Appunti Analisi

Limiti

Teorema di unicità del limiteSupponiamo che f ammetta limite l (finito o infinito) per x tendente a c . Allora fnon ha altri limiti per x tendente a c .

Teorema di permanenza del segnoSupponiamo che f ammetta limite l (finito o infinito) per x tendente a c . Se l>0 oppure l=+∞, esiste un intorno I (c ) di c tale che f è strettamente positiva in I (c )¿c }¿. Un risultato analogo vale per il segno negativo.

Teoremi del confronto:

Primo teorema del confrontoSupponiamo che per x tendente a c , la funzione abbia limite l mentre la funzione g abbia limite m, (entrambi finiti o infiniti). Se esiste un intorno I (c ) di c tale che f (x)≤g (x) in I (c )¿c }¿, allora l ≤m.

Secondo teorema del confronto - caso finitoSiano date tre funzioni f , g ed h; supponiamo che f ed h abbiano lo stesso limite finito per x tendente a c:

limx→c

f (x )=limx→c

h(x )=l

Se esiste un intorno I (c ) di c nel quale siano definite le tre funzioni (tranne al più nel punto c) e tale che

f (x)≤g (x)≤h(x)∀ x∈ I (c)¿c }¿

allora si ha anchelimx→c

f (x )=+∞

Se esiste un intorno I (c ) di c nel quale siano definite entrambe le funzioni (tranne al più nel punto c) e tale che

f (x)≤g (x) ,∀ x∈ I (c )¿ x }¿allora si ha anche

limx→c

g (x)=+∞

Un risultato analogo vale nel caso del limite −∞

Teorema 4.10Supponiamo che, per x tendente a c , la funzione f ammetta limite l (finito o infinito) e la funzione g ammetta limite m (anch'esso finito o infinito). Allora, ogniqualvolta l'espressione a secondo menbro è definita, si ha

limx→c

(f ( x)±g(x ))=l ±m

limx→c

(f ( x) ∙ g(x ))=l ∙m

limx→c

f (x)g(x )

= lm

(in quest'ultimo caso supponiamo inoltre che g(x )≠0, in un intorno di c escluso al più il punto c).

Teorema di sostituzioneSupponiamo che esista (finito o infinito)

limx→c

f (x )=l

Sia poi g una funzione definita in un intorno di l (escluso al più il punto l) e tale che :

i) se l∈R, g è continua in l;ii) se l=+∞ oppure l=−∞, esiste (finito o infinito)

limy→l

g ( y )

Allora esiste il limite per x tendente a c della funzione composta g∘ f e si ha

limx→c

g (f (x))=limy→l

g ( y )

Limiti Notevoli

limx→0

sinxx

=1

limx→0

1−cosx

x2=12

limx→±∞ (1+ a

x )x

=ea(a∈R)

limx→0

(1+x )1x=e

limx→0

loga(1+x)x

= 1log a

(a>0);∈ particolar e , limx→0

log(1+x )x

=1

limx→0

ax−1x

=¿ log a(a>0);∈ particolare , limx→0

ex−1x

=1¿

limx→0

(1+x)α−1x

=α (α∈R)

Proprietà Globali delle funzioni continue

DefinizioneData una funzione reale f , chiamiamo zero di f ogni punto x0∈dom f in cui la funzione si annulla.

Teorema di esistenza degli zeriSia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a ,b]. Se f (a) f (b)<0, cioè se f assume valori di segno discorde agli estremi dell'intervallo, allora esiste uno zero di f nell'intervallo aperto (a ,b).Se inoltre f è strettamente monotona in [a ,b], allora lo zero è unico nell'intervallo.

CorollarioSia f continua in un intervallo I . Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell'intervallo, limiti (finiti o infiniti) diversi da 0 e di segno opposto. Allora f ha uno zero in I ; tale zero è unico se f è strettamente monotona in I .

CorollarioSiano f e g due funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato [a ,b]. Se f (a)<g(a) e f (b)>g(b), allora esiste almeno un punto x0 nell'intervallo aperto (a ,b) tale che

f (x0)=g (x0)

Teorema dei valori intermediSia f una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [a ,b]. Allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b).

CorollarioSia f una funzione continua su un intervallo I . Allora l'immagine f (I ) di I attraverso la funzione è ancora un intervallo di estremi inf I f e ¿I f .

Teorema di WeierstrassSia f una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a ,b]. Allora f è limitata su [a ,b] e ivi assume valori minimo e massimo

m= minx∈ [a ,b ]

f (x)eM= maxx∈ [a ,b ]

f (x)

Dunque,f ([a ,b ])=[m ,M ].

Teorema 4.32Sia f una funzione continua su un intervallo I . Allora f è iniettiva su I se e solo se f è strettamente monotona su I .

Teorema 4.33Sia f una funzione continua e nvertibile su un intervallo I . Allora la funzione inversa f−1 è continua sull'intervallo J=f (I ).

Simboli di Landau

Siano f e g due funzioni definite nell'intorno di c, tranno eventualmente nel punto c; inoltre, gia g(x )≠0 per x≠c . Supponiamo che esista, finito o infinito,

limx→c

f (x)g(x )

=l

DefinizioneSe l è finito, diciamo che f è controllata da g per x tendente a c; in tal caso, usiamo il simbolo

f=O(g) , x→c

che leggiamo "f è o grande di g per x tendente a c".

Tale proprietà può essere ulteriormente precisata, distinguendo i seguenti casi:

a) Se l è finito e ≠0, diciamo che f è dello stesso ordine di grandezza di g per x tendente a c; in tal caso, usiamo il simbolo

f≍ g , x→c

che leggiamo "f è equigrande con g per x tendente a c". Come caso particolare notevole abbiamo:

b) Se l=1, diciamo che f è equivalente a g per x tendente a c; intal caso, usiamo il simbolo

f g , x→c

c) Infine, se l=0, diciamo che f è trascurabile rispetto a g per x tendente a c; in tal caso, usiamo il simbolo

f=o (g), x→c

che leggiamo "f è o piccolo di g per x tendente c".

I simboli O ,≍ , ,o sono detti simboli di Landau.

Proprietà dei simboli di Landaui) E' chiaro dalle definizioni che i simboli ≍ , , o sono casi particolari del simbolo O, nel senso che, per x tendente a c,

f≍ g⇒ f=O(g) , f g⇒ f =O(g) , f=o(g)⇒ f =O(g).

Inoltre, il simbolo è un caso particolare del simbolo ≍ (se è equivalente è anche equigrande), vale a dire

f g⇒ f≍ g.

Notiamo poi che,