Silvestrini Mencuccini

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Corrado Mencuccini Vittorio Silves

FISICIM E C C A N I C ATERMODINAMICA

Corso di fisica per le facolt tecnico-scientifichecorredato di esempi ed esercizi

Liguori Editore

trini

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INDICE

I.I.l.1.2.I.3.I.4.I.5.I.5.1.I.5.2.1.5.3.I.6.

II.II.l.II.2.II.3.II.4.II.4.lII.4.2II.4.3II.4.4II.4.5II.5.II.6.II.7.II.8.II.9.

Prefazlone

PARTE PRIMA - VIECCANICA

Il metodo sclentlcoIntroduztoneDen1z1one operatlva delle grandezze slcheS1stem1 d1 unlta d1 m1sura ed equazlom dlmenstonahLa grandezza s1ca tempoRelazronl funz1onal1Rappresentazione tabulateRapplesentazzone graficaRappresentazzone analztzcaAlcune propneta delle funz1on1

Cmematlca del punto matenaleLa pos1z1oneIvetton den1z1on1Alcune den1z1on1 relat1ve alle matnctOperaz1on1 sul vettonPzodotto di un vettore V pet un numero kSomma dt vettorl (0 nsulranre)Dlelenza dl due vettonProdotto scalare fra due vettorzProdotto vettoriale fra due vettonLa legge orana dl un punto materxaleLa veloc1ta medtaI 11m1t1 dl una funzloneLa denvataDenvata del vettor1 Velocxta ed acceleraz1one 1stanta-

II.10. Mot1 p1an1 su tralettona qua1s1as1II 11

III.III.l.III.2.

Dalla accelerazlone alla legge orana

Eserczzz del capztolo IISuggertmentl per la soluzzone deglz eserczzl del capitolo II

I pnnclpl della dmamlca del punto matenalePr1nc1p1o dl relattvltaDenlzlone (stanca) d1 forza

3%

Sistemi di riferimento inerziali ........................ ._Ptincipio di inerzia ...................................... _.Forza e accelerazione ................................... ._Massa inerziale e massa gravitazionale .............. ._Misura dinamica di forze e secondo principio della dina-mica ........................................................ ._Le leggi delle forze ..................................... ._Trasformazioni galileiane e invarianza relativistica delII principio della dinamica ............................. _.Sistemi non inerziali e forze dette apparenti o ttizie

Esercizi del capitolo III _ . . . . _ . _ . . . . _ . . . . . _ . . . . . . _ . . _ . . . . ._Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del capitolo III

Conseguenze del II principio della dinamica

Innitesimi ................................................ _ _Differenziale .............................................. _ _Integrale ................................................... ._Impulso e quantit di moto ........................... _.Momento angolare e momento della forza ......... ._Lavoro di una forza. Teorema delfenergia cinetica ._Calcolo del lavoro e integrale di linea . . . . . . . . . . . . . . . ._Campi di forze conservativi. La funzione potenziale .Funzioni di pi variabili. Derivate parziali e dierenzialiForme dierenziali lineari e dierenziali esatti . . . . . . . ._Calcolo della funzione potenziale . . . . . _ . . . _ . . . . . . . . . . _ . ._Il teorema della conservazione dellenergia meccanicaSistemi a un sol grado di libert ..................... _.Condizioni di equilibrio per un punto materiale ed ener-gia potenziale ............................................. _.La potenza ................................................ _.

Esercizi del capitolo IV . . . _ . _ . . . . _ . . . . . . . . . . _ . . . . . . . _ . _ . . ..Suggerimenti perla soluzione degli esercizi del capitolo IV

Le leggi delle forze

Le leggi della gravitazione universale ................ _.Il teorema di Gauss e il campo gravitazionale generatoda una massa avente simmetria sferica .............. _.Le leggi di Keplero e la loro giustificazione dinamicaLa forza peso ............................................. ._Il potenziale efficace e la forza di richiamo verso l'or-bita di equilibrio ......................................... ._Forze elastiche ........................................... _.Forze viscose di resistenza del mezzo ............... ..Moto di un grave sottoposto a forza di resistenza viscosaMoto oscillatorio smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . _ . . . . . _ . . . . ..

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1 41

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M.-,adr

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5.il

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10 Indice

\_

VIII.

VIII.1

VIII_2VIII_3

VIII.4.VIII.5VIII.6

IX.

IX_l_IX.2.IX.3.IX_4.IX.5 _

IX.6_

IX.7_IX.8.IX.9.

X.

X.l_X.2.X_3.X.4_X_5.X.6.X.7.X_8.X.9_

Problemi durto

Considerazioni metodologiche generali relative allurtofra particelle .............................................. _. 288Urto elastico fra particelle sferiche ................... __ 291Urto elastico di una sfera contro una parete rigida dimassa innita ............................................. __ 295Urti anelastici ____________________________________________ _. 296Sezione d'urto ____________________________________________ _. 300Urti di sistemi materiali ................................ _. 302

Esercizi del capitolo VIII . . _ . _ _ . . . . . . . _ . _ _ _ . _ _ _ . _ _ _ _ . _ _ _ . _ _ 307Suggerimentiper la soluzione degli esercizi del capitolo VIII 308

Meccanica dei uidi

Fluidi ...................................................... _. 308Azioni meccaniche sui uidi ........................... _. 310Statica dei fluidi .......................................... ._ 313Idrostatica nel campo della gravit .................... _. 315Statica dei fluidi in campi di forze di volume conser-vative ...................................................... _. 322Statica dei uidi in sistemi di riferimento non iner-ziali ....................................................... ___ 325Idrodinamica dei uidi perfetti ________________________ ._ 328Liquidi reali in movimento ............................ _. 336Tensione superficiale .................................... ._ 340

Esercizi del capitolo IX . _ _ . . . _ . . _ _ _ _ . _ . _ . . _ . . . _ _ . _ . . _ . . . _ __ 343Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del capitolo IX 345

Onde in mezzi elastici

Forma matematica delle onde elastiche ............. _. 348Onde sinusoidali ......................................... _. 351Onde elastiche longitudinali ........................... __ 357Onde trasversali elastiche ______________________________ __ 361Aspetti energetici della propagazione ondosa ....... _. 364Fenomeni di interferenza .............................. _. 368.Onde stazionarie ......................................... _. 372Il principio di Huygens Fresnel ....................... ._ 374Ef`f`etto Doppler .......................................... __ 376

Esercizi del capitolo X _ . _ . . . _ . _ _ _ . . . . _ _ . _ . _ . . . _ . _ _ . . . . . . _ ._ 379Suggerimenti perla soluzione degli esercizi del capitolo X 380

l

i

ii_;

~-*%%''

r

_ I

_!sioit3'\

J:328a6o

5H3

|..351

7.4

368'72

74376Q..

80

J

l

l

\

I

i

V(

'i

4 6 - 1,01/1 9 +2,91/1 12 + 7,11/1 15 +9,3

1/1 18 +6,ll/1 21 +3,8

1/1 24 +0,8

La forma tabulare quella in cui, spesso, vengono posti i risultati sperimentalivia via che li si ricava dalle misure. Alla semplicit di questa rappresentazione sicontrappone la scarsa efficacia e maneggevolezza. In particolare, la tabella esprimesolo i valori che la variabile dipendente (nel nostro esempio la temperatura)assume in corrispondenza di alcuni particolari valori della variabile indipendente(tempo). E chiaro invece che la temperatura aveva dei precisi valori anche in corri-spondenza di ogni altro valore del tempo, ed solo per colpa di manchevolezze neldispositivo di misura (che registra il valore della temperatura solo a certe ore) e/odella tecnica di rappresentazione della funzione, che noi conosciamo la temperaturasolo a certe ore.

I.5.2. Rappresentazione graca

I valori di una variabile x possono essere rappresentati graficamente su unaretta orientata (asse). A tal fine si prende convenzionalmente sulla retta una origine0, corrispondente allo zero della variabile x; si sceglie un orientamento come posi-tivo (di solito si sceglie come positivo il verso da sinistra verso destra, e noi ci atter-remo a questa convenzione); si sceglie una unir di nliszira per le lunghezze. Unvalore x della variabile x rappresentato dal punto P che si trova alla distanza(misurata nelle unit di misura scelte) pari a x da1lorigine, a destra o a sinistra aseconda che E sia positivo o negativo (corrispondenza biunivoca fra i punti dellaretta e i numeri reali).

_ Lasse rappresentativo della_variabile viene detto asse eoordinaio, e il numero xviene detto la coordinata di P.

Per comodit, sull'asse coordinato vengono spesso indicati con opportunetacche i multipli ed eventuali sottomultipli dell`unit di misura.

Se si scelgono due assi coordinati fra loro ortogonali, con l'origine nel loroPunto di incontro, viene a stabilirsi una corrispondenza biunivoca fra i punti delPlano individuato dai due assi e le coppie ordinate di numeri reali assunti da duevariabili x e y (sistema di assi cartesiani). Sull'asse orizzontale (detto asse delle

Il metodo scientifico 29

Rappresentazione grafica

YO O }~

O R x

Coordinata, ascisse e ordinata

0 1 2 3 4 5I O I O C I )

y=f(x)

yll --~-7g

4

30 Parte prima: I

Yi-P-,;-__1_-_,.P

'* 0(2 O) per ogni x, #= X2 la funzione e monotona crescenteX (non decrescente).

AS6 Ti < 0 (g 0) per ogni xl = x2 la funzione monotona decrescente, (non crescente).

_ Se quando xl si avvicina a x2 (cio quando Ax si avvicina a zero), y (xl) si avvi-Cina indefinitamente a y(x2) (cio Ay si avvicina indenitamente a zero), la fun-Zlone si dice continua. Questo concetto verr ulteriormente precisato nel secondo

4 j;=. t;::f ., Q -1:.-

Il metodo scientifico 33

Funzioni monotone

Incremento

Rapporto incrementale

Funzione; continua E

?

34 Parte prima: I

Y Y 1 X2)

ylxil A

O 3,,g_,_ >< r\> >X

Traiettoria

Ascissa curvilinea

P

O

Rappresentazionegrafica di un vettore

Grandezze scalari e vettoriali

* n . P-.4 pf) f , 1'/

Intensit, direzione e verso

Punto di applicazioneEstremo libero

Vettore libero

- Vettore applicato

segmento AB pu essere definita specificando un solo angolo (come per esempioper una porta che ruota sul suo asse, per cui basta dare l'angolo tra il piano dellaporta ed un piano di riferimento). ln totale servono dunque sei parametri: ilsistema ha sei gradi di libert.

E.II.4. Un punto materiale che si muove su un piano vincolato a percorrere unatraiettoria circolare di raggio R. Quanti sono i suoi gradi di libert?

La posizione del punto pu essere specificata dalle sue coordinate x,y: per como-dit, abbiamo supposto che lòrigine del sistema di riferimento sia posta al centro del-la circonferenza su cui il punto si muove. Poich sappiamo che il punto si muove sullacirconferenza, le coordinate x,y non sono fra di loro indipendenti: infatti, come risultadal disegno, deve essere x2 +y2 = R2. Il punto materiale ha un solo grado di libert.

Facciamo a questo punto due osservazioni: a) con la parola traiettoria abbiamointeso (coerentemente con il linguaggio comune) ilTLWg`de'i_ptmtiche"ilp`Titomaterilvìid"ccupare'durante il suo moto; b) qualunque punto materiale mobi-le' su una traiettoria prestabilita (nel piano o nello spazio) ha un solo grado dilibert. Per denirne la posizione basta ssare sulla traiettoria una origine, un verso euna unit di misura per le lunghezze: la posizione denita dalla distanza con segnomisurata lungo la traiettoria a partire dàll'r'i'gine (

',~ vs ;~,,_7/ 1F g p ,I' Cinematica del punto materiale 39

Fissato un sistema di riferimento, un vettore libero nello spazio ,pu

_

40 Parte prima: Il

2 ,_ ( . _ Le [II.6], insieme a v', = vz, possono essere scritte in forma compatta usando il< le (6 '*' 9 formalismo delle matrici (vedi par. lI.3):

, \\i ` K HH l " I , r ': ` ' ' ,--f r Vmix( '*"` ' i 2 v; cosa sina 0 vx = A .

