SOMMARIO - itistulliobuzzi.it · 6 Esempio Affinchè 3 m + 2 sia un radicale aritmetico, il suo...

SOMMARIO

CAPITOLO 13: I RADICALI

13.1 I radicali pag. 3

13.2 I radicali aritmetici pag. 5

13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. 11

13.4 Potenza di un radicale aritmetico pag. 12

13.5 Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di radice in R+ ∪{0} pag. 13

13.6 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in R+ ∪{0} pag. 14

13.7 Radice di un radicale aritmetico pag. 17

13.8 Radicali simili pag. 18

13.9 Razionalizzazione del denominatore di una frazione pag. 20

13.10 Radicali doppi pag. 28

13.11 Radicali in R pag. 33

13.12 Potenze ad esponente razionale pag. 35

ESERCIZI pag. 42

CAPITOLO 14: EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

14.1 Equazioni di secondo grado e loro classificazione pag. 79

14.2 Risoluzione di un’equazione di secondo grado pag. 81

14.3 Relazione tra i coefficienti di una equazione di secondo grado e le sue soluzioni pag. 92

14.4 Equazioni parametriche di secondo grado pag. 98

14.5 Equazioni e problemi pag. 101

14.6 Equazioni di grado superiore al secondo pag. 103

14.7 Equazioni binomie pag. 105

14.8 Equazioni trinomie pag. 108

14.9 Equazioni risolubili con particolari sostituzioni pag. 112

14.10 Equazioni reciproche pag. 114

14.11 Equazioni riconducibili ad equazioni di primo e secondo grado

mediante la scomposizione in fattori pag. 122

ESERCIZI pag. 126

CAPITOLO 15: LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

15.1 La funzione y = ax2 pag. 164

15.2 La funzione y = ax2 + bx + c pag. 171

15.3 Equazioni di secondo grado in una variabile e parabola pag. 183

15.4 Disequazioni di secondo grado in una variabile e parabola pag. 185

ESERCIZI pag. 198

CAPITOLO 16: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA

16..1 Introduzione pag. 213

16..2 Elementi di base pag. 215

16..3 Rappresentazioni grafiche pag. 218

16..4 Indici di posizione pag. 220

16..5 Indici di variabilità pag. 224

ESERCIZI pag. 227

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CAPITOLO 13

RADICALI

13.1 I radicali

Sicuramente, hai già affrontato problemi del tipo:

a) La superficie di un quadrato misura 15 m2; qual è la misura del suo lato?

b) Il volume di un cubo misura 30 cm3; qual è la misura dello spigolo del cubo?

c) Qual è quel numero che elevato alla terza dà −27?

Formalizziamoli con i simboli della matematica:

a) indicata con x la misura del lato del quadrato, si ottiene: 2 15x = ;

b) indicata con l la misura dello spigolo del cubo, si ottiene: 3 30l = ;

c) indicato con n il numero da determinare, si ottiene: 3 27n = −

Le equazioni alle lettere a) e b) non hanno soluzione nell’insieme dei numeri razionali, (la loro

soluzione è, infatti, un numero irrazionale); invece, l’equazione alla lettera c) ha per soluzione un

numero razionale.

� La soluzione dell’equazione del problema a) è quel numero irrazionale il cui quadrato è 15;

con i simboli che hai già conosciuto negli studi precedenti, si ha: 2 15 15x x= ⇒ = .

Come sai, il numero 15 si legge “radice quadrata di 15”.

Poiché 15 è soluzione dell’equazione, si ha ( )2

15 15= .

� La soluzione dell’equazione del problema b) è quel numero irrazionale che elevato alla terza

dà 30; si ha, quindi: 3 330 30l l= ⇒ = .

Poiché 3 30 è soluzione dell’equazione, si ha ( )33 30 30=

Come sai, il numero 3 30 si legge “ radice cubica (o di indice 3) di 30”.

� La soluzione dell’equazione del problema c) è il numero razionale ………. (completa),

perché ( )3........ 27= − .

I numeri 15, 3 30 che abbiamo appena scritto si chiamano radicali .

Ancora qualche esempio:

� Qual è quel numero che elevato alla quinta dà 64?

4

Formalizziamo la proposizione e risolviamo l’equazione ottenuta:

5 564 64t t= ⇒ = (il simbolo 5 64 si legge “radice di indice 5 di 64)

Poiché 5 64 è soluzione dell’equazione, si ha ( )55 64 64= .

Osserviamo che 5 64 è un numero positivo dal momento che una potenza con esponente dispari ha

lo stesso segno della base della potenza stessa.

� Qual è quel numero che elevato alla terza dà −18?


3 318 18h h= − ⇒ = − (il simbolo 3 18− si legge “radice cubica, o di indice 3, di −18)

Poiché 3 18− è soluzione dell’equazione, si ha ( )33 18 18− = − .

Osserviamo che 3 18− è un numero negativo dal momento che una potenza con esponente

dispari ha lo stesso segno della base della potenza stessa.

Anche i numeri 5 64 e 3 18− sono dei radicali.

� Qual è quel numero che elevato alla quarta dà −32?


4 32 Sh = − ⇒ = ∅

Non esiste, infatti, alcun numero che elevato alla quarta, e in generale ad un esponente pari,

dia per risultato un numero negativo.

Introduciamo un po’ di terminologia per i simboli usati per indicare i radicali:

� il simbolo è chiamato simbolo di radice;

� il numero, scritto con carattere più piccolo, posto sopra il simbolo di radice si chiama

indice di radice;

� il numero scritto dentro il simbolo di radice si chiama radicando.

Da una prima analisi degli esempi precedenti, possiamo dire che un radicale è un numero che

elevato all’ indice di radice dà il radicando; è evidente, però, che è necessario distinguere due casi:

� il radicando è un numero non negativo;

� il radicando è un numero negativo.

radicando

Simbolo di radice indice di radice

33

5

Possiamo, allora, dare la seguente definizione:

� Siano a R∈∈∈∈ e 0n N∈∈∈∈ , si chiama radice n−−−−sima (o di indice n) di a quel numero b R∈∈∈∈ tale che

nb a==== . In simboli: nb a==== .

In particolare:

• Se a ≥≥≥≥ 0, anche la radice n−−−−sima di a è un numero b ≥≥≥≥ 0.

In simboli: 0a R++++∈∈∈∈ ⇒ 0n a R++++∈∈∈∈ .

• Se a < 0, dobbiamo distinguere due casi:

o se n è dispari, anche la radice n−−−−sima di a è un numero b < 0,

o se n è pari, la radice n−−−−sima di a non esiste.

In simboli: se

se

⇒

dispari

pari

n

n

a R na R

a n

−−−−−−−− ∈∈∈∈

∈∈∈∈∃∃∃∃

Dalla definizione segue che ( )nn a a= (ovviamente quando esiste) e, quindi, possiamo affermare

che la radice n−sima di un numero è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

Come si può notare dal problema c), talvolta un radicale è un numero razionale; ad esempio:

� 7 128 2= perché 72 128= ;

� 5 243 3− = − perché ( )53 243− = − ;

� 9 34 2

= perché ( )23 92 4

= .

Casi particolari

� Se a = 0, 0 0n = .

� Se n = 1, il simbolo di radice non si scrive: 1 a a= .

� Se n = 2, si omette l’indice di radice: 2 a a= .

13.2 I radicali aritmetici

Si chiama radicale aritmetico un radicale nel quale il radicando è un numero non negativo.

Un radicale aritmetico, quindi, è un numero non negativo qualunque sia l’indice della radice.

n a radicale aritmetico ⇔ { }0a R++++∈ ∪∈ ∪∈ ∪∈ ∪

Se il radicando è un’espressione letterale, è necessario, allora, determinarne il “dominio”, cioè

l’insieme al quale devono appartenere le variabili contenute nel radicando affinchè esso sia non

negativo.

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Esempio

� Affinchè 3 2m+ sia un radicale aritmetico, il suo radicando deve essere non negativo; è

necessario determinarne il dominio ponendo il radicando maggiore o uguale a zero. Si

ottiene:

[ [2 0 2 D 2,m m+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ = − +∞

PROVA TU

Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici:

1) 5 2 1a − ; 6 23m t

2) 2 1h + ; 9 24 25z −

Proprietà invariantiva

Prima di parlare di questa importantissima proprietà dei radicali, diamo la seguente definizione:

� Due radicali aritmetici si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso numero.

Osserva attentamente le seguenti uguaglianze e, in particolare, rifletti sugli indici delle radici e sugli

esponenti dei radicandi:

� 6 6 26 64 2 2; 4 2 2= = = = ⇒ (per la proprietà transitiva) ⇒ 6 6 22 2= .

6 62 e 22 sono due “radicali” equivalenti.

� 2 44425 5 5; 625 5 5= = = = ⇒ (per la proprietà transitiva) ⇒ 2 445 5= .

25 e 44 5 sono due “radicali” equivalenti.

• Nella prima uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di 22 si possono

ottenere dall’indice di radice e dall’esponente del radicando di 6 62 , rispettivamente,

dividendo entrambi per ….... (completa).

• Nella seconda uguaglianza, indice di radice ed esponente del radicando di 25 si possono

ottenere dall’indice di radice e dall’esponente del radicando di 44 5 , rispettivamente,

moltiplicando entrambi per ….... (completa).

Questa proprietà è più generale e prende il nome di proprietà invariantiva :

� Se si moltiplicano o si dividono indice della radice ed esponente del radicando di un

radicale aritmetico per uno stesso numero naturale, diverso da zero, si ottiene un radicale

equivalente a quello dato.

In simboli: n t n h t ha a⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅==== oppure

n t n h t ha a: :: :: :: :==== ( )h∈ 0N

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Quando viene usata questa proprietà?

La proprietà invariantiva viene usata quando:

• è necessario avere due radicali aritmetici con lo stesso indice;

• è necessario “semplificare” un radicale aritmetico.

Riduzione di due o più radicali allo stesso indice

� Ridurre due radicali aritmetici allo stesso indice significa determinare due radicali

equivalenti a quelli dati aventi lo stesso indice di radice.

Generalmente, si riducono i radicali al più piccolo indice comune.

Vediamo come si opera con un esempio.

� Riduciamo allo stesso indice i radicali 32 e 5 23 .

a) Determiniamo il minimo comune multiplo fra gli indici dei due radicali:

mcm (2, 5) = 10; (indice comune dei radicali equivalenti a quelli dati);

b) si divide il mcm trovato (in questo caso10) per il “ vecchio” indice di radice e si moltiplica

l’esponente del radicando per il quoziente così determinato.

In questo caso 10 : 2 = 5; 10 : 5 = 2; si ottiene:

32 = 10 103 5 152 2⋅ = ; 5 2 10 2 2 10 43 3 3⋅= =

Quindi, 103 152 2= e 5 2 10 43 3=

� Riduciamo allo stesso indice i radicali 34 9a e 6 48a .

Osserviamo che 3 2 34 49 3a a= e 6 4 6 3 48 2a a= .

a) mcm (4, 6) = 12;

b) 12 : 4 = 3 ⇒ 2 3 4 3 2 3 3 3 6 94 123 3 3a a a⋅ ⋅ ⋅= = ;

12 : 6 = 2 ⇒ 6 3 4 6 2 3 2 4 2 6 8122 2 2a a a⋅ ⋅ ⋅= = .

Quindi, 3 6 94 129 3a a= 6 4 6 8128 2a a=

È necessario, per esempio, ridurre due radicali allo stesso indice, quando essi devono essere

confrontati.

� Qual è il più piccolo fra 8 e 10 ?

Poiché 8 < 10, anche 8 10< .

Quindi, fra due radicali aritmetici aventi lo stesso indice è minore quello che ha radicando

minore.

8

� Qual è il più piccolo fra 8 e 3 23?

Poiché sappiamo confrontare due radicali aritmetici aventi lo stesso indice di radice, per

confrontare fra loro radicali aritmetici con indice diverso è necessario, prima, ridurli allo stesso

indice; sarà più piccolo il radicale che ha radicando minore.

a) mcm (2, 3) = 6

b) 6 : 2 = 3; 6 : 3 = 2 ⇒ 6 3 68 8 512= = e 6 23 623 23 529= =

Stabiliamo, allora, qual è il più piccolo fra 6 512 e 6 529: 6 6512 529 512 529< ⇒ <

In definitiva, si ha: 38 23< .

Semplificazione di un radicale

In precedenza, abbiamo detto che si applica la proprietà invariantiva quando dobbiamo

“semplificare” un radicale aritmetico; ma…. cosa significa “semplificare” un radicale aritmetico?

Osserva i seguenti radicali aritmetici:

� 8 3a : indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni? SI NO

� 6 4b : indice della radice ed esponente del radicando hanno divisori comuni? SI NO

Si dice che 8 3a è un radicale aritmetico irriducibile ; invece 6 3b è un radicale aritmetico

semplificabile o riducibile .

Si ha la seguente definizione:

� Un radicale aritmetico si dice irriducibile se indice della radice ed esponente del radicando

sono coprimi ; in caso contrario il radicale è semplificabile.

Semplificare un radicale aritmetico, allora, vuol dire trovarne uno irriducibile ad esso equivalente.

Esempi

Semplifichiamo i seguenti radicali aritmetici:

a) 8 81; b) 12 5184; c) 9 36 8h g ( )0,h g +∈ R

a) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e

l’esponente del radicando.

Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e l’esponente del

radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:

▪ 4 8 4881 3 81 3= ⇒ = ;

▪ MCD(8,4) = 4;

▪ 8:4 4:48 81 3 = ⇒ 8 81 3= .

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b) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e gli

esponenti dei fattori del radicando.

Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e gli esponenti dei

fattori del radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:

▪ 5184 = 6 42 3⋅ ⇒ 6 41212 5184 2 3= ⋅ ;

▪ MCD(12,6,4) = 2;

▪ 6 4 12:2 6 4:12 2 3 2 3 : 2 2⋅ = ⋅ ⇒ 6 3 212 5184 2 3= ⋅ .

c) Scomponiamo in fattori il coefficiente numerico del radicando e determiniamo il MCD fra

l’indice della radice e gli esponenti dei fattori del radicando.



▪ 8 = 23 ⇒ 9 6 3 9 36 68 2h g h g= ;

▪ MCD(6, 3, 9) = 3;

▪ 3 9 36 2 h g = 3:3 9 :3 :36:3 2 h g 3 ⇒ 9 3 36 8 2h g h g=

ATTENZIONE

� Semplifichiamo il radicale ( )68 1z− .

Osserviamo che il dominio di questo radicale è l’insieme dei numeri reali dal momento che il

radicando ( )61z− è non negativo qualunque sia il valore attribuito alla variabile z.

Procediamo con la semplificazione:

� MCD (8, 6) = 2;

� applichiamo la proprietà invariantiva: ( ) ( ) ( )6 6:2 38 8:2 41 1 1z z z− = − = −

Abbiamo ottenuto l’uguaglianza ( ) ( )6 38 41 1z z− = −

Siamo proprio sicuri che essa sia vera per qualunque valore attribuito alla variabile z?

Proviamo:

� z = 0 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )6 3 6 3 8 48 84 40 1 0 1 1 1 1 1− = − ⇒ − = − ⇒ = − ⇒ uguaglianza falsa!

Come è possibile? Eppure siamo sicuri di aver applicato in maniera corretta la proprietà

invariantiva!

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Osservando i due radicali, notiamo che essi hanno come dominio insiemi diversi:

• il dominio di ( )68 1z− è l’insieme R

• il dominio di ( )34 1z− è l’insieme D1 = [ [1, .+∞

Condizione necessaria affinchè due radicali siano equivalenti è che abbiano lo stesso dominio.

Ora, affinchè l’insieme R sia il dominio di ( )34 1z− , è necessario che il suo radicando sia

“sempre” non negativo; per ottenere questo basta applicare l’operazione di valore assoluto.

Si ha, allora: ( )6 38 41 1z z− = − .

Un altro esempio.

� Semplifichiamo il radicale aritmetico ( )36 2 1x− .

Prima di tutto, determiniamo il dominio.

Deve essere ( )3 1 12 1 0 2 1 0 D ,2 2

x x x − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ ⇒ = +∞

Semplifichiamo, adesso, il radicale:

MCD (6, 3) = 3

Applichiamo la proprietà invariantiva: ( ) ( )3 3:36 6:32 1 2 1 2 1x x x− = − = − ;

si ottiene l’uguaglianza ( )36 2 1 2 1x x− = − .

Per stabilire se i due radicali sono equivalenti, determiniamo il dominio di 2 1x− .

Deve essere 11 12 1 0 D ,2 2

x x − ≥ ⇒ ≥ ⇒ = +∞

I due radicali hanno lo stesso dominio; quindi, sono equivalenti. In questo caso non si applica

l’operazione di valore assoluto.

In definitiva: ( )36 2 1 2 1x x− = − .

PROVA TU

Riduci allo stesso indice le seguenti coppie di radicali aritmetici:

a) 4 7 e 10 ; b) 32h e 3 3k ; c) ( )56 3 1 m+ e ( )49 2 m−

Inserisci, al poso dei puntini, i simboli “>”, “<” in modo che le relazioni siano vere:

a) 3 …. 4 10 ; b) 3 5 …. 3 4 ; c) 6 6 …. 4 3

Semplifica, se possibile, i seguenti radicali aritmetici:

a) 6 16 ; b) 9 364a ; c) ( )612 8 3 2t +

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13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici

Fra radicali aritmetici si definiscono due operazioni: moltiplicazione e divisione.

� Il prodotto di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale

aritmeti co che ha per indice di radice l’indice dei due fattori e per radicando il prodotto

dei radicandi dei due fattori.

In simboli: n⋅n na b a b= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la moltiplicazione si

riducono allo stesso indice.

� Il quoziente di due radicali aritmetici aventi indice di radice uguale è un radicale

aritmetico che ha per indice di radice l’indice del divisore (e del dividendo) e per

radicando il quoziente dei radicandi.

In simboli: : nn na b a b= := := := : oppure nn

n

a abb

====

Se i radicali aritmetici hanno indice di radice diverso, prima di eseguire la divisione si

riducono allo stesso indice.

Esempi

Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni e divisioni:

a) 3 34 5⋅ ; b) 64 6 2a ab⋅ ; c) 5 59 : 8 ; d) 3 2 44 : 3h t t

a) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:

3 3 3 34 5 4 5 20⋅ = ⋅ =

b) I due radicali hanno indice diverso:

▪ riduciamo i due radicali allo stesso indice;

▪ eseguiamo la moltiplicazione.

Si ottiene:

( )3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 5 3 5 212 12 1264 126 2 2 3 2 2 3 2 2 3a ab a a b a a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

In definitiva: 5 3 5 21264 6 2 2 3a ab a b⋅ = ⋅

c) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:

5 5 5 5 99 : 8 9 :88

= =

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d) I due radicali hanno indice diverso:

▪ riduciamo i due radicali allo stesso indice;

▪ eseguiamo la divisione.

Si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) 84 43 2 2 2 4 3 3 8 8 4 3 3 8124 12 12 123

24 : 3 2 : 3 2 : 33

h t t h t t h t t h t= = =

In definitiva: 8

3 2 84 123

24 : 33

h t t h t=

PROVA TU

Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali aritmetici:

a) 33 8 2⋅ ; 36 5⋅ ; 34 68 4m s m⋅

b) 77 9 : 12; 6

32

; 15 3 5 292 : 8z z y

13.4 Potenza di un radicale aritmetico

Come ben sai, l’operazione di potenza è un caso particolare di moltiplicazione.

Calcoliamo, allora, ( )35 7 .

Per definizione di potenza, si ha:

( ) ( )

( )

35 5 5 5

5 35

7 7 7 7 moltiplicazione fra radicali con indice di radice uguale

7 7 7 per definizione di potenza 7 .

= ⋅ ⋅ = =

= ⋅ ⋅ = =

Dall’esempio appena svolto, deduciamo che:

� La potenza di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha indice della radice

uguale all’ indice della base e per radicando una potenza avente per base il radicando e

per esponente l’esponente della potenza.

In simboli: ( )kn kn a a=

PROVA TU

Calcola le seguenti potenze:

a) ( )4

5 ; b) ( )3212 8b ; c) ( )

423 2m +

13

13.5 Trasporto di un fattore esterno sotto il segno di radice in 0R++++

Affrontiamo anche questo argomento con alcuni esempi.

� Consideriamo l’espressione 32 5nella quale il fattore esterno è un numero positivo.

Ricordando che 12 2= , possiamo scrivere 3 1 32 5 2 5= ⋅ .

Si tratta, allora, di eseguire una moltiplicazione fra due radicali con diverso indice di radice.

Prima di eseguire la moltiplicazione, perciò, è necessario ridurre i due radicali allo stesso indice;

si ottiene:

3 3 3 33 1 3 32 5 2 5 2 5 2 5= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ 3 332 5 2 5= ⋅

Osservando l’ultima uguaglianza, notiamo che

� il “ fattore esterno” (2) si trova sotto il segno di radice ed ha esponente uguale all’indice di

radice.

� Consideriamo l’espressione 43 7− nella quale il fattore esterno è un numero negativo.

Ricordando che 13 3= , possiamo scrivere 4 1 43 7 3 7− = − ⋅ .

Siamo di fronte ad una moltiplicazione fra radicali con indice diverso.

Dopo aver ridotto i due radicali allo stesso indice, eseguiamo la moltiplicazione; si ottiene:

4 44 44 1 4 43 7 3 7 3 7 3 7− = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⇒ 4443 7 3 7− = − ⋅ .

Osservando l’ultima uguaglianza, notiamo che :

� fuori dal segno di radice è rimasto il segno “−”;

� sotto il segno di radice troviamo 443 3= − .

Dall’analisi degli esempi svolti, possiamo dedurre la seguente regola:

� per portare un fattore esterno non negativo sotto il segno di radice è sufficiente elevarlo

all’indice di radice.

In simboli:

, 0 n nna a b a b≥ =≥ =≥ =≥ =

� per portare un fattore esterno negativo sotto il segno di radice si lascia il segno “ −−−−” fuori

dal simbolo di radice e si eleva il suo valore assoluto all’indice di radice.

In simboli:

, = 0nn na a b a b< −< −< −< −

14

ATTENZIONE

� Consideriamo l’espressione 6 23m m nella quale il fattore esterno è una lettera.

Il dominio di 6 23m è l’insieme dei numeri reali; la variabile m, allora, può assumere valori sia

non negativi che negativi.

È necessario, quindi, distinguere i due casi:

� se m ≥ 0, lo si porta sotto radice elevandolo all’indice della radice;

� se m < 0, si porta sotto radice il suo valore assoluto elevandolo all’indice di radice.

Ricorda che m < 0 ⇒ m m= −

Si ottiene:

� 0m≥ , 6 2 6 6 2 6 2 6 83 3 3 3m m m m m m m= ⋅ ⇒ = ;

� m < 0, ( )666 2 2 2 6 86 63 3 3 3m m m m m m m= − ⋅ ⇒ − − ⋅ = − .

� Consideriamo l’espressione 34k k nella quale il fattore esterno è, ancora una volta, una lettera.

Il dominio di 34 k è l’insieme D = 0+R (perché?); la variabile k, allora, è sicuramente non

negativa.

Quindi, si ha: 3 4 3 3 74 4 4 4k k k k k k k= ⋅ ⇒ = .

PROVA TU

Porta sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali aritmetici:

a) 75 4; b) 2 6− ; c) 3 26a a ; d) 3 2z z

13.6 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice in 0R++++

Ricordiamo che

� se a ≥ 0, b ≥ 0, n n na b ab⋅ = , oppure, in modo equivalente, n n nab a b= ⋅ ;

� se a ≥ 0, b > 0, n

nn

a abb

= , oppure, in modo equivalente, n

nn

aab b

= .

Rifletti, adesso, sulle seguenti uguaglianze:

a) ( )2 212 2 3 per la proprietà ricordata in precedenza 2 3 2 3= ⋅ = = ⋅ = ⇒ 22 3 2 3⋅ = .

b) 3 2 5 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 23 972 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ 3 2 5 3 2 22 3 3 2 3⋅ = ⋅

15

c) 3 7 9 3 3 4 8 3 3 4 8 3 3 2 2 3 34 4 4 4 4 4 42 3 5 2 3 3 5 5 2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 3 5 2 3 5⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ 3 7 9 2 3 34 42 3 5 3 5 2 3 5⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

d) 5 4 4 25

3 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 232 2 4 227 3 33 3 3 3 33 3 3 3 3

⋅ ⋅ ⋅= = = = = = =⋅⋅ ⋅

⇒ 32 4 227 3 3

=

Come puoi notare dalle uguaglianze ottenute, è stato possibile scrivere il radicale come prodotto fra

un fattore esterno ed un radicale.

Quali fattori è stato possibile “portare fuori” dal segno di radice?

Completa:

� nell’esempio a) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore ….;

� nell’esempio b) è stato portato fuori dal segno di radice il fattore ….;

� nell’esempio c) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori …. e 5…. ;

� nell’esempio d) sono stati portati fuori dal segno di radice i fattori ………………… .

Che cosa hanno in comune questi fattori?

Poni la tua attenzione su esponente dei fattori portati fuori dal segno di radice e indice di radice:

tutti i fattori portati fuori dal segno di radice hanno esponente ………………….. o

…………………. all’indice di radice.

Ogni volta che un fattore deve essere portato fuori dal segno di radice, è necessario eseguire tutti i

passaggi degli esempi a), b), c) e d) ? NO!

È sufficiente seguire questo semplice procedimento:

� È possibile portare un fattore fuori dal segno di radice soltanto se il suo esponente è

maggiore o uguale all’ indice di radice.

� Sia ( )n ha h n ≥ .

Indicati con q il quoziente e con r il resto della divisione fra h e n, si ha:

• q è l’esponente di a fuori di radice ;

• r è l’esponente di a sotto radice.

In simboli: n h q n ra a a====

Esempio

Dato il radicale aritmetico 3 2160, portiamo fuori di radice i fattori possibili.

� Scomponiamo in fattori primi il radicando: 4 32160 2 3 5= ⋅ ⋅ ⇒ 3 4 33 2160 2 3 5= ⋅ ⋅ ;

▪ (4 > 3; 3 = 3; 1 < 3) ⇒ possiamo portare fuori di radice i fattori 2 e 3;

16

▪ 4 : 3 1 con il resto di 1 ,1 1= ⇒ q r==== ==== ;

▪ 3: 3 1 con il resto di 0 ,1 0= ⇒ q r==== ==== ;

▪ 3 4 3 33 3 32160 2 3 5 2 3 2 3 5 2 3 2 1 5 6 10= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =1 01 1

• In definitiva: 3 32160 6 10=

ATTENZIONE

Come si procede se il radicando è un’espressione letterale?

Osserva gli esempi seguenti.

� Dato il radicale aritmetico 64 27k , portiamo fuori di radice i fattori possibili.

� Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale: 627 0 Dk ≥ ⇒ = R .

È opportuno evidenziare, quindi, che a k possono essere attribuiti valori sia positivi che

negativi oppure il valore nullo; ricordiamo, inoltre, che un radicale aritmetico è un numero non

negativo.

Applichiamo il procedimento esposto in precedenza:

� 3 6 3 64 427 3 27 3k k= ⇒ = ;

� ( )3 64, 4< > ⇒ possiamo portare fuori di radice solo il fattore k ;

� 6 : 4 1 con il resto di 2 ,= ⇒ 21q r==== ==== ;

• 6 3 6 2 6 24 4 4 4 4 427 3 27 27 27 27k k k k k k k k k= = = ⇒ =21 .

Poniamoci, adesso, questa domanda:

� l’uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di k appartenente al dominio del radicale?

La risposta è NO!

Osserviamo che 240 27 0k k k< ⇒ < (perché?) e sappiamo che un numero positivo o

nullo ( )64 27k è sicuramente diverso da un numero negativo.

Dobbiamo, allora, fare in modo che l’espressione ottenuta dopo aver portato fuori di

radice il fattore k, sia non negativa per qualsiasi valore attribuito alla lettera k.

Raggiungiamo il nostro obiettivo applicando al fattore esterno l’operazione di valore

assoluto.

Si ha, quindi: 6 24 427 27k k k====

17

� Dato il radicale aritmetico 716t , portiamo fuori di radice i fattori possibili.

� Determiniamo, prima di tutto, il dominio del radicale: 7016 0 0 Dt t +≥ ⇒ ≥ ⇒ = R .

Alla variabile t, allora, è possibile attribuire solo valori non negativi.

Applichiamo il procedimento esposto in precedenza:

� 4 7 4 716 2 16 2t t= ⇒ = ;

� ( )4 2 7, 2> > ⇒ possiamo portare fuori di radice sia il fattore 2 che il fattore t ;

� 4 : 2 2 con il resto di 0 ,= ⇒ 0rq = 2= 2= 2= 2 ==== ;

� 7 : 2 3 con il resto di 1 ,= ⇒ 13q r==== ====

• 7 4 7 3 1 316 2 2 2 4 1 4t t t t t t t t= = = =0 12 3 .

Poniamoci, adesso, la domanda:

� l’uguaglianza ottenuta è vera per ogni valore di t appartenente al dominio del radicale?

La risposta è SI! Perché? ………………………………………………………………. .

In questo caso, allora, non dobbiamo applicare l’operazione di valore assoluto al fattore esterno t.

Si ha, quindi: 7 316 4t t t=

Possiamo, allora, concludere che:

� dopo aver portato fuori di radice un fattore, è necessario applicare ad esso l’operazione di

valore assoluto se esiste almeno un valore, appartenente al dominio del radicale, per il quale

l’espressione è negativa.

Osservazione

Dal momento che ( )0 1 0a a= ≠ , i fattori con esponente 0 non sono presenti sotto il segno di

radice.

PROVA TU

Porta fuori di radice i fattori possibili:

a) 96; b) 3 20000; c) 5 98a ; d) 64 81b ; e) 3 81125

13.7 Radice di un radicale

Nel paragrafo 13.2 abbiamo detto che, se il radicando è un numero reale non negativo, un radicale

aritmetico è , a sua volta, un numero reale non negativo.

Può capitare, allora, che il radicando di un radicale aritmetico sia un altro radicale aritmetico; cioè

sia del tipo pn a .

18

In questo caso, vale la seguente proprietà:

� La radice di indice n di un radicale aritmetico è un radicale aritmetico che ha come indice

di radice il prodotto degli indici delle due radici e come radicando lo stesso radicando.

In simboli: p n pn a a⋅=

Esempi

� Calcoliamo 5 56 .

Si ha ( )2; 5n p= = ⇒ 2 5 10n p⋅ = ⋅ = ; si ottiene: 5 1056 56= .

Calcoliamo 3 42 3 .

Si ha ( ) 3 443 34 42 3 portiamo sotto radice il fattore esterno 2 3 48= = ⋅ = ;

( ) 3 34 4 123, 4 12 2 3 48 48n p n p= = ⇒ ⋅ = ⇒ = = .

PROVA TU

Calcola le seguenti radici di radicali aritmetici:

a) 4 3 12 ; b) 63 2 ; c) 5 3a a

13.8 Radicali simili

Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato a conoscere alcune proprietà dei radicali aritmetici e ad

eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione fra di essi; non esiste, invece, una proprietà

analoga per la somma algebrica fra radicali aritmetici.

In generale, la somma algebrica fra due radicali aritmetici non è un radicale aritmetico:

• se a ≥ 0, b ≥ 0 n n na b a b± ±≠≠≠≠

Prova , con un esempio, a giustificare questa disuguaglianza.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Come al solito, però, esistono casi particolari!

Consideriamo l’ espressione 3 5 2 5+ .

Osserviamo che:

� ciascuno dei due addendi è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale aritmetico;

� i due addendi hanno un fattore uguale ( )5 .

19

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:

� ( )3 5 2 5 5 3 2 5 5+ = + =

In questo caso, dunque, abbiamo potuto calcolare la somma dei due radicali.

Consideriamo l’espressione 3 32 7 6 7− .

Osserviamo che:

� ciascuno dei due termini della differenza è il prodotto fra un numero razionale ed un radicale

aritmetico;

� i due termini hanno un fattore uguale ( )3 7 .

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica, si ottiene:

� ( )3 3 3 32 7 6 7 7 2 6 4 7− = − = −

Anche in questo caso, quindi, abbiamo potuto calcolare la differenza fra i due radicali.

Radicali come 3 5 e 2 5, oppure come 32 7 e 36 7 si dicono radicali simili .

I radicali 3 375 e 6 576 sono simili?

Ad una analisi molto superficiale, diremmo che non sono simili; ma stiamo attenti!

Osserviamo che:

� ( )3 33 3375 5 3 portiamo fuori di radice il fattore 5 5 3= ⋅ = =

Quindi, 3 3375 5 3=

� ( )6 6 2 3 36 576 2 3 semplifichiamo il radicale 2 3= ⋅ = = ⋅ =

( ) 3portiamo fuori di radice il fattore 2 2 3= =

Quindi, 6 3576 2 3=

E allora: 35 3 e 32 3 sono simili .

Si ha la seguente definizione:

� Due o più radicali si dicono simili se, dopo aver eventualmente semplificato e portato fuori di

radice i fattori possibili, essi differiscono, al più, per il fattore esterno.

� Il fattore esterno prende il nome di coefficiente.

� Due radicali sono opposti se sono simili ed hanno coefficienti opposti.

Osservando i due esempi precedenti possiamo affermare che:

� La somma algebrica di due o più radicali simili è un radicale simile a quelli dati che ha

come fattore esterno la somma algebrica dei fattori esterni dei radicali dati.

20

Esempi

� Stabiliamo se i radicali 24 e 54 sono simili.

324 2 3 2 6= ⋅ = ; 354 2 3 3 6= ⋅ =

fattore esterno 2

2 6 radicale 6

fattore esterno 33 6

radicale 6

i due radicali differiscono solo per il fattore esterno, pertanto sono simili.

� Semplifichiamo la seguente espressione:

3 398 6 2 50 2 216+ − −

Scomponiamo in fattori primi i radicandi:

2 2 3 3 33 3398 6 2 50 2 216 2 7 6 2 2 5 2 2 3+ − − = ⋅ + − ⋅ − ⋅ =

= (portiamo fuori di radice i fattori possibili) = 37 2 6 2 5 2 2 2 3+ − − ⋅ ⋅ =

= (individuiamo i radicali simili) = 36 2 127 2 5 2+ − − = ( ) 37 5 2 6 2 12− + − =

= 32 2 6 2 12+ − .

PROVA TU

1) Individua, fra i seguenti radicali aritmetici, quelli simili fra loro:

3 6 ; 32 6− ; 12− ; 45 36− ; 108−

2) Semplifica le seguenti espressioni:

a) 4 4 43 2 3 8 3− + − ;

b) 3348 3 24 18− + − + .

13.9 Razionalizzazione del denominatore di una frazione

È possibile calcolare la differenza 95 22

− ?

Osservando i due radicali, probabilmente, la prima risposta che ci viene in mente è:

“NO, perché non sono simili.”

Siamo proprio sicuri che 5 2 e 92

non siano simili? Pensiamoci bene!

Osserviamo che:

29 39 3 9 32 22 2 2 2

= = = ⇒ =

21

Ora, se alla frazione 32

applichiamo la proprietà invariantiva e, quindi, moltiplichiamo

numeratore e denominatore per 2 , otteniamo:

( )23 2 3 2 3 23 3 2

2 22 2 2 2= = = =

⋅

In definitiva abbiamo ottenuto la seguente uguaglianza:

9 3 22 2

=

Dobbiamo, allora, ammettere di esserci sbagliati: i radicali 5 2 e 92

sono simili!

Possiamo, quindi, calcolare la differenza 95 22

− ; si ottiene:

( )9 3 3 75 2 5 2 2 5 2 22 2 2 2

− = − = − =

Come sicuramente avrai notato, nello svolgimento di questo esercizio, ci siamo trovati di fronte alla

frazione 32

che ha al denominatore un radicale.

È stato utile, in questo caso, trasformarla, in una ad essa equivalente, in modo tale che il

denominatore fosse un numero razionale.

La “trasformazione” eseguita sulla frazione 32

prende il nome di razionalizzazione del

denominatore di una frazione.

Abbiamo, allora, la seguente definizione:

� Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire rendere razionale il

denominatore della frazione e, quindi, scrivere una frazione equivalente a quella data in

modo tale che il denominatore della frazione sia un numero razionale.

Per razionalizzare il denominatore di una frazione, allora, si moltiplicano numeratore e

denominatore della frazione per un’ opportuna espressione.

Analizziamo, adesso, i casi che si possono presentare.

1) La frazione è del tipo ( ) An m

m nk b

<<<< , cioè il denominatore è il prodotto fra un numero

razionale ed un radicale.

Osserva l’esempio seguente.

22

� Razionalizziamo il denominatore della frazione 5

54

.

Prima di tutto, scomponiamo in fattori primi il radicando; si ha: 5 5 2

5 54 2

= .

Per rendere razionale il denominatore della frazione dobbiamo moltiplicare numeratore e

denominatore in modo tale che il prodotto al denominatore sia 5 52 , perché 5 52 2= .

Completa:

� ( )5 5 5 22 per le proprietà delle potenze 2 ....... = = ⋅ =

( ) 5 2 5per la regola sulla moltiplicazione fra radicali 2 .......= = ⋅ .

Moltiplichiamo, allora, numeratore e denominatore di 5 2

5

2 per 5 32 ; si ottiene:

� 5 5 5 53 3 3 3 5

5 5 5 5 52 2 3 2 3 5

5 85 2 5 2 5 2 5 252 22 2 2 2 2 2

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =⋅ ⋅

In definitiva: 5

5

5 8524

⋅=

Poniamo la nostra attenzione sul fattore 5 32 che ci ha consentito di razionalizzare il

denominatore della frazione e confrontiamolo con 5 22 (denominatore della frazione):

� i due radicali hanno indice di radice uguale;

� i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la stessa base;

� l’esponente del radicando di 5 32 è uguale alla differenza fra l’indice di radice e l’esponente

del radicando di 5 22 .

Prova tu e completa

Razionalizza il denominatore della frazione 8 5

3

a

Prima di tutto, determina il dominio del radicale: ........a∈

Per rendere razionale il denominatore della frazione devi moltiplicare numeratore e

denominatore in modo tale che il prodotto al denominatore sia 8 ........, perché ( )88 ...... a= .

� 8 8a = ( ) ( ).....58per le proprietà delle potenze a a = ⋅ =

( ) 8 5 8per la regola sulla moltiplicazione fra radicali .......a= = ⋅ .

Moltiplica, allora, numeratore e denominatore di 8 5

3

a per ( )38 ...... ; ottieni:

23

� ( )

( )( ).... ....8 8 8 8

88 5 .... 8 55 5 8

3 ...... 3 ...... 3 ....... 3 ......3.................. aa aa

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =⋅⋅

In definitiva: 8 3

8 5

33 aaa

⋅= .

Rifletti sul fattore 8 3a che ti ha consentito di razionalizzare il denominatore della frazione e

confrontalo con 8 5a (denominatore della frazione):

� i due radicali hanno indice di radice ……………………;

� i radicandi di entrambi i radicali sono potenze aventi la …………………… base;

� l’esponente del radicando di 8 3a è uguale alla …………………………. fra l’indice di radice

e l’esponente del radicando di 8 5a .

Possiamo generalizzare e dare la seguente regola:

� per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo ( ) An m

m nk b

<<<<

si

moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un radicale che ha:

� indice di radice uguale all’ indice di radice del radicale al denominatore della frazione;

� per radicando una potenza avente per base la stessa base del radicando del radicale al

denominatore della frazione e per esponente la differenza fra l’indice di radice e

l’ esponente del radicando del radicale al denominatore della frazione.

In simboli: se m n<<<< , = AA n n m

n m

bkbk b

−−−−

Casi particolari

� Se n = 2 si moltiplicano numeratore e denominatore della frazione per un radicale uguale al

denominatore della razione.

� Se m > n, si porta fuori di radice il fattore possibile e così si ricade nel caso precedente.

Esempi


.

Il radicale al denominatore ha indice di radice uguale a 2.

Moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per 6 ; si ottiene:

2

4 6 4 6 4 6 2 646 36 6 6 6

= = = =⋅

⇒ 2 6436

=

24


53 128

.

� Scomponiamo in fattori il radicando: 4 4 7

5 53 128 3 2

=

� Nel radicale al denominatore, l’esponente del radicando è maggiore dell’indice della radice;

portiamo fuori di radice il fattore 2: 4 47 3

5 5

3 2 3 2 2=

⋅.

� Nel radicale al denominatore, adesso, l’esponente del radicando è minore dell’indice della

radice; possiamo applicare la regola esposta in precedenza; si ottiene:

4 4 3 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4 47 3 3 4 3 3 3 44

5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 25 56 2 123 2 3 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2

−

−= = = = = = =⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

In definitiva: 4

4 7

5 25123 2

= .

2) La frazione è del tipo1 1 2 2

Ak b k b±±±±

, cioè il denominatore della frazione è la somma o la

differenza di due radicali di indice 2.


� Razionalizziamo il denominatore della frazione 35 3+

.

−−−− Osserviamo che il denominatore della frazione è la somma di due radicali di indice 2.

−−−− Ricordiamo che ( )2

5 5= ; ( )2

3 3=

Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo

tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un quadrato.

Poichè ( ) ( ) 2 2A B A B A B+ − = − , moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per

la differenza dei due radicali presenti al denominatore della frazione; si ottiene:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )2 2

3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 335 3 25 3 5 3 5 3 5 3

− − − −= = = =−+ + ⋅ − −

In definitiva: ( )3 5 33

25 3

−=

+.

25

� Razionalizziamo il denominatore della frazione 67 11−

.

−−−− Osserviamo che il denominatore della frazione è la differenza di due radicali di indice 2.

−−−− Ricordiamo che ( )2

7 7= ; ( )2

11 11=


tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, risulti elevato al

quadrato.

Poichè ( ) ( ) 2 2A B A B A B+ − = − , moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per

la somma dei due radicali presenti al denominatore della frazione; si ottiene:

( )( ) ( )

( )( ) ( )2 2

6 7 11 6 7 1167 11 7 11 7 11 7 11

+ += = =

− − ⋅ + −

( ) ( ) ( )6 7 11 6 7 11 3 7 11

7 11 4 2

+ + += = = −− −


27 11

+= −

−.

Prova tu e completa

Razionalizza il denominatore della frazione 210 3+

.

−−−− Osserva che il denominatore della frazione è la …………… di due radicali di indice ………. .

−−−− Ricorda che ( )2

10 ......= ; ( )2

3 .........=

Devi moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale che

ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, risulti elevato al …………… .

Poichè ( )( ) 2 2A B A B ...... .......+ − = − , moltiplica numeratore e denominatore della frazione per

la ……………… dei due radicali presenti al denominatore della frazione; ottieni:

( )( ) ( )

( )( ) ( )2 2

2 ...... ... ...... 2 ...... ... ......210 3 10 3 ...... ... ...... .... ....

= =

+ + ⋅ −

( ) ( )2 ...... ... ...... 2 ...... ... ......

...... ...... ..........

= =−


710 3

−=

+.

26

Lo stesso procedimento si applica se il denominatore è del tipo a b± , cioè è la somma o la

differenza fra un numero razionale ed un radicale di indice 2.


� per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo 1 1 2 2

Ak b k b++++

si moltiplicano

numeratore e denominatore della frazione per la differenza fra i due termini del denominatore.

In simboli: ( )

( ) ( )2 2=−

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

AA k b k b

k b k b k b k b

−−−−

++++

� per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo 1 1 2 2

Ak b k b−−−−

si moltiplicano

numeratore e denominatore della frazione per la somma fra i due termini del denominatore.

In simboli: ( )

( ) ( )2 2=−

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

AA k b k b

k b k b k b k b

++++

−−−−

3) La frazione è del tipo3 3

1 1 2 2

Ak b k b±±±±

, cioè il denominatore della frazione è la somma o la



� Razionalizziamo il denominatore della frazione 3 3

42 7+

.

−−−− Osserviamo che il denominatore della frazione è la somma di due radicali di indice 3.

−−−− Ricordiamo che ( )33 2 2= ; ( )3

3 7 7=


tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un cubo.

Poichè ( )( )2 2 3 3A B A AB+ B A + B+ − = , moltiplichiamo numeratore e denominatore della

frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti al

denominatore della frazione a cui sottraiamo il loro prodotto ; si ottiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 23 3 3 3 3 3 3

3 32 23 3 3 33 3 33 3 3

4 2 2 7 7 4 4 14 4942 7 2 72 7 2 2 7 7

− ⋅ + − + = = = + ++ ⋅ − ⋅ +

( ) ( )3 3 3 33 34 4 14 49 4 4 14 49

2 7 9

− + − += =+ .

27

� Razionalizziamo il denominatore della frazione 3 3

64 10−

.

−−−− Osserviamo che il denominatore della frazione è la differenza di due radicali di indice 3.

−−−− Ricordiamo che ( )33 4 4= ; ( )3

3 10 10=


tale che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un cubo.

Poichè ( )( )2 2 3 3A B A + AB+ B A B− = − , moltiplichiamo numeratore e denominatore della

frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati dei due radicali presenti al

denominatore della frazione a cui aggiungiamo il loro prodotto; si ottiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 23 3 3 3 3 3 3

3 32 23 3 3 33 3 33 3 3

6 4 4 10 10 6 16 40 10064 10 4 104 10 4 4 10 10

+ ⋅ + + + = = = − −− ⋅ − ⋅ +

( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 36 16 40 100 6 16 40 100

16 40 1004 10 6

+ + + += = = − + +− − .

Prova tu e completa

Razionalizziamo il denominatore della frazione 3 3

612 5−

.

−−−− Osserva che il denominatore della frazione è la ……………. di due radicali di indice …….. .

−−−− Ricorda che ( )33 12 ........= ; ( )3

3 5 .........=

Dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un’espressione in modo tale

che ciascuno dei due radicali, dopo ave eseguito la moltiplicazione, sia un ………… .

Poichè ( )( )2 2 3 3A B A + AB+ B ...... .......− = − , moltiplica numeratore e denominatore della frazione

per un trinomio formato dalla somma dei ………….… dei due radicali presenti al denominatore

della frazione a cui aggiungi il loro …………………..; si ottiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 23 3 3 3 3 3 3

3 32 23 3 3 33 3 3 3 3 3

6 ...... ...... .... .... 6 ...... ...... ....612 5 ...... ....4 10 ...... ...... .... ....

+ ⋅ + + + = = = − −− ⋅ + ⋅ +

( ) ( )3 3 3 3 3 36 ...... ...... .... 6 ...... ...... ....

...... .... ......

+ + + += =− .

28

Lo stesso procedimento si applica se il denominatore è del tipo 3a b± , cioè è la somma o la

differenza fra un numero razionale ed un radicale di indice 3.


� per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo 3 3

1 1 2 2

Ak b k b++++

si moltiplicano

numeratore e denominatore della frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati

dei due radicali presenti al denominatore della frazione a cui sottraiamo il loro prodotto

In simboli: ( ) ( )

( ) ( )

2 2

3 3

− ⋅ + =

+

3 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2

3 31 1 2 2 1 1 2 2

AA

k b k b k b k b

k b k b k b k b++++

� per razionalizzare il denominatore di una frazione del tipo 3 3

1 1 2 2

Ak b k b−−−−

si moltiplicano

numeratore e denominatore della frazione per un trinomio formato dalla somma dei quadrati

dei due radicali presenti al denominatore della frazione a cui aggiungiamo il loro prodotto.

In simboli: ( ) ( )

( ) ( )

2 2

3 3

+ ⋅ + =

−

3 3 3 31 1 1 1 2 2 2 2

3 31 1 2 2 1 1 2 2

AA

k b k b k b k b

k b k b k b k b−−−−

PROVA TU

Razionalizza il denominatore delle seguenti frazioni:

a) 23

; 4

5125

; 6 3

2

4

a

a

b) 76 12−

; 43 5+

c) 3 3

94 12−

; 3

25 1+

13.10 Radicali doppi

� Qual è il valore della potenza ( )2

1 5+ ?

Osserviamo che la base della potenza è la somma di due termini, quindi per calcolare ( )2

1 5+ è

necessario applicare la regola del quadrato di un binomio; si ottiene:

( ) ( ) ( )2 2 2

1 5 1 5 2 1 5 1 5 2 5 6 2 5 1 5 6 2 5+ = + + ⋅ ⋅ = + + = + ⇒ + = +

29

Dalla precedente uguaglianza, possiamo, allora, dedurre che:

( ) ( )2

6 2 5 1 5 semplificando 1 5+ = + = = +

Poichè ( )6 2 5 portando sotto radice il fattore 2 6 20+ = = + , si ottiene:

6 20 1 5+ = + (�)

� Calcoliamo la seguente potenza ( )2

7 5− .

Come nell’esempio precedente, applichiamo la regola del quadrato di un binomio; si ottiene:

( ) ( ) ( )2 2 2

7 5 7 5 2 7 5 7 5 2 35 12 2 35− = + − ⋅ ⋅ = + − = − ⇒

( )2

7 5 12 2 35⇒ − = −

Abbiamo ottenuto, allora, che:

( )2

7 5 12 2 35− = −

Possiamo, allora, dedurre che:

( ) ( )2

12 2 35 7 5 semplificando 7 5− = − = = −

Poiché ( )12 2 35 portando sotto radice il fattore 2 12 140− = = − , si ottiene:

12 140 7 5− = − (��)

Osserviamo le uguaglianze (�) e (��):

� il primo membro è un radicale di indice 2 che ha per radicando la somma o la differenza

di un numero razionale e di un radicale di indice 2;

� il secondo membro è la somma o differenza di due termini dei quali almeno uno è un

radicale di indice 2.

Ricordando, poi, che ( )2 0a a a= ≥ , possiamo dire che il secondo membro è la somma o


Radicali come 6 20+ oppure 12 140− sono chiamati radicali doppi .

