Sistemi trifase 1 Generalità -...

Sistemi Trifase Pagina 1 di 82

Sistemi trifase

1 Generalità

Si consideri un supporto cilindrico (armatura) (figura 1) alla cui periferia siano collocate, in corrispondenza dei piani

diametrali, tre bobine aventi rispettivamente ��, ��, ��spire e disposte in maniera che, percorrendole dai terminali

iniziali 1p, 2p, 3p ai terminali finali 1f, 2f, 3f risultino avvolte, rispetto all’armatura, tutte nello stesso senso.

Se l’armatura ruota con velocità angolare costante � in un campo magnetico costante nel tempo e con distribuzione

spaziale qualsiasi, si generano nelle bobine tre f.e.m., di tipo mozionale, periodiche che hanno tutte lo stesso periodo,

la stessa forma d’onda e risultano sfasate nel tempo, l’una rispetto all’altra, di un angolo pari all’angolo di sfasamento

spaziale fra gli assi delle bobine cablate sull’armatura.

Figura 1

Se invece l’armatura ruota con velocità angolare costante � in un campo costante nel tempo ed avente distribuzione

spaziale uniforme, le f.e.m. indotte sono sinusoidali isofrequenziali e risultano sfasate nel tempo, l’una rispetto

all’altra, di un angolo pari all’angolo di sfasamento spaziale fra gli assi delle bobine cablate sull’armatura

Se poi le bobine disposte alla periferia del cilindro rotante con velocità angolare costante � in un campo magnetico

costante nel tempo e con distribuzione spaziale uniforme, hanno tutte lo stesso numero di spire e sono collocate in

corrispondenza dei piani diametrali e formano tra loro angoli uguali, quindi con gli assi sfasati nello spazio a 120° l’uno

dall’altro (figura 2), allora le f.e.m. generate sono sinusoidali isofrequenziali, di uguale ampiezza e si susseguono nel

senso ciclico prestabilito con uguale differenza di fase reciproca.

120°

24

0° 1

20

°

Figura 2

Ciascuna tensione prende il nome di fase. E’ chiaro che le fasi si succedono, nel tempo, come indicato in figura 2,

finché il senso di rotazione del cilindro continua ad essere quello indicato. Se invece il senso di rotazione venisse

invertito, mantenendo costante il valore della velocità, anche i rapporti di fase delle singole f.e.m. indotte risulterebbero

invertiti. Quindi, una volta fissato l’ordine di successione delle fasi e quindi delle rispettive f.e.m., chiameremo senso

ciclico diretto quello per il quale le tensioni si susseguono nell’ordine prestabilito; chiameremo senso ciclico inverso,

quello per il quale l’ordine di successione risulta inverso. Usualmente si adotta come senso ciclico diretto, quello

orario.


1.1 Sistemi simmetrici di tensioni

Un sistema come quello considerato, le cui tensioni sono sinusoidali isofrequenziali di uguale ampiezza, sfasate tra loro

di 120° in senso ciclico diretto (orario), si dice sistema trifase simmetrico di tensioni. L’espressione istantanea delle

tensioni è quindi:

�� = � sin�� = � sin �� − 23�� = � sin �� − 43��

Nella rappresentazione simbolica, in forma esponenziale e in forma canonica, le tensioni sono espresse da:

�� = �� = �� = ��

�� = �� = � �− �� − √�� "�� = � �− �� + √�� "

√32

√32

√32

√32

Le terne simmetriche di tensioni sono, ovviamente pure, cioè godono della proprietà che la somma dei tre vettori

istantanei è nulla ad ogni istante.

I tipi fondamentali di collegamento interfasico fra le tensioni, usati nella tecnica, sono due: il collegamento a stella ed

il collegamento a triangolo (figura 3).

Esaminando i collegamenti interfasici, si rileva che le tensioni fra i morsetti di un sistema trifase possono coincidere, o

no, con le tensioni ai terminali delle fasi, a seconda del tipo di collegamento.

Chiameremo pertanto tensioni di fase $% le tensioni esistenti fra i terminali di ciascuna fase e tensioni di linea $& o

tensioni concatenate le tensioni fra due morsetti consecutivi del sistema trifase.

Figura 3


La figura 3 mostra che nel collegamento a triangolo le tensioni di linea si identificano con le tensioni di fase; nel

collegamento a stella, invece, le tensioni di linea sono uguali alla differenza fra due consecutive tensioni di fase le

quali, in questo tipo di collegamento, coincidono ovviamente con le tensioni esistenti fra ciascuno dei morsetti delle fasi

ed il centro stella o morsetto del neutro.

Se il sistema delle tensioni è simmetrico, dalla figura 4 si deduce, con banali considerazioni geometriche, che nel

collegamento a stella le tensioni di linea hanno intensità uguale a quella delle tensioni di fase moltiplicata per √3 e sono

in anticipo di �' rispetto ad esse.

30°

60°

90°

30°

�� = �� − ��1)**** = )2**** = +��+21)**** = � cos �6 = � √32+��+ = 2/1)**** = 2� √32 = √3�� = √3��'

Figura 4

Può concludersi pertanto che nei sistemi simmetrici collegati a triangolo, le tensioni di linea si identificano con le

tensioni di fase; in quelli collegati a stella, la terna delle tensioni di linea si deduce dalla terna delle tensioni di fase

ruotando solidalmente la stella dei vettori in anticipo di �' e moltiplicandone la lunghezza per √3.

E’ quasi superfluo rilevare che la terna delle tensioni di linea è sempre una terna pura (poligonale chiusa).


1.2 Sistemi equilibrati di correnti

Applichiamo le tensioni di un sistema trifase ��, ��, �� a tre circuiti distinti (figura 5),

Figura 5

questi vengono percorsi dalle correnti:

0�� = ��1̅� 0�� = ��1̅� 0�� = ��1̅�

che risultano legate fra loro dalle relazioni costanti che dipendono, ovviamente, dalle relazioni esistenti fra le tensioni e

dai parametri degli stessi circuiti. Un sistema di correnti, come quelle che percorrono i circuiti considerati, legate tra

loro da relazioni costanti di ampiezza e di fase, si dice sistema trifase di correnti. Il complesso delle impedenze che,

alimentato da un sistema trifase di tensioni, è percorso da un sistema trifase di correnti, si dice carico trifase. I singoli

rami contenenti le impedenze si dicono fasi del carico.

Quando il sistema delle tensioni è simmetrico e le impedenze delle fasi sono uguali tra di loro (carico equilibrato), le

correnti generate hanno uguale ampiezza, uguale differenza di fase rispetto alla tensione che le genera e, di

conseguenza, uguale differenza di fase tra loro (figura 6).

1̅ = 3 + 40� = 567

8� = 0� sin9�� − :;8� = 0� sin �� − : − �� "8� = 0� sin �� − : − <� �"

0�� = 0��9=>�?;0�� = 0��=>�?��"0�� = 0��=>�?��"

Figura 6

Un sistema di correnti come questo, le cui correnti sono sinusoidali isofrequenziali di uguale ampiezza, sfasate tra loro

di 120° in senso ciclico diretto (orario), si dice sistema trifase equilibrato di correnti.

E’ immediato rilevare che anche per i sistemi equilibrati di correnti vale la proprietà fondamentale, già vista per i

sistemi simmetrici di tensione, in virtù della quale la somma dei valori istantanei delle correnti è nulla ad ogni istante

ed è quindi nulla anche la somma geometrica dei vettori rappresentativi di esse.


I due tipi fondamentali di interconnessione che usualmente si adottano nella pratica, per i carichi trifase sono,

analogamente a quanto visto per le tensioni, l’interconnessione a stella e quella a triangolo (figura 7).

Esaminando i collegamenti interfasici, si rileva che le correnti che percorrono i conduttori che collegano i morsetti del

sistema generatore ai morsetti del carico trifase possono coincidere, o no, con le correnti che percorrono le singole fasi

del carico (o del sistema generatore) a seconda del tipo di interconnessione adottato.

Chiameremo pertanto correnti di fase @% le correnti che percorrono le singole fasi e correnti di linea @& quelle che

percorrono i conduttori della linea di collegamento fra il sistema generatore ed il carico (non considerando l’eventuale

conduttore di collegamento fra i neutri).

Figura 7

La figura 7 mostra che nel collegamento a stella le correnti di linea si identificano con le correnti di fase; nel

collegamento a triangolo, invece, le correnti di linea sono uguali alla differenza fra due consecutive correnti di fase.

Se il sistema delle correnti è equilibrato, dalla figura 8 si deduce, con banali considerazioni geometriche, che nel

collegamento a triangolo le correnti di linea hanno intensità uguale a quella delle correnti di fase moltiplicata per √3 e

sono in ritardo di �' rispetto ad esse.

30°

30°

90°

60°

0�A� = 0�� − 0��1)**** = )3**** = +0�A�+21)**** = 0� cos �6 = 0� √32+0�A�+ = 2/1)**** = 20� √32 = √30�0�A� = √30��'

Figura 8


Può concludersi pertanto che nei sistemi equilibrati, con collegamento a stella (delle fasi del carico, rispettivamente

delle fasi del generatore), le correnti di linea coincidono con le correnti di fase; con il collegamento a triangolo, il

sistema delle correnti di linea si deduce dal sistema delle correnti di fase ruotando solidalmente la stella dei vettori in

ritardo di �' e moltiplicandone la lunghezza per √3.

Anche per i sistemi equilibrati di correnti, le correnti di linea costituiscono un sistema puro ed i vettori rappresentativi

di tali correnti formano una stella regolare.

2 Sistemi simmetrici ed equilibrati

Riassumendo, si rileva che quando la regolarità della stella dei vettori rappresentativi è attribuita alle tensioni

(qualunque sia il loro collegamento interfasico) il sistema trifase si dice simmetrico; quando invece è attribuita alle

correnti, il sistema si dice equilibrato. Si dicono inoltre equilibrati quei carichi trifase che (qualunque sia la loro

interconnessione) hanno uguale impedenza in tutte le fasi.

Pertanto possiamo avere quattro tipi diversi di sistemi trifase:

� Sistemi simmetrici ed equilibrati, nei quali si ha la simmetria delle tensioni e l’equilibrio nelle correnti. Essi si

realizzano alimentando un carico trifase equilibrato mediante un sistema simmetrico di tensioni.

� Sistemi simmetrici e squilibrati, nei quali si ha la simmetria delle tensioni ma non l’equilibrio nelle correnti.

Essi si realizzano alimentando un carico trifase squilibrato mediante un sistema simmetrico di tensioni.

� Sistemi dissimmetrici ed equilibrati, nei quali non si ha la simmetria delle tensioni ma l’equilibrio nelle

correnti. Essi si realizzano in casi molto particolari, infatti le impedenze del carico devono avere proprio quei

particolari valori per i quali le correnti prodotte da quelle determinate tensioni, si dispongono secondo una

stella regolare.

� Sistemi dissimmetrici e squilibrati, nei quali non si ha né la simmetria delle tensioni né l’equilibrio nelle

correnti. Essi si realizzano alimentando un carico trifase squilibrato mediante un sistema dissimmetrico di

tensioni.

Quando mediante un sistema trifase di tensioni, si alimenta un carico trifase, il regime elettrico che si stabilisce nel

sistema è diverso a seconda del collegamento interfasico adottato per il sistema generatore e del tipo di interconnessione

adottata per il carico. Le varie combinazioni che possono verificarsi sono quattro:

Collegamento

interfasico delle

tensioni

Interconnessione

del carico

1) Stella Stella

2) Stella Triangolo

3) Triangolo Stella

4) Triangolo Triangolo

Conviene comunque, ai fini del calcolo del circuito, ricondurre ognuna delle quattro combinazioni alla prima o

all’ultima di esse.

Per i sistemi simmetrici ed equilibrati, il calcolo è particolarmente agevole per la combinazione stella-stella, che si

assume perciò come sistema tipico di tali sistemi.


Consideriamo tre circuiti monofase indipendenti (figura 9a), aventi uguale impedenza 1̅, alimentati da tre generatori le

cui tensioni ��, ��, ��, costituiscono un sistema trifase simmetrico e che pertanto generano nei circuiti tre correnti 0��, 0��, 0��, costituenti un sistema equilibrato.

Figura 9

Se tutti i conduttori di ritorno sono ora riuniti fra loro in uno stesso conduttore (figura 9b), si ottiene un sistema trifase

stella-stella, nel quale i morsetti delle fasi del generatore risultano collegati, mediante tre conduttori di linea, ai morsetti

delle fasi del carico ed il neutro del generatore risulta collegato al centro stella del carico mediante un quarto conduttore

che chiameremo conduttore neutro. Nel neutro vengono quindi convogliate tutte le correnti del sistema trifase; poiché

esse costituiscono un sistema equilibrato e, di conseguenza, la loro somma è in ogni istante nulla, il conduttore neutro

risulta percorso da una corrente identicamente nulla e può quindi essere soppresso senza che niente muti nel regime

elettrico del sistema. Si rileva quindi che la d.d.p. fra il punto neutro del sistema generatore ed il centro stella del carico

è anch’essa identicamente nulla.

Quest’ultima affermazione può anche essere constatata applicando Millmann tra On ed Os:

�BCBD = E�� = ��1̅ + ��1̅ + ��1̅11̅ + 11̅ + 11̅ = 11̅ F�� + �� + ��G31̅

Ed essendo la terna delle tensioni una terna simmetrica e quindi pura, si ottiene:

�BCBD = E�� = ��1̅ + ��1̅ + ��1̅11̅ + 11̅ + 11̅ = 11̅ F�� + �� + ��G31̅ = 0

Quando il sistema è simmetrico ed equilibrato, i tre circuiti monofase indipendenti che nel loro complesso sono

equivalenti al sistema trifase, sono tutti uguali tra loro; quindi lo studio del regime del sistema trifase può ricondursi a

quello di uno solo di essi. Pertanto il calcolo di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato può essere effettuato

limitandoci ad eseguire il calcolo di un circuito monofase (figura 9c) così costituito:

� dalla tensione �I di una fase del generatore;

� dall’impedenza 1̅ di una fase del carico;

� da un conduttore della linea e dal conduttore neutro.

Applicando tale principio, ogni corrente 0�I del sistema trifase può dedursi immediatamente dalla rispettiva tensione

dividendola per l’impedenza.


Per esempio abbiamo:

0�� = ��1̅ = �1��? = �1 ��? = 0��?

E poiché il sistema è equilibrato, otteniamo le altre correnti ruotando in ritardo 0�� di 120° ed ancora di ulteriori 120°

0�� = 0��?0�� = 0�� "0�� = 0�� <��"

Il calcolo dei sistemi simmetrici ed equilibrati con collegamento interfasico a triangolo del sistema generatore, può

essere ricondotto a quello con collegamento a stella, introducendo il concetto di tensioni stellate.

Dati i tre conduttori di linea di un sistema trifase e le relative tensioni concatenate ��, ��, ��, chiameremo baricentro

elettrico del sistema, il punto Ob ottenuto unendo a stella tre impedenze uguali collegate ai conduttori di linea (figura

10).

Figura 10

La definizione del baricentro elettrico, essendo riferita unicamente ai conduttori di linea, prescinde completamente dal

collegamento interfasico del generatore. E’ evidente inoltre che in ogni sistema simmetrico ed equilibrato il baricentro

Ob corrisponde al punto neutro On del generatore (nel senso che la d.d.p. fra i due è identicamente nulla) quando questo

è connesso a stella e corrisponde altresì al centro stella di ogni carico equilibrato a stella connesso alla linea stessa.

Chiameremo poi tensioni stellate baricentriche ��J , ��J , ��J le tre tensioni esistenti fra ciascun conduttore di linea ed il

baricentro. E’ superfluo notare anche che il baricentro elettrico del sistema coincide con il baricentro geometrico del

triangolo i cui lati sono i vettori concatenati (tensioni di linea) della terna simmetrica di tensioni. Da quanto già detto, è

chiaro che:

��J = 1√3��'��J = 1√3��'��J = 1√3��'

La figura 11 riassume sinteticamente il calcolo di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato in tutti i casi possibili.


Figura 11


2.1 Potenza nei sistemi simmetrici ed equilibrati

Dato un sistema trifase simmetrico ed equilibrato, con collegamento stella-stella, le espressioni istantanee delle tensioni

di fase e delle correnti di fase sono:

�� = � sin�� = � sin �� − �� "�� = � sin �� − <� �"

8� = 0� sin9�� − :;8� = 0� sin �� − : − �� "8� = 0� sin �� − : − <� �"

Le potenze istantanee erogate da ciascun generatore sono:

K� = ��8� = � sin�� 0� sin9�� − :; = 0Lcos : − cos92�� − :;M = 0 cos : − 0 cos92�� − :;K� = ��8� = � sin �� − 23�� 0� sin �� − : − 23�� == 0 Ncos : − cos �2�� − : − 43 ��O = 0 cos : − 0 cos �2�� − : − 43��K� = ��8� = � sin �� − 43�� 0� sin �� − : − 43�� == 0 Ncos : − cos �2�� − : − 83 ��O = 0 cos : − 0 cos �2�� − : − 83��

QR�ST�Uℎ� N83 � = �2� + 23 �� = 23�O

Sommando quindi membro a membro le precedenti equazioni, otteniamo la potenza istantanea per il sistema trifase

simmetrico ed equilibrato:

K = K� + K� + K� = 0 cos: − 0 cos92�� − :; +0 cos : − 0 cos �2�� − : − 43�� +0 cos : − 0 cos �2�� − : − 83��

Essendo le tre potenze fluttuanti tre sinusoidi di uguale ampiezza e sfasate tra loro di 120°, si ha che la loro somma è

uguale a zero, di conseguenza:

K = 30 cos:

Ricordando che V e I sono i valori efficaci delle grandezze di fase (collegamento stella-stella), possiamo scrivere:

K = 3W0W cos:

Per questo possiamo affermare che in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato la potenza istantanea è costante ed è

uguale al triplo del prodotto dei valori efficaci della tensione di fase We della corrente di fase 0W, moltiplicato per il

coseno dell’angolo di fase : tra W� e 0W� (angolo caratteristico delle impedenze del carico).

