Tensioni principali sotto un dato...

Tensioni principali sotto un dato carico

C A P I T O L O

8

Il pilastro che sostiene il cartello mostrato, a causa dei caric hi dovuti allagravità ed al v ento, è sottoposto contemporaneamente a compressione, flessionee torsione. In questo capitolo imparerete a determinare le tensioni create daquesto tipo di caric hi combinati in strutture ed elementi di macc hine.

Meccanica dei solidi - Elementi di scienza delle costruzioni 4/ed Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, David F. Mazurek Copyright © 2010 - The McGraw-Hill Companies srl

496 Tensioni principali sotto un dato carico 8.1 INTRODUZIONE

Nella prima parte di questo capitolo, applicherete alla progettazione ditravi e alberi le conoscenze acquisite nel Capitolo 7 sulla trasformazionedelle tensioni. Nella seconda parte del capitolo, imparerete come deter-minare le tensioni principali in elementi strutturali ed elementi di mac-china sotto condizioni di carico date.

Nel Capitolo 5 avete imparato a calcolare la massima tensione nor-male che si sviluppa in una trave sotto un carico trasversale (Figura8.1a) e a controllare se questo valore supera la tensione ammissibile per il materiale dato. Se ciò accade, il progetto della trave non è accetta-bile. Mentre il pericolo per un materiale fragile è ef fettivamente il col-lasso per trazione, il pericolo per un materiale duttile è il collasso per ta-glio (Figura 8.1b). In realtà, indica che è troppo grandeper la sezione trasversale scelta, ma non fornisce alcuna informazione sulreale meccanismo di collasso. In maniera simile, indica sem-plicemente che è troppo grande per la sezione trasversale scelta.Mentre il pericolo per un materiale duttile è veramente di collassare a ta-glio (Figura 8.2a), il pericolo per un materiale fragile è il collasso per tra-zione sotto le tensioni principali (Figura 8.2b). Nel Paragrafo 8.2 sarà trat-tata la distribuzione delle tensioni principali in una trave.

In dipendenza della forma della sezione trasversale della trave e delvalore del taglio V nella sezione critica dove può succe-dere che il massimo valore della tensione normale non si verifichi allasommità o alla base della sezione, bensì in un altro suo punto. Come ve-drete nel Paragrafo 8.2, la combinazione di valori grandi di e vi-cino al punto di unione dell’anima con le ali di una trave a doppio T puòrisultare in un valore della tensione principale (Figura 8.3) maggiorerispetto al valore di sulla superficie della trave.sm

smax

txysx

ƒ M ƒ � ƒ M ƒ max,

ƒ V ƒ max

tm 7 tall

ƒ M ƒ maxsm 7 sall

sall

sm�m

�max

�m� '

(a) (b)

Fig. 8.1

�m

� '

� '

(a) (b)Fig. 8.2

�max

Fig. 8.3

Il Paragrafo 8.3 sarà dedicato al progetto di alberi di trasmissionesoggetti a carichi trasversali oltre che a momenti torcenti. Sarà preso inconsiderazione l’ef fetto combinato di tensioni normali dovute alla fles-sione e di tensioni tangenziali dovute alla torsione.

Nel Paragrafo 8.4 imparerete a determinare le tensioni in un datopunto K di un corpo di forma arbitraria soggetto ad un carico combinato.Per prima cosa, trasformerete il carico dato in forze e coppie nella se-zione contenente K. Quindi, calcolerete le tensioni normali e tangenzialiin K. Infine, utilizzando uno dei metodi per la trasformazione delle ten-sioni che avete imparato nel Capitolo 7, determinerete i piani principali,le tensioni principali e la massima tensione tangenziale in K.


8.2 Tensioni principali in una trave 4978.2 TENSIONI PRINCIPALI IN UNA TRAVE

Considerate una trave prismatica AB soggetta ad un certo carico trasver-sale arbitrario (Figura 8.4). Indichiamo con V e M, rispettivamente, il ta-glio ed il momento flettente in una sezione passante per il punto dato C.Ricordiamo dai Capitolo 5 e 6 che, entro il limite elastico, le tensioniesercitate su un elementino con facce perpendicolari, rispettivamente, agliassi x e y si riducono alle tensioni normali se l’elemento èsulla superficie libera della trave, ed alle tensioni tangenziali se l’elemento è in corrispondenza della superficie neutra (Figura 8.5).

tm � VQ�Itsm � Mc�I

B

wP

AC

D

Figura 8.4

�m �m

�m �m

�m

�xy

�x�x

c

y

y

xO

� c

Figura 8.5

�m �m

�m �m

�min

�min

�max

�max

c

y

y

xO

� c

Figura 8.6

In ogni altro punto della sezione trasversale, un elemento di mate-riale è soggetto contemporaneamente alle tensioni nomali

(8.1)

dove y è la distanza dalla superficie neutra ed I il momento d’inerzia ba-ricentrico della sezione, ed alle tensioni tangenziali

(8.2)

dove Q è il momento statico rispetto all’asse neutro della porzione del-l’area della sezione trasversale posta sopra il punto nel quale si calcolanole tensioni, e t lo spessore della sezione trasversale in quel punto. Usandouno dei metodi di analisi del Capitolo 7, possiamo ottenere le tensioniprincipali in ogni punto della sezione trasversale (Figura 8.6).

A questo punto possiamo porci la seguente domanda: Può la massimatensione normale in un punto qualsiasi della sezione essere maggioredel valore di calcolato sulla superficie della trave? Se la ri-sposta è affermativa, allora la determinazione della massima tensione nor-male nella trave comporterà molto più che il calcolo di e l’usodell’Equazione (8.1). Possiamo ottenere una risposta a questa domanda

ƒ M ƒ max

sm � Mc�Ismax

txy � �

VQ

It

sx � �

My

I


498 Tensioni principali sotto un dato carico studiando la distribuzione delle tensioni principali in una trave a mensolasottile soggetta ad un carico concentrato P sulla sua estremità libera (Fi-gura 8.7). Ricordiamo dal Paragrafo 6.5, che le tensioni normali e tan-genziali ad una distanza x dal carico P ed ad una distanza y sopra la su-perficie neutra sono date, rispettivamente, dall’Equazione (6.13) e (6.12).Dato che il momento d’inerzia della sezione trasversale è

dove A è l’area della sezione trasversale e c la metà dell’altezza dellatrave, scriviamo

(8.3)

e

(8.4)

Usando il metodo del Paragrafo 7.3 o quello del Paragrafo 7.4, il va-lore di può venire determinato in uno qualsiasi dei punti della trave.La Figura 8.8 mostra i risultati del calcolo dei rapporti e in due sezioni della trave, corrispondenti rispettivamente a ed

In ciascuna sezione questi rapporti sono stati determinati in 1 1x � 8c.x � 2csmin�smsmax�sm

smax

txy �3

2 P

A a1 �

y2

c2b

sx �Pxy

I�

Pxy13 Ac2

� 3

P

A

xy

c2

I �bh3

12�1bh2 12c22

12�

Ac2

3

1.0

y/c �min/�m �min/�m�max/�m �max/�m

x � 2c x � 8c

0.8

0.6

0.4

0.2

� 0.2

� 0.4

� 0.6

� 0.8

� 1.0

0

0

�0.010

�0.040

�0.090

�0.160

�0.360

�0.490

�0.640

�0.810

�1.000

�0.250

1.000

0.810

0.640

0.490

0.360

0.160

0.090

0.040

0.010

0

0.250

0

�0.001

�0.003

�0.007

�0.017

�0.217

�0.407

�0.603

�0.801

�1.000

�0.063

1.000

0.801

0.603

0.407

0.217

0.017

0.007

0.003

0.001

0

0.063

y � � c

x � 2c x � 8c

y � � c

y � 0

P

Figura 8.8. Distribuzione delle tensioni pr incipali in due sezioni tr asversali di una mensola rettangolare soggetta ad un singolocarico concentrato.


8.2 Tensioni principali in una trave 499punti differenti, e per ciascun punto è stato indicato l’orientamento degliassi principali.1

È chiaro che non supera in nessun punto delle due sezioniconsiderate in Figura 8.8 e che, se dovesse superare in un altro punto,esso si troverà nelle sezioni vicine al carico P, dove è piccola se con-frontata con tm .2 Ma, per sezioni vicine al carico P, non si può applicareil principio di Saint-V enant: le Equazioni (8.3) e (8.4) cessano di esserevalide eccetto che nel caso molto improbabile di un carico distribuitoparabolicamente sulla sezione terminale (cfr . Paragrafo 6.5), e dovreb-bero essere usati dei metodi di analisi più avanzati che tengano in consi-derazione l’ef fetto delle concentrazioni di tensione. Concludiamo cosìche, per travi di sezione trasversale rettangolare ed entro gli scopi dellateoria presentata in questo testo, la massima tensione normale può essereottenuta dall’Equazione (8.1).