Definizione

� Un radicale di indice 2 che ha come radicando la somma o differenza fra un numero

razionale e un radicale di indice 2 si chiama radicale doppio.

Un radicale doppio, quindi, è un radicale del tipo A B++++ oppure A B−−−− .

30

Nei due casi precedenti, abbiamo visto che è stato possibile scrivere un radicale doppio come

somma o differenza di due radicali “semplici” (di indice 2).

In generale, è possibile trasformare un radicale doppio nella somma o differenza di due radicali

semplici (di indice 2) se il suo radicando è il quadrato di un binomio.

Ad esempio, per stabilire se il radicale doppio 8 60+ è la somma di due radicali semplici,

dobbiamo determinare un binomio del tipo ( )p t+ tale che ( )2

8 60p t+ = + .

Osserviamo che:

28 60 8 2 15 8 2 15 8 2 3 5 8 2 3 5+ = + ⋅ = + = + ⋅ = + ⋅ ⋅

inoltre,

( ) 2 3 5 doppio prodotto8 2 3 5 quadrato di un binomio

8 somma dei quadrati

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

Ipotizziamo, allora, che 3 5p t= ∧ = ;

calcoliamo la somma dei loro quadrati: ( ) ( )2 2

3 5 3 5 8+ = + = .

La nostra ipotesi è corretta!

Si ottiene, quindi:

( ) ( ) ( )2 2 2

8 2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 2 3 5 3 5+ ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ = +

In definitiva, abbiamo la seguente uguaglianza:

( )2

8 60 3 5+ = +

Possiamo, allora, scrivere:

( )2

8 60 3 5 8 60 3 5+ = + ⇒ + = +

Pertanto, è stato possibile trasformare il radicale doppio 8 60+ nella somma di due radicali

semplici.

Prova tu e completa

� Stabilisci se 10 84+ è la somma di due radicali semplici.

10 84+ è la somma di due radicali semplici se esiste un binomio del tipo ( )p t+ tale

che ( )2

p t+ = …………………. .

31

Osserva che:

.....10 84 10 2 .... 10 .... ..... .... 10 .... .... ....+ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ ⋅

inoltre,

( ) .... .... .... doppio ..................10 .... .... .... quadrato di un binomio

10 somma dei .................

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

Ipotizziamo, allora, che .... ....p t= ∧ = ;

calcoliamo la somma dei loro quadrati: ( ) ( )2 2

.... .... .... .... 10+ = + = .

La nostra ipotesi è ……………… !

Si ottiene, quindi:

( ) ( ) ( )2 2 2

10 .... .... .... .... .... 2 .... .... .... .... .... .... .... .... ....+ ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ = +

In definitiva, abbiamo la seguente uguaglianza:

( )2

10 84 .... ....+ = +

Possiamo, allora, scrivere:

( )2

10 84 .... .... 10 84 .... ....+ = + ⇒ + = +

Pertanto, è stato possibile trasformare il radicale doppio 10 84+ nella somma di due radicali

semplici.

Non è sempre agevole, però, applicare questo procedimento ogni volta che è necessario trasformare

un radicale doppio nella somma di due radicali semplici,.

In realtà, si dimostra che, per i radicali doppi vale sempre la seguente relazione:

=2 2A A B A A BA B

2 2+ − − −+ − − −+ − − −+ − − −± ±± ±± ±± ± (�)

Applicando questa relazione, il radicale doppio si trasforma nella somma o differenza di due

radicali semplici solo se l’espressione 2A B−−−− è un quadrato perfetto; pertanto essa è utile solo in

questo caso.

Esempi

� Trasformiamo 9 32+ nella somma di due radicali semplici.

Osserviamo che: A = 9, B = 32.

32

Prima di applicare la relazione (�), calcoliamo l’espressione 2A B− ; si ottiene:

2 2 2A B = 9 32 81 32 49 7− − = − = =

Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare 9 32+ nella

somma di due radicali semplici e, quindi, applichiamo la relazione (�):

2 29 7 9 7 9 7 9 79 32 8 1 8 12 2 2 2

+ − + −+ = + = + = + = +

In definitiva, abbiamo avuto ottenuto:

9 32 8 1+ = +

� Trasformiamo 8 48− nella somma di due radicali semplici.

In questo caso: A = 8, B = 48

Calcoliamo l’espressione 2A B− :

2 2 2A B = 8 48 64 48 16 4− − = − = =

Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare 8 48− nella


2 28 4 8 4 8 4 8 48 48 6 22 2 2 2

+ − + −− = − = − = +


8 48 6 2− = −

� Trasformiamo 8 30+ nella somma di due radicali semplici.

In questo caso: A = 8, B = 30

Calcoliamo l’espressione 2A B− :

2 2A B = 8 30 64 30 34− − = − =

Tale espressione non è un quadrato perfetto; pertanto, non è possibile trasformare 8 30+

nella somma di due radicali semplici.

� Trasformiamo 19 4 21+ nella somma di due radicali semplici.

Prima di tutto, dobbiamo ricondurre il radicale doppio 19 4 21+ alla forma A B+ .

Portiamo, allora, il fattore 4 sotto radice; si ottiene:

219 4 21 19 4 21 19 336+ = + ⋅ = +

33

Il radicale doppio da trasformare è, quindi, 19 336+ .

In questo caso: A = 19, B = 336.

Calcoliamo l’espressione 2A B− ; si ottiene:

2 2 2A B = 19 336 361 336 25 5− − = − = =

Tale espressione è un quadrato perfetto; è possibile, pertanto, trasformare 19 336+ nella


2 219 5 19 5 19 5 19 519 336 12 7 2 3 72 2 2 2

+ − + −+ = + = + = + = +


19 4 21 2 3 7+ = +

PROVA TU

1) Senza applicare la relazione (�), trasforma i seguenti radicali doppi nella somma o differenza di

due radicali semplici:

a) 20 152+ ; b) 16 156−

2) Applicando la relazione (�), trasforma, se possibile, i seguenti radicali doppi nella somma o

differenza di due radicali semplici:

a) 11 120+ ; b) 21 360− ; c) 11 4 6− ; d) 18 77+

13.11 Radicali in R

Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato ad operare con radicali che avevano come radicando un

numero non negativo.

Cosa accade se il radicando è un numero negativo?

Ricordiamo che:

• 0++++∈∈∈∈a R ⇒ 0

++++∈∈∈∈n a R

• se

se

⇒

dispari

pari

−−−−−−−− ∈∈∈∈

∈∈∈∈∃∃∃∃

n

n

a R na R

a n

L’unico caso da analizzare, allora, è quello in cui l’indice di radice è dispari ed il radicando è

negativo.

Ad esempio, consideriamo il radicale 5 32− : 5 32 2− = − perché ( )52 32− = − .

D’altra parte 532 2= e, quindi 5 32 2= e, quindi, ( )5 55 32 2 2 2− = − = − + = −

34

Abbiamo, pertanto, avuto le seguenti uguaglianze:

5 32 2− = − e 5 32 2− = −

Possiamo, allora, affermare che 5 532 32− = − perché entrambi i radicali sono equivalenti a −2 e,

pertanto, 5 32− è l’opposto di 5 32 che ha radicando positivo.

In generale, allora, si ha:

• se 0<<<<a e n dispari, = − = − −− = − −− = − −− = − −n nna a a

Siamo riusciti, così, a trasformare un radicale con radicando negativo in uno, ad esso equivalente,

con radicando positivo.

Così, tutto quello che è stato visto per i radicali con radicando non negativo, continua a valere per

radicali, qualora esistano, con radicando negativo purchè, prima di applicare regole e proprietà viste

in precedenza, il radicale venga trasformato in un radicale con radicando non negativo.

� Radicali che hanno come radicando un numero reale sono chiamati radicali algebrici.

Esempio

Scriviamo un radicale di indice 6 equivalente a 3 4− .

Prima di tutto, trasformiamo 3 4− : 3 34 4− = −

Adesso possiamo scrivere il radicale di indice 6 ad esso equivalente; si ottiene:

3 2 23 64 4 16⋅− = − = −

13.12 Potenze ad esponente razionale

Nel corso degli anni precedenti è stato definito il concetto di potenza ed è stato attribuito un

significato anche alla potenza con esponente negativo.

Praticamente, è stato dato un significato all’operazione ka , quando k è un numero intero.

In questo paragrafo proveremo ad attribuire significato ad una potenza che ha per esponente un

numero razionale, cioè ad un scrittura del tipo hpa con la condizione che { }0a +∈ ∪R .

È chiaro che, in questo caso, il significato di potenza non può essere lo stesso di quello che esso ha

nel caso di esponente intero; tuttavia, anche nel caso di esponente razionale, devono valere le già

note proprietà delle potenze.

Come al solito, cominciamo le nostre osservazioni da casi concreti.

Sappiamo che 13 3.=

Del resto 11 55

= ⋅ , quindi, si ha:

( )51 151 5 53 3 3 applicando le proprietà delle potenze3

⋅ = = = =

35

Abbiamo, allora, ottenuto che 51

53 3 =

Questo vuol dire che 153 è quel numero che elevato alla quinta è uguale a 3.

Per quanto visto in questo capitolo, sappiamo che anche ( )55 3 3= .

Deduciamo, allora, che:

( )

515

155

55

3 33 3

3 3

= ⇒ =

=

Ripetendo lo stesso ragionamento per qualsiasi numero razionale positivo a e per qualsiasi numero

del tipo 1p

(p ≠ 0), otteniamo che:

( )

1

1

p

p

pp

pp

a aa a

a a

= ⇒ =

=

Dall’osservazione dell’uguaglianza ottenuta, deduciamo che:

• l’esponente della potenza è una frazione che ha denominatore ……..……….. all’indice di

radice .

Nel caso precedente, il numeratore dell’esponente della potenza è 1; cosa accade se il numeratore

dell’esponente della potenza è diverso da 1?

Ad esempio, consideriamo la potenza 253 .

Ricordando che ( )1 0h h pp p

= ⋅ ≠ , quindi 2 1 25 5

= ⋅ , e applicando le proprietà delle potenze, si

ottiene:

22 1 125 5 53 3 3

⋅ = =

Poiché sappiamo che 1

553 3= , possiamo scrivere:

( )22 1 1 22 5 255 5 53 3 3 3 3

⋅ = = = =

Ancora una volta, la potenza ad esponente razionale è equivalente ad un radicale.

36

Proviamo, di nuovo, a generalizzare e consideriamo la potenza hpa .

Si ottiene:

( )1 1 hh hh pp hp p pa a a a a

⋅ = = = =

In definitiva, possiamo affermare che

{ } { }0 , 0 :a p+∀ ∈ ∪ ∀ ∈ − R Z h

p hpa a====

Si ha, quindi, la seguente proprietà:

� Una potenza che ha per base un numero reale non negativo e per esponente un numero

razionale è equivalente ad un radicale che ha:

� indice della radice uguale al denominatore dell’esponente;

� per radicando una potenza avente come base la stessa base e per esponente il numeratore

dell’esponente.

Come ben sai, per l’uguaglianza vale la proprietà simmetrica e, quindi, possiamo dire che:

� Un radicale che ha come radicando una potenza con base non negativa è sempre equivalente

ad una potenza che ha per base la stessa base del radicando e per esponente una frazione che

ha:

� denominatore uguale all’ indice di radice;

� numeratore uguale all’esponente del radicando.

ATTENZIONE

Vediamo, con un esempio, perché per definire la potenza con esponente razionale è necessario che

la sua base sia non negativa.

Trasformiamo la potenza ( )127− in radicale:

Applicando la proprietà precedente otteniamo l’uguaglianza ( )127 7− = − .

Il radicale ottenuto ha indice pari e radicando negativo, quindi esso non è un numero reale.

È necessario, dunque, porre la condizione che la base della potenza sia non negativa in modo che

possa essere definita la potenza se il suo esponente è un qualsiasi numero razionale.

Ma, come al solito, esistono casi particolari.

Se l’esponente della potenza è un numero razionale negativo, la sua base deve essere,

necessariamente, positiva. Perché?

37

Esempi

� Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( )375 .

Tale potenza è equivalente ad un radicale che ha:

� indice di radice uguale al denominatore dell’esponente (7);

� per radicando una potenza che ha come base la stessa base (5) e per esponente il

numeratore dell’esponente (3).

Quindi: ( )3

7 375 5= .

� Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( )743 .





Quindi: ( )7

7443 3= ⇒ (portiamo fuori di radice il fattore 3) ⇒ 7 34 4 43 3 3 3 27= =

In definitiva, si ha: ( )7

443 3 27= .

� Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( )236

−.

Osserviamo che 2 23 3

−− = , quindi ( ) ( )2 23 36 6

−− = .




numeratore dell’esponente (−2).

Quindi: ( ) ( )2 233 33

21 16 6

366

− −= = = .

In definitiva, si ha: ( )23 3 16

36− = .

� Scriviamo sotto forma di radicale la potenza ( )582h .

La base della potenza è un’espressione letterale; prima di effettuare qualsiasi trasformazione è

necessario determinarne il dominio D.

Deve essere, allora, ] [2 0 0 D 0,h h> ⇒ > ⇒ = +∞ .

Possiamo, adesso, trasformare la potenza in radicale.

38



� per radicando una potenza che ha come base la stessa base (2h) e per esponente il


Quindi: ( ) ( )5 5 8 5882 2 32h h h= = .

� Scriviamo sotto forma di potenza il radicale 3 5 .

Osserviamo che 3 13 5 5= .

Tale radicale è equivalente ad una potenza che ha:

� per base la stessa base del radicando (5);

� come esponente una frazione avente:

o denominatore uguale all’indice di radice (3);

o numeratore uguale all’esponente del radicando (1)

Quindi ( )1

3 35 5= .

� Scriviamo sotto forma di potenza il radicale 4 343.

Osserviamo che 344 343 7= .






Quindi ( )3

4 4343 7= .

� Scriviamo sotto forma di potenza il radicale 2k − .

Osserviamo che:

♦ ( )12 2k k− = −

♦ il radicando è un’espressione letterale e l’indice di radice (2) è un numero pari; prima di

effettuare qualsiasi trasformazione è necessario determinarne il dominio D.

Ricordando che la base di una potenza con esponente razionale è positiva, deve essere:

] [2 0 2 D 2,k k− > ⇒ > ⇒ = +∞ .

39

Possiamo, adesso, trasformare il radicale in potenza.


� per base la stessa base del radicando ( )2k − ;




Quindi ( ) [ [122 2 , con 2,k k k− = − ∈ +∞ .

ATTENZIONE

Abbiamo detto, in precedenza, che è sempre possibile trasformare un radicale in potenza ad

esponente razionale se la sua base è non negativa.

Sappiamo, però, che se l’indice di radice è un numero dispari il radicando può anche essere

negativo.

Ci chiediamo, allora, se in tal caso è possibile trasformare il radicale in una potenza con esponente

razionale.

Osserva i seguenti esempi:

� Scriviamo sotto forma di potenza il radicale 5 16− .

Osserviamo che 5 45 516 16 2− = − = − .






Quindi ( )4

5 45 5 516 16 2 2− = − = − = − .

� Scriviamo sotto forma di potenza il radicale 7 39a .

Osserviamo che: { }7 3

7 3

37

9 se 09

9 se

a a Ra

a a

+

−

∈ ∪= − ∈ R

Esaminiamo i due casi separatamente.

40

I caso: 0a +∈ R

Il radicale è equivalente ad una potenza che ha:

� per base la stessa base del radicando ( )39a ;




Quindi ( )1

7 3 3 79 9a a= .

II caso: a −∈ R

Osserviamo che 37 3 79 9a a= − .

Possiamo ripetere, ora, lo stesso ragionamento fatto nel I caso, si ottiene:

( ) ( ) ( )1 1

3 3 77 3 3 779 9 9 9a a a a a a= − = − = = − = − −

Sintetizzando, abbiamo che:

( ) { }

( )

13 7

7 3

13 7

9 se 09

9 se

a a Ra

a a

+

−

∈ ∪= − − ∈ R

Ancora qualche esempio.

� Semplifichiamo la seguente espressione 1 1 33 2 46 3 8

−⋅ ⋅ .

Scomponiamo in fattori le basi delle potenze: ( ) ( )51 51 11

3 63 62 236 3 8 2 3 3 2− −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze già viste per potenze

con esponenti interi; applichiamo, quindi, queste proprietà. Si ottiene:

( ) ( )1

2

551 5 1 1 1 11 1 1 1 53163 63 6 3 3 3 32 2 2 2 236 3 8 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2

⋅− − − −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1 1 5 1 1 15 1 173 3 3 2 3 2 62 2 22 2 3 3 2 3 2 3

+ − −− = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Trasformiamo l’espressione così ottenuta in una espressione contenente radicali; si ha:

11717 6 1 862 6 61 82 3 2 3 2 2 256

3 3− −⋅ = ⋅ = ⋅ =

� Dopo aver trasformato i radicali in potenza ad esponente razionale, semplifichiamo la seguente

espressione applicando le proprietà delle potenze:

3 5

4

36 1618⋅

41

Osserviamo che:

13 336 36= ;

45 45 516 2 2= = ;

14 418 18=

Sostituendo nell’espressione, si ottiene:

( ) ( )1 4

1 11 4 413 5 3 5 2 2 23 43 5 54144

36 16 36 2 36 2 18 2 3 2 2 318 18

−−⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Applichiamo le proprietà delle potenze:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

21 1 1 1 14 4 2 2 41 142 2 2 2 2 23 4 3 3 45 5 3 3 54 42 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3

−− −− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2 4 2 73 11 13 5 3 60 64 22 2 2 3 3 2 3

− − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

In definitiva, abbiamo ottenuto :

73 13 560 6

4

36 16 2 318⋅ = ⋅

PROVA TU

1) Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale:

a) 137 ; ( )

324

5;

493

−

b) ( )433c; ( )

353h+; ( )

52 34a b

2) Scrivi sotto forma di potenza i seguenti radicali:

a) 4 7 ; 6

5;

3 25−

b) 35 9p ;

28 4y − ; 3 3 1a −

3) Semplifica le seguenti espressioni contenenti potenze con esponenti razionali; successivamente,

scrivi il risultato sotto forma di radicale.

a) 2 513 8212 4 9

−⋅ ⋅ ; b) ( ) ( )

2 13 64 2a a⋅

4) Dopo aver trasformato i radicali in potenza ad esponente razionale, semplifica le seguenti

espressioni applicando le proprietà delle potenze:

a) 3427 8 24⋅ ⋅ ; b) 3

6

5 1530⋅

42

ESERCIZI CAPITOLO 13

I radicali

Conoscenza e comprensione

1) Che cosa si intende per radicale?

2) Uno solo, fra i seguenti radicali, è un numero razionale; quale?

a) 3 9 ; b) 8 ; c) 4 81− ; d) 5 243− ; e) 7 256−

3) Da quali parti è formato un radicale?

4) Che cos’è un radicale aritmetico?

5) Uno solo fra i seguenti non è sempre un radicale aritmetico; quale?

a) 5 ; b) 3 42m ; c) 5 2 2 1a a− + ; d) 6 4 3z + ; e) 3 24 1a −

6) Quale, fra i seguenti insiemi, è il dominio del radicale aritmetico 7 9 9y− ?

a) ] [D ,1= −∞ ; b) [ [D 1,= +∞ ; c) ] [D ,9= −∞ ; d) ] ]D ,1= −∞ ; e) ] ],9D = −∞

7) Che cosa afferma la proprietà invariantiva dei radicali aritmetici?

8) Quando, un radicale aritmetico si dice irriducibile?

9) Quando, due radicali aritmetici si dicono equivalenti?

10) Stabilisci se, nell’insieme dei radicali aritmetici, la relazione “essere equivalenti” è una relazione

d’equivalenza.

11) Uno solo, fra i seguenti radicali aritmetici non è irriducibile, quale?

a) 6 412 25h g ; b) 9 6 1227b c ; c) 6 8 24 32x z t ; d) 15 3 9a t ; e) 10 5 15s h

12) Come procedi per semplificare un radicale aritmetico?

13) Uno solo dei seguenti radicali aritmetici è equivalente 9 38k− ; quale?

a) 3 2k− ; b) 3 8k− ; c) 3 2 k− ; d) 18 664k e) 3 32k−

14) Del radicale 612 64t possiamo dire che:

a) è un radicale aritmetico solo se 0t ≥ . V F

b) è sempre un radicale aritmetico. V F

c) è equivalente a 24 4t . V F

d) è equivalente a 6 38t V F

e) è equivalente a 8 416t . V F

43

15) Come procedi per ridurre due radicali aritmetici allo stesso indice?

16) Come procedi per confrontare due radicali aritmetici?

17) Dati i radicali 5 , 3 14 , 4 20 , quale delle seguenti relazioni è corretta?

a) 3 45 14 20< < ;

b) 3 414 5 20< < ;

c) 3 414 20 5> >

d) 34 20 5 14< <

e) 3 45 14 20> >

18) Le seguenti proposizioni sono vere o false?

a) Il prodotto di due radicali può essere un numero razionale. V F

b) L’indice di radice del prodotto di due radicali è uguale al prodotto degli indici V F

dei due fattori.

c) Il prodotto di due radicali è un radicale che ha come radicando il prodotto dei V F

due radicandi.

d) Il radicando del prodotto di due radicali è uguale al prodotto dei radicandi dei V F

due radicali solo essi hanno lo stesso indice.

e) Nella divisione fra due radicali, l’indice di radice del quoziente è multiplo di V F

entrambi gli indici di radice dei radicali assegnati.

f) Il rapporto fra due radicali è uguale a un radicale che ha come radicando il V F

rapporto dei radicandi dei radicali assegnati.

19) Considerando radicali aritmetici, come procedi per portare un fattore sotto il segno di radice?

20) I radicali presenti nelle seguenti relazioni sono radicali aritmetici. Una sola di esse è corretta.

Quale?

a) 2 3 6= ;

b) 444, 3 3t t t∀ ∈ =R ;

c) ( ) ( )2D dominio del radicale , 1 1h h h h h∀ ∈ − − = − − ;

d) ( ) ( )66 6, 1 5 5 1a a a−∀ ∈ + = +R ;

e) 2, 2 2b b b−∀ ∈ − =R

44

21) Considerando radicali aritmetici, come procedi per portare un fattore fuori dal segno di radice?

22) I radicali presenti nelle seguenti relazioni sono radicali aritmetici. Una sola di esse non è corretta.

Quale?

a) ( ) 6 3D dominio del radicale , 64 2a a a∀ ∈ = ;

b) 6 24 4, 12 12y y y y∀ ∈ =R ;

c) ( ) 7 34 4D dominio del radicale , 32 2 2b b b b∀ ∈ = ;

d) 6 8 6 2, 7 7k k k k−∀ ∈ = −R ;

e) 3 5 240 , 27 3b b b b+∀ ∈ =R

23) Dai la definizione di radicali simili.

24) Uno solo, fra i seguenti radicali, non è simile a 3 25 a ; quale?

a) 6 102 a ; b) 3 8a− ; c) 9 304 a− ; d) 2012 a ; e) 3 264a

25) Stabilisci se, nell’insieme dei radicali aritmetici, la relazione “essere simili” è una relazione

d’equivalenza.

26) Come procedi per calcolare la somma algebrica di due o più radicali simili?

27) Cosa vuol dire razionalizzare il denominatore di una frazione?

28) Le seguenti proposizioni sono vere o false?

a) La frazione 35 2−

è equivalente alla differenza fra due radicali. V F

b) La frazione 28

è equivalente ad un radicale simile a 5 2− . V F

c) La frazione 5

84

è il doppio di 10 64 . V F

d) La frazione 17 5+

è la metà di 7 5− . V F

e) La frazione 3 3

32

aa a+

è equivalente alla somma di tre radicali. V F

29) Quale, fra le seguenti espressioni, è un radicale doppio?

a) 3 5 ; b) 3 5 6+ ; c) 7 3 10− ; d) 12 2 24− ; e) 39 2−

45

30) Uno solo, fra i seguenti radicali doppi, non può essere trasformato nella somma o differenza di

due radicali “semplici”. Quale?

a) 28 16 3+ ;

b) 51 2 50− ;

c) 79 15 6− ;

d) 68 48 2+ ;

e) 114 56 2− .

31) Il radicale doppio A B± è uguale a:

a) 2 2A A B A A B

2 2+ − − −± ;

b) 2 2A A B A A B

2 2+ − − −⋅

c) 2A A B

2 2−± ;

d) 2 2A A B A A B

2 2− − + −± ;

e) 2 2A A B A A B

2 2+ − − −

∓ .

32) Qual è la differenza fra un radicale aritmetico ed un radicale algebrico?

33) Quale, fra i seguenti insiemi, è il dominio del radicale algebrico 5 21z− ?

a) D = R ;

b) [ [D 1,= +∞ ;

c) ] [D 1,= +∞ ;

d) { }D 0= −R ;

e) { }D 1= −R .

34) È possibile trasformare un radicale algebrico in un radicale aritmetico? Se sì, come procedi?

35) A che cosa è equivalente una potenza con esponente razionale?

46

ESERCIZI

Quali, fra le seguenti scritture, rappresentano radicali?

1) 11 ; 3 8− ; 63 54; 2 4− ; 10; 3 1a −

2) 8 16− ; 4− ; 12 81; 6 ; 3 3 ; ( )7 5 b− +

3) 4 16 ; 5 613

− ; 2 1h + ; 5 10− ; 3 4k− ; ( )28 3 1s− − −

Quali, fra i seguenti radicali, rappresentano, sicuramente, numeri razionali?

4) 5 32− ; 6 81; 3 64125

; { }( )33

125 0dd

∈ −Q

5) 218

; 8

4 516

; 675

; ( )24 16x x ∈Q

6) 6 343; 2575

; ( )29m m ∈Q

Quali, fra le seguenti scritture, rappresentano, sicuramente, radicali aritmetici?

7) 4 35; 3 4− ; 114

1d

; 5 33a

8) 3 9− ; 3 2 2 1m m+ + ; 2 64 12b c ; 61z

9) 33g k ; ( )7

12 123

−− ;

26

3

163

yh

Determina il dominio dei seguenti radicali aritmetici:

10) 2 1x + ; 4

6 1aa+

11) 7 2 4b − ; 3 4m

12) 122

2pp−

; 9 3 s−

13) ( )

92

4 1

2 3

t

t t

++ −

; 4 25 1q q+ +

14) 543

1s −;

( )4 2

2

3 15

2 1

h g

g g

+

+ −

47

Completa le seguente uguaglianze fra radicali aritmetici in modo che esse risultino vere:

15) 3 2 65 .....= ; 12 6.... 4 2= ; 15 6 ..... 3 .....2 5 2 5⋅ = ⋅

16) ..... 7 221 x x= ; 36 2 ..... ..... 415 16 3 5 .....⋅ = ⋅ ⋅ ; ..... .....415 3 .....= ⋅

17) ..... 7 221 x x= ; 36 2 ..... ..... 415 16 3 5 .....⋅ = ⋅ ⋅ ; ..... .....415 3 .....= ⋅

18) 18 3 ..... ..... 24 3 2 3⋅ = ⋅ ; ..... .....5 243 1024 3 2⋅ = ⋅ ; ..... .....2481 2401 3 7⋅ = ⋅

19) ..... 2 7 5 .....14 a t a t= ; 26 .... 39 ..... 2 3c k c k= ; 9 21 515 .... .....k g = ⋅

Esempi

Riduciamo allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici:

a) 3 5 11 ; b) 5 16 3 12 ; c) 34 9a 6 48a

Per ridurre due radicali allo stesso indice:

� determiniamo il mcm fra gli indici dei due radicali: questo sarà l’indice comune di due

radicali;

� applichiamo la proprietà invariantiva: moltiplichiamo l’indice e gli esponenti del radicando di

ciascun radicale per il quoziente fra il mcm e l’indice del radicale. Si ottiene:

a) ▪ mcm(3,2) = 6;

▪ 6 : 3 = 2 ⇒ 3 2 1 2 6 23 5 5 5⋅ ⋅= = ;

▪ 6 : 2 = 3 ⇒ 2 3 61 3 311 11 11⋅ ⋅= = .

Quindi, 6 23 5 5= 6 311 11= .

b) ▪ mcm(5,3) = 15;

▪ 15 : 5 = 3 ⇒ 5 3 1 3 15 35 16 16 16⋅ ⋅= = ;

▪ 15 : 3 = 5 ⇒ 3 5 151 5 53 12 12 12⋅ ⋅= = .

Quindi, 15 35 16 16= 15 53 12 12=

c) Osserviamo che 3 2 34 49 3a a= e 6 4 6 3 48 2a a= .

▪ mcm(4,6) = 12;

▪ 12 : 4 = 3 ⇒ 2 3 4 3 2 3 3 3 6 94 123 3 3a a a⋅ ⋅ ⋅= = ;

▪ 12 : 6 = 2 ⇒ 6 3 4 6 2 3 2 4 2 6 8122 2 2a a a⋅ ⋅ ⋅= = .

Quindi, 3 6 94 129 3a a= 6 4 6 8128 2a a=

48

Riduci allo stesso indice i seguenti radicali aritmetici:

20) 3 7 e 5 ; 4 15 e 10

21) 6 e 5 12 ; 5 28 e 14

22) 6 52 5⋅ e 9 43 ; 4 48 e 6 50

23) 2 e 8 5 ; 10 243 e 3 63

24) 12 20 e 1612 ; 5215 e 3 57

25) 3 25

e 13

; 9 3 47 2⋅ e 6 57 3⋅

26) 56 e 6 24 ; 3 21 e 15 54

27) 7 29

e 28 93 ; 3 e 3 5

28) 3 24m e 2mk ; 3 414 9a b e 7 4 53a c

29) 6 215t z e 34 9z ; 2 3s t e 25x y

30) 4 33ag

e 5

632

bm

; 3k

e 3 24k

Esempi

Semplifichiamo i seguenti radicali aritmetici:

a) 8 81; b) 12 5184; c) 9 36 8h g (h ≥ 0, g ≥ 0)

a) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e

l’esponente del radicando.

Applichiamo, quindi, la proprietà invariantiva e dividiamo indice del radicale e l’esponente del

radicando per il MCD appena determinato. Si ottiene:

▪ 4 8 4881 3 81 3= ⇒ = ;

▪ MCD(8,4) = 4;

▪ 8:4 4:48 81 3 = ⇒ 8 81 3= .

49

b) Scomponiamo in fattori primi il radicando e determiniamo il MCD fra l’indice della radice e gli

esponenti dei fattori del radicando.



▪ 5184 = 6 42 3⋅ ⇒ 6 41212 5184 2 3= ⋅ ;

▪ MCD(12,6,4) = 2;

▪ 6 4 12:2 6 4:12 2 3 2 3 : 2 2⋅ = ⋅ ⇒ 6 3 212 5184 2 3= ⋅ .

c) Scomponiamo in fattori il coefficiente numerico del radicando e determiniamo il MCD fra

l’indice della radice e gli esponenti dei fattori del radicando.



▪ 8 = 23 ⇒ 9 6 3 9 36 68 2h g h g= ;

▪ MCD(6, 3, 9) = 3;

▪ 3 9 36 2 h g = 3:3 9 :3 :36:3 2 h g 3 ⇒ 9 3 36 8 2h g h g=

Semplifica, se possibile, i seguenti radicali aritmetici:

31) 6 27 ; 4 576; 196; 4 3600

32) 4 612 7 5⋅ ; 4 648; 188000; 35 14 2113 17⋅

33) 36625

; 9 6427

; 147

1283

; 8

412 167

3 5⋅

34) 15 327m ; 4 64 9h g ; 9 632k ; 6 1512125a x

35) 6 4 236t s ; 5

10 32243

b ; 6 4 8256x y

; 4

46

36g

h

36) ( )216 4 4 1z z− + ; 66

89h

37) 6

122 327

8 6 12r

f f f+ − −; ( )3 33 64 m t+

38) 8 436g

; ( )4 225 9 4 6a c c+ +

39) 6 3 427d h ; ( )24 4 3 6 39

a a+ +

40) ( )3 2

481 9 27 27

3

t t t

t

+ + ++

50

Esempi

Confrontiamo le seguenti coppie di radicali aritmetici:

a) 4 83

e 4 114

; b) 3 e 3 5

a) I due radicali aritmetici hanno lo stesso indice di radice; per stabilire quale dei due sia il

maggiore è sufficiente confrontare i due radicandi.

448 11 8 113 4 3 4

> ⇒ >

b) Gli indici dei due radicali aritmetici sono diversi.

Prima di confrontarli, è necessario, ridurli allo stesso indice.

• 6 3 63 3 27= = ;

• 6 23 65 5 25= = .

• 27 > 25 ⇒ 6 627 25> ⇒ > 33 5

Confronta i seguenti radicali aritmetici:

41) 7 658

42) 3 0,35 3 1

3

43) 4 12 3 9

44) 30 3 150

45) 52

4 172

Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri reali:

46) 3 10 ; 12

− ; 23

− ; 115

; 2; 2π−

47) 4 94

− ; 43

− ; 145

− ; 43

; 34

− ; 2π

Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri reali:

48) 3 52

; 76

; 145

; 2; 3π

49) 4 75

− ; 34

; 73

− ; 53

; 4 2

51

Esempi

Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni e divisioni:

a) 3 34 5⋅ ; b) 64 6 2a ab⋅ ; c) 5 59 : 8 ; d) 3 2 44 : 3h t t

a) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:

3 3 3 34 5 4 5 20⋅ = ⋅ =

b) I due radicali hanno indice diverso:

▪ riduciamo due radicali allo stesso indice;

▪ eseguiamo la moltiplicazione.

Si ottiene:

( )3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 5 3 5 212 12 1264 126 2 2 3 2 2 3 2 2 3a ab a a b a a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

In definitiva: 5 3 5 21264 6 2 2 3a ab a b⋅ = ⋅

c) I due radicali hanno lo stesso indice, pertanto:

5 5 5 5 99 : 8 9 :88

= =

d) I due radicali hanno indice diverso:

▪ riduciamo due radicali allo stesso indice;

▪ eseguiamo la divisione.

Si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) 84 43 2 2 2 4 3 3 8 8 4 3 3 8124 12 12 123

24 : 3 2 : 3 2 : 33

h t t h t t h t t h t= = =

In definitiva: 8

3 2 84 123

24 : 33

h t t h t=

Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra radicali aritmetici:

50) 3 312 13⋅ ; 46 8⋅ 3 4156; 288

51) 5 24⋅ ; 6 5 102 5⋅ 30 25 3600; 2 5 ⋅

52) 44 445 12 60⋅ ⋅ ; 24 5 2⋅ ⋅ 3 180; 240

53) 6 624 : 8; 8 1212 : 8 6 83; 3

52

54) 7 7154 : 49; 328: 42 5 2

37 22 2 7;7 3

⋅

55) 5 5 575 : 5 15⋅ ; 34 18 8 : 2⋅ 17 6125 225; 2 3 ⋅

56) 1421

; 3

74

3

64

2 7;3 2

57) 3

1326

; 64 3 324

⋅ 126 13; 4324

58) 5 5 53 9 6⋅ ⋅ ; 5

1045 22535

⋅ 5

5 105

3162;5 7

⋅

59) 8 448 : 32 : 12; 3 94 6 5⋅ ⋅ 18 14 2 98

14 31 ; 2 3 5

2 3 ⋅ ⋅ ⋅

60) 35 6 18⋅ ⋅ ; 5

1045 22535

⋅ 5

6 4 7 6 105

32 3 5 ;5 7

⋅ ⋅ ⋅

61) 3421 10 : 48 27

⋅ ; 728 496 : 24 42⋅ 3 6 2

12 1423 3 6

5 7 7;2 3 2 3

⋅ ⋅ ⋅

62) 3 36

7 4 8:15 512

⋅

; 4

327 515

⋅ 3

1264 37 27;

252 3

⋅

63) 2

3 65

1:

m m

n n mn

; 2

6 42 2

2 27

3 8

xy a b

ab x y⋅

7 4

127 4 4

31;

2

a b

y x

64) 62 24 33

14 2

4m mn

mn⋅ ⋅ 3

2

m

n

65) ( )( )( )44

4 11 10 9 82

1 1

2 1

a aa

a a a aa a

− −⋅

+ + +− +

6

1a

a

−

66) 4 3 2

4 44 3 2 2

1 1:

2

y y y y y

y y y y

− + − − +− +

41

1

y

y

+ −

67) ( )( )7 3 2

63 2

2 1 3 3:

1 3

x x x x x

x x x

− + + +− + −

x

68) ( )

( )

2

2

22

83 34 2 2 4 6

4 4 2:

2

x xy y x y

yx yx y x y y

+ + +−− +

42 3

1

x y y

−

53

69) 4 2 2 4

6 32 2 2 2

2 2 3 3

2 2 2 2

x x y y x y

x xy y x y

+ + −⋅ ⋅− + +

( )

3 2

3

x y

−

70) ( )( )

( )2 2 4 2 2 4 3 3

362 2 2 24 2 2 4 3 2 2 3

2 2

2 2 22 2 2 2

x y x x y y x y

x y xy x yx x y y x y x y xy

− + + −⋅ ⋅+ − ++ + + + +

( )

6 3

x y

x y

+

−

71) ( )( )

22 2 2 2 2

36 2 3 2 2 24 4

5 6 8 2 4

2 6 4 8 216

x x x y x y

x x xy x yx y

− + − +⋅ ⋅− − − +−

( ) ( )2 2

16

3 4x x y

− −

72) 2 2

32 2 24 3 123

2: 3 3

9

a ab ba ab a b a b

a

+ + − − ⋅ + ⋅

121

a b

−

73) 2 4 3 2

6 6 62 3 2 6 5

3 2 8 6 12

4 4

a a a a a a

a a a a a a

− + − − +⋅ ⋅− + −

32

2a

a

−

74) 3 3:x y x y x

x x x y

+ + ⋅ +

x y

x

+

75) ( )( )222 3 2

444 2 22 2

a abxy y x xy

x y axa b

+− +−−

( )

( )2

4y a b

a b x

+

−

Esempi

Calcoliamo le seguenti potenze:

a) ( )33 2 ; b) ( )2

4 32 ; c) ( )93 5

a) ( )33 33 2 2 2= = ;

b) ( )24 43 6 32 2 2= =

c) ( )93 9 33 5 5 5 125= = =

Calcola le seguenti potenze di radicali aritmetici:

76) ( )45 2 ; ( )4

3 4 5 316 ; 256

77) ( )43 12 ; ( )3

9 18 3 4 312 ; 18

78) ( )2

2 5 ; ( )333 2

[ ]20; 54

54

79) ( )4

18 ; ( )105 3

[ ]324; 9

80) ( )241 5

5; ( )2

1 82

1 ; 2125

81) ( )34 2 ; ( )3

2 33

4 48 ;27

82) ( )26 15 ;

6

41 24 3

321 6115;

2 3 ⋅

83) ( ) ( )3 636 2⋅ ; ( ) ( )7 5

34 24 : 24

7 3 122 3 ; 24 ⋅

84) ( )241 5 ;

5

2

82

1

5 ; 225

85) ( )32 33 2 ;a b

( )4

ba 2 3 4 22 ;a b a b

86) ( )( )

4

2 ;ab

ab

2

3

22

−⋅

x

yxx

2 2

;x y

abx

−

87) ( )

42

2;

ab

+

( )

2

2

22

−−

bax

ba

( )( )

4

2 4

2;

a a bb x a b

+ + −

88) ( )32 33 2 ;a b

( )4

ba 2 3 4 22 ;a b a b

89) ( )

22 2

2 ;a bx a b

− −

( )4

3

2

+ ba

( )225 4;8 9

a b +

90) 6

3 5 ;2

aa

+ −

( )22 b−

( )( )

2

22

5; 2 2 2

2

ab b

a

+ − +

−

91) ( )35 x+ ( )3 5 5 15x x x x + + +

92) ( ) ( )[ ] 2cxcx +−

2 22x xc c − +

93) ( ) ( )[ ]33232 +− xx

3 28 36 54 27x x x − + −

94)

3

3

23

2

1

12

1

1

+++⋅

++−

a

aa

a

aa

[ ]1

95) ( )

( )( )( ) 2

2

2

22

yx

xy

x

xyx

y

x ⋅−

⋅

x yy−

55

96) ( )3

2

323 23 2

25104

125825204:254

++−⋅+−−

xx

xxxx

( ) ( )4 56 2 5 2 5x x + −

97) ( )2

3

2322

278

964:9124:94

−+++−−

x

xxxxx

( ) 2 32 32 3xxx

++ −

Esempi

Considerando radicali aritmetici, trasportiamo il fattore esterno sotto il segno di radice:

a) 3 3 ; b) 1 105

; c) 32 15− ; d) 24 3k kg ; e) 2 3t s

a) Il fattore esterno (3) è positivo; è sufficiente, allora, elevarlo alla seconda. Si ottiene:

33 3 3 27= ⋅ = = .23 3

b) Il fattore esterno è positivo; è sufficiente, allora, elevarlo alla seconda. Si ottiene:

5

110 1025

= ⋅ =21 15 5

10⋅2 2

5= .

c) Il fattore esterno (−2) è negativo; lasciamo il segno “−” fuori dalla radice ed eleviamo 2 2− =

alla terza. Si ottiene:

33 315 15 120= ⋅ = −32 2− −− −− −− − .

d) Determiniamo il dominio del radicale.

Deve essere 23 0kg ≥ ⇒ (poiché 23g è sempre non negativo) 0k ≥ .

Il fattore esterno, dunque, è non negativo; per portarlo sotto radice, dunque, è sufficiente,

elevarlo alla quarta. Si ottiene:

2 2 5 24 4 43 3 3kg kg k g= ⋅ =4k k

e) Il fattore esterno è un’espressione letterale che può assumere valori positivi o negativi oppure il

valore nullo.

Si distinguono, allora, due casi:

▪ se 0 0 ⇒ 2t t≥ ≥≥ ≥≥ ≥≥ ≥ , si procede come nel caso a);

▪ se 0 0 ⇒ 2t t< << << << < , si procede come nel caso c).

Si ottiene:

• 0t ≥≥≥≥ : 23 3 12s s st= ⋅ =22 4t t ;

• 0t <<<< : ( ) ( )2 2 23 3 2 3 4 3 12s s t s t s st= ⋅ = − − ⋅ = − ⋅ = −2

2 2t t−−−−

56

Considerando radicali aritmetici, trasporta il fattore esterno sotto il segno di radice:

98) 5 3 ; 1 102

; 2 33

99) 3 22

; 5 6− ; 1 155

100) 5 12 125

; 14 1313 7

− ; 39 42 9

101) 31 162

; 3 22

− ; 3 239

102) 6 3; 52 5; 33 155

−

103) ( )2 2 3+ ; ( )1 3 2− ; ( )3 3 6−

104) 5t ; 2 3 4x x⋅ ; 3 43 2y y−

105) 64 13 2

; 24 2h h f ; 312

g kg

106) 3s ks− ; 2 3z b z ; 23

3ayay

⋅

107) 3 2a ba

; 2 3

2 227

3x y

x y;

75

3

82

srrs

108) 3 21 497

xxy

⋅ ; ( )b a a b+ + ;

109) ( )3 1a ba b

− ⋅ − ; ( )24 1a b

a b+ +

110) ( ) ( )2 2

22

yxy xy

x y+

+ ( )32 2xy y +

111) ( )2 2 14 42

ab a bab

− + − ( )32 ab −

112) ( ) 212

4h

h−

− 2 22 : ; 2 :

2 2h hh ha h

− −> < − − + +

113) ( ) 211

1s

s+

− 1 11: ; 1:

1 1a aa aa a

+ +> < − − − −

114) ( ) 3 233

9 27 27aa

a a a−−

− + − [ ]3: 1; 3: 1a a> < −

115) ( ) 32 111 4

z zz

−+ ⋅− ( )( )

( )( )

3 3

3 32 2

1 11 1: ; 1:

4 1 4 1

z zz z

z z

+ + − ≤ < < − − − − −

57

116) ( ) 212

1x x

x x+−

− ( )

11

xx x

− +

117) ( )22 3

24 12 98 36 54 27

x xx x x

− +− + −

4 6x −

118) ( )( ) ( )3 2

1m nm n m n

− ⋅− +

3

3

3

:0 ; 0 :

:

m nm nm n m nn n

m nn mn m nm n

−≥ + −≥ ⇒ < + −− < < − +

Esempi

Considerando i seguenti radicali aritmetici, portiamo fuori di radice i fattori possibili:

a) 8 ; b) 3 2160; c) 94 9h ; d) 4 34 8x y

a) 38 2= ⇒ 38 2= ;

▪ 3 > 2 ⇒ possiamo portare 2 fuori di radice;

▪ 3: 2 1 con il resto di 1= ⇒ , 11 q r ======== ;

▪ 32 2 2 2 2= =1 1

• In definitiva: 32 2 2= .

b) 4 32160 2 3 5= ⋅ ⋅ ⇒ 3 4 33 2160 2 3 5= ⋅ ⋅ ;

▪ [4 > 3; 3 = 3; 1 < 3] ⇒ possiamo portare fuori di radice i fattori 2 e 3;

▪ 4 :3 1 con il resto di 1 ,1 1= ⇒ q r==== ==== ;

▪ 3:3 1 con il resto di 0 ,1 0= ⇒ q r==== ==== ;

▪ 3 4 3 33 3 32160 2 3 5 2 3 2 3 5 2 3 2 1 5 6 10= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =1 01 1

• In definitiva: 3 32160 6 10=

c) Determiniamo il dominio del radicale. Deve essere:

[ [99 0 0 D 0,h h≥ ⇒ ≥ ⇒ = +∞ .

Osserviamo che: 29 3= ⇒ 9 2 94 49 3h h= ;

▪ [2 < 4; 9 > 4] ⇒ possiamo portare fuori di radice solo la lettera h;

▪ 9 : 4 2 con il resto di 1 ,= ⇒ 12q r==== ====

▪ 9 2 9 24 4 4 49 3 9 9h h h h h h= = =12

• In definitiva: 9 24 49 9h h h=

58

d) Affinchè esista il radicale deve essere: 4 38 0 0x y y≥ ⇒ ≥ ; la variabile x può assumere valori sia

positivi che negativi oppure può essere nulla.

Osserviamo che: 4 3 3 4 34 48 2x y x y=

▪ [3 < 4; 4 = 4] ⇒ possiamo portare fuori di radice solo la lettera x;

▪ 4 : 4 1 con il resto di 0 ,= ⇒ 01q r==== ====

▪ 4 3 3 4 3 3 34 4 4 48 2 8 8x y x y x x y x y= = =1 0

È stato necessario applicare alla variabile x l’operazione di valore assoluto perché di tale

variabile non conosciamo il segno; alla variabile y, rimasta sotto il segno di radice non è stata

applicata l’operazione di valore assoluto, perché, per l’esistenza del radicale, 3y è sicuramente

non negativo.

• In definitiva: 4 3 34 48 8x y x y=

Considerando radicali aritmetici, porta fuori di radice tutti i fattori possibili:

119) 24 ; 3 96

120) 4 80; 98

121) 427

; 332

122) 5 288; 3 1250

123) 42336; 16200

124) 3 25081

; 4 256243

125) 3 1215 4 23328

126) 316a ; 9 11 8z x 9 2 84 ;a a z z x

127) 4 75 f h ; 6 34 32a b 4 2 2 345 ; 2h f h a a b 2

128) 5

34 2

4pz g

; 6

1215

bm

2 243

2

4 1;p p b

m mz z g

129) 8 9

65

24x th

; 6 9 47 49d q x

36 2 476

524 ; 49tt q d q xh

130) 6128

27a c ;

227mk

38 2 3; 3

3 3a c m

k

59

131) 6 2

34

72p xv y

; 7 63 98

d g

2 22 2 33

2 8 9;8

p x d g dv v y

132) ( )3 1 3g g+ ; 5 28h h− ( ) 31 3 ; 8g g g h h + −

133) 3 4 3 23 3a a a a+ + + 31a a +

134) 5 439

k k− 2

3 13k k −

135) 2

34 4 1b b

b+ +

2 1 1bb b

+

136) 8 6 4

45

4 216

a a at

+ + 4 2

4 4 2 12a a at t

+ +

137) 4 2

28 16 84 8 4b ba a

+ +− +

2 1 2

1ba

+ −

138) ( ) ( )

( )4 2 2

5 2

2 1 1

6 9

x x x

t x x

− + +

+ +

22

2

1 13

x xtt x

− + +

In alcune delle seguenti uguaglianze non sono stati messi i necessari valori assoluti. Inseriscili tu!

139) 6 3 3a b a b b= ; 4 3 33 16 2 2m y my m=

140) 5 7 34 425 25h r hr hr= ; 7 34 2k k k=

141) 8 108 4x y xy y= ; 3 5 8 2 3 2 281 3 3b c bc b c=

Esempi Calcoliamo:

a) 4 5 2 ; b) 3 2

a) 4 5 20⋅ = ⇒ 2054 2 2 .=

b) Portiamo il fattore 3 sotto il segno di radice e, successivamente, applichiamo la regola esposta in

precedenza.

▪ 2 43 2 3 2 18 18= ⋅ = = .

In definitiva: 43 2 18=

60

Calcola le seguenti radici di radicali aritmetici:

142) 2 ; 3 3 ; 3 8 4 62; 3; 2

143) 16 ; 5 3 7 ; 3 3 27 15 32; 7; 3

144) 4 2 ; 3 13

; 32 8 46 12; ; 2 2

3

145) 243 ; 31 22

; 3 5 128

3

154 43 3; ; 42

146) 3 1abab

; 2 44 x y x y 8 33 ;ab x y

147) 3 83

21 xx

; 3z xx z

9 2 3; zxx

148) ( ) a ba ba b

+− − 2 24 a b −

149) ( ) 24 2 4 4a a a+ + + 2a +

150) ( )2 3 3 11 1 : zz zx++ + ( ) 61z x +

151) ( ) 3 23 31 2 12 1 8 12 6 12 1 2 1

uu u u uu u

+− ⋅ − + − ⋅ ⋅− − 6 24 1u −

Esempi

Stabiliamo se i seguenti radicali aritmetici sono simili:

a) 32 4 33 4− ; b) 2 2 32 2 ; c) 24 54

a) 3

3


radicale 4

3

3


radicale 4

−−

i due radicali hanno fattore esterno diverso e radicale uguale, pertanto sono simili.

b) fattore esterno 2

2 2 radicale 2

3

3


radicale 2

i due radicali hanno fattore esterno uguale, ma radicale diverso, pertanto non sono simili.

