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Lezione 2

EnricoRogora

Storia della Matematica - Lezione 2

Enrico [email protected]

Università di Roma

3 Marzo 2017 - Roma

Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 2 3 Marzo 2017 1 / 20

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Matematica in Egitto e Mesopotamia

Prescrizioni per risolvere problemi aritmetici o geometrici, senzatentativi di giustificazioni. La matematica egiziana è unamatematica omogenea al corpus di conoscenze empirichenecessarie per le realizzazioni tecnologiche, anche moltosofisticate, dell’antico Egitto: piramidi, opere di canalizzazione,ecc. La matematica ha elaborato dei concetti quale quello diarea e di volume, ma sempre in maniera strettamente collegataa concreti problemi, come il calcolo del numero di mattoninecessario per una costruzione, ecc.Analoghi sono i caratteri della matematica mesopotamica chepur raggiunse un superiore livello di elaborazione.


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Confronto Matematica Pre - ellenica - Ellenica

PRE - ELLENICA ELLENICAPrescrittiva ArgomentativaRegole DimostrazioniFonti numerose Fonti inesistenti


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Matematica ellenica

La tradizione greca fa risalire la nascita della matematicaellenica a

Talete: inizio dell’analisi razionale dei risultati dellamatematica egiziana;Pitagora: fondatore di una famosa associazione filosofica -scientifica - politica e religiosa.

Per la matematica ellenica abbiamo una assenza totale di fontiprimarie. La ricostruzione della matematica ellenica avviene soloattraverso la consultazione di fonti indirette. Consideriamo, peresempio, la figura di Talete.


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Proclo (411 – 485) su Talete

Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Si dice che Talete fu ilprimo a dimostrare che il cerchio è bisecato dal diametro, la causa dellabisezione essendo il passaggio del segmento retto attraverso il centro. (...)Si dice che Talete sia stato il primo ad aver conosciuto e ad aver enunciato[il teorema] che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali,sebbene, secondo l’uso arcaico, egli descrivesse angoli uguali come simili.(...)Questo teorema, che quando due linee rette si tagliano l’un l’altra, gliangoli verticali e opposti sono uguali fu scoperto per primo, come affermaEudemo, da Talete, sebbene la dimostrazione scientifica fosse miglioratadall’autore degli Elementi. (...)Sull’uguaglianza dei triangoli. Eudemo nella sua, storia della geometriaattribuisce questo teorema [[che triangoli aventi uguali un lato e i dueangoli adiacenti sono uguali]] a Talete. Poichè egli dice che il metodoattraverso cui Talete mostrò come calcolare la distanza di navi in mare,presuppone necessariamente questo metodo.


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Diogene Laerzio su Talete

Diogene Laerzio, dalle Vite dei Filosofi: Panfilo dice che, avendo

imparato la geometria presso gli egiziani, egli fu il primo ainscrivere in un cerchio un triangolo rettangolo, e che sacrificòun bue in onore di questa scoperta.


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Plutarco su Talete

Plutarco: Dal Simposio dei sette saggiIl re ti ammira molto e in particolare egli si compiacqueimmensamente del tuo metodo per misurare le piramidi, perchésenza alcun clamore e senza chiedere strumento alcuno,semplicemente drizzasti il tuo bastone al bordo dell’ombra dellapiramide e con i due triangoli formati con i raggi del soleintercettati [dalla piramide e dal bastone], tu dimostrasti chel’altezza della piramide aveva il medesimo rapporto con ilbastone della lunghezza dell’ombra della piramide con quelladell’ombra del bastone.


