STUDIO DI UNA FUNZIONE

1) Dominio di esistenza a. eventuali punti singolari

2) Intersezioni con gli assi, segno , parità, eventuali simmetrie o periodicità

3) Limiti agli estremi del dominioa. Eventuali asintoti

4) Derivata prima a. Campo di derivabilitàb. Segno della derivata prima crescenza/decrescenza della funzionec. Punti di min, max o flesso a tangente orizzontale

5) Derivata secondaa. Segno della derivata seconda concavità/convessità della funzione, flessi a tangente

obliqua

**** CASI CHE ESAMINEREMO***** f(x ) è un:

- Polinomio- Una funzione razionale- Una funzione algebrica irrazionale- Una funzione goniometrica- Una funzione trascendente (esponenziale, logaritmica)

f(x) è un polinomio

esempio: y = 9x³ + 9x²

1) Dominio: tutto R . 2) Si annulla in x=0, quindi passa per l’origine. Poiché 9x³+9x² = 9x² (x+1), si annulla anche in x= -1

a. Segno: f(x)>0 per x>-1 ( e f(x) <0 per x<-1) anneriamo la parte di piano dove non ci sarà il grafico della funzione

3) Limiti agli estremi del dominio : limx→±∞

9x3+9 x2= limx→±∞

x3=±∞ ( no asintoti)

4) Studio di f’ (x)a. Campo di derivabilità: tutto Rb. Segno di f’(x)=27x²+18x= 9x (3x+2) ≥ 0 f’(x)=0 in x=0 e x= -2/3, f’(x) >0 per x<-2/3 e x>0

x=-2/3 punto di max relativo, x=0 punto di min relativo coordinate: max=(-2/3, 4/3), min = (0,0)

5) Studio di f’’(x) f’’(x) = 54x+18=18(3x+1) ≥ 0 per x≥ -1/3 f è concava per x<-1/3 e convessa per x>-1/3 x=-1/3 (che non è un punto a t. orizzontale) è un punto di flesso a tangente obliqua,

coordinate del punto: (-1/3, 2/3) equazione della tangente obliqua: y−23=f ' (−13 )(x+13 )

y=−3x−13

N.B. In generale, se f(x) è un polinomio di 3° grado allora la sua curva ha un punto di flesso ed è simmetrica rispetto ad essoRicorda: il centro di simmetria A(x0,y0) è punto medio di ogni punto P(x,y) e del suo simmetrico

P’(x’, y’) cioè: x0=x+ x '2

e y0=y+ y '2

-1

f(x) è una funzione razionale

esempio: y= x2+ x+4x2+4

1) Dominio: tutto R, 2) Non si annulla mai, interseca l’asse y nel punto (0, 1) ed è sempre >0 il grafico si trova nel

semipiano y>03) Limiti agli estremi del dominio asintoto orizzontale y=14) Studio del segno di f’(x) x=-2 è un punto di min relativo, x=2 è un max relativo5) Studio del segno di f’’(x): f’’(x) <0 f concava, f’’(x)>0 f convessa attorno ai punti x=±2√3 e

x=0 sono punti di flesso a tangente obliqua (perché dallo studio di f’(x) essi non sono tra i punti a tangente orizzontale)

N.B. Una funzione razionale f (x)=N (x )D(x )

con il grado di N(x) superiore di un’unità rispetto al grado di D(x),

ammette sempre un asintoto obliquo. L’equazione dell’asintoto è y=mx +q, con m= limx→∞

f (x)x

e quindi

q= limx→∞

[ f ( x )−mx]

(p.es. studiare la funzione f (x)= x3

x2−1 , verificare che ha asintoto obliquo di equazione y=x)

f(x) è una funzione algebrica irrazionale

esempio: y=x−2−√ x2−2x−31) Dominio: ]-∞,-1] U [3,+ ∞[

2) Passa per i punti (-1;-3) e (3;1)_ Studio del segno: √ x2−2x−3≤ x−2 (N.B.)

3) Limiti agli estremi del dominio +∞ asintoto orizzontale y=-1, -∞ diverge con asintoto obliquo y= 2x-3

4) Studio di f’(x) (f’ >0 per x < -1) f crescente…..5) Studio di f’’…. concavità, convessità

N.B. Ricorda che la disequazione :

√ f (x)<g ( x ) equivale al sistema: { f ( x )≥0g ( x )>0

f ( x )<[ g ( x )] ²

√ f ( x )>g ( x ) equivale al sistema: {f ( x )≥0g (x )<0

U { g (x )≥0f ( x )>[ g ( x )] ²