PROGRAMMA DEL CORSO DIALGEBRA.

Prof. C. Casolo

Fondamenti: Insiemi ed operazioni tra insiemi. Applicazioni, composizione, applicazioni

invertibili. Cardinalità di un insieme. Relazioni di equivalenza, partizioni, insieme quoziente. Numeri interi, principio di induzione e altre proprietà. Calcolo combinatorio, coefficiente binomiale. - Dispensa + (rel. equivalenza) § 2.5 -Gruppi:

Operazioni su un insieme, semigruppi e monoidi; §2.1. Sottogruppi, gruppo (Z,+) e suoi sottogruppi, gruppi ciclici e loro sottogruppi,

classi laterali e Teorema di Lagrange, sottogruppi normali, gruppo quoziente, omomorfismi e isomorfismi, teoremi di omomorfismo, coniugio, automorfismi e automorfismi interni, gruppi Z/nZ, prodotti e prodotti diretti, permutazioni e gruppi di permutazioni, decomposizioni in cicli, Teorema di Cayley; § 2.2 , 2.3 , 2.4 , 2.6 , 2.7 , 2.8 , 2.9, 2.10 , 6.1 (Teorema 1.3) , 6.6.

gruppi di matrici, gruppi di movimenti rigidi sul piano e simmetrie, azioni di gruppi su insiemi, orbite e stabilizzatori, formula delle classi, Teoremi di Sylow (solo enunciato); § 4.5 (dim. Teorema 5.5 solo in R2, niente Lemma 5.23), (§ 5.1 , 5.2 , 5.3, 5.5, 5.6 (solo Prop. 6.4), 5.7, 6.1, 6.3 (solo coniugio, cioè dalla riga -8 di pag. 242), 6.4 (senza dimostrazioni).Anelli, polinomi e campi

Anelli: definizione, anelli commutativi, elementi invertibili, domini di integrità, sottoanelli, ideali, ideali principali, omomorfismi e isomorfismi, campi, anello dei quaternioni, anelli quoziente, aritmetica modulare, caratteristica, campo delle frazioni di un dominio, ideali massimali, domini a fattorizzazione unica, domini a ideali principali, domini euclidei. § 10.1 , 10.3 (tranne 3.7, 3.8), 10.4 (fini all'inizio di pag.429), 10.6, 10.7 (fino alla Prop. 7.5), 11.1, 11.2, 11.3 (esclusa pag.476)

Anello dei polinomi: costruzione e principali proprietà, principio di sostituzione, divisione tra polinomi, radici, ideali, fattorizzazione di polinomi, lemma di Gauss, algoritmi per la fattorizzazione di polinomi, aggiunzione di elementi ad un anello. § 10.2 (dalla fine di pag.415), 10.3 (punti 3.19, 3.20, 3.21, 3.22), 10.5 (Prop. 5.7), 11.1 (Teorema 1.5 e Prop. 1.8), 11.3 (fino al Coroll. 3.10), 11.4 (tranne la Prop. 4.7).

Campi ed estensioni: elementi algebrici e trascendenti, grado di una estensione, aggiunzione di radici e campi algebricamente chiusi, costruzione di campi finiti. §13.1, 13.2 (tranne la Prop. 2.9), 13.3 (fino al Teorema 3.10, esclusa la Prop. 3.3), 13.5 (fino alla Prop. 5.3), 13.6 (fino al Teorema 6.4 (a, b ,c) e senza dimostrazione), 13.9 (fino a meta di pag. 620).

Testo : M. Artin ALGEBRA

PROGRAMMA DEL CORSO DIALGEBRA SUPERIORE

Prof. A. Scarselli

Gruppi Con Operatori: Sottogruppi ammissibili. Omomorfismi operatoriali e gruppi quoziente. Teoremi di omomorfismo. Catene e serie. Lemma di Zassenhaus. Teorema di Schreier-Zassenhaus. Teorema di Jordan-Hoelder. Condizioni di finitezza. Commutatori.Serie derivata. Gruppi risolubili. Catene centrali. Gruppi nilpotenti. Prodotti diretti. Endomorfismi normali. Teorema di Remak-Krull-Schmidt. Prodotti semidiretti.Gruppi Abeliani E Moduli: Moduli irriducibili. Moduli completamente riducibili. Moduli noetheriani e artiniani. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Moduli su anelli a ideali principali. Moduli liberi a base finita. Teorema di invarianza dei fattori. Divisori elementari. Moduli finitamente generati. Struttura dei gruppi abeliani finitamente generati.Gruppi Finiti: Teoremi di Sylow.p-gruppi e gruppi nilpotenti. Teoremi di Zassenhaus e Schur sulle estensioni spezzanti.Teoremi di P.Hall per gruppi risolubili. Gruppi di permutazioni. Gruppi simmetrici e alterni.Campi: Ampliamenti semplici. Ampliamenti di grado finito. Campo di riducibilita' completa di un polinomio. Chiusura algebrica. Ampliamenti normali. Radici multiple. Campi perfetti. Ampliamenti separabili. Teorema dell'elemento primitivo. Teorema fondamentale della teoria di Galois. Teorema fondamentale dell'Algebra.Interi Algebrici: Domini a fattorizzazione unica. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss. Anello dei polinomi su un dominio a fattorizzazione unica. Interi algebrici. Radici dell'unita'. Polinomi e campi ciclotomici.Anelli Semisemplici: Anelli a condizione minimale. Radicale. Anelli semplici.Teorema di Wedderburn. Struttura degli anelli semisemplici. Algebre. Rappresentazioni delle algebre semisemplici Rappresentazioni Lineari E Caratteri: Algebra di un gruppo.Teorema di Maschke. Centro dell'algebra di un gruppo. Rappresentazioni irriducibili. Funzioni di classe. Caratteri. Relazioni di ortogonalita'. Tavole dei caratteri. Gruppi doppiamente transitivi. Criterio di risolubilita' di Burnside. Caratteri indotti. Gruppi di Frobenius.

