Sopra le serie di funzioni sferiche

Sopra le serie di funzioni sferiche

(del prof. ULISSE DINI, a Pisa.)

U no dei teoremi piit importanti dell' Analisi 6 quello the permette diesprimere analiticamente per una serie di funzioni sferiche una funzionedi due variabili reali data arbitrariamente sopra la sfera . Le dimostrazionipera di DiRICHLET e di BONNET the ordinariamente si danno di questo teo-rerna non mi pare the possano dirsi del tutto rigorose, a meno the non sifacciano sulla natura della funzione certe restrizioni delle quali nelle dimo-strazioni stesse non si fa parola (*) . Io ho cercato percib di dare dellostesso teorema una dimostrazione piu rigorosa e dotata di maggior gene-rality (anche pel caso cio6 the la funzione abbia un numero infinito dimassimi e minimi), e ho cercato pure di eompletare le dimostrazioni diDIRICHLET intorno alla serie the rappresenta la density di una materia di-stribuita su una superficie sferica, quando it potenziale di questa materiae dato in ogni punto della superficie stessa (V. p . es. Journal de Liouville,2e serie, torn. II, pag. 57) ; e credo di esservi riuscito nel mode the orapasso ad esporre .

1 . Siano 0 e (p le solite coordinate sferiche, e f(0, (p) i valori dati dellafunzione sopra la sfera . Indicando con P,,(cos)/) o pi A semplicemente conP1, la solita funzione di LEGENDRE, essendo

cosy= cos OcosO'+ sen OsenOf cos((p

(*) Nella dimostrazione di DIRICHLET p. es . la quantity the si trova indicata con O'(0)dovrebbe calcolarsi cercando it limite di O' (4') per 1' positivo e tendente a zero, a nonprendendo per essa, come fa DIRICHLET, it valore di O'(4') per y=0, o almeno dovrebbeanche mostrarsi la continuity di 0'(4') per ¢=0, cib the da DIRICHLET non vien fatto, eporterebbe, mi pare, alcune restrizioni. Nella dimostrazione di BONNET poi si suppone insostanza the la funzione ammetta delle derivate .

D i n i : Sopra le serie di funzioni sferiche .

113

la serie di funzioni sferiche corrispondente alla funzione f (0, cp) nel punto(0', cp) sara la seguente :

02n 1 ~d0f 2 'lf(0, -p)P„sen0dp ;

(1)0

v•

si trattera perciO di trovare se e in quali casi questa serie 8 convergente•

ha per somma it valore f (Of, (p') della funzione nel punto (0', (p') .Supponiamo percid the f (O, q) sia sempre finita e sia anche continua o

abbia soltanto alcune discontinuity in un numero finito di punti separati oin un numero finito di linee ; e consideriamo dapprima it caso in cui 01 =0,con the P„ (cosy) si riduce a P 1, (cos 0) e viene ad essere indipendente da0. Ponendo :

27cf f(°' p)dcp=F(0),0

la serie (1) si trasformera nell'altra :00

--4(2n+1) 71F(0)Pn sen0d0 ;

0 e•

quindi per la questione the ci siamo proposti, converra considerare lasomma :

Sn

j 'r [P0 +3P1 +5P2 + . . .+(2n+I)P,,]F(0)sen0d0

0

dei primi n+l termini di questa serie, a cercarne it limite per n=or.Incominciamo perci8 dal trasformare questa somma, e per questo ricor-

diamo the la funzione P,n (cos-y) non a altro the la funzione the s'indicageneraimente con X,, nella quale a stato posto x=cosy ; e poich6 per lafunzione X,, si ha da relazioni note, per n> 0 ;

k2n+1)Xn=dX.,+1 _ dXX_',dx

dx•

quindi :

X0+3X1+5X2+ . . .+(2n+1)X,,= Cl + dY„+~ 7dx

dxsi avra

1 d Pn d P__,sent dY + dY '

Annali di Matematica, tomo VI .

15

Po +3P1 +5P 2 + • • • + (2n+1)Ps=-

114

D i n i : Sopra le sfere di funzioni sferiche .

e percid sara :

Sn==- J,-"(P'n±P'n,l)F(0)d0,

(2)0

avendo osservato the in S,, y=0, e avendo indicato con Pl n e Pin+l lederivate di Pn (cos 0) e P.+1 (cos 0) rispetto a 0.

Ora per trovare it limite di questa espressione di S n per n=oc, inco-minciamo dall' osservare the se f(O, <p) 8, come supponiamo, una funzionefinita e continua o avente soltanto alcune discontinuity, in un numero finitodi punti separati o lungo un numero finito di linee, a meno the alcune diqueste linee non siano linee 0=cost ; o porzioni di esse, seguendo i metodidi dimostrazione di WEIERSTRASS e di SCHWARZ, si trova facilmente theF(0) a una funzione continua di 0 per tutti i valori di 0 fra 0 e 7t (0 e 7t

al pit esclusi) ; talche supponendo per la generality the f(0, (P) sia discon-tinua lungo le linee 0= a 1 , 0 =as , . . . 0=a, _ 1 in tutta la loro estensione oanche soltanto in alcune parti di esse, la funzione F(0) pei valori di 0 fra0C rt (0 e vt al pit esclusi) sara discontinua tutt'al pit per O=a 1 , 0=a s , . . .0 = a.-I .

Inoltre, se per 0=0 e 0=7c la funzione f(0, qp) sara continua, o se inquesti punti avra soltanto di quelle discontinuity the possono togliersi mu-tando it valore della funzione nei punti stessi, o di quelle the comparisconosoltanto andandovi lungo un numero finito di meridiani ('k), allora F(0)sara continua anche per 0=0 o 0=7t, o almeno coll'avvicinarsi indefinita-mente di 0 a 0 e a ;~ tendera verso quantity finite e determinate the sa-ranno i valori di f(0, (p) nei punti stessi, o quelli verso cui f (0, p) tende,almeno generalmente, andandovi lungo i varii meridiani ; e se per 0=0 o0=7t, f (O, p) avra altre discontinuity, allora F(0) per 0=0 o 0=7C potraessa pure essere discontinua, ma cid non ostante potra ancora avvenire(come nel caso della continuity) the le quantity, F(E), e F(x-e), ove e 6positivo, abbiano limiti finiti e determinati ; e not percio, volendo conservare

(*) Notiamo bene the col dire the nel punto 0=0 o 0=a, o anche piu generalmente inun punto qualunque della sfera preso come polo, la funzione f(0, p) ha di quelle discon-tinuitAA the compariscono nel punto stesso soltanto andandovi lungo un numero finito deimeridiani corrispondenti a quel punto, intendiamo dire the tolti dalla sfera gli stessi me-ridiani con spazii superficiali, presi fra meridiani the racchiudano quelli indicati e vicinifra Toro quanto si vuole, e cambiato, se occorre, it valore della funzione nel punto thesi considera, questa funzione negli spazii restanti diviene continua .


115

la maggiore generality the ci 6 possibile, supporremo soltanto the questecondizioni intorno alle quantity, stesse F(E) e F(7t-E) siano soddisfatte,senza preoccuparci delle particolari discontinuity, the f (O, (P) puO avere per0=0 o O= t ; e solo osservando the le discontinuityh the possono togliersimutando it valore della funzione nei punti o lungo le linee corrispondentinon hanno evidentemente influenza sui termini e sulla somma della serie(1) e tutto accade come se queste discontinuityA non ci fossero, noi, per noncomplicare inutilmente it linguaggio, supporremo sempre the di queste di-scontinuith non ve ne siano .

CiO posto, indicando con F(O) e F(7t) i valori limiti di F(E) e F(n - E)

per -=O, esisterA un numero positivo e differente da zero e tale the pertutti i valori di 0 fra 0 e E e fra x-s e 7t le differenze F(0)--F(0) eF(0) - F(?t) siano numericamente minori di una quantity data arbitraria-mente piccola a, e si potra porre :

S„-.-f(P,,,+P'n-,) ;F(0)-F(0)1d0__af" (P'n+P'„+,)F(O)dO-E

-J~(PI. +P'n+,){F(0)-F(t)Id0-~F(O )f 6(P',,±Pn+1)dO-

1r-E

0

R2 F(7r~~`(P'„ + P'.+1) d 0 ;7r-E

e poiche Pn (1)=1, Pn(--1)=(-1)n, Pn (-cos8)J(-I)nPn (cos 6), si avradi qui :

Sn -F(0)=-,f F(P'n+P',z+l) {F (0)-F(0)Id0-0

-J

T_E(P'.n+P'„}1)F(0)d0-'-2f ~(P'„+P'n+,)IF(0)-F(it)IdO-- ( )c

1C-E

- 2 { F(0) ± F(7t) ~ P„ (cos c) - s 3 F(0)+F(7r) t Pn+, (cos E) .

