I Radicali Definizione e caratteristiche 1 6 4 3 radicando esponente del radicando indice Dato un...

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I Radicali Definizione e caratteristiche 1 6 4 3 radicando esponente del radicando indice Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno ed un solo numero reale non negativo b tale che b n = a. Il numero b si dice radice n-esima assoluta di a ed in simboli si scrive b a n Se a si può esprimere come potenza, cioè se il radicale si può esprimere nella forma , il numero p m è il radicando e m si dice esponente del radicando. p m n Il simbolo (con n ≥ 2) prende il nome di radicale, a è l’argomento del radicale o radicando, il numero n è l’indice del radicale, il numero è la radice n-esima di a. a n a n

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I Radicali Definizione e caratteristiche

1

√643

radicando

esponente del radicando

indice

Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno ed un solo numero reale non negativo b tale che bn = a. Il numero b si dice radice n-esima assoluta di a ed in simboli si scrive

b an

Se a si può esprimere come potenza, cioè se il

radicale si può esprimere nella forma , il numero

pm è il radicando e m si dice esponente del

radicando.

pmn

Il simbolo (con n ≥ 2) prende il nome di radicale, a è l’argomento del radicale o radicando, il

numero n è l’indice del radicale, il numero è la radice n-esima di a.

an

an

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I Radicali

ESEMPI

ESEMPIO

Definizione e caratteristiche

2

•Dalla definizione si ha che

an n a

3 2 2 3

è un radicale quadratico

7 è un radicale cubico

53

•Un radicale di indice 2 è un radicale quadratico.

: radice quadrata di a L’indice 2 può essere omesso:

a2

a2 a

•Un radicale di indice 3 è un radicale cubico.

: radice cubica di a

a3

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I Radicali Proprietà invariantiva

3

ESEMPIO

Grazie a questa proprietà si possono definire le seguenti operazioni:

• semplificazione di radicali

• moltiplicazione e divisione tra radicali

• portar dentro o portar fuori dal simbolo di radice i possibili fattori

Il radicale che si ottiene moltiplicando l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo ha lo stesso valore del radicale dato; in simboli:

amn ampnp

con p Z

723 72232 746

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I Radicali

ESEMPI

Semplificazione

4

La semplificazione di un radicale

816 346 323 933

2

26 324 23 3 24 23 3 24

Radicale irriducibile: radicale in cui l’indice della radice e l’esponente del radicando non hanno fattori comuni.

Per ottenere con la semplificazione un radicale irriducibile basta dividere l’indice e l’esponente del radicando per il loro M.C.D.

ESEMPIO

Se in un radicale l’indice della radice e l’esponente del radicando hanno un fattore comune, il radicale che si ottiene dividendoli per tale fattore ha lo stesso valore di quello dato; in simboli:

ampnp amn

22 33 48 22 33 4

8 22 33 108

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I Radicali Semplificazione

5

Nella definizione di radicale abbiamo richiesto che il radicando sia positivo o nullo. Se il radicando contiene una o più lettere dobbiamo porre le condizioni di non negatività.

Nella semplificazione di radicali con radicando letterale a volte si ottiene come risultato un radicale che ha significato per valori delle variabili diverso da quello di partenza.

ESEMPIO

ESEMPIO

Per mantenere l’uguaglianza occorre rendere positiva l’espressione 2x + 1 utilizzando l’operatore valore assoluto.

La semplificazione e il valore assoluto

Ha significato solo se x – 1 ≥ 0, cioè per x ≥ 1

x 1

definito in R definito per 2x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1

2

2x 1 24 2x 1

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I Radicali Proprietà

6

| a | =

a se a > 0

Ricordiamo la definizione di valore assoluto di un numero:

−a se a < 0

ESEMPIO

Quindi:

2x 1 24 2x 1 con x R

a2b84 ab4

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I Radicali Semplificazione

7

Regola pratica per stabilire quali sono i fattori di cui dobbiamo considerare il modulo:

in generale, si deve considerare il modulo di quei fattori che, elevati a potenza pari prima della semplificazione (che garantisce sempre la non negatività) diventano elevati a potenza dispari dopo la semplificazione (che non garantisce la non negatività).

non va mai messo il valore assoluto ai radicandi che, prima della semplificazione, hanno potenza dispari perché la condizione di esistenza impone già che essi siano positivi.

x24 x

x2 x

x36 x

x33 x

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I Radicali Operazioni con i radicali quadratici

