Slide per la scuola di Filosofia di Nusco, 10-14 Luglio...

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EnricoRogora

MatematicaPreellenica

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Filosofia escienza primadi Platone

Retorica

Dialettica

Matematicaellenica

Matematicaellenistica

Gli elementidi Euclide

Palestra di Filosofia

Enrico [email protected]

Università di Roma

10 – 14 Luglio 2017 - Nusco

Enrico Rogora (UniRoma) Palestra Luglio 2017 1 / 52

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Filosofia e matematica


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Matematica pre ellenica

Le regole di calcolo sono l’ingrediente principale dellamatematica delle grandi civiltà agricole, dei grandi imperidell’antichità: Egitto e Mesopotamia.

Lenti accumuli di conoscenze pratiche. Il sapere del contadino edell’artigiano.


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Problema babilonese

Trovare le dimensioni di un rettangolo di area 96 e di cui la somma dellabase per l’altezza è 20.

Cosa succede se base e altezza sono uguali, ovvero uguali a 10? Ilrettangolo ha area 100.

Se aumento di uno la base (11) e diminuisco di uno l’altezza (9) cosasuccede? Il rettangolo ha area 99.

Se aumento di due la base (12) e diminuisco di uno l’altezza (8) cosasuccede? Il rettangolo ha area 96.

Dati empirici:base altezza area 100- area10 10 100 011 9 99 112 8 96 4


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Problema babilonese



Dati empirici:base altezza area 196- area14 14 196 013 15 195 112 16 192 411 17 187 9


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Problema babilonese



Dati empirici:base altezza area 900- area30 30 900 029 31 . . . . . .. . .

Osservo che nei casi precedenti, devo prendere la radice quadrata (7) deldifetto tra l’area iniziale e quella finale, 900− 851 = 49,e sottrarla etoglierla dal valore iniziale, 30, per ottenere le soluzioni {23, 37}.


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Algoritmo dello scriba babilonese (Neugebauer)

Trovare le dimensioni di un rettangolo di area A = 96 e di cui la sommadella base per l’altezza è p = 20.

Procedura Esempio Formalizzazionedividere per due la somma dei numeri: 20 : 2 = 10 p

2elevare al quadrato: 102 = 100 A =

(p2

)2togliere l’area data 96 a 100 100− 96 = 4

(p2

)2 − A

estrarre la radice quadrata√4 = 2

√(p2

)2 − A

la base è 10+ 2 = 12 p2 +

√(p2

)2 − A

L’altezza è 10− 2 = 8 p2 −

√(p2

)2 − A


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Algoritmo babilonese per il calcolo della radicequadrata

Problema: determinare un numero x tale che x2 = 2.Partiamo da due numeri a, b tali che ab = 2, per esempioa = 1, b = 2. Se sostituiamo il primo con la media aritmetica3/2 = 1, 5, come dobbiamo sostituire il secondo perché ilsecondo risulti ancora uguale a 2?Ovviamente basta prendere 2/1, 5 = 4/3 = 1, 3.Osserviamo che i due numeri sono molto più vicini tra loro diquanto non lo fossero i numeri iniziali, quindi entrambi si sonoavvicinati alla radice quadrata di due.Iteriamo il procedimento otteniamo, a partire da a = 4/3 eb = 3/2, i due nuovi valori

(a+b)/2 = 17/12 = 1, 416 2·12/17 = 24/17 = 1, 4117 . . . .


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Matematica in Egitto e Mesopotamia

Prescrizioni per risolvere problemi aritmetici o geometrici, senzatentativi di giustificazioni. La matematica egiziana è unamatematica omogenea al corpus di conoscenze empirichenecessarie per le realizzazioni tecnologiche, anche moltosofisticate, dell’antico Egitto: piramidi, opere di canalizzazione,ecc. La matematica ha elaborato dei concetti quale quello diarea e di volume, ma sempre in maniera strettamente collegataa concreti problemi, come il calcolo del numero di mattoninecessario per una costruzione, ecc.Analoghi sono i caratteri della matematica mesopotamica chepur raggiunse un superiore livello di elaborazione.


