Procedimento per studiare una funzioneLo studio di una funzione, reale di una variabile reale y=f(x), consiste nel determinare gli elementi

caratterizzanti la funzione che permettono di disegnarne il grafico;si può procedere con il seguente schema.

1.Determinazione del campo di esistenza (C.E.) : i casi che si possono presentare sono i seguenti.

a) Funzioni razionali intere: il C.E.è costituito da qualunque valore della x.

b) Funzioni razionali fratte: il C.E. è costituito da ogni valori della x , esclusi, se ci sono, quelli che rendono nullo il denominatore della funzione.

c) Funzioni irrazionali:si devono distinguere due casi in relazione all’indice “n” della radice;

se “n” è dispari il C.E. è formato da ogni x reale esclusi quelli, eventuali, che annullano denominatori,

se “n” è pari il C.E. è costituito soltanto da quegli x che rendono positivo o nullo il radicando.

d) Funzioni goniometriche: y=sen(x) e y=cos(x) esistono per ogni x reale; mentre y=tg(x) esiste per

con k intero relativo , e y=ctg(x) esiste per ogni con k intero relativo.

e) Funzioni esponenziali del tipo : la condizione che determina il C.E. è che la base sia positiva cioè, f(x)>0.

f) Funzioni logaritmiche del tipo : le condizioni che individuano il C.E. sono le seguenti f(x)>0 e g(x)>0, .

1

,2

kx ,kx

)()( xgxfy

)(log )( xfy xg1)( xg

Avanti: continua il procedimento

2

g) Funzioni goniometriche inverse: y=arcsen(x) e y=arccos(x) sono definite per ,mentre

y=arctg(x) e y=arcctg(x) esistono per ogni x reale.

h) Funzioni iperboliche:

sono definite per ogni x .

i) Funzioni in valore assoluto: il valore assoluto non induce alcuna limitazione al C.E. della funzione.

2. Intersezioni con gli assi cartesiani

per l’intersezione con l’asse x , si risolve il sistema formato dalle due equazioni:

cioè si risolve l’equazione f(x)=0;

per l’intersezione con l’asse y , si risolve il sistema formato da : .

Può essere utile individuare anche le eventuali simmetrie rispetto all’asse y o all’origine e le eventuali periodicità.

3. Studio del segno della funzione

La funzione è positiva quando il suo grafico si trova, rispetto agli assi cartesiani, dalla parte del semiasse positivo delle y ; l’intervallo di positività si determina risolvendo la disequazione : .

11 x

xx

xx

xx

xxxxxx

eeeexcth

eeeextheexcheexsh

)(,)(,2

)(,2

)(

Indietro:inizio del procedimento

)(,0 xfyy

)(,0 xfyx

0)( xf

Avanti: continua il procedimento

3

4.Calcolo di limiti

Si calcolano i limiti negli estremi del C.E. per vedere l’andamento della funzione; si trovano gli eventuali punti di discontinuità e si stabilisce la specie.

5. Ricerca degli asintoti

Gli asintoti possono essere di tre tipi: verticali, orizzontali e obliqui.

a) Asintoti verticali: una retta del tipo x=a è un asintoto verticale se è soddisfatta la condizione

b) Asintoti orizzontali: una retta di equazione y=k è un asintoto orizzontale se

c) Asintoti obliqui: la retta di equazione y=mx+q risulta un asintoto obliquo, per il grafico della funzione,

se,dopo avere verificato che è soddisfatta la condizione , risultano finiti i valori dei

due limiti

Si noti che trattando lo studio di funzioni univoche la presenza di un asintoto orizzontale esclude la presenza di quello verticale e viceversa.

Indietro:procedimento

)()lim( xfax

kxfx )()lim(

)lim(x

xmxfxqxxfxxfxm )()lim(,)()lim()()lim( '

Inizio procedimento Avanti:continua procedimento

4

Inizio del procedimento Indietro:procedimento

6. Studio del segno della derivata prima

La funzione è crescente negli intervalli che sono soluzione della disequazione mentre è

decrescente per .