Nella Figura 8.8 le direzioni degli assi principali sono state determi-nate in 11 punti in ciascuna delle due sezioni considerate. Se questa ana-lisi fosse estesa ad un numero maggiore di sezioni ed un maggior numerodi punti in ciascuna sezione, sarebbe possibile disegnare due famiglie dicurve ortogonali sulle facce della trave (Figura 8.9). Una famiglia consi-sterebbe di curve tangenti agli assi principali corrispondenti a e l’al-tra di curve tangenti agli assi principali corrispondenti a Le curveottenute in questa maniera sono note come traiettorie di tensione. Unatraiettoria del primo gruppo (linee continue) definisce in ciascuno dei suoipunti la direzione della massima tensione di trazione, mentre una traiet-toria del secondo gruppo (linee tratteggiate) definisce la direzione dellamassima tensione di compressione. 3

La conclusione che la massima tensione normale nella trave può es-sere ottenuta dall’Equazione (8.1), che abbiamo raggiunto per le travi disezione trasversale rettangolare, è valida anche per molte travi di sezionetrasversale non rettangolare. Qualora però, la lar ghezza della sezione tra-sversale variasse in maniera tale da far nascere delle grandi tensioni tan-genziali in punti vicini alla superficie della trave, dove anche ègrande, in quei punti potrà esserci un valore di più grande di .Dovremo essere particolarmente consapevoli di questa possibilità quandosi scelgono travi a doppio T (di tipo S o W), e calcolare la tensione prin-cipale nei punti b e d nei quali si congiungono l’anima e le ali dellatrave (Figura 8.10). Ciò si fa determinando e in quei punti rispet-tivamente con le Equazioni (8.1) e (8.2), ed usando uno dei metodi dianalisi del Capitolo 7 per ottenere (vedi Esercizio svolto 8.1). Unaprocedura alternativa consiste nel usare per il massimo valore dellatensione tangenziale nella sezione, dato dall’Equazione(6.11) del Paragrafo 6.4. Ciò porta ad un valore leggermente maggiore, edunque conservativo, della tensione principale nei punti di giunzionedell’anima con le ali della trave (vedi Esercizio svolto 8.2).

smax

tmax � V�Aweb,txy

smax

txysx

smax

smsmax

sxtxy

smin.smax

sm

sm

smsmax

Trazione

Compressione

P

Figura 8.9. Traiettorie di tensione .

a

b

c

d

e

Figura 8.10

1 Si vedi l’Esercizio 8.C2, che fa riferimento al programma usato per ottenere i risultati mo-strati in Figura 8.8.

2 Come si verificherà nell’Esercizio 8.C2, supererà se 3 Un materiale fragile, come il calcestruzzo, collasserà per la trazione lungo piani perpendi-

colari alle traiettorie delle tensioni di trazione. Dunque, per essere utili, le barre di rinforzo inacciaio dovranno esser poste in modo tale da intersecare tali piani. Viceversa, gli irrigidimentifissati all’anima di una trave metallica alta e sottile saranno efficaci a prevenire l’imbozzamentosolo se intersecheranno piani perpendicolari alle traiettorie della tensione di compressione.

x � 0.544c.smsmax


500 Tensioni principali sotto un dato carico 8.3 PROGETTO DI ALBERI DI TRASMISSIONE

Quando nel Paragrafo 3.7 abbiamo trattato il progetto di alberi di tra-smissione, abbiamo considerato solo le tensioni dovute alle coppie tor-centi esercitate sugli alberi. Se la potenza, però, è trasferita da e all’al-bero per mezzo di ingranaggi o ruote dentate (Figura 8.1 1a), le forzeesercitate sui denti dell’ingranaggio o della ruota dentata sono equiva-lenti a sistemi forza-coppia applicati nei centri delle corrispondenti se-zioni trasversali (Figura 8.1 1b). Ciò significa che l’albero è soggetto adun carico trasversale, oltre che un carico torsionale.

C

A

BP1

P2

P3

C

(a)

CAy

Az

P2

P3

T3

T2

T1

P1

C(b)

y

z

Bz

By

x

Figura 8.11

Le tensioni tangenziali prodotte nell’albero dai carichi trasversalisono di solito molto più piccole di quelle prodotte dalle coppie torcentie saranno trascurate nella nostra analisi. 4 Le tensioni normali dovute aicarichi trasversali, invece, possono essere abbastanza grandi e, come ve-drete qui di seguito, il loro contributo alla massima tensione tangenziale

deve essere preso in considerazione.tmax

4 Per un’applicazione dove le tensioni tangenziali prodotte dai carichi trasversali devono es-sere considerate, vedi Esercizi 8.21 e 8.22.


8.3 Progetto di alberi di trasmissione 501Considerate la sezione trasversale dell’albero in un certo punto C.Rappresentiamo il momento torcenteT e le coppie flettenti e agentirispettivamente in un piano orizzontale ed in uno verticale dai vettori cop-pia mostrati (Figura 8.12a). Dato che ogni diametro è un’asse principaledi inerzia della sezione, possiamo sostituire e con la loro risul-tante M (Figura 8.12b) per calcolare le tensioni normali esercitate sullasezione. Troviamo, così, che è massimo alle estremità del diametroperpendicolare al vettore rappresentante M (Figura 8.13). Ricordando chei valori delle tensioni normali in quel punto sono, rispettivamente,

(in direzione assiale) e zero (in direzione tangenziale), men-tre la tensione tangenziale è riportiamo i corrispondenti puntiX e Y sulla circonferenza di Mohr (Figura 8.14) e determiniamo il valoredella massima tensione tangenziale:

Ricordando che, per una sezione circolare o anulare, scriviamo

(8.5)

Ne segue che il minimo valore ammissibile del rapporto per lasezione trasversale dell’albero è

(8.6)

dove il numeratore nel secondo membro dell’espressione ottenuta rap-presenta il massimo valore di nell’albero, e la tensionetangenziale ammissibile. Esprimendo il momento flettente M in funzionedelle sue componenti nei due piani coordinati, possiamo anche scrivere

(8.7)

Le equazioni (8.6) e (8.7) possono essere usate per progettare sia gli al-beri circolari pieni che quelli circolari cavi e devono essere confrontatecon l’Equazione (3.22) del Paragrafo 3.7, che era stata ottenuta con l’i-potesi di solo carico torsionale.

La determinazione del massimo valore di sarà fa-cilitata se si disegnano i diagrammi del momento flettente corrispondentia e , insieme a un terzo diagramma rappresentante l’andamento delmomento torcente T lungo l’albero (vedi Esercizio Svolto 8.3).

MzMy

2My2 � Mz

2 � T 2

Jc

�12My

2 � Mz2 � T 2 2max

tall

tall2M2 � T 2

Jc

�12M2 � T 2 2max

tall

J�c

tmax �c

J2M2 � T 2

2I � J,

tmax � R � Basm

2b

2

� 1tm22 � BaMc

2Ib

2

� aTc

Jb

2

tm � Tc�J,sm � Mc�I

sx

sx

MzMy

MzMy

C

Mz

My

C

M

(a) (b)

TT

Figura 8.12

m�

m�m�

M

T

Figura 8.13

max�

�

�

m�

m�

AC

X

Y

OB

D

Figura 8.14


502

ESERCIZIO SVOLTO 8.1

Una forza di 160 kN è applicata come mostrato all’estremità di una trave pro-filata in acciaio . Trascurando l’effetto dei raccordi circolari e delleconcentrazioni di tensione, determinare se le tensioni normali nella trave sod-disfano una prescrizione di progetto che le vuole uguali o minori di 150 MPanella sezione A-A ¿.

W200 � 52

SOLUZIONE

Momento flettente e taglio. Nella sezione abbiamo

Tensioni normali sul piano trasv ersale. Riferendoci alla tabella delleproprietà dei profili laminati in acciaio nell’Appendice C, otteniamo i dati ri-portati in figura, e quindi determiniamo le tensioni e

Nel punto a:

Nel punto b:

Notiamo che tutte le tensioni normali sul piano trasversale sono minori di 150MPa.

Tensioni tangenziali sul piano trasv ersaleNel punto a:

Nel punto b:

Tensioni principali nel punto b. Lo stato di tensione nel punto b con-siste della tensione normale e la tensione tangenziale

Disegniamo la circonferenza di Mohr trovando

La prescrizione non è soddisfatta

Commento. Per questa trave ed il carico, la tensione principale nel puntob è del 36% maggiore della tensione normale nel punto a. Per la massima tensione normale si svilupperà nel punto a.

L � 874 mm,

�smax � 150 MPa,

smax � 159.9 MPa

�102.9

2� Ba102.9

2b

2

� 195.522

smax �1

2 sb � R �

1

2 sb � Ba1

2 sbb

2

� tb2

tb � 95.5 MPa.sb � 102.4 MPa

tb �VAQ

It�1160 kN2 1248.6 � 10�6 m32

152.7 � 10�6 m42 10.0079 m2� 95.5 MPa

Q � 1204 � 12.62 196.72 � 248.6 � 103 mm3 � 248.6 � 10�6 m3

Q � 0 ta � 0

sb � sa

yb

c� 1117.2 MPa2

90.4 mm

103 mm� 102.9 MPa

sa �MA

S�

60 kN � m

512 � 10�6 m3 � 117.2 MPa

sb.sa

VA � 160 kN MA � 1160 kN 2 10.375 m 2 � 60 kN � m

A-A¿,

A

A'160 kN

L � 375 mm

160 kN

VA

MA

0.375 m

a�

b�

12.6 mm204 mm

c � 103 mm

206 mm

yb � 90.4 mm

7.9 mm

I � 52.7 � 10–6m4

S � 512 � 10–6m3

a

bc

12.6 mm204 mm

96.7 mm103 mm

a

b

c

b� max�

max�

min�

b�

b�

b�

b�

�

�

Y

X

A O C

R

2

B

a

b c

PL � 874 mm

W200 � 52


503

BDC

90 kN

48 kN/m2.7 m

6 m1.5 m

A

BDC

90 kN

48 kN/m

265.5 kN184.5 kN

184.5 kN

54.9 kN72 kN

– 35.1 kN

323 kN · m

– 193.5 kN

– 54 kN · m

(– 279.4)( 239.4)

(40)

2.7 m 3.3 m1.5 m

A

V

x

x

M

tw � 10.2 mm

Aweb � twd � 5436 mm2

W530 � 92

S � 2070 � 103 mm3d � 533 mm

� 156 MPaa�

� 146.87 MPab�266.5 mm

250.9 mm

a

b

tf � 15.60 mm

AC O B

Y

X

b � 10 MPa

b � 10 MPa

�b � 146.87 MPa

�

�

b � 146.87 MPa

�max � 147.55 MPa

�

�

�


La trave a sbalzo AB sostiene un carico uniformemente distribuito di 48 kN/med un carico concentrato di 90 kN in C. Sapendo che per la qualità di acciaioda utilizzare sall = 168 MPa e tall = 100 MPa, scegliete la sezione ad ali lar-ghe da utilizzare.