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Le dimostrazioni nascono con la civiltà greca, con l’affermarsidella civilità della πoλισ.Sono figlie della necessità di argomentare per convincere, cioèdel confronto politico e democratico.La dimostrazione matematica è una evoluzione della retorica,della dialettica e della logica.Distinguiamo in dimostrazioni euclidee e dimostrazioni pre –euclidee.


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Filosofia e scienza prima di Platone


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Confronto Matematica Pre - ellenica - Ellenica

PRE - ELLENICA ELLENICAPrescrittiva ArgomentativaRegole DimostrazioniFonti numerose Fonti inesistenti


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Matematica ellenica

La tradizione greca fa risalire la nascita della matematicaellenica a

Talete: inizio dell’analisi razionale dei risultati dellamatematica egiziana;Pitagora: fondatore di una famosa associazione filosofica -scientifica - politica e religiosa.

Per la matematica ellenica abbiamo una assenza totale di fontiprimarie. La ricostruzione della matematica ellenica avviene soloattraverso la consultazione di fonti indirette. Consideriamo, peresempio, la figura di Talete.


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Proclo (411 – 485) su Talete

Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Si dice che Talete fu ilprimo a dimostrare che il cerchio è bisecato dal diametro, la causa dellabisezione essendo il passaggio del segmento retto attraverso il centro. (...)Si dice che Talete sia stato il primo ad aver conosciuto e ad aver enunciato[il teorema] che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali,sebbene, secondo l’uso arcaico, egli descrivesse angoli uguali come simili.(...)Questo teorema, che quando due linee rette si tagliano l’un l’altra, gliangoli verticali e opposti sono uguali fu scoperto per primo, come affermaEudemo, da Talete, sebbene la dimostrazione scientifica fosse miglioratadall’autore degli Elementi. (...)Sull’uguaglianza dei triangoli. Eudemo nella sua, storia della geometriaattribuisce questo teorema [[che triangoli aventi uguali un lato e i dueangoli adiacenti sono uguali]] a Talete. Poichè egli dice che il metodoattraverso cui Talete mostrò come calcolare la distanza di navi in mare,presuppone necessariamente questo metodo.


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Diogene Laerzio su Talete

Diogene Laerzio, dalle Vite dei Filosofi: Panfilo dice che, avendo

imparato la geometria presso gli egiziani, egli fu il primo ainscrivere in un cerchio un triangolo rettangolo, e che sacrificòun bue in onore di questa scoperta.


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Plutarco su Talete

Plutarco: Dal Simposio dei sette saggiIl re ti ammira molto e in particolare egli si compiacqueimmensamente del tuo metodo per misurare le piramidi, perchésenza alcun clamore e senza chiedere strumento alcuno,semplicemente drizzasti il tuo bastone al bordo dell’ombra dellapiramide e con i due triangoli formati con i raggi del soleintercettati [dalla piramide e dal bastone], tu dimostrasti chel’altezza della piramide aveva il medesimo rapporto con ilbastone della lunghezza dell’ombra della piramide con quelladell’ombra del bastone.


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Talete e il calcolo dell’altezza della piramide


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Teorema di Talete

Si attribuisce impropriamente a Talete anche il seguenteteorema:un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determinasu di esse classi di segmenti direttamente proporzionali


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Osservazioni sui risultati attribuiti a Talete