PROGRAMMA DEL CORSO DIANALISI I

Prof. E. Giusti

Il Sistema Dei Numeri Reali: Proprietà elementari dei numeri reali. Il valore assoluto. L'assioma di Dedekind. Estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali generalità sui numeri complessi. La topologia della retta: insiemi aperti e chiusi.I numeri interi come sottoinsieme di R. Un modello dei numeri reali. Generalità sui numeri complessi. Successioni E Serie Numeriche: Successioni. Limite di una successione. Operazioni con i limiti. Serie numeriche. Limiti di successioni monotòne; serie a termini positivi. Due numeri particolari: "e" e "". Potenze con esponente reale. I numeri reali in forma decimale. Il massimo e il minimo limite. Successioni e topologia. Il criterio di Cauchy. I numeri reali come completamento dei razionali. Criteri di convergenza per le serie a termine positivi. Altri criteri di convergenza. Riordinamento dei termini di una serie. Prodotti infiniti. Successioni e serie complesse. Funzioni E Loro Limiti: Grafico di una funzione. Funzione composta e funzione inversa. Limiti di funzioni. Restrizioni. Limiti destro e sinistro. Limiti di funzioni monotòne. Massimo e minimo limite. Funzioni continue. Punti di discontinuità. I teoremi fondamentali per le funzioni continue. L'uniforme continuità. Funzioni continue invertibili. Calcolo Infinitesimale: L'area del segmento di parabola. Integrale delle funzioni semplici. L'integrale di Riemann. Integrazione delle funzioni continue. Integrale esteso a un intervallo. La derivata: introduzione, definizione e proprietà. Massimi e minimi relativi. Il teorema del valore medio. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazioni e primitive. Derivazioni E Integrazione: L'integrazioni per parti. L'integrazione per sostituzione. Sostituzioni speciali La funzione logaritmo. Il numero "e".

Sviluppi Del Calcolo Infinitesimale: Calcolo dei limiti. Teoremi di de l'Hopital. Derivate successive. Funzioni convesse e concave. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor. Sviluppi delle funzioni elementari. La serie di Taylor cenni. L'integrale in senso generalizzato. Criteri di convergenza per integrali impropri. L'esponenziale nel campo complesso.

PROGRAMMA DEL CORSO DIANALISI II

Prof. G.Talenti

Primo semestre:(Per studenti del Corso di Diploma e studenti del Corso di Laurea in Matematica. Una trentina di lezioni, circa otto lezioni per ognuno dei seguenti argomenti.)

Equazioni differenziali ordinarie: Metodi per il trattamento di equazioni differenziali del prim'ordine lineari, a variabili

separate, a coefficiente omogeneo, di Bernoulli, di Clairaut, ecc. Analisi geometrica delle traiettorie di un'equazione del prim'ordine o di un sistema autonomo 2 >< 2 del prim'ordine.

Equazioni lineari del second'ordine a coefficienti costanti, omogenee e non. Metodi per il trattamento di alcune equazioni differenziali del second'ordine, lineari e non lineari. (iv) Cenni sull'integrazione per serie.Funzioni di due variabili reali, a valori reali:

Generalità: Grafici e linee di livello, limiti, continuità'; Derivate parziali, derivate direzionali, differenziali primo e secondo, gradiente, matrice hessiana; Piano tangente ad un grafico, retta tangente ad una linea di livello.Regole per la manipolazione di derivate parziali, derivate parziali e coordinate curvilinee.

Metodi per l'identificazione di estremi locali, di estremi vincolati, di selle.Integrali doppi.

Definizione di Integrali doppi di funzioni a scala; Integrali doppi di funzioni limitate, estesi a rettangoli; Area di insiemi limitati; Integrali doppi di funzioni limitate, estesi ad insiemi limitati.