61

c) 324 2 3 2 6= ⋅ = ; 354 2 3 3 6= ⋅ =

fattore esterno 2

2 6 radicale 6


radicale 6

i due radicali hanno fattore esterno diverso e radicale uguale, pertanto sono simili.

Individua, fra i seguenti radicali aritmetici, quelli simili:

152) 2− 4 3 3 2 18 12

153) 60− ; 135; 45 ; 154

; 48−

154) 3 81 35 192 3 27 75 47 243

155) 39a 52 a 2 a− 8a 8 18a

156) 5 4 764a b 4 74 64a b− 5 9 72a b 5 9 123 2a b 4 96 49a b−

Esempi

Semplifichiamo le seguenti espressioni:

a) 2 5 7 5 3 20− + ; b) 3 398 6 2 50 2 216+ − −

a) Scomponiamo in fattori primi i radicandi che non sono primi:

22 5 7 5 3 20 2 5 7 5 3 2 5− + = − + ⋅ = (portiamo fuori di radice i fattori possibili) =

= 22 5 7 5 3 2 5 2 5 7 5 2 3 5 2 5 7 5 6 5− + ⋅ = − + ⋅ = − + =

= ( i radicali sono simili) = ( )2 7 6 5 5− + = .

b) Scomponiamo in fattori primi i radicandi che non sono primi:

2 2 3 3 33 3398 6 2 50 2 216 2 7 6 2 2 5 2 2 3+ − − = ⋅ + − ⋅ − ⋅ =

= (portiamo fuori di radice i fattori possibili) = 37 2 6 2 5 2 2 2 3+ − − ⋅ ⋅ =

= (individuiamo i radicali simili) = 36 2 127 2 5 2+ − − = ( ) 37 5 2 6 2 12− + − =

= 32 2 6 2 12+ − .

62

Semplifica le seguenti espressioni contenti radicali aritmetici:

157) 693 4443228316 +−+ 39 2 24 3 −

158) 3 3 34 42 1 16 3 2 6 3 6 33 2 3

− + − − 3 41 56 33 6

− −

159) 3 23 3 61270 100 80 1004

− + − 321 104

−

160) 3 118 4 450 98 3 242 48 757 4

+ − + + − 1193 2 34

+

161) 343 2 28 6 63 4 700+ − − 47 7 −

162) 443 9 2 3 4816 16

− + + 47 3 2 34 +

163) 2 44 1331 4 891 2 275− + − 19 11

164) 3 3 3 5 540 625 2 405 64 3 486− − + − 53 36 15 3 5 7 2 − − −

165) 3 3135 12 192 40 147− + − − 3 5 3 −

166) 5 8 5 3 6 64 42 2 32a a b b+ − + ( ) 5 3 242 2a a b b + +

167) 227 3 482 75 147 20 454 4 9

a a+ − + − +

350 : 3 5;2350 : 3 5 52

a a

a a

≥ +

< +

168) 2 2 3 33 31147 675 3267 16 2502

a a a y y+ − + + 3

3

0 : 11 3 6 2;

0 : 41 3 6 2

a a y

a a y

≥ − +

< +

169) 4224 3123243 bbaa +− ( )( )

2

2

0 : 3 3;

0 : 3 3

ab a b

ab a b

≥ − < +

170) 4 2 2 432 288 162x x y y− + ( )( )

2

2

0 : 2 3 2;

0 : 2 3 2

xy x y

xy x y

≥ − < +

171) ( )3 3 2 4 4m n m m n m n+ − + − + ( )2n m n − +

172) 4 2 2 42 2 2 2b a b a+ + ( )( )

2

2

0 : 2;

0 : 2

ab b a

ab b a

≥ + < −

173) ( ) ( )( ) ( )2

3 2 1 2 3 2 3 4 2 1− − + − − + ( )2 11 5 2 −

63

174) ( ) ( ) ( )2

5 7 1 7 2 7 5 3+ − + − − 5 7 11 − −

175) ( )( ) ( )2

3 2 2 3 1 3 2 2− + − − 5 3 2 2 6 + − +

176) ( ) ( ) ( )2 2

3 5 1 5 2 3 5 3 1− + − − + − 3 15 3 5 2 3 8 − + −

�� Occhio agli errori!

177) Stabilisci se le seguenti relazioni sono vere o false, motivando la tua risposta.

Esempi

Razionalizziamo il denominatore delle seguenti frazioni.

I fattori letterali, per comodità, sono considerati positivi.

a) 32 6

; b) 4 27h ; c)

5 2

2

8a b; d)

53

k

k g

a) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 6 ; si ottiene:

2

3 6 3 6 3 6 3 6 632 6 12 42 6 2 6 6 2 6

⋅ ⋅= = = = =⋅⋅ ⋅.

b) Scomponiamo in fattori il radicando: 4 3427 3

h h= ;

osserviamo che: (n = 4, m = 3) ⇒ n – m = 1.

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4 3 ; si ottiene:

4 4 4

4 3 3 44 4 44

3 3 3327 3 3 3 3

h h hh h ⋅= = = =⋅

.

92595 +=+ � VERO � FALSO

aa +=+ 22 � VERO � FALSO

25 2 3 5 2 3+ = + ⋅ � VERO � FALSO

2

2

4

2 = � VERO � FALSO

9

2

3

2 = � VERO � FALSO

baba +=+ � VERO � FALSO

64

c) Scomponiamo in fattori il numero 8 presente nel radicando:5 2 5 3 2

2 2

8 2a b a b= ;

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 5 2 3 42 a b ; si ottiene:

5 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4

5 2 5 3 2 5 3 2 5 2 3 4 5 5 5 5

2 2 2 4 2 4 42 228 2 2 2 2

a b a b a b a bab aba b a b a b a b a b

⋅= = = = =⋅

.

d) Portiamo fuori di radice il fattore k : 25 33

k kk kgk g

= .

Ci siamo ricondotti ad una frazione dello stesso tipo del caso a).

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per kg ; si ottiene:

3 22 25 2 2 2 3 33 33 3

k kg k kg k kg kgk kk g k gk kg k kg kgk g k k g

⋅= = = = =

⋅

Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale

(considera i fattori letterali positivi):

178) 1 ;2

15

; 13

5 32 ; ;2 5 3

179) 215

; 1313

; 82

2 15

; 13; 4 215

180) 147

; 3311

; 32 3

32 7; 3 11;2

181) 53 5

; 114 22

; 143 7

5 2 722; ;3 8 3

182) 47 2

; 152 3

; 23

5 3 62 2 ; ;7 2 3

183) 2 155

− ; 3 62

− 10 5 3 6; 35 2

− −

184) 3 2 2

5 6

+;

2 7 7 2

3 14

+

2 3 7 22 ;15 10 3

++

185) xxy

; 1a a

2;

xy ay a

65

186) 2 63

mm

++

; 44a ba b−−

2 3; 4m a b + −

187) 4

2

1

1

x

x

−+

; 2 22h hg g

h g

− +−

( )2 1;x h g h g − − −

188) 2 2s t t s

st+ ;

2 24

2

c f

c f

−+

( ); 2 2s s t t c f c f + − +

189) 5

22

; 6

123

; 8

155

8 75 616; 4 243; 3 5

190) 7

4249

; 3

54

; 5

2127

3

7 5 55 26 7 ; ; 7 92

191) 3

54

; 5

2127

; 6

16128

3

5 65 2 ; 7 9; 322

4

192) 5 7

7

2;

54

18

3;

54

10

5

5 447 8 2 125; 2 27;

4 5

193) 3

116

; 3 5

22

3 11;

3

154 243

33 3 5 34 2 11; ;

4 33 12

194) 3

3

2 116− ;

5 3

14

7 16⋅

6 4 33 2 741 ;2 4 98 ⋅−

195) 5

5 5 5;

4

2613 2⋅

3 248 5; 2 13 ⋅

196) 33

3

9 243;

2 2

7 75

5x y

x y

9 73 353 ; 5

3x y

197) 2

9 8

x

x;

23

9

3

xy

x y 29 3; 3 9x x xy

198) 4

3 2

6

2

a b

a b;

45

1 y

y

+

71053 3 23 4 ;

y ya ab

y

+⋅

199) 4

34

ab

a a b;

33

m

m m 9 5

2 ;a ma

200) ( )

2 2

65

a b

a b

−+

; ( )

2

116

x xy

x y

+

+

( ) ( ) ( )45 6

;a b a b x x y

a b x y

− + + + +

201) 54

m

m m m;

4 4

54

ab a b

b a

−

( )34416 9 1

;b a

mm ab

−

66

Esempi

a) 52 7+

; b) 32 5 3−

; c) 3 3

64 6+

; d) 33

15 2−

a) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per ( )2 7− ; si ottiene:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

2 2

5 2 7 5 2 7 5 2 752 72 7 2 7 2 7 2 7

5 2 7 2 7 7 2.5 1

⋅ − ⋅ − ⋅ −= = = =−+ + ⋅ − −

⋅ − − = = = −− −

b) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per ( )2 5 3+ ; si ottiene:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

3 2 5 3 3 2 5 3 3 2 5 332 5 3 2 5 3 . 2 5 3 4 5 32 5 3

3 2 5 3 3 2 5 3.

4 5 3 17

⋅ + ⋅ + += = = =

− − + −−

+ + = =⋅ −

c) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per ( ) ( )2 23 3 3 34 4 6 6 − ⋅ +

; si ottiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 23 3 3 33 3 3 3

3 32 23 3 3 33 3 33 3 3

3 3 33 3 3 3 3 3

6 4 4 6 6 6 4 4 6 66

4 6 4 64 6 4 4 6 6

6 16 24 36 6 16 24 36 3 16 24 36.

4 6 10 5

⋅ − ⋅ + − ⋅ + = = =

+ ++ ⋅ − ⋅ +

− + − + − + = = =+

d) Moltiplichiamo numeratore e denominatore per ( ) ( )2 23 33 35 5 2 2 + ⋅ +

; si ottiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 23 3 3 33 3 3 3

3 32 233 333 3 33 3 3

3 33 3 3 3

1 5 5 2 2 5 5 2 21

5 2 5 25 2 5 5 2 2

25 10 4 25 10 45 2 3

⋅ + ⋅ + + ⋅ + = = =

− −− ⋅ + ⋅ +

+ + + + = =−

Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale:

202) 111 7−

; 65 3+

( )11 7; 3 5 34

+ −

203) 41 3+

; 55 2−

( )2 3 1 ; 5 2 5 − +

67

204) 52 2 3+

; 303 5 15−

2 2 3; 3 5 15 − +

205) 5 26 5

+−

; 6 33 2

−+

5 30 2 3 10; 3 2 2 3 3 6 + + + − − +

206) 7 3

7 3

−+

; 5 35 3

+−

5 21; 4 152

− +

207) 2 3 5

6 7

−−

; 5 2 6

2 3

−+

2 6 2 7 3 30 3 35; 9 3 11 6 − − + + −

208) 2 3 3 6

2 6 3 3

−−

; 3 5 2 2

2 5 3 2

−−

18 5 105 2 6;2

++

209) 2 3 11

2 3 11

+−

; 3 5 5 35 3

++

23 4 33; 15 +

210) xy

x y y x−;

2 4a

a− − ; 2 4

x y y xa

x y

+ + − −

211) 2 2 2

1 1

x y xy

x y

+ −+ − +

; 2

2

1 1

1 1

m m

m m

+ − −+ + −

( ) ( ) 21 11 1 ; mx y x ym

− −− + + +

212) 6

3

49 4

7 2

x

x

−−

; 3

11 2+

( ) ( ) 3 33 3 1 2 47 2 7 2 ;

3x x

− ++ +

213) 3 3

25 3−

; 3

12 7−

3 3 3 3 325 15 9; 4 2 7 49 + + + +

214) 3

12 3 1+

; 3

34 1−

3 3

334 9 2 3 1; 16 4 125

− + + +

215) 33

75 2+

; 3 3

54 9−

( )33 3 3 3 325 10 4; 8 36 81 − + − + +

216) 33

12 3 22−

; 2

3

11

xx

−+

( ) ( )3 3 33 2 34 9 2 66 484; 1 1

2x x x

+ + − − +

217) 3 3

42a a− −

( ) ( )23 2 332 2 2a a a a ⋅ + − + −

218) 3 2 3 2

2 2m n

m n

+−

( )3 4 3 2 2 3 42 m m n n

m n

+ + −

219) 3

3 33 3u

u u+ − −

( ) ( )2 22 3 23 33 9 3

2

u u u u + + − + −

68

Esempio

Razionalizziamo il denominatore della frazione 43 2 6+ −

.

Applichiamo al denominatore la proprietà associativa; si ottiene: ( )4 4

3 2 6 3 2 6=

+ − + −;

Ci siamo ricondotti al caso in cui il denominatore della frazione è la differenza di due termini;

moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per ( )3 2 6 + +

; si ottiene:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )2 2

4 3 2 64 4 4

3 2 6 3 2 63 2 6 3 2 6 3 2 6

4 3 2 6 4 3 2 6 4 3 2 6

3 2 2 6 6 2 6 13 2 6

⋅ + + = = = =

+ − + −+ − + − ⋅ + +

+ + + + + + = = =+ + − −+ −

La frazione ottenuta ha al denominatore la differenza di due termini; ripetiamo il procedimento

usato in precedenza e moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 6 1+ ; si ottiene:

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2

4 3 2 6 2 6 1 4 2 18 3 2 12 2 2 6 64 3 2 6

2 6 1 2 6 1 2 6 1 2 6 1

4 6 2 3 4 3 2 12 6 4 7 2 4 3 6 12

24 1 23

+ + ⋅ + + + + + ⋅ ++ + = = =− − ⋅ + −

+ + + + + + + + = =−

In definitiva: ( )4 7 2 4 3 6 124

233 2 6

+ + +=

+ −

Trasforma le seguenti frazioni in frazioni ad esse equivalenti con denominatore razionale:

220) 122 3 5+ +

( )2 3 5 6 + −

221) 12 3 1+ +

2 2 64

+ −

222) 23 5 8+ −

( )3 5 8 15

15

+ +

223) 7 2 37 2 3

+ ++ −

14 9 14 21 2 6 714

+ + +

69

224) 5 11 45 11 4

+ −+ +

55 16 55 20 11 44 555

+ − −

225) 21 2 3− +

2 3 12

+ −

226) 16 3 10− +

7 6 13 3 10 12 571

− − +

227) xx y x y− − +

( )

2

x y y x xy x y

y

− + +

228) ( )2 2

2 2 2

x x

x x

+ ++ − − +

( ) ( )

( )2 22 4 4 2 2 2

2 2

x x x x x

x

− − − + − + −

−

229) 12 4a a+ + +

( ) ( )

( )1 2 3 2 4 4

2 2 1

a a a a a

a

+ + − + − +

−

Esempi

Semplifichiamo, se possibile, i seguenti radicali doppi:

a) 4 7+ ; b) 6 20− ; c) 10 2 21−

a) In questo radicale doppio si ha:

2 2A 4A B 16 7 9 3

B 7

= ⇒ − = − = =

=

Possiamo applicare la formula scritta in precedenza; otteniamo:

2 24 3 4 3 4 3 4 3 7 14 7

2 2 2 2 2 2+ − + −+ = + = + = +

b) In questo radicale doppio si ha:

2 2A 6A B 36 20 16 4

B 20

= ⇒ − = − = =

=


2 26 4 6 4 6 4 6 4 10 26 20 5 12 2 2 2 2 2

+ − + −− = − = − = − = −

c) Osserviamo che il radicale sotto il segno di radice è preceduto dal fattore 2; è necessario, allora,

portarlo sotto il segno di radice. Si ha:

10 2 21 10 4 21 10 84− = − ⋅ = −

70

Al radicale doppio così ottenuto applichiamo il procedimento illustrato in precedenza

2 2A 10A B 100 84 16 4

B 84

= ⇒ − = − = =

=


2 210 4 10 4 10 4 10 4 14 610 84 7 3

2 2 2 2 2 2+ − + −− = − = − = − = −

Semplifica i seguenti radicali doppi:

230) 6 11+ ; 3 5− 10 222 2;2 2

−+

231) 9 17+ ; 10 19− 34 2 38 2;2 2

+ −

232) 6 2 5+ ; 4 2 3− 5 1; 3 1 + −

233) 7 4 3+ ; 7 2 6− 2 3; 6 1 + −

234) 5 2 6+ ; 10 3 11− 22 3 23 2;2

−+

235) 8 2 7+ ; 13 4 10− 7 1; 2 2 5 + −

236) 12 6 3+ ; 16 4 15− 3 3; 10 6 + −

237) 17 4 15+ ; 11 4 6− 5 2 3; 2 2 3 + −

238) 20 3 31+ ; 14 6 5− 62 3 2; 3 52

+ −

239) 11 73 3

+ ; 4 43 3

− 6 314 ; 12 6 3

+ −

240) 4 17 7

+ ; 3 15 5

− 102 14 2;2 14 2 10

+ −

241) 7 815 45

+ ; 9 711 11

− 3 30 1542;3 15 2 22

+ −

242) 23 8x x− ; 2 49 17y y+ ( ) 34 22 1 ;2 2

x y − +

243) 4 88 39b b− ; 2 225a a x+ − 2 26 6 5 5;2 2 2 2

a x a xb + −− +

71

244) 3 66 36 49y y− − ; 2 8x x+ + 3 36 7 6 7

; 22 2

y yx

+ −− +

245) 2 2 3a a+ − + ; 23 9 4h h− − ( ) ( )2 3 2 2 3 222 3 ;

2 2 2

h ha + + −+ −

Stabilisci se ciascuno dei seguenti radicali esiste in R e, in caso affermativo, calcolane il valore.

246) 1− ; 3 1− ; 4 1− [ ]; 1;∃ − ∃

247) 5 1− ; 6 1− ; 7 1− [ ]1; ; 1− ∃ −

248) 1 ; 20 1 ; 35 1 [ ]1; 1; 1

249) 3 27 ; 3 27− ; 4 27− [ ]3; 3; − ∃

250) 4 81; 4 81− ; 5 243− [ ]3; ; 3 ∃ −

251) 3 64 ; 3 64− ; 6 64− [ ]4; 4; − ∃

252) 3 164

; 3 2764

− ; 3 1258

− 1 3 5; ;4 4 2 − −

253) 3 12527

; 3 12527

− ; ( )23 125

27− 5 5 25; ;

3 3 9 −

254) 1694

; 1694

− ; 4 1694

2613; ;2 2

+ ∃

255) 22

n n ; 3

27n n ;

532

n n ( )0n∈ N 2; 3; 2

Esempi

Determiniamo il dominio dei seguenti radicali in R:

a) 4 2 1x − ; b) 3 4 2a−

a) L’indice della radice è pari; il radicale è un numero reale se e solo se il radicando è non

negativo.

Dobbiamo risolvere la disequazione 2 1 0x− ≥ .

1 12 1 0 2 1 D ,2 2

x x x − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = +∞

b) L’indice della radice è dispari; il radicale è sempre un numero reale.

Il dominio, dunque, è R.

72

Determina il dominio D dei seguenti radicali in R.

256) 5 1b+ ; 4 1 3x− 1 1D = , ; D = ,5 3

− +∞ −∞

257) 3 2 9z− ; 8 1 32

m− 1D = ; D = ,6

−∞

R

258) 4 5 24 3

g+ ; 4 12

tt

+− ] ] ] [15D = , ; D = ,1 2,

8 − +∞ −∞ ∪ +∞

259) 6 1 72 5

ss−

+ ; 9 1 42

bb

−− 5 1D = , ; D

2 7 − =

R

260) 8 43 2

xx

−− ; 10 1 1

1 2 2kk

− −− [ [3 1D = , 2, ; D = ,2 2

−∞ ∪ +∞ −∞

Esempio

Semplifichiamo, in R, il seguente radicale: 8 4 69a b

L’indice della radice è pari; quindi, il radicale è un numero reale se il radicando è non negativo.

Osserviamo che 4 69 0 ,a b a b≥ ∀ ∈ R

Semplifichiamo il radicale:

8 4 6 2 349 3a b a b=

L’indice della radice è ancora pari; il radicando, quindi, deve essere non negativo.

23a è non negativo per qualsiasi valore di a, non altrettanto si può dire di 3b .

Per essere sicuri che anche 3b sia non negativo è necessario applicare alla lettera b l’operazione di

valore assoluto. Si ottiene, allora:

38 4 6 249 3a b a b=

Semplifica i seguenti radicali in R:

261) 12 2

4436

x yz

; 6 12

918

827a b

c

6 2 43

2 62;

6 3

x y a bz c

262) 15 9158x y ; 6 8

62

81h y

t

3 45 35 3

92 ;

h yx y

t

263) 2 2

62 4

2m mn nm n

− + ; 44 3 2

1004 4l l l+ +

( )

32

10;2

m n

m n l l

−

+

73

264) 6 9

123 2 2 3

1258 36 54 27

u vu u v uv v− + −

32

45

2 3

u v

u v

−

265) 2 2 2

108

4 8 2p q pqp

+ +

( )5

4

2 q p q

p

+

266) 4 4

442

16 8y yy

xx− + 2 4 1y

x

−

267) ( ) ( )6 6

43 3 2 2

x y

x y x xy y

−+ + +

x y −

268) 6 3 6 2 6 6

156 4 2

8 12 664 24 12 1

m n m n m n mn n n− + −

− + −

25

2 1mn

+

269) 4 2 2 4

82 2 3 4

81 1836 24 4

a a b ba b ab b

− +− +

43

2

a b

b

+

Semplifica le seguenti espressioni:

270) ( )2

2 3− 11 6 2 −

271) 2

13 62

+

21 6 32

+

272) ( ) ( )5 7 7 5+ − [ ]24

273) ( )( ) ( )4 46 2 6 2 2 3 1− + − +

( )2 2 − +

274) ( )( )2

4 43 5 1 115 152 22

− + + −

154

275) ( )333 2+ 3 329 27 2 9 4 + +

276) 55 316 642243 125

− ⋅ − − 215

277) ( )53 1 18 127

− − − 123

− −

278) 2

3 33 14 22

− −

3 31 2 2 2 4 + +

279) 5 5 51 1 15 52 4 4 − − − +

55 161

2 2

−

74

280) 3 74 43 4125 9: 2 45 80 2 14 16

− + ⋅ − − − ( )41 1 52

− +

281) ( )3

3

3

27 2 2 1

100027

− − −

− ( )3 10 7 2 +

282) ( )2

53 5 32 2

3 1: 182 3

− − +

− 17 2 4 10 − −

283) 44 3 22 2

x yx x y⋅ ++

( ){ }2D , / 0 0

2

x y R x y x

x y x

= ∈ + > ∧ ≠ + ⋅

284) 3 2 3 32

8 8 12 1 aa ab b++ + ⋅ ⋅

( ){ }( )

2D , 0 2 1

a b R b

a

b

= ∈ / ≠ +

285) 2 2

33 2 2 2 21 1 :

2x y xy

y x x xy y−−

+ +

( ){ }2D , 0 0

x y R x y

x yxy

= ∈ / ≠ ∨ ≠

+

Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali:

286) 7 ; 3 49

( )2

1 32 27 ;

3

287) 5 5 ; 33 311 11 11 1332745 ; 11

288) 2 5 73 x y z ; 24 4 4a a− + ( )2 5 7 13 3 3 2; 2x y z a −

289) 63 2

2 2m nm mn

−−

( )

( )

51662 m m n

m m n

+

+

290) 2 21 1 1

x yx y

− ⋅ +

( ) ( )

1 12 4xy y x

xy

−

291) 522

103

2 baba

ba

++

( )3

2 5b a a b

a b

+

+

292) 4 3 uuu

38u

75

Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.

293) 122 ;

122

−; ( )

121

2 2 21 12; ;

2 22 2

= =

294) 2364 ;

2364

−; ( )

231

64

−

116; ; 1616

295) ( )329

4; ( )

324

9; ( )

329

4

−

27 8 8; ;8 27 27

296) ( )5

2 2121a ; ( )1

4 864x ; ( )3

4 6 2144u v−

( )5 493 6

111 ; 8 ;12

a xu v

⋅

297) ( )2

10 20 10 532a b c−

; ( )4

3 6 9 327 x y z 4 8 124 8 41 ; 81

4x y z

a b c

298) 2

3

2

3

49

4−

−

5

16 147

299) ( )15

1 21527

125

−−

−

153

Semplifica le seguenti espressioni applicando, se possibile, le proprietà delle potenze.

Scrivi poi il risultato ottenuto sotto forma di radicale (razionalizzando, se possibile, il

denominatore della frazione).

300) 2 1

25 427 9 3−⋅ ⋅ ; 13625 : 25

−−

10 7 6 53 5;3 25

301) ( )1

1 123 1 2 34 4 : 2

−− −− − ⋅

3 24

302) 121 5

29 67 : 49 : 7

−−− −

9 57

303)

11 231 1 1

2 2 42 3 36

−−− ⋅ ⋅

66

304)

1511 1 123 3 53 8 24

−

− − ⋅ ⋅

612

76

305)

211 1 3 136 2 23 3 3

−−

− − − ⋅ ⋅

3 93

306) ( ) ( )111 1

3 24 3 27 2: :9 2 8 3

−− ⋅

6 486

2

307) ( )1

1 31 4

3 1 12a a a

−

− − − ⋅ ⋅

24 7a

a

308)

314 3 11 11 3

9 34b a a

−−−

−− ⋅ ⋅

3 2bb

Esempi

Scomponiamo in fattori le seguenti espressioni:

a) 14 2+ ; b) 2 3a − ; c) 3 5m + ; d) 2 3 2 3h h+ −

a) ( )14 2 2 7 2 per le proprietà dei radicali 2 7 2+ = ⋅ + = = ⋅ + =

( ) ( )= raccogliendo a fattor comune 2 2 7 1 = +

Abbiamo ottenuto, quindi: ( )14 2 2 7 1+ = +

b) Osserviamo che ( )2

3 3= ; quindi ( )22 23 3a a− = − .

L’espressione 2 3a − è, dunque, la differenza di due quadrati.

Ricordando che ( )( )2 2A B A B A + B− = − , si ottiene:

( ) ( )( )22 23 3 3 3a a a a− = − = − +

In definitiva: ( )( )2 3 3 3a a a− = − +

c) Osserviamo che ( )335 5= ; quindi ( )3

3 3 35 5m a+ = + .

L’espressione 3 5m + è, dunque, la somma di due cubi.

Ricordando che ( )( )3 3 2 2A + B A B A AB B= + − ++ − ++ − ++ − + , si ottiene:

( ) ( )( ) ( )( )33 3 2 3 2 23 3 3 3 3 35 5 5 5 5 5 5 25m a m m m m m m+ = + = + − + = + − +

In definitiva: ( )( )3 23 3 35 5 5 25m m m m+ = + − +

77

d) Come osservato al punto b), ( )2

3 3= ; quindi ( )22 23 2 3 3 2 3h h h h+ − = + − .

L’espressione ( )22 3 2 3h h+ − è un trinomio nel quale due termini sono quadrati e il terzo

termine è il doppio prodotto delle basi dei due quadrati.

Ricordando che ( )22 2A 2AB + B A B+ = + ; otteniamo: ( ) ( )2 22 3 2 3 3h h h+ − = − .

In definitiva: ( )22 3 2 3 3h h h+ − = −

Scomponi in fattori le seguenti espressioni:

309) 42 14− ; 12 10+

310) 18 50− ; 24 42+

311) 108 48− ; 3 6+

312) 7 28− ; 5 15+

313) 3 2 3 52 2a a− ; 8 2x y+

314) 54 481d g dg+ ; 3 2 51 94 16

h k h−

315) 24 5c − ; 4 6b −

316) ( )16 0m m− ≥ ; 2 20t −

317) 336 y− ; 37 k+

318) 3 2x − ; 6 5p +

319) 27z− ; 8k +

320) 3 18

m − ; 6 1273

h +

321) 4 4 a a− + ; 2 5 2 5t t+ +

322) 3 12h g hg+ −

323) 25 4 20x x+ +

324) 2 6 2 18z z− +

Dopo aver scomposto in fattori il numeratore e/o il denominatore, semplifica le seguenti frazioni:

325) 8 143 2− ; 18 45

32 80−−

2 7 3;3 4

−

326) 12 218 4 7

++

; 40 355

− 3 ; 2 2 74

−

78

327) 2 3

3xx

−−

; 2 147

aa

−+

( )3; 2 7x a + −

328) 23 3

25 5b b

b−

−;

2

2

20 45

28 63

p

p

+

+

( )3 1 5;5 7

b b +

329) 3 2 3

12 4

y y

y

+ ++

3

2y +

330) 2 2

212 3

3z z

z− +

− 3 30 : ; 0 :

3 3z zz zz z

− +≥ < + −

331) 2

2

2 3 2 2 2 3

8 12

a a

a a

+ + ++

20 :2

aaa

+ >

Risolvi le seguenti equazioni:

332) 5 10 3 5a a+ = { }S 5 =

333) 3 5 3 2m m+ = 3 2 3S3

+=

334) ( ) ( )( )2

2 2 1 1y y y− = − + { }3S 24

=

335) ( )( ) ( )( ) ( )2

2 2 2 2 5 2 5 2 2h h h h h− + = − + − + 11 2S2

= −

336) ( )( ) ( )( )2 3 1 3 3 3 1k k− + = + − { }S 3 3 = −

337) ( )( ) ( )( ) ( )2

2 1 2 2 3 3 2t t t t t+ − − + − = + 2S6

= −

338) 1 2 05 1 5 1x x+ − =

− + ( ){ }S 5 2 = − +

339) 2 1 23 6 2

v v v+− = 2 3 1S11

−=

340) 3 3 2 127 7 28

b bb b+ +− = − 2 7 3S10

+=

341) ( )( ) ( )( )2 2 1 1 2 1

2 1 3 2 2

d d+ + − −=

− + ( ){ }1 9S 2

2 8 = − +

79

CAPITOLO 14

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

14.1 Equazioni di secondo grado e loro classificazione

Luca e Marta sono al bar della città di Mattown per la solita colazione.

Osservando il listino prezzi, si accorgono che i prezzi delle consumazioni sono espressi con

proposizioni matematiche:

caffècaffècaffècaffè la metà di un numero positivo tale che il suo quadrato sia uguale al doppio del numero stesso

succo di fruttasucco di fruttasucco di fruttasucco di frutta numero positivo tale che il quadruplo del suo quadrato sia uguale al quadrato del più piccolo numero primo dispari

succo di aranciasucco di aranciasucco di aranciasucco di arancia la metà di un numero positivo tale che la differenza fra il suo quadrato ed il suo triplo sia uguale al quadrato di un numero primo pari

cappuccinocappuccinocappuccinocappuccino

la quarta parte di un numero positivo tale che il quadrato della differenza del numero stesso con un numero primo pari sia uguale al numero dei giorni della settimana (approssima il numero a

meno di 1100

)

cornettocornettocornettocornetto

il doppio di un numero positivo tale che la somma fra il suo quadrato ed il suo triplo sia uguale al più piccolo numero dispari

che non sia primo (approssima il numero a meno di 1100

)

Luca: “Che fatica per una colazione! Non ne ho più voglia! E poi, abbiamo, in tutto, solo 4 €;

chissà cosa possiamo prendere!”

Marta: “Dai Luca, che ci vuole? Vedrai non sarà poi così difficile stabilire i prezzi delle

consumazioni. Aspetta, fammi fare un po’ di conti!”

Aiutiamo Marta a stabilire i prezzi delle consumazioni.

Formalizziamo le proposizioni del listino prezzi con i simboli della Matematica e indichiamo con

k +∈ R il numero da determinare in ciascuna proposizione.

80

La formalizzazione è riportata nella seguente tabella:

Consumazione Formalizzazione Prezzo

Caffè 2 2k k= 2k

Succo di frutta 24 9k = k

Succo di arancia 2 3 4k k− = 2k

Cappuccino ( )22 7k − =

4k

Cornetto 2 3 1k k+ = 2k

Osserviamo che ciascuna proposizione è formalizzata da un’equazione di secondo grado;

riduciamole a forma normale:

a) 2 22 2 0k k k k= ⇒ − = ;

b) 2 24 9 4 9 0k k= ⇒ − = ;

c) 2 23 4 3 4 0k k k k− = ⇒ − − = ;

d) ( ) ( )2 2 2 22 7 2 7 0 4 4 7 0 4 3 0k k k k k k− = ⇒ − − = ⇒ − + − = ⇒ − − = ;

e) 2 23 1 3 1 0k k k k+ = ⇒ + − = .

Possiamo, allora, generalizzare:

� una equazione di secondo grado, in una variabile (in genere, indicata con la lettera x) ,

ridotta a forma normale è del tipo 2 0ax bx c+ + = con { }0 ,a b c∈ − ∧ ∈R R.

Perché a ≠ 0? …………………………………………………………………….. (Completa)

Osserviamo la forma del polinomio al primo membro di ciascuna delle equazioni ottenute:

• nelle equazioni a) e b) il polinomio di secondo grado non è completo;precisamente:

� nell’equazione a) manca il termine di grado 0;

� nell’equazione b) manca il termine di primo grado;

• nelle equazioni c), d), e) il polinomio di secondo grado è completo.

Classifichiamo, allora, le equazioni di secondo grado in base alla forma del polinomio:

Valori di b e di c (a ≠≠≠≠ 0) Nome dell’equazione Forma normale dell’equazione

0 0b c= ∧ == ∧ == ∧ == ∧ = monomia 2 0ax =

0 0b c= ∧ ≠= ∧ ≠= ∧ ≠= ∧ ≠ pura 2 0ax c+ =

0 0b c≠ ∧ =≠ ∧ =≠ ∧ =≠ ∧ = spuria 2 0ax bx+ =

0 0b c≠ ∧ ≠≠ ∧ ≠≠ ∧ ≠≠ ∧ ≠ completa 2 0ax bx c+ + =

81

14.2 Risoluzione di un’equazione di secondo grado

Marta si rende subito conto che è in grado di risolvere le equazioni a), b) e c) perché è possibile

ricondurle ad equazioni di ………… grado; infatti:

a) 2 2 0k k− = ⇒ ( ).... .... 0k − = ⇒ ..... .....k k= ∨ =

(Marta applica la legge di ………...……………..…….. ….… ………………………………);

b) 24 9 0k − = ⇒ ( ) ( )2 3 2 3 0k k− + = ⇒ ........

k = ± ;

c) 2 3 4 0k k − − = ⇒ ( )( )1 .... .... 0k + − = ⇒ ...... ...... .k k= ∨ =

Luca: “Brava Marta; mi sembra, però, che le altre equazioni siano un po’ diverse da queste.”

Marta, dopo averci pensato un po’, chiama Luca:

Marta: “Luca, mi è venuta un’ idea. Riusciremo a trovare le soluzioni dell’equazione d).

Guarda, se poniamo A = 2k − , l’equazione d) diventa: A2 = 7; e, quindi:

2A 7 A ....= ⇒ = ±

Sostituendo ad A l’espressione precedente, otteniamo:

2 7 ..... 7 ..... 7 ..... 7k k k k− = ± ⇒ = ± ⇒ = − ∨ = + .

Luca: “Bella idea, Marta! Ma, … l’ultima equazione?”

Marta: “Dai Luca, non diamoci per vinti!”

E dopo qualche minuto:

Marta: “Eureka! Luca, ho trovato il modo di risolvere l’ultima equazione.

Stai attento: se al binomio 2 3k k+ aggiungiamo 94

esso diventa il quadrato di (k + …….)

Allora, applicando il ……….. principio di equivalenza delle equazioni, trasformiamo

l’equazione:

( )22 2 9 9 3 133 1 3 1

4 4 2 4k k k k k+ = ⇒ + + = + ⇒ + =

Ponendo 3A2

k= + , otteniamo:

( )22 ....3 13 13 .... 3 .... ....A A

2 4 4 .... 2 .... .... 2k k k+ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ + = ± ⇒ = − ±

Le soluzioni dell’equazione sono .... ....3 3 .2 2 2 2

k k= − − ∨ = − +

Luca e Marta, adesso, sono riusciti a stabilire i prezzi delle consumazioni.

82

Completa, adesso, il listino prezzi:

Consumazione Formalizzazione Prezzo Prezzo in €

Caffè 2 2k k= 2k

Succo di frutta 24 9k = k

Succo di arancia 2 3 4k k− = 2k

Cappuccino ( )22 7k − =

4k

Cornetto 2 3 1k k+ = 2k

Marta e Luca che cosa potranno ordinare per la loro colazione?

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Osservando il procedimento seguito da Marta per risolvere le precedenti equazioni, possiamo

generalizzare e descrivere come si procede per risolvere i diversi tipi di equazioni di secondo grado.

Equazioni incomplete

� Equazione pura: 2 0ax c+ = .

Si risolve applicando il seguente procedimento:

� si porta il termine noto c al secondo membro: 2ax c= −

� si ricava x2: 2 cxa

= −

� si determina x: Sc cxa a

= ± − ⇒ = ± −

Osservazione

Ricordiamo che un radicale di indice pari è un numero reale soltanto se il radicando è non

negativo; quindi, poiché c ≠ 0, si ha:

83

� a e c discordi ⇒ 0− >− >− >− >ca

⇒ l’equazione ha due soluzioni opposte:

1 2c cx xa a

= − − , = + − ⇒ S = ca

± −

� a e c concordi ⇒ 0− <− <− <− <ca

⇒ l’equazione non ha soluzioni in R; quindi S = ∅.

� Le soluzioni di un’equazione pura, se esistono, sono opposte.

Esempio

Risolviamo le seguenti equazioni pure:

a) 22 3 0x − = ; b) 2 4 0y + =

a) 22 3 0x − =

⌦ portiamo al secondo membro il numero −3: 22 3x = ;

⌦ ricaviamo 2x : 2 32

x = ;

⌦ determiniamo x: 32

x = ± .

Le soluzioni sono 1 23 32 2

x x= − , = +

L’insieme soluzione è, quindi, S = 32

±

.

b) 2 4 0y + =

Risolviamo questa equazione in due modi:

1) osserviamo che:

2

2 2, 0, 4 0 , 4 0 S

4 0

y yy y y y

∀ ∈ ≥ ⇒ ∀ ∈ + > ⇒ ∀ ∈ + ≠ ⇒ = ∅

>R

R R

2) i coefficienti a e c dell’equazione sono concordi, quindi 0ca

− < ⇒ S = ∅.

� Equazione spuria: 2 0ax bx+ =

Si risolve applicando il seguente procedimento:

� Poiché x è comune ad entrambi i termini del primo membro dell’equazione,

possiamo fare il raccoglimento a fattor comune; si ottiene:

( )2 0 0ax bx x ax b+ = ⇒ + =

84

� Applicando la legge di annullamento del prodotto si ha:

( ) 0 0x ax b x ax b+ = ⇒ = 0 ∨ + =

� Le due soluzioni cercate sono:

1 20 bx xa

= , = −

L’insieme soluzione è S = { }0, ba

−

Osservazione

L’equazione spuria ammette sempre due soluzioni reali e distinte di cui una è x = 0.

Esempio

Risolviamo l’equazione spuria 23 5 0x x− =

( )23 5 0 3 5 0 0 3 5 0x x x x x x− = ⇒ − = ⇒ = ∨ − =

Pertanto le soluzioni sono: 503

x x= ∨ = ⇒ S = { }50,3

.

� Equazione monomia: 2 0ax =

Per risolvere questo tipo di equazione è sufficiente ricordare la legge di annullamento del

prodotto:

( ) { }2 20 poichè 0 0 0 S 0ax a x x= ⇒ ≠ = ⇒ = ⇒ =

PROVA TU

Risolvi le seguenti equazioni incomplete:

a) 24 9 0x − = ; 23 5 0x + = ; 22 7 0x − = ; 25 0x− =

b) 2 2 0x x− = ; 24 7 0x x+ = ; 3 3 0x x− = ; 21 02

x =

Equazione completa: 2 0ax bx c+ + =

Ripetiamo, nel caso generale, il procedimento seguito da Marta per risolvere le equazioni complete

di secondo grado.

Osserva i seguenti passaggi:

1. consideriamo l’equazione: 2 0ax bx c+ + =

2. Applichiamo il secondo principio di equivalenza e moltiplichiamo per 4a primo e secondo

membro dell’equazione:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0 (2)

85

3. trasportiamo il termine noto 4ac al secondo membro:

4a²x² + 4abx = − 4ac (3)

4. Applichiamo il primo principio di equivalenza e sommiamo il termine b² ad entrambi i

membri dell’equazione (3) :

4a²x² + 4abx +b² = b² − 4ac (4)

5. il primo membro dell’equazione (4) è il quadrato di un binomio:

(2ax + b)² = b² − 4ac (5)

6. da cui :

2ax + b = 2 4b ac± − (6)

7. ricaviamo la variabile x dall’equazione (6); si ottiene:

2 42

b b acxa

− ± −− ± −− ± −− ± −==== o anche, come si è soliti scrivere, 2

12

42

b b acxa

− ± −− ± −− ± −− ± −====

La formula così ottenuta prende il nome di formula risolutiva delle equazioni di secondo

grado.

La formula risolutiva permette di determinare le soluzioni, dette anche radici, di

un’equazione di secondo grado.

In particolare, poiché per convenzione, 1 2x x< , si ha:

la soluzione minore

a

acbbx

2

42

1

−−−=

la soluzione maggiore

a

acbbx

2

42

2

−+−=

Osserviamo che, nella formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, è presente un radicale di

indice pari ( )2 4b ac− ; esso è un numero reale soltanto se il radicando non è negativo.

Dal discriminante… al numero delle soluzioni

L’espressione 2 4b ac− , che compare sotto il segno di radice, prende il nome di discriminante e

viene indicata con la lettera ∆ (delta) dell’alfabeto greco.

86

In relazione al valore di ∆ = 2 4b ac− si possono presentare tre casi:

� ∆ > 0:

� l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte (x1 ≠ x2)

2

14 ;

2b b acx

a− − −=

2 2 2

24 4 4S ,

2 2 2b b ac b b ac b b acx

a a a

− + − − − − − + −= ⇒ =

� ∆ = 0:

� si ottiene 02

bxa

− ±= ⇒ 2bxa

= −= −= −= − ⇒ S = { }2ba

−

L’equazione, dunque, ha una sola soluzione.

In questo caso è consuetudine dire che l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti oppure

che 2bxa

= − è una soluzione doppia.

� ∆ < 0:

� in R non esiste la radice con indice pari di un numero negativo, quindi l’equazione

non ha soluzioni reali; l’equazione, perciò, è impossibile. Quindi, S = ∅.

Per stabilire il numero di soluzioni di un’equazione di secondo grado, è sufficiente determinare

il valore del discriminante e stabilirne il segno, come riportato nella seguente tabella:

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

2 sol. 1 sol. 0 sol.

Esempi

Stabiliamo il numero delle soluzioni delle seguenti equazioni:

a) 23 4 1 0t t− + = ; b) 2 2 1 0x x+ + = ; c) 22 3 5 0u u+ + =

a) I coefficienti di questa equazione sono: a = 3; b = −4; c = 1.

Determiniamo il valore del discriminante:

( )22 4 4 4 3 1 16 12 4 0b ac∆ = − = − − ⋅ ⋅ = − = ⇒ ∆ >

L’equazione ha, dunque, due soluzioni distinte.

b) I coefficienti di questa equazione sono: a = 1; b = 2; c = 1.


( )22 4 2 4 1 1 4 4 0 0b ac∆ = − = − ⋅ ⋅ = − = ⇒ ∆ =

87

L’equazione, dunque, ha una sola soluzione reale (o due soluzioni reali e coincidenti).

c) I coefficienti di questa equazione sono: a = 2; b = 3; c = 5.


( )22 4 3 4 2 5 9 40 31 0b ac∆ = − = − ⋅ ⋅ = − = − ⇒ ∆ <

L’equazione, dunque, non ha soluzioni in R.

PROVA TU

Completa la seguente tabella:

Equazione a b c ∆ = b² −−−− 4ac n° delle soluzioni reali

22 1 0x x− − =

1 −6 9

∆ = 22 − 4(3)(1)

−2 −3 ∆ = (−4)2 − 4(…) (…)

25 3 2 0a a+ − =

4 12 ∆ = (…)2 − 4(4)(9)

Esempi

Determiniamo l’insieme soluzione delle seguenti equazioni:

a) 2 6 5 0s s+ + = ; b) 22 7 5 0x x− + = ; c) 24 4 1 0z z− + = ;

d) 22 3 1 0a a+ − = ; e) 2 4 2 0m m− − = f) 22 5 4 0 ;x x− + =

a) I coefficienti di questa equazione sono: a = 1; b = 6; c = 5.

Determiniamo il valore del discriminante: ∆ = b² − 4ac = 26 4 1 5 36 20 16 0− ⋅ ⋅ = − = ⇒ ∆ >

L’equazione ha due soluzioni distinte; applichiamo la formula risolutiva trovata in precedenza:

12 2

bsa

− ± ∆= ⇒ 12

6 16 6 42 1 2

s − ± − ±= = =⋅րց

1

2

6 4 10 52 2

6 4 2 12 2

s

s

− − −= = = −

− + −= = =

Quindi, l’insieme soluzione è S = { }5,1− .

b) I coefficienti di questa equazione sono: a = 2; b = −7; c = 5.


∆ = b² − 4ac = ( )27 4 2 5 49 40 9 0− − ⋅ ⋅ = − = ⇒ ∆ >

88

L’equazione ha due soluzioni reali distinte; applichiamo la formula risolutiva:

12 2

bxa

− ± ∆= ⇒ 12

7 9 7 32 2 4

x ± ±= = =⋅րց

1

2

7 3 4 14 4

7 3 10 54 4 2

x

x

−= = =

+= = =

Quindi, l’insieme soluzione è S = { }51,2

.

c) I coefficienti di questa equazione sono: a = 4; b = −4; c = 1.


∆ = b² − 4ac = ( )24 4 4 1 16 16 0 0− − ⋅ ⋅ = − = ⇒ ∆ =

L’equazione ha una soluzione reale (o due soluzioni reali coincidenti); in questo caso:

4 12 2 4 2bz za

−= − ⇒ = − =⋅

Quindi, l’insieme soluzione è S = { }12

.

d) I coefficienti di questa equazione sono: a = 2; b = 3; c = −1.


∆ = b² − 4ac = ( )23 4 2 1 9 8 17 0− ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ >

L’equazione ha due soluzioni reali distinte; applichiamo la formula risolutiva:

12 2

baa

− ± ∆= ⇒ 12

3 17 3 172 2 4

a − ± − ±= = =⋅րց

1

2

3 174

3 174

a

a

− −=

− +=

Quindi, l’insieme soluzione è S = 3 174

− ±

.

e) I coefficienti di questa equazione sono: a = 1; b = −4; c = −2.


∆ = b² − 4ac = ( ) ( )24 4 1 2 16 8 24 0− − ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ >

L’equazione ha due soluzioni distinte; applichiamo la formula risolutiva trovata in precedenza:

12 2

bma

− ± ∆= ⇒ ( )

12

3 2 2 64 2 3 4 2 64 24 2 62 1 4 4 4

m±± ⋅ ±±= = = = = ± =⋅

րց

1

2

2 62

2 62

m

m

−=

+=

L’insieme soluzione, quindi, è S = 2 62

±

.

89

f) I coefficienti di questa equazione sono: a = 2; b = −5; c = 4.


∆ = b² − 4ac = ( )25 4 2 4 25 32 7 0− − ⋅ ⋅ = − = − ⇒ ∆ < .

L’equazione, quindi, non ha soluzioni in R; l’insieme soluzione è S = ∅.

Osservazione

Se, nell’equazione 2 0ax bx c+ + = , a è negativo, prima di applicare la formula risolutiva, è

opportuno cambiare di segno a tutti i termini dell’equazione moltiplicando primo e secondo

membro per −1.

PROVA TU

Determina l’insieme soluzione delle seguenti equazioni:

23 5 2 0a a− + + = ; 24 3 2 0t t− − =

2 3 1 0h h+ + = ; 22 12 18 0y y+ + =


2 0ax bx c+ + = a b c ∆ 1 2,x x

23 2 1 0x x+ − = 1x =………………. ; 2x = ……………….

2 4 2 0x x− + = 1x =………………. ; 2x = ……………….

29 22 15 0x x+ − =

1x =………………. ; 2x = ……………….

25 8 3 0x x− + = 1x =………………. ; 2x = ……………….

Osserva la tabella e completa le seguenti proposizioni scegliendo il termine opportuno fra quelli

indicati in parentesi:

� in ciascuna delle equazioni il coefficiente b è un numero …………………… (pari, dispari);

� il valore del discriminate è un multiplo di …….. (3, 4, 5);

� le soluzioni delle equazioni sono espresse da frazioni nelle quali sia il numeratore che il

denominatore sono numeri reali contenenti il fattore …… (2, 3, 4).

