Studio di una funzione. - mozzanica.net Dispense STB/2014-2015... · Studio di una funzione....

Studio di una funzione.Studio di una funzione.Capisaldi:1. Insieme di esistenza

2. Eventuali simmetrie (pari, dispari, periodicità). Grafico riconducibile

3. Intersezioni con gli assi

4. Segno della funzione [f(x)≥0]

5. Limiti alla frontiera dell’insieme di definizione (asintoti vert., orizz., obliqui)

6. Continuità della funzione (classificazione eventuali discontinuità)

7. Derivata prima (calcolo)

1


8. Segno: f’(x)≥0 (monotonia). Ricerca dei punti di massimo e minimo.

9. Eventuali Punti di non derivabilità: Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.

10.Derivata seconda (calcolo)

11.Segno: f’’(x) ≥0 (concavità e convessità). Ricerca dei punti di flesso (con eventuale tangente inflessionale)

Considerazioni Insieme di esistenzaConsiderazioni Insieme di esistenza

)(

)(

xg

xfy = 0 ≠⇒ g(x)

pari-n )(n xfy = 0 ≥⇒ f(x)

))(log( xfy = 0 >⇒ f(x)

2

))(( xfarcseny =

))(arccos( xfy =11- ≤≤⇒ f(x)

[ ] )()( xgxfy = 0 >⇒ f(x)

Seno Iperbolico. 1Seno Iperbolico. 1

)(:2

xShee

yxx

=−=−

1. Insieme di esistenza : R.

2. Eventuali simmetrie : f(x)=-f(-x). Simmetria dispari (origine centro di simmetria)

)(2

)( xShee

xShxx

−=−=−+−

3


==

0

)(

y

xShy 00)( =⇒=⇒= − xeexSh xx

==

0

)(

x

xShy 0)0( == Shy

Asse x

Asse y

Seno Iperbolico. 2Seno Iperbolico. 2

4. Segno della funzione [f(x)≥0] 0)( ≥xSh 0>⇒> − xee xx

0− +f 0


±∞=±∞→

)(lim xShx

Non ci sono asintoti vert. , orizz, od obliqui

4

±∞→x


La funzione è continua su tutto R

7. Derivata prima (calcolo))(:

2)(' xCh

eexSh

xx

=+=−


Rx , 02

)()(' ∈∀>+==−xx ee

xChxShFunzione monotona crescente, senza massimi o minimi

Seno Iperbolico. 3Seno Iperbolico. 39. Eventuali Punti di non derivabilità: Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.

La funzione Sh(x) è derivabile su tutto R

10. Derivata seconda (calcolo))(

2)(')('' xSh

eexChxSh

xx

=−==−

11. Segno: f’’(x) ≥0 (concavità e convessità). Ricerca dei punti di flesso

5

Concava per x<0 , convessa per x>0, punto di flesso ascendente in x=0. Tangente inflessionale: y=x

SettoreSenoSettoreSeno Iperbolico. Iperbolico. La funzione Sh(x) è invertibile in quando monotona crescente su tutto l’insieme di

esistenza.La funzione inversa si chiama SettSh. Vediamo di determinarla cercando di risolvere la

seguente equazione in x:

2

xx eey

−−= xx eey −−=2

−−=

=⇒

−=

=− 1202 21 ytt

et

tty

et xx

12 +±= yyt

6

12 ++= yyex

n.a. 012 <+−= yyex

( ) )(1ln 2 ySettShyyx =++=⇒

( )1ln:)( 2 ++= xxxSettSh

Coseno Iperbolico 1Coseno Iperbolico 1

)(:2

xChee

yxx

=+=−

1)()( 22 =− xShxCh


2. Eventuali simmetrie : f(x)=+f(-x). Simmetria pari (asse y asse di simmetria)

)(2

)( xChee

xChxx

=+=−+−

7


==

0

)(

y

xChy ∅=⇒−=⇒= − SeexCh xx0)(

==

0

)(

x

xChy 1)0( == Chy

Asse x

Asse y

Coseno Iperbolico 2Coseno Iperbolico 2

4. Segno della funzione [f(x)≥0] 0)( ≥xCh Rxee xx ∈∀⇒>+ − 0


+∞=±∞→

)(lim xChx

Non ci sono asintoti vert. , orizz, od obliqui



8



)(:2

)(' xShee

xChxx

=−=−

8. Segno: f’(x)≥0 (monotonia). Ricerca dei punti di massimo e minimo. (Ev. cuspidi e punti angolosi).

0 , 02

)()(' >>−==−

xee

xShxChxx Funzione monotona crescente per x>0,

monotona decrescente per x<0,punto stazionario (minimo) per x=0

Coseno Iperbolico. 3Coseno Iperbolico. 39. Eventuali Punti di non derivabilità: Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.

