Tartaglia Lavoro a più mani … più mani. Dino Liberatore (Napoli) Giovanna Maria Melis (Sassari)...

Tartaglia

Lavoro a più mani…

Schema per costruire il Schema per costruire il TriangoloTriangolo

AllAll’ ’ inizio e alla fine di ogni riga cinizio e alla fine di ogni riga c’ è ’ è sempre 1sempre 1

Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 –– 1 1

Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numerinumeri

( es. 1+1=2 );( es. 1+1=2 );

1+2= 3 2+1= 31+2= 3 2+1= 3

1+3=4 3+3=6 3+1=41+3=4 3+3=6 3+1=4

1

11

1 2 1

1

3 3 1

4 6 4 1

1

A cura di Mgio Melis

Il triangolo Il triangolo presenta una presenta una

simmetria simmetria assiale.assiale.

La simmetria La simmetria nel colore nel colore èè

perfettaperfetta

E E ‘‘evidenziata la evidenziata la proprietproprietàà

commutativa dellcommutativa dell’ ’ addizioneaddizione1+3= 4 3+1= 41+3= 4 3+1= 4

1 3 3 144

Mgio Melis

Il momento dell’’esplorazione ……

Il triangolo aritmetico è ricco di modelli.

Scopriamone alcuni …

Il momento dell’’esplorazione ……

Il triangolo aritmetico è ricco di modelli.

Scopriamone alcuni …

Sequenza dei numeri naturali

Multipli di 2

Numeri dispari Numeri quadrati

Numeri di Fibonacci

Numeri tetraedrici

Numeri esagonali

Potenze di 2

Numeri primi e multipli

Il fiore: un altro modello

Numeri triangolariTartaglia e Sierpinski

Mgio Melis

Potenze di 11

Se costruiamo le potenze successive di 11, troviamo che:(11)0 = 1 1(11)1 = 11 1 1(11)2 = 121 1 2 1(11)3 = 1331 1 3 3 1(11)4 = 14641 1 4 6 4 1

Sommando i prodotti parziali della moltiplicazione (con moltiplicatore 11), si eseguono le stesse addizioni che occorrono per costruire le righe del triangolo di Tartaglia.Nel caso di (11)5, questo è impedito dal fatto che nella somma dei prodotti parziali va tenuto conto del riporto; se, però, scriviamo le potenze di 11 in forma polinomiale, si ritrovano sempre i coefficienti binomiali del triangolo di Tartaglia.

A cura di Ivana Niccolai

Potenze di 11

11)3=1331= 1*(10)3+3*(10)2+3*(10)1+1*(10)0

(11)4=14641= 1*(10)4+4*(10)3+6*(10)2+4*(10)1+1*(10)0

(11)5=161051=

= 1*(10)5+5*(10)4+10*(10)3+10*(10)2+5*(10)1+1*(10)0

(11)6=1771561=

= 1*(10)6+6*(10)5+15*(10)4+20*(10)3+15*(10)2+6*(10)1+1*(10)0

ecc.


Esempi

Il triangolo è usato soprattutto in algebra e

probabilità. Una interessante presentazione di Ivana Niccolai, con il contributo di

Dino Liberatore e

una splendida poesia di

Grazia Raffa & Ivana Niccolai, visionabile

cliccando quiMgio Melis

Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 1/4

(di Grazia Raffa e Ivana Niccolai)

Nei suoi calcoli non sbaglia: come mente non tartaglia;

questo genio alquanto vale anche in … geometria frattale!

Il suo triangolo usiamo

pure in algebra e troviamo

coefficienti di potenza del binomio, in tale scienza,


nonché in combinatoria, che arricchisce la sua gloria;

qui son le combinazioni a formar le condizioni

di assestarsi in modo tale atto al triangolo speciale.

Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano

2/4


E’ sicuro che – comunque – da lì si procede al dunque

e possiam anche ammirare quanto Gauss già seppe fare:

distribuendo alla gaussiana vedo aspetto di campana,

con palline incanalando la suddetta vien, giocando;




Questo triangolo si trova in qualsiasi campo, o prova;

lo lodiamo con dilettoritenendolo perfetto.


Le prime righe del triangolo di Tartaglia in…combinatoria

0

0

00

1 1 0 1

2 2 2 0 1 2

3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4

5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5


Ogni combinazione è sempre uguale alla somma delle due combinazioni che si trovano immediatamente sopra...