1. Secondo Proclo, che riporta l’opinione di Eudemo, autore di una storiadela geometria andata perduta, Talete avrebbe dimostrato che un diametrodivide un cerchio in due parti uguali e che angoli opposti al vertice sonoeguali. Non è possibile però che affermazioni così apparentemente ovviesiano state i primi oggetti di dimostrazione. L’utilità del metododimostrativo deve essere stata notata per dimostrare affermazioni nonevidenti. (cfr. Neugebauer p. 179))2. L’attribuzione a Talete del teorema sulla congruenza dei triangoli èbasata su un fraintendimento di Eudemo. Egli afferma che l’applicazionedella tesi del teorema implica che il teorema deve essere statoprecedentemente dimostrato. Questo fraintendimento mostra la difficoltàdi concepire l’idea di dimostrazione come era concepita da Euclide, cioècome logica conseguenza di un piccolo insieme di postulati.Quale idea di dimostrazione avevano i greci nell’età ellenica? Ladimostrazione contenuta nel Menone dell’uguaglianza del quadratocostruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con il doppio delquadrato costruito su un cateto da leggere, getta luce sulla questione.


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Aristotele sui pitagorici

I Pitagorici per primi si applicarono alle matematiche e le feceroprogredire e, nutriti dalle medesime, credettero che i principi diqueste fossero principi di tutti gli esseri. E, poiché nellematematiche i numeri sono per loro natura i principi primi, eappunto nei numeri essi ritenevano di vedere, più che nel fuocoe nella terra e nell’acqua, molte somiglianze con le cose chesono e che si generano [...] pensarono che gli elementi deinumeri fossero elementi di tutte le cose.

Aritotele, Metafisica, A5, 985-b24-986a2 [Giaq. p. 12]

Geometricamente sembra che i pitagorici pensassero una unitànumerica come un punto esteso o una sfera estremamentepiccola.Teoria figurativa dei numeri, [Giaq. p. 13].


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Aporie

Nello sviluppo della matematica ellenica, un ruolo importante èstato giocato alcune aporie, cioè conseguenze contraddittorieottenute da certe premesse.

1 Incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato2 Paradossi di Zenone

(http://www.iep.utm.edu/zeno-par/)Queste aporie si presentano come argomenti filosofici chemettono in discussione una concezione filosofica del mondo.Le aporie mostrano quanto siano delicati i concetti di spazio,tempo e infinito e l’inadeguatezza del linguaggio ordinario pertrattare tali questioni. Esse scompaiono quando vengonoconsiderate all’interno di un adeguato modello matematico dispazio e di movimento di cui però rimane parzale e problematicala corrispondenza con il reale.


http://www.iep.utm.edu/zeno-par/

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L’incommensurabilità tra segmenti

Secondo la concezione filosofica dei pitagorici doveva esistereuna unità geometrica fondamentale, analoga all’unità deinumeri naturali. Questo implica che ogni coppia di segmentidebba ammettere un sottomultiplo comune.L’incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadratomostra l’incoerenza della filosofia naturale pitagorica. Per iPitagorici non si tratta semplicemente di aver scoperto cheesistono rapporti non razionali, ma di aver scoperto che il loromondo è contraddittorioLa reazione dei pitagorici è di comprensibile sgomento.


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La scoperta dell’irrazionalità

Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici, ma che, per averdivulgato per primo la costruzione della sfera di dodici pentagoni,perisse in mare come empio:. . . (246)Colui che per primo rivelò lanatura delle grandezze commensurabili e incommensurabili agliindegni di partecipare a tali cognizioni, si dice che incorresse in tantoodio che non solo fu escluso da ogni compagnia e convivenza, maanche gli fu costruita una tomba, come se colui, ch’era una volta uncompagno, avesse davvero cessato di vivere. (247)Altri dicono cheanche la divinità si adirasse con i divulgatori delle dottrine diPitagora. Perì infatti come empio in mare colui che rivelò comes’iscrive nella sfera l’icosagono, cioè il dodecaedro, una delle cinquefigure dette solide. Alcuni però narrano che questo accadesse a coluiche aveva propagato la dottrina degli irrazionali άλογος e degliincommensurabili

Giamblico (245-325 d.c.)