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ESEMPIO

Forma del radicale quadratico: con a > 0

a

Teorema. Il prodotto o il quoziente di due radicali quadratici è un radicale quadratico che ha come radicando rispettivamente il prodotto e il quoziente dei radicandi:

con a, b ≥ 0 con a ≥ 0, b > 0

a b ab

a

b a

b

34

16

:38

3416

:38

34163

82

3 1

3

Prodotto e quoziente di radicali quadratici

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I Radicali Operazioni con i radicali quadratici

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ESEMPIO

Elevamento a potenza di radicali quadratici

Per elevare a potenza n-esima un radicale quadratico, si eleva a quella potenza il radicando:

a k ak

3 4 34 32 9

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I Radicali Operazioni con i radicali quadratici

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ESEMPI

Il trasporto dentro e fuori il simbolo di radice

Per trasportare un fattore esterno a sotto il simbolo di radice quadrata ci si comporta così:

• se a ≥ 0 si eleva a al quadrato e si lascia il segno positivo all’esterno:

• se a < 0 si trasforma a in −(−a), si eleva −a al quadrato e si lascia il segno negativo all’esterno:

a b a2b

a b a2b

3 2 32 2 18

2 5 22 5 20

se x ≥ 0

se x < 0

x 2

x2 2 2x2

x 22 2x2

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I Radicali Operazioni con i radicali quadratici

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ESEMPIO

quoziente 3

resto 1

• q il quoziente intero della divisione di m per l’indice della radice (nel caso di radicali quadratici m : 2)

• r il resto di tale divisione

vale la seguente relazione

Per trasportare un fattore fuori dal simbolo di radice quadrata ci si comporta così:

con a ≥ 0 e m > 2, se indichiamo con:dato il radicale

am

am aq ar

7 : 2

a7 con a 0

a3 a1

a7 a3 aquindi

esponente indice

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I Radicali Operazioni con i radicali quadratici

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ESEMPIO

Il fattore 7 non si può portare fuori dal simbolo di radice perché il suo esponente 1 è minore dell’indice 2 della radice; agli altri fattori invece si può applicare la regola precedente:

24 esponente 4 4 : 2 = 2 con resto 0 fattore esterno 22 fattore interno 20 cioè 135 esponente 5 5 : 2 = 2 con resto 1 fattore esterno 32 fattore interno 31 cioè 3

24 35 7

In definitiva:

24 35 7 22 32 137 36 21

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I Radicali Operazioni con i radicali quadratici

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ESEMPI

Addizione e sottrazione

a b a b Infatti:

25 9 53 8 mentre

259 34

a b a b Infatti:

25 9 5 3 2 mentre

25 9 16 4

L’addizione e la sottrazione tra più radicali dà come risultato un unico radicale solo nel caso di radicali simili.

Sono simili i radicali perché hanno la stessa parte radicale.

3 e 4 3

3 4 3 3 1 4 3 3

3 4 2 2 3 5 2 3 3 2

4 2 3 2 2 43 7 2

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I Radicali Radicali cubici e operazioni con i radicali cubici

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Operazioni con i radicali cubici

ESEMPIO

Forma del radicale cubico:

a3

• Prodotto e quoziente:

a3 b3 ab3

a3

b3 a

b

con b 0

14

3 : 83 163 14

3 18

3 163 1418163 1

23

vale l’uguaglianza con a > 0

a3 a3

Un segno negativo all’interno di un radicale cubico può essere trasportato all’esterno.

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I Radicali Operazioni con i radicali cubici

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ESEMPIO

• Trasporto sotto al simbolo di radice

ESEMPIO

Si eleva al cubo il valore assoluto del fattore esterno lasciando fuori il segno.

• Potenza:

a 3 n an3

3x2y3 2 3x2y 23 9x4y 23

3 23 33 23 543

2 12

3 23 12

3 43

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I Radicali

ESEMPIO

Operazioni con i radicali cubici

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• Trasporto fuori al simbolo di radice

ESEMPIO

• Addizione e sottrazione

Si possono eseguire solo tra radicali simili.

Si possono trasportare all’esterno solo i fattori il cui esponente m è maggiore o uguale a 3; se q è il quoziente intero della divisione di m per 3 e r è il resto della divisione:

am3 aq ar3

nella divisione 5 : 3, il quoziente è 1 e il resto è 2

253 2 223

43 2 53 2 43 7 53 1 2 43 2 7 53 3 43 5 53

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I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi

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Le operazioni che abbiamo imparato ad eseguire tra radicali quadratici e cubici si possono eseguire tra radicali di indice n qualsiasi con le stesse regole già enunciate tenendo presente che:

• prodotti e quozienti di radicali si possono eseguire solo tra radicali aventi lo stesso indice; in questo caso:

• somme e differenze di radicali si possono eseguire solo tra radicali simili.

an an abn

con a,b 0

an

bn a

bn

con a 0, b 0

• per elevare a potenza un radicale si eleva a quella potenza il radicando:

an k akn

• un fattore positivo si può trasportare sotto il simbolo di radice elevandolo a potenza n:

a bn anbn

• un fattore si può trasportare fuori dal simbolo di radice solo se il suo esponente è maggiore o uguale all’indice della radice, ed è:

amn aq arn con q quoziente intero della divisione m:n e r resto della divisione.