(";\i pg f , , T. m,

v `

011 012 014 - - 011v031 032 034 . . 3N

A23 = 041 042 044 - - 04N

Cinematica del punto materiale 41

M1 LIM; M4 . . . GM

Per ogni matrice quadrata A si definisce un numero, detto dele/'niinante di A,che noi indicheremo col simbolo det A o||A||. Del determinante di una matrice cilimitiamo qui a dare una definizione ricorrente: definiamo cioe direttamente ildeterminante di una matrice quadrata 2 >< 2 (2 righe e 2 colonne); per una matrice3 >< 3 la denizione di determinante basata sulla denizione del determinante

Detcrminante di una matricequadrata

della matrice 2 >< 2; e cosi via.

Matrice 2 X 2 anA =

021

Matrice 3 >< 3 allA = 021

031

012)022

032 033

||

3012 013 = HA = Z (1)1+k01/HA1/1-ii:022 023 "il +

AlI=

++

Cief.A = G11 G22 _ 012 H2]

f\/\/\

*1)l+l011| A11'* 1)1+2012 A12 +" Um 013| A13| =

011 (022 033 _ 023 032) "012 (012 033 * 023 031) +

+ 013 (021 032 _ 022 031)4Man-ne 4 >< 4 ||A|| = /(21 (- 1)'

42 Parte prima: II

7271

V1

V2

Vettori componenti

Differenza di vettori

71-72-7

V1-> -> "*V1--V2 V2

Prodotto scalare

V26

71

coincidente con Pestremo libero del precedente), e si congiunge il punto diapplicazione del primo con l'estremo libero dellultimo (vedi figura). Siverificano immediatamente le seguenti propriet del risultante R:a) Il risultante indipendente dall'ordine in cui vengono presi gli

addendi (propriet commutativa della somma di vettori).b) Le componenti del risultante sono pari alla somma delle componentiomologhe dei vettori addendi:

Rx : Z VixRy = Z v,-y [II.8]R2 = Z Viz

Nel caso particolare di due soli addendi, il risultante dato dalla diago-nale del parallelogramma costruito coi due vettori (pi precisamente dalladiagonale che congiunge il punto di applicazione di un vettore conlestremo libero dell'altro).

Qualunque hvettoregg pu, essere scritto CO1T1_.,,$.Q.mII1.azdi.-.tre... vettoridiretti secondo gli assi coordinati, secondo Pespressione:

17 = vx +j^vy + lvz [II.9]

I vettori i v , fv,, /vz vengono detti i vettori componenti del vettore 17.

II.4.3. Derenza di due vettori

La differenza D fra due vettori 172 e 172 (D = 17, - 172) definita come lasomma del vettore 172 e del vettore - 172.

La differenza D rappresentata geometricamente (vedi figura) dallaltradiagonale del parallelogramma costruito coi due vettori (dalla diagonale checongiunge Pestremo libero di 172 con lestremo libero di 172). Si verifica facil-mente che il vettore differenza ha come componenti le differenze dellecomponenti omologhe dei vettori 17, e 172:

Dx = Vlx _ V2x

Dy = Vly _ V2'D2 = Vlz _ V22

[II.10]

II.4.4. Prodotto scalare fra due vettori

Dati due vettori 172 e 172 si denisce il loro prodotto scalare 171 - 172 comequel numero (quantit scalare ) dato dal prodotto dei due moduli vl e v2per il coseno dellangolo compreso

A L7,-172 = 172 - 172 = v2 v2 cos 61 [II.1l]

La [II.1l] pu essere interpretata anche come il prodotto del modulo di 172per la proiezione di 172 su 172 (o viceversa, come prodotto del modulo di v2per la proiezione di vl su 172).

$--vf-fr'--/

F? \,\JA211>Q ~1~-11.1/,_l_\/2 1-) V, - 1/2

2 V. 1/, -se-> 1/I fDalla [II.1l] segue che se 172 e 172 sono fra di loro ortogonali, allora

171 - 172 = O; mentre se it', e 172 sono paralleli, allora 17, - v2 = v1 v2. In partico-lare, per un qualunque vettore v' si ha:

v'- 17 = v2 [III.l2]Con semplici considerazioni geometriche (vedi figura), si conclude facil-mente che vale la propriet 2.. < v'2, che il prodottovettoriale non gode della propriet commutativa; infatti:

771 X G2 = _ V2 X gl

Si dimostra invece facilmente, con considerazioni geometriche analoghe aquelle fatte nel caso del prodotto scalare, che il prodotto vettoriale godedella propriet distributiva rispetto alla somma:

({;1+ V2) X V3 = al X V3 + V2 X \-/73

E facile verificare che valgono le seguenti relazioni fra i versori degli assicoordinati

xf=k7; f>

.;. ~.,.1

.. .-.2 _,2; :*=m.?2 ~gi, f- '.

e3~`.;;l' -

.ii.*1;.;:s< 172- 173 = 173 >< 171-172 = 172 >< 173 ~171. Il prodottomisto nullo se due qualunque dei vettori sono fra loro paralleli.

Infatti, se ad esempio v2 parallelo a v1, ci signica che v2x, v2y, v2,sono proporzionali a vlx, vly, v12; e dunque il determinante nullo perchla matrice ha due righe proporzionali.

II.5. La legge oraria di un punto materiale

Consideriamo un punto materiale che si muove nello spazio. Il suomoto ci noto se conosciamo la sua posizione in funzione del tempo: secio conosciamo la legge che ci consente di calcolare, per ogni valore deltempo t, dove il punto si trova. Stabilito un sistema di riferimento carte-siano, la posizione pu essere determinata specicando le coordinate x, y, zdil'punto"pieirii il 'm'oto"ci' noto se conosciamo come variano le coordi-nate in funzione del tempo (equazioni parametriche del moto):

x = X (t)[_{'.'~"i 1513 I y = y(f) [II.l9]

z = :(1)

Un modo pi compatto, rispetto alle [II.l9], per specificare il moto, discrivere '

~iz*-.(21-1 r- foi 111.201

ilIl vettore 7, che ha per componenti le coordinate cartesiane x, y, z, dettovettore posizione: quel vettore che,_,_s_e_ applicato nellorigine, ha comee__Lre.l119,._,_liberQ. la posizione Pmdel punto.

L/e [II.l9] sono uno dei modi in cui la [II.20] pu essere rappresentata(cio per proiezione sugli assi): le [II.l9] costituiscono, in effetti, la cosid-detta _rappresentazione cartesiana della [II.20]. Un altro modo di rappresen-tare la [II.20] pu essere quello di specificare, come funzione del tempo, ilmodulo r di 7 e due angoli per individuame Porientamento (compreso ilverso). In ogni; caso la relazione vettoriale [II.20] equivale a tre relazioni

iiiiii

11

V A 2 - V .... ..-..__..__. %__~___ .__ ...__-___.m___________ _ . __

Cinematica del punto materiale 45scalari. La [II.20], o una qualunque sua rappresentazione in termini di trerelazioni scalari, viene detta la legge oraria del punto materiale considerato.

E da osservare che le equazioni [II.l9] contengono anche Pinformazionegeometrica sulla equazione cartesiana della traiettoria. Basta eliminare il para-metro tempo per avere Pequazione della traiettoria in forma esplicita.

Esempi

E.II.5. Un punto materiale si muove secondo una legge oraria la cui rappresentazionecartesiana e` ,

x=oIy = bt+c (t 2 0) [Il.2l]

2 odove b e c sotto dite parametri costanti. Discutere il moto.

Per ogni valore del tempo t, x e z sono nulli. Il punto si trova dunque sempresull'asse delle y, che rappresenta la sua traiettoria. Poich il punto si muove lungouna retta, il moto si dice rettilineo. Per t = 0, y = c: il parametro c (che ha ledimensioni di una lunghezza, e si misurer dunque, ad esempio, in metri) rappre-senta la coordinata che il punto ha sull'asse y allìstante t = 0. ln effetti, la posi-zione definita da F0 = 7(o) (nel nostro esempio r,,_\. = .:(o) = o; r,,_,. = y(o) = c;r,,2 = z(o) = o) viene detta la posizione iniziale del punto materiale. A partire dat = o, la coordinata y aumenta linearmente col passare del tempo. Consideriamodue istanti diversi. t, e t; > ti. Per r = t, il punto si trova in _v1 = b I, + c; pert = tz esso si trova in yz = b t2 + c. Lo spazio percorso nellìntervallo di tempoAt = t2 - ti dato da Ay = y; -y, = b(t2 - rl) = bAt. Ay aumenta dunque pro-porzionalmente allìntervallo di tempo At trascorso; in questo caso il moto si dice,per denizione, um'/arnie. ll moto del nostro punto materiale dunque rettilineo euni/ormc. ll parametro b = T); ha le dimensioni di una lunghezza divisa untempo (si misurer ad esempio in metri al secondo); esso rappresenta lo spazio per-corso nellùnit di tempo; infatti, moltiplicato per lìntervallo At di tempo, esso for-nisce io spazio Ay percorso in quellìntervallo di tempo. ll parametro b rappresentain questo esempio quella che, per definizione, si chiama velocit del punto.

CoiC)iC>, f./,c ff 1 ' IE.Il.6. Un /nodo spesso conveniente per rappresentare un vettore e que/lo di usarecoordinate cosiddette polari: in coordinate polari il vettore F e speci/icatowdalsuo tt1tWiT/'B7-,`"dlT'tTgl'6*' clie"ies^sol _/rma con l'asse 2 (0 < 9 < ir), edal/ 'ang_/o`>i`c/1e` il piano individuato da F e dall 'asse :forma con il piano z X(0 < (D < 21:). T/"ovvare la re/azionea le coordinate polari e quelle carte-siane del vettore' 7.

Dalla figura, con evidenti considerazioni geometriche si ricava

2 y = rsin 6 sin [II.22]I =rcos9~

2x= rsin8cos

Z

che rappresentano le espressioni delle coordinate cartesiane x, y, z in funzione dellecoordinate polari r, 6,

46 Parte prima: II 'it7,i:-.i~(,;.,,.-_,L,,- 2 f , 1 A

Z

illR7x

V :I 1,a "Q-. V

1 : LU : rwiR

Velocit angolare

,~.__;2

, xl:

f f v 1". -" ..._ K

Poiche' la traiettoria giace sul piano xy, si ha 9 = rc/2; e trattandosi di una cir-conferenza, r = costante = R. Considerato che il punto percorre archi s propor-

t _ . . . .zionali al tempo, si ha JJ = -; = -VT, con v costante (l`origine dei tempi e statascelta in modo che sia t = 0 quando il punto passa per l`asse x, cio quando.s' =

,_.

.aj

l

L

l

. Cinematica del punto materiale 47

ll.6. La velocit media

Nel precedente paragrafo abbiamo introdotto, seppure solo in un sem-plice esempio particolare, il concetto di velocit. La velocit la grandezzasica che indica quanto raptltamegtzgte unvpunto si rlmvliPrb`abilmente,"lav"l`cit`""ta`t'"Lil d``lle'"p"riime grandezze siche che, storicamente, l'uomoha sentito l'esigenza di quantificare. Il confronto fra le velocit proprie deicontendenti determinante nello stabilire 1'esito di una battaglia, o di unapartita di caccia: perci plausibile che il concetto di velocit sia statoapprofondito prima ancora dei concetti di spazio e di tempo. In effetti, ladenizione operativa di velocit potrebbe essere basata sul confrontodiretto con un campione, la cui velocit fosse ritenuta convenzionalmentecome unitaria. Tuttavia chiaro che la velocit legata alle grandezzesiche lunghezza e tempo: ha velocit maggiore quel punto che, a parit ditempo, percorre uno spazio pi lungo; 0 che, ssata una distanza, percorrequella distanza in minor tempo.

In effetti, la denizione operativa di yelMo,_it_v"iene di solito data rife-rendcidiunagsuafritifafinjdirettafcome rapporto fra spazio percorso etenpo'impiegat(___a, percorrere talespazio. Per conseguenza, la velocit puessere fa/cjolgt una volta 11Qta,_Lz; _1_gg_e Agraria: e ci coerente con la consi-derazione che le caratteristiche del moto devono essere tutte note una voltache si conosca la posizione istante per istante.