Questo vuol dire anche che la potenza fluttuante complessiva è nulla (attenzione che la potenza fluttuante in ogni fase

non è nulla), quindi rilevare che in un sistema trifase la potenza fluttuante complessiva è nulla garantisce che il sistema

sia simmetrico ed equilibrato.

Rammentando ora che la potenza attiva è definita come il valor medio della potenza istantanea, possiamo affermare che

la potenza attiva trifase è:

X = 3W0W cos:

Che, ovviamente, coincide con la somma delle potenze attive messe in gioco da ciascuna fase.

Analogamente la potenza reattiva trifase è la somma delle potenze reattive messe in gioco da ciascuna fase, per cui:

Y = 3W0W sin:


Occorre puntualizzare che nei sistemi trifase, la potenza reattiva perde il significato fisico di ampiezza della potenza

reattiva istantanea ed assume solo un significato puramente matematico.

Usualmente, però, la potenza di un sistema trifase viene espressa in termini di grandezze di linea e quindi, tenendo

presente che:

nel collegamento a stella 0Z = 0W Z = √3W

nel collegamento a triangolo 0Z = √30W Z = W

si ottiene:

collegamento a stella collegamento a triangolo

X = 3W0W cos : = 3 5[√� 0Z cos : = √3Z0Z cos : X = 3W0W cos : = 3Z \[√� cos : = √3Z0Z cos: Y = 3W0W sin: = 3 5[√� 0Z sin : = √3Z0Z sin: Y = 3W0W sin: = 3Z \[√� 0Z sin : = √3Z0Z sin:

In definitiva definiamo potenza attiva trifase

X = √3Z0Z cos :

e potenza reattiva trifase

Y = √3Z0Z sin:

E’ importante evidenziare che le due formule precedenti sono formule “ibride” poiché contengono sia grandezza di

linea (Z , 0Z), sia grandezze di fase (:); infatti : è lo sfasamento tra il vettore tensione di fase ed il vettore corrente di

fase.

Definiamo poi potenza apparente trifase:

] = ^X� + Y� = √3Z0Z

Inoltre, utilizzando il teorema di Boucherot, definiamo potenza complessa di un sistema trifase simmetrico ed

equilibrato:

]̅ = 3�W/0_W = ]��?

Il fattore di potenza, definito come rapporto tra potenza attiva e potenza apparente, nel sistema trifase simmetrico ed

equilibrato sarà:

`. b. K. = X] = √3Z0Z cos:√3Z0Z = cos:

Possiamo quindi affermare che nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati il fattore di potenza coincide, come per i

sistemi monofase, con il coseno dell’angolo caratteristico delle impedenze del carico.

Comunque è bene fin d’ora definire il fattore di potenza di un sistema trifase come il coseno dell’angolo di cui va

ruotata la stella dei vettori delle correnti, rispetto a quella delle tensioni, affinché l’espressione della potenza attiva del

sistema assuma il massimo valore possibile.


2.2 Misura della potenza nei sistemi simmetrici ed equilibrati

Lo schema di principio per la misura delle potenze in un sistema trifase, discende immediatamente dalle loro

definizioni:

X = X� + X� + X� Y = Y� + Y� + Y�

per cui le potenze trifase si possono misurare facendo la somma delle potenza misurate in ciascuna delle fasi.

Nel caso di sistemi trifase simmetrici ed equilibrati è sufficiente la misura delle potenze di una sola fase per dedurre,

moltiplicando per tre, le potenze trifase:

X = 3W0W cos: Y = 3W0W sin:

Se però la misura deve essere eseguita in base alle sole grandezze di linea prescindendo dal generatore e dal carico, si

costruisce, con tre impedenze uguali, un baricentro Ob del sistema e si inserisce un wattmetro in modo che la bobina

amperometrica sia percorsa dalla corrente di uno dei conduttori della linea e che alla bobina voltmetrica sia applicata la

tensione baricentrica tra lo stesso conduttore ed il baricentro Ob.

E’ facile vedere (figura 12) che, qualunque sia il collegamento interfasico dei generatori, l’indicazione del wattmetro è:

c = W0W cos :

e che, quindi, la potenza attiva trifase è data da:

X = 3c

Per determinare poi la potenza reattiva trifase, basta misurare la tensione e la corrente di linea, con voltmetro e

amperometro, ricavare la potenza apparente:

] = √3Z0Z

e dedurre Q come:

Y = ^]� − X�


Il

Il

Vl

W=V I cosb l (V I )lb

Carico a stella Carico a triangolo

�J = �W �J = �√� �W��de 0�Z = 0�W 0�Z = √30�W��de

perciò perciò

J = W J = �√� W 0Z = 0W 0Z = √30W

�J0�Zf = �W0�Wf = : �J0�Zf = �W0�Wf = :

quindi quindi

c = J0Zcos�J0�Zf = W0W cos: = g� c = J0Zcos�J0�Zf = �√� W√30W cos : = W0W cos : = g�

In definitiva

X = 3c ] = √3Z0Z Y = √]� − X�

Figura 12 - Metodo del wattmetro inserito tra una fase ed il baricentro

(applicabile solo ai sistemi simmetrici ed equilibrati)


Molto più usato è il ricorso a due wattmetri inseriti secondo l’inserzione Aron (questo perché dalle indicazioni dei due

wattmetri è possibile risalire pure alla potenza reattiva). I due wattmetri sono inseriti su due fasi qualsiasi e gli

equipaggi voltmetrici sono collegati tra la fase sulla quale il wattmetro è inserito e la fase rimasta libera (nella figura si

sono utilizzate le fasi 1 e 2, ma si potrebbero usare anche le fasi 1 e 3 oppure 2 e 3). Dei due wattmetri, quello inserito

sulla fase che si trova a essere immediatamente in anticipo (secondo la sequenza ...-1-2-3-1-2-3-1-... ) viene chiamato

primo wattmetro (o wattmetro in ponte maggiore) mentre l'altro viene chiamato secondo wattmetro (o wattmetro in

ponte minore), nel nostro esempio il primo wattmetro è il WA mentre in secondo è il WB.

Figura 13 - Inserzione Aron

L'indicazione dei due wattmetri, per un sistema simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nel carico, vale:

ch = V�� ∙ 0�Z� = Vk0Z URl mcn = V�� ∙ 0�Z� = Vk0Z cos o

essendo m e o gli sfasamenti fra i vettori rappresentativi delle tensioni e delle correnti che interessano le bobine dei due

wattmetri e rispettivamente pari a m = : − �' , o = : + �' , come si può dedurre osservando il diagramma vettoriale

riportato sotto e facente riferimento al caso di un carico ohmico-induttivo (correnti di linea in ritardo dell'angolo :

rispetto alle corrispondenti tensioni stellate).

Dalla figura 13 e dal diagramma vettoriale si deduce che:

ch = �� ∙ 0�� = Vk0Z cos m = Vk0Z cos �: − �6" = Vk0Z �cos: cos �6 + sin : sin �6" = Vk0Z √32 cos: + Vk0Z 12 sin :cn = �� ∙ 0�� = Z0Z cos o = Vk0Z cos �: + �6" = Vk0Z �cos: cos �6 − sin: sin �6" = Vk0Z √32 cos: − Vk0Z 12 sin :


Sommando e sottraendo membro a membro le precedenti equazioni, si ottiene:

ch + cn = Vk0Z √32 cos : + Vk0Z 12 sin: + Vk0Z √32 cos: − Vk0Z 12 sin : = √3Vk0Z cos : = X

ch − cn = Vk0Z √32 cos : + Vk0Z 12 sin: − Vk0Z √32 cos : + Vk0Z 12 sin: = Vk0Z sin: = Y√3

Cioè, la somma delle indicazioni dei wattmetri, inseriti in Aron, è uguale alla potenza attiva trifase che fluisce nella

linea, la loro differenza, moltiplicata per √3, è uguale alla potenza reattiva trifase.

X = ch + cnY = √39ch − cJ;

Se invece dei wattmetri inserissimo due varmetri, sempre in Aron, avremmo:

p3h = ��⋀0�Z� = Vk0Z sin mp3n = ��⋀0�Z� = Vk0Z sin o

p3h = ��⋀0�� = Vk0Z l8Q m = Vk0Z sin �: − �6" = Vk0Z �sin: cos �6 − cos: sin �6" = Vk0Z √32 sin: − Vk0Z 12 cos :p3n = ��⋀0�� = Z0Z cos o = Vk0Z sin �: + �6" = Vk0Z �sin: cos �6 + cos: sin �6" = Vk0Z √32 sin: + Vk0Z 12 cos :

p3h + p3n = Vk0Z √32 sin: − Vk0Z 12 cos : + Vk0Z √32 sin: + Vk0Z 12 cos : = √3Vk0Z sin : = Yp3h − p3n = Vk0Z √32 sin: − Vk0Z 12 cos : − Vk0Z √32 sin: − Vk0Z 12 cos : = −Vk0Z cos: = − X√3

Cioè, la somma delle indicazioni dei varmetri, inseriti in Aron, è uguale alla potenza reattiva trifase che fluisce nella

linea, la loro differenza, moltiplicata per √3 e cambiata di segno, è uguale alla potenza attiva trifase.

Y = p3h + p3nX = −√39p3h − p3J;

E’ possibile, chiaramente solo ai fini del calcolo, calcolare la potenza complessa trifase immaginando di inserire in

Aron due “vacmetri”, strumenti questi che chiaramente sono inventati, per cui

]h̅ = �� ∙ 0_�]n̅ = �� ∙ 0_�

e, infine:

]̅ = ]h̅ + ]n̅


2.3 Campo magnetico rotante di Galileo Ferraris

Galileo Ferraris scoprì e dimostrò un’importante proprietà dei sistemi trifase e cioè che questi sistemi possono generare

dei campi magnetici rotanti mediante sistemi trifase di correnti che percorrono avvolgimenti fissi nello spazio.

Immaginiamo di disporre tre bobine identiche, cioè di uguale materiale, uguale lunghezza ed ugual numero di spire N,

in una posizione fissa nello spazio, nella quale i loro assi siano complanari e formino tra di loro angoli di 120° l’uno

rispetto all’altro (figura 14) e supponiamo di alimentarle con una terna simmetrica di tensioni. Essendo quindi le bobine

un carico equilibrato, le stesse saranno percorse da un terna equilibrata di correnti.

H

H

H

Figura 14

Se il mezzo è isotropo e la sua permeabilità magnetica è costante, le bobine generano tre campi magnetici che, nella

zona centrale di esse, hanno una direzione coincidente con quella dell’asse delle rispettive bobine ed una intensità

variabile nel tempo con la medesima legge sinusoidale delle correnti che li producono:

r�9�; = r� sin��r�9�; = r� sin �� − 23��r�9�; = r� sin �� − 43��

Il campo risultante rsstuvw9�; è ovviamente, istante per istante, la somma geometrica dei tre vettori rsst�9�;, rsst�9�;, rsst�9�;:

rsstuvw9�; = rsst�9�; + rsst�9�; + rsst�9�;

Riferendoci al piano di Gauss coincidente con il piano degli assi delle bobine (figura 15) abbiamo:

H

H

H

√√

H

H

H

Figura 15


rsst�9�; = − r�9�; = − r� sin ��rsst�9�; = −√32 r�9�; + 12r�9�;rsst�9�; = +√32 r�9�; + 12r�9�;

rsstuvw9�; = √32 Lr�9�; − r�9�;M + xr�9�; + r�9�;2 − r�9�;y

Ed essendo:

r�9�; = r� sin��r�9�; = r� sin �� − 23�� = r� Nsin �� cos �−23�� − cos�� sin �−23��O = r� z−12 sin�� − √32 cos��{r�9�; = sin �� − 43�� = r� Nsin�� cos �−43�� − cos�� sin �− 43��O = r� z−12 sin�� + √32 cos��{

Avremo:

r�9�; − r�9�; = r� z−12 sin�� + √32 cos��{ − r� z−12 sin�� − √32 cos��{ = √3r�cos��r�9�; + r�9�; = r� z−12 sin�� + √32 cos��{ + r� z−12 sin�� − √32 cos��{ = −r�sin��

Per cui:

rsstuvw9�; = √32 Lr�9�; − r�9�;M + xr�9�; + r�9�;2 − r�9�;y= √32 √3r�cos�� + �−12r�sin �� − r� sin �� = 32r�cos�� − 32r� sin �� = 32r��=>

In definitiva abbiamo ottenuto che il campo risultante rsstuvw9�; ha un’intensità costante nel tempo pari ad una volta e

mezzo il campo massimo r� prodotto da ciascuna bobina ed una direzione che ruota nello spazio, rispetto al sistema

che lo genera, a velocità costante �, pari alla pulsazione delle correnti; quindi questo campo compie un giro completo

ogni ciclo della corrente. Il senso di rotazione del campo è concorde al senso ciclico delle correnti che lo generano.


Allo stesso Galileo Ferraris è dovuto il principio dell’equivalenza fra un campo alternativo ed un complesso di due

campi rotanti in senso opposto l’uno con l’altro.

Consideriamo un campo alternativo avente direzione fissa nello spazio (figura 16) ed una intensità variabile nel tempo

con legge sinusoidale:

r|Z>9�; = r� sin��

H H

H H

H

Figura 16

Consideriamo poi due campi magnetici di intensità costante nel tempo, pari ad �� r�, e direzione rotante nello spazio a

velocità angolare costante, uguale alla pulsazione � ; i sensi di rotazione dei due campi siano fra loro opposti e

chiamiamo componente diretto rsst}9�; il campo che ruota in senso orario e componente inverso rsstv9�; quello che ruota in

senso opposto.

Se rsst}9�; ed rsstv9�; all’istante zero hanno direzione perpendicolare alla direzione di r|Z> e senso l’uno opposto all’altro,

è chiaro che ad ogni istante la loro posizione è sempre simmetrica rispetto alla direzione del campo alternativo e, quindi,

la loro risultante ha sempre la stessa direzione di tale campo ed una intensità identicamente uguale all’intensità di esso:

rsstuvw9�; = rsst} + rsstv = 2rsst�2 sin�� = rsst|Z>9�;

Possiamo quindi concludere che un campo alternativo è equivalente a due campi rotanti in senso opposto, con velocità

angolare uguale alla pulsazione del campo alternativo ed aventi una intensità costante uguale alla metà del valore

massimo del campo alternativo stesso.


3 Sistemi dissimmetrici e squilibrati

Un sistema trifase dissimmetrico e squilibrato è un sistema che tramite tre tensioni che hanno in comune solo la

frequenza alimenta un carico costituito da tre impedenze diverse tra loro (figura 17).

�� = �� sin9�� + ~� + :�;�� = �� sin9�� + ~� + :�;�� = �� sin9�� + ~� + :�;

Figura 17

Molte reti di distribuzione in BT hanno una configurazione formata da un sistema generatore connesso a stella (figura

18a), il quale alimenta i vari carichi mediante una linea di collegamento costituita da quattro conduttori, tre partono dai

morsetti delle fasi ed il quarto dal centro stella (morsetto del neutro). Questa configurazione caratterizza il sistema che

chiameremo sistema trifase a quattro fili.

0�Z� + 0�Z� + 0�Z� + 0�� = 0

a) Sistema a quattro fili

0�Z� + 0�Z� + 0�Z� = 0 0�Z� + 0�Z� + 0�Z� == F0�W� − 0�W�G + F0�W� − 0�W�G + F0�W� − 0�W�G = 0

b) Sistema a tre fili

Figura 18


A differenza delle reti di distribuzione prima citate, le grandi condutture trifase per il trasporto dell’energia sono

usualmente costituite dai soli conduttori che hanno origine dai tre morsetti delle fasi. La loro configurazione, quindi, è

quella di un sistema con generatore connesso a triangolo, oppure a stella, ma il morsetto del neutro non ha collegamento

con le utenze (figura 18b). Il sistema avente tale configurazione è detto sistema trifase a tre fili.

Nei sistemi a tre fili, come si rileva dalla figura, la somma delle correnti di linea è sempre nulla; e poiché abbiamo già

visto che anche la somma delle tre tensioni di linea è in ogni caso identicamente uguale a zero, concludiamo che nei

sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati a tre fili, le terne delle grandezze di linea sono sempre pure.

3.1 Tensioni e correnti nei sistemi trifase a tre fili

Nei sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati, il tipo di carico per il quale il calcolo delle grandezze si esegue con

maggiore facilità, è quello con le fasi del carico connesse a triangolo (figura 19).

0�Z� + 0�Z� + 0�Z� = 0�� + �� + �� = 0

0�W� = 5��7*�0�W� = 5��7*�0�W� = 5��7*�

0�Z� = 0�W� − 0�W� = 5��7*� − 5��7*�0�Z� = 0�W� − 0�W� = 5��7*� − 5��7*�0�Z� = 0�W� − 0�W� = 5��7*� − 5��7*�

Figura 19

Infatti, note le tensioni concatenate della linea ��, ��, �� , si calcolano immediatamente le correnti nelle fasi del

carico.

0�W� = ��1̅� = ��1� ��?�0�W� = ��1̅� = ��1� ��?�0�W� = ��1̅� = ��1� ��?�

dove :�, :�, :� sono gli angoli caratteristici delle impedenze del carico. Sottraendo poi a due a due queste correnti, si

ottengono le correnti di linea:

0�Z� = 0�W� − 0�W� = ��1̅� − ��1̅�0�Z� = 0�W� − 0�W� = ��1̅� − ��1̅�0�Z� = 0�W� − 0�W� = ��1̅� − ��1̅�


Se invece il carico è connesso a stella, il calcolo oltre che con i metodi classici (per esempio Millmann e Kirchhoff) si

può ricondurre al caso precedente sostituendo alla stella del carico, il triangolo equivalente tramite le note formule

(figura 20).

