Appendice F

Il calcolo sulle varietà di�erenziali

In questo capitolo svilupperemo la teoria delle forme di�erenziali sulle varietà e della lorointegrazione. Il teorema fondamentale alla base del calcolo sulle varietà è il teorema di Stokes.Il capitolo termina con il teorema di de Rham che è il ponte tra la geometria di�erenziale ela topologia algebrica. Questo teorema, da una parte mette in evidenza la natura topologicadelle ostruzioni a risolvere sistemi di equazioni di�erenziali e dall’altra dà la possibilità diesprimere le classi di coomologia singolare in termini di forme di�erenziali.

F.1 Le partizioni dell’unità

Sia X una varietà di�erenziale. D’ora in poi assumeremo che X sia uno spazio topologico abase numerabile. Il lettore verificherà che tutti gli esempi dati fino ad ora verificano questoassioma. Poichè si può sempre assumere che gli aperti della base siano contenuti in dischiparametrici, si può anche assumere che essi siano a chiusura compatta. Dati due ricoprimentiaperti U = {U↵}↵2A e V = {Vi}i2I di uno spazio topologico X si dice che V è un ra�namentodi e si scrive V > U se esiste una applicazione ↵ : I 2 A tale che Vi ⇢ U↵(i), per ogni i 2 I.Incominciamo col dimostrare il seguente lemma di topologia generale.

Lemma 12. Sia X una varietà e U = {U↵}↵2A un ricoprimento aperto. Allora esiste unra�namento V > U , dove V = {Vi}i2I è un ricoprimento numerabile, localmente finito (i.e.8x 2 X esiste un intorno A di x che incontra solo un numero finito di Vi) e costituito daaperti a chiusura compatta.

Dim. Incominciamo col costruire un ricoprimento numerabile di X costituito da aperti Ai, i =1, 2, . . . a chiusura compatta e tali che Ai ⇢ Ai+1

. Gli aperti ”invadono” X:

141

A AA A1 2 3 4

Figura 1

Per costruire gli Ai si procede cos„“. Sia B1

, B2

, . . . una base numerabile di X con Bi compatto.Poniamo A

1

= B1

. Supponiamo induttivamente che Ak = B1

[· · ·[Bik

. Sia ik+1

il più piccolointero, maggiore di ik, tale che Ak ⇢ B

1

[ · · · [ Bik+1 e poniamo Ak+1

= B1

[ · · · [ Bik+1 .

Gli aperti Ai soddisfano le condizioni richieste. Ora Ai � Ai�1

è un compatto contenuto inAi+1

�Ai�2

A A A Ai-1 ii-2 i+1

Figura 2

Scegliamo un sottoricoprimento finito del ricoprimento {U↵\A3

} del compatto A2

. Per i � 3scegliamo in sottoricoprimento finito del ricoprimento {U↵ \ (Ai+1

r Ai�2

)} del compattoAi �Ai�1

. Gli aperti cos„“ ottenuti formano il ricoprimento {Vi} desiderato.Definiamo ora le partizioni dell’unità.

Definizione 7. . Sia X una varietà di�erenziale. Una partizione dell’unità su X è unacollezione di funzioni ⇢i 2 C1(X), i 2 I tali che:

1) per ogni i 2 I, supp ⇢i ha chiusura compatta,

2) la collezione di aperti {supp ⇢i}i2I è localmente finita,

3) ⌃⇢i(x) = 1, 8x 2 X, e ⇢i(x) � 0, 8x 2 X, 8 i 2 I.

Le partizioni dell’unità sono molto utili. Dato un oggetto globale, per esempio una forma dif-ferenziale !, definita su tutta X, noi potremo esprimerla come somma di forme !i a supportocompatto.

! = 1 · ! =

X

i2I

⇢i

!

! =X

i2I

(⇢i!) , !i = ⇢i! .

Questo sarà usato, per esempio, nel definire l’integrazione delle forme di�erenziali. Dimostri-amo l’esistenza delle partizioni dell’unità.

142

Proposizione 1. . Sia X una varietà di�erenziale, e U = {U↵} un ricoprimento aperto diX. Allora esiste una partizione dell’unità numerabile {⇢i}i2N, tale che U < {supp ⇢i}

Dim. Innanzitutto sia � una funzione C1 con supporto nell’intervallo (�1, 1) e identicamenteuguale a 1 nell’intervallo

��1

2

, 1

2

�

:

1/2-1/2

Figura 3

A partire da questa funzione è facile costruirne un’altra C1 in Rn, con supporto nell’ipercubo{(x

1

. . . xn) 2 Rn | � 1 xi 1} e identicamente uguale a 1 nell’ ipercubo�

(x1

. . . xn) 2 Rn | � 1

2

xi 1

2

.La denoteremo ancora con �. Consideriamo il ricoprimento numerabile {Ai} costruito nellemma precedente. Poniamo A

0

= A�1

= ;. Dato x 2 X sia ix il più piccolo intero per cuix 2 Ai

x

+1

r Aix

. Scegliamo un indice ↵x tale che x 2 U↵x

e una carta locale (Ux,'x) intornoa x con le seguenti proprietà:

Ux ⇢ U↵x

\ (Aix

+2

�Aix

)

'x(Ux) � {(x1

. . . xn) 2 Rn | � 1 xi 1}.

Denotiamo con Wx ⇢ Ux il supporto della funzione � · 'x. Infine, per ogni i, scegliamo uninsieme finito di punti x 2 X tali che i corrispondenti Wx ricoprano Ai r Ai�1

.

xW UU

A A

xαxx

xx ii

+1 A +2ix

Figura 4

Ordiniamo le corrispondenti funzioni �i = � · 'i, dove i = 1, 2, . . . . Otteniamo cos„“ chel’insieme {supp �i} è un ricoprimento aperto localmente finito di X che ra�na il ricoprimentoU . La locale finitezza permette di definire la funzione

� =1X

i=1

�i , (�i � 0 in X) .

Poiché { supp �i} è un ricoprimento, � è una funzione positiva su X e dunque possiamoconcludere la dimostrazione della proposizione ponendo ⇢i = �i/�.

Le partizioni dell’unità sono uno strumento tipico della geometria di�erenziale. Il teorema dicontinuazione analitica vieta l’esistenza di partizioni dell’unità analitiche. In ambito analitico

143

il comportamento locale determina quello globale, in geometria di�erenziale ciò non accade.Un utile corollario dell’esistenza delle partizioni dell’unità è il seguente:

Corollario (1.4). Sia A un aperto in una varietà di�erenziale X. Sia B un chiuso contenutoin A. Allora esiste una funzione C1 , f : X ! R tale che

1) 0 f(x) 1, 8x 2 X,

2) f(x) ⌘ 1 su B,

3) supp f ⇢ A.

Dim. Basta prendere una partizione dell’unità {⇢i} costruita a partire dal ricoprimento{A,X r B}, e porre f =

P

i: supp (⇢i

)⇢A

⇢i.

Esercizio.

1. Costruire esplicitamente una funzione C1 con supporto nell’intervallo (�1, 1) e identica-mente uguale a 1 nell’intervallo

��1

2

, 1

2

�

.

F.2 Lo spazio tangente

Consideriamo una ipersuperficie M in Rd

M = {(x1

, . . . , xd) 2 Rd | F (x1

, . . . , xd) = 0} ,

dove F è una funzione C1 in Rd tale che per ogni punto p 2 M esista un i con @F/@xi (p) 6= 0.Come è noto dalla geometria elementare, l’iperpiano tangente a M nel punto p = (y

1

. . . yn)è l’iperpiano di Rn definito dall’equazione

X @F

@xi(p)(xi � yi) = 0 .

Similmente, se M è una sottovarietà immersa di Rd definita da m equazioni Fi(x1

, . . . , xd) = 0,i = 1, . . . ,m, lo spazio (d � m)-dimensionale tangente a M in un punto p = (y

1

. . . yd), èdefinito dalle equazioni lineari

X @Fj

@xi(p)(xi � yi) = 0 , j = 1, . . . ,m .

Denoteremo col simbolo Tp(M) la giacitura dello spazio tangente a M in p. Dunque

Tp(M) =⇢

v | v 2 Rd, ⌃@Fj

@xi(p)vi = 0

�

.

Data ora una qualsiasi varietà M , non necessariamente immersa in Rd, e un suo punto p, noivogliamo definire lo spazio tangente in p. Ritorniamo all’esempio della sottovarietà M ⇢ Rd

144

definita dalle Fj = 0. Fissiamo un intorno U di p in M e consideriamo le funzioni C1 in U ,che d’ora in poi denoteremo con il simbolo E0(U). Poiché M è una sottovarietà immersa diRd, si può scegliere U cos„“ piccolo che ogni funzione f 2 E0(U) è la restrizione a U di unafunzione f definita in un intorno U di p in Rn.

UM

U

Figura 5

Ad ogni vettore v 2 Tp(M) noi possiamo associare un operatore lineare

Dv : E0(U) ! R

definito nel modo seguente:

Dv(f) =nX

i=1

@f

@xi(p)vi

Per verificare che la definizione è ben posta consideriamo una qualsiasi curva (cammino) C1

� : I = [�1, 1] ! M ⇢ Rd

poniamo �(t) = (x1

(t), . . . , xd(t)). Supponiamo che �(0) = p e che v = �0(0) = (x01

(0), . . . , x0d(0)).Si ha

d

dt(f�)

�

�

�

�

t=0

=d

dt(f�)

�

�

�

�

t=0

=nX

i=1

@f

@xi(p)x0i(0) (B.1)

=nX

i=1

@f

@xi(p)vi

Ciò mostra che il lato destro non dipende dalla scelta di � e il lato sinistro non dipende dallascelta di f , cosicché ambo i lati danno una buona definizione di Dv(f). L’operatore lineareDv soddisfa ovviamente la regola di Leibniz:

Dv(f · g) = Dv(f)g(p) + f(p)Dv(g) . (B.2)

Un operatore lineare D : E0(U) ! R che soddisfa la regola di Leibniz (B.2) prende il nomedi derivazione nel punto p. Si è quindi definita una applicazione lineare

� : Tp(M) ! {Derivazioni in p : E0(U) ! R} (B.3)p + v 7! Dv .

L’applicazione � risulta essere un isomorfismo. Che � sia iniettiva è ovvio. SupponiamoDv = 0. Per ogni i consideriamo la funzione xi in V . Si ha 0 = Dv(xi) = vi e quindi deve essere

145

v = 0. Rimandiamo a tra poco, in un contesto piú generale, la dimostrazione della suriettivitàdi �, che per il momento assumiamo. Dunque, tramite l’isomorfismo � lo spazio tangente inp a M ⇢ Rd può essere identificato con lo spazio delle derivazioni in p di E0(U), dove U èun intorno su�cientemente piccolo di p. Questo spazio è completamente indipendente dallaimmersione di M in Rd. Lo si può dunque definire per una varietà di�erenziale qualsiasi.L’unica cosa che dà un po’ fastidio è l’apparente dipendenza della definizione dalla sceltadell’aperto U . Sbarazziamoci di questa dipendenza.Sia M una varietà di�erenziale. Sia p 2 M . Si introduce una relazione di equivalenza ⇠ tragli elementi di E0(M), ponendo

f ⇠ g , 9 intorno U di p t.c. f |U = g|U .

Ovviamente ⇠ è una relazione di equivalenza e si pone

E0

p (M) = E0(M)/ ⇠ .

Gli elementi di E0

p (M) si dicono germi di funzioni C1 in p. Se f 2 E0(M) si denota con [f ]la sua classe in E0

p (M). Si vede subito che E0

p (M) è una R–algebra in modo naturale

a[f ] + b[g] = [af + bg]

[f ][g] = [fg] .

Definizione 8. Una derivazione in p di E0

p (M) è una applicazione lineare

D : E0

p (M) ! R

tale che valga la regola di Leibniz:

D([f ][g]) = f(p)D([f ]) + g(p)D([g]) .

Le derivazioni in p formano un spazio vettoriale reale:

(aD + bD0)[f ] = aD([f ]) + bD0([f ]) .

Siamo ora in grado di dare la definizione di spazio tangente in un punto per una varietàqualsiasi.

Definizione 9. Sia M una varietà di�erenziale e p un punto di M . Lo spazio tangente aM in p è lo spazio vettoriale reale delle derivazioni in p di E0

p (M). Lo si denota dal simboloTp(M).

Facciamo ora alcune osservazioni elementari.A) Innanzitutto, è immediato dimostrare che se [c] è il germe di una funzione costante, e Dun vettore tangente in p, allora D([c]) = 0, (per linearità basta dimostrare che D([1]) = 0, eper questo basta scrivere [1] = [1][1] e usare la regola di Leibniz)

146

B) Notiamo poi che se D è una derivazione di E0(U) allora il numero D(f) dipende solo dalgerme di f in p. Per questo basta far vedere che, se h è una funzione C1 identicamente nullain un intorno V ⇢ U di p, allora D(h) = 0. Ora, se è una funzione C1 identicamenteuguale a 1 intorno a p, e con il supporto contenuto in V , si ha h = 0 2 E0(U) e dunqueD( h) = 0. Ne segue che 0 = D( h) = (p)D(h) + h(p)D( ) = D(h), come si voleva.

C) È anche utile notare che vi è un isomorfismo canonico:

↵ : Tp(M) = {Derivazioni in p di E0

p (M)}! {Derivazioni in p di E0(U)}.Per definire ↵, si considera la proiezione naturale

� : E0(U) ! E0

p (M)

f 7! [f ]

e si pone ↵(D) = D � �. L’inversa di ↵ è cos„“ definita:

↵�1(D0)([g]) = D0(⇢g) ,

dove g 2 E0(W ) e ⇢ è una funzione identicamente uguale a 1 in un intorno di p e con il supportocontenuto in W (cosicché ⇢g 2 E0(U) e [⇢g] = [g]). L’ osservazione fatta precedentemente ciassicura che la definizione è ben posta.

D) È infine importante osservare che se U ✓ M è un aperto e p 2 U allora l’inclusioneU ,! M induce un isomorfismo canonico, detto restrizione

E0

p (M) ! E0

p (U)

[f ] ! [f |U ] .

L’iniettività è ovvia, la suriettività anche, perché, data una funzione f 2 E0(U), la si puòmoltiplicare per una opportuna funzione ⇢ che sia C1 in M , abbia supporto in U , e siaidenticamente uguale a 1 intorno a p, cosicché la funzione

f =

(

⇢f, in U,

0, in M r U,

è tale che [f |U ] = [f ].

Dall’esistenza di un isomorfismo canonico tra E0

p (M) e E0

p (U) segue l’esistenza di un isomor-fismo canonico tra Tp(M) e Tp(U). Dunque, se U è un aperto di M contenente p, noi faremosempre l’identificazione

Tp(M) = Tp(U) .

Abbiamo associato, a ogni coppia (M,p) dove M è una varietà di�erenziabile e p 2 M , unospazio vettoriale Tp(M). Vogliamo ora verificare che questa associazione soddisfa delle ovvieproprietà funtoriali. Siano M e N varietà di�erenziali. Se F : M ! N è una applicazioneC1 , si ha un omomorfismo di R-algebre

F ⇤ : E0(N) ! E0(M)

f 7! F ⇤fDef= fF

147

Si verifica facilmente che se G : L ! M è una applicazione C1 , allora

(FG)⇤ = G⇤F ⇤

(1M )⇤ = 1E0(M)

.(B.4)

Sia ora p un punto di M . Definiamo

F ⇤p : E0

F (p)

(N) ! E0

p (M)

[f ] 7! F ⇤p ([f ]) = [fF ] .

