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Soluzioni della Prova di esonero di Fisica II per Chimica, 3 / 12 / 2012Esercizio 1In una sfera isolante di raggio R e densità di carica r sono due fori sferici di raggio R/4, con i centri in (-R/2;R/2) e (R/2;R/2). All’interno dei due fori sferici sono due cariche negative di uguale valore, Q1 e Q2, tali da rendere il sistema globalmente neutro. Le due cariche sono nelle posizioni di coordinate: Q1 (-5R/8; R/2), Q2 (3R/8; R/2). Calcolare in direzione, modulo e verso, il valore del campo elettrico nei punti A (0,-R/2) e B (-3R/2; 0) indicati in figura.Calcolare inoltre le componenti Px ed Py del momento di dipolo totale del sistema di cariche.Dati : R = 0.11 m ; r = 1.5 10-9 C/m3

ü Soluzione: Nella figura sono indicati i vettori prodotti dal guscio sferico di raggio R e densità di carica r, e dalle sfere cariche con densità di carica negativa -r poste in corrispondenza dei fori, nei punti A e B:

ü

Soluzione: Nella figura sono indicati i vettori prodotti dal guscio sferico di raggio R e densità di carica r, e dalle sfere cariche con densità di carica negativa -r poste in corrispondenza dei fori, nei punti A e B:

In[2696]:= << PhysicalConstants`

In[2697]:= e0 = VacuumPermittivity

Out[2697]=8.85419µ10-12 Ampere Second

Meter Volt

Dati:

In[2698]:= R := 0.11 Meter

In[2699]:= r := 1.5 10-9 Coulombë Meter3Calcolo dei valori di Q1 e Q2.

Prima di tutto, calcoliamo i valori di Q1 e Q2. Il testo ci dice che le due cariche sono negative ed uguali, e tali da rendere ilsistema globalmente neutro. Quindi calcoliamo la carica presente nella sfera 1 con i fori 2 e 3: tale carica sarà positiva.Perchè la carica totale sia nulla, Q1 e Q2 dovranno avere ciascuna la metà di questo valore.Quindi:

Carica totale della Sfera 1 (Sfera di raggio R con densità di carica uniforme r)

In[2700]:= Qtot1 = r4

3 p R3

Out[2700]= 8.36292µ10-12 Coulomb

Carica totale della Sfera 2 (Sfera di raggio R/4 con densità di carica uniforme -r)

In[2701]:= Qtot2 = - r4

3 p

R

4

3

Out[2701]= -1.30671µ10-13 Coulomb

2 Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb

Carica totale della Sfera 3 (Sfera di raggio R/4 con densità di carica uniforme -r). Vale Qtot3 = Qtot2

In[2702]:= Qtot3 = - r4

3 p

R

4

3

Out[2702]= -1.30671µ10-13 Coulomb

Il valore della carica Q1 (negativa) si trova sottraendo alla sfera 1 la carica delle sfere, cariche negativamente, 2 e 3, edividendo per 2:

In[2703]:= Q1 = -HQtot1 + Qtot2 + Qtot3Lê2Out[2703]= -4.05079µ10-12 Coulomb

In[2704]:= Q2 = Q1

Out[2704]= -4.05079µ10-12 Coulomb

Controllo: la carica totale deve essere 0:

In[2705]:= QtotSistema = Qtot1 + 2 Qtot2 + 2 Q1new

Out[2705]= 0. Coulomb

ü Calcolo del campo E in A(0;-R/2):

Modulo del Campo E della Sfera 1 (Sfera di raggio R e densità di carica r, con centro in (0;0))

Per r £ R, il modulo del campo elettrico è dato dal teorema di Gauss applicato ad una superficie sferica di raggio r, concen-trica con il guscio sferico:F(E(r)) = 4pr2E(r) = Q(r)/e0 La carica Q(r) è quella della sfera carica compresa tra 0 ed r:Q(r) = r 4

3 p Ir3M

per cui:

In[2706]:= E1int@r_D =r

4 p e0

1

r2 4

3 p Ir3M

Out[2706]=56.4705 Coulomb r Volt

Ampere Meter2 Second

Il modulo di E(r) per r=R/2 è:

In[2707]:= E1A = E1intB12

RFOut[2707]=

3.10587 Coulomb Volt

Ampere Meter Second

Il campo E1 è diretto radialmente verso l'esterno, come indicato in figura (vettore blu).

