Perché le bolle di sapone sono perfettamente...
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Perché le bolle di sapone sono perfettamente sferiche?
La diseguaglianza isoperimetrica
Luciano ModicaConvegno GFMT, Lucca, 10 settembre 2018
BOLLE DI SAPONE (da Wikipedia)
La forma sferica è dovuta alla tensione superficiale.
La tensione superficiale porta alla formazione di una sfera perché questa possiede la minima superficie per un dato volume.
Matematica
Minima superficie per un dato volume
Arte e matematica
Minima superficie per un dato volume
Passando dallo spazio a dimensione 3 al piano a dimensione 2:
Minimo perimetro per una data area
Matematica e storia
Massima area per un dato perimetro
Minimo perimetro per una data area
=
Massima area per un dato perimetro
TEOREMA
Se una figura piana è l’unica (a meno di traslazioni e rotazioni) a realizzare il minimo perimetro a parità di area,
allora
la stessa figura è l’unica (a meno di traslazioni e rotazioni) a realizzare la massima area a parità di perimetro.
E viceversa.
IL FURBIZIA DI DIDONE:
Ottenere per la fondazione della sua nuova città (Cartagine) la massima area di terreno che è possibile recingere con una pelle di bue.
Devenere locos ubi nunc ingentia cernis
moenia surgentemque novae Karthaginis arcem,
mercatique solum, facti de nomine Byrsam,
taurino quantum posset circumdare tergo.
(Eneide, libro I, vv. 365-368)
Giunsero in questi luoghi, ov’or vedrai sorger la gran cittade e l’alta rocca della nuova Carthago, che dal fatto Birsanomassi, per l’astuta merce che, per fondarla, fer di tanto sito quanto cerchiar di bue potesse un tergo.
Il problema di Didone per i rettangoli:
Qual è il rettangolo che, a parità di perimetro, ha area massima?
Un po’ di algebra elementare
� � � � � �� � �� � 2��� � � � � �� � �� � 2��
� � � � � � � ��� 4��
� � � � ��
e vale il segno = se e solo se a=b.
Il problema di Didone per i rettangoli:
Qual è il rettangolo che, a parità di perimetro, ha area massima?
Siano a e b i lati del rettagolo R. Quindi
Area R = ab ; Per R = 2(a+b)
Visto che� � � � � 4��
si ottiene che
��� ��� 4� � �� � 16 �� � 16 ���� �
��� ��� �� Area R
(e vale il segno = se e solo se a=b).
Il problema di Didone per i rettangoli:
Qual è il rettangolo che, a parità di perimetro, ha area massima?
E’ il quadrato!
Sia R un rettangolo di perimetro P e sia Q il quadrato con lo stesso perimetro. Si ha
���� � �� ! "
#
�
.
Allora
$��� % �� ! "
#
�
�� ! &'
()� $��� R
quindi il quadrato ha area maggiore di qualunque rettangolo con lo stesso perimetro.
Si noti che per ogni quadrato vale l’eguaglianza
��� ��� 16 ���� �
Diseguaglianza isoperimetricaper i rettangoli
��� ��
$��� �� �� *++��*
$��� �
��� ��,
�
��
Tra tutti i rettangoli il quadrato ha
• minimo perimetro per una data area
• massima area per un dato perimetro
Notare che il rapporto ��� ��
$��� �è invariante per
omotetie.
Diseguaglianza isoperimetrica per i parallelogrammi Sia P un parallelogramma di lati a e b e sia R il
rettangolo con gli stessi lati.
Allora
$��� � � �ℎ , �� � ���� �
,1
16��� � � �
�
����� ��
a
bh
a
b
Diseguaglianza isoperimetricaper i parallelogrammi
��� ��
$��� �� �� *../��
$��� �
��� ��,
�
��
Tra tutti i parallelogrammi il quadrato ha
• minimo perimetro per una data area
• massima area per un dato perimetro
Diseguaglianza isoperimetricaper i quadrilateri
Dopo aver generalizzato dai rettangoli ai parallelogrammi, ora generalizziamo dai parallelogrammi ai quadrilateri convessi e poi ai quadrilateri generici anche non convessi.
TEOREMA DI ERONE (II sec. d.C.)
Siano r e s due rette parallele. Su r fissiamo due punti A e B e consideriamo tutti i triangoli con vertici A e B e con il
terzo vertice sulla retta s. Tra tutti questi triangoli quello di perimetro minimo è il triangolo isoscele di base AB.
Dimostrazione. Sia r’ la retta simmetrica di r rispetto a s e sia B’ il punto su r’ simmetrico di B rispetto a s. Allora, se
prendo C sul segmento AB’ si ha AC+CB = AC+CB’ < AD+DB’ = AD + DB e dunque il triangolo isoscele ACB ha perimetro
più piccolo di ogni altro triangolo ADB.
r
s
A B
B’
C D
r’
TEOREMA DI ZENODORO (II sec. a.C.)
Sia C un qualunque quadrilatero convesso. Supponiamo che C realizzi la massima area tra tutti i quadrilateri convessi a
parità di perimetro. Allora i lati di C sono tutti eguali fra loro e dunque C è un parallelogramma.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che due lati contigui AB e BC del quadrilatero ABCD siano diversi tra loro.
Costruiamo B’ in modo che AB’C sia isoscele.
Per il Teorema di Erone AB’+B’C < AB+BC mentre l’area di ABC è eguale all’area di AB’C. Dunque il quadrilatero AB’CD
ha la stessa area ma perimetro minore di ABCD, contro l’ipotesi.
