La percezione del numero

è una facoltà innata o viene acquisita?

Come arrivano i bambini

all’acquisizione del numero?

A formulare le prime

fondamentali teorie cognitive

riguardo l’elaborazione del

concetto di numero è stato

Piaget (1941).

Il bambino nei suoi primi anni

di vita non possiede cognizioni

aritmetiche.

“ Non bisogna credere che un

bambino piccolo possegga il numero

per il solo fatto di avere appreso a

contare verbalmente”

Principio di

conservazione

Il concetto di numero si fonda su quelli di classificazione e seriazione

… i bambini nello stadio pre-operatorio (2-7 anni) non

possiedono il principio di conservazione; ovvero non si

rendono conto che la quantità di una certa sostanza non

cambia al cambiare della sua forma …

Piaget

Studi successivi hanno in parte contestato la validità del

modello piagetiano.

A partire circa dagli anni ’80 numerosi ricercatori

sostengono che in realtà, i bambini si avvicinano

all’aritmetica ed al calcolo molto precocemente e non come

diceva Piaget, dopo aver acquistato determinati schemi

cognitivi.

Oggi è stato ampiamente dimostrato che l’intelligenza numerica

che ci permette di intendere il mondo in termini di quantità è

precocissima nello sviluppo, addirittura antecedente alla

comparsa del linguaggio.

Essa ha molto a che fare con

la percezione e nulla a che

vedere con gli aspetti mediati

dalla cultura come il nome

che diamo ad una determinata

quantità o il modo in cui la

scriviamo.

Studiosi di etologia hanno dimostrato che alcune specie animali

possiedono un senso del numero, una capacità di considerare

piccole quantità per effettuare stime di numerosità dall’evidente

valore adattativo.

In certi casi essa permette

di riconoscere che un insieme

(numericamente esiguo)

osservato per una seconda

volta ha subito una

modificazione quando un

costituente gli sia stato tolto

o aggiunto .

Contare serve.

Quando si devono valutare due o più mucchietti di cibo: meglio

dirigersi subito verso quello più numeroso.

«La stima di numerosità» conclude Vallortigara «è qualcosa che

gli animali fanno da subito e spontaneamente».

Antell e Keating (1983), utilizzando la tecnica "dell'abituazione-

disabituazione", hanno verificato che bambini di pochi mesi di

vita riescono a discriminare insiemi di due o tre elementi, sono

cioè capaci di percepire la numerosità di un insieme visivo di

oggetti in modo immediato.

Stimolo disabituante

Fase

dell’abituazione

L'accuratezza, la velocità e la precisione dipendono dal

numero di elementi da enumerare.

Fino a quattro elementi la discriminazione è rapida,

accurata e precisa.

La capacità di distinguere in modo rapido e accurato la

quantità di un ridotto numero di elementi è detta:

Lo storico della matematica Tobias Dantzig

racconta : un corvo che aveva nidificato su

una torre dalla quale il proprietario voleva

sfrattarlo, ma riuscì ad eludere tutti i tentativi

fatti dal proprietario………

Il possesso del concetto di numerosità però implica molto di

più: il bambino non solo discrimina due insiemi in base al

numero di elementi contenuti, ma possiede anche aspettative

aritmetiche basate sul concetto di numerosità.

Wynn ha verificato che bambini

piccolissimi di appena 5 mesi sono

in grado di avere delle aspettative

numeriche.

Molti degli esperimenti condotti

hanno poi puntato l'attenzione

sulle capacità dei neonati (5-6

mesi) di compiere operazioni di tipo

additivo e sottrattivo.

Gli esperimenti di Karen Wynn

I risultati di queste ricerche suggeriscono l’esistenza di

una competenza numerica preverbale, innata e

indipendente dalla manipolazione linguistico-simbolica.

I bambini, molto prima di parlare e conoscere i simboli

numerici, sono in grado di categorizzare il mondo in

termini di numerosità

Nati per contare

•La natura fornisce un nucleo di capacità per classificare piccoli

insiemi di oggetti in base alla loro numerosità.

•Riuscire ad effettuare stime di numerosità ha un evidente

valore adattativo.

•Per capacità più avanzate abbiamo bisogno dell’istruzione,

ossia di acquisire gli strumenti concettuali forniti dalla cultura

in cui viviamo.

