Sistemi del Secondo Ordine

8/3/2019 Sistemi del Secondo Ordine

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Ing. Mariagrazia Dotoli Controlli Automatici NO (9 CFU) Sistemi Dinamici del Secondo Ordine

SISTEMI DINAMICI DEL SECONDO ORDINE

I sistemi dinamici del secondo ordine sono sistemi dinamici SISO rappresentati daequazioni differenziali lineari e a coefficienti costanti di ordine n=2:

)t(xbdt

)t(dxb

dt

)t(xdb)t(ya

dt)t(dy

adt

)t(yda 012

2

2012

2

2 ++=++

dove si indicato con x(t) il segnale ingresso e con y(t) luscita del sistema.

ESEMPIO

Vediamo la funzione di trasferimento della rete a ritardo e anticipo.

R1

C1

x(t)=vi(t) +_

i(t) C2y(t)=vo(t)

R2

Applichiamo alla rete elettrica la legge di Kirchoff delle tensioni e quella delle correnti,nonch le propriet caratteristiche delle resistenze e dei condensatori:

t

o 22 0

1v (t) R i(t) i( )d

C= +

dove

Copyright 2009 Mariagrazia Dotoli. Lautore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presentemateriale per i soggetti privati, alla condizione che la fonte originale e lautore siano esplicitamente riconosciuti e citati.

1


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( )i oi o1

1

d v (t) v (t)v (t) v (t)i(t) C

R d

= +

t.

Sostituendo la seconda nella prima si ha:

( ) ti oi o i o i oo 2 2 1 1

1 2 10

d v (t) v (t)v (t) v (t) 1 v ( ) v ( ) v (t) v (t)v (t) R R C d C

R dt C R

= + + +

2C

o anche, derivando primo e secondo membro:

( ) ( )

( )( )

( )

o i o1 2 2 2

2i o i o

1 2 1 2 i o 1 12

d v (t) d v (t) v (t)R C R C

dt dt

d v (t) v (t) d v (t) v (t)R R C C v (t) v (t) R C

dtdt

= +

+ + +

ossia

( ) ( ) ( )t(y)t(x)t(''y)t(''xCCRR)t('y)t('x)CRCR()t('yCR 2121221121 )+++=

e in definitiva

( )

( ) )t(x)t('xCRCR)t(''xCCRR

)t(y)t('yCRCRCR)t(''yCCRR

22112121

2211212121

+++=

=++++.

Trasformando secondo Laplace lequazione differenziale con condizioni iniziali nulle siha in questo caso:

2211221

21

1221

21

212211

2211212211

2

2121

22112

2121

ss)(1

)s1()s1(s)s1()s1(

)s1()s1(sCR)sCR1()sCR1(

)sCR1()sCR1( sCR1s)CRCR(sCCRR

1s)CRCR(sCCRR)s(X)s(Y

)s(G

++++

++=

+++++

=+++

++=

=

++++

+++==

dove si posto


2


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.CR,CR,CR 2112222111 ===

In alternativa, per determinare la funzione di trasferimento della rete a ritardo e anticipo

facciamo uso delle impedenze dei componenti elettrici e della regola del partitore:

( )( )( )( )

22 22

22 2

21 11 1

2 2 1 12 2

1 2 1 2 2 2 1 12 21 1

1R

Y(s) sR C 1sCG(s)

1 1 sCX(s) R s1 1sCsC sC

R R

1 sR C 1 sR CsR C 1sR C sR C 1 sR C 1 sR C

sR C 11 sR C

++

= = =+ + + +

+ +

+ ++= =

+ + ++ ++

2R C 1=

che coincide con la funzione di trasferimento precedentemente determinata.

La funzione di trasferimento del secondo ordine, con m=2 zeri reali negativi in

22

11

1z,

1z

=

=

e n=2 poli p1 e p2 da determinare, che si dimostrano essere anchessi reali negativi.

In particolare, per le note propriet dei polinomi del secondo ordine, si ha:

2121

1pp

=

che, confrontata con le precedenti, conduce al risultato:

2121 zzpp =

ossia


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2

2

1

1z

p

p

z= .

Tale relazione esprime il fatto che i poli sono disposti entrambi esternamente agli zeri o

entrambi internamente agli zeri. Si verifica che la seconda condizione non possibile,dunque detto

1pz

zp

2

2

1

1


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SISTEMA ELEMENTARE DEL SECONDO ORDINE

Vediamo ora il sistema elementare del secondo ordine, che il circuito serie RLC.

