Taratura Statica 7 MAC - miro.ing.unitn.it del... · M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure...

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M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I

F

K C

M

A

B

Taratura Statica


F

K C

M

A

B

Vedremo cosa è la taratura statica (RELAZIONI DIINGRESSO-USCITA, SENSIBILITA’ STATICAASSOLUTA, TIPI DI ERRORI, DIAGRAMMA DITARATURA)- Come si effettua (mediante campioni primari, perconfronto)- Metodi di regressione- Validazione mediante analisi dei residui- Analisi delle incertezze


F

K C

M

A

B

La misura in condizioni statiche si ottiene mediante inversione dellacaratteristica statica dello strumento:

misurando

uscita

Modello (statico) dellostrumento

Come si descrive l’operazione di misura?

misurandoUscita= y0

y0

Sono conosciuti:- caratteristica statica- uscita

Si ricava:- stima del misurando


F

K C

M

A

B

Cosa è la taratura statica?

La taratura in condizioni statiche si ottiene mediante interpolazionedella caratteristica statica dello strumento:

misurando

uscita

Modello (statico) dellostrumento

Misurando= m0

Uscita= y0

y0

Sono conosciuti:- ingresso- uscita

Si ricava:- caratteristica statica

m0

2


F

K C

M

A

B

Dunque, nelle condizioni di misura in cui si può supporre chepraticamente ingresso ed uscita non varino nel tempo, l’operazione ditaratura consente di determinare:

• la caratteristica statica ingresso-uscita mediante:1. modellazione

2. raccolta dei dati di taratura

3. regressione del modello

4. validazione del modello mediante analisi dei residui

• l’incertezza associata all’operazione di misura:• dall’incertezza dei vari parametri

• all’incertezza sulla stima del misurando

• all’incertezza della curva di taratura

Le operazioni coinvolte nella taratura statica


F

K C

M

A

B

Il modello dello strumento può essere di diversa natura.

Tipicamente una relazione matematica, ma può anche essere descrittoda una procedura, un modello numerico etc

Nella procedura di modellazione occorre esplicitare la relazione staticatra ingresso ed uscita

Sarebbe buona norma esplicitare la relazione statica tra ingressi didisturbo ed uscita

Si definisce incertezza di modello tutto ciò che è presente nella realtàma non viene descritto dal modello in nostro possesso

1. modellazione


F

K C

M

A

B

Dinamometroestensimetrico a mensola

1. modellazione - esempio


F

K C

M

A

B

H= altezza

B=larghezza

L=lunghezzaF

Estensimetro

OffsetFHBE

GFdVGV i +!

!!

!!!!="

20

2

3

Parametri del modello:• GF = 2 (gauge factor)

• Vi = 10 (alimentazione pontewheatstone)

• d = 0.1 (distanza forza – estensimetro)

• G = 500 (guadagno amplificatore)

• E = 50000 (modulo Young)

1. modellazione - esempio

DinamometroForza

F

Tensione

DV0

DV0

3


F

K C

M

A

B

Nell’esempio appena visto l’incertezza di modello è costituita adesempio da:

- non linearità ed isteresi del materiale

- resistenze di contatto ed effetto di carico elettrico sul ponte diWheatstone

- effetto della temperatura (se non modellato e non misurata, come nelcaso in esame)

- …

1. modellazione


F

K C

M

A

B

misurando

uscita

misurandoUscita= y0

y0

Nella raccolta dei dati per la taratura tutti gli ingressi (interferenti,modificanti, desiderati) sono fissati a valori costanti tranne uno

L’ingresso sotto osservazione viene fatto variare su di un certo insiemediscreto di valori costanti e le corrispondenti uscite registrate

2. raccolta dati di taratura


F

K C

M

A

B

Nella realtà risulta spesso il caso in cui esiste un numeromolto elevato di ingressi di disturbo che hanno un deboleeffetto sulla misura e che risultano difficili da controllare

Vengono quindi controllati gli ingressi che hanno un effettoimportante mentre gli altri vengono tenuti incontrollati. Talecondizione viene definita controllo statistico sul processodi misurazione/taratura

Tale condizione mette il sistema in una condizione analogaalla ipotesi di validità del Teorema del Limite Centrale



F

K C

M

A

B

Nella fase di raccolta dati di taratura si possono presentaredue casi:

1. sono disponibili campioni fondamentali della grandezzasotto misura

2. è disponibile uno strumento di riferimento

In entrambi i casi è buona norma avere a disposizione dati ditaratura con un’accuratezza migliore di circa un ordine digrandezza rispetto a quella desiderata