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Talete e il calcolo dell’altezza della piramide


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Teorema di Talete

Si attribuisce impropriamente a Talete anche il seguenteteorema:un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determinasu di esse classi di segmenti direttamente proporzionali


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Osservazioni sui risultati attribuiti a Talete

1. Secondo Proclo, che riporta l’opinione di Eudemo, autore di una storiadela geometria andata perduta, Talete avrebbe dimostrato che un diametrodivide un cerchio in due parti uguali e che angoli opposti al vertice sonoeguali. Non è possibile però che affermazioni così apparentemente ovviesiano state i primi oggetti di dimostrazione. L’utilità del metododimostrativo deve essere stata notata per dimostrare affermazioni nonevidenti. (cfr. Neugebauer p. 179))2. L’attribuzione a Talete del teorema sulla congruenza dei triangoli èbasata su un fraintendimento di Eudemo. Egli afferma che l’applicazionedella tesi del teorema implica che il teorema deve essere statoprecedentemente dimostrato. Questo fraintendimento mostra la difficoltàdi concepire l’idea di dimostrazione come era concepita da Euclide, cioècome logica conseguenza di un piccolo insieme di postulati.Quale idea di dimostrazione avevano i greci nell’età ellenica? Ladimostrazione contenuta nel Menone dell’uguaglianza del quadratocostruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con il doppio delquadrato costruito su un cateto da leggere, getta luce sulla questione.


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Aristotele sui pitagorici

I Pitagorici per primi si applicarono alle matematiche e le feceroprogredire e, nutriti dalle medesime, credettero che i principi diqueste fossero principi di tutti gli esseri. E, poiché nellematematiche i numeri sono per loro natura i principi primi, eappunto nei numeri essi ritenevano di vedere, più che nel fuocoe nella terra e nell’acqua, molte somiglianze con le cose chesono e che si generano [...] pensarono che gli elementi deinumeri fossero elementi di tutte le cose.

Aritotele, Metafisica, A5, 985-b24-986a2 [Giaq. p. 12]

Geometricamente sembra che i pitagorici pensassero una unitànumerica come un punto esteso o una sfera estremamentepiccola.Teoria figurativa dei numeri, [Giaq. p. 13].


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Aporie

Nello sviluppo della matematica ellenica, sembra che un ruoloimportante sia stato giocato alcune aporie, cioè conseguenzecontraddittorie ottenute da certe premesse.

1 Incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato2 Paradossi di Zenone

Queste aporie si presentarono come argomenti filosofici chemettevano in discussione una concezione filosofica del mondo.Le aporie mostrano quanto siano delicati i concetti di spazio,tempo e infinito e l’inadeguatezza del linguaggio ordinario pertrattare tali questioni. Esse scompaiono quando vengonoconsiderate all’interno di un adeguato modello matematico dispazio e di movimento di cui però rimane parzale e problematicala corrispondenza con il reale.


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L’incommensurabilità tra segmenti

Secondo la concezione filosofica dei pitagorici doveva esistereuna unità geometrica fondamentale, analoga all’unità deinumeri naturali. Questo implica che ogni coppia di segmentidebba ammettere un sottomultiplo comune.L’incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadratomostra l’incoerenza della filosofia naturale pitagorica. Per iPitagorici non si tratta semplicemente di aver scoperto cheesistono rapporti non razionali, ma di aver scoperto che il loromondo è contraddittorioLa reazione dei pitagorici è di comprensibile sgomento.


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La scoperta dell’irrazionalità

Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici, ma che, per averdivulgato per primo la costruzione della sfera di dodicipentagoni, perisse in mare come empio:. . . (246)Colui che perprimo rivelò la natura delle grandezze commensurabili eincommensurabili agli indegni di partecipare a tali cognizioni, sidice che incorresse in tanto odio che non solo fu escluso da ognicompagnia e convivenza, ma anche gli fu costruita una tomba,come se colui, ch’era una volta un compagno, avesse davverocessato di vivere. (247)Altri dicono che anche la divinità siadirasse con i divulgatori delle dottrine di Pitagora. Perì infatticome empio in mare colui che rivelò come s’iscrive nella sferal’icosagono, cioè il dodecaedro, una delle cinque figure dettesolide. Alcuni però narrano che questo accadesse a colui cheaveva propagato la dottrina degli irrazionali άλογος e degliincommensurabili