Precisazioni 1/2

Se si usa il triangolo di Tartaglia in combinatoria, si può scrivere:

np per indicare il numero delle disposizioni di n oggetti

distinti a p a p, dove:n p == [n*(n-1)*(n-2)*…*(n-p+1)]/p! = n!/[p!*(n-p)!]


Precisazioni 2/2

0 0 = 1, per il principio di permanenza delle proprietà formali. Nel libro «GIOCANDO CON L’INFINITO – Matematica per tutti », di Rozsa Péter, a cura di Corrado Mangione, Prima edizione italiana: aprile 1973, si afferma: “C'è un'unica maniera di ritrarre la mano senza aver preso nulla da una sacca vuota, quindi possiamo considerare 1 il numero delle combinazioni di zero elementi a partire da zero elementi“.


Esempi 1/2

Quanti modi abbiamo di disporre 6 oggetti a 4 a 4?Sono tanti quanti sono i modi di disporne 5 a 3 a 3 più i modi di disporne 5 a 4 a 4Infatti:15 = 10 + 5


Esempi 2/2

Quanti modi abbiamo di disporre 7 oggetti a 3 a 3?Sono tanti quanti sono i modi di disporne 6 a 2 a 2 più i modi di disporne 6 a 3 a 3.Infatti:35 = 15 + 20


Il gioco del soldatino


Spiegazione del gioco del soldatino

In A si sistema un soldatino; si lancia una moneta: se viene testa, il soldatino va in basso a destra (cioè in C), se viene croce va in basso a sinistra (cioè in B) e così via.


Domande relative al gioco del soldatino

1)Quante strade portano in B? Quante in C? Quante in E? Ecc.

2)In quali caselle finali sarà bene scommettere che il soldatino andrà a finire?


Risposte

1) Osservando il numero delle strade che conducono nelle varie caselle, contrassegnate da una lettera dell’alfabeto, si arriva al triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano.

2) Tale triangolo fornisce, qui, una distribuzione casuale del tipo “a campana”.


La tavola di Galton (o quinconce)

Quinconce (deriva dal latino quincunx, quincuncis) : genericamente, nell’antica Roma, frazione di 5/12 dell’unità.

I II III IV V VI


Quinconce di 5 righe di bulloni

Ho considerato 32 palline di vetro e il quinconce di 5 righe di bulloni, bulloni ben distanziati tra loro, in modo uniforme e righe così suddivise:I riga : 1 bulloneII riga: 2 bulloniIII riga: 3 bulloniIV riga: 4 bulloniV riga: 5 bulloni


Come si costruisceMateriale occorrente:

1) Cartone di una scatola da scarpe e palline di vetro

2) Bulloni da sistemare secondo la disposizione data dal triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano

3) Due alette di cartone da mettere sul retro, perché possa stare inclinata

4) Coperchio della scatola (in cui sistemare, poi, la tavola di Galton)

5) Stuzzicadenti da posizionare,opportunamente, in fondo, per delimitare le vie di uscita


Come si gioca

Si fanno partire, una alla volta, le palline di vetro dalla posizione 1 del vertice in alto: esse si distribuiranno, nei vari scomparti delimitati dagli stuzzicadenti, in numero maggiore là dove è più probabile arrivare… Le palline stesse formeranno la “curva di Gauss, a campana”


La sistemazione delle 32 palline

Facendo cadere, a una a una, 32 palline ci si aspetta una distribuzione di tali palline nelle seguenti cassette (delimitate dagli stuzzicadenti):I cassetta: 1 pallinaII cassetta: 5 pallineIII cassetta: 10 pallineIV cassetta: 10 pallineV cassetta: 5 pallineVI cassetta: 1 pallinaSi nota che 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 sono i valori che si rintracciano facilmente nel triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano


Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2

Nella figura, a sinistra, è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa della tavola di Galton

A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2

I bulloni, fissati su un pannello di base, sono sostituiti da prismi esagonali di legno e tutti uguali tra loro. Ponendo nell’imbuto superiore varie biglie, queste scendono nei vari scomparti sottostanti (data la pendenza della base inferiore) e, una volta scese, si distribuiscono seguendo l’andamento della curva di Gauss.

Nell’immagine, che si trova nella diapositiva seguente, vengono visualizzati tutti i possibili percorsi che le biglie possono seguire fino alla quarta riga di esagoni (ed è semplice ritrovare il noto “triangolo di Tartaglia”!)