1̅�� = 1̅�1̅�1̅�1̅�� = 1̅�1̅�1̅�1̅�� = 1̅�1̅�1̅�

1̅� = 111̅� + 11̅� + 11̅�91;

1̅� = 1̅��1̅��1̅w1̅� = 1̅��1̅��1̅w1̅� = 1̅��1̅��1̅w

1̅w = 1̅�� + 1̅�� + 1̅��92;

Figura 20

Fatta quindi l’equivalenza stella triangolo, si calcolano le correnti di fase del triangolo:

0�� = ��1̅��0�� = ��1̅��0�� = ��1̅��

E facendo la differenza a due a due fra queste correnti, si ricavano le correnti di linea che, poi, altro non sono che le

correnti di fase dell’originario carico a stella:

0�Z� = 0�W� = 0�� − 0�� = ��1̅�� − ��1̅��0�Z� = 0�W� = 0�� − 0�� = ��1̅�� − ��1̅��0�Z� = 0�W� = 0�� − 0�� = ��1̅�� − ��1̅��


3.2 I centri stella nei sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati

Data una linea trifase ed il relativo sistema di tensioni concatenate ��, ��, ��, chiameremo genericamente centro

stella ��, il punto di connessione di una qualunque stella di tre impedenze 1̅�, 1̅�, 1̅�, scelte arbitrariamente e collegate

ai conduttori di linea (figura 21).

Figura 21

E’ chiaro che per un determinato sistema trifase di tensioni concatenate possono costruirsi infiniti centri stella variando

ad arbitrio le impedenze della stella. Quando le tre impedenze 1̅�, 1̅��1̅� sono uguali fra loro, il relativo centro stella,

come già visto, si dice baricentro elettrico 9��; del sistema trifase.

Chiameremo poi terna di tensioni stellate F$� ��, $� ��, $� ��G, rispetto ad un determinato centro stella 9O�;, le tensioni fra

ciascun conduttore di linea ed �w. Quando il centro stella prescelto è il baricentro del sistema, le tensioni stellate, come

già detto, si dicono baricentriche F��J , ��J , ��JG.

E’ facile rilevare che ogni tensione di linea o concatenata, risulta uguale alla differenza fra due successive tensioni

stellate di ogni terna. Pertanto, qualunque sia il centro stella prescelto, le tensioni stellate sono legate alle tensioni

concatenate dalle relazioni:

�� = ��w − ��w�� = ��w − ��w�� = ��w − ��w

Tutte le terne di tensioni stellate derivate da una stessa linea, se questa è prevalente, hanno in comune fra loro la stessa

terna di tensioni concatenate ��, ��, ��. Perciò le differenze omologhe fra due consecutive tensioni stellate, essendo

uguali alla stessa tensione di linea, sono uguali in tutte le terne:

�� = ��w� − ��w� = ��w" − ��w" = ⋯�� = ��w� − ��w� = ��w" − ��w" = ⋯�� = ��w� − ��w� = ��w" − ��w" = ⋯


Quindi se nella rappresentazione polare delle tensioni (figura 22) si disegna innanzitutto il triangolo delle tre tensioni di

linea F��, ��, ��G e si riportano poi nel diagramma i vettori delle varie terne stellate con l’origine in altrettanti diversi

poli, in modo che gli estremi dei vettori ��w, ��w��w coincidano in ogni caso con i corrispondenti vertici del triangolo

disegnato, tutte le terne di tensioni stellate derivate dalla linea risultano rappresentate da stelle di vettori a vertici

comuni.

Figura 22

E’ chiaro allora che i poli delle varie terne corrispondono ai relativi centri stella e che la tensione fra due qualsiasi centri

stella del sistema è rappresentata dal vettore congiungente i due poli corrispondenti.

Tra le infinite terne di tensioni stellate relative ad un determinato sistema trifase, si distingue, per alcune importanti

proprietà caratteristiche, la terna delle tensioni baricentriche.

Consideriamo il baricentro O� ottenuto derivando dalla linea tre impedenze uguali 1̅ (figura 23). Indicando con 0��J , 0��J , 0��J, le correnti che percorrono tali impedenze (la loro somma per l’equazione al nodo O� è nulla), si ha:

��J +��J +��J = 1̅F0��J + 0��J + 0��JG = 0

Figura 23


Vale a dire che la terna delle tensioni baricentriche è sempre pura. E’ evidente inoltre che il punto O� coincide con il

baricentro geometrico del triangolo i cui lati rappresentano le tensioni di linea.

La differenza di potenziale esistente tra il baricentro O� del sistema ed un qualunque centro stella O� è rappresentata nel

diagramma polare della figura 23 dal vettore �Jw che unisce O� con O� . L’espressione simbolica si deduce dalle

relazioni:

�Jw + ��J = ��w�Jw + ��J = ��w�Jw + ��J = ��w

Infatti, sommandole membro a membro e ricordando che la terna baricentrica è pura, si ottiene:

�Jw = ��w + ��w + ��w3

Vale a dire, la tensione �Jw fra il baricentro del sistema ed un centro stella generico �w è espressa, in termini simbolici,

dalla media aritmetica delle tre tensioni stellate rispetto ad �w.

Questa tensione può, evidentemente, essere espressa anche in funzione delle tensioni baricentriche e delle ammettenze

del carico, applicando Millmann si ottiene:

�Jw = −��J�*� + ��J�*� + ��J�*��*� + �*� + �*�

o può ottenersi anche scrivendo l’equazione al nodo �w (figura 23):

0��w +0��w + 0��w = 0

Essendo:

0��w = ��w�*�0��w = ��w�*�0��w = ��w�*�

Si ha

��w�*� + ��w�*� + ��w�*� = 0F�Jw + ��JG�*� + F�Jw + ��JG�*� + F�Jw + ��JG�*� = 0��J�*� + ��J�*� + ��J�*� + �Jw9�*� + �*� + �*�; = 0�Jw = −��J�*� + ��J�*� + ��J�*��*� + �*� + �*�


La formula:

�Jw = ��w + ��w + ��w3

consente di stabilire delle semplici relazioni tramite le quali si possono esprimere le tensioni stellate baricentriche in

funzione delle tensioni di linea. Supponiamo, essendo il centro stella O� arbitrario, di far coincidere O� con il vertice 1

del triangolo di figura 23. Le tensioni stellate rispetto a tale centro stella saranno:

��w9�; = 0��w9�; = −��w9�; = ��

sostituendo otteniamo

�Jw9�; = ��w9�; + ��w9�; + ��w9�;3 = −�� + ��3

e poiché �Jw9�; non è altro che l’opposto della tensione stellata baricentrica ��J, si ha:

�Jw9�; = −�� + ��3 = −��J

ed infine

��J = �� − ��3

Banalmente, con analogo procedimento, è cioè facendo coincidere O� con i vertici 2 e 3 del triangolo delle tensioni di

linea, otteniamo:

��J = �� − ��3��J = �� − ��3


3.3 Potenza nei sistemi dissimmetrici e squilibrati

Dato un sistema trifase dissimmetrico e squilibrato, a tre o quattro fili, l’andamento degli scambi energetici, può

rilevarsi dall’esame della variazione nel tempo delle potenze istantanee, K�, K�, K� , erogate dai tre generatori (o

assorbite dalle tre fasi del carico). La potenza trifase istantanea che il sistema trasmette alla linea (o che il carico

assorbe dalla linea), è data dalla somma delle tre potenze istantanee.

Date quindi le correnti e le tensioni relative alle singole fasi:

�� = �� sin9�� + ~� + :�;�� = �� sin9�� + ~� + :�;�� = �� sin9�� + ~� + :�;

8� = 0�� sin9�� + ~�;8� = 0�� sin9�� + ~�;8� = 0�� sin9�� + ~�;

Abbiamo:

K = K� + K� + K� = ��8� + ��8� + ��8� == �0� cos :� − �0� cos92�� + 2~� + ��; ++�0� cos :� − �0� cos92�� + 2~� + ��; ++�0� cos:� − �0� cos92�� + 2~� + ��;

La potenza istantanea è quindi, come ben noto, costituita da due addendi, il primo costante (Potenza Costante):

K� = �0� cos :� + �0� cos :� + �0� cos :�

ed il secondo variabile (Potenza Fluttuante):

KWZ = −L�0� cos92�� + 2~� + ��; + �0� cos92�� + 2~� + ��; + �0� cos92�� + 2~� + ��;M == �0� sin �2�� + 2~� + �� − �2" ++�0� sin �2�� + 2~� + �� − �2" ++�0� sin �2�� + 2~� + �� − �2"

La potenza fluttuante è quindi costituita dalla somma delle potenze fluttuanti messe in gioco da ciascuna fase.

Diversamente da quanto avviene nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati, dove abbiamo visto che la potenza

fluttuante trifase è nulla, in questi sistemi la stessa è presente e costituisce un peculiare carattere distintivo del regime

dissimmetrico e squilibrato.

Generalizzando ora le definizione già note, diremo Potenza Attiva Trifase P e Potenza Reattiva Trifase Q di un sistema

dissimmetrico e squilibrato la somma delle potenze attive e delle potenze reattive delle tre fasi:

X = X� + X� + X� = �0� cos :� + �0� cos:� + �0� cos :� Y = Y� + Y� + Y� = �0� sin:� + �0� sin :� + �0� sin:�

La potenza attiva trifase, come noto, è sempre il valor medio della potenza istantanea, mentre in questi sistemi la

potenza reattiva trifase non ha alcun significato fisico.

Definiamo poi, come per gli altri sistemi, Potenza Apparente Trifase S e Potenza Complessa Trifase �� ,

rispettivamente:

] = ^X� + Y�

]̅ = ]�̅ + ]�̅ + ]�̅ = �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_� = �0��?� + �0��?� + �0��?� = X� + Y� + X� + Y� + X� + Y�


Nei sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati non è più possibile definire il fattore di potenza in funzione degli angoli

caratteristici del carico. Utilizzando quindi la definizione generale, abbiamo:

`. b. K. = X]

Se vogliamo comunque utilizzare, per comodità, un coseno, possiamo affermare che il fattore di potenza coincide con il

coseno dell’angolo di cui va ruotata la stella delle correnti rispetto a quella delle tensioni o viceversa affinché

l’espressione della potenza attiva risulti massima.

3.4 Teorema di Aron

Consideriamo un sistema a tre fili dissimmetrico e squilibrato e costruiamo un qualsiasi centro stella Os (figura 24);

Figura 24 – Teorema di Aron


Si rileva che l’espressione (potenza attiva, rispetto ad Os):

X9�w; = �w0Z� cos :�w + �w0Z� cos :�w + �w0Z� cos :�w =��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z�

è invariante rispetto al centro stella, non varia cioè di valore qualsiasi sia il centro stella scelto.

Supponiamo di costruire ora un altro centro stella qualsiasi Os’ ed indichiamo con �ww� la tensione tra i due centri stella,

avremo:

X9�w�; = ��w� ∙ 0�Z� + ��w� ∙ 0�Z� + ��w� ∙ 0�Z� = F�ww� + ��wG ∙ 0�Z� + F�ww� + ��wG ∙ 0�Z� + F�ww� + ��wG ∙ 0�Z�= �ww� ∙ F0�Z� + 0�Z� + 0�Z�G + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z�

Ed essendo la terna delle correnti una terna pura, cioè la somma delle correnti è zero, si ha:

X9�w�; = ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� = X9�w;

L’invarianza vale anche, ovviamente, per i centri stella �� od �� dei generatori o del carico (se connessi a stella);

perciò indicando con P la potenza attiva trifase del sistema, si ha:

X9�w�; = ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� = X

Quindi possiamo terminare affermando che la potenza attiva trifase di un sistema trifase a tre fili qualsiasi è uguale

alla somma dei prodotti scalari delle correnti di linea per le corrispondenti tensioni stellate relative ad un qualunque

centro stella scelto ad arbitrio (Teorema di Aron).

Il teorema, dimostrato nel caso di generatori o carichi supposti a stella, è valido anche nel caso in cui siano connessi a

triangolo. La potenza trifase, infatti, erogata dal generatore (o assorbita dal carico) a triangolo è uguale a quella erogata

dal generatore (o assorbita dal carico) a stella ad esso equivalente. Consideriamo un generatore (o un carico) connesso a

triangolo ed immaginiamo di sostituire ad esso il suo equivalente a stella, sapendo che:

��△ = ��⋋ − ��⋋��△ = ��⋋ − ��⋋��△ = ��⋋ − ��⋋

0��⋌ = 0�� − 0��0��⋌ = 0�� − 0��0��⋌ = 0�� − 0��

avremo:

X△ = ��△ ∙ 0�� + ��△ ∙ 0�� + ��△ ∙ 0�� = F��⋋ − ��⋋G ∙ 0�� + F��⋋ − ��⋋G ∙ 0�� + F��⋋ − ��⋋G ∙ 0�� == ��⋋ ∙ F0�� − 0��G + ��⋋ ∙ F0�� − 0��G + ��⋋ ∙ F0�� − 0��G = ��⋋ ∙ 0��⋌ + ��⋋ ∙ 0��⋌ + ��⋋ ∙ 0��⋌ = X⋌

Analogamente può dimostrarsi per la potenza reattiva trifase quando, al posto dei prodotti scalari, si sostituiscono i

prodotti vettoriali. Pertanto qualunque sia il centro stella al quale è riferita la terna delle tensioni stellate, si ha:

Y = ��w⋀0�Z� + ��w⋀0�Z� + ��w⋀0�Z�

Il teorema di Aron indica, quindi, come possono esprimersi le potenze di un sistema trifase dissimmetrico e squilibrato

a tre fili, in funzione delle sole grandezze di linea, indipendentemente dal generatore e dal carico.

Riprendendo, infatti, l’espressione generale della potenza attiva trifase:

X = ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z�

scrivendo l’equazione al nodo (centro stella) per il sistema a tre fili:

0�Z� + 0�Z� + 0�Z� = 0

e ricavando da quest’ultima, per esempio, 0�Z� = −0�Z� − 0�Z� e sostituendola, si ha:

X = ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ F−0�Z� − 0�Z�G + ��w ∙ 0�Z� = F��w − ��wG ∙ 0�Z� − F��w − ��wG ∙ 0�Z� = �� ∙ 0�Z� − �� ∙ 0�Z�= �� ∙ 0�Z� + �� ∙ 0�Z�


ed analogamente per la potenza reattiva trifase.

In conclusione:

X = �� ∙ 0�Z� + �� ∙ 0�Z�

Y = ��⋀0�Z� + ��⋀0�Z�

3.5 Misura della potenza nel sistema dissimmetrico e squilibrato

Lo schema di principio per la misura delle potenze in un sistema trifase qualsiasi discende immediatamente dalle

precedenti considerazioni. Inseriamo, infatti, in un sistema a tre fili, tre wattmetri come in figura 25 e creiamo con le tre

bobine voltmetriche il centro stella Os. In virtù del teorema di Aron, la somma delle indicazioni dei wattmetri è uguale

alla potenza attiva trifase del sistema:

X = X�� + X�� + X�� = ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z�

Figura 25 – Principio generale di misura

E’ chiaro che questo metodo è valido anche per la misura nei sistemi a quattro fili quando si faccia coincidere Os con il

filo neutro.

In pratica, nei sistemi a tre fili la misura si esegue mediante l’uso di soli due wattmetri; facendo infatti coincidere il

centro stella Os con uno dei due fili, ad esempio il filo 2, si ha (figura 26):

Figura 26 – Sistema Aron

��w = ��w = 0��w = �� = −��


E quindi la potenza trifase P della linea è espressa da:

X = ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� + ��w ∙ 0�Z� = �� ∙ 0�Z� + �� ∙ 0�Z�

I due prodotti scalari corrispondono proprio alle indicazioni dei wattmetri, avremo quindi:

X = X�� + X��

Pertanto può concludersi che in un qualsiasi sistema a tre fili, la somma delle indicazioni dei due wattmetri inseriti con

il sistema Aron, è uguale alla potenza attiva trifase della linea.

La misura della potenza mediante Aron si esegue dunque in maniera identica sia per i sistemi simmetrici ed equilibrati,

sia per quelli dissimmetrici e squilibrati a tre fili. Questa identità riguarda solo la potenza attiva, perché nei sistemi

dissimmetrici e squilibrati le indicazioni dei due wattmetri non sono sufficienti per misurare la potenza reattiva.

Sia quest’ultima, sia la potenza complessa, possono però misurarsi in Aron con due varmetri e con due vacmetri.

In generale possiamo affermare che per misurare la potenza attiva, la potenza reattiva e la potenza complessa in sistemi

ad n fili, possiamo utilizzare, grazie ad Aron, n-1 wattmetri, n-1varmetri ed n-1 vacmetri.


4 Rifasamento nei sistemi trifase

Rifasare un carico trifase vuol dire inserire in parallelo al carico una batteria di condensatori in modo che la potenza

reattiva complessiva del carico e dei condensatori soddisfi la condizione:

tan :� = Y��X� = Y�h − Y��}X�h

Figura 27

Si presentano due casi:

1. Carico equilibrato, collegato a stella ( ) o a triangolo (¡), e tensioni simmetriche o dissimmetriche

� Tensioni dissimmetriche

X�h = 3¢1¢� 9�J� + �J� + �J� ; = 3£1£� 9�� + �� + �� ;Y�h = 4¢1¢� 9�J� + �J� + �J� ; = 4£1£� 9�� + �� + �� ;Y��} = �¤¢9�J� + �J� + �J� ; = �¤£9�� + �� + �� ;

Quindi

tan:� = 4¢1¢� 9�J� + �J� + �J� ; − �¤¢9�J� + �J� + �J� ;3¢1¢� 9�J� + �J� + �J� ; = 4¢1¢� − �¤¢3¢1¢�

tan :� = 4£1£� 9�� + �� + �� ; − �¤£9�� + �� + �� ;3£1£� 9�� + �� + �� ; = 4£1£� − �¤£3£1£�

In definitiva sia che i condensatori siano a stella o a triangolo, il valore della loro capacità è indipendente dalle tensioni.