Proprietà basilari degli integrali doppi e dell'area. Integrabilità di funzioni continue su rettangoli e relative formule di riduzione.

Presentazione delle formule di riduzione in insiemi normali, casi semplici del teorema della divergenza.

Enunciato del teorema sul cambiamento di variabili in integrali doppi.Integrazione su linee e superfici:

Nozione di linea e di superficie regolare. Lunghezza di una linea e area di una superficie regolare: definizioni e uso di formule. Esempi notevoli.

Nozione di integrale (di una funzione a valori reali, oppure di una forma differenziale) esteso ad una linea o ad una superficie.

Presentazione di casi semplici della formula di Stokes.

Secondo semestre(Per studenti del Corso di Laurea in Matematica. Un'altra trentina di lezioni.)

Equazioni differenziali ordinarie. Problemi alla Cauchy per equazioni e sistemi di equazioni differenziali del

prim'ordine di forma normale: teoremi di esistenza e unicità in piccolo e in grande. Contrazioni in uno spazio metrico, un teorema sull'esistenza di punti fissi.

Equazioni differenziali lineari di ordine n, a coefficienti costanti e non, omogenee e non omogenee: teoremi sull'insieme delle soluzioni, sul determinante wronskiano, sulle soluzioni esponenziali - polinomi di equazioni a coefficienti costanti; equazioni del tipo di Eulero; metodo della variazione delle costanti.Funzioni di più variabili a valori reali.

Condizioni sufficienti per la differenziabilità, teorema di Schwarz sulle derivate di ordine superiore, teoremi sulla formula di Taylor.

Funzioni implicite e teorema del Dini. Applicazioni a linee e superfici di livello, applicazioni alle coordinate curvilinee.

Discussione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Applicazione ad autovalori ed autovettori di matrici simmetriche.Forme differenziali lineari.

Forme differenziali lineari esatte e chiuse, campi vettoriali irrotazionali e conservativi, primitive di forme differenziali, potenziali di campi vettoriali.

Funzioni con gradiente nullo. Teorema sulla lunghezza di curve regolari, ascissa curvilinea.

Integrazione di forme differenziali lineari, esatte o no, su cammini aperti o chiusi.

Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'integrabilità di forme differenziali lineari. Integrabilità di forme differenziali lineari chiuse in aperti semplicemente connessi di ~2 e R3.

Metodi per la ricerca di potenziali. Integrali multipli.:

Cenno di una teoria per l'integrazione di funzioni di n variabili.Teoremi su formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Forme del principio di

Cavalieri. Casi semplici del teorema della divergenza in ~2 e R3. (iv) Discussione di un teorema

sul cambiamento di variabili in integrali doppi e tripli.

APPLICAZIONI DI MATEMATICHE SUPERIORI Prof. R. M. Bianchini

Equazioni Differenziali Ordinarie In R n : Definizione Di soluzione in senso classico e alla Caratheodory; teoremi di esistenza. Soluzioni massimali; esistenza e unicità del problema di Cauchy.Sistemi Lineari: Sistemi Lineari Autonomi. Rappresentazione Delle soluzioni e loro proprietà. Forma canonica di Jordan. Sistemi lineari non autonomi: matrice di evoluzione e matrice fondamentale. Proprietà delle soluzioni. Sistemi affini. Sistemi periodici e soluzioni armoniche. Problemi ai limiti. Lemma di Belman-Gronwall.

Equazioni Differenziali Non Lineari: Regolarità Delle Soluzioni in relazione ai dati iniziali e ai parametri. Calcolo delle soluzioni di alcune equazioni differenziali non lineari. Teorema del confronto. Condizioni sufficienti per la persistenza delle soluzioni.Sistemi Autonomi: Spazio Delle Fasi E Orbite. Insieme Dei Punti limite. Sistemi dinamici. Ritratto delle fasi di sistemi lineari autonomi piani. Insiemi limite di sistemi piani. Punti singolari. Varietà stabile, varietà instabile e varietà centrale. Punti iperbolici, Teorema di Hartman-Crobman e Teorema di Hartman. Studio delle singolarità isolate.Stabilità: Stabilità; stabilità uniforme, attrattività, stabilità asintotica, stabilità esponenziale. Caratterizzazione dei sistemi lineari stabilì. Sistemi periodici. Stabilità in prima approssimazione. Teoremi di Liapunov relativi alla stabilità.Modelli Matematici: Modelli di dinamica delle popolazioni: modello di popolazione isolata: modello a crescita limitata. modello preda predatore.Teoria Matematica Del Controllo: Processi di controllo. Processi lineari autonomi senza limiti sui valori dei controlli: insiemi raggiungibili, insiemi trasferibili, controllabilità, completa assegnabilità dello spettro, decomposizione di Kalman. Processi lineari autonomi con controlli limitati: insiemi raggiungibile e trasferibile. Locale controllabilità e stabilizzabilità locale.Bibliografia del corso:

R. Conti - Corso di Applicazioni di Matematiche Superiori. Equazioni Differenziali Ordinarie - (dispense)

E.A. Coddington - N. Levison - Theory of ordinary differential equations - International Series in Pure and Applied NIatliematics n. 34

G. Sansone - R. Conti - Equazioni differenziali non lineari - Edizioni Cremonesi, Roma

M. W. Hirsh - S. Smale - Differential equations, dynamical systems and linear algebra - Pure and Applied Mathematics n. 60, Academic Press.