Indichiamo ora con X 1 , %2 , . . . ?,,, le radici fra 0 e it in ordine erescentedella equazione P„ (cos 0) -- 0, le quali, come 6 noto, sono diseguali, e com-prendono le radici PI , 1.t 2 , . . . ,u„_ 1 della equazione P'n (cosO)=0, e suppo-niamo subito E tanto piccolo the i punti di discontinuity a 1 , a2,... a,-, diF(O) (se pure vi sono) cadano tutti fra E e 7t--E ; e osserviamo the perquanto piccolo sia s per valori suflicientemente grandi di n alcune delle

116


radici % 1 , 21 2 , . . . 2,,, della equazione P„ (cos 0) = 0 saranno sempre compresefra 0 e s (s inclus.) e altre fra e e 7c-e e fra 7c-c e 7c (7c--e inclus .) (*) .

('~) Ponendo infatti cos 8 =x, P.(cos 0) si muta in X,, e si ha1

1

1X x-a1+ :v-a 2 + . . •+ x-a,.'

essendo a1 , a5, . . . a„ le n radici in ordine decrescente della equazione X„=0, le quali,come a note, sono tutte comprese fra 1 e -1, a all' infuori della radice zero, quando n edispari, sono due a due eguali a di segno contrario ; a da questa facendovi X=1, a os-

servando the X„(1) 1 e the dalla equazione differenziale delle X„ si ha X'„__n(n+1)2

si trova la equazione :n(n+1)- 1 + 1 + ., .+ 12 1-a1 1--a2 1-a„'

la quale ci da evidentementen(n+1)

n2

< 1-a,'e percib

91-at < n+l'

donde risulta appunto the fra 0 e a e quindi anche fra 7r -a a t, quando n e sufficientementegrande, esiste sempre almeno una radice della equazione P„(cosO)=0 .

Se poi si osserva the quando 0 e compreso fra a e 7r-e, per una formola nota si pubporre (V. BONNET : Sur les developp . des Fonet. en series ordonnees suit) . les Fonet. Xet Y. . Journal. de Liouv . tom. XVII, pag . 270)

2cos(rz0+2 -4)AP„(cos0)- +__,V2 n vsen 0

n ~`n son'-' a

ove A e una quantity the dipende da n da 0 e da a, a the qualunque siano n e 0 restasempre finita, si vede sttbito the fra a e 7C - e le radici della equazione P„ (cos 0) = 0, apartire da un valore sufficientemente grande di n, devono corrispondere a valori di 0 the

rendono cos (ne+2 -L) dell'ordine di piccolezza almeno dine the quindi sono della forma

0- 2n+1'+2(2n+1)+n' ove k e intero, e S col crescere indefinite di n decresce in-

definitamente almeno come n ; a ora, poiche P„ (cos e) a una funzione continua di 0, a quando

per as . cos `ne+ 2- j)= :3=1 it segno di P„(cos0) per n abbastanza grande viene ad as-

sere quello dello stesso coseno, si conclude anche the tutti i valori di 0 della forma prece-dente the non sono inferiori ad a ne superiori a a-a per tutti i valori interi di k sonoradici della equazione P„(cosO)=0 ; a quindi, siccome a e arbitrariamente piccolo, oltre a

E

E

f,

D i n i : Sopra le serie di f unzioni sferiche .

117

Inoltre osserviamo the se P (O) 6 una funzione qualunque di 0 atta allaintegrazione si ha :

,f 1(p(0)P',d0=-0(01),0

at+1

)! }1

$ (0) P',,d A = "'+f = (p (A t) _ (p (A't) } P„ (Cos,u t),~~

at

at

ove (A l ), (A t), (A't )

sono valori compresi fra i massimi e minimi (olimiti superiori e inferiori) di (p (A) nei respettivi intervalli d'integrazioneda 0 a X 1 , da %, a Fit e da ~tt a 2t+l, . . . ; e se t e compreso fra "8 e %8+1 si ha :

P', d0=,p (A8 ) P„ (toss),)Y

l )Y~1

f

;1~

'-- 1 0J

~(A)P'xid 9 =

+f

(A,")- (A18)}P n (costce)-~p(A8")Pn (cosE),JAY

(p (A) P',,,d A={ (p(p (0,) - 0 (A'8 ) }Pn (COS~t8 ) + p ( A'8) P„(COS 6),

~)s+1

~(A)P1nd9-,P (A8")P„(cos y),

secondoche (u8 6 compreso fra 6 e %a+1 o fra %, e e, e similmente see quindi si avrh evidentemente in valore assoluto :

fP'3E 7 i F(A)-F~0)}dO<1,,ED t +cP„(coss),0

f"8 Pf, .F(A)dA<Ye,,,_ED tPn (cosit,)+2MP,,(cose),

f P'2 F(A)-F(n)}dO<~n_E,nDt+c'P„(cos~),T-E

potere asserire the col crescere indefinito di n questa equazione finisce per avere in vici-

nanza di 0 = 0 e 0-7c tante radici quante si vuole, si pub dire altresi ehe la differenza fra

due radici consecutive at e a,+1, quando sono comprese fra a e a-a, per quanto piccolo sia81

E, finisce per essere sempre della forma r+- ove S' decresce indefinitamente col cresceren n

di n, e diviene percio piccola quanto si vuole.

a = (uY,

118


ove le D t sono le oscillazioni della funzione F(0) negli intervalli da 0 a %,,da21 a2. 2 , . . . da2,aE, da e a ;L8 +1 , da%8+1 a%,+ 2 , . . .,leIttper t= s et = n - s sono valori di 0 negli intervalli fra E e %8+1 e fra 2_8_1 e x - E,• le altre sono le radici di P', (cos 0) = 0 fra E e t - E, M 6 it massimo va-lore o limite superiore di F(0) fra 0 e 7t, o, se vuolsi, it limite superiore deivalori di f(0, p) sulla sfera, e le somme 2;o, E , 1s,n_E, 1n-E,n sono esteseagli intervalli indicati sopra fra 0 e e, fra s e 7t-E, e fra 7t-E e n rispet-tivamente .

Ma per le funzioni P„ (cos 0) e P,, + , (cos 0) si ha fra E e tt - e :

_ A n

A''+~PnYn sent e

' P-+1Vn son

essendo A, A',, funzioni di n, 0, e e che, quando si lascia fisso E, per tuttii valori di 0 fra e e x-E (e e x-E inclus.) e per tutti i valori di n restanosempre numericamente inferiori a una quantity, finita g E ; quindi si potsanche scrivere :

JPmn F(0)_E I

F(0)Id0+ir

e P'n F(0)dO+0

e

+f P',,IF(0)-F(tt)~d0<1 o,ED t +JE,n_EDt+Vnsen2£

(2M+2a+Dt) ;

• ora avendo riguardo alla (3), coll'osservare che per gli integrali che sideducono da questi cambiandovi P , in Pin+1, sussiste questa stessa formolacol solo cambiamento delle Dt nelle D' t corrispondenti ai nuovi intervallirelativi alle radici di P,,+1 (cos0)-0, si vede subito che si avrA in valoreassoluto :

S, -F(0)<1 o ,ED t+ l o,ED't +1n-.E.nD t +1n_E,nD't+

+ -g+ z (6M+4c+Dt+(4)

Vnsen E.