� Tensioni simmetriche

X�h = 3 3¢1¢� 9¢�; = 33£1£� 9£�;Y�h = 3 4¢1¢� 9¢�; = 34£1£� 9£�;Y��} = 3�¤¢¢� = 3�¤££�

Quindi

tan:� = 3 4¢1¢� 9¢�; − 3�¤¢¢�3 3¢1¢� F¢�G = 4¢1¢� − �¤¢3¢1¢�

tan:� = 34£1£� 9£�; − 3�¤££�33£1£� 9£�; = 4£1£� − �¤£3£1£�

Anche in questo caso il valore della capacità dei condensatori di rifasamento è indipendente dalle tensioni.

2. Carico squilibrato (conviene sempre riportare il carico con collegamento a triangolo, rifasare con condensatori

pure a triangolo) e tensioni simmetriche o dissimmetriche

� Tensioni dissimmetriche

X�h = 3��9��1��;� + 3��9��1��;� + 3��9��1��;�Y�h = 4��9��1��;� + 4��9��1��;� + 4��9��1��;�Y��} = �¤£9�� + �� + �� ;

Quindi

tan :� = 4��9��1��;� + 4��9��1��;� + 4��9��1��;� − �¤£9�� + �� + �� ;3��9��1��;� + 3��9��1��;� + 3��9��1��;�

In questo caso il valore di ¤¥ dipende dal valore delle tensioni.

� Tensioni simmetriche (�� = �� = �� = )

X�h = 3��9 1��;� + 3��9 1��;� + 3��9 1��;�Y�h = 4��9 1��;� + 4��9 1��;� + 4��9 1��;�Y��} = 3�¤£�

Quindi

tan:� = 4��9 1��;� + 4��9 1��;� + 4��9 1��;� − 3�¤££�3��9 1��;� + 3��9 1��;� + 3��9 1��;� = 4��1�� + 4��1�� + 4��1�� − 3�¤£3��1�� + 3��1�� + 3��1��

Anche in questo caso il valore della capacità dei condensatori di rifasamento è indipendente dalle tensioni.


Come qualsiasi altro carico, in regime sinusoidale trifase un banco di rifasamento può presentare due configurazioni,

secondo che i banchi delle singole fasi siano collegati a stella o a triangolo.

Nel caso di collegamento a stella, i condensatori sono sottoposti alla tensione di fase, che è 3 volte minore della

tensione di linea, mentre nel caso di collegamento a triangolo i condensatori sono sottoposti all'intera tensione di linea.

Si modificano di conseguenza le espressioni delle potenze reattive impegnate nelle due configurazioni. Nel caso del

collegamento a stella, la potenza reattiva è data da

Y� = 3��√3�� ∙ ¤¢ = �� ∙ � ∙ ¤¢bSU¦8¤¢ = Y�� ∙ �

Nel caso del collegamento a triangolo, la potenza reattiva si calcolo invece

Y� = 3 ∙ �� ∙ � ∙ ¤∆bSU¦8¤∆ = 13 ∙ Y�� ∙ �

Si verifica immediatamente che a parità di potenza reattiva il collegamento a stella richiede una capacità 3 volte

maggiore che nel collegamento a triangolo.

¤¢ = 3 ∙ ¤∆

Nel collegamento a stella ciascun condensatore è sottoposto alla tensione stellata ¢ , nel collegamento a triangolo,

invece, sul condensatore insiste la tensione concatenata ∆ = √3 ∙ ¢, quindi

¤R¨¨�©Sª�Q�RSl��¨¨S «¢¤¢ = 3 ∙ ¤∆

¤R¨¨�©Sª�Q�RS�T8SQ©R¨R ¬∆ = √3 ∙ ¢¤∆ = 13 ∙ ¤¢

Quindi nel collegamento a stella sul condensatore insiste minore tensione e, quindi, al condensatore necessita minore

isolamento e, di conseguenza, il condensatore ha un costo minore; in conclusione, quindi, è per questo motivo che in

media o alta tensione si preferisce il collegamento a stella.

Alla luce di queste considerazioni, si preferisce adottare una configurazione a triangolo nel caso di rifasamento in bassa

tensione, mentre si riserva la configurazione a stella nel caso di rifasamento in media o alta tensione.


5 Convenienza dell’utilizzo dei sistemi trifase

Oltre alla fondamentale ragione della scelta del sistema trifase che consiste nella possibilità di generare un campo

rotante e di rendere più semplici e con migliori caratteristiche di funzionamento motori e generatori, sincroni ed

asincroni, una linea trifase risulta anche economicamente conveniente per quanto riguarda l'impiego di rame

Se occorre, infatti, trasmettere una stessa potenza attiva con la medesima tensione, con lo stesso fattore di potenza e con

la stessa densità di corrente nei conduttori, il volume del conduttore impiegato per la linea trifase è inferiore rispetto a

quello impiegato per la linea monofase. In particolare si ha che il volume di rame necessario per la linea trifase è 0,866

volte il volume necessario della corrispondente linea monofase. Si risparmia pertanto circa il 14% di rame.

Indicando con:

� X� la potenza attiva trifase;

� X� la potenza attiva monofase;

� 0� il valore efficace della corrente di linea nel sistema trifase;

� 0� il valore efficace della corrente di linea nel sistema monofase

abbiamo

X� = √3Z0� cos:X� = Z0� cos :

affinché le due potenze siano uguali, a parità di Z � cos :, deve essere

√3Z0� cos : = Z0� cos : → 0� = 0�√3

dovendo lavorare a parità di densità di corrente e quindi con ®� = ®� = ®, essendo:

®� = 0�]�®� = 0�]�

si ottiene:

]� = 0�®� = 0�®]� = 0�®� = 0�®

da cui

]�]� = 0�®0�® = 0�® / ®0� = 0�0� = 1√3 = √33 = 0.577

Quindi, indicando con L la lunghezza della linea, si ottiene:

� = 3/]�/±� = 2/]�/±

da cui

�� = 32]�]� = 32/ √33 = √32 = 0.866


6 Accoppiamenti mutui nei sistemi trifase

Caso generale

Sia dato il seguente sistema trifase, fig. 28:

Figura 28

costituito da tre induttori di induttanza ±�, ±� ed ±�, accoppiati mutuamente con coefficienti di mutua ²��, ²�� ed ²��;

i coefficienti di mutua, come ben sappiamo, sono affetti dal proprio segno.

Scriviamo le espressioni istantanee delle tensioni stellate:

��³ + �A� + �� + �� = 0 ��³ + �A� + �� + �� = 0 ��³ + �A� + �� + �� = 0

e considerando che con i versi assunti delle correnti, cioè tutte entranti dai morsetti contrassegnati con i pallini, le mutue

sono positive, abbiamo:

��³ − ±� b8�b� − ²�� b8�b� − ²�� b8�b� = 0

��³ − ±� b8�b� − ²�� b8�b� − ²�� b8�b� = 0

��³ − ±� b8�b� − ²�� b8�b� − ²�� b8�b� = 0

cioè:

��³ = ±� b8�b� + ²�� b8�b� + ²�� b8�b�

��³ = ±� b8�b� + ²�� b8�b� + ²�� b8�b�

��³ = ±� b8�b� + ²�� b8�b� + ²�� b8�b�


Ipotizziamo ora di essere a regime permanente sinusoidale e quindi le nostre equazioni diventano:

��³ = �±�0�� + �²��0�� + �²��0�� ³ = �±�0�� + �²��0�� + �²��0�� ³ = �±�0�� + �²��0�� + �²��0��

e queste equazioni sono identiche a quelle che scriveremmo se avessimo da analizzare il seguente sistema elettrico:

Figura 29

Infatti applicando la legge di Ohm generalizzata, otteniamo:

��³ − �²��0�� − �²��0�� − �±�0�� = 0 ��³ − �²��0�� − �²��0�� − �±�0�� = 0 ��³ − �²��0�� − �²��0�� − �±�0�� = 0

da cui:

��³ = �±�0�� + �²��0�� + �²��0�� ³ = �²��0�� + �±�0�� + �²��0�� ³ = �²��0�� + �²��0�� + �±�0��

e ponendo:

4� = �±�4� = �±�4� = �±�

4�� = 4�� = �²��4�� = 4�� = �²��4�� = 4�� = �²��

abbiamo:

��³ = 4�0�� + 4��0�� + 4��0�� ³ = 4��0�� + 4�0�� + 4��0�� ³ = 4��0�� + 4��0�� + 4�0��


Quindi la figura 29 la possiamo ora ridisegnare nel seguente modo:

Figura 30 – Circuito equivalente con generatori controllati

Riferendoci al sistema equivalente di figura 30, calcoliamo le tensioni concatenate �� e��:

�� = ��³ − ��³ = 4��0�� + 4��0�� + 4�0�� − F 4��0�� + 4��0�� + 4�0��G= 4��0�� + 4��0�� + 4�0�� − 4��0�� − 4��0�� − 4�0��

�� = ��³ − ��³ = 4��0�� + 4��0�� + 4�0�� − F 4��0�� + 4��0�� + 4�0��G= 4��0�� + 4��0�� + 4�0�� − 4��0�� − 4��0�� − 4�0��

Considerando che il sistema è a tre conduttori, abbiamo:

0�� + 0�� + 0�� = 0

da cui:

0�� = −0�� − 0��

e sostituendo otteniamo:

�� = 4��0�� + 4��0�� + 4�0�� − 4��0�� − 4��0�� − 4�0��= 4��F−0�� − 0��G + 4��0�� + 4�0�� − 4��0�� − 4��0�� − 4�F−0�� − 0��G= 4�0�� + 4�0�� − 2 4��0�� + 4�0�� + 4��0�� − 4��0�� − 4��0��= 94� + 4� − 24��;0�� + 94� + 4�� − 4�� − 4��;0��

�� = 4��0�� + 4��0�� + 4�0�� − 4��0�� − 4��0�� − 4�0��= 4��0�� + 4��F−0�� − 0��G + 4�0�� − 4��0�� − 4��0�� − 4�F−0�� − 0��G= 4�0�� + 4��0�� − 4��0�� − 4��0�� + 4�0�� + 4�0�� − 2 4��0��= 94� + 4�� − 4�� − 4��;0�� + 94� + 4� − 24��;0��


Cioè: �� = 94� + 4� − 24��;0�� + 94� + 4�� − 4�� − 4��;0�� = 94� + 4�� − 4�� − 4��;0�� + 94� + 4� − 24��;0��

e ponendo

1̅�� = 94� + 4� − 24��; 1̅�� = 94� + 4�� − 4�� − 4��;1̅�� = 94� + 4�� − 4�� − 4��; 1̅�� = 94� + 4� − 24��;

otteniamo

�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� = 1̅��0�� + 1̅��0��

che in forma matriciale è

´��´ = µ1̅�� 1̅��1̅�� 1̅��µ ´0��0��´

oppure

´0��0��´ = µ1̅�� 1̅��1̅�� 1̅��µ�� ´��´

Ricordiamo come si inverte una matrice, sia data la matrice

p = ¶S ·U b¶ la sua inversa è

p�� = 1det9p; µUR`9p, /��; UR`9p, /��;UR`9p, /��; UR`9p, /��;µº

dove

det9p; indica il determinante della matrice p;

l’esponente » indica l’operazione di trasposizione righe/colonne;

la matrice µUR`9p, /��; UR`9p, /��;UR`9p, /��; UR`9p, /��;µ è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici);

il cofattore in posizione i, j è definito come UR`Fp, /v�G = 9−1;v¼�det9ª8QRT�9p, 8, ;;

dove ª8QRT�9p, 8, ; rappresenta il minore di p che si ottiene cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima;

il segno 9−1;v¼� varia nel seguente modo ½+ − +− + −+ − +½ cioè è + se la somma degli indici è pari, negativo se è dispari


Quindi µ1̅�� 1̅��1̅�� 1̅��µ�� = 11̅��1̅�� − 1̅�� µ 1̅�� −1̅��−1̅�� 1̅�� µº = 11̅��1̅�� − 1̅�� µ 1̅�� −1̅��−1̅�� 1̅�� µ

sappiamo inoltre che l’operatore inverso dell’impedenza è l’operatore ammettenza, per cui

´0��0��´ = µ1̅�� 1̅��1̅�� 1̅��µ�� ´��´ = 11̅��1̅�� − 1̅�� µ 1̅�� −1̅��−1̅�� 1̅�� µ ´��´ = ¾¾1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

−1̅��1̅��1̅�� − 1̅��−1̅��1̅��1̅�� − 1̅��1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

¾¾ ´��´= µ¿*�� ¿*��¿*�� ¿*��µ ´��´

questa relazione ci ricorda la relazione cui si arriva applicando il metodo dei potenziali ai nodi prendendo come

riferimento il nodo 2 (le tensioni sono infatti riferite entrambi al nodo 2).

Cerchiamo quindi di ricavare ora i valori delle ammettenze, collegate a triangolo, per disegnare il circuito equivalente

seguente, figura 31:

Figura 31 – Circuito equivalente a triangolo

Applichiamo il metodo dei potenziali ai nodi 1 e 3, prendendo come riferimento il nodo 2:

0�� = 9�*�� + �*��;�� − �*�� 0�� = −�*�� + 9�*�� + �*��;��

e, in forma matriciale,

´0��0��´ = µ¿*�� ¿*��¿*�� ¿*��µ ´��´

dove abbiamo posto

¿*�� = �*�� + �*��¿*�� = −�*�� ¿*�� = −�*��¿*�� = �*�� + �*��


da cui segue immediatamente che

¿*�� = �*�� + �*�� = 1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

¿*�� = ¿*�� = −�*�� = −1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

¿*�� = �*�� + �*�� = 1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

e quindi

�*�� = 1̅�� − 1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

�*�� = 1̅�� − 1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

�*�� = 1̅��1̅��1̅�� − 1̅��

da queste si ricavano, ovviamente, le corrispettive impedenze collegate a triangolo

1̅�� = 1̅��1̅�� − 1̅��1̅�� − 1̅��

1̅�� = 1̅��1̅�� − 1̅��1̅�� − 1̅��

1̅�� = 1̅��1̅�� − 1̅��1̅��

e quindi, utilizzando le note formule stella-triangolo, otteniamo le impedenze equivalenti a stella

1̅� = 1̅��1̅��1̅�� + 1̅�� + 1̅��

1̅� = 1̅��1̅��1̅�� + 1̅�� + 1̅��

1̅� = 1̅��1̅��1̅�� + 1̅�� + 1̅��


ed il circuito equivalente di figura 32

Figura 32 – Circuito equivalente a stella

Riepilogando abbiamo:

1̅� = 1̅��1̅��1̅�� + 1̅�� + 1̅�� 1̅� = 1̅��1̅��1̅�� + 1̅�� + 1̅�� 1̅� = 1̅��1̅��1̅�� + 1̅�� + 1̅��

1̅�� = 1̅��1̅�� − 1̅��1̅�� − 1̅�� 1̅�� = 1̅��1̅�� − 1̅��1̅�� − 1̅�� 1̅�� = 1̅��1̅�� − 1̅��1̅��

1̅�� = 94� + 4� − 24��; 1̅�� = 94� + 4�� − 4�� − 4��;1̅�� = 94� + 4�� − 4�� − 4��; 1̅�� = 94� + 4� − 24��;

4� = �±�4� = �±�4� = �±� 4�� = 4�� = �²��4�� = 4�� = �²��4�� = 4�� = �²��

Figura 33 – Equivalenza complessiva


Caso particolare

Ipotizzando ora che sia le induttanze, sia le mutue, siano uguali tra loro, cioè:

±� = ±� = ±� = ±�b²�� = ²�� = ²�� = ²

avremo

4� = 4� = 4� = 4A = �±4�� = 4�� = 4�� = 4� = �²

quindi

1̅�� = 94A + 4A − 24�; = 2 94A − 4�; 1̅�� = 94A + 4� − 4� − 4�; = 94A − 4�;1̅�� = 94A + 4� − 4� − 4�; = 94A − 4�; 1̅�� = 94A + 4A − 24�; = 2 94A − 4�;

da cui

1̅�� = 1̅�� = 2 94A − 4�;1̅�� = 1̅�� = 94A − 4�;

inoltre

1̅�� = 1̅��1̅�� − 1̅��1̅�� − 1̅�� = 2 94A − 4�;2 94A − 4�; − L 94A − 4�;M�2 94A − 4�; − 94A − 4�; = −494A − 4�;� + 94A − 4�;� 94A − 4�; = −394A − 4�;� 94A − 4�;= 394A − 4�;

e, analogamente

1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 1̅∆ = 394A − 4�;

ed infine

1̅� = 1̅∆�31̅∆ = 1̅∆3 = 94A − 4�; = �9± − ²;


Verifica

Verifichiamo, per altra via, che queste relazioni siano valide in modo da avere anche la conferma della validità delle

relazioni generali.

Scriviamo quindi le espressioni istantanee delle tensioni stellate, in questo caso, anche baricentriche e l’equazione al

nodo 0, centro stella o baricentro:

��³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� ³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� ³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� 0�� + 0�� + 0�� = 0

considerando che

0�� + 0�� = −0�� 0�� + 0�� = −0�� 0�� + 0�� = −0��

si ha

��³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� = �±0�� − �²0�� − �²0�� + �²0�� = �9± − ²;0�� = 1̅�0�� ³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� = �±0�� − �²0�� − �²0�� + �²0�� = �9± − ²;0�� = 1̅�0�� ³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� = �±0�� + �²0�� − �²0�� − �²0�� = �9± − ²;0�� = 1̅�0��

C.V.D.