M. Braun - Differential Equations and their Application - Texts in Applied Mathematics, Springer-Verlag

L. Perko - Differential equations and dynamical systems - Texts in Applied Mathematics Vol. 7, Springer.

L.C. Piccinini - G. Stampacchia - G. Vidossich - Equazioni Differenziali in Rn - Liquori

V. Arnol'd - Ordinary Differential Equations - Springer-Texbook. R.Conti-Processi di controllo lineari in Rn-Quaderni Unione Matematica Italiana, Pitagora

E.B. Lee - L. Markus - Foundations of Optimai Control Theory - John Wiley & Sons.E. Sontag - Mathematical Control Theory: Deterministic Finite dimensional Systems -

Texts in Applied Mathematics VoI. 6, Springer.A. Bacciotti - Teoria Matematica dei controlli - Quaderni di Matematica per le Scienze

Applicate Celid ed.

PROGRAMMA DEL CORSO DICALCOLO DELLE PROBABILITA' E STATISTICA

(D.U. II Sem.)Prof. G. Anichini

Introduzione: Linguaggio stocastico; eventi; eventi ed insiemi; coséla Probabilitàe cosé la Statistica; valutazioni elementari della Probabilità elementi di Calcolo Combinatorio; elementi di Storia del Calcolo delleProbabilità. Elementi di Calcolo delle Probabilità: La probabilità soggettiva; spazio dei campioni; esempi; definizione classica di probabilità additività della probabilità le prove ripetute; probabilità e frequenza; eventi di probabilità zero; eventi condizionati e Teorema di Bayes; probabilità condizionate; indipendenza stocastica; variabili aleatorie; distribuzioni discrete; la distribuzione binomiale; la distribuzione di Poisson; la distribuzione ipergeometrica; previsione e varianza; la distribuzione normale; la distribuzione uniforme; Teorema Limite Centrale. Elementi di Statistica Matematica Esperimenti controllati; statistica descrittiva; l'istogramma; misure di tendenza centrale; la media e la deviazione; uso della distribuzione normale; esempi di campionamento statistico; l'uso intrinseco del Calcolo delle Probabilità nella Statistica matematica (esempi); correlazione e regressione; leggi dei grandi numeri.

Testi di riferimento

G. ANICHINI - Calcolo Vol. 4, Elementi di Calcolo delle Probabilità e di Inferenza Statistica - Pitagora - Bologna - 1996.K. BACLAWSKI-M. CERASOLI-G.C. ROTA - Introduzione alla Probabilità - Unione Matematica Italiana - Pitagora - Bologna - 1984.D.FREEDMAN - R.PISANI- R.PURVES - Statistica - McGraw-Hill Italia Milano 1998. R. SCOZZAFAVA - Primi passi in Probabilità e Statistica - Zanichelli - Bologna - 1995.

PROGRAMMA DEL CORSO DICALCOLO DELLE PROBABILITA'

Prof. P. Moro

Prerequisiti: La padronanza dei contenuti di Geometria 1, Analisi i e 2.Durante il corso, secondo necessità, verranno richiamate alcune nozioni di base di analisi e di teoria della misura che per comodità degli studenti sono state qui riassunte in un'apposita voce.Nozioni di base di analisi e teoria della misura: Algebra (di Sottoinsiemi di un dato insieme, s-algebre, classi di generatori. Algebra generata da una famiglia finita, costituenti. La s-algebra di Borel in un generico spazio topologico classi di generatori per la s-algebra di Borel di Rn. Misure finitamente additive, misure (s-additive). Limiti di insiemi. Varie caratterizzazioni della s-additività. Completamento di una misura. Misure s-finite. Teorema di Caratheodory. funzioni di distribuzione e misure di Lebesgue-Stieltjes in Rn. Assoluta continuità di una misura rispetto ad un altra misura. Densità. Teorema di Radon-Nikodim. Funzioni misurabili. Conservazione della misurabilità sotto varie operazioni. Approssimazione di funzioni misurabili; mediante funzioni semplici. Integrazione rispetto ad una misura s-additiva. Proprietà dell'integrale. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Integrazione per sostituzione. Misure prodotto. Teoremi di Tonelli e di Fubini. Varie: Lemma di Kronecker. Caratterizzazione della convergenza uniforme di funzioni di ripartizione.Introduzione: Varie impostazioni per le teoria delle probabilità: in particolare le impostazioni classica, frequentista soggettiva.Lo spazio (W, A, P): Eventi; identificazione tra eventi e Sottoinsiemi di W. Assiomi Per la probabilità. Condizionamento ad eventi di probabilità positiva, teorema di Beyes. Indipendenza tra eventi. Indipendenza tra famiglie di eventi. I lemmi di Borei CantelliLe variabili aleatorie (v.a.): Funzioni di ripartizione per v.a. a valori in Rn e misura di Lebesgue-Stieltjes associata. Distribuzioni marginali. Teorema di scomposizione Per le funzioni di ripartizione. Variabili aleatorie discrete, assolutamente continue e singolari continue.Speranza matematica:Speranza matematica, varianza, momenti; disuguaglianza di Chebyshev; covarianza coefficiente di correlazione. Speranza matematica in termini