Generalizziamo e consideriamo l’equazione 2 0ax bx c+ + = in cui il coefficiente b è pari .

b pari ⇒ b = 2ββββ ⇒ 2b====ββββ

90

L’equazione diventa: 2 2 0ax x cβ+ + =

Calcoliamo il discriminante:

( ) ( )22 2 24 2 4 4 4 4b ac ac ac acβ β β∆ = − = − = − = −

Se ∆ ≥ 0, applichiamo la formula risolutiva:

( )

( ) ( )12

2 2

22

2

2 4 2 222 2 2

2 2 22

ac acx

a a a

b b acac aca a a

β β β ββ

β β β β

− ± − − ± −− ± ∆= = = =

− ± −− ± − − ± − = = =

In definitiva, se b è pari e ∆ ≥ 0, la formula che permette di determinare le soluzioni dell’equazione

è la seguente:

( )12

2

2 2b b ac

xa

− ± −=

Osserviamo che ( )2 2 2 42 4 4 4b b b acac ac − ∆− = − = =

Questa formula viene chiamata formula risolutiva ridotta .

Ovviamente, il numero delle soluzioni dell’equazione dipende dal segno di 4∆ :

� 04∆ > ⇒ l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;

� 04∆ = ⇒ l’equazione ha una soluzione reale (o due soluzioni reali e coincidenti);

� 04∆ < ⇒ l’equazione non ha soluzioni in R.

Se b è pari e 1a = , la formula ridotta diventa 12

......................................x = .

Esempio

Risolviamo l’equazione 23 8 5 0 .x x− + =

I coefficienti di questa equazione sono: a = 3, b = −8, c = 5.

Poiché b è pari, si ha 82

−= = 42b −−−− ; determiniamo

4∆ :

( ) ( )2

24 15 16 15 1 0

4 2 4b ac∆ ∆= − = − − = − = ⇒ >

91

L’equazione ha due soluzioni reali e distinte; applichiamo la formula risolutiva ridotta :

12

2 4b

xa

∆− ±= ⇒ 1

2

4 1 4 13 3

x ± ±= = =րց

1

2

4 1 3 13 3

4 1 53 3

x

x

−= = =

+= =

Quindi, l’insieme soluzione è S = { }51,3

.

Osservazione

Non sempre le equazioni di secondo grado sono scritte in forma normale, ovvero sono del tipo

2 0 ;ax bx c+ + = prima di applicare la formula risolutiva, allora, è necessario ridurre l’equazione a

forma normale.

Esempio

Risolviamo l’equazione ( )21 41x x+ = − .

Prima di tutto riduciamo l’equazione a forma normale:

� innanzitutto calcoliamo il quadrato del binomio al primo termine:

2 2 1 41x x x+ + = −

� trasportiamo i termini del secondo membro al primo membro:

2 2 1 41 0x x x+ + − + =

� sommiamo i termini simili ed ordiniamo secondo le potenze decrescenti della variabile:

2 3 40 0x x+ − =

Adesso, possiamo risolvere l’equazione:

� calcoliamo il discriminante:

∆ = b² − 4ac = ( )23 4 1 40 9 160 169 0− ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ > ;

� l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;

� applichiamo la formula risolutiva:

12 2

bxa

− ± ∆= ⇒ 12

3 169 3 132 2

x − ± − ±= = =րց

1

2

3 13 16 82 2

3 13 10 52 2

x

x

− − −= = = −

− += = =

Quindi, l’insieme soluzione è S = { }8,− 5 .

92

PROVA TU

Dopo averle ridotte a forma normale, risolvi le seguenti equazioni:

a) 2 13 4x x= − + ; 22 1 15x x− = −

b) ( )24 8 9x x x− = − ; 23 5 3 17

4 5 20x x x− − += − +

14.3 Relazione tra i coefficienti di una equazione di secondo grado e le sue soluzioni


Equazione a b c Soluzioni Somma soluzioni

Prodotto soluzioni

ba

ca

2 6 0s s− − = 1 −1 −6 1 22; 3s s= − = 1 −6 −1 −6

22 3 1 0h h− + =

5 −3 0

2 2 0x x+ − =

29 4 0t − =

3 −4 1

Osserva la colonna “Somma soluzioni” e quella in cui hai riportato il valore ba

:

� la somma delle soluzioni dell’equazione è …………………… all’opposto di ……………. .

Osserva la colonna “Prodotto soluzioni” e quella in cui hai riportato il valore di ca

:

� il prodotto delle soluzioni dell’equazione è …………………… a …………… .

Vediamo, adesso, se queste relazioni valgono in generale.

Consideriamo una equazione 2 0ax bx c+ + = con ∆ ≥ 0; le sue soluzioni sono:

2

14

2b b acx

a− − −= e

2

24

2b b acx

a− + −=

Eseguiamo la loro somma che indichiamo con s:

2 2 2 2

1 24 4 4 4

2 2 2b b ac b b ac b b ac b b acs x x

a a a− − − − + − − − − − + −= + = + = =

= (i due radicali si annullano perchè opposti) = 2 .2

b ba a

− = −

In definitiva, si ha 1 2bx xa

+ = −+ = −+ = −+ = −

93

Eseguiamo il prodotto che indichiamo con p:

( ) ( )( )

22 2

2 2

1 2 2

2 22 2

2 2 2

44 4

2 2 4

4 4 4 .4 4 4

b b acb b ac b b acp x x

a a a

b b ac b b ac ac caa a a

− − −− − − − + −= ⋅ = ⋅ = =

− − − + = = = =

In definitiva, si ha che 1 2cx xa

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

In sintesi:

data l’equazione 2 0ax bx c+ + = (∆ ≥ 0), si hanno le seguenti relazioni:

� somma delle soluzioni: 1 2bx xa

+ = −+ = −+ = −+ = −

� prodotto delle soluzioni: 1 2cx xa

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

Applicazioni

Vediamo, adesso, come possono essere applicate queste relazioni.

a) Consideriamo, ancora una volta, l’equazione 2 0ax bx c+ + = (∆ ≥ 0) e indichiamo con s la

somma delle sue soluzioni e con p il prodotto delle stesse soluzioni; quindi:

s = 1 2x x+ e p = 1 2x x⋅

Applichiamo il secondo principio di equivalenza e dividiamo entrambi i membri per a (≠0,

perché ………………..); otteniamo:

2 0b cx xa a

+ + =

(*)

Per le relazioni precedenti si ha ( )1 2b x xa

= − + e 1 2c x xa

= ⋅ , sostituendo nell’equazione (*)

otteniamo:

( )21 2 1 2 0x x x x x x− + + ⋅ = (**)

Poiché 1 2s x x= + e 1 2p x x= ⋅ , la (**) diventa:

2 0x sx p− + = (***)

Possiamo, allora, affermare che in una equazione di secondo grado con discriminante non

negativo e coefficiente a = 1, il coefficiente del termine di primo grado è uguale all’opposto

della somma delle sue soluzioni, mentre il termine noto è uguale al prodotto delle soluzioni

stesse.

94

b) Dato un trinomio di secondo grado 2 ,ax bx c+ + si chiama equazione ad esso associata

l’equazione che si ottiene uguagliando a zero il trinomio stesso.

Allora, se abbiamo il trinomio 2ax bx c+ + , l’equazione ad esso associata è 2 0.ax bx c+ + =

Consideriamo, adesso, il trinomio 2ax bx c+ + e siano 1x e 2x le soluzioni dell’equazione ad

esso associata.

Operando il raccoglimento a fattor comune, abbiamo:

( )2 2 b cax bx c a x xa a

+ + = + +

Ricordando che ( )1 2b x xa

= − + e 1 2c x xa

= ⋅ , si ottiene:

( ) ( )( ) ( )2 21 2 1 2 2 21 1

2b ca x x a x x x x x x aa

x xa

xx x xx −+ ⋅ ++ = − + − ⋅= ⋅+ ⋅

Operando il raccoglimento parziale, scomponiamo il polinomio in fattori; si ottiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )21 1 12 1 2 2 1 2x x x xx x x x x x x xx xxa x xa a− = −− ⋅ + −− =⋅ −−⋅

In definitiva, si ha che:

( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − −+ + = − −+ + = − −+ + = − − (�)

In sintesi, per scomporre in fattori un trinomio di secondo grado dobbiamo:

� scrivere l’equazione ad esso associata;

� calcolare il suo discriminante:

• se ∆ ≥ 0, determinare le sue soluzioni;

• scrivere il trinomio come prodotto di tre fattori applicando la relazione (�);

• se ∆ < 0, il trinomio è irriducibile.

Queste osservazioni ci permettono di dare una risposta a quesiti di varo tipo; ad esempio:

� scrivere una equazione, ridotta a forma normale, della quale sono note le sue soluzioni;

� determinare due numeri conoscendo la loro somma ed il loro prodotto;

� scomporre in fattori, nell’insieme dei numeri reali, un trinomio di secondo grado;

� semplificare alcune frazioni algebriche.

Esempi

a) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri −2 e 3.

Calcoliamo la somma s ed il prodotto p delle soluzioni:

2 3 1s= − + = ; 2 3 6p = − ⋅ = −

Sostituendo nell’equazione (***), otteniamo: 2 6 0x x− − = che è l’equazione cercata.

95

b) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri 32

− e 32

.

Poiché le soluzioni sono opposte, l’equazione è pura.

La somma 1 23 3 02 2

s x x= + = − + = , il prodotto 1 23 3 92 2 4

p x x= ⋅ = − ⋅ = − .

Sostituendo nell’equazione (***), otteniamo:

2 9 04

x − = ⇒ 24 9 0x − =

che è l’equazione cercata.

c) Determiniamo l’equazione, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni i numeri 3 2 e

22

.

La somma 1 22 7 23 2

2 2s x x= + = + = , il prodotto 1 2

23 2 32

p x x= ⋅ = ⋅ = .

Sostituendo nell’equazione (***), otteniamo:

2 7 2 3 02

x x− + = ⇒ 22 7 2 6 0x x− + =

che è l’equazione cercata.

d) La somma di due numeri è 13

ed il loro prodotto è 23

− . Quali sono i due numeri?

Sappiamo che 13

s= e 23

p = − ; sostituendo nell’equazione (***), otteniamo:

( )2 1 2 03 3

x x− + − =

che, ridotta alla forma normale, diventa 23 2 0x x− − = .

Risolviamo l’equazione:

� calcoliamo il discriminante: ( ) ( )22 4 1 4 3 2 1 24 25 0b ac∆ = − = − − ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ >

� determiniamo le soluzioni:

12 2

bxa

− ± ∆= ⇒ 12

1 25 1 52 3 6

x ± ±= = =⋅րց

1

2

1 5 4 26 6 3

1 5 6 16 6

x

x

− −= = = −

+= = =

I numeri richiesti, quindi, sono 23

− e 1.

96

e) Scomponiamo in fattori il trinomio 27 6 1x x− − .

Scriviamo l’equazione associata: 27 6 1 0x x− − = ;

� calcoliamo il discriminante: ( ) ( ) ( )2

23 7 1 9 7 16

4 2b ac∆ = − = − − ⋅ − = + = ⇒ 0

4∆ > ;

� determiniamo le sue soluzioni:

12

2 4b

xa

∆− ±= ⇒ 1

2

3 16 3 47 7

x ± ±= = =րց

1

2

3 4 17 7

3 4 7 17 7

x

x

−= = −

+= = =

Si ha a = 7; 117

x = − ; 2 1x = ; sostituendo nella relazione (�), otteniamo:

( )( ) ( )( )2 17 6 1 7 1 7 1 17

x x x x x x− − = + − ⇒ + −

f) Scomponiamo in fattori il trinomio 22 2 2x x− − .

Scriviamo l’equazione associata: 22 2 2 0x x− − = ;

� calcoliamo il discriminante: ( ) ( )2

2 4 2 4 2 2 2 16 18b ac∆ = − = − − ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ > 0;

� determiniamo le sue soluzioni:

12 2

bxa

− ± ∆= ⇒ 12

22 18 2 3 2 2 3 22 2 4 4

x ± ± ⋅ ±= = = =⋅րց

1

2

2 3 2 2 2 24 4 2

2 3 2 4 2 24 4

x

x

−= = − = −

+= = =

Si ha a = 2; 12

2x = − ; 2 2x = ; sostituendo nella relazione (�), otteniamo:

( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 2 2 22

x x x x x x − − = + − = + −

g) Scomponiamo in fattori il trinomio 24 2 1x x− + .

Scriviamo l’equazione associata: 24 2 1 0x x− + = ;


21 4 1 1 4 3

4 2b ac∆ = − = − − ⋅ = − = − ⇒ 0

4∆ < .

Il trinomio è irriducibile.

h) Semplifichiamo la frazione algebrica 2

2

3 63 3 6

x xx x

+ −+ +

.

• Scomponiamo in fattori il numeratore 2 3 6x x+ − .

� Scriviamo l’equazione associata 2 3 6 0x x+ − = ;

97


2 4 3 4 1 6 3 24 27b ac∆ = − = − ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ > 0;

� determiniamo le soluzioni dell’equazione associata: 12 2

bxa

− ± ∆= ⇒

⇒ 12

33 27 3 3 3 3 32 1 2 2

x − ± − ± − ±= = = =⋅րց

1

2

3 3 3 4 3 2 32 2

3 3 3 2 2 32 2

x

x

− −= = − = −

− += = =

Si ha a = 1; 1 3x = ; 2 2 3x = − ; applicando la relazione (�) si ottiene:

( ) ( )2 3 6 3 2 3x x x x+ − = − +

• Scomponiamo in fattori il denominatore 2 3 3 6x x+ + .

� Scriviamo l’equazione associata 2 3 3 6 0x x+ + = ;


2 4 3 3 4 1 6 27 24 3b ac∆ = − = − ⋅ ⋅ + = − = ⇒ ∆ > 0;

� determiniamo le soluzioni dell’equazione associata:

12

3 3 3 3 3 32 2 1 2

bxa

− ± − ±− ± ∆= = = =⋅րց

1

2

3 3 3 4 3 2 32 2

3 3 3 2 3 32 2

x

x

− −= = − = −

− += = − = −

Si ha a = 1; 1 2 3x = − ; 2 3x = − ; applicando la relazione (�) si ottiene:

( ) ( )2 3 3 6 2 3 3x x x x+ + = + +

Riscriviamo la frazione sostituendo al numeratore e al denominatore la loro scomposizione in

fattori; si ottiene:

( ) ( )( )( )

( ) ( )2

2

3 2 33 23 63 3

3

3 36 2

x xx xx xx x x x

+ −+

− +− += =

+ ++ ( )

1

2 3x+ ( )( )( )

3

33

x

xx

−=

++

PROVA TU

1) Scrivi l’equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, che ha come soluzioni:

a) i numeri 2 3 e 4 35

; b) il numero −3; c) i numeri 0 e 5; d) i numeri 4− e 4.

2) Determina due numeri conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p:

a) 116

s = , 6p = ; b) s = 3, p = −3; c) 4 32

s += , 3p =

1

98

3) Scomponi i seguenti trinomi di secondo grado:

a) 2 7 10x x− + ; b) 24 3 1x x+ − ; c) 2 6x x+ − ; d) 26 5 5 5x − +

4) Semplifica le seguenti frazioni algebriche:

a) 2

23 26 5 6

x xx x

+ −+ −

; b) 2

2

2 2 2 32 5 2 6

x xx x

− −− +

14.4 Equazioni parametriche di secondo grado

Si chiamano equazioni parametriche quelle equazioni in cui, oltre all’incognita, compare un’altra

lettera chiamata “parametro”; per tali equazioni non si richiede di determinare l’insieme

soluzione, ma di stabilire per quale valore del parametro esse soddisfano determinate condizioni.

Esempi

a) Determina per quali valori del parametro k le soluzioni dell’equazione ( )2 3 1 0kx k x− − + =

sono reali e coincidenti.

Un’ equazione di secondo grado ha due soluzioni reali e coincidenti soltanto se ∆ = 0.

In questa equazione si ha a = k ; ( )3b k= − − ; c = 1

Calcoliamo il discriminante: ∆ = ( ) 22 4 3 4b ac k k − = − − − .

Dovendo essere ∆ = 0, si ottiene ( ) 23 4 0k k − − − = .

Risolviamo l’equazione ottenuta:

( ) 23 4 0k k − − − = ⇒ 2 6 9 4 0k k k− + − = ⇒ 2 10 9 0k k− + = ⇒ S = { }1,9

I valori di k che soddisfano la condizione richiesta sono: 1k = e 9k =

b) Determina per quali valori del parametro h le soluzioni dell’equazione ( )24 2 1 0x h x+ − + =

sono reali.

Un’ equazione di secondo grado ha due soluzioni reali soltanto se ∆ ≥ 0.

In questa equazione si ha a = 4; ( )2b h= − ; c = 1

Calcoliamo il discriminante: ∆ = ( )22 4 2 16b ac h− = − − .

Dovendo essere ∆ ≥ 0, si ottiene ( )22 16 0h− − ≥ .

Eseguendo le operazioni indicate, si ottiene:

( )22 16 0h− − ≥ ⇒ 2 4 4 16 0h h− + − ≥ ⇒ 2 4 12 0h h− − ≥ ⇒ ( ) ( )6 2 0h h− + ≥

L’insieme soluzione di questa disequazione è S = ] [ ] [, 2 6,−∞ − ∪ +∞ .

La condizione richiesta è verificata da tutti i numeri h tali che ] ] [ [, 2 6,h∈ −∞ − ∪ +∞ .

99

c) Determina per quale valore del parametro m l’equazione

( )23 5 1 0mx m x m− + + + =

ha una soluzione nulla.

Un’equazione di secondo grado ha una soluzione nulla se è una equazione spuria; il suo termine

noto, allora, deve essere nullo.

Imponiamo, perciò, c = 0 ; si ottiene:

101 −=⇒=+ mm

Il valore di m che soddisfa la condizione richiesta è: 1m= − .

d) Determinare il valore del parametro l affinché il numero 3 sia soluzione dell’equazione

( )2 5 1 9 0.x l x l− + + =

Un numero è soluzione di un equazione se, sostituito alla variabile, rende vera l’uguaglianza.

Sostituendo il numero 3 alla variabile x, si ottiene:

( )9 5 1 3 9 0.l l− + ⋅ + =

Dobbiamo, allora, determinare il valore di l per il quale è vera quest’ultima uguaglianza:

( )9 5 1 3 9 0l l− + ⋅ + = ⇒ 9 15 3 9 0l l− − + = ⇒ 6 6 0l− + = ⇒ 1l =

Il valore di l che soddisfa la condizione richiesta è: 1l = .

e) Determina per quale valore del parametro p, la somma delle soluzioni dell’equazione

( ) 012 2 =++− pxpx

è uguale a 3.

Poichè a

bxx −=+ 21 , deve essere 3=−

a

b.

In questa equazione a = 2; b = ( )1p− + .

Sostituendo i valori dei coefficienti otteniamo :

( )1 13

2 2p pb

a− + +− = − ⇒ =


13

2p+ = ⇒ 1 6p + = ⇒ 5p =

Il valore di p che soddisfa la condizione richiesta è 5p = .

100

f) Determina per quale valore del parametro h il prodotto delle soluzioni dell’equazione:

( ) ( ) 013523 2 =+−−+ xhxh

è uguale a 3

8− .

Poichè a

cxx =⋅ 21 , deve essere 8

3ca

= − .

In questa equazione a = 3 2h+ ; c = 1.


1 1 83 2 3 2 3

ca h h

= ⇒ = −+ +


1 83 2 3h

= −+ ⇒ se 23

h ≠ − , ( )3 8 3 2h= − + ⇒ 193 24 16 24 1924

h h h= − − ⇒ = − ⇒ = −

Il valore di h che soddisfa la condizione richiesta è 1924

h = − .

g) Determina per quale valore del parametro k le soluzioni dell’equazione

( ) 023574 2 =−+−− kxkx

sono reciproche fra loro e scrivi l’equazione corrispondente.

Affermare che le soluzioni sono reciproche vuol dire che 1 1 22

1 1 1cx x xx a

= ⇒ ⋅ = ⇒ =

In questa equazione a = 4; c =3 2k − .


3 2 3 2 14 4

c k ka

− −= ⇒ =


3 2 1 3 2 4 3 6 24

k k k k− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Il valore di k che soddisfa la condizione richiesta è 2k = .

Per scrivere l’equazione corrispondente, sostituiamo al parametro k il valore 2:

( )2 24 7 2 5 3 2 2 0 4 9 4 0.x x x x− ⋅ − + ⋅ − = ⇒ − + =

h) Determina per quale valore del parametro t l’equazione :

( ) ( )2 25 2 1 3 0t x t x− + − − =

ha due soluzioni opposte.

Una equazione di secondo grado ha due soluzioni opposte se è una equazione pura con

coefficienti a e c discordi; dovrà, allora essere b = 0 e 0a c⋅ < .

101

In questa equazione a = ( )25t − ; b = 2t − 1; c = −3.

Deve essere, allora, 2t − 1 = 0 ⇒ 12

t = .

Osserviamo, inoltre, che ( ) ( )25 3 0a c t⋅ = − ⋅ − < per qualsiasi valore di t ≠ 5 (perché?).

Il valore di t che soddisfa la condizione richiesta è 12

t = .

PROVA TU

Data l’equazione 02622 =−+− kkxkx , determina k in modo che:

a) una soluzione sia uguale a 1;

b) una soluzione sia nulla;

c) le soluzioni siano reali;

d) le soluzioni siano opposte.

14.5 Equazioni e problemi

Come già visto nel paragrafo 9.12, esistono nel campo matematico, in quello delle scienze applicate

e nella realtà problemi il cui modello matematico è rappresentato da un’equazione.

In questo paragrafo affrontiamo problemi che hanno come modello matematico una equazione di

secondo grado.

Per la costruzione del modello matematico del problema riprendiamo lo schema del paragrafo 9.12.

Cosa mi chiede il problema? → 1. Individuare la richiesta del problema

Quale quantità posso indicare con x? → 2. Scegliere l’ incognita (richiesta)

Quali valori può assumere x? → 3. Porre condizioni accettabilità o dominio

del problema

Quali elementi dipendono da x? → 4. Scrivere altri elementi in funzione di x

Quale relazione mi consente di trovare x? → 5. Impostare equazione risolvente

Determino il valore di x → 6. Risolvere l’equazione

Posso accettare il valore che ho trovato? → 7. Controllare accettabilità della soluzione

Scrivo la risposta al problema → 8. Scrivere insieme soluzione o risposta

102

Applichiamo lo schema precedente per individuare la soluzione di alcuni problemi.

a) Determina un numero positivo tale che il suo quadrato aumentato del suo doppio sia uguale a 8.

1. Individuare la richiesta del problema → numero positivo

2. Assegnare incognita (richiesta) → x = numero positivo

3. Porre condizioni accettabilità → x ∈∈∈∈ R +

4. Scrivere altri elementi in funzione di x → 2x = quadrato di x

2x = doppio di x

5. Impostare equazione risolvente → 2 2 8x x+ =+ =+ =+ =

6. Risolvere l’equazione →

2 2 8x x+ = ⇒ 2 2 8 0x x+ − =

( ) ( )2

21 1 8 1 8 9 04 2

b ac∆ = − = − ⋅ − = + = >

12

1 92 4 1 31

b

xa

∆− ± − ±= = = − ± ⇒

⇒ 1 4x = − ∨ 2 2x =

7. Controllare accettabilità della

soluzione →

−−−−4 ∉R + ⇒ soluzione non accettabile;

2 ∈ R+ ⇒ soluzione accettabile.

8. Scrivere insieme soluzione o risposta → S = {{{{2}}}} oppure (Risposta) Il numero richiesto è 2.

b) In un rettangolo la misura di una dimensione supera il triplo della misura dell’altra di 8 cm.

Sapendo che l’area del rettangolo misura 3 cm² , determina le misure dei lati del rettangolo.

Osservazione

In un problema di carattere geometrico, è opportuno costruire, oltre al modello matematico,

anche il modello grafico del problema; quindi, è necessario disegnare la figura che soddisfa le

condizioni poste dal problema.

AB 3AD 8= +

103

1. Individuare la richiesta del

problema → misura dei lati

2. Assegnare incognita (richiesta) → x = misura di AD

3. Porre condizioni accettabilità → x ∈∈∈∈ R +

4. Scrivere altri elementi in funzione

di x →

3x = triplo di AD

3x + 8 = misura di AB

( )3 8x x ++++ = area di ABCD

5. Impostare equazione risolvente → ( )3 8x x + = 3+ = 3+ = 3+ = 3

6. Risolvere l’equazione →

( )3 8 3x x+ = ⇒ 23 8 3 0x x+ − =

( ) ( )2

24 3 3 16 9 25 04 2

b ac∆ = − = − ⋅ − = + = >

12

4 252 4 4 53 3

b

xa

∆− ± − ± − ±= = = ⇒

⇒ 1 3x = − , 213

x =

7. Controllare accettabilità della

soluzione →

−−−−3 ∉R + ⇒ soluzione non accettabile;

13

∈ R+ ⇒ soluzione accettabile.

8. Scrivere la risposta → AD = 1

3 cm;

AB = 13 8 93

⋅ + = cm.

14.6 Equazioni di grado superiore al secondo

Qual è il grado delle seguenti equazioni?

a) ( ) ( )22 1 2 3a a a+ − = + ⇒ (riduci a forma normale) ……………………… = 0 ,

grado ………….

b) ( )( )2 23 2 0h h− + = ⇒ grado ………….

c) ( )( )3 2 21 1 4y y y− + = + ⇒ (riduci a forma normale) ……………………… = 0 ,

grado ………….

d) ( )( )( )23 1 2 0x y x− + + = ⇒ (riduci a forma normale) ……………………… = 0 ,

grado ………….

Come sicuramente hai già notato, tutte le precedenti equazioni hanno grado maggiore di …… .

104

In questo e nei prossimi paragrafi ci occuperemo di particolari equazioni di grado superiore al

secondo in una sola variabile.

Possiamo dare, allora, la seguente definizione:

� Un’equazione algebrica a coefficienti reali in una variabile si dice di grado superiore al

secondo se, ridotta a forma normale, è del tipo ( )P 0x ==== , con ( )P x polinomio di grado 3n ≥≥≥≥ .

Ad esempio sono di grado superiore al secondo le seguenti equazioni:

0632 23 =+−− xxx ; 014 =−x ; 0652 23 =−−+ xxx

Risolvere, nell’insieme dei numeri reali, un’equazione di questo tipo vuol dire determinare tutte le

sue soluzioni o radici reali e, quindi, determinare tutti gli zeri reali del polinomio P( )x .

• Ricordiamo che si chiama zero di un polinomio il numero reale αααα per il quale risulta P(αααα) = 0.

Prima di illustrare i vari procedimenti per la risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo,

premettiamo il Teorema fondamentale dell’Algebra ed alcune sue conseguenze:

� Il numero delle soluzioni di un’equazione algebrica in una variabile è uguale al grado

dell’equazione stessa.

Conseguenza:

� Un’equazione algebrica di grado n a coefficienti reali ammette al massimo n soluzioni

reali.

È possibile dimostrare che le soluzioni non reali di un’equazione algebrica sono sempre in numero

pari ( 0, 2, 4 ,6,….), quindi:

� un’equazione algebrica a coefficienti reali di grado dispari ha sempre una soluzione reale.

La risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo, ed in particolare la ricerca di formule

risolutive per esse, ha rappresentato per molti secoli un vero problema per i matematici.

Due matematici italiani del Cinquecento, G. Cardano e Scipione del Ferro, riuscirono a determinare

formule risolutive per le equazioni di terzo e di quarto grado, anche se la loro applicazione non è

semplice.

All’inizio del 1800, precisamente nel 1824, il matematico norvegese N. Abel dimostrò che non

esistono formule risolutive per le equazioni di grado superiore al quarto.

E’ importante, comunque, sottolineare che questo non significa che non sia possibile risolvere

equazioni di grado superiore al quarto, ma soltanto che non esiste una formula generale, come ad

esempio per le equazioni di secondo grado e terzo grado, che mette in relazione le sue soluzioni

dell’equazione con i suoi coefficienti reali.

Esaminiamo, comunque, alcune procedimenti che permettono di risolvere particolari equazioni di

grado superiore al secondo.

105

14.7 Equazioni binomie

Osserva il polinomio al primo membro delle seguenti equazioni e completa:

a) 3 27 0x + = ; b) 41 1 016

b − = ; c) 54 243 0x − = ; d) 68 1 0x + =

• ciascuno dei polinomi in esame è formato da …… termini e, quindi, esso è un …………….. ;

• in ciascuno dei polinomi in esame è presente il termine di grado ……. ;

• il grado di ciascuno dei polinomi in esame è maggiore di …….. ;

• il grado delle equazioni a) e c) è espresso da un numero ……………… ;

• il grado delle equazioni b) e d) è espresso da un numero ……………… .

Poiché il polinomio a primo membro è un binomio, queste equazioni sono chiamate equazioni

binomie.

Risolviamo le equazioni precedenti.

a) 3 27 0x + = ⇒⇒⇒⇒ 3 27x = − .

Poiché l’esponente della potenza è un numero dispari, esiste un solo numero reale che rende vera

l’uguaglianza, quindi:

3 27 0x + = ⇒⇒⇒⇒ 3 27x = − ⇒⇒⇒⇒ 3 27x = − ⇒⇒⇒⇒ 3x = − ⇒⇒⇒⇒ { }S 3= − .

b) 41 1 04

b − = ⇒ 4 4 0b − = ⇒ 4 4b = .

Poiché l’esponente della potenza è un numero pari esistono due numeri reali che, rendono vera


41 1 04

b − = ⇒ 4 4 0b − = ⇒ 4 4b = ⇒ 4 4b = ± ⇒ 4 22b = ± ⇒

⇒ 2b = ± ⇒⇒⇒⇒ { }S 2= ±

c) 54 243 0x − = ⇒ 5 2435

x = .

Poiché l’esponente della potenza è un numero dispari, esiste un solo numero reale che rende vera


54 243 0x − = ⇒ 5 2435

x = ⇒⇒⇒⇒ 5 2434

x = ⇒

⇒ ( ) 5

5

3 3razionalizzando 854

x = = = ⇒ { }53S 85

=

d) 68 1 0x + = .

Il binomio 68 1x + esprime la somma fra un termine non negativo ed uno positivo; tale somma,

pertanto, non potrà mai essere zero. L’equazione, quindi, non ha soluzioni.

In simboli: 68 1 0 Sx + = ⇒ = ∅

106

Analizzando i risultati ottenuti, notiamo che:

• l'insieme soluzione di entrambe le equazioni di grado dispari è diverso dall’insieme vuoto ed è

formato da un solo numero reale;

• solo l’insieme soluzione di una delle due equazioni di grado pari è diverso dall’insieme vuoto ed

esso è formato da due numeri reali opposti. In particolare, ha soluzioni l’equazione in cui i due

termini sono discordi.

Le osservazioni appena fatte sono di carattere generale.

Si ha, quindi, la seguente definizione:

� Si chiama binomia un’equazione del tipo 0nax b+ =+ =+ =+ = con 0n∈ N e 0≠a .

Casi particolari :

� se n = 1, l’equazione binomia è un’ equazione di primo grado;

� se n = 2, l’equazione binomia è un’ equazione pura di secondo grado;

� se b = 0, l’equazione si riduce all’equazione monomia 0=nax ed il suo insieme

soluzione è { }S 0= .

Osservazione

Consideriamo l’equazione monomia 53 0x = .

Per definizione di potenza, possiamo scrivere 53 0 3 0x = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =xx xxx .

Ora, per la legge di annullamento del prodotto, sappiamo che il prodotto di più fattori è zero se

almeno uno di essi è zero.

Si ottiene, allora:

0 0 0 0 0= ∨ = ∨ = ∨ = ∨ = x x x xx

La soluzione “0” è stata ottenuta cinque volte; si dice, pertanto, che essa è una soluzione reale con

molteplicità 5 oppure che essa ha cinque soluzioni reali coincidenti con la soluzione 0.

Consideriamo, quindi, l’equazione binomia 0nax b+ =+ =+ =+ = con 0 0a b≠ ∧ ≠ .

Per determinarne l’insieme soluzione, ricaviamo nx ; otteniamo: a

bxn −= .

A questo punto, è necessario distinguere due casi:

� n pari

� a e b discordi: l’equazione ammette due radici reali opposte bnxa

= ± −= ± −= ± −= ± − , quindi

S b =

na

± −± −± −± − ;

� a e b concordi: l’equazione non ha soluzioni reali, quindi S = ∅;

107

� n dispari

l’equazione ammette una sola radice reale bnxa

= ± −= ± −= ± −= ± − , quindi S b =

na

−−−−

Esempi

Risolviamo le seguenti equazioni binomie:

a) 0322 4 =−x ; b) 044 =+x ; c) 0542 3 =−x ; d) 7 1 0128

x + =

a) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero pari (4).

Osserviamo che a e b sono discordi, pertanto l’equazione ha due soluzioni reali opposte.

Applicando il procedimento descritto in precedenza, si ottiene:

0322 4 =−x ⇒ 164 =x ⇒ 4 16 2x x= ± ⇒ = ± ⇒ { }S 2= ± .

Osserviamo che saremmo arrivati allo stesso risultato scomponendo in fattori il polinomio al

primo membro ed applicando la legge di annullamento del prodotto.

Infatti:

0322 4 =−x ⇒ ( )( )2 22 4 4 0x x− + = ⇒ 2 4 0x − = ⇒ 2x = ± ⇒ { }S 2= ±

b) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero pari (4) e cui a e b sono concordi.

L’equazione non ha soluzione reali, quindi S = ∅.

c) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero dispari (3); pertanto l’equazione ha una

soluzione reale.

Si ottiene:

273 =x ⇒ 3 27x = ⇒ 3x = ⇒ { }S 3= .

Osserviamo che saremmo arrivati allo stesso risultato scomponendo in fattori il polinomio al

primo membro ed applicando la legge di annullamento del prodotto.

Infatti:

0273 =−x ⇒ (differenza di due cubi) ( )( ) 0933 2 =++− xxx ⇒

⇒ 03 =−x ∨ 0932 =++ xx ⇒ 3=x

L’equazione di secondo grado 2 3 9 0x x+ + = , avendo discriminante minore di zero non ha

soluzioni reali.

d) Il grado dell’equazione binomia è espresso da un numero dispari (3); pertanto l’equazione ha

una soluzione reale.

Infatti:

7 1 0128

x + = ⇒ 128

17 −=x ⇒ 7 1128

x = − ⇒ 12

x = − ⇒ { }1S2

= −

108

PROVA TU

1) Senza risolverle, riconosci quali delle seguenti equazioni binomie sono impossibili e quali

ammettono una sola radice reale:

a) 0152 3 =−x b) 0254 =+x c) 0102 6 =−x d) 02435 =−x e) 562 4 =x

2) Risolvi le seguenti equazioni binomie :

a) 0813 3 =+x b) 0813 3 =+x c) 0163 4 =−x d) 0163 4 =+x

ESERCIZIO SVOLTO :

Risolviamo e discutiamo, al variare del parametro reale a, l’equazione binomia 054 =+ax .

Distinguiamo due casi:

• 0=a

l’equazione diventa 05 = . Ovviamente è impossibile, quindi S = ∅;

• 0≠a

esplicitando 4x si ottiene a

x54 −= ;

− se 0<a , l’espressione a

5− è positiva; l’equazione ha due radici reali:

45

ax −±= ⇒ 4 5S

= ±

−−−−a

;

− se 0>a l’espressione a

5− risulta negativa; l’equazione non ha soluzioni reali:

S = ∅.

PROVA TU

1) Data l’equazione binomia ( ) 032 4 =−+ xa completa in modo adeguato lo schema seguente :

se 02 =+a ⇒ ..........=a , l’equazione diventa ……………… e risulta ……………….. ;

se .........≠a si ottiene ...............4 =x da cui :

se 02 >+a ⇒ ........>a l’equazione ha …….. soluzioni reali: .......................±=x ;

se 2 0a + < ⇒ ........<a l’equazione risulta ………………………... .

2) Risolvi e discuti l’equazione binomia 024 =−+ bx al variare del parametro Rb∈ .

14.8 Equazioni trinomie

Osserva il polinomio al primo membro delle seguenti equazioni e completa:

a) 6 39 8 0x x− + = ; b) 4 24 3 1 0y y+ − = ; c) 10 531 32 0v v− − = .

109

• ciascuno dei polinomi in esame è formato da …… termini; esso è un ………………….. ;

• in ciascuno dei polinomi in esame è presente il termine di grado ……. ;

• in ciascuno dei polinomi in esame l’esponente maggiore è il …………… dell’esponente

minore.

Equazioni di questo tipo sono chiamate equazioni trinomie.

Si ha, allora, la seguente definizione:

� Un’equazione si dice trinomia se è del tipo 2 0+ + =+ + =+ + =+ + =n nax bx c , con 0n N∈ e a, b, c numeri

reali non nulli.

Casi particolari

� 1=n : l’equazione è un’equazione di secondo grado completa, già studiata precedentemente;

� 2=n : l’equazione è un’equazione di quarto grado 024 =++ cbxax , detta biquadratica.

Determinare l’insieme soluzione di equazioni di questo tipo non è molto difficile.

� Risolviamo l’equazione a) : 6 39 8 0x x− + = .

Poniamo 3x t= ⇒ ( )26 3 2x x t= = ; sostituendo nell’equazione, si ottiene 2 9 8 0t t− + = .

Risolviamo l’equazione di secondo grado ottenuta:

∆ = …………. > 0; 12

t = ………………………………..

Sostituiamo a t i valori così determinati; si ottengono le equazioni:

� 3 1x = ⇒ { }311 1 S 1x x= ⇒ = ⇒ =

� 3 8x = ⇒ { }328 2 S 2x x= ⇒ = ⇒ =

L’insieme soluzione dell’equazione a) è, dunque, S = { }1 2S S 1,2∪ = .

� Risolviamo l’equazione b): 4 24 3 1 0y y+ − = .

Questa equazione è un’equazione trinomia di quarto grado, quindi è un’equazione biquadratica.

Poniamo ( )22 4 2 2y a y y a= ⇒ = = ; sostituendo nell’equazione, si ottiene 24 3 1 0a a+ − = .


∆ = …………. > 0; 12

a = ………………………………..

Sostituiamo a t i valori così ottenuti; si ottengono le equazioni:

� { }21

1 1 1S4 2 2

y y= ⇒ = ± ⇒ = ±

� 221 Sy = − ⇒ = ∅

L’insieme soluzione dell’equazione b) è, dunque, S = { }1 21S S2

∪ = ± .

110

� Risolviamo l’equazione c): 10 531 32 0v v− − = .

Ripetendo il procedimento seguito per le equazioni degli esempi a) e b), poniamo

( )25 10 ....... ....v v b= ⇒ = = ; sostituendo nell’equazione, si ottiene ……………..……. .


∆ = …………. > 0; 12

b = ………………………………..

Sostituiamo a t i valori così ottenuti; si ottengono le equazioni:

� { }5 51...... ..... ....... S .....v v v= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

� { }5 52...... ..... ....... S .....v v v= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

L’insieme soluzione dell’equazione c) è, dunque, S = { }1 2S S ........, ........∪ = .

Sintetizziamo il procedimento che, in generale, permette di determinare le soluzioni reali

dell’equazione trinomia 02 =++ cbxax nn :

� si opera un cambiamento di variabile ponendo yxn = e, quindi, 22 yx n = ;

� l’equazione trinomia si riduce ad un’equazione di secondo grado: 02 =++ cbyay , detta

equazione risolvente dell’equazione trinomia (*);

� si determinano le soluzioni 1 2e y y dell’equazione risolvente;

� si risolvono le equazioni binomie 1yxn = e 2yxn = ;

� detti S1 e S2 gli insiemi soluzioni delle equazioni binomie, l’insieme soluzione S

dell’equazione trinomia è 1 2S S S= ∪ .

Esempi :

Risolviamo le seguenti equazioni trinomie:

a) 01617 48 =+− xx ; b) 01617 48 =++ xx

a) Seguiamo lo schema illustrato in precedenza:

• operiamo il cambiamento di variabile: yx =4 ;

• l’equazione 01617 48 =+− xx si trasforma nell’equazione di secondo grado

016172 =+− yy ;

• determiniamo le soluzioni dell’equazione risolvente: 11 =y e 162 =y ;

• risolviamo le equazioni binomie che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:

14 =x ⇒ 1±=x ⇒ { }1S 1= ± ,

164 =x ⇒ 2x = ± ⇒ { }2S 2= ± ;

• L’insieme soluzione dell’equazione 01617 48 =+− xx è { }1 2S S S S 1, 2= ∪ ⇒ = ± ± .

111

b) Seguiamo lo schema illustrato in precedenza:

• operiamo il cambiamento di variabile: yx =4 ;

• l’equazione 8 417 16 0x x+ + = si trasforma nell’equazione di secondo grado

016172 =++ yy ;

• determiniamo le soluzioni dell’equazione risolvente: 11 −=y e 162 −=y ;

• risolviamo le equazioni binomie che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:

14 −=x ⇒ 1S = ∅ ,

164 −=x ⇒ 2S = ∅ ;

• L’insieme soluzione dell’equazione 8 417 16 0x x+ + = è 1 2S S S S= ∪ ⇒ = ∅ .

ATTENZIONE

L’equazione 089 26 =++ xx non è una equazione trinomia perché 6 non è il doppio di 2.

PROVA TU

1) Risolvi le seguenti equazioni trinomie :

a) 011232 36 =+− xx 3 21S ;

2 2 =

b) 043 48 =−− xx { }S 2 = ±

2) Data l’equazione 036 =++ cbxax quale condizione deve essere verificata affinchè essa

ammetta radici reali ? In tal caso quante sono le sue soluzioni reali ?

OSSERVAZIONE

Un’equazione biquadratica 024 =++ cbxax è una particolare equazione trinomia che si riduce ad

una equazione di secondo grado con la sostituzione di variabile yx =2 .

Le sue soluzioni reali, se esistono, sono date dalle soluzioni delle due equazioni binomie di secondo

grado 12 yx = e 2

2 yx = , dove 2 1 e yy sono le soluzioni reali dell’equazione risolvente di

secondo grado.

Un’equazione biquadratica, essendo di quarto grado, può avere , al massimo, quattro soluzioni reali.

Facendo un semplice ragionamento si può osservare che le soluzioni reali della biquadratica

saranno effettivamente quattro se l’equazione risolvente avrà discriminante maggiore di zero

e se entrambe le sue radici sono positive.

112

Quali condizioni devono verificare i coefficienti di un’equazione biquadratica affinchè essa abbia

due sole soluzioni reali ? …………………………………………………………………………. .

E quali condizioni devono essere verificate affinchè essa non abbia alcuna soluzione reale ?

…………………………………………………………………………………………………… .

PROVA TU

1) Risolvi le seguenti equazioni biquadratiche :

a) 03134 24 =+− xx ; b) 0152 24 =−− xx { } { }1S , 3 ; S 52

= ± ± = ±

c) 03613 24 =++ xx ; d) 09103 24 =++ xx [ ]S ; S= ∅ = ∅

2) Senza risolverle, stabilisci il numero di soluzioni reali delle seguenti equazioni biquadratiche :

a) 0372 24 =+− xx ; b) 0592 24 =−+ xx ; c) 0154 24 =++ xx

3) Scrivi un’equazione biquadratica avente per soluzioni i numeri 3

2 ;

2

1 ±± .

14.9 Equazioni risolubili con particolari sostituzioni

Ci proponiamo di risolvere l’equazione ( ) ( ) 06252 222 =+−−− xx .

Probabilmente, la prima cosa che ci viene in mente è quella di svolgere i calcoli indicati e ridurla a

forma normale.

Così facendo, otteniamo un’equazione che presenta al primo membro un polinomio di quarto grado.

Ricorda, però, è sempre opportuno riflettere prima di agire!

La forma dell’equazione ( ) ( ) 06252 222 =+−−− xx è simile a quella di un’equazione trinomia, il

primo membro, infatti, è formato da tre termini e sono presenti due potenze i cui esponenti sono uno

il doppio dell’altro.

La differenza è che la base delle potenze non è la variabile dell’equazione (x), ma una espressione

che dipende da essa, cioè una funzione.

Per risolvere questa equazione, possiamo seguire lo schema indicato per la risoluzione delle

equazioni trinomie:

• operiamo il cambiamento di variabile: 22 −= xy ;

• l’equazione ( ) ( ) 06252 222 =+−−− xx si trasforma nell’equazione di secondo grado

2 5 6 0y y− + = ;

• determiniamo le soluzioni dell’equazione risolvente: 2 1 =y e 3 2 =y ;

• risolviamo le equazioni che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:

113

222 =−x ⇒ 2 4x = ⇒ 2±=x ⇒ { }1S 2= ±

322 =−x ⇒ 52 =x ⇒ 5±=x ⇒ { }2S 5= ±

• L’insieme soluzione dell’equazione ( ) ( ) 06252 222 =+−−− xx è:

{ }1 2S S S S 2, 5= ∪ ⇒ = ± ± .

Adesso generalizziamo.

Equazioni della forma

( ) ( )2( ) ( ) 0

n na f x b f x c+ + = ,

dove f(x) è un’espressione algebrica nella variabile x, come le equazioni trinomie, possono essere

ricondotte ad equazioni di secondo grado operando il cambiamento di variabile ( )( ) ====n

f x y .

Esempio

Risolviamo l’equazione 0282

32

24

=−

++

+x

x

x

x.

Osserviamo che questa equazione è del tipo ( ) ( )2( ) ( ) 0

n na f x b f x c+ + = ; infatti:

( ) 2xf xx+= ; n = 2

Operiamo il cambiamento di variabile: ( )22x y

x+ = ;

l’equazione 0282

32

24

=−

++

+x

x

x

x diventa 02832 =−+ yy ;

determiniamo le soluzioni dell’equazione di secondo grado ottenuta: 1 7y = − , 2 4y = ;

risolviamo le equazioni che si ottengono sostituendo ad y i valori ottenuti:

42

2

=

+x

x ⇒ 2

2 ±=

+x

x ⇒ 2 22 2x x

x x+ += ∨ = − ⇒

⇒ 2=x , 3

2−=x ⇒ { }12S ,23

= − ,

72

2

−=

+x

x ⇒ 2S = ∅

L’insieme soluzione dell’equazione 0282

32

24

=−

++

+x

x

x

x è:

{ }1 22S S S S ,23

= ∪ ⇒ = − .

114

PROVA TU

Mediante opportune sostituzioni, riconduci le seguenti equazioni ad equazioni di secondo grado e

risolvile in R:

a) ( ) ( ) 012112242 =−−−− xx { }S 3 = ±

b) ( ) ( ) 032133152102 =+−−− xx { }S 2; 3 = ± ±

14.10 Equazioni reciproche

Consideriamo le seguenti equazioni:

a) 3 23 7 7 3 0x x x+ − − = ; b) 4 3 26 5 38 5 6 0b b b b− − − + = ;

c) 4 312 25 25 12 0t t t+ − − = ; d) 5 4 3 212 8 45 45 8 12 0p p p p p+ − − + + = .

Osserviamo che:

• tutte le equazioni sono ridotte a forma normale;

• il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile.

Spostiamo, adesso, la nostra attenzione sui coefficienti dei termini del polinomio; notiamo che:

� nelle equazioni a) e c)

� i coefficienti del primo ed ultimo termine sono opposti;

� i coefficienti del secondo e penultimo termine sono opposti.

� nelle equazioni b) e d)

� i coefficienti del primo ed ultimo termine sono uguali;

� i coefficienti del secondo e penultimo termine sono uguali;

� i coefficienti del terzo e terzultimo termine sono uguali (equazione g)).

Possiamo, allora, dire che in queste equazioni i termini equidistanti dagli estremi sono uguali

oppure opposti.

� Risolviamo l’equazione a): 3 23 7 7 3 0x x x+ − − =

Osserviamo che la somma dei coefficienti del polinomio è zero, quindi esso è divisibile per

( )1x− ; scomponendo in fattori, allora, otteniamo:

3 23 7 7 3 0x x x+ − − = ⇒ ( )( )21 3 10 3 0x x x− + + = ;

applichiamo la legge di annullamento del prodotto:

• { }11 0 1 S 1x x− = ⇒ = ⇒ =

• { }21 2 2

1 13 10 3 0 3, S 3,3 3

x x x x+ + = ⇒ = − = − ⇒ = − −

L’insieme soluzione del’equazione è S = { }1 21S S 3, ,13

∪ = − − .

115

� Risolviamo l’equazione b): 4 3 26 5 38 5 6 0b b b b− − − + =

Applicando due volte il teorema del resto, otteniamo:

4 3 26 5 38 5 6 0b b b b− − − + = ⇒ ( )( )3 22 6 17 4 3 0b b b b+ − − + = ⇒

( )( )( )22 3 6 1 0b b b b ⇒ + − + − = ;


• { }12 0 2 S 2b b+ = ⇒ = − ⇒ = −

• { }23 0 S 3b b− = ⇒ = 3 ⇒ =

• { }21 2 3

1 1 1 16 1 0 = = S ,2 3 2 3

b b b b+ − = ⇒ − , ⇒ = − .

L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S = { }1 2 31 1S S S 2, , ,32 3

∪ ∪ = − − .

La stessa equazione può essere risolta senza scomporre il polinomio in fattori.