SOLUZIONE

Reazioni in A e D. Disegniamo lo schema di corpo libero della trave. Dalle equazioni di equilibrio e troviamo i valori di e mostrati nel diagramma.

Diagrammi del taglio e del momento flettente. Usando i metodi deiParagrafo 5.2 e 5.3, disegniamo i diagrammi ed osserviamo che

|M |max = 323 kN · m |V |max = 193.5 kN

Modulo della sezione. Per |M |max = 323 kN · m e sall = 168 MPa, ilmodulo della sezione minimo accettabile del profilo in acciaio è

smin =|M |max

sall=

323 kN · m

168 MPa= 1923 × 103 mm3

Scelta della sezione ad ali larghe. Dalla tabella delle proprietà dei pro-fili laminati in acciaionell’Appendice C, compiliamo un elenco di profili aventiun modulo della sezione più grande di e che sono anche i più leggeri nelgruppo di altezza data.

Profilo Sx (103·mm3)

W610 × 101 2530W530 × 92 2070W460 × 113 2400W410 × 114 2200W360 × 122 2010W310 × 143 2150

Adesso scegliamo la sezione più leggera a disposizione, e precisamente la

W530 × 92 �

Tensione tangenziale. Assumendo che il taglio massimo sia uniforme-mente distribuito sull’area dell’anima della trave W530 × 92, scriviamo

tm =Vmax

Aweb=

193.53 kN

5436 .6 mm2= 35.6 MPa < 100 MPa (OK)

Tensione principale nel punto b. Controlliamo che la massima tensioneprincipale nel punto b nella sezione critica dove M è massima non eccedasall = 168 MPa. Scriviamo

sa =Mmax

S=

323 kN · m

2070 × 103 mm3= 156 MPa

sb = sayb

c= 156 MPa

250.9 mm

266.6 mm= 146.87 MPa

tb =V

Aweb=

54.9 kN

5436 .6 mm2= 10 MPa

Disegniamo la circonferenza di Mohr trovando

smax = 12sb + R =

146.87 MPa

2+

√(146.897 MPa

2

)2

+(10 MPa)2

smax = 147.55 MPa ≤ 168 MPa (OK) �

Smin

RDRA�MA � 0�MD � 0


504

AC D E

y TD � 199 N · mFE � 3.73 kN

FD � 2.49 kNTE � 597 N · m

FC � 6.63 kNF � 3 73 kN

TC � 398 N · m

Bx

z

FC � 6.63 kNFE � 3.73 kN

FC � 6.63 kN

1244 N · m1160 N · m

580 N · m

FD � 2.49 kN TE � 597 N · m

597 N · m398 N · m

TD � 199 N · m

TC � 398 N · m

2.80 kN0.932 kN

0.6 m

373 N · m 560 N · m186 N · m

0.2 m

A E

y

Bx

z

Mz

A C D E B

6.22 kN 2.90 kN0.2 m0.4 m

A

A

y

BC

C

D

D

x

z

MyC D

E B

A

A

y

T

B

B

C

C

D

D

E

E

x

z

Sezione trasversale critica. Calcolando per tutte lepotenziali sezioni critiche, troviamo che il suo massimo valore si verifica im-mediatamente a destra di D:

Diametro dell’alber o. Per l’Equazione (7.32) fornisce

Per un albero circolare pieno di raggio c, abbiamo

Diametro = 2c = 51.7 mm �

Jc

�p

2 c3 � 27.14 � 10�6 c � 0.02585 m � 25.85 mm

Jc

�12M2

y � M2z � T 2 2max

tall�

1357 N � m

50 MPa� 27.14 � 10�6 m3

tall � 50 MPa,

12M2y � M2

z � T 2 2max � 21116022 � 137322 � 159722 � 1357 N � m

2M2y � M2

z � T 2

My

Mz

y

x

T

SOLUZIONE

Coppie tor centi eser citate sugli ingranaggi. Osservando chedeterminiamo il momento torcente applicato sull’ingra-

naggio in E:

La forza tangenziale corrispondente agente sull’ingranaggio è

Un analisi simile degli ingranaggi C e D ci dice che

Adesso sostituiamo le forze sugli ingranaggi con sistemi forza-coppia equiva-lenti.

Diagrammi del momento flettente e del momento tor cente.

TD �10 kW

2p18 Hz2� 199 N � m FD � 2.49 kN

TC �20 kW

2p18 Hz2� 398 N � m FC � 6.63 kN

FE �TE

rE�

597 N � m

0.16 m� 3.73 kN

TE �P

2pf�

30 kW

2p18 Hz2� 597 N � m

f � 480 rpm � 8 Hz,

A C D E

rC � 0.060 m

rE � 0.160 mFC � 6.63 kN

FE � 3.73 kNrD � 0.080 m

B


L’albero pieno AB ruota a 480 giri al minuto (rpm) trasmettendo 30 kW dalmotore M alle macchine utensili connesse con gli ingranaggi in G ed H; 20kW sono trasmessi all’ingranaggio in G e 10 kW all’ingranaggio in H. Sapendoche determinare il minimo diametro ammissibile per l’alberoAB.tall � 50 MPa,

200

G

A

H

C

B

M

D E

rE � 160

rC � 60 rD � 80

200

Dimensioni in mm

200 200


505

8.1 * Una trave profilata in acciaio di sezione sostiene duecarichi come mostrato. Sapendo che e determinare (a) il massimo valore della tensione normale nella trave, (b) ilmassimo valore della tensione principale nel giunto di un’ala con l’anima,(c) se la sezione scelta è accettabile per quanto riguarda queste due tensioni.

8.2 * Risolvere l’Esercizio 8.1, assumendo che ed

8.3 Una trave profilata in acciaio di sezione W920 × 446 sostiene un ca-rico P come mostrato. Sapendo che P = 1440 kN, a = 2500 mm, ed sall = 200GPa, determinare (a) il massimo valore della tensione normale nella trave, (b)il massimo valore della tensione principale nel giunto di un’ala con l’anima,(c) se la sezione scelta è accettabile per quanto riguarda queste due tensioni.

8.4 Risolvere l’Esercizio 8.3, assumendo che P = 1800 kN ed a = 2000mm

8.5* e 8.6* (a) Sapendo che e selezio-nate la più economica sezione ad ali lar ghe che può essere usata per sostenere ilcarico mostrato. (b) Determinare i valori previsti per e per la tensioneprincipale nella trave scelta nel punto di giunzione dell’ala con l’anima.smax

sm, tm,

tall � 100 MPa,sall � 160 MPa

smax

sm

a � 0.5 m.P � 200 kN

smax

sm

sall � 250 MPa,P � 400 kN, a � 0.25 m,W250 � 58

ESERCIZI

A B C D E

0.9 m 0.9 m 0.9 m 0.9 m

250 kN 250 kN250 kN

8.7 e 8.8 (a) Sapendo che sall = 168 MPa e tall = 100 MPa, selezionatela più economica sezione ad ali lar ghe che può essere usata per sostenere il ca-rico mostrato. (b) Determinare i valori da prevedere per e la tensione prin-cipale nel giunto di una delle ali con l’anima della trave scelta.smax

sm, tm,

A B CD

3 m9 m

3 m

90 kN 90 kN30 kN/m

Figura P8.5

Figura P8.7

A DCB

a a3 m

P P

Figura P8.1

P

B

CA

a a

Figura P8.3

AB C

D

1.5 m3.6 m

1.5 m

275 kN

275 kN

Figura P8.6

AB

C

3.6 m 1.8 m

22.5 kN/m

Figura P8.8


506 Tensioni principali sotto un dato carico 8.9*, 8.10*, 8.11, 8.12, 8.13, 8.14 Ciascuno dei seguenti problemi si ri-ferisce ad una sezione profilata in acciaio scelta in un Esercizio del Capitolo 5per sostenere un carico dato ad un costo minimo soddisfacendo la necessità che

Per il progetto scelto, determinare (a) il valore reale di nella trave,(b) il massimo valore della tensione principale nel punti di giunzione di unadelle ali con l’anima

8.9 Carico dell’Esercizio 5.81 e sezione W410 × 60.8.10 Carico dell’Esercizio 5.63 e sezione S510 × 98.3.8.11 Carico dell’Esercizio 5.60 e sezione W625 × 190.8.12 Carico dell’Esercizio 5.61 e sezione W460 × 74.8.13 Carico dell’Esercizio 5.87 e sezione W310 × 47.3.8.14 Carico dell’Esercizio 5.88 e sezione W380 × 64.

8.15 Determinare il minor diametro ammissibile per l’albero pieno ABCD,sapendo che e che il raggio del disco B è

8.16 Determinare il minor diametro ammissibile per l’albero pieno ABCD,sapendo che e che il raggio del disco B è

8.17 * Usando la notazione del Paragrafo 8.3 e trascurando l’ef fetto delletensioni tangenziali causate dai carichi trasversali, dimostrare che la massima ten-sione normale in un albero cilindrico può essere espressa come

8.18 * Usare l’espressione data nell’Esercizio 8.17 per determinare lamassima tensione normale nell’albero pieno AB, sapendo che il suo diametro èdi 36 mm.

smax �c

J 3 1M2

y � M2z 2

12 � 1M2

y � M2z � T

2212 4max

r � 120 mm.tall � 60 MPa

r � 80 mm.tall � 60 MPa

smax

smsm � sall.

