Sociologia generale e Statistica sociale (15) - UniBg · 2019. 11. 28. · Sociologia generale e...

Sociologia generale e Statistica sociale (15)

Corso di Lingue, Letterature e Culture Straniere

Anno accademico 2019-2020

Prof. Michele Marzulli

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Argomento del giorno

• I valori medi: cioè come passare dai datia un singolo indicatore

• Moda, media, mediana

a.a. 2019/2020Michele Marzulli - Sociologia e Statistica

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I valori medi

• Abbiamo raccolto i dati, costruito una matrice, abbiamo le frequenze (distribuzione di freq. su k modalità).

• Ora è anche possibile individuare un valore unico che ci dia un’idea del comportamento di X su U e un ordine di grandezza.

• Cioè un «valore medio», una sintesi ulteriore.


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I valori medi

• È possibile costruire valori medi differenti, capaci di cogliere aspetti diversi del fenomeno che stiamo studiando (X).

• Questo perché altrimenti la sintesi rischia di essere troppo riduttiva.

• Moda, mediana e media.


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Media, moda, mediana

• Che cosa ha in comune il Campionato di calcio di Serie A, la curva di crescita di un neonato e un laureando di Lingue a Bergamo?

• I valori medi sono il primo dato statistico che certamente vi ha riguardato anche personalmente (non come l’andamento del PIL o il tasso di natalità negli anni ’70).


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La moda

• La moda o norma di una variabile statistica è la modalità a cui è associata la frequenza più elevata fra le k osservate del fenomeno di interesse.

• Cioè la modalità più osservata, con maggiore frequenza.

• La moda di X è indicata con x0 (x con 0).


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La moda


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• La tabella presenta la frequenza (fi) della variabile xi (si è verificato quanto era stato previsto dall’oroscopo).• xi: si tratta di una scala qualitativa ordinale, utilizzata

nella rilevazione di opinioni/atteggiamenti (scala Likert).

La moda

• In linguaggio formalizzato: tra gli 80 (N) lettori di oroscopo (U), ci sono 5 modalità (k) di risposta.

• La risposta più frequente è definita moda.


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La moda

• La moda ci dice che, in sintesi, l’oroscopo si verifica «occasionalmente».

• Per meglio intendersi: nell’esempio, x0 è associato alla frequenza: 35/80 = 0,44 (freq. rel.) = 44% (freq. perc.).


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La moda

• È un valore medio di sintesi calcolabile per qualsiasi X (qualitativo o quantitativo, categoriale o ordinale, discreto o continuo).

– Quando si hanno fenomeni continui, con modalità che sono intervalli, x0 è indicato come intervallo modale, quello più denso.

• Può anche esistere più di una moda, per es. due mode (fenomeno bimodale).


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La moda: forma bimodale


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I browser più diffusi in Europa, 2012.

La moda


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0

5

10

15

20

25

30

35

40

Categoria 1

Oroscopo

Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5

La moda è anche facilmente individuabile.

Ma talvolta la v.s. è priva di moda…

Esercizio

• Dati grezzi, calcolare la moda.

• Età dei presenti: 19, 20, 21, 28, 22, 23, 27, 19, 21, 20, 25, 24, 20, 30, 22, 23, 45, 24, 21, 20 (N=20).

• xi: 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 45

• fi: 02, 04, 03, 02, 02, 02, 01, 01, 01, 01, 01

• %: x2=4/20= 0,2= 20%

• x0: 20

• La moda del fenomeno X (età) corrisponde alla modalità 20 (k), ma non è molto rappresentativa.


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La mediana

• Se il fenomeno studiato è quantitativo (o qualitativo ordinale) è possibile identificare la posizione rispetto all’ordine delle sue modalità k. Quante modalità sono > = < a…?

• Oltre la moda è quindi possibile effettuare una ulteriore sintesi, grazie alla modalità che occupa la posizione centrale.


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La mediana

• La mediana di X (x0.5) è la modalità che, nell'ordinamento, occupa la posizione centrale.

• Il 50% di unità statistiche presenta valori di X inferiori o uguali alla mediana; il 50% valori superiori o uguali.


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La mediana

• Per calcolare la mediana si scorre la colonna delle frequenze cumulate relative:

• La mediana (x0.5) si trova non appena si raggiunge (o eventualmente si supera) lo 0,5 (corrispondente al 50% di U).


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Esempio mediana (1)

1. 5 studenti di facoltà umanistica, classificati secondo l’attitudine (X) alla matematica (test attitudinale).

2. Le modalità associate alla variabile (attitudine) sono: scarsa, ottima, buona (k=3).


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Esempio mediana (2)


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3. Le modalità della variabile possono essere ordinate (in ordine crescente).

4. Possiamo anche costruire una tabella delle risposte.

Esempio mediana (3)

• La modalità «buona» si trova in posizione centrale(cfr. Lez. 14, sul valore centrale).

• Questo valore è una sintesi efficace della variabile, perché dice che il 50% degli studenti intervistati ha una attitudine almeno buona alla matematica (≥ «buona»); e che il restante 50% ha una attitudine non superiore a buona (≤).