Consideriamo dunque un punto materiale che si muova con legge ora-ria nota:

7 = 7(t) [II.20]o, nella rappresentazione cartesiana:

x = x(t)y = y (I) [II-19]z = z(~t)

Considerati due istanti diversi t, e tz, si denisce come ve/Oft HIP(/id d/punto ne/l'inte/vallo di tempo [thtz] la quantit

= "(1 ) - "tt ) A'v (f,, 12) = 2t__*-= T; [1125]2 1

La velocit media, essendo il rapporto fra il vettore A7 = F (t2)__- F(t1) e loscalare At = tz - tl, essa stessa un vettore. ll vettore A7= r(t2) - 7(t1)viene detto spostamento del punto materiale relativo allinterva1lo di tempolil, 121. Per una propriet della differenza fra vettori (vedi par. II.4.3), loSpostamento A7 ha come componenti le differenze fra le componenti omo-glre di F(t2),_e,di A? (11). _Per conseguenza, le componenti della velocit`1'eda, ottenute proiettando la [II.25] sugli assi, possono essere scritte come

_ _ Ar X (12) -X (tr)(?oHr~"./ti 1 V, = -A7 = ih-_,- Ar y (fz) "Y (11)= il. = ..____Vy At tz _ Il [II.25.a]

_ _ Ar, _ 202)-zur)2*T,"__;"2 l

J fFara fa

\\ v A1Q "ff 1

Z traiettoria

X

Velocit mediaI

48 Parte prima: II

Legge di Composizione dei Dunque le componenti della velocit media rappresentano anche lelllOVllTlI`ll.l

Z

TI _X I>~z V

velocit con cui si muovono lungo gli assi le proiezioni del punto materialesugli assi stessi (legge di composizione dei movimenti).

Esempi

E.ll.8. Un punto materiale si muove seguendo una legge oraria la cui rappresenta-zione cartesiana e

.\' = 2 ty = 2 t+ l2 = 4

Ca/cola/'e la velocit media relativa a/l'inte/va/lo di tempo compreso tra t, = 0e t_ = 5 (tutti i numeri si intendono espressi nel sistema Sl).

Le componenti della velocit sono:

VX: rtf-.\-

\ I

l Cinematica del punto materiale 49

tz = 4s, sarebbe V, = -2%-+) = A1-6% = lO m/s. La velocit media2- icambia dunque (sia come modulo che come direzione) a seconda di quale sia l`in-

tervallo di tempo su cui viene calcolata.

_.. . . . . : Al'K Questi esempi mostrano come la v_el_o,c_ita__ine,diawv = --AI possa essere

failmllte Clqlataiiar.s1u;_i11_iv9 [email protected]._1..m.I? [fi ' f21

L_z-

50 Parte prima: II

Modulo o valore assoluto di unnumero reale

Limite

_ 2(12"fi) __ _zero (comunque piccolo sia At 0), si ha sempre vy = T-:T - 2, e2 lquindi ragionevole assumere che anche la velocit istantanea sia pari a2 m/s. 2_ _ 2 t -12Vediamo ora la componente vy = Ancora una volta, per

2 l

At = tz - tz = 0, il calcolo non puo essere fatto. Per tz - tz :ze 0 (comunquepiccolo sia At #= 0), si pu scrivere:

2(t2-ti) 2(t+t)(t~tz)- 2 2 i 2V"` = =2l+l .Il t2_Il (2 1)

Quando tz si avvicina a tz, Vy = 2 (tz + tz) si avvicina a 4 tz; e viene dunquenaturale assumere questo come valore della velocit istantanea. Questiragionamenti verranno meglio precisati nei prossimi paragrafi, in modo dasviluppare dei metodi analitici utili al calcolo della velocit istantanea (e dialtre analoghe grandezze fisiche) in tutti i casi di interesse.

II.7. Il limite di una funzione

quel numero che coincide

Si vericano immediatamente, a

T = IbiI-1l=|bl|ab|=|11|-|

||i-iii|

modulo:\ -i i

bl

Ibilbl

:lai blsla|+lbl

Dato un numero reale b, si definisce il suo modulo (indicandolo con\b|) comeconbseb20,edparia -bseb

ii

2

i

i

iii

X

t

iii!

t

iil

L

i

i

iu--i;i{;=j.`;3

FCinematica del punto materzale 51

Esempio

E.II.l1. Consideriamo la funzionef (x) =x reale, escluso x = 2. Mostrare che per x = 2 essa ha come limite I = 4

2_iim X 4 =4X-.2 x-2Dobbiamlo dimtstrare che, per ogni s > 0 prefissato, esiste un numero 0 > 0

t l h ` 'ae c e, se x-2 < o (ma X4: 2), risulti

x2-4x-2 -4( < e

Laf(X)= x2 - 4 . . . . .2 non e definita per x = 2; ma per ogni x 2 possiamo scrivere:X _

X2-4 (X+2)(X-2)m 1 Z VX - 2 (X - 2) + 2

2 _Dunque la condizione );_ 24 _ 4 < c equivale, per x #= 2, alla condizione

lx 2 - 4|

52 Parte prima: II

ffa

XI

Sen X

X

Preso un numero s > O arbitrario, si tratta di mostrare che possibile trovarein corrispondenza un numero positivo o tale che, se|x _ Xizl < o (.\' ze .\'z,), risulti

Ifu- + .Q to - I. - /ll < e-Fissato e, prendiamo la quantita s/2.

Essendo per ipotesi lm_/'(.\-) = lz. possibile determinare un numero oztale che E lo

_ Ei/(X) _ /li < T Se I-\. '_ Xii' < ol X :te X0

Analogamente, essendo per ipotesi lim _i,f (x) = lz. possibile in corrispondenza di_\' - .\z,

8 . .-- determinare un numero oz tale che

ig '_ /Zi < __ Sc i-\- _ -Voi < 02 -\. :IL -Yu

Detto o il pi piccolo fra oz e oz, per|.\' - .\1,l < o varranno entrambe le due sud-dette disuguaglianze; chc sommato membro a membro danno

if(-\') _ /ii +l.k'(-\') _ /zi < 2 SC |.\' _ -\1i < o .\' t\`.

Ma poich il valore assoluto di una somma minore o uguale della somma deivalori assoluti:

l_/*ii- - ti + .. ti- ~ /1| 5 l_/to - /.I +l. to - /zl < t:purch lx - .\'..l < ci .\' ae .\'.relazione che dimostra il tcorcma.

Come abbiamo detto, i tcoremi sui limiti facilitano notevolmente il loro cal-colo: oltre che dallesempio E.ll.l3 che segue, cio verr illustrato anche dagliesempi discussi nei prossimi paragra.

_ _ _ .rin .\' , _ zE.ll.l3. (alculare il lim -:-_ (.\' es/t'e.s:s'o in /'ai//anti).\ ~~ ll _ '

Per _\- che tende a zero, sia sin ,\~ che làrco x tendono a zero: per il calcolo dellimite del loro rapporto non pu dunque essere usato il teorema del quoziente. llcalcolo pu essere fatto ricorrendo al teorema del limite comune.

Cominciamo con lòsservare che, da considerazioni geometriche relative al cer- U. . . . rc _chio trigonometrico, segue che per ogni 0 < x < -i- e

sin .\~ < .\' < tg .\- [ll.27

(si intende che x sia misurato in radianti).

fcrenza ha perimetro maggiore della lunghezza della circonferenza; eogni poligoniiscritto ha perimetro minore della lunghezza della circonferen/a.

Dividendo la [ll.27] per sin _\' (sin .\' > 0). si ha:

Questa relazione discende dal làtto che ogni poligono circoscritto a una circoii

i < -;`- < -I-. [ii.2sSln .\' COS .\' `

z .

l

l

i

'._z_`-.:`.'.:f';.


Se fosse ~-:- < x < 0, il verso della disuguaglianza [ll.27] si inverte; ma la[ll.28] continuaa valere. Perx - O, sia la funzione costante./lx) = l che la funzione

l _ . .g(.\') = R- tendono a l; per il teorema del limite comune deve dunque essere.\'

. Xiim__- = i.\~0 Sl .\'

. _ . SIHXPer il teorema del quoziente, anche la funzione x- tende a l.

Prima di chiudere questo paragrafo dedicato al limite delle funzioni, diamoqualche altra definizione. _ _

Una funzione f(x) si dice__c_anti'iitaHnelpti/ito,,\^U,_se essa _ definita in xo (esiste FuZ10u Contllwacio Ia ?ix))',"se esitil limite lim f(x), e se queste due quantit coincidono: _,__,z_,A_i.,_____..__._---eg: x " '~ '* - t '* '^ ' ' ` ' t ' ` ' J

lim f(X) = f(X0)- .X-.\'0 WA *' . 7 '

Una funzione si dice tontinita nel/ 'intervallo [a, b] se essa continua in tutti i 4punti`dellintervall. Questa definizione precisa quanto avevamo anticipato qualita-tivamente nel par. l.5.

Come abbiamo gi anticipato, la maggior parte delle funzioni che useremosono funzioni continue; pu tuttavia capitare che una funzione tra quelle che use-remo non sia continua in qualche punto (ad esempio la funzione tg x non conti-nua, n definita, per x = ir/2).

Se una funzione f(x) ha in xz, limite uguale a zero (lim f(x) = O), si dice che.\'-.\'0f(x) infinitesima (0 che lttl iti/initesimo) in x = xo.

Si dice che una funzione reale ha limite + oo (pi infinito) in x = xo, se essagode della seguente propriet: prefissato un numero positivo k arbitrario (arbitraria-mente grande), possibile determinare in corrispondenza un numero o tale che,quando] x - xo] < o (x ze xo), risultaf(x) > k. Si dice che una funzione ha limite- oo (meno infinito) in x = xo, se essa gode della seguente propriet; prefissato unnumero positivo k arbitrario, possibile determinare in corrispondenza un numeroo tale che, quando lx- x.,| < o (x ze xo), risulta -f(x) > k.

E facile dimostrare che se una funzione tende a + 00 in X0 (o se essa tende a- 0), il suo reciproco infinitesimo; se lim f(x) = + 0 (o se lim f(x) = - oo ),

x-x0 x-x0

Y., ,

V-._ r X V

u-_--_--

54 Parte prima: II

B

i^vAAx=xz-xl

= f(x) I

lill=f(X

l >

X X

Funzione derivabile

Pf(x)

f(xo)

O xo X

xl

Consideriamo due valori, x e xz, della variabile indipendente appartenenti allinter-vallo di definizione; e sianoy e yz i corrispondenti valori della variabile dipendente: .

)y =f(x); yi =f(Xi

chiamiamo anche Ax e Ay gli incrementi, rispettivamente, della variabile indipen-dente e della variabile dipendente:

AX= Xi-X; Av =yi-y

_ _ . Ay _ _ _ .Calcoliamo ora il rapporto incrementale -Z: che puo essere scritto indifferente-mente nei seguenti modi:

Av = yi -.v = f(Xi) -f(x) = f(x + AX) -f(x)Ax xz - x xz - x Ax

Il significato geometrico del rapporto incrementale appare evidente dallagura: se le unit di misura delle lunghezze sull'asse x e y sono fra di loro uguali, ilrapporto incrementale rappresenta la tangente trigonometrica dellangolo che lacorda AB forma con lasse delle x.

Evidentemente, il rapporto incrementale funzione sia di x che di xz; ovvero,esso funzione sia della variabile x che delfincremento Ax. Per ogni fissato valoredi x, il rapporto incrementale pu essere calcolato per qualunque valore di Ax,escluso che per Ax = O: in corrispondenza di Ax = O il rapporto incrementale non denito.

Tuttavia si pu cercare i_lWl_i_ir1_it_e_ del rapporto increzmentale per AX che tende aZf0;Tale limif,."eii7inito, detto derlvataidella funzione f(x) e viene indi-

., dcato come .f (X) o comee dx

__ W I A , d /_ ti. i ,_lsetzi-if ti _,-= _. Laiioxf- = f (X) E -d _w[ii.2:9]

l@_de_r_i_v_ata/ segue facilmente dal significato geome-trico del rapporto incrementa e: quando Ax - O, il punto B tende ad A, e la cordaAB diviene'_la__tar_igente geometricaall curva nel puntoiA :z se le lunghezze sui dueassi vengono misurate 'nellestesse unit, la derivata rappresenta la tangente trigo-nometrica tg ot dellangolo oi che la tangente geometrica alla curva forma con ladirezione dellasse delle x.