R

Cvi(t) +_

vo(t)i(t)

L

Lingresso del sistema la tensione ai capi del generatore vi(t), luscita del quadripolo la tensione ai capi del condensatore vo(t).Determiniamo la funzione di trasferimento del sistema.

Applichiamo la legge di Kirchoff delle tensioni e le propriet caratteristiche dellaresistenza, dellinduttanza e del condensatore. Si ha:

i odi(t)v (t) Ri(t) L v (t)dt= + +

da cui

2o o

i o2dv (t) d v (t)

v (t) RC LC v (t)dt d t

= + +

o anche, se si indica con x(t) lingresso vi(t) e con y(t) luscita vo(t) :

)t(x)t(y)t('yRC)t(''yLC =++ .


Trasformando secondo Laplace lequazione differenziale con condizioni iniziali nulle(vo(0)=0, il condensatore supposto inizialmente scarico) si ha:

5


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LC

1s

L

Rs

LC1

1sRCsLC

1)s(X)s(Y

)s(V)s(V

)s(G22i

o

++=

++=== .

In alternativa, per determinare la funzione di trasferimento della rete elettrica elementaredel secondo ordine facciamo uso delle impedenze dei componenti elettrici e della regoladel partitore:

2

1 1Y(s) sC LCG(s)

1 RX(s) R sL s ssC L LC

= = =+ + + +

1

che coincide con la funzione di trasferimento precedentemente determinata.

Riscriviamo la funzione di trasferimento del sistema del secondo ordine ponendo

=

=

=

=

L

C

2

R

LC

1

L

R2

LC

1n

n

2n

.

Si ha

2nn

2

2n

s2s)s(G

++

=

dove e n sono detti rispettivamente coefficiente di smorzamento e pulsazione naturaledel sistema.

La funzione di trasferimento della rete elettrica elementare del secondo ordine purappresentare anche un sistema differente dal sistema in questione, ma sempre con unmodello del tipo:


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a y''(t) b y'(t) cy(t) dx(t) + + =

cui corrispondono due poli. Indipendentemente dalla natura fisica del sistema modellato,se la sua funzione di trasferimento la stessa della rete elettrica del secondo ordine, esso

presenta evidentemente lo stesso comportamento dinamico del circuito elettricoconsiderato.

Prendiamo ad esempio il sistemameccanico traslatorio in figura, incui una massa M si muovesottoposta ad una forza orizzontalef(t) essendo collegata ad unelemento fisso verticale da unamolla ideale con costante elastica

K e uno smorzatore ideale concoefficiente di attrito viscoso B. Evidentemente, detto x(t) lo spostamento orizzontaledella massa, si ha

x(t)

Kf(t)

M

B

2

2d x(t) dx(t)

f (t) M B Kx(t)dtd t

= + +

da cui, scegliendo f(t) come ingresso e x(t) come uscita, si ottiene

2n

2 222 n n

KX(s) 1 1 1MG(s)

B KF(s) K K Ms Bs K s 2 ss sM M

= = = =

+ + + + + +.

Si ha ancora il sistema del secondo ordine elementare ma premoltiplicato per unguadagno K, il cui unico effetto quelli di modulare i valori delle ordinate delle rispostedel sistema. Inoltre, per K=1 i due sistemi elettrico e meccanico coincidono. Poniamociin questo caso e consideriamo dunque il sistema con funzione di trasferimento

2nn

2

2n

s2s)s(G

++

= .


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Il sistema del secondo ordine, infatti tale lordine dellequazione differenziale che lodescrive: la funzione di trasferimento del sistema ha m=0 zeri e n=2 poli in:

1p 2nn/21 = .

Si presentano quindi diversi casi.

1. Per ||>1 le radici sono reali e distinte.1.A. Per>1 i poli sono reali negativi distinti.1.B. Per


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1/2 dp j=

onc


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vece il coefficiente di smorzamento rappresenta il coseno dellangolo formato dal

d esempio, nel caso di poli a parte reale negativa (figura nella pagina precedente in alto

a cui evidentemente

Inraggio vettore che unisce la radice a parte immaginaria positiva con lorigine insieme alsemiasse reale negativo: per tale motivo si ha >0 quando i poli hanno parte realenegativa e


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agionando analogamente sulla parte immaginaria si ha anche, in tutti e tre i casiRprecedenti:

2d n n1 s = = in

he si semplifica, nel caso particolare di poli immaginari puri, essendoc2

= , nella

relazione banale

d n = .

alla relazione precedente sulla parte immaginaria dei poli si ha ancheD

= sin1 2 , 21arcsin = ,

=

21arctg .

