I Radicali Definizione e caratteristiche 1 6 4 3 radicando esponente del radicando indice Dato un...
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I Radicali Definizione e caratteristiche
1
√643
radicando
esponente del radicando
indice
Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno ed un solo numero reale non negativo b tale che bn = a. Il numero b si dice radice n-esima assoluta di a ed in simboli si scrive
b an
Se a si può esprimere come potenza, cioè se il
radicale si può esprimere nella forma , il numero
pm è il radicando e m si dice esponente del
radicando.
pmn
Il simbolo (con n ≥ 2) prende il nome di radicale, a è l’argomento del radicale o radicando, il
numero n è l’indice del radicale, il numero è la radice n-esima di a.
an
an
I Radicali
ESEMPI
ESEMPIO
Definizione e caratteristiche
2
•Dalla definizione si ha che
an n a
3 2 2 3
è un radicale quadratico
7 è un radicale cubico
53
•Un radicale di indice 2 è un radicale quadratico.
: radice quadrata di a L’indice 2 può essere omesso:
a2
a2 a
•Un radicale di indice 3 è un radicale cubico.
: radice cubica di a
a3
I Radicali Proprietà invariantiva
3
ESEMPIO
Grazie a questa proprietà si possono definire le seguenti operazioni:
• semplificazione di radicali
• moltiplicazione e divisione tra radicali
• portar dentro o portar fuori dal simbolo di radice i possibili fattori
Il radicale che si ottiene moltiplicando l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo ha lo stesso valore del radicale dato; in simboli:
amn ampnp
con p Z
723 72232 746
I Radicali
ESEMPI
Semplificazione
4
La semplificazione di un radicale
816 346 323 933
2
26 324 23 3 24 23 3 24
Radicale irriducibile: radicale in cui l’indice della radice e l’esponente del radicando non hanno fattori comuni.
Per ottenere con la semplificazione un radicale irriducibile basta dividere l’indice e l’esponente del radicando per il loro M.C.D.
ESEMPIO
Se in un radicale l’indice della radice e l’esponente del radicando hanno un fattore comune, il radicale che si ottiene dividendoli per tale fattore ha lo stesso valore di quello dato; in simboli:
ampnp amn
22 33 48 22 33 4
8 22 33 108
I Radicali Semplificazione
5
Nella definizione di radicale abbiamo richiesto che il radicando sia positivo o nullo. Se il radicando contiene una o più lettere dobbiamo porre le condizioni di non negatività.
Nella semplificazione di radicali con radicando letterale a volte si ottiene come risultato un radicale che ha significato per valori delle variabili diverso da quello di partenza.
ESEMPIO
ESEMPIO
Per mantenere l’uguaglianza occorre rendere positiva l’espressione 2x + 1 utilizzando l’operatore valore assoluto.
La semplificazione e il valore assoluto
Ha significato solo se x – 1 ≥ 0, cioè per x ≥ 1
x 1
definito in R definito per 2x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1
2
2x 1 24 2x 1
I Radicali Proprietà
6
| a | =
a se a > 0
Ricordiamo la definizione di valore assoluto di un numero:
−a se a < 0
ESEMPIO
Quindi:
2x 1 24 2x 1 con x R
a2b84 ab4
I Radicali Semplificazione
7
Regola pratica per stabilire quali sono i fattori di cui dobbiamo considerare il modulo:
in generale, si deve considerare il modulo di quei fattori che, elevati a potenza pari prima della semplificazione (che garantisce sempre la non negatività) diventano elevati a potenza dispari dopo la semplificazione (che non garantisce la non negatività).
non va mai messo il valore assoluto ai radicandi che, prima della semplificazione, hanno potenza dispari perché la condizione di esistenza impone già che essi siano positivi.