��

��

��

150 mm

T � 600 N · m

P

r

B

C

A

D

150 mm

Figura P8.15 e P8.16

��4 kN

6 kNA

175 mm175 mm

175 mm

100 mm

B

��

C

D

150 mm

Figura P8.18

P1

A

75 mm 250 mm

250 mm

D

150 mm

200 mmB

P2

C

Figura P8.19

8.19 La forza verticale e la forza orizzontale sono applicate comemostrato a dischi saldati all’albero pieno AD. Sapendo che il diametro dell’al-bero è 44 mm e che tall = 56 MPa, determinare la massima grandezza ammis-sibile della forza

8.20 Risolvere l’Esercizio 8.19, ipotizzando che l’albero pieno AD sia statosostituito con un albero cavo dello stesso materiale con il diametro interno di 38mm e diametro esterno di 44 mm.

P2.

P2P1


Esercizi 5078.21 * Si è detto nel Paragrafo 8.3 che le tensioni tangenziali prodotte inun albero dai carichi trasversali sono di solito molto minori di quelle prodottedalle coppie torcenti. Negli esercizi precedenti il loro effetto è stato trascurato edè stato ipotizzato che la massima tensione tangenziale, in una data sezione, si svi-luppasse nel punto H (Figura P8.21a) e che fosse uguale all’espressione ottenutanell’Equazione (8.5), e precisamente

Dimostrare che la massima tensione tangenziale in un punto K (Figura P8.21b),dove l’effetto del taglio V è massimo, può essere espressa come

dove è l’angolo tra i vettori V ed M. È chiaro che l’ef fetto del taglio V nonpuò essere ignorato quando (Suggerimento: Solo la componente di Mlungo V contribuisce alla tensione tangenziale in K.)

8.22 Ipotizzando che le grandezze delle forze applicate sui dischi A e Cdell’Esercizio 8.19 sono, rispettivamente, P1 = 4.86 kN e P2 = 3.65 kN, edusando le espressioni date nell’Esercizio 8.21, determinare i valori di e inuna sezione (a) immediatamente a destra di B, (b) immediatamente a sinistra diC.

8.23 L’albero pieno ABC e gli ingranaggi mostrati sono utilizzati per tra-smettere 10 kW dal motore M ad una macchina utensile connessa all’ingranag-gio in D. Sapendo che il motore gira a 240 rpm e che determi-nare il minor diametro ammissibile per l’albero ABC.

8.24 Ipotizzando che l’albero ABC dell’Esercizio 8.23 sia cavo con un dia-metro esterno di 50 mm, determinarne il massimo diametro interno ammissibile.

8.25 * L’albero pieno AB gira a 600 rpm trasmettendo 80 kW dal motoreM ad una macchina utensile connessa con l’ingranaggio F. Sapendo che

determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero AB.tall � 60 MPa,

tall � 60 MPa,

tKtH

tK � tH.b

tK �c

J 21M cos b 22 � 123 cV � T 22

tH �c

J 2M2 � T

2

H

90�

O

K

�

MV

O

M

T

T

(a)

(b)

90�

Figura P8.21

��

90 mm

100 mmM

C

B

D

E

C

��

��

A

Figura P8.23

��

��

��

��

��

��

80 mm

120 mm

120 mm

160 mm

60 mm

MA

C

D

F

E

B

8.26 * Risolvere l’Esercizio 8.25, assumendo che l’albero AB giri a720 rpm.

Figura P8.25


508 Tensioni principali sotto un dato carico 8.27 Gli alberi pieni ABC e DEF e gli ingranaggi mostrati sono usati pertrasmettere 15 kW dal motore M ad una macchina utensile connessa con l’alberoDEF. Sapendo che il motore gira a 240 rpm e che tall = 52.5 MPa, determinareil minor diametro ammissibile di: (a) albero ABC, (b) albero DEF.

8.28 Risolvere l’Esercizio 8.27, assumendo che l’albero AB giri a 360 rpm.

8.29 * L’albero pieno AB gira a 450 rpm trasmettendo 20 kW dal mo-tore M a delle macchine utensili connesse con gli ingranaggi F e G. Sapendoche ed assumendo che 8 kW sono assorbite dall’ingranaggio Fe 12 kW dall’ingranaggio G, determinare il minimo diametro ammissibile del-l’albero AB.

tall � 55 MPa

M

AB

87.5 mm D

150 mm

200 mm100 mm

E

F

C

Figura P8.27

��

��M

A

F

150 mm

225 mm

60 mm

225 mm

D 100 mm 60 mm

150 mm

G

E��

��

B

Figura P8.29

8.30 * Risolvere l’Esercizio 8.29, ipotizzando che tutti i 20 kW siano as-sorbiti dall’ingranaggio G.

*8.4 TENSIONI SOTTO CARICHI COMBINATI

Nei Capitolo 1 e 2 avete imparato a determinare le tensioni causate da uncarico assiale centrato. Nel Capitolo 3 avete analizzato la distribuzionedelle tensioni in un elemento cilindrico soggetto ad una coppia torcente.Nel Capitolo 4 avete determinato le tensioni causate dai momenti flettentie, nei Capitolo 5 e 6, le tensioni prodotte dai carichi trasversali. Comevedrete qui di seguito, si possono combinare le conoscenze che avete ac-quisito per determinare le tensioni in elementi strutturali snelli o compo-nenti di macchina sotto condizioni di carico abbastanza generiche.

Considerate, per esempio, l’elemento inflesso ABDE di sezione tra-sversale circolare, soggetto a varie forze (Figura 8.15). Per determinarele tensioni prodotte nei punti H o K dai carichi dati, facciamo passare unasezione per questi punti determinando il sistema forza-coppia nel bari-centro C della sezione necessario per mantenere l’equilibrio della por-zione ABC.5 Questo sistema rappresenta le forze interne alla sezione e, in

F3

F4

F6

F5

F2

F1B

D

E

K

H

A

Figura 8.15

5 Il sistema forza-coppia in C può anche essere definito come equivalente alle forze a gentisulla porzione dell’elemento posta sulla destr a della sezione (vedi Esempio 8.01).


8.4 Tensioni sotto carichi combinati 509

generale, consiste di tre componenti di forza e tre vettori coppia diretticome mostrato (Figura 8.16).

La forza P è una forza assiale centrata che produce tensioni normalinella sezione. I vettori coppia e causano la flessione dell’elementoe producono anch’essi tensioni normali nella sezione. Questi ultimi, per-ciò, sono stati raggruppati con la forza P nella parte a della Figura 8.17;le somme delle tensioni normali da loro prodotte nei punti H e K sonostate mostrate nella parte a della Figura 8.18. Queste tensioni possono es-sere determinate come è stato mostrato nel Paragrafo 4.14.

D’altra parte, la coppia torcente T e le forze di taglio e produ-cono tensioni tangenziali nella sezione. Le somme e delle compo-nenti delle tensioni tangenziali da loro prodotte nei punti H e K sono statemostrate nella parte b della Figura 8.18 e possono essere determinate comeindicato nei Paragrafo 3.4 e 6.3.6 Possiamo ora combinare le tensioni nor-mali e tangenziali mostrate nelle parti a e b della Figura 8.18 e disegnarlenei punti H e K sulla superficie dell’elemento (Figura 8.19).

Le tensioni principali e l’orientamento dei piani principali nei puntiH e K possono essere determinati, in ciascuno di questi punti, dai valoridi e utilizzando uno dei metodi presentati nel Capitolo 7 (Fi-gura 8.20). I valori della massima tensione tangenziale in ciascuno di que-sti punti ed i corrispondenti piani possono essere trovati in maniera si-mile.

I risultati ottenuti in questo paragrafo sono validi solo fino a quandosono soddisfatte le condizioni di applicabilità del principio di sovrappo-sizione (Paragrafo 2.12) e di quello di Saint-Venant (Paragrafo 2.17). Ciòsignifica che le tensioni interessate non devono superare il limite di pro-porzionalità del materiale, che le deformazioni prodotte da uno dei cari-chi non devono condizionare la determinazione delle tensioni dovute aglialtri, e che la sezione usata nella nostra analisi non deve essere troppo vi-cina ai punti di applicazione delle forze. È chiaro dalla prima di questecondizioni che il metodo qui presentato non può essere applicato alle de-formazioni plastiche.

txzsx, txy,

txztxy

VzVy

sx

MzMy

My

TP

Mz

VzF3

F2

F1Vy

B

y

x

z

C

A

Figura 8.16

My Vy

Vz

PMz

CT

(a) (b)

C C

Figura 8.17

6 Notare che le vostre attuali conoscenze vi permettono di determinare l’ef fetto della coppiatorcente T solo nei casi di alberi circolari, di elementi con sezione trasversale rettangolare(Paragrafo 3.12), e di elementi cavi di parete sottile (Paragrafo 3.13).

C

H

K

(a) (b)

CK

x�

xy�x�

C

H

CK

xz�

Figura 8.18

K

Hxz�

xy�

x�

x�

Figura 8.19

K

H

p

p

Figura 8.20


510

ESEMPIO 8.01

Due forze e di grandezza e sono applicate come mostrato all’estremità A della barra AB,che è saldata ad un elemento cilindrico BD di raggio

(Figura 8.21). Sapendo che la distanza da A al-l’asse dell’elemento BD è ed assumendo che tuttele tensioni rimangano sotto il limite di proporzionalità del ma-teriale, determinare (a) le tensioni nomale e tangenziale nelpunto K della sezione trasversale dell’elemento BD posta aduna distanza dall’estremità B, (b) gli assi e le ten-sioni principali in K, (c) la massima tensione tangenziale in K.