alcoliamo ora la risposta al gradino del sistema nel caso in cui i poli siano complessi e

a trasformata della risposta al gradino vale:

Cconiugati (ossia ||


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2

d

2

n

d22

d

2

n

n

2d

2n

n2

d2

n

n2

d2

n

)s(1

)s(

)s(

s

1

)s()s(

)s(s1

)s(

2ss1

)s(Y

++

++

+=

=++

++

+=

+

+=

da cui

)t(1)tsin(e1

)tcos(e1)t(y dt

2dt nn

= .

i ha ancheS

( ) )t(1)tsin(1

e1)t(1)tsin(cos)tcos(sin

1

e1

)t(1)tsin()tcos(11

e1)t(y

d2

t

dd2

t

dd22

t

nn

n

+

=

+

=

+

=

.

uindi la risposta al gradino costituita da una sinusoide modulata da un esponenziale.

nalizziamo ora la risposta al gradino per il caso particolare 2.A, in cui 0


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t

y(t)

Inviluppi

1.050.95

0td tr tP

ts5%

MP1

La risposta parte da y(0+)=21

sin1

=0.

Luscita del sistema converge al valore finale del gradino, ossia raggiunge il regime,infatti si ha:

1)(y =+

e la risposta al gradino ha un andamento oscillatorio compreso tra i due inviluppi. I puntidi massimo e minimo della risposta si trovano tutti sugli inviluppi, ovvero tali punti siottengono quando il termine sinusoidale vale +1 (punti di minimo) e -1 (punti dimassimo).

Il sistema si dicesottosmorzato.

I parametri pi importanti che descrivono la risposta indiciale di un sistema elementaredel secondo ordine con poli complessi e coniugati a parte reale negativa (ovvero per0


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Tempo di assestamento. Tempo di ritardo. Tempo di salita. Tempo di picco. Massima sovraelongazione percentuale.In particolare si definisce tempo di assestamento al 5% (2% o B%) il tempo occorrente

perch la risposta indiciale rimanga entro il 5% (2% o B%) del valore finale.

Si definisce perci una banda B intorno al valore di regime: il tempo di assestamento al5% (2% o B%) dunque il tempo che la risposta impiega per entrare definitivamentenella banda di assestamento tra 0.95 e 1.05 (0.98 e 1.08 o 1-B100 e 1+B100).

Se ad esempio ts5% il tempo di assestamento al 5%, un limite superiore per il tempo di

assestamento si ottiene approssimando la risposta al gradino con i suoi inviluppi:

05.011

e1

2

t %5sn=

.

Questo calcolo, per quanto approssimato, non dei pi semplici; effettuiamo perci una

ulteriore approssimazione, supponendo che 11 2 . Tale approssimazione valequando il quadrato del coefficiente di smorzamento sufficientemente minore

dellunit, ossia per22 . Abbiamo cos:

n s5%te 0.05 =

e

=

= 3305.0ln

t

nn

%5s .

Si definisce dunque una costante di tempo che linverso della parte reale del polo, ameno del segno:


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n

11

=

= .

Si riottene dunque il risultato valido per i sistemi elementari del primo ordine: dopo tre

costanti di tempo il sistema del secondo ordine ha raggiunto il 95% del valore finale.Analogamente si ha

s2%n n

ln 0.02 4t 4= =

ossia dopo quattro costanti di tempo il sistema ha gi raggiunto il 98% del valore finale.Per una generica banda B% si ha infine:

sB%n

Bln B100t l100

n= =

.

In definitiva le approssimazioni fatte conducono a trattare il sistema come unoequivalente del primo ordine con una costante di tempo pari allinverso della parte reale

dei poli, a meno del segno, nellipotesi che il coefficiente di smorzamento sia2

2 .

Mappa poli - zeri

Asse reale

Asseimmaginario

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-3

-2

-1

0

1

2

3

Come per i sistemi del primo ordine, dalle espressioni trovate per il tempo diassestamento si deduce che il sistema tanto pi lento a raggiungere il regime quanto


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pi elevata la costante di tempo. Tracciando la mappa poli-zeri del sistema si concludeche esso tanto pi lento quanto pi vicini sono i poli allasse immaginario, ossiaquanto pi piccola la parte reale dei poli. Quindi il sistema tanto pi veloce araggiungere il regime quanto pi grande la parte reale dei poli.

Si definisce poi il tempo di ritardo td, pari al tempo necessario affinch la rispostaindiciale raggiunga il 50% del valore finale.

