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Modellistica dei Sistemi Meccanici Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione

1

C. P. Mengoni

tel. 0554796339

[email protected]

E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti

“Lezioni di MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE”, vol. I e II

Pàtron Editore

mailto:[email protected]


32

Meccanismi con organi flessibili

I meccanismi con organi flessibili sono caratterizzati da coppie cinematiche costituite da un elemento flessibile che è in grado di reagire soltanto a sollecitazioni di trazione, che si svolge su un elemento rigido:

Elemento flessibile: Fune, nastro, cinghia, catena, … Funi e nastri possono essere realizzati sia in fibre tessili sintetiche e naturali, sia in acciaio (funi in acciaio a trefoli) Le catene si distinguono per anelli e articolateLe cinghie possono essere di vari tipi e materiali: piane, trapezoidali, dentate …; anima ad alta resistenza (cuoio, nailon, etc. ), rivestita con materiale ad alto coefficiente di attrito (cuoio al cromo, elastomeri…)

Elemento rigido: puleggia, carrucola


33

Meccanismi con organi flessibili – 2


34

Meccanismi con organi flessibili – 3

( ) ( )p QP R Q Rδ δ+ = + m

r

L PR

L QR

θ

θ

=

=

( ) ( ) ( )p m r Q P Q PP

RL L L P Q R Q Q

Rθ

θ δ δ θ δ δδ

= − = − = − ≈ −+

Non esistono organi perfettamente flessibili P=Q ma esiste un rigidezza dell’organo flessibile che porta ad un lavoro perduto per rigidezza


35

Pulegge fisse e mobiliI più semplici meccanismi contenenti organi flessibili: una puleggia e una fune. Puleggia fissa o mobile. Nel primo caso la puleggia ruota attorno ad un asse fisso e permette il sollevamento di un carico Q applicando una forza P. Nel secondo caso l’asse della puleggia è mobile e il carico (Q) è collegato alla staffa accoppiata rotoidalmente.


36

Pulegge fisse e mobili - 2

Puleggia ad asse fissoEquilibrio alla traslazione e dei momenti

( ) ( )S P Q

P R Q Rδ ρ δ ρ

= +

− − = + +

( )( )

11 2

1

R RP Q Q Q kQR R

R

δ ρδ ρ δ ρ

δ ρδ ρ

+ + + + + = = + = +− − −

;

1

1

R

R

δ

ρ

=

=

Caso Ideale:

0P Q=

Rendimento:0 1P

P kη = =


37

Pulegge fisse e mobili - 3

Carrucola ad asse mobileEquilibrio alla traslazione e dei momenti

( ) ( )T P Q

P R T Rδ ρ δ ρ

= +

− − = + +

P kT;

1

1

R

R

δ

ρ

=

=

Caso Ideale:

0 2Q

P =

Rendimento:0 1

2P kP k

η+

= =

Quindi:

1Q

Tk

=+ 1

kQP

k=

+

I valori di k nei casi di accurata manutenzione sono compresi tra 1.04 e 1.1


38

Paranchi 1

Serie di carrucole fisse, una serie di carrucole mobili e una fune che si avvolge alternativamente. Una estremità della fune libera e lìaltra collegata a una delle due parti 4 casi

•Tiro invertito e fune collegata alla parte mobile

0 1 1

1 0

22 1 0

0

...

...

n

n

T T T Q

T kT

T kT k T

P k T

−+ + + =

=

= =

=

( )( )

10

11 ...

11

1

nn

n

n

kQ T k k T

kk k

P Qk

− −= + + + =

−−

=−

•Tiro invertito e fune collegata alla parte fissastesso risultato con numero pari di carrucole

Rendimento ( )( )

0

0

1

1

n

n

QP

nkP

P nk kη

=

−= =

−


39

Paranchi 2 •Tiro diretto e fune collegata alla parte fissa

0 1 1

1 0

22 1 0

0

...

...

n

n

T T T P Q

T kT

T kT k T

P k T

−+ + + + =

=

= =

=

( )( )

1

0

1

11 ...