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F

K C

M

A

B

Uscita

Interpretazionemisure, curva

di taratura

Campionedi laboratorio

Strumentodi misura


Taratura mediante campioniTaratura mediante campioniM. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I

F

K C

M

A

B

Taratura per confrontoTaratura per confronto

Ingressogenerico

Strumento di misura

Uscita

Interpretazionemisure, curva

di taratura

Strumento di riferimento



F

K C

M

A

B

Non sempre si parte da una situazione del genere:

misurando

uscita

misurandoUscita= y0

y0


Idealmente: modello teorico ≡ punti di taratura raccolti sperimentalmente


F

K C

M

A

B

Si può infatti avere la seguente situazione:

misurando

uscita

misurandoUscita= y0

y0

Ovvero il modello teorico ≠ punti di taratura raccolti sperimentalmente

… ed in generale i parametri del modello (tutti od alcuni di essi) possonoessere incogniti, dunque occorre determinarli


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F

K C

M

A

B

• ANALISI DI REGRESSIONE

• L’analisi di regressione consente dideterminare i parametri di un modelloin modo tale che “al meglio” interpreti idati sperimentali mediante un legamealgebrico ingresso-uscita.



F

K C

M

A

B

• Tipi di modelli


Modelli lineari, ad esempio:

!

y = c1x1+ c

2x2

+ ...cnxn

Modelli non lineari, ad esempio:

!

y = c1c2x1" cos c

3x2( )


F

K C

M

A

B

• Scopo

• Determinare i parametri ci, i=1,...m, inbase alla ripetizione delle misuredelle grandezze xi, i=1,...N, e dellecorrispondenti uscite yi ed alla sceltadel tipo di modello, minimizzando uncerto indice di prestazione.



F

K C

M

A

B

• Nel metodo dei minimi quadrati l’indice diprestazione è costituito dalla somma dei quadratidegli scarti (anche detti residui):

Essendo:


L’insieme dei parametri si determina:!

" c1,...,c

m( ) = #i

2

i=1

N

$

!

"i = yi # f c1,c2,Lcm , x1i , x2i ,Lxni( )

!

c1,...,c

m[ ] :

!

minck

"i

2

i=1

N

#$ % &

' ( )

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F

K C

M

A

B

parametri (a,b)

x

y

N Dati sperimentali


Caso lineare - Calcolo retta ai minimi quadrati:

Si noti che i residui risultanoessere lineari in funzione deiparametri da determinareDunque anche il fitting con un polinomioqualsiasi risulta risolvibile in manieraanaloga

ei

!

"i = yi # a $ xi +b( )

!

y = ax+b


F

K C

M

A

B

• Posizione delproblema


(La soluzione ha un solo minimo)

!

"# a,b( )"a

= 0

"# a,b( )"b

= 0

$

% &

' &

!

mina,b( )

" a,b( ){ } =mina,b( )

yi # a $ xi +b( )[ ]2

i=1

N

%& ' (

) * +


F

K C

M

A

B

• Soluzione


Dove:

!

a =Cxy

Cxx

b = y " ax

!

y =1

Nyi

i=1

N

" x =1

Nxi

i=1

N

"

!

Cxx

= xi" x ( )

2

i=1

N

# = xi

2

" nx 2( )

i=1

N

#

!

Cxy = xi " x ( ) yi " y ( )i=1

N

# = xiyi " nx y ( )i=1

N

#

!

" y =

yi # axi +b( )[ ]2

i=1

N

$

N # 2!

" a =" y

Cxx

!

" b =" y

xi2

i=1

N

#

NCxx M. De Cecco - Lucidi del corso di Misure Meccaniche e Termiche I

F

K C

M

A

B

La sensibilità statica Sa è definita come lapendenza della curva di taratura: Sa = dgu / dgi

essendo gi la grandezza in ingresso e gula grandezza in uscita.Se la curva di taratura è una retta, lasensibilità assoluta è costante e si ha: Sa = gu / gi (= a)

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F

K C

M

A

B

3. regressione del modello – Espressione incertezza

Una volta effettuata la regressione lineare si ottengono iparametri con le loro incertezze, vediamo come si esprimel’incertezza sulla curva di taratura (bande di tolleranza):

misurando

uscita

b

b-2σb

b+2σb

All’interno di tale banda dovrebberoessere compresi circa il 95% dei datisperimentali

!

y+ = a+ 2" a( ) # x+b+ 2" b

!

y = a " x+b

!

y" = a " 2# a( ) $ x+b " 2# b


F

K C

M

A

B


Altre maniera per ottenere le bande di tolleranza:

Oppure mediante propagazione delle densità di probabilitàmediante metodo di Monte Carlo

!

y = a " x+b

# y = # a " x( )2

+ a "# x( )2

+# b

2


F

K C

M

A

B


Calcolata la banda di tolleranza è possibile ricavare per ognivalore del misurando e per ogni valore dell’uscita la relativaincertezza ovvero il relativo intervallo di confidenza (nel casotrattato ai ±2s ovvero al 95%)

misurando

uscita

Incertezzasulmisurando

Incertezzain uscita

!

y+ = a+ 2" a( ) # x+b+ 2" b

!

y = a " x+b

!

y" = a " 2# a( ) $ x+b " 2# b


F

K C

M

A

B

Legame lineare

Cosa accade se la relazione è non lineare:Linearizzazione mediante trasformazione

Ponendo:


!

y = c1" e

c2"x2

# ln y( ) = ln c1( ) + c

2" x

2

!

" y = ln y( )

b = ln c1( )

a = c2

" x = x2

!

" y = a " x + b

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F

K C

M

A

B


Il caso in cui esiste un numero molto elevato di ingressi didisturbo che hanno un debole effetto sulla misura e cherisultano difficili od impossibili da controllare coincide conl’ipotesi del teorema del limite centrale che ipotizza unadensità di probabilità di tali effetti combinati di naturagaussiana.

La verifica di gaussianità può quindi essere un validometodo per la validazione sia del modello adottato chedell’operazione di taratura


F

K C

M

A

B


misurando

Uscita

misurando

Residui = modello - dati

L’andamento dei residui èpiuttosto casuale e sevenisse calcolatol’istogramma avrebbe unacaratteristica vicina almodello gaussiano

NOTA: l’istogramma deiresidui rappresenta la PDFdell’errore e quindi la stimadi incertezza associata conl’uscita dello strumento

modello

dati sperimentali

Istogrammadei residui

frequenza


F

K C

M

A

B


misurando

Uscita

misurando

Residui = modello – dati(andamento quasi parabolico)

… ma se avessimo sceltoun modello lineare?

L’andamento dei residuipresenterebbe unandamento deterministicosovrapposto ad unocasuale e se venissecalcolato l’istogramma nonavrebbe una caratteristicavicina al modello gaussiano

modello

dati sperimentali

Istogrammadei residui

frequenza


F

K C

M

A

B

3. regressione del modello - Esempio

close all% dati ideali di modellox = 0:1:20;y = 0.2*x.^2 + 1;

% aggiungiamo l'affetto di tanti ingressi di disturbo sotto l'ipotesi di% controllo statistico ovvero di validità del limite centrale:

yreale = y + normrnd(0, 1, 1, length(x));

figure, plot(x, y, x, yreale)

% determiniamo i parametri di modello retta:pl = polyfit(x, yreale, 1)yretta = pl(1)*x + pl(2);figuresubplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yretta, 'r'), title('Dati sperimentali eregressione lineare')grid onsubplot(2,1,2), plot(x, yreale - yretta, 'b'), title('Residui'), grid on

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F

K C

M

A

B

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

0

20

40

60

80

100Dati sperimentali e regressione lineare

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

-5

0

5

10

15Residui



F

K C

M

A

B


% determiniamo i parametri di modello parabola:pl = polyfit(x, yreale, 2)yparabola = pl(1)*x.^2 + pl(2)*x + pl(3);figuresubplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yparabola, 'r'), title('Dati sperimentali eregressione quadratica')grid onsubplot(2,1,2), plot(x, yreale - yparabola, 'b'), title('Residui'), grid on% figure, hist(yreale - yparabola), title('Istogramma residui modelloquadratico')

% determiniamo i parametri di modello cubica:pl = polyfit(x, yreale, 3)yparabola = pl(1)*x.^3 + pl(2)*x.^2 + pl(3)*x + pl(4);figuresubplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yparabola, 'r'), title('Dati sperimentali eregressione cubica')grid onsubplot(2,1,2), plot(x, yreale - yparabola, 'b'), title('Residui'), grid on