Quindi

Figura 34 – Equivalenza complessiva carico equilibrato


Consideriamo adesso lo stesso circuito ma con l’aggiunta del conduttore neutro, figura 35

Figura 35 – Mutue con neutro

Le equazioni dell’equilibrio elettrico sono analoghe a quelle scritte prima con l’unica differenza che ora risulta

0�� + 0�� + 0�� + 0�� = 0

quindi, con analoghe considerazioni abbiamo

��³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� = �±0�� − �²0�� − �²0�� − �²0�� + �²0�� = �9± − ²;0�� − �²0�� ³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� = �±0�� − �²0�� − �²0�� − �²0�� + �²0�� = �9± − ²;0�� − �²0�� ³ = �±0�� + �²0�� + �²0�� = �±0�� + �²0�� − �²0�� − �²0�� − �²0�� = �9± − ²;0�� − �²0��

da cui segue immediatamente il circuito equivalente di figura 36

Figura 36 – Circuito equivalente con neutro


7 Studio generale dei sistemi trifase

7.1 Rappresentazione matriciale delle grandezze trifase

In simboli matriciali, una terna qualsiasi di vettori Fp��, p��, p��G è normalmente rappresentata mediante la matrice

colonna i cui elementi sono i vettori stessi della terna:

‖p�‖ = ¾p��p��p��¾

Solo per alcuni calcoli, la terna viene anche rappresentata mediante la relativa matrice riga:

‖p�‖ = |p�� p�� p��|

Quindi nella rappresentazione matriciale, le terne delle tensioni F��, ��, ��G e delle correnti F0��, 0��, 0��G di un circuito

trifase (figura 37a) sono normalmente indicate mediante i simboli:

‖� ‖ = ¾��¾ ‖0�‖ = ¾0��0��0��¾

che rispettivamente sono matrice colonna delle tensioni e matrice colonna delle correnti.

Figura 37

E’ evidente perciò come sia possibile, qualora fosse utile, rappresentare il sistema trifase mediante uno schema

monofase equivalente (figura 37b) dove le grandezze sono rappresentate da matrici di vettori.


7.1.1 Somma di terne di vettori:

Fp��, p��, p��G + FÂ��, Â��, Â��G = Fp�� + Â��, p�� + Â��, p�� + Â��G

in forma matriciale:

‖p�‖ + ‖Â� ‖ = ¾p��p��p��¾ + ¾Â��Â��Â��¾ = ¾p�� + Â��p�� + Â��p�� + Â��¾ = ‖p� + Â� ‖

Ad esempio, le correnti di una linea trifase che convoglia le correnti di due linee in parallelo (figura 38a), nella

rappresentazione matriciale si esprimono:

Ã0�hÃ + Ã0�nÃ = ¾0�h�0�h�0�h�¾ + ¾0�n�0�n�0�n�

¾ = ¾0�h� + 0�n�0�h� + 0�n�0�h� + 0�n�¾ = ‖0�h + 0�n‖

Figura 38

Che possono dar luogo, ovviamente, allo schema monofase equivalente di figura 38b.


7.1.2 Prodotto di una terna di vettori per un numero:

Ä ∙ Fp��, p��, p��G = FÄp��, Äp��, Äp��G


Ä ∙ ‖p�‖ = ¾Äp��Äp��Äp��¾ = ÃÄp�Ã

Ad esempio le tensioni ��, �� , ��, agli estremi delle fasi di un carico equilibrato, di impedenza per fase 1̅, le cui

correnti sono 0��, 0�� e 0�� (figura 39a),

Figura 39

possono esprimersi in forma matriciale come:

‖� ‖ = ¾��¾ = Å1̅0��1̅0��1̅0��Å = 1̅ Å0��0��0��Å = 1̅‖0�‖

E quindi mediante il relativo schema monofase equivalente.

7.1.3 Prodotto di una terna di vettori per una terna di numeri:

9Ä�, Ä�, Ä�; ∙ Fp��, p��, p��G = FÄ�p��, Ä�p��, Ä�p��G

in forma matriciale questo risultato si ottiene moltiplicando la matrice diagonale formata con la terna dei numeri Ä�, Ä�, Ä�:

‖Ä‖ = ½Ä� 0 00 Ä� 00 0 Ä�½

per la matrice colonna della terna dei vettori

‖Ä‖ ∙ ‖p�‖ = ½Ä� 0 00 Ä� 00 0 Ä�½ ∙ ¾p��p��p��¾ = ¾Ä�p��Ä�p��Ä�p��¾


Ad esempio le tensioni ��, ��, ��, agli estremi delle fasi di un carico squilibrato 1̅�, 1̅�, 1̅�, percorso dalle correnti 0��, 0��

e 0�� (figura 39b),

Figura 39

sono rappresentate in forma matriciale:

‖� ‖ = ¾��¾ = Å1̅�0��1̅�0��1̅�0��Å = Å1̅� 0 00 1̅� 00 0 1̅�Å ∙ Å0��0��0��Å = ‖1̅‖ ∙ ‖0�‖

dove ‖1̅‖ è la matrice diagonale delle impedenze del carico.

7.1.4 Prodotto di una terna di vettori per una tripla terna di numeri:

ÆÄ�� Ä�� Ä��Ä�� Ä�� Ä��Ä�� Ä�� Ä��Ç ∙ Fp��, p��, p��G == ÈFÄ��p�� + Ä��p�� + Ä��p��G FÄ��p�� + Ä��p�� + Ä��p��G FÄ��p�� + Ä��p�� + Ä��p��GÉ


‖Ä‖ ∙ ‖p�‖ = ½Ä�� Ä�� Ä��Ä�� Ä�� Ä��Ä�� Ä�� Ä��½ ∙ ¾p��p��p��¾ = ÅÄ��p�� + Ä��p�� + Ä��p��Ä��p�� + Ä��p�� + Ä��p��Ä��p�� + Ä��p�� + Ä��p��Å

Questo calcolo, nei sistemi trifase, è quello che si esegue per calcolare la tensione agli estremi delle fasi di un carico

con accoppiamento induttivo fra fase e fase (figura 40)

Figura 40


Infatti, indicando con 1̅��,1̅��, 1̅�� le impedenze proprie delle fasi (auto impedenze) e con 1̅IÊ il coefficiente di mutua

induzione della fase h rispetto alla fase k moltiplicato per � (mutue impedenze), si ha:

�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0��

per cui, in forma matriciale, la terna delle tensioni è legata alla terna delle correnti dalla relazione:

‖� ‖ = ‖1�‖ ∙ ‖0�‖

dove

‖1�‖ = Å1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��Å

Si dice matrice quadrata delle auto e mutue impedenze.

Come è facile rilevare dalle equazioni precedenti, i nove valori delle auto e mutue impedenze, che costituiscono gli

elementi della matrice, possono essere determinati sperimentalmente con semplici misure, inviando successivamente

una corrente in ciascuna fase e misurando ogni volta le tensioni.

Indicando con

a) ��∗ , ��∗ e ��∗ le tensioni misurate quando la sola fase 1 è percorsa dalla corrente 0��∗;

b) ��∗ , ��∗ e ��∗ le tensioni misurate quando la sola fase 2 è percorsa dalla corrente 0��∗;

c) ��∗ , ��∗ e ��∗ le tensioni misurate quando la sola fase 3 è percorsa dalla corrente 0��∗

dal sistema scritto prima:

�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0��

abbiamo che le auto e mutue impedenze del sistema sono:

a)

��∗ = 1̅��0��∗��∗ = 1̅��0��∗��∗ = 1̅��0��∗ da cui

1̅�� = 5��∗\��∗1̅�� = 5��∗\��∗1̅�� = 5��∗\��∗

b)

��∗ = 1̅��0��∗��∗ = 1̅��0��∗��∗ = 1̅��0��∗ da cui

1̅�� = 5��∗\��∗1̅�� = 5��∗\��∗1̅�� = 5��∗\��∗

c)

��∗ = 1̅��0��∗��∗ = 1̅��0��∗��∗ = 1̅��0��∗ da cui

1̅�� = 5��∗\��∗1̅�� = 5��∗\��∗1̅�� = 5��∗\��∗


7.1.5 Rappresentazione matriciale della legge di Ohm, dei principi di Kirchhoff e della potenza trifase

Riassumendo le precedenti considerazioni, si rileva che la legge di Ohm per i sistemi trifase può essere espressa in

forma matriciale come:

‖� ‖ = ‖1̅‖ ∙ ‖0�‖

Ed esprime il legame fra le grandezze di fase. La matrice quadrata delle auto e mutue impedenze si riduce alla matrice

diagonale nel caso di carichi privi di accoppiamento induttivo ed al solo valore 1̅ delle impedenze nel caso di carichi

equilibrati

Carichi con accoppiamenti induttivi fra le fasi Carichi senza accoppiamenti induttivi fra le fasi

Carichi squilibrati Carichi equilibrati

‖� ‖ = ‖1̅‖ ∙ ‖0�‖ ‖� ‖ = ‖1̅‖ ∙ ‖0�‖ ‖� ‖ = 1̅ ∙ ‖0�‖

‖1�‖ = Å1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��Å

Matrice quadrata delle auto e mutue impedenze

‖1�‖ = Å1̅�� 0 00 1̅�� 00 0 1̅��Å

Matrice diagonale delle impedenze

1̅ = 1̅�� = 1̅�� = 1̅��

Valore comune delle impedenze

Estendendo le considerazioni sulla somma di due terne di correnti, illustrate nella figura 29, ad un numero qualsiasi di

terne ed indicando con 0��9Ê;, 0��9Ê;

, 0��9Ê; le correnti della terna k-sima (per il segno valgono le convenzioni dei nodi nei

sistemi monofase), il primo principio di Kirchhoff applicato ad un nodo di una rete trifase può essere espresso in forma

matriciale dalla relazione:

Ì Ã0�9Ê;Ã = 0Ê

Considerando poi una maglia di una rete trifase nella quale ��9Ê;, ��9Ê;

, ��9Ê;, 0��9Ê;

, 0��9Ê;, 0��9Ê;

, 1̅�9Ê;, 1̅�9Ê;

, 1̅�9Ê; siano

rispettivamente le tensioni, le correnti e le impedenze relative alle tre fasi (con o senza accoppiamento induttivo) del

lato k-simo della maglia (adottando per il segno delle tensioni e delle correnti le stesse convenzioni adottate per le

maglie dei circuiti monofase) il secondo principio di Kirchhoff si esprime in forma matriciale con la relazione:

Ì FÃ� 9Ê;Ã − Ã1̅9Ê;Ã ∙ Ã0�9Ê;ÃG = 0Ê

Infine, sappiamo che il regime energetico di un sistema trifase può essere compiutamente definito mediante la potenza

complessa:

]̅ = ]�̅ + ]�̅ + ]�̅ = X� + Y� + X� + Y� + X� + Y� = �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_�

Rappresentando la potenza mediante matrice ad un solo elemento, si rileva che essa è uguale al prodotto di una matrice

riga per una matrice colonna:

|]̅| = |�� ∙ 0_� + �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_�| = |�� | ∙ Å0_�0_�0_�Å = ‖� ‖ ∙ ‖0Í‖

Pertanto, in forma matriciale, la potenza complessa di un qualsiasi sistema trifase è rappresentata dal prodotto della

matrice riga delle tensioni per la matrice colonna dei coniugati delle correnti.


7.2 L’algebra delle sequenze

I moderni metodi di analisi per lo studio generale del comportamento dei sistemi trifase (simmetrici, dissimmetrici,

equilibrati, squilibrati, puri o spuri) sono basati su procedimenti di scomposizione dei sistemi trifase di grandezze in

terne componenti, la cui somma riproduce il sistema considerato.

L’efficacia di tali metodologie consiste dalla possibilità da esse offerta, una volta operata la scomposizione, di

determinare disgiuntamente il comportamento del sistema in presenza di ognuna delle componenti, indipendentemente

dalle altre, e di ricostruire poi il regime globale del sistema applicando il principio di sovrapposizione degli effetti.

Il procedimento di scomposizione dei sistemi trifase più usato è quello di Fortescue. In esso due delle componenti sono

terne simmetriche.

Allo scopo di rendere più agile e rapido il calcolo, faremo uso di un particolare metodo di rappresentazione delle terne

simmetriche di grandezze, indicato comunemente con il nome di algebre delle sequenze.

Fra i vari fattori di rotazione visti, occorre menzionare in particolare il fattore che, applicato ad un vettore, ne ruota la

direzione di 120° in anticipo, lasciandone immutata l’intensità. Questo fattore, che indicheremo con m è rappresentato

dal numero complesso costante:

m = �� = −12 + √32

Il cui complesso coniugato è ovviamente:

mÎ = �� = −12 − √32

Le successive potenze di m con esponente intero:

m³ = 1 m� = ��'�� = 1 m' = �� = 1m� = �� m< = ��Ï�� = m mÐ = ��<� � = mm� = ��<�� mÑ = ��³� � = m� mÏ = ��'� � = m�

Riproducono ciclicamente all’infinito sempre la stessa terna di valori:

m³ = 1m = �� = −12 + √32m� = ��<�� = −12 − √32 = mÎ

Che, riportai sul piano di Gauss (figura 41), corrispondono ai vertici di un triangolo equilatero e che rappresentano le tre

radici cubiche dell’unità.

√32

√32

Figura 41


Ricordando che le radici cubiche dell’unità, dovendo soddisfare la relazione:

/� = 1

Coincidono con le radici dell’equazione.

/� − 1 = 9/ − 1;9/� + / + 1; = 0

dalla quale, annullando il primo fattore si ottiene:

/� = 1

ed annullando il secondo:

/�/�Ò = −1 ± √1 − 42 = −1 ± √−32 = −1 ± √32 =ÔÕÖÕ×−12 + √32−12 − √32

E’ facile rilevare che tale terna di numeri gode della proprietà che la loro somma è nulla:

m³ + m� + m� = 1 + m + m� == 1 − 12 + √32 − 12 − √32 = �1 − 12� + z√32 − √32 { = 0

Consideriamo le tre potenze di m 91; m; m�; che, al crescere dell’esponente, si riproducono ciclicamente all’infinito. I

loro punti rappresentativi sul piano di Gauss si susseguono, lungo la circonferenza unitaria, secondo il senso di

rotazione orario (figura 42) quando le potenze si succedono nell’ordine:

1;m�; m

Figura 42

Si susseguono invece secondo il senso di rotazione antiorario quando le potenze si succedono nell’ordine.

1; m; m�


Chiameremo allora sequenza diretta 9�Ù; la terna dei tre fattori di rotazione rappresentati dalle potenze di m prese

nella successione corrispondente al senso orario e sequenza inversa 9�Ú;, la stessa terna presa nella successione

corrispondente al senso antiorario.

In simboli matriciali, esse sono rappresentate da due matrici colonna i cui elementi sono fattori di rotazione:

‖]}‖ = ½1m�m ½ ‖]v‖ = ½1mm�½

Chiameremo, infine, sequenza omopolare 9�Û; la terna costituita da tre elementi tutti uguali all’unità:

‖]�‖ = ½111½

Il prodotto di una sequenza per un vettore è costituito dalla terna di vettori ottenuti applicando al vettore dato ognuno

dei tre fattori di rotazione della sequenza.

Pertanto se la sequenza è diretta, il prodotto è costituito da una terna simmetrica di vettori che si susseguono nell’ordine

ciclico diretto e che ha come primo vettore il vettore dato Ü�}

‖]}‖ ∙ Ü�} = ½1m�m ½ ∙ Ü�} = ÅÜ�}m�Ü�}mÜ�} Å = ¾¾ Ü�}Ü�}��Ü�}��<��¾¾ = ÅÜ�}�Ü�}�Ü�}�

Å = ÃÜ�}Ã

Se la sequenza è inversa, il prodotto è costituito da una terna simmetrica di vettori che si susseguono nell’ordine ciclico

inverso e che ha come primo vettore il vettore dato Ü�v

‖]v‖ ∙ Ü�v = ½1mm�½ ∙ Ü�v = ÅÜ�vmÜ�vm�Ü�vÅ = ¾¾ Ü�vÜ�v��<��Ü�v��¾¾ = ÅÜ�v�Ü�v�Ü�v�Å = ÃÜ�vÃ

Se infine la sequenza è omopolare, il prodotto è costituito da una terna di vettori tutti uguali al vettore dato p��

‖]�‖ ∙ Ü�� = ½111½ ∙ Ü�� = ÅÜ��Ü��Ü��Å = ÃÜ��Ã

Le precedenti considerazioni indicano chiaramente la possibilità di rappresentare ogni terna di vettori di sequenza

diretta, inversa o omopolare, mediante il prodotto della relativa sequenza per uno qualsiasi dei vettori della terna scelto

ad arbitrio. Il vettore scelto come riferimento, il cui prodotto per la sequenza dà luogo all’intera terna, sarà chiamato

vettore base della terna.

Per gli usi pratici è di fondamentale importanza la considerazione della matrice quadrata delle sequenze o matrice del

Fortescue. Essa si ottiene formando una matrice quadrata con le tre matici colonna rappresentative delle sequenze ]� , ]} �]v: ‖]‖ = ½1 1 11 m� m1 m m�½


La matrice è simmetrica e il suo determinante ha valore:

|]| = 19m� ∙ m� − m ∙ m; − 191 ∙ m� − m ∙ 1; + 191 ∙ m − m� ∙ 1; = m< − m� − m� + m + m − m� = m< − 3m� + 2m

Ricordando che m< = m otteniamo:

|]| = m< − 3m� + 2m = m − 3m� + 2m = 3m − 3m� = 39m − m�; == 3 xz−12 + √32 { − z−12 − √32 {y = 3z−12 + 12 + √32 + √32 { = 3 √3

La matrice che si ottiene dalla precedente scambiando di posto la seconda con la terza riga (oppure la seconda con la

terza colonna) e dividendo per 3, è la matrice inversa della precedente e si chiama matrice quadrata inversa delle

sequenze (vedasi nota seguente).

