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Statistica Descrittiva - Lezione 1

Gianluca Bande

Università degli Studi di Cagliari

December 13, 2007

G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, 2007 1 / 23

Statistica descrittiva

La statistica descrittiva è un insieme di tecniche per descrivere eriassumere dati ricorrendo a tecniche matematiche.

Gli strumenti di sintesi sono essenzialmente di tre tipi:

tabelle

rappresentazioni grafiche

indici sintetici

AttenzioneQuando sintetizziamo l’informazione contenuta nei dati, ne perdiamouna parte. Gli strumenti di sintesi devono essere scelti in modo taleda:

preservare, per quanto possibile, l’informazione rilevante per ilproblema analizzato

eliminare l’informazione non necessaria


Statistica descrittiva

La statistica descrittiva è un insieme di tecniche per descrivere eriassumere dati ricorrendo a tecniche matematiche.Gli strumenti di sintesi sono essenzialmente di tre tipi:

tabelle

rappresentazioni grafiche

indici sintetici

AttenzioneQuando sintetizziamo l’informazione contenuta nei dati, ne perdiamouna parte. Gli strumenti di sintesi devono essere scelti in modo taleda:

preservare, per quanto possibile, l’informazione rilevante per ilproblema analizzato

eliminare l’informazione non necessaria


Unità statistiche

Uno studio statistico riguarda un gruppo di individui. Gli individuipossono essere persone, cellule, molecole, foglie, pietre...

DefinizioneGli individui costituiscono le nostre unità statistiche diosservazione

L’insieme delle unità statistiche forma la popolazione

Indicheremo con N il numero di unità statistiche che costituiscono unapopolazione e denoteremo le unità statistiche con:

U1,U2, . . . ,UN


Variabile

Sulle unità statistiche vengono effettuate delle osservazioni omisurazioni.

DefinizioneChiamiamo variabile o carattere ciò che si misura o osserva sulle unitàstatistiche di una popolazione

Generalmente, su una popolazione possiamo fare diverse misurazioni.Se le variabili misurate sono 2 o 3 le indicheremo con le lettere

X,Y,Z


Esempio

Gli studenti di Scienze Naturali costituiscono una popolazione. Semisuriamo a ciascun studente il peso e l’altezza si ha:

studenti = unità statistiche

popolazione = studenti di Scienze Naturali

peso = X

altezza = Y


La tabella cronologica

VariabiliUnità X Y Z

U1 X1 Y1 Z1

U2 X2 Y2 Z3

U3 X3 Y3 Z3

· · · ·· · · ·· · · ·

UN XN YN ZN

VariabiliUnità peso altezza sesso

U1 48 156 0U2 45 151 0U3 65 160 1· · · ·· · · ·· · · ·

UN 68 162 1


Rappresentazione di una variabile

Di solito i valori di una variabile misurati su una popolazione sirappresentano come un vettore

X = {X1,X2, . . . ,XN}

dove si è indicato con Xk il valore della variabile X relativo all’unitàstatistica Uk. Questa rappresentazione non fornisce alcunainformazione sui dati.


Rappresentazione non strutturata

EsempioSimulazione del lancio di due dadi a sei facce

dadi = (6,6,5,6,3,4,8,7,7,6,9,5,10,6,6,7,10,10,3,3,8,5,7,6,10,7,6,7,9,4,7,2,5,11,6,6,8,6,4,7,7,9,7,7,8,10,9,5,8,6,6,7,5,5,11,4,10,7,9,9,7,4,9,5,10,8,5,6,9,7,6,4,7,7,6,3,2,8,9,4,8,11,2,8,9,7,11,6,9,4,8,7,6,3,6,7,4,2,6,3,4,6,3,5,4,10,6,9,9,9,3,7,6,9,9,4,6,7,7,5,11,8,10,3,10,8,8,4,4,5,9,7,5,11,8,9,11,3,9,6,7,8,5,2,8,4,6,7,9,5,6,6,5,5,8,10,12,7,8,6,6,8,6,3,8,5,7,3,2,8,8,9,9,8,4,5,8,7,8,5,7,10,7,8,5,7,2,10,7,3,5,5,6,8,11,7,8,7,6,11,12,8,7,5,9,4,10,4,10,4,5,7,6,12,6,9,4,6,7,3,11,12,6,5,7,6,2,4,11,5,4,9,7,10,8,7,8,2,7,11,3,7,12,11,6,8,5,8,10,8)