Questa formola vale qualunque sia it numero delle discontinuity, di f(0, (P)• di F(0), bastando solo che le quantity F(0) e F(,) abbiano un signficato.Venendo ora al caso che abbiamo detto di considerare, quello cioe in cuila discontinuity di f(0, P) sono in numero finito, osserveremo che, indicand&con 2,P , %q , ~ , . . . %. le ultime radici della equazione P,, (cos O) = 0 primadi arrivare ai punti di discontinuity di F(0) fra s e n - E, e con %,,, , 2, q, ,~,,, . . . %,,, quelle che seguono immediatamente questi punti, e introducendo


119

notazioni simili per le radici della equazione P .n+, (cos 0) = 0, si potrA anchescrivere evidentemente

S„-F(0)<L,EDt+lio,ED't+~~r_E,nDt+Zn_~,nD't

+ gE

2 32M(4m-1)±4a+Vn sen s

+ It, a,Dt+la,,asDt + . . . +. .re,a,D't+Ia,,a,D't± . . .

ove colle notazioni LE, a,,

sono ora indicate quelle somme the pro-priamente colle notazioni precedenti dovrebbero essere indicate con141,4, . . . 16,11r,

a cosi le quantitA Dt saranno ora tutte dellaforma F (O,) - F(01,), essendo F (O,) e F(O't ) valori e f f e t t i v i della funzioneF(O) .

j

2nMa, essendo F(O)=2r

f(O, cp)d(p, si ha ora per una qualunque delle0

somme yE,a,, 1a4,a2 1 , **

~Dt=F(01) - F(O'1) + F(02) - F(O'2) + . . . .

If(Ol~ ~)-f(O'1 , ~)+fcO2, 0)-f(O'2, (P)+ . . .}d~ ;0

quindi indicando con }~8 t it limite superiore delle somme

f(01, (P)-f(O'1, p) +f(02 , (P)-f(O'2, (P)+ . . .

delle oscillazioni della funzione f (O, (P) sui varii meridiani p =cost ; si avrAe percio sara :

S„-F(0)<Dt+D,+10,ED't+J,r_E,, D' t + Vngen2 e(2M(4m-1)+4 a+

,

J""+ IE,

...}. .alat t- ~a,,rgot . . . + It,"4 t -f-

a23rt+ . . . ~

e in questa le somme possono ora anche intendersi estesecome in principio agli interi intervalli da e a a,, da a, a a2 , . . . e quindisi pud anche scrivere

Sn - F (O) <j 0 , E Dt + l7r_E, itDt + 10, E D't + 17r-E, nD't +

+ , -g~ 2 12M(4m--~)+4a+~E,7r_EVt +tinsen s

I2o


•

anche :S.- F(0) < L, E & •-+- Z7r-E, n"t + 10'-1 61, + ln-E'11611+

+ _9' , 12M(49n-1) +46+ IE,7r_Ed1+ YIE,96-EV/t# ;

(5)Vn sen- E

• ora per queste formole si puo dire the S,, col crescere indefinito di n, avraper limite F(0) tutte le volte the con un valore sufficientemente piccolodi e, e per qualunque valore di n maggiore di un numero sufficientementegrande ma finito, le somme tat fra parentesi restino finite e le altre ID,• 16, possano rendersi minori di quella quantity the pin ci piace ; e quindiin questo caso la serie (1) sara convergente e avra per somma it valore dellafunzione f(0, cp) nel punto 0=0 quando in questo punto si ha continuity, e

in generale avra per somma la media 2_~J"2 f(0, y)d-p dei valori f(0, (p)

0

verso cui tende f(8, p) avvicinandosi indefinitamente al punto 0=0 in tutte

le direzioni, o almeno it limite lim1~27r

f(0, p)dp della media dei valori di0=0 2 ', .

0f(0, (P) lungo i paralleli vicinissimi al punto 0=0, tutte le volte the questolimite e determinato .

Ora, per conoscere almeno alcuni casi semplici nei quali e soddisfatta laindicata condizione intorno alle quantity Jet e '~* Dg , consideriamo separata-mente it caso in cui la funzione f(0, (p) sopra ogni meridiano tp = cost dellasfera ha un numero finito di massimi e minimi, e quello in cui lunge questimeridiani, o anche soltanto in vicinanza di alcuni punti speciali, it numerodei massimi e minimi non 6 finito, ma o e infinite o almeno, restando semprefinito su ogni meridiano determinate, va crescendo indefinitamente coll'av-vicinarsi degli stessi meridiani a certe posizioni particolari .

Incominciamo dal considerare it prime caso, supponendo anche the f(0, tp)

sia continua nei punti 0=0 e 0=x o almeno sia tale the I' integrale/'2a

f (©, y~) d q, fra 0 a F e fra e e 7t-,- abbia anch' esso un numero finito0

q di massimi e minimi.Indicando con p -1 un numero non inferiore n6 a q ne al numero mas-

simo di massimi e minimi (o limiti superiori e inferiori) di f (O, (p) su ognimeridiano 1)=cost della sfera, e osservando the 2M 6 maggiore o ugualealla massima differenza fra i massimi e minimi (o limiti superiori e inferiori)


121

dei valori di f(0, p) sulla sfera, si vede subito the ciascuna delle sommeIYE,7r-ESty 1E,n_ES' t non superera in valore assoluto 4pM, e le somme Io,ES t ,10, a a ' 11 It- E,9G S t , yc-E,7c S't nel caso della continuity di AO, cp) nei punti0=0 e 0=~t, e le altre

nel caso della discontinuity saranno nu-mericamente inferiori a 2,pa, e percib sary sempre

S„-F(0)<8pa+ ,- g `2 [2M(4m+4p--1)+46],

(6)\axsen s

e quindi si avry1

2nlim S„ ___ F(0) =lim - fed, P) d p .

0=0 2 -,rf0

Nel secQndo caso poi [quello cio6 in cui it numero dei massimi e minimidi f (0, (p) lungo i meridiani $ =cost ; o anche soltanto in vicinanza di puntispeciali non 8 finito] ammettiamo the ciascun meridiano possa dividersi inintervalli it cui numero non superi un numero finito q, e tali the in alcunidi essi i8 it numero dei massimi e minimi the vi cadono non sia maggiore diun numero finito p -1, e negli altri if, nei quali it numero dei massimi eminimi e maggiore di p --1 e per alcuni 6 anche maggiore di quel numerothe piu ci piace, la funzione sia sempre continua e goda della propriety theesista un numero positivo e differente da zero e' tale the in ogni intervallodi ampiezza 2 h < 2 s' preso negli intervalli stessi le oscillazioni S della fun-zione siano almeno dell' ordine di piccolezza dell' intervallo stesso 2h, talchesi possa porre S < a h, essendo a una quantity determinata o no, ma theresta sempre inferiore ad una quantity finita a' (*) ; e ammettiamo inoltrethe se su alcuni meridiani gli estremi 0=0 e 0=7t appartengono a inter-valli i8 nei quali cade soltanto un numero finito di massimi e minimi, lafunzione f(0, (P) sia continua negli stessi punti o almeno sia tale the 1'in-

tegralef2?

f (0, (>) d cp fra 0 e E e fra s e n-s abbia un numero finito di0

(*) S'intende the pud anche essere benissimo the alcuni meridiani non debbano dividersiin intervalli parziali, perche su essi it numero dei massimi e minimi non supera p •- 1 ;e s'intende pure the non si esclude qui it caso the dagli intervalli i' 8 nei quali it numerodei massimi e minimi a maggiore di p-1 possano estrarsene altri (anche in numero in-finito) nei quali lo stesso numero a inferiore a p, poiche pel nostro scopo basta soltantothe sia soddisfatta la condizione the lungo quelli intervalli i'9 si abbia, come ~ dettosopra, S < ah .

Annali di Matematica, tome VI.

16

122


massimi e minimi o, avendone un numero infinito, soddisfi a condizionianaloghe a quelle che si sono poste per f (O, cp) pei varii meridiani .

Osservando che it numero c pub sempre supporsi minore di c, e gli in-tervalli fra due radici consecutive di P,, (cos 0) = 0 e di P,,,+ , (cos 0) = 0 fra E

•

;•c - s possono supporsi piccoli quanto si vuole, e quindi minori essi puredi E ', si vedry subito che in questo caso si ha

S„-F~0)<8pga'+4a'E+eJ2M(4m+4pq-1)+4(5+2a'n}, (7)\In sen

•

quindi sara ancora :

limS,,=FRO)=limo=o 2 _

f(0, cp)dcp ;0

• ora, poiche colle osservazioni stesse di DIRICHLET i risultati che si hannopel punto 0'==O si estendono ad un punto qualunque (0', c)') della sfera,si conclude intanto che : « se la funzione f(0, (P) a data in tutti i punti diuna sfera ed e sempre finita e continua o ha soltanto alcune discontinuity

« in un numero finito di punti o lungo un numero finito di linee, essa sara« sviluppabile in serie di funzioni sferiche come la (4) per ogni punto di« continuity, quando anche nel punto diametralmente opposto essa sia con-<< tinua, e sulla superficie della sfera soddisfi a una delle seguenti condizioni :

I.a che it numero dei massimi e minimi, che essa ha sui meridiani cor-« rispondenti al punto che si considera preso come polo, sia finito ;

11 . 1 che non essendo finito it numero dei massimi e minimi sugli stessi« meridiani (ciob non esistendo un limite superiore finito per questo numero),s si possano dividere questi meridiani in intervalli parziali it cui numero« non superi un numero finito q, e tali che per alcuni di essi it numero dei« massimi e minimi che vi cadono non sia superiore a un numero determi-nato p - 1 e per gli altri, nei quali cadono massimi e minimi in numero

« maggiore di p - 1, la funzione sia continua ed esista un numero positivo« e differente da zero E', tale che in ogni intervallo di ampiezza 2h minore« o uguale a 2E' preso negli intervalli stessi, le oscillazioni 8 della funzione« siano almeno dello stess'ordine di piccolezza dell'intervallo, per modo che« si abbia 8 < a h essendo a una quantity determinata o no, ma sempre in-<< feriore a una quantity finita a' .