della coda della distribuzione. lì Problema dei momenti. Distribuzione della Somma di v.a. indipendenti, l'integrale di convoluzione. Distribuzione della composizione di vettori aleatori con diffeomorfismi. particolari distribuzioni di probabilità geometrica, Bernoulli, binomiali e multiformi ipergeometrica, binomiale negativa Poisson, uniforme, eesponenziale 'formale gamma, beta, chi-quadrato longrmale, Cauchy.Il condizionamento nell'impostazione dl Kolmogorov: Speranza condizionale di una v.a., data una s-algebra, proprietà della speranza condizionale; probabilità condizionale, data una s-algebra; distribuzioni condizionali regolari. Condizionamento di una v.a. rispetto ad un'altra; distribuzione condizionale nel caso di una densità congiunta. Distribuzioni condizionali ed indipendenza. Distribuzione Condizionale di una funzione composta. indipendenza tra famiglie di v. a. L'indipendenza tra v.a. in termini delle loro funzioni di ripartizione o delle loro densità. Indipendenza e composizione. Indipendenza e incorrelazione.Convergenza dì successioni di v.a. e teoremi limite: Convergenza quasi certa, in Probabilità, in Lp, in distribuzioni. Successioni di Cauchy. Legami tra le precedenti nozioni. Comportamento rispetto alla composizione. Teorema di Helly. Convergenza dei momenti e Convergenza in distribuzione. Leggi deboli dei grandi numeri (di Bernoulli, di Khinchin di Chebyshev). Leggi forti dei grandi numeri (di Kolmogorov per v.a. indipendenti, di Kolmogorov nel caso i.i.d.). Legge degli eventi rari Teorema di Glivenko-Cantelli. Teorema centrale del limite (di De Moivre-Laplace, di Lindember-Lévy, di Lindeberg-Feller, di Liapounov)Statistica matematica: I problemi della Statistica; stima e verifica di ipotesi. Modello lineare Il punto di vista bayesiano.Applicazioni e complementi: problemi classici: i problemi del Cavaliere de Méré' (dadi, la divisione della posta), il problema delle concordanze, il problema dei compleanni. Il paradosso di Simpson. Il teorema del ballottaggio. La rovina del giocatore. Probabilità geometriche: l'ago di Buffon, le corde aleatorie di Bertrand. Generatori di numeri pseudo-casuali. Il metodo Montecarlo. Somme di un numero aleatorio di addendi identità di Wald. Statistiche d'ordine.

Testi di riferimento:Baldi - Calcolo delle probabilità e statistica - BillingsIey - Probability and measure - Chung. K.L. - A Course in Probabitity Theory - Dall'Aglio - Calcolo delle probabilità - inoltre, alcuni degli argomenti trattati possono essere ritrovati in:Breiman - Probability - Feller - An introduction to probability theory and its applications - Letta - Probabilità elementare -

Shirjayev - Probability -

PROGRAMMA DEL CORSO DIFISICA GENERALE I

Prof. P.Burlamacchi

"Grandissima mi par l'inezia di coloro che vorrebbero che Iddio avesse fatto l'universo più proporzionato alla piccola capacità del lor discorso che all'immensa, anzi "infinita sua potenza" (Galileo)programma:Unita' Di Misura: Grandezze fisiche, campioni e unità di misura. Sistema internazionale. Campioni di tempo, lunghezza e massa. Cifre significative. Analisi dimensionale.Moto In Una Dimensione: Cinematica. Velocità media e istantanea. Accelerazione. Moto con accelerazione costante. Caduta dei gravi. Misura dell'accelerazione di gravità.Vettori Tutte le operazioni sui vettori e le componenti.Moto In Due E Tre Dimensioni: Vettori posizione, velocità e accelerazione. Moto con accelerazione costante. Moto di un proiettile. Moto circolare uniforme. Natura vettoriale della velocità e dell'accelerazione nel moto circolare uniforme. Moti relativi.Le Forze E Le Leggi Di Newton: La meccanica classica. Prima legge di Newton. Forze. Massa. Seconda legge di Newton. Terza legge di Newton. Unità di misura della forza. Peso e massa. Misura delle forze. Applicazioni delle leggi di Newton.