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Aristotele sulla dimostrazione dell’irrazionalità

Aristotele, nella sua esposizione del metodo di ragionamento perassurdo, in Primi Analitici (41a 24- 50a 37), rimanda alladimostrazione dell’irrazionalità del rapporto tra lato e diagonale delquadrato in questo modo: se il lato e la diagonale sono supposticommensurabili, si può dedurre che i numeri dispari sono uguali ainumeri pari; questo assurdo ci dà l’incommensurabilità dellegrandezze considerate.Una dimostrazione completa secondo queste linee ci è pervenutacome scholio (commento ) al decimo libro di Euclide.Linee essenziali della dimostrazione:Detto α il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato,supponiamo che α = m/n sia razionale e che m ed n siano ridotti aiminimi termini. Per il teorema di Pitagora relativo ai triangolirettangoli isosceli (cfr. Platone,Menone (82b-85b), m2/n2 = 2,quindi m2 = 2n2 è pari, allora m è pari, quindi m2 è divisibile per 4,quindi n2 è divisibile per 2, quindi n è pari e questo mostra l’assurdo.


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Il pentagono e l’irrazionalità

È possibile che non fu la diagonale e il lato del quadrato la prima coppia disegmenti incommensurabili scoperta dai pitagorici, ma la coppia costituitadalla diagonale e dal lato del pentagono regolare. Infatti la ricerca dellamisura comune tra la diagonale e il lato del pentagono con l’algoritmo diEuclide richiede di costruire la coppia con il lato e la differenza delladiagonale con il lato. Ma questa coincide con la coppia diagonale lato diun pentagono regolare più piccolo, che quindi presenta lo stesso rapporto.L’algoritmo di Euclide non può quindi aver termine e pertanto la coppia èincommensurabile


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Eudosso

Se per i pitagorici la scoperta dei rapporti irrazionali èinconciliabile con la loro filosofia del mondo, per i matematici sitratta invece di elaborare una teoria capace di trattare anche irapporti non razionali.La scoperta dell’irrazionalità ha probabilmente portato ariconsiderare l’intero edificio della geometria elementare inmodo da includere nella teoria delle proporzioni i rapporti nonrazionali.La soluzione di Eudosso è quella di rinunciare a trattare irapporti irrazionali in maniera aritmetica, ma di considerarligeometricamente, secondo la teoria esposta nel quinto librodegli elementi di Euclide.


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Retorica: l’arte di persuadere tramite i discorsi


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Retorica

La retorica è l’arte di parlar bene.Studia come organizzare la lingua naturale (non simbolica)secondo un criterio per il quale a una proposizione segua unaconclusione.Lo scopo della retorica è la persuasione. Considera due aspetti:

fenomeno emotivo di assenso psicologico;regole per passare correttamente da una premessa o ipotesia una conclusione o tesi.


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Retorica: brevi cenni storici

Opposizione agli espropri di Trasibulo 465 a.C: Empedocle diAgrigento, Corace, Tisia. Studio rigoroso del verosimile (εικoς).

Scuola Pitagorica: retorica irrazionalista: seduzione della parolasull’anima.

Età d’oro della polis (πoλις) ateniense V sec. a.C. Importanzadei discorsi nelle assemblee pubbliche. Protagora, Gorgia.Relativismo etico e gnoseologico, interesse per i ragionamentiduplici (∆ισσoι λoγoι). Nasce l’eristica: non interessa se undiscorso possa essere vero o falso né le definizioni delle paroleche vengono impiegate; il suo unico fine è quello di confutare ilproprio avversario e di persuaderlo di avere ragione mediante laretorica. I sofisti della scuola eristica si vantavano di poterconfutare qualsiasi cosa che si dica esser vera o esser falsa.


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Socrate (470 a.c. – 399 a.c.)