Un punto di ascissa è un massimo relativo, , se sono soddisfatte le condizioni :

Il punto è un minimo relativo se:

7. Studio del segno della derivata seconda

La funzione ha la concavità rivolta verso l’alto negli intervalli che costituiscono la soluzione della disequazione mentre la concavità è rivolta verso il basso quando

In un punto di massimo relativo risulta pertanto mentre in un minimo relativo si ha

Un punto si dice di flesso, F , quando risulta : ;in un punto di flesso la retta tangente alla curva-grafico della funzione, attraversa la curva stessa.

Quando la tangente inflessionale è parallela all’asse x ,deve essere: .

0)(' xf

0)(' xf

Mx rM

MMM xxperxfxxperxfxf ,,0)(;,,0)(;0)( '''

rm mmm xxsexfxxsexfxf ,,0)(;,,0)(;0)( '''

0)('' xf 0)('' xf

rM 0)('' Mxf 0)('' mxf

0)('' Fxf

0)(,0)( ''' FF xfxf

Avanti:continua procedimento

5

Inizio procedimento Indietro. procedimento

8. Esame di situazioni particolari

a) Punti in cui non esiste la derivata prima: flessi verticali, cuspidi, punti angolosi.

b) Simmetrie rispetto a punti o rette particolari.

Studiamo ora un esempio di funzione razionale fratta.

Funzioni razionali fratteSono funzioni razionali fratte quelle del tipo: in cui la x compare al denominatore.

Sono caratterizzate dal fatto che generalmente presentano degli asintoti verticali del tipo per i valori della x in cui si annulla il denominatore. Cioè per gli x tali che risulta: ,tali valori sono esclusi dal C.E.

Esempio 1:

)()(xgxfy

ax 0)( xg

2

2

)1(4

xxy

Torna a :procedimento studio funzioni

Esempio 1

Campo di esistenza

C.E. :

Funzione:

Grafico

2

2

)1(4

xxy

1x

1

(Clic per visualizzare)

Torna a procedimento

Torna a funz.raz.fratte

Avanti:pag.seguente

Intersezione asse y

Intersezioni asse x

Segno della funzione

)4,0(;4:0 Ayx

)0,2(),0,2(;2,2;)1(4:0

2

2

CBxxo

xxy

2,2:0)1(4)(

2

2

xx

xxxfy

(Clic per visualizzare)

Avanti

Procedimento

Funz.raz.fratte

Indietro:pag.precedente

Calcolo limiti in estremi C.E.

Asintoti verticali: x=+1

Asintoti orizzontali: y=+1

Asintoti obliqui:non ce ne sono

1])1(4)[lim(

2

2

xxx

1])1(4)[lim(

2

2

xxx

])1(4)[1lim(

2

2

xxx

])1(4)[1lim(

2

2

xxx

Procedimento

Funz.raz.fratte Indietro

Avanti

(fare clic per visualizzare)

X=+1

Y=+1

Calcolo della derivata prima

Studio del segno della derivata prima

Intervalli di crescenza decrescenzaLa funzione è crescente per: 1<x<4Massimi e minimi relativiC’è un massimo relativo in: Mr(4,4/3)

4

2

)1(8102

xxxy

41:0)1(

81024

2

xx

xxy

Procedimento

Funz.raz.fratte Indietro Avanti

Calcolo derivata seconda

Studio segno derivata seconda

Concavità verso l’alto e verso il bassoLa funzione ha la concavità verso l’altoper:x>11/2, verso il basso per: x<4 ma Punti di flesso:c’è un punto di flesso per x=11/2

5

2

)1(11132

xxxy

0)1(

111325

2

xxxy

1 x

Procedimento

Funz.raz.fratte Indietro Avanti

Grafico della funzione: (fare clic per visualizzare gli elementi) 2

2

14

xxy

Procedimento Funz.raz.fratte Indietro

A(0,-4)

C(+2,0)B(-2,0)

Y=+1

X=+1

34,4rM

Flesso

Fine