Storia della MatematicaLezione 8

ENRICO ROGORA1

1Dipartimento di Matematica”Sapienza”, Universita di Roma

Roma, 31 Marzo 2014

ENRICO ROGORA Storia della Matematica

Lettura e commento di brani di Archimede

Brani da leggere e commentare:Calcolo euristico del volume della sferaCalcolo del volume della sfera con il metodo di esaustioneCalcolo del volume del paraboloide di rotazione

Nelle prossime slide viene illustrato il procedimento euristico per ilcalcolo del volume della sfera e vanno considerate insiemeall’esposizione originale di Archimede.

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Calcolo euristico del volume della sfera:configurazione di partenza

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Calcolo euristico del volume della sfera: ruotare

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Calcolo euristico del volume della sfera: tagliare espostare

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Calcolo euristico del volume della sfera: riassemblare

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Diagramma per dimostrare le relazioni di Equilibrio

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Osservazioni sul calcolo euristico del volume dellasfera

Le condizioni di bilanciamento dei dischi segato sul cilindro con idischi segati sul cono e sulla sfera e trasportati opportunamentesono derivate da considerazioni geometriche.L’unico punto euristico della dimostrazione riguarda il passaggiodal bilanciamento dei dischi a quello delle intere figure. Laprocedura sarebbe completamente formale se le sezioni fosseroin numero finito, ma il passaggio dal procedimento finito a quelloinfinito e giustamente considerato euristico, in quanto ben notaad Archimede la delicatezza e la sostanziale differenza delprocedimento finito rispetto a quello infinito.Archimede osserva anche, alla fine della spiegazione dellaprocedura per il calcolo del volume della sfera, la seguenteanalogia: il cerchio di raggio r e equivalente al triangolo dialtezza r e base uguale alla lunghezza della circonferenza. Lasfera di raggio r e equivalente al cono di altezza r e base ugualea quattro cerchi di raggio r . Archimede ipotizza allora che lasuperficie della sfera di raggio r sia equivalenti a quattro cerchi diraggio r .

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Congettura falsaSi noti, come illustrazione della delicatezza delle induzioni aventi ache fare con l’infinito, la non correttezza del seguente argomento.Sia fissato un cerchio di raggio r . Il triangolo rettangolo di baseuguale a mezza circonferenza e altezza uguale al raggio (figuramagenta) e equivalente a meta del cerchio (figura cıano). Facendoruotare il triangolo intorno alla sua altezza e il semicerchio intorno alsuo diametro otteniamo un cono e una sfera. Visto che facciamoruotare superfici equivalenti potremmo congetturare che i solidi dirotazione ottenuti siano equivalenti. Questa congettura e falsa inquanto il cono ha volume 1

3π2r3 e la sfera ha volume 4

3πr3

Riflttendo su casi piu semplici si capisce subito il perche. Si immaginidi far ruotare un segmento verticale di data lunghezza posto a unadata distanza dall’asse di rotazione e lo stesso segmento posto a unadistanza superiore. Le due superfici cilindriche hanno area diversa.

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Area e volume della sfera con il metodo di esaustione

La costruzione di un cerchio equivalente alla superficie di una sfera ediscussa nella proposizione 33 dell’opera sulla sfera e il cilindro.La costruzione di un cono equivalente a una sfera e discussa nellaproposizione 34 dell’opera sulla sfera e il cilindro.In entrambe le proposizioni viene impiegato il metodo di esaustioneche evita un uso diretto dell’infinito, come si fa invece nel metodoeuristico. Nella discussione del volume della sfera si approssima lasfera con l’unione di tronchi di cono. Si evita di calcolare la sommadei volumi dei tronchi di cono, introducento un argomento geometricoper la costruizione di un solido equivalente.Si noti qui la difficolta di Archimede di trattare direttamente le sommee le serie. Una ragione e che per lui non si tratta di sommaregrandezze ma di operare su proporzioni (cfr. Saito, letteramatematica Pristem). Il calcolo diretto di una progressione aritmeticae fatto nel calcolo del volume del paraboloide.

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Area e volume del paraboloide con il metodo diesaustione

Nella trattazione di paraboloidi, iperboloidi ed elissoidi, Archimedesembra avvicinarsi molto alla procedura di integrazione di Cauchy -Riemann.L’argomento utilizzato da Archimee si puo dividere in due parti:

considerazioni geometriche sulle proprieta dei solidi elmentaricon cui si approssimano le figure;calcolo della somma di una progressione aritmetica.

Questa divisione non e cosı netta nelle altre applicazioni diArchimede del metodo di esaustione. Questo ha suggerito ad alcunistudiosi (cfr. Saito) di ipotizzare che:

manca ad Archimede un metodo generale automatico ealgoritmico per il calcolo dei volumi;manca l’idea di approssimare il volume di una figura con sommedi volumi di figure piu semplici, sia perche manca l’idea che ilvolume e un numero, sia perche la somma di grandezze inproporzione e ben piu ardua della somma di numeri.

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Forma finale del metodo di esaustione

Sia P una figura che vogliamo dimostrare equivalente a dX . Siano I eC due serie di figure, inscritte e circoscritte a P, che soddisfano lecondizioni

1 I < X < C2 La differenza C − I puo essere resa piccola a piacere: Data una

grandezza E , si puo prendere una figura inscritta I e una figuracircoscritta C in modo che sia C − I < E .

Se fosse, X > P si avrebbe X − I < C − I < E = X − P cioe P < Iche e impossibile poiche I e inscritto a P. Analogamente si mostrache se fosse X < P, si avrebbe assurdo C < P. Quindi risultadimostrato che X = P.

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