Forze interne nella sezione data. Per cominciaresostituiamo le forze e con un sistema equivalente di forzee coppie applicate nel centro C della sezione contenente ilpunto K (Figura 8.22). Questo sistema, che rappresenta le forzeinterne nella sezione, consiste delle seguenti forze e coppie:

1. Una forza assiale centrata F uguale alla forza di gran-dezza

2. Una forza tangenziale V uguale alla forza di gran-dezza

3. Una coppia torcente T di momento T uguale al momentodi rispetto all’asse dell’elemento BD:

4. Una coppia flettente di momento uguale al mo-mento di rispetto ad un’asse verticale passante per C:

5. Una coppia flettente di momento uguale al mo-mento di rispetto ad un’asse orizzontale trasversalepassante per C:

I risultati ottenuti sono mostrati in Figura 8.23.

a. Tensioni normale e tang enziale nel punto K.Ciascuna delle forze e coppie mostrate in Figura 8.23 pos-sono produrre una tensione normale o tangenziale nel puntoK. Il nostro proposito è quello di calcolare separatamente cia-scuna di queste tensioni, per poi sommare le tensioni normalie quelle tangenziali. Dobbiamo, tuttavia prima determinare leproprietà geometriche della sezione.

Proprietà g eometriche della sezione . Abbiamo

Determiniamo anche il momento statico Q e la lar ghezza tdell’area della sezione trasversale posta sopra l’asse z. Ricor-dando che per un semicerchio di raggio c, ab-biamo

y � 4c�3p

JC � 12 pc4 � 1

2 p10.020 m24 � 251.3 � 10�9 m4

Iy � Iz � 14 pc4 � 1

4 p10.020 m24 � 125.7 � 10�9 m4

A � pc2 � p10.020 m22 � 1.257 � 10�3 m2

Mz � P2b � 118 kN2 160 mm2 � 1080 N � m

P2

MzMz,

My � P1a � 115 kN2 150 mm2 � 750 N � m

P1

MyMy,

T � P2a � 118 kN2 150 mm2 � 900 N � m

P2

V � P2 � 18 kN

P2,

F � P1 � 15 kN

P1,

P2P1

b � 60 mm

a � 50 mmc � 20 mm

P2 � 18 kN,P1 � 15 kNP2,P1

e

Tensioni normali. Osserviamo che le tensioni nor-mali sono prodotte in K dalla forza centrata F e dalla coppiaflettente mentre la coppia non produce alcuna ten-sione in K, dato che K è posto sull’asse neutro corrispondentea questa coppia. Determinando i segni dalla Figura 8.23, scri-viamo

sx � �107.4 MPa

� �11.9 MPa � 119.3 MPa

sx � �

F

A�

My c

Iy

� �11.9 MPa �1750 N � m2 10.020 m2

125.7 � 10�9 m4

MzMy,

t � 2c � 210.020 m2 � 0.040 m

� 5.33 � 10�6 m3

Q � A¿y � a1

2 pc2b a

4c

3pb �

2

3 c3 �

2

3 10.020 m23

��

�� HD

K

B

A P1 � 15 kN

P2 � 18 kN

b � 60 mm a � 50 mm

Figura 8.21

��

��

K

DH

C

Mz

My

VF

T

Figura 8.22

T � 900 N·m

y

34c

x

CK

z

V � 18 kN

F � 15 kN

y �

Mz

My � 750 N·m

�x�xy

Figura 8.23


8.4 Tensioni sotto carichi combinati 511Tensioni tangenziali. Sono costituite dalla tensionetangenziale dovuta al taglio verticale V e dalla tensionetangenziale causata dalla coppia torcente T. Ricor-dando i valori ottenuti per e scriviamo

Sommando queste due espressioni, otteniamo nel punto K.

In Figura 8.24, la tensione normale e le tensioni tangen-ziali sono state mostrate agenti su un elemento quadratoposto in K sulla superficie del pezzo cilindrico. Notare chesono stati incluse le tensioni tangenziali agenti sui lati longi-tudinali dell’elemento.

b. Piani e tensioni principali nel punto K. Perdeterminare i piani e le tensioni principali in K possiamo usarel’uno o l’altro dei metodi del Capitolo 7. Scegliendo quellodella circonferenza di Mohr , riportiamo il punto X di coordi-nate e ed il punto Ydi coordinate e e tracciamo il cer-chio di diametro XY (Figura 8.25). Osservando che

determiniamo l’orientamento dei piani principali:

Adesso determiniamo il raggio della circonferenza,

e le tensioni principali,

I risultati ottenuti sono mostrati in Figura 8.26.

c. Massima tensione tang enziale nel puntoK. Questa tensione corrisponde ai punti E ed F di Figura8.25. Abbiamo

Osservando che concludiamo che i piani di massima tensione tangenziale for-mano un angolo in senso antiorario con l’oriz-zontale. L’elemento corrispondente è mostrato in Figura 8.27.Notare che le tensioni normali agenti su questo elemento sonorappresentate da OC in Figura 8.25 e sono dunque uguali a�53.7 MPa.

up � 22.8° g

2us � 90° � 2up � 90° � 44.4° � 45.6°,

tmax � CE � R � 75.1 MPa

smin � OC � R � 53.7 � 75.1 � �21.4 MPa smax � OC � R � 53.7 � 75.1 � 128.8 MPa

R � 2153.722 � 152.522 � 75.1 MPa

up � 22.2° i

tan 2up �DX

CD�

52.5

53.7� 0.97765 2up � 44.4° i

OC � CD � 12 1107.42 � 53.7 MPa DX � 52.5 MPa

�txy � �52.5 MPasy � 0�txy � �52.5 MPasx � �107.4 MPa

txy

sx

txy � �52.5 MPa txy � 1txy2V � 1txy2twist � �19.1 MPa � 71.6 MPa

txy

1txy2twist � �

Tc

JC

� �1900 N � m2 10.020 m2

251.3 � 10�9 m4 � �71.6 MPa

� �19.1 MPa

1txy2V � �VQ

Iz t

� �118 � 103 N2 15.33 � 10�6 m32

1125.7 � 10�9 m42 10.040 m2

JC,Q, t, Iz,1txy2twist

1txy2V

�x � �107.4 MPa

�xy� �52.5 MPa��

��D

B

A

15 kN

18 kN

�

A

F

X

Y

OBD

E

(MPa)

�

252.5

53.7 53.7107.4

s

2 p (MPa)C

�max

p � 22.2�

� 128.8 MPa

�min � �21.4 MPa

��

��D

B

A

15 kN

18 kN

��

�� s � 22.8�

� � 53.7 MPa

D

B

A

15 kN

18 kN

�max � 75.1 MPa

Figura 8.24

Figura 8.25

Figura 8.26

Figura 8.27


512

A

D

B

z

y

x

112 mm112 mm

62 mm

45 mm2 kN

A � 1 kN

B � 1 kN

T

E

J C

GK

H

L

My � 62 N · m

T � 90 N · m

22 mm

V � 1 kN

J

K

H

L

� � 43 MPa

� � 43 MPa

� � 43 MPa

� � 43 MPa

(a)

J

K

H

L

� � 3.5 MPa

� � 3.5 MPa

� � 0

(b)

� � 0

� � 0

J

K

H

L� � 59.3 MPa

� � 59.3 MPa(c)

J

K

H

L

� � 39.5 MPa

� � 43 MPa

� � 43 MPa

� � 46.5 MPa

� � 59.3 MPa

� � 59.3 MPa


Una forza orizzontale di 2 kN agisce nel punto D dell’albero a manovella cheè tenuto in equilibrio da una coppia torcente T e dalle reazioni dei supporti inA e B. Sapendo che i supporti sono tali da non esercitare alcuna coppia sul-l’albero, determinare le tensioni normali e tangenziali nei punti H, J, K ed Lposti alle estremità dei diametri verticali ed orizzontali di una sezione trasver-sale 62 mm a sinistra del supporto B.

112 mm

22 mmA

E

DK

G

HJ

B T

112 mm

62 mm

45 mm

2 kN

SOLUZIONE

Corpo rigido. Albero intero. A = B = 1 kN

−(2 kN)(45 mm) + T = 0 T = 90 N · m

Forze interne nella sezione trasversale. Sostituiamo la reazione B e lacoppia torcente T con un’equivalente sistema forza-coppia nel centro C dellasezione trasversale contenente H, J, K ed L.

V = B = 1 kN T = 90 N · m

My = (1 kN)(62 mm) = 62 N · m

Le proprietà geometriche della sezione di 22 mm di diametro sono

A = p(11 mm)2 = 380.13 mm2 I = 14p(11 mm)4 = 11.5 × 103 mm4

J = 12p(11 mm)4 = 23 × 103 mm4

Tensioni prodotte dalla coppia tor cente T. Usando l’Equazione (3.8),determiniamo le tensioni tangenziali nei punti H, J, K ed L e mostriamole inFigura (a).

t =T c

J=

(90 N · m)(11 mm)

23 × 103 mm4= 43 MPa

Tensioni prodotte dalla forza di taglio V. La forza di taglio V non pro-duce tensioni tangenziali nei punti J e L. Nei punti H e K calcoliamo prima Qper un semicerchio rispetto ad un diametro verticale, e poi determiniamo latensione tangenziale prodotta dalla forza di taglio V = 1 kN. Queste tensionisono mostrate in Figura (b).

Q =(

1

2pc2

)(4c

3p

)=

2

3c3 =

2

3(11 mm)3 = 887 mm3

t =V Q

I t=

(1 kN)(887 mm3)

(11.5 × 103 mm4)(22 mm)= 3.5 MPa

Tensioni prodotte dalla coppia flettente Dato che la coppia flet-tente agisce in un piano orizzontale, non produce tensioni in H e K. Usandol’Equazione (4.15), determiniamo le tensioni normali nei punti J ed L e mo-striamole in Figura (c).

s =|My |c

I=

(62 N · m)(11 mm)

11.5 × 103 mm4= 59.3 MPa

Sommario. Sommiamo le tensioni mostrate ed otteniamo le tensioni nor-mali e tangenziali nei punti H, J, K ed L.

My

My.