A
B
C
D
B’
Diseguaglianza isoperimetrica per i quadrilateri convessi
(con l’ipotesi che esista un quadrilatero convesso di massima area a parità di perimetro)
Sia F un qualunque quadrilatero convesso. Allora
��� 0�� �� $��� 0.
Infatti, se C è il quadrilatero convesso che ha la massima area tra quelli che hanno lo stesso perimetro di F, si ha
���� 1 , ���� 2
D’altra parte, per il Teorema di Zenodoro, C è un parallelogramma, quindi
���� 2 ,(
()��� 2 � �
(
()��� 1�
Diseguaglianza isoperimetricaper i quadrilateri convessi
��� 3�
$��� 3� �� *../��
$��� 3
��� 3�,
�
��
Tra tutti i quadrilateri convessi il quadrato ha
• minimo perimetro per una data area
• massima area per un dato perimetro
TEOREMA
Sia C un qualunque quadrilatero. Supponiamo che C realizzi la massima area tra tutti i quadrilateri a parità di
perimetro. Allora C è convesso e dunque è un parallelogramma.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che il quadrilatero ABCD non sia convesso in B.
Preso il simmetrico B’ di B rispetto ad AC, si ottiene un nuovo quadrilatero AB’CD, adesso convesso, che ha lo stesso
perimetro di ABCD ma ha area maggiore, contro l’ipotesi.
A
B’
C
D
B
Diseguaglianza isoperimetrica per i quadrilateri
(con l’ipotesi che esista un quadrilatero di massima area a parità di perimetro)
Sia F un qualunque quadrilatero. Allora
��� 0�� �� $��� 0.
Infatti, se C è il quadrilatero convesso che ha la massima area tra quelli che hanno lo stesso perimetro di F, si ha
���� 1 , ���� 2
D’altra parte, per il Teorema di Zenodoro, C è un parallelogramma, quindi
���� 2 ,(
()��� 2 � �
(
()��� 1�
Diseguaglianza isoperimetricaper tutti i quadrilateri C
��� 3�
$��� 3� �� *../��
$��� 3
��� 3�,
�
��
Tra tutti i quadrilateri il quadrato ha
• minimo perimetro per una data area
• massima area per un dato perimetro
Diseguaglianza isoperimetricaper i poligoni di 5, 6, …, N lati
Dopo aver generalizzato la diseguagianza isoperimetrica dai rettangoli a tutti i quadrilateri (poligoni di 4 lati), ora generalizziamola ai poligoni di un numero qualunque di lati.
TEOREMA DI ZENODORO (II sec. a.C.)
Sia P un qualunque poligono di N lati. Supponiamo che P realizzi la
massima area tra tutti i poligoni di N lati a parità di perimetro.
Allora P è un poligono regolare, cioè ha tutti i lati e gli angoli
eguali.
Dimostrazione. Il fatto che i lati sono tutti eguali tra loro si
dimostra esattamente come nel caso dei quadrilateri. Il fatto che
gli angoli sono tutti eguali tra loro si dimostra in modo elementare
anche se leggermente più complicato. Qui omettiamo la
dimostrazione che può essere trovata sul libro di Tikhomirov.
CALCOLO DELL’AREA E DEL PERIMETRO DI UN POLIGONO REGOLARE DI N LATI
Sia P il poligono regolare di N lati, ciascuno lungo a. Allora
Per P = Na.
D’altra parte ogni angolo interno di P ha ampiezza
4 �24
5(con π indichiamo l’ampiezza dell’angolo piatto), quindi l’apotema di P è data da
�
2 67 45
dunque l’area di P è
���� � � 5 �
2
�
2 67 45 �
5���
4 5 6745
� ��� ��
4 5 6745
Diseguaglianza isoperimetricaper tutti i poligoni G di N lati
��� 8�� �9:;<
9$��� 8
Tra tutti i poligoni di N lati il poligono regolare ha
• minimo perimetro per una data area
• massima area per un dato perimetro
COEFFICIENTE k DELLA DISEGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA
��� =�� > ���� =
PER POLIGONI DI N LATI AL VARIARE DI N
N ? � � 9 :;<
9
4 16
5 14,5308…
6 13,8564…
7 13,4840…
10 12,9967…
20 12,6707…
… …
∞ 4π = 12,566370…
Diseguaglianza isoperimetricaper tutte le figure piane A
«approssimabili» con poligoni
Per i poligoni vale che
��� 8�� �9:;<
9$��� 8 � �9
<
9$��� 8 � �<$��� 8
quindi, per approssimazione, vale che
��� $�� �<$��� $
per ogni figura piana A approssimabile con poligoni.
SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI DIDONE
Nella diseguaglianza
��� $�� �<$��� $
si noti che, se A è un cerchio di raggio r, allora
��� $�� �<��� � �< $��� $
quindi il quindi il quindi il quindi il cerchio cerchio cerchio cerchio ha, tra tutte le figure piane,ha, tra tutte le figure piane,ha, tra tutte le figure piane,ha, tra tutte le figure piane,
• minimo perimetro minimo perimetro minimo perimetro minimo perimetro per una data areaper una data areaper una data areaper una data area• massima area massima area massima area massima area per un dato perimetroper un dato perimetroper un dato perimetroper un dato perimetro
PROBLEMA ISOPERIMETRICO
• Dimostrazione classica di Zenodoro nel piano (II sec. a.C.)
• Prime dimostrazioni moderne di Steiner (1838) e Schwartz (1884)
• Dedekind osserva che occorre DIMOSTRARE che la figura di massima area per un dato perimetro esiste
• Soluzioni complete di Weierstrass, Lebesgue, Hurwitz, etc.
• Soluzione definitiva in qualunque dimensione di De Giorgi (1958)
Grazie dell’attenzione!