Maieutica (µαιευτιχε τεχνε - arte della levatrice). Formaoriginale di retorica. Il metodo socratico, basato su domande erisposte tra Socrate e l’interlocutore di turno, procede perconfutazione, ossia per eliminazione successiva delle ipotesicontraddittorie o infondate.Per Socrate, come per i sofisti, tutte le opinioni sono confutabili,ma la confutazione non costituisce lo scopo della maieutica. Loscopo è quello di istituire nell’interlocutore una tensione verso laverità, che però non si raggiunge con il ragionamento.

Tecnica fondamentale: Reductio ad absurdumEsempio: Ippia minore. Tecnica democratica. Si confronta conle opinioni degli altri.


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Dialettica: l’arte di ben dialogare


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Platone (428 a.c. – 347 a.c.)

Retorica, scienza dei discorsi; Dialettica, scienza dei dialoghi.Platone assegna grande importanza alla Dialettica.La dialettica è il metodo di indagine razionale che, attraverso ildialogo e la discussione degli argomenti dell’avversario, sipropone di determinare il contenuto concettuale della verità; perPlatone coincide con la stessa filosofiaCambiano gli interlocutori: non più i cittadini nelle assemblee oi giurati nei tribunali ma gli allievi dell’accademia.


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Evoluzione del metodo maieutico

Socrate: La confutazione come strumento per predisporrel’interlocutore alla ricerca della verità.Materiali: Eutrifone.pdf

Platone dopo la confutazione c’è la ricerca (riscoperta) dellaverità.Materiali: Menone.pdf, Gorgia.pdf

Lakatos dialogica (Platone, Repubblica), come metodo diricerca per la matematicaMateriali: Materiali.pdf


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Aristotele (384 a.c. – 322 a.c.)

Analisi logica dei mezzi di persuasione: Retorica e Dialettica.La dialettica argomenta per mezzo dei sillogismi (Da premessevere, conclusioni certe: Tutti gli uomini sono mortali, Tutti igreci sono uomini, dunque tutti i greci sono mortali).La retorica ricorre all’entimema, il sillogismo retorico basato supremesse probabili (È italiano quindi ha buon gusto). Leconclusioni a cui giunge l’entimema sono solo probabili, e quindipassibili di confutazione.Con Aristotele comincia a farsi strada il convenzionalismolinguistico:

le parole non hanno un legame necessario con gli oggettidenotati, come aveva creduto Platone, ma possono essereinventate liberamente e questa nuova possibilità favorì la nascitadi concetti nuovi, indicati con termini convenzionali. [Cfr. R1].


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Dimostrazioni pre - euclidee

Dimostrazione maieuticaDimostrazione del teorema di Pitagora in un caso particolare.PersuasioneDimostrazione/Materiali Menone.pdf(14-19).

Dimostrazione per assurdoNon commensurabilità del lato con la diagonale del quadrato.Materiali: Materiali.pdf

Il teorema di PitagoraLa dimostrazione delle scuola medie.


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Dalla dimostrazione della scuola media del teoremadi Pitagora alla dimostrazione di Euclide

Dimostrazione di Pitagora alle scuole medie

Cosa diamo per scontato?È possibile costruire un quadrato su ogni segmento.La somma degli angoli di un triangolo è uguale a π.(. . . )


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Platone, Aristotele e la matematica

Platone: Perché una proposizione matematica è vera? Bisognaprocedere all’indietro e cercare le cause vere, da cui dedurrecorrettamente altre proposizioni vere.Il modo di procedere di Aristotele invece è in avanti. Da assiomialle proposizioni.La Repubblica è una violentissima polemica di Platone contro imatematici, del metodo assiomatico, probabilmente scoperto dauno dei suoi allievi (Eudosso).Platone non è contro la matematica, che nei dialoghi precedentiè prospettata come la pietra di paragone di ogni conoscenza,ma contro la matematica assiomatica.Il metodo assiomatico per Platone riduce la matematica a unapura convenzione e quindi a una non scienza perché non portaalla scoperta della verità.