Calcolo del Campo E della Sfera 2 (Sfera di raggio R/4 e carica -r, con centro in (-R/2;R/2))

La carica totale Q2 della sfera di raggio R/4 in (-R/2;R/2) è:

Il campo E2 prodotto dalla carica Qtot2 è diretto verso la sfera, come in figura (vettore rosso) ed ha un modulo che varia infunzione di r come:

Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb 3

In[2708]:= E2m@r_D =Qtot2

4 p e0

1

r2

Out[2708]= -0.00117441 Coulomb Meter Volt

Ampere r2 Second

La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;R/2) dal punto A (0;R/2) è

In[2709]:= D2A = HRê2L2 + R2

Out[2709]= 0.122984 Meter2

La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;R/2) dal punto A (0;R/2) è quindi R 5 í 2, per cui il modulo di E2 in A è dato

da:

In[2710]:= E2A = E2m@D2ADOut[2710]= -


Ampere Meter Second

Il vettore E2 forma con l'asse delle y un angolo q tale che:

sin q = (R/2)/(R 5 í 2) = 1/ 5

cos q = R/(R 5 í 2) = 2/ 5

per cui è:E2x = E2 sin q = E2/ 5 (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)E2y = E2 cos q = E2 2í 5 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)

In[2711]:= E2Ax = E2A í 5

Out[2711]= -0.0347247 Coulomb Volt

Ampere Meter Second

In[2712]:= E2Ay = E2A 2 í 5


Ampere Meter Second

Calcolo del Campo E della Sfera 3 (Sfera di raggio R/4 e carica -r, con centro in (R/2;-R/2))

La sfera 3 in (R/2;R/2) ha la stessa carica totale della sfera 2: Qtot3 = Qtot2. Inoltre, la distanza del centro della sfera 3 dalpunto A e la stessa del centro della sfera 2. Quindi il vettore E3 ha lo stesso modulo del vettore E2. Inoltre, anche il vettoreE3 forma con l'asse delle y lo stesso angolo q del vettore E2. L'unica differenza, è che la componente x di E3 ha direzioneopposta alla componente x di E2.Quindi si ha, nel punto A, per E3:E3x = - E2xE3y = E2y

In[2713]:= E3Ax := -E2Ax

In[2714]:= E3Ay := E2Ay

Calcolo del Campo E della carica Q1 in (-5R/8; R/2) in A

La carica Q1 dista da A:


In[2715]:= DQ1A =5 R

8

2

+R

2+R

2

2

Out[2715]= 0.129717 Meter2

per cui il modulo del campo elettrico dovuto a Q1 in A è:

In[2716]:= EQ1A =Q1

4 p e0

1

DQ1A2


Ampere Meter Second

Il vettore EQ1 è diretto verso la carica Q1 e forma con l'asse delle y l'angolo j1 tale che:

sin j1 = (5R/8)/DQ1Acos j1 = (R/2 + R/2)/DQ1A

per cui è:EQ1Ax = EQ1A sin j1 (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)EQ1Ay = EQ1A cos j1 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)

In[2717]:= EQ1Ax = EQ1A H5 Rê8LêDQ1AOut[2717]= -



In[2718]:= EQ1Ay = EQ1AR

2+R

2ì DQ1A



Calcolo del Campo E della carica Q2 in (3R/8; R/2) in A

La carica Q2 dista da A:

In[2719]:= DQ2A =3 R

8

2

+R

2+R

2

2

Out[2719]= 0.11748 Meter2

per cui il modulo del campo elettrico dovuto a Q1 in A è:

In[2720]:= EQ2A =Q2

4 p e0

1

DQ2A2


Ampere Meter Second



per cui è:EQ2Ax = EQ2A sin j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ2Ay = EQ2A cos j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)




per cui è:EQ2Ax = EQ2A sin j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ2Ay = EQ2A cos j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)

In[2721]:= EQ2Ax = EQ2A H3 Rê8LêDQ2AOut[2721]= -



In[2722]:= EQ2Ay = EQ2AR

2+R

2ì DQ2A



Possiamo ora calcolare le componenti del campo totale in A:

EtotAx = E2Ax+E3Ax+EQ1Ax+EQ2Ax = EQ1Ax + EQ2Ax perchè è E2Ax = - E3Ax, come abbiamo vistoEtotAy = E1A + E2Ay + E3Ay + EQ1Ay+EQ2Ay

In[2723]:= EtotAx = -Abs@EQ1AxD + Abs@EQ2AxDOut[2723]= -0.220512 AbsB Coulomb Volt


F

In[2724]:= EtotAy = -Abs@E1AD + Abs@E2AyD + Abs@E3AyD + Abs@EQ1AyD + Abs@EQ2AyD êê N

