M A R I O R O S A T I

dell'UniversitY, di Padeva

SUL G R U P P O M O D U L A R E

(Con/e~'enza tenuta il 29 maggio 1970)*

SUNT0. - - Dopo ave r r i c h i a m a t o a lcune propr ie t& del g r u p p o modulaxe, I 'A. espone i r a p p o r t i t r a so t t og rupp i congruenz ia l i e corpi di funz ion i modu la r i . A c c e n n a poi al p rob l ema dei so t tog rupp i congruenz ia l i e a d a lcuni suoi r ecen t i svi luppi .

INTRODUZIONE.

Lo studio del gruppo modulare, dal suo appar i re f ino ai nostr i giorni, ha sempre richiamato l 'attenzione dei matematici pe r la sua posizione centrale in un campo di ricerca in cui confluiscono felice- mente la teoria delle funzioni, la teoria dei numeri, la geometr ia al- gebrica oltre che, naturalmente, la teoria dei gruppi.

Non intendo qui fa re la s tor ia del gruppo modulare, o w e r o esporre, sia pure a grandi linee, le sue propriet~ e applicazioni, ch~ il discorso si fa rebbe lungo e complesso. Desidero soltanto par la re di alcune questioni relative ai sot togruppi congruenziali del gruppo modulare.

A questo scopo richiamerb, nella pr ima par te della conferenza, alcuni aspett i della teoria di Siegel-Conforto sul gruppo modulare, sof fermandomi in part icolare su quelli che hanno per noi maggiore interesse, e precisamente: la posizione del gruppo modulare nel pas- saggio dalla teoria delle funzioni abeliane a quella delle funzioni abe- liane modulari ; la costruzione del dominio fondamentale del gruppo modulare e la sua compatt if icazione; la costruzione delle funzioni modulari.

Nella seconda par te della conferenza, entrando nel vivo della questione, parlerb di quelle proprietA di s t ru t tu ra del gruppo mo~

* P e r v e n u t a in t i p o g r a f i a il 9 lugl io 1971.

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dulare che intervengono nella teoria delle funzioni abeliane modulari, con particolare r iguardo alla posizione e all 'ufficio che hanno, in questo ambito, i sottogruppi congruenziali.

Una parola infine sul << problema dei so.ttogruppi congruenziali >>, al quale accenneremo nell 'ut t ima par te della conferenza. L a formu- lazione del problema ~ molto semplice. E' nero c h e l a classe dei sot- togruppi congruenziali ~ contenuta in quella dei sot togruppi di in- dice f ini to; il problema consiste nel riconoscere se le due classi coin- cidono, cio~ se ogni sottogruppo di indice f ini to ~ anche congruen- ziale.

Tale problema non solo ha dato origine ad una serie approfon- dita di studi recenti sul gruppo modulare e alcune sue generaliz- zazioni, ma ha condotto a formulare un << problema congruenziale >> e a s tudiarne le possibili soluzioni in classi pifi ample di gruppi.

Parte Prima

IL GRUPP0 MODULARE E LE FUNZIONI ABELIANE MODULARI.

Nella nota rappresentazione (1) dei corpi di funzioni abeliane definite in C ~ nello spazio ~,~ di Siegel delle n-matrici s immetriche, il gruppo modulare gioca un ruolo di pr imaria impol~anza.

Per delineare i termini della questione conviene innanzi tu t to ri- cordare che un corpo K di funzioni abeliane dipende d a n parame- t r i interi, i divisori, e da n(n + 1)/2 parametr i complessi, i moduli, che compaiono in una matr ice di Riemann relativa a K, scr i t ta in forma normale

(1) o, = II lJ-~ t? II.

Netla (1) d ~ la matrice diagonale

{~1 . t

(~) d =

fo rma ta con i divisori 61 . . . . , 6~ soddisfacenti le relazieni

c~i+l ~ 0 (6i) (i = 1, ..., n - 1)

(1) Si vedano in propesito le trattazioni esistenti sall'argomento, come per es. le [7], [13] citate nella bibliegrafia.

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m e n t r e la .Q, eomplessa s immet r i ca , f o r m a t a con i modul i di K, ha

la p a r t e i m m a g i n a r i a de f in i t a pos i t iva

(3) .Q = ~_~ , Im (~Q) > 0 .

Lo spazio ~ di Siegel ~ a,ppunto de f in i to da

Le (3) e sp r imono il f a t t o che la co possiede la m a t r i c e p r in -

cipale

I - -~ .2 M = 0

in quan to soddis fa le uguagl ianze e d i suguag l i anze r i e m a n n i a n e :

(oMo~_ i : 0

i oJM~- - i ~ O.