Dividiamo, infatti, il polinomio per b2 (divisione lecita, perché?); si ottiene:

4 3 26 5 38 5 6 0b b b b− − − + = ⇒ 22

5 66 5 38 0b bb b

− − − + = ;

osserviamo che il primo e l’ultimo termine del polinomio hanno in comune il fattore 6, il

secondo ed il penultimo termine hanno in comune il fattore 5; operiamo dunque il raccoglimento

parziale:

22

5 66 5 38 0b bb b

− − − + = ⇒ ( )22

1 16 38 5 0b bbb

+ − − + =

Osserviamo che ( )22

21 1 2b b

bb+ = + − ; sostituendo nell’equazione precedente si ha:

( )22

1 16 38 5 0b bbb

+ − − + =

⇒ ( ) ( )21 16 1 2 38 5 1 0b b

+ − − − + =

Ponendo 1b hb

+ = , l’equazione diventa:

( )26 2 38 5 0h h− − − =

L’ultima equazione è un’equazione di secondo grado; dopo averla ridotta a forma normale,

determiniamone l’insieme soluzione:

26 12 38 5 0h h− − − = ⇒ 26 5 50 0h h− − = ⇒ 1 25 102 3

h h= − , =

Poiché ( )1h bb

= + , otteniamo le seguenti equazioni:

116

� { }21 2 1

1 5 1 12 5 2 0 2, S 2,2 2 2

b b b b bb

+ = − ⇒ + + = ⇒ = − = − ⇒ = − − ;

� { }21 2 2

1 10 1 110 3 0 3 S ,33 3 3

b b b b bb

+ = ⇒ 3 − + = ⇒ = , = ⇒ =

L’insieme soluzione dell’equazione è S = { }1 21 1S S 2, , ,32 3

∪ = − − .

� Risolviamo l’equazione c): 4 312 25 25 12 0t t t+ − − = .

Osserviamo che la somma dei coefficienti dei termini del polinomio è zero, quindi il polinomio è

divisibile per 1t − ; inoltre è facile verificare che −1 è una radice del polinomio, quindi esso è

divisibile anche per 1t + .

Scomponendo in fattori l’equazione data, si ottiene:

4 312 25 25 12 0t t t+ − − = ⇒ ( ) ( ) ( )21 1 12 25 12 0t t t t− + + + = ;


� { }11 0 1 S 1t t− = ⇒ = ⇒ = ;

� { }21 0 1 S 1t t+ = ⇒ = − ⇒ = − ;

� { }21 2 3

4 3 4 312 25 12 0 S ,3 4 3 4

t t t t+ + = ⇒ = − , = − ⇒ = − − .

L’insieme soluzione dell’equazione è S = { }1 2 34 3S S S , 1, ,13 4

∪ ∪ = − − −

� Risolviamo l’equazione g): 5 4 3 212 8 45 45 8 12 0p p p p p+ − − + + = .

Verifica che, applicando più volte il teorema del resto e successivamente la legge di

annullamento del prodotto, l’insieme soluzione dell’equazione è S = { }3 2 1, 1, , , 22 3 2

− − − .

Possiamo riepilogare i risultati ottenuti nella seguente tabella:

Equazione Coefficienti dei termini

equidistanti dagli estremi Insieme soluzione

3 23 7 7 3 0x x x+ − − = opposti S = { }13, ,13

− −

4 3 26 5 38 5 6 0b b b b− − − + = uguali S = { }1 12, , ,32 3

− −

4 312 25 25 12 0t t t+ − − = opposti S = { }4 3, 1, ,13 4

− − −

5 4 3 212 8 45 45 8 12 0p p p p p+ − − + + = uguali S = { }3 2 1, 1, , , 22 3 2

− − −

117

Osserviamo la colonna “Insieme soluzione”: gli insiemi soluzione di ciascuna delle precedenti

equazioni hanno qualcosa in comune?

� l’equazione 3 23 7 7 3 0x x x+ − − = ha, fra le soluzioni, i numeri −−−−3 e 13

−−−− ; questi due numeri

sono uno il reciproco dell’altro ;

� l’equazione 4 3 26 5 38 5 6 0b b b b− − − + = ha, fra le soluzioni, i numeri −−−−2 e 12

−−−− che sono

uno il reciproco dell’altro , così come 3 e 13

che sono uno il reciproco dell’altro ;

� l’equazione 4 312 25 25 12 0t t t+ − − = ha, fra le soluzioni, i numeri 43

−−−− e ........

−−−− che sono

uno il ……………… dell’altro ;

� l’equazione 5 4 3 212 8 45 45 8 12 0p p p p p+ − − + + = ha, fra le soluzioni, i numeri 2 e 12

che sono uno il ……………… dell’altro , così come 32

−−−− e 2....

−−−− che sono uno il

………………… dell’altro .

Possiamo, allora, generalizzare (ed è possibile anche dimostrare):

Equazioni (ridotte a forma normale e ordinate secondo le potenze decrescenti della variabile di

grado 3n ≥ ) nelle quali i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi

sono uguali o opposti, se hanno come soluzione un numero reale a, allora hanno come

soluzione anche il suo reciproco 1a

.

Per questo motivo, equazioni di questo tipo prendono il nome di equazioni reciproche.

Possiamo dare, allora, la seguente definizione.

� Si dice reciproca un’equazione del tipo 0)( =xP dove )(xP è un polinomio ordinato secondo

le potenze decrescenti o crescenti dell’a variabile x nel quale i coefficienti dei termini estremi e

di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali o opposti.

Inoltre:

� se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali

l’equazione si dice di prima specie;

� se i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti

l’equazione si dice di seconda specie .

118

Osservando ancora la tabella precedente, possiamo dedurre che:

• equazioni reciproche di grado dispari hanno, fra le soluzioni, il numero 1 se i coefficienti

dei termini equidistanti dagli estremi sono opposti (equazioni reciproche di prima specie);

hanno, fra le soluzioni, il numero −−−−1 se i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi

sono uguali (equazioni reciproche di seconda specie);

• equazioni reciproche di grado pari hanno, fra le soluzioni, i numeri 1 e −−−−1 solo se i

coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi sono opposti (equazioni reciproche di

seconda specie).

Le proprietà dedotte con le precedenti osservazioni sono generali.

Infatti, è possibile dimostrare, applicando il teorema del resto, al polinomio )(xP , che un’equazione

reciproca:

• di grado dispari di prima specie ammette sempre come soluzione 1− ;

• di grado dispari di seconda specie ammette sempre come soluzione 1 ;

• di grado pari di seconda specie ammette sempre come soluzioni 1 e 1− .

Osservazione

Le equazioni reciproche di terzo grado, oltre che con l’applicazione del Teorema del resto, possono

essere abbassate di grado anche attraverso il raccoglimento parziale, come illustrato nell’esempio

seguente.

Puoi scegliere, quindi, in quale modo abbassarle di grado; forse, in presenza di coefficienti

irrazionali o letterali è preferibile applicare il Teorema del resto.

Esempio

Risolviamo l’equazione reciproca di terzo grado di prima specie, 0144 23 =+−− xxx .

Applicando la proprietà commutativa e associativa, possiamo scrivere:

0144 23 =+−− xxx ⇒ ( ) ( )3 21 4 4 0x x x+ − + = ;

Scomponendo in fattori ( )3 1x + (somma di due cubi) e ( )24 4x x+ , si ottiene:

( ) ( )3 21 4 4 0x x x+ − + = ⇒ ( )( ) ( ) 01411 2 =+−+−+ xxxxx ;

Possiamo, adesso, operare il raccoglimento a fattor comune, perché i due termini della somma

algebrica hanno un fattore uguale (1x+ ); si ha, quindi:

( )( ) ( ) 01411 2 =+−+−+ xxxxx ⇒ ( )( )21 1 4 0x x x x+ − + − = ⇒ ( )( ) 0151 2 =+−+ xxx

119

Applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottengono le due equazioni:

{ }11 0 1 S 1x x+ = ⇒ = − ⇒ = − ;

12

22

5 21 5 215 1 0 S2 2

x x x ± ±− + = ⇒ = ⇒ =

L’insieme soluzione dell’equazione data è 1 25 21S S S S 1,

2 ±= ∪ ⇒ =

.

Osserviamo che le soluzioni 15 21

2x −= e 2

5 212

x += sono effettivamente una la reciproca

dell’altra in quanto il loro prodotto è 5 21 5 21 12 2

− +⋅ = .

PROVA TU

1) Stabilisci se le seguenti equazioni reciproche sono di prima o seconda specie :

a) 02992 23 =−+− xxx I II

b) 3 23 5 5 3 0c c c− − + = I II

c) 4 3 24 3 4 1 0z z z z− − − + = I II

d) 4 32 3 3 2 0t t t− + − = I II

e) 5 4 3 25 3 2 2 3 5 0m m m mx m− − + + − = I II

2) Completa le seguenti equazioni in modo che risultino reciproche di prima specie:

a) 3 22 7 .............................. 0y y− + = ;

b) 4 3..... 5 ..................... 7 0b b− + =

3) Completa le seguenti equazioni in modo che risultino reciproche di seconda specie:

a) 5 4 23 ....... 4 .................... 0s s s− + − = ;

b) 3 ......... 2..................... 0a − + =

4) Osservando che un’equazione reciproca di quarto grado seconda specie si può scrivere nella

forma 034 =−−+ abxbxax , dimostra che essa ha, sempre, 1±=x come soluzioni.

Riassumiamo, negli esempi seguenti, i procedimenti che consentono di risolvere equazioni

reciproche di prima e seconda specie.

Esempi

� Risolviamo l’equazione 0413134 23 =+−− xxx .

Prima di tutto classifichiamo l’equazione.

120

Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di terzo grado di

prima specie. Quindi:

• essa ammette la soluzione 1−=x ;

• il polinomio a primo membro è divisibile per il binomio 1+x ed il quoziente è 4174 2 +− xx ;

• l’equazione diventa ( )( ) 041741 2 =+−+ xxx ;

• applicando la legge di annullamento del prodotto si ottiene:

1 0x+ = ⇒ 1−=x ⇒ { }1S 1= − ;

24 17 4 0x x− + = ⇒ 4=x , 4

1=x ⇒ { }21S ,44

= ;

• L’insieme soluzione dell’equazione 0413134 23 =+−− xxx è S = { }1 21S S 1, ,44

∪ = − .

� Risolviamo l’equazione 0531315 23 =−+− xxx .

Classifichiamo l’equazione.

Completa

Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di terzo grado di

……………. specie. Quindi:

• ammette la soluzione 1=x ;

• il polinomio a primo membro è divisibile per il binomio …...... ed il quoziente è

……………………………………...;

• l’equazione diventa ( )( )1 ................................. 0x− = ;

• applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:

• 1 0x− = ⇒ 1x = ⇒ { }1S 1= ;

• ……………………….. = 0 ⇒ x = 5, x = ……. ⇒ { }2S ......,5= ;

• L’insieme soluzione dell’equazione 0531315 23 =−+− xxx è S = { }1 2S ......S 1,.......,5= .

� Risolviamo l’equazione 0334343 34 =−+− xxx .

Classifichiamo l’equazione.

Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che è una equazione reciproca di quarto grado di

seconda specie. Quindi:

• ammette le due soluzioni 1, 1x x= − = ;

• il polinomio a primo membro è divisibile sia per il binomio 1x+ che per il binomio 1x− ;

• scomponendo il fattori il polinomio a primo membro, l’equazione diventa

( )( )( ) 0334311 2 =+−+− xxxx ;

121

• applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene:

1 0x− = ⇒ 1x = ⇒ { }1S 1= ;

1 0x+ = ⇒ 1x = − ⇒ { }2S 1= − ;

23 4 3 3 0x x− + = ⇒ 3=x , 3

1=x ⇒ 31S 3,3

=

• L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S = 1 2 31S S S 1,1, , 33

∪ ∪ = −

.

� Risolviamo l’equazione 4 3 212 4 41 4 12 0x x x x+ − + + = .

Osservando i suoi coefficienti possiamo dire che essa è una equazione reciproca di quarto grado

di prima specie.

È possibile determinarne le soluzioni scomponendo in fattori il polinomio al primo membro e

applicando, successivamente, la legge di annullamento del prodotto.

Seguiremo, invece, un'altra strada:

• dividiamo tutti i termini per 2x , operazione lecita in quanto 0=x non è soluzione

dell’equazione; si ottiene:

4 3 212 4 41 4 12 0x x x x+ − + + = ⇒ 22

4 1212 4 41 0x xx x

+ − + + =

• operiamo un raccoglimento parziale: fra il primo ed ultimo termine raccogliamo a fattor

comune il fattore 12, fra il secondo e il penultimo termine il fattore 4; si ha:

22

4 1212 4 41 0x xx x

+ − + + = ⇒ ( )22

1 112 4 41 0x xxx

+ + + − =

• operiamo un cambiamento di variabile: tx

x =+ 1 ⇒ 2 2

21 2x tx

+ = − ;

• l’equazione precedente diventa: ( )212 2 4 41 0t t− + − = ⇒ 212 4 65 0t t+ − = ;

• risolvendo l’equazione di secondo grado, si ottiene 52

t = − , 136

t = ;

• sostituendo i valori di t così ottenuti, otteniamo le due equazioni:

1 52

xx

+ = − ⇒ 12

x = , 2x = ⇒ { }11S ,22

=

1 136

xx

+ = ⇒ 23

x = , 32

x = ⇒ { }22 3S ,3 2

=

• L’insieme soluzione dell’equazione è l’insieme S = { }1 21 2 3S S , , ,2 3 2

∪ = 2 .

122

PROVA TU

1) Risolvi le seguenti equazioni reciproche:

a) 0743437 23 =−−+ xxx { }1S 1, 7,7

= − −

b) 4 315 34 34 15 0s s s− + − = { }5 3S 1,1 ,3 5

= −

c) 081469148 234 =+−−− xxxx { }1 1S 2, , , 42 4

= − −

d) 0334343 34 =−+− xxx 1S 1,1, 3,3

= −

2) Risolvi la seguente equazione reciproca di quarto grado di prima specie senza applicare la legge

di annullamento del prodotto:

01049784910 234 =+−+− xxxx { }2 5S 1, ,5 2

=

14.11 Equazioni riconducibili ad equazioni di primo e secondo grado mediante la

scomposizione in fattori

Nei paragrafi precedenti abbiamo imparato a risolvere particolari equazioni di grado superiore al

secondo.

In altri casi, la legge di annullamento del prodotto rappresenta uno strumento molto utile per la

risoluzione di questo tipo di equazioni.

Infatti, equazioni che si presentano nella forma P1(x) ⋅ P2(x) ⋅ …..⋅ Pn(x) = 0, (dove P1(x), P2(x),

….., Pn(x) sono polinomi di primo o secondo grado) si risolvono applicando la legge di

annullamento del prodotto e, quindi, trovando i valori di x che annullano ogni singolo fattore.

� Ad esempio, consideriamo l’equazione 0)4)(3)(13( 22 =+−− xxxx .

Per determinare le sue soluzioni è sufficiente applicare la legge di annullamento del prodotto

ottenendo, così, equazioni di primo e secondo grado:

013 =−x ⇒ 13

x = ⇒ { }11S3

= ;

032 =− xx ⇒ 0=x , 3x = ⇒ { }2S 0, 3= ;

042 =+x ⇒ S3 = ∅.

L’insieme soluzione dell’equazione 0)4)(3)(13( 22 =+−− xxxx è S = { }1 21S S 0, , 33

∪ = .

123

� Risolviamo l’equazione ( ) 0)5(1 24 =+− xx .

Ancora una volta applichiamo la legge di annullamento del prodotto:

( ) 01 4 =−x ⇒ 1 0x− = (ripetuto 4 volte) ⇒ x = 1 (soluzione con molteplicità 4) ⇒ { }1S 1= ;

2 5 0x + = ⇒ S2 = ∅.

L’insieme soluzione dell’equazione ( ) 0)5(1 24 =+− xx è S = { }1S 1= .

Osserviamo che, per determinare l’insieme soluzione di queste equazioni, abbiamo risolto equazioni

di primo e secondo grado; si dice, allora, che le equazioni sono state abbassate di grado.

Talvolta, (secondo esempio), le soluzioni di una equazione possono non essere distinte; se una

soluzione è presente, ad esempio, s volte si dice che essa compare con molteplicità s.

In generale, allora, abbassare di grado un’equazione algebrica vuol dire scriverla come prodotto

di due o più fattori , ciascuno di essi di grado inferiore a quello dell’equazione data.

Esempi

� Risolviamo l’equazione 0632 23 =+−− xxx

Il polinomio 3 22 3 6x x x− − + è scomponibile in fattori:

operando il raccoglimento parziale si ottiene:

)3()2()2(3)2(632 2223 −⋅−=−⋅−−⋅=+−− xxxxxxxx ,

è possibile, allora, abbassare di grado l’equazione; si ha:

0632 23 =+−− xxx ⇒⇒⇒⇒ 0)3()2( 2 =−⋅− xx ;

applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottengono le seguenti equazioni:

2 0x− = ⇒ 2x = ⇒ { }1S 2= ;

2 3 0x − = ⇒ 3, 3x x= − = ⇒ { }2S 3= ±

L’insieme soluzione dell’equazione 0632 23 =+−− xxx è S = { }1 2S S 3, 2∪ = ± .

� Risolviamo l’equazione 0652 23 =+−− xxx .

Per scomporre in fattori il polinomio ( ) 3 2P 2 5 6x x x x= − − + applichiamo il teorema del resto.

Osserviamo che ( )P 1 0= , quindi ( )P x è divisibile per il binomio )1( −x .

Applicando la regola di Ruffini, si ottiene 3 2 22 5 6 ( 1)( 6)x x x x x x− − + = − − − ;

abbassiamo di grado l’equazione:

0652 23 =+−− xxx ⇒ 0)6)(1( 2 =−−− xxx

124

Applicando la legge di annullamento del prodotto, risolviamo le equazioni:

{ }11 0 1 S 1x x− = ⇒ = ⇒ =

{ }226 0 2, 3 S 2,3x x x x− − = ⇒ = − = ⇒ = −

L’insieme soluzione dell’equazione 0652 23 =+−− xxx è S = { }1 2S S 2,1, 3∪ = − .

PROVA TU

Dopo averle abbassate di grado, risolvi le seguenti equazioni:

a) 02 24 =− xx b) 0842 23 =+−− xxx c) 0652 23 =+−− xxx

Osservazione

Ricordiamo due teoremi che forniscono un criterio per la individuazione di eventuali radici intere

razionali di un’equazione a coefficienti interi o razionali.

Essi sono molto utili quando è necessario abbassare di grado una equazione.

Teorema 1

Le eventuali soluzioni intere di un’equazione algebrica del tipo 0....1 =++++ − pmxbxax nn , a

coefficienti in Z, sono da ricercare tra i divisori del termine noto p dell’equazione.

Teorema 2

Le eventuali soluzioni razionali di un’equazione algebrica del tipo 0....1 =++++ − pmxbxax nn , a

coefficienti in Z, sono da ricercare tra le frazioni irriducibili s

r con r divisore del termine noto p e

s divisore del primo coefficiente a.

Esempio

� Consideriamo l’equazione di terzo grado 0482 23 =−+− xxx .

Se essa ammette come soluzione una frazione ridotta ai minimi termini del tipo s

r , r sarà uno

dei divisori del termine noto (4) e s sarà uno dei divisori del coefficiente del termine di grado

massimo (2).

I divisori di 4 sono: 4 , 2 ,1 ±±± ; i divisori di 2 sono: 2 , 1 ±± : i numeri razionali che possono

essere soluzioni dell’equazione sono da ricercarsi fra i seguenti: 4 , 2 , 2

1 , 1 ±±±± .

Poichè ( )1P 02

= , possiamo dire che il numero razionale 2

1 è soluzione dell’equazione.

125

Abbassando di grado l’equazione, determina, se esistono, le altre soluzioni reali dell’equazione

data.

PROVA TU

1) Dopo averla abbassata di grado, risolvi l’equazione 0306 23 =−−+ xxx .

2) Risolvi, nell’insieme R, le seguenti equazioni:

a) ( ) ( )22 6 2 1 0x x+ − + = b) ( ) ( )xxx 23432 −⋅=−⋅

c) ( ) ( ) 0321 34 =−⋅− xx d) ( ) ( ) 021 44 =++− xx

e) ( ) ( ) 014242 =−+− xxx f) ( ) 014 4 =−−x (differenza di due quadrati )

g) ( )

01

432

2

=−

−−x

x

ESERCIZIO SVOLTO

Scriviamo un’equazione di terzo grado avente come soluzioni 1=x , 2=x , 3−=x .

Per quanto osservato in precedenza, le soluzioni di un’equazione del tipo ( )P x = 0 sono anche zeri

di ( )P x e, pertanto, ( )P x = ( ) ( ) ( )1 2 3x x x− ⋅ − ⋅ + .

Una equazione che soddisfa le condizioni richieste è ( ) ( ) ( ) 0321 =+⋅−⋅− xxx .

Riduciamo a forma normale: ( ) ( ) ( ) 0321 =+⋅−⋅− xxx ⇒ 3 7 6 0x x− + = .

Tale equazione non è unica; infatti anche l’equazione ( ) ( ) ( ) 03212 =+⋅−⋅−⋅ xxx verifica le

condizioni poste.

PROVA TU

Determina un’equazione di terzo grado avente come soluzioni 2=x , 2−=x , 1−=x .

Determina un’equazione di quarto grado avente come uniche soluzioni reali 2±=x .

126


Equazioni di secondo grado


1) Inserisci negli spazi vuoti le seguenti formule:

0b = ; 1 2 e c cx xa a

= − = − − ; 1 0x = ; 2bxa

= − ; 2bxa

= − ;

0x = ; 1 2bx

a− − ∆= ; 2 0ax bx c+ + = ; 0∆ > ; 0ac< ;

0a ≠ ; 2 2bx

a− + ∆= ; 0b c= = ; 0b ≠ ; 0c = ;

0c ≠ ; 1 2 2bx xa

= = − ; 1 2 0x x= = ; 0∆ = ; 0∆ < ;

2 4b ac∆ = − .

a) Un’equazione di secondo grado …………………… con …………………… è monomia se

……………………… , è spuria se ……..……………… e ……………………. , è pura se

…………………… e …………………… , mentre è completa se anche b e c sono diversi

da zero.

b) Un’equazione monomia ha sempre un’unica soluzione ……………………… . In questo

caso si dice anche che l’equazione ha una soluzione doppia o che le due soluzioni sono

coincidenti ……………………… .

c) Un’equazione pura ha soluzioni solo se …………….………… e in tal caso le soluzioni sono

i due valori opposti ………………….…… .

d) Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte, di cui una è ……………………… e

l’altra è …………………….… .

e) Il numero di soluzioni di un’equazione completa dipende dal discriminante

………………………… : se ………………...…………… , l’equazione non ha soluzioni;

se ………………………… l’equazione ha un’unica soluzione …………….………… o due

coincidenti ……………………… , altrimenti, se …………………… , ha due soluzioni

distinte ……………………… e …………..…………… .

127

2) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a) L’equazione 02 =++ cbxax è pura se 0 e 0 , 0 =≠≠ bca . V F

b) L’equazione 02 =++ cbxax è spuria se 0 e 0 , 0 ==≠ bca . V F

c) Il discriminante di 02 =++ cbxax è acb 4−=∆ . V F

d) Se il discriminante è positivo, le soluzioni di 02 =++ cbxax sono V F

a

bx

21

∆−−= e a

bx

22

∆+−= .

e) Un’equazione monomia ha sempre un’unica soluzione pari a 1. V F

f) Un’equazione pura ha sempre due soluzioni. V F

g) L’equazione 02 =+ cax può non avere soluzioni. V F

h) L’equazione 02 =+ cax ha sempre due soluzioni opposte se a e c sono V F

concordi.

i) Se una soluzione di un’equazione di secondo grado è zero, allora l’equazione V F

è spuria.

j) L’equazione 02 =+ bxax non ha soluzioni se a e b hanno lo stesso segno. V F

3) Quale delle seguenti è un’equazione di secondo grado pura?

a) x2 −4x = 0;

b) 3x2 + 2 = 0;

c) 3x + 2 = 0;

d) 2x2 – 2x + 1 = 0.

4) Quale delle seguenti è un’equazione di secondo grado spuria?

a) x2 + 3x = 0;

b) (- 4x2 )+ 1 = 0

c) 4x +5 = 0

d) x2 − 4x + 3 = 0

5) Per quale valore di k l’equazione ( ) 05)2(23 2 =−+−+ kxkxk è pura?

a) Per nessun valore di k.

b) 0=k .

c) 2−=k .

d) 2=k .

128

6) Per quale valore di k l’equazione ( ) 05)2(23 2 =−+−+ kxkxk è monomia?


b) 0=k .

c) 2−=k .

d) 2=k .

7) Per quale valore di k l’equazione ( ) 05)2(23 2 =−+−+ kxkxk è spuria?


b) 0=k .

c) 2−=k .

d) 2=k .

8) Quale delle seguenti equazioni ha due soluzioni coincidenti?

a) 3x2 + 2x + 2 = 0;

b) x2+ 4x − 3=0;

c) 3x2 – 6x + 3 = 0;

d) x2 – 2x + 4 = 0.

9) Tra le seguenti equazioni di secondo grado incomplete, quale è impossibile?

a) 2x2 − 7x = 0

b) x2 – 4 = 0

c) 3x + 2x2 = 0

d) x2 + 36 = 0

10) Una sola delle seguenti coppie di numeri è soluzione dell'equazione 091 2 =− x ; quale?

a) 31

1 +=x e 31

2 −=x .

b) 31 =x e 32 −=x .

c) 321 == xx .

d) 021 == xx .

11) Quale delle seguenti equazioni ha due soluzioni coincidenti?

a) 3x2 + 2x + 2 = 0;

b) x2 + 4x − 3=0;

c) 3x2 – 6x + 3 = 0;

d) x2 – 2x +4 = 0

129

12) Quante sono le soluzioni dell'equazione 03321 2 =+− xx ?

a) 1; b) 2; c) 0; d) più di due.

13) Quante sono le soluzioni dell'equazione 012123 2 =+− xx ?

a) 1; b) 2; c) 0; d) più di due.

14) Quante sono le soluzioni dell'equazione 0141

21 2 =++ xx ?

a) 1; b) 2; c) 0; d) più di due.

15) Quante sono le soluzioni dell'equazione 12 =− x ?

a) 1; b) 2; c) 0; d) più di due.

16) Il discriminante dell’equazione 4x2 + x – 3 = 0 è:

a) 56; b) 49; c) 7; d) 13.

17) Il discriminante dell’equazione x2 – 4x +3 = 0 è:

a) 4; b) −4; c) 1; d) −1

18) Vero o Falso?

a) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è positivo, l’equazione V F

ha due soluzioni positive.

b) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è un quadrato perfetto, V F

l’equazione ha due soluzioni intere.

c) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è negativo, l’equazione V F

ha soluzioni irrazionali.

d) Un’equazione spuria ha sempre due soluzioni l’una reciproca dell’altra. V F

e) L’equazione 31

31 2 =x ha due soluzioni, l’una inversa e opposta dell’altra. V F

f) L’equazione 0221 2 =−x ha due soluzioni opposte. V F

g) L’equazione 022 =−x non ha soluzioni. V F

h) L’equazione 05 2 =x ha due soluzioni coincidenti 5−=x . V F

i) L’equazione 03 2 =− xx ha una soluzione uguale a quella di 03 =− x . V F

130

19) L’equazione 5x2 + kx = 0 ha come soluzioni x = 0 e x = −2. Per quale valore di k questa

affermazione è vera?

a) 10; b) −10; c) 2; d) −2

20) L’insieme S = { }2± è l’insieme soluzione dell’equazione 2 16 0kx − = . Per quale valore di k

questa affermazione è vera?

a) 4; b) −4; c) 8; d) −8.

21) Per quale valore di a l’equazione 092 =+− axx ha come soluzione il numero 1?

a) Per nessun valore di a.

b) 1=a .

c) 10a = − .

d) 10a = .

22) Per quali valori di a l’equazione 092 =+− axx ha una sola soluzione?

a) Per nessun valore di a; b) 2=a ∨ 2−=a ; c) 3=a ∨ 3−=a ; d) 6=a ∨ 6−=a .

23) Per quali valori di a l’equazione 041 2 =− ax non ha soluzione?

a) Per nessun valore di a; b) 0≥a ; c) 0<a ; d) 4≥a .

24) Le seguenti affermazioni si riferiscono all'equazione 0103349 2 =−+ xx . Una sola di esse è

corretta; quale?

a) ha entrambe le soluzioni intere.

b) ha entrambe le soluzioni numeri razionali.

c) ha entrambe le soluzioni numeri irrazionali.

d) non ha soluzioni reali.

25) Vero o Falso?

a) Le equazioni 012123 2 =++ xx e 0105 =+x sono equivalenti. V F

b) 0232 =+− xx e 0)1)(2( =−− xx sono equivalenti. V F

c) 0442 =+− xx e 02 =−x non sono equivalenti. V F

d) 042 =− xx e xx =2

41

hanno le stesse soluzioni. V F

e) 112

x = − è soluzione di 0132 2 =+− xx . V F

131

f) L’equazione 03103 2 =+− xx ha due soluzioni, una la reciproca dell’altra. V F

g) Se il discriminante di un’equazione di secondo grado è nullo, l’equazione V F

non ha soluzione.

26) Uno solo, fra i seguenti, è l’insieme soluzione dell’equazione 3x2 − x 3 − 2 = 0; quale?

a) S = 33

±

; b) S = 2 33

±

;

c) S = 3 2 3,3 3

−

3; d) S = ∅

27) Uno solo, fra i seguenti, è l’insieme soluzione dell’equazione x2 – 6x + 9 = 0; quale?

a) S = { }3± ; b) S = { }3 ;

c) S = { }3− ; d) S = ∅

28) Quali sono le soluzioni dell'equazione 0165 2 =++ xx ?

a) 11 =x e 51

2 =x ; b) 11 −=x e 51

2 −=x ;

c) 11 −=x e 51

2 =x ; d) 11 =x e 51

2 −=x .

29) Quali sono le soluzioni dell'equazione 091 2 =− x ?

a) 31

1 +=x e 31

2 −=x .

b) 31 =x e 32 −=x .

c) 321 == xx .

d) 021 == xx .

30) Quali sono le soluzioni dell'equazione 041

2 2 =− xx ?

a) 21

1 +=x e 21

2 −=x .

b) 01 =x e 42 =x .

c) 01 =x e 82 =x .

d) 01 =x e 82 −=x .

132

31) Quali sono le soluzioni dell'equazione 041

2 2 =− x ?

a) 21

1 +=x e 21

2 −=x .

b) 21 +=x e 22 −=x .

c) 241 +=x e 241 −=x .

d) 221 +=x e 221 −=x .

32) Quali sono le soluzioni di 032 =− tt ?

a) 01 =t e 32 =t .

b) 01 =t e 32 −=t .

c) 01 =t e 31

2 =t .

d) 11 =t e 32 =t .

33) Quali sono le soluzioni dell'equazione 06373 2 =+− xx ?

a) 31 =x e 33

2 −=x ;

b) 321 −=x e 33

2 −=x ;

c) 33

1 =x e33

2 −=x ;

d) 321 =x e 33

2 =x .

34) Vero o Falso?

a) La somma delle soluzioni dell’equazione 2 0ax bx c+ + = è ba

. V F

b) La somma delle soluzioni dell’equazione 2 0ax bx c+ + = è ab

− . V F

c) Il prodotto delle soluzioni dell’equazione 2 0ax bx c+ + = è ca

. V F

d) Il prodotto delle soluzioni di un’equazione spuria è negativo. V F

e) La somma delle soluzioni di un’equazione spuria è sempre 0. V F

f) Il prodotto delle soluzioni di un’equazione pura è sempre 0. V F

133

g) La somma delle soluzioni di 023 2 =−− xx è negativa. V F

h) Il prodotto delle soluzioni di 023 2 =−− xx è 6. V F

i) Un trinomio di secondo grado, in R, è sempre scomponibile in fattori. V F

j) Un trinomio di secondo grado, se è scomponibile in fattori, è il prodotto, V F

al massimo, di 3 fattori.

35) Qual è la somma delle soluzioni di 0833 2 =−− zz ?

a) la somma è 1;

b) la somma è −1;

c) la somma è 3;

d) l’equazione non ha soluzioni.

36) Qual è la somma delle soluzioni di 0833 2 =+− ww ?

a) la somma è 1;

b) la somma è −1;

c) la somma è 3;


37) Qual è il prodotto delle soluzioni di 0852 =−− yy ?

a) il prodotto è 8;

b) il prodotto è −8;

c) il prodotto è 58

;


38) Per quale valore di k la somma delle soluzioni dell’equazione ( )23 2 3 1 2 0x k k+ − + + = è

uguale a 10?

a) k = −15; b) k =103

; c) k = 103

− ; d) k = 83

.

39) Per quale valore di k il prodotto delle soluzioni dell’equazione ( )23 2 3 1 2 0x k k k+ − + + = è

uguale a −3.

a) k = −11; b) k = 11; c) k = 7; d) k = −2.

134

40) La scomposizione in fattori primi del trinomio 3x2 − 4x +1 è:

a) ( )( )23 23

x x− −

b) ( )( )2 3 2x x− −

c) ( ) ( )3 1 4 1x x+ +

d) ( )( )3 3 2 1x x+ −

41) Le età di due fratelli sono una il doppio dell’altra e il loro prodotto è 128. Qual è l’età di

ciascuno dei due fratelli?

a) 3 e 6; b) 4 e 32; c) 16 e 8; d) 5 e 10

42) Se l’area di un rettangolo è 21 m2 e il perimetro è 20 m, quanto misurano i lati?

a) 4,2 m e 5 m.

b) 7 m e 3 m.

c) 8 m e 12 m.

d) 2 m e 10 m.

43) La diagonale di un quadrato misura 3 cm. Qual è la sua area?

a) 9 cm2; b) 94

cm2; c) 92

cm2; d) 34

cm2.

44) Qual è il perimetro di un triangolo equilatero se l’area è 33 dm2?

a) 6 dm.

b) 32 dm.

c) 36 dm.

d) 233

dm.

45) Quanti soldi il babbo dà a Luca e a Carlo se Luca riceve il quadrato di quello che riceve Carlo e

il babbo dà in tutto € 12,00 ?

a) Luca riceve € 2,00 e Carlo € 4,00.

b) Luca riceve € 9,00 e Carlo € 3,00.

c) Luca riceve € 3,00 e Carlo € 9,00.

d) Luca riceve € 5,00 e Carlo € 2,50.

135

Equazioni di grado superiore al secondo

46) Scrivi un’equazione binomia di quarto grado.

47) Scrivi un’equazione trinomia di ottavo grado.

48) Scrivi un’equazione reciproca di terzo grado di seconda specie.

49) Dimostra che un’equazione reciproca di terzo grado ammette le soluzioni 1=x oppure 1−=x .

50) Quante sono, al massimo, le soluzioni reali di un’equazione algebrica di ottavo grado a

coefficienti reali?

51) Dimostra che l’equazione ( ) ( ) 032213 2202232 =−+−−−+− xxxxxx ammette sicuramente la

radice 2=x .

52) Quante radici reali distinte può avere un’equazione binomia di grado dispari. E se è di grado

pari ?

53) Una sola, fra le seguenti, è un’equazione binomia. Quale?

a) ( )32 1 0x + = ; b) 6 4x = ; c) ( ) ( )42 1 2 1 0x x+ − + = ; d) 73 0x =

54) Stabilisci, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) Un’equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette una ed una sola V F

soluzione reale.

b) Un’equazione di terzo grado a coefficienti reali ammette tre soluzioni reali. V F

c) Un’equazione di quinto grado a coefficienti reali ammette sicuramente una V F

radice reale.

d) Un’equazione di grado pari a coefficienti reali può avere tre soluzioni reali. V F

e) Il grado di un’equazione trinomia è sempre pari. V F

f) Ogni equazione biquadratica è un’equazione trinomia. V F

g) L’equazione 52 26 −+ +kk xx è una equazione trinomia solo se 1=k . V F

h) Un’equazione binomia di grado dispari ammette sempre una soluzione reale. V F

i) Un’equazione binomia di grado pari ammette sempre due soluzioni reali. V F

j) L’equazione P( ) 0x = , con P( )x polinomio di grado n, ammette per V F

soluzione x = α se e solo se ( ) 0P α = .

k) 1−=x è uno zero del polinomio 2 3 2P( ) 3x k x x kx= − + + − se e solo se V F

21 =∨−= kk .

136

55) Una sola delle seguenti equazioni di grado superiore al secondo ammette come uniche

soluzioni reali 2±=x ; quale ?

a) ( )( ) 0142 =−+ xx ; b) ( ) 02 4 =−x ; c) 045 24 =+− xx :

d) 0483 4 =+− x ; e) 04423 =−−+ xxx

56) Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false , motivando la risposta :

a) L’equazione axn = ammette sempre soluzioni reali. V F

b) L’equazione axn = con n dispari ammette sempre una ed una sola V F

soluzione reale.

c) L’equazione axn = ammette n soluzioni reali a∀ ∈ R . V F

d) L’equazione axn = con n pari e 0>a ammette sempre due radici V F

reali opposte.

e) L’equazione 4axn = con n pari ammette soluzioni reali solo se 0>a . V F

f) L’equazione kx −= 18 ammette soluzioni reali se e solo se 1≤k . V F

57) Sia ∆ il discriminante dell’equazione risolvente l’equazione biquadratica 024 =++ cbxax .

Allora:

a) Se 0=∆ l’equazione ha quattro soluzioni due a due uguali V F

b) Se 0<∆ è impossibile nei reali V F

c) E’ impossibile nei reali se e solo se 0<∆ V F

d) Se 0>∆ ammette quattro radici reali V F

e) Se 0>∆ può ammettere due sole radici reali V F

f) Se 0>∆ può essere impossibile nei reali V F

58) Un’equazione della forma 034 =−−+ abxbxax con Rba ∈, ha fra le sue radici :

a) 1 b) 1± c) 1− d) né 1, né 1−

59) Per quali valori del parametro k, l’equazione binomia ( ) 031 4 =+− xk ammette soluzioni reali?

[ ] 1 k <

60) Determina per quali valori di h e k l’equazione ( ) ( ) 0152 234 =++++−+ hxhxxkx :

a) risulta biquadratica [ ] 2 ; 1 k h= = −

b) risulta reciproca [ ] 4 ; 1 k h= =

61) Quali condizioni devono essere verificate affinchè l’equazione trinomia 036 =++ cbxax (a,

b, c coefficienti reali) ammetta radici reali? E per l’equazione 048 =++ cbxax ?

137

Esercizi

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado incomplete:

1) 25 0 ;x = 26 3 0z z− = { } { }1S 0 ;S 0,

2 = =

2) 2 81 0y − = ; 237 0s = { } { }S 9 ;S 0 = ± =

3) 27 2 0g g+ = ; 2328 0p− = { } { }2S 0, ;S 07

= − =

4) 22 9 0a a− − = ; 24 27 0x + = { }9S 0, ;S2

= − = ∅

5) 2 5 0t t− + = ; 27 6h= + { } { }S 0,5 ;S 1 = = ±

6) 23 10

8 2m m− = ; 29 4 0w− + = { } { }3 2S 0, ;S

4 3 = = ±

7) 21 30

2 4r r+ = ; 3 3 0

2 2

k k + − =

{ } { }3S 0, ;S 62

= − = ±

8) 2 25 7 9 ;g g− = + ( )( )2 1 1 2q q+ − = − { } { }S 2 ;S 0 = ± =

9) ( )25 2 4a a− + = − ; 2 1

24

f f f+ = { } { }7S 0,1 ;S 0,4

= = −

10) ( )( ) xxx 71234 +=++ { }S 0 =

11) ( )( )3 2 3 2 5 4v v v+ − = − { }5S 0,9

=

12) ( ) ( )23 2 1 3y y− = − [ ]S= ∅

13) ( )( ) ( )2 2 5 5 4t t t t− + = + − { }S 0 =

14) ( ) ( )( )22 3 3 3c c c− = − + { }12S 0,

5 =

15) ( )( ) 28116 =++− xx { }S 0 =

16) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 1 3 1h h h h+ − + − = − { }7S 0,

5 =

17) ( )( ) ( ) ( ) ( )5 8 13 3 3z z z z z z+ + = + + + − { }S 7 = ±

18) ( ) ( )23 1 4 2 1 1m m m+ = + + + { }S 0 =

19) ( ) ( ) ( )22 3 5 1 8 2 5 2j j j j+ − = + + − { }9S 0,4

= −

138

20) ( ) ( )22 1 3 1r r− = − [ ]S= ∅

21) ( )( ) ( )23 5 2 3 4 1x x x x+ − = − − { }3S

5 = ±

22) ( )( )1 13 3 92 2

t t+ − = −

{ }S 0 =

23) ( ) ( ) ( ) ( )23 2 4 3 6 1 2 4s s s s s s+ − − + = − + +

{ }1S

4 = ±

24) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 4 1 3 5a a a+ + − = −

3S3

= ±

25) ( ) ( ) ( )3 321 5 2 1 1 1g g g+ + − = + −

{ }1S2

= ±

26) ( ) ( )( ) ( )23 2 3 3 3 9 3k k k k k+ − = + − + − { }S 0 =

27) ( ) ( )2 21 2 53

2 6 3 2z zz z+ + −+ − = −

{ }S 2 = ±

28) ( )( ) ( )3 4 2 1 2 1 3 1p p p p+ + + − = + { }S 0 =

29) ( )223 3 1 1

2 3 4 2b bb −− − = − +

{ }9S 0,

16 = −

30) ( ) ( ) ( )( )

23 5 32 3 2 1

2 2 2v v vv v v

− ++ + + = −

[ ]S= ∅

31) ( )( ) ( )211 1 36

2 2 2 4g

g g g−

− + − = −

{ }S 0,10 =

32) ( ) ( ) ( )222 1 1 31

3 5 2 4q q q− − − − − =

{ }S 0 =

33) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 31 1 5 3 43 3 2 4 22 2 2 2 2

w w w ww w w w− + + −+ − + + = + − 3S

2 = ±

34) ( )( )22 1 1 61 1

3 3 3 3 3 3y y y y

y y− − − + + − = +

2S

2 = ±

Risolvi le seguenti equazioni di II grado complete.

35) 22 3 5 0x x+ − = ; 2 7 8 0y y− − + = { } { }5S ,1 ;S 8,12

= − = −

36) 2 5 6 0b b+ + = ; 23 2 0m m− − = { } { }2S 3, 2 ;S ,13

= − − = −

37) 225 20 4 0t t− + = ; 212 3 1 0a a− + = { }2S ;S5

= = ∅

139

38) 2 6 0z z− − = ; 22 4 0c c+ + = { }S 2,3 ;S = − = ∅

39) 2 15 0g g+ − = ; 2 8 9 0w w+ − = { } { }S 5,3 ;S 9,1 = − = −

40) 2 4 2 0p p+ + = ; 22 10 2 25 0d d− + = { } { }5S 2 2 ;S 22

= − ± =

41) ( ) ( )23 2 1 3r r r− = − − ; ( ) ( )( )32 3 3

4q q q q+ = + − { } { }3S 1 ;S 2,

2 = = −

42) 29 12 1 0t t+ − = ; 23 4 6 0s s− + = 2 5S ;S3

− ±= = ∅

43) ( ) ( ) ( ) ( )22 3 3 3 4 6 3 1m m m m− + + = + + + { }S 1,11 =

44) 22 2 0h h+ − = ; 22 3 3 0a a+ − = 32S 2, ;S 3,2 2

= − = −

45) 2

7 27vv+ = − ; 22 2 1 0r r− − = { } 1 3S 7 ;S

2 ±= − =

46) ( )( ) ( )3 3 4 3b b b− + = − ; 26 4 5 5k k+ − = − { } { }S 7,3 ;S 2 5 3 = − = ±

47) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 6 2 2 4k k k k k k k k k + − − + − + = − + + [S = Q]

48) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 5p p p p p p + + + = − − + + { }1S ,72

= −

49) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1 2 1 3 5x x x x x x − − − − − + = − { }3S 1,2

=

50) ( )2

21 92 3 3

zz z −− ++ = { }1S ,72

= −

51) ( ) ( ) ( )2 1 32 6 1 112 4

u u u u u u + + − + = − − [S = ∅]

52) ( )( ) ( )2 1 1 1 2073 82 4 2 4

h h h h h+ + − + − = − + { }S 4 =

53) ( ) ( ) ( )( )23 4 5 2 6 2 2 5 3m m m m m+ − − + − + = + { }1S 1,

15 = −

54) ( ) ( ) ( )( )3 2 5 3 3 3 1 5y y y y y − − − = − + + { }S 8,2 =

55) ( )( ) ( )( ) ( )2 1 3 8 8 2 2 3 9f f f f f f+ − + + − + = − − { }S 8,7 = −

56) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 5 1 3 7 2 3a a a a+ = + − + + +

{ }16S ,0

3 = −

140

57) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 5 1 1 2 2t t t t t+ + − = − − + { }S 2,9 = −

58) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 1 1 7d d d d d− + − + = − + + { }S 2 2 5 = ±

59) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 22 3 5 2 2 1 3 4 3 5 2 1 9y y y y y y y− + + − − = + − − − −

{ }5 1S ,8 2

= −

60) ( ) 03132324 2 =−−−− xxx

{ }1S , 34

= −

61) ( ) 0233224 2 =−−− xx

23S ,2 2

= −

62) ( )2322 −=− xxx { }S 2, 3 =

63) ( ) 02122 =++− xx { }S 2,1 =

64) 016

52 =+− xx

3 2S ,2 3

=

65) 12

22 −=− xxx

2S 2,2

=

66) ( )( )

12

1

12

11 2

++=

−+− xxx

{ }4S 2 = ±

Per non dimenticare……

Esempi

Risolviamo alcune equazioni di secondo grado senza applicare la formula risolutiva:

Esempio 1

Equazione iniziale 24 25 0x − =

Scomponiamo in fattori il I membro

(differenza di quadrati) ( ) ( )2 5 2 5 0x x− + =

Applichiamo la legge di annullamento del

prodotto 2 5 0x − = ∨ 2 5 0x + =

Risolviamo le equazioni di primo grado

52 52

x x= ⇒ =

52 52

x x= − ⇒ = −

Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione 5 5 5

2 2 2

= − ∨ = = ±

Sx x

141

Esempio 2

Equazione iniziale 22 5 0k − =

Scomponiamo in fattori il I membro (differenza di quadrati)

( )( )2 5 2 5 0k k− + =

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto

2 5 0k − = ∨ 2 5 0k + =

Risolviamo le equazioni di primo grado

5 52 5

22k k k= ⇒ = ⇒ =

5 52 522

k k k= − ⇒ = − ⇒ = −

Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione 5 5 5

2 2 2

= − ∨ = = ±

Sx x

Esempio 3

Equazione iniziale 2 2 15 0b b+ − =

Scomponiamo in fattori il I membro (trinomio caratteristico)

( )( )3 5 0b b− + =


3 0b− = ∨ 5 0b+ =

Risolviamo le due equazioni di primo grado 3 0 3b b− = ⇒ =

5 0 5b b+ = ⇒ = −

Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione { }3 5 5,3= ∨ = − = −Sb b

Esempio 4

Equazione iniziale 25 3 2 0m m+ − =

Scomponiamo in fattori il I membro [quasi trinomio caratteristico (I anno, tomo 2 pag.139)]

( ) ( )5 2 1 0m m− + =


5 2 0m− = ∨ 1 0m+ =

Risolviamo le due equazioni di primo grado 25 25

m m= ⇒ =

1 0 1m m+ = ⇒ = −

Scriviamo le soluzioni e l’insieme soluzione 2 2

1 1,5 5

= ∨ = − = −

Sm m

142

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado senza utilizzare la formula risolutiva:

67) 2 6 0a a− − = ; 2 3 4 0p p− − = { } { }S 2,3 ;S 1,4 = − = −

68) 29 1 0v − = ; 2 12 20 0t t+ + = { } { }1S ;S 2, 103

= ± = − −

69) 25 3 0q q+ = ; 2 2 15 0g g+ − = { } { }3S 0, ;S 5,35

= − = −

70) 2 2 1 0z z+ + = ; 26 2 0t t− − = { } { }1 2S 1 ;S ,2 3

= − = −

71) 23 4 0h − = ; 24 13 3 0r r− + = { }2 3 1S ;S ,33 4

= ± =

72) 2 3 18 0c c+ − = ; 23 2 0y y− = { } 2S 6,3 ;S 0,3

= − =

73) 2 3 2 0d d+ + = ; 24 7 0x − = { } 7S 2, 1 ;S2

= − − = ±

74) 22 15 0v v− − = ; 2 5 6 0a a− + = { } { }5S ,3 ;S 2,32

= − =

75) 2 2 0f f+ − = ; 28 7 0m − = { } 14S 2,1 ;S4

= − = ±

Esempio

Equazione iniziale (equazione fratta) 2

4 2 3 222

y y yy yy y

− − −− =++

Scomponiamo in fattori i denominatori ( )4 2 3 2

22y y y

y yy y− − −− =++

Determiniamo il m.c.m. e riduciamo allo stesso denominatore.