Giamblico (245-325 d.c.)Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 2 3 Marzo 2017 14 / 20

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Aristotele sulla dimostrazione dell’irrazionalità

Aristotele, nella sua esposizione del metodo di ragionamento perassurdo, in Primi Analitici (41a 24- 50a 37), rimanda alladimostrazione dell’irrazionalità del rapporto tra lato e diagonale delquadrato in questo modo: se il lato e la diagonale sono supposticommensurabili, si può dedurre che i numeri dispari sono uguali ainumeri pari; questo assurdo ci dà l’incommensurabilità dellegrandezze considerate.Una dimostrazione completa secondo queste linee ci è pervenutacome scholio (commento ) al decimo libro di Euclide.Linee essenziali della dimostrazione:Detto α il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato,supponiamo che α = m/n sia razionale e che m ed n siano ridotti aiminimi termini. Per il teorema di Pitagora relativo ai triangolirettangoli isosceli (cfr. Platone,Menone (82b-85b), m2/n2 = 2,quindi m2 = 2n2 è pari, allora m è pari, quindi m2 è divisibile per 4,quindi n2 è divisibile per 2, quindi n è pari e questo mostra l’assurdo.


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Il pentagono e l’irrazionalità

È possibile che non fu la diagonale e il lato del quadrato la prima coppia disegmenti incommensurabili scoperta dai pitagorici, ma la coppia costituitadalla diagonale e dal lato del pentagono regolare. Infatti la ricerca dellamisura comune tra la diagonale e il lato del pentagono con l’algoritmo diEuclide richiede di costruire la coppia con il lato e la differenza delladiagonale con il lato. Ma questa coincide con la coppia diagonale lato diun pentagono regolare più piccolo, che quindi presenta lo stesso rapporto.L’algoritmo di Euclide non può quindi aver termine e pertanto la coppia èincommensurabile


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Eudosso

Se per i pitagorici la scoperta dei rapporti irrazionali èinconciliabile con la loro filosofia del mondo, per i matematici sitratta invece di elaborare una teoria capace di trattare anche irapporti non razionali.La scoperta dell’irrazionalità ha probabilmente portato ariconsiderare l’intero edificio della geometria elementare inmodo da includere nella teoria delle proporzioni i rapporti nonrazionali.La soluzione di Eudosso è quella di rinunciare a trattare irapporti irrazionali in maniera aritmetica, ma di considerarligeometricamente, secondo la teoria esposta nel quinto librodegli elementi di Euclide.


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Da Pitagora ad Euclide

Fase eroica della matematica: Raramente uomini così sprovvistidi mezzi hanno affrontato problemi matematici di importanzacosì fondamentale. [Cfr. Boyer].

Temi dominantiAlgebra geometrica. Teoria delle proporzioni.I tre problemi classici: quadratura del cerchio, trisezionedell’angolo, duplicazione del cubo.Studio delle coniche.


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Algebra geometrica

Metodo delle proporzioniCostruzione del quarto proporzionale dopo tre,Costruzione del medio proporzionale tra due.

Metodo delle areeApplicazione parabolica delle areeApplicazione ellittica delle areeApplicazione iperbolica delle aree


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I tre problemi classic: irrisolubili con riga e compasso

Quadratura del cerchio

Antifonte: [Giaq. p. 31];

Spirale di Archimede, quadratrice di Ippia, concoide di Nicomede[Boyer]. Quadratura delle lunule [Cfr. Giaq. p. 30].

Duplicazione del cubo

Lettera di Eutocio [cfr. Giaq. p. 32].

Ippocrate, con due medie proprzionali in progressione continua.Eudosso e Nicomede (concoide), Apollonio (cissoide).

Trisezione dell’angolo

Pappo, [Cfr. Giaq. p. 33].

Quadratrice di Ippia [Cfr. Giaq. pp. 34 – 35]. Critiche all’uso dellaquadratrice [Cfr. Giaq. p. 36].


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