• Questa modalità è dunque la mediana di X.


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Mediana: definizione

• La mediana di X (x0.5) è la modalità che nell’ordinamento occupa la posizionecentrale.

– La mediana non si vede «a occhio», è meno semplice della moda (il valore maggiore), offre un’informazione più chiara.

• Il 50% di U manifesta modalità xi ≤ x0.5

• Il 50% di U manifesta modalità xi ≥ x0.5


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La mediana

• Il calcolo della mediana è possibile e sensato solo se le modalità xi manifestano un ordine, quindi X deve essere almeno ordinale (non deve essere «categoriale»!).


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Esempio 2 (1)

• Livello di paura e livello di vergogna («misurati»).

– «a prima vista» in realtà è possibile (con numerosità così ridotte) individuare la mediana… ma non è consigliabile e, soprattutto, all’esame è richiesta la formalizzazione dell’intera procedura.


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Esempio 2 (2): livello di paura


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Esempio 2 (3): livello di vergogna


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Generalizzazioni della mediana

• La mediana di X permette di dividere U in duegruppi ugualmente numerosi (50-50).

• Quindi può permettere anche di dividere in più gruppi: quartili, decili, percentili.

• Cioè si può generalizzare.


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Quartili

• Possiamo dividere U in 4 gruppi con uguale numerosità, cioè in quarti (ogni gruppo ¼, 0,25; 25%).

• I quartili di X sono le tre modalità:

• x0.25 cioè il 25% di U (quartile inferiore)

• x0.5 cioè il 50% di U ( = mediana)

• x0.75 cioè il 75% di U (quartile superiore)


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Quintili, decili, percentili

• Quintili: divido U in 5 parti uguali: 1/5, 0,20; 20%:

• x0.2 , x0.4 , x0.6 , x0.8

• Decili: divido U in 10 gruppi (1/10; 0,10; 10%):

• x0.1 , x0.2 , x0.3 , x0.4 , x0.5 , x0.6 , x0.7 , x0.8 , x0.9

• Percentili: divido U in 100 gruppi (1%):

• x0.01 , x0.02 … x0.1, … x0.25 … x0.5 … x0.75 … x0.99


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Generalizzazioni delle mediane

• I percentili per valutare la crescita di un bambino:

• https://www.amicopediatra.it/come-fare-per/come-calcolare-i-percentili-di-crescita_sviluppo-fisico/

– I genitori pensano che la norma («normalità») corrisponda al 50° percentile, ma essa si colloca in un range dal 3° al 97°.

– Il 10° percentile (x0.1) dice che il 10% dei maschi pesa alla nascita almeno 2,9 kg.

– Letti nel tempo sono un ottimo indicatore di crescita.


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https://www.amicopediatra.it/come-fare-per/come-calcolare-i-percentili-di-crescita_sviluppo-fisico/

Sintesi in 5 numeri

• Per un fenomeno almeno ordinale (qualitativo ordinale o quantitativo) la v.s. può essere descritta da 5 numeri:

– Minimo: x1

– Primo quartile: x0.25

– Mediana (2° quartile): x0.5

– Terzo quartile: x0.75

– Massimo: xk


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Esempio (5 numeri) (X=età)


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• Minimo x1 = 18; massimo = 25; x0.25 = 20; x0.5 = 22; x0.75 = 23.

I blox-plot (1)

• La sintesi dei 5 numeri di solito è rappresentata graficamente con il blox-plot (o grafico a scatola).

• I 3 quartili (primo, secondo, terzo) costituiscono il box.

• Minimo e massimo costituiscono le braccia: x1 = xmin , xk = xmax


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I blox-plot (2)

• Minimo x1 = 18; massimo = 25; x0.25 = 20; x0.5 = 22; x0.75 = 23.

• La rappresentazione dice che la distribuzione tende alla simmetria, con una lieve sovra-rappresentazione delle età maggiori.


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I blox-plot (3)

• Utilità della rappresentazione del dato tramite blox-plot.

– Esempio: un’indagine condotta sulle manager e amministratrici di azienda femmine (N=614) residenti in una piccola provincia balneare italiana (U).

– Fenomeno di interesse (X): guadagno lordo settimanale in migliaia €.


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I blox-plot (4)

• Rappresentazione tabellare classica, con dati di sintesi.


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I blox-plot (5)

• Gli stessi numeri di sintesi, attraverso i blox-pot:


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Il valore anomalo (outlier)


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Il valore anomalo (outlier)


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La media

• La media aritmetica è un valore di sintesi che può essere utilizzato quando si hanno fenomeni quantitativi, in cui non solo le frequenze, ma anche le modalità sono numeri.

• Si può cioè operare con strumenti matematici su tutta la v.s. (xi , fi) [cfr. Lez. 14].


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La media aritmetica

• In modo intuitivo: è la somma dei valori numerici divisa per il numero dei valori numerici considerati.

• Solo con fenomeni quantitativi, oppure qualitativi ordinali ma rilevati con scalaquantitativa (per es. i voti universitari).