Se poi la funzione nel punto che si considera sara, ancora continua ma inquello diametralmente opposto sara, discontinua, allora i risultati precedenti


123

sussisteranno ancora tutte le volte che in questo punto la discontinuity saradi quelle che compariscono soltanto andandovi lungo un numero finito deimeridiani -p, =cost . corrispondenti al punto stesso, o anche, piiu in generale,quando in vicinanza dello stesso punto la funzione sara tale che la quantity

corrispondentef

f(y, p I)dcp l abbia un limite determinato per y=q (*), e

'0quando inoltre questa funzione di y fra n-E e ~t avra un numero finito dimassimi e di minimi, o, avendone un numero infinito, soddisfary nello stessointervallo a condizioni del tutto analoghe a quelle contenute nella III- dellecondizioni precedenti per f(O, (p) .

Pei punti della sfera poi nei quali f (O, (P) e discontinua la serie (1) saraancora convergente tutte le volte che, oltre alle condizioni che si richiede-vano sopra pel caso della continuity, sara soddisfatta l' altra che la disconti-nuity, che si ha in quei punti sia di quelle che ora ammettevamo potersiavere nei punti diametralmente opposti ; peril in questo caso la somma dellaserie non darn, appunto, almeno in generale, it valore della funzione nel punto

che si considera, ma darn soltanto un valore medio, lim -

2r

2 7c, f(y) (pi)dpi,

0

fra quelli cui essa tende avvicinandosi indefinitamente ai punti stessi ; e cosiin particolare in quei punti nei quali la discontinuity 6 di quelle che vi com-pariscono soltanto andandovi lungo un numero finito dei meridiani corrispon-denti, la somma della serie ci dara it valore verso cui si tende generalmenteavvicinandosi indefinitamente al punto che si considera ; e se it punto che siconsidera sarat tale che da una parte di una data linea, la cui tangente siadeterminata, i valori della funzione tendano verso una quantity e dall'altraparte tendano verso un' altra, per mode che in quel punto considerato dalledue parti separatamente, tolta la linea di divisione con cerchi massimi vicini1' uno all' altro quanta si vuole e che passino pel punto dato, la funzione siacontinua o abbia soltanto una di quelle discontinuity, che possono togliersimutando it valore della funzione nel punto stesso, la somma della serie cidart', it valore medio fra i due valori cui tende la funzione avvicinandosiindefinitamente a quel punto dall'una e dall'altra parte della linea di divisione .

Se poi si osserva che per n abbastanza grande gli intervalli fra due radici

(*) E quasi superfluo l'osservare che con y e ?I s'indicano qui le solite coordinate sfe-riche di un punto qualunque della sfera riferite al punto dato (0', ,Q') preso come polo.

124

D i n i ; Sopra le serie di funzioni sferiche .

consecutive delle equazioni P,, (cos 0) = 0 e P n+ , (cos 0) = 0, quando queste

radici sono comprese fra - e 7t- e, sono dell'ordine di piccolezza di

la

formola (5) ci mostra anche the se su alcuni dei varii sistemi di cerchi mas-simi the corrispondono come meridiani ai differenti punti della sfera, presisuccessivamente come polo, it numero dei massimi e minimi della funzionef(0, p) non b finito e per alcuni di essi non e soddisfatta la 11 .1 delle con-dizioni precedenti, ma soltanto si possono dividere in intervalli parziali talithe in quelli fra questi intervalli nei quali questa condizione non 6 soddi-sfatta le oscillazioni ~ della funzione negli intervalli corrispondenti siano diun ordine di piccolezza superiore a Vlz, per modo cioe the si abbia 6 <(p (h) Vh,essendo (P(h) una quantity the col decrescere indefinitamente di h divieneinfinitesima di ordine inferiore a VT, i risultati precedenti varranno ancora perquei punti della superficie della sfera pei quali avviene the ne essi ni i lorodiametralmente opposti, considerati sui cerchi massimi corrispondenti, appar-tengono necessariamente ad intervalli nei quali si ha soltanto & < p (h) Vh ;• rimarry percib l' incertezza per quei soli punti della sfera pei quali si pre-senterh quest' ultima circostanza .

2. E poi da notare the quando insieme alla funzione data f (O, -P) siprenda in considerazione la funzione

F2"

f(y, P I )do,0

the corrisponde a ogni punto della sfera, i risultati precedenti possono enun-ciarsi in modo differente e ricevere una maggiore estensione .

Supposto sempre infatti the pel punto (0 1, q!) la funzione f (O, cp) sia finitaa•

in questo punto e in quello diametralmente opposto rispetto alla continuity• alla discontinuity, soddisfi alle condizioni indicate sopra, appoggiandosisulla formola (4) invece the sulla (5) si vede subito the se la funzione F(y)corrispondente 6 finita fra 0 e r e non ha un numero infinito di massimi•

minimi, la serie (1) per lo stesso punto (0f, (PI) sary sempre convergente•

avry per somma f(0', (Pf) o :1

,~T

1,mo 27 I f(y , 4pjdp1 ,0

•

cosi in questo caso f (0, (p), sebbene debba ancora mantenersi atta alla


125

integrazione in tutta la superficie della sfera, puo perb divenire infinita inalcuni punti o lungo alcune linee (in numero finito) ; e si essa che F(y)possono anche avere un numero infinito di discontinuity .

• se la funzione F(y), che corrisponde al punto (0', p'), fra 0 e n sarafinita ma avry un numero infinito di massimi e minimi, allora suppostesempre soddisfatte per f ~O, tp) le condizioni precedenti pel punto che si con-sidera e per quello diametralmente opposto, la serie (1) sary convergente e

avry per somma f(0', cp') o imI `f f( ;' , p 1 )d(p l tutte le volte che Fin-7=0

tervallo da 0 a t si possa dividere in un numero finito q d' intervalli taliche in alcuni di essi F(y) abbia un numero finito di massimi e minimi enegli altri sia continua e si possa determinare un numero &' dotato dellapropriety che in ogni intervallo di ampiezza 2h-<2e' preso negli intervallistessi, le oscillazioni 6 della funzione siano almeno dello stesso ordine dipiccolezza dell'intervallo, per modo che si abbia 8<ah, essendo a una quan-tity determinata o no ma sempre inferiore a una quantity finita a' ; e cosianche in questo caso f(0, gyp) puo avere infinite discontinuitd o divenire in-finita in alcuni punti o in alcune linee, senza che cessi per questo di esseresviluppabile in serie di funzioni sferiche come la (1) per alcuni punti dellasfera .

• lo stesso accade anche se questa condizione per la funzione F(y) non6 soddisfatta altro che togliendo fra 0 e n alcuni intervalli speciali in nu-mero finito, purche a questi intervalli non appartengano i punti 0 e 7t, ein essi si abbia 6 < (p (h) Vh, essendo (P(h) una quantity che col decrescereindefinito di li si puo rendere minore di quella quantity che pi a ci piace .• inoltre, specialmente per it caso in cui F(y) abbia un numero infinito

di massimi e minimi fra 0 e t essendo peril sempre finita, si pu6 aggiun-gere che la serie (1) continua ad essere convergente e ha per somma

f (0f, p') o yim2

(P 1) d Cp l anche quando le divisioni precedenti del-0

l' intervallo fra 0 e x non possano farsi altro che togliendovi un numerofinito di intervalli parziali i„ purche in questi intervalli esclusi i, la fun-zione F(y) ammetta una derivata che se diviene infinita resta atta alla in-tegrazione anche riducendola ai suoi valori assoluti .