L’applicazione F ⇤p è ben definita ed è un omomorfismo di R–algebra che soddisfa le ovvie pro-

prietà funtoriali analoghe alle (B.4) e relative alle applicazioni di varietà di�erenziali puntate.Si può ora definire un omomorfismo lineare F⇤,p tra spazi tangenti (intesi ormai come spazidi derivazioni) ponendo:

F⇤,p : Tp(M) ! TF (p)

(N)

D 7! F⇤,p(D)

dove, per definizione

F⇤,p(D)([f ])Def= D([fF ]) = D(F ⇤

p [f ]) , 8 [f ] 2 E0

F (p)

(N) .

Di nuovo si verificano facilmente le proprietà funtoriali

(FG)⇤,p = F⇤,G(p)

�G⇤,p ; (1M )⇤,p = 1Tp

(M)

(B.5)

dove p 2 L , F e G sono applicazioni C1

LG! M

F! N .

Facendo uso di questa proprietà funtoriale, calcoleremo lo spazio tangente Tp(M) per unavarietà M di dimensione n, in un suo punto p. Scegliamo una carta locale (U,') intorno a pcon '(p) = q = (0, . . . , 0) 2 Rn. Si ha un isomorfismo di spazi vettoriali

Tp(M) = Tp(U)'⇤,p! Tq ('(U)) = Tq(Rn)

Dunque è su�ciente calcolare lo spazio tangente Tq(Rn).

Lo spazio tangente a un punto di Rn.

Siano x1

, . . . , xn coordiante in Rn. Definiamo i vettori tangenti

@

@x1

|q, . . . ,@

@xn|q 2 Tq(Rn)

ponendo@

@xi|q([f ]) =

@f

@xi(0, . . . , 0) , [f ] 2 E0

q (Rn)

148

Che si siano cos„“ definiti dei vettori tangenti in q a M è immediato, essendo @@x1

|q un operatorelineare che soddisfa la regola di Leibniz. Vogliamo mostrare che @

@x1|q, . . . , @

@xn

|q formano unabase per Tq(Rn). Mostriamo che sono linearmente indipendenti. Si supponga che

D =X

ai@

@xi|q = 0 , ai 2 R .

Allora0 = D(xj) = aj .

Per vedere che i vettori @@x

i

|q generano Tq(Rn) scriviamo una funzione f 2 E0(Rn) con l’aiutodella formula di Taylor

f(x1

, . . . , xn) = f(q) +nX

i=0

@f

@xi(q)xi +

nX

i=1

xihi(x1

, . . . , xn) ,

dove hi(0, . . . , 0) = 0. Sia ora D 2 Tp(M). Per la linearità e per la formula di Leibniz si ha

D([f ]) =nX

i=1

@f

@xi(q) D(xi) +

"

nX

i=1

xi D(hi) + hi D(xi)

#

(0,...,0)

=nX

i=1

@f

@xi(q) D(xi) .

Dunque

D =nX

i=1

D(xi)@

@xi|q ,

come si voleva. In conclusione

Tp(Rn) ⇠= R @

@xi|q � · · ·� R @

@xn|q ,

e quindi i vettori

('�1)⇤,q

✓

@

@xi|q◆

costituiscono una base per Tp(M). Noi li denoteremo per semplicità con i simboli @@x

i

|p eperciò scriviamo

Tp(M) ⇠= R @

@xi|p � · · ·� R @

@xn|p .

Ritorniamo all’ isomorfismo � definito in (B.3), che abbiamo dimostrato essere iniettivo.Possiamo ora concludere che esso è anche suriettivo, perché abbiamo appena dimostrato chelo spazio vettoriale delle derivazioni in p di E0(U) ha la dimensione di M ; ne segue che ladefinizione di spazio tangente coincide, nel caso di una varietà immersa con quella geometricadata in termini di intersezione di iperpiani tangenti.

149

Terminiamo la sezione osservando che lo spazio tangente in un punto p di una varietà M puòdefinirsi in termini di curve passanti per p:

Tp(M) =⇢

�⇤,0

✓

@

@t|0

◆

�

�

�

�

� : (�1, 1) ! M curva C1 e �(0) = p

�

. (B.6)

Esercizi

1. Sia M una varietà di�erenziabile, verificare che E0

p (M) non è un dominio di integrità.

2. Sia T : Rn ! Rn una traslazione, verificare che T⇤,p = idRn per ogni p 2 Rn.

3. Sia F : M ! N un’applicazione costante, verificare che, per ogni p 2 M , F⇤,p = 0

4. Sia M una varietà di�erenziabile e D una derivazione nel punto p di E0

p (M), dimostrareche esiste una curva di�erenziabile � : (�1,+1) ! M tale che �(0) = p e �⇤,p( d

dt) = D.

B.3 Campi vettoriali

Intuitivamente, un campo vettoriale X su di una varietà M è una collezione di vettori tangentiX = {Xp 2 Tp(M)}, uno per ogni punto p di M , che varia in modo C1 con p. Il metodo piùrapido per introdurre questo concetto è quello di ricorrere alla seguente definizione generale.

Definizione 10. . Sia k un campo e A una k-algebra. Una derivazione di A è unaapplicazione k-lineare

D : A ! A

che soddisfa la regola di Leibniz

D(fg) = f D(g) + g D(f) .

Le derivazioni di A posseggono una naturale struttura di A-modulo

(fD + gD0)(h) = f D(h) + g D0(h) , f, g, h 2 A .

Si denota questo A-modulo col simbolo Der(A).

Definizione 11. Sia M una varietà di�erenziale, i campi vettoriali in M sono gli elementidello E0(M)-modulo delle derivazioni di E0(M), e si pone

V(M) = Der�E0(M)

�

.

150

Se F : M ! N è un di�eomorfismo, allora vi è un isomorfismo di E0(M)-moduli

F⇤ : V(M) ! V(N )

definito da(F⇤X)(g) = X(gF ) � F�1 . (C.1)

Che F⇤ sia un isomorfismo segue dalle proprietà funtoriali

(1M )⇤ = 1V (M)

, (FG)⇤ = F⇤G⇤ , (C.2)

dove G : P ! M è un di�eomorfismo. La prima delle (C.2) è ovvia, per la seconda si ha:

(FG)⇤X(g) = X(gFG)G�1F�1

= [(G⇤X)(gF )]F�1

= F⇤G⇤X(g)

Il fatto che F⇤ sia un isomorfismo ci fa capire che i campi vettoriali definiti su una carta diM sono come i campi vettoriali su Rn. Prima di descrivere questi, dobbiamo capire come sifa a restringere un campo vettoriale a una carta. Per fare ciò dimostriamo un utile risultato.

Lemma 13. Sia X un campo vettoriale su una varietà M . Siano f e g due funzioni C1 suM che coincidono nell’intorno di un punto p 2 M . Allora

X(f)(p) = X(g)(p) .

Dim. Per linearità basta dimostrare che, se h 2 E0(M) è identicamente nulla in un intornoU di p, allora X(h)(p) = 0. Sia ⇢ una funzione C1 in M , non-negativa con il supportocontenuto in U , e identicamente uguale a 1 in un intorno di p. Allora ⇢h ⌘ 0 e quindi

0 = X(⇢h)(p) = (h X(⇢) + ⇢ X(h)) (p) = X(h)(p) .

Q. E. D.

Dal lemma segue che un campo vettoriale X 2 V(M) dà luogo a un vettore tangente Xp, perogni p in M . Si può cioè definire un omomorfismo R-lineare

V(M) ! Tp(M)X 7! Xp ,

per ogni p 2 M ponendoXp([f ]) = X(⇢f)(p) (C.3)

dove f è una funzione C1 in un intorno U di p e ⇢ una funzione a supporto contenuto inU e identicamente eguale a 1 in un piccolo intorno di p. Che ciò abbia senso discende, perl’appunto, dal lemma precedente.

Lo stesso Lemma ci permette di definire la restrizione di un campo vettoriale a un aperto Udi M . Più precisamente definiamo un omomorfismo di restrizione

V(M) ! V(U)X 7! X|U

151

Data f 2 E0(U) e p 2 U dobbiamo dire chi è X|U (f)(p). Prendiamo un piccolo intorno Wdi p, la cui chiusura sia contenuta in U , e costruiamo una funzione ⇢ 2 E0(M), che abbiasupporto in U , e che sia identicamente uguale a 1 in W . Definiamo

X|U (f)(p) = X(⇢f)(p) .

Il lato di destra ha senso perché ⇢f è una funzione C1 in M . Che la definizione sia benposta è una conseguenza immediata del lemma (13). Il morfismo restrizione gode di unafondamentale proprietà che si suole riassumere dicendo che i campi vettoriali formano unfascio.

Lemma 14. Siano U e V due aperti di M .a) Siano X e Y 2 V(U [ V ), allora X = Y , X|U = Y |U e X|V = Y |V .b) Siano XU 2 V(U) e XV 2 V(V ), si supponga che

XU |U\V = XV |U\V

allora esiste un unico X 2 V(U [ V ) tale che X|U = XU e X|V = XV .

Dim. Per linearità la a) si dimostra facendo vedere che X = 0 , X|U = X|V = 0.Una implicazione è ovvia. Supponiamo che X|U = X|V = 0, se p 2 U , allora X(f)(p) =X(⇢f)(p) = X|U (⇢f)(p) = 0 e analogamente per p 2 V Per dimostrare la b) basta porreX(f)(p) = XU (f |U )(p), se p 2 U , e X(f)(p) = XV (f |V )(p), se p 2 V .

Il lemma ci dice in particolare che, per conoscere un campo vettoriale, basta conoscerlo suogni carta locale, e che viceversa una famiglia di campi vettoriali, ognuno definito su di unacarta locale, da luogo a un campo vettoriale globalmente definito sulla varietà, purchè questicampi coincidano quando ristretti alle mutue intersezioni delle carte. E’ quindi innanzi tuttonecessario capire come si scrive un campo vettoriale su di una carta locale (U,'). Vorremmopoterci ridurre a studiare i campi vettoriali sugli aperti di Rn. Ora una proprietà di facileverifica è la seguente. Sia F : M ! N un di�eomorfismo. Dato un aperto U di M , allora

(F |U )⇤(X|U ) = F⇤(X)|F (U)

. (C.4)

Una conseguenza di ciò è che, data una carta locale (U,') su di una varietà M l’applicazione'⇤ stabilisce un isomorfismo tra V(U) e V ('(U)), e dunque, per capire come sono fatti icampi vettoriali in U , basta capire come sono fatti in un aperto A di Rn, il che ci accingiamoa fare.

Campi vettoriali in Rn.

Siano x1

, . . . , xn coordinate in Rn. È intanto chiaro che le derivazioni

@

@x1

, . . . ,@

@xn

152

sono campi vettoriali in (Rn e dunque a maggior ragione in) A. Vogliamo mostrare che V(A)è il modulo libero, su E0(A), generato da @

@x1, . . . @

@xn

. In simboli

V(A) = E0(A)@

@x1

� · · ·� E0(A)@

@xn. (C.5)

Vogliamo cioè mostrare che ogni campo vettoriale X 2 V(A) si scrive in modo unico come

X = a1

(x1

, . . . , xn)@

@x1

+ · · · + an(x1

, . . . , xn)@

@xn

dove le ai(x) sono funzioni C1 in A. È intanto chiaro che i campi vettoriali @@x

i

sonoindipendenti. Se fosse

X =X

ai(x)@

@xi= 0 , (x = (x

1

, . . . , xn)) ,

si avrebbe 0 = X(xj) =P

ai(x) @@x

i

(xj) = aj(x). Sia ora X 2 V(A). Data comunquef 2 E0(A) e un punto y = (y

1

, . . . , yn) noi possiamo scrivere, in un intorno V di y

f(x) = f(y) +nX

j=1

(xi � yi)hi(x) (C.6)

con le hi funzioni C1 in V tali che

hi(y) =@f

@xi(y) .

Ora applichiamo la derivazione X ai due lati della (C.6), ricordandoci la regola di Leibniz(che, tra l’altro, implica che la derivazione di una costante è la funzione nulla). Si ha

X(f) =nX

i=1

X(xi)hi +nX

i=1

(xi � yi)X(hi) .

Ne segue che

X(f)(y) =nX

i=1

X(xi)@f

@xi(y) .

Questa relazione vale per ogni f 2 E0(A), e per ogni y 2 A. Dunque

X =nX

i=1

X(xi)@

@xi.

Essendo X(xi) 2 E0(A) l’osservazione (C.2) è dimostrata.

Dunque un campo vettoriale è un vettore tangente che si muove in modo C1 .

153

Figura 6

Dal momento che su di una varietà un cambiamento di carte del tipo '�1 è una applicazioneC1 tra aperti di Rn, dobbiamo studiare la seguente situazione. Sia

F : A ! B

un di�eomorfismo tra due aperti di Rn dato da

F (x1

, . . . , xn) = (F1

(x1

, . . . , xn), . . . , Fn(x1

, . . . , xn))

e siano y1

, . . . , yn coordinate del codominio. Dato in A un campo vettoriale

X =X

fi@

@xi,

scriviamoF⇤X =

X

gj@

@yi.

Vogliamo capire chi sono le gj . Intanto si ha, per definizione,

F⇤X =X

(fi � F�1)F⇤(@

@xi) .

Per calcolare F⇤( @@x

i

) si procede cos„“. Per ogni f = f(y1

, . . . , yn) 2 E0(B) si ha

F⇤

✓

@

@xi

◆

(f) =✓

@

@xif � F

◆

� F�1 =nX

j=1

@f

@yj

✓

@Fj

@xi� F�1

◆

.

Dunque

F⇤

✓

@

@xi

◆

=nX

j=1

✓

@Fj

@xi� F�1

◆

@

@yj,

e quindi

F⇤X =nX

j=1

nX

i=1

✓

fi@Fj

@xi

◆

� F�1

@

@yj,

ovvero

gj =nX

i=1

✓

fi@Fj

@xi

◆

� F�1 .

154

In altri termini, se denotiamo con JF la matrice jacobiana di F

JF =

0

B

@

@F1@x1

· · · @F1@x

n......

@Fn

@x1· · · @F

n

@xn

1

C

A

, (C.7)

noi possiamo dire che l’isomorfismo F⇤ porta il vettore colonna t(f1

, . . . fn), delle coordinatedi X nella base @

@x1, . . . , @

@xn

, nel vettore colonna

(JFt(f

1

, . . . , fn)) � F�1 ,

delle coordinate di F⇤X nella base @@y1

, . . . , @@y

n

. Nel seguito ometteremo, quasi sempre,l’indicazione esplicita alla composizione con F�1, considerandola sottointesa.

Il caso generale

Ritornando alla varietà M e alla carta locale (U,'), per quello che abbiamo appena di-mostrato, si ha che i campi vettoriali '�1

⇤ ( @@x1

), . . . ,'�1

⇤ ( @@x

n

) sono generatori liberi delloE0(U)-modulo V(U). Quasi sempre scriveremo @

@xi

al posto di '�1

⇤ ( @@x

i

) cosicché abbiamo

V(U) = E0(U)@

@x1

�, . . . ,�E0(U)@

@xn.

A questo punto possiamo dare una descrizione di un qualsiasi campo vettoriale X 2 V(M).Leggeremo il campo X in ogni carta locale, e confronteremo le letture ottenute in due diversecarte. Ricopriamo dunque M con carte locali {(U,')}. Dato un campo vettoriale X 2 V(M)possiamo considerare le varie restrizioni X|U di X agli aperti U . Poniamo per semplicitàX|U = XU . In U \ V , che supponiamo non vuoto, si ha banalmente

XU |U\V = XV |U\V . (C.8)

Scriviamo esplicitamente questa uguaglianza. Siano x1

, . . . , xn le coordinate in '(U) ⇢ Rn ey1

, . . . , yn quelle di (V ) ⇢ Rn. In '(U \ V ), scriveremo l’applicazione '�1, ponendo

yi = yi(x1

, . . . , xn) .