Il significato fisico della derivata ovviamente diverso a seconda del significatofisico delle variabili: se ad esempio la y = f(x) una legge oraria (la y unacoordinata; la x il tempo), allora la derivata f'(x) non altro che una velocitistantanea.

Se una funzione f(x) ammette derivata in X0 (il limite del rapporto incre-mentale esiste finito in xz,), la f(x) si dice derivabile in xz,; se derivabile inogni punto dell'intervallo, si dice derivabile nelfintervallo. Va notato che quandoAx - 0, il denominatore del rapporto incrementale tende a zero; affinch il limiteesista e sia finito, necessario che anche il numeratore tenda a zero: e cio cheAliI_r10f(x + Ax) = f(x). Condizione necessaria affinch una funzione sia derivabile che essa sia continua. La condizione non invece sufficiente. Una funzione il cuigrafico presenti una angolosit (vedi figura) continua in quel punto, ma non derivabile (non definita la tangente geometrica alla curva in quel punto).

r_-*rs

:'=

i I

J*

Cinematica del punto materiale 55Esempi

E.II.l4. Calcolare la derivata della funzione y = 2x3+ 1.

Per definizione si tratta di calcolare, se esiste, il limite:

-ay _ 1. [2(X+ax)2+1]-[2X2+i] _dx ax-0 Ax

= lim, [2X2+4Xax+2(aX)2+i-2X2- 11" 2Ax-o Ax

2= lim0 = (per il teorema della somma)Ax-

2 tax?. 4 A ' .= iimi + iimax-.o Ax awe

= lim (4x)+ lim 2Ax = 4x.Ax-o Ax-.o

Infatti il primo limite, limo (4 x), assume il valore 4 x, che indipendente daai-sAx; il secondo, al tendere di Ax a zero, tende a zero.

E.II.l5. Calcolare la derivata della funzione y = senx.

Si tratta di calcolare

dy = lim sin (x+Ax)-sinxdx ai--o Ax

Usando le formule di prostaferesi (sin ai - sin = 2 cosO%H3 sin 0%):

\ed sin(x+Ax)-sinx=2cos(x+%/sin%;

zdunque:

ax _ Ax . ax,_=z.,z'< 2 cos x +i smi- sin= lim 2 2 = lim cos x +--Ax - 2dx . (Ax-.o Ax M-.o 2 Ax '

_2_

il limite di un prodotto pari al prodotto dei limiti:,,-,11f,,1" IU...

ay _ _ ax . sm AX/2_, dx _ alfllo cos x+ 2 'aly--lo Ax/2

.i -gh] ~ Ax _ _ _ sin Ax/2 _ _ _(x+T) ~ cosx, Ahmo Ax/2 _ l (vedi Esempio E.ll_l3)`

3:.

i ,.,v~~ 7

56 Parte prima: II

Derivata del seno

Derivata della somma

Derivata del prodotto

Derivata del reciproco

Derivata del quoziente

Derivata di funzione di fun-zione

per cui in definitiva

d _-L = cos x (se y = sin x).dx

(Scrivendo che lim cos (x +-L(-) = cosx abbiamo usato il fatto che la funzioneAx-0

cosx continua).

Nei casi semplici, la derivata pu essere calcolata ricorrendo direttamente alladenizione; si trova cos la derivata di funzioni notevoli. Nel caso di funzioni picomplesse, alcuni teoremi consentono di calcolare la derivata rconducendo il cal-colo al caso di funzioni notevoli pi semplici. Valgono infatti i seguenti teoremi:

- Derivata della somma - Se una funzione F(x) somma (algebrica) di fun-zioni derivabili, la sua derivata F' (x) pari alla somma (algebrica) delle derivatedelle funzioni addende:

Se F(x) = f(x) 1 g(x) allora F'(x) = f'(x) 1 g(X)- Derivata del prodotto - Se F(x) = f(x) - g(x) (f(x) e g(x) derivabili), la

derivata F'(x) data dallespressioneF(x) =f(x) - g'(X)+f'(x)-e(X)-

. _ 1 . _- Derivata del reciproco - Se F(x) = -f-( (con _/ (x) =f 0), se 1a_/(x) deri-vabile, si ha

ilFW` _w'_ Derivata del quoziente - Combinando i due precedenti teoremi, si ricava

facilmente che: Se F(x) = -%:())- (g (x) =/E O; f(x) e g(x) derivabili) si ha

_ rmgm-nnem' em '- Derivata di mzione di funzione - Sia una funzione F(x), esprimibile nel

seguente modo: y = F (x) = f(z) con z = z (x) [la y si dice allora una funzione difunzione: essa funzione di z, dove z a sua volta funzione di x]. La derivataF'(x) pu allora essere espressa come prodotto delle derivate f'(z) e z'(x)

Se F(x) =f(z); z = z(x) allora F'(x) =f'(z) - z'(x).

Per meglio chiarire e precisare il significato di questi teoremi, dimostriamonell'esempio E.II.16 il teorema del prodotto; e nei tre esempi successivi mostriamoPapplicazione di tali teoremi al calcolo della derivata di alcune funzioni.

EsempiE.II.16. Dmostriamo il teorema relativo alla derivata del prodotto. z

Sia F(x) = f(x) - g (x), dove f(x) e g (x) sono due funzioni derivabili. Si trattadi calcolare: *

limiti _ 1. r(X+ax-f(x) _ I. f(x+aX).g(x+ax)-_f(x-g(x) |Ax '- im-_--_- - imM-0 AX Ax-.o Ax A--o _

tili~.

-

V

Cinematica del punto materiale 57Sommando e sottraendo al numeratore del rapporto incrementale la quantit

f(x) - g (x + Ax), si ha:

AF = f(X+AX) ~ g(X+/SX) -f(x) -g(X+AX) +f(X) -g(X+AX) *f(x) ~g(X)Ax Ax

= .g(X+AX)+f(X) g(X+A2"g(X)

Eseguendo il limite per Ax - O, utilizzando i teoremi sui limiti (limite dellasomma uguale alla somma dei limiti; limite del prodotto uguale al prodotto suilimiti) e tenuto conto che g(x) essendo derivabile in particolare continua(Al)im0g(x+ Ax) = g(x)) si ottiene:

F(x) = um E- = nm f(X+AX)`f(X) -lim g(

58 Parte prima: II

Derivata dei vettori

Fm

^m+At

A

/\_> fa 5 ~t .;/t 7>f/2`j_'f:*l~j.~ . '

;1,t>.:";'_1f1.~ff~. ~= /1//1J _ /__ ,(,,Li,fV/di: f; J ,/,fl ,Y/j fi.

mie 0 ft

ill./(Qt ef-/, /l l/t:"rr.o/2 ;~*f%f1"'f~`, _:r,j_*,;'_^i' , ` _, , Il ,_/, , __, _.ftfi-3

`::?*"*f**'

traiettoria

Tabella II.1.Derivata di funzioni notevoli

y =f(x) y' =f(x) =%

= k = costante = O

*

iI

lr

l

Cinematica del punto materiale 59Se io _? = F(t) ha per cornponenti x = xgt) y =y(_t_)~e z = z(_t)

alleferse F (t)

V (I)(X(1), y(f), 2(f))E (X'(I), y'(I), 2'(t))-

Questa relazione riconduce immediatamente il calcolo della derivata di unafunzione vettoriale al calcolo della derivata di funzioni scalari.

Esempi

E.II.20. Calco/are la velocit istantanea \7 (t) del punto materiale di cui all'esempi0E.11.10.

La legge oraria, nella rappresentazione cartesiana, e data dalle equazioni:

,__ N< = oE dunque la velocit \7(t)

vi' (I) ={ V.\'(,) =

v', (1) =sVan

=2z2=2t+l

X' (I) =y' (t) =~' (1)

ha per componenti

GN)-l

N

otato che la velocit istantanea (che, essendo v = 0 giace nel piano x ); ,Vnon egcostante n in modulo n in direzion . Il ' `_ , g e suo modulo v (1) vale infattiv = 1/vi + vf + vg = \/ 16 tz + 4 = 2 1/4 tz +1; mentre la tangente 6 dell`angolo

che la velocit forma con l`asse delle x vale tg9 = =.X

l_.II.2l. Trovare la velocit t ts an anea di un punto materiale che si muove di motole/rcolare uniforme (velocit angolare costante pari a m; vedi esempio E.lI.7).

Sia R il raggio del cerchio La le_ _ gge oraria allora data dalle equazioni [ll.24],Hell:|potesi che il sistema di riferimento e l'origine dei tempi siano scelti come

l esempio E.lI.7.

-__* N*< =o

- 0.

della derivt d' _

_;

= Rcoswr= Rsinwt

Componenti della velocit sono allora

= -oRsinmt= oRcos

" GAI) = v;(I) = X(t)-.,,..~ , ay(t) = v;(t) = y(I)

Mt) = v;(t) = 2(t)-Con f(x) abbiamo indicato, come usuale, la derivata della derivata

f'(x) di una funzione f(x); un altro simbolo comunemente usato , dzff' (X) = 7;; -

Riassumendo dunque

Se i(i) E (X0), y(f), 20))allora (1) E (xvi), y'(i), z'(x)) [n.31]

(t) E (v;(t), v;(t), v;(t)) E (x(r), y(t), 2(t))-

EsempiE.lI.22 Calcolare l'accelerazione del punto materiale di cui all'esempio E.ll.20.

CIV-

~ ,Q

4

y(f)= S ha 0.-=y (f)=0Poich K x'(t) = l _ = x"(t) = 4

2'(t) = a, = z"(t) = 0.

lai-Imi, A, -;;f;;,-- i,ja .

SGH (AG/2) A6= v [limm - lim - =. . il l 9 A'i,

4 t

.,:.fi;a1~ - V- 1 - w - vw.r *fit-_

P co are a v e diretta verso il centro.

mi

_ .. _.______ ' i'___ _ r i""`W' M'li . . ""*` 'I i . c. .

, _~ /t_:_ ,I K , ; "W \/\ J 5 :A \ I C/Lj :F U I V [ww f t lei ti 1

: \i ir'-\ - 'T "l `

Cinematica ciel punto materiale 61lE.II.23. Calcolare l'acce1e/'azione del punto materiale di cui a1l'esempio E.11.21. pg, J . _ Wr/,,,W__,/ g, ,.;,;,,,,

X//(I) = _- Cos QI /;K,_`..!_):\j; _ Ka if f h _

y':(t) ~oRsinwt _ _ . . t=z'(t)=0. ,'v, =

-wRsinat axmRcosot, si ha ay0 az

y (I)z'(t)

Poich I x'(t)

-~> . -~~`Notiamo che il modulo della accelerazione a = 1/ az. + ai + ag = w2R co- i_...__. ._ -,L

_, `lt_.t`

i1'(X) = G'(X) -F'(X) =f(x) *f(x) E 0-Poich tutte le funzioni costanti, e solo le funzioni costanti, hanno derivatacostant le uguae a zero, deve essere

66 Parte prima: II

Il primo passo consiste nel determinare la velocit. Nella notazione specifi-cata dalla [II.39], la velocit sar espressa, in rappresentazione cartesiana,dalle relazioni:

vx = aX(t) dt + cb,

vy = S ay (t) dt + cl, [II.40]

vg = SaZ(t) dt + cl,

dove, secondo la denizione di primitiva, il simbolo laX(t) dt indica unafunzione del tempo tale che la sua derivata valga aX(t), ecc., e dove clx, cu.,cl, sono tre costanti che non possono essere determinate a partire dalla[II.39]: qualunque sia infatti il loro valore, derivando le [II.40] si ottengonole [II.39]. Tuttavia queste costanti hanno un preciso significato fisico: aseconda di quale valore venga ad esse assegnato, si ottiene una velocitdescritta da funzioni diverse. Se si vuole determinare con quale velocit simuove il punto, oltre ad assegnare la sua accelerazione (ad esempio tramitele [II.39] necessario fornire il valore delle costanti ch., cu., ch. In terminiequivalenti, si pu specificare la velocit che il punto aveva a un certoistante, ad esempio allistante iniziale t = 0. Poich queste costanti pos-sono essere determinate specificando con quale velocit il punto partito,esse vengono comunemente dette coiiiii':i`oiii i`iii':i'ali'.