Tutti i percorsi possibili delle biglie fino alla quarta riga…


Apparecchio di Bittering 1/2

Nella figura a sinistra è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa dell’apparecchio di Bittering


Apparecchio di Bittering 2/2

Il materiale per la sua costruzione può essere compensato o legno e occorrono biglie, o pallini di piombo, che inizialmente vengono disposti nello scomparto superiore centrale. Inclinando una prima volta l’apparecchio, questi vanno a occupare i due scomparti centrali e sottostanti a quello di partenza, distribuendosi in essi uniformemente. Si prosegue così di seguito fino a quando i pallini avranno occupato tutti gli scomparti superiori: a questo punto si può constatare facilmente che la distribuzione finale delle biglie è “a campana”, simile a quella ottenuta con la tavola di Galton.


Le prime tre fasi di tutti i possibili percorsi delle biglie con

le relative probabilità


Il triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano in algebra

(x+y)0=1 coefficienti: 1 (x+y)1=1x+1y coefficienti: 1 1(x+y)2=1x2+2xy+1y2 coeff.: 1 2 1 (x+y)3=1x3+3x2y+3xy2+1y3 coeff.: 1 3 3 1(x+y)4=1x4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4 coeff.: 1 4 6 4 1Ecc.


TORNA

e “ Effetto Tartaruga”…

Considerando multipli (in giallo) e non multipli (scuri) dei numeri da 2 a 28 e osservando le prime 165 linee del nostro famigerato triangolo, ecco che cosa si ottiene:

Giorgio Pietrocola

“I numeri contengono segreti che vale la pena scoprire!” diceva Pitagora ai suoi allievi

Colorando le celle del triangolo, i bambini hanno fatto altre scoperte!!

Mgio Melis

Confrontando il modello dei multipli di

8 con quello dei multipli di 4 si nota

che sono molto differenti.

“Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di

4.

I multipli di 4 non sono necessariamente

multipli di 8”.

Multipli di 8

M di 8

Multipli di 4

Multipli di 4

111

21

1 1

1

3 31

1

11

1

1

11

1

11

11

64 4

5 510 106 615 1520

7 7

88

9 9

10 10

21 21353528 285656 70

36 368484 126 12645 45120120 210 2102521

Multipli di 4

111

21

1 1

1

3 31

1

11

1

1

11

1

11

11

64 4

5 510 106 615 1520

7 7

88

9 9

10 10

21 213535

28 285656 70

36 368484 126 126

45 45120120 210 2102521

Mgio Melis

111

21

1 1

1

3 31

1

11

1

1

11

1

11

11

64 4

5 510 106 615 1520

7 7

88

9 9

10 10

21 21353528 285656 70

36 368484 126 126

45 45120120 210 2102521

M di 3

Un numero divisibile per 9

è divisibile anche per 3

Alcuni multipli di 3

sono anche multipli di 9

111

21

1 1

1

3 31

1

11

1

1

11

1

11

11

64 4

5 510 106 615 1520

7 7

88

9 9

10 10

21 21353528 285656 70

36 368484 126 126

45 45120120 210 210252

M di 9

1

Mgio Melis

M di 33 3

6

6 615 15

9 9

21 21

36 368484 126 126

45 45120120 210 210252

6

6 6

36 368484 126 126120120 210 210252

2

64 4

10 106 620

88

10 10

28 285656 7036 368484 126 126

120120 210 210252

M di 2

Multipli di 6

Se un numero è multiplo di 2 e di 3, allora è multiplo di 6

Mgio Melis

2

64 4

10 106 620

88

10 10

28 285656 7036 368484 126 126

120120 210 210252

M di 2

120120 210 210

M di 5

5 510 10 1515 203535

70

Multipli di 10

Se un numero è multiplo di 2 e di 5 è

anche multiplo di

10

111

21

1 1

1

3 31

1

11

1

1

11

1

11

11

64 4

5 510 106 615 1520

7 7

88

9 9

10 10

21 21353528 285656 70

36 368484 126 126

45 45120120 210 2102521

10 1045 45

Mgio Melis

E’ certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo nasconde.

La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosità cognitiva di ognuno.

Sento anche di dire che questa esperienza di lavoro collaborativo con due colleghi che

conosco solo ‘virtualmente’

- e che ho imparato a stimare e ad apprezzare -

mi ha sicuramente arricchita.

Ivana

Giorgio

Vi ringrazio!

Maria Giovanna

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