Osserviamo infatti che, supponendo per semplicith che si tratti del punto0' = 0 e che quindi la funzione F(y) sia la F(O) del paragrafo precedente,

126

Di ni : Sopra le serie di funzioni sferiche .

• indicando con (a1 , b 1), (a,, b 2 ), . . . gli intervalli i, nei quali l' ultima con-dizione rispetto a F~0) 6 soddisfatta, si potrh decomporre 1' integrale fra 0• Tt the comparisce nella formola (2) in un numero finito di integrali estesiagli intervalli (a1 , b 1 ), (a2 , b2 ), . . . e agli intervalli rimanenti ; e poichb perquest'ultimi potranno ripetersi le considerazioni precedenti, bastes ora oc-

cuparsi degli integral,f b,(P',,, -+ P',,+1) F(O) d0, . , .

a,Ora, siccome si ha

J b, (Pl. + P',,+1 ) F(O) d 0 = [F(O) (Pn + P.+,))b,

Jb,(P. + P„+1) F' (0) d 0,

a l

a,

osservando the fra s e 7t - e si ha in valore assoluto

P,, +P,=+1< -2g` 2 f bi(P„+Pn+1)F'(0)d0<gf b, (p(0)0,Vn sen E

«,

a,

ove op (0) 6 la funzione dei valori assoluti di F' (0) fra a 1 , e b1 (a 1 , e b linclus.) e ,u $ it massimo valore di P„ + P,s+1 pure fra a 1 , e b l , si vedesubito the se a 1 e b 1 sono differenti da zero e da 7t a compresi, come allorasi pud supporre, fra r e 7t--E, si ha in valore assoluto ;

jb i (P's+P'n+l)Fl0)d 0 < - 2g,,

(2M±f1",p(O) dO)vnsen-s

a l

a,

•

percid limf b` (P'„ + P'n+1) F (0) d 0 = 0; e se a,= O e b, e diverso da n,n=oo a ;

avendosif b,fbi

=E +

fb,,sara

a,

0

0

-fb,(P'n+P'„+1)F(0)d0-F(0)< Vn gE

sen,~(M Jb,~(0)d©)+f (0) 0,a,

0

0

•

percib limJ ,b`

(P'n + P'n+1) F(0) d 0 -- F(0) ; e similmente, se a,= O e21n=3sat

bi = 7t, e se a,>0 e b, =7t si avrA rispettivamente

1im'f ~(P'„ + P',,+,)F(0)d0= -' F(0)0

e :

Din i : Sopra le serie di funzioni sferiche .

127

limI~ (P'n +P'n+1)Fk8)d0=0 ;n=M ,

a 1e si conclude percid evidentemente quanto abbiamo enunciato sopra .

0 s s e rv az i o n e . Non si pua lasciare di notare che mentre pei teoremiqui dati si pud asserire che ogni funzione finita e continua su tutta la su-perficie della sfera 6 sempre sviluppabile in serie di funzioni sferiche pertutti i punti della superficie stessa quando it numero dei massimi e minimiche essa ha su ogni circolo massimo 6 inferiore a un dato numero finito,non si pub asserire altrettauto quando questo numero su alcuni circoli mas-simi 6 maggiore di quel numero che pin ci piace ; talche potrebbe darsi cheesistessero anche alcune funzioni che, sebbene finite e continue su tutta lasuperficie della sfera, non sono peril sviluppabili in serie di funzioni sfericheper tutti i punti di essa .

3. Diamo ora anche 1'espressione analitica della funzione F(y) corri-spondente ad ogni punto M(8', 7') che non sia ii polo P(8'=0), o it poloopposto 8'-zc.

Per questo consideriamo un punto variabile N(8, (P ), e cambiamo le coor-dinate sferiche prendendo per uuovo polo it punto M e per primo meridianoit cerchio massimo dei due punti M e P . Indicando, come precedentemente,con y e p1 le nuove coordinate sferiche del punto N, e considerando ittriangolo sferico PMN, si avrA qualunque sia la posizione del punto N :

cos8=cosycos8'±senysen8'cos P 1 ;

e quindi, quando y e costante, ossia lungo it cerchio C che ha per raggiosferico y e per polo ii punto M, si avra :

senOdO=senysen8'seng 1 d-P1 =

=Vsen2ysen2 8' - cos`ycos`8'-cos 28-2cosycos8'cos8dy l .

ove it radicale cambia segno passando per zero, e percid sara_ 1

f(0,y)senOd9

`F(y)2%~. Vsen2ysen"0'-cos, y cos"0'-cos"0+2cosycos0'cos0 +

(8)1

f(8, y)senOdO2 , ;fvsen2y sent 0'-cos"y cost 0'-cos" 0 ± 2cosy cosO'cos O'

intendendo che in questi integrali ii radicale 8 preso positivamente, e nel-

128


l' uno di essi i valori di f (0, (p) sono quelli della funzione data in una methdel cerchio C e nell' altro sono quelli della funzione hell' altra meth,, e itlimite inferiore degli stessi integrali e Of - ;/ o y- 0', secondoche O'> y oOf < y, e it limite superiore e 0' + y o 2n - (0' ± y) secondoche 0 1 -4-y <no O'+v>n .

Osservando poi the dallo stesso triangolo si ha anche

cosycos 0cos Of+ Ben 0senO'cos (p

si vede subito the si pud anehe scrivere

F __ 1 1-` -f(e,gyp'-}-Y) -#sen 9 d 0(y) T7-r Vsen 2 y sen= (3' - cosy y cos! 0'- cost 9 -i-- 2 cos,:cos 9' cos 0

ove ~ e it valore positivo <n determinate dalla equazione :

cosy=cosOcos0'±sen0sen0'cos ,

e i limiti dell'integrale sono presi come precedentemente ; e ora con questaformola, come colla precedente, si ha appunto la espressione analitica dellafunzione F(y) corrispondente ai varii punti (0', gyp') della sfera, ad eccezionedei due 0'= 0 e 0'=n, e nell'ipotesi the y sia difference da zero e da n ;perche altrimenti le formoie precedenti, non esistendo piiiA it triangolo PMN,non sussistono piii, e it radicale the comparisce al denominatore nei valoridi F(y) diviene infinitesimo di prim'ordine rispetto a 0 .

Del resto i valori di F(y) per y=0 e y=n sono evidentemente i duef (O', p') e f (n- 0', (pi ± n) the peril non sempre coincidono coi valori limitidi F(e) e F(n - s), per e tendente a zero per valori positivi, the sono isoli the not abbiamo qui da considerare .

4. Le formole del § 4 conducono anche a dimostrare the « quando la«funzione f(O, (p) e finita su tutta la sfera e ha tutt'al piuA un numero finitodi discontinuity in punti separati o lungo linee separate e rispetto ai mas-simisimi e minimi, soddisfa alle condizioni I e II del § 1 o a quelle analoghe

« date per F(y) nel § 2, e i numeri a', p, q the si presentano in queste« condizioni sono sempre inferiori a numeri finiti a it numero r' e sempresuperiore a un. certo numero E', differente da zero, la serie (1) di funzioni

« sferiche the le corrisponde e convergente in ugual grado su tutta la sfera« tutte le volte the la funzione f (O, qP) e sempre continua, ed e convergentein ugual grado soltanto in generale tutte le volte the f(O, (p) in puntiseparati o lungo linee separate 6 discontinua > intendendo dire, colle pa-

(9)

Dini : Sopra le serie di funzioni sferiche .

129

role convergente in ugual grado in generale, che essa a conver-gente in ugual grado in tutta la porzione di superficie sferica che restaquando dalla superficie della sfera si tolgono degli spazii superficiali piccoliquanto si vuole che racchiudono i punti o le Iinee di discontinuity di f(0, (P)•

i punti o le Iinee diametralmente opposte .Consideriamo infatti questo caso che b it pin generale, e immaginiamo

tolti, come si e detto, dalla superficie della sfera degli spazii superficialipiccoli quanto si vuole che racchiudano i punti o le linee di discontinuity• i punti o le linee diametralmente opposte. Negli spazii restanti S la fun-zione f (O, qp) sara finita e continua, e se it punto (0', cp') appartiene a questispazii, supponendo che vi siano anche degli intervalli per alcuni cerchi mas-simi nei quali cadano infiniti massimi e minimi, dalla formola (7) del § 1 siavra in valore assoluto

S„-f(O', p')<8pga+4a'a±_ 9` 32M(4rn+4pq-1}+4c+2a'nf,Vn sen~ e

ove le quantita che qui compariscono hanno rispetto al punto (0, cp) lostesso significato che esse avevano rispetto al punto 0' -_ 0 ; e questa formolavarra anche nel caso che risultino soddisfatte soltanto le condizioni postein principio del § 2 .