Noi sappiamo che

'⇤XU =nX

i=1

fi@

@xifi 2 E0 ('(U)) (C.9)

⇤XV =nX

j=1

gj@

@yjgj 2 E0 ( (V )) . (C.10)

Quindi, in virtù della (C.4), la (C.8) si traduce nella relazionenX

j=1

gj@

@yj= ( '�1)⇤(

nX

i=1

fi@

@xi) . (C.11)

155

Per quello che abbiamo appena spiegato nel caso di Rn, se denotiamo con JUV la matricejacobiana di '�1, la (C.11), e quindi la (C.8), si traduce nella seguente condizione

0

B

@

g1

...gn

1

C

A

= JUV

0

B

@

f1

...fn

1

C

A

, (C.12)

dove come al solito le funzioni della colonna di destra si intendono composte con �' �1.D’ora in poi noi scriveremo le (C.9) e (C.10) senza più far riferimento alle carte ponendo:

XU =nX

i=1

fi@

@xifi 2 E0 (U) (C.13)

XV =nX

j=1

gj@

@yjgj 2 E0 (V ) .

Ripercorriamo ora il cammino inverso. Supponiamo di aver dato per ogni aperto '(U) uncampo vettoriale

Pni=1

fi@

@xi

. Definiamo

XU =nX

i=1

fi@

@xi. (C.14)

Supponiamo poi che, non appena U \V 6= ;, valga, in '(U \V ), la condizione (C.12). Poichèquesta è equivalente alla (C.11), si ha:

XU |(U\V )

= XV |(U\V )

. (C.15)

Possiamo allora usare il Lemma (C.3) e definire univocamente un campo vettoriale X 2 V(M)tale che X

X|U = XU

Riassumiamo tutte queste considerazioni nel seguente

Teorema 15. . Sia M una varietà di�erenziabile. Sia {(U,')} un ricoprimento di M concarte locali. Il dato di un campo vettoriale su M è equivalente al dato di un campo vettoriale

X

fUi

@

@xUi

2 V (U)

per ogni carta (U,'), soggetto alla condizione di compatibilità0

B

@

fV1

...fV

n

1

C

A

= JUV

0

B

@

fU1

...fU

n

1

C

A

, (C.16)

dove (V, ) è un’altra carta locale, e JUV è la matrice jacobiana del di�eomorfismo '�1.Precisamente, da questi dati si costruisce un campo vettoriale X ponendo

XU =X

fUi

@

@xUi

2 V(U) (C.17)

156

e definendo, per ogni f 2 E0(M) e p 2 M

X(f)(p) = XU (⇢f)(p)

dove (U,') è tale che p 2 U , e ⇢ è una funzione C1 a supporto contenuto in U e identicamenteuguale a 1 in un piccolo intorno di p. Risulta allora

X|U = XU .

Viceversa, dato X 2 V(M), posto XU = X|U , e definite le fUi tramite la (C.17), risultano

verificate le condizioni (C.16).

Abbiamo svolto le precedenti considerazioni con un certo dettaglio perché in geometria dif-ferenziale i procedimenti sopra descritti sono molto frequenti. Per definire un oggetto globale(campo vettoriale, forma di�erenziale, metrica Riemanniana ecc.) prima lo si guarda local-mente in una carta dove si possono usare coordinate e poi lo si ricostruisce tramite opportuneleggi di attaccamento, come appunto la (C.16).Terminiamo questa sezione con la seguente osservazione. I campi vettoriali su M formanoin modo naturale un modulo sull’anello E0(M) delle funzioni C1 che abbiamo denotato conV(M). Esso è dunque anche uno spazio vettoriale reale. Ora, è importante notare che questospazio vettoriale possiede una ulteriore struttura, quella di algebra di Lie. Si definisce infattiuna operazione detta parentesi di Lie

V(M)⇥ V(M) ! V(M)(X, Y ) 7! [X, Y ]

ponendo[X, Y ](f) = X(Y f)� Y (Xf) .

La verifica che [X, Y ] sia un campo vettoriale, e cioè una derivazione di E0(M) è facile e lalasciamo come esercizio. Ed è anche immediato verificare che la parentesi di Lie soddisfa leidentità che definiscono una struttura di algebra di Lie e cioè

[X, Y ] = �[Y, X] , (C.18)[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0 .

Esercizi

1. Sia M una varietà di�erenziabile, dimostrare che V(M) ha una struttura di algebra di Lie.Verificare che le identità (C.18) sono soddisfatte.

2. Verificare che dare un campo vettoriale su Sn equivale a dare un’ applicazione C1 ,� : Sn ! Rn+1 tale che, per ogni x 2 Sn, �(x) è perpendicolare a x

3. Data un’ azione C1 del gruppo R su una varietà di�erenziabile M (i.e. un’applicazioneC1

↵ : R⇥M ! M

157

che soddisfa ↵(0, p) = p , ↵(t,↵(s, p) = ↵(t + s, p) per ogni p 2 M e s, t 2 R), verificare che↵ induce un campo vettoriale su M .4. Dare esempi di campi vettoriali su un toro n-dimensionale.

C.4 Forme di�erenziali

Sia M una varietà di�erenziabile. Introdurremo in questa sezione il modulo delle k-formedi�erenziali che denoteremo col simbolo Ek(M). Per definizione, Ek(M) è il modulo sull’anelloE0(M) delle funzioni C1 su M , i cui elementi sono le applicazioni E0(M)-multilineari alternedi V(M) in E0(M):

Ek(M) = Ak (V(M))= {! : V(M)⇥ · · ·⇥

| {z }

k�volte

V(M) ! E0(M) | !, E0(M)�multilineare e alterna} .

In particolare,E1(M) = HomE0

(M)

�V(M), E0(M)�

.

Un primo esempio di forma di�erenziale è data dal di�erenziale

df 2 E1(M)

di una funzione f 2 E0(M). La 1-forma df è definita da

df(X) = X(f) .

La linearità di df è ovvia:

df(gX + hY ) = (gX + hY )(f)= g X(f) + h Y (f)= g df(X) + h df(Y ) ,

dove g, h 2 E0(M), X, Y 2 V(M). Dimostriamo subito un lemma analogo al lemma (13).

Lemma (4.1). Sia ! una k- forma di�erenziale in M . Siano X1

, . . . , Xk 2 V(M) e si suppongache in un intorno U di un punto p un qualche Xi svanisca:

Xi|U = 0 .

Allora!(X

1

, . . . , Xk)(p) = 0 .

158

Dim. Sia ⇢ una funzione C1 in M avente supporto in U e identicamente uguale a 1 in unintorno di p. Da un lato si ha ⇢Xi = 0, mentre dall’altro, per multilinearità, si ha

0 = !(X1

, . . . , ⇢Xi, . . . , Xk)(p)= ⇢(p)!(X

1

, . . . , Xi, . . . , Xk)(p)= !(X

1

, . . . , Xk)(p) .

Q. E. D.

A questo punto, come nel caso di campi vettoriali, possiamo parlare di restrizioni. Sia U ✓ Mun aperto, vogliamo definire una applicazione R-lineare

Ek(M) ! Ek(U)! 7! !|U .

Se X1

, . . . , Xk sono campi vettoriali in U definiamo, per ogni p 2 U ,

!|U (X1

, . . . , Xk)(p) = !(⇢X1

, . . . , ⇢Xk)(p) ,

dove, come al solito, ⇢ è una funzione C1 con supporto in U e identicamente uguale a 1 in unintorno di p. Il lemma (4.1) ci assicura che la definizione è ben posta. Come i campi vettoriali,anche le k-forme di�erenziali formano un fascio. Vale cioè per esse il risultato analogo delLemma (14), che enunciamo lasciandone la dimostrazione come esercizio.

Lemma 15. . Siano U e V due aperti di M .a) Siano ! e !0 2 Ek(U [ V ), allora ! = !0 , !|U = !0|U e !|V = !0|V .b) Siano !U 2 Ek(U) e !V 2 Ek(V ), si supponga che

!U |U\V = !V |U\V

allora esiste un unico ! 2 Ek(U [ V ) tale che !|U = !U e !|V = !V .

Dunque, come nel caso dei campi vettoriali, una k- forma di�erenziale è completamentedeterminata da dati locali e da condizioni di attaccamento. È perciò necessario capire come èfatta una k- forma di�erenziale in una carta locale, e poichè tramite la carta locale vogliamoridurci al caso di Rn, si tratta intanto di capire come si comportano le k- forme di�erenzialiin presenza di un di�eomorfismo. Supponiamo quindi che

F : M ! N

sia un di�eomorfismo. Definiamo un omomorfismo R-lineare

F ⇤ : Ek(N) ! Ek(M)

ponendo, per X1

, . . . , Xk 2 V(M) e k > 0

F ⇤!(X1

, . . . , Xk) = !(F⇤X1

, . . . , F⇤Xk) � F (D.1)

159

e per f 2 E0(N)F ⇤f = f � F . (D.2)

Dalle proprietà funtoriali di F⇤ seguono immediatamente quelle di F ⇤:

(1M )⇤ = 1Ek

(M)

, (FG)⇤ = G⇤F ⇤ , (D.3)

dove G : P ! M è un di�eomorfismo. Queste proprietà implicano che l’omomorfismo F ⇤ èin e�etti un isomorfismo. È anche utile osservare che se f 2 E0(N) e ! 2 Ek(N)allora

F ⇤df = dF ⇤f , (D.4)F ⇤(f!) = F ⇤fF ⇤! .

La seconda asserzione segue immediatamente dalle definizioni. Per quanto riguarda la prima,dato X 2 V(M), si ha:

F ⇤df(X) = df(F⇤X) � F

= F⇤X(f) � F

= X(f � F ) � F�1 � F

= X(F ⇤f)= d(F ⇤f)(X) .

Si può osservare che la seconda delle (D.4) ci dice che identificando E0(M) con E0(N) tramiteF ⇤, si può riguardare l’isomorfismo F ⇤ tra Ek(N) e Ek(M) come un isomorfismo di E0(N)-moduli. In analogia con la (C.4), e mantenendo le stesse notazioni introdotte in quellaoccasione, si ha

(F ⇤!)|U = (F |U )⇤(!|F (U)

) . (D.5)Consideriamo ora una carta locale (U,') di M . Posto A = '(U), per quello che abbiamoappena detto, si ha un isomorfismo

'⇤ : Ek(A) ! Ek(U) .

Dobbiamo ora cercare di capire chi è Ek(A) quando A è un aperto di Rn.

Forme di�erenziali in Rn.

L’osservazione fondamentale, dimostrata nella sezione precedente, è che V(A) è un E0(A)-modulo libero finitamente generato di rango n

V(A) = E0(A)@

@x1

� · · ·� E0(A)@

@xn.

Di conseguenza ancheE1(A) = HomE0

(A)

�V(A), E0(A)�

,

è un E0(A)-modulo libero, finitamente generato di rango n. È inoltre immediato verificareche gli elementi

dx1

, . . . , dxn 2 E1(A)

160

formano la base duale di @@x1

. . . @@x

n

. Infatti, per definizione,

dxi

✓

@

@xj

◆

=@

@xj(xi) = �ij .

DunqueE1(A) = E0(A)dx

1

� · · ·� E0(A)dxn ,

e cioè ogni 1-forma di�erenziale in A ⇢ Rn si scrive, in modo unico come

! =nX

i=1

fi(x1

, . . . , xn)dxi ,

con le fi funzioni in C1 in A. È questo un buon momento per dimostrare che, se f 2 E0(A),allora

df =nX

i=1

@f

@xidxi . (D.6)

Infatti per ogni X 2 V(A), si ha

X =nX

i=1

X(xi)@

@xi,

e quindi

df(X) = X(f)

=nX

i=1

X(xi)@f

@xi

=nX

i=1

@f

@xidxi(X)

=

nX

i=1

@f

@xidxi

!

(X)

e la (D.6) è dimostrata. Occupiamoci ora delle k-forme di�erenziali per k � 1. Per definizione

si haEk(A) = Ak (V(A)) ,

ed essendo V(A) un E0(A)-modulo libero finitamente generato, si ha un isomorfismo canonico

Ak (V(A)) ⇠=^k

(Hom�V(A), E0(A)

�

=^k E1(A) .

Dunque, sempre per i teoremi generali di algebra multilineare, si ha che, ponendo

dxI = dxi1 ^ · · · ^ dxik

,

161

vi è un isomorfismoEk(A) ⇠=

M

I

E0(A)dxI ,

dove, come al solito I = {i1

, . . . , ik} ⇢ {1, . . . } e i1

< · · · < ik. Dunque, ogni k-formadi�erenziale in A si può scrivere in modo unico come

! =X

I

fIdxI , (D.7)

con le fI funzioni C1 in A. Naturalmente, quando vogliamo interpretare ! come un ele-mento di Ak (V(A)), dobbiamo usare esplicitamente l’ isomorfismo tra Ak (V(A)) e

Vk E1(A).Dunque se X

1

, . . . , Xk sono campi vettoriali in A, e se ! è data dalla (4.7) si ha

!(X1

, . . . , Xk) =X

fI dxI(X1

, . . . , Xk)

=X

fI det (dxis

(Xt)) t=1,...,k

s=1,...,k

=X

fI det (Xt(xis

))t=1,...,k

s=1,...,k

Supponiamo ora cheF : A ! B

sia un di�eomorfismo tra due aperti di Rn, e consideriamo l’ isomorfismo indotto

F ⇤ : Ek(B) ! Ek(A) .

Siano x1

, . . . , xn coordinate in A, e y1

, . . . , yn coordinate in B e sia

F (x1

, . . . , xn) = (F1

(x1

, . . . , xn), . . . , Fn(x1

, . . . , xn)) . (D.8)

Sia! =

X

fI dyI 2 Ek(B) , (D.9)

vogliamo calcolare F ⇤!. Procediamo per gradi. Osserviamo innanzi tutto che per la (D.4) siha

F ⇤ dyi = dFi .

Consideriamo prima il caso di una 1-forma di�erenziale

! =X

fi dyi .

Sempre per le (D.4), si haF ⇤! =

X

fi � F dFi , (D.10)

e ricordando la (D.6) si ottiene

F ⇤! =X

ij

fi � F@Fi

@xjdxj . (D.11)

162

Se JF è la matrice jacobiana di F possiamo concludere che l’isomorfismo F ⇤ porta il vettorecolonna t(f

1

, . . . , fn) delle coordinate di ! nella base dy1

, . . . , dyn nel vettore colonna

(tJF )t(f1

� F, . . . , fn � F )

delle coordinate di F ⇤! nella base dx1

, . . . , dxn. La generalizzazione al caso delle k-forme èpressoché immediata. In totale analogia con la (D.4) e la (D.11), si dimostra che

F ⇤(dyi1 ^ · · · ^ dyik

) == dFi1 ^ · · · ^ dFi

k

=

0

@

nX

j1=1

@Fi1

@xj1

dxj1

1

A ^ · · · ^0

@

nX

jk

=1

@Fik

@xjk

dxjk

1

A

=X

j1<···<jk

@(Fi1 , . . . , Fik

)@(xj1 , . . . , xj

k

)dxj1 ^ · · · ^ dxj

k

e si conclude che l’ isomorfismoF ⇤ : Ek(B) ! Ek(A)

porta il vettore colonna t(. . . , fI , . . . ) delle coordinate di ! =P

fI dyI nella base {dyI} nelvettore colonna

k^ (tJF )(. . . , fI � F, . . . )

delle coordinate di F ⇤! nella base {dxI}, dovek^ (tJF ) indica la matrice

�

nk

�⇥ �

nk

�

avente nelposto (I, J) il minore di righe I e colonne J della matrice tJF . D’ora in poi, nei simboli, nonfaremo più riferimento alla composizione con F .

Il caso generale

Siamo ora in grado di dare una descrizione delle k-forme di�erenziali in termini di dati locali,cos„“ come abbiamo fatto per i campi vettoriali.

