Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

A cura di Eugenio Amitrano Contenuto dell’articolo:

1. Introduzione . . . . . . . . 2 2. Successione di Fibonacci . . . . . . . 2 3. Formula di Binet per la successione di Fibonacci . . . 2 4. Successione generalizzata di Fibonacci . . . . . 3 5. Formula per la Successione generalizzata di Fibonacci . . 3 6. Dimostrazione della Formula . . . . . . 4 7. Conclusioni . . . . . . . . . 6

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

1. Introduzione

La formula proposta vuole essere una generalizzazione della formula di Binet che a differenza di quest’ultima determina gli elementi, non solo della successione di Fibonacci, ma di tutte le sue successioni derivate variando i due termini iniziali oltre che definendo il peso d’incidenza dei due addendi che precedono ogni termine della successione (da qui la definizione di Successione generalizzata di Fibonacci). In precedenza alla formula anzidetta, sono illustrati la Successione di Fibonacci e la Formula di Binet.

2. Successione di Fibonacci La successione di Fibonacci, che indichiamo con ( )

0NnnF ∈∀ , è definita nel seguente modo:

==

≥∀+= −−

10

2

1

0

12

FF

nFFF nnn

È facile verificare che lo sviluppo di tale successione corrisponde alla seguente:

( ) { ...,8,5,3,2,1,1,0=nF } Da sempre, la Successione di Fibonacci ha attirato l’attenzione delle persone, in quanto, oltre ad essere dotata di particolari proprietà matematiche, si trovano molto spesso corrispondenze in natura, tanto da essere soprannominata “Successione Divina”.

3. Formula di Binet per la Successione di Fibonacci Per determinare un qualsiasi termine della Successione di Fibonacci, la Formula di Binet si serve del famosissimo Rapporto Aureo. Infatti, calcolando il limite del rapporto tra un termine della Successione con il suo

precedente 1−n

n

n FF

lim , otteniamo due soluzioni:

1. Il Numero Aureo ...6180339,12

51=

+=Φ

2. Il suo reciproco ...6180339,02

51=

−=φ

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Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Ogni elemento della successione di Fibonacci è determinata dalla seguente formula:

5

nn

nF φ−Φ= 0Nn∈∀

È straordinario verificare come una formula costituita da elementi irrazionali possa fornire numeri interi come risultato.

4. Successione generalizzata di Fibonacci La successione di Fibonacci, che indichiamo con ( )

0NnnS ∈∀ , è definita nel seguente modo:

∈∀∈∀

∈∀≥∀⋅+⋅= −−

RSRS

RnSSS nnn

1

0

12 ,2 βαβα

La generalizzazione consiste globalmente in due sotto-generalizzazioni:

a. I due termini iniziali e possono assumere qualsiasi valore reale. 0S 1Sb. I due termini consecutivi, utilizzati per la determinazione del successivo,

sono moltiplicate per i rispettivi pesi α e β . Nota: Applicando le seguenti posizioni 00 =S , 11 =S , 1=α , 1=β , la Successione generalizzata corrisponde alla Successione di Fibonacci.

5. Formula per la Successione generalizzata di Fibonacci Come per la formula di Binet, calcoliamo il limite del rapporto tra un termine della

successione e il suo precedente1

lim−

=n

n

n SS

χ da cui è facile verificare la validità della

relazione 0Nt ∈∀1

lim−−

−=tn

tn

n SS

χ .

βχαβα

βαχ +=+⋅=

⋅−⋅==

−

−

−

−−

− 1

2

1

12

1

limlimlimn

n

nn

nn

nn

n

n SS

SSS

SS

quindi risulta β

χαχ += portata a forma l’equazione di 2° grado . 02 =−− αβχχ

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Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Le soluzioni dell’equazione sono:

=+±

=2

42 αββχ

µλ

+

- Ogni elemento della Successione generalizzata di Fibonacci è determinata dalla seguente formula:

( ) ( )( )µλ

µλµλα−

−⋅+−⋅⋅=

−− nnnn

nSSS 1

110 0Nn∈∀

6. Dimostrazione della Formula Dimostriamo la formula utilizzando il Principio di Induzione Matematica.

• Verifica delle basi

Per n ; 0=( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

00001

110

11

SSS

SS=

−

−⋅⋅

=−

−⋅⋅

=−

−⋅+−⋅⋅ −−

µλαµλα

µλµλ

α

µλµλµλα ; VERA.

Per n ; 1=( ) ( )

( )( )

( ) 11

111

000 SSSS

=−−⋅

=−

−⋅+−⋅⋅µλµλ

µλµλµλα ; VERA.

• Ipotesi induttiva

( ) ( )

( )µλµλµλα

−−⋅+−⋅⋅

=−− nnnn

nSS

S 111

0 ; VERA

( ) ( )( )µλ

µλµλα−

−⋅+−⋅⋅=

−−−−

−

111

220

1

nnnn

nSSS ; VERA

• Tesi

( ) ( )

( )µλµλµλα

−−⋅+−⋅⋅

=++

+

1110

1

nnnn

nSSS

• Dimostrazione

Per definizione nnn SSS ⋅+⋅= −+ βα 11 , e sostituendo l’ipotesi induttiva otteniamo:

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Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

( ) ( )

( )( ) ( )

( )µλµλµλα

βµλ

µλµλαα

−−⋅+−⋅⋅

⋅+−

−⋅+−⋅⋅⋅=

−−−−−−

+

nnnnnnnn

nSSSSS 1

110

111

220

1

Si procede, svolgendo alcuni passaggi algebrici:

( ) ( ) ( ) ( )( )µλ

µλβµλβαµλαµλα−

−⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅=

−−−−−−

+

nnnnnnnn

nSSSS

S 111

011

122

02

1

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )µλµλβµλαµλβµλαα

−−⋅+−⋅⋅+−⋅+−⋅⋅⋅

=−−−−−−

+

nnnnnnnn

nSSS

111

11220

1

Semplifichiamo l’espressione ( ) ( )1122 −−−− −⋅+−⋅ nnnn µλβµλα Sapendo che αµλ =⋅ e che βµλ =+ per definizione, risulta

( ) ( ) =−⋅+−⋅ −−−− 1122 nnnn µλβµλα

( ) ( ) ( ) =−⋅++−⋅⋅= −−−− 1122 nnnn µλµλµλµλ

=−⋅−⋅++⋅−⋅= −−−− nnnnnn µµλµλλµλµλ 1111

nn µλ −= Quindi ( ) ( ) nnnnnn µλµλβµλα −=−⋅+−⋅ −−−− 1122 . Per lo stesso procedimento, possiamo semplificare anche la seguente espressione:

( ) ( ) 1111 ++−− −=−⋅+−⋅ nnnnnn µλµλβµλα . Ora possiamo sostituire le due espressioni, ottenendo proprio la Tesi.

( ) ( )( )µλ

µλµλα−

−⋅+−⋅⋅=

++

+

1110

1

nnnn

nSSS

Come Volevasi Dimostrare.

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7. Conclusioni

Questa formula è applicabile in numerosi contesti. Per citarne alcuni:

- In Matematica, per il calcolo delle Successioni Fibonacci-Simili (Es. Lucas); - In Biologia, per la verifica delle corrispondenze naturali; - In Economia, per le previsioni della borsa azionistica di Milano; - Nella crittografia a chiave pubblica; - In Informatica come Algoritmo di calcolo.