( )( )

( )( )( )

4 2 3 2 2

2 2

y y y y y

y y y y

− − − − +=

+ +

Determiniamo il dominio ( )2 0y y+ ≠ ⇒ 0y ≠ ∨ 2y ≠ − ⇒ { }D 0, 2= − −Q

Applichiamo l 2° principio di equivalenza e semplifichiamo il denominatore

( ) ( )( )4 2 3 2 2y y y y y− − − = − +

Riduciamo a forma normale e determiniamo y

( )

2 2

2 2

4 2 3 4 0

43 4 0 03

y y y y

y y y y

y y y y

− − + − + = ⇒

⇒ − 3 + 4 = 0 ⇒ 3 − 4 = 0 ⇒

⇒ − = ⇒ = ∨ =

Accettabilità delle soluzioni 40 D sol. non acc.; D sol. acc.3

∉ ⇒ ∈ ⇒

Scriviamo le soluzioni e l’insieme

soluzione

4 4

3 3 = =

Sy

143

Risolvi le seguenti equazioni:

76) 2 3 11

aa a

+ =− { }S 2 7 = − ±

77) 22 1 3 03 2 1 2 5 3

b b bb b b b

+ − +− − =− + − − { }S 4 2 5 = − ±

78) 2 21 2 3

2 4 4 4z z z z+ = −+ − + +

{ }S 6,1 = −

79) 24 1 10 2

3 4 129h h h

h hh+ −+ =+ −−

{ }7S3

=

80) 2

22 1

2 4 2 2x x x

x x x x−− =+ + + −

{ }1S 1,2

= −

81) 22 2 82 2 4

m m mm m m

− ++ =+ − − [ ]S= ∅

82) 22 3 1 2 1

3 29 12 4c c

cc c+ −− =++ +

3 5S2

− ±=

83) ( )( )1 1 21 1 21

xx x x

+− + + =+ 1 5S2

±=

84) ( ) ( ) ( )2 22

2

4 4 2 5 4 1 15 23 10

t t t t t tt tt t

+ − − + + − + ++ =+ −+ − { }S 6 = −

85) ( ) ( )( )2

2 3

2 3 3311 1

p p pppp p p

− + − ++− =−+ + − [ ]S= ∅

86) 29 3 3 2

2 13 3 k kk k− + =++

{ }2S3

=

Esempio

Senza risolverle, stabiliamo se le seguenti equazioni hanno soluzioni reali e, in caso affermativo,

determiniamone la somma ed il prodotto:

a) 2 11 9 0h h+ + = b) 22 7 4 0t t+ − =

a) In questa equazione a = 1; b = 11; c = 9

L’equazione ha soluzioni reali soltanto se ∆ ≥ 0; quindi:

∆ = 2 24 11 4 1 9 121 36 85b ac− = − ⋅ ⋅ = − = ⇒ ∆ > 0 ⇒ l’equazione ha due soluzioni reali.

Sappiamo che 1 2bh ha

+ = − e 1 2ch ha

⋅ =

Quindi: 1 211 111

h h+ = − = e 1 29 91

h h⋅ = =

144

b) In questa equazione a = 2; b = 7; c = −4

L’equazione ha soluzioni reali soltanto se ∆ ≥ 0; quindi:

∆ = ( )2 24 7 4 2 4 49 32 81b ac− = − ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ > 0 ⇒ l’equazione ha due soluzioni reali.

Sappiamo che 1 2bt ta

+ = − e 1 2ct ta

⋅ =

Quindi: 1 272

t t+ = − e 1 24 2

2t t −⋅ = = −

Senza risolverle, stabilisci se le seguenti equazioni hanno soluzioni reali e, in caso affermativo,

determina la loro somma e il loro prodotto.

87) 2 5 14 0 ;x x− − = 030112 =+− xx

88) 2 6 0 ;x x− + = 013142 =−− xx

89) 28 30 7 0 ;x x− + = 031025 2 =−+ xx

90) 220 13 2 0 ;x x− + = 01892 2 =−− xx

91) 240 31 6 0 ;x x− + = ( ) 0222212 =+++− xx

92) ( )23 3 3 2 1 3 2 0 ;x x− + + = ( ) 01025222 =−+− xx

Esempio

Determiniamo l’equazione di secondo grado che ha come insieme soluzione S = { }11,3

− .

In generale, un’equazione di secondo grado, ridotta a forma normale, è del tipo:

2 0ax bx c+ + = ⇒ 2 0b cx xa a

+ + = (�)

Sappiamo che 1 2bx xa

+ = − e 1 2cx xa

⋅ = ; calcoliamo, quindi, la somma ed il prodotto delle

soluzioni: 1 21 213 3

x x+ = − + = − e 1 21 113 3

x x⋅ = − ⋅ = − .

Si hanno le seguenti uguaglianze: 2 23 3

b ba a

− = − ⇒ = e 13

ca

= − ;

sostituendo nell’equazione (�), si ottiene: 2 2 1 03 3

x x+ − = ⇒ 23 2 1 0x x+ − = .

145

Scrivi l’equazione di secondo grado che ha come insieme soluzione l’insieme S indicato.

93) S = { }3,4− ; S = { }5, 2− −

94) S = { }3,7 ; S = { }1,10

95) S = { }3, 1− − ; S = { }4,12

96) S = { }8, 2− − ; S = { }1 ,52

97) S = { }2 1,3 6

− − ; S = { }3 4,2 5

−

98) S = { }3 1,4 3

− − ; S = { }1 2,10 5

99) S = { }2± ; S = { }0, 2

100) S = { }5 1,4 8

− ; S = { }3,15

101) S = 3 , 32

−

; S = 54

±

102) S = { }2,2 2 ; S = { }5,2 5+

103) S = 33,2

−

; S = { }2 2,3 2−

104) S = { }1 2,1 2− + ; S = { }2 3,2 3+

Determina due numeri, se esistono, conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p (Esempio d)

pag. 17).

105) 2s = + ; 15p = − [ ]3,5−

106) 10s = ; 24p = [ ]4,6

107) 10s = − ; 21p = [ ]3, 7− −

108) 15s = − ; 34p = − [ ]17,2−

109) 3s = ; 40p = − [ ]∃

110) 135

s = ; 65

p = − 2 ,35

−

111) 79

s = ; 427

p = 1 4,3 9

146

112) 117

s = − ; 67

p = − 32,7

−

113) 94

s = ; 58

p = − 1 5,4 2

−

114) 178

s = ; 1516

p = 5 3,8 2

115) 3 22

s = ; 1p = 2 , 22

116) 1 32

s += ; 34

p = 31 ,2 2

117) 1s = ; 2 2p = − 1 2, 2 −

118) 5 1s = + ; 5 5p = [ ]∃

119) 3 3s = ; 6p = 3,2 3

Scomponi in fattori, se possibile, i seguenti trinomi di secondo grado (Esempi e), f), g) pag. 18):

120) 24 5 1x x− + ( )( )1 4 1x x − −

121) 25 9 2a a+ − ( ) ( )5 1 2a a − +

122) 23 10 8s s+ + ( )( )3 4 2s s + +

123) 22 5 5 10m m+ + ( )( )2 5 2 5m m + +

124) 24 4 6 18h h+ − ( )( )2 6 2 3 6h h − +

125) 27 4 2 6y y+ − ( )( )2 7 3 2y y + −

126) 23 6 2b b+ + ( ) 33 3 3 13

b b + + + −

127) 22 2 1t t− − 1 3 1 32 2

t t − +− −

128) 23 7 5 20d d− + ( )( )3 4 5 5d d − −

129) ( )22 2 2 3 6t x+ − − ( )( )2 3 2t t − +

147

Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni algebriche:

130) 2

23 6

3v v

v− −

− 2 3

3vv

− −

131) 2

24 3

8 10 3z z

z z− −

+ + 1

2 1zz−

+

132) 2

2

12 32 352 3 35g gg g

− −+ −

6 52 5gg

+ +

133) 2

25 18 8

10 11 6h hh h

+ −+ −

42 3hh+

+

134) 2

2

2 7 7 214 7 21

m mm

− +− +

2 77

mm

− −

135) 2

2

24 2 68 21 2 18

x xx x

+ −− −

3 23 2

xx

− −

136) ( )2

2

2 5 2 3 5 3

2 3 3

t t

t t

+ + +

+ − 2 5

2 3t

t

+ −

137) ( )2

2

2 3 3 2

2 3 4

k x

k

+ − −

+ − 2 1 3

1 3kk

+ + − +

Equazioni parametriche

138) Data l’equazione 02622 =−+− kkxkx , determina il valore di k in modo che:

a) una soluzione sia uguale a 1;

b) una soluzione sia nulla;

c) le soluzioni siano reali e coincidenti.

[ ]2; 3; ,0 2k k k k= = = =

139) Data l’equazione ( ) ( )21 2 1 2 0a x a x a+ + − + − = , determina il valore di a in modo che:

a) le soluzioni siano reali e coincidenti;

b) le soluzioni siano opposte;

c) una soluzione sia nulla.

[ ]3; 1; 2a a a= = =

148

140) Data l’equazione ( ) 022322 =++−− hxhx , calcola il valore di h in modo tale che:

a) le soluzioni siano reali e coincidenti;

b) l’equazione sia pura;

c) l’equazione sia spuria;

d) le soluzioni siano una reciproca dell’altra;

e) una soluzione sia uguale a 4;

f) la somma dei quadrati delle soluzioni sia 7.

11; 7; 3; ; 7; 72

h h h h h h h = = = −1; = = = = −

141) Data l’equazione 013)12(2 2 =++−− lxlx , calcola il valore di l in modo tale che :

a) la somma delle soluzioni sia 1;

b) l’equazione sia spuria;

c) le soluzioni siano opposte;

d) una soluzione sia 12

;

e) il prodotto delle soluzioni sia 4;

f) le soluzioni siano una la reciproca dell’altra;

g) la somma dei quadrati delle soluzioni sia 134

.

3 1 1 7 1; ; ; 1; ; ; 2 2 22 3 2 3 3

l l l l l l l = = − = = − = = = ±

142) Data l’equazione ( ) ( ) 02122 2 =+++−− mxmxm calcola il valore di m in modo tale che:

a) una soluzione sia nulla;

b) una delle soluzioni sia uguale a −3;

c) le soluzioni siano reali e coincidenti;

d) la somma delle soluzioni sia −1;

e) il prodotto delle soluzioni sia 4;

f) le soluzioni siano opposte.

5 5 102; ; ; 0; ; 18 2 3

m m m m m m = − = = − = = = −

149

Problemi

143) Determina due numeri interi consecutivi tali che il loro prodotto sia 812. [28; 29]

144) Determina un numero naturale tale che il suo quadrato superi di 4 il suo triplo. [4]

145) Il prodotto di due numeri naturali pari consecutivi è 1088. Quali sono i due numeri? [32; 34]

146) Se ad un numero positivo si aggiunge il suo quadrato, si ottiene il triplo del numero stesso

aumentato di 24. Qual è il numero? [6]

147) Trova due numeri naturali pari e consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 340.

[12; 14]

148) Dividi il numero 54 in due parti in modo tale che il loro prodotto sia 693. [21; 33]

149) Determina due numeri naturali consecutivi tali che la differenza tra il cubo del maggiore ed il

cubo del minore sia uguale alla differenza fra il quadrato del doppio del minore e 9. [5; 6]

150) Il prodotto di due numeri naturali pari e consecutivi è 48. Quali sono i due numeri? [6; 8]

151) Determina un numero intero tale che il prodotto fra il suo doppio ed il suo successivo sia

uguale alla differenza fra il numero 5 ed il numero stesso. [1]

152) In un numero palindromo di tre cifre, la somma delle cifre è 12 e la seconda cifra è uguale al

doppio del quadrato della prima cifra. Qual è il numero? [282]

153) Determina un numero naturale tale che il prodotto fra il numero stesso e la sua metà

aumentata di 1 supera di 8 il numero stesso. [4]

154) Determina un numero intero tale che il prodotto del suo doppio con il suo successivo sia

uguale a 5 diminuito del numero stesso. [1]

155) Determina due numeri interi dispari e consecutivi tali che i 45

del quadrato del minore

aumentati di 1 siano uguali ai 37

del quadrato del minore. [5; 7]

156) Determina due numeri pari consecutivi tali che il doppio del quadrato del maggiore supera di

24 il triplo del quadrato del minore. [4; 6]

157) Trova due numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 61.

[(−6, −5) ∨ (5,6)]

158) Il rapporto fra un numero intero ed il suo quadrato diminuito di 3 è 522

; qual è questo

numero? [5]

159) Il rapporto fra due numeri interi positivi è 34

e la differenza dei loro quadrati è 63; quali sono

i due numeri? [9; 12]

150

160) Le dimensioni di un rettangolo misurano 3 cm e 2 cm. Di quanto è necessario aumentare le

dimensioni affinchè l’area del rettangolo sia di 42 cm2? [4 cm]

161) La somma di due numeri è 8 ed il loro prodotto è 15; quali sono i due numeri? [3; 5]

162) Determina due numeri interi consecutivi tali che il quadrato della loro somma superi di 144 la

somma dei loro quadrati. [−9,−8; 9, 8]

163) Il numeratore di una frazione supera di 3 il denominatore, inoltre diminuendo di 2 sia il

numeratore che il denominatore si ottiene una frazione che supera di 34

la prima frazione.

Qual è la frazione? 7 1;4 2 −

164) In un numero di due cifre, la cifra delle decine supera di 3 quella delle unità; il prodotto delle

due cifre è uguale alla metà del numero dato diminuito di 9. Qual è il numero? [74]

165) L’area di un triangolo rettangolo misura 30 cm2 ed un cateto supera l’altro di 4 cm. Qual è la

misura di ciascuno dei due cateti? [6 cm; 10 cm]

166) In un triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa BC misura 10 dm e la somma dei due cateti 14

cm. Determina la misura dei due cateti. [6 dm; 8 dm]

Se la somma delle misure dei cateti fosse 15, quale sarebbero le loro misure?

167) Sia C un punto del segmento AB tale che AC sia medio proporzionale tra l’intero segmento e

la parte restante CB. Se AB misura 20 cm, qual è la misura di AC? ( )10 5 1 cm −

168) L’area di un rombo misura 36 m2 e la diagonale maggiore è il doppio di quella minore. Qual è

la misura di ciascuna delle due diagonali? [6 m; 12 m]

169) Il perimetro di un rombo misura 52 cm e la somma delle sue diagonali misura 34 cm; quanto

misura l’area del rombo? [120 cm2]

170) L’area di un rettangolo misura 80 cm2 e una dimensione supera l’altra di 11 cm. Quanto

misura il perimetro del rettangolo? [42 cm]

171) In un triangolo rettangolo la misura del cateto maggiore supera di 2 cm quella del cateto

minore. Sapendo che l’ipotenusa misura 10 cm, determina le misure dei cateti del triangolo.

[6 cm; 8 cm]

172) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 45 cm e il doppio del cateto minore supera

quello maggiore di 18 cm. Determina l’area del triangolo. [486 cm2]

151

173) L’area di un rettangolo misura 440 dm2 ed una dimensione supera di 10 dm i 35

dell’altra

dimensione. Qual è il perimetro del rettangolo? [84 dm]

174) Sia AB un segmento di lunghezza 9 cm. Determina su di esso un punto P in modo tale che il

segmento AB resti diviso in due segmenti tali che AP sia medio proporzionale fra l’intero

segmento e la sua parte restante aumentata di 1. Qual è la misura di AP? [6 cm]

175) In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è 9 cm e l’ipotenusa supera di 6 cm i 34

dell’altro cateto. Qual è la misura dell’ipotenusa? 8715 cm cm7

∨

176) Sia ABCD un quadrato di lato 4 cm. Determina sul prolungamento del lato AB, dalla parte di

B, un punto P tale che la somma dei quadrati delle sue distanze dai vertici C e D sia 90 cm2.

BP 3 cm =

177) Il diametro AB di una circonferenza misura 25 cm. Determina sulla circonferenza la posizione

di un punto Q in modo tale che, detta H la sua proiezione sul diametro AB, valga la relazione

2 23QH BQ 32 cm.− = AH 9 cm =

178) I lati AD e AB di un rettangolo misurano, rispettivamente, 20 cm e 30 cm. Sul prolungamento

del lato AB, dalla parte di B, determina la posizione di un punto E in modo tale che valga la

relazione 2 2 2 2ED EO EC 2550 cm+ + = , essendo O il punto di intersezione delle diagonali del

rettangolo. BE 5 cm =

Equazioni di grado superiore al secondo

Risolvi in R le seguenti equazioni binomie:

179) 014 =−x ; 4 16 0b + = { }S 1 ; S = ± = ∅

180) 38 27 0t − = ; 38 27 0y − = { } { }3 3S ;S2 2

= = −

181) 7 128 0h + = ; 716 1 0p − = { } { }71S 2 ;S 82

= − =

182) 8 1 0v − = ; 8 256 0g + = { }S 1 ; S = ± = ∅

183) 627 1 0w − = ; 532 1 0c + = { }3 1S ;S3 2

= ± = −

152

184) 34 1 0r − = ; 39 1 0f + = 33 32S ;S

2 3 = = −

185) 3125

5d

d= ; 10 4 0k − = { } { }5S 5 ; S 2 = ± = ±

186) 6 248 0u x− = ; 7 2243 0z z− = { } { }4S 2 3, 0 ; S 3,0 = ± =

187) 3 1 0ay − = ( 0≠a ); 0244 =−xa

4

3

21S ; 0 S , 0 Sa aaa

= ≠ ⇒ = ± = ⇒ = ∅

188) 4 4 0az − = ; 026 =+− ax

{ }64 40 S , 0 S ; 2 S 2 , 2 Sa a a a aa

≤ ⇒ = ∅ > ⇒ = ± ≤ ⇒ = ± − > ⇒ = ∅

189) ( )32 1 8 0a− − = ; ( )4

3 1 1 0m− − = { } { }3 2S ;S 0,2 3

= =

190) ( )45 4 0c+ + = ; ( )3

2 9 8 0h− − = { }11S ;S2

= ∅ =

Determina per quali valori del parametro a le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali:

191) ( ) ( ) 032 4 =+−− axa ] ] ] [, 3 2,a ∈ −∞ − ∪ +∞

192) ( ) 049 62 =−−− axa ] ] ] [, 4 3,3a ∈ −∞ − ∪ −

193) 0342 =−xa { }0a ∈ − R

194) ( ) 053 5 =−++ axa { }3a ∈ − − R

Risolvi in R le seguenti equazioni biquadratiche:

195) 4 217 16 0t t− + = { }S 1, 4 = ± ±

196) 4 24 5 1 0g g− + = { }1S 1,2

= ± ±

197) 4 29 6 1 0w w− + = 3 3S ,3 3

= ± ±

198) 4 22 9 5 0p p− − = { } S 5 = ±

199) 4 22 9 10 0y y− − = [ ]S= ∅

200) 0223 24 =+− xx [ ]S= ∅

201) 4 22 2 9 6 2 0z z− − − = { }S 2, 1, 2 1 = − − +

153

202) ( )4 22 1 2 2 0a a− − + − = { }S 1 = ±

203) ( )4 23 2 6 0m m+ − − = { }4S 2 = ±

204) 4 23 13 4 3 0r r− + = 4 4

5 1S ,12 3

= ± ±

205) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 42 3 2 3 2 1 3 12 3 1b b b b b b− + + − + = − − { }1S 2, 3

= ± ±

206) ( ) ( )22 2 21 8 1 0t t t− + − = { }1S 1 , 3

= ± ±

207) ( )( ) 15111227 244 +−=+−−− xxxxx 3 2S 1 , 2

= ± ±

208) 22

14 9aa

+ = { }S 2, 7 = ± ±

209) ( )2

2 4 22

7 43 33 1

qq q qq

= −+ ++

{ }S 2, 3 = ± ±

210) 2

2 21 1 3

2v

v v+= +−

2S 1, 2

= ± ±

211) 2

2 43 0

4 16c

c c+ =

+ − { }S 1 , 3 = ± ±

212) ( )2

2 2

2 1 4 11 24 1

y y

y y

+ − += −

− { }1S 3 13

2 = ± +

213) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 2 12z z z z z− + − − + = { }1S , 32

= ± ±

214) ( ) ( )( )4 23 5 2 3 3 0h h h h+ − + − + = { }S 2 , 3 = ± ±

215) ( )( ) ( )2 2 2 22 1 1 1 4 0d d d d+ + − − + = [ ]S= ∅

216) 0352 4224 =−− axax { }S 3a = ±

217) ( )4 22 2 1 0ay a y− + + = 1 1 10 S ; 0 S ,2 2

a aa

≤ ⇒ = ± > ⇒ = ± ±

218) 4 2 213 36 0z bz b− + = { } { }0 S ; 0 S 3 , 2 ; 0 S 0b b b b b < ⇒ = ∅ > ⇒ = ± ± = ⇒ =

219) ( ) 033 24 =++− abxbax S ,3a b

= ± ±

154

220) ( )4 23 1 3 0ay a y+ − − = 10 S ; 0 Sa aa

> ⇒ = ± ≤ ⇒ = ∅

221) 2 2 2

2 2 23 2

2a z a

z a z−=

− 3S , 2

3a a

= ± ±

Senza risolvere le seguenti equazioni stabilisci qual è il numero di soluzioni reali che esse

ammettono :

222) 0432 24 =−− xx ; 4 22 3 0k k− + =

223) 4 23 9 1 0r r+ + = ; 4 22 10 5 0a a− + =

224) 4 22 5 0t t+ − = ; 4 24 20 25 0w w− + =

225) 02 2224 =−− axax ; ( ) 012 22242 =++− axaxa

Determina per quali valori del parametro k le seguenti equazioni biquadratiche ammettono:

a) quattro soluzioni reali; b) due soluzioni reali; c) nessuna soluzione reale

226) ( ) 0412 24 =−−− kxkx [ ]a) 0; b) 0; c) k k k < ≥ ∃

227) 013 242 =−− xxk [ ]a) ; b) ; c) k k k ∃ ∀ ∈ ∃R

228) 0396 224 =−++ kkkxx 1 1a) 0; b) 0 ; c) 03 3

k k k k = < ≤ < ∨ >

Esempio

Scomponiamo in fattori, se è possibile, il trinomio 1109 24 +− xx .

Ponendo tx =2 , otteniamo un trinomio di secondo grado

1109 24 +− xx = 1109 2 +− tt

Dobbiamo, quindi, scomporre in fattori un trinomio di secondo.

Ricordiamo che:

( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − −

dove 1 2,x x sono le soluzioni dell’equazione associata al trinomio.

Risolviamo, allora, l’equazione: 01109 2 =+− tt .

Poiché b è pari, calcoliamo 4∆ e, successivamente, applichiamo la formula ridotta.

25 9 16 04∆ = − = ⇒ ∆ > ⇒ esistono due soluzioni reali e distinte:

155

12

5 162 4 5 49 9

b

ta

∆− ± ± ±= = = = րց

1

2

5 4 19 9

5 4 9 19 9

t

t

−= =

+= = =

Pertanto, si ottiene ( ) ( )( )11919

191109 2 −−=−

−=+− tttttt .

Ricordando che 2t x= , si ottiene:

( )( )9 1 1t t− − = ( )( )2 29 1 1x x− − = (differenza di quadrati) = ( )( )( )( )3 1 3 1 1 1x x x x− + − +

In definitiva:

1109 24 +− xx = ( )( )( )( )3 1 3 1 1 1x x x x− + − +

Scomponi in fattori, se è possibile, i seguenti polinomi:

229) 86 24 +− xx ; 4 24 13 3a a− +

230) 4 29 8 1s s+ − ; 4 27 10p p+ +

231) 4 22 3y y− + ; 4 22 11 15r r− +

232) ( ) 2224 1234 axax ++− ; ( ) 1535 2242 ++− xaxa

Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato il dominio:

233) 3613

27624

24

+−−−

xx

xx;

232

2324

24

−−+−

xx

xx

2 2

2 23 1, 4 2 1

x xx x + − − +

234) 328

65424

24

−−−+

xx

xx;

242

613224

24

−−+−

xx

xx

2 2

2 22 2 1,

2 1 4x xx x

+ − + +

235) 5112

524

24

+−−

xx

xx;

9374

35224

23

+−−+

xx

xxx ( )( )

2

2 , 2 1 32 1

x xx xx

+ −−

Risolvi, in R, le seguenti equazioni trinomie:

236) 6 37 8 0u u− − = ; 8 46 7 2 0b b+ + = { }S 1,2 ; S = − = ∅

237) 8 420 64 0m m− + = ; 6 35 8 0g g− + = { }S 2, 2 ; S = ± ± = ∅

238) 8 42 7 4 0a a− − = ; 10 532 63 2 0s s− − = { } { }5 1S 2 ; S 2 ,2

= ± = −

239) 8 421 80 0h h− + = ; 12 663 64 0k k− − = { } { }4S 2, 5 ; S 2 = ± ± = ±

240) 8 44 45 81 0c c− + = ; 10 54 5 1 0t t+ + = 53 1S 3, ; S 1,2 4

= ± ± = − −

156

241) 098 105510 =−+ axax { }5S , 9a a = −

242) 8 8 4 417 16 0a y a y− + = { }2 1S ,a a

= ± ±

243) 10 5 5 108 9 0z a z a+ − = { }5S 9,a a = −

244) 01617 4488 =+− xaxa { }2 1S ,a a

= ± ±

245) ( )6 3 3 38 8 1 0y a y a− − − = { }1S ,2

a = −

246) ( )8 4 4 4 4 44 4 0z a b z a b− + + = { }S , 2b a = ± ±

Mediante opportune sostituzioni, risolvi, in R, le seguenti equazioni:

247) ( ) ( )23 31 7 1 8 0v v+ + + − = { }3S 0, 9 = −

248) 021

3

1

32

22

2

2

=−

+−+

+−

x

x

x

x 1S

3 = ±

249) ( ) ( )24 2 4 28 12 0a a a a+ − + + = { }S 2, 1 = ± ±

250) ( ) ( )22 22 2 8 2 2 15 0p p p p− + − − + + = { }1 3S , 1,2 2

= − ±

251) ( ) ( )6 33 31 9 1 8 0b b− + − + = { }S 0, 1 = −

252) 4

2 1 2 113 36 0

y yy y− − − + =

{ }1 1S , , 1

4 5 = −

253) ( ) ( )10 52 22 33 2 32 0g g− − − + = { }S 3, 2 = ± ±

254) ( ) ( )4 21 14 17 4 0d dd d

+ − + + = { }S 1 = ±

255) ( ) ( )4 22 21 2 1 1 0z z z z+ + − + + + = { }S 0, 1 = −

256) 2

2 26 3 6 34 3 08 1 8 1

t tt t

+ +− + = + + { }1S ,0,1

4 = ±

257) ( ) ( )4 22 4 2 12 0h h− − − − = { }S 2 6 = ±

258) ( )22165 15 2 11

15 2s s

s s+ = +

+ { }2 8S ,

5 15 = −

259) ( ) ( ) ( )3 23 2 3 3 3 6 0u u u− + − − − − = { }S 3 3,1 = ±

157

260) ( )4

162 5

cc

=− { }10S ,23

=

261)

++

+=

+ 12

1212

12

3

x

x

x

x

x

x { }2 2S ,

3 5 = − −

Esempi

Risolviamo le seguenti equazioni:

a) ( ) ( )4 42 22 1 1 0a a a− − + − = ; b) ( ) ( )4 42 25 4 5 6 0r r r r− + + − − =

a) La somma di due numeri non negativi è nulla solo se questi sono entrambi nulli.

Deve essere, allora ( )422 1 0a a− − = ∧ ( )42 1 0a − = .

Risolviamo le due equazioni:

( )422 1 0a a− − = ⇒ 22 1 0a a− − = ⇒ { }11S ,12

= − ;

( )42 1 0a − = ⇒ 2 1 0a − = ⇒ { }2S 1,1= − .

La soluzione dell’equazione data è l’insieme 1 2S SS= ∩ ⇒ S = { }1 .

b) La somma di due numeri non negativi è nulla solo se questi sono entrambi nulli.

Deve essere, allora ( )42 5 4 0r r− + = ∧ ( )42 5 6 0r r− − = .

Risolviamo le due equazioni:

( )42 5 4 0r r− + = ⇒ 2 5 4 0r r− + = ⇒ { }1S 1,4= ;

( )42 5 6 0r r− − = ⇒ 2 5 6 0r r− − = ⇒ { }2S 1,6= − .

La soluzione dell’equazione data è l’insieme 1 2S SS= ∩ ⇒ S = ∅.

Risolvi in R, le seguenti equazioni:

262) ( ) ( )6 62 23 17 6 3 4 1 0k k k k− − + − + = [ ]S= ∅

263) ( )104 2 0m m m+ − = { }S 0 =

264) ( ) 64 22 1 4 13 0t tt t

− −+ =

{ }1S2

= −

265) ( ) ( )8 84 2 3 23 4 3 4 12 0z z z z z− − + − − + = { }S 2 = ±

266) ( ) ( )2 43 28 1 4 4 1 0b b b− + − + = { }1S2

=

158

267) ( ) ( )4 64 2 4 22 3 6 0v v v v− − + − − = { }S 3 = ±

268) ( ) ( ) ( )4 8 62 2 3 23 9 3 3 0y y y y y y− + − + − + − = { }S 3 =

269) ( ) ( )22 23 1 3 3 1w w w w− + − − = (poni 23 1w w y− + = ) 1 131S 0, ,3 6

±=

Risolvi in R le seguenti equazioni reciproche, dopo averne indicato il grado e la specie:

270) 02332 23 =+−− xxx { }1S 1, , 22

=

271) ( ) ( )3 23 3 4 3 3 4 3 3 0a a a+ − + − + = 1S 1, , 33

= −

272) 3 23 4 4 3 0y y y− + − = { }S 1 =

273) 3 215 49 49 15 0s s s− + − = { }5 3S 1, ,3 5

=

274) 3 221 37 37 21 0c c c− + + = { }7 3S 1, ,3 7

= −

275) ( ) ( )3 22 2 4 2 4 2 0k k k+ − + − + = 1S 1, , 22

= −

276) 3 26 7 7 6 0t t t+ − − = { }2 3S 1, ,3 2

= − −

277) ( ) ( )3 22 2 3 2 2 3 2 2 0z z z− + − + − = 1S 1, , 22

=

278) 4 32 3 3 2 0r r r− + − = 1S 1, , 22

= ±

279) 4 33 4 4 3 0b b b+ − − = { }S 1 = ±

280) 4 33 4 3 4 3 3 0g g g− + − = 1S 1, , 33

= ±

281) 4 318 85 85 18 0p p p− + − = { }2 9S 1, ,9 2

=

282) ( ) 210 33 10 uu u

u++ = { }1S 1, , 3

3 = ± − −

283) ( )4 21 2 5 1d d d− = − { }S 1, 5 2 = ± ±

284) 3 220 61 61 20 0a a a+ + + = { }5 4S 1, ,4 5

= − −

159

285) ( ) ( )3 26 7 6 6 7 6 0m m m+ − + − − = 1S 1, , 66

= − −

286) 0229922 34 =−+− xxx 1S 1, ,2 22 2

= ±

287) 3 25 21 21 5 0t t t− + − = 8 39S 1,5

±=

288) 4 32 5 5 2 0w w w− + − = { }1S 1, 2, 2

= ±

289) 4 315 34 34 15 0s s s− + − = { }3 5S 1, , 5 3

= ±

290) ( ) ( )3 2 2 21 1 0ax a a x a a x a− + + + + + − = { } { }10 S 0,1 ; 0 S , ,1 a a aa

= ⇒ = ≠ ⇒ =

291) ( ) ( )4 2 3 22 4 1 4 1 2 0ay a y a y a+ + − + − = { } { }10 S 0, 1 ; 0 S 1, 2 ,2

a a aa

= ⇒ = ± ≠ ⇒ = ± − −

292) ( ) ( ) 011 34 =−+++− axaxaxa { } 10 S 0, 1 ; 0 S 1 , ,a a aa

= ⇒ = ± ≠ ⇒ = ±

293) ( ) ( ) ( )4 2 3 22 4 5 4 5 2 0a z a a z a a z a− − − + + − + + − =

{ } { }12 S 0 e 1 ; 2 S 1, 2,2

a a aa

= ⇒ = ± ≠ ⇒ = ± − −

Senza scomporre in fattori, risolvi, in R, le seguenti equazioni reciproche di quarto grado di prima

specie:

294) 4 3 26 5 38 5 6 0y y y y− − − + = { }1 1S 2, , , 32 3

= − −

295) 4 3 212 4 41 4 12 0v v v v− − − + = { }3 2 1S 2, , , 2 3 2

= − −

296) 4 3 23 16 26 16 3 0b b b b+ + + + = { }1S 1, 1, , 33

= − − − −

297) 4 3 28 14 69 14 8 0c c c x+ − + + = { }1 1S 2, , , 42 4

= − −

298) 4 3 212 104 209 104 12 0z z z z− + − + = { }1 1S 2, , , 62 6

=

299) 4 3 215 28 230 28 15 0g g g g+ − + + = { }1 1S 3, , , 53 5

= − −

300) 4 3 242 85 84 85 42 0p p p p− + − + = { }6 7S , 7 6

=

160

301) 4 3 25 26 10 26 5 0k k k k+ + + + = { }1S 5,5

= − −

302) 4 3 260 44 257 44 60 0m m m m+ − + + = { }5 2 3 2S , , , 2 5 2 3

= − −

303) 4 3 23 16 26 16 3 0d d d d− + − + = { }1S 1, 1, , 33

=

304) 4 3 22 8 2 0t t t t+ + + + = [ ]S= ∅

305) ( ) ( ) ( ) ( ) 018121194121118 234 =++++−+++ xxxxx { }4 1 1S , , , 43 3 2

= − − −

Scrivi le equazioni che hanno come insieme soluzione i seguenti insiemi e, successivamente, verifica

che sono equazioni reciproche:

306) 1S 5, , 15

= −

; { }2 3S , , 13 2

= +

307) { }1S , 2, 12

= ± ; { }1S 4, , 14

= − − ±

308) { }3 2 1S , , 2,2 3 2

= − − ; { }1 1S 3, , 2,3 2

= − −

Classifica e risolvi le seguenti equazioni di grado superiore al secondo di vario tipo:

309) 3 23 7 21 0z z z− + − = { }S 3 =

310) ( )( )2 44 4 1 0v v v− + − = { }S 1, 2 = ±

311) 4 29 4 0h h− = { }2S , 03

= ±

312) 0136 4 =−x 1S6

= ±

313) 3 54 0w + = { }S 3 2 = −

314) 6 38 15 0c c− + = { }3 3S 5, 3 =

315) ( )( )25 4 3 2 0z z− − = 2 5 2S ,5 3

= ±

316) 4 24 25 36 0r r− + = { }3S , 22

= ± ±

317) 3 28 11 18 0a a a− − + = { }S 2,1, 9 = −

318) ( )43 1 16y + = { }3S 3,1 = −

161

319) ( ) ( ) 09383 24 =−−−− xx { }S 0, = 6

320) ( )62 2 1k k+ = { }S 1, 1 2 = − − ±

321) 3 24 21 21 4 0m m m+ + + = { }1S 4, 1,4

= − − −

322) 4 32 5 5 2 0t t t+ − − = { }1S 1, 2,2

= ±

323) 4 3 23 10 6 10 3 0s s s s− + − + = { }1S 3,3

=

324) ( ) ( )6 44 3 25 2 5 7 2 0z z z z z+ − + − + = [ ]S= ∅

325) ( )( )3 28 2 7 3 0f f f+ − + = { }1S 2, ,2

= − 3

326) 3 26 11 19 6 0a a a+ − + = { }1 2S 3, ,2 3

= −

327) 3 22 5 4 10 0d d d− − + = { }5S 2,2

= ±

328) 4 3 22 5 7 7 3 0m m m m− + − + = { }S 1 =

329) 4 3 22 5 18 45 0y y y y+ − − = { }5S , 3, 02

= − ±

330) 6 33 11 4 0v v− − = 3

3 9S 4,3

=

331) 8 44 35 9 0a a− − = { }S 3 = ±

332) ( ) ( )4 22 3 3 2 3 2 0h h− + − + = ( ){ }S 3 1 = ± +

333) ( ) ( )4 22 2 5 7 5 4 5 9 0m m+ − − − = ( ){ }S 2 5 , 5 = ± − ±

334) 4 315 34 34 15 0x x x− + − = { }3 5S 1, ,5 3

= ±

335) 3 228 37 37 28 0x x x− − + = { }4 7S 1, ,7 4

= −

336) 3 27 57 57 7 0b b b− + − = { }1S , ,7

= 1 7

337) 4 3 235 4 78 4 35 0p p p p− − − + = { }5 7S , ,7 5

= −1

162

338) Quale numero diverso da 0 è tale che la sua decima parte è uguale a dieci volte il quadrato del

numero stesso?

a) 1100

; b) 110

; c) 12

d) 1; e) 10.

[Olimpiadi Matematica, 1999]

339) Siano a, b, c le soluzioni dell’equazione 040183 23 =+−− xxx . Sapendo che 10=ab ,

calcolare ( )bac + .

a) 28− b) 18− c) 21 d) 22 e) non si può determinare


340) Quante soluzioni positive ha l’equazione 1+1/(1+1/(1+1/1/x)) = x?

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) infinite.


341) Il valore di a ≥ 0, per cui l’equazione 2 1 0x ax a+ + + = ha almeno una soluzione reale, è

a) 2 2 2+ ; b) 2 2 2− ; c) 3 3 3+ ; d) 3 2 3− ; e) 2 2 3+ .


342) Quanti numeri interi relativi x risolvono l’equazione ( ) 1122 =−− +x

xx ?

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) infiniti


343) a e b sono due numeri reali tali che 2a4 − 4ab + b2 + 2 = 0 .

Quanti valori distinti può assumere a?

a) 1; b) 2; c) 3;

d) 4; e) non esiste alcuna coppia (a, b) che verifica la condizione.

[Olimpiadi Matematica 2005]

344) Il numero reale a è tale che l’equazione x2 + 2ax + 1 = 0 ha due soluzioni reali coincidenti.

Quanti sono i possibili valori di a?

a) Nessuno; b) uno; c) due; d) tre; e) quattro.


345) Per quanti numeri naturali n, sia n che (n − 6)2 + 1 sono primi?

a) 1; b) 3; c) 4; d) 7; e) più di 8.


163

346) Per quanti valori distinti del numero naturale n l’equazione 3x2 + 2nx + 3 = 0 ha due soluzioni

reali distinte, e queste sono entrambe numeri interi?

a) Nessuno; b) 1; c) 2; d) 4; e) più di 5.

[Olimpiadi Matematica 2010]

347) Determina la somma dei quadrati di tutti i numeri reali che soddisfano l’equazione

256 32256 0x − = .

a) 1 b) 8 c) 9 d) 2 e) 4

[Olimpiadi Matematica, Tor Vergata, 2010]

164

CAPITOLO 15

LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

15.1 La funzione y = ax2

Nel capitolo 11 abbiamo visto che la rappresentazione grafica della funzione espressa da un

polinomio di primo grado, y = ax + b (al variare di a, b in R), è una retta non parallela all’asse

delle ordinate.

È lecito chiedersi quale sarà la rappresentazione grafica di un polinomio di secondo grado, cioè

della funzione ( ) 2f x ax bx c= + + al variare dei coefficienti a, b, c nell’insieme dei numeri reali.

Osserviamo subito che sarà sempre a ≠≠≠≠ 0; infatti: ( )0 a f x bx c= ⇒ = + e, quindi, l’espressione di

( )f x è data da un polinomio di primo grado e la sua rappresentazione grafica è una retta.

Tutte le considerazioni che faremo in questo capitolo terranno conto della condizione { }0a∈ −R .

Consideriamo la funzione ( ) 2f x ax bx c= + + nel caso in cui b = 0 e c = 0; quindi la funzione

( ) 2f x ax==== e determiniamone la rappresentazione grafica.

Come fatto in precedenza, iniziamo con l’analisi di casi particolari per arrivare, successivamente,

alla generalizzazione.

� 1a ====

Si ha la funzione 2y x= (fig. 1).

Nella prima e seconda colonna della seguente tabella sono riportati, rispettivamente, alcuni

valori assegnati alla variabile indipendente e le loro immagini.

(fig. 1)

2y x=

x y

2− 4

1− 1

0 0

1 1

2 4

165

Analizziamo la rappresentazione grafica ottenuta:

a) i punti appartenenti alla funzione 2y x= non sono allineati; la curva che abbiamo ottenuto

si chiama parabola e, si dice, che ha la concavità rivolta verso l’alto;

b) l’origine degli assi è un punto della parabola;

c) la parabola è situata nel I e II quadrante;

d) per ogni punto della parabola ne esiste un altro che, pur avendo ascissa diversa, ha la

stessa ordinata (ad esempio: i punti A e B, i punti C e D) e questi sono equidistanti

dall’asse delle ordinate.

Dalle osservazioni b) e c) deduciamo che il codominio della funzione 2y x= è l’insieme 0+R ; in

particolare, il codominio della funzione ammette un valore minimo: il valore “0”.

Il punto che ha come ordinata questo valore, cioè il più piccolo fra i valori appartenenti al

codominio della funzione, prende il nome di vertice della parabola.

L’osservazioni d) ci permette di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria per la

parabola.

� a = 2

Si ha, quindi, la funzione 22y x= .

In fig. 2 sono riportati i grafici della funzione 2y x= (colore nero) 22y x= (colore rosso)

(fig. 2)

22y x=

x y

2− 8

1− 2

0 0

1 2

2 8

166

Analizziamo la fig. 2 per cogliere analogie e differenze fra le due rappresentazioni grafiche.

Analogie

• i punti di entrambe le funzioni non sono allineati;

• la curva rappresentativa di 22y x= ha la stessa forma del grafico della funzione 2y x= ,

quindi anche essa è una parabola ed ha la concavità rivolta verso l’alto;

• l’origine degli assi appartiene al grafico di entrambe le funzioni;

• entrambe le parabole sono situate nel I e II quadrante;

• in entrambe le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la

stessa ordinata e questi sono equidistanti dall’asse delle ordinate.

Entrambe le funzioni, quindi, hanno come:

• codominio l’insieme 0+R ;

• vertice l’origine degli assi;

• asse di simmetria l’asse delle ordinate.

Differenze

L’unica differenza fra i due grafici riguarda l’ampiezza della parabola: la parabola di equazione

22y x= è “più stretta” rispetto a quella di equazione 2y x= .

Poiché l’unica differenza fra le equazioni delle due funzioni è il valore di a (coefficiente numerico

del monomio di secondo grado), possiamo pensare che l’ampiezza della parabola dipenda dal valore

di a.

In fig. 3 è disegnata la parabola di equazione 2y x= ; completa la seguente tabella e rappresenta,

nella stessa figura, la funzione di equazione 212

y x= .

(fig. 3)

212

y x=

x y

2−

1−

0

1

2

167

Analizza la fig. 3 per cogliere analogie e differenze fra le due rappresentazioni grafiche, come fatto

in precedenza .

Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere

Analogie

• i punti di entrambe le funzioni ………. sono allineati;

• la curva rappresentativa di 212

y x= ha la …………… forma del grafico della funzione

2y x= , quindi anche essa è una parabola ed ha la concavità rivolta verso l’………..;

• l’origine degli assi appartiene al grafico di ………… le funzioni;

• entrambe le parabole sono situate nel …… e ……. quadrante;

• in entrambe le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la

……………….. ordinata e questi sono ……………………… dall’asse delle ordinate.

Entrambe le funzioni, quindi, hanno come:

• codominio l’insieme …….. ;

• vertice l’…….. degli assi;

• asse di simmetria l’asse delle ……………………. .

Differenze

La sola differenza fra i due grafici riguarda l’ampiezza della parabola: la parabola di equazione

212

y x= è “più larga” rispetto a quella di equazione 2y x= .

In fig. 4 è rappresentata la parabola 2y x= . Rappresenta, nella stessa figura, le funzioni del tipo

2y ax= assegnando ad a i seguenti valori: 13

a = ; 34

a = ; 32

a = ; 3a = .

(fig. 4)

168

Analizza la fig. 4 per cogliere analogie e differenze fra le rappresentazioni grafiche ottenute e ripeti

le osservazioni fatte per le figg. 2 e 3.

Riassumendo i risultati ottenuti, possiamo affermare che tutte le funzioni rappresentate hanno come:

• grafico una parabola con la concavità rivolta verso l’alto;

• codominio l’insieme 0+R ;

• vertice l’origine degli assi;

• asse di simmetria l’asse delle ordinate.

L’unica differenza fra i diversi grafici riguarda l’ampiezza della parabola; tale ampiezza dipende dal

coefficiente a.

Osserviamo che, in questi casi, all’aumentare di a, la parabola diventa “più stretta”.

Nei casi precedenti abbiamo considerato, per il coefficiente a, solo valori positivi; adesso,

assegniamo ad a valori negativi.

� 1a = −= −= −= −

Si ha, quindi, la funzione 2y x= − la cui rappresentazione grafica è riportata in fig. 5.

(fig. 5)

Analizziamo la rappresentazione grafica ottenuta:

a) i punti appartenenti alla funzione 2y x= − non sono allineati; la curva che abbiamo

ottenuto, possiamo dire, che è analoga a quella della funzione 2y x= però è capovolta; essa

è, quindi, una parabola e la sua concavità è rivolta verso il basso;

b) l’origine degli assi è un punto della parabola;

c) la parabola è situata nel III e IV quadrante;

2y x= −

x y

2− −4

1− −1

0 0

1 −1

2 −4

169

d) per ogni punto della parabola ne esiste un altro che, pur avendo ascissa diversa, ha la

stessa ordinata (ad esempio: i punti A e B, i punti C e D) e questi sono equidistanti

dall’asse delle ordinate.

Dalle osservazioni b) e c) deduciamo che il codominio della funzione 2y x= − è l’insieme 0−R ;

in particolare, il codominio della funzione ammette un valore massimo: il valore “0”.

Il punto che ha come ordinata questo valore, cioè il più grande fra i valori appartenenti al

codominio della funzione, è il vertice della parabola.

L’osservazioni d) ci permette di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria per la

parabola.

In fig. 6 è rappresentata la parabola 2y x= − .

Completa le seguenti tabelle e rappresenta, nella stessa figura, le funzioni del tipo 2y ax= dove

ad a sono stati assegnati valori negativi: 12

a = − ; 32

a = − ; 2a = − .

(fig.6)

212

y x= − x −2 −1 0 1 2

y

223

y x= − x −3 −1 0 1 3

y

232

y x= − x −2 −1 0 1 2

y

22y x= − x −2 −1 0 1 2

y

170

Analizza la fig. 6 per cogliere analogie e differenze fra le rappresentazioni grafiche ottenute.

Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere

Analogie

• i punti di tutte le funzioni ……… sono allineati;

• le curve rappresentative delle diverse funzioni hanno la …………… forma del grafico

della funzione 2y x= − , quindi anche esse sono parabole con la concavità rivolta verso il

…………….. ;

• l’origine degli assi appartiene al grafico di ………… le funzioni;

• tutte le parabole sono situate nel …… e ……. quadrante;

• in tutte le funzioni, per ogni punto ne esiste uno che, pur avendo ascissa diversa, ha la

……………….. ordinata e questi sono ……………………… dall’asse delle ordinate.

Tutte le funzioni rappresentate nella fig. 6, quindi, hanno come:

• codominio l’insieme …….. ;

• vertice l’…….. degli assi;

• asse di simmetria l’asse delle ……………………. .

Differenze

L’unica differenza fra i grafici delle diverse funzioni riguarda l’ampiezza della parabola:

− la parabola di equazione 212

y x= − è “più larga” rispetto a quella di equazione 2y x= − ;


y x= − è “più larga” rispetto a quella di equazione 2y x= − ;


y x= − è “più stretta” rispetto a quella di equazione 2y x= − ;

− la parabola di equazione 22y x= − è “più stretta” rispetto a quella di equazione 2y x= − .

Poiché l’unica differenza fra le equazioni delle due funzioni è il valore di a (coefficiente numerico

del monomio di secondo grado), si rafforza l’ipotesi che l’ampiezza della parabola dipenda dal

valore di a.

Osserviamo che, nel caso in cui a assume valori negativi, all’aumentare del valore di a la

parabola diventa “più larga”.

Possiamo, adesso, così sintetizzare le osservazioni fin qui fatte:

� la rappresentazione grafica della funzione 2y ax==== { }( )0a∈ −R è una parabola avente per

vertice l’origine degli assi e per asse di simmetria l’ asse delle ordinate.

Il vertice è il punto intersezione della parabola con il suo asse di simmetria.

171

Dal valore di a dipende l’ampiezza della parabola

Distinguiamo i seguenti casi:

� a > 0

� la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto;

� la parabola è situata nel I e III quadrante; il codominio della funzione è 0+R

( ), 0x y∀ ∈ ≥R ;

� maggiore è il valore di a, minore è l’ampiezza della parabola.

� a < 0

� la parabola ha la concavità rivolta verso il basso;

� la parabola è situata nel II e IV quadrante; il codominio della funzione è 0−R

( ), 0x y∀ ∈ ≤R ;

� maggiore è il valore di a, maggiore è l’ampiezza della parabola.

PROVA TU

Senza rappresentarle, indica dei grafici delle seguenti funzioni:

▪ la concavità; ▪ il codominio della funzione;

▪ le coordinate del vertice; ▪ l’asse di simmetria.

a) 24y x= − ; b) 254

y x= ; c) 2613

y x= ; d) 214

y x= − ; e) 25y x= −

15.2 La funzione 2y ax bx c= + += + += + += + +

Analizziamo tre casi:

I caso: b = 0 e c ≠≠≠≠ 0. La funzione, quindi, è del tipo 2y ax c= += += += +

� Sia a = 1 e c = 1; l’equazione della funzione diventa 2 1y x= + il cui grafico è riportato in fig.7.

(fig. 7)

2 1y x= +

x y

2− 5

1− 2

0 1

1 2

2 5

172

Osservando la fig.7, notiamo che:

a) la curva ottenuta è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto (a > 0);

b) la parabola è situata nel I e III quadrante; il suo codominio è l’insieme C = [ [1,+∞+∞+∞+∞

c) il punto intersezione della parabola con l’asse delle ordinate ha coordinate ( )0,1 ;

d) il vertice della parabola ha coordinate ( )0,1 , perchè il “più piccolo” valore del codominio è 1;

e) esistono sempre due punti della parabola che, pur avendo ascissa diversa, hanno uguale

ordinata;

f) per ogni punto della parabola ne esiste uno che ha la stessa distanza dall’asse delle ordinate.

Le osservazioni e) ed f) ci permettono di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria

della parabola.

In fig. 8 sono rappresentate le funzioni 2y x= (colore rosso) e 2 1y x= + (colore nero)

(fig. 8)

Poniamo la nostra attenzione sulle coordinate dei punti A (appartenete a 2y x= ) e A' (appartenente

a 2 1y x= + ): A ( )1,1− , A' ( )1,2− .