Rappresentazione non strutturata

EsempioIl vettore riporta il peso di 300 trote.

peso trote = (217,250,297,212,380,344,259,269,303,327,285,341,326,233,217,379,284,307,377,369,382,253,256,295,311,342,309,409,287,341,259,392,250,296,336,239,301,235,368,264,288,269,255,254,391,311,363,251,294,287,287,328,227,158,303,371,312,306,341,347,314,342,283,345,347,250,328,213,284,269,240,193,260,282,344,316,405,269,355,356,253,299,395,293,283,394,291,296,277,353,287,314,322,274,340,394,236,448,258,269,358,323,268,327,338,332,334,344,292,337,373,244,334,276,296,297,227,259,244,193,301,274,286,378,288,267,369,215,232,350,333,240,349,320,277,311,296,360,316,265,249,270,222,380,249,291,320,249,273,251,239,254,325,345,244,334,315,245,345,323,241,307,314,363,256,339,304,320,409,265,301,271,333,287,367,220,268,239,276,282,288,285,317,304,313,251,363,330,271,247,279,351,340,278,332,316,291,276,225,330,317,254,244,179,263,334,285,359,343,275,269,256,244,302,364,290,303,320,247,348,290,318,257,221,418,218,395,325,332,348,283,339,243,351,305,234,300,399,320,310,309,320,322,331,258,384,329,277,339,271,308,270,255,303,269,315,304,337,334,267,355,356,242,239,319,323,305,323,346,357,316,250,293,228,270,374,278,375,299,364,258,357,238,300,298,321,202,368,371,422,212,349,306,344,303,328,339,363,264,305)


Rappresentazione cartesiana

La prima rappresentazione strutturata è quella data dallavisualizzazione cartesiana dei dati.

Si riporta

in ascissa il numero progressivo delle unità statistiche

in ordinata il valori della variabile X

Si posiziona poi un pallino in corrispondenza dei punti di coordinate(k,Xk),k = 1, . . . ,N.


Rappresentazione cartesiana

La prima rappresentazione strutturata è quella data dallavisualizzazione cartesiana dei dati.Si riporta

in ascissa il numero progressivo delle unità statistiche

in ordinata il valori della variabile X

Si posiziona poi un pallino in corrispondenza dei punti di coordinate(k,Xk),k = 1, . . . ,N.


Lancio dei due dadi

50 100 150 200 250

2

4

6

8

10

12


Peso delle trote

50 100 150 200 250 300

200

250

300

350

400

450


Frequenze assolute

Si consideri un vettore

X = (8,15,18,2,19,5,1,10,5,17,15,5,3,6,13,19,13,14,10,13,13, 15,13,17,11,0,7,6,0,6)

La rappresentazione di tutti i dati non è sempre molto chiara. Di fattomolte volte interessa sapere se un certo valore è all’interno di un datointervallo, più che il singolo valore.Procediamo nel modo seguente:Per primo riordiniamo i dati del vettore X:

X∗ = (0,0,1,2,3,5,5,5,6,6,6,7,8,10,10,11,13,13,13,13,13,14, 15,15,15,17,17,18,19,19)


Frequenze assolute


X = (8,15,18,2,19,5,1,10,5,17,15,5,3,6,13,19,13,14,10,13,13, 15,13,17,11,0,7,6,0,6)

La rappresentazione di tutti i dati non è sempre molto chiara. Di fattomolte volte interessa sapere se un certo valore è all’interno di un datointervallo, più che il singolo valore.

Procediamo nel modo seguente:Per primo riordiniamo i dati del vettore X:

X∗ = (0,0,1,2,3,5,5,5,6,6,6,7,8,10,10,11,13,13,13,13,13,14, 15,15,15,17,17,18,19,19)


Frequenze assolute


X = (8,15,18,2,19,5,1,10,5,17,15,5,3,6,13,19,13,14,10,13,13, 15,13,17,11,0,7,6,0,6)

La rappresentazione di tutti i dati non è sempre molto chiara. Di fattomolte volte interessa sapere se un certo valore è all’interno di un datointervallo, più che il singolo valore.Procediamo nel modo seguente:Per primo riordiniamo i dati del vettore X:

X∗ = (0,0,1,2,3,5,5,5,6,6,6,7,8,10,10,11,13,13,13,13,13,14, 15,15,15,17,17,18,19,19)


Ampiezza e sotto intervalli

DefinizioneL’ampiezza di un vettore X è il numero M−m= X∗

N −X∗1 dove M e m

sono il massimo ed il minimo valore di X rispettivamente.

