Statistica DescrittivaStatistica DescrittivaStatistica DescrittivaStatistica Descrittiva

0

4

8

12

16

20

45 46.5 48 49.5 51 52.5 54 55.5 57

frequ

enza

rela

tiva

cm

dispersione

posizione

dispersione di una distribuzione Obiettivi della

lezione:Media  Mediana, Moda Asimmetria, kurtosi Quantili e percentili • devianza• varianza• deviazione standard• intervallo

interquartile

  sonno Maschi Femmine

1 1 32 3 63 3 74 7 85 11 56 8 37 4 18 2 19 1 1

10 - -11 - 112 - 113 - 114 - 115 - 1

Usando SOLO le medie possiamo ingannarci nel confrontare i caratteri di due gruppi di individui.

Ad esempio , sappiamo che le donne sono notoriamente diverse dagli uomini

sotto molti aspetti

Ore di frequenza

Diamo un'occhiata alla distribuzione di frequenza della durata di sonno indotto da un anestetico in un campione di 40+40 pazienti.

dispersione di una distribuzionedispersione di una distribuzionedispersione di una distribuzionedispersione di una distribuzione

Per facilitare i confronti riportiamo i dati in grafico.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

DURATA DEL SONNO INDOTTO

fre

qu

en

za

as

so

luta

Maschi

Femmine

Il periodo medio di sonno per le donne risulta di 5 ore così come per gli uominiSe ci soffermiamo solo sulle medie potremmo concludere che

le donne hanno una durata di sonno uguale a quello dei maschi.

dispersione di una distribuzionedispersione di una distribuzionedispersione di una distribuzionedispersione di una distribuzione

D = (45.0-50.375)2 2 + (46.5-50.375)25+...+ (57.0-50.375)2 1 = 365.812

xi f(xi) xi f(xi)

45.0 2 90.0 -5.375 28.891 57.781 2025.00 4050.0046.5 5 232.5 -3.875 15.016 75.078 2162.25 10811.2548.0 7 336.0 -2.375 5.641 39.484 2304.00 16128.0049.5 14 693.0 -0.875 0.766 10.719 2450.25 34303.5051.0 16 816.0 0.625 0.391 6.250 2601.00 41616.0052.5 9 472.5 2.125 4.516 40.641 2756.25 24806.2554.0 5 270.0 3.625 13.141 65.703 2916.00 14580.0055.5 1 55.5 5.125 26.266 26.266 3080.25 3080.2557.0 1 57.0 6.625 43.890 43.890 3249.00 3249.00

60 3022.5 365.812 152624.25

i( x x ) 2( )ix x 2i i( x x ) f ( x ) 2

ix 2i ix f ( x )

D = 152624.25 - (3022.5)2/60 = 152624.25 - 152258.44 = 365.813

Nell'esempio della lunghezza dei neonati:

Var= 365.812/59 =6.2 Deviazione standard = 2.49

calcolo della media e della varianza ( dati in classi )calcolo della media e della varianza ( dati in classi )

Media = 3022.5/60 = 50.375

0

4

8

12

16

20

45 46.5 48 49.5 51 52.5 54 55.5 57

fre

qu

en

za r

ela

tiv

a

0

4

8

12

16

20

cm

ISTOGRAMMA POLIGONO DIFREQUENZA

centro della classe

• esempio della lunghezza dei neonati:

Istogramma dei datiIstogramma dei dati

Media = 400/80 = 5

Devianza= 620 ; Varianza=Devianza/(N-1)= 620/79 = 7.848

xi f(xi)

1 4 1 4 4 -4 64 2 9 4 18 36 -3 81 3 10 9 30 90 -2 40 4 15 16 60 240 -1 15 5 16 25 80 400 0 0 6 11 36 66 396 1 11 7 5 49 35 245 2 20 8 3 64 24 192 3 27 9 2 81 18 162 4 32

10 0 100 0 0 5 0 11 1 121 11 121 6 36 12 1 144 12 144 7 49 13 1 169 13 169 8 64 14 1 196 14 196 9 81 15 1 225 15 225 10 100 Σ 80 400 2620 620

2ix

i( x x )i ix f ( x ) 2i ix f ( x ) 2

i i( x x ) f ( x )

Deviazione standard= 2.801

Torniamo all’esempio del sonno

0.05

0.11250.125

0.18750.2

0.1375

0.0625

0.03750.025

00.01250.01250.01250.01250.0125

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ore di sonno

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

soggetti

percent

Media 5

Varianza 7.848101

dev. Stand. 2.801446

asimm. 1.456178

Kurtosi 2.897833

Mediana 5

quartile 1 3

quartile 3 6

i valori assoluti degli scarti,

x x xn1 2, ,

1 2| | | | ... | |nx x x x x x

Dato un insieme di n valori:

detta la loro media aritmetica ex

si chiama scarto semplice medio (assoluto) la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti semplici di ciascun dato x dalla media aritmetica x

scarto semplice medioscarto semplice medio

Si definisce varianza di una distribuzione statistica la media aritmetica dei quadrati degli scarti dalla media.

2 2 22 1 2 Nx x ... x

N

Si definisce scarto quadratico medio la radice quadrata della varianza.