Si ha, quindi: A' Ax x= , A' A 1y y= +

Osservando le coordinate degli altri punti evidenziati in fig. 8, si osserva che:

♦ B' Bx x= , B' B 1y y= + ; ♦ C' Cx x= , C' C 1y y= + ; ♦ D' Dx x= , D' D 1y y= + .

Queste osservazioni sono più generali:

♦ presi due punti M (appartenente alla parabola 2y x= ) ed M' (appartenente alla parabola

2 1y x= + ) aventi la stessa ascissa, per le loro ordinate vale la relazione M' M 1y y= += += += +

173

Possiamo, allora, dire che la parabola di equazione 2 1y x= + è ottenuta da quella di equazione

2y x= applicando una traslazione di vettore v�

parallelo all’asse delle ordinate, avente verso uguale

a quello della direzione positiva dell’asse y e v�

=1.

Le equazioni delle parabole che abbiamo confrontato, differiscono fra di loro per la presenza del

termine c = 1.

� Sia a = 1 e c = −−−−1; l’equazione della funzione diventa 2 1y x= − .

In fig. 9 sono riportati i grafici delle funzioni 2 1y x= − (colore nero) e 2y x= (colore rosso).

(fig. 9)

Osserviamo il grafico della funzione 2 1y x= − .

a) la curva ottenuta è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto (a > 0);

b) i punti della parabola sono situati in tutti i quadranti; il codominio della funzione è l’insieme

[ [C 1,= − +∞= − +∞= − +∞= − +∞ ;

c) il punto intersezione della parabola con l’asse delle ordinate ha coordinate ( )0, 1−−−− ;

d) il vertice della parabola ha coordinate ( )0, 1−−−− , perchè il “più piccolo” valore del codominio è

−−−−1;

e) esistono sempre due punti della parabola che, pur avendo ascissa diversa, hanno uguale

ordinata;

f) per ogni punto della parabola ne esiste uno che ha la stessa distanza dall’asse delle ordinate.

Le osservazioni e) ed f) ci permettono di affermare che l’asse delle ordinate è asse di simmetria

della parabola.

2 1y x= −

x y

2− 3

1− 0

0 −1

1 0

2 3

174

Come fatto in precedenza, confrontiamo i due grafici della fig. 9; in particolare cerchiamo di

stabilire delle relazioni fra le coordinate dei punti evidenziati.

Osserviamo che:

♦ A' Ax x= , A' A 1y y= − ; ♦ B' Bx x= , B' B 1y y= − ;

♦ C' Cx x= , C' C 1y y= − ; ♦ D' Dx x= , D' D 1y y= − .

Queste osservazioni, come nel caso precedente, sono più generali:

♦ presi due punti M , appartenente alla parabola 2y x= , ed M' , appartenente alla parabola

2 1y x= − , aventi la stessa ascissa, per le loro ordinate vale la relazione M' M 1y y= −= −= −= −

Possiamo, allora, dire che la parabola di equazione 2 1y x= − è ottenuta da quella di equazione

2y x= applicando una traslazione di vettore v�

parallelo all’asse delle ordinate, avente verso

opposto a quello della direzione positiva dell’asse y e v�

=1.

Le equazioni delle parabole che abbiamo ora confrontato, differiscono fra di loro per la presenza del

termine c = −1.

• Dalla rappresentazione grafica delle funzioni 2 1y x= + e 2 1y x= − deduciamo che:

� il termine c, nell’equazione della parabola 2y ax c= + , indica l’ordinata del punto

intersezione della parabola stessa con l’asse delle ordinate ed è anche l’ordinata del

vertice della parabola;

� c è uguale al modulo del vettore �v , parallelo all’asse delle ordinate, della traslazione che

alla parabola di equazione y = ax2 fa corrispondere la parabola di equazione 2y ax c= += += += + ;

Inoltre,

• c > 0 : il verso di �v è uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle

ordinate;

• c < 0: il verso di �v è opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle

ordinate.

Rappresenta, nel piano cartesiano della fig. 10, dove è stata rappresentata la funzione 2y x= − , le

funzioni sotto elencate, e individua le caratteristiche della loro rappresentazione grafica come fatto

nell’esempio precedente:

a) 2 1y x= − + ; b) 2 1y x= − − ; c) 2 2y x= − − ; d) 2 12

y x= − +

175

(fig. 10)

In generale, allora:

� la rappresentazione grafica della funzione 2y ax c= += += += + è una parabola che ha vertice nel punto

di coordinate ( )0,c e per asse di simmetria l’ asse delle ordinate .

Il vertice, come nel caso precedente, è il punto intersezione della parabola con il suo asse di

simmetria.

Inoltre,

� se a > 0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto e il codominio della funzione è

l’insieme [ [C ,c= +∞= +∞= +∞= +∞ ;

� se a < 0; la parabola ha la concavità rivolta verso il basso e il codominio della funzione è

l’insieme [ [C ,c= −∞= −∞= −∞= −∞ .

� La parabola di equazione 2y ax c= += += += + è ottenuta per traslazione da quella di equazione y = ax2.

Il vettore �v della traslazione è parallelo all’asse delle ordinate ed è tale che:

• �v c==== ;

• se c > 0, ha verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate;

• se c < 0, ha verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

176

PROVA TU

Senza rappresentarle, stabilisci qual è il grafico delle seguenti funzioni indicandone le

caratteristiche:

▪ concavità; ▪ coordinate del punto intersezione con l’asse y;

▪ asse di simmetria; ▪ coordinate del vertice; ▪ codominio della funzione.

a) 2 122

y x= − + ; b) 23 34

y x= − ; c) 2 23

y x= − + ; d) 21 44

y x= −

II caso: b ≠≠≠≠ 0 e c = 0. La funzione, quindi, è del tipo 2y ax bx= += += += + .

� Sia a = 1 e b = 2; la funzione diventa 2 2y x x= + .

La rappresentazione grafica di questa funzione è riportata nella fig. 11.

(fig. 11)

Dall’analisi della fig. 11, notiamo che:

a) il grafico della funzione 2 2y x x= + è, come ci aspettavamo, una parabola con la concavità

rivolta verso l’alto (a > 0) e che questa passa per l’origine degli assi;

b) il codominio della funzione è l’insieme [ [C 1,= − +∞= − +∞= − +∞= − +∞ ;

c) il vertice della parabola ha coordinate ( )1, 1− −− −− −− − , perché 1−−−− è il “più piccolo” valore del

codominio;

d) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono equidistanti dalla retta di

equazione 1= −= −= −= −x ;

e) la retta di equazione 1= −= −= −= −x , quindi, è asse di simmetria per la parabola.

Mettiamo in evidenza che, in questa parabola, il vertice non è un punto dell’asse delle ordinate e,

di conseguenza, l’asse di simmetria non è l’asse delle ordinate, ma è una retta ad esso parallela.

2 2y x x= +

x y

2− 0

1− −1

0 0

1 3

2 8

177

Dal confronto della forma delle equazioni delle parabole che abbiamo rappresentato, deduciamo che

dal coefficiente b dipende l’ascissa del vertice della parabola e, quindi, l’equazione dell’asse di

simmetria.

In realtà, è possibile dimostrare, e lo farai nel corso degli studi dei prossimi anni, che l’ascissa del

vertice di una parabola è legata ai coefficienti a e b dalla relazione: V 2= −= −= −= − bx

a .

Per determinare l’ordinata del vertice della parabola è sufficiente determinare ( )2bfa

− .

Quindi, il vertice della parabola ha coordinate ( )( ),2 2

− −− −− −− −b bfa a

.

L’asse di simmetria, essendo una retta parallela all’asse delle ordinate e passante per il vertice della

parabola, ha equazione 2= −= −= −= − bx

a .

� Sia a = −1 e b = 1; la funzione diventa 2y x x= − + e la sua rappresentazione è riportata in fig.12.

(fig. 12)

Dall’osservazione della fig. 12 non è semplice determinare le coordinate del vertice; le calcoliamo,

allora, applicando le relazioni scritte in precedenza:

♦ ( )V V1 1

2 22 1bx xa

= − ⇒ = − =⋅ −

♦ ( ) ( )2

V1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4

y f= = − + = − + =

2y x x= − +

x y

1− −2

0 0

1 0

2 −2

3 −6

178

Analizzando la fig. 12, completa le seguenti proposizioni:

a) il grafico della funzione 2y x x= − + è una ………………… con la concavità rivolta verso il

……………… (a …….. 0) e questa passa per l’…………….. degli assi;

b) il codominio della funzione è l’insieme 1C ......... ,4

=

;

c) il vertice della parabola ha coordinate ( )......... , ......., perché …….. è il “più grande” valore

del codominio;

d) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono ………………….. dalla retta di

equazione ...........x = ;

e) la retta di equazione ..........x = , quindi, è asse di simmetria per la parabola.

Rappresenta, nel piano cartesiano della fig. 13, le funzioni sottoelencate e, per ciascuna di esse,

individua le caratteristiche della rappresentazione grafica come fatto negli esempi precedenti:

a) 2 2y x x= − ; b) 22 3y x x= − + ; c) 212

y x x= − ; d) 2y x x= − −

(fig. 13)

179

Possiamo, adesso, generalizzare:

� la rappresentazione grafica della funzione 2y ax bx= += += += + è una parabola passante per l’origine

degli assi;

� il vertice ha coordinate: V 2= −= −= −= − bx

a, ( )V 2

= −= −= −= − by fa

;

� l’ asse di simmetria è la retta di equazione 2

= −= −= −= − bxa

.

Inoltre:


l’insieme ( )

C ,2

= − +∞= − +∞= − +∞= − +∞bfa

;


l’insieme ( )

C ,2

= −∞ −= −∞ −= −∞ −= −∞ − bfa

.

PROVA TU

Senza rappresentarle, stabilisci qual è il grafico delle seguenti funzioni indicandone le

caratteristiche:



a) 22 33

y x x= − − ; b) 23 55

y x x= − ; c) 24y x x= − ; d) 3 22

y x= − + .

III caso: b ≠≠≠≠ 0 e c ≠≠≠≠ 0. La funzione, quindi, è del tipo 2y ax bx + c= += += += + .

Nell’analizzare la funzione 2y ax c= + , abbiamo osservato che essa può essere ottenuta per

traslazione dalla funzione 2y ax= ed il vettore traslazione, parallelo all’asse delle ordinate,

dipende, in qualche modo, dal coefficiente c.

Le osservazioni fatte in quel caso, valgono anche per la funzione 2y ax bx c= + + : essa, infatti, può

essere ottenuta dalla funzione 2y ax bx= + per traslazione ed il vettore traslazione, parallelo all’asse

delle ordinate, dipende dal coefficiente c.

Ad esempio, nella fig. 14 sono rappresentate le funzioni 2 2 1y x x= + − (colore rosso) e 2 2y x x= +

(colore nero).

180

(fig. 14)

Osservando la fig. 14, possiamo dire che

a) il grafico della funzione 2 2 1y x x= + − è una parabola che ha la concavità rivolta verso l’alto

(a > 0) ;

b) il punto intersezione con l’asse y ha coordinate ( )0, 1− ;

c) il codominio della funzione è l’insieme [ [C 2,= − +∞= − +∞= − +∞= − +∞ ;

d) il vertice della parabola ha coordinate ( )1, 2− −− −− −− − , perché 1−−−− è il “più piccolo” valore del

codominio (determina le coordinate del vertice applicando le relazioni precedenti) ;

e) i punti della parabola che hanno la stessa ordinata sono equidistanti dalla retta di

equazione 1= −= −= −= −x ;

f) la retta di equazione 1= −= −= −= −x , quindi, è asse di simmetria per la parabola.

Confrontiamo, ora, i grafici della fig. 14 e, in particolare, cerchiamo di stabilire delle relazioni fra le

coordinate dei punti evidenziati.

Osserviamo che:

♦ A' Ax x= , A' A 1y y= − ; ♦ B' Bx x= , B' B 1y y= − ;

♦ V' Vx x= , V' V 1y y= − ; ♦ C' Ox x= , C' O 1y y= − ;

♦ D' Dx x= , D' D 1y y= − .

Queste osservazioni sono più generali:

♦ preso il punto P, appartenente alla parabola 2 2y x x= + , ed il punto P' , appartenente alla

parabola 2 2 1y x x= + − , aventi la stessa ascissa, per le loro ordinate vale la relazione

P' P 1y y= −= −= −= − .

2 2 1y x x= + −

x y

−3 2

2− 1−

1− 2−

0 1−

1 3

181

Quindi, la parabola di equazione 2 2 1y x x= + − è ottenuta da quella di equazione 2 2y x x= +

applicando una traslazione di vettore v�

parallelo all’asse delle ordinate, avente verso opposto a

quello della direzione positiva dell’asse y e v�

=1.

Possiamo, adesso, generalizzare:

� la rappresentazione grafica della funzione 2y ax bx + c= += += += + è una parabola che interseca

l’asse delle ordinate nel punto di coordinate ( )0,c ;

� il vertice ha coordinate: V 2= −= −= −= − bx

a, ( )V 2

= −= −= −= − by fa

;

� l’ asse di simmetria è la retta di equazione 2

= −= −= −= − bxa

.

Inoltre:


l’insieme ( )

C ,2

= − +∞= − +∞= − +∞= − +∞bfa

;


l’insieme ( )

C ,2

= −∞ −= −∞ −= −∞ −= −∞ − bfa

.

� La parabola di equazione 2y ax bx c= + += + += + += + + può essere ottenuta per traslazione da quella di

equazione 2y ax bx= += += += + .

Il vettore �v della traslazione, parallelo all’asse delle ordinate, è tale che:

• �v c==== ;

• se c > 0, ha verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate;

• se c < 0, ha verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

PROVA TU

Senza rappresentarle, indica le caratteristiche della rappresentazione grafica delle seguenti funzioni:



a) 23 2 1y x x= − + ; b) 23 24

y x x= − − − ; c) 25 32

y x x= − + ; d) 22 3 5y x x= − + −

182

Esempio

Rappresentiamo la funzione di equazione 23 4 1y x x= − + − .

L’equazione della funzione è del tipo 2y ax bx c= + + , dove a = −3, b = 4, c = −1.

Il suo grafico è, quindi, una parabola con la concavità rivolta verso il basso (a < 0).

Per determinarne la rappresentazione grafica è necessario calcolare:

• le coordinate del vertice,

• l’equazione dell’asse di simmetria;

• le coordinate di un punto della parabola distinto dal vertice e il suo simmetrico rispetto all’asse

di simmetria.

Calcoliamo le coordinate del vertice della parabola:

( )V V4 2

2 32 3bx xa

= − ⇒ = − =⋅ −

( ) ( )2

V2 2 2 4 8 4 8 1 3 4 1 3 1 13 3 3 9 3 3 3 3

y f= = − + ⋅ − = − ⋅ + − = − + − =

Il vertice della parabola, quindi, è il punto V ( )2 1,3 3

.

L’asse di simmetria è la retta a parallela all’asse delle ordinate passante per il vertice; la sua

equazione quindi, è 23

x = .

Poiché c = −1, la parabola interseca l’asse delle ordinate nel punto A( )0, 1− .

È sufficiente, poi, disegnare il punto A' , simmetrico di A rispetto all’asse di simmetria.

Il grafico della funzione è riportato nella fig. 15.

(fig. 15)

13

23

183

PROVA TU

Dopo averne determinato le caratteristiche, rappresenta le seguenti funzioni:

a) 21( ) 22

f x x x= − + ; b) 2 324

y x= − + ; c) 2 3 1y x x= − + + ; d) 25y x=

15.3 Equazioni di secondo grado in una variabile e parabola

Ricordiamo che una delle soluzioni di un’equazione ridotta a forma normale, quindi del tipo

( )P 0x = , rappresenta, dal punto di vista grafico, l’ascissa di uno dei punti intersezione della

funzione ( )Py x= con l’asse delle ascisse.

� Le soluzioni, se esistono, dell’equazione 2 0ax bx c+ + =+ + =+ + =+ + = , allora, sono le ascisse dei punti

intersezione della parabola di equazione 2y ax bx + c= += += += + con l’asse x e, viceversa, le ascisse

dei punti intersezione, se esistono, della parabola 2y ax bx + c= += += += + con l’asse x sono soluzioni

dell’equazione 2 0ax bx c+ + =+ + =+ + =+ + = .

Ad esempio, osservando la fig. 15, notiamo che la parabola, di equazione 23 4 1y x x= − + − ,

interseca l’asse delle ascisse in due punti di ascissa, rispettivamente, 113

x = e 2 1x = .

L’equazione 23 4 1 0x x− + − = , quindi, ha due soluzioni e queste sono le ascisse dei punti

intersezione della parabola con l’asse x; l’insieme soluzione è, pertanto, { }1S ,13

= .

Ricordiamo, inoltre, che data l’equazione 2 0ax bx c+ + = , si ha:

� 0∆ > ⇔ l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;

� 0∆ = ⇔ l’equazione ha una sola soluzione reale;

� 0∆ < ⇔ l’equazione non ha soluzioni reali.

Possiamo, perciò, mettere in relazione il valore del discriminate dell’equazione 2 0ax bx c+ + = con

la posizione della parabola 2y ax bx c= + + nel piano cartesiano.

� 0∆ >∆ >∆ >∆ > ⇔ la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti ;

� 0∆ =∆ =∆ =∆ = ⇔ la parabola interseca l’ asse delle ascisse in un solo punto, il vertice, (o due punti

coincidenti); in questo caso l’asse delle ascisse è tangente alla parabola;

� 0∆ <∆ <∆ <∆ < ⇔ la parabola non ha intersezioni con l’asse delle ascisse.

184

Nelle seguenti figure sono sintetizzate le diverse possibilità:

PROVA TU

Senza rappresentarle, stabilisci se le seguenti funzioni intersecano l’asse delle ascisse e determina,

eventualmente, l’ascissa dei loro punti intersezione :

a) ( ) 2 3 2f x x x= − + − ; b) 22 1y x x= − + ; c) 2 4 4y x x= + + ; d) 23 1y x= −

a > 0 ∆∆∆∆ > 0

a > 0 ∆∆∆∆ = 0

a > 0 ∆∆∆∆ < 0

a < 0 ∆∆∆∆ > 0

a < 0 ∆∆∆∆ = 0

a < 0 ∆∆∆∆ < 0

Fig. 16a Fig. 16b

Fig. 16c Fig. 16d

Fig. 16e Fig. 16f

185

15.4 Disequazioni di secondo grado in una variabile e parabola

Sia ( ) 2P 3 2x x x= − − un polinomio; se attribuiamo ad x un numero reale, si può verificare una

delle seguenti relazioni:

a) ( )P 0x = ; b) ( )P 0x > ; c) ( )P 0x <

Ad esempio,

2x = − ⇒ ( ) ( ) ( )2P 2 3 2 2 2 12 0− = − − − − = > ; quindi 2x = − ⇒ ( )P 0x > [è vera la b)]

1x = ⇒ ( ) ( )2P 1 3 1 1 2 0= − − = ; quindi 1x = ⇒ ( )P 0x = [è vera la a)]

0x = ⇒ ( ) ( )2P 0 3 0 0 2 2 0= − − = − < ; quindi 0x = ⇒ ( )P 0x < [è vera la c)]

Esistono altri numeri reali che rendono vere le relazioni a), b) o c)?

Ci proponiamo, allora, di determinare:

a) tutti i valori di x per i quali ( )P 0x = e, quindi, le soluzioni dell’equazione 23 2 0x x− − = ;

b) tutti i valori di x per i quali ( )P 0x > e, quindi, le soluzioni della disequazione 23 2 0x x− − > ;

c) tutti i valori di x per i quali ( )P 0x < e, quindi, le soluzioni della disequazione 23 2 0x x− − < .

Osserviamo che le relazioni b) e c) sono disequazioni nelle quali il primo membro è un polinomio

di secondo grado; esse, quindi, sono disequazioni di secondo grado (in una variabile).

Per risolvere i tre quesiti proposti, rappresentiamo nel piano cartesiano il polinomio

( ) 2P 3 2x x x= − − (Fig. 17)

(Fig. 17)

23

−−−−

186

Dall’osservazione della fig. 17, possiamo dedurre che:

− i valori di x per i quali 23 2 0x x− − = sono le ………..…….………. dei punti A e …….,

intersezione della parabola con l’…….….. delle ………………….. ; quindi ......x = e ......x = .

(Determina lo stesso risultato algebricamente).

Riflettiamo ancora sulla fig. 17.

L’asse delle ascisse “divide” la parabola in tre archi:

♦ due archi (colore rosso) sono situati “al di sopra” dell’asse x; i loro punti hanno ordinata

………………… ;

♦ un arco, che ha come estremi i punti A e B (colore nero), è situato “al di sotto” dell’asse x; i suoi

punti hanno ordinata …………………… .

Possiamo, allora, dire che:

� le ascisse dei punti della parabola di ordinata positiva sono le soluzioni della disequazione

23 2 0x x− − >− − >− − >− − > ;

� le ascisse dei punti della parabola di ordinata negativa sono le soluzioni della disequazione

23 2 0x x− − <− − <− − <− − < .

Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono agli archi situati “al di sopra”

dell’asse x ( ordinata positiva) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.

(Fig. 18)

In fig. 18, i punti in rosso sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in verde) della parabola che

hanno ordinata positiva .

23

−−−−

187

Osserviamo che:

le ascisse dei punti di ordinata positiva sono minori dell’ascissa di …….. oppure sono maggiori

dell’ascissa di ……… .

Possiamo, allora, dire che la relazione 23 2 0x x− − > è verificata da tutti i numeri reali minori di

23

− oppure da tutti i numeri reali maggiori di 1.

Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione 23 2 0x x− − >− − >− − >− − > è ] [

2S , 1,3

= −∞ − ∪ +∞= −∞ − ∪ +∞= −∞ − ∪ +∞= −∞ − ∪ +∞ .

Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 19). (Fig. 19) (Fig. 19)

Come possiamo notare, le soluzioni dell’equazione 23 2 0x x− − = ( 23

− e 1) dividono l’insieme R in

tre parti e le soluzioni della disequazione 23 2 0x x− − > sono date da tutti i numeri “al di fuori”

dell’intervallo che ha come estremi 23

− e 1.

L’ equazione 23 2 0x x− − =− − =− − =− − = prende il nome di equazione associata alla disequazione

23 2 0x x− − >− − >− − >− − > ; inoltre, è consuetudine dire che le soluzioni della disequazione 23 2 0x x− − >− − >− − >− − >

sono date dai valori esterni all’ intervallo delle soluzioni dell’equazione associata.

Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono all’arco situato “al di sotto” dell’asse

x ( ordinata negativa) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.

(Fig.20)

23

−−−−

23

−−−−

188

In fig. 20, i punti in viola sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in azzurro) della parabola

che hanno ordinata negativa.

Osserviamo che:

le ascisse dei punti di ordinata negativa sono maggiori dell’ascissa di …….. e minori dell’ascissa di

……… .

Possiamo, perciò, dire che la relazione 23 2 0x x− − < è verificata da tutti i numeri reali compresi

fra 23

− e 1.

Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione 23 2 0x x− − <− − <− − <− − < è

2S ,13

= −= −= −= − .

Rappresentiamo graficamente questo insieme (fig. 21).

(fig. 21)

Come possiamo notare, le soluzioni della disequazione 23 2 0x x− − < sono date da tutti i numeri

reali “interni” all’intervallo che ha come estremi 23

− e 1, soluzioni dell’equazione 23 2 0x x− − = .

In questo caso si dice che le soluzioni della disequazione 23 2 0x x− − <− − <− − <− − < sono i valori interni

all’ intervallo delle soluzioni dell’equazione associata.

Consideriamo, adesso, il polinomio ( ) 2A 4 3x x x= − + − .

Determiniamo tutti i valori della variabile per i quali:

a) ( )A 0x = ; quindi, le soluzioni dell’equazione 2 4 3 0x x− + − = ;

b) ( )A 0x > ; quindi, le soluzioni della disequazione 2 4 3 0x x− + − > ;

c) ( )A 0x < ; quindi, le soluzioni della disequazione 2 4 3 0x x− + − < .

Come nell’esempio precedente, le relazioni b) e c) sono disequazioni di secondo grado (in una

variabile).

Per risolvere i tre quesiti proposti, rappresentiamo nel piano cartesiano il polinomio

( ) 2A 4 3x x x= − + − (Fig. 22).

Osservando la fig. 22, determina le soluzioni del quesito a) usando sia il metodo grafico che quello

algebrico.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

23

−−−−

189

(Fig. 22)

(Fig. 22)

Riflettiamo ancora sulla fig. 22.

L’asse delle ascisse “divide” la parabola in tre archi:

♦ due archi (colore nero) sono situati “al di sotto” dell’asse x; i loro punti hanno ordinata

………………… ;

♦ un arco, che ha come estremi i punti A e B (colore rosso), è situato “al di sopra” dell’asse x; i

suoi punti hanno ordinata …………………… .

Ripetendo le osservazioni fatte nell’esempio precedente, si ha che:

� le ascisse dei punti della parabola di ordinata positiva sono le soluzioni della disequazione

− 2 3 0x x+ 4 − >+ 4 − >+ 4 − >+ 4 − > ;

� le ascisse dei punti della parabola di ordinata negativa sono le soluzioni della disequazione

− 2 3 0x x+ 4 − <+ 4 − <+ 4 − <+ 4 − < .

Consideriamo i punti della parabola che appartengono all’arco situato “al di sopra” dell’asse delle

ascisse (ordinata positiva) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.

(Fig.23)

Nella fig. 23, i punti in rosso sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in verde) della parabola

che hanno ordinata positiva.

190

Osserviamo che:

le ascisse dei punti di ordinata positiva sono maggiori dell’ascissa di …….. e minori dell’ascissa di

……… .

Possiamo, allora, dire che la relazione 2 4 3 0x x− + − > è verificata da tutti i numeri reali compresi

fra 1 e 3.

Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione − 2 3 0x x+ 4 − >+ 4 − >+ 4 − >+ 4 − > è ] [S 1,= 3= 3= 3= 3 .


(fig. 24)

Le soluzioni dell’equazione 2 4 3 0x x− + − = (1 e 3) dividono l’insieme R in tre parti; questa volta

le soluzioni della disequazione 2 4 3 0x x− + − > sono “interne” all’intervallo che ha come estremi 1

e 3.

In questo caso, le soluzioni della disequazione 23 2 0x x− − >− − >− − >− − > sono date dai valori interni

all’ intervallo delle soluzioni dell’equazione associata.

Consideriamo, adesso, punti della parabola che appartengono agli archi situati “al di sotto” dell’asse

x ( ordinata negativa) e confrontiamo le loro ascisse con quelle dei punti A e B.

(Fig. 25)

In fig. 25, i punti in viola sull’asse delle x indicano le ascisse dei punti (in azzurro) della parabola

che hanno ordinata negativa.

Osserviamo che:

le ascisse dei punti di ordinata negativa sono minori dell’ascissa di …….. e sono maggiori

dell’ascissa di ……… .

191

Possiamo, perciò, dire che la relazione 2 4 3 0x x− + − < è verificata da tutti i numeri reali “al di

fuori” dell’intervallo che ha come estremi i numeri 1 e 3.

Pertanto, l’insieme soluzione della disequazione − 2 3 0x x+ 4 − <+ 4 − <+ 4 − <+ 4 − < è ] [ ] [ S ,1 3,= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞ .


(fig. 26)

Le soluzioni della disequazione 2 4 3 0x x− + − < , allora, sono date da tutti i numeri reali “esterni”

all’intervallo che ha come estremi 1 e 3, soluzioni dell’equazione 2 4 3 0x x− + − = .

Quindi, le soluzioni della disequazione − 2 3 0x x+ 4 − <+ 4 − <+ 4 − <+ 4 − < sono date dai valori esterni all’ intervallo

delle soluzioni dell’equazione associata.

Proviamo, adesso, a generalizzare.

Una equazione di secondo grado in una variabile, ridotta a forma normale, è sempre del tipo:

• 2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > ; 2 0ax bx c+ + ≥+ + ≥+ + ≥+ + ≥

• 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + < ; 2 0ax bx c+ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤

Dagli esempi precedenti deduciamo che le soluzioni di una disequazione di secondo grado

dipendono della posizione della parabola 2y ax bx c= + + nel piano cartesiano.

Riprendiamo in esame le figure di pag. 21 e determiniamo, nei diversi casi, le soluzioni delle

disequazioni 2 0ax bx c+ + > e 2 0ax bx c+ + < .

Indicate con 1x e 2x ( )1 2x x≤ , le soluzioni, se esistono, dell’equazione 2 0ax bx c+ + = , si ha:

� 2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > : valori esterni all’ intervallo delle

soluzioni dell’equazione associata; quindi:

] [ ] [1 2S , ,x x= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞ oppure 1 2x x x x< ∨ >< ∨ >< ∨ >< ∨ > ;

� 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + < : valori interni all’ intervallo delle


] [ ] [1 2S , ,x x= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞ oppure 1 2x x < x<<<< .

a > 0 ∆∆∆∆ > 0

1x 2x

192

� 2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > : per valori interni all’ intervallo delle


] [ ] [1 2S , ,x x= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞ oppure 1 2x x < x<<<< ;

� 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + < : per valori esterni all’ intervallo delle


] [ ] [1 2S , ,x x= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞ oppure 1 2x x x x< ∨ >< ∨ >< ∨ >< ∨ > .

♦ 2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > : per tutti i numeri reali tranne il valore

1x ; quindi:

{ }1S R x= −= −= −= − oppure 1x R x x∀ ∈ ∧ ≠∀ ∈ ∧ ≠∀ ∈ ∧ ≠∀ ∈ ∧ ≠ ;

♦ 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + < : nessun numero reale rende vera la

disequazione; quindi:

S = ∅= ∅= ∅= ∅ oppure x R∃ ∈∃ ∈∃ ∈∃ ∈ .

• 2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > : per tutti i numeri reali tranne il valore

1 2bxa

= −= −= −= − ; quindi:

{ }1S R x= −= −= −= − oppure 1x R x x∀ ∈ ∧ ≠∀ ∈ ∧ ≠∀ ∈ ∧ ≠∀ ∈ ∧ ≠ ;

• 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + < : nessun numero reale rende vera la


S = ∅= ∅= ∅= ∅ oppure x R∃ ∈∃ ∈∃ ∈∃ ∈ .

� 2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > : per tutti i numeri reali; quindi:

S R==== oppure x R∀ ∈∀ ∈∀ ∈∀ ∈ ;

� 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + < : nessun numero reale rende vera la


S = ∅= ∅= ∅= ∅ oppure x R∃ ∈∃ ∈∃ ∈∃ ∈ .

a > 0 ∆∆∆∆ < 0

a < 0 ∆∆∆∆ > 0

2x 1x

a > 0 ∆∆∆∆ = 0

1x

a < 0 ∆∆∆∆ = 0

1x

193

� 2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > : nessun numero reale rende vera la


S = ∅= ∅= ∅= ∅ oppure x R∃ ∈∃ ∈∃ ∈∃ ∈ ;

� 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + < : per tutti i numeri reali; quindi:

S R==== oppure x R∀ ∈∀ ∈∀ ∈∀ ∈ .

Osservazione

Per risolvere una disequazione di secondo grado è necessario conoscere la posizione della parabola

nel piano cartesiano; quindi, la sua concavità e, se esistono, le ascisse dei punti intersezione con

l’asse x; non è, invece, necessario disegnare in maniera precisa la parabola.

È necessario, quindi, conoscere il segno di a e stabilire se il discriminante dell’equazione associata

è positivo, negativo o nullo.

Esempio

Risolviamo la disequazione 22 3 0x x− − < .

Dobbiamo determinare le ascisse dei punti della parabola 22 3y x x= − − che hanno ordinata

negativa.

Scriviamo l’equazione associata alla disequazione: 22 3 0x x− − = .

∆ = ( ) ( )22 4 1 4 2 3 1 24 25 0b ac− = − − ⋅ ⋅ − = + = ⇒ ∆ > .

Risolviamo l’equazione associata:

12 1 2

1 5 31,2 4 2

bx x xa

− ± ∆ ±= = ⇒ = − =

Determiniamo la posizione della parabola nel piano cartesiano:

0la posizione della parabola è del tipo

0

a > ⇒

∆ >

Le ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata negativa sono interne all’intervallo che ha

per estremi −1 e 32

.

Si ha, quindi: 22 3 0x x− − < ⇒ 3S 1,2

= −

a < 0 ∆∆∆∆ < 0

2x 1

x

194

PROVA TU

Risolvi, come nell’esempio precedente, le seguenti disequazioni:

a) 2 3 2 0x x− + > ; b) 24 4 1 0x x− + < ; c) 22 3 0x x− + − >

Un’attenta analisi dei risultati ottenuti, ci consente di risolvere una disequazione di secondo grado

senza osservare il grafico della parabola.

Premettiamo alcuni “modi di dire”:

in una disequazione, si dice che a e verso sono concordi se:

− a > 0 e la disequazione è 2 0ax bx c+ + >

− a < 0 e la disequazione è 2 0ax bx c+ + <

in una disequazione, si dice che a e verso sono discordi se:

− a > 0 e la disequazione è 2 0ax bx c+ + < ;

− a < 0 e la disequazione è 2 0ax bx c+ + > .

Inoltre indicheremo con

v. e. = valori esterni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata alla disequazione;

v. i. = valori interni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata alla disequazione.

La seguente tabella è una sintesi dei risultati ottenuti:

2 0ax bx c+ + >+ + >+ + >+ + > oppure 2 0ax bx c+ + <+ + <+ + <+ + <

a, verso ∆∆∆∆ soluzioni rappresentazione grafica insieme soluzione

concordi 0> v. e.

] [ ] [1 2S , ,x x= −∞ ∪ +∞

discordi 0> v. i.

] [1 2S ,x x=

concordi 0= { }S2bRa

= − −

discordi 0= S = ∅

concordi 0< S = R

discordi 0< S = ∅

2x

1x

1x

2x

2ba

−−−−

195

Osservazione

Se la disequazione è del tipo 2 0ax bx c+ + ≥ oppure 2 0ax bx c+ + ≤ anche le soluzioni

dell’equazione associata (alla disequazione) verificano la disequazione.

Si ha, quindi, la seguente tabella:

2 0ax bx c+ + ≥+ + ≥+ + ≥+ + ≥ oppure 2 0ax bx c+ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤

a, verso ∆∆∆∆ soluzioni rappresentazione grafica insieme soluzione

concordi 0> v. e.

] ] [ [1 2S , ,x x= −∞ ∪ +∞

discordi 0> v. i.

[ ]1 2S ,x x=

concordi 0= S R=

discordi 0= S = { }2ba

−

concordi 0< S = R

discordi 0< S = ∅

Sintetizziamo il procedimento che consente di risolvere una disequazione di secondo grado:

a) si scrive l’equazione associata;

b) si calcola il suo discriminante e si stabilisce se è positivo, negativo o nullo;

c) se il discriminante è non nullo si determinano le soluzioni dell’equazione associata;

d) si confrontano a e verso della disequazione;

e) si scrive la soluzione della disequazione come descritto nelle tabelle sopra riportate.

Esempi

Risolviamo le seguenti disequazioni applicando il procedimento appena descritto:

1) 23 2 1 0x x− − ≥ ; 2) 2 4 4 0x x− + > ;

3) 2 3 4 0x x− + − < ; 4) 23 2 0x − <

1x

2x

1x 2

x

2ba

−−−−

196

Esempio 1

Disequazione iniziale 2 4 4 0x x− + >

Equazione associata 2 4 4 0x x− + >

Calcolo di 4∆ (b pari) ( ) ( ) ( )

22

1 3 1 44 2

b ac∆ = − = − − ⋅ − =

Segno di 4∆

4∆ > 0

Soluzioni dell’equazione associata 12

1 2

2 4 1 4 1 23 3

1, 13

b

xa

x x

∆− ± ± ±= = = ⇒

⇒ = − =

Confronto a e verso concordi

Soluzioni disequazione v. e. compresi 1x e 2x

Insieme soluzione [ [1S , 1,3

= −∞ − ∪ +∞

Esempio 2

Disequazione iniziale 2 4 4 0x x− + >

Equazione associata 2 4 4 0x x− + =

Calcolo di 4∆ (b pari) ( ) ( )

22

2 1 4 04 2

b ac∆ = − = − − ⋅ =

valore di 4∆

4∆ = 0

Soluzione dell’equazione associata 22bxa

= − =

Confronto a e verso concordi

Soluzioni disequazione { }S2bRa

= − −

Insieme soluzione { }S 2R= −

197

Esempio 3

Disequazione iniziale 2 3 4 0x x− + − <

Equazione associata 2 3 4 0x x− + − =

Calcolo di ∆ ( ) ( )2 24 3 4 1 4 7b ac∆ = − = − ⋅ − ⋅ − = −

Segno di ∆ ∆ < 0

Confronto a e verso discordi

Soluzioni disequazione Non esistono

Insieme soluzione S = ∅

Esempio 4

Disequazione iniziale 23 2 0x − <

Equazione associata 23 2 0x − =

Classificazione equazione pura

Soluzioni equazione 12

23

cxa

= ± − = ±

Confronto a e verso discordi

Soluzioni disequazione v. i.

Insieme soluzione 2 2S ,3 3

= −

Osservazione

Se la disequazione da risolvere non si presenta in forma normale, prima di applicare lo schema

esposto in precedenza, è necessario ridurla a forma normale applicando i principi di equivalenza.

PROVA TU

Risolvi le seguenti disequazioni come negli esempi precedenti:

a) 22 3 0x x− − = ; 24 5 0x − ≥ ; 2 3 1 0x x− + − <

b) 29 6 0x x+ − ≤ ; 24 3 0x + > ; ( )22 3 1x x x x− > −

198


Disequazioni di secondo grado


1) Completa le proposizioni inserendo, in maniera opportuna, al posto dei puntini i termini di seguito

elencati:

ordinata; simmetrica; equidistanti; il basso; l’origine degli assi;

parabola; l’alto; { }0−R ; massima; vertice

a) la rappresentazione grafica della funzione 2y ax= , con ...............a∈ , è una ………………… ;

se 0a > la sua concavità è rivolta verso …………………..; se 0a < la sua concavità è rivolta

verso ………………… .

b) Se 0a > , il punto della parabola di ordinata minima si chiama ……………. ; se 0a < , il punto

della parabola di ordinata ………………… è il suo vertice.

c) La parabola di equazione 2y ax= ha per vertice ………………………………………………

ed è …………………….……… rispetto all’asse delle ordinate perché punti con la stessa

…………………………….. sono ……………………………………… da esso.

2) Le seguenti proposizioni si riferiscono alla funzione ( ) 22 3f x x= − . Una sola di esse è falsa;

quale?

a) è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate;

b) la sua concavità è rivolta verso l’alto;

c) non ha intersezione con l’asse delle ascisse;

d) è immagine della funzione ( )2

2y x= in una traslazione;

e) il suo vertice è un punto dell’asse delle ordinate.

3) Vero o falso?

a) Il codominio della funzione 2y ax= è 0+R . V F

b) Se 0c > , la funzione 2y ax c= + è situata nel I e II quadrante. V F

c) Se ,a c − ∈ R , la funzione 2y ax c= + è situata nel III e IV quadrante. V F

d) Se 0 0a c> ∧ ≤ la parabola 2y ax c= + ha sempre due intersezioni distinte V F

con l’asse delle ascisse.

e) Se 0a < , la parabola 2y ax c= − non ha intersezioni con l’asse delle ascisse. V F

199

4) Quale, fra le seguenti parabole, è immagine della parabola 223

y x= − nella traslazione di vettore

v�

parallelo all’asse y, avente verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse y e tale che

2v =� ?

a) 22 23

y x= + ;

b) 22 23

y x= − − ;

c) 23 22

y x= − ;

d) 24 106 5

y x= −

5) La parabola 24 3y x= − è immagine della parabola 24y x= in una traslazione di vettore v�

. Una

sola delle seguenti affermazioni è corretta; quale?

a) 4v =� e v�

è parallelo all’asse delle ordinate;

b) 3v =� e v�

è parallelo all’asse delle ascisse;

c) 3v =� , v�

è parallelo all’asse delle ordinate ed ha verso opposto a quello della direzione

positiva dell’asse y;

d) 4v =� , v�

è parallelo all’asse delle ordinate ed ha verso uguale a quello della direzione

positiva dell’asse y;

6) La rappresentazione grafica di una sola delle seguenti funzioni non è una parabola; quale?

a) 22y x x= − + ; b) 2( ) (3 1)f x x= − ; c) 2 3( )f x x x= + ; d) ( )22 1y x= −

7) Della parabola di equazione 2y ax bx c= + + si può dire che:

a) L’asse di simmetria ha equazione 2bya

= − V F

b) Può essere tangente all’asse delle ascisse V F

c) Interseca l’asse delle ordinate nel punto ( )0,c V F

d) Ha sempre due intersezioni distinte con l’asse delle ascisse V F

e) Se 0b < , il suo vertice è un punto del I o IV quadrante V F

f) L’ascissa del suo vertice è V 2bxa

= V F

8) Se 0a < , il codominio della funzione 2y ax bx c= + + è:

a) ] ],c−∞ ; b) ( ),2bfa

−∞

; c) ,2ba

−∞ −

; d) ( ),2bfa

−∞ −

200

9) A ciascuna delle seguenti equazioni associa la relativa rappresentazione grafica.

a) 23y x= ; b) 2 2 1y x x= − + − ; c) 2 1y x= − − ; d) 23y x x= −

10) Quale, fra le seguenti parabole, è la “più larga”? E quale è la “più stretta”?

a) 21 12

y x= + ; b) 24 13

y x x= + − ; c) 27 35

y x x= − − ; d) 231 515

y x= −

11) Osserva la parabola di equazione 2y ax bx c= + + rappresentata in figura e completa:

a) L’ascissa del vertice della parabola è …………………………… di 0.

b) L’ordinata del vertice della parabola è …………………………. di 0.

c) Il coefficiente a è …………………………….. di 0.

d) Il coefficiente b è …………………………… di 0.

e) Il coefficiente c è ……………………………. di 0.

f) Il discriminante dell’equazione 2 0ax bx c+ + = è ………………………….. di 0.

g) L’insieme soluzione dell’equazione 2 0ax bx c+ + = è S = …………………….. .

h) Le ascisse dei punti di ordinata negativa appartengono a …………………….… .

i) Le ascisse dei punti di ordinata positiva appartengono a ………………………… .

(I) (II) (III) (IV)

2x 1x

201

12) Osserva la parabola di equazione 2y ax bx c= + + rappresentata in figura e completa:

a) L’ascissa del vertice della parabola è …………………………… di 0.

b) L’ordinata del vertice della parabola è …………………………. di 0.

c) Il coefficiente a è …………………………….. di 0.

d) Il coefficiente b è …………………………… di 0.

e) Il coefficiente c è ……………………………. di 0.

f) Il discriminante dell’equazione 2 0ax bx c+ + = è ………………………….. di 0.

g) L’insieme soluzione dell’equazione 2 0ax bx c+ + = è S = …………………….. .

h) Le ascisse dei punti di ordinata negativa appartengono a …………………….… .

i) Le ascisse dei punti di ordinata positiva appartengono a ………………………… .

13) Sia 2y ax bx c= + + e ∆ il discriminate dell’equazione 2 0ax bx c+ + = . Le seguenti affermazioni

sono vere o false?

a) 0, 0a > ∆ ≤ ⇒ tutti i punti della parabola sono situati nel I o II quadrante. V F

b) 0, 0a < ∆ > ⇒ la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti. V F

c) 0, 0a < ∆ = ⇒ esiste almeno un punto della parabola che non appartiene né al V F

III né al IV quadrante.

d) 0, 0a > ∆ < ⇒ la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata negativa. V F

e) { }0 , 0a∀ ∈ − ∆ =R ⇒ la parabola ha un solo punto intersezione con l’asse x. V F

f) 0, 0a < ∆ > ⇒ la parabola interseca l’asse y in un punto di ordinata positiva. V F

14) Nella disequazione 2 0ax bx c+ + < , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante

dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = ∅?

202

15) Nella disequazione 2 0ax bx c+ + ≥ , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante

dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S ={ }2ba

− ?

16) Nella disequazione 2 0ax bx c+ + ≤ , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante

dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = { }2ba

− −R ?

17) Nella disequazione 2 0ax bx c+ + < , come devono essere il coefficiente a e ∆ (discriminante

dell’equazione ad essa associata) affinchè l’insieme soluzione sia S = ∅ ?

18) Data la disequazione 2 0ax bx c+ + > , sia ∆ il discriminante dell’equazione ad essa associata;

quale delle seguenti proposizione è corretta?

a) La disequazione ammette sempre almeno una soluzione.

b) Se 0∆ < , la disequazione non ha soluzioni.

c) Se 0 0a > ∧ ∆ = , la disequazione è sempre verificata.

d) Se 0 0a < ∧ ∆ = , la disequazione non ha soluzioni.

e) Se 0 0a < ∧ ∆ > , l’insieme soluzione della disequazione è l’unione di due intervalli.

19) Data la disequazione 2 0ax bx c+ + < , sia ∆ il discriminante dell’equazione ad essa associata;

quale delle seguenti proposizione è falsa?

a) La disequazione può essere verificata per qualunque valore della variabile.

b) Se 0 0a > ∧ ∆ < , la disequazione non ha soluzioni.

c) Se 0 0a < ∧ ∆ = , la disequazione ha almeno due soluzioni.

d) Se 0 0a < ∧ ∆ > , l’insieme soluzione della disequazione è l’unione di due intervalli.

e) Se 0 0a > ∧ ∆ = , la disequazione ha, al minimo, una soluzione.

20) Vero o falso?

a) La disequazione 2 3 0kx + > ha soluzioni solo se 0k > . V F

b) Se 0b > , la disequazione 2 0by ≤ ha una sola soluzione. V F

c) Tutte le soluzioni della disequazione 2 2 0z z− ≤ sono positive. V F

d) Se 1c ≥ , R è l’insieme soluzione della disequazione 2 2 0x x c+ + > . V F

e) Se 1 ,4

a ∈ +∞

, la disequazione 2 1 0ax x+ + < non ha soluzioni. V F

f) 2 16a > soltanto se 4a > . V F

g) Se 0c ≤ , la disequazione 2 0x bx c+ + ≥ ha almeno una soluzione. V F

203

Esercizi

Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni e determinane il codominio:

1) 213

y x= ; ( ) 234

f x x= − ; 243

y x=

2) ( ) 2 2f x x= − + ; ( ) 25 23

f x x= − ; 2 223

y x= − −

3) 22 4y x x= − − ; 23( )4

f x x x= − + ; 2 23

y x x= −

4) 2 3y x x= − + + ; 2 132

y x x= − ; ( ) 25 3 22

f x x x= − + −

5) 24 1( )3 3

f x x x= − ; 22 3 1y x x= − + ; 235

y x=

6) 245

y x x= − + ; ( ) 25 2 14

f x x x= − − ; ( ) 23 4f x x= − −

Dopo averne determinato l’equazione, rappresenta le parabole che si ottengono da quella di

equazione 2y ax= in una traslazione di vettore v�

parallelo all’asse delle ordinate:

7) 22y x= − ; 3v =� , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

8) 2y x= − ; 23

v =� , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

9) 245

y x= ; 4v =� , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

10) 23y x= ; 45

v = −�, verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

11) 253

y x= ; 2v =� , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

Dopo averne determinato l’equazione, rappresenta le parabole che si ottengono da quella di

equazione 2y ax bx= + in una traslazione di vettore v�

parallelo all’asse delle ordinate:

12) 23y x x= − ; 1v =� , verso opposto a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

13) 24 13 3

y x x= − + ; 23

v =� , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

14) 2 45

y x x= − ; 2v =� , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

15) 2 49

y x x= − + ; 73


16) 272

y x x= + ; 32


17) 2y x x= + ; 53

v =� , verso uguale a quello della direzione positiva dell’asse delle ordinate.

204

Esempi

a) Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,

avente vertice nell’origine degli assi e passante per il punto A( )1,3− .

b) Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,

avente vertice nel punto B( )0, 2− e passante per il punto A( )3,1 .

c) Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,

avente vertice nel punto V( )1, 3− e passante per il punto A( )2,4− .

a) Traduciamo le informazioni del problema in simboli:

2 asse di simmetria parallelo asse equazione della parabola

vertice nell'origine degli assi

yy ax⇒ =

⊳

⊳

( ) A 1,3−⊳ appartenente alla parabola ⇒ 3 a= (le coordinate di A verificano l’equazione

2y ax= )

La parabola ha equazione 23y x= .

b) Traduciamo le informazioni del problema in simboli:

( )2

asse di simmetria parallelo asse equazione della parabola

vertice appartenente asse B 0, 2

yy ax c

y⇒ = +

−

⊳

⊳

( ) B 0, 2−⊳ appartenente alla parabola ⇒ 2c = − (perché il coefficiente c è uguale

all’ordinata del punto intersezione della parabola con l’asse delle y)

( ) A 3,1⊳ appartenente alla parabola ⇒ 1 9a c= + (le coordinate di A verificano l’equazione

2y ax c= + ).

Si ha, quindi il sistema: 22

11 93

cc

a c a

= −= − ⇒ = + =

La parabola ha equazione 21 23

y x= − .

c) Traduciamo le informazioni del problema in simboli:


vertice non appartenente asse

yy ax bx c

y⇒ = + +

⊳

⊳

V 1 12bxa

= ⇒ − =⊳

205

( ) V 1, 3−⊳ appartenente alla parabola ⇒ 3 a b c− = + + 2c = − (le coordinate di V

verificano l’equazione 2y ax bx c= + + ).

( ) A 2,4−⊳ appartenente alla parabola ⇒ 4 4 2a b c= − + (le coordinate di A verificano

l’equazione 2y ax bx c= + + ).