Out[2724]= -2.96698 AbsB Coulomb Volt

Ampere Meter SecondF + 4.30468 AbsB Coulomb Volt


F

Il modulo del campo elettrico nel punto A è dato da:

In[2725]:= -2.9669759841706234`+ 4.304677034632822`

Out[2725]= 1.3377

In[2726]:=

EtotA = EtotAx2 + EtotAy2

Out[2726]= 0.0486255 AbsB Coulomb Volt


F2 +

-2.96698 AbsB Coulomb Volt



F2

In[2727]:= 1.3377010504621984`2 + 0.048625492098938`2

Out[2727]= 1.33858

ü Calcolo del campo E in B(-3R/2;3R/2):Il campo E1B generato dalla sfera 1 in (0;0) in B (-3R/2;0) ha modulo:


In[2728]:= E1B =1

4 p e0

Qtot1

I 3 R2M2 êê N

Out[2728]=2.76078 Coulomb Volt

Ampere Meter Second

Il vettore E1B forma un angolo di p/2 con l'asse delle y => E1Bx =E1B; E1By = 0E1Bx = E1B (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)

La distanza D2B tra il centro della sfera 2 in (-R/2;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:

In[2729]:= D2B = -3 R

2- -

R

2

2

+R

2

2

Out[2729]= 0.122984 Meter2

Il campo E2B generato dalla sfera 2 in (-R/2;R/2), nel punto B in (-3R/2;3R/2), ha modulo:

In[2730]:= E2B =1

4 p e0

Qtot2

D2B2êê N


Ampere Meter Second

Il vettore E2B forma un angolo q l'asse delle x tale che:sin q = R/2/D2Bcos q = R/D2BE2Bx = E2B cosq (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)E2By = E2B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)

In[2731]:= E2Bx = E2B R

D2B



In[2732]:= E2By = E2B

R2

D2B



La distanza D3B tra il centro della sfera 3 in (R/2;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:

In[2733]:= D3B = -3 R

2-

R

2

2

+R

2

2

Out[2733]= 0.226771 Meter2

Il campo E3B generato dalla sfera 3 in (R/2;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:

In[2734]:= E3B =1

4 p e0

Qtot3

D3B2êê N


Ampere Meter Second

Il vettore E3B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:sin q = R/2/D3Bcos q = 2R/D3Bper cui è:E3Bx = E3B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)E3By = E3B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)


Il vettore E3B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:sin q = R/2/D3Bcos q = 2R/D3Bper cui è:E3Bx = E3B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)E3By = E3B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)

In[2735]:= E3Bx = E3B2 R

D3Bêê N



In[2736]:= E3By = E3B Rê2D3B

êê N



La distanza DQ1B tra la carica Q1 in (-5R/8;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:

In[2737]:= DQ1B = -3 R

2- -

5 R

8

2

+R

2

2

Out[2737]= 0.110856 Meter2

Il campo EQ1B generato dalla carica Q1 in (-5R/8;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:

In[2738]:= EQ1B =1

4 p e0

Q1

DQ1B2êê N


Ampere Meter Second

Il vettore EQ1B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:sin q = R/2/DQ1Bcos q = 7R/8/DQ1Bper cui è:EQ1Bx = EQ1B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ1By = EQ1B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)

In[2739]:= EQ1Bx = EQ1B

7 R8

DQ1B



In[2740]:= EQ1By = EQ1B

R2

DQ1B



La distanza DQ2B tra la carica Q2 in (3R/8;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:


In[2741]:= DQ2B = -3 R

2-

3 R

8

2

+R

2

2

Out[2741]= 0.213457 Meter2

Il campo EQ2B generato dalla carica Q2 in (-5R/8;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:

In[2742]:= EQ2B =1

4 p e0

Q2

DQ2B2êê N


Ampere Meter Second

Il vettore EQ2B forma con l'asse delle y un angolo q tale che:sin q = (R/2)/DQ2B cos q = (15R/8)/DQ2Bper cui è:EQ2Bx = EQ2B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ2By = EQ2B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)

In[2743]:= EQ2Bx = EQ2B

15 R8

DQ2B



In[2744]:= EQ2By = EQ2B

7 R8

DQ2B



Possiamo ora calcolare le componenti del campo elettrico EtotB:EtotBx = -E1B + |E2Bx| + |E3Bx| + |EQ1Bx| + |EQ2Bx| (le componenti x hanno tutte segno concorde, tranne quella dellasfera 1)EtotBy = |E2By| + |E3By| + |EQ1By| + |EQ2By| (le componenti y hanno tutte segno concorde)

In[2745]:= EtotBx = -Abs@E1BD + Abs@E2BxD + Abs@E3BxD + Abs@EQ1BxD + Abs@EQ2BxD êê N