Teorema 16. . Sia M una varietà di�erenziale. Sia {(U,')} un ricoprimento di M concarte locali. Il dato di una k-forma di�erenziale ! 2 Ek(M) è equivalente al dato di unak-forma di�erenziale

X

fUI dxU

I 2 Ek(U)

soggetto alle seguenti condizioni di compatibilità0

B

B

@

...fU

I...

1

C

C

A

=k^ (tJUV )

0

B

B

@

...gVI...

1

C

C

A

(D.12)

dovek^ (tJUV ) indica la matrice

�

nk

�⇥�nk

�

avente nel posto (I, J) il minore di righe I e colonneJ della matrice tJUV .

163

Dim. Sia ! una k-forma di�erenziale. Si ponga

!U = !|U ,!V = !|V .

Esistono funzioni fI 2 E0('(U)) e gI 2 E0( (U)) tali che

!U =X

fIdxI , !V =X

gIdyI . (D.13)

La condizioneF!U |U\V = !V |U\V

si traduce nella relazioneX

fIdxI =X

gIdyI

valida in U \ V . Questo relazione, come si è visto con una analisi locale, è equivalente alla(D.12). Viceversa date le fI e le gI soddisfacenti la (D.12) e definite le !U 2 Ek(U), si ha che

!U |U\V = !V |U\V .

Il lemma (15) ci assicura che esiste un’ unica forma ! 2 Ek(M) tale che !|U = !U e !|V = !V .Il teorema è dimostrato.

Dimostriamo ora un Lemma che sarà usato nel seguito.

Lemma 16. Sia ! 2 Ek(M) e sia p 2 M . Allora esiste un intorno V di p e una formadi�erenziale definita globalmente su M del tipo

! =X

hI d'i1 ^ · · · ^ d'ik

, (D.14)

dove le hI = hi1,...,ik

e le 'i sono funzioni C1 su M , in modo che

!|V = !|V .

Dim. Sia (U,') una carta locale intorno a p. Scriviamo

!|U =X

fI dxI

Consideriamo una funzione � 2 E0(M) con supporto in U e identicamente eguale a 1 in unintorno V di p. Definiamo hI , 'i 2 E0(M) ponendo

hI = �fI , 'i = �xi .

Si può quindi definire una forma globale ponendo ! 2 Ek(M)

! =X

hI d'i1 ^ · · · ^ d'ik

,

e per costruzione si ha!|V = !|V .

Q. E. D.

164

Corollario 6. . Sia ! 2 Ek(M) e X1

, . . . , Xk 2 V(M). Si supponga che per qualche i siabbia Xi,p = 0. Allora !(X

1

, . . . , Xk)(p) = 0.

Dim. Per linearità e per il lemma precedente basta dimostrare l’asserto nel caso in cui

! = fdg1

^ · · · ^ dgh

con f, gi 2 E0(M). Si ha

!(X1

, . . . , Xk)(p) = f(p) det(Xs(gt))(p) .

A questo punto basta notare che (cf. (C.3))

Xi(gj)(p) = Xi,p(gj) .

Q. E. D.

Questo corollario suggerisce la seguente definizione. Sia ! 2 Ek(M) e sia p 2 M . Si denoti con!(p) l’elemento di

Vk �T ⇤p (M)� ⇠=

⇣

Vk Tp(M)⌘⇤

definito per linearità a partire dalla seguenterelazione

!(p)(v1

, . . . , vk) = !(X1

, . . . , Xk)(p) (D.15)

dove vi 2 Tp(M) e Xi è un campo vettoriale in M tale che Xi,p = vi. Il corollario precedenteci assicura che questa è una buona definizione. Si è cos„“ stabilito un omomorfismo

Ek(M) !^k

T ⇤p (M)

! 7��! !(p) (D.16)

che mostra come una k-forma di�erenziale possa pensarsi come il dato di un vettore !(p)nella potenza k-esima del duale dello spazio tangente in ogni punto p di M e che varia inmodo C1 con p. Chiudiamo la sezione parlando del prodotto esterno di forme.

Prodotto esterno.

Per i risultati dell’algebra multilineare del Capitolo 2, date due forme di�erenziali ! 2 Ek(M)e ' 2 Eh(M), resta definita una forma

! ^ ' 2 Eh+k(M)

ponendo! ^ '(X

1

, . . . , Xh+k) =

=X

�2P

"(�)!(X�(1)

, . . . , X�(k)

) · (X�(k+1)

, . . . , X�(k+h)

) . (D.17)

dove P è il sottoinsieme P ⇢ Sh+k delle permutazioni � tali che

�(1) < · · · < �(h) , �(h + 1) < · · · < �(h + k) .

165

Ricordiamo l’origine della formula (D.17). Per il Lemma (16) e per linearità si può supporreche

! = !1

^ · · · ^ !h ,

' = !h+1

^ · · · ^ !h+k ,

D’altro canto noi sappiamo che data una matrice A che sia (h + k) ⇥ (h + k), e fissato unmultiindice I = (i

1

, . . . , ih), si ha

det(A) =X

J

✏(J)AI,JAIc,Jc

dove AI,J è il determinante del minore di A avente le righe indicizzate da I e le colonneindicizzate da J , dove Ic denota il complementare di I in {1, . . . , h+k} e dove ✏(J), è il segnodella permutazione {J, Jc}. Ora se A = (!i,j) e I = {1, . . . , h}, la formula appena data per ildeterminannte di A non è altro che la (D.17).È anche ovvio, e lo si vede localmente, che Ek(M) = 0 per k > dim M . Dunque il modulo

E(M) =dim MM

k=0

Ek(M)

ha, tramite il prodotto ^, una struttura di E0(M)-algebra di rango finito. A partire dalladefinizione di prodotto ^ è facile verificare la seguente formula

! ^ ' = (�1)kh' ^ ! ! 2 Ek(M), ' 2 Eh(M) . (D.18)

Sempre dalla definizione segue che se F : M ! N è un di�eomorfismo allora per ! 2 Ek(M)e ' 2 Eh(M) si ha

F ⇤(! ^ ') = F ⇤! ^ F ⇤' , (D.19)mentre se U ⇢ M è un aperto si ha

(! ^ ')|U = !|U ^ '|U . (D.20)

Da queste relazioni, o dalla definizione stessa, si deduce che se

! = fdg1

^ · · · ^ dgk , !0 = f 0dg01

^ · · · ^ dg0h,

allora

! ^ !0 = ff 0dg1

^ · · · ^ dgk ^ dg01

^ · · · ^ dg0h .

Esercizi

1. Sia ↵ 2 Ek(M), è sempre vero che

↵ ^ ↵ ⌘ 0 ?

2. Dimostrare il Lemma (15).3 dare esempi di k-forme di�erenziali su un toro n-dimensionale.

166

D.5 Di�erenziazione

Introduciamo l’operatore di di�erenziazione

d : Ek(M) ! Ek+1(M) .

Dimostreremo il seguente

Teorema 17. Sia M una varietà di�erenziale allora esiste un unico operatore R-lineare

d : Ek(M) ! Ek+1(M) .

tale che

i) per k = 0 coincide con l’operatore già definito, e cioè df(X) = X(f), 8f 2 E0(M), e8X 2 V(M),

ii) d2 = 0,

iii) se ! 2 Ek(M) e ' 2 Eh(M)

d(! ^ ') = d! ^ '+ (�1)k! ^ d' .

Dim. Incominciamo col dimostrare l’unicità dell’operatore d, assumendo di averlo costruitoper M e per gli aperti U ⇢ M . Sia dunque d0 un altro operatore soddisfacente le proprietàrichieste. Osserviamo intanto che se ! e ! sono forme di�erenziali aventi la stessa restrizionesu un aperto V di M , allora (d0!)|V = (d0!)|V . Infatti per ogni punto p di V , si può trovareun intorno W 3 p e una funzione ⇢ 2 E0(M) con supporto in V e identicamente eguale a 1 inW e scrivere

0 = d0⇢(! � !) = d0⇢ ^ (! � !) + ⇢d0(! � !) ,

il che implica(d0!)|W = (d0!)|W .

Prendiamo ora una forma di�erenziale !. Per il lemma (16), dato un qualsiasi punto p 2 Mesiste un intorno V di p e una forma di�erenziale ! 2 Ek(M), somma di k-forme di�erenzialidel tipo

h dg1

^ · · · ^ dgk , h, gi 2 E0(M)

e tale che!|V = !|V .

Per quello che abbiamo appena dimostrato, si ha che (d0!)|V = (d0!)|V . D’altro canto usandole proprietà i), ii) e iii) si ha

d0(h dg1

^ · · · ^ dgk) == d0h ^ dg

1

^ · · · ^ dgk + hd0(d0g1

^ · · · ^ d0gk)

= dh ^ dg1

^ · · · ^ dgk + hX

(�1)i(d0g1

^ · · · ^ d02gi ^ · · · ^ d0gk)

= dh ^ dg1

^ · · · ^ dgk .

167

Dunque la definizione di d0 è forzata sulle k-forme di�erenziali del tipo h dg1

^ · · ·^ dgk. Perlinearità è forzata su !, che di forme di questo tipo è somma. Quindi è forzata la definizionedi (d0!)|V e di conseguenza anche quella di d0!. L’unicità è dimostrata. Non solo, abbiamoanche una definizione dell’operatore d per un aperto A di Rn. Se ! =

P

fI dxI 2 Ek(A)

d! =X

dfI ^ dxI .

Verifichiamo che valgono per questo operatore in Ek(A), le proprietà i), ii) e iii). Intanto ilfatto che d! 2 Ek+1(A) è ovvio, come sono ovvie la R–linearità di d, e la validità di i). Per laii), vista la linearità, basta dimostrare che

d2(fdxi1 ^ · · · ^ dxik

) = 0 .

Calcoliamo:

d2(fdxi1 ^ · · · ^ dxik

) = d

✓✓

X @f

@xidxi

◆

^ dxi1 ^ · · · ^ dxik

◆

=X

i6=j

@2f

@xi@xjdxi ^ dxj ^ dxi1 ^ · · · ^ dxi

k

= 0 ,

dove l’ultima eguaglianza segue dal fatto che

@2f

@xi@xjdxi ^ dxj +

@2f

@xj@xidxj ^ dxi = 0 .

Non rimane che dimostrare la iii). Di nuovo per linearità, basta dimostrare che

d(fdxI ^ gdxJ) = d(fdxI) ^ gdxJ + (�1)kfdxI ^ d(gdxJ)

dove |I| = k. Naturalmente possiamo assumere che I\J = �, essendo altrimenti l’uguaglianzabanalmente verificata. Si ha:

d(fdxI ^ gdxJ) = d(fgdxI ^ dxJ)

=X

✓

@f

@xig +

@g

@xif

◆

dxi ^ dxI ^ dxJ

= d(fdxI) ^ gdxJ + f

✓

X @g

@xidxi

◆

^ dxI ^ dxJ

= d(fdxI) ^ gdxJ + (�1)kfdxI ^ d(gdxJ) ,

come si voleva.

Procedendo nella dimostrazione del Teorema, osserviamo che se F : A ! B è un di�eomor-fismo tra due aperti di Rn allora

F ⇤d⌫ = dF ⇤⌫ , ⌫ 2 Ek(B) . (E.1)

168

(Avevamo dimostrato questa eguaglianza in (D.4) solo per k = 0.) Per linearità bastadimostrarla nel caso in cui ⌫ = f dxI . Si ha

F ⇤d(f dxI) = F ⇤(df ^ dxI)= F ⇤df ^ F ⇤dxI

= d(F ⇤f) ^ d(F ⇤xI)= d(F ⇤(f)F ⇤(dxI))= d(F ⇤(fdxI)) .

Dimostriamo ora l’esistenza dell’operatore d su di una qualsiasi varietà di�erenziabile M . Sia! 2 Ek(M), sia (U,') una carta locale e sia !|U = '⇤µ, con µ 2 Ek ('(U)) si definisca

(d!)U = '⇤dµ = '⇤d'⇤�1(!|U ) .

Per vedere che la definizione è ben posta, si supponga che in un’altra carta locale (V, ), siabbia !|V = ⇤⌫. Bisogna allora dimostrare che in U \ V

'⇤dµ = ⇤d⌫ .

Ponendo F = '�1, si ha µ = F ⇤⌫ in '(U \ V ) e la conclusione discende dalla (5.2). Perverificare che l’operatore cos„“ definito soddisfa le proprietà richieste basta farlo in ogni cartalocale. Questa verifica si fa usando le (D.5), (D.19), (D.20) e il fatto che l’operatore d in Rn

soddisfa le proprietà richieste.Q.E.D.

E.6 Funtorialità

Nel § 4, a partire da un di�eomorfismo F : M ! N , abbiamo definito degli isomorfismiF⇤ : V(M) ! V(N ) e F ⇤ : Ek(N) ! Ek(M). Mentre non è possibile fare di più per quelloche riguarda i campi vettoriali, è possibile invece definire un operatore F ⇤ tra k-forme anchequando F non è un di�eomorfismo. Dimostreremo il seguente:

Teorema 18. Sia F : M ! N una applicazione C1 . Allora, per ogni k � 0, esiste un unicoomomorfismo

F ⇤ : Ek(N) ! Ek(M)

soddisfacente le seguenti proprietà:

i) F ⇤f = f � F , per f 2 E0(M),

ii) F ⇤(! ^ !0) = F ⇤! ^ F ⇤!0, ! 2 Ek(N),!0 2 Eh(N),

iii) F ⇤d = dF ⇤,

iv) se U è aperto in M , e V un aperto di N contenete F (U), allora

(F ⇤!)|U = (F |U )⇤(!|V )

dove si considera F |U come applicazione da U a V . Inoltre un tale omomorfismo èfuntoriale nel senso che

169

v) (1M )⇤ = 1Ek

(M)

,

vi) (GF )⇤ = F ⇤G⇤, per G : N ! P , applicazione C1 .

Dim. Incominciamo col dimostrare l’unicità. Ritorniamo all’osservazione (16) e alla notazioneallora introdotta. Usando due volte la iv), si ottiene

(F ⇤!)|U = (F ⇤!)|U . (F.1)

D’altro canto ! è combinazione lineare di termini del tipo

µ = h dg1

^ · · · ^ dgk

con h, gi 2 E0(N), e in virtù della i), della iv) e della v) la definizione di F ⇤µ è forzata:

F ⇤µ = F ⇤(h dg1

^ · · · ^ dgk) (F.2)= F ⇤hF ⇤dg

1

^ · · · ^ F ⇤dgk)= h � Fd(g

1

� F ) ^ · · · ^ d(gk � F ) .

Dunque, per linearità, anche la definizione di F ⇤!|U è forzata, e quindi anche quella di F ⇤!.Dimostriamo ora l’esistenza di F ⇤. Localmente la definizione di F ⇤ è forzata dalla (F.1) edalla (F.2). Definiamo

(F ⇤(!))U = (F ⇤(!))|UPer verificare che in questo modo si definisce una k-forma di�erenziale in M bisogna intantoverificare che la definizione data è indipendente dall’ ! scelto. Sia F (p) un punto fissatodell’aperto V ✓ N in cui ! e ! coincidono. Vogliamo mostrare che, dati campi vettorialiX

1

, . . . , Xk in M , F ⇤!(X1

, . . . , Xk)(p) può calcolarsi nel modo seguente. Si scelgono campivettoriali Y

1

, . . . , Yk in N tali che, nel punto p valga l’eguaglianza, F⇤,p(Xi,p) = Yi,F (p)

e siosserva che allora

F ⇤!(X1

, . . . , Xk)(p) = !(Y1

, . . . , Yk) (F (p))= !(Y

1

, . . . , Yk) (F (p)) (F.3)

Ciò mostrerà l’indipendenza della definizione di F ⇤!|W dalla particolare ! scelta. L’indipen-denza della scelta degli Yi discende invece da corollario (6). Per linearità possiamo ridurrrela dimostrazione della (F.3) al caso in cui

! = h dg1

^ · · · ^ dgk con h, gi 2 E0(N)

si ha:

F ⇤!(X1

, . . . , Xk)(p) = hF (p) det (Xi,p(gjF ))= hF (p) det (F⇤,pXi,p(gj))= hF (p) det

�

Yi,F (p)

(gj)�

= !(Y1

, . . . , Yk) (F (p))= !(Y

1

, . . . , Yk) (F (p)) .