La funzione Ch(x) è derivabile su tutto R

10. Derivata seconda (calcolo))(

2)(')('' xCh

eexShxCh

xx

=+==−


9

Convessa per ogni x reale.

La funzione Ch(x) non è invertibile su tutto R.

SettoreCosenoSettoreCoseno Iperbolico. Iperbolico. La funzione Ch(x) non è invertibile. Per l’inversione si considera solo il ramo per x≥0 La funzione inversa si chiama SettCh. Vediamo di determinarla cercando di risolvere la


2

xx eey

−+= xx eey −+=2

+−=

=⇒

+=

=− 1202 21 ytt

et

tty

et xx

12 −±= yyt

10

12 −+= yyex

n.a. 112 <−−= yyex

( ) )(1ln 2 ySettChyyx =−+=⇒

( )1ln:)( 2 −+= xxxSettCh

Funzioni Iperboliche (Funzioni Iperboliche (addadd--onon) )

n.a. 112 <−−= yyexConfronto Sh e Ch

⇒−<> 11 :1 2yy-y

( ) 1111 11 22 <−⇒+<−⇒−< yyyy-

11

Tangente Iperbolica (1) Tangente Iperbolica (1)

)(:)(

)(xTh

ee

ee

xCh

xShy

xx

xx

=+−== −

−


2. Eventuali simmetrie : f(x)=-f(-x). Simmetria dispari (origine centro di simmetria)

3. Intersezioni con gli assi : (0,0)

4. Segno della funzione [f(x)≥0] 0)( ≥xTh 0>⇒> − xee xx

1212

0− +f 0

1)(lim ±=±∞→

xThx

Non ci sono asintoti verticali

Asintoti Orizzontali y=1 e y=-1



13



7. Derivata prima (calcolo))(

1

)(

)()()('

22

22

xChxCh

xShxChxTh =−=


Rx , 0)(' ∈∀>xThFunzione monotona crescente, senza massimi o minimi 13

Rx , 0)(' ∈∀>xTh senza massimi o minimi


La funzione Th(x) è derivabile su tutto R

10. Derivata seconda (calcolo)

)(

)(2)(''

3 xCh

xShxTh −=


Convessa per x<0 , concava per x>0, punto di flesso discendente in x=0. Tangente inflessionale: y=x


1414

Settore Tangente Iperbolica (1) Settore Tangente Iperbolica (1) La funzione Th(x) è invertibile essendo monotona crescente su tutto RLa funzione inversa si chiama SettTh. Vediamo di determinarla cercando di risolvere la


xx

xx

ee

eey −

−

+−=

−−=−=

⇒

+−=

=⇒

+−=

=

−

−

yyt

et

t

ty

et

tt

tty

et xxx

1)1(1

1 22

2

1

1

−+−

−++

=n.a.

1

1

1

1

y

y

y

y

t

)(1

1ln ySettTh

y

yx =

−+=⇒

1515

)(1

ln ySettThy

x =

−

=⇒

−+=

x

xxSettTh

1

1ln

2

1:)(

Derivate Funzioni Iperboliche. Derivate Funzioni Iperboliche.

)(:2

xShee

yxx

=−=− ( ) )()( xChxShD =

)(:2

xChee

yxx −+= ( ) )()( xShxChD =

( )21ln:)( xxxSettSh ++=

( )21

1:)(

xxSettShD

+=

( )1ln:)( 2 −+= xxxSettCh

( )1

1:)(

2 −=

xxSettChD

Provare sia derivando direttamente l’espressione che utilizzando il teorema della derivazione della funzione inversa

)(:)(

)(xTh

ee

ee

xCh

xShy

xx

xx

=+−== −

−

( ))(

1)(

2 xChxThD =

−+=

x

xxSettTh

1

1ln:)(

( )21

1:)(

xxSettThD

−=

Derivate Funzioni Iperboliche (Derivate Funzioni Iperboliche (addadd--onon) (1) ) (1) ( )21ln:)( xxxSettSh ++= ( )

21

1:)(

xxSettShD

+=

Derivando direttamente: ( ) =

++

++=++

22

2

11

1

11ln(

x

x

xxxxD

22

2

2 1

1

1

1

1

1

xx

xx

xx +=

+++

++=

Utilizzando il teorema della derivazione Utilizzando il teorema della derivazione della funzione inversa