F

K C

M

A

B


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20

40

60

80

100Dati sperimentali e regressione quadratica

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2

3Residui


F

K C

M

A

B


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20

40

60

80

100Dati sperimentali e regressione cubica

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2

3Residui

10


F

K C

M

A

B

3. regressione del modello – Esempio: overfitting

% determiniamo i parametri di modello quattordicesino ordine:pl = polyfit(x, yreale, 14)yparabola = pl(1)*x.^14 + pl(2)*x.^13 + pl(3)*x.^12 + pl(4)*x.^11 +.... pl(5)*x.^10 + pl(6)*x.^9 + pl(7)*x.^8 + pl(8)*x.^7 + pl(9)*x.^6 +... pl(10)*x.^5 + pl(11)*x.^4 + pl(12)*x.^3 + pl(13)*x.^2 + pl(14)*x +pl(15);figuresubplot(2,1,1), plot(x, yreale, 'ob', x, yparabola, 'r')title('Dati sperimentali e regressione quattordicesino ordine'), grid onsubplot(2,1,2), plot(x, yreale - yparabola, 'b'), title('Residui'), grid on


F

K C

M

A

B


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

20

40

60

80Dati sperimentali e regressione quattordicesino ordine

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Residui


F

K C

M

A

B

A parte l’andamento oscillante che può non esseregiustificato (dipende dal fenomeno fisico connesso con ilsistema), sembrerebbe che un modello di polinomio diordine superiore sia capace di meglio rappresentarel’andamento ingresso uscita visto che i residui si sonoridotti …

… andiamo a curiosare su cosa esprime il modello al difuori dei valori campionati, ovvero andiamo a campionareil dominio x con passo più fine



F

K C

M

A

B


figure, plot(x, yreale, 'ob'), hold onx = 0:0.02:20;yparabola = pl(1)*x.^14 + pl(2)*x.^13 + pl(3)*x.^12 + pl(4)*x.^11 +.... pl(5)*x.^10 + pl(6)*x.^9 + pl(7)*x.^8 + pl(8)*x.^7 + pl(9)*x.^6 +... pl(10)*x.^5 + pl(11)*x.^4 + pl(12)*x.^3 + pl(13)*x.^2 + pl(14)*x +pl(15);

plot(x, yparabola, 'r'), grid ontitle('Dati sperimentali e regressione quattordicesino ordine')

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F

K C

M

A

B


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Dati sperimentali e regressione quattordicesino ordine

In alcuni tratti ilmodello del 14°ordine estrapolal’andamento inmanieraassolutamente nongiustificata!!!


F

K C

M

A

B


Ripetendo le acquisizionied il fitting il risultato èanche poco ripetibile!

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80



F

K C

M

A

B


Per poter verificare la bontà sia del processo di acquisizioneche del modello usato è possibile effettuare una collezione deidati due volte. Una per la regressione ed una per la verifica

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80



F

K C

M

A

B

3. regressione del modello – caso non lineare

Si potrebbe procedere analiticamenteimponendo le solite due equazioni edandando a cercarne i minimi

Analizziamo il seguente caso di regressione non lineare:

!

mina,b( )

" a,b( ){ } =mina,b( )

yi #a

1+b $ xi

%

& '

(

) *

+

, -

.

/ 0

2

i=1

N

12 3 4

5 4

6 7 4

8 4 !

y =a

1+b " x

!

"# a,b( )"a

= 0

"# a,b( )"b

= 0

$

% &

' &

12


F

K C

M

A

B

Oppure risolvere numericamente il problema


close allclear all% dati ideali di modellox = 0:0.2:5;y = 10./(1 + 0.5*x);

% aggiungiamo l'affetto di tanti ingressi di disturbo sotto l'ipotesi di% controllo statistico ovvero di validità del limite centrale:yreale = y + normrnd(0, 1, 1, length(x));figure, plot(x, y, x, yreale)


F

K C

M

A

B


% determiniamo i parametri mediante minimizzazione del funzionale:a = 1:1:15;b = 0:0.1:1;Funzionale = [];min = 10e6;for i = 1:length(a) for j = 1:length(b) Funzionale(i,j) = sum((yreale - a(i) ./ (1+b(j)*x)).^2); if Funzionale(i,j) < min min = Funzionale(i,j); amin = a(i); bmin = b(j); end endend


F

K C

M

A

B


yfitting = amin./(1 + bmin*x);figure, figure, plot(x, y, 'c' , x, yreale, 'ob', x, yfitting, 'r')legend('modello di partenza vero', 'dati sperimentali', ... 'modello di regressione'), grid on

figure, surf(b, a, Funzionale)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

5

10

15

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

!

" a,b( ) = yi #a

1+b $ xi

%

& '

(

) *

+

, -

.

/ 0

2

i=1

N

1


F

K C

M

A

B


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51

2

3

4

5

6

7

8

9

10

modello di partenza verodati sperimentalimodello di regressione

amin = 9

bmin = 0.4

min = 20.56

Risultato della soluzione numerica:

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