170

Questa osservazione implica anche che (F ⇤!)U e (F ⇤!)V coincidono in U \ V . Dunque,sempre per il lemma (D.1), F ⇤! è una ben definita k-forma di�erenziale in M . Dimostriamoche F ⇤ soddisfa le proprietà richieste. La i) e la iv) sono implicite nella definizione. Valendola iv) le rimanenti si possono dimostrare localmente. La linearità segue subito e dunque cipuò limitare e dimostrare le altre proprietà per forme del tipo h dg

1

^ · · ·^dgk, h, fi 2 E0(N).A questo punto la ii) e la iii) sono del tutto ovvie. Non rimane che la vi) che segue dalleprecedenti non appena si osservi che per f 2 E0(N)

(GF )⇤df = dfGF

= F ⇤dfG

= G⇤F ⇤df .

Q.E.D.

Vale la pena osservare che la definizione di F ⇤ data nel caso di un di�eomorfismo nel § 4coincide in quella data nella dimostrazione del teorema, come segue dalla (F.3).

Esercizi

1. Sia⇡ : Rn+1 \ {0}! Pn(R)

la proiezione canonica e ↵ 2 Ek(Rn+1 \ {0}); trovare le condizioni necessarie e su�cientia�nché esista � 2 Ek(Pn(R)) con

↵ = ⇡⇤�.

2. Sia n � 4,⇡ : Rn+1 \ {0}! Pn(R)

la proiezione canonica e! = dx

0

^ dx1

^ dx2

^ dx3

/r4,

dimostrare che esiste � 2 E4(Pn(R)) tale che ! = ⇡⇤�.

3. Sia ⇡ : R2 ! R2\⇤ la proiezione; verificare che esistono delle forme di�erenziali � 2E1(R2\⇤) tali che ⇡⇤� = df per qualche f 2 E 0(R2), ma � /2 dE0(R2\⇤).

F.7 Alcuni esempi

Incominciamo col dare alcuni esempi di campi vettoriali.

Ipersuperfici.

Riprendiamo l’esempio dato all’inizio del capitolo. Fissiamo una ipersuperficie in Rn

M = {(x1

, . . . , xn) 2 Rn|F (x1

, . . . , xn) = 0}

171

dove F è una funzione C1 . Vogliamo vedere che se

X =X

ai(x)@

@xi, x = (x

1

, . . . , xn)

è un campo vettoriale in Rn, tale che X(F ) = 0, allora la restrizione di X a M è un campovettoriale su M .Dal momento che, per un aperto U ⇢ Rn, si ha X(F )|U = (X|U )(F|U ), la questione è localee si può assumere che (U,') sia una carta locale in Rn per cui cui l’ipersuperficie F = 0 sitrasforma nell’ iperpiano xn = 0. Ciò vuol dire che '⇤(xn) = F . Ora i campi tangenti axn = 0 sono del tipo

Y =n�1

X

i=1

ai@

@xi

ovvero quelli per cui Y (xn) = 0. Dunque un campo vettoriale X in Rn tangente a U \Mdeve soddisfare la condizione '⇤(X)(xn) = 0. Ma

'⇤(X)(xn) = X('⇤(xn)) = X(F )

e la nostra asserzione è dimostrata.

Sfere.

Siamo ora in grado di dare esempi di campi vettoriali su una sfera

Sn = {(x1

, . . . , xn+1

) 2 Rn+1|nX

i=1

x2

i � 1 = 0} .

Se n = 2k � 1, poniamo

X = x2

@

@x1

� x1

@

@x2

+ · · · + x2k

@

@x2k�1

� x2k�1

@

@x2k

. (G.1)

Chiaramente si ha X(P

2ki=1

x2

i � 1) = 0 e quindi X è un campo vettoriale su S2k�1. Èinteressante notare che X è un campo vettoriale non nullo, che cioè Xp 6= 0 per ogni p 2 S2k�1.Se si prende lo stesso campo vettoriale X come campo vettoriale in R2k+1, vale ancora la

proprietà X(2k+1

P

i=1

x2

i � 1) = 0, e dunque X è un campo vettoriale su S2k che è ovunque

non–nullo tranne che nei due poli P± = (0, . . . , 0,±1) 2 S2k:

S S1 2

Figura 7

Gruppi di Lie.

172

Passiamo ora a un altra serie di esempi. Consideriamo i gruppi classici introdotti nellasezione 18 del Capitolo 2. Vogliamo calcolarne gli spazi tangenti. In ciò che segue useremoconsistentemente l’identificazione V = Tv(V ) tra lo spazio tangente in un punto v di unospazio vettoriale V e lo spazio stesso, ottenuta pensando a un vettore w di V come come alladerivazione Dw in v nella direzione di w:

Dw(f) =d

dtf(v + tw)|t=0

I gruppi classici sono tutti definiti come sottovarietà aperte o chiuse dello spazio vettorialeMn(k) delle matrici n ⇥ n su un campo k che è, a seconda dei casi, il campo dei numerireali o quello di numeri complessi. Sia G uno tra questi gruppi classici, g un suo punto edenotiamo con lg il di�eomorfismo di G in G dato dalla moltiplicazione a sinistra per g.Poichè Tg(G) = (lg)⇤TI(G), dove I è la matrice identità, possiamo limitarci a calcolare lospazio tangente a G nell’identità . Questo spazio, a sua volta, è un sottospazio dello spaziotangente TI(Mn(k)) che, come abbiamo convenuto, identifichiamo con Mn(k) stesso. Il casodi GL(n, k) che è un aperto di Mn(k) è molto semplice:

TI(GL(n, k)) = TI(Mn(k)) = Mn(k)

Gli altri gruppi classici sono dei chiusi in Mn(k) definiti da un certo numero di equazioniFi = 0. I corrispondenti spazi tangenti sono definiti in TI(Mn(k)) = Mn(k) dalle equazioniv(Fi) = 0. Per esplicitare queste equazioni osserviamo che, dato DA 2 TI(Mn(k))):

DA(det(X)) =d

dt(1 + t(tr(A)) + O(t2))|t=0

= tr(A) ,

DA(tXX) =d

dt(t(I + tA)(I + tA))|t=0

= tA + A ,

DA(tXJX) =d

dt(t(I + tA)J(I + tA))|t=0

= tAJ + JA ,

da ciò si deduce cheTI(SL(n, k)) = {X 2 Mn(k) | tr(X) = 0} ,

TI(O(n)) = TI(SO(n)) = {X 2 Mn(R) | X + tX = 0} ,

TI(U(n)) = {X 2 Mn(C) | X + tX = 0 , } ,

TI(SU(n)) = {X 2 Mn(C) | X + tX = 0 , tr(X) = 0} ,

TI(Sp(2n, k)) = {X 2 Mn(k) | tXJ + JX = 0} .

È interessante osservare che in generale lo spazio tangente nell’identità a un gruppo di Lie Gha una struttura naturale di algebra di Lie. In e�etti Te(G) può identificarsi con l’algebra diLie L(G) dei campi vettoriali invarianti su G :

L(G) = {X 2 V(G) | (lg)⇤X = X , 8g 2 G}.La struttura di algebra di Lie su L(G) è data dalla parentesi di Lie. L’isomorfismo tra Te(G)e L(G) si stabilisce nel modo seguente. Se v 2 Te(G) è un vettore tangente si definisce uncampo vettoriale invariante X su G ponendo, per ogni f 2 E0(G)

X(f)(g) = (lg)⇤v(f)

173

Il campo vettoriale cos„“ definito prende il nome di campo vettoriale invariante determinatoda v. Viceversa, ad ogni campo invariante X si associa il vettore tangente Xe.

Grassmanniane.

Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione n e sia W un sottospazio k-dimensionaledi V . Vogliamo mostrare che vi è un isomorfismo canonico

T[W ]

(Gr(k, V )) = Hom(W,V/W ). (G.2)Per vedere ciò, fissiamo una base e

1

, . . . , ek di W , completiamola a una base e1

, . . . , en diV e denotiamo con ek+1

, . . . , en la corrispondente base di V/W . La scelta di una tale baseconsente le identificazioni:

T[W ]

(Gr(k, V )) = T0

(Mk, n�k(C)) = Mk, n�k(C) ,

Hom(W,V/W ) = Mk, n�k(C) .

Passando a una nuova base e01

, . . . , e0n, ma sempre insistendo che i vettori e01

, . . . , e0k costi-tuiscano una base di W , la suddette identificazione di�eriscono, entrambe, dalle nuove perl’automorfismo

Mk, n�k(C) ! Mk, n�k(C)X 7! AXB�1 ,

dove✓

A C0 B

◆

è la matrice del cambiamento di base. Questo dimostra che l’isomorfismo tra lo spazio tangentein [W ] a Gr(k, V ) e Hom(W,V/W ) è canonico.Un’altra maniera per dimostrare (G.2) è la seguente. Come abbiamo visto alla fine dellasezione 18 del Capitolo 2, Il gruppo GL(V ) agisce transitivamente su Gr(k, V ). Fissato unpunto [W ] di Gr(k, V ) c’è una applicazione C1

⇡ : GL(V ) ! Gr(k, V )g 7! [gW ]

In opportune coordinate l’applicazione ⇡ è data da✓

A BC D

◆

7! (A�1B)

Per calcolare⇡⇤,e : Te(GL(V )) ! T

[W ]

Gr(k, V )

osserviamo che⇡⇤,e

✓

A BC D

◆

=d

dt⇡

✓

I + t

✓

A BC D

◆◆

|t=0

=d

dt

�

(I + tA)�1tB� |t=0

=d

dt

�

(I � tA + O(t2))tB� |t=0

= B.

174

Dunque, nell’identificazioneTe(GL(V )) = Hom(V, V ),

si haKer(⇡⇤,e) = PW := {g 2 GL(V ) | gW = W}.

Ne segue cheT

[W ]

Gr(k, V ) = Hom(V, V )/PW .

D’altro canto, se ◆ è l’inclusione di W in V e ⌘ la proiezione di V su V/W , l’omomorfismo

Hom(V, V ) ! Hom(W,V/W )f 7! ⌘f ◆

da una identificazioneHom(V, V )/PW = Hom(W,V/W ),

come si voleva.

1-forme su S1.

Consideriamo S1 con l’atlante descritto nella sezione 2 del Cap. 2. Definiamo

!U = '⇤d✓ 2 E1(U)

!V = ⇤d✓ 2 E1(V ) .

Si ha:

!V |U\V = '⇤'�1⇤ ⇤d✓ = '⇤( '�1)⇤d✓= '⇤d( '�1(✓)) = '⇤d(✓ + c) = '⇤d✓ = !U |U\V

dove c = 0 oppure c = �2⇡. Ne segue che esiste una 1–forma ! tale che !|U = !U e !|V = !V .Spesso si denota questa forma impropriamente con il simbolo d✓.

k–forme su un toro.

Consideriamo un toro Tn = Rn/⇤, dove ⇤ è un reticolo in Rn, e denotiamo con ⇡ : Rn ! Rn/⇤la proiezione. Vi è un’unica 1–forma !i su Rn/⇤ tale che ⇡⇤!i = dxi. Ricordiamo le carte

'� : U� ! Rn

introdotte nella sezione 7 del Cap. 2. Poniamo !iU

�

= '⇤�dxi. Poiché 'µ'�1

� (x) = x + �� µ,x,�, µ 2 Rn si ha che !i

U�

|U

�

\U

µ

= !iU

µ

|U

�

\U

µ

e quindi le !iU

�

si raccordano per definire unaforma globale ! che ovviamente ha la proprietà: ⇡⇤!i = dxi. Spesso, e impropriamente, sidenota questa 1–forma su Rn/⇤ con il simbolo dxi. Una volta costruite le !i 2 E1(Tn) sipossono costruire le forme

!I = !i1 ^ · · · ^ !ik

2 Ek(Tn) I = (i1

, . . . , ik) .

175

Noi dimostreremo, in una successiva sezione, che le forme !I , I = (i1

, . . . , ik) i1

< · · · < iksono chiuse e non esatte e che le loro classi di coonologia di de Rham formano una base perlo spazio vettoriale Hk

dR(Tn).

1-forme su curve algebriche proiettive non-singolari.

Consideriamo una curva algebrica piana non-singolare:

C = {[X, Y, Z] | F (X, Y, Z) = 0}dove F è un polinomio omogeneo di grado d. Sia '(X, Y, Z) un polinomio omogeneo di gradod� 3. Consideriamo gli aperti

U0

= {[X, Y, Z] 2 C | X 6= 0}U

1

= {[X, Y, Z] 2 C | Y 6= 0}U

2

= {[X, Y, Z] 2 C | Z 6= 0} .

Poniamo x = XZ , y = Y

Z , u = XY , v = Z

Y , ⇠ = YX , ⌘ = Z

X . Definiamo

!U2 ='(x, y, 1)dx@@yF (x, y, 1)

, !U1 =�'(u, 1, v)du

@@vF (u, 1, v)

, !U0 ='(1, ⇠, ⌘)d⇠@F@⌘ (1, ⇠, ⌘)

mostriamo che !Ui

è C1 in Ui. Consideriamo !U2 (per !U1 e !U0 si ragiona analogamente).Poiché

@F

@x(x, y, 1)dx +

@F

@y(x, y, 1)dy = 0 , (x, y, 1) 2 U

2

.

si ha:!U2 =

'dx@F@x

= �'dy@F@y

,

Essendo C non-singolare, si ha✓

@F

@x(x, y, 1),

@F

@y(x, y, 1), F (x, y, 1)

◆

6= (0, 0, 0)

Dal momento che x e y sono funzioni C1 in U2

si ha che !U2 è C1 in U2

. Ora dimostriamoche

!U2 |U2\U1 = !U1 |U2\U1 ,

(le altre coppie di intersezioni, U0

\U2

e U1

\U0

si trattano in modo analogo). In U2

\U1

siha u = x

y , v = 1

y , dunque

!U1|U2\U1

='(u, 1, v)dv@@uF (u, 1, v)

='⇣

xy , 1, 1

y

⌘

d⇣

1

y

⌘

y @@xF

⇣

xy , 1, 1

y

⌘

=�y�d+3'(x, y, 1)y�d+1

@@xF (x, y, 1)

y�2dy

=�'(x, y, 1)dy

@@xF (x, y, 1)

= !U2|U2\U1

,

176

dove si usa il fatto che se u = x/y, allora

@

@uf(u) =

✓

@

@xf

◆

(u)

In conclusione le !Ui

definiscono una 1–forma ! C1 su C.

Esercizi.

1. Dimostrare che sul toro Tn si può definire un campo vettoriale mai nullo.

2. Dimostrare che sulla sfera S2 non si può definire un campo vettoriale mai nullo.3. Dimostrare che sulla sfera Sn non si può definire un campo vettoriale mai nullo se e solose n è dispari.4. Sia C una curva piana, proiettiva, non-singolare definita dall’annullarsi di un polinomioomogeneo di grado d. Trovare (d� 1)(d� 2)/2 1-forme di�erenziali linearmente indipendentiin E1(C).

G.8 Il complesso di de Rham e il lemma di Poincaré

Le forme di�erenziali e i relativi operatori di�erenziali formano il cosiddetto complesso di deRham:

· · ·! Ek(M) d! Ek+1(M) d! Ek+2(M) ! . . . .

Si definisce lo spazio vettoriale delle k–forme chiuse:

ZkdR(M) = {! 2 Ek(M) | d! = 0}

e quello delle k–forme esatte:

BkdR(M) = {! 2 Ek(M) | ! = d' , ' 2 Ek�1(M)} .