� g ©Mx � 0:


513


Tre forze sono applicate come mostrato nei punti A, B e D di un corto mon-tante in acciaio. Sapendo che la sezione trasversale orizzontale del montante èun rettangolo di 40 × 140 mm, determinare le tensioni principali, i piani prin-cipali e la massima tensione tangenziale nel punto H.

70 mm

100 mm

25 mm200 mm

130 mm

75 kN

50 kN

30 kN

20 mm40 mm

z x

E

A

B

y

G

D

FH

140 mm

E C

F

HG

z

y

Mx � 8.5 kN · m

Vx � 30 kNP � 50 kN

Vz � 75 kN

Mz � 3 kN · m x

E

C

GH b � 0.025 m

0.040 m

a � 0.020 m

0.140 m

Fz

Mz � 8.5 kN · m

Mz � 3 kN · m

HC

A1

Vz

�yz

t � 0.040 m

0.045 m0.025 m

y1 � 0.0475 m

z

COB

33.0 33.0

13.98�

AD

RY

Z

2p

max�

y � 66.0 MPa�

y�yz�

yz � 17.52 MPa�

(MPa)�

(MPa)�

max�

max�

min�

min�

SOLUZIONE

Forze interne nella sezione EFG. Sostituiamo le tre forze applicate conun sistema equivalente forza-coppia nel centro C della sezione rettangolareEFG. Abbiamo

Notiamo che non ci sono coppie torcenti intorno all’asse y. Le proprietàgeometriche di una sezione rettangolare sono

Tensione normale in H. Notiamo che le tensioni normali sono pro-dotte dalla forza centrata P e dalle coppie flettenti e Determiniamo ilsegno di ciascuna componente di tensione esaminando attentamente lo schemadel sistema forza-coppia in C.

Tensione tangenziale in H. Considerando prima la forza di taglio notiamo che, dato che H è sul bordo della sezione trasversale, rispettoall’asse z. Dunque non produce alcuna tensione tangenziale in H. Invece,la forza di taglio produce una tensione tangenziale in H e scriviamo

Tensioni principali, piani principali e massima tensione tangenziale inH. Disegniamo la circonferenza di Mohr per le tensioni nel punto H

smin � �7.4 MPa >smin � OB � OC � R � 33.0 � 37.4

smax � 70.4 MPa >smax � OA � OC � R � 33.0 � 37.4

tmax � 37.4 MPa >R � 2133.022 � 117.5222 � 37.4 MPa

up � 13.98° � tan 2up �17.52

33.0 2up � 27.96°

tyz � 17.52 MPa � tyz �VzQ

Ixt�175 kN2 185.5 � 10�6 m32

19.15 � 10�6 m42 10.040 m2

Q � A1y1 � 3 10.040 m2 10.045 m2 4 10.0475 m2 � 85.5 � 10�6 m3

Vz

Vx

Q � 0Vx,

sy � 66.0 MPa � sy � 8.93 MPa � 80.3 MPa � 23.2 MPa

�50 kN

5.6 � 10�3 m2 �13 kN � m2 10.020 m2

0.747 � 10�6 m4 �18.5 kN � m2 10.025 m2

9.15 � 10�6 m4

sy � �P

A�0Mz 0a

Iz

�0Mx 0b

Ix

Mz.Mx

sy

Iz � 112 10.140 m2 10.040 m23 � 0.747 � 10�6 m4

Ix � 112 10.040 m2 10.140 m23 � 9.15 � 10�6 m4

A � 10.040 m2 10.140 m2 � 5.6 � 10�3 m2

My � 0 Mz � 130 kN2 10.100 m2 � 3 kN � m Mx � 150 kN2 10.130 m2 � 175 kN2 10.200 m2 � �8.5 kN � m Vx � �30 kN P � 50 kN Vz � �75 kN


514

8.31 * La trave a mensola AB ha una sezione trasversale rettangolare diSapendo che la tensione nel cavo BD è 10.4 kN e trascurando

il peso della trave, determinare le tensioni normali e tangenziali nei tre punti in-dicati.

8.32 Una forza di 27 kN è applicata all’elemento di macchina AB comemostrato. Sapendo che lo spessore uniforme dell’elemento è 20 mm, determinarele tensioni normali e tangenziali nel (a) punto a, (b) punto b, (c) punto c.

150 � 200 mm.

ESERCIZI

0.75 m 200 mm

16 kN

150 mm

0.3 m0.6 m 0.9 m

100 mm

100 mm

A

D

E Bb

b

a

c

a

c

a

b

c

B d

35�

200 mm

200 mm

38 mm38 mm

200 mm

A

e

f

27 kN

Figura P8.31


8.33 Una forza di 27 kN è applicata all’elemento di macchina AB comemostrato. Sapendo che lo spessore uniforme dell’elemento è 20 mm determinarele tensioni normali e tangenziali nel (a) punto d, (b) punto e, (c) punto f.

8.34, 8.35*, 8.36 L’elemento AB ha una sezione trasversale rettangolarecostante di Per il carico mostrato, determinare le tensioni normalie tangenziali nel (a) punto H, (b) punto K.

10 � 24 mm.

30�

60 mm

60 mmKH

G

B

A

12 mm

12 mm

40 mm

9 kN

Figura P8.34

30�

60 mm

60 mmKH

G

B

A

12 mm

12 mm

40 mm

9 kN

Figura P8.35

30�

60 mm

60 mmKH

G

B

A

12 mm

12 mm

40 mm

9 kN

Figura P8.36


Esercizi 5158.37 Due forze sono applicate alla barra mostrata. Nel punto a, determi-nare (a) le tensioni ed i piani principali, (b) la massima tensione tangenziale.

25 mm25 mm 37.5 mm

h � 200 mm

37.5 mm

18 mm

45 kN

270 kN

ab


0.9 m

0.9 m

1.8 m0.9 m

2.7 m

2.4 m

13.5 kN

36 kN

0.6 m 0.6 m

H

C

H

A

A

xx

z

z

y

Figura P8.39

��

50 mm

225 mm

20 mm

A D

HE

B

z

x

y

t � 8 mm

60�

Figura P8.40

8.38 Due forze sono applicate alla barra mostrata. Nel punto b, determi-nare (a) le tensioni ed i piani principali, (b) la massima tensione tangenziale.

8.39 Il pannello mostrato pesa 36 kN ed è sorretto da un tubo strutturale,con un diametro esterno di 375 mm ed uno spessore della parete di 12 mm. As-sumendo la risultante della pressione del vento pari a 13.5 kN ed applicata nelcentro C del pannello, determinare le tensioni normali e tangenziali nel punto H.

8.40 * Il tubo di acciaio AB ha un diametro esterno di 100 mm ed unospessore della parete di 8 mm. Sapendo che la tensione nel cavo è 40 kN, deter-minare le tensioni normali e tangenziali nel punto H.


516 Tensioni principali sotto un dato carico 8.41 L’asse di un camioncino è sollecitato dalle forze e coppie mostrate.Sapendo che il diametro dell’asse è 35 mm, determinare le tensioni normali etangenziali nel punto H posto al margine superiore dell’asse.

200 mm

250 mm

H3.4 kN

3.4 kN

4.7 kN · m

Figura P8.41

C

225 mm

1 kN · m

6.8 kN

H K

Figura P8.42

8.42 Una forza di 6.8 kN ed una coppia di 1 kN · m sono applicate sullasommità del montante in ghisa di diametro 62 mm mostrato. Determinare le ten-sioni normali e tangenziali nel (a) punto H, (b) punto K.

8.43 Per l’asse del camioncino dell’Esercizio 8.41, determinare le tensioniprincipali e la massima tensione tangenziale nel punto H.

8.44 Per il montante ed il carico dell’Esercizio 8.42, determinare le ten-sioni principali e la massima tensione tangenziale nel (a) punto H, (b) punto K.

8.45 * Il tubo in acciaio AB ha un diametro esterno di 72 mm ed una pa-rete di spessore 5 mm. Sapendo che il braccio CDE è rigidamente fissato al tubo,determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tan-genziale nel punto H.

��

120 mm

120 mm

150 mm

9 kN

3 kN

x

z

y

E

DC

A

BK

H

8.46 * Il tubo in acciaio AB ha un diametro esterno di 72 mm ed una pa-rete di spessore 5 mm. Sapendo che il braccio CDE è rigidamente fissato al tubo,determinare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel punto K.



Esercizi 5178.47 Tre forze sono applicate ad una piastra circolare di diametro 100 mmfissata all’albero pieno AB di diametro 45 mm. Nel punto H, determinare (a) letensioni ed i piani principali (b) la massima tensione tangenziale.

200 mm

50mm

50mm

27 kN

11 kN

27 kN

H

y

z x

B

A

Figura P8.47

��

H

B

D

x

z

A

13 kN 300 mm

125 mm150 mm

100 mm

y

Figura P8.48

Figura P8.49 e P8.508.48 * Una forza di 13 kN è applicata come mostrato al montante in ghisaABD di 60 mm di diametro. Nel punto H, determinare (a) le tensioni ed i pianiprincipali, (b) la massima tensione tangenziale.

8.49 Tre forze sono applicate alla trave a mensola mostrata. Determinarele tensioni normali e tangenziali nel punto H.

8.50 Tre forze sono applicate alla trave a mensola mostrata. Determinarele tensioni normali e tangenziali nel punto K.

8.51 Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.49, determinare le tensioniprincipali e la massima tensione tangenziale nel punto H.

8.52 Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.50, determinare le tensioniprincipali e la massima tensione tangenziale nel punto K.

8.53 * Tre forze sono applicate ad un montante in acciaio come mostrato.Determinare le tensioni normali e tangenziali nel punto H.

8.54 * Tre forze sono applicate ad un montante in acciaio come mostrato.Determinare le tensioni normali e tangenziali nel punto K.