( ) ==== )()(

1

))((

1:)(

ySettShxxChxShDySettShD

[ ] 222 1)( 1)()()( yxChxShxChxShy +==−⇒=

21

1

y+=

Derivate Funzioni Iperboliche (Derivate Funzioni Iperboliche (addadd--onon) (2) ) (2) ( )1ln:)( 2 −+= xxxSettCh ( )

1

1:)(

2 −=

xxSettChD

Derivando direttamente: ( ) =

−+

−+=−+

11

1

11ln(

22

2

x

x

xxxxD

1

1

1

1

1

122

2

2 −=

−+−

−+=

xx

xx

xx

Utilizzando il teorema della derivazione Utilizzando il teorema della derivazione della funzione inversa

( ) ==== )()(

1

))((

1:)(

ySettChxxShxChDySettChD

[ ] 1)( 1)()()( 222 −==−⇒= yxShxShxChxChy

1

12 −

=y

Derivate Funzioni Iperboliche (Derivate Funzioni Iperboliche (addadd--onon) (3) ) (3)

x

x

x

xxSettTh

−+=

−+=

1

1ln

2

1

1

1ln:)( ( )

21

1:)(

xxSettThD

−=

Derivando direttamente:22 1

1

)1(

11

11

1

2

1

1

1ln

2

1

xx

xx

x

xx

xD

−=

−++−

−+=

−+

Utilizzando il teorema della derivazione della funzione inversa

( ) 1111( )2

)(2

)(21

1

)(1

1

)(1

1

))((

1:)(

yxThxCh

xThDySettThD

ySettThxySettThx

−=

−===

==

222

2 1)(

1

)(

1)(1)( y

xChxChxThxThy −=

=−⇒=

Funzioni Parametriche nel piano Funzioni Parametriche nel piano

[ ]π2,0 )(

)cos(∈

⋅=⋅=

ttsenby

tax1

2

2

2

2

=+b

y

a

x Ellisse (circonferenza se a=b)Con centro nell’origine

( )Rt

tShby

tChax∈

⋅=⋅±=

)(

)( 12

2

2

2

=−b

y

a

x Iperbole (equilatera se a=b )Con centro nell’origine

RttTsenby

tTax∈

⋅⋅=⋅⋅=

)(

)cos(

2

1 Figure di Lissajous

Rttseny

tx∈

⋅==

)2(

)cos(044 242 =−+ xxy

Studio Funzione a1Studio Funzione a1xxexfy == )(

1. Insieme di esistenza : R

2. Eventuali simmetrie : xexxf −−=− )()(3. Intersezioni con gli assi

==

0

)(

y

xfy

==

0

)(

x

xfy0=yAsse x Asse y

Nessuna simmetria

0=x

21

= 0y


0per 0)( >> xxf0

− +f 0


0)(lim =−∞→

xfx

+∞=+∞→

)(lim xfx

y=0 asintoto orizzontale a -∞

+∞=+∞→ x

xfx

)(lim Non esistono asintoti obliqui

Studio Funzione a2Studio Funzione a2xxey =


La funzione è continua su tutto l’insieme di esistenza

7. Derivata prima (calcolo) )1()(' xexeexf xxx +=+=8. Segno: f’(x)≥0 (monotonia). Ricerca dei punti di massimo e minimo.

10)(' −>⇒> xxf 1−10)(' −>⇒> xxf− +'f 0

36.0~1

)1( minimo 1 −−=−−=e

fx


Nessuno

10. Derivata seconda (calcolo) )2()1()('' xeexexf xxx +=++=

Studio Funzione a3Studio Funzione a3xxey =

11. Segno: f’’(x) ≥0 (concavità e convessità). Ricerca dei punti di flesso (con eventuale tangente inflessionale).

20)('' −>⇒> xxf

2−− +''f 0

27.0~1

2)2( ascendente flesso 22

−−=−−=e

fx

Tangente inflessionale:Tangente inflessionale:

)2(1222

+

−=+ xee

y

Studio Funzione b1Studio Funzione b1xexxfy == )(

Per x≥0 è come la precedente.xxexf −=)(Per x<0: È come il precedente cambiato di segno (dunque

simmetrico rispetto all’asse delle x)

x=0 diventa un punto angoloso

1)0(' =f 1)0(' −=f

24

1)0(' =+f 1)0(' −=−f

xy =

xy −=

Tangente destra in x=0

Tangente sinistra in x=0

Studio Funzione c1Studio Funzione c1

Per x≥0 è come la precedente.xxexf −=)(Per x<0:

La funzione di partenza presenta simmetria dispari (dunque l’origine é centro di simmetria) per cui è il simmetrico rispetto all’origine del grafico per x>0.