111

nn

n

n

kQ T k k T

kk k

P Qk

+

+

−= + + + =

−−

=−

•Tiro invertito e fune collegata alla parte fissastesso risultato con numero pari di carrucole

Rendimento ( )( ) ( )

0

1

0

11

1 1

n

n

QP

nkP

P n k kη

+

=+

−= =

+ −


40

Paranco differenziale

1

0

1

1

kQT

kQ

Tk

=+

=+

1 0

1 0

T kT

T T Q

=

+ =

Equilibrio verticale

( ) ( ) ( )1 2 0 1 2T R T R P Rρ δ ρ δ ρ δ+ + = − − + − −

Equilibrio rotazione

( )( )

( )( )

2 1

2 21k R RQ

Pk R R

ρ δ ρ δ

ρ δ ρ δ

+ + − −= −

+ − − − −

2 10

22R RQ

PR

−=

Semplificando

Approssimando (R1~R2)

Caso ideale

Scegliendo R1 e R2 è possibile variare il rapporto P0/Q. Al tendere di R1 a R2 il rendimento però tende a zero.

Il rendimento è :

2 1

21RQ

P kk R

= − +

0 2 12

2 1 2

12

P R R kP R k R R

η − +

= ≅ −


41

Trasmissione con cinghia

Trasmissione di potenza meccanica tra due alberi paralleliR1 e R2 raggi delle puleggeT1 e T2 tensioni nei due rami di cinghiaM1 e M2 momento motore e resistentePer trasmettere potenza tra le due pulegge è necessario che i due rami siano sottoposti a tensioni diverse


42


( )( )

1 2 2 2

1 1 2 1 2 1 2

T T R M

M T T R M R R

− =

= − =

Pulegge rigide e cinghia deformabile T0 tensione di montaggioLa lunghezza di un ramo della cinghia a riposo è:La lunghezza dei rami della cinghia durante il funzionamento è:Quindi poiché le lunghezza rimangono immutate nel passare da condizione di montaggio a quella di funzionamento:

01l T ES+ 1 il T ES+

1 2 02T T T+ =


43

dT fdNdN dF Tdα

=+ =


Da l’eq. tan. deriva che l’incremento di tensione è legato alle forze di attrito sulla puleggia legato allo strisciamento locale della cinghia elastica sulla puleggiadF = forza centrifuga sull’elemento = qv2dαq= massa per unità di lunghezza

( )2

2vdN Td qR d T qv d T d

Rα α α α′= − = − =

qv2 è indipendente da α quindi: dT=dT’

dT fT dα′ ′= '2

logT

fT

α ′

=

'2

fT T e α′ =

Legge di variazione della tensione da T1 a T2

Equilibrio radiale e tangenziale

Legge di variazione della tensione della cinghia


44


'2

fT T e α′ = Si noti che la tensione non può variare con tale legge lungo tutto l’arco di abbracciamento della puleggia perché tali angoli hanno valori diversi sulle due pulegge

La tensione varia con legge esponenziale lungo un arco β(arco di scorrimento) e rimane costante lungo l’arco restante γ (arco di aderenza)

Angolo di abbracciamento = γ+β

Determiniamo β:

( ) ( ) ( )'2 1 2 2 1 2 2 2 1fM T T R T T R T e β′ ′= − = − = −

( )

( )

21

2

22

2

1

11

f

f

f

M eT

R e

MT

R e

β

β

β

=−

=−

Utilizzando la tensione di montaggio T0=(T1+ T2) ( )

220

2

12 1

f

f

M eT qv

R e

β

β

+= +

−Da cui si ricava β noti T0 e M2

β

α


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Trasmissione con cinghiaIl massimo momento trasmissibile si ottine quando il valore dell’angolo di scorrimento è pari all’angolo di abbracciamento della puleggia minore. Se il momento cresce , la cinghia scorre globalmente sulla puleggia dando luogo al fenomeno dello scarrucolamento.

Per aumentare il momento trasmissibile si usano le cinghie trapezoidali: sono valide le relazioni precedenti con f’=f/senψ; a paritàdi momento resistente e β le forze nei rami sono inferiori.Silenziosità in esercizio


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Dimensionamento:Rapporto di trasmissione ω2/ω1=R1/R2 Valori compresi tra 1/6 e 6. Si ricorre

all’utilizzo di galoppini tenditori sul ramo meno teso.Velocità della cinghia < 40-50m/s e eccessiva curvatura => Rmax e Rmin puleggeCalcolo lunghezza della cinghia (montaggio su perno registrabileFare comunque riferimento ai dati della casa costruttrice

Rendimento delle trasmissioni a cinghia

Perdite per attriti interni alla cinghia durante le sue deformazioniPerdite per effetto ventilantePerdite per attrito nei perni


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