Poiché d2 = 0 si ha: BkdR(M) ⇢ Zk

dR(M). Si definisce il k–simo gruppo (spazio vettoriale) dicoomologia di de Rham come il quoziente delle k–forme chiuse modulo le k–forme esatte:

HkdR(M) = Zk

dR(M)/BkdR(M) .

Data una applicazione C1

F : M ! N

consideriamo l’omomorfismo indotto

F ⇤ : Ek(N) ! Ek(M) .

Poiché F ⇤d = dF ⇤, l’operatore F ⇤ porta forme chiuse in N in forme chiuse in M , forme esattein N in forme esatte in M , e dunque induce un omomorfismo (che denotiamo ancora un F ⇤)

F ⇤ : HkdR(N) ! Hk

dR(M) .

177

Se G : N ! L è un’altra applicazione C1 , si ha, a livello di k–forme, (GF )⇤ = F ⇤G⇤ edunque si ha anche a livello di coomologia di de Rham

F ⇤G⇤ = (GF )⇤ : HkdR(L) ! Hk

dR(M) .

È anche evidente che(1M )⇤ = 1Hk

dR

(M) .

In conclusione si può dire che il k–simo gruppo di coomologia di de Rham è un funtorecontrovariante dalla categoria delle varietà di�erenziali e quella degli spazi vettoriali (reali).Accanto alle k–forme di�erenziali reali Ek(M) si può considerare il C–vettoriale delle k–formedi�erenziali complesse Ek(M ; C). Localmente una k–forma di�erenziale complessa è dellaforma ! =

P

fIdxI dove le fI sono funzioni C1 a valori complessi. Si definisce anche ilcomplesso de Rham delle k–forme complesse

· · ·! Ek(M ; C) d! Ek+1(M ; C) ! . . .

e si denota col simbolo HkdR(M ; C) il k–esimo gruppo di coomologia di questo complesso. In

questa sezione calcoleremo i gruppi di coomologia di de Rham di Rn e più in generale di unaperto stellato di Rn. Un aperto U ⇢ Rn si dice stellato rispetto a un suo punto p, se perogni punto q 2 U il segmento pq è contenuto in U :

p

Figura 8

Sia dunque U un insieme stellato rispetto a un suo punto p che supporremo essere l’origine0 2 Rn. Consideriamo il complesso di de Rham

· · ·! Ek(U) d! Ek+1(U) ! . . .

Costruiremo un operatoreT : Ek(U) ! Ek�1(U)

tale che per ogni ! 2 Ek(U)! = dT! + Td! . (H.1)

Da ciò seguirà che, in U , ogni k–forma ! chiusa è anche esatta: ! = dT! e che dunque

HkdR(U) = 0 , k > 0 . (H.2)

Questo risultato prende il nome di Lemma di Poincaré. Esso può essere completato conl’ovvia osservazione che, essendo un aperto stellato connesso, si ha H0

dR(U) ⇠= R. Costruiamodunque l’operatore T . Sia

! =X

fIdxI 2 Ek(U)

178

dove I = {i1

, . . . , ik}, 1 i1

< · · · < ik n. Basterà, per linearità, definire l’operatore T peruna forma ! del tipo ! = fdxI e dimostrare per questa la (8.1). Poniamo

T! =kX

↵=1

(�1)↵�1

✓

Z

1

0

tk�1f(tx)◆

xi↵

dxi1 ^ · · · ^cdxi↵

^ · · · ^ dxik

.

Dimostriamo la (8.1). Si ha

dT! = k

✓

Z

1

0

tk�1f(tx)◆

dxI

+kX

↵=1

nX

j=1

(�1)↵�1

✓

Z

1

0

tk@f

@xj(tx)

◆

xia

dxj ^ dxi1 ^ · · · ^cdxi↵

^ · · · ^ dxik

.

Si ha poi:

d! =nX

j=1

@f

@xjdxj ^ dxI

e dunque

T (d!) =nX

j=1

✓

Z

1

0

tk@f

@xj(tx)

◆

xjdxI +

�nX

j=1

kX

↵=1

(�1)↵�1

✓

Z

1

0

tk@f

@xj(tx)

◆

xi↵

dxj ^ dxi1 ^ · · · ^ ddxi↵

^ · · · ^ dxik

.

Sommando si cancellano le somme doppie e si ottiene

dT! + Td! = k(Z

1

0

tk�1f(tx))dxI +

+nX

j=1

✓

Z

1

0

tkxj@f

@xj(tx)

◆

dxI

=✓

Z

1

0

d

dt[tkf(tx)]

◆

dxI

= fdxI = ! .

Q.E.D.

Esercizi

1. Verificare che la forma ! = �ydx + xdy definita su S1 = {(x, y) 2 R2 : x2 + y2 = 1} èchiusa, ma non esatta.

2. Sia M una varietà di�erenziabile, dimostrare che se � 2 Ek(M) e 2 Eq(M) sono formechiuse , alloraa) ^ � è una forma chiusa.

179

b) se è una forma esatta, allora anche ^ � lo è.

3. Verificare quali delle seguenti forme di�erenziali definite su R3 sono esatte o chiuse quandovengono ristrette a S2

a)x2dx + xydy + xzdz

b)xdy � ydx

c)zdx ^ dy � ydx ^ dz + xdy ^ dz

H.9 Integrazione delle k-forme di�erenziali sulle k-catene

Sia M una varietà di�erenziale. Consideriamo un k–simplesso singolare

� : �k ! M .

D’ora in poi assumeremo che � sia la restrizione a �k di una applicazione C1 definita inun intorno di �k. Diremo allora che � è un k–simplesso singolare C1 . Dato un anellocommutativo con unità A definiremo le k–catene singolari C1 a valori in A ponendo

C1k (M,A) = {c =

nX

i=1

ai�i 2 Ck(M,A) |

�i è un k–simplesso singolare C1 } .

È del tutto ovvio che l’operatore di bordo @ porta k–catene singolari C1 in (k � 1)–catenesingolari C1 . Si ha dunque un complesso

· · ·! C1k (M,A) @! C1

k�1

(M,A) @! . . .

la cui omologia denoteremo con il simbolo H1k (M,A). Ora non è di�cile dimostrare che

H1k (M,A) ⇠= Hk(M,A). Non daremo la dimostrazione di questo fatto, la lasceremo come

esercizio. Nell’esercizio, si supporrà, per semplicità, che la varietà sia di tipo finito e si tratteràdi dimostrare che ogni catena singolare è omologa a una catena singolare C1 . Per questobasterà dimostrare che ogni simplesso singolare � è omologo a un simplesso singolare C1 .(L’idea è di suddividere baricentricamente � in modo che ogni simplesso della suddivisionevada a finire in una carta locale di M e di e�ettuare l’approssimazione C1 nelle carte locali).Dunque, d’ora in poi noi identificheremo Hk(M,A) con H1

k (M,A) e lavoreremo con catenesingolari C1 .

Dato un k–simplesso singolare C1 in M

� : �k ! M

e una k–forma di�erenziale ! 2 Ek(M) definiamo l’integrale di ! su � ponendoZ

�! =

Z

�

k

�⇤! .

180

Si tratta di definire l’integrale a destra del segno di eguaglianza. Ora �⇤! è una k–formadi�erenziale definita in un intorno di �k ⇢ Rk. Se x

1

, . . . , xk sono coordinate in Rk esiste ununico modo di scrivere �⇤! nella forma

�⇤! = f(x1

, . . . , xk)dx1

^ · · · ^ dxk . (I.1)

Per definizione poniamoZ

�

k

�⇤! =Z

�

k

f . (I.2)

Data una k–catena singolare C1 a valori reali c =P

ki�i 2 C1k (M, R) definiamo l’integrale

di ! su c ponendoZ

c! =

X

ki

Z

�i

! .

Vogliamo ora dimostrare una prima versione del teorema di Stokes.

Teorema 19. (di Stokes, 1a versione) Sia M una varietà di�erenziabile, sia ! 2 Ek�1(M)una (k � 1)-forma e c 2 C1

k (M, R) una k–catena singolare C1 a coe�cienti reali. AlloraZ

cd! =

Z

@c! .

Dim. Scriviamo c =P

ki�i, poiché sia l’integrale, che l’operatore di bordo sono lineari, bastadimostrare che dato un k–simplesso singolare, � : � ! M si ha

Z

�d! =

Z

@�! .

Ora, da una parte abbiamoZ

�d! =

Z

�

k

�⇤d! =Z

�

k

d�⇤! .

Dall’altra:Z

@�! =

kX

s=0

(�1)s

Z

�js

! =kX

s=0

(�1)s

Z

�

k�1

j⇤s�⇤!.

Dunque noi dobbiamo dimostrare che, data una (k � 1)–forma di�erenziale ' definita in unintorno di �k, si ha:

Z

�

k

d' =kX

s=0

(�1)s

Z

�

k�1

j⇤s' . (I.3)

Scriviamo

' =kX

i=1

fidx1

^ · · · ^cdxi ^ · · · ^ dxk .

Per linearità possiamo assumere che

' = fdx1

^ · · · ^cdxi ^ · · · ^ dxk

181

e dimostrare la (I.3) in questo caso. Si haZ

�

k

d' =Z

�

k

✓

X @f

@xjdxj

◆

^ dx1

^ · · · ^cdxi ^ · · · ^ dxk (I.4)

=Z

�

k

@f

@xidxi ^ dx

1

^ · · · ^cdxi ^ · · · ^ dxk

= (�1)i�1

Z

�

k

@f

@xidx

1

^ · · · ^ dxk

= (�1)i�1

Z

�

k�1

[f(x1

, . . . , xi�1

, 1�X

j 6=i

xj , xi+1

, . . . , xk)�

� f(x1

, . . . , xi�1

, 0, xi+1

, . . . , xk)] .

D’altro canto:kX

s=0

(�1)s

Z

�

k�1

j⇤s' = (I.5)Z

�

k�1

f(1� ⌃yi , y1

, . . . , yk�1

)(�dyi�1

) ^ dy1

^ · · · ^cdyi�1

^ · · · ^ dyk�1

+

(�1)i

Z

�

k�1

f(y1

, . . . , yi�1

, 0, yi, . . . , yk�1

)dy1

^ · · · ^ dyk�1

=

(�1)i�1

Z

�

k�1

f(1� ⌃yi , y1

, . . . , yk�1

) + (�1)i

Z

�

k�1

f(y1

. . . yi�1

, 0, yi, . . . , yk�1

).

Ricordiamo a questo punto la formula di cambiamento di parametro nell’integrale. Se U ⇢ Rk

è un dominio e F : U ! F (U) un di�eomorfismo alloraZ

F (U)

f =Z

U|JF |f � F (I.6)

dove |JF | è il valore assoluto del determinante Jacobiano di F . Ritornando alla dimostrazionedella (I.3), consideriamo l’omeomorfismo

F : �k�1

! �k�1

(y1

, y2

. . . , yi�1

, yi, yi+1

. . . , yk�1

) 7! (y2

, y3

. . . , yi�1

, 1� ⌃yi, yi, . . . , yk�1

) .

Poniamo g(y1

, y2

. . . , yk�1

) = (1� ⌃yi , y1

, . . . , yk�1

)). Poiché |JF | = 1 si haZ

�

k�1

f(1� ⌃yi , y1

, . . . , yk�1

) =Z

�

k�1

f � g(y1

, . . . , yk�1

) =

=Z

�

k�1

f � g � F (y1

, . . . , yk�1

)

=Z

�

k�1

f(y1

, . . . , yi�1

, 1� ⌃yi , yi, . . . , yk�1

) .

Questo mostra che la (I.4) e la (I.5) sono uguali e dunque vale la (I.3). Ciò conclude ladimostrazione del teorema di Stokes.

182

Il teorema di Stokes ci consente di paragonare l’omologia singolare con la coomologia di deRham. Più precisamente definiamo un omomorfismo

I : H1k (M) ! Hk

dR(M)⇤

(qui indichiamo con V ⇤ il duale di V ) ponendo

[c] !⇢

[!] 7!Z

c!

�

dove [c] è la classe di un ciclo c mentre [!] è la classe di una k–forma chiusa !. Per mostrareche la definizione è ben posta basta mostrare che

Z

c! =

Z

c+@�(! + d')

e cioè che la definizione non dipende dai rappresentanti delle classi. Infatti per il teorema diStokes

Z

c+@�(! + d') =

Z

c! +

Z

@�! +

Z

cd'+

Z

@cd'

=Z

c! +

Z

�d! +

Z

@c'+

Z

cd2' =

Z

c!

essendo d! = 0 e @c = 0.

Nella prossima sezione dimostreremo che se M è una varietà abbastanza buona, allora I èun isomorfismo. Questo è il teorema di de Rham. Da questo teorema segue che i gruppi dicoomologia di de Rham, che a priori sono solo invarianti per di�eomorfismi, sono in e�ettiinvarianti omotopici. Con esso si riescono a esprimere, in modo organizzato, le ostruzionitopologiche a risolvere una equazione di�erenziale del tipo: d! = ↵.

Esercizi

1. Sia M una varietà sia di tipo finito dimostrare che ogni catena singolare è omologa a unacatena singolare C1 .

2. Consideriamo la 1–forma

! = (x2 + 4y)dx + (�2x + ysin⇡y2)dy

definita in R2. Calcolarne l’ integrale lungo il ciclo � = @�2

.

3. Sia! = (2x + ycosxy)dx + (xcosxy)dy

definita in R2. Calcolarne l’ integrale lungo il ciclo � = @�2

.

183

I.10 Il teorema di De Rham

Sia M una varietà di�erenziale. Riprendiamo l’applicazione lineare:

I : H1k (M, R) ! Hk

dR(M)⇤

c 7!⇢

! 7!Z

c!

�

.

Molto spesso, componendo I con l’isomorfismo tra Hk(M, R) e H1k (M, R), ometteremo di

scrivere il su�sso 1 nell’omologia singolare. Dimostriamo come prima cosa l’esistenza di unasuccessione di Mayer–Vietoris per la coomologia di de Rham. Siano dunque U e V due apertiin M tali che M = U [ V . Consideriamo la successione

0 ! Ek(M) ↵! Ek(U)� Ek(V )�! Ek(U \ V ) ! 0

definita da↵(!) = (!|U ,!|V ) , �(!,') = !|U\V � '|U\V .

Verifichiamo che questa è una successione esatta. Che ↵ si a iniettiva e che ker� = Im↵ èovvio. Per verificare che � è suriettiva si prende una partizione dell’unità {⇢U , ⇢V } relativaal ricoprimento {U, V }. Sia ! 2 E0(U \ V ). Definiamo !U 2 E0(U) e !V 2 E0(V ) ponendo

!U =

(

⇢V !, in U \ V

0, in U \ U \ V, !V =

(

�⇢U! , in U \ V

0, in V \ U \ V .(J.1)

È allora chiaro che! = !U |U\V � !V |U\V

e dunque � è suriettiva. In e�etti ↵ e � sono omomorfismi di complessi, nel senso che ildiagramma

0 // Ek(M) //

d✏✏

Ek(U)� Ek(V ) //

(d,d)

✏✏

Ek(U \ V ) //

d✏✏

0

0 // Ek+1(M) // Ek+1(U)� Ek+1(V ) // Ek+1(U \ V ) // 0

commuta, per ogni k. Dai lemmi di algebra omologica dimostrati nel Cap. 3 segue che vi èuna successione esatta lunga, detta di Mayer–Vietoris:

! HkdR(M) ↵! Hk

dR(U)�HkdR(V )

�! HkdR(U \ V ) �! Hk+1

dR (M) ! . . .

dove↵([!]) = ([!|U ], [!|V ]) , �([!], [']) = [!|U\V � '|U\V ] ,

mentre, per definire �, si deve ricordare il procedimento generale che fa passare da una suc-cessione esatta corta di complessi e una successione esatta lunga in (co)omologia. Nel nostrocaso, data una classe [!] 2 Hk

dR(U \ V ), dove ! è una forma chiusa in U \ V , si definiscono!U e !V come in (I.1). Consideriamo

(d!U , d!V ) 2 Ek+1(U)� Ek+1(V ) .