Ancora, il tempo di salita trindica il tempo necessario affinch la risposta indiciale passidal 10% (5%) al 90% (95%) del valore finale. Essendo in questo caso la rispostaoscillatoria, il tempo di salita pu anche definirsi come il tempo necessario a che larisposta al gradino giunga per la prima volta al valore finale, ossia passi dallo 0% al100% del valore finale.

Una importante specifica per i sistemi del secondo ordine la massimasovraelongazione percentuale, data dalla differenza tra il valore massimo delluscita e ilvalore finale, espresso in termini percentuali di questultimo:

)(y)(y)t(y

100M PP ++

=

essendo tP il tempo di picco, o tempo necessario per raggiungere il primo massimo nellarisposta indiciale.

Calcoliamo il tempo di picco come il primo istante di tempo in cui si annulla la derivataprima della risposta:


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( )

n n

n

n

n n

t t

n d d d2 2

t2

n d d2

t

n d d2

t t

n d n d2 2

e ey'(t) sin( t ) cos( t )

1 1

esin( t ) 1 cos( t )

1

ecos sin( t ) sin cos( t )

1

e esin( t ) sin( t) 0

1 1

= + + =

= + + =

= + + =

= + = =

da cui

dsin( t) 0 =

dunque i massimi e i minimi della risposta indiciale si ottengono per

dt k , k =

ossia

d

kt , k=

e per k=1 si ha il primo massimo, ovvero

dPt

= .

Quindi il tempo di picco dipende dalla parte immaginaria dei poli, e quanto pi essi sono

lontani dallasse reale, tanto minore tale tempo, cio tanto pi rapido ilraggiungimento del primo massimo.


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0 0.5 1 1.50

5

10

15

20


25

tP

n

Coefficiente di smorzamento

Tempo di picco

Landamento del tempo di picco rispetto al coefficiente di smorzamento rappresentatoin figura. Landamento temporale dei massimi e minimi rappresentato di seguito, inuna scala dei tempi normalizzata rispetto alla pulsazione naturale.

1

0

y(t)

211 e

+ nt1 e+

n t1 e 2

2

11 e

21

2

2

1

2

3

1

24

1

25

1

26

1

tnt

18


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Noto il tempo di picco, ora possibile calcolare la massima sovraelongazionepercentuale dal valore del primo massimo:

22

d

n

n

12

1

2Pd2P

t

P

e1sin1

e1

)sin(1

e1)tsin(1

e1)t(y

+=

+=

=+

=+

=

da cui

22

11

PP e1001

1e1100

)(y)(y)t(y

100M

=+

=+

+= .

La massima sovraelongazione percentuale dunque funzione unicamente delcoefficiente di smorzamento. Landamento della massima sovraelongazione percentualerispetto al coefficiente di smorzamento rappresentato nella figura successiva.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100


Massima sovraelongazione percentuale

MP

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Valori tipici della massima sovraelongazione percentuale sono i valori dellintervalloMP[5%,40%], i quali si ottengono per valori del coefficiente di smorzamento

[0.28,0.707]. In particolare valori notevoli della massima sovraelongazione

percentuale si ottengono per=0.6 (MP 10%) e per= 707.022 (MP 5%).

Dal grafico si nota che per=0 la risposta indiciale presenta il massimo picco possibile,essendo la massima sovraelongazione percentuale pari al 100%. Infatti gli esponenzialinella risposta al gradino degenerano in un termine costante che non si estingue, e larisposta oscillatoria non smorzata. Il primo picco pari a 2, essendo MP=100%, e si

raggiunge in un tempo tP=n

(ottenuto per=0, ossia d=n).

Allaumentare del coefficiente di smorzamento il picco si riduce, ma il tempo perraggiungerlo tP aumenta, sino a che il picco si annulla per =1: si ha smorzamentocritico e la risposta non pi oscillatoria, ma diviene aperiodica, infatti tP . Indefinitiva, per =1 la risposta tende al valore di regime raggiungendolo in un tempoinfinito.

+

Calcoliamo ora il tempo di salita come il tempo necessario a che la risposta raggiunga

per la prima volta il valore di regime:

1)tsin(1

e1)t(y rd2

rt

rn

=+

=

da cui

0)tsin(1

erd2

rtn

=+

ossia

0)tsin( rd =+ .

Dunque le intercette della risposta indiciale con il gradino si ottengono per


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d t k , k + =

ossia

d

kt , k

=

e per k=1 si ha la prima intercetta, ossia il tempo di salita

drt

= .

Si ha anche

r2

n

arcos( )t

1

=

.