x24 x
x2 x
x36 x
x33 x
I Radicali Operazioni con i radicali quadratici
8
ESEMPIO
Forma del radicale quadratico: con a > 0
a
Teorema. Il prodotto o il quoziente di due radicali quadratici è un radicale quadratico che ha come radicando rispettivamente il prodotto e il quoziente dei radicandi:
con a, b ≥ 0 con a ≥ 0, b > 0
a b ab
a
b a
b
34
16
:38
3416
:38
34163
82
3 1
3
Prodotto e quoziente di radicali quadratici
I Radicali Operazioni con i radicali quadratici
9
ESEMPIO
Elevamento a potenza di radicali quadratici
Per elevare a potenza n-esima un radicale quadratico, si eleva a quella potenza il radicando:
a k ak
3 4 34 32 9
I Radicali Operazioni con i radicali quadratici
10
ESEMPI
Il trasporto dentro e fuori il simbolo di radice
Per trasportare un fattore esterno a sotto il simbolo di radice quadrata ci si comporta così:
• se a ≥ 0 si eleva a al quadrato e si lascia il segno positivo all’esterno:
• se a < 0 si trasforma a in −(−a), si eleva −a al quadrato e si lascia il segno negativo all’esterno:
a b a2b
a b a2b
3 2 32 2 18
2 5 22 5 20
se x ≥ 0
se x < 0
x 2
x2 2 2x2
x 22 2x2
I Radicali Operazioni con i radicali quadratici
11
ESEMPIO
quoziente 3
resto 1
• q il quoziente intero della divisione di m per l’indice della radice (nel caso di radicali quadratici m : 2)
• r il resto di tale divisione
vale la seguente relazione
Per trasportare un fattore fuori dal simbolo di radice quadrata ci si comporta così:
con a ≥ 0 e m > 2, se indichiamo con:dato il radicale
am
am aq ar
7 : 2
a7 con a 0
a3 a1
a7 a3 aquindi
esponente indice
I Radicali Operazioni con i radicali quadratici
12
ESEMPIO
Il fattore 7 non si può portare fuori dal simbolo di radice perché il suo esponente 1 è minore dell’indice 2 della radice; agli altri fattori invece si può applicare la regola precedente:
24 esponente 4 4 : 2 = 2 con resto 0 fattore esterno 22 fattore interno 20 cioè 135 esponente 5 5 : 2 = 2 con resto 1 fattore esterno 32 fattore interno 31 cioè 3
24 35 7
In definitiva:
24 35 7 22 32 137 36 21
I Radicali Operazioni con i radicali quadratici
13
ESEMPI
Addizione e sottrazione
a b a b Infatti:
25 9 53 8 mentre
259 34
a b a b Infatti:
25 9 5 3 2 mentre
25 9 16 4
L’addizione e la sottrazione tra più radicali dà come risultato un unico radicale solo nel caso di radicali simili.
Sono simili i radicali perché hanno la stessa parte radicale.
3 e 4 3
3 4 3 3 1 4 3 3
3 4 2 2 3 5 2 3 3 2
4 2 3 2 2 43 7 2
I Radicali Radicali cubici e operazioni con i radicali cubici
14
Operazioni con i radicali cubici
ESEMPIO
Forma del radicale cubico:
a3
• Prodotto e quoziente:
a3 b3 ab3
a3
b3 a
b
con b 0
14
3 : 83 163 14
3 18
3 163 1418163 1
23
vale l’uguaglianza con a > 0
a3 a3
Un segno negativo all’interno di un radicale cubico può essere trasportato all’esterno.
I Radicali Operazioni con i radicali cubici
15
ESEMPIO
• Trasporto sotto al simbolo di radice
ESEMPIO
Si eleva al cubo il valore assoluto del fattore esterno lasciando fuori il segno.
• Potenza:
a 3 n an3
3x2y3 2 3x2y 23 9x4y 23
3 23 33 23 543
2 12
3 23 12
3 43
I Radicali
ESEMPIO
Operazioni con i radicali cubici
16
• Trasporto fuori al simbolo di radice
ESEMPIO
• Addizione e sottrazione
Si possono eseguire solo tra radicali simili.
Si possono trasportare all’esterno solo i fattori il cui esponente m è maggiore o uguale a 3; se q è il quoziente intero della divisione di m per 3 e r è il resto della divisione:
am3 aq ar3
nella divisione 5 : 3, il quoziente è 1 e il resto è 2
253 2 223
43 2 53 2 43 7 53 1 2 43 2 7 53 3 43 5 53
I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
17
Le operazioni che abbiamo imparato ad eseguire tra radicali quadratici e cubici si possono eseguire tra radicali di indice n qualsiasi con le stesse regole già enunciate tenendo presente che:
• prodotti e quozienti di radicali si possono eseguire solo tra radicali aventi lo stesso indice; in questo caso:
• somme e differenze di radicali si possono eseguire solo tra radicali simili.
an an abn
con a,b 0
an
bn a
bn
con a 0, b 0
• per elevare a potenza un radicale si eleva a quella potenza il radicando:
an k akn
• un fattore positivo si può trasportare sotto il simbolo di radice elevandolo a potenza n:
a bn anbn
• un fattore si può trasportare fuori dal simbolo di radice solo se il suo esponente è maggiore o uguale all’indice della radice, ed è:
amn aq arn con q quoziente intero della divisione m:n e r resto della divisione.