‖]‖�� = 13 ½1 1 11 m m�1 m� m ½

Si ha, infatti, ricordando che il prodotto di una matrice per la sua inversa è uguale alla matrice identità

‖]‖ ∙ ‖]‖�� = ½1 1 11 m� m1 m m�½ ∙ 13 ½1 1 11 m m�1 m� m ½ = 13 ½1 + 1 + 1 1 + m + m� 1 + m� + m1 + m� + m 1 + 1 + 1 1 + m + m�1 + m + m� 1 + m� + m 1 + 1 + 1 ½ = 13 ½3 0 00 3 00 0 3½= ½1 0 00 1 00 0 1½ = ‖Ý‖

Nota:

La matrice quadrata delle sequenze è:

‖]‖ = Þ1 1 11 m� m1 m S�Þ

Per invertirla calcoliamo tutti i minori: S�� = +ßm� mm m�ß = +m< − m� = m − m�S�� = − ß1 m1 m�ß = −m� + mS�� = + ß1 m�1 m ß = +m − m�S�� = −ß1 m1 m�ß = −m� + mS�� = + ß1 11 m�ß = +m� − 1S�� = − ß1 11 mß = −m + 1S�� = +ß 1 1m� mß = +m − m�S�� = − ß1 11 mß = −m + 1S�� = + ß1 11 m�ß = +m� − 1

Matrice costruita con i minori

Þ+m< − m� −m� + m +m − m�−m� + m +m� − 1 −m + 1+m − m� −m + 1 +m� − 1Þ


Trasposta della matrice dei minori

Þ+m< − m� −m� + m +m − m�−m� + m +m� − 1 −m + 1+m − m� −m + 1 +m� − 1Þ

essendo:

m = �� = −12 + √32m� = ��<�� = −12 − √32m< = m = −12 + √32

otteniamo: +m< − m� = m − m� = −12 + √32 + 12 + √32 = √3−m� + m = +12 + √32 − 12 + √32 = √3+m� − 1 = −12 − √32 − 1 = −32 − √32 = −√3√32 − √32 = √3z √32 − 12{ = √3z−12 + √32 { = √3m−m + 1 = +12 − √32 + 1 = +32 − √32 = + √3√32 − √32 = √3z− √32 − 12{ = √3z−12 − √32 { = √3m�

da cui:

à √3 √3 √3 √3 √3m √3m� √3 √3m� √3m à

e dividendo per il determinante della matrice quadrata delle sequenze 3√3:

1 3√3à √3 √3 √3 √3 √3m √3m� √3 √3m� √3m à

Otteniamo la matrice quadrata inversa delle sequenze:

‖]‖�� = 13Þ1 1 11 m m�1 m� m Þ


7.3 Scomposizione di un sistema trifase di grandezze

Come già detto, fra i vari metodi di scomposizione dei sistemi trifase di grandezze in terne componenti, utilizzeremo il

metodo del Fortescue, nel quale le tre componenti sono costituite da due terne simmetriche e da una omopolare. Questo

metodo è basato sul teorema del Fortescue, il quale afferma che: ogni terna di vettori qualsiasi è sempre univocamente

scomponibile in tre terne, una di sequenza omopolare, una di sequenza diretta ed una di sequenza inversa.

Vale a dire che data una terna qualsiasi di vettori Fp��, p��, p��G, esiste sempre uno ed uno solo sistema di tre vettori Ü��, Ü�}, Ü�v , i quali considerati come vettori basi di tre terne rispettivamente di sequenza omopolare, diretta e inversa,

danno luogo a tre terne ‖]�‖ ∙ Ü��, ‖]}‖ ∙ Ü�} e ‖]v‖ ∙ Ü�v, la cui somma riproduce la terna data Fp��, p��, p��G.

Åp��p��p��Å = ½111½Ü�� + ½1m�m ½Ü�} + ½1mm�½Ü�v = ÅÜ��Ü��Ü��Å + ÅÜ�}m�Ü�}mÜ�} Å + ÅÜ�vmÜ�vm�Ü�vÅ = ÅÜ�� + Ü�} + Ü�vÜ�� + m�Ü�} + mÜ�vÜ�� + mÜ�} + m�Ü�vÅ = ½1 1 11 m� m1 m m�½ ∙ ÅÜ��Ü�}Ü�v Å

O anche:

Ãp�Ã = ‖]‖ ∙ ‖Ü�‖

Dove ‖]‖ è, ovviamente, la matrice quadrata delle sequenze.

Il teorema si dimostra immediatamente uguagliando fra loro gli elementi corrispondenti delle due matrici colonna:

ÔÕÖÕ×p��p��p��

===

Ü�� + Ü�} + Ü�vÜ�� + m�Ü�} + mÜ�vÜ�� + mÜ�} + m�Ü�v

Questo è un sistema lineare di tre equazioni che stabilisce un legame biunivoco tra la terna dei vettori p��, p��, p�� e la

terna dei vettori base delle terne componenti Ü��, Ü�}, Ü�v. Di conseguenza il sistema consente, dati Ü��, Ü�} e Ü�v, di

ricavare p��, p��p�� e, viceversa, dati p��, p��p�� di dedurre i primi:

‖Ü�‖ = ‖]‖�� ∙ Ãp�Ã

dove ‖]‖��è la matrice inversa delle sequenze.

Infatti da

Ãp�Ã = ‖]‖ ∙ ‖Ü�‖

Premoltiplicando ambo i membri per ‖]‖�� si ottiene:

‖]‖�� ∙ Ãp�Ã = ‖]‖�� ∙ ‖]‖ ∙ ‖Ü�‖ = ‖Ü�‖

Si ha pertanto:

ÔÕÖÕ×Ü��Ü�}Ü�v

=13= 13= 13

Fp�� + p�� + p��GFp�� + mp�� + m�p��GFp�� + m�p�� + mp��G


Infatti la relazione matriciale:

‖Ü�‖ = ‖]‖�� ∙ Ãp�Ã

significa ovviamente:

¾¾Ü��Ü�}Ü�v ¾

¾ = 13 ½1 1 11 m m�1 m� m ½ ∙ Åp��p��p��Å = ¾¾13 Fp�� + p�� + p��G13 Fp�� + mp�� + m�p��G13 Fp�� + m�p�� + mp��G¾

¾

Le precedenti relazioni stabiliscono dunque una corrispondenza biunivoca fra terne qualsiasi di vettori e sistemi di tre

terne, rispettivamente di sequenza omopolare, diretta e inversa.

Ogni sistema di tre vettori è perciò compiutamente individuato e determinato dalle corrispondenti terne nelle quali esso

è decomponibile, che vengono chiamate le sue componenti simmetriche. E poiché, come già visto, ciascuna

componente simmetrica è individuata dal suo vettore base, la rappresentazione delle terne di vettori Fp��, p��, p��G

mediante le loro componenti simmetriche, viene effettuata in base alle relazioni di corrispondenza:

‖p‖ = ‖]‖ ∙ ‖Ü�‖‖Ü�‖ = ‖]‖�� ∙ Ãp�Ã


‖Ü�‖ = ‖]‖�� ∙ Ãp�Ã


= ��= ��= ��Fp�� + p�� + p��GFp�� + mp�� + m�p��GFp�� + m�p�� + mp��G

‖p‖ = ‖]‖ ∙ ‖Ü�‖

ÔÕÖÕ×p��p��p��

===

Ü�� + Ü�} + Ü�vÜ�� + m�Ü�} + mÜ�vÜ�� + mÜ�} + m�Ü�v


7.3.1 Proprietà delle componenti simmetriche

Se Ü��, Ü�} e Ü�v sono i vettori base delle componenti simmetriche della terna p��, p��p�� e k è un numero reale o

complesso, si ha ovviamente:

‖]‖�� ∙ ÃÄp�Ã = Ä‖]‖�� ∙ Ãp�Ã = Ä‖Ü�‖ = ‖ÄÜ�‖

Cioè i vettori base delle componenti simmetriche della terna ottenuta moltiplicando per k una terna di vettori, sono

uguali ai vettori base delle componenti simmetriche di questa, moltiplicati per k.

Se Fp��, p��, p��G e FÂ��, Â��, Â��G sono due terne qualsiasi e FÜ�� , Ü�} , Ü�vG e Fℬ�� , ℬ�} , ℬ� vG sono i vettori base delle

rispettive componenti simmetriche, si ha:

‖]‖�� ∙ Ãp� + Â� Ã = ‖]‖�� ∙ Ãp�Ã + ‖]‖�� ∙ ÃÂ� Ã = ‖Ü�‖ + ‖ℬ� ‖ = ‖Ü� + ℬ� ‖

Vale a dire che i vettori base delle componenti simmetriche della somma di due terne di vettori, sono uguali alla somma

dei corrispondenti vettori base delle componenti simmetriche delle terne addendi.

Altra proprietà che si utilizza nella pratica del calcolo è quella relativa alle terne coniugate.

Consideriamo una terna di vettori Fp��, p��, p��G ed i vettori base FÜ��, Ü�} , Ü�vG delle loro componenti simmetriche. E’

facile dimostrare che se con Ü��, Ü��} , Ü��v indichiamo i vettori base delle componenti simmetriche della terna dei

vettori Fp_�, p_�, p_�G coniugati dei primi, si ha:

ÔÕÖÕ×Ü��Ü��}Ü��v

===

Ü_�Ü_vÜ_}

Infatti dati i vettori:

p�� = p��â�p�� = p��â�p�� = p��â�

Otteniamo le componenti simmetriche dalla nota relazione:

¾¾Ü��Ü�}Ü�v ¾

¾ = 13 ½1 1 11 m m�1 m� m ½ ∙ Åp��p��p��Å Ü�� = 13 Fp�� + p�� + p��G = 13 Fp��â� + p��â� + p��â�GÜ�} = 13 Fp�� + mp�� + m�p��G = 13 �p��â� + p��â�� + p��â��<�� = 13 Np��â� + p��â�¼��" + p��â�¼<��"OÜ�v = 13 Fp�� + m�p�� + mp��G = 13 �p��â� + p��â��<�� + p��â�� = 13 Np��â� + p��â�¼<��" + p��â�¼��"O


Consideriamo ora i vettori coniugati:

p_� = p��â�p_� = p��â�p_� = p��â�

Ricaviamo le componenti simmetriche, sempre con la medesima relazione:

¾¾Ü��Ü��}Ü��v ¾

¾ = 13 ½1 1 11 m m�1 m� m ½ ∙ Åp_�p_�p_�Å

Si deduce che:

Ü�� = 13 Fp_� + p_� + p_�G = 13 Fp��â� + p��â� + p��â�G

e poiché

Ü�� = 13 Fp�� + p�� + p��G = 13 Fp��â� + p��â� + p��â�G

si ottiene:

Ü�� = Ü_�

Analogamente:

Ü��} = 13 Fp_� + mp_� + m�p_�G = 13 �p��â� + p��â�� + p��â��<��= 13 Np��â� + p��â��" + p��â��<��"O = 13 Np��â� + p��â�¼<��" + p��â�¼��"O

e poiché

Ü�v = 13 Fp�� + m�p�� + mp��G = 13 �p��â� + p��â��<�� + p��â�� = 13 Np��â� + p��â�¼<��" + p��â�¼��"O

si conclude che

Ü��} = Ü_v

Con analogo ragionamento si ha:

Ü��v = 13 Fp_� + m�p_� + mp_�G = 13 �p��â� + p��â��<�� + p��â��= 13 Np��â� + p��â��<��" + p��â��"O = 13 Np��â� + p��â�¼��" + p��â�¼<��"O

poiché Ü�} = 13 Fp�� + mp�� + m�p��G = 13 �p��â� + p��â�� + p��â��<�� = 13 Np��â� + p��â�¼��" + p��â�¼<��"O

si conclude che

Ü��v = Ü_}


Riassumendo, si ha quindi che:

‖]‖�� ∙ Ãp_Ã = ÅÜ_�Ü_vÜ_}Å

Vale a dire, le componenti simmetriche della terna coniugata di una terna di vettori sono uguali ai coniugati delle

componenti simmetriche della terna data, però con uguaglianze incrociate fra le componenti dirette e quelle inverse.

Se la terna dei vettori considerata, costituisce un sistema puro Fp�� + p�� + p�� = 0G, la sua componente simmetrica di

sequenza omopolare è necessariamente uguale a zero:

Ü�� = 13 Fp�� + p�� + p��G = 0

E viceversa; vale a dire, la condizione necessaria e sufficiente affinché una terna di vettori sia pura è che la sua

componente omopolare sia nulla.

In tal caso, chiaramente, il centro stella della terna dei vettori considerati coincide con il baricentro del triangolo che ha

per vertici gli estremi dei vettori stessi (figura 43).

Figura 43

In generale, invece, quando la terna è spuria il vettore base della sua componente omopolare, essendo uguale alla media

aritmetica dei tre vettori (cfr. formula pag. 24), è rappresentato dal segmento che unisce il centro stella della terna con il

baricentro del triangolo che ha per vertici gli estremi dei vettori stessi.

La presenza della componente omopolare è dunque l’elemento indicativo della impurezza della terna stessa, si assume

di conseguenze, come grado di impurezza 9ãÚ; di una terna di vettori il rapporto fra le ampiezze dei vettori base della

componente omopolare e della componente diretta.

äv = Ü�Ü}


Prendiamo ora in esame terne di grandezze sinusoidali rappresentate da stelle di vettori a vertici comuni, le quali hanno

gli estremi dei vettori corrispondenti che coincidono in tre punti 1, 2, e 3 comuni a tutte le terne (figura 44).

Figura 44

Indichiamo con Â��, Â�� e Â�� i vettori concatenati, rappresentati dai lati del triangolo formato dai vertici comuni a tutte le

terne, attribuendo per indice, ad ognuno di essi, il numero corrispondente al vertice opposto.

¬Â�� = p�� − p�� = p�� − p�� = ⋯Â�� = p�� − p�� = p�� − p�� = ⋯Â�� = p�� − p�� = p�� − p�� = ⋯

Indichiamo ora con Ü��, Ü�} , �Ü�v , i vettori base delle componenti simmetriche della terna generica Fp��, p��, p��G

avente i vertici nei punti 1, 2 e 3 e con ℬ�� , ℬ�} , �ℬ� v i vettori base delle componenti simmetriche della terna dei vettori

concatenati Â��, Â�� e Â��:

‖Ü�‖ = ‖]‖�� ∙ Ãp�Ã‖ℬ� ‖ = ‖]‖�� ∙ ÃÂ� Ã

Si rileva facilmente che valgono le seguenti relazioni:

åℬ�� = 0ℬ�} = − √3ℬ� v = √3Ü�v Ü�}

e, quindi, reciprocamente:

ÔÖ×Ü�} = √3ℬ�}Ü�v = − √3ℬ� v


Infatti abbiamo:

ℬ�� = 13 FÂ�� + Â�� + Â��G = 0

ℬ�} = 13 FÂ�� + mÂ�� + m�Â��G = 13 ÈFp�� − p��G + mFp�� − p��G + m�Fp�� − p��GÉ == 13 Èp��9m� − m; + mp��9m� − m; + m�p��9m� − m;É == 13 9m� − m;Èp�� + mp�� + m�p��É = 9m� − m;Ü�} = − √3Ü�}

Infatti

9m� − m; = z−12 − √32 { − z−12 + √32 { = −12 − √32 + 12 − √32 = − √3

e con calcolo analogo:

ℬ� v = √3Ü�v

Osserviamo che poiché tali relazioni sono state ottenute per una stella generica, esse sono valide per tutte le stelle dei

vettori aventi i vertici nei punti 1, 2 e 3. E poiché i vettori concatenati sono comuni a tutte, si conclude che in ogni

sistema di terne di vettori a vertici comuni, tutte quante le terne hanno le stesse componenti simmetriche diretta ed

inversa e, perciò, si differenziano solo per la componente omopolare (segmento che unisce il centro stella della terna

con il baricentro del triangolo che ha per vertici gli estremi dei vettori stessi).

Infatti, per quanto detto, la componente omopolare è determinata dalla posizione del centro stella di ciascuna stella.

Pertanto se di una terna di vettori si conosce solo la relativa terna concatenata (si conoscono cioè i vertici 1, 2 e 3 della

stella dei vettori, ma non il centro stella O), risultano determinate le sue componenti simmetriche diretta ed inversa, ma

rimane indeterminata la componente omopolare, salvo che per la terna baricentrica per la quale, chiaramente, la

componente omopolare è nulla.

Se avessimo un sistema di due vettori p��, p��, è chiaro che questo possa essere sempre considerato come una terna (p��, p��, 0) di cui un vettore ha ampiezza nulla. Pertanto le componenti simmetriche del sistema dei due vettori p�� e p��

hanno per vettori base:


=13= 13= 13

Fp�� + p��GFp�� + mp��GFp�� + m�p��G

Nel caso particolare, di frequente applicazione, in cui i due vettori siano opposti (sistema monofase).

p�� = −p��

Le componenti simmetriche hanno allora per vettori base:


=13= 13= 13

Fp�� + p��G = 13 Fp�� − p��G = 0Fp�� + mp��G = 13 Fp�� − mp��G = p�� 1 − m3 = p��√3 ��'Fp�� + m�p��G = 13 Fp�� − m�p��G = p�� 1 − m�3 = p��√3 ��'


Infatti: 1 − m = 1 + 12 − √32 = 32 − √32 1 − m3 = 13 z32 − √32 { = z12 − √33/2{ = z √32√3 − √3√36√3 { = 1√3z√32 − 12{ = 1√3 ��'

1 − m� = 1 + 12 + √32 = 32 + √32 1 − m�3 = 13z32 + √32 { = z12 + √33/2{ = z √32√3 + √3√36√3 { = 1√3z√32 + 12{ = 1√3��'

Vale a dire, la componente omopolare è nulla ed i vettori base delle componenti diretta ed inversa sono rappresentati da

due vettori di ampiezza uguale a h�√� e ruotati di fase di

�', rispettivamente in ritardo ed in anticipo rispetto ad p��.