Nell’esempio l’ampiezza vale 19. Adesso suddividiamo l’intervalloI = [0,19] in sotto intervalli. Scegliendo, per esempio, sotto intervalliomogenei di ampiezza 5,si ottiene:

I1 = [0,5), I2 = [5,10), I3 = [10,15), I4 = [15,20)

OsservazioneSi osservi che per convenzione il primo estremo dei sotto intervalli èincluso mentre il secondo no, cioè appartiene al sotto intervallosuccessivo.


Frequenze assolute e relative

Per ciascun sotto intervallo calcoliamo le frequenze assolute e quellerelative definite da

DefinizioneLe frequenze assolute, indicate con nk misurano il numero di unitàstatistiche con un valore della variabile X all’interno dell’intervallo Ik.

Le frequenze relative definite da fk = nk/N, indicano la frequenzaassoluta rapportata al numero totale di unità statistiche. Di solito siesprimono in percentuale.

Intervalli nk fkI1 = [0,5) 5 5/30= 16.6%I2 = [5,10) 8 8/30= 26.6%I3 = [10,15) 9 9/30= 30.0%I4 = [15,20) 8 8/30= 26.6%


Frequenze assolute e relative

Per ciascun sotto intervallo calcoliamo le frequenze assolute e quellerelative definite da

DefinizioneLe frequenze assolute, indicate con nk misurano il numero di unitàstatistiche con un valore della variabile X all’interno dell’intervallo Ik.Le frequenze relative definite da fk = nk/N, indicano la frequenzaassoluta rapportata al numero totale di unità statistiche. Di solito siesprimono in percentuale.

Intervalli nk fkI1 = [0,5) 5 5/30= 16.6%I2 = [5,10) 8 8/30= 26.6%I3 = [10,15) 9 9/30= 30.0%I4 = [15,20) 8 8/30= 26.6%


Istogramma

Se la suddivisione dell’ampiezza è omogenea l’istogramma si ottienecostruendo dei rettangoli affiancati di base l’estensione dei sottointervalli scelti per il calcolo delle frequenze assolute e di altezza lecorrispondenti frequenze relative.


Istogramma

1 2 3 4

5

10

15

20

25

30

Esempio guida


Istogramma del lancio dei dadi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10

20

30

40


Istogramma del peso delle trote

175 225 275 325 375 425

20

40

60

80

100


Istogramma a torta del lancio dei due dadi

2

3

4

5

6

7

8 9

10

11

12


Istogramma non omogeneo

In certi casi la suddivisione dell’ampiezza di una variabile X non èomogenea. In questo caso l’istogramma a barre va costruito nel modoseguente.Si costruiscono dei rettangoli la cui base è data dai sotto intervallimentre l’altezza si ottiene imponendo che l’area dei rettangoli sia parialla frequenza relativa.Dalla formula dell’area di un rettangolo segue che le altezza deirettangoli sono date dalla formula:

hk =fk

lunghezza di Ik


EsempioDato il vettore

X = (31,14,22,30,5,18,18,2,31,1,10,20,0,10,31,0,19,6,16,22,3,16,19,15,23,0,28,19,4,18,8,35,29,28,6,28,23,2,11,0)

dividiamo l’ampiezza, pari a 35, nei seguenti sotto intervalli

[0,10), [10,30) [30,35)

Le frequenze assolute, relative e le altezze dei rettangoli sono

Intervalli nk fk hk

I1 = [0,10) 13 13/40= 32.5% 3.25I2 = [10,30) 22 22/40= 50% 2.75I3 = [30,35) 5 5/40= 12.5% 2.5


Istogramma non omogeneocon altezza dei rettangoli parialle frequenze relative

Istogramma non omogeneocon area dei rettangoli parialle frequenze relative


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