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Psicometria (8 CFU)

Corso di Laurea triennnale

INDICI DI POSIZIONE - I QUANTILI

• Per conoscere la posizione che un valore occupa all‟interno di una distribuzione di frequenza si utilizzano

–Quartili

–Decili

–Percentili

che vengono detti QUANTILI

INDICI DI POSIZIONE

Questi indici richiedono che la variabile sia misurata almeno

su una scala ordinale

poiché richiedono una distribuzione ordinata di frequenza

INDICI DI POSIZIONE

QUARTILI

Valori in corrispondenza dei quali ladistribuzione viene suddivisa in quattroparti uguali. I quartili sono tre:

1° quartile Q1 (o inferiore): valore al di

sotto del quale ricade il 25% dei casi

2° quartile Q2 (o mediano): valore al di


3° quartile Q3 (o superiore): valore al di


Q1

Q3

Q2

QUARTILI

25%50%

75%

Come si calcolano:

1. Si ordinano in senso crescente lemodalità o i valori della variabile

2. Si calcolano le frequenze cumulate

3. Si calcola la posizione del quartilecon le apposite formule

4. Si cerca nella distribuzione il valorecorrispondente alla posizione trovata

QUARTILI

Formule per il calcolo della posizione:

QUARTILI

Per il 1° quartile:



14

1NposQ1

24

1NposQ2

34

1NposQ3

NOTA BENE

Il secondo quartile Q2

corrisponde alla Mediana

La Mediana è un indice di tendenza centrale e di

posizione

QUARTILI

ESEMPIO

15 soggetti hanno espresso il loro grado di adesione (punteggio da 1 a 7) alla seguente affermazione:

“Meglio cento anni da pecora che un giorno da leone”

I risultati sono:

1 5 4 6 7 2 5 6 3 1 2 4 4 7 7

Trovare il 1°, 2° e 3° quartile

QUARTILI

Punteggi f fcum

1 2 2

2 2 4

3 1 5

4 3 8

5 2 10

6 2 12

7 3 15

QUARTILI

414

115posQ1

824

115posQ2

1234

115posQ3

QUARTILI

Punteggi f fcum

1 2 2

2 2 4

3 1 5

4 3 8

5 2 10

6 2 12

7 3 15

2 2 4

4 3 8

6 2 12

Pos Q1

Pos Q2

Pos Q3

Q1

Q2

Q3

• Il primo quartile è 2

(occupa la 4° posizione nella distribuzione)

• Il secondo quartile è 4


• Il terzo quartile è 6


QUARTILI

DECILI

• Valori in corrispondenza dei quali ladistribuzione viene suddivisa in dieci partiuguali. I decili sono nove:

1° decile: valore sotto il quale ricade il

10% dei casi


20% dei casi


90% dei casi

SI PROCEDE COME PER I QUARTILI


DECILI

Per il 1° decile:

Per il 2° decile:

Per il 9° decile:

110

1NposD1

210

1NposD2

910

1NposD9

……

DECILI

ESEMPIO

11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi:

25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58

Trovare il 3° e l‟ 8° decile

DECILI

Punteggi f fcum

25 2 2

34 1 3

38 2 5

43 1 6

48 2 8

54 1 9

58 2 11

6.3310

111posD3

6.9810

111posD8

• Il terzo decile sta tra la 3° e la 4°posizione (posD3= 3.6) quindi è un valorecompreso tra 34 e 38

• Si procede così:

• Si moltiplica la differenza tra i due valori34 e 38 per la quantità che eccede dalla3° posizione: 3.6 cioè 0.6

(38-34) x 0.6 = 2.4

• Si somma questa quantità al valorecorrispondente alla terza posizione:

34 + 2.4 = 36.4 terzo decile

DECILI

• L‟ottavo decile sta tra la 9° e la 10° posizione (posD8= 9.6) quindi è un valore compreso tra

54 e 58

• Moltiplico la differenza tra i due valori per la quantità che eccede dalla 9° posizione: 9.6 cioè 0.6

(58-54) x 0.6 = 2.4

• Sommo questa quantità al valore corrispondente alla nona posizione:

54 + 2.4 = 56.4 ottavo decile

DECILI

CENTILI

• Valori in corrispondenza dei quali ladistribuzione viene suddivisa in centoparti uguali.

• I centili sono novantanove:

15° centile: valore sotto il quale ricade il15% dei casi



COME PER I QUARTILI E I DECILI


Per il 14° centile:

Per il 79° centile:

14100

1NposC14

97100

1NposC79

CENTILI

ESEMPIO

11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi:

25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58

Trovare il 28° e l‟ 82° centile

CENTILI

Punteggi f fcum

25 2 2

34 1 3

38 2 5

43 1 6

48 2 8

54 1 9

58 2 11

4.336.328100

111posC28

9.982100

111posC82

CENTILI

• Il ventottesimo centile (C28) si trova tra la3° e la 4° posizione (posC28 = 3.4) quindiè compreso tra 34 e 38

• Si procede come al solito:

• Si moltiplica la differenza tra i due valori34 e 38 per la quantità che eccede dalla3° posizione: cioè 0.4

(38-34) x 0.4 = 1.6

• Si somma questa quantità al valorecorrispondente alla terza posizione:

34 + 1.6 = 35.6 ventottesimo centile

CENTILI

• L‟ottentaduesimo centile sta tra la 9° e la10° posizione (posC82 =9.9) quindi è unvalore compreso tra 54 e 58

• Si moltiplica la differenza tra i due valori 54 e 58 per la quantità che eccede dalla 9° posizione: cioè 0.9

(58-54) x 0.9 = 3.6

• Si somma questa quantità al valorecorrispondente alla nona posizione:

54 + 3.6 = 57.6 ottentaduesimo centile

CENTILI

i

i

licumli a

f

fe PosQuantilX

FORMULA GENERALE DEI QUANTILI


flicum è la frequenza cumulata della classe

precedente a quella che contiene il Quantile

ai è l„ampiezza della classe che contiene il

Quantile

fi è la frequenza della classe che contiene il

Quantile

Xli è il limite reale inferiore della classe che

contiene il Quantile


Classi

18-20

21-22

23-24

25-26

27-30

f

15

18

20

16

13

82

I voti di 82 studenti all‟esame di“Psicometria” sono distribuiti così:

ESEMPIO


ESEMPIO

Vogliamo conoscere il valore mediano della distribuzione

Dobbiamo perciò calcolare

il valore del secondo quartile

Q2


ESEMPIO

Calcoliamo innanzitutto la posizione della mediana

412x4

82PosQ2


Classi

18-20

21-22

23-24

25-26

27-30

f

15

18

20

16

13

82

ESEMPIO

fcum

15

33

53

69

82

41

i

i

licumli a

f

fe PosQuantilX



Classi

18-20

21-22

23-24

25-26

27-30

f

15

18

20

16

13

82

ESEMPIO

fcum

15

33

53

69

82

a

3

2

2

2

4

22.5-24.5

Limiti reali


ESEMPIO

Applichiamo la formula

3.23220

33415.22

3.23MeQ2

Spiegazione tramite istogramma

Costruiamo l‟istogramma

della distribuzione



Classi

18-20

21-22

23-24

25-26

27-30

f

15

18

20

16

13

82

ESEMPIO

fcum

15

33

53

69

82

a

3

2

2

2

4

22.5-24.5

Limiti realih

5

9

10

8

3.25

17.5-20.5

20.5-22.5

24.5-26.5

26.5-30.5

15

h

17.5


1820

16

13

22.5 30.5 X

Calcolare le frequenze cumulate

equivale a sommare le aree

degli istogrammi


La posizione che abbiamo

trovato (41) equivale perciò

ad un‟area

Per trovare il valore del secondo

Quartile dobbiamo calcolare

a che valore corrisponde

in ascissa l‟area = 41


Sommiamo le aree dei primi due

istogrammi: 15 + 18 = 33


Per ottenere 41 manca un

“pezzo” dell‟area del terzo

istogramma:

41 – 33 = 8


Quest‟area si trova utilizzando la formula

di calcolo dell‟area del rettangolo:

base x altezza

Nel nostro caso conosciamo l‟area (8)

conosciamo l‟altezza (10)

Troviamo facilmente la base

8/10 =0.8

15

h

17.5


18 16

13

22.5 30.5

8

Il quartile cercato sarà allora:

Q2 = 22.5 + 0.8 = 23.3

23.3

41

X

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