E’ evidente che una terna di vettori di senso ciclico diretto è simmetrica quando si identifica con la propria

componente simmetrica di sequenza diretta, cioè quando le sue componenti simmetriche omopolare ed inversa sono

nulle (Ü�� = 0, Ü�v = 0;. Di conseguenza una terna le cui componenti omopolare ed inversa sono diverse da zero è

ovviamente dissimmetrica ed è logico reputare che essa si discosti tanto più dalle condizioni di simmetria, quanto

maggiore è l’ampiezza dei vettori base, Ü��Ü�v, di tali componenti.

Il grado di impurezza äv = ÜæÜç, prima definito, rappresenta l’indice quantitativo della dissimmetria di cui risulta affetta

la terna a causa della presenza di una componente omopolare non nulla. Ed è quindi chiaro che nei sistemi trifase nei

quali è nulla la componente inversa, äv indica la asimmetria globale del sistema. La dissimmetria prodotta invece nella

terna dalla presenza di una componente inversa non nulla, si valuta quantitativamente mediante un indice definito dal

rapporto fra l’ampiezza del vettore base della componente inversa e quella del vettore base della componente diretta,

che si dice grado di squilibrio 9ã�; della terna:

äw = ÜvÜ}

Nei sistemi puri nei quali come visto Ü�� = 0 e äv = 0 (ad esempio sistemi a tre conduttori), äw indica ovviamente

l’asimmetria globale del sistema.

Pertanto, nei sistemi puri:

äw = Üv Ü}è Üv Ü}

0 0 ≠ 0 Terna simmetrica

∞ ≠ 0 0 Terna simmetrica senso ciclico inverso

1 = Ü} = Üv I vettori della terna hanno tutti uguale direzione (ma

non uguale verso) e corrispondono, nel loro

complesso, ad un sistema monofase


7.4 Analisi dei sistemi trifase mediante le componenti simmetriche

Ci riferiamo al caso più generale e precisamente ai sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati a quattro conduttori;

l’analisi di tutti gli altri casi può dedursi, evidentemente, da questo caso più generale.

Indichiamo con ��, �� le tensioni dei conduttori rispetto al neutro; con ��, �� le tensione di linea; con 0��, 0��0�� le correnti di linea ed indichiamo con Ãé� Ã, Ãé�ZÃ ed Ãℐ�Ã le matrici colonna dei vettori base delle rispettiva

componenti simmetriche (figura 45).

Terne delle grandezze

Tensioni di linea Correnti di linea Tensioni di fase o stellate

Ã�ZÃ = Å��Å Ã0�Ã = Å0��0��0��Å Ã� Ã = Å��Å

Componenti simmetriche

Ãé�ZÃ = ‖]‖�� ∙ Ã�ZÃ = Åé�Z�é�Z}é�Zv Å Ãℐ�Ã = ‖]‖�� ∙ Ã0�Ã = Åℐ��ℐ}�ℐë� Å Ãé� Ã = ‖]‖�� ∙ Ã� Ã = Åé��é�}é�v Å

Figura 45

Nel particolare caso di sistemi simmetrici ed equilibrati, è ovvio che le componenti omopolare ed inversa di tutte le

terne di grandezze sono identicamente nulle e che, quindi, ogni terna si identifica con la propria componete simmetrica

di sequenza diretta.

Pertanto nei sistemi simmetrici ed equilibrati si ha:

Ãé�ZÃ = ½ 0��0 ½ Ãℐ�Ã = ½00��0½ Ãé� Ã = ½ 0��0 ½


Nel caso più generale, dei sistemi dissimmetrici e squilibrati a quattro conduttori, salvo la componente omopolare delle

tensioni di linea (terna sempre pura), che è sempre identicamente nulla Fé�Z� = 0G, tutte le terne di grandezze sono

rappresentate dalle componenti simmetriche di tutte e tre le sequenze:

Ãé�ZÃ = Å 0é�Z}é�Zv Å Ãℐ�Ã = Åℐ��ℐ}�ℐë� Å Ãé� Ã = Åé��é�}é�v Å

7.4.1 Relazione fra le componenti simmetriche Per determinare adesso le relazioni fra le componenti simmetriche delle tensioni di un sistema trifase qualsiasi e le

componenti simmetriche delle correnti, riprendiamo in esame il sistema dissimmetrico e squilibrato a quattro conduttori

con accoppiamento induttivo fra le fasi (figura 46)

Figura 46

Nella relazione generale:

‖� ‖ = ‖1�‖ ∙ ‖0�‖ dove ‖1�‖ = Å1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��Å

che lega i valori delle tensioni ai valori delle correnti, sostituiamo alle matrici delle tensioni e delle correnti, le loro

espressioni in funzione delle rispettive componenti simmetriche:

‖S‖ ∙ Ãé� Ã = ‖1�‖ ∙ ‖S‖ ∙ Ãℐ�Ã

Premoltiplichiamo i due membri dell’uguaglianza ottenuta, per la matrice inversa delle sequenze:

‖S‖�� ∙ ‖S‖ ∙ Ãé� Ã = ‖S‖�� ∙ ‖1�‖ ∙ ‖S‖ ∙ Ãℐ�Ã

Ricordando allora che il prodotto di una matrice per la sua inversa è uguale alla matrice unità (il cui prodotto per una

qualunque matrice dà, per risultato, la matrice stessa) e che, però, il prodotto fra matrici non gode della proprietà

commutativa, si ottiene la relazione:

Ãé� Ã = ‖S‖�� ∙ ‖1�‖ ∙ ‖S‖ ∙ Ãℐ�Ã

che rappresenta il legame tra le componenti simmetriche delle tensioni e quelle delle correnti.


7.4.2 Impedenze di sequenza

Effettuiamo ora il prodotto delle tre matrici ‖S‖�� ∙ ‖1�‖ ∙ ‖S‖, otteniamo:

‖S‖�� ∙ ‖1�‖ ∙ ‖S‖ = 13 ½1 1 11 m m�1 m� m ½ ∙ Å1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��1̅�� 1̅�� 1̅��Å ∙ ½1 1 11 m� m1 m m�½

= 13 Å91̅�� + 1̅�� + 1̅��; 91̅�� + 1̅�� + 1̅��; 91̅�� + 1̅�� + 1̅��;91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��;91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��;Å ∙ ½1 1 11 m� m1 m m�½ == 13 ÅL91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + 1̅�� + 1̅��;ML91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + m�1̅�� + 1̅��;ML91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + m1̅�� + 1̅��;M

L91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + m1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��;ML91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 9m�1̅�� + m�1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + m1̅�� + m1̅��;ML91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 9m�1̅�� + 1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + 1̅�� + m1̅��;M L91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + m�1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��;ML91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 9m1̅�� + 1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + 1̅�� + m�1̅��;ML91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 9m1̅�� + m1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + m�1̅�� + m�1̅��;MÅ = Åí̅³³ í̅³} í̅³ví̅}³ í̅}} í̅}ví̅v³ í̅v} í̅vv

Å

Si ottiene quindi una matrice quadrata in cui i nove elementi si dicono impedenze di sequenza del sistema e la matrice:

‖í̅w‖ = Åí̅³³ í̅³} í̅³ví̅}³ í̅}} í̅}ví̅v³ í̅v} í̅vvÅ = ‖S‖�� ∙ ‖1�‖ ∙ ‖S‖

si chiama matrice delle impedenze di sequenza.

Gli elementi della diagonale principale di tale matrice 9í̅³³, í̅}} , í̅vv; sono denominati autoimpedenze di sequenza; gli

altri 9í̅³}, í̅}�, í̅�v , í̅v�, í̅}v , í̅v}; sono detti mutue impedenze di sequenza.

Avremo quindi:

í̅³³ = 13 L91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + 1̅�� + 1̅��;Mí̅}³ = 13 L91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + m�1̅�� + 1̅��;Mí̅v³ = 13 L91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + m1̅�� + 1̅��;Mí̅³} = 13 L91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + m1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��;Mí̅}} = 13 L91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 9m�1̅�� + m�1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + m1̅�� + m1̅��;Mí̅v} = 13 L91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 9m�1̅�� + 1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + 1̅�� + m1̅��;Mí̅�v = 13 L91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + m�1̅�� + 1̅��; + 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��;Mí̅}v = 13 L91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; + 9m1̅�� + 1̅�� + m�1̅��; + 9m1̅�� + 1̅�� + m�1̅��;Mí̅vv = 13 L91̅�� + 1̅�� + 1̅��; + 9m1̅�� + m1̅�� + m1̅��; + 9m�1̅�� + m�1̅�� + m�1̅��;M


Nel caso particolare dei carichi senza accoppiamento mutuo fra le fasi (1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 0;, le

tre autoimpedenze di sequenza risultano uguali tra di loro e le sei mutue impedenze di sequenza risultano uguali a tre a

tre.

Infatti, dalla matrice prima ricavata, si deduce che nel caso particolare dei carichi con fasi indipendenti la matrice delle

impedenze di sequenza risulta:

‖í̅w‖ = 13 Å91̅�� + 1̅�� + 1̅��; 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��;91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; 91̅�� + 1̅�� + 1̅��; 91̅�� + m�1̅�� + m1̅��;91̅�� + m�1̅�� + m1̅��; 91̅�� + m1̅�� + m�1̅��; 91̅�� + 1̅�� + 1̅��; Å

da cui

ÔÕÖÕ×í̅³³ = í̅}} = í̅vv = 13 91̅� + 1̅� + 1̅�;í̅³v = í̅}� = í̅v} = 13 91̅� + m1̅� + m�1̅�;í̅³} = í̅}v = í̅v� = 13 91̅� + m�1̅� + m1̅�;

dove si è posto 1̅�� = 1̅�, 1̅�� = 1̅� e 1̅�� = 1̅�.

Come può rilevarsi osservando le precedenti espressioni, i valori delle auto e mutue impedenze di sequenza

corrispondono, nel caso particolare in esame, al risultato che si otterrebbe applicando le formule di scomposizione in

componenti simmetriche, alla terna di numeri complessi, 1̅� , 1̅� , 1̅� , rappresentativi delle impedenze delle fasi del

carico. Per tale motivo, i tre valori ai quali si riducono le impedenze di sequenza per i carichi con le fasi indipendenti, si

dicono le componenti simmetriche del carico.

ÔÕÖÕ×î̅�∗ = 13 91̅� + 1̅� + 1̅�;î̅}∗ = 13 91̅� + m1̅� + m�1̅�;î̅v∗ = 13 91̅� + m�1̅� + m1̅�;

Nel caso infine dei carichi con fasi indipendenti ed equilibrati 91̅� = 1̅� = 1̅� = 1̅; le precedenti componenti

simmetriche diretta ed inversa sono nulle; quindi le nove impedenze di sequenza si riducono alla sola componente

omopolare

î̅�∗ = 1̅

7.4.3 Legge di Ohm mediante le componenti di sequenza In virtù di quanto detto, la legge di Ohm relativa ad un sistema trifase qualsiasi, può esprimersi, in funzione delle

componenti simmetriche, nella forma:

Ãé� Ã = ‖í̅w‖ ∙ Ãℐ�Ã

Che corrisponde al sistema:

¬é�� = í̅³³ℐ�� + í̅³}ℐ}� + í̅³vℐë�é�} = í̅}³ℐ�� + í̅}}ℐ}� + í̅}vℐë�é�v = í̅v³ℐ�� + í̅v}ℐ}� + í̅vvℐë�


Come è facile rilevare dalle equazioni precedenti, i nove valori delle auto e mutue impedenze, che costituiscono gli

elementi della matrice, possono essere determinati sperimentalmente con semplici misure, inviando successivamente

nel sistema una terna diretta di correnti ℐ�}∗ , poi una terna inversa ℐ�v∗, infine una terna omopolare ℐ��∗ e misurando ogni

volta le tensioni.

Indicando con

a) é��∗ , é�}�∗ e é�v�∗ le componenti simmetriche delle tensioni misurate quando il sistema è percorso dalla sola terna

di correnti di sequenza omopolareℐ��∗; b) é��}∗ , é�}}∗ e é�v}∗ le componenti simmetriche delle tensioni misurate quando il sistema è percorso dalla sola terna

di correnti di sequenza omopolare ℐ�}∗ ;

c) é��v∗ , é�}v∗ e é�vv∗ le componenti simmetriche delle tensioni misurate quando il sistema è percorso dalla sola terna di

correnti di sequenza omopolare ℐ�v∗

dal sistema scritto prima:

é�� = í̅³³ℐ��∗ + í̅³}ℐ�}∗ + í̅³vℐ�v∗é�} = í̅}³ℐ��∗ + í̅}}ℐ�}∗ + í̅}vℐ�v∗é�v = í̅v³ℐ��∗ + í̅v}ℐ�}∗ + í̅vvℐ�v∗

abbiamo che le nove impedenze di sequenza del sistema sono:

a)

é��∗ = í̅³³ℐ��∗é�}�∗ = í̅}³ℐ��∗é�v�∗ = í̅v³ℐ��∗ da cui

í̅³³ = é�ææ∗ℐ�æ∗í̅}³ = é�çæ∗ℐ�æ∗í̅v³ = é�ïæ∗ℐ�æ∗

b)

é��}∗ = í̅³}ℐ�}∗é�}}∗ = í̅}}ℐ�}∗é�v}∗ = í̅}vℐ�}∗ da cui

í̅³} = é�æç∗ℐ�ç∗í̅}} = é�çç∗ℐ�ç∗í̅}v = é�ïç∗ℐ�ç∗

c)

é��v∗ = í̅v³ℐ�v∗é�}v∗ = í̅v}ℐ�v∗é�vv∗ = í̅vvℐ�v∗ da cui

í̅v³ = é�æï∗ℐ�ï∗í̅v} = é�çï∗ℐ�ï∗í̅vv = é�ïï∗ℐ�ï∗

Il sistema già scritto in precedenza:

¬é�� = í̅³³ℐ�� + í̅³}ℐ}� + í̅³vℐë�é�} = í̅}³ℐ�� + í̅}}ℐ}� + í̅}vℐë�é�v = í̅v³ℐ�� + í̅v}ℐ}� + í̅vvℐë�

Evidenzia che, ciascuna componente simmetrica delle tensioni è determinata contemporaneamente da tutte e tre le

componenti simmetriche delle correnti.


Nel caso particolare di carichi con fasi indipendenti, ricordando sia:

ÔÕÖÕ×í̅³³ = í̅}} = í̅vv = 13 91̅� + 1̅� + 1̅�;í̅³v = í̅}� = í̅v} = 13 91̅� + m1̅� + m�1̅�;í̅³} = í̅}v = í̅v� = 13 91̅� + m�1̅� + m1̅�;

sia î̅�∗ = 13 91̅� + 1̅� + 1̅�;î̅}∗ = 13 91̅� + m1̅� + m�1̅�;î̅v∗ = 13 91̅� + m�1̅� + m1̅�;

le precedenti equazioni, espresse in funzione delle componenti simmetriche del carico, divengono:

¬é�� = í̅³³ℐ�� + í̅³}ℐ}� + í̅³vℐë� = î̅�∗ℐ�� + î̅v∗ℐ}� + î̅}∗ℐë�é�} = í̅}³ℐ�� + í̅}}ℐ}� + í̅}vℐë� = î̅}∗ℐ�� + î̅�∗ℐ}� + î̅v∗ℐë�é�v = í̅v³ℐ�� + í̅v}ℐ}� + í̅vvℐë� = î̅v∗ℐ�� + î̅}∗ℐ}� + î̅�∗ℐë�

Infine, per i carichi con fasi indipendenti ed equilibrati, indicando con 1̅ il valore comune delle impedenze delle fasi, la

legge di Ohm assume la forma:

Ãé� Ã = 1̅ ∙ Ãℐ�Ã

Perciò se sono alimentati da una terna dissimmetrica di tensioni, si ha:

¬é�� = 1̅ℐ��é�} = 1̅ℐ}�é�v = 1̅ℐë�

Vale a dire nei carichi equilibrati ogni componente simmetrica della terna delle tensioni è determinata solo dalla

corrispondente componente simmetrica della terna delle correnti.

7.4.4 Principi di Kirchhoff mediante le componenti di sequenza

Anche i principi di Kirchhoff, applicati ai sistemi trifase, possono essere espressi mediante semplici relazioni, in

funzione delle componenti simmetriche delle terne di grandezze.

Riprendiamo le relazioni:

Ì Ã0�9Ê;Ã = 0Ê

Ì FÃ� 9Ê;Ã − Ã1̅9Ê;ÃÃ0�9Ê;ÃG = 0Ê

Dalla prima, ricordando che Ã0�9Ê;Ã = ‖]‖ ∙ Ãℐ�9Ê;Ã, si ha:

Ì ‖]‖ ∙ Ãℐ�9Ê;Ã = 0Ê

da cui

Ì Ãℐ�9Ê;Ã = 0Ê


Dalla seconda ricordando che Ã� 9Ê;Ã = ‖]‖ ∙ Ãé� 9Ê;Ã e che ‖í̅w‖ = ‖]‖�� ∙ Ã1̅9Ê;Ã ∙ ‖]‖ otteniamo:

Ì F‖]‖ ∙ Ãé� 9Ê;Ã − Ã1̅9Ê;Ã ∙ ‖]‖ ∙ Ãℐ�9Ê;ÃG = 0Ê

Ì ‖]‖FÃé� 9Ê;Ã − ‖]‖�� ∙ Ã1̅9Ê;Ã ∙ ‖]‖ ∙ Ãℐ�9Ê;ÃG = 0Ê

Ì ‖]‖FÃé� 9Ê;Ã − ‖í̅w‖ ∙ Ãℐ�9Ê;ÃG = 0Ê

da cui:

Ì FÃé� 9Ê;Ã − ‖í̅w‖ ∙ Ãℐ�9Ê;ÃG = 0Ê

In definitiva abbiamo ottenuto:

Ì Ãℐ�9Ê;Ã = 0Ê

Ì FÃé� 9Ê;Ã − ‖í̅w‖ ∙ Ãℐ�9Ê;ÃG = 0Ê

7.4.5 Circuito equivalente di sequenza

Confrontando ora le relazioni che legano le tensioni alle correnti di un sistema trifase qualsiasi con quelle che

intercorrono fra le rispettive componenti simmetriche

¬�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0�� = 1̅��0�� + 1̅��0�� + 1̅��0�� ¬é�� = í̅³³ℐ�� + í̅³}ℐ}� + í̅³vℐë�é�} = í̅}³ℐ�� + í̅}}ℐ}� + í̅}vℐë�é�v = í̅v³ℐ�� + í̅v}ℐ}� + í̅vvℐë�

Si rileva che hanno una forma perfettamente analoga e le seconde possono essere dedotte dalle prime, sostituendo alle

terne delle tensioni e delle correnti, le terne dei vettori base delle rispettive componenti simmetriche ed alle auto e

mutue impedenze, rispettivamente, le auto e mutue impedenze di sequenza.