Butterworth (2005)

E’ estremamente importante sfruttare la predisposizione

naturale del bambino aiutandolo a sviluppare e rinforzare

le sue innate capacità matematiche fin dalla più tenera

infanzia

Scuola

dell’infanzia

Scuola

primaria

Scuola

secondaria

di primo grado

Numeri e spazio Numeri Numeri

Spazio e figure Spazio e figure

Relazioni dati e

previsioni

Relazioni e

funzioni

Dati e previsioni

Campi di esperienza Nuclei tematici

Scuola dell’infanzia

Numero e spazio

La familiarità con i numeri può nascere da quelli che si

usano nella vita di ogni giorno, poi ragionando sulle

quantità e numerosità di oggetti diversi, i bambini

costruiscono le prime fondamentali competenze sul contare

oggetti o eventi,..

Si avviano così alla conoscenza del numero e della

struttura delle prime operazioni, suddividono in parti i

materiali e realizzano elementari attività di misura. Indicazioni nazionali per il curricolo 2012

Nella scuola dell’infanzia , l’insegnamento della matematica

non c’è, però la matematica c’è.

I bambini raggruppano, ordinano, contano, misurano,

localizzano, pongono in relazione progettano, inventano.

Non c’è bisogno di numeri od operazioni aritmetiche ma di

“matematizzare” la realtà intorno al bambino, cioè indurlo a

passare da una rappresentazione elementare dell’ambiente a

una sempre più strutturata, in cui si abitui a prendere in

considerazione elementi

come la numerosità, la

forma, l’estensione, la

quantità.

L’esplorazione dell’ambiente, la risoluzione di situazioni

problematiche legate alla sua percorribilità, i giochi di

costruzioni, i giochi della verità sono esperienze significative

di cui che l’insegnante delle elementari può far tesoro per i

primi approcci alla geometria ed alla logica.

Dare ai bambini l’opportunità di vedere la matematica

attraverso il gioco li aiuta a costruire l’interesse verso

l’apprendimento futuro.

Bisogna far si che si conservi nei bambini la voglia di fare

matematica, con curiosità, con un atteggiamento positivo,

di ricerca, con una consapevolezza sempre maggiore. (Approccio costruttivistico)

Gli studenti italiani hanno difficoltà in quello che viene

definito, all'interno del quadro teorico di riferimento

dell'indagine PISA "il processo di matematizzazione", cioè

nell'identificare gli aspetti matematici pertinenti a un

problema collocato nella realtà.

I risultati negativi sono imputabili:

• a scarsa o superficiale

conoscenza di alcuni degli

argomenti presenti nelle prove

• a scarsa comprensione del testo

delle prove o alla sua errata

interpretazione a causa di una

lettura poco attenta , superficiale

della domanda oppure di una

lettura non completa

• regole apprese ma in modo

mnemonico, meccanico e poco

consapevole.

• un'assenza quasi totale di

processi metacognitivi

Se tanti incontrano difficoltà in matematica è necessario

rivedere la didattica di questa disciplina .

Se riuscissimo a migliorare l’insegnamento

migliorerebbe anche l’apprendimento

Dalle Indicazioni nazionali

•Il laboratorio di matematica

•Risoluzione dei problemi

•Uso consapevole e motivato di calcolatrici e

computer

Il laboratorio di matematica

In matematica, è elemento fondamentale il

laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come

momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie

ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e

sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara

a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a

conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione

delle conoscenze personali e collettive.

È opinione unanime che la matematica debba essere

insegnata in modo attivo, vale a dire con la diretta e

costruttiva partecipazione dell’alunno.

E’ necessario abbandonare la didattica cattedratica per

evitare l’apprendimento passivo da parte dell’alunno.

Egli deve invece fare diretta esperienza, agire, rendersi

conto da solo delle cose e delle operazioni sulle cose.

La matematica

non deve essere insegnata come dogma

non deve presentata come teoria completa ed

indiscutibile, soltanto da verificare.

deve invece essere “costruita” attivamente da chi impara,

in armonia con i propri stili di apprendimento e le proprie

risorse personali.

Bisogna trasformare la classe in un laboratorio gli studenti

abbiano la possibilità di toccare con mano le proprietà dei

numeri e delle figure (metodo euristico)

Creare uno stretto rapporto di collaborazione tra gli alunni e

tra alunni e insegnante in un ambiente rassicurante

(soprattutto per i meno dotati) Cooperative learning

Lavorando in gruppi vengono attivati dei processi di

comunicazione che rendono più efficace l’apprendimento.

Un ambiente che faccia emozionare l’allievo stimolandone lo

spirito di ricerca.