Dinamica Delle Particelle: Leggi di forza. Forze di attrito. Dinamica del moto circolare uniforme. Equazioni del moto: forze costanti e forze variabili. Forze dipendenti dal tempo, metodo analitico. Sistemi non inerziali e forze fittizie.Lavoro Ed Energia: Lavoro di una forza costante, variabile unidirezionale e bidimensionale. Energia cinetica e lavoro-energia. Potenza.Conservazione Dell'energia: Forze conservati ve. Energia potenziale. Sistemi con servativi unidirezionali; soluzione completa. Conservazione dell'energia di un sistema di particelle.Sistemi Di Particelle. Sistemi di due e di molte particelle. Centro di massa dei solidi. Quantità di moto di una particella. Quantità di moto di un sistema di particelle. Conservazione della quantità di moto. Sistemi a massa variabile, razzo e nastro trasportatore.Urti: Processi di urto. Impulso e quantità di moto. Conservazione della quantità di moto in processi di urto. Urti in una e due dimensioni. Sistema di riferimento del centro di massa.Cinematica Rotazionale: Moto rotatorio, variabili rotazionali. Rotazione con accelerazione angolare costante. Carattere vettoriale delle grandezze rotazionali. Relazione fra variabili lineari e angolari in forma scalare e vettoriale.Dinamica Rotazionale: Generalità. Energia cinetica di rotazione e momento di inerzia. Momento di inerzia di corpi solidi rigidi. Momento delle forze agenti su di una particella. Dinamica rotazionale di un corpo rigido. Moti traslatori e rotatori combinati.Momento Angolare: Momento angolare di una particella Sistemi di particelle. Momento angolare e velocità angolare vettoriale. Conservazione del momento angolare, esempi.Equilibrio Dei Corpi Rigidi Statica: Condizioni di equilibrio. Centro di gravità. Esempi di equilibrio. Equilibrio stabile, instabile ed indifferente. ElasticitàOscillazioni: Oscillatore armonico semplice. Moto armonico semplice; Energia del moto armonico semplice; Pendolo di torsione, semplice e fisico. Moto armonico smorzato. Oscillazioni forzate e risonanza.Gravitazione: Cenni storici. Gravitazione universale. Costante gravitazionale. Gravità vicino alla superficie terrestre. Effetto gravitazionale di una distribuzione di massa sferica. Energia potenziale gravitazionale. Moto di pianeti e satelliti. Gravitazione universale. Massa inerziale e gravitazionale.Statica Dei Fluidi: Fluidi. Pressione e densità. Variazione della pressione in fluidi statici incomprimibili e comprimibili. Principi di Pascal e di Archimede.Dinamica Dei Fluidi: Concetti generali. Linee di corrente e equazione di continuità. Equazione di Bernoulli. Applicazioni.Moto Ondulatorio: Onde meccaniche. Tipi di onde. Propagazione delle onde. Velocità delle onde. Equazione d'onda. Potenza e intensità delle onde. Sovrapposizione e interferenza di onde. Onde stazionarie, risonanza.Onde Sonore, Acustica: Velocità del suono. Onde longitudinali. Potenza e intensità di onde acustiche. Onde longitudinali stazionarie. Sorgenti sonore. Battimenti. Cenni su effetto Doppler ed onde d'urto.Temperatura: Descrizione microscopica. Equilibrio termico. Misura della temperatura, scala Celsius e Kelvin. Scala del gas ideale, termometro a gas. Dilatazione termica.

Teoria Cinetica Del Gas Ideale: Leggi di Avogadro, Boyle, Guy-Lussac. Equazione di stato. Modello fisico del gas ideale. Calcolo cinetico della pressione. Interpretazione cinetica della temperatura. Lavoro fatto su di un gas ideale. (Volume costante, pressione costante, temperatura costante e trasf. adiabatiche). Energia interna di un gas ideale.Meccanica Statistica: Distribuzioni statistiche e valori medi. Distribuzioni delle velocità e delle energie molecolari.Calore E Primo Principio Della Termodinamica Calore, equivalente meccanico della caloria. Capacità termica e calore specifico. Capacità termiche dei solidi. Capacità termica di un gas ideale. (VoI. cost. , Press.cost. effetti quantisLici) Primo principio, applicazioni. Conduzione del calore. (conduzione, convezione, irraggiamento).Entropia E Secondo Principio Della Termodinamica: Trasformazioni reversibili ed irreversibili. Macchine termiche e secondo principio. Frigoriferi e secondo principio. Enunciati di Clausius e Kelvin-Planck. Ciclo di Carnot. Rendimento massimo. Scala termodinamica della temperatura. Entropia nelle trasformazioni reversibili e irreversibili. Entropia e secondo principio. Entropia e probabilità.

