0 6 0 0 , 0 0 0 5 2 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 0 3

O L I V E T TI

0 , 0 0 0 5 4 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 6 0 0 , 0 0 0 4 2 E - 0 5 0 , 0 0 0 3 6 0 , 0 0 0 1 - 4 E - 0 4 0 , 0 0 0 7 3 0 , 0 0 0 4 9 0 , 0 0 0 1 8

T I M 0 , 0 0 0 4 7 0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 0 5 0 , 0 0 0 1 4 E - 0 5 0 , 0 0 0 3 1 0 , 0 0 0 1 3 - 1 E - 0 5 0 , 0 0 0 5 7 0 , 0 0 0 4 2 0 , 0 0 0 1

G E N E R AL I

3 , 6 E - 0 5 0 0 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 1 6 6 E - 0 5 0 , 0 0 0 8 0 , 0 0 0 0 7 5 E - 0 5 0 0 , 0 0 0 0 6 0 , 0 0 0 2

A L L E A N ZA

8 , 6 E - 0 5 0 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 6 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 5 0 , 0 0 0 0 5 5 E - 0 5 0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 0 9 0 , 0 0 0 0 6

C O M I T 6 , 2 E - 0 5 0 0 0 , 0 0 0 0 6 0 , 0 0 0 1 3 E - 0 4 0 , 0 0 0 1 1 0 , 0 0 0 0 4 3 E - 0 5 0 , 0 0 0 0 2 0 , 0 0 0 0 3 - 0 , 0 0 0 0 2

F I D E U R AM

0 , 0 0 0 2 4 0 , 0 0 4 0 , 0 0 0 3 0 , 0 0 0 0 8 0 , 0 0 0 1 5 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 0 7 0 0 , 0 0 0 3 9 0 , 0 0 0 3 4 0 , 0 0 0 2 9

E D I S O N 6 , 4 E - 0 5 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 0 5 4 E - 0 5 0 , 0 0 0 0 7 3 E - 0 4 5 E - 0 5 0 , 0 0 0 0 9 0 , 0 0 0 1 5 0 , 0 0 0 0 5

E N I - 4 E - 0 6 0 0 0 , 0 0 0 0 5 0 , 0 0 0 0 5 3 E - 0 5 0 0 , 0 0 0 0 5 0 0 0 , 0 0 0 2 - 0 , 0 0 0 0 2

S T M 0 , 0 0 0 5 2 0 , 0 0 0 7 0 , 0 0 0 6 0 0 , 0 0 0 0 6 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 3 9 0 , 0 0 0 0 9 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 6 1 0 , 0 0 0 2 5

M E D I A SE T

0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 0 4 0 , 0 0 0 6 0 , 0 0 0 0 9 0 , 0 0 0 3 0 , 0 0 0 3 4 0 , 0 0 0 1 5 2 E - 0 5 0 , 0 0 0 6 1 0 , 0 0 0 8 3 0 , 0 0 0 2

B I P O P 2 , 8 E - 0 5 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 2 0 , 0 0 0 0 6 - 2 E - 0 4 0 , 0 0 0 2 9 0 , 0 0 0 0 5 - 2 E - 0 5 0 , 0 0 0 2 5 0 , 0 0 0 2 0 , 0 0 0 9

0 , 0 0 3 0 , 0 0 3 9 0 , 0 0 0 3 0 , 0 0 0 8 0 , 0 0 1 4 8 E - 0 4 0 , 0 0 3 1 0 , 0 0 1 0 0 , 0 0 5 0 , 0 0 3 6 5 0 , 0 0 2

70

Rendimento atteso

Pu essere determinato in vari modi sia statisticamente che in modo pi marcatamente soggettivo. Nel primo caso utile la formula (1+MEDIA(x,y))^T in cui x,y esprimono l'intervallo considerato e T indica il numero di osservazioni fatte in questo intervallo. Nel secondo caso ci aiuta l'analisi fondamentale con l'esame dei dati di bilancio (Eva, Ebit, P/e) o le previsioni future.

Rendimento complessivo di portafoglio (con pesi gi calcolati)

E(ri) Pesi Volatilit e(ri) ponderato

T E L E C O M 11% 0,057868 10,44033 0,00617 O L I V E T T I 14% 0,05444 20,4455 0,00774 T I M 4% 14,1498 G E N E R A L I 5% 8,226232 A L L E A N Z A 9% 0,075606 13,21336 0,02611 C O M I T 8% 0,322414 6,420567 0,00656 F I D E U R A M 12% 18,44791 E D I S O N 5% 11,64882 E N I 4% 8,501576 S T M 15,60

% 0,004789 25,04624 0,00075

M E D I A S E T 15% 0,101323 17,81803 0,0152 B I P O P 22% 0,38356 21,84104 0,08307

1 0,14559201

Rend imen to a t t e s o : 0 . 145592010 . 145592010 . 145592010 . 14559201