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I Radicali

ESEMPI

Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi

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34 124 3124 364 624 6

25 3 235 85

3 13

4 34 13

4 334 274

1286 276 2 26

54 2 54 7 54 54 1 2 7 4 54

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I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi

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Nel caso di radicali di indici diversi la procedura per eseguire il prodotto o il quoziente è la seguente:

Per ridurre i radicali allo stesso indice si applica la proprietà invariantiva.

• si riducono i radicali allo stesso indice, che è il m.c.m. tra gli indici delle radici

• si esegue il prodotto o il quoziente

• si semplifica, se possibile, il radicale ottenuto.

ESEMPIO

Le tre radici hanno rispettivamente indice 2, 6, 3, quindi l’indice comune è 6:

254 456 43

254 524 5

456 32 56 irriducibile

43 223 irriducibile

5 536 1256

456

223 246 166

Scomponiamo innanzi tutto i radicali e vediamo se è possibile semplificarli:

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I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi

20

ESEMPIO

bisognerà eseguire la stessa operazione sulle radici di indice 6 e semplificare eventualmente il radicale ottenuto:

Quindi per eseguire la moltiplicazione

254 456 43

254 456 43 1256 456 166 12545166 900006

Semplifichiamo il radicale:

900006 24 32 546 22 3523 3003

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I Radicali Radice di radicale

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ESEMPI

con a ≥ 0

amn anm

6 64

e semplificando il radicale

43 46

226 23

3 2 32 2 184

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I Radicali Radicali quadratici doppi

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Alcuni radicali doppi possono essere facilmente trasformati nella somma algebrica di radicali semplici, riconoscendo nel radicando il quadrato di un binomio.

ESEMPIO

Forma del radicale quadratico doppio:

a b

7 2 6 61 2 6 6 1 2 6 1

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I Radicali Radicali quadratici doppi

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ESEMPIO

Calcoliamo a2 – b = 144 – 63 = 81 = 92

In alternativa, se a2 – b è un quadrato perfetto, si può usare la formula:

a b a a2 b2

a a2 b2

12 3 7 12 63

12 3 7 12 92

2 12 92

2 129

2 12 9

2 21

2 3

2

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I Radicali Razionalizzazione

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Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in un’altra equivalente che abbia denominatore razionale.

La trasformazione viene effettuata applicando la proprietà invariantiva della divisione, moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore razionale, detto fattore razionalizzante.

ESEMPIO

ESEMPIO

• Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è

1

a

a

1

3 1 3

3 3 3

3

• Frazioni del tipo ; con k < 3 il fattore razionalizzante è

1

ak3

a3 k3

1

53 1 523

53 523 253

533 253

5

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I Radicali Razionalizzazione

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Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è

1

a b

a m b

1

3 2

2 3 2 3 2 3 2

2 3 2 3 2 2 2

2 3 2

3 22 3 2

Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è

1

a3 b3

a23 ab3 b23

a23 ab3 b23

1

23 33 43 63 93

23 33 43 63 93 43 63 93

2 3 43 63 93

ESEMPIO

ESEMPIO

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I Radicali Potenze ad esponente razionale

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ESEMPI

Se a ≥ 0 e m, n sono interi positivi, allora:

am

n amn

43 / 2 43 26 23 8

15

3 / 2

53 / 2 53 5 5

Il denominatore n della frazione dell’esponente diventa l’indice della radice.

Il numeratore m diventa l’esponente del radicando.

Se l’esponente è un numero negativo, occorre prima invertire la base:

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I Radicali Potenze ad esponente razionale

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Per le potenze ad esponente razionale valgono le seguenti proprietà che derivano dalle consuete proprietà delle potenze:

. am/n ap/q = am/n + p/q . am/n : ap/q = am/n − p/q

. (am/n)p/q = amp/nq

. (a b)m/n = am/n bm/n . (a : b)m/n = am/n : bm/n

ESEMPIO

21

2 22

3 : 23

4 25

12 2512

a aa1

2

1

3

1

2

a a3

2

1

3

1

2

aa1

2

1

2

a3

2

1

2

a3

4 a34