Out[2745]= -2.76078 AbsB Coulomb Volt



F

In[2746]:= -2.760777718935578`+ 3.435841303826419`

Out[2746]= 0.675064

In[2747]:= EtotBy = Abs@E2ByD + Abs@E3ByD + Abs@EQ1ByD + Abs@EQ2ByD êê N



F


In[2748]:= EtotB = EtotBx2 + EtotBy2



F2 +

-2.76078 AbsB Coulomb Volt



F2

In[2749]:= 0.6750635848908408`2 + 1.8703751473718584`2

Out[2749]= 1.98847

Notare che le unità fisiche di Etot date da Mathematica corrispondono correttamente a V/m. Infatti è: [Ampere]=[Coulomb/-Second].

Calcolo delle componenti Px e Py del momento di dipolo del sistema.

Il momento di dipolo del sistema di cariche non dipende dal sistema di riferimento scelto per rappresentarlo, perchè il sistemadi cariche è globalmente neutro. Scegliamo quindi un riferimento opportuno per semplificare il calcolo. Se eseguiamo il calcolo ad esempio nell'origine del sistema di riferimento segnato in figura, si ha:Px = Q1(-5R/8) + Qtot1(-R/2) + Qtot2(R/2) + Q2(3R/8) = Q1(R/4) (tenendo conto del fatto che Q1=Q2 e Qtot1 = Qtot2)Py = Q1(R/2) + Qtot1(R/2) + Qtot2(R/2) + Q2(R/2) = (Q1+Q2+Qtot1+Qtot2)(R/2)

In[2750]:= Px = Q1 H-5 Rê8L + Qtot1 H-Rê2L + Qtot2 HRê2L + Q2 H3 Rê8LOut[2750]= -3.55751µ10-13 Coulomb Meter

In[2751]:= Py = Q1 HRê2L + Qtot1 HRê2L + Qtot2 HRê2L + Q2 HRê2LOut[2751]= 7.18688µ10-15 Coulomb Meter

ESERCIZIO 2Il sistema di condensatori in figura è mantenuto a potenziale costante dal generatore di tensione Vo. Ad un certo istante, ilcondensatore C4 viene riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa k4. Calcolare le cariche di polarizzazione presenti sul dielettrico inserito in C4, e l’energia guadagnata dal sistema di condensa-tori dopo l’inserimento del dielettrico.Dati : Vo = 10 V ; C1 = 1 nF ; C2 = 3 nF ; C4 = 2 nF ; C3 = 0.5 nF ; C5 = 1.5 nF ; k4 = 2.5

ü Soluzione:


ü

Soluzione:

In[2752]:= << PhysicalConstants`

Dati:

In[2753]:= Vo := 10 Volt

In[2754]:= k4 := 2.5

In[2755]:= C1 := 10-9 Farad

In[2756]:= C2 := 3 10-9 Farad

In[2757]:= C3 := 0.5 10-9 Farad

In[2758]:= C4 := 2 10-9 Farad

In[2759]:= C5 := 1.5 10-9 Farad

ü Sistema in vuoto

La capacità totale del sistema è data da Ctot = C1 serie ((C2 serie C4)//(C3 serie C5))=C1 serie (Ca//Cb)

In[2760]:= Ca =C2 C4

C2 + C4êê N

Out[2760]= 1.2µ10-9 Farad

In[2761]:= Cb =C3 C5

C3 + C5

Out[2761]= 3.75µ10-10 Farad

In[2762]:= CtotVuoto =1

1C1

+ 1Ca

+ 1Cb

Out[2762]= 2.22222µ10-10 Farad

In[2763]:= EnTotVuoto = H1ê2L CtotVuoto Vo2

Out[2763]= 1.11111µ10-8 Farad Volt2

ü Sistema con dielettrico inserito

La capacità totale del sistema è data da Ctot = C1 serie ((C2 serie k4C4)//(C3 serie C5))=C1 serie (Cadiel//Cb) dato che orala capacità C4 è aumentata di un fattore k4 per la presenza del dielettrico

In[2764]:= CaDiel =k4 C4 C2

k4 C4 + C2

Out[2764]= 1.875µ10-9 Farad

In[2765]:= CtotDiel =1

1C1

+ 1CaDiel

+ 1Cb

Out[2765]= 2.38095µ10-10 Farad

In[2766]:= EnTotDiel = H1ê2L CtotDiel Vo2 êê N

Out[2766]= 1.19048µ10-8 Farad Volt2


In[2767]:= DeltaEnergia = EnTotDiel - EnTotVuoto

Out[2767]= 7.93651µ10-10 Farad Volt2

La differenza tra EnTotVuoto - EnTotDiel è positiva per la capacità CtotDiel. La batteria perde una quantità di energia pari a2 DeltaEnergia. Una quantità pari a Delta Energia viene dissipata, una quantità Delta Energia viene fornita alla capacità permatenere la tensione invariata ai suoi capi.