Esempi

E.II.25. Un punto materiale si muove con accelerazione specicato dalla seguenteroppreseiitazione cartesiana:

,=o.a_\- = 2t

l av = 3 [lI.4l]G

All'istante t= 5, la velocit \7 del punto vale

Vi-(5) = 30v_,.

.. i;. -_ 3 wag-( 1.

Cinematica del punto materiale 67Ponendo nelle [ll.43] i= 5, e tenendo conto delle [ll.42], abbiamo

I 30 = 25 + t-,,.iz '

-.=sW =i2.

_ (lxlO = 15 + ch. da cui c,,. = - 5(I- (I:

Questi valori delle costanti, introdotti nelle [ll.42], consentono di determinare com-pletamente la velocit

v,.=i2+5{v,.=3t-5

v:= 12.

Una volta determinate le tre funzioni che specificano come la velocit dipendedal tempo, con lo stesso procedimento si pu determinare la legge oraria F = F-(t)purch vengano assegnate le relative condizioni iniziali, cio venga specificato ilvalore che la posizione assume a un certo istante di riferimento.

E.II.26.

_ ,,_....----__ ,_-...__. ..c..,._-..

Uiiepiinto materiale viene lanciato con velocit vo = I2 m/s da iiiia_//ìie.s'traalta 8 in dal livello del suolo. L'oiigolo oi clie / i:ia/i> /orinii con

ltiow camerette.:-elToi7i;o_ntale e ot = 30". Deterniinare la legge oraria. ln particolare calcolarelo distanza y, esti'a a cui il sasso cade, e dopo r/iiriiito te/n/io t,. ila/nioniento del lancio la caduta a terra lia luogo (si trasctiri la i'c.s'istcii:adell 'aria)

Prendiamo un sistema di riferimento con origine a livello del suolo, ass* ~.L _verticale orientato verso làlto, e asse y orientato concordemente alla direzione di

lancio.Uaccelerazione del sasso làccelerazione di ravit : il cui modulo e I : 9 88 . .K m/s (diretta secondo la verticale verso il basso). Nel sistema di riferimento da noi

D'a

. . xscelto, le componenti della accelerazione sono pertanto:

a_\- = 0I _,- = 0 [|l.44]

0: = _ .Q

momento del lancio (i = 0) abbiamo inoltre le seguenti condizioni iniziali per la,velocit ii e la posizione F

E,

7 V.\~(0)lll.45] I vr (0)

Dane [n.441~f;-1

. par(.`1t,', ,

' f.Wet. ,i .3. f

'U:OE

=Vox=0 '= V = V COS (X (OLoy o . vo= vo; = vo sin ot

abbiamo, integrando:

VX = (lxV), = CU.V--=-gf +

300. X(0) : -\'o = 012 m/s) : gl. iii.46]

Auendo r= O e confrontando con le [ll.45], otteniamo:*W ..ze ,

i.

g,-._1=s.

__ i .if -..,i - tm:= -gt+v0sinalT

i.,_,.

v\' = 0 -_, , 1 - i v,'T`t if I Vr = vo COS a_bH!D'TO Qt i iicllli. r_ ./ti I-.i-.. [1147]

su ' -ri \/_

/Noto ~.i,iii.f'r\t;i. /VO ,_&_ \

= 0

O

a30 \\

\ yh= 8m

L 3 O...

N l

68 Parte prima: II

iicfi E_PiPiH~>f`N,0

X ,ki "i]~!;*H'j:'i ' 7,.l Y

_ ti '-.;4'}1,,|"*`~,

,;; .XV ) ,

fifirirf

Uguagliando a zero, ricaviamo il valore y,,, della y corrispondente alla quota mas-sima _ 2vo _y,,, = -g-sinacosa

l Sostituendo nella [Il.49] si ottiene il corrispondente valore di z, z,,,:

l vf, sinz ot +Z = ZM 2 g 0

lirrt 'r/gjUn punto materiale viene lanciato orizzontalmente con velocit V1 da unpunto a quota h. Supponendo che /accelerazione sia quella di gravit(g = 9,8 m/sz), calcolare il tempo t, necessario a raggiungere il suolo e la

p gittata y, corrispondente. Quando valgono le stesse quantit t; ed X2, se la= velocit orizzontale di lancio V2 = 2v1?i

E.lI.28.

Procedendo come nell'esempio E.lI.26 si ha:

Cinematica del punto materzale 69

Gitlata

Z

aX=0-vX=0-x=0 'V1

(ilmoto si svolge sul piano yz). Per la componente y si ha-

M a,,=0~vy=cost=vy(0)=v1

M y(t)=Sv,dt+cost=Sv1dt+cost=v1t+cost.

La determinazione della costante additiva si effettua imponendo la condizione ini-ziale: per t = 0 y(0) = 0 e dunque cost = 0. In definitiva:

'Tini y(f)=V|I.

Per la componente z si ha: /\

'I

_r, _

ig\_ *Q- ...L -ATm

i

70 Parte prima: II

ll tempo impiegato a raggiungere il suolo si ricava imponendo alla quota : d'assumere il valore nullo (arrivo al suolo):

lZ(l1) = ll-Tgli = 0

da cui2/1

r .t fizilifl` /I _ gif-L: ..

/' Qt/ W ._Y " ` if *Cig a)_

,f ci , ._ .I~ ok. \/C,LO,(['l,_: 5;, `,-52;.,/N

La gittata y,, nel caso in cui la velocit orizzontale di lancio sia v1, si ricava imme-diatamente dallèquazione oraria y (t):

)"(') = Vi T

Nel caso in cui la velocit di lancio sia doppia (V2 = 2v,) si ha:

I : 2/12 il s

2 lt 2 hyz = )(72) = Vzfz = V2 2 2Vl = zyi-

Osservazioni:- il moto della proiezione sullasse y un moto uniforme;- il moto della proiezione sullàsse z un moto uniformemente accelerato verso il

basso; '- il moto lungo làsse 2 indipendente dal moto lungo làsse y: il tempo impiegato

a raggiungere il suolo non dipende dalla velocita iniziale (orizzontale): ti = t;.Di fatto lo stesso tempo che impiegherebbe un punto lasciato cadere senzavelocit iniziale lungo làsse z;

- la gittata proporzionale alla velocit iniziale: y = 2y1 perch v2 = 2v1.

"1

lo

l

.

Wf-*..Yeln-

vo.c-.la'ia).

irl0,`"so/Esi?


Uaccelerazione a, la velocit v e la posizione x del punto sono specificatirispettivamente dalle seguenti funzioni:

a=-aov=v,,- QO

t\)--.

[ll.50]X = vo t - _ ao 12

avendo scelto lòrigine dell'asse coordinato nella posizione occupata dal puntoallistante t = 0.

__ -__ VODalla seconda delle [ll.50] si ha che v _ 0 allìstante 1- 0 ; e sostituendonella terza delle [ll.50] si ha che la posizione X- a1lìstante 7 vale

=v_lav=l vf,ao 2 a 2 ao

Ma x rappresenta anche lo spazio I percorso21 vo]=_....___.2 ao [ll.5l]

E.II.30. Un proiettile lanciato dall'o/'igine degli assi cartesiani, con velocitvo = 2 m/s, ad un angolo di 45 con l'asse x. L'accelerazione del proiettile

' /accelerazione di gravit g = 9,8 m/sl, diretta verso il basso. c1uale_g__;g_t_t!_1_todella traiettoria l'acce/erazione normale a,, e massima." Quanto vale il raggio

__ rl/ curvatura In questo *]Ui'?'"""""""""""' "

lerazionewakey massima quando la direzione- La 0n3p0n@[email protected] d,l1`%.,__,__-..... . __ ,/ ella fwfml a.ll.a,traiettQria...naral.e.1acal.,,.tettone_s,,..Qi1..aad,1. Pvvnl Pdicms-

fquota. '

`"Il"raggio di curvatura R nel punto P, pari al raggio del cerchio osculatore in P,si ottiene dalla relazione.,V V2 V2A, a=_,R=__

R a,,ela!-

Nel punto Pla velocit parallela allasse x ed il suo valore v coincide con lax della velocit v, = vo cos 6 (poich ax = O, la componente x della

non cambia nel tempo); nel punto di massima quota la componente y della nulla.

Nel punto P la componente normale delfaccelerazione a,, coincide con g e

2 2 2 2 2R = 2 vo cos 6 = m ff l s = 2 za,, g 2 S 2 9,8 m 9,8 m 03' m'

* P vV0

/->/6 g an Q \

-Q

72 Parte prima: II

Y

//


II.1l. Le lancette di un orologio indicano le ore tre. Dopo quanto tempo le lan-cette si ritrovano per la prima volta ad angolo retto?

(Risposta: -% h)

lI.14. La piattaforma di una giostra si muove di moto circolare non uniforme. Essaparte da ferma ed ha un'accelerazione angolare costante dm/dt = da = 0,2rad/s2. Calcolare:a) qua1 la velocita angolare dopo 2 s?b) qual Paccelerazione, in modulo, di un punto della piattaforma che disti

r = 2 m dallasse di rotazione?(Risposte: 0,4 rad/s; a = (Liri/1 + ibz tz)

Suggerimenti per la soluzione degli esercizi del capitolo ll11.1. Applicare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

Vedere, eventualmente, l'esempio E.ll.4.

11.2. Applicare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.Verificare il risultato con la tab. lI.l.

11.3. Procedere come negli esempi precedenti prendendo come punto di riferi-mento x = x*.

II.4. Si tratta di derivare una funzione di funzione.

II.5. Le derivate di ordine superiore al primo si ottengono derivando successiva-mente le derivate della funzione data:

2%: = f'(x); -l = f(x) = -(f7f'; ecc.11.6. Scrivere le equazioni della velocit e dello spazio percorso in funzione del

tempo per un moto uniformemente accelerato: v = v (t), x = x (t). Ricavarela velocit media dalla conoscenza della x(t).

IL7- I dati del problema (x1,v,, xz, v2) non riguardano in modo esplicito il tempo.Dalle equazioni relative al moto uniformemente accelerato occorre eliminareil parametro tempo.

II.8. Decomporre il moto in una fase di salita (moto uniformemente decelerato)ed una fase di discesa (moto uniformemente accelerato).

_"-9- Calcolare le componenti vx e vy della velocit nel punto di impatto al suoloc, da queste, ricavare langolo richiesto.

lI.10. Le grandezze a, ed a,, possono essere espresse in funzione di g, di cui sonocomponenti sulla tangente e la normale alla traiettoria, e de1langolo 6 fra latangente e la verticale.

11. ll raggio di curvatura di una traiettoria in un punto legato alla velocit ealfaccelerazione normale in quel punto.

74 Pane prima; 11 I11-12- Verificare che, indipendentemente dal valore della velocita iniziale, esiste un

punto in cui freccia e scimmia arrivano simultaneamente.11-13- Si tratta di due moti circolari uniformi, a diverse velocit angolari, riguar-

danti le due lancette (ore e minuti). Tenere conto che le due lancette hannoposizioni angolari iniziali diverse.

11-14- a) Passare, per integrazione, da1laccelerazione angolare alla velocit ango-lare, in analogia al caso di moto rettilineo uniformemente accelerato.

b) L`accelerazione, in un moto circolare non uniforme, ha componenti nor-mali e tangenziale.

Capitolo terzo

I principi della dinamica del puntomateriale

In questo capitolo continueremo ad occuparci del piu semplice dei si-stemi si ci, cioe del punto materiale, ma non ci accontenteremo piu, comein cinematica, di descrivere semplicemente il moto La dinan tr '

iica attainfatti le rela_zioni fra il mom degli oggetti_e le tm c che su di essi agiscono_ L __ - -- - ~- -~ mr f ti 7 -a dinamica e un insieme organico di leggi che descrive in maniera ` ' '

sistematica tutta una categoria di fenomeni e cioe quella che si chiama unateo//a

Come_ggm teoria, essa e basata_s_u,p,il gto_numgro di ,,u,;,/J), cioe diregolei validita generalt_t1$1Qll._dall;Lo_sseQ1azione dei fatti regole che

p n o i partenza per la enunciazione dei teoremi 0 leggi eper la loro formulazione in termini di equazioniMolto spesso nella storia della scienza (e in particolare nella storia

dello sviluppo della dinamica) un principio e stato enunciato in virtu di unaforte capacita di intuizione, ma in base a prove sperimentali relativamentedeboli Tuttavia la teoria consente di fare una grande quantita di previsionie la riprova sperimentale di tali previsioni rappresenta una riprova indiretta, ag 3 '^/liti ' (xlma molto etlicace, dei principi su cui la teoria e basata f _( ,

I principi della d,,,am,a C/asma (principi non tutti fra di lor doin ipen-dI1Il)_s9n_q ilflincipio di Relativitag, il

76 Parte prima: III

ZI

2 i

v.Q'

yl

O x

YX

Sistemi di riferimento in, moto traslatorio relativo-

Tutti i punti solidali col sistemamobile hanno la stessa velocit.