xxey =

25

Studio Funzione d1Studio Funzione d1

1. Insieme di esistenza : x≠0

2. Eventuali simmetrie : x

xxxf

−++=− 23

)(2


==

0

)(

y

xfy

==

0

)(

x

xfy∅=SAsse x

Asse y

Nessuna simmetria

21 =∨= xx

x

xxy

232 +−=

26

= 0y 21 =∨= xx



±∞=±∞→

)(lim xfx

y=x-3 asintoto obliquo a ±∞

±∞=±→

)(lim0

xfx

x=0 asintoto verticale

1)(

lim =±∞→ x

xfx

( ) 3)(lim −=−±∞→

xxfx

0

− +f 0

1 2

0∃+ −

Ricerca asintoto obliquo:


x

xxy

232 +−=


La funzione è continua su R\{0} in x=0 ha una discontinuità di II specie (asintoto verticale)

7. Derivata prima (calcolo)2

2

2

2 2)23()32()('

x

x

x

xxxxxf

−=+−−−=


220)(' >∨−<⇒> xxxf 2− 208.5~)2( massimo 2 −−−= fx

10. Derivata seconda (calcolo)( )

344

22 44222)(''

xx

x

x

xxxxxf ==−−⋅=

− +'f 0 0+ ( )∃ −

17.0~)2( minimo 2 −= fx

f’’(x)≠0 per ogni x dell’insieme di definizione � non esistono flessi. La funzione è però concava per x <0 (f’’(x) <0) e convessa per x>0 (f’’(x) >0).


9. Eventuali Punti di non derivabilità: Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.Nessuno!


x

xxy

232 +−=

Studio Funzione e1Studio Funzione e1

1. Insieme di esistenza : R

2. Eventuali simmetrie : 3 23 2)( xxxxf −+−=−


==

0

)(

y

xfyAsse x

Nessuna simmetria

⇒=+=++ 0)1()12( 22 xxxxx

3 23 2)( xxxxfy ++==

10 −=∨= xx

= 0y

==

0

)(

x

xfy 0=yAsse y

4. Segno della funzione [f(x)≥0] 3 23 23 )1(2)( +=++= xxxxxxf

0−f 0 +−

1−0

Studio Funzione e2Studio Funzione e23 23 2)( xxxxfy ++==


±∞=±∞→

)(lim xfx

±∞→xxxf per ~)(

Non ci sono asintoti verticali od orizzontali. Ricerca asintoti obliqui:

mx

xfx

==±∞→

1)(

lim

212112[ ] qxx

xxx

xxxfxxx

==

+=

−

++=−±∞→±∞→±∞→ 3

212

3

1lim1

121lim)(lim

23

2

3

2+= xy Asintoto obliquo a ±∞



Studio Funzione e3Studio Funzione e33 23 23 )1(2)( +=++== xxxxxxfy

7. Derivata prima (calcolo) [ ] [ ]=++++=−

)1(2)1()1(3

1)(' 23

22 xxxxxxf

[ ]3

1

3

2

3

4

3

23

22

)1(3

)13(

)1(3

)13)(1()13)(1()1(

3

1

+

+=+

++=+++=−

xx

x

xx

xxxxxx

la funzione non è derivabile in x=0 e in x=-1la funzione non è derivabile in x=0 e in x=-1


1−− +'f 0+

31− 0

( )∃( )∃ +


±∞=−→

)('lim1

xfx m

x=-1 punto cuspidale (verso l’alto) , massimo locale

x=-1/3 Minimo. f(-1/3)~-0.53)

+∞=→

)('lim0

xfx m

x=0 flesso a tangente verticale (discendente )


10. Derivata seconda (calcolo)

=+

++−+

=

+

+=3

2

3

4

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

)1(

)1()13()1(3

3

1

)1(

)13(

3

1)(''

xx

xxDxxx

xx

xDxf

++++−+

−−3

2

3

2

3

1

3

1

3

1

3

2

)1(31

)1(32

)13()1(31

xxxxxxx

=+

=3

2

3

4

)1(

33

3

1

xx

[ ] =+

+++−+=3

4

3

5

)1(3

)1(2)13()1(9

3

1

xx

xxxxx [ ] =+

++−+

3

4

3

5

)1(3

23)13()1(9

3

1

xx

xxxx

3

4

3

5

22

)1(9

29999

+

−−−+=xx

xxxx

3

4

3

5

)1(9

2

+−=

xx


3

4

3

5

)1(9

2)(''

+−=

xx

xf


concava é f 0per x 0)(''

convessa é f 0per x 0)(''