Si ha, quindi il sistema:

71 92

143 9

4 4 2 209

b aa

a b c b

a b cc

=− = − = + + ⇒ = −

= − + = −

La parabola ha equazione 27 14 209 9 9

y x x= − − .

Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, che

ha vertice nel punto V e passa per il punto A aventi coordinate:

18) ( )V 0,0 ( )A 2,4− 2y x =

19) ( )V 0,3 ( )A 2,1− 24 39

y x = − +

20) ( )V 1, 1− ( )A 3,1 21 12 2

y x x = − −

21) ( )V 0, 1− ( )A 1,3− 24 1y x = −

22) ( )V 2,1 ( )2A , 33

− 29 9 84

y x x = − + −

23) ( )V 0,0 ( )4A ,13

2916

y x =

24) ( )V 3,0 ( )A 0,2 22 4 29 3

y x x = − +

25) ( )V 0, 5− ( )A 5,0 21 55

y x = −

26) ( )1V ,22

− ( )3A ,14

216 16 4625 25 25

y x x = − − +

27) ( )1V 0,2

− ( )A 2, 1− − 21 18 2

y x = − −

28) ( )V 2,1− ( )A 0,5 2 4 5y x x = + +

206

Esempio

Determiniamo l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,

passante per i punti ( )A 1,0− , ( )3B ,52

e C( )1 , 12

− − .

Traduciamo le informazioni del problema in simboli:


nessuna informazione sul vertice della parabola

yy ax bx c⇒ = + +

⊳

⊳

.

( ) A 1,0−⊳ appartenente alla parabola ⇒ 0 a b c= − + (le coordinate di A verificano l’equazione

2y ax bx c= + + ).

( )3 B ,52

⊳ appartenente alla parabola ⇒ 9 354 2

a b c= + + (le coordinate di B verificano


( )1C , 12

− −⊳ appartenente alla parabola ⇒ 1 114 2

a b c− = − + (le coordinate di C verificano


Si ha, quindi il sistema:

0 29 35 14 2

11 114 2

a b c a

a b c b

ca b c

= − + =

= + + ⇒ = − = −− = − +

La parabola ha equazione 22 1y x x= − − .

Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate,

passante per i punti A, B e C aventi coordinate:

29) ( )A 1,6 ( )B 1, 1− − ( )3C 2,2

− 2 7 32 2

y x x = + +

30) ( )A 1,2 ( )B 3,0 ( )C 2,10 23y x x = −

31) ( )11A 1,5

− ( )1 11B ,2 10

− ( )2C 0,5

24 25 5

y x x = − +

32) ( )A 2,11− ( )1B 1,2

( )2 1C ,3 3

23 2 12

y x x = − +

33) ( )A 4, 5− ( )1 19B ,3 9

− − ( )C 2,1 2 3 1y x x = − + −

207

Dopo averle rappresentate, stabilisci per quali valori di x i punti delle seguenti parabole hanno:

a) ordinata nulla;

b) ordinata positiva;

c) ordinata negativa.

34) 22 2 4y x x= − − ; 2 2y x x= − + +

35) 24 9y x= + ; 25 10y x x= − +

36) 2 6y x x= − − ; 22 3y x x= + +

37) 272

y x= − ; 2 5 4y x x= − +

38) 2 2y x x= − − ; 2 3y x x= − −

Risolvi graficamente le seguenti disequazioni:

39) 2 2 8 0x x− − ≤ ; 2 4 3 0x x− + − <

40) 22 2 3 0x x− + > ; 2 4 0x x− ≤

41) 24 4 1 0x x+ + > ; 2 3 10 0x x− − + ≥

42) 2 6 9 0x x− + ≤ ; 23 4 0x x− − <

43) 22 0x x+ < ; 22 3 2 0x x− − ≥

Risolvi algebricamente le seguenti disequazioni:

44) 22 3 0a a− − > ; 2 2 1 0t t− − − ≥ ] [ { }3S , 1 , ; S 12

= −∞ − ∪ +∞ = −

45) 2 3 10 0s s+ − ≤ ; 26 7 2 0c c− + − ≥ 3 13 3 13 1 2S , ; S ,2 2 2 3

− − − + = =

46) ( ) 21 2 0m m m− + < ] [ ] [S ,0 1, = −∞ ∪ +∞

47) ( )22 1 0h+ − < ] [S 3, 1 = − −

48) ( )( ) ( )2 1 2 1 3 0p p p p− − + − < S , 2 6 2 6, = −∞ − − ∪ − + +∞

49) ( )2 2 1 8 0b b b+ − − ≥ [ [4S , 2,3

= −∞ − ∪ +∞

50) ( ) ( )23 5 2 5 1 2z z z z z− − > − − 1 3 1 3S ,2 2

− − − +=

51) ( ) ( )22 4 3 0d d− + − ≤ S 2 2,2 2 = −

52) ( )( )3 3 2( 1) 4k k k− + > − − ] [ ] [S , 1 3, = −∞ − ∪ +∞

208

53) ( ) ( )2 22 1 21 3 5 2v v v+ − ≤ + + [ ] S 7,5 = −

54) ( ) ( ) ( )23 2 1 2 3 3 25x x x x− + + > − − { }5S

3 = −

R

55) ( )( )24 2 5 2g g g g− < + − [ ]S= R

56) ( ) ( )2 38 1 2 1 2x x x x+ > + + 1 1S , ,

2 2 = −∞ − ∪ +∞

57) ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 2 3y y y+ − + < − [ ]S= ∅

58) ( ) ( )3 1 2 1r r r− < − ] [2S , 1,3

= −∞ − ∪ +∞

59) ( )( )23 7 2 3 1 1 6h h h h h+ − ≤ − − + − 5 1S ,2 3

= −

60) ( ) ( )( ) 24 1 1 1 0s s s s s− − − − + + > { }1S2

= −

R

61) ( )( ) ( )21 11 1 1 3 02 2

v v v− + − − − > [ ]S= ∅

62) ( ) ( ) ( )( )2 22 3 2 1 4 2 2 2 0g g g g g+ − − − − + + + ≥ [ ]S= R

63) 2 3 23 2 3

z z z+ +− ≤ 5S 0,2

=

64) ( )( ) ( )1 1 2 33 1

2 4 4 2w w w ww − + −− + > − 5 5 5 5S ,

2 2 − +=

65) ( )( ) ( )( ) ( )2 3 3 4 12 23 3 3 9

c c c cc c

+ − +− + + ≥ [ ]S= ∅

66) ( )2 2 7 12 1 1 3 2 3

3 2 12 4 2 12bb b b b b +− + −− − > − − 3 3S ,

2 5 = −

67) ( )( ) 222 5 4 3 2 3

5 3 5 15 5x xx x x − +− + − > + 2 1S ,

5 6 = − −

68) ( )26 4 13

4 2a a− −< + [ ]S= R

69) ( )24 32 1 2

2 4k kk− −+ < + ⋅ [ ]S= ∅

70) ( ) ( )( )2 23 2 3 4 1 2

3 2 6y y y y− − − −− < ] [ 19S ,1 ,

2 = −∞ ∪ +∞

71) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 28 1 1 1 2 82x x x x x− + − ≤ − + − { } S 5 =

209

Esempio

Determiniamo l’insieme soluzione delle seguenti disequazioni:

a) 3 22 2 1 0a a a+ − − > ; b) 22 3 0

4 3m

m m− <

− +

a) Il polinomio al primo membro della disequazione è di terzo grado; per risolvere la disequazione è

necessario scomporlo in fattori:

3 22 2 1 0a a a+ − − > ⇒ (raccoglimento parziale) ( ) ( )2 2 1 2 1 0a a a+ − + > ⇒ ( )( )2 1 2 1 0a a− + >

Poichè il prodotto di due fattori è positivo solo se i due fattori sono concordi, analizziamo il

segno di ciascuno dei due fattori:

♦ 2 1 0a − > ⇒ ] [ ] [1S , 1 1,= −∞ − ∪ +∞ ;

♦ 2 1 0a+ > ⇒ 21S ,2

= − +∞

.

Rappresentiamo nello stesso grafico gli insiemi 1 2S e S:

L’insieme soluzione della disequazione è S = ] [11, 1,2

− − ∪ +∞

.

In generale, per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo si scompone in fattori il

polinomio al primo membro della disequazione in fattori di primo e/o secondo grado e si analizza il

segno di ciascun fattore.

b) Una frazione è negativa solo se numeratore e denominatore sono discordi.

Analizziamo, quindi, il segno del numeratore e del denominatore delle frazione:

• 2 3 0m− > ⇒ 13S ,2 = +∞

;

• 2 4 3 0m m− + > ⇒ ] [ ] [2S ,1 3,= −∞ ∪ +∞ .

Rappresentiamo nello stesso grafico gli insiemi 1 2S e S:

L’insieme soluzione della disequazione è S = ] [ 3, 1 ,32 −∞ − ∪

.

12

−−−−

32

210

Risolvi le seguenti disequazioni:

72) ( )( )21 6 0z z z− − − < ] [ ] [S 2,1 3, = − ∪ +∞

73) 4 2 0b b+ ≤ { } S 0 =

74) 6 32 8 0a a+ ≥ [ [3S , 4 0, = −∞ − ∪ +∞

75) ( )( )( )2 23 1 3 9 7 2 0m m m− − + > 1S 3, 3,3

= − ∪ +∞

76) 4 215 7 0x x+ ≤ { } S 0 =

77) ( )( ) ( )2 2 22 1 1 2 7 0y y y+ + + > [ ]S= R

78) 4 25 4 0w w− + > ] [ ] [ ] [S , 2 1,1 2, = −∞ − ∪ − ∪ +∞

79) 3 26 8 0d d d− + > ] [ ] [S 0,2 4, = ∪ +∞

80) 4 210 9 0h h− + ≤ [ ] [ ]S 3, 1 1,3 = − − ∪

81) 3 24 8 9 18 0t t t+ − − < ] [ 3 3S , 2 ,2 2

= −∞ − ∪ −

82) 4 210 5 0g g− ≥ { }2 2S , , 02 2

= −∞ − ∪ +∞ ∪

83) 4 226 25 0p p− + < ] [ ] [S 5, 1 1,5 = − − ∪

84) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 1 1 0s s s s s+ − − − + ≥ [ ]S= R

85) ( ) ( )2 2 24 2 3 4 3 2 1 0b b b b+ + − + > 1S ,4

= +∞

86) ( ) ( )5 3 3 41 12 3 1 12 2

x x x x x x+ − + + > 1S ,2

= − +∞

87) ( ) ( )3 53 1 1u u u u− > − ] [ ] [S ,0 1, = −∞ ∪ +∞

88) 2

2 04 1b bb− ≥

+ [ ]S 0,1 =

89) 3 1 3 1 1 03 1 3 1c cc c

− ++ − >+ − 1 1S , ,3 3

= −∞ − ∪ +∞

90) 2

24 4 1 0

1h h

h− + >

+ { }1S

2 = −

R

91) 2

22 5 0

9 25rr

+ ≥−

5 5S , ,3 3

= −∞ − ∪ +∞

211

92) 2

2

4 4 10

7p p

p− + ≤ { }1 S

2 =

93) 2

24 1 04 1kk

− ≥+

1 1S , ,2 2

= −∞ − ∪ +∞

94) ( )( )2 3 4 02 1

k kk k− + + ≥

+ − ] ] ] ]S 2, 1 1,4 = − − ∪

95) 22 1

1t t

t t+ +> − ] [ ] [S 0,1 2, = ∪ +∞

96) 2 10 16

101

g gg

+ + >− ] [S 1, = +∞

97) 2

23 2 17 12

r rr r

− + >− +

] [5S ,3 4,2

= ∪ +∞

98) 21 1 1 0

2 1 2 1 4 4 1s s s s+ − >− + + +

1S ,2

= +∞

99) 231 0

11a a

aa+ − >+−

] [1S 1, 1,4

= − ∪ +∞

100) 2 3 51 3 1

z zz z z

− >+ − + ] [ { }S 1,3 1 = − −

101) ( )

( )( )3 2 1 4

3 22 3

bb bb bb b

− ++ >+ −− + ] [ ] [S , 5 3,2 = −∞ − ∪ −

102) 25 3 3 1

3 1 32 3v v

v v vv v+ ++ + <− + −− −

] [ 2S , 1 ,33

= −∞ − ∪

103) 2

1 23 1 02 3 25 6

y yy y yy y

+ −− − + <+ + ++ + ] [ ] [S , 3 2,0 = −∞ − ∪ −

104) ( ) ( )

2

3 5 3 3 155 2 7 10

f fff f f f

+ − −− >− − − +

] [ ] [S ,2 5, = −∞ ∪ +∞

105) 2 2 22 1 14 3 2 3 9m m m m m

+ ≥− + + − −

] [ [ [ ] [S , 3 2,1 3, = −∞ − ∪ − ∪ +∞

106) 2 2 21 1 5

4 3 4w w w w w w+ ≤

+ − − − ] [ ] [ { }S ,0 4, 1 = −∞ ∪ +∞ − −

107) 21 1 41 01 1 1

x x xx x x

+ −− − − >− + − [ ]S= ∅

108) 2 22 16 9 4 3t t t t

≤ −− + − +

5S 1,3

=

109) ( )2 2

2

3 10

4 9

d d

d

−<

− 3 3S , 1 1,

2 2 = − − ∪

212

110) 3

2 04 4 1

b bb b

− ≤+ +

] ] [ ]S , 1 0,1 = −∞ − ∪

111) 4 2

43 27 0

16a aa

− >−

] [ ] [ ] [ { }S , 3 2,2 3, 0 = −∞ − ∪ − ∪ +∞ −

112) 2

3

2 4 20

3q q

q+ + ≤ ] [S ,0 = −∞

113) 4 2

34 4 1 0

1s s

s− + >

+ ] [ 2S 3,

2 = − +∞ − ±

114) 2

3 23 2 1

11 1v v

vv v v− ≤ ++ − +

[ ]S= R

115) 2

47 1 0

16u

u+ ≤

− ] [S 2,2 = −

116) 5 4

24 20 0

3 1z z

z− >

+ ] [S 5, = +∞

117) 3

23 9 0

1d

d d− ≤

+ + 3S , 3 = −∞

118) 3

22 16 0

1h

h h− ≥

+ + [ [S 2, = +∞

119) 3 2

2

2 40

3 6 3y y

y y− ≤

+ + ] [ { }S ,2 1 = −∞ − −

120) 4 2

27 6 0

4m m

m− + ≤

+ S 6, 1 1, 6 = − − ∪

121) 2

21 4

1x x

xx+ +> − ] [ { }S ,1 0 = −∞ −

122) 4

32 25 0

1cc

+ ≤−

] ]S ,1 = −∞

123) ( )( )

3

3

1 11

1 1

t

t

+ −>

− + ] [S 0, = +∞

124) 2 2

21 5 2 0

316v v

v− +− < 1 1S , ,

4 4 = −∞ − ∪ +∞

213

CAPITOLO 16 ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA

16.1 INTRODUZIONE

Questo percorso, senza la pretesa di essere esaustivo, vuole avviare, con un linguaggio semplice,

con esempi e con l’uso di strumenti per il calcolo e la rappresentazione e sintesi dei dati,

l’approccio, attraverso la statistica, ad una serie di problemi assai vicini alla vita reale che facciano

comprendere agli studenti l’importanza e l’uso quotidiano della matematica.

Che cosa è la statistica? ??

La statistica deve il suo nome al fatto che è nata come metodo di raccolta, studio e analisi dei dati

relativi alla popolazione, utilizzati per il governo degli stati.

L’uso della statistica è trasversale ed esteso a tutti i campi (scientific

o, socio-economico, politico etc.) nei quali sia necessario descrivere o analizzare un fenomeno su

una popolazione (o universo) costituito da elementi (o unità) oggetto dell’osservazione.

Gli strumenti matematici utilizzati per descrivere e sintetizzare un certo fenomeno costituiscono la

statistica descrittiva.

Fasi di un’ indagine statistica

1. Progettazione La definizione degli obiettivi di una indagine statistica e la conoscenza del

fenomeno oggetto di studio sono elementi fondamentali per la progettazione dell’indagine stessa e

degli strumenti di rilevazione dei dati (questionari, misurazione diretta, etc.).

214

2. Rilevazione dei dati I dati sono definiti primari quando sono il risultato di una rilevazione

diretta, mentre sono definiti secondari nei casi in cui sono raccolti da pubblicazioni, annuari,

internet o altre fonti.

La rilevazione può essere effettuata attraverso:

con strumenti di misura per

interviste, questionari o l’osservazione di fenomeni

scientifici

3. Elaborazione – I dati originari (o grezzi) vengono classificati e sintetizzati per procedere poi alla

fase successiva:

4. Presentazione, che avviene attraverso tabelle e grafici, medie e indici.

5. Interpretazione degli esiti – Lo scopo per cui si avvia un’ indagine statistica è sempre quello di

comprendere le dinamiche di un fenomeno, generalmente per poter effettuare previsioni sulla sua

evoluzione e sviluppo. Ma l’interpretazione dei dati forniti da una rilevazione richiede, oltre alla

conoscenza del processo di raccolta ed elaborazione, anche una conoscenza del fenomeno oggetto

di studio.

Le fasi che approfondiremo, come prettamente tecniche (matematico-statistiche), sono le fasi

3 elaborazione e 4 presentazione dei dati.

ATTENZIONE

Prima di proseguire, dovrai abituarti ad usare alcuni simboli del linguaggio matematico.

SIMBOLI

per ogni valore dell’indice i in forma più compatta si scrive i∀

la somma di n addendi nn xxxx ++++ −121 ...... in forma più compatta si scrive ∑

n

ix1

il prodotto di n fattori nn xxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅ −1321 ...... in forma più compatta si scrive ∏n

ix1

215

16.2 ELEMENTI DI BASE

Presso l’Istituto “C. Colombo” si è deciso di effettuare tre indagini tra gli alunni di una classe.

popolazione o universo

gruppo di persone o di oggetti su cui si

Il dirigente scolastico ha scelto di effettuare tali indaga. Si parla di censimento se

indagini nella classe 1G l’indagine viene condotta sull’intera

popolazione, si parla di raccolta

campionaria se l’indagine viene

condotta soltanto su una parte della

popolazione, parte che viene detta

campione

Agli alunni di questa classe viene chiesto quale sia unità statistiche

elementi di una popolazione

• il mezzo di trasporto abitualmente utilizzato o di un campione

per recarsi da casa a scuola

• il numero di libri presenti al momento in

cartella

• la somma delle monete a disposizione per carattere

acquistare bibite o merendine caratteristica degli elementi della

popolazione oggetto dell’indagine

indagine 1. mezzo di trasporto abitualmente utilizzato per

recarsi da casa a scuola:

tale caratteristica viene analizzata

modalità xi: attraverso le varie modalità con cui si

=1x a piedi manifesta ( )nxxx ..,..........,........., 21.

=2x bicicletta

=3x motorino o scooter

=4x automobile

=5x autobus o pullman un carattere si dice quantitativo se

=6x treno si presenta con modalità descritte da

numeri,

in caso contrario il carattere si dice

indagine 2. qualitativo numero di libri in cartella

modalità xi:

=1x 1 nella indagine 1 il carattere è ………….,

=2x 4

=3x 5

=4x 6 mentre nell’indagine 2 è………………...

=5x 8

216

indagine 3.

somma delle monete a disposizione per acquistare bibite o merendine

numero d’ordine alunno…… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

somma delle monete in euro.. 1,20 0,52 0,00 1,00 1,30 0,00 0,00 1,05 0,70 2,75

……numero d’ordine alunno 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

..somma delle monete in euro 4,20 0,80 0,40 1,15 2,20 2,50 1,00 0,90 3,40 0,00

A volte, per ottenere una sintesi

Per fornire una rappresentazione più compatta possiamo più compatta, è utile

decidere di rappresentare le modalità in classi [ )ii ba ; . rappresentare le modalità

di un carattere quantitativo

raggruppate in classi

Possiamo pensare a classi dove

+=

=

+ 5,0

0

1

1

ii aa

a

+=

=

+ 5,0

5,0

1

1

ii bb

b Una classe

e si ottiene è un insieme di numeri

classe [ ) )[ 50,0;0; 11 =ba compresi tra due valori,

classe [ ) )[ 1;50,0; 22 =ba generalmente si considera il

classe [ ) )[ 50,1;1; 33 =ba primo valore compreso nella

classe [ ) )[ 2;50,1; 44 =ba classe e il secondo valore escluso,

classe [ ) )[ 50,2;2; 55 =ba infatti quest’ultimo sarà il primo

classe [ ) )[ 3;50,2; 66 =ba valore della classe successiva

classe [ ) )[ 50,3;3; 66 =ba

classe [ ) )[ 4;50,3; 77 =ba PROVA TU

classe [ ) )[ 50,4;4; 88 =ba osservando le classi a fianco puoi

dire che

=1a …… =1b ……

oppure a classi dove =2a …… =2b …….

+=

=

+ 1

0

1

1

ii aa

a

+=

=

+ 1

1

1

1

ii bb

b

e si ottiene PROVA TU

classe [ ) )[ 1;0; 11 =ba osserva ora queste altre classi

classe [ ) )[ 2;1; 22 =ba A quale classe appartiene 1,40?

classe [ ) )[ 3;2; 33 =ba

classe [ ) )[ 4;3; 44 =ba …………………………………

classe [ ) )[ 5;4; 55 =ba

A quale classe appartiene 3?

………………………………….

217

Riprendiamo in esame le tre indagini e cominciamo a raccogliere le risposte dagli alunni.

indagine 1. frequenza assoluta iF

frequenza frequenza numero di volte con cui

modalità assoluta relativa si presenta una modalità

=1x a piedi =1F 5 =1f 0,25 del carattere in esame

=2x bicicletta =2F 0 =2f 0

=3x motorino o scooter =3F 0 =3f 0 frequenza relativa N

Ff i

i =

=4x automobile =4F 2 =4f 0,1 rapporto tra la frequenza assoluta

=5x autobus o pullman =5F 8 =5f 0,4 ed il numero totale delle unità

=6x treno =6F 5 =6f 0,25 statistiche.

Si può scegliere di esprimere la

frequenza relativa in numero

decimale compreso tra 0 ed 1 o

in numero percentuale compreso

tra 0 e 100

indagine 2

PROVA TU

Completa la tabella qui a fianco con i

valori mancanti delle frequenze relative

indagine 3.

classe frequenza frequenza relativa

0-0,50 5 0,25

0,50-1 4 0,2

1-1,50 6 0,3

1,50-2 0 0

2-2,50 1 0,05

2,50-3 2 0,1

3-3,5 1 0,05

3,5-4 0 0

4-4,50 1 0,05

modalità

ix

frequenza

iF

frequenza relativa

if

1 2 0,1

4

3

………

5 1 0,05

6

13

……..

8 1 0,05

classe frequenza frequenza relativa

0-1 9 0,45

1-2 6 0,3

2-3 3 0,15

3-4 1 0,05

4-5 1 0,05

218

16.3 RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

Vediamo ora alcune possibili rappresentazioni grafiche dei dati statistici e loro frequenze:

ortogramma

• su di un asse orizzontale si segnano le modalità assegnando a ciascuna un segmento di ugual

lunghezza

• su di un asse verticale si segnano i valori delle frequenze (assolute o relative)

• si costruiscono poi dei rettangoli; ciascuno di questi ha per base il segmento riportante la

modalità e per altezza la relativa frequenza

istogramma

• su di un asse orizzontale si segnano i valori degli estremi delle classi con cui si sono espresse le modalità

• su di un asse verticale si segnano i valori delle densità di frequenza ii

i

iab

Fd

−=

• si costruiscono poi dei rettangoli; ciascuno di questi ha per base il segmento-classe e per

altezza la densità di frequenza, in questo modo l’area di ogni rettangolo rappresenta la

frequenza della modalità

areogramma (o diagramma a torta) si suddivide un cerchio in settori circolari in modo che in ogni settore circolare l’angolo al centro

abbia ampiezza proporzionale alla frequenza della modalità che tale settore circolare rappresenta

N

Fi

i

⋅°=°

360α oppure ii f⋅°=° 360α

diagramma cartesiano

• su di un asse orizzontale si segnano i valori numerici delle modalità

• su di un asse verticale si segnano i valori delle frequenze (assolute o relative)

• si segnano nel piano cartesiano i punti di coordinate ( )ii Fx ; ; l’insieme dei punti ottenuti è

detto nuvola di punti

• congiungendo i punti si ottiene una poligonale che mostra la forma della distribuzione

delle frequenze

219

indagine 1.

ortogramma

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

piedi bici moto auto bus treno

mezzi di trasporto

frequenze

aerogramma

mezzi di trasporto

piedi; 5; 25%

bici; 0; 0%

moto; 0; 0%

auto; 2; 10%

bus; 8; 40%

treno; 5; 25%

indagine 2.

diagramma cartesiano

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8

numero libri

frequenze

indagine 3

istogramma

0

2

4

6

8

10

12

14

0-0,50 0,50-1 1-1,50 1,50-2 2-2,50 2,50-3 3-3,5 3,5-4 4-4,50

somma monetine

dens

ità d

i fre

quen

ze

220

16.4 INDICI DI POSIZIONE

Si dice indice di posizione un valore che rappresenta sinteticamente un insieme di dati.

Vedremo alcune situazioni problematiche che richiedono l’uso di questi indici di posizione e di essi

daremo le definizioni.

problema 1 La pubblicità MODA

Una rete televisiva ha raccolto i dati di ascolto nei

giorni invernali nella fascia oraria 20-21. Ecco tali Si definisce moda il dato Mox = dati rappresentati con una tabella di frequenze: che si presenta con frequenza maggiore

*ixMo = dove i∀ ii FF ≥

*

Se si a che fare con classi

allora la classe modale sarà quella

che presenta ii

i

ab

F

− maggiore

In quale giorno una agenzia di pubblicità potrebbe

consigliare ad un proprio cliente di inserire uno spot pubblicitario?

La risposta è ………………………...perché è il giorno che presenta il numero più alto di spettatori.

Nel problema 1 mercoledìxMox === 3 perché 20000003 =F è la frequenza maggiore.

problema 2 Il premio MEDIANA

In una gara di matematica 21 studenti di una classe

hanno riportato i seguenti punteggi: Si definisce mediana il dato Mex = 40 41 55 90 85 73 42 60 77 88 55 60 che, dopo aver ordinato i dati in modo

77 55 80 20 90 70 45 73 81 crescente, occupa la posizione centrale

Il professore decide di assegnare un premio a tutti gli

studenti con punteggio superiore a quello conseguito

dalla metà meno “brillante” della classe. nxxx ...,,........., 21 sequenza ordinata

Quale punteggio occorre superare per ottenere il

premio? n è dispari n è pari

Per rispondere occorre innanzitutto disporre i 2

1+= nxMe 2

122

++

=

nn xx

Me

punteggi in ordine crescente: x1=20 x2=40 x3=41 x4=42 x5=45 x6=55 x7=55

x8=55 x9=60 x10=60 x11=70 x12=73 x13=73 x14=77

x15=77 x16=80 x17=81 x18=85 x19=88 x20=90 x21=90

ed individuare poi quello che occupa la posizione centrale.

Otterranno dunque il premio tutti gli studenti con punteggio superiore a ……….

Nel problema 2, dopo aver disposto i dati in ordine crescente, si ha 7011

2

121 ==== + xxMex .

x F

Lunedì 1200000

Martedì 1800000

Mercoledì 2000000

Giovedì 1600000

Venerdì 1200000

Sabato 800000

Domenica 900000

221

problema 3 Il viaggio MEDIA ARMONICA

Un gruppo di amici parte da Bari per un viaggio in

auto. La tappa Bari-Venezia di 720 km viene Si definisce media armonica il dato

percorsa a una velocità media di 95 km/h; la tappa Ax = Venezia-Firenze di 620 km a 65 km/h; la tappa che, sostituito a ogni dato,

Firenze-Roma di 360 km a 105 km/h; la tappa ne conserva la somma dei reciproci

Roma-Bari di 520 km a 115 km/h.

Qual è la velocità media dell’intero percorso?

∑=

n

ix

nA

1

1

Per rispondere occorre mettere a rapporto l’intero

spazio percorso ed il tempo impiegato:

hkmhkmvmedia /6,88/

115

520

105

360

65

620

95

720

520360620720=

+++

+++=

Nel problema 3 possiamo pensare che ogni velocità compaia tante volte quanti sono i chilometri del

tratto percorso, i dati sono dunque n=720+620+360+520=2220

e si ottiene la seguente tabella delle frequenze:

Si ha hkmhkm

x

nAx

n

i

/6,88/

520115

1360

105

1620

65

1720

95

1

2220

1

1

=

+++

===

∑

problema 4 Il tasso MEDIA GEOMETRICA

Una somma di denaro viene impiegata per tre anni in

unabanca che applica il primo anno il tasso del 3,5%, Si definisce media geometrica il

il secondo anno del 3,2% ed il terzo anno del 2,05%. dato Gx = Qual è il tasso medio applicato nei tre anni? che, sostituito a ogni dato,

Detto C il capitale iniziale, i montanti calcolati con i tre ne conserva il prodotto

diversi tassi sono i seguenti:

CCCM ⋅=+= 035,1035,01 n

n

ixG ∏=1

1112 032,1032,0 MMMM ⋅=+=

2223 0205,10205,0 MMMM ⋅=+=

e dalle tre formule si ricava

CCM ⋅=⋅⋅⋅= 09001646,10205,1032,1035,13

Il tasso richiesto risolve l’equazione ( ) 09001646,113

=+ t , 02915,109001646,11 3 ==+ t

dunque il tasso medio applicato nei tre anni vale………….

Nel problema 4, a partire dai dati 035,011 +=x 032,012 +=x 0205,013 +=x ,

si ha ( ) 02915,1)0205,01)(032,01(035,013 =+++== Gx perciò %915,202915,01 ==−= xt

x f

95 720

65 620

105 360

115 520

222

problema 5 La pagella MEDIA ARITMETICA

Giuliano presenta ai genitori la pagella di fine anno.

L’Istituto offre a tutti gli studenti che presentano una pagella si definisce media aritmetica

con media superiore all’8, l’esonero dal pagamento del il dato Mx =

contributo di iscrizione all’anno successivo che, sostituito a ogni dato,

ne conserva la somma

Ecco i voti di Giuliano: n

x

M

n

i∑= 1

Italiano 7 Storia 8 Geografia 7

Inglese 8 Matematica 9 Scienze 8

Diritto 7 Musica 7 Informatica 8

Educazione fisica 9

I genitori di Giuliano hanno diritto a tale esonero?

Dopo aver calcolato la somma di tutti i dieci voti e averla divisa per 10 si ottiene ………

e dunque i genitori di Giuliano…………………………………………………………….

Nel problema 5 la media aritmetica dei dati è data da 8,710

78

10

294847==

⋅+⋅+⋅== Mx

problema 6 Il Nilo MEDIA QUADRATICA

Sesostris, contadino egiziano, possiede otto diversi

appezzamenti quadrati di terreno, i cui lati misurano Si definisce media quadratica

x1=20u x2=15u x3=14u x4=18u

x5=12u x6=16u x7=12u x8=9u. il dato Qx =

Dopo ogni piena del Nilo è costretto a riperimetrare

i suoi possedimenti. Quest’anno desidera fare in modo che, sostituito a ogni dato,

che i suoi appezzamenti siano otto quadrati con il lato ne conserva la somma dei

di ugual misura. Quanto dovrà misurare all’incirca il quadrati

lato di questi appezzamenti?

Sesostris deve innanzitutto calcolare quanto terreno possiede: n

x

Q

n

i∑= 1

2)(

(20u)2+(15u)2+(14u)2+(18u)2+(12u)2+(16u)2+(13u)2+(10u)2=

=(400+225+196+324+144+256+169+100)u2=1814 u

2

Tale terreno va diviso in otto parti uguali di area ………………..

e di lato circa ……….

Nel problema 6 la media quadratica dei dati è data da

uuuuQx 1575,2268

1814

8

1013161218141520 22222222

≈==+++++++

==

223

problema 7 L’assunzione MEDIA PONDERATA

Per essere assunti presso la ditta “ZVUT” occorre

presentare alcuni dati ed ottenere il punteggio più Dopo aver fornito i pesi ip

alto fra tutti gli aspiranti candidati. relativi ai dati ix ,

Si presentano Antonio e Carlo con i seguenti titoli: si definisce media ponderata

il dato Px = così calcolato

( )

∑

∑ ⋅

=n

i

n

ii

p

xp

P

1

1

Per ottenere il punteggio totale la ditta calcola la Se tutti i pesi valgono 1 allora

media dei dati dopo aver assegnato a ciascuno di il valore della media ponderata

essi dei pesi che ne indichino e ne differenzino in coincide con il valore della media

qualche modo l’importanza. aritmetica

Tali fattori moltiplicativi sono

p1=0,5 p2=1,5 p3=2 p4=6 Se si lavora con classi ( )ii ba ;

e vengono utilizzati quasi come frequenze con le si può scegliere

quali pesare la presenza in modo più o meno influente

di ciascun dato. Chi verrà assunto? 2

ii

i

bax

+= e ii fp =

Tenendo conto di tali pesi i punteggi dei due aspiranti

al posto valgono

=+++

+++

625,15,0

018812014…………. =

+++

+++

625,15,0

1817211422………...,

dunque verrà assunto ……………………………..

Nel problema 6 la media ponderata dei due aspiranti al posto vale rispettivamente

2,3210

322=== AntonioAntonio Px 6,32

10

326=== CarloCarlo Px

OSSERVAZIONI

• x è un BUON indice di posizione (significativo) se si trova nella zona della distribuzione

dove si addensano maggiormente i dati

• La somma delle distanze tra i dati e un indice di posizione risulta minima se tale indice è la

mediana: x∀ ∑ ∑ −≤−n n

ii xxMex1 1

• QMGA ≤≤≤

Antonio Carlo

Età 28 44

Voto diploma 80 76

Voto laurea 94 86

Numero figli 0 3

224

16.5 INDICI DI VARIABILITA’

Si dice indice di variabilità un valore che informa sul modo in cui i valori di una distribuzione sono

più o meno dispersi.

Anche qui partiremo da una situazione problematica che richieda l’uso di questi indici di variabilità

e di essi daremo le definizioni.

problema 8 La classe più atletica Due classi si contendono il titolo di “classe atletica”.

L’insegnante ha raccolto i voti di Educazione Fisica del primo quadrimestre e deve decidere a chi

dare la vittoria.

Classe A: 6 8 7 6 6 8 6 8 8 8 7 9 6 7 6 6 8 7 6 7

Classe B: 9 8 8 9 3 3 4 8 9 4 5 8 7 7 9 10 8 10 5 6

Sistemiamo i dati in due tabelle di frequenza:

Subito colpisce il diverso intervallo in cui rientrano CAMPO di VARIAZIONE

i voti delle due classi: 96 ≤≤ ix 103 ≤≤ iy . nxxx ,....,, 21 sequenza ordinata

Per la classe A si rileva un campo di variazione campo di variazione = 1xxn −

che vale 9-6=3

Per la classe B il campo di variazione vale 10-3=7

Ci chiediamo come i voti delle due classi siano distribuiti nel rispettivo campo di variazione.

Cominciamo col calcolare la media aritmetica per le due classi:

720

140==AM 7

20

140==BM

Questo indice di posizione non aiuta l’insegnante!

Ma con un po’ di pazienza il docente prepara una tabella dove inserisce le differenze tra ogni voto e

la media aritmetica:

y F

3 2

4 2

5 2

6 1

7 2

8 5

9 4

10 2

x F

6 8

7 5

8 6

9 1

My i − f

-4 2

-3 2

-2 2

-1 1

0 2

+1 5

+2 4

+3 2

Mx i − f

-1 8

0 5

+1 6

+2 1

225

A questo punto possiamo calcolare la media di questi dati prendendoli o in valore assoluto o al

quadrato; vediamo cosa si trova:

SCARTO SEMPLICE MEDIO

è un valore che fornisce una misura

Le medie dei dati presi in valore assoluto valgono: di quanto i dati si discostano dalla media

8,020

16==As 9,1

20

38==Bs

n

Mx

s

n

i∑ −

= 1

Questi valori ci dicono che mediamente i voti

della classe A si discostano di 0,8 dalla media,

mentre quelli della classe B si discostano di 1,9.

Le medie dei dati presi al quadrato valgono: SCARTO QUADRATICO MEDIO

( ) ( ) ( )=

++++−=

20

21618222

Aσ è un indice più sensibile del precedente

9487,020

18== perché evidenzia maggiormente le variazioni

=Bσ ……………….. 2136,220

98== nella distribuzione dei dati intorno alla media

( )

n

Mxn

i∑ −

= 1

2

σ

viene anche detto deviazione standard

mentre il suo quadrato 2σ è detto varianza

Possiamo confermare che la variabilità dei voti nella classe B è decisamente molto più alta rispetto

a quella dei voti nella classe A

Possiamo concludere che la variabilità dei voti nella classe B è molto più alta rispetto a quella dei

voti nella classe A e l’insegnante decide di dare la vittoria alla classe ………… dove……………..

…………………………………………………………………………………………………………

226

OSSERVAZIONE

Vi sono fenomeni che seguono la cosiddetta distribuzione normale (curva di Gauss).

Le frequenze più alte si trovano attorno al valore della media e la rappresentazione grafica ha

l’aspetto di una campana.

Curva di GAUSS (distribuzione normale)

Nell’intervallo ( )σσ +− MM ; si concentra il 68,27% dei valori;

nell’intervallo ( )σσ 2;2 +− MM si concentra il 95,45% dei valori;

nell’intervallo ( )σσ 3;3 +− MM si concentra il 99,73% dei valori.

x-M

227



1) Che cosa si intende per popolazione?

2) Quando un carattere si dice quantitativo? Fai un esempio.

3) Che cos’è un istogramma?

4) Definisci frequenza assoluta, relativa, percentuale.

5) In che diversi modi può avvenire la raccolta dei dati?

6) Definisci almeno 2 indici di posizione centrale.

7) Che cos’è lo scarto medio? A che cosa serve?

8) Quali sono le fasi di un’indagine statistica?

9) A che cosa serve la statistica?

10) Che cos’è lo scarto quadratico medio? A che cosa serve?

11) Che cos’è un ortogramma?

12) Quando si parla di censimento? Te ne ricordi uno importante nella storia?

13) Che cos’è un areogramma?

14) Completa: Si definisce media aritmetica il dato Mx =

che, sostituito a ogni dato, ne conserva ……………………………

Si definisce media quadratica il dato Gx =

che, sostituito a ogni dato, ne conserva ……………………………

Si definisce mediana il dato Mx =

che, dopo aver ordinato i dati in modo……………………………..,

occupa la posizione …………………

Aspetta che ora lo so,

in statistica la popolazione è il

gruppo di persone o di oggetti

su cui si indaga

228

Esercizio guida In questa tabella sono rappresentati i dati relativi alla situazione di 20 famiglie per quanto riguarda numero di

componenti, reddito, titolo di studio e zona di residenza in Italia (Nord, Centro, Sud).

FAMIGLIA

N°

COMPONENTI

REDDITO

(in migliaia di euro)

TITOLO DI STUDIO

(del capofamiglia)

ZONA

RESIDENZA

1 2 28 Elementare Nord

2 1 35 Medie inferiori Centro

3 3 50 Medie inferiori Nord

4 1 45 Medie Superiori Nord

5 1 40 Laurea Sud

6 2 30 Medie inferiori Sud


8 4 80 Medie Superiori Centro

9 5 60 Laurea Sud

10 6 85 Laurea Nord

11 7 90 Laurea Nord

12 1 52 Medie Superiori Centro

13 2 62 Medie Superiori Sud


15 5 60 Elementari Nord

16 4 45 Medie inferiori Nord


18 2 28 Elementari Nord


20 2 38 Laurea Sud

Se siamo interessati a indagare sul numero di componenti per famiglia, possiamo organizzare una

tabella così, chiedendoci quante sono (che frequenza assoluta hanno) le famiglie con un

componente, quante quelle con due, con tre ecc. Completala tu

COMPONENTI FREQUENZA ASS FREQUENZA REL FREQUENZA%

1 4 4 su 20 cioè 4/20=0.2 20%

2 5 5 su 20 cioè 5/20=0.25 ……

3 4 4 su 20 cioè 4/20=0.2 20%

4 2 2 su 20 cioè …...…… 10%

5

…..

…….……cioè 2/20=0.1

…….

6

1

………………………

5%

7

1

………………………

……..

8

…..

………………………

………

PROVA TU Costruisci una tabella delle frequenze , riguardante il titolo di studio del capofamiglia o la

provenienza.

229

Esercizi

1. Riportiamo una tabella nella quale sono rappresentati i dati relativi ad alcune rilevazioni

effettuate in una classe di un istituto superiore. Completa la colonna delle frequenze

percentuali

Tab.1 – Scelta facoltà universitarie degli studenti di quinta classe.

Facoltà universitarie

num.

studenti

%

studenti

Economia 7 21,875%

Giurisprudenza 4 12,500%

Informatica 8

.......

Ingegneria 5 15,625%

Lettere 2

.......

Lingue straniere 4

.......

Scienze 2

.......

nessuna/non dichiarato 2

.......

TOTALE 32

In questa tabella sono rappresentati i dati

relativi alla scelta di facoltà universitarie

degli studenti di una classe quinta di un

istituto superiore.

Il carattere oggetto di studio è ................

e le modalità sono le denominazioni delle

facoltà.

La seconda colonna rappresenta le

frequenze (numero studenti) collegate a

ciascuna facoltà, e la terza colonna

rappresenta le frequenze........................

Grafico 1 – La rappresentazione grafica sottostante si chiama....................................(o diagramma a torta ) della scelta

facoltà universitarie - studenti di quinta classe.

230

2. Ricava le informazioni necessarie per completare la tabella, osservando il grafico:

Serie temporale delle iscrizioni alla prima classe di un istituto superiore

Anni

num.

studenti

2002 152

2003 .....

2004 196

2005 .....

2006 .....

2007 204

2008 .....

2009 .....

2010 .....

2011 165

Grafico 3 – Diagramma .....................della serie temporale delle iscrizioni alla prima classe di un

istituto superiore.

3. Le 16 classi prime dell’istituto Bertacchi hanno i seguenti numeri di studenti: 25 27 30 27 27 29 28 28

29 30 28 30 28 30 30 30

a. Compila la tabella delle frequenze e calcola le frequenze relative.

N° alunni per classe Frequenza assoluta Frequenza relativa

25

27

28

29

30

b. Rappresenta i dati, mediante ortogramma

4. Determina la moda, la mediana e la media aritmetica dei seguenti dati, relativi a una

variabile x: 43 50 40 38 39 40 44 40 44 41 50 43 45

41 42 48 41 50 43 48 45 43 42 50 44 43

Calcola lo scarto semplice medio relativo alla media aritmetica.

5. Determina la moda, la mediana e la media geometrica dei seguenti dati, relativi a una

variabile x: 3 5 4 8 3 4 4 1 4 1 5 3 5

1 2 4 1 1 3 8 5 3 2 5 4 3

231

6. Data la seguente tabella relativa ai pesi

di 20 ragazzi (in Kg):

calcolare la media aritmetica dei pesi

dei ragazzi prendendo per ogni classe

il valore centrale.

7. Calcolare la media armonica dei numeri 8, 4, 5, 10 e 2.

8. Un ciclista percorre due tappe di 70 Km ciascuna, la prima ad una velocità media di 35

Km/h, la seconda ad una velocità media di 20 Km/h. Determinare la velocità media

complessiva nelle due tappe.

9. In un’azienda gli stipendi annui, in migliaia di euro, sono così distribuiti:

2 direttori 40

4 capi ufficio 32

12 impiegati 14

40 operai 11

Calcolare la media aritmetica, la mediana e la moda degli stipendi.

10. Nella facoltà di Matematica di Milano-Bicocca, uno studente sostiene i seguenti esami del

primo anno, con i relativi crediti:

ESAME VOTO CREDITO

Algebra lineare 29 8

Analisi 1 30 12

Informatica 28 8

Fisica 1 30 12

Algebra 29 8

Geometria 8

Calcolare la media degli esami già sostenuti, tenendo conto dei crediti.

Che voto minimo deve prendere in geometria per avere una media del 29,5?

11. Il signor Antonio, produttore di vino, acquista uva regina per 400 euro a 0,7 € al Kg, e uva

pugliese per 400 euro a 0,6 € al Kg. Quanto gli è costato in media un kg d’uva?

12. Un contadino possiede quattro campi di forma quadrata di lato 40 m, 55 m, 60 m e 90 m.

Gli si propone lo scambio con quattro campi quadrati uguali, dei quali si chiede di

determinare il lato affinché lo scambio sia equo.

classi frequenze

46-50 2

50-54 3

54-58 5

58-62 4

62-66 4

66-70 3

232

13. Si effettua un’indagine sul tipo di merenda preferita durante l’intervallo tra 42 insegnanti

dell’ Istituto Bertacchi, ottenendo le seguenti risposte:

taralli brioches focaccia taralli patatine taralli yoghurt

gelato focaccia brioches brioches yoghurt gelato patatine

brioches taralli yoghurt gelato gelato patatine taralli

gelato yoghurt taralli taralli patatine patatine taralli

taralli focaccia brioches taralli taralli patatine yoghurt

taralli taralli taralli taralli taralli taralli taralli

Compila la tabella delle frequenze, trovando anche frequenza relativa e percentuale.

14. Si effettua un sondaggio sul costo di un litro di latte fresco intero, in 24 punti vendita

(negozi, supermercati, distributori automatici…) della provincia di Lecco, ottenendo i

seguenti risultati espessi in euro:

1,15 1,15 1,65 1,45 1 1,29 0,78 1 1,65 1,65 1,55 1

1,65 1,55 1,65 1,15 1 1,15 1,45 1,65 1,15 1,45 1 1,65.

a) Qual è il prezzo medio di un litro di latte fresco intero?

b) Qual è il prezzo più frequente?

c) Qual è il campo di variazione del prezzo del latte?

d) Calcola lo scarto quadratico medio.

15. In una gara di atletica sui 1000 m Giovanni percorre un primo tratto di 550 m ad una

velocità di 5,6 m/s, poi rallenta a causa di un crampo e percorre 200 m alla velocità di 4,9 m/s.

Sapendo che per qualificarsi alle gare nazionali non può superare i 3 minuti complessivi, con

che velocità minima dovrà percorrere l’ultimo tratto?

16. In laboratorio di fisica gli alunni della 4 A Ped misurano la lunghezza di una molla a

riposo, trovando le seguenti misure espresse in cm:

14,03 14,02 14,01 14,04 14,02 14,01 14,03 14,02 14,01 14,02 14,02 14,03

14,04 14,04 14,03 14,03 14,02 14,03 14,01 14,02 14,01 14,04 14,09 14,03

a) Calcola il campo di variazione e lo scarto quadratico medio.

b) Si può esprimere la misura della molla con M ± σ, cioè ….…. ± ………

c) Controlla quante e quali misure rientrano nell’intervallo (M- σ ; M+ σ).

d) Le misure che rientrano nell’intervallo (M- σ ; M+ σ) rappresentano il 68,27 %

come previsto per una distribuzione gaussiana?

17. In una classe i risultati di un compito a sorpresa di storia sono stati i seguenti:

2 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5

5 5 5 7 8 8 9 9 9 10 10 10

Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana.

Che cosa possiamo dedurre dall’analisi dei 3 indici calcolati?

233

18. Un venditore di scarpe, che ha appena aperto un negozio in un piccolo comune svolge

un’indagine sul numero di piede degli abitanti adulti, raccogliendo i seguenti dati:

8 persone il numero 35 7 persone il numero 41



11 persone il numero 38 1 persona il numero 44



a. Costruisci la tabella organizzata in classi di frequenza di ampiezza 3 numeri di piede e

calcola frequenza assoluta e relativa.

b. Rappresenta poi i dati mediante istogramma

c. Calcola la moda, la mediana e la media aritmetica.

d. Il venditore di scarpe utilizzerà uno dei 3 indici calcolati al punto c quando andrà dal

grossista. Quale e perchè?

19. Un gruppo di bambini raccoglie figurine, si ritrovano nel cortile della loro scuola e

contano quante ne posseggono: 10 24 12 24 30 8 42 16 24 14 16

a. costruisci la distribuzione di frequenza

b. rappresenta graficamente nel modo che ritieni più opportuno

c. calcola moda, mediana, media aritmetica, media armonica

d. calcola gli indici di variabilità rispetto alla media aritmetica

e. Quale percentuale dei dati rientra nell’intervallo (M- σ ; M+ σ)?

20. Alcuni studenti hanno deciso di effettuare delle rilevazioni del traffico nei pressi di una

rotonda della loro città. Si sono divisi il compito in due gruppi che hanno operato in diverse

fasce orarie prendendo nota del numero degli occupanti dei veicoli che sono transitati da tale

rotonda. Ecco i dati da loro raccolti:

gruppo A dalle 14 alle 14.30

numero occupanti 1 1 3 2 2 1 1 4 3 2 5 2 2 1 1 3 1 2 2 3

4 4 5 1 1 2 2 2 1 1 3 2 2 2 1 5 1 3 2 2

gruppo B dalle 16 alle 16.30

numero occupanti 2 1 3 2 2 1 1 4 3 1 4 1 1 3 4

a. costruisci le distribuzioni di frequenza

b. rappresenta graficamente nel modo che ritieni più opportuno

c. calcola moda, mediana e media aritmetica

d. calcola gli indici di variabilità rispetto alle medie del punto c)

e. completa la seguente tabella e osserva analogie e differenze

gruppo A gruppo B

Moda

Mediana

Media aritmetica

Campo di variazione

Scarto semplice medio

Scarto quadratico medio

SOMMARIO - itistulliobuzzi.it · 6 Esempio Affinchè 3 m + 2 sia un radicale aritmetico, il suo...

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