Moto traslatorio rettilineo euniforme

Principio di relativit

l

1

Enunciato di Galileo

-ci

Va notato che dei suddetti princpi, quello di relativit, quello di mer:/aed il terzo principio (che sono princpi di invarianza o di conservazio-ne) restano validi anche nella teoria di Einstein. Solo il secondo priiici/iaha validit limitata alla dinamica classica; esso una dei modi possibili perscrivere una relazione fra forza e movimento che soddisfi gli altri princpi.Ma su questo punto torneremo in maniera pi approfondita pi avanti.

Nella descrizione di fenomeni meccanici ci capiter spesso di utilizzaresistemi di riferimento diversi, e non di rado in moto relativo uno rispetto==111a1tf0- Se d9..i..t._1i__i_a1i_10vQnQin modo h@,,eli_-a.i .9Q9.fdn_ti..!?111tn-gano costante il loro orientamentgo relativo, si dice che si muovono di mototr7`zTr7Zz:t`@j_ii:o:iT_isjetcfallaltro. Se un sistema si muove) rispetto* 'lI'a1tr di"ii/'i't tralatorio, allora se in un certo intervallo di tempo un suo punto (adesempio l'origine) subisce un certo spostamento A7, tutti gli altri punti soli-dali con il sistema subiscono lo stesso spostamento.

Un caso particolare n_g_te__y_o_leWd_i, moto tralsatorio il moto traslatoriorettilineo 3_y;1iZoi1ii[ef:l

lil

"1--_,

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E1OEl

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:koin63^.':.*...:'.n

L

I principi della dinamica del punto materiale 77

vassello sta fermo non debbano succedere cosi, fate muovere la nave conquanta si voglia velocita che (pur che il moto sia uniforme e non uttuantein qua e in la) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti linominati effetti ne da alcuno di quelli potrete comprendere se la navecammina oppur sta ferma

E bene rilevare che affinche valga il principio di relativita non e neces-sario che la misura delle varie grandezze siche fomisca lo stesso risultatonei due laboratori ad esempio luomo che salta a pie giunti sulla naveha una certa velocita rispetto alla nave stessa, e una velocita diversa ~rispetto a un osservatore che lo guardi da terra ff

Limportante e che le relazioni fra le grandezze isri/re (cioe le leggi ifisiclie) siano le stesse neiQ:e'it"i1di'feriiento In altri termini cio `che e richieto"`d'al principio di relativita e che se uno dei membri di unaequazione i cambia passando da un sistema di riferimento all altro,anche laltro membro cambi coerentemente in modo da preservare la rela-zione di ug'glianza_k

C10 S1 eiifind dicendo che 1 due membri dr una equazione /is/ia devono ~ \essere covarrantr passando da un lsisfeiiia tl1_ riferimcnto a un altro ilie si ov irianz/Ddelle leggi fisichemuova /ispe7io'"a7pTirn'5dT moto taslator/o rettilineo ed uniforme ll caso che ~~ciascuno dei de membri resti immutato passando da un sistema all altro (ilcaso cioe che i due membri siano tnvarianti anziche covarianti) e un caso /nvarinaparticolare che si presenta solo raramente, per grandezze fisiche molto par G

-/3 5/J F O /-I/ir t'/'/i

1?*\f:>IIl2 Definizione (statica) di forza _-)`Come abbiamo accennato, la dinamica si occupa delle relazioni fra Dctmzione statica di forza

movimento e forze Necessario punto di partenza e dunque la denizioneoperativa di forza

Si esercita una forza su un oggetto quando lo si spinge o lo si tira(azione che puo essere esercitata anche a distanza, cioe senza contattosico diretto ad esempio la terra attrae gli oggetti circostanti non a con-tatto con essa, dando origine alla cosiddetta forza peso) Se si esercitauna forza su un oggetto libero di muoversi - oggetto inizialmente fermo -esso si mette in movimento, se loggetto non e libero di muoversi (se essoe vincolato) esso stesso (oppure il vincolo che gli impedisce il libero movi-mento) si deforma

La denizione operativa di forza potrebbe dunque basarsi sia sullamlU meTc` aproduce (denizione

Ir' ;i_.'Ii_?`"~` FG /1' ll/4l~l`. f' ti 1/1' `

r

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i (- 4 -.

-tm-t' gi ._2' J`w'

I-'i`:i,=,:`.-.IT-3** .~^;.1'.,i

I princpi della dinamica del punto materiale

peso) in equilibrio solo perch non veramente libera. Se tale fosse, unosservatore terrestre la vedrebbe compiere una complicata traiettoria, acausa del moto che la Terra, e con essa l'osservatore, compie nel sistemasolare. Un effetto di questo tipo stato messo in evidenza da un famosoesperimento di Foucault (

80 Parte prima: III

ll principio di relativit iinpli-ca il principio di inerzia

FQ./..>f ai ~^:. I I/\

l^l:f';i-`,lH-'JTI' l?'r_ig=_.g,..:;~. ti 'r ~N. = `~ .= 5,!!! ~ ~ -'~-" ., '-lr*-I ;

. _ \i 'l/bn" fl i7',~1.

signica che loggetto libero b inizialmente in quiete comincerebbe a muo-versi spontaneamente. In_ questo caso non varrebbe il principio di relativit:non vi sarebbe simmetria fra il sistema inerziale A e il sistema B in mototraslatorio rettilineo e uniforme rispetto ad esso, poich in B (contraria-mente a quanto accade in A) un punto libero inizialmente in quiete nonrimarrebbe in quiete.

Dunque il principio di relativit implica il principio di inerzia. Non vero T?f

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~ at-;**~,* t/ ,~:1

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Massa gravitazionaleIl

5'~f\^/etl(-ti ~';.fw> il-2~ allt -H . , ist ` Uh7- ..

Bilancia

Massa e peso

...._ D .. "S Tx rp T5 TT -4F;

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L1 \/?T"j'\fp~.* '.*1` `_f"i1-`-lil!-

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Qualunque sia la natura delle forze applicate, e qualunque sia lo statodi moto delloggetto, la costante m,- - cio la massa inerziale di quellog-getto - la stessa: unfforza dimparifinteingsitg pf1"'f'rffprifcEl?a-@'i"e""'(e`1TfHff`


dove _i} il peso dell oggetto, m e la massa (gravitazionale) e g7 un vettore(la cui direzione si chiama per denizione i,;,a/9) che in ogni localita e vemweindipendente dal particolare corpo che si considera ( lo stesso per tutti 1wrpi) ma dipende, seppure debolmente dalla posizione e in particolaredalla quota Sulla dipendenza di g dalla posizione tomeremo in maniera piuapDf0f0nd1t nel V CP1t010 Il VU0f ; dtI0 accelerazione di g/av/fa Accelerazione di gravita

Partendo da un famoso esperimento consistente nel vericare che duediversi oggetti pesanti, lasciati cadere dalla torre di Pisa, cadevano contem-poraneamente, Galileo fu portato alla conclusione che ogni qualvolta sia Itrascurabile la resistenza dell aria (cioe quando la forza agente sugli oggetti ' V ~ f V 1sia s0l0l[III 2]) tutti gli oggetti cadono (a parita di condizioni iniziali) conla stessa legge oraria, il che vale solo se' f'ftiìino Ta`fsaàccelerazione 'qà.`nf5'sino sollecitati__d1l__1_@;~__Q]~fQlrza_pe'o" M" " G``"Uao'_la [III 1], con la forza f data dalla [III si ha

_.m , a d cui - _- III 3

Anche a sia _indipendente_dall9gge_tto, deve essere i = costante uni- Massa memdle g massa gm-versale (uguale per tutti i corpi) Dunque massa giaiira_z_i_ona/e _e_massainerziale sono a d1 /olo ,oi Qgolj/Qiig/1___ie_S_S_eAp0ys_QIi0 essere assegnate, inpartreolai-e,'le'tes"se__Hinie_nsic_ni siche e allora ha le stesse dimensioni dia-ed-e'g''sfificato il_i_iome di accelerazione di g/avira con cui viene designato g e, ,i ..-

"Questa conclusione, cui Galileo arrivo in base a un semplice esperi- : _ -mento non molto preciso, e oggi verificata sperimentalmente con grandis- i /H* isima precisione (l0', cioe una parte su cento miliardi) Grazie a questaproporzionalita, la [III 1] puo essere scritta

\f=kma III4 _/ L W" ^ iIn un sistema 1ner_1a1e, 1/ prodorlof/a /accelerazione subita da un co/po pun-

1I70l'm e Iavmssa g721rz1o1ilc7'1 izel colpo, e proporzionale al //su/rantegflfe forze age/111 sul co/po

Scegliendo come unita di misura per le forze quella forza che imprime al-la massa unitaria (1 kg nel SI) l accelerazione unitaria (1 m/sz nel sistema SI) -questa unita di misura delle forze si chiama Newton, N - la [III 4] si scrive

_ /kw (JW III5) ( q/ al

Che 6 lusuale espressione del secondo principio della dinamica Secondo principio della dina-

L_ f.. L"_.i r~`

7 Misura dinamica di forze e secondo pncipio della dinamica

ee..M ,. Nei paragra precedenti abbiamo tratto, dall analisi dei risultati dixsperimenti condotti in sistemi di riferimento inerziali, le seguenti conclu

oni,, t. H) Ogni qualvolta sia possibile misurare staticamente le forze agenti su

hr: E111 determinato oggetto, si trova che tali forze possono essere poste in rela210116 con le caratteristiche e la congurazione dell oggetto in rapporto ad

arl sistemi sici presenti nell'ambiente (legge delle forze)

84 Parte prima: III

Definizione dinamica di forza

b) se Poggetto, puntiforme, libero di muoversi, si verifica sperimen-talmente che esso si muove con una accelerazione proporzionale al risul-tante delle forze su di esso agenti. Il coefficiente di proporzionalit fra lac-celerazione e la forza (massa inerziale del corpo) risulta essere proporzio-nale alla massa gravitazionale del corpo stesso, quale si misura con la bilan-cia. Cosicch, mediante opportuna scelta dellunit di misura delle forze,massa inerziale e massa gravitazionale possono essere fra di loro identifi-cate.

Non sempre facile, o addirittura possibile, misurare staticamente laforza agente su un oggetto: si pensi ad esempio alla forza che il Sole eser-cita su un pianeta, o alla forza frenante che laria esercita su unautomobilein movimento. In questo caso, la verifica della validit della [III.5] non puessere effettuata adottando la procedura seguita nei precedenti paragra:procedura che aveva come necessario punto di partenza una misura staticadelle forze agenti sulloggetto.

Tuttavia anche in questi casi possibile vericare la validit della[III.5]. Ci pu essere fatto seguendo il seguente procedimento.

Consideriamo un punto materiale di massa nota, che si muove in unacerta`iporzi'of`dp''ziosottoposto ad azioni da parte di altri sistemi fisicipresenti nellambiente circostante. Mediante misure cinematiche, determi-niamo l'accelerazione che il punto ha in ogni posizione.

Consideriamo come misura del risultante delle forze che agiscono sulpunto in ogni posizione, il prodotto della massa del punto per la sua accele-razione. La relazione [III.5] diviene allora un modo per misurare la forza:essa costituisce la definizione operativa della forza (definizione dinamicadi forza). La verifica del II principio della dnainica consiste allora nella veri-fica che la7'T'"Z'isi'"}}}'isu/'ata risulta legaia alle caratteristiche del puntoniafriale eli dei sistemi che con esso interagiscono medianle quelle stesse leggidelle forze che si ricavano da misure sraticlie, quando 'misure di questo tiposono _possibili.

