Teorema dell’unicità del limite

Se per x tendente a x0 la funzione f(x) ammette limite, questo è unico.

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo:

Supponiamo che esistano due limiti finiti diversi l1 e l2 ;

cioè

lim f(x) = l1x x0

lim f(x) = l2x x0

e

Allora per la definizione di limite data precedentemente:

Prefissato un qualunque numero > 0

si può determinare un primo intorno di x0 tale che per ogni x di taleintorno sia:

l1 - < f(x) < l1 + si può determinare un secondo intorno di x0 tale che per ogni x di

tale intorno sia:

l2 - < f(x) < l2 +

Supponiamo l2 > l1 Prendiamo 2

12 ll

Nella parte comune ai due intorni varranno le due disuguaglianzeprecedentemente scritte.

In tale parte comune sarà certamente:

l2 - < f(x) < l1 +

e quindi:

l2 - < l1 + ed anche:

> 2

12 ll

Disuguaglianza assurda.

Quindi è assurdo che esistano due limiti diversi.

Teorema della permanenza del segno

Se per x tendente a x0 la funzione f(x) ha per limite il numero finito l diverso da zero, esiste un intorno del punto x0 tale che per ogni x di tale intorno la funzione f(x) assume valori dello stesso segno di l.

Teorema del confronto

Se f(x) e g(x) e h(x) sono tre funzioni definite in uno stesso intorno (a,b) di x0 , se per ogni x di detto intorno risulta:

f(x) g(x) h(x) e se è inoltre

lim f(x)=lim h(x) =l allora

lim g(x)=l

Teorema della somma

Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno(a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0 ,allora anche la somma f(x)+g(x) ha limite finito per x tendente a x0 e questo limite è uguale alla somma dei limiti.

Cioè se è

lim f(x)=l1lim g(x)=l2

allora è pure

lim[f(x)+g(x)]=l1+l2

Nulla si può dire se i limiti sono uno + infinito e l’altro - infinito

Teorema della differenza

Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno(a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0 ,allora anche la differenza f(x)-g(x) ha limite finito per x tendente a x0 e questo limite è uguale alla differenza dei limiti.

Cioè se è

lim f(x)=l1lim g(x)=l2

allora è pure

lim[f(x)-g(x)]=l1 - l2

Nulla si può dire se entrambi i limiti sono + infinito

Nulla si può dire se entrambi i limiti sono - infinito

Teorema del prodotto

Se f(x) e g(x) sono due funzioni definite in uno stesso intorno(a,b) di x0 e se esistono e sono finiti i limiti per x tendente a x0 ,allora anche il prodotto f(x)*g(x) ha limite finito per x tendente a x0 e questo limite è uguale al prodotto dei limiti.

Cioè se è

lim f(x)=l1lim g(x)=l2

allora è pure

limf(x)*g(x)=l1 * l2

Nulla si può dire nel caso in cui un limite è infinito e l’altro è uguale a zero.

Teorema della funzione reciproca

Se la funzione f(x) per x tendente a x0 ha limite finito l diverso da zero,allora la funzione reciproca

)(

1

xf ha per limite l

1

Se lim f(x)= allora lim)(

1

xf=0

Teorema del quoziente

Dai teoremi precedenti si deduce il limite del quoziente

)(

)(

xg

xf

Nulla si può dire se

lim f(x)=lim g(x)=0

oppure se

lim f(x)=lim g(x)=