Landamento del tempo di salita con il coefficiente di smorzamento rappresentato infigura.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo di salita


tr

n2


21


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Confrontando le relative espressioni, si verifica che evidentemente il tempo di salita sempre inferiore al tempo di picco.

Come per il tempo di picco, anche il tempo di salita inversamente proporzionale allaparte immaginaria dei poli, quindi il sistema tanto pi veloce nel transitorio quanto pigrande la parte immaginaria dei poli. Si pu dimostrare inoltre che il tempo di salitaaumenta con laumentare del coefficiente di smorzamento.

Abbiamo visto che un risultato analogo vale per il tempo di assestamento, che si riducecon laumentare della parte reale dei poli.

Sappiamo inoltre che lentit del primo picco della risposta indiciale non influenzatadalla pulsazione naturale ma dal solo coefficiente di smorzamento.

Se ad esempio manteniamo fissa la pulsazione naturale e variamo il coefficiente dismorzamento, questo corrisponde a spostare i poli del sistema lungo una circonferenzadi raggio n. In particolare, diminuendo il coefficiente di smorzamento, aumentalangolo e aumenta la massima sovraelongazione percentuale. Il tempo diassestamento aumenta (perch diminuisce la parte reale dei poli) mentre migliorano iltempo di picco e il tempo di salita (poich diminuisce il coefficiente di smorzamento).

Ad esempio, nel caso in figura il sistema avente la coppia di poli p 1-p2 presenta dei

tempi di assestamento, di picco e di salita pi bassi del sistema con i poli p1-p2.


22


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p2

d

n

p1

Im

Re

dp1

p2

Rappresentiamo ora landamento della risposta indiciale al variare del coefficiente dismorzamento (la scala dei tempi normalizzata rispetto alla pulsazione naturale).

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t

y(t)

=0.1

0.2

0.3

0.40.50.60.70.811.21.52

nt


23


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Dalla figura si osserva come diminuendo il coefficiente di smorzamento si abbia unamassima sovraelongazione percentuale maggiore, una diminuzione del tempo di picco edel tempo di salita, nonch un aumento del tempo di assestamento.

Consideriamo ora il caso in cui sia mantenuto fisso il coefficiente di smorzamento evenga variata la pulsazione naturale.

Questo corrisponde a spostare i poli del sistema lungo una rettauscente dallorigine che forma un angolo =arcos con ilsemiasse reale negativo.

p2

n

p1

Im

Re

costanten>0 varia

In tal caso, mentre resta fissa la massima sovraelongazione percentuale, ossia lentit del primo picco, si modificano gli inviluppi della risposta indiciale e quindi il tempo diassestamento. In particolare questultimo si riduce allaumentare della pulsazionenaturale, rendendo il sistema pi pronto.

Variando la sola pulsazione naturale si ottengono gli andamenti della risposta indicialenella figura seguente. In definitiva cambiare la pulsazione naturale del sistema nequivale a cambiare lasse dei tempi: pi n elevato, pi contratto lasse dei tempi.Infatti, aumentando la pulsazione naturale si riducono i tempi di assestamento, di picco edi salita, mentre la massima sovraelongazione percentuale (che dipende unicamente dalcoefficiente di smorzamento) non subisce variazioni.


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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t

y(t)

1.5 1

1.2 0.8

0.7

0.6

n=2

0.5 0.4 0.30.2

0.1

Consideriamo infine il caso in cui la funzione di trasferimento del sistema sia modificatamantenendo fisso il prodotto del coefficiente di smorzamento per la pulsazione naturale,ossia la parte reale dei poli. Ci corrisponde a muovere i poli del sistema lungo una retta

verticale di ascissa n.

p2

n

p1Im

Re>0 varian costante

Gli andamenti temporali che si ottengono per la risposta al gradino sono diagrammati diseguito.


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Evidentemente in questo caso la parte reale dei poli rimane invariata, dunque noncambia il tempo di assestamento (poich gli inviluppi della funzione sono gli stessi).Cambiano invece la rapidit del transitorio e lentit del picco: aumentando ilcoefficiente di smorzamento (e riducendosi la pulsazione naturale) aumentano il tempodi picco e il tempo di salita, mentre si riduce la massima sovraelongazione percentuale.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

t

y(t)

=0.10.2

0.3

0.40.5

0.6

0.71

1.21.5

0.8

2

nt

Possiamo dunque concludere che un sistema elementare del secondo ordine con policomplessi coniugati e coefficiente di smorzamento con 0


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Essendo il coefficiente di smorzamento negativo, lesponenziale divergente e lo sonoanche gli inviluppi.