E questo, in particolare, l'approccio logico seguito da Newton per stabi-lire la validit della [IlI.5] in condizioni pi generali (e complementari)rispetto a quelle in cui si era posto Galileo. Lapproccio di Newton era insostanza il seguente: osservando il moto di un`p@i:r1'eta,jjsi"'misnrai'tramite, la[III.5] la forza a cui es``"gg"etto"mentre si muove, e si ricava co_si,_la,lewg_gedellafrizia esericitata dal Sleisul pianeta (legge di gravitazione universale, cheesprime come vedremo la forza mutua in funzione__della posizione relativa edelle rispettive masse); e poi, ponendo tale forza f al primo membro della[III.5], si verifica che il moto degli altri pianeti coerente con essa.

In molti testi di sica, il II principio della dinamica viene introdotto inquesto modo, cio partendo dalla definizione operativa di forza tramite la[III.5]. In ogni caso, anche quando la legge delle forze venga determinataattraverso una misura dinamica, la [III.5] non dunque una identit, mauna equazione, cio una uguaglianza fra due membri autonomamente de-niti. Al secondo membro compare una grandezza cinematica come laccele-razione, cio una quantit descrittiva del moto rispetto al sistema di riferi-mento inerziale considerato; al primo membro vi una quantit dinamicacomela forza, cio una grandezza riconducibile almeno in linea di principioa una 'misura statica, ed espressa in termini della posizione relativa fra ilpunto materiale ed altri sistemi fisici che con esso interagiscono, nonch dialtre propriet - eventualmente dipendenti dal tempo - di tali sistemi.Tutto ci verrimeglio chiarito da quanto discuteremo in questo e nei pros-simi capitoli.

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~^i1.rf'-;S-1xI .-'-;

86 Parte prima: III

Onde elettromagnetiche

Elettrodinaniica quantistica

Forze nucleari

fenomeni magnetici. In particolare le 0,1ddm-0,na&,@;;(~/7g generate_da_aric1.i;:-_ia-.n19yime_n.tg2_Q9:19 t.f..f-1S'if~'

JTI princpi della dinamica del punto materiale 87

ovvero, introducendo le componenti del vettore F e proiettando la [III.6]sugli assi coordinati:

dzxJ(x,y, 2) = m--dr,2a .1; (x,y, Z) = mTf [nm]

| _ dzzl J2(X-y,2) - in dt> 2Bench in questo caso la forza che lambiente esercita sia, in ogni ssataposizione, indipendente dal tempo, il primo membro della [III.7] non ingenerale costante nel tempo:,la_, forza che il punto subisce cambia rlifaflpreiidel temp',4sso,vi,ene, a trovarsi, inposizioni diverse. In altri terminile"'c`rdinate ,i_f`y"_i_,fVzisonowfunzioni del tempo

x = x(I) _ `y =y (1) Vfi/sim iii.-n', ~z=z(t)

Ed anzi, proprio queste funzioni del tempo rappresentano le incognite delproblema.

Le [III.7] sono quello che si chiama un sistema di equazioni differen-ziali del secondo ordine nelle tre funzioni incognite x(t), y(I), z(x). Ineffetti, una equazione differenziale , per definizione, una relazione chelega un u"i`dèvatefeìl"rdi4e"ide'lPqzione dif- il massinio ordiiieWfdi""delrivfeiideÌlafun'zoneincognita cheinessfa:`corrrp*are"."NTc`piTl` "V,"'i'ime alle I leggi 'd`'fIlè"'frze 'nelle configura-zioni pi usuali e semplici, discuteremo anche i metodi di soluzione dialcune equazioni differenziali.

Quando le forze subite dal punto sono generate da sistemi fisici, le cuicaratteristiche e posizioni cambino in maniera predeterminata e nota, allorala forza, anche in ogni fissata posizione, cambia al passare del tempo. Ilsistema di equazioni differenziali [III.7] diviene allora

- _. dz?f(f,l) = WW'

QUeAS_IQ_ ,un sistema di equazioni differenzjgagli,dipendenti dal tempo; la su_aSohizione in gerife "pi" ci'pls'"a' rispetto al caso [III.7], anche se con-C%Imente non 'molto diversa. I"No""di raidol"7viieneich la forza dipenda dalla velocit del punto

rispetto a sistemi presenti nellambiente: vedremo nel cap. V il caso delleforze di resistenza del mezzo; e a suo tempo tratteremo il caso di forze dinatura magnetica.In questo caso la equazione del moto assume la forma:

' _. cl? dzrf(r, Tr, t) = MTI2 [III.8]

._ -Y)

., gfc

Equazioni differenzialiIJ'

:'f..(,'; 11-1 ~ fa . ""'/3/4 Fc//V8 /.o/'J " ,M /*^>*f~//i/i V/

/;{_;L 1"' ..lis/."' 3' 7. 3 IW J

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88 Parte prima: III

Y

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V 'it Ii'-`= H-. i-iii~ic:i;~fi f

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Finalmente, si pu presentare il caso in cui i sistemi presenti nellam-biente, che esercitano le forze sul punto materiale P considerato, si muo-vano a loro volta,secondo una legge oraria non nota a priori,in virt delleforze che reciprocamente si scambiano, e in virt delle stesse forze che ilpunto materiale Pesercita su di essi. Questo caso d origine a problemi digrande complessit matematica. Le situazioni pi semplici, appartenenti aquesta categoria, verranno da noi discusse nei capitoli dedicati alla dinamicadei sistemi, insieme ad alcune tecniche generali per ricavare informazionialmeno parziali sul moto dei sistemi stessi.

Nei capitoli dedicati alla dinamica del punto materiale nei sistemi diriferimento inerziali, il caso pi generale che si possa presentare dunquedescritto dalfequazione vettoriale (0 in altri termini dal sistema di equa-zioni scalari) [III.8]; ma a parte alcuni esempi molto particolari, tratteremodiffusamente solo il caso che le leggi delle forze siano indipendenti daltempo e dalla velocit, riconducendoci cosi alla equazione [III.6] (o, equiva-lentemente, al sistema [III.7].

III.9. Trasformazioni galileiane e invarianza relativistica del IIprincipio della dinamica

Consideriamo un sistema di riferimento inerziale e un secondosivstengadi ri_ ("l'ceissariamente orientato come il__primo), anch'essoiiirziale, che si muove di moto traslatorio con velocit V; rettilinead uni-forine_"r d'Pf"'mdit chiamiamo conv"e"nzional'n"nte _/ioil primo di questi sistemi e mobile il secondo. Contrassegneremo con unapice le grai1_d_e_z_z_e__re_lative,,__al_, sistema mobile. re,_he il secondo principio della dinamica soddisfa il

principio di relativit: ci significa dimostrare che, neH'`nbit`f dalconce-zione classica, i due membri della [III.A5,] si tras_forn_i_ano__allo__steso modopassaiido__dau_n_Msistema di rifiiiiientio' allaltro (0, come si dice, che "l'eqa-zione [IIIf5] cva"ria'nte).`i

Consideriamo un punto materiale P. La relazione che passa fra il suovettore posizione nei due sistemi di riferimento (vedi figura)

~) __? `. __ __/ _ __(2. 2 'Z;. ,I I "-H' r = r~ ro [III.9]

Il vettore 7,, _il_ve_ttg_re_,posizione dellorigine OL del sistema mobile rispettoai Sistiso- Tenuto 0n,t.9..sh...1e_v@10it V; d_.1l_9risit1@_ .0f..._99ttit@potremo anche s

__ \

essere fatto introducendo i versori fl degli assi coordinati del sistemaI sso e i'j' k' del sistema mobile. La [IIl.l0] si scrive allora: ,

'x'+f'y'+l'z' = (x- Vaxt) +f(y- V,,yt)+l(z- V,,zt) [III.11]: ,

I La [III.ll] non implica in generale che sia x' = x- V,Xt; y' = y _ V,,yt; .z' = z - I/1,, t. Per convincerci, inoltiplichiamo la [III.ll] stessa scalarmenteprima per i', poi perj' e poi per k'. Tenendo conto che il prodotto scalare di

I un versore per s stesso vale 1, mentre il prodotto scalare fra due vettori fraloro ortogonali nullo, otteniamo ,V _

I i~ip,; X' - if'-fi tx- V.,,.f+

90 Parte prima: III 1 '

In questo caso le [III.l3] divengono:- rt/if mf i-- -

x' = x- Voxt W ' ~' ' U2.*ii*`=l"~ ii &i.''-'init l'fi'j.._f y' = y- I/:Wi [III.15]

f 1 L. t' :f.,l otlit-7,v'1'f12fnf-fi Z' = Z- VM; . -"#3 I I

"Frasfrinazioiii galileiane Le [III.15] Sono dette ti'asoiiiia:ioii_i,Hdi ,Galileo (O f A A A A I

1.. i, f'v;+i'v;+ 1

I princpi della dinamica del punto materiale 91

costante) rispetto al sistema fisso. Possiamo osservare che la [lll.2()\ ci diceche Paccelerazione del punto materiale P la stessa, in modulo e direzione,nei due sistemi di riferimento; e proprio per questo le componenti risultanodiverse, cos come indicato dalla [lIl.l9], se la proiezione viene fatta sugliassi di un sistema ruotato.

Per vedere come il secondo principio della gl_in_awmia,_gu_aziovne_[ll_I.5],si traibrma passando dal sistema di riferimento fisso a quello mobile dob~biaTo"'ra vederwcome si trasforinanoillehaltrei due grandezze fisiche che inessacornpaiono,cio la mà's`sa m e la forza f "Se ricordiamo la denizioneoperativa di masaie di forza, facile concludere che una bilancia e undinamomesposti ad esempio nel sistema mobil"'fe""po`s`tia`mi'surareunac""'erta" m'assa*e;"*rispetrrvamerieUna*cerraforza7l consentono ' di" legge' rel''tso" v*alore``13`ri la" grìidzz` misurata a"'a" osservatore fe rino' 'nelsistema mobiIèl"cle`"'ai un oservatorefernioinel sistemaisso. Ci significahe`la"`m'asisa, gclief una gjrandeizza scalare, invariante passando da unsistema di riferimento allaltro:

/2% \,f//rn' = ni [III.2l]

mentre per la forza J; si ha, analogamente alla [IlI.l9],

f; Affv = |R| [III.22]

j f; nche si riduce a

L: {.' Y f X "if;=A ; = [V [lII.23]

ai i f;=Lnel caso che i due sistemi di riferimento abbiano lo stesso orientamento._ PartengmdunqueV_dallequazione f = m ' scritta nel sistema fisso, emoltiplicando ambo i mem5ro"'pTeYR""sT'?iEavà""'="m' ' " ' '

M ilVZfquazion`]`""'i'Z7`"1`lj'}ifpassa/ioYlaiiuillfsisfeii di ririnienro .: sf.. '_ .. _ ,_.c.. .__.....___:;__....., ., I ._ _, _ ^ _ U

V?f,_f'.'2'1_ 0 un a1Li_Q.,,svLsIe1z1i41...dil.11/11H'1f0 111/IQ/. In particolare se i duesistemi hanno lo stesso orientamento law = m 5 restam_i_i_i1_niutata: essa d\.aau_ed_,1nva1'ie1_'1.f@_ .z..L-l1y&f,v,i1.1_ziiii1_/;ii!i

92 Parte prima: III

Forze apparenti o forze di iner-zia

TEXC)

B P

A

Nella relativit di Einstein le trasformazioni di Galileo [lIl.l5] sonosostituite dalle trasformazioni di Lorentz, e la [IlI.5] assume a sua volta una

Vespressione pi generale che si riduce alla [III.5] nel limite T"

-.


11 punto P in equilibrio rispetto al proprio laboratorio non inerziale) eglideve applicare a P una forza. Questa forza, che dal punto di vista di A quella che serve per frenare P contemporaneamente al treno, dal punto divista di B una forza che serve ad equilibrare leffetto della forza di inerzia,consentendo al punto P di restare in equilibrio (nel sistema non inerziale) adispetto della azione della forza di inerzia stessa.