L'esame prevede una prova scritta ed una orale. A seconda dell'esito della prova scritta il candidato può essere sconsigliato dall'affrontare la prova orale. La prova scritta è articolata sulla soluzione di problemi che possono riguardare tutti gli argomenti del programma. E' opportuno pertanto che la preparazione della prova scritta proceda di pari passo con la preparazione della prova orale. Durante lo svolgimento della prova scritta è consentita la consultazione di qualunque testo o appunto.testo di riferimento: Resnick Halliday Krane - FISICA I - Altri testi indicati per la lettura e consultazione:Alonso Hnn - Elementi Di Fisica Per L'universita' Vol. I - MassonBertin Poli Vitale - Fondamenti Di Meccanica -Progetto LeonardoGiancoli -Fisica Voli Editrice AmbrosianaMazzoldi Nigro Voci - Fisica Vol 1- Edi SesMecuccini Silvestrini - Fisica I - LiguoriOhanian - Fisica Vol.L - ZanichelliRoller Blum - Fisica Vol I - ZanichelliSerway - Fisica Per Scienze E Ingegneria - Edi Ses

PROGRAMMA DEL CORSO DIFISICA GENERALE II

prof A. Consortini

ELETTROSTATICA, MAGNETOSTATICA, ELETTROMAGNETISMO, ONDE ELETTROMAGNETICHE, OTTICA, ELEMENTI DI FISICA QUANTISTICALa carica elettrica e la legge di Coulomb: Cenni storici sull'elettromagnetismo, La carica elettrica, Conduttori e isolanti, La legge di Coulomb, La carica e quantizzata, La carica si conserva.

Il campo elettrico: I campi, Il campo elettrico E, Il campo elettrico di cariche puntiformi, Linee di forza, Il campo elettrico generato da distribuzioni di carica continue, carica puntiforme in un campo elettrico, Dipolo in un campo elettrico.La legge di Gauss: Il flusso di un campo vettoriale, Il flusso del campo elettrico, La legge di Gauss, Un conduttore carico isolato, Applicazioni della legge di Gauss, Prove sperimentali della legge Gauss e della legge di Coulomb, Il modello nucleare dell'atomoIl potenziale elettrico: Le forze elettrostatiche e gravitazionali, L'energia potenziale elettrica, Il potenziale, Il calcolo del potenziale data il campo, Il potenziale dovuto a una carica puntiforme, Il potenziale di un insieme di cariche puntiformi, Il potenziale elettrico di distribuzioni di carica continue, Superfici equipotenziali, lì calcolo del campo dato il potenziale, Il conduttore isolato, l'acceleratore elettrostatico.Condensatori e dielettrici: La capacità, Il calcolo della capacità, Condensatori in serie e in parallelo, L'energia immagazzinata in un campo elettrico, Condensatore con dilettrico, I dielettrici dal punto di vista atomico, I dielettrici e la legge di Gauss, Corrente e resistenza: Correnti eletriche, Densità di corrente, Resistenza, resistività e conducibilità, La legge di Ohm, La legge di Ohm dal punto di vista microscopico, Trasferimenti di energia in un circuito elettrico, Cenno a semiconduttori e superconduttività.Circuiti: La forza elettromotrice, Il calcolo della corrente in una singola maglia,Differenze di potenziale, Resistori in serie e in parallelo, Circuiti a molte maglie, Strumenti di misura, Circuiti RL.Il campo magnetico: Il campo magnetico B, La forza magnetica su una carica in moto, Cariche in moto circolare, L'effetto Hall, Forza magnetica agente su una corrente, Momento agente su una spira percorsa da corrente, Il dipolo magnetico.La legge di Ampère: La legge di Biot-Savart, Applicazioni della legge di Biot-Savart, Linee di forza di B, Due conduttori paralleli, La legge di Ampère, Solenoidi e toroidi, Elettromagnetismo e sistemi di riferimento.La legge dell'induzione di Faraday: Gli esperimenti di Faraday, La legge dell'induzione di Faraday, La legge di Lenz, Forze elettromotrici derivanti dal moto, Campi elettrici indotti, Il betatrone, Induzione e moto relativo Proprietà magnetiche della materia: La legge di Gauss per il magnetismo,atomico e nucleare, Magnetizzazione, Materiali magnetici, Cenno al magnetismo dei pianeti.L'induttanza: L'induttanza, Calcolo dell'induttanza, Circuiti RL, Energia immagazzinata nel campo magnetico, Circuiti oscillanti: trattazione qualitativa, Circuiti oscillanti: trattazione quantitativa, Oscillazioni forzate e smorzate.Circuiti in corrente alternata: Correnti alternate, Elementi separati, Il circuito RLC in serie, Potenza nei circuiti in corrente alternata, Il trasformatore.Le equazioni di Maxwell: Le equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo, Campi magnetici indotti e corrente di spostamento, Le equazioni di Maxwell, Equazioni di Maxwell e cavità risonanti, Forma differenziale delle equazioni di Maxwell.