I ragazzi devono comprendere che fare matematica significa

porsi domande, giocare e divertirsi con la propria

immaginazione

geopiano

Laboratorio di Robotica

La caratteristica fondamentale della matematica: risolvere

problemi

Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di

problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e

significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a

carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente

ricordando una definizione o una regola.

Cosa si intende per problema?

«Un problema sorge quando un essere vivente ha una

meta ma non sa come raggiungerla» K. Duncker (1935).

«Risolvere problemi significa trovare una strada per

uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un

ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia

immediatamente raggiungibile. Risolvere problemi è

un’impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è

dono specifico del genere umano: si può considerare il

risolvere problemi come l’attività più caratteristica

del genere umano». G. Polya (1945):

Esercizi o problemi ?

L’esercizio è una domanda che presuppone già una

teoria risolutiva

Un problema è una domanda che, per essere

soddisfatta, richiede una teoria nuova.

Problema Esercizio

creatività applicazione

scoperta riproduzione

situazione inedita situazione conosciuta

metodo sconosciuto approccio già acquisito

processo di riflessione esecuzione meccanica

analisi metodica comprensione immediata

acquisizione consolidamento, rafforzamento

sviluppo condizionamento, allenamento

novità momento pratico

Differenze tra problema e esercizio

Dictionnaire actuel de l'éducation di Réginald Legendre

Esercizio Comportamento

automatico

Problema Comportamento

strategico

Capacità decisionali

Responsabilità delle scelte

L’utilizzazione di procedure e di strategie da scoprire.

Caratteristiche di un buon problema

• L’alunno deve poter procedere da solo

• La situazione deve essere motivante e permettergli di

dare un senso al suo impegno.

• La situazione deve suscitare un comportamento di

ricerca.

•• Il problema deve poter essere formulato in diversi

ambiti quali, ad esempio, quello geometrico, fisico,

grafico, numerico.

Strategia di risoluzione del problema

Comporta una serie di passaggi:

· esplorazione delle regole (norme, esperienze,…) già note

e già applicate;

· scarto di ciascuna;

· analisi della situazione da più punti di vista;

· confezionamento di una regola comportamentale nuova,

ottenuta “dosando” in modo opportuno regole (norme,

esperienze,…) vincenti già utilizzate in precedenza;

· verifica della risolubilità del problema con tale regola

nuova.

Problem solving Problem posing

Gli autori del testo che ha reso celebre il problem posing,

Brown e Walter (1988), distinguono due modi diversi di

dire che rendono molto bene la questione:

fare o farsi domande

chiedersi sempre «E se …?», oppure «E se non …?».

Esempio di problem posing

Problema: calcolare la somma dei cento numeri da 1 a 100.

Invece di fare quel che il problema dice (che sarebbe

1+2=3, 3+3=6, 6+4=10, 10+5=15, e così via fino a 100, facendo 99

addizioni) «E se …»: «E se invece di addizionare in ordine, io

addiziono il primo e l’ultimo, che cosa trovo?». ( Risoluzione di

Gauss)

Dunque: scoperta di regolarità.

La “didattica per problemi” è una strategia educativa

che comporta nuova conoscenza.

S I A

S

I A

Risolvendo il problema il soggetto ha appreso

L’importanza dell’errore

Avete tentato e avete fallito. Non importa. Tentate ancora.

Fallite ancora. Fallite meglio” (Samuel Beckett)

Nell’ambito del problem posing e solving, il concetto stesso

di errore cessa di avere la valenza usualmente negativa,

acquisendo la sostanza di strumento concettuale atto al

miglioramento, strategico e di calcolo, delle capacità risolutive

dell’alunno.

Alte e basse ( Cat. 3, 4 )

Cinque amiche confrontano le loro altezze:

- Elena è più alta di Marina, ma più bassa di Francesca

- Valeria è più bassa di Francesca e di Marina

- Camilla è più alta di Valeria.

- Francesca non è la più alta

Disponete le cinque amiche dalla più alta alla più bassa e

cercate di spiegare come avete trovato la risposta.

ANALISI A PRIORI

Ambito concettuale: Logica: Seriazione

Analisi del compito

- Interpretare correttamente le quattro frasi e stabilire le relazioni

corrispondenti trovando una simbologia adeguata per esprimere

il contenuto delle frasi.

RALLY MATEMATICO TRANSALPINO

Il prodotto più grande (Cat. 4, 5)

Clara ha questi sei cartoncini: 1 2 3 4 5 x

Utilizzando i cartoncini con le cifre, Clara forma due

numeri.

