Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Sequenza dei passi In pratica

ClassificazioneClassifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta

Funzione irrazionale: intera / fratta

Funzione trascendente: logaritmica / esponenziale / goniometrica (elementare /inversa)

Funzione composta da una combinazione delle precedenti: specificare

Campo di Esistenza

Individua gli intervalli in cui la funzione assume valori reali; ovvero determina l'insieme dei punti xi in cui la funzione non definita ed escludili. La classificazione pu aiutarti:

se una funzione razionale intera il suo C.E. costituito da tutto l'asse reale se la funzione una razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero. I punti che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo C.E., per tali punti xi la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva se la funzione irrazionale, guarda l'indice del radicale: se pari imponi che il radicando sia non negativo poich la funzione a valori reali, se dispari, non ci sono imposizioni se la funzione logaritmica imponi che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo se la funzione esponenziale non ci sono imposizioni se la funzione goniometrica imponi che gli argomenti della funzione tangente ( o cotangente) siano diversi da multipli dispari di angoli retti ( o multipli interi di angoli 0 e (); per le funzioni seno e coseno non ci sono imposizioni

se la funzione goniometrica inversa: per le funzioni arcsen e arccos imponi che gli argomenti siano compresi fra -1 e +1, per le funzioni arctg e arccotg non ci sono imposizioni

se la funzione composta da funzioni di tipo diverso tutte le imposizioni dovranno essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte algebricamente come un sistema di equazioni.Scrivi il C.E. come UNIONE dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori reali.Segna graficamente gli intervalli(ombreggiandoli) o i punti(con linee continue) in cui la funzione non esiste.

Particolari SimmetrieStabilisci se la funzione presenta particolari simmetrie, calcolando f(-x): se f(-x)=f(x), la funzione pari, cio simmetrica rispetto allasse y se f(-x)=-f(x), la funzione dispari, cio simmetrica rispetto allorigine degli assiNel caso in cui la funzione sia simmetrica, si pu restringere lo studio della funzione ai soli valori positivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano x0; per ottenere il grafico completo baster simmetrizzare la curva ottenuta rispetto all'asse y o all'origine.

Periodicit

Trova il minimo valore positivo di T per cui risulti f(x+T)=f(x)Le pi importanti hanno i seguenti periodi:

sinx, cosx, secx, cosecx: 2

tanx, cotanx:

In generale non si possono stabilire regole per determinare il periodo delle funzioni. Ci si pu solo attenere alle indicazioni che seguono.

Se una funzione f(x) periodica di periodo T, allora la funzione f(kx), con k reale diverso da zero, periodica di periodo T/|k|.

Se si hanno due funzioni periodiche con diverso periodo T1 e T2 e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.

Se si hanno due funzioni periodiche con lo stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comune T. Il grafico di una funzione periodica si pu tracciare per ripetizione del grafico ottenuto restringendo il dominio ad un qualunque intervallo di ampiezza T

Intersezione con lasse yRicerca l'eventuale intersezione con l'asse yPoni, se possibile, a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse delle ordinate:

ovvero calcola f(0). Rappresenta leventuale punto A(0;f(0))

Intersezione con lasse xRicerca le eventuali intersezioni con l'asse xPoni a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse delle ascisse:

ovvero calcola le soluzioni dellequazione f(x)=0.Se non possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f(x), radici dellequazione f(x)=0, si pu utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota).Rappresenta gli eventuali punti.

Giacitura

Studia il segno della funzione. Risolvi la disequazione f(x) 0 nel C.E. della funzione Scrivi gli intervalli in cui la funzione positiva (I.P.) e quelli in cui negativa (I.N.)

Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sar situata sopra l'asse delle ascisse. Negli intervalli in cui la funzione risulta negativa, la curva sar situata sotto l'asse delle ascisse.Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.

ContinuitStudia la continuit della funzione Generalmente internamente agli intervalli in cui definita una funzione somma/differenza/prodotto/quoziente/composizione di funzioni continue continua

Considera i valori xi estremi (inclusi ed esclusi) del C.E. Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti xiClassifica, in base ai risultati, le eventuali discontinuit della funzione e riporta con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.