I Radicali
ESEMPI
Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
18
34 124 3124 364 624 6
25 3 235 85
3 13
4 34 13
4 334 274
1286 276 2 26
54 2 54 7 54 54 1 2 7 4 54
I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
19
Nel caso di radicali di indici diversi la procedura per eseguire il prodotto o il quoziente è la seguente:
Per ridurre i radicali allo stesso indice si applica la proprietà invariantiva.
• si riducono i radicali allo stesso indice, che è il m.c.m. tra gli indici delle radici
• si esegue il prodotto o il quoziente
• si semplifica, se possibile, il radicale ottenuto.
ESEMPIO
Le tre radici hanno rispettivamente indice 2, 6, 3, quindi l’indice comune è 6:
254 456 43
254 524 5
456 32 56 irriducibile
43 223 irriducibile
5 536 1256
456
223 246 166
Scomponiamo innanzi tutto i radicali e vediamo se è possibile semplificarli:
I Radicali Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi
20
ESEMPIO
bisognerà eseguire la stessa operazione sulle radici di indice 6 e semplificare eventualmente il radicale ottenuto:
Quindi per eseguire la moltiplicazione
254 456 43
254 456 43 1256 456 166 12545166 900006
Semplifichiamo il radicale:
900006 24 32 546 22 3523 3003
I Radicali Radice di radicale
21
ESEMPI
con a ≥ 0
amn anm
6 64
e semplificando il radicale
43 46
226 23
3 2 32 2 184
I Radicali Radicali quadratici doppi
22
Alcuni radicali doppi possono essere facilmente trasformati nella somma algebrica di radicali semplici, riconoscendo nel radicando il quadrato di un binomio.
ESEMPIO
Forma del radicale quadratico doppio:
a b
7 2 6 61 2 6 6 1 2 6 1
I Radicali Radicali quadratici doppi
23
ESEMPIO
Calcoliamo a2 – b = 144 – 63 = 81 = 92
In alternativa, se a2 – b è un quadrato perfetto, si può usare la formula:
a b a a2 b2
a a2 b2
12 3 7 12 63
12 3 7 12 92
2 12 92
2 129
2 12 9
2 21
2 3
2
I Radicali Razionalizzazione
24
Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in un’altra equivalente che abbia denominatore razionale.
La trasformazione viene effettuata applicando la proprietà invariantiva della divisione, moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore razionale, detto fattore razionalizzante.
ESEMPIO
ESEMPIO
• Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è
1
a
a
1
3 1 3
3 3 3
3
• Frazioni del tipo ; con k < 3 il fattore razionalizzante è
1
ak3
a3 k3
1
53 1 523
53 523 253
533 253
5
I Radicali Razionalizzazione
25
Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è
1
a b
a m b
1
3 2
2 3 2 3 2 3 2
2 3 2 3 2 2 2
2 3 2
3 22 3 2
Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è
1
a3 b3
a23 ab3 b23
a23 ab3 b23
1
23 33 43 63 93
23 33 43 63 93 43 63 93
2 3 43 63 93
ESEMPIO
ESEMPIO
I Radicali Potenze ad esponente razionale
26
ESEMPI
Se a ≥ 0 e m, n sono interi positivi, allora:
am
n amn
43 / 2 43 26 23 8
15
3 / 2
53 / 2 53 5 5
Il denominatore n della frazione dell’esponente diventa l’indice della radice.
Il numeratore m diventa l’esponente del radicando.
Se l’esponente è un numero negativo, occorre prima invertire la base:
I Radicali Potenze ad esponente razionale
27
Per le potenze ad esponente razionale valgono le seguenti proprietà che derivano dalle consuete proprietà delle potenze:
. am/n ap/q = am/n + p/q . am/n : ap/q = am/n − p/q
. (am/n)p/q = amp/nq
. (a b)m/n = am/n bm/n . (a : b)m/n = am/n : bm/n
ESEMPIO
21
2 22
3 : 23
4 25
12 2512
a aa1
2
1
3
1
2
a a3
2
1
3
1
2
aa1
2
1
2
a3
2
1
2
a3
4 a34