Figura 47

Tale analogia formale consente, ai fini del calcolo, di poter sostituire al circuito reale un circuito ideale equivalente,

come quello di figura 47, che si chiama circuito equivalente di sequenza.


7.4.6 Sistemi fisicamente simmetrici

Si dicono sistemi fisicamente simmetrici, i sistemi trifase nei quali:

� le autoimpedenze sono uguali tra loro 1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 1̅;

� le mutue impedenze ascendenti sono uguali tra loro 1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 1̅ð|;

� le mutue impedenze discendenti sono uguali tra loro 1̅�� = 1̅�� = 1̅�� = 1̅ð}

Effettuando il calcolo delle impedenze di sequenza (cfr. pag. 51) si rileva che nei sistemi fisicamente simmetrici tutte le

mutue impedenze di sequenza sono nulle e le autoimpedenze di sequenza sono:

åí̅³³ = 1̅ + 1̅ð| + 1̅ð} = í̅³í̅}} = 1̅ + m�1̅ð| + m1̅ð} = í̅}í̅vv = 1̅ + m1̅ð| + m�1̅ð} = í̅v

Di conseguenza la matrice delle impedenze di sequenza diventa una matrice diagonale:

‖í̅w‖ = Åí̅³ 0 00 í̅} 00 0 í̅vÅ

E le relazioni fra le componenti simmetriche delle tensioni e delle correnti assumono la forma:

¬é�� = í̅³ℐ��é�} = í̅}ℐ}�é�v = í̅vℐë�

Queste relazioni evidenziano che, diversamente da quanto visto per i sistemi dissimmetrici, nei sistemi fisicamente

simmetrici, ciascuna componente simmetrica della terna delle tensioni è determinata solo dalla corrispondente

componente simmetrica della terna delle correnti e viceversa.

E’ chiaro quindi che nel caso di sistemi fisicamente simmetrici, in virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, il

circuito equivalente di sequenza può essere suddiviso in tre circuiti monofasi equivalenti, in ciascuno dei quali ogni

componente simmetrica di tensione agisce sulla corrispondente autoimpedenza di sequenza, generando la omonima

componente simmetrica di corrente (figura 48).

Figura 48

Questi circuiti si dicono circuiti monofase equivalenti di sequenza.


7.4.7 Potenze trifase mediante le componenti di sequenza

Dall’espressione della potenza complessa:

|]̅| = ‖� ‖ ∙ ‖0Í‖ = |�� ∙ 0_� + �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_�|

Ricordando inoltre che:

‖]̅‖�� ∙ Ãp_Ã = ÅÜ_�Ü_vÜ_}Å e che

ÔÕÖÕ×��

===

é�� + é�} + é�vé�� + m�é�} + mé�vé�� + mé�} + m�é�v

ÔÕÖÕ×0_�0_�0_�

===

ℐ_� + ℐ_v + ℐ_}ℐ_� + m�ℐ_v + mℐ_}ℐ_� + mℐ_v + m�ℐ_}

Abbiamo:

]̅ = �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_� + �� ∙ 0_� = = Fé�� + é�} + é�vGFℐ_� + ℐ_v + ℐ_}G + Fé�� + m�é�} + mé�vGFℐ_� + m�ℐ_v + mℐ_}G + Fé�� + mé�} + m�é�vGFℐ_� + mℐ_v + m�ℐ_}G = é��Fℐ_� + ℐ_v + ℐ_} + ℐ_� + m�ℐ_v + mℐ_} + ℐ_� + mℐ_v + m�ℐ_}G + é�}Fℐ_� + ℐ_v + ℐ_} + m�ℐ_� + m<ℐ_v + m�ℐ_} + mℐ_� + m�ℐ_v + m�ℐ_}G + é�vFℐ_� + ℐ_v + ℐ_} + mℐ_� + m�ℐ_v + m�ℐ_} + m�ℐ_� + m�ℐ_v + m<ℐ_}G

e notando che:

m� = m³ = 1 m< = m

otteniamo:

]̅ = é��Fℐ_� + ℐ_v + ℐ_} + ℐ_� + m�ℐ_v + mℐ_} + ℐ_� + mℐ_v + m�ℐ_}G + é�}Fℐ_� + ℐ_v + ℐ_} + m�ℐ_� + mℐ_v + ℐ_} + mℐ_� + m�ℐ_v + ℐ_}G + é�vFℐ_� + ℐ_v + ℐ_} + mℐ_� + ℐ_v + m�ℐ_} + m�ℐ_� + ℐ_v + mℐ_}G = = é��È3ℐ_� + Fℐ_v + mℐ_v + m�ℐ_vG + Fℐ_} + mℐ_} + m�ℐ_}GÉ + é�}ÈFℐ_� + mℐ_� + m�ℐ_�G + Fℐ_v + mℐ_v+m�ℐ_vG + 3ℐ_}É é�vÈFℐ_� + mℐ_�+m�ℐ_�G + 3ℐ_v + Fℐ_} + mℐ_} + m�ℐ_}GÉ

Ricordando inoltre che:

Fp_ + mp_ + m�p_G = 0

Si ottiene

]̅ = 3Fé��ℐ_� + é�}ℐ_} + é�vℐ_vG


Separando poi la parte reale da quella immaginaria di ]̅ ed indicando con :�, :}, :v gli angoli di fase dei vettori base

delle componenti simmetriche delle tensioni rispetto ai vettori base delle corrispondenti componenti simmetriche delle

correnti, si ricavano le espressioni delle potenze attiva e reattiva del sistema:

]̅ = 3Fé��ℐ_� + é�}ℐ_} + é�vℐ_vG = 39é�ℐ��?æ + é}ℐ}��?ç + évℐv��?ï; = = 3L9é�ℐ� cos :� + é}ℐ} cos:} +évℐv cos:v; + 9é�ℐ� sin:� +é}ℐ} sin:} +évℐv sin:v;M = X + Y

Cioè:

X = 39é�ℐ� cos :� +é}ℐ} cos :} +évℐv cos :v; = = 3Fé�� ∙ ℐ�� + é�} ∙ ℐ�} + é�v ∙ ℐ�vG = = 3Ãé� Ã ∙ Ãℐ�Ã

Y = 39é�ℐ� sin :� +é}ℐ} sin :} +évℐv sin :v; = = 3Fé�� ∧ ℐ�� + é�} ∧ ℐ�} + é�v ∧ ℐ�vG = = 3Ãé� Ã ∧ Ãℐ�Ã

Da queste espressioni si deduce che la potenza attiva e quella reattiva sono determinate dalle sole combinazioni fra le

componenti simmetriche omonime delle tensioni e delle correnti.

Nel caso di sistemi a tre conduttori essendo ℐ� = 0, si ha:

X = 3Fé�} ∙ ℐ�} + é�v ∙ ℐ�vG Y = 3Fé�} ∧ ℐ�} + é�v ∧ ℐ�vG

Quindi le potenze attiva e reattiva sono determinate dalle solo componenti diretta ed inversa delle tensioni e delle

correnti, cioè, come già rilevato, dipendono dalle sole tensioni di linea e sono indipendenti dal centro stella prescelto.


7.4.8 Analisi dei guasti con le reti di sequenza

Un guasto è un contatto fra parti in tensione, quindi tra le fasi, tra le fasi ed il neutro o tra le fasi e la terra. Il contatto

può avvenire con impedenza nulla (cortocircuito netto o guasto franco), o con impedenza diversa da zero. E’

generalmente valida l’ipotesi che la terna delle tensioni che alimenta il sistema sia simmetrica. Il guasto impone, nella

sezione in cui avviene, determinati valori di tensione e corrente che comportano, generalmente, terne dissimmetriche e

terne squilibrate; sono quindi presenti sia per le tensioni, sia per le correnti, tutte e tre le sequenze. Ogni tipo di guasto

può essere studiato con uno specifico collegamento tra i tre circuiti monofase equivalenti di sequenza.

Consideriamo un sistema trifase e analizziamo la sezione nella quale si ha il guasto, indichiamo con 0��, 0��, 0�� le

correnti di guasto

Figura 49 – Sezione di Guasto

Ipotizziamo che:

� il neutro sia a terra;

� la terna ��, ��, �� sia simmetrica, cioè �� = , �� = ��, �� = ��

in assenza di guasto si ha: �� + �� + �� = 0 0�� = 0�� = 0�� = 0

Per cui:

ÔÕÖÕ×é��é�}é�v

=13= 13= 13

F�� + �� + ��G = 0F�� + m�� + m��G = 13 � + �� + ��<��<�� = 13 9 + + ; = F�� + m�� + m��G = 13 � + ��<�� + ��<�� = 13 � + �� + ��<�� = 0

(�� = �� = ��)

e, essendo nulle le correnti di guasto:

ÔÕÖÕ×ò��

ℐ�}ℐ�v=13= 13= 13

F0�� + 0�� + 0��G = 0F0�� + m0�� + m�0��G = 0F0�� + m�0�� + m0��G = 0

da cui:

ℐ�� = ℐ�} = ℐ�v = 0


Caso 1a: Cortocircuito franco tra una fase e terra

Il cortocircuito franco tra la fase 1 e la terra è riportato in figura 50a.

Figura 50a

Per il tipo di guasto si ha:

�� = 0 da cui �� = é�� + é�} + é�v = 0

0�� = 0�� = 0

quindi:

ÔÕÖÕ×ò��

ℐ�}ℐ�v=13= 13= 13

F0�� + 0�� + 0��G = 13 F0�� + 0 + 0G = 13 0��F0�� + m0�� + m�0��G = 13 F0�� + m0 + m�0G = 13 0��F0�� + m�0�� + m0��G = 13 F0�� + m�0 + m0G = 13 0��

Cioè:

ℐ�� = ℐ�} = ℐ�v = 13 0��

In conclusione

é�� + é�} + é�v = 0 ℐ�� = ℐ�} = ℐ�v = �� 0��

Queste condizioni sono soddisfatte collegando in serie le tre reti di sequenza (Figura 50b).

Figura 50b


Caso 1b: Guasto a terra con impedenza tra una fase e terra

Il guasto a terra con impedenza tra la fase 1 e la terra è riportato in figura 50c.

Figura 50c


�� = 1̅ó0�� da cui �� = é�� + é�} + é�v = 1̅ó0��

0�� = 0�� = 0

quindi:

ÔÕÖÕ×ò��

ℐ�}ℐ�v=13= 13= 13

F0�� + 0�� + 0��G = 13 F0�� + 0 + 0G = 13 0��F0�� + m0�� + m�0��G = 13 F0�� + m0 + m�0G = 13 0��F0�� + m�0�� + m0��G = 13 F0�� + m�0 + m0G = 13 0��

Cioè:

ℐ�� = ℐ�} = ℐ�v = 13 0��

In conclusione

é�� + é�} + é�v = 1̅ó0�� ℐ�� = ℐ�} = ℐ�v = �� 0��

Queste condizioni sono soddisfatte collegando in serie le tre reti di sequenza (Figura 50d).

Figura 50d


Caso 2: Cortocircuito tra due fasi

Il cortocircuito tra le fasi 1 e 2 è riportato in figura 51a.

Figura 51a


�� = 0 da cui �� = �� = � 0�� = 0 e 0�� = −0��

Quindi:


=13= 13= 13

F�� + �� + ��G = 13 F�� + � + � GF�� + m�� + m��G = 13 F�� + m� + m�� GF�� + m�� + m��G = 13 F�� + m� + m�� G = é�}

e

ÔÕÖÕ×ò��

ℐ�}ℐ�v=13= 13= 13

F0�� + 0�� + 0��G = 13 F0 − 0�� + 0��G = 0F0�� + m0�� + m�0��G = 13 F0 − m0�� + m�0��GF0�� + m�0�� + m0��G = 13 F0 − m�0�� + m0��G = −ℐ�}

In conclusione

é�v = é�} ò�� = 0 ℐ�v = −ℐ�}

Queste condizioni sono soddisfatte collegando in parallelo le due reti di sequenza diretta ed inversa e lasciando aperta

quella di sequenza omopolare (Figura 51b).

Figura 51b


Caso 3: Cortocircuito tra due fasi e terra

Il cortocircuito tra le fasi 1, 2 e terra è riportato in figura 52a.

Figura 52a


�� = �� = 0

0�� = 0 e 0�� = −0��

Quindi:


=13= 13= 13

F�� + �� + ��G = 13 F�� + 0 + 0G = 13��F�� + m�� + m��G = 13 F�� + m0 + m�0G = 13��F�� + m�� + m��G = 13 F�� + m�0 + m0G == 13��

e

ÔÕÖÕ×ò��

ℐ�}ℐ�v=13= 13= 13

F0�� + 0�� + 0��G = 13 F0 − 0�� + 0��G = 0F0�� + m0�� + m�0��G = 13 F0 − m0�� + m�0��GF0�� + m�0�� + m0��G = 13 F0 − m�0�� + m0��G = −ℐ�}

In conclusione

é�� = é�} = é�v = �� ò�� + ò�} + ò�v = 0

Queste condizioni sono soddisfatte collegando in parallelo le tre reti di sequenza diretta, inversa e omopolare (Figura

52b).

Figura 52b


Caso 4: Cortocircuito trifase

Il cortocircuito trifase è riportato in figura 53a.

Figura 53a


�� = �� = �� = 0 da cui �� = �� = �� = � 0�� + 0�� + 0�� = 0

Quindi:


=13= 13= 13

F�� + �� + ��G = 13 F� + � + � G = �F�� + m�� + m��G = 13 F� + m� + m�� G = 13� 91 + m + m�; = 0F�� + m�� + m��G = 13 F� + m�� + m� G = 13� 91 + m� + m; = 0

e

ÔÕÖÕ×ò��

ℐ�}ℐ�v=13= 13= 13

F0�� + 0�� + 0��G = 13 F0�� + 0�� + 0��G = 0F0�� + m0�� + m�0��GF0�� + m�0�� + m0��G

In conclusione

é�} = é�v = 0 ò�� = 0

Queste condizioni sono soddisfatte cortocircuitando le reti di sequenza diretta e di sequenza inversa e lasciando aperta

la rete di sequenza omopolare (Figura 53b).

Figura 53b


Caso 5: Cortocircuito trifase a terra

Il cortocircuito trifase a terra è riportato in figura 54a.

Figura 54a


�� = �� = �� = 0

Quindi:


=13= 13= 13

F�� + �� + ��G = 13 90 + 0 + 0; = 0F�� + m�� + m��G = 13 90 + m0 + m�0; = 0F�� + m�� + m��G = 13 90 + m�0 + m0; = 0

Queste condizioni sono soddisfatte cortocircuitando le tre reti di sequenza diretta, di sequenza inversa e di sequenza

omopolare (Figura 54b).

Figura 54b


Sommario

Sistemi trifase 1

1 Generalità 1

1.1 Sistemi simmetrici di tensioni 2

1.2 Sistemi equilibrati di correnti 4

2 Sistemi simmetrici ed equilibrati 6

2.1 Potenza nei sistemi simmetrici ed equilibrati 10

2.2 Misura della potenza nei sistemi simmetrici ed equilibrati 12

2.3 Campo magnetico rotante di Galileo Ferraris 16

3 Sistemi dissimmetrici e squilibrati 19

3.1 Tensioni e correnti nei sistemi trifase a tre fili 20

3.2 I centri stella nei sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati 22

3.3 Potenza nei sistemi dissimmetrici e squilibrati 26

3.4 Teorema di Aron 27

3.5 Misura della potenza nel sistema dissimmetrico e squilibrato 29

4 Rifasamento nei sistemi trifase 31

5 Convenienza dell’utilizzo dei sistemi trifase 34

6 Accoppiamenti mutui nei sistemi trifase 35

7 Studio generale dei sistemi trifase 45

7.1 Rappresentazione matriciale delle grandezze trifase 45

7.1.1 Somma di terne di vettori: 46

7.1.2 Prodotto di una terna di vettori per un numero: 47

7.1.3 Prodotto di una terna di vettori per una terna di numeri: 47

7.1.4 Prodotto di una terna di vettori per una tripla terna di numeri: 48

7.1.5 Rappresentazione matriciale della legge di Ohm, dei principi di Kirchhoff e della potenza trifase 50

7.2 L’algebra delle sequenze 51

7.3 Scomposizione di un sistema trifase di grandezze 56

7.3.1 Proprietà delle componenti simmetriche 59

7.4 Analisi dei sistemi trifase mediante le componenti simmetriche 65

7.4.1 Relazione fra le componenti simmetriche 66

7.4.2 Impedenze di sequenza 67

7.4.3 Legge di Ohm mediante le componenti di sequenza 68

7.4.4 Principi di Kirchhoff mediante le componenti di sequenza 70

7.4.5 Circuito equivalente di sequenza 71

7.4.6 Sistemi fisicamente simmetrici 72

7.4.7 Potenze trifase mediante le componenti di sequenza 73

7.4.8 Analisi dei guasti con le reti di sequenza 75

Sommario 82

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