Tra questi numeri sistema il cartoncino con il segno di

moltiplicazione.

Come deve disporre i cartoncini Clara per ottenere il

prodotto più grande possibile?

Scrivete tutti i vostri calcoli.

Ambito concettuale

- Aritmetica : confronto di numeri, ordine di grandezza

RALLY MATEMATICO TRANSALPINO

Punti di vista (Cat. 5, 6)

Il cubo che si vede in figura è composto da 2 cubetti

rossi, 2 bianchi, 2 verdi e 2 gialli.

Se si guarda questo cubo dall'alto si vedono: 1 cubetto

verde, 1 bianco, 1 rosso e 1 giallo;

se lo si guarda di fronte si vedono: 1 cubetto giallo, 1

bianco, 1 rosso e 1 verde;

se lo guarda da destra si vedono: 2 cubetti verdi e 2

gialli.

Di che colore potrebbe essere il cubetto che non si

vede nel disegno?

Spiegate il vostro ragionamento.

Ambito concettuale

- Geometria: il cubo, visione spaziale

RALLY MATEMATICO TRANSALPINO

QUANTI MOSTRI RIMASERO VIVI ?

L’attività è stata proposta svariate volte in quasi tutte le

classi della scuola dell’obbligo, ottenendo una risposta

costantemente simile.

Si propone ai ragazzi il seguente compito

“Formula il testo di un problema la cui risposta sia la

seguente:

‘Alla fine della battaglia rimasero vivi 12 mostri’”

Se non si danno ulteriori indicazioni, gli alunni

producono invariabilmente testi (più o meno elaborati)

del tipo:

“Una squadra di 30 mostri si scontrò contro una squadra

di 18 mostri e li distrussero tutti. Quanti mostri rimasero

vivi alla fine della battaglia ?”

Ma basta fornire una ulteriore indicazione per stimolare i ragazzi a

scatenare la fantasia

“Formula il testo di un problema la cui risposta sia la seguente:

‘Alla fine della battaglia rimasero vivi 12 mostri’

Attento: il problema ai deve risolvere con una somma”

(rispettivamente “una moltiplicazione”, “una divisione”).

(+) “La battaglia era alla fine e ormai erano vivi solo 5 mostri.

All’improvviso arrivò di rinforzo un’astronave con altri 7 mostri e questi

uccisero tutti i nemici e non morì nessun altro mostro. Quanti mostri

rimasero vivi alla fine della battaglia ?”

(x) “La battaglia era finita ed erano rimasti solo 6 mostri. Ma ognuno

di loro si sdoppiò. Quanti mostri rimasero vivi alla fine della battaglia ?”

(:) “24 mostri si erano divisi su 2 astronavi per scappare. Una

astronave fu distrutta e l’altra riuscì a scappare. . Quanti mostri

rimasero vivi alla fine della battaglia ?”

Gli strumenti di calcolo

L’uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer

deve essere incoraggiato opportunamente fin dai primi

anni della scuola primaria, ad esempio per verificare la

correttezza di calcoli mentali e scritti e per esplorare il

mondo dei numeri e delle forme

Math Calculating

Math Calculating

Nella vita reale la matematica è stata liberata dal calcolo.

La stessa cosa non è successa nel mondo dell’istruzione.

.

Riordinare il percorso di apprendimento

Tradizionalmente si è basato sulla difficoltà del calcolo,

adesso dobbiamo ordinarlo sulla difficoltà di comprensione

dei concetti.

Bibliografia

Butterworth B, Intelligenza matematica. Vincere la paura dei numeri

scoprendo le doti innate della mente, Rizzoli, Milano, 1999 (ed. or., 1999).

D’Amore B. e Manini M. Percorsi, Labirinti, mappe. Esperienze proto

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Dehaene S. , Il pallino della matematica. Scoprire il genio dei numeri che

è in noi, Arnoldo Mondadori, Milano, 2000 (ed. or., 1997).

Lucangeli D., Iannitti A. e Vettore M., Lo sviluppo dell’intelligenza numerica,

Carocci, Roma, 2007.

D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I. (2006). Che problema i problemi!

L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate. 6, vol. 29 AB.

645-664. Editore: Centro Morin, Paderno del Grappa (TV). ISSN:

1123-7570.

Domingo Paola, Dal laboratorio alla lezione: descrizione di un esempio

Liceo scientifico A. Issel - Finale Ligure - G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica

Università di Genova