Il sistema oscillatorio non smorzato con ampiezza crescente; non si pu parlare diregime. Ci era prevedibile, poich i poli sono a parte reale positiva ed hanno modiassociati divergenti.

La risposta al gradino con i suoi inviluppi rappresentata in figura.

Risposta al gradino

Tempo [s]0 0.5 1 1.5

-1500

-1000

-500

0

Inviluppi

Consideriamo ora il caso 2.C, in cui i poli sono immaginari puri (=0, = 2 ). La risposta

del sistema si ottiene dalla precedente sostituendo =0, ossia:

( ) )t(1)tcos(1)t(1)2

tsin(1)t(1)tsin(1

e1)t(y nn

0

d2

tn=

+=

+

=

=

.

Essendo il coefficiente di smorzamento nullo, il termine esponenziale diviene costante e

quindi gli inviluppi sono due rette orizzontali di ordinata rispettivamente 0 e 2.La risposta al gradino del sistema una sinusoide non smorzata, con pulsazione pari alla

pulsazione naturale. Il tempo di picco vale


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ndPt

=

=

mentre il tempo di salita

ndr 2

2t

=

=

e la sovraelongazione percentuale del 100%, infatti si ha:

PP

y(t ) y( ) 2 1M 100 100 100%

y( ) 1

+ = = =

+.

Infine, il tempo di assestamento infinito, poich la risposta non si assesta mai ad unvalore di regime.

Risposta al gradino con smorzamento nullo

Tem o s

Ampiezza

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

Consideriamo ora il caso 3.A, in cui =1, ossia i due poli sono reali coincidenti in -n.

Si ha:

2n

2n

)s()s(G

+

=


28


29/43


quindi la trasformata della risposta al gradino vale:

n

222

n

21112

n

2n

sk

)s(

ks

k

)s(s)s(Y

++

++=

+

=

dove

n

2n

11 2n s 0

2n

21 ns

22 11

k 1(s )

ks

k k 1

=

=

= =

+

= =

= =

dove lultima relazione deriva dal teorema dei residui. Quindi

n2

n

ns

1

)s(s

1)s(Y

+

+

=

da cui

( )t(1eet1)t(y ttn nn = .

Quindi

y(0+)=0.

Si osserva che per t>0

n n nt t t2 2n n n ny'(t) e t e e t e = + + = n t

da cui

0)0('y =+ .


29


30/43


Inoltre per il teorema del valore finale si ha

2n

2s 0 s 0 n

y( ) lim sY(s) lim(s )

+ = = =

+ 1.

La risposta al gradino ottenuta diagrammata nella figura seguente. Si tratta di unarisposta aperiodica, simile a quella ottenuta per il sistema elementare del primo ordine,ma pi lenta nel primo tratto (la curva si stacca dallorigine restando tangente allassereale).

In questo caso si verifica che il tempo di salita, il tempo di picco e il tempo diassestamento sono infiniti, mentre la massima sovraelongazione percentuale nulla. Si

dice che il sistema presenta uno smorzamento critico.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Risposta al gradino con smorzamento critico

Ampiezza

Tempo [s]

Consideriamo ora il caso 3.B, in cui =-1, ossia i due poli sono reali coincidenti in +n.

Si ha:

2n

2n

)s()s(G

=


30


31/43


quindi la trasformata della risposta al gradino vale:

n

222

n

21112

n

2n

s

k

)s(

k

s

k

)s(s)s(Y

+

+=

=

dove

n

2n

11 2n s 0

2n

21 ns

22 11

k 1(s )

ks

k k 1

=

=+

= =

= =

= =

dove lultima relazione deriva dal teorema dei residui. Quindi

n2

nn

1 1Y(s)

s s(s )

= +

da cui si ottiene una risposta divergente (infatti i poli sono posizionati nel semipiano

destro):

)t(1eet1)t(y ttn nn += .


31


32/43


0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

15

20

Risposta al gradino con smorzamento negativo unitario

Ampiezza

Tempo [s]

Si osserva ancora che

y(0 ) 0+ = .

Inoltre per t>0 si ha:n t2

ny'(t) t e=

da cui

0)0('y =+ .

Osserviamo che non vale il teorema del valore finale, essendo violate le sue ipotesi.Infatti si ha:

( )n tnt

2

n 2s 0 s 0 n

y( ) lim 1 ( t 1)e

lim sY(s) lim 1 y( )(s )

+

+ = + = +

= = +

Sia ora il caso 1.A, in cui >1, ossia i due poli sono reali distinti e negativi. Si ha:


32


33/43


)ps)(ps(s2s)s(G

21

2n

2nn

2

2n

=++

=

dove supponiamo |p1|>|p2|, ossia (si veda la mappa dei poli in figura):

1p 2nn1 = ,

1p 2nn2 +=

p2

Im

p1 Re

e risulta

12pp 2n21 = .