I1 co rpo K r i su l t a co s t i tu i to dalle funz ion i m e r o m o r f e in C" che sono i n v a r i a n t i r i spe t to al g ruppo abe l iano G di t r a s l az ion i g e n e r a t o dai 2n ve t to r i co lonna delia m a t r i c e di R i e m a n n co. I1 dominio fon- d a m e n t a l e C'/G, t o ro complesso n-dimensionale , a m m e t t e co.me mo~ dello a lgebr ico una va r i e tg abe l iana re la t iva ai d iv isor i d e ai mo- dull ~ .

Ora ad un corpo K v iene associa ta non una co, m a una classe di ~o equiva len t i nel la equiva lenza co ~ co' de f in i t a da

o)' = ~o~L ( ~ G L ~ ( C ) , L E S L 2 ~ ( Z ) ) .

Ta le equ iva lenza induce sulla f o r m a canonica (1) l ' equiva lenza t9 -~ ~2' con

dove

o" = d - ~ (A -~ A + o_ c)-~ (~-~ B + t2 D),

A B C D = T ~ un eleme:nto del g ru p p o s imple t t i co modulaxe

Sp~(~,z) = { T ~ S L ~ ( Z ) I TMT_~ = M} .

P e r T ~ Sp,~(A, Z) le (4) f o r m a n o un g ru p p o d i scen t inuo F~ di t r a s f o r m a z i o n i ana l i t i che di ~ , , in ~ , i somor fo a S p J { +_ 1}. E' ch ia ro a l lora che, agli e f f e t t i della r i ce rca dei corpi d is t in t i di f u n - zioni abe l iane bas ra l imi ta rs i a s tud ia re , anzich~ 1' i n t e ro spaz io : ~ , , il quoz ien te 27.eJF~ (dominio f o n d a m e n t a l e r i sp e t t o a F,,).

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Quanto abbiamo finora sommariamente richiamato estende ad un valore qualunque din la situazione relativa ad n = I, in cui si ha ache fare con le ordinarie funzioni ellittiche. In questo case in- fatti la matrice di Riemann ha la forma ][I o~[[, lo spazio ~i ~ il semipiano superiore ~ ~{o9 E CIIm(o)> 0}, e F~ ~ il gruppo delle sostituzioni modulari

o) d + b o)" = ~ a ,b ,c , d E Z , a d - - b c -~ 1

o c + a

per le quali ~ 1 & stabile. I1 quoziente ~ / / ~ 1 ~ il noto tr iangolo modulare

2~ ---- { w E ~ ] I ~ , J _ > l , [Re(w) l_< 1/2}

il quale, compatt if icato con l 'aggiunta del punto ~, fornisce un mo- dello dei corpi distinti di funzioni ellittiche, omeomorfo ad una sfera e realizzabile in una curva di genere zero.

A questo punto si inserisce la considerazione delle funzioni el- l i t t iche modulari f(o~), come funzioni meromorfe in :~1 che sono invar iant i rispetto a / '1, soddisfacenti opportune condizioni di re- golarit~. I r isultat i classici in questo campo assicurano l 'esistenza di un corpo di funzioni modulari, isomerfo ad un corpo di funzioni algebriche con grado di trascendenza 1 su C.

E per n > 1? Le funzioni abeliane modulari sono ancora le funzioni mero-

morfe in ~ invarianti rispetto a F~ e, per fissati valori dei divi- sori A, costituiscono un corpo isomorfo ad un corpo di funzioni al- gebriche con grado di trascendenza n ( n + 1)/2 su C, la cui costru- zione, sostanzialmente dovuta a Siegel, implica soprat tut to delle dif- ficolt~ di carat tere funzionale e aritmetico.

Delicato ~ anche il problema della compattificazione del dominio fondamentale F, ~- ~,,/F,,, risolto pi~l tardi da Satake e studiato poi da altri. E' merito in particolare di Baily la realizzazione di F, come variet5 algebrica proiettiva.

Senza soffermarci su tali questioni, vogliamo da ultimo ricor- dare che le funzioni abeliane e le funzioni modulari rientrano tutte nella pifi vasta classe delle funzioni automorfe, definite in un demi- nio e invarianti rispetto ad un gruppo discontinuo operante nel dominio.

E' chiaro eomunque che, qualunque sia l'aspetto preso in con- siderazione e qualunque siano i metodi impiegati hello studio delle preeedenti questioni, ire sono le classi di enti in gioco: gruppi di-

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scontinui, corpi di funzioni, varietk algebriche; ed ~ altresi chiaro che le propriet~ di una delle t re classi sono s t re t tamente correlate a quelle delle altre due.

Par te Seconda

SOTTOGRUPPI DEL GRUPPO MODULARE. PROBLEMA DEI SOTTOGRUPPI CONGRUENZIALI.