Asintoti Verticali

Ricerca gli eventuali asintoti verticali Considera i valori xi estremi (stavolta solo gli esclusi) del C.E.

Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti xi Se tali limiti sono infiniti, le rette x=xi sono asintoti verticali (dx, sx, sup, inf)Rappresenta le rette e riporta i risultati sul grafico

Asintoti Orizzontali

Ricerca gli eventuali asintoti orizzontali Calcola i limiti per x tendente a della funzione

Se tali limiti sono finiti e uguali a l, le rette y=l sono asintoti orizzontali (dx, sx, sup, inf)

Se tali limiti sono infiniti ricerca gli asintoti obliquiRappresenta le rette e riporta i risultati sul grafico

Asintoti Obliqui

Ricerca gli eventuali asintoti obliquiCalcola il limite per x tendente a di

Se tale valore finito fornisce leventuale coefficiente angolare m dellasintoto

Calcola il limite per x tendente a di [f(x) mx] Se tale valore finito fornisce il valore del termine noto q

In questo caso y = mx + q lequazione dellasintoto dx

Ripetere tutto per lasintoto sx, con i limiti per x tendente a

Rappresenta le rette e riporta i risultati sul grafico

Altre intersezioniSe necessario, determina le eventuali intersezioni con

Asintoti orizzontali e/o obliqui

Riporta i risultati sul grafico

Derivata PrimaCalcola y = f(x)=

DerivabilitDetermina il C.E. della derivata prima

Se questo coincide con quello della f(x), allora essa derivabile nel suo C.E.

Se x0 un punto appartenente al C.E. della f(x), ma non a quello della f (x), la funzione non derivabile in x0:

Calcola i limiti sinistro e destro della f (x) (oppure quelli dei corrispondenti rapporti incrementali):

Se almeno uno finito oppure sono entrambi finiti e distinti, allora avrai un punto angoloso

Se il sinistro tende a + e il destro a - ( o viceversa), allora avrai una cuspide verso lalto (o verso il basso)

Se entrambi tendono a + (oppure a - ), allora avrai un flesso a tangente verticale

Calcola le ordinate corrispondenti sostituendo le x0 in y = f(x)

Determina le equazioni delle tangenti nei punti trovatiRappresenta i punti trovati e le rispettive tangenti

Punti StazionariDetermina gli eventuali punti stazionari

Imponi f (x) = 0

Risolvi lequazione nel C.E. della funzione

Se non possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f (x), radici dellequazione f (x)=0, si pu utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota).

Monotnia

Determina gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce

Risolvi la disequazione f (x) 0 nel C.E. della funzione

Rappresenta (nel C.E. della funzione) gli intervalli in cui la derivata prima positiva e quelli in cui negativa

Negli intervalli in cui la derivata risulta positiva, la funzione sar crescente

Negli intervalli in cui la derivata risulta negativa, la funzione sar decrescente

Max e Min Relativi

Determina gli eventuali punti di max e/o min relativo

Essi vanno cercati fra i punti stazionari, quelli angolosi e le cuspidi

Ricorda che per essere un max (o min) relativo la funzione deve essere crescente a sx e decrescente a dx (o viceversa)

Calcola le ordinate corrispondenti sostituendo in y = f(x)Rappresenta i punti trovati

Metodo delle derivate successive (1)Se f(x) una funzione derivabile almeno n volte in x0 e risulta

f (x0)= f (x0)= f (x0)= f n-1(x0)=0 e f n(x0)0, allora:

Se n pari e f n(x0)>0, x0 un punto di minimo relativo

Se n pari e f n(x0)0, x0 un punto di flesso orizzontale ascendente

Se n dispari e f n(x0)0, x0 un punto di flesso obliquo ascendente

Se n dispari e f n(x0)0, in x0 f(x) rivolge la concavit verso lalto

Se n pari e f n(x0)