Onde elettromagnetiche: Lo spettro elettromagnetico, Generazione di un'onda dettromagnetica, Onde elettromagnetiche ed equazioni di Maxwell, Trasporto di energia e vettore di Poynting, Quantità di moto e pressione di radiazione.Natura e la propagazione delle luce: La luce, La velocità della luce, Lteffetto Doppler per la luce, derivazione dell'effetto Doppler.OTTICARiflessione e rifrazione su superfici piane: Ottica geometrica e ottica ondulatoria, Riflessione e rifrazione, Derivazione della legge di riflessione, Formazione delle immagini su specchi piani, Derivazione della legge di rifrazione, Riflessione totale.Specchi sferici e lenti: Specchi sferici, Superfici rifrangenti sferiche, Lenti sottili, Sistemi ottici composti, Strumenti ottici.Interferenza: Interferenza da doppia fenditura, Coerenza, Intensità nell'interferenza da doppia fenditura, Interferenza da pellicole sottili, Reversibilità ottica e cambiamenti di fase nella riflessione, Interferometro di Michelson, Interferometro di Michelson e propagazione della luce.Diffrazione: Diffrazione e teoria ondulatoria della luce, Diffrazione da singola fenditura, Intensità nella diffrazione da singola fenditura, Diffrazione da un foro circolare, Doppia fenditura: combinazione di inteferenza e diffrazione. Potere risolutivo degli strumenti ottici.Reticoli e spettri: Fenditure multiple, Reticoli di diffrazione, Dispersione e potere risolutivo, Diffrazione dei raggi X, Olografia. Polarizzazione

ELEMENTI DI FISICA QUANTISTICALuce e fisica dei quanti: Radiazione termica, Legge dell'irraggiamento di Planck, Quantizzazione dell'energia, Capacità termiche dei solidi, L'effetto fotoelettrico, La teoria dei fotoni di Einstein, Effetto Compton. Struttura dell'atomo d'idrogeno: La teoria di Bohr dell'atomo d'idrogeno, Momento angolare, Lo spin dell'elettrone, I possibili stati dall'atomo d'idrogeno, Lo stato fondamentale e gli stati eccitati dell'idrogeno, Teoria di Binstein dell'emissione stimolata, Laser, Come funziona un laser. Il principio di corrispondenza, La natura ondulatoria della materia: Particelle che si comportano come onde, Lunghezza d'onda De Broglie, Onde e particelle.

Il corso prevede anche, quando è possibile, dimostrazioni sperimentali in aula al Dipartimento di Fisica.

Il corso è Completato da serie di esercitazioni, svolte da un collaboratore designato dal Dipartimento di Fisica.

Si fa riferimento al testo: - FISICA 2 - di D. Halliday, R. Resnick e Krane, Ed Ambrosiana.

L'esame consiste di una prova orale, durante la quale viene fatto, (singolarmente e generalmente come prima domanda) un esercizio del tipo di quelli svolti durante l'anno, che sostituisce la prova scritta ed è determinante per lo svolgimento dell'esame.

PROGRAMMA DEL CORSO DIGEOMETRIA I, Prof G. Ottaviani

Matrici ed operazioni tra matrici. Vettori. Matrici invertibili. Combinazioni lineari. Matrici elementari ed operazioni sulle righe di una matrice. Algoritmo di Gauss di riduzione a scala. Sistemi lineari ed applicazione dell'algoritmo di Gauss ai sistemi lineari. Sistemi lineari equivalenti. Algoritmo per il calcolo dell'inversa di una matrice.

Il determinante, definizione ricorsiva, definizione assiomatica e loro equivalenza. Caratterizzazione dell'invertibilita' mediante i determinanti. Formula di Binet. Permutazioni e matrici di permutazione. Formula chiusa per il determinante. Interpretazione geometrica del determinante. Sviluppi per righe del determinante. La regola di Cramer.

Spazi vettoriali e loro sottospazi, Span di un sottoinsieme. Indipendenza lineare. Basi e dimensione. Numeri complessi e spazi vettoriali su C. Completamento a una base. Cambiamento di base. Equazioni parametriche e cartesiane.

Applicazioni lineari, nucleo e immagine. Formula della dimensione. Rango di una matrice. Relazione tra rango e minori di una matrice. Teorema di Rouche'-Capelli. Dimensione delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Relazione tra un sistema lineare e l'omogeneo associato. Rango della trasposta.

Matrici ortogonali. Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei. Isometrie nel piano e nello spazio. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Algoritmo di Gram-Schrnidt.

Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione. Polinomio caratteristico. Cenni sui numeri di Fibonacci. Forme hermitiane. Operatori hermitiani e unitari. Il teorema spettrale reale e complesso. Cenni sulla forma canonica di Jordan.

Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Segnatura e teorema di Sylvester