Ma la quantita M ha un significato indipendente dalla posizione del punto(0', (p') che si considera, e pei numeri m, p, q, a' si possono intendere presianche dei numeri maggiori di quelli che si hanno in tutte le posizioni dellostesso punto, e che, per ipotesi, sono sempre finiti ; inoltre, poichb negli spaziiS la funzione f (O, (p) b finita e continua, si pub dimostrare facilmente, se-guendo i metodi di dimostrazione di WEIERSTRASs e di SCHWARZ, che si pub

trovare un numero -<6f, che serva per tutti i punti degli stessi spazii (ilcontorno inclus.) quando si lascia a a uno stesso valore piccolo a piacere,• allora con questo valore di s si avra anche per gE un valore che serviraper tutti i punti di S; quindi si pots trovare evidentemente un numero n'tale che pei valori di n>n' la differenza S„- f(0', (p/) per tutti i punti deglispazii S (il contorno inclus .) sia minore di quella quantita che pin ci piace ;• questo mostra appunto quanto abbiamo enunciato, giacchb S,, - f(O, gyp')non e altro che it resto r,, della serie .

Osserviamo che questa propriety delle serie di funzioni sferiche come la(1) ci permette anche di dire che « ad esse b applicabile la integrazione de-i finita tante volte quante si vuole lungo linee qualunque della sfera che

Annali di Matematica, tomo VI.

17

130


~< siano tutte contenute negli spazii S (il contorno inclus .), tutte le volte che<< la funzione f (O, ed) corrispondente soddisfa alle condizioni dette sopra .

5 . Supponiamo ora che la funzione f(O, rp) sia una funzione f (O) dellasola variabile 0 data arbitrariamente fra 0 0 -. Allora, osservando che daformole note si ha

T ~JP,,d<p=2:'tX,,(cos0)X .(cos0'),0

si vedra subito che la serie (1) diviene la seguente :2n ±1 Xn (cos0 1

X7,(cos 0) f(0)sen0d0, 2 10)0

0

e quando si ponga cos O = x, e s'indichi con f (x) la funzione f (O) che allorasi suppone data fra - 1 e 1, essa si trasforma nell'altra :

~, 2 n 1

'

11Q

Xn

f (x) X,, d x,

( )

e ci permette percib di concludere che « se f(x) o una funzione di una<< variabile reale x data arbitrariamente fra -1 e 1 ed 6 finita e continua« o ha soltanto un numero finito di discontinuita, essa sari sviluppabile in,< una serie di funzioni sferiche come la (11) in tutti I punts x di coati-« nuita, quando nei punti simmetrici -x essa non abbia discontinuitaa diseconda specie

e quando sia soddisfatta una delle due condizioni se-« guenti

La che fra -1 e 1 essa abbia un numero finito di massimi e minimi ;

(*) Diciamo che f(x) per x -- a ha una discontinuita ordinaria o di prima specie quandoIe quantity f(a+e) e f(a-e) per F=O hanno limiti determinati e uno almeno di essi edifferente da f(a) ; e diciamo invece che f(x) per x_=a ha una discontinuita di secondaspecie quando nun almeno delle due quantity f(a+s), f(a-e) per a=0 non ha limite de-terminato. Nel primo caso poi, i limiti di f(a+e) e f(a-e) s'indicano, come 6 noto, conf(a+O) e f(a-o) .

E cosI quando nel punto -x si abbia tutt'al piiu, come dicevamo sopra, una discon-tinuity ordinaria, riferendoci alla sfera si vede che, nel punto y=a opposto a quellox(O', <') che si considera, la discontinuity, se esiste, e tale che pei meridiani corrispon-denti ?,= cost . in tutta una meta della sfera pue considerarsi come una di quelle cheliossono togliersi mutando it valore della funzione in quel punto, e lo stesso accade peimeridiani dell'altra meta ; e percio in questo caso non importa fare distinzione fra la con-tinuity e la discontinuita della funzione nel punto stesso y=-,: o -x.


.131

ILa the avendo un numero infinito di massimi e minimi in vicinanza< di punti speciali o in intervalli di ampiezza finita, l'intervallo totale da

<.< 1 a 1 si possa dividere in un numero finito di intervalli tali the in« alcuni di essi it numero dei massimi e minimi the vi eadono sia finito,« e per gli altri nei quali cadono infiniti massimi e minimi la funzione sia« continua e si possa trovare un numero positivo e differente da zero s' tale« the in ogni intervallo di ampiezza 2 h non superiore a 2 e' preso negli inter-« valli stessi le oscillazioni 8 della funzione siano almeno dello stesso ordinex di piccolezza dell' intervallo, per modo the si abbia 8 < a h essendo a una«quantity determinata o no ma sempre inferiore a un numero finito at >> .

Se poi in alcuni di questi ultimi intervalli si ha soltanto 8<p(h)Vh, ove-P (h) col decrescere indefinito di h diviene infinitesimo ma soltanto di ordine

inferiore a quello di Vh, i risultati precedenti non potranno applicarsi consicurezza ai punti the si trovino necessariamente compresi in questi inter-valli, ma varranno ancora per gli altri punti .

E pei punti x diversi da 1 e da --1 e corrispondenti alle discontinuity or-dinarie quando nei punti simmetrici -x non si ha discontinuity di seconda

f(x + 0) + f(x- 0) .specie, la serie (11) e ancora convergente e ha per somma2,

e pei punti 1 e -1, quando in nessuno di essi si ha una discontinuity diseconda specie, la somma della serie e rispettivamente f(1- 0) e f (-1 + 0) .

6 . Osserviamo poi the quando, come nel caso nostro, si ha f(9,7)-f(0),la funzione F(r) dei § 2 e 3 pel punto 01 =0 o 0'=n e la stessa f(O) of (7c - 0), e pel punto (0', 0') e la seguente :

1

f(0)senOdO--1 cfVsen2 ysen2 0'--cos=ycos"0'-cos"0+2cosycos0'cos0'

ove it radicale e preso positivamente, e it limite inferiore dell'integrale ey-0' o 0'- y secondoche 0'< y o 0'> y, e it superiore e 0'+y o 27r-(0'+y)secondoche 0'+y<7c o 0 1 +)/>n; e quindi, ponendo eosO-x, cosO'-x',cosy = ~, e mutando f (O) in f (x), si vede subito the pei punti x'=1 ex'=-1 alla stessa funzione F(y) le corrisponde la funzione f(x) o la fun-zione f(- x) per tutti i valori di x da -1 a 1, e pei punti x' compresi fraI e - 4 (questi limiti esclusi) le corrisponde invece la funzione :

F-1

O'~+Jl1-X'QJ(t~2)

f(x)dx(~)-

5X1. ;0 x-xx' ; 'V1-

--+Z

132


o :i

F(5)== 1

f[x'~+'JVl1-x")11-501 dy

-i

VI--Y

nella quale i radicali devono prendersi positivamente, e ~ deve variare fra-1 e 1 (i limiti esclusi) ; e si conclude percib anche (§ 2) che : « se f(x)< e una funzione di x data arbitrariamente fra -1 e 1 e che in questo in-tervallotervallo e atta alla integrazione anche se ha un numero infinito di discon-

« tinuita o se diviene infinita in un numero finito di punti, allora, in tutti ipunti x' differenti da -1 e da 1 e nei quali essa a finita e continua o

« ha soltanto discontinuity ordinarie, la serie (11) corrispondente sara con-

« vergente e avra per somma f(XI) 0 f(x+0)2f(x'-0) tutte le volte che la

« funzione stessa f (x) nel punto simmetrico corrispondente - x' non ha di-scontinuity di seconda specie, e la funzione di ~ :

o :

x'g+Jif-x 1)({- SN

f(x) d xVl -x~~'-C,2--x3±2xx'',

iF( )=1 f f[x' +~V(1-x") y1- 211 ~~lY_

« nella quale i radicali sono presi positivamente, fra - I e '1 soddisfa a una« delle due condizioni 1 . a e ILa che si richiedevano per f(x) nel paragrafo«precedents ; e lo stesso accadra anche quando questa funzione F(~) fra« - 1 e 1 ha un numero infinito di massimi e minimi e non soddisfa alla« Il.a delle condizioni ora indicate altro che escludendo un numero finito di« intervalli parziali, purche in questi intervalli esclusi essa ammetta unaderivata F' (~) che se diviene infinita resta atta alla integrazione anche

« riducendola ai suoi valori assoluti . »Pei punti x'=1 o x'=- 1 poi si ha la sola differenza che invece della

funzione F(~) bisogna considerare la stessa f (x) da -1 a 1, e per la sommadella serie bisogna prendere f (1- 0) o f (-1 + 0) rispettivamente ; quindi,osservando che it radicale che comparisce al denominatore nell'integrale diF(~) diviene infinitesimo per x=x';±V(1-x'2)(1-c`), e questo infini-tesimo e del prim'ordine soltanto quando x'=±1 o E=+1, e negli altricasi 6 di ordine ,l , si pud anche affermare che it divenire infinity la fun-

D i n i : Sopra le eerie di f unzioni sferiche.