La trasformata della risposta al gradino vale:

2

3

1

21

21

2n

psk

psk

sk

)ps)(ps(s)s(Y

+

+=

=

dove


33


34/43


01p212p)pp(p)ps(s

k

01p212p)pp(p)ps(sk

1s2s)ps)(ps(

k

22

n2

n2

2n

122

2n

ps1

2n

3

21

n

2n1

2n

211

2n

ps2

2n

2

0s2

nn2

2n

0s21

2n

1

2

1

=

=

=

=

=++

=

=

=

=

==

da cui

)t(1ekek1)t(y tp3tp

221 ++=

)t(1ep

1e

p1

121)t(y tp

2

tp

12n 21

+

+= .

0 2 4 6 8 10

-1

-0.5

0

0.5

1

Modi con i rispettivi residui e risposta al gradino (>1)

Tempo [s]

y(t)

k2 Modo di p1

Modo di p2

k3

La risposta al gradino con i modi corrispondenti diagrammata nella figura precedente(si osserva che |k2||p2|).

Il sistema si dice sovrasmorzato (>1).


34


35/43


Si osserva che il modo di p1 pi rapido ad estinguersi di quello di p2, essendoquestultimo polo pi vicino allasse immaginario. Inoltre il valore iniziale della risposta

0kk1)0(y 32 =++=

per il teorema dei residui, mentre per t>0 si ha

( )tptp2n 21 ee

12)t('y +

=

da cui

0)0('y =+

ed infine

1)(y =+ .

Dette 1 e 2 le costanti di tempo dei poli p1 e p2, si pu anche riscrivere la risposta algradino come segue:

)t(1ee12

1)t(y 21

t

2

t

12n

+=

.

Si osserva ancora che degli ultimi due modi il pi influente quello relativo al polo pivicino allasse immaginario p2. Questultimo dunque il polo dominante.

Si ha una effettiva dominanza se risulta2

1pp >10, ovvero per 1 0 e . In tal caso

si pu approssimare il sistema con quello del primo ordine avente un solo polo in p 2,poich risulta:

1


35


36/43


( )

2 2

2 2

t t

n2

2 2 2

t t2 2

2 2 2 2

1y(t) 1 e 1(t) 1 e 1(t)

2 1 2 1 1

1 11 e 1(t) 1 e 1(t) 1 e 1(t)

2 1 1 2 1

= =

+ + = = +

2

t

e il tempo di assestamento al 5% vale ad esempio:

2%5s 3t .

Analizziamo infine il caso 1.B, in cui |p2

| come in figura.

p1

Im

p2Re

La risposta al gradino si esprime ancora come segue:

)t(1ep

1e

p1

121)t(y tp

2

tp

12n 21

+

+=


36


37/43


e in questo caso diverge, poich i modi sono relativi a poli posizionati nel semipianodestro del piano complesso. Non ha senso parlare di regime e anche in questo caso nonvale il teorema del valore finale.

Risposta al gradino per poli positivi distinti

Tem o [s

Ampiezza

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

(0 e avente, per semplicit (in quanto trattasi del caso picomune ed anche di maggiore interesse), poli complessi e coniugati (ovvero -1


38/43


sistema presenta uno zero in1

z =

che a fase minima (ossia posto nel semipiano

sinistro) per>0, mentre a fase non minima (ossia posto nel semipiano destro) se


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Abbiamo visto in precedenza nel calcolo del tempo di picco che per t>0 vale la relazione

n t1

n d2

dy (t) esin( t)

dt 1

=

)

che un termine che converge a zero per t . Quindi la risposta al gradino di unsistema del secondo ordine con uno zero si comporta per t + come la risposta algradino di un sistema del secondo ordine privo di zeri. Ci era prevedibile in quanto la

presenza di qualche zero non cambia i modi della funzione di trasferimento, ma solo icoefficienti dei fratti semplici. In altre parole si ha:

+

2 1 1 1y ( ) y ( ) y ( ) y (+ = + + + = +

il cui valore dipende dalla posizione dei poli nel piano di Gauss (ovvero dalla loro partereale).

Inoltre si ha

1dy (0 ) 0dt

+=

da cui

2y (0 ) 0+ =

quindi la risposta al gradino di un sistema del secondo ordine con uno zero inizia adevolvere dal valore nullo come la risposta al gradino di un sistema del secondo ordine

privo di zeri. Osserviamo poi che per t>0 vale:

2

2 1 12dy (t) dy (t) d y (t)

dt dt dt= + .