In questa seconda par te ci occuperemo di alcune propriet~ grup- pati di Sp,~(zl, Z), f issando in part icolare l 'at tenzione sui sottogruppi congruenziali e quelli di indice f ini to in Sp stesso.

Per quanta r iguarda i primi ~ nora la definizione di sottogruppo congruenziale principale: fissato un intero q > 1 esso si definisce come

(5) Sp~ (A, Z, q) -~ {T E Sp~ (A, Z) I T ~__ I(q) }

e si assume poi come sottogruppo congruenziale ogni sottogruppo di Sp,~(A, Z) conteneate un Sp,(zl, Z, q). E' chiaro che Sp,,(A, Z, q) normale e di indice finito in Sp,~(A, Z), in quanto nucleo dell'omo- morfismo naturale :

Sp~(A,Z) --+ Sp~(A, Z/qZ)

ed ~ a l t re t tanto chiaro che ogvA sottogruppo congruenziale, anche se non normale, ~ pur sempre di indice finito.

Ora Sp,~(A, Z, q) ~ un gruppo operante in modo discontinuo in ~ , e dk luogo ad un corpo K(q) di funzioni automo.rfe che ~ stato costruito da Shimura; esso ~ un'estensione di Galois del corpo K delle funzioni automorfe rispetto a Sp,,(A, Z), il relativo gruppo, di Galo.is essendo isomorfo a Sp,,(A, Z)/Sp,,(A, Z, q).

Meno s tudiata ~ la s t ru t tu ra dei gruppi congruenziali (non principali) e meno note sono delle definizioni costrutt ive del tipo della (5). In questo ordine di idee si inserisce il lavoro [10] in cui viene sviluppato un metodo per l 'effet t iva costruzione di sottogruppi congruenziali a mezzo della formula

(6) ~p~(~ ,z , q) = {TE ,Vp~(~,Z) I T - - I ( q ) }

dove Q & una matrice anzich~ un intero. Si riottengono, t r a l 'altro, in modo unitario diverse cIassi part icolari di gruppi congruenziali s tudiati in precedenza da altri autori.

Ma veniamo al problema dei sottogruppi congruenziali. Posto c h e l a classe dei sottogruppi congruenziali ~ contenuta in quella dei

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sottogruppi di indice finito, si pone in modo de l tu t to na tura le la domanda s e l e due classi coincidono. La domanda ha r isposta nega- t iva nel caso n ~ 1, in cui era nora da tempo l 'esistenza di sotto- gruppi di indice finito non congruenziali; e forse quesm circostanza ha contribuito a r i t a rdare lo studio della questione nel caso n > 1. In fa t t i solo nel 19'64 Bass, Lazard e Serre, e indipendentemente Men- nicke, hanno dimostrato che per n > 1 il problema ha soluzione af- fermativa.

I1 problema si pone allo stesso modo per altri gruppi lineari, come SL , (Z ) , dove si pub in t rodurre la nozione di sot togruppo con- gruenziale ancora con una formula del tipo (5). In effet t i nel lavoro [3] la dimostrazione r iguarda i gruppi SLy(Z), n > 2 e Sp , ( I , Z), n > 1 (si osservi che con le nostre notazioni Spl( I , Z )~ -SL2(Z) ) ' .

M a i l problema dei sottogruppi congruenziali ha subito, avuto notevoli estensioni e variazioni, ed ha inoltre suggeri to delle conget- ture su gruppi di tipo pifi generale, le quali at tendono ancora una risposta.

Nella bella monograf ia [4], Bass, Milnor e Serre s f ru t t ando a rondo l 'algoritmo dei simboli di Mennicke (da questi introdo.tt/ nel 1965) a f f ron tano e risolvono il problema per i gruppi SL,~, n > 2 e S p , , n > 1, costruiti sull'anello degli interi 0 di un corpo di nu- meri algebrici, laddove il posto dei gruppi (5} ~ preso dai nuclei di

8L (0) - + ~ (0/~)

qualunque sia 1' ideale q in 0 (e analogamente per Sp). In tale ambito la risposta al problema congruenziale ~ in generale negativa.

Diremo infine che ~ merito di Serre l 'aver messo in luce i le- gami di questa teoria con alcuni risultati di C. Moore, permet tendo cosi la formulazione di alcune <~ congetture dei sottogruppi con- gruenziali >>, r iguardant i i gruppi di Chevalley se~tplici semplice- mente connessi di rango > 1.

SUMMARY. - - A f t e r a b r ie f survey of some proper t ies of the modu la r g roup , t h e A u t h o r s t a t e s re la t ions between congruence subgroups and f ields of mo d u l a r func t ions . A n o t h e r subjec t t r ea t ed is the congruence subgroup problem and some of i ts recen t developments.

SUL GRUPP0 MODULAt~ 149

B I B L I O G R A F I A

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