��HK

120 kN

20 kN50 kN

50 mm

30 mm30 mm 60 mm

20 mm

60 mm

40 mm

100 mm

40 mm

y

xz


100 mm

13 kNH

K

C

75 mm

50 mm

375 mm

175 mm

125 mm

100 mm

150 mm

9 kN

108 kN


518 Tensioni principali sotto un dato carico 8.55 Due forze sono applicate al montante BD come mostrato. Sapendoche la porzione verticale del montante ha una sezione trasversale di 38 × 60 mm,determinare le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tan-genziale nel punto H.

8.56 Risolvere l’Esercizio 8.55, assumendo che la grandezza della forzadi 27 kN si riduca a 7 kN.

27 kN

2 kN

200 mm

150 mm

80 mm

44 mm

60 mm38 mm

y

H

B

D

z

x

25 mm

Figura P8.55

��

50 mm

150 mm

160 mm

40 mm

3 kN

0.5 kN

2.5 kN

20 mm

z

x

y

A

B

D

H

Figura P8.57

8.57 * Tre forze sono applicate al componente di macchina ABD comemostrato. Sapendo che la sezione trasversale contenente il punto H è un rettan-golo di 20 × 40 mm, determinare le tensioni principali e la massima tensionetangenziale nel punto H.

8.58 * Risolvere l’Esercizio 8.57, ipotizzando che la grandezza della forzadi 2.5 kN sia aumentata a 10 kN.

8.59 Tre piastre di acciao, ciascuna spessa 13 mm, sono saldate tra loro aformare una trave a mensola. Per il carico mostrato, determinare le tensioni nor-male e tangenziale nei punti a e b.

��

��

C

C

x

y

ab d

e

400 mm60 mm30 mm

60 mm 75 mm

9 kN

13 kN

150 mm

t � 13 mm

8.60 Tre piastre di acciao, ciascuna spessa 13 mm, sono saldate tra loro aformare una trave a mensola. Per il carico mostrato, determinare le tensioni nor-male e tangenziale nei punti d ed e.



Esercizi 5198.61 * Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.59, determinare le tensioniprincipali e la massima tensione tangenziale nei punti a e b.

8.62 * Per la trave ed il carico dell’Esercizio 8.60, determinare le tensioniprincipali e la massima tensione tangenziale nei punti d ed e.

8.63 Due forze sono applicate ad una trave profilata in acciaio di sezioneW200 × 41.7. Determinare le tensioni principali, i piani principali e la massimatensione tangenziale nel punto a.

8.64 Due forze sono applicate ad una trave profilata in acciaio di sezioneW200 × 41.7. Determinare le tensioni principali, i piani principali e la massimatensione tangenziale nel punto b.

8.65 Due forze P1 e P2 sono applicate come mostrato perpendicolarmenteall’asse longitudinale di una trave di sezione . Sapendo che

e determinare le tensioni principali e la massima ten-sione tangenziale nel punto a.

P2 � 24 kN,P1 � 25 kNW310 � 60

��

��

��

y

a

0.6 m

1.2 m

75 mm

W310 � 60

P1

P2

a

b

xb


y

a

a

b

b

405 kN

600 mm

100 mm

W200 � 41.7

90 kNx


8.66 Due forze P1 e P2 sono applicate come mostrato perpendicolarmenteall’asse longitudinale di una trave di tipo . Sapendo che e determinare le tensioni principali e la massima tensione tangen-ziale nel punto b.

8.67 * Una forza P è applicata ad una trave a mensola mediante un cavofissato ad un bullone posto al centro dell’ estremità libera della trave. Sapendoche P agisce in una direzione perpendicolare all’asse longitudinale della trave,determinare (a) la tensione normale nel punto a in funzione di P, b, h, l e (b)il valore di per il quale la tensione normale in a è nulla.b

b,

P2 � 24 kN,P1 � 25 kNW310 � 60

��

��

��

A

a

B

�

C

b

h

P

l

Figura P8.67


520 Tensioni principali sotto un dato carico 8.68 * Una forza verticale P è applicata al centro dell’estremità libera dellatrave AB. (a) Se la trave è posizionata con l’anima verticale e con il suoasse longitudinale orizzontale, determinare la grandezza della forza P per la qualela tensione normale nel punto a è (b) Risolvere la parte (a), assu-mendo che la trave sia installata con b � 3°.

�120 MPa.

1b � 02

��

d

P

d2

A

a

B

Figura P8.69

W250 � 44.8

l � 1.25 m a

A

B

�

P

Figura P8.68

8.69 Una forza P di 2 kN è applicata ad un filo avvolto attorno alla barraAB come mostrato. Sapendo che la sezione trasversale della barra è un quadratodi lato d = 18 mm, determinare le tensioni principali e la massima tensione tan-genziale nel punto a.

8.70 Una forza verticale di 20 kN è applicata all’estremità A della barraAB, saldata ad un tubo estruso di alluminio. Sapendo che la parete del tubo hauno spessore uniforme di 6 mm, determinare la tensione tangenziale nei punti a,b e c.

8.71 * Per il tubo ed il carico dell’Esercizio 8.70, determinare le tensioniprincipali e la massima tensione tangenziale nel punto b.

8.72 Sapendo che il tubo strutturale mostrato ha la parete di spessore uni-forme 8 mm, determinare le tensioni principali, i piani principali e la massimatensione tangenziale nel (a) punto H, (b) punto K.

H

K

75 mm

50 mm250 mm

4 mm

40 kN

100 mm

150 mm

Figura P8.72

��

��

��

50 mm

150 mm

50 mm

100 mm

80 mm 25 mm6 mm

20 kN

A

B

a

bc

Figura P8.70


521

RIEPILOGODEL CAPITOLO 8

a

b

c

d

e

Figura 8.10

Piani principali e tensioni pr incipali in una trave

Questo capitolo è stato dedicato alla determinazione delle tensioni prin-cipali nelle travi, alberi di trasmissione e corpi di forma arbitraria sog-getti a carichi combinati.

Abbiamo inizialmente ricordato, nel Paragrafo 8.2, le due relazionifondamentali ottenute nei Capitolo 5 e 6 per la tensione normale equella tangenziale in ogni punto di una sezione trasversale di unelemento prismatico,

(8.1, 8.2)

dove taglio nella sezionemomento flettente nella sezionedistanza del punto dalla superficie neutramomento di inerzia baricentrico della sezionemomento statico rispetto all’asse neutro della porzionedella sezione trasversale posta sopra il punto datolarghezza della sezione trasversale in corrispondenzadel punto considerato

Utilizzando uno dei metodi presentati nel Capitolo 7 per la trasfor-mazione delle tensioni, siamo stati in grado di ottenere i piani e le ten-sioni principali nel punto considerato (Figura 8.6).

Abbiamo studiato la distribuzione delle tensioni principali in unatrave rettangolare sottile a mensola soggetta ad un carico concentratoP nella sua estremità libera trovando che, in ogni data sezione tra-sversale eccetto che nelle vicinanze del punto di applicazione del ca-rico, la massima tensione principale non supera la massima ten-sione normale prodotta sulla superficie superiore o inferiore dellatrave.

Mentre questa conclusione resta valida per molte travi con sezionetrasversale non rettangolare, non può essere considerata valida per letravi a doppio T, dove il valore nei punti di giunzione b e d del-l’anima con le ali della trave (Figura 8.10) può superare il valore presente nei punti a ed e. Il progetto di una trave profilata in acciaio,perciò, deve includere il calcolo della massima tensione principale inquesti punti. (Vedi Esercizi svolti 8.1 e 8.2)

sm

smax

sm

smax

t �

Q �I �y �

M �V �

sx � �

My

I txy � �

VQ

It

txy

sx

�m �m

�m �m

�min

�min

�max

�max

c

y

y

xO

� c

Figura 8.6


522 Tensioni principali sotto un dato caricoNel Paragrafo 8.3 abbiamo considerato il progetto di alberi di tra-

smissione soggetti a carichi trasversali oltre che a coppie torcenti. Pren-dendo in considerazione gli ef fetti sia delle tensioni normali dovute almomento flettente M che delle tensioni tangenziali dovute al momentotorcente T in ogni data sezione trasversale di un albero cilindrico (pienoo cavo), abbiamo trovato che il minimo valore ammissibile del rap-porto per la sezione traversale era

(8.6)

Nei precedenti capitoli, avevate imparato a determinare le tensioniin elementi prismatici causate dai carichi assiali (Capitolo 1 e 2), dallatorsione (Capitolo 3), dalla flessione (Capitolo 4) e dai carichi tra-sversali (Capitolo 5 e 6). Nella seconda parte di questo capitolo (Para-grafo 8.4), abbiamo combinato tali conoscenze per determinare le ten-sioni sotto condizioni di carico più generali.

J

C�12M2 � T 22max

tall

J�c

My

TP

Mz

VzF3

F2

F1Vy

B

y

x

z

C

A

Figura 8.16

F3

F4

F6

F5

F2

F1B

D

E

K

H

A

Figura 8.15

Per esempio, per determinare le tensioni nel punto H o K dell’ele-mento inflesso mostrato in Figura 8.15, abbiamo fatto passare una se-zione attraverso tali punti sostituendo i carichi applicati con un sistemaequivalente forza-coppia nel baricentro C della sezione (Figura 8.16).Le tensioni normali e tangenziali prodotte in H e K da ciascuna delleforze e coppie applicate in C sono state determinate e poi combinateper ottenere la tensione normale risultante �x e le tensioni tangenzialirisultanti �xy e �xz in H o K. Alla fine, con uno dei metodi presentati nelCapitolo 7, abbiamo ricavato dai valori ottenuti per sx , txy , txz , le ten-sioni principali, l’orientamento dei piani principali e la massima ten-sione tangenziale nel punto H o K.