184

Poiché d!U |U\V

� d!V |U\V

= d! = 0, esiste una forma ' 2 Ek(M) tale che '|U = d!U e'|V = d!V . La forma ' è chiusa e si pone:

�([!]) = ['] . (J.2)

Ci sarà utile il seguente Lemma.

Lemma 17. Sia M una varietà di�erenziale. Siano U e V due aperti in M tali che U [V =M . Allora vi è un diagramma commutativo

· · · // Hk(U \ V ) a //

I✏✏

Hk(U)�Hk(V ) b //

(I,I)

✏✏

Hk(M)@ //

I✏✏

Hk(U \ V ) //

I✏✏

· · ·

· · · // HkdR(U \ V )⇤

�⇤ // HkdR(U)⇤ �Hk

dR(V )⇤ ↵⇤ // HkdR(M)⇤ �⇤ // Hk�1(U \ V )⇤ // · · ·

dove a, b, @ sono le applicazioni che definiscono la successione di Mayer–Vietoris in omologia,mentre ↵⇤, �⇤ e �⇤ sono le trasposte di ↵,� e �.

Dim. Si tratta di considerare i tre quadrati. Si ha

�⇤(I(c))(!, ) = I(c)�(!, )= I(c)(!|U\V � |U\V )

=Z

c!|U\V � |U\V

=Z

c! �

Z

c (poiché c 2 Zk(U \ V ))

= (I, I)(c, c)(!, )= (I, I)a(c)(!, ) .

Il secondo quadrato si tratta in modo completamente analogo. Consideriamo il terzo. Ladefinizione di � è data dalla (J.2). Ricordiamo la definizione di @. Se c 2 Zk(M) si scrive,tramite una suddivisione baricentrica, c = cU +cV . Poiché @c = 0, si ha @cU = �@cV cosicché,

185

in particolare, @cU 2 Zk�1

(U \ V ), e si ha @c = @cU . Ora

I(@(c))(!) =Z

@c!

=Z

@cU

!

=Z

@cU

!U |U\V

� !V |U\V

=Z

@cU

!U |U\V

�Z

�@cV

!V |U\V

=Z

cU

d!U +Z

cV

d!V

=Z

cU

'|U +Z

cV

'|V

=Z

c'

=Z

c�!

= �⇤Ic(!) .

Q.E.D.D’ora in poi, in questa sezione restringeremo la nostra attenzione alle varietà di tipo finito.Una varietà di tipo finito è una varietà M che può ricoprirsi con un numero finito di apertiU

1

, . . . , Um tali che ogni intersezione Ui1 \ · · · \ Uik

, se non vuota, è di�eomorfa a un apertostellato di Rd, d = dim M . Ricordiamo che il lemma di Poincaré ci dice che se U è un apertostellato di Rd allora:

Hk(U, R) ⇠= HkdR(U) ⇠=

(

R , k = 00 , k > 0 .

Dimostriamo che se M è di tipo finito allora gli Hk(M, R) sono finito–dimensionali. Pro-cediamo per induzione nel numero degli aperti del ricoprimento che rende M di tipo finito.Se vi è un solo aperto, M stesso è stellato e non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo diaver dimostrato il risultato per quelle varietà M che sono unione di n � 1 aperti a mutuaintersezione stellata. Supponiamo che M = U

1

[ · · · [ Un e che Ui1 \ · · · \ UIk

, se non vuoto,sia stellato. Poniamo

U = U1

, V = U2

[ · · · [ Un ,

e osserviamo che U, V e U \V sono di tipo finito e soddisfano l’ipotesi induttiva, e che quindiHk(U), Hk(V ) e Hk(U \ V ) sono finito–dimensionali. Dalla successione di Mayer Vietorissegue che anche Hk(M) è finito–dimensionale. Esempi di varietà di tipo finito sono le varietàtriangolabili compatte in cui si prendono come aperti del ricoprimento le stelle dei verticidella triangolazione. La stella di un vertice v è l’interno dell’unione di tutti i triangoli chehanno v come vertice:

186

v

w

Stella(v) Stella(w)

v

Stella(v)

Figura 9

Un esempio di varietà che non è di tipo finito è R2 \Z. In e�etti, se R2 \Z fosse di tipo finitosi avrebbe dim H1(R2 \ Z, R) < 1,mentre H1(R2 \ Z, R) ⇠= R� R� . . . ).

Siamo ora in grado di enunciare il teorema di de Rham.

Teorema 20. (di de Rham) Sia M una varietà di tipo finito allora

I : H1k (M, R) ! Hk

dR(M)

è un isomorfismo, 8 k � 0.

Dimostrazione. Si procede, come sopra, per induzione sul numero degli aperti di un ricopri-mento che rende M di tipo finito. Il caso n = 1 si riduce alla Lemma di Poincaré, (H.2).Supponiamo il risultato vero per le varietà che sono unione di n � 1 aperti a mutua inter-sezione stellata. Sia M = U

1

[ · · · [ Un e supponiamo che Ui1 \ · · · \ Uik

, se non vuoto, siastellato. Scriviamo U = U

1

, V = U2

[ · · ·[Un. Le ipotesi induttive valgono per U , V e U \V .A questo punto si conclude guardando il diagramma del lemma (17), usando l’induzione e ilLemma dei cinque.

Q.E.D.

Esercizi

1. Dimostrare che il teorema di de Rham è valido anche quando esiste un ricoprimento finitocon Ui1 \ · · · \ Ui

k

unione disgiunta di un numero finito di aperti stellati.

2. Sia U un aperto stellato in Rn e X una varietà arbitraria, verificare che HkdR(U ⇥ X) è

isomorfo a HkdR(X).

3. Usando l’applicazione antipodale verificare che HkdR(Pn(R)) = 0, per k 6= 0, ad eccezione

di quando n è dispari, nel qual caso HndR(Pn(R)) ⇠= R.

187

J.11 Orientazione e integrazione sulle varietà orientate

Introduciamo innanzitutto il concetto di orientazione.

Definizione 12. Sia M una varietà di�erenziabile. Si dice che M è orientabile se è possibileintrodurre in M un atlante {(U↵,'↵)} tale che, in '↵(U↵\U�), il determinante dello jacobianoJ↵� di '�'�1

↵ sia positivo. La varietà M si dirà orientata una volta che si è scelto su M unatlante massimale che goda della suddetta proprietà. Le carte di questo atlante si diconopositivamente orientate.

Lemma 18. Una varietà n-dimensionale M è orientabile se e solo se esiste una formadi�erenziale ! 2 En(M) tale che !(p) 6= 0, 8p 2 M .

Dim. Supponiamo M orientabile e sia {(U↵,'↵)} un atlante con det(J↵�) > 0, per ogni ↵ e� tali che U↵ \ U� 6= 0. Siano x

1

, . . . , xn coordiate in Rn e scriviamo x↵i = xi � '↵. Sia {⇢↵}

una partizione dell’unità subordinata al ricoprimento {U↵}. Si definisca

µ =X

↵

⇢↵ dx↵1

^ · · · ^ dx↵n .

Per calcolare µ(p) si supponga p 2 U�. Allora

µ|U�

=

X

↵

⇢↵ det(J↵�)

!

dx�1

^ · · · ^ dx�n .

Poiché per qualche �, si ha ⇢�(p) > 0 si ha ancheP

⇢↵ det J↵�(p) > 0, e dunque µ(p) 6= 0.Viceversa data una µ 2 En(M) con µ(p) 6= 0, per ogni p 2 M , si costruisce un atlante{(U,'↵)} includendo in esso solo quelle carte per cui

µ

✓

@

@x↵1

, . . . ,@

@x↵n

◆

> 0 .

Scrivendo µ localmenteµ = f↵ dx↵

1

^ · · · ,^dx↵n ,

ciò equivale a dire che f↵ > 0. D’altro canto in U↵ \ U� si ha f↵ = (det J↵�)f� e dunquedet(J↵�) > 0.

Q. E. D.

Definizione 13. Siano M e N due varietà orientate della stessa dimensione n. Sia µ (risp.⌫) una n-forma in M (risp. N) che definisce l’orientazione su M (risp. N). Sia F : M ! Nuna applicazione C1 . Si dice che F conserva l’orientazione se F ⇤⌫ = fµ con f 2 E0(M) eovunque positiva.

Come abbiamo già ricordato, se F : A ! F (A) = B è un di�eomorfismo tra due aperti di Rn

alloraZ

F (A)

f =Z

A|det (JF )|f � F (K.1)

188

dove JF è la matrice jacobiana di F . Ora data una n-forma ! in Rn vi è un unico modo discriverla nella forma

! = f dx1

^ · · · ^ dxn

e, per definizione si poneZ

A! =

Z

Af

cos„“, la formula (K.1) può riscriversiZ

F (A)

! = ±Z

AF ⇤! (K.2)

dove va preso il segno + se F conserva l’orientazione e il segno � se la inverte. Vogliamo

ora introdurre la nozione di dominio regolare in una varietà orientata. Si intende con ciò unaperto connesso G ✓ M avente la seguente proprietà. Per ogni punto p 2 @G esiste una cartalocale (positivamente orientata)

' : U ! '(U) ⇢ Rn

con '(p) = 0 e conG \ U = '�1{(x

1

, . . . , xn) 2 Rn |xn > 0} .

Figura 10

In particolare gli omeomorfismi

'0 = '|@G : @G \ U ! '(@G \ U) ⇢ Rn�1

costituiscono un atlante per una struttura di�erenziabile su @G che cos„“ diventa una varietà(n � 1)-dimensionale. È anche chiaro che se è un’altra carta di M intorno a un puntop 2 @D, del tipo sopra descritto, e se

'�1(x1

, x2

, . . . , xn) = (F1

(x1

, . . . xn), . . . , Fn(x1

, . . . , xn))

allora Fn(x1

, . . . , xn�1

, 0) = 0 e (@Fn/@xn)(x1

, . . . , xn�1

, 0) > 0. Ne segue che la matricejacobiana di '�1 quando ristretta e xn = 0 ha la forma

J =

0

B

B

B

@

⇤J 0

...⇤

0 . . . 0 ⇤

1

C

C

C

A

189

Dunque J 0, che è lo jacobiano di |@G('|@G)�1, ha determinante positivo, e quindi l’atlanteche definisce la struttura di�erenziale su @G ne definisce anche una orientazione. Ebbene, sen è pari prenderemo questa come orientazione del bordo @G, se invece n è dispari, prenderemol’orientazione opposta.

Naturalmente una varietà compatta è un dominio regolare con bordo vuoto. Vogliamo oradefinire l’integrale esteso a una regione regolare G ✓ M , di una n-forma ! 2 En(M) asupporto compatto. Definiremo n-simplesso regolare orientato un di�eomorfismo orientato� tra un aperto U in Rn contenente l’n-simplesso standard �n e un aperto �(U) di M .

�n ⇢ U�! �(U) ✓ M

M

U

∆n

σ

Figura 11

Dato un dominio regolare G ✓ M considereremo tutti gli n-simplessi regolari orientati � taliche �(�n) ⇢ G, oppure tali che �(�n) ⇢ G e �(�n) \ @G = �jn(�n�1

). Per ogni simplessodel primo tipo prendiamo gli aperti U contenenti nell’interno di �(�n). Per ogni simplessodel secondo tipo prendiamo gli aperti U del tipo �(V ), dove V è un piccolo intorno di unpunto della n-sima faccia di �n che incontra il bordo di �n solo in quella faccia e tale che�(V ) ⇢ �(�n) [M r G

Figura 12

Sia ora ! 2 En(M) una n-forma a supporto compatto. Ricopriamo supp(!) \ G con unnumero finito di aperti U

1

, . . . , Uh del tipo sopra descritto, e poniamo U0

= M r supp! \G.Per costruzione gli aperti U

1

, . . . , Uh sono associati ad altrettanti simplessi regolari orientati�

1

, . . . ,�h. Sia {⇢i} una partizione dell’unità relativa al ricoprimento {Ui}. Definiamo

Z

G! =

hX

i=1

Z

�i

⇢i! . (K.3)

190

Dimostriamo che questa definizione non dipende dalle scelte fatte. Supponiamo che V0

, V1

, . . . , Vk

sia un altro ricoprimento dello stesso tipo. Siano ⌧1

, . . . , ⌧k i relativi k-simplessi regolariorientati, e sia {�j} una partizione dell’unità associato al ricoprimento {Vj}. Si ha

hX

i=1

Z

�i

⇢i! =hX

i=1

Z

�i

0

@

kX

j=1

�j

1

A ⇢i! =hX

i=1

kX

j=1

Z

�i

�j⇢i! .

In modo simile si ottienekX

j=1

Z

⌧i

�j! =hX

i=1

kX

j=1

Z

⌧j

�j⇢i! .

D’altro canto, essendo �i e ⌧j positivamente orientati, per la (K.2), e per il fatto che

supp(�j⇢i!) \ �i(�n) = supp(�j⇢i!) \ ⌧j(�n)

si haZ

�i

�j⇢i! =Z

�

n

�⇤i (�j⇢i!)

=Z

�

n

(��1

i ⌧j)⇤�⇤i (�j⇢i!)

=Z

�

n

⌧⇤j (�j⇢i!)

Dunque la definizione (K.3) è ben posta. Possiamo ora dimostrare la seconda versione delteorema di Stokes

Teorema 21. (di Stokes, seconda versione)Sia M una varietà di�erenziale orientata di di-mensione n. Sia G ✓ M una regione regolare. Sia ! 2 En�1(M) a supporto compatto.Allora

Z

Gd! =

Z

@D! .

Dim. Siano ⇢0

, ⇢1

, . . . , ⇢k , �1

, . . . ,�k scelti come nella formula (K.3). Si osservi che, percostruzione, ⇢

0

⌘ 0 in un intorno di supp! \ G e dunquePk

i=1

⇢i = 1 in un intorno disupp! \G. In un tale intorno si ha

d! =kX

i=1

d(⇢i!).

QuindiZ

Gd! =

kX

i=1

Z

Gd(⇢i!) (K.4)

=kX

i=1

Z

�i

d(⇢i!)

=kX

i=1

Z

@�i

⇢i! .

191

Supponiamo ora che �i sia un simplesso tale che �i(�n) ⇢ G, poiché supp(⇢i!) ⇢ Int (�i(�n))si ottiene

Z

@�i

⇢i! = 0 . (K.5)

Supponiamo ora che �i sia del secondo tipo e che cioè �ijn(�n) ⇢ @G. Si osservi che, percome si è deciso di orientare @G, se n è pari �ijn conserva l’orientazione mentre la inverte sen è dispari. Dunque

Z

@�i

⇢i! = (�1)n

Z

jn

�i

⇢i! = (�1)2n

Z

@G⇢i! =

Z

@G⇢i! .

Questa relazione la (K.4) e la (K.5) concludono la dimostrazione del teorema di Stokes.

Corollario 7. . Sia M una varietà orientata compatta di dimensione n. Sia ! 2 En�1(M).Allora

Z

Md! = 0 .

Dim. M è una regione regolare con bordo vuoto.

Esercizi

1. Sia M una varietà orientata compatta di dimensione n. Dimostrare che HndR(M) 6= 0.

2. Sia ! la n-forma

n+1

X

i=1

(�1)i�1xidx1

^ · · · ^ dxi�1

^ dxi+1

· · · ^ dxn+1

definita su Sn. Verificare che ! è chiusa, ma non esatta.