133

zione f (x), purche di ordine inferiore a 2 per una quantity finita, in unnumero finito di punti fra -1 e 1 (questi limiti inclusi) non pud recareostacoli per la sua sviluppabilita in serie di funzioni sferiche come la (11)altro the pei punti xf=±1 e per quelli eve essa diviene infinita e peipunti simmetrici, quando perb riescano soddisfatte le altre condizioni prece-denti rispetto a F(~) .

7. Supponiamo ora in particolare the f (x) sia una funzione the fra -1e 1 e sempre finita e continua e in questo intervallo ammette una derivatathe 6 sempre finita o the tutt' al piii diviene infinita in un numero finitodi punti e soltanto di un ordine non superiore ad . Coll'integrazione perparti si trovera the per tutti i valori di x' e ~ fra -1 e 1 (questi limitiesclusi) si ha

+V(1-x")(1--5 2)12Ax's-V(1--x")(1 --1, 1 -

1 `Ix'' '(g+Jc~-x s)~i- 2)fx) are senx-x'Sdx,T

V(1-x' 2 ) (1- ~ L )

•

percid sara1

x' +d(1-xsici- 2)

x'-xF~()-77Vl-s2

P(x)V,-

x'--~2---x-+2xx'Sdx'x'~-J(1-x'4)(1-?s)

donde risulta subito intanto the F'(~) per gli stessi valori di x' e di sarasempre finito, e solo resta it dubbio the possa andare crescendo indefinita-mente col tendere di ~ ad 1 o a -1 .Ma supponendo ora the ~ sia abbastanza prossimo ad 1 o a -1, per

es. ad 1, si vede subito the it punto x' sara compreso fra i limiti dell'in-tegrale, e se esso non e di quelli nei quali fl(x) diviene infinita, f'(x) fragli stessi limiti sara sempre numericamente minore di un numero finito L,•

percib si avra in valore assoluto

L[tx'(1-P)± V(1-x'2)(1-=2)] X, + 1x1-TSi

dxF ()<--V1-S~

VI-x'2-x2 +2xx'S'x'~-J(1-x 2)U- 4 )

ovveroF' (5) <L(±x1 V1-~2±~V1-x'2),

•

quindi per gli stessi valori di x' la funzione F' (~) si manterra finita anchecol tendere di ~ all' unity. .


l'el caso poi in cui x' e uno dei punti nei quali fl(x) diviene infinita,s criviamo F (y) V1 - ;2 sotto la forma

r(x)(x'-x) dxF'~

('

y

V'I-x'--59-x-+2xx',-~

+ 1-

,+J=iix 91i1- Q1

af(x` dxfx'

Vl-x'-- ;2-x-+2xx' ,'

e cerchiamo separatamente come si comportino i due termini del secondoinembro quando ~ converge verso uno .

Indichiamo percid con A una quantity finita e positiva, e supponiamo,giy abbastanza prossimo a 1 . Pei valori di x compresi fra i limiti d' inte-

1arazione si avry in valore assoluto f'(x)(x-x');<A, essendo (x--xf)1 itvalore assoluto di x-x' ; e questo ci mostra subito intanto the it primodei termini del secondo membro della formola precedente sary numerica-mente inferiore a

A

3 x'~+J(1-x s)(1-s=)

d xx"`)(1--e)

x'--S--x-'+2xx','X'5'44-")o-52)

ovvero a :a

A V2 Vi(1- X'`) (1- l),percib col tendere di ~ ad 1 diverra infinitesimo almeno di ordine i .L'altro termine poi sari, numericamente inferiore aA(1-C)

dx;Y

V(x'-x) [x-x' S+Vl(1-x'-) (1- -)][x'5+x'-)(1-~-)-x]+x's-J(i-xQ ;({--sQJ

+-A(lVy~xs+J +-x $~c+-s2)

dxJ

V'(x-x')[x-x'q,+VI(1-x'=)(1-Ca)][x' ;+VI(1-x'-) (1- -)-x]

ovvero a A(1- )

f x' dxVxl(--'1)±V'(l-x'-)(1-~-)IV(x'-x)[x x'

;+v(1-x' )(1 - '- ]~

A (1-,) --x s+J(1-x'~l(1- ')

dx+

;Y Vx'(1 F)+V(1-x'~)(1- ~)~

+V(1


135

o anche infine inferiore a3

A (1-~)t A (1

J-x'(1-c)'±V(1-x") (1 +

V(1-x") (l ±f)e quindi lo stesso termine col tendere di ad 1 divers infinitesimo almenodi ordine y ; e questo permette ora di dire the F(e) anche pei valori di x'the consideriamo col tendere di ~ ad 1 resterh finito o tutt' al piu diversinfinito di ordine non superiore ad 4.

Gli stessi risultati si ottengono quando si fa convergere E verso -1 ;quindi, osservando anche the per xl=±- 1 la funzione F(~) si riduce allastessa f (x) o f(- x), a la sua derivata e sempre finita o tutt'al piui divieneinfinita di ordine non superiore a , e applicando it teorema del paragrafoprecedente nella sua ultima parte si concludes subito the « se la funzione« f (x) per tutti i valori di x da -1 a 1 (gli estremi inclusi) e finita e con-(< tinua e ammette una derivata the e pure finita o the diviene infinita in« un numero finito di punti e soltanto di un ordine non superiore ad '4,<< essa sari, sviluppabile in serie di funzioni X,. come la (11) per tutti gli« stessi valori di x fra - 1 e 1 (gli estremi inclusi) >) .

S'intende the questo teorema a specialmente utile pal caso the la fun-zione abbia un numero infinito di massimi e di minimi .

8. Per quanto si e detto nel § 4 < le serie di funzioni X„ the corrispon-< dono a funzioni f (x) di x the fra -1 e 1 sono sempre finite e hanno tut-(< t'al piu un numero finito di discontinuita, e soddisfano alle condizioni L` t

o II.a del § 5 sono convergenti in egual grado fra -- 1 e 1, quando f (x)<< e sempre continua, e to sono soltanto in generale, quando f(x) ha alcune« discontinuita ; e alle stesse serie pud sempre applicarsi 1' integrazione de-<< finita fra due numeri qualunque 2 e x compresi fra -1 e 1 (questi limiti<< inclusi), quando fra 2 e x e fra i valori simmetrici --2 e -x non cade<< nessun punto di discontinuita di f (x) > .

Ora dimostrerd piu generalmente the « se f (x) e una funzione di x the«fra --1 e 1 e sempre finita o diviene infinita soltanto in un numero finito« di punti, e resta atta alla integrazione anche riducendola ai suoi valori

« assoluti, e se inoltre 1'integrale~ f(x)dx e una funzione finita a continua

dells x che, anche nel caso in cui in vicinanza dei punti x ova f(x)« diviene infinita ha un numero infinito di massimi a minimi, soddisfa alle

136


« condizioni the abbiamo poste nei paragrafi precedenti per la sua svilup-« pabilita in serie di funzioni X,, per tutu i valori di x fra -1 e 1, la serie :

~A.f X,,dx,o

,.a

« i cui termini si ottengono applicando la integrazione definita fra i due« numeri ?. e x compresi fra -1 e 1 (questi limiti inclusi) ai termini della

00« serie 2; 4,n X„ ove :

02 n -i-1

+=?n = 2

f(x) X,dx,_1

« rappresentera l' integrale.

f(x) dx .