⇒><⇒<>

xf

xf

f’’ non è definita per x=0 e x=-1f’’ non è definita per x=0 e x=-1

3 23 2 xxxy ++=

Studio Funzione e6Studio Funzione e6

Studio Funzione f1Studio Funzione f1

1. Insieme di esistenza :

2. Eventuali simmetrie : 4

ln)(2 −−=−

x

xxf


= )(xfy

Asse x

Nessuna simmetria

142

=−x

x

4ln)(

2 −==

x

xxfy

042

>−x

x { }2 x 02: >∨<<−= xxD

042 =−− xx

= 0y

Asse x

Asse y: nessuna intersezione

42 −x56.2~

2

171 56.1~

2

17121

+=∨−−= xx


04 =−− xx

142

>−x

x0

4

42

2

>−

++−x

xx

0−f 0 +

2−0

1x 2 2x

−

( )∃ ( )∃+

( )∃



−∞=+∞→

)(lim xfx

4ln)(

2 −==

x

xxfy

+∞=+→

)(lim2

xfx


−∞=−→

)(lim0

xfx


+∞=)(lim xf x=-2 asintoto verticale

Non esistono asintoti orizzontali

0

1ln

lim)(

lim ==+∞→+∞→ x

xx

xfxx

Asintoto obliquo a +∞


La funzione è continua sull’insieme di esistenza, presenta discontinuità di II° specie alla frontiera (asintoti verticali)

+∞=+−→

)(lim2

xfx

x=-2 asintoto verticale

Non esistono asintoti obliqui ( il calcolo di q darebbe +∞)



( ) ( )4

4

4

)2(4

4

1)('

2

2

22

2

2−

+−=−−−

−

=xx

x

x

xxx

x

xxf

la funzione non è derivabile in x=0, -2, +2


4ln)(

2 −==

x

xxfy


Nessuno!

Non esistono punti stazionari, la funzione è sempre decrescente

( )42 −xxPoiché Ha lo stesso segno di ( )42 −x

xDxxf ∈∀< 0)('


10. Derivata seconda (calcolo)4

ln)(2 −

==x

xxfy

( )xx

xxf

4

4)('

3

2

−+−= ( )

( ) =−

−+−−−= 23

223

4

)43)(4(42)(''

xx

xxxxxxf

( )222

24

4

1616)(''

−−+=

xx

xxxf


( ) 04

1616)('' 222

24

=−

−+=xx

xxxf 01616 24 =−+ xx ( )5248082 ±−=±−=x

( ) n.a. 05242 <−−=x ( ) 2525242 −±=⇒+−= xx

n.a. 97.0~252 −+=x acc. 97.0~252 −−−=x


4ln)(

2 −==

x

xxfy

11. Segno: f’’(x) ≥0 (concavità e convessità). Ricerca dei punti di flesso (con eventuale tangente inflessionale) ..(continuazione)

( ) 04

1616)('' 222

24

>−

−+=xx

xxxf 01616 24 >−+ xx

( ) ( )524 524 22 +−>∨−−< xx

( ) ∅=⇒−−< S 5242x

( ) ( ) ( )5225225242 +−>∨=+−−<⇒+−> xxxx F

Tenendo conto del dominio:

0

''f 0 +2− Fx 2

−

( )∃ ( )∃+

( )∃

xF è punto di flesso (discendente)

))((')( FFF xxxfxfy −−=

)97.0(66.114.1 +⋅−−= xy

Per approssimazione:

( ) ∅=⇒−−< S 5242x


4ln)(

2 −==

x

xxfy

Grafici di funzioni: associazioni per asintotiGrafici di funzioni: associazioni per asintotiAssociare ai seguenti grafici le funzioni opportune tramite considerazioni sugli asintoti:

x

xyc

1)

2 +−=3

2 1)

x

xyd

−=x

xya

1)

2 −= x

xyb

2

1)

2 −=

1G 2G

)4

)3

)2

)1

bG

aG

dG

cG

⇔⇔⇔⇔

3G 4G

)4 bG ⇔

Grafici di funzioni: associazioni per funzioniGrafici di funzioni: associazioni per funzioniAssociare la funzione opportuna al seguente grafico:

1)

2 −=

x

xya

3

2 1)

x

xyb

+=1

)2

2

−=

x

xyc xxyd −= 3)

1)

2

3

−=

x

xye 3) xxyf −=

)e

Grafici di funzioni e derivateGrafici di funzioni e derivate343 2)2()( xxxxxfy −=−== )32(264' 223 −=−= xxxxy

)1(121212'' 2 −=−= xxxxy

''y

y

'y

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