Si ha:


39


40/43


( )

( ) ( )

n n

n n

2t t1 1 n

n d d2 2

t t2 2n n

d d d2 2

d y (t) d dy (t)e sin( t) e cos( t)

dt dtdt 1

e ecos sin( t) sin cos( t) sin t

1 1

= = +

= + =

d =

da cui

2221 n

n2 2

d y (0 )sin

dt 1

+ = =

e in definitiva

22 22 1 1

n n2dy (0 ) dy (0 ) d y (0 )

0dt dt dt

+ + += + = + =

che un valore positivo se lo zero a fase minima (>0), negativo se lo zero a fasenon minima (


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0 1 2 3 4 5 6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Sistema senza zeriSistema con zero a fase minimaSistema con zero a fase non minima

Analoghe considerazioni sulleffetto di uno zero in un sistema del secondo ordinevalgono nel caso di poli reali.

Pertanto la presenza di uno zero aggiuntivo reale negativo (positivo) in un sistema delsecondo ordine elementare induce nella risposta indiciale una sovraelongazione(sottoelongazione) iniziale che tanto pi accentuata quanto pi grande il valore dellacostante di tempo dello zero (poich in tal caso leffetto di tale zero non evidentementetrascurabile).

Naturalmente nel caso particolare di un sistema con poli reali e uno zero aggiuntivomolto vicino ad uno dei poli, la risposta indiciale si riduce a quella di un sistema del

primo ordine, poich leffetto dello zero semplicemente quello di cancellare uno deidue poli.

EFFETTO DI UN POLO AGGIUNTIVO: SISTEMI DI ORDINE SUPERIORE

AL SECONDO

Analogamente a quanto fatto nel paragrafo precedente, possibile investigare leffettosul comportamento di un sistema elementare del secondo ordine di un polo aggiuntivoreale (negativo, poich un polo positivo destabilizzerebbe il sistema, rendendonedivergente la risposta la gradino).

41


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cos possibile provare che leffetto principale di un polo aggiuntivo consiste nelrallentamento della risposta al gradino, ovvero laumento del tempo di salita, quanto pigrande la costante di tempo di tale polo (poich in tal caso leffetto di tale polo non evidentemente trascurabile).

In definitiva possiamo riassumere alcune interessanti considerazioni sui sistemi di ordinequalsiasi.

1. Coppie di poli/zeri con polo e zero molto vicini fra loro producono un effettotrascurabile sulla risposta. Di fatto tali coppie possono essere cancellate dalla funzionedi trasferimento mantenendo invariato il guadagno in continua; in questo modo si riducelordine del modello senza introdurre errori significativi sulla risposta del sistema.

2. Poli e zeri lontani dallasse immaginario producono un effetto trascurabile sullarisposta. Pertanto, individuati i poli (reali o complessi) pi vicini allasse immaginario(poli dominanti), eventuali altri poli o zeri nettamente pi lontani dallasse immaginario

possono essere anchessi eliminati, senza alterare il guadagno in continua, con buonaapprossimazione delle risposte del sistema. In pratica sono trascurabili poli e zeri concostanti di tempo superiori di almeno un ordine di grandezza rispetto a quella dei polidominanti.

3. Poli vicini allasse immaginario (con costanti di tempo non superiori di un ordine digrandezza rispetto a quella dei poli dominanti) inducono un rallentamento della risposta,ovvero un aumento del tempo di salita, tanto pi accentuato quanto pi essi sono

prossimi allasse immaginario.

4. Zeri vicini allasse immaginario (con costanti di tempo non superiori di un ordine digrandezza rispetto a quella dei poli dominanti) inducono sovraelongazioni e/osottoelongazioni tanto pi pronunciate quanto maggiore la vicinanza allasse. In

particolare uno zero reale positivo induce una sottoelongazione iniziale.

5. Se la funzione di trasferimento del sistema presenta un polo dominante reale molto

pi vicino allasse immaginario di tutti gli altri poli e zeri, reali o complessi, ilcomportamento del sistema molto simile a quello di un sistema del primo ordine conlunico polo coincidente con il polo dominante.


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6. Se la funzione di trasferimento possiede una coppia di poli dominanti complessiconiugati molto pi vicini allasse immaginario rispetto a tutti gli altri poli e zeri, ilcomportamento del sistema molto simile a quello di un sistema del secondo ordinestandard.

Sistemi del Secondo Ordine

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