La dimostrazione di questo teorema si fa seguendo it processo the hotenuto per la dimostrazione di un teorema analogo sulfa serie di FOURIER

Si osservi percio dapprima the se si pone

F(x)=fx f(x) dx,

questa funzione F(x) sara sviluppabile in serie di funzioni X,,, per tutti ivalori di x fra -1 e I (questi limiti inclusi), e si avra

F(x)

B,,X,,,0

essendoB,1_2'22 1 / 1 1fix) X„ dx .

-i1ia colla integrazione per parti si trova

fF(x)X.dx=F(x)xf X„dx--~'(x)C f'x

X„dx jla•,-1

1

quindi, poiche per n diverso da zero si ha :

fXdx= 4_Xnx .,, X"+ 1 ,

(12)2n+ l-1

(*) V . la mia Mem. : Sulla serie di Fourier, Annali delle Univ. Tosc., vol. XIV .


137

sary, sempre per n diverso da zero_ A..- {

An+,B,,=

A.-(

2n±3'mentre per n = 0 si ha invece

B o =+T' 1 F(x)dx=2[xF(x)] 1 -f 1 xF(x)dx=-,

-,

=zf 1f(x)Xo dx-f 'f(x)X,dx=A 0 -3 A1 ;-,

-!e percib sary

F(x) A 0 - s A, -1-~ _2n-1 2n-+-3) Y

(43)

Indichiamo ora con E una quantity positiva arbitrariamente piccola, e de-

componiamo 1'integralef 1 f(x)X,,dx, cui e uguale la quantity 2 2A,, nei-,

tre integrali

f (x) X„ dx,f 1f (x)Xndx, f '-r f (x.) X,, dx .

Ricordando che, se f, (x) e la funzione dei valori assoluti di f (x), questafunzione f, (x) e atta alla integrazione definita fra -1 e 1, si vede subitoche i due primi di questi integrali col prendere c sufficientemente piccolopossono rendersi minori di quella quantity che pin ci piace ; e siccome Pal-

1-61-6tro integraleJ' f (x)X,,d x e numericamente inferiore aage f 1f (x) dx,Ynsen2 e

1

eve gE a un numero finito, si vede anche che, per quanto piccolo sia statopreso E, per valori sufficientemente grandi di n lo stesso integrale 6 pureminore di quella quantity che pin ci piace ; e si conclude percid che gli in-

tegrali if(x) X,, d x , e quindi anche le quantity 2 n~'1 ' tendono a zero-1

col crescere indefinito di n .Questo ci permette di dire che la serie del secondo membro della formola

(13) pub trasformarsi nell'altra :

Ao +Aox-f- 00A

,I 2n± 1 (Xn+,-X„-1),

e ora, osservando che questa serie, a causa della formola (12), non a altroAnnali di Matematica, tomo VI .

18

138


che la serie 1A,,f'X,,dx, si conclude subito che si ha :

F(x)=2;A0

•

perci6 anche :

come volevamo limoa notare anche che se si esprime l'integr

M e wper mezzo della formola (12), la serie integrale

che siccome dalla (12) si ha :(2n + 1) X. ----! Xf,,,+ , - Xf,,-,,

•

oltre a questa si ha la formola (13), la somma dei primi n+2 termini?;della serie delle derivate dei termini della serie B,,X,, che corrisponde a0

00

F(x) differisce dalla somma dei primi n + 1 termini della serie 2;A,,X,,, che0

corrisponde a f(x) soltanto per la quantity, :A--, Xj. + A-+3 X/

n+

,'2n+3

2n+5

• quindi, osservando che, se la serie IA .X,, a convergente ancho soltantoin un piccolo tratto finito fra - 1 + s e 1--s, i coefficienti A,, cal crescereindefinito di n restano finiti o divengono infiniti tutt' al pRL di ordine infe-riore a quello di V-n (*), e osservando anche che pei valori di x fra --1 e 1

(*) Per vedere questo si osserva che ponendo x=eosO, a ricordando una formola diBONNET, che not abbiamo richiamata in una nota alla pag. 5, si ha per tutti i valori di5 fra a e 7r -a :

7rAn 200SW -4)

A- X.=-+1Vn

v27v ;senO

n

e osservia

cc

xx= 2;A

"j,X,, d x,

0

" I

CO

'*'B. X,, (,%) di funzioni X,,0

I


139

(questi limiti esclusi) X',, col crescere indefinito di n diviene infinito del-1'ordine di Vn, almeno generalmente, mentre per x=±1 diviene infinitodell'ordine di n2 , si pub di qui concludere the « alla serie IB„X„ di fun-« zioni X„ the corrisponde a una fuuzione f (x) •di x data fra - 1 e 1, si«pub anche applicare la derivazione termine a termine per tutti i valori di• x nello stesso intervallo (gli estremi pert esclusi) tutte le volte the la« derivata f'(x) di questa funzione fra -1 e 1 (i limiti al pin esclusi) e« sviluppabile secondo una serie di funzioni sferiche -*A„X;, ; e questa pro-• prieth sussiste anche pei valori x =± 1 tutte le volte the f' (x) b svilup-pabile secondo la serie I A„ X,, anche per gli stessi valori ± 1 di x, e i

« suoi coefficienti col crescere indefinito di n divengono infinitesimi di or-dine superiore al primo >) . S'intende bene pert the qui vogliamo parlare

di serie di funzioni sferiche come la (11), per le quali ciob si ha :

Bn=(2n2 1)f &f(x)X,,dx, A„= 2' 1f 1 f'(x)X„dx .-1

-1

E cosi in particolare si pub dire the « se f (x) b una funzione di x the«fra -1 e 1 (i limiti inclusi) ha una derivata f ' (x) finita, the non ha di-scontinuith di seconda specie e the soddisfa alle altre condizioni L a o ILaposte per f (x) nei §S 5 e 6, alla serie di funzioni X„ corrispondente a f (x)

« pub sempre applicarsi la derivazione termine a termine per tutti i valoridi x fra -1 e 1 (questi limiti al pii'u esclusi) >) .Se poi la funzione f(x) fra -1 e I (i limiti inclusi.) ha anche una de-

rivata seconda finita e determinata r(x) the soddisfa alle solite condizioniLa o ILa del § 5, allora osservando the colla integrazione per parti si ha :

A.,= -- a f

(x) (Xm+t - X.-I) dx,

ove p= 2n2 1 , e pn e una funzione the per tutti i valori di n e per gli stessi valori di 0e sempre inferiore a un numero finito ; e quindi siccome A,.XL in un intervallo finito fra a•

7t-a tende a zero col crescere indefinito di n, ripetendo i ragionamenti fatti da CANTORnella sua Memoria : Ueber einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz (Journalde Crelle, vol . 72, pag. 135 e seg.), coll'osservare the it termine pn tende a zero col ere-

nscere indefinito di n, si concluder& subito the se A„ non tende anch'esso a zero col cre-scere di n, vi tender& pera sempre la quantitd V_° , o in altri termini A„ rimarra finiton

_•

tutt'al pits diverrb, infinito di ordine inferiore a quello di Vn .

140


e osservando anche the la serie ~ 2n2 1 XI f"(x)Xn dx 6 convergente0

per x= --L1, si vede subito the A 9, col crescere indefinito di n diviene infi-nitesimo di ordine superiore al primo (*) ; e quindi si pua affermare the inquesto caso alla serie di funzioni X„ the corrisponde a f (x) puO applicarsila derivazione termine a termine anche pei valori estremi -+- I .

(Sard continuata .)

l*) In generale si pub dire the se f(x) a una funzione di m le eui prime m derivate fra-1 e 1 (questi limiti inclusi) sono finite e determinate, e soddisfano alle condizioni I e IIdel § 5, colla successiva applicazione della integrazione per parti si trova the i coefficientidella serie di funzioni X,, the corrisponde alla stessa f(x), col crescere indefinito di n,divengono infinitesimi di ordine superiore alla (m-1)° ; e quindi alla stessa serie possonoapplicarsi m derivazioni termine a termine per tutti i valori di x da - 1 e 1, ad ecce-zione tutt' al pih dei valori ± 1 per l' ultima derivata .

Sopra le serie di funzioni sferiche

Documents

Transcript of Sopra le serie di funzioni sferiche