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Le media (esempio)

• I voti ottenuti negli esami, espressi in trentesimi.

• Qual è la media dei voti?

• 30+29+27+30+28+30/6 = 174/6 = 29


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Le media (esempio)

• Per essere più precisi: U= esami del I anno; N= 6; X= voto in 30’ (fenomeno qualitativo rilevato su una scala quantitativa); K= 4.

• Notazione: la media di X è ത𝐱 («x medio», x-bar, x-soprasegnato).


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La media aritmetica

• La sua formalizzazione è questa (media ponderata).

• Cioè moltiplicare tutte le k modalità osservate xi, per il numero di volte in cui è stato osservato (fi); sommare tutto; dividere per il numero di unità statistiche osservate (N).

• Se usiamo le frequenze relative (cioè divise per N), possiamo usare la seconda formula.


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Notazione


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ҧ𝑥 =

𝑖=1

𝑘

𝑥𝑖 𝑝𝑖

Si legge: la media è la sommatoria, per i che va da 1 a k, di 𝑥𝑖 𝑝𝑖 (cioè della frequenza relativa).

La media ponderata

• La media ponderata è un tipo particolare di media, dato dalla somma dei prodotti di ogni numero per i rispettivi «pesi» / la somma dei pesi.

x₁ ∙ p₁ + x₂ ∙ p₂ + … + xn ∙ pnp₁ +p₂ + … + pn

• La semplice media aritmetica è una media in cui tutti i pesi sono = 1.

• Per es.? Il calcolo del voto di laurea.


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La media ponderata (es.)

• Il calcolo del voto di laurea: ogni voto ha un valore che deve però essere ponderato (pesato) in base a un criterio (n° CFU).

– Prendere 30/30 in un esame da 5 CFU è diverso da prendere 30/30 in un esame da 10 CFU.

• Bisogna quindi sommare i prodotti dei voti per i CFU e dividere per il numero dei CFUtotali (poi x110 e /30).


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Caratteristiche della media

• Tra i valori medi, la media aritmetica assume molte proprietà matematiche (per questo in base ad essa sono possibili molte operazioni aritmetiche) [Cfr. «proprietà formali», cap. 6.1].

• Una proprietà importante è quella di compensazionedelle differenze dei valori osservati rispetto al valore medio (cioè tra i diversi xi e ҧ𝑥 )


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Scarti/deviazioni dalla media

• Scarti o deviazioni dalla media: (𝑥𝑖 - ҧ𝑥)

• Scarto ponderato, su tutte le frequenze: (𝑥𝑖 - ҧ𝑥) 𝑓𝑖

• Ma la media è sempre compresa (internalità) tra il valore minimo e il valore massimo. Quindi vi saranno k scarti negativi e postivi.

• Se lo scarto è positivo (𝑥𝑖 - ҧ𝑥) > 0 è sopra-media

(altrimenti è sotto-media: < 0 ).


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• Quindi i valori sopra-media e sotto-media si compensano… cioè se sommiamo tutti i k scarti ponderati si ottiene sempre 0.

• Proprietà di annullamento degli scarti della media

aritmetica: 𝑖=1

𝑘𝑥 ሶ𝑙 − ҧ𝑥 𝑓𝑖 = 0


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• Scarto quadratico: eliminare il segno degli scarti

(𝑥 ሶ𝑙 − valore medio)2 𝑓𝑖

• Gli scarti quadratici ponderati con le frequenze e sommati tutti, forniscono una funzione di perdita: σ𝑖=1𝑘 𝑥 ሶ𝑖 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 2 𝑓𝑖

• La media aritmetica minimizza la somma degli scarti quadratici ponderati.


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Esercizio (5.8)

• Ci sono 45 bomboniere miste che contengono anche dei confetti pregiati (al cioccolato bianco). Il conteggio costruisce questa tabella:

• Sintetizzare ora la v.s. con moda,

mediana e media aritmetica.

• Confrontare e commentare i

risultati.


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N°confetti ciocc. B.

Bomboniere

0 1

1 18

2 4

3 3

4 17

5 2

Esercizio (5.8)

• Costruiamo la tabella dei dati.

• Oltre alle modalità (xi) e alle

frequenze osservate (fi), calcoliamo

le frequenze relative (pi =fi /N) e

le frequenze relative cumulate (Фi).


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xi fi pi Фi

0 1 0,02 0,02

1 18 0,40 0,42

2 4 0,09 0,51

3 3 0,07 0,58

4 17 0,38 0,96

5 2 0,04 1

45 1

Esercizio (5.8)

• Descrizione finale:

• v.s. (X) = numero confetti cioccolato bianco.

• Moda (x0) = 1

• Mediana (x0.5) = 2

• Media (തx) = 0,02 ∙ 0 + 0,40 ∙ 1 + 0,09 ∙ 2 + 0,07 ∙ 3 + 0,38 ∙ 4 + 0,04 ∙ 5 = 0+0,4+0,18+0,21+1,52+0,2 = 2,5

(oppure: 0+18+8+9+68+10/45=2,5)


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