2

la varianzala varianza

Questo numero rappresenta una misura della deviazione dei valori dalla media. Esso ci dice come i valori tendano a disperdersi intorno alla loro media: se la deviazione standard è piccola, indica un fitto addensamento dei valori intorno alla loro media; se è grande indica la presenza di valori molto lontani dalla media.

la deviazione standard la deviazione standard

N2

ii=1

(x )

N

1

m2

i ii=1

m

ii

(x ) f ( x )

f ( x )

Per i dati raggruppati in classe =>

Per i dati singoli =>

stima in un campione =>

N2

ii=1

(x x )

N-1

1

1

m2

i ii=1

m

ii

(x x ) f ( x )

f ( x )

Per dati raggruppati in classe =>

1

m

ii

f ( x ) N

dove

Stima della Deviazione standardStima della Deviazione standard

Deviazione standardDeviazione standard

IV = 15-1 = 14

media d.s = 4.4

IV = 15-1 = 14

ds=5.5

IV = 15-1 = 14

media d.s = 3.6

IV = 15-1 = 14

d.s = 2.7

0

25

50

75

100

47.25 48.75 50.25 51.75 53.25 54.75 56.25 57.75 59.25 60.75

F(x

)

cm

mediana

1° quartile

3° quartile

intervallointerquartile

Un indice di dispersione di uso comune è l'intervallo interquartile, dato dalla differenza tra 3° e 1° quartile (cioè tra 75° e 25° centile): tale intervallo contiene la metà dei valori inclusi nel campione, indipendentemente dalla forma della distribuzione della variabile.

l'intervallo interquartilel'intervallo interquartile

Obiettivi della lezione:

• media  

• mediana

• moda

• percentili

• intervallo di variazione

• devianza

• varianza

• deviazione standard

• intervallo interquartile

• Indice di simmetria

• Coefficiente di variazione

Sommario della statistica descrittivaSommario della statistica descrittiva

 ESEMPIO: Come confrontare il vostro peso con quello di altre persone della vostra età? 

Supponiamo che uno di voi pesi 4 kg oltre la media dei soggetti della sua età: ci sono molti altri, della stessa età, con un peso maggiore, oppure egli è un piccolo gigante?

Bisogna conoscere la deviazione standard dei pesi dei ragazzi di quella età, prima di fare un confronto con il peso degli altri.

Supponiamo che il peso medio dei ragazzi di quell'età sia 45 kg e che la deviazione standard sia 2 kg: 

… allora un peso di 49 kg è sopra la media di due deviazioni standard.

La deviazione standard è una quantità utile per effettuare confronti.

Approfondimento:

rivediamo alcune formule ed introduciamo le nozioni

• di asimmetria (skewness) e • di curtosi

Principali indici statisticiI grafici finora analizzati ci danno informazioni qualitative; possiamo quantificarle ricorrendo ai seguenti indici.Siano n osservazioni numeriche1 2, ,..., nx x x

di posizione

di forma

di dispersione

MODA

MEDIANA

MEDIA

SCARTO QUADRATICO MEDIO

VARIANZA

RANGE

ASIMMETRIA (SKEWNESS)

CURTOSI ( KURTOSIS)

INDICI

Indici di posizione:moda E' definita come il valore che ha la frequenza più alta.

E' quel valore al di sotto del quale cadono la metà dei valori campionari.mediana

E' quel valore che corrisponde alla somma di tutti i valori diviso il numero dei valori stessi.

dove:Xi = esito i-ma misura n = numero dei dati (dimensione del campione)

XX

n

ii

n

1

media

Gli indici di posizione indicano il valore attorno al quale i dati del campione sono posizionati Mi interessa la dispersione dei dati intorno a tale valore

N.B. NELLA DISTRIBUZIONE NORMALE MEDIA= MODA = MEDIANA

Indici di dispersione:

media dei quadrati degli scarti

xmax -xmin range (intrevallo di variazione)

scarto medio assoluto

varianza campionaria

deviazione standard campionaria

p_esimo quantile: si considera np per [ 0 ≤ p ≤1 ]Se np non è intero, considero k l’intero successivo e il p_esimo quantile è xk

Se np = k è intero, il p_esimo quantile è (xk+ xk+1)/2

1

1| - |n

ixn

2

1

1( - )n

ixn

2

1

1( - )

1

n

ix xn

2

1

1( - )

1

n

ix xn

Q1=primo quartile =25° percentileQ2=secondo quartile =50° percentile=medianaQ3=terzo quartile =75° percentile

Media uguale

Deviazione Standard Diversa

Media e varianza:

Istogramma

01020304050607080

0,2

0,8

1,4 2

2,6

3,2

3,8

Classe

Fre

qu

en

za

Frequenza

Istogramma

0

50

100

150

200

ClasseF

req

uen

za

Frequenza

Media=2Varianza=1.33

Media=2Varianza=4

Indici di forma

INDICE DI ASIMMETRIA (Skewness)

CURTOSI

>0 coda a destra

<0 coda a sinistra

=0 simmetrica

Misura il grado di ripidezza della distribuzione

>3 leptocurtica

=3 distribuzione normale (mesocurtica)

<3 platicurtica

N.B. In molti software il coefficiemte di curtosi viene confrontato con il valore 0

3

3

( ) ix

n

4

14

( )

n

ii

x

n

Indici: Schema riassuntivo

•media:

•moda: punto di max della distribuzione

•mediana: valore sotto al quale cadono la metà dei valori campionari. Si dispongono i dati in ordine crescente e si prende quello che occupa la posizione centrale (N dispari) o la media dei 2 valori in posizione centrale (N pari)

N

xx i i

•varianza

•deviazione standard

•range

•skewness (coeff. di asimmetria)

•curtosi: misura quanto la distribuzione è appuntita

2

2

1ii

x xs

N

sminmax xxR

N

xxi

i

3

N

xxi

i

4

di p

osiz

ione

di d

ispe

rsio

ne d

i di f

orm

a

>0 coda a ds

<0 coda a sin

=0 simmetrica

<3 poco appuntita >3 molto appuntita