Progetto di alber i di trasmissione sotto carichi trasversali

Tensioni sotto condizioni generali di car ico


523

8.73 * (a) Sapendo che e scegliete il pro-filo più economico che può essere utilizzato per sostenere il carico mostrato. (b)Determinare i valori previsti per e la tensione principale nel giuntodi un’ala con l’anima della trave scelta.

smaxsm, tm,

tall � 100 MPa,sall � 165 MPa

ESERCIZI DI RIEPILOGO

CB

A

40 kN

4.5 m 2.7 m

2.2 kN/m

Figura P8.73

8.74 Sapendo che il taglio ed il momento flettente in una data sezione dellatrave profilata in acciaio di sezione W530 × 150 sono, rispettivamente, 540 kNe 400 kN · m, determinare i valori in quella sezione di (a) la massima tensionenormale (b) la tensione principale nella giunzione di un’ala con l’anima.

8.75 * La forza di 6 kN è verticale mentre la forza P è parallela all’assez. Sapendo che determinare il minimo diametro ammissibile del-l’albero pieno AD.

tall � 60 MPa,

smaxsm,

��

6 kN

A

B

80 mm

100 mm

120 mm

75 mm

P60 mm

D

��

C

x

z

y

Figura P8.75

8.76 Le due forze di 2 kN sono verticali mentre la forza P è parallela al-l’asse z. Sapendo che tall = 56 MPa, determinare il minimo diametro ammissi-bile dell’albero pieno AE.

B

175 mm175 mm

175 mm175 mm

100 mm

100 mm

y

A

E

x

z B

C

2 kN

2 kN

P

150mm D

Figura P8.76


524 Tensioni principali sotto un dato carico 8.77 L’albero pieno AE gira a 600 rpm, trasmettendo 45 kW dal motoreM a delle macchine utensili connesse con gli ingranaggi G ed H. Sapendo chetall = 56 MPa, e che 30 kW sono assorbiti dall’ingranaggio G e 15 kW dall’in-granaggio H, determinare il minimo diametro ammissibile dell’albero AE.

M

A

75 mm

C

F

B

100 mm

150 mm

150 mm

200 mm

C

C

H

G

100 mm

100 mm

D

E

Figura P8.77

8.78 Il motore M gira a 300 rpm trasmettendo 30 kW all’albero pieno ABattraverso una connessione flessibile. La metà di questa potenza è trasmessa aduna macchina utensile connessa con l’ingranaggio E e l’altra metà ad una mac-china utensile connessa con l’ingranaggio F. Sapendo che deter-minare il minimo diametro ammissibile dell’albero AB.

tall � 60 MPa,

��

��

��

��200 mm

120 mmA

BE

F

C

D

M

200 mm

200 mm

Figura P8.78

8.79 All’assemblaggio di tubi mostrato sono applicate varie forze. Sapendoche tutte le sezioni del tubo hanno diametri interni ed esterni rispettivamenteuguali a 36 mm e 42 mm, determinare la tensione normale e tangenziale nel puntoH posto nella parte superiore della superficie esterna del tubo.

300

175

250

225

Dimensioni in mm

225

150 N

150 N

100 N

100 N

x

y

H

z

Figura P8.79


Esercizi di riepilogo 5258.80 Una forza verticale P di grandezza pari a 250 N è applicata alla ma-novella nel punto A. Sapendo che l’albero BDE ha un diametro di 18 mm, de-terminare le tensioni principali e la massima tensione tangenziale nel punto H,posto nella parte superiore dell’albero, 50 mm a destra del supporto D.

��

60°

200 mm

50 mm

125 mm

25 mm

z

ED

H

A

xB

yP

Figura P8.80

68.75 mm

b c

1500 lb

1500 lb125 mm

150 mm75mm

600 lb600 lb

500 mm

6.25 mm75 mm

a

Figura P8.818.81 Sapendo che il tubo strutturale mostrato ha una parete di spessoreuniforme pari a 6 mm, determinare le tensioni normali e tangenziali nei tre puntiindicati.

8.82 * Per il montante ed il carico mostrati, determinare le tensioni prin-cipali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto H.

��

50 mm50 mm

75 mm75 mm

50 kN

120 kN

y

z x

30�

C

375 mm

H K


8.83 Per il montante ed il carico mostrati, determinare le tensioni princi-pali, i piani principali e la massima tensione tangenziale nel punto K.

8.84 Delle forze sono applicate nei punti A e B del sostegno pieno inghisa mostrato. Sapendo che il sostegno ha un diametro di 20 mm, determinarele tensioni principali e la massima tensione tangenziale (a) nel punto H, (b) nelpunto K.

H

B

Az

y

xK

2.7 kN

88 mm62 mm

25 mm

11 kN

Figura P8.84


526

Gli esercizi seguenti stati pensati per esser e risolti con l’aiuto di un compu-ter.

8.C1 Assumiamo che siano stati determinati il taglio V ed il momento flet-tente M in una data sezione di una trave profilata in acciaio. Scrivere un pro-gramma per calcolare in quella sezione, dai dati reperibili nell’Appendice C, (a)la massima tensione normale (b) la tensione principale nel giunto diun’ala con l’anima. Usare questo programma per risolvere le parti a e b degliesercizi seguenti:(1) Esercizio 8.1 (Usare e )(2) Esercizio 8.2 (Usare e )(3) Esercizio 8.1 (Usare V = 1400 kN e M = 3500 kN · m)(4) Esercizio 8.74.

8.C2 Una trave a mensola AB con una sezione trasversale rettangolare largab ed alta 2c è soggetta un singolo carico concentrato P nella sua estremità A. Scri-vere un programma per calcolare, per ogni valore di , (a) i rapporti e

dove e sono le tensioni principali nel punto K(x, y) e la mas-sima tensione normale nella stessa sezione trasversale, (b) l’angolo che i pianiprincipali in K formano con un piano trasversale ed uno orizzontale passanti perK. Usare questo programma per verificare i valori mostrati in Figura 8.8 e per ve-rificare che supera se come indicato nella nota 2.x � 0.544c,smsmax

up

smsminsmaxsmin�sm,smax�smx�c

M � 100 kN � mV � 200 kNM � 100 kN � mV � 400 kN

smaxsm,

��

��

��

P

c

c

bx

y

KA

B

�maxp

�min

Figura P8.C2

8.C3 I dischi . . . , sono fissati come mostrato in Figura P8.C3all’albero pieno AB di lunghezza L, diametro uniforme d e tensione tangenzialeammissibile Le forze . . . , d i grandezza nota (eccetto una di esse)sono applicate sui dischi, ciascuna sulla sommità o alla base di un diametro verti-cale, o sull’estremità destra o sinistra di un diametro orizzontale. Indicando con il raggio del disco e con la sua distanza dal supporto in A, scrivere un pro-gramma per calcolare (a) la grandezza della forza incognita (b) il minimo va-lore ammissibile del diametro d dell’albero AB. Usare questo programma per ri-solvere gli Esercizi 8.75 e 8.76.

Pi,ciDi

ri

PnP1, P2,tall.

DnD1, D2,

ESERCIZI DA RISOLVERECON IL COMPUTER


Esercizi da risolvere con il computer 527

8.C4 L’albero pieno AB, di lunghezza L, diametro costante d e tensionetangenziale ammissibile , gira ad una data velocità espressa in rpm (FiguraP8.C4). Le ruote dentate . . . , sono fissate all’albero e ciascuno di esseè a contatto con un altro ingranaggio (non mostrato) sulla sommità o alla base diun diametro verticale o all’estremità di destra o di sinistra di un diametro oriz-zontale. Uno di questi ingranaggi “nascosti” è connesso con un motore, ed gli al-tri con delle macchine utensili. Indicando con il raggio dell’ingranaggio con

la sua distanza dal sostegno in A e con la potenza che questo ingranaggiotrasmette (segno +) o assorbe (segno −), scrivere un programma per calcolareil minimo valore ammissibile del diametro d dell’albero AB. Usare questo pro-gramma per risolvere gli Esercizi 8.25, 8.29 e 8.77.

Pici

Gi,ri

GnG1, G2,tall

��

��A

z

D1

D2 Di

P1

Pi

Pn

ci L

Dn

x

y

B

P2

ri

Figura P8.C3

��A

z

x

y

B

��

ci

ri

G1

G2 Gi

Gn

L

Figura P8.C4


528 Tensioni principali sotto un dato carico 8.C5 Scrivere un programma che possa essere usato per calcolare le ten-sioni normali e tangenziali nei punti di coordinate date y e z, posti sulla superfi-cie di un componente di macchina di sezione trasversale rettangolare. Le forzeinterne sono equivalenti al sistema forza-coppia mostrato. Usare il programmaper risolvere (a) l’Esercizio 8.50, (b) l’Esercizio 8.53.

z

h

b

y

x

C

My

Vy

Vz

Mz

P

Figura P8.C5

8.C6 L’elemento AB ha una sezione trasversale rettangolare diPer il carico mostrato, scrivere un programma che possa essere

usato per determinare le tensioni normali e tangenziali nei punti H e K per va-lori di d da 0 a 120 mm, usando incrementi di 15 mm. Usare il programma perrisolvere l’Esercizio 8.35

10 � 24 mm.

30�

120 mm

KH

d

B

A

12 mm

12 mm

40 mm

9 kN

Figura P8.C6

H

x

z

c

y

d 75 mm75 mm

40 kN

100 mm

250 mm

Figura P8.C7

8.C7 Il tubo strutturale mostrato ha una parete di spessore uniforme paria 8 mm. Una forza di 40 kN è applicata ad una barra (non mostrata) saldata al-l’estremità del tubo. Scrivere un programma per determinare, per ogni dato va-lore di c, le tensioni principali, i piani principali e la massima tensione tangen-ziale nel punto H per valori di d da −75 mm a 75 mm, usando incrementi di 25mm. Usare il programma per risolvere l’Esercizio 8.72a.


Tensioni principali sotto un dato...

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