3. Dimostrare che se una varietà M contiene un aperto non orientabile, allora la varietà nonè orientabile.

4. Dimostrare che P2(R) non è orientabile.

5. Dimostrare che Pn(R) è orientabile () n è dispari.

6. Sia X ⇢ Rn una ipersuperficie definita da F (x1

, . . . , xn) = 0; dimostrare che X èorientabile.

7. Dimostrare che il toro n–dimensionale Tn è orientabile

192

K.12 Fibrati vettoriali

La nozione di fibrato vettoriale formalizza è l’idea di uno spazio vettoriale k-dimensionale chevariando in modo C1 al variare di un punto su di una varietà n-dimensionale descrive unavarietà (n + k)-dimensionale (si pensi per esempio all’insieme dei piani tangenti a una sferan-dimensionale: in questo caso k = n). Su questi spazi vettoriali variabili si eseguono tuttele costruzioni dell’algebra multilineare. La definizione formale è la seguente:

Definizione 14. Sia M una varietà di�erenziale di dimensione n. Un fibrato vettoriale reale(risp. complesso) di rango k su M è il dato di una applicazione C1

⇡ : E ! M

dove E è una varietà (n + k)-dimensionale tale che:

1. per ogni punto p 2 M la preimmagine Ep = ⇡�1(p), detta fibra di E in p, è uno spaziovettoriale k-dimensionale reale (risp. complesso),

2. ogni punto p 2 M possiede un intorno U su cui il fibrato si banalizza, il che vuol direche esiste un di�eomorfismo

⇠ : EU := ⇡�1(U) ! U ⇥ Rk

(risp. ⇠ : EU ! U ⇥ Ck )

tale che, per ogni q 2 U , la restrizione ⇠q di ⇠ alla fibra Eq ha come immagine {q}⇥Rk

e stabilisce isomorfismo lineare

⇠q : Eq ! {q}⇥ Rk

Infine, dati su M due fibrati lineari ⇡ : E ! M e � : F ! M un omomorfismo tra idue è un diagramma commutativo di applicazioni C1

Ef //

⇡ A

AAAA

AAA F

�~~}}

}}}}

}}

M

tale che, per ogni p 2 M l’applicazione indotta

fp := f |Ep

: Ep ! Fp

è un omomorfismo lineare.

Un fibrato di rango 1, si dice anche un fibrato lineare.

Si può liberare la definizione appena data dalla scelta dell’insieme di aperti U su cui il fibratosi banalizza decidendo di considerarne sempre uno massimale, ma non ci dilungheremo suquesto punto.

193

L’ esempio più semplice di fibrato vettoriale è quello del fibrato banale che si ottiene con-siderando il prodotto M ⇥V di una varietà M e di uno spazio vettoriale V ed equipaggiandoquesto prodotto con la proiezione naturale ⇡ : M ⇥ V ! V .

Vogliamo descrivere un procedimento per costruire i fibrati vettoriali. Ci limiteremo a dis-cutere il caso dei fibrati reali ma considerazioni del tutto analoghe si possono fare per quellicomplessi.Sia dunque ⇡ : M ! V un fibrato vettoriale reale di rango k. Per definizione possiamotrovare un ricoprimento aperto U = {U↵}↵2A di M su cui E si banalizza. Possiamo ancheassumere che gli aperti U↵ siano domini di altrettante carte locali per M , anche se ciò non èstrettamente necessario. Denotiamo con

⇠↵ : E|U↵

! U↵ ⇥ Rk

l’isomorfismo di banalizzazione. Se U↵\U� è non vuoto, possiamo considerare la composizione

⇠↵⇠�1

� : U↵ \ U� ⇥ Rk ! U↵ \ U� ⇥ Rk.

Per definizione di fibrato vettoriale questa è una applicazione C1 che per ogni x in U↵ \ U�

fornisce un isomorfismo lineare

⇠↵⇠�1

� : {x}⇥ Rk ! {x}⇥ Rk

(x, v) 7! (x, g↵�(x)v) ,

le g↵�(x) essendo matrici invertibili k ⇥ k che variano in modo C1 con x 2 U↵ \ U� . Le g↵�

possono essere riguardate come applicazioni C1 :

g↵� : U↵ \ U� ! GL(k, R) . (L.1)

Queste applicazioni prendono il nome di matrici di transizione di E rispetto a U . Poichè inU↵ \ U� \ U�

⇠↵⇠�1

� ⇠�⇠�1

� = ⇠↵⇠�1

� ,

si ottiene, per le g↵� , la cos„“ detta relazione di cociclo

g↵�g�� = g↵� . (L.2)

Faremo ora vedere che un qualsiasi fibrato vettoriale può costruirsi a partire da matrici ditransizione soggette alla relazione di cociclo. Si ha la seguente

Proposizione 2. Sia M una varietà n-dimensionale, sia U = {U↵} un ricoprimento apertodi M costituito da carte locali. Sia data una collezione g = {g↵�} di applicazioni C1

g↵� : U↵ \ U� ! GL(k, R) ,

tali che in U↵ \ U� \ U�

g↵�g�� = g↵� g↵↵ = Id

allora esiste un fibrato vettoriale E(g) di rango k su M avente le g↵� come matrici di tran-sizione relative a U . Ogni fibrato vettoriale su M è isomorfo a un fibrato vettoriale del tipo

194

E(g), e due fibrati vettoriali E(g) e E(h) sono isomorfi se e solo se esiste una collezione {f↵}di applicazioni C1

f↵ : U↵ ! GL(k, R) ,

tali che, in U↵ \ U�

h↵� = f�1

↵ f�g↵� .

Dim. PoniamoE(g) =

t(U↵ ⇥ Rk)⇠

La relazione di equivalenza ⇠ è definita nel modo seguente. Dati (p, v)↵ 2 U↵ ⇥ Rk allora(q, w)� 2 U� ⇥ Rk

(p, v)↵ ⇠ (q, w)� () p = q , v = g↵�(p)w .

La transitività di questa relazione è assicurata dalla proprietà di cociclo di g. Nel seguito, perbrevità, ometteremo il sottoscritto ↵ nel denotare un elemento (p, v)↵ 2 U↵ ⇥ Rk . Equipag-giamo E(g) con la topologia quoziente e introduciamo una struttura di�erenziale nel modoseguente. Innanzitutto, per semplificare le notazioni identifichiamo la carta U↵ di M con ilsuo codominio in Rn. Denotiamo poi con

�↵ : U↵ ⇥ Rk ! E(g)

la proiezione naturale, che per le definizioni, risulta essere iniettiva. Posto V↵ = �↵(U↵⇥Rk)si definiscono per E(g) carte locali

⇠↵ := ��1

↵ : V↵ ! U↵ ⇥ Rk.

Che esse definiscano una struttura di�erenziabile su E(g) è ovvio dal momento che in V↵\V�

⇠↵⇠�1

� (p, w) = ⇠↵��(p, w)= ⇠↵�↵(p, g↵�(p)w)= (p, g↵�(p)w)

e le g↵� sono C1 . La proiezione⇡ : E(g) ! M

è definita ponendo⇡(�↵(p, v)) = p.

Che la definizione sia ben posta e che ⇡ sia C1 è un semplice esercizio. La struttura di spaziovettoriale sulle fibre E(g)p di ⇡ è definita come segue.

�↵(p, v) + �↵(p, v0) = �↵(p, v + v0).

La definizione è ben posta perchè

�↵(p, v + v0) = ��(p, g�↵(p)(v + v0)) = ��(p, g�↵(p)v + g�↵(p)v0)

195

A questo punto è chiaro le ⇠↵ sono banalizzazioni locali per E(g) e che E(g) è un fibratovettoriale di rango k su M avente le g↵� come matrici di transizione relative a U .

Che ogni fibrato vettoriale sia isomorfo a uno della forma E(g) lo abbiamo esenzialmentedimostrato prima di enunciare la Proposizione.

Per quello che riguarda l’ultima parte dell’enunciato, osserviamo che un isomorfismo F traE(g) e E(h) è completamente determinato dalle restrizioni

F↵ : E(g)|U↵

! E(h)|U↵

,

Usando le banalizzazioni possiamo scrivere

F↵(p, v) = (p, f↵(p)v)

dunque le f↵(p) sono matrici invertibili k⇥ k che variano in modo C1 con p. Il fatto che essedefiniscano un isomorfismo globale F si traduce nelle condizioni di compatibilità

f↵(p)g↵�(p) = h↵�(p)f�(p)

La Proposizione è dunque dimostrata.

Corollario 8. Sia M una varietà di�erenziale e U = {Ui} un ricoprimento aperto di M .Siano dati fibrati vettoriali ⇡ : Ei ! Ui ed isomorfismi

�ji : Ei|Ui

\Uj

! Ej |Ui

\Uj

tali che�kj�ji = �ki : Ei|U

i

\Uj

\Uk

! Ek|Ui

\Uj

\Uk

. (L.3)

Allora esiste un fibrato vettoriale ⇡ E ! M e degli isomorfismi

⌧i : E|Ui

! Ei

tali che⌧j = �ji⌧i : E|U

i

\Uj

! Ej |Ui

\Uj

Dim. Si può supporre che Ei = E(gi) per un qualche cociclo gi = {g↵i

�i

} relativo a unricoprimento Ui = {U↵

i

}↵i

2Ai

di Ui. Consideriamo le banalizzazioni

⇠i↵

i

: Ei|U↵

i

! U↵i

⇥ Rk.

Definiamo g↵i

�j

ponendo⇠j�

j

�ji⇠i↵

i

�1(p, v) = (p, g�j

↵i

(p)v)

dove si pone per convenzione �ii = 1 Le condizioni (L.3) ci dicono che se A = [iAi allora

g = {g↵�}↵,�2A (L.4)

è un cociclo ed è semplice verificare che E = E(g) è il fibrato cercato. Q.E.D.

196

Diamo ora alcuni esempi notevoli di fibrati vettoriali . Per ogni varietà di�erenziabile M didimensione n, definiamo il fibrato tangente nel modo seguente. Si pone

T (M) =[

p2M

TP (M) (L.5)

e si definisce la proiezione⇡ : T (M) ! M

ponendo ⇡(v) = p se v 2 Tp(M). Dotiamo ora l’insieme T (M) di una struttura di fibratovettoriale. Sia U = {U↵,�↵}↵2A un ricoprimento di carte locali di M , definiamo

h↵ : ⇡�1U↵ ! U↵ ⇥ Rn

nel modo seguente. Sia

D =nX

i=1

fi(p)@

@xi|p 2 Tp(M) ⇢ ⇡�1U↵

si pone allorah↵(D) = (p, f

1

(p), . . . , fn(p)) (L.6)

Questo è ovviamente un di�eomorfismo e le matrici di transizione sono definite dalla matricejacobiana, vedi (C.17).

Le operazioni sugli spazi vettoriali inducono operazioni sui fibrati vettoriali. Per ogni fibratovettoriale ⇡ : E ! M , possiamo considerare il fibrato duale ⇡⇤ : E⇤ ! M con fibra E⇤

p ' E⇤p ,

in cui le matrici di transizione sono date da

tg�1

↵,�. (L.7)

In modo simile se ⇢ : F ! M è un altro fibrato con matrici di transizione h↵,�, possiamodefinire il fibrato somma diretta � : E � F ! M con matrici di transizione

✓

g↵,� 00 h↵,�

◆

.

Il fibrato prodotto tensoriale E⌦F ! M ha come matrici di transizione le matrici g↵,�⌦h↵,�.Il fibrato ⇤sE ha come matrici di transizione le matrici ⇤sg↵,�. Nel caso in cui s = n, il fibratoche si ottiene è chiamato fibrato determinante del fibrato E.

Ponendo E = T (M), possiamo costruire il fibrato cotangente

T ⇤(M) =[

p2M

Tp(M)⇤ (L.8)

e i fibrati potenze esterne ⇤sT (M) e ⇤sT ⇤(M), le cui fibre sono le potenze esterne degli spazivettoriali Tp(M) e T ⇤p (M) rispettivamente.

197

Sia ⇡ : E ! M un fibrato vettoriale e sia U ✓ M un aperto, una sezione di�erenziabile delfibrato su U è un’ applicazione C1

s : U ! ⇡�1(U) := E|U (L.9)

tale che ⇡s = idU . L’ insieme �(U,E) delle sezioni è in modo naturale un E0(U) modulo.Si considerino della banalizzazioni locali ⇠↵ come in (K.12). Sia s 2 �(M,E) una sezione.Poniamo

⇠↵ � s(p) = (p, s↵(p))

Allora s↵ 2 E0(U↵) es↵ = g↵�s� in U↵ \ U�

Molti tra gli oggetti studiati fino ad ora sono sezioni di fibrati vettoriali. I campi vettorialisono sezioni del fibrato tangente:

V(M) = X 2 �(M,TM) .

Le k-forme di�erenziali sono sezioni della k-sima potenza esterna del fibrato cotangente:

Ek(M) = �(M,⇤kT ⇤M)

Osserviamo infine che, nel caso complesso, si possono considerare anche fibrati olomorfi,intendendo con ciò che E e M sono varietà complesse che ⇡ : E ! M è analitica e che lebanalizzazioni

⇠ : EU := ⇡�1(U) ! U ⇥ Ck

sono isomorfismi analitici. In questo caso le matrici di transizione sono olomorfe e dunque sipossono considerate le sezioni olomorfe del fibrato. Ovviamente per ogni varietà complessaM , si possono considerare i fibrati tangente e cotangente olomorfi.

Un altro esempio è quello del fibrato tautologico. Sia U(s, n) l’unione disgiunta dei piani didimensione s in Rn, esiste una proiezione naturale sulla varietà grassmanniana

⇡ : U(s, n) ! G(s, n) (L.10)

che ad ogni punto del s�piano associa l’ s�piano. Diamo una struttura di fibrato vettorialeusando le coordinate della varietà grassmanniana per definire le matrici di transizione. Persemplificare i calcoli consideriamo il caso s = 1, cioè G(1, n) = Pn�1. Vogliamo vedere che

⇡ : U(1, n) ! Pn�1 (L.11)

è un fibrato di rango 1 o, come si è soliti dire, lineare. Per i = 0, . . . , n� 1, sia

Ui = {[x0

, . . . , xn�1

] 2 Pn�1 tali che xi 6= 0},allora

⇡�1(Ui) =[

{ti(x0

, . . . , xi�1

, 1, xi+1

, . . . , xn�1

) 2 Rn, ti 2 R}. (L.12)

Poniamohi : ⇡�1(Ui) ! Ui ⇥ R (L.13)

198

definito da

ti(x0

, . . . , xi�1

, 1, xi+1

, . . . , xn�1

) ! ([x0

, . . . , xi�1

, 1, xi+1

, . . . , xn�1

], ti).

Questi sono di�eomorfismi e le matrici di transizione sono

gij = ti/tj = xi/xj . (L.14)

sono applicazioni diUi \ Uj ! GL(1, R) ' R r 0.

Esercizi

1. Sia ⇡ : E ! M un fibrato vettoriale, verificare che dare una sezione s 2 �(M,E), equivalea dare una collezione di funzioni C1 s↵ definite sugli aperti dove il fibrato banalizza che hannole seguenti proprietà: ⇡s↵ = idU↵, s↵ = g↵,�s� in U↵ \ U�.

2. Sia ⇡ : U(1, 2) ! P1(C) il fibrato tautologico, verificare che U(1, 2) è analiticamenteisomorfo allo scoppiamento di C2 nell’origine.

3. Sia Lk ! P1(C) il fibrato olomorfo le cui matrici di transizione sono la potenza k-ma dellematrici di transizione del fibrato tautologico. Verificare che le sezioni olomorfe di �(P1(C), Lk)esistono () k 0

4. Dimostrare che per ogni varietà M , il fibrato tangente T (M) è sempre una varietàorientabile.

5. Sia ⇡ : L ! M un fibrato lineare reale, verificare che L è banale se e solo se esiste unasezione s : M ! L mai nulla.

199