Spettroscopia e Interferenza• Per misurare uno spettro si utilizza quasi

sempre il fenomeno dell’ interferenza. • Nel seguito mostrerò come a seconda del

numero di fasci luminosi che si fanno interferire, l’ informazione spettrale diventa più o meno evidente, ma è comunque sempre contenuta nella figura di interferenza prodotta della luce.

• Abbiamo visto che nel caso del prisma ci sono infiniti raggi che interferiscono. Il risultato è una figura di interferenza con un picco univoco per ciascuna delle lunghezze d’ onda di ingresso.

Il prisma• Interferenza costruttiva solo quando l’

angolo di incidenza è tale che , cioè solo per la lunghezza d’ onda tale che

• Se n() è una funzione univoca, in D focalizza una unica lunghezza d’ onda tra tutte quelle costituenti il fascio incidente.

2'

2sin)(sin n

Risoluzione del PrismaBC

ddnR

21

• è un primo esempio di un risultato generale: la risoluzione spettrale è proporzionale alla massima differenza di cammino ottico (massimo ritardo) che si riesce ad introdurre tra i raggi che interferiscono.

Il reticolo di diffrazione• Qui abbiamo un numero finito (ma

molto alto) di raggi che interferiscono tra loro.

• N, tanti quante sono le fenditure (o i solchi) del reticolo.

Il reticolo di diffrazione• La differenza di cammino tra due

raggi consecutivi è )sin(sin d

d1

sin1 d

d

2 sin2 d

Il reticolo di diffrazione• La condizione di interferenza costruttiva

è • L’ interferenza di un numero finito (N) di

raggi (tutti alla stessa lunghezza d’ onda) è distruttiva a tutti gli angoli, tranne gli angoli tali che

• Quindi si ottengono m spettri sovrapposti:

• Riducendo il numero di fasci si è introdottaambiguità nell’ interferogramma

m

m)sin(sin mdm

Il reticolo di diffrazione• La risoluzione si può trovare

calcolando come dipende dall’ angolo di uscita il campo elettrico al rivelatore (D).

)22cos(.....)42cos()22cos(

)2cos()(

NctEctEctE

ctEE

o

o

o

o

Il reticolo di diffrazione• Per mezzo del teorema De Moivre si può

calcolare la somma :

• L’ intensità è il modulo quadro del campo elettrico:

• Per ritardo nullo c’è un massimo di intensità diffratta pari a

)2cos(sin

sin)(

NctNEE o

222

sinsin),(),(

NEEI o

22),0( NEI o

0 m

Il reticolo di diffrazione• Ad angoli leggermente diversi da

cioè per lunghezze d’ onda leggermente diverse da m, l’ intensità diffratta è inferiore.

• Calcoliamo dove diventa metà del massimo:

mNRmN

Nm

NmNNm

Nm

NEII o

32

262/62/

22/sin2/sin

2/2/)2/(

2

2

22max

m

• Ancora una volta abbiamo una risoluzione proporzionale al massimo ritardo introdotto tra i raggi che interferiscono.

• La distanza tra i solchi deve essere dell’ ordine della lunghezza d’ onda (=m e ).

• Per il visibile si può riempire il reticolo con decine di migliaia di fenditure (solchi): N=10000 e la risoluzione può essere altissima.

• Invece per l’ IR le dimensioni diventano proibitive:

mNR

RNdbNdmNR

mbmR 10100 e 10per 5

d

Funzione Strumentale• La risposta Sm di uno spettrometro allo spettro

incidente S è genericamente

• Il prisma ha infiniti raggi che interferiscono e per ogni angolo di uscita viene selezionata una sola delle infinite lunghezze d’ onda incidenti. La sua efficienza spettrale è

• Il reticolo ha N raggi che interferiscono e per ogni angolo di uscita ci sono molte lunghezze d’ onda incidenti. La sua efficienza spettrale è

• La semplificazione dello strumento ha portato ad una codifica più complessa dello spettro.

dSES m )()(

)()( int.costr E

m

E )()( m

Il Fabry Perot• Produce riflessioni multiple tra due lastre parallele e altamente riflettenti.

• Beams con differenti lunghezze d’ onda producono figure di interferenza diverse.