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Matematica ellenistica: matematica assiomatica


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Il contributo di Euclide

Con Euclide nasce la matematica moderna, fondata, per laprima volta, sul metodo assiomatico.Dimostrazioni pre - euclidee: Fatti non evidenti da fatti evidenti.Dimostrazioni euclidee: Tutte le proposizione vanno dimostrateda pochi fatti evidenti, fissati una volta per tutte.Perché è necessario e utile fissare gli assiomi?Le teorie scientifiche assiomatiche sono la premessa necessariaalla progettazione scientifica: mezzi di trasporto, processori, ecc.


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Teorie assiomatiche e progettazione scientifica:grandi navi e microprocessori

Archimede: Sui galleggianti (p. 27)Materiali: corpi-galleggianti.pdf


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Archimede: I corpi galleggianti


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Sillogismi e dimostrazioni

Mentre ogni sillogismo è indipendente dagli altri, ledimostrazioni matematiche formano lunghe catene diimplicazioni, con e quali si costruiscono intere teorie.

Inoltre, (. . . ) mentre le proposizioni checostituiscono un sillogismo sono costruite con la linguaordinaria e i suoi termini designano oggetti concreti, ledimostrazioni matematiche riguardano oggetti teorici,specifici cioè di ciascuna teoria scientifica. [9].


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Gli Elementi di Euclide


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I postulati

Si chiede:1 di poter condurre una linea retta da qualsiasi punto a

qualsiasi altro punto.2 di poter prolungare con continuità ogni segmento in una

retta.3 di poter descrivere un cerchio con qualsiasi centro e raggio.4 che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.5 che se due rette tagliate da una trasversale formano con

essa, da una stessa parte, angoli la cui somma è minore didue retti, allora le due rette si incontrano da quella parte.


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La dimostrazione di Euclide del teorema di Pitagora


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Analisi della dimostrazione di Euclide


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Bibliografia I

Bramlett D. C., Drake C. T., “A History of MathematicalProof: Ancient Greece to Computer Age”.

Dahan – Dalmedico A., Peiffer J., Une histoire desmathématiques, Éditions du Seuil, Paris, 1986.

Lakatos I., Proof and refutations, the logic of mathematicaldiscovery, Cambridge, Cambridge University Press, 1976.

Karasmanis V., “On the first Greek Mathematical Proof”,Hermatana, 169, (2000), 7 – 21.

Krantz S. G., “The History and Concept of MathematicalProof”, (2007).

Platone, Eutrifone.


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Bibliografia II

Platone, Menone.

Platone, Teeteto.

Russo, L. Euclide, Milano, Grandangolo, 2016.

Szabó A., The beginnings of greek mathematics, Reidel,Boston, 1978.

Retorica (Voce) dalla Enciclopedia Treccani.http://www.treccani.it/enciclopedia/retorica_(Enciclopedia-dell’Italiano)/

Retorica (Voce) da wikipedia.https://it.wikipedia.org/wiki/Retorica


http://www.treccani.it/enciclopedia/retorica_(Enciclopedia-dell'Italiano)/

http://www.treccani.it/enciclopedia/retorica_(Enciclopedia-dell'Italiano)/

https://it.wikipedia.org/wiki/Retorica

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Il contributo di Euclide

Con Euclide nasce la matematica moderna, fondata, per laprima volta, sul metodo assiomatico.Dimostrazioni pre - euclidee: Fatti non evidenti da fatti evidenti.Dimostrazioni euclidee: Tutte le proposizione vanno dimostrateda pochi fatti evidenti, fissati una volta per tutte.Perché è necessario e utile fissare gli assiomi?Le teorie scientifiche assiomatiche sono la premessa necessariaalla progettazione scientifica: mezzi di trasporto, processori, ecc.


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Teorie assiomatiche e progettazione scientifica:grandi navi e microprocessori

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