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Studio di funzione

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1. Determinazione del campo di esistenza CONDIZIONE DI ESISTENZA

FUNZIONE RAZIONALE

intera:

se è del tipo f(x)=P(x) dove P(x) e' un polinomio nella variabile x

--------------------------------------------------------------------

fratta:

se è del tipo f(x)=!(!)!(!)

dove N(x) e D(x) sono 2 polinomi nella variabile x

Nessuna

----------------------------------------------------------------

𝐷(𝑥) ≠ 0

FUNZIONE IRRAZIONALE

intera:

se è del tipo

y = 𝑓(𝑥)!

-------------------------------------------------------------------

fratta:

se è del tipo

(1) y = ! !! !!

n-dispariànessuna

n-parià𝑃(𝑥) ≥ 0

---------------------------------------------------------------

n-disparià𝑔(𝑥) ≠ 0

n-parià𝑔 𝑥 > 0

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-------------------------------------------------------------------

(2) y =!(!)!

!(!)

-------------------------------------------------------------------

(3) y = !(!)!(!)

!

---------------------------------------------------------------

n-disparià𝑔(𝑥) ≠ 0

n-parià𝑓(𝑥) ≥ 0𝑔(𝑥) ≠ 0

---------------------------------------------------------------

n-dispari𝑔(𝑥) ≠ 0

n-pari!(!)! !

≥ 0

𝑔(𝑥) ≠ 0

FUNZIONI

TRASCENDENTI

esponenziale:

se è del tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥)! !

dove f(x) e g(x) sono funzioni nella variabile x

logaritmica:

se è del tipo f(x) = log [f(x)]

trigonometrica:

se è del tipo sen (f(x)) , cos (f(x)), tg (f(x)), ..

𝑓 𝑥 > 0+condizioni di esistenza dig(x)

-

---------------------------------------------------------------------

𝑓 𝑥 > 0

---------------------------------------------------------------------

Esistenza di f(x) + eventuali condizioni di esistenza della funzione trigonometrica considerata

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2. Osservazione di eventuali simmetrie

se 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥) la funzione è pari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y

se 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥) la funzione è dispari ed il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine

3. Ricerca delle intersezioni con gli assi

asse x - vanno sempre cercate, non è detto che esistano 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑦 = 0

asse y . vanno cercate SE E SOLO SE 0 ∈ C.E. 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑥 = 0

4. Studio del segno

Studiare il segno della funzione significa determinare in quali intervalli il suo grafico è situato al di sopra o al di sotto dell'asse delle x. É possibile così determinare la parte di piano nel quale disegnare la funzione.

Data la funzione 𝑦 = 𝑓 𝑥 basterà studiare la disequazione 𝑓 𝑥 > 0 per ottenere gli intervalli di positività (e di negatività) cercati.

5. Studio dei limiti agli estremi del campo

Il comportamento della funzione agli estremi del dominio è da studiare con il calcolo dei limiti

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N.B. La funzione presenta:

asintoto orizzontale lim!→±!

𝑓 𝑥 = 𝑙 𝑙 ∈ ℝ (𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜)

asintoto verticale lim!→!±

𝑓 𝑥 = ±∞ (𝑐 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜)

6. Calcolo della derivata

FORMULARIO: alcune derivate fondamentali

y = f (x) y ' = f '(x)

FUNZIONE COSTANTE y = c y ' = 0

FUNZIONE POTENZA y = x y' = 1

y = x2 y' = 2x

y = xn con n∈ ℝ y'=nxn−1

Regole di derivazione

D [ ( ) ⋅g( )] '( ) + g '( )

D [k ( ) ] k '( ) con k

D[ ( )⋅g( )] '( ) ⋅g( ) ( ) ⋅g '( )

𝐷 !𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)! =

𝑓 ′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) 𝑓 (𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑔(𝑥)!

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8. Determinazione di massimi e minimi

Passiamo ora a determinare le coordinate dei punti estremanti mediante lo studio del segno della derivata prima

Una volta nota la deivata prima della nostra funzione che indichiamo con f'(x) dovremo studiare 𝑓! 𝑥 > 0 e costruire un grafico finale ricordando che

Ove 𝑓! 𝑥 > 0 la funzione sarà monotona crescente

Ove 𝑓! 𝑥 < 0 la funzione sarà monotona decrescente

Ove 𝑓! 𝑥 = 0 la funzione ammette tangente orizzontale

CALCOLO DELLE ORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO LOCALE Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti di massimo e di minimo nell’equazione della curva e ricavare l’ordinata. È utile riportare sul grafico i risultati ottenuti.

f'(x) < 0 f'(x) > 0

f decrescente f crescente

X0 è un punto di MASSIMO per f se

X0

f'(x) > 0 f'(x) < 0

f crescente f decrescente

X0 è un punto di minimo per f se

X0

MAX min

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METODO DI FERMAT f'(x) = 0

f''(x) > 0

PUNTO DI MINIMO

f''(x) > 0

PUNTO DI MASSIMO

f''(x) = 0

f'''(x)>0

f'''(x)<0

PUNTO DI FLESSO A TANGENTE ORIZZONTALE