La carica Qo4 presente sulle armature del condensatore C4 in vuoto è data da Qo4 = C4 Vo4. Per ricavare la tensione Vo4dobbiamo calcolare tensioni e cariche su ciascun condensatore.

Senza dielettrico, la capacità totale del sistema è CtotVuoto => QtotVuoto = CtotVuoto Vo. D'altra parte, è QtotVuoto èuguale alla carica su C1 e alla carica sul parallelo di Ca e Cb. La differenza di potenziale su C1, VC1 è data da: VC1=Qtot-Vuoto/C1, per cui la differenza di potenziale ai capi della serie di C2 e C4, uguale alla differenza di potenziale ai capi dellaserie di C3 e C5, è data da: Vo - VC1. Un altro metodo consiste nel trovare la d.d.p. ai capi della capacità (C2 serie C4)//(C3serie C5) = Ca+Cb, data da Vab = QtotVuoto/(Ca+Cb). Questa d.d.p. è la stessa che si ha sia sul ramo C2-C4, che su quelloC3-C5. Quindi la carica che è sulla serie C2-C4 è data da: Qa=Vab Ca. Questa è anche la carica presente sulle armature diC4, in assenza di dielettrico, che ha quindi la d.d.p. Vo4=Qa/C4

In[2768]:= QtotVuoto = CtotVuoto Vo

Out[2768]= 2.22222µ10-9 Farad Volt

In[2769]:= VabVuoto = QtotVuotoêHCa + CbLOut[2769]= 1.41093 Volt

In[2770]:= QaVuoto = VabVuoto Ca

Out[2770]= 1.69312µ10-9 Farad Volt

In[2771]:= Vo4 = QaVuotoêC4Out[2771]= 0.846561 Volt

Con il dielettrico inserito nel condensatore C4, la capacità totale del sistema è CtotDiel => QtotDiel = CtotDiel Vo. D'altraparte, QtotDiel è uguale alla carica su C1 e alla carica sul parallelo di Ca e Cb. La differenza di potenziale su C1, VC1 è datada: VC1=QtotDiel/C1. La differenza di potenziale ai capi della capacità (C2 serie C4)//(C3 serie C5) = Ca+Cb, è data da Vab= QtotDiel/(Ca+Cb). Questa d.d.p. è la stessa che si ha sia sul ramo C2-C4, che su quello C3-C5. Quindi la carica che è sullaserie C2-C4 è data da: Qa=Vab Ca. Questa è anche la carica presente sulle armature di C4, in presenza di dielettrico, che haquindi la d.d.p. V4=Qa/k4C4

In[2772]:= QtotDiel = CtotDiel Vo

Out[2772]= 2.38095µ10-9 Farad Volt

In[2773]:= VabDiel = QtotDielêHCaDiel + CbLOut[2773]= 1.0582 Volt

In[2774]:= QaDiel = VabDiel CaDiel

Out[2774]= 1.98413µ10-9 Farad Volt

Le cariche di polarizzazione sul dielettrico in C4 sono pari alla carica su C4 (che abbiamo chiamato QaDiel) moltiplicata peril fattore (k4-1)/k4:

In[2775]:= QaDielPol = QaDiel k4 - 1

k4

Out[2775]= 1.19048µ10-9 Farad Volt


In[2776]:= V4 = QaDielêHk4 C4LOut[2776]= 0.396825 Volt

Tabella Riassuntiva dei risultati:

Esercizio 1:a) Campo in A(0;-R/2): Ex = -0.220512 V/m Ey= 1.3377 V/m E=1.33858 V/mb) Campo in B(-3R/2;0): Ex = 0.675064 V/m Ey=1.87038 V/m E=1.98847 V/mc) Px = -3.55751µ10-13 C m ; Py = 7.18688µ10-15 C m

Esercizio 2:a) Ctot in vuoto: 0.22 nFb) Etot in vuoto: 1.11 10-8 Jc) Ctot con dielettrico : 0.238 nFd) Energia totale con dielettrico: 1.19 10-8 J; Variazione dell'Energia totale: 7.94 10-10 Je) Qp = 1.19 10-9 C


Soluzioni della Prova di esonero di Fisica II per Chimica ... · All’interno dei due fori ... il...

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