Le semplici osservazioni qualitative che abbiamo ora fatto possonoessere poste facilmente in termini formali. Considerian39__u_n s_i_s_t_em_a_dirifefimef inerziale

94 Parte prima: III

Sostituendo la [llI.26] nella [llI.24] si ha:

f ma m(a+A) ma+mA;

ovvero , .-s A60 ,;.,,.,..,, _ /,Q/,V (w\,m_,0,[v,_, 0 ff- m = mf [iii.271

Forza di inerzia

Accelerazione di trascina-mento

Sistema non inerziale dotatodi moto qualunque

A ,\...

` v

\

. \ ,i_.i.-*f_`~ < 1 t ~\\_ *f'HV f:~3?i

La [lII.27] rende evidente che l`osservatore mobile, eseguendo nel suosistema di riferimento non inerziale una misura dinamica di forza (ciomisurando la quantit m'), trova un risultato che non e semplicementeuguale alla forza f

vI pr1'nc1`p1` della dinamica del punto materiale 95

dove:0" = 'v}+f'_v}+ 12' V', la velocit del punto Prispetto al sistema mobile

(velocit < ('.\"+jA'y'+ /'z') ,v_lo-.

cit con cui si muove rispe_ttc_Aal_sistema_fis.so il.pu_n_t9_sQlida e. co ..sis.t_e_ma. .mob.ile fche, nellfistantei

|c mwatQ da____P (velocit di trascina-1ment0).

Questa interpretazione della velocit di trascinamento e evidente perragioni geometriche (alla velocit Vdell`origine O' ` sommata la velocitdi >< 0'P con cui si muove lestremo libero del vettore ruotante 0'P, vedila [II.37]), ed e confortata dalla considerazione che, rendendo il punto Psolidale col sistema mobile (\7' = O), la [I_lI.3] ci dice che la velocit \7 di Pnel sistema fisso pari per lappunto a V+ < ('v,+f'v}+ /'v',) + (B >< [< 0'P+ w >< w x O'P e Paccelerazione con cui si muove ri-

petto al sistema sso il punto solidale col sistema mobile che nel-istante considerato e occupato da P (accelerazione di trascina-

mento)=Q C3 >;i* (prodotto vettoriale fra il doppio della velocit angolare del

Ststema mobile e la velocit relativa del punto P) detta accelera-,1_9_n_C1i Cori_0lis. Va notato che questo termine nullo quando

= O, cio quando il punto P in equilibrio nel sistema mobile.

A Df0lJ< < O'P| = wzd del moto circolare compiuto dal-libero del vettore O'P.

Velocit relativa

Velocit assoluta

Velocit di trascinamentol

\i

Vc'1rr>,.I' 'fw L 1' --1,. .,' . r r "

IL l'9(.1/t-5.7 .^ ' `/ < Pi

. >'~ :`ff`\ `\,H t' f .I/'nf-

i

.fi .

Accelerazione relativa

Accelerazione assoluta

Accelerazione di trascina-mento

[email protected];i9iisdi C0ri.

96 Parte prima: III

Forza apparente di trascina-mento

Forza apparente di Coriolis

1XInserendo la [lII.33] nella [IIl.24] abbiamo

2- m 5,- m 5, = m 5' [ii1.341Rispetto al caso del moto traslatorio, non solo Paccelerazione di trascina-mento Zi, (diversa dalfaccelerazione A dellorigine 0' del sistema mobile) diversa da punto a punto del sistema mobile; ma accanto alla forza appa-rente di trascinamento - m Zi, appare anche la forza di Coriolis - m Zi, == - 2 m 63 >< ii'.

EsempioE.III.3. Una piattaforma mora con una frequenza costante di 2 giri al secondo. A

distanza di 3 m dal centro di rotazione disposto un oggetto di massa 0,5 kg.Determinare la forza f che deve essere applicata all 'oggetto ancli esso simantenga in equilibrio rispetto alla piattaforma.

Scegliamo un sistema di riferimento (non inerziale) solidale con la piattaformae con origine nel centro di rotazione.

Poich cerchiamo la condizione di equilibrio relativa al sistema mobile(Z' = O; \7' = 0), nella [lll.34] risulta nullo sia il secondo membro che il termine diCoriolis; essa diviene:

f_m(=0

La forza attiva f deve dunque equilibrare la forza apparente di trascinamento- m u Nel caso in esame, nella accelerazione di trascinamento Z1', nullo sia il ter-mine A (l`origine 0' ferma) che il termine 54 x O'P(la rotazione avviene con velo-cit angolare costante); per cui

,=

I VENTI NELUATMOSFERA

Vogliamo accennare all'effetto delle forze apparenti sul movimento delle masse dària (venti) cosi come lo siosserva dalla Terra che, per la sua rotazione, costituisce un sistema di riferimento non inerzi'l . ll bl

ae pro ema delladinamica meteorologica e ovviamente molto complesso; qui ci limitiamo a considerare delle situazioni abbastanzal' ' lsemp ici, cie servono ad illustrare, in particolare, lèffetto delle forze di Coriolis sulle masse dària in moviment

0.Per schematizzare il fenomeno del movimento di masse dària consideriamo una porzione di aria come se fosseidentificabile durante il suo t h' ' ' ' ' ' ` ` ' ' ` ' `mo o, perc e contenuta in una specie di recipiente costituito da una sottilissima pelli-cola di massa trascurabile (una specie di grande bolla di sapone gonfia dària).

/-/Fl

/-*(5) /

Fn P2 >P3)

Consideriamo, per semplicit, venti orizzontali procedenti a velocit pressoch costante, cioe, come si dice,venti equilibrati: in questi casi la forza peso da pensarsi come continuamente equilibrata dalla componente verti-

_cale delle forze di superficie (del tipo della cosi detta forza di Archimede) ed inoltre, per quanto riguarda le compo-nenti orizzontali delle forze, pu essere trascurata la forza di attrito. Restano dunque da considerare gli effetti cherisultano prevalenti per il movimento orizzontale, e cio le forze di superficie e le forze di Coriolis.

Perquanto riguarda le forze di superficie in direzione orizzontale, chiaro che possono avere un risultante diversoda zero solo se esiste una disuniformit di effetto sulle diverse regioni del contorno della massa dària considerata. Poi-ch questi effetti sono dovuti alla maggiore o minore presenza ed efficacia di particelle dària esterne al contomo, cioealla diversa pressione locale su tale contomo, risulta che forze orizzontali si presenteranno quando ci saranno zone apressione diversa (gradiente di pressione) e saranno dirette da zone di alta pressione a zone di bassa pressione. Segraficamente si riportano i valori di pressione in forma di curve di ugual pressione (isobare), le forze di superficieFS' hanno linee di forza ovunque ortogonali alle isobare, con il verso che procede dallàlta verso la bassa pressione.

Circolazione anticiclonica oraria

/ FC*(3)alta -pressione F/ V

A

\ p = costante

Emisfero Nord della Terra(venti equilibrati)

Vbassa -, -*isi FCpressione F

B

p = costantea ' Circolazione ciclonica antoraria

ffqueste forze, dovuteia gradieinti di pressione, si sovrappone la forza di Coriolis P( che, per lìpotesi di venti avelocita orizzontale costante, de.ve equilibrare le forze di pressione. Poich Pf perpendicolare alla velocit \7, neS_gue__che la velocit dei_venti deve_ seguire le linee di isobaricit. Il verso di questa velocit, a causa del fattore(w_>< V) che mPare in FC, risulta essere, intomo a zone di alta pressione (anticicloniche), orario nell'emisferoNord della Terra ed antiorario nellèmsfero Sud; Popposto accade per i venti in zone di bassa pressione (cicloniche)-I

nmmfnwomrwmnqgmwm

.i _.\i;,. ._,r,}.;. 14,_,r,v. _v

^=';< \7' indica laccelera-zione complementare 0 di Coriolis, essendo L3 la velocit angolare istantanea concui il sistema mobile ruota rispetto a quello fisso.

IIL1- Una canoa percorre un tratto rettilineo di fiume lungo I = 1 km una voltacontro corrente impiegando 20 minuti ed una volta a favore di corrente

` impiegando 15 minuti. Calcolare la velocit della corrente rispetto alla riva.Si suppongano costanti la velocit della corrente e la velocit con cui lacanoa si muove rispetto alla corrente. (Risposta: 0,14 m/s)

\'i`.ml- Un'automobile di lunghezza I = 4 m si muove di moto rettilineo uniforme

alla velocit v = 100 km/h e sorpassa un autotreno che si muove nella stessadirezione e con velocit V= 60 km/h. Se lautotreno lungo L = 15 m,quanto dura il sorpasso, cio quanto tempo occorre perch si passi dallasituazione in cui il fronte dell'auto allineato con la coda de1lautotreno, allasituazione in cui la coda dellauto allineata con il fronte dell'autotreno'?

, ,_ , (Risposta: 1,7 s)

I

1 *JIII.3. Due aerei viaggiano sullo stesso piano con velocit v1 = 500 km/h e

V2 = 800 km/h rispettivamente. Le direzioni di moto formano un angolo.. 6 = 30, mentre gli aerei si allontanano l'uno dallaltro. Calcolare la velocit

relativa del secondo aereo rispetto al primo (modulo e direzione)~ (Risposte: 444 km/h; 64)

Un treno si muove di moto rettilineo uniforme con velocit V. Allinternodel treno, un punto materiale viene lanciato verso lalto, rispetto al treno,con velocit v,. Determinare il tipo di traiettoria del punto nel riferimento

jgygt, solidale al treno e nel riferimento sso solidale alle rotaie.

Durante la fase di frenamento, con accelerazione negativa costante A, di unsaga*t e' vagone che si muove su traiettoria rettilinea orizzontale, un corpo viene lan-, ciato, internamente al vagone, con velocit vj, verticalmente verso l`alto,

*if rispetto al vagone in moto. A che distanza dal punto di lancio il corporicadra sul pavimento del vagone? (Risposta: Ax' = _ 2 A(/02/gl)

IH ,Un giomo senza vento la pioggia cade verticalmente rispetto alla terra.Un automobile procede di moto rettilineo uniforme, su una strada orizzon-tale, alla velocit di 100 km/h. Se la direzione delle gocce di pioggia rispettoall auto 6 = 40 relativamente alla verticale, qual la velocit di arrivo alsuolo dell acqua della pioggia (rispetto alla terra)? (Risposta: 33 m/s)

100 Parte prima: III

III.7

III.8

Una mosca cammina su un disco, lungo un solco dellincisione, praticamentecircolare, di raggio r, con velocit angolare costante

Capitolo quarto

Conseguenze del II principio della dinamica

In questo capitolo svilupperemo alcune importanti conseguenze dellaequazione [III.5] che esprime il secondo principio della dinamica per ilpunto materiale. I risultati cui perverremo hanno grande interesse per unduplice motivo: da un lato essi consentono in molti casi di facilitare la solu-zione dellequazione [III.5]; dall`altro ci portano ad introdurre alcune gran-dezze fisiche di grande rilevanza teorica e pratica (impulso, energia,momento angolare, ecc.) e a ricavare le propriet notevoli di tali grandezze.

Questi risultati possono essere ottenuti in maniera semplice e rapidafacendo ricorso ad alcuni strumenti matematici che solitamente gli studentinon posseggono in questa fase del loro curriculum, e che saranno fornitiloro solo pi tardi nei corsi di matematica.

Dedichiamo dunque ora alcuni paragrafi a definire tali strumenti mate-matici. Ci verr fatto in condizioni di generalit molto minore rispetto aquanto si usa fare nei corsi di Analisi, il che ci consentir di procedere inmaniera semplice e stringata.

~ Noi riteniamo che queste semplici anticipazioni di matematica (cosquelle che abbiamo presentato nel II capitolo) possano essere utili

formazione dello studente, non solo per la loro propedeuticit al prosie-del corso di sica; ma anche perch possono mostrare come spesso

diconcetti, che in matematica trovano la loro formulazione pie pi potente - ed anche pi astratta -, abbia sovente tratto moti-dallesigenza di dare risposta a problemi di natura pratica.

1. infiniiesimi -SN1 Dar. II.8 abbiamo gi detto che qualunque funzione a(x) che goda della

che lim a(x) = 0 detta infinitesima (o un infinitesimo>) in x0.x-xoIl Pi semplice fra gli infinitesimi in xo la fun

Silvestrini Mencuccini

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