• La OPD tra raggi consecutivi è ieiie

ie cos2sintan2

cos2

Il Fabry Perot

miem cos2

• Quindi ci si aspettano massimi di interferenza costruttiva quando

• Illuminato da una sorgente diffusa monocromatica, per la sua simmetria il FP produce una serie di frange circolari:

Il Fabry Perot

• Per sorgenti non monocromatiche, come per il reticolo, si hanno spettri sovrapposti in uscita (la stessa lunghezza d’ onda viene focalizzata su diversi angoli di uscita), uno per ogni valore di m che viene detto ordinedello spettro.

• L’ intervallo spettrale libero è la distanza tra due massimi consecutivi corrispondenti alla stessa lunghezza d’ onda.

miem cos2

mmmm mmmm

11

iecos21

Il Fabry Perot• Sommando i campi di tutti i raggi, ciascuno

con il suo sfasamento, come abbiamo fatto per il reticolo, e tenedo conto che per ogni riflessione c’è un coefficiente di riflessione r

Il Fabry Perot• Siano A l’ ampiezza del campo incidente, R e

T i coefficienti di riflessione e trasmissione per il campo; trascurando l’ assorbimento si ha:

)2(

...1' 4836242

iiii eReReReRATTE

A

Il Fabry Perot• Il campo trasmesso è:

• L’ intensità trasmessa è quindi

i

i

iiii

iiii

eRRA

eReReReReRRA

eReReReRATTE

22

2

48362422

4836242

11)1(

argomento di geometrica serie...1)1(

...1'

1

22

22

42

22

42

22

22

222*

12/sin41

cos211

)(11

111

RRII

RRRI

ReeRRI

eReRRAEEI

oo

iioii

Il Fabry Perot

• Se r è la riflettività per l’ intensità, si ha

• Persi ha quindi interferenza costruttiva

• Se allora è grande, e basta un piccolo scostamento di rispetto a m per produrre interferenza distruttiva.

• Si ha quindi una alta risoluzione quando la riflettività della lamina è alta.

1

22

1

22

22

cos2sin1

411

2/sin41

ie

rrI

RRII oo

omm IIiemie 0cos2sin2cos2 2

1r 22 )1/(4 rr

• Immagine con CCD e FP di M33 in H

A

Il Fabry Perot

1

22

2

cos2sin1

411

,,

ierr

rtIeiI o

• Tenendo conto dell’ assorbimento:

• Variando e con continuità si spostano tutti i massimi di trasmissione, realizzando la scansione spettrale.

Il Fabry Perot

1

22

2

cos2sin1

411

,,

ierr

rtIeiI o

• Tenendo conto dell’ assorbimento:

• Variando e con continuità si spostano tutti i massimi di trasmissione, realizzando la scansione spettrale.

Risoluzione del Fabry-Perot

• Vediamo quanto deve cambiare s per diminuire l’ intensità di un fattore 2: dovrà essere unitario il secondo termine a denominatore:

• Ma vicino a m il sin è circa 0, quindi si confonde con l’ incremento dell’ argomento:

1

22

2

cos2sin1

411

,,

ierr

rtIeiI o

1cos2/2sin)1(

42/2/ 22max ie

rrII mm

)1(

2cos

1)1(

21cos)1(

4 22 r

rmier

rierr mm

Il Fabry Perot

mrrmR

1

è la Finesse, il parametro che caratterizza la risoluzione. Il confronto con l’ analoga formula del reticolo mostra che siamo in presenza di raggi efficaci che stanno interferendo.

• Se il rivelatore non è puntiforme la Finesse diminuisce. Considerando il raggio centrale e quello estremo al rivelatore, questi hanno ritardi leggermente diversi:

Il Fabry Perot

RAA

iieiem

em

2

2)21(2cos2'

2 2max2

maxmax

• Per il reticolo era:

RAA

• Vantaggio Jaquinot per il FP, dovuto alla simmetria cilindrica.

Il Fabry Perot

• Massimizzando la riflettività si massimizza la Finesse.

• Però si diminuisce la trasmissione massima. A parità di assorbimento della lastra (a=1-r-t)

• Si deve quindi fare in modo che l’ assorbimento sia piccolo:

1

22

2

cos2sin1

411

,,

ierr

rtIeiI o

mrrmR

1

222max 1

11

11

,,

r

ar

rar

tI

eiITo

Il Fabry Perot

Il Fabry Perot• Per utilizzare

un solo intervallo spettrale libero si passa preliminarmente il fascio da analizzare attraverso un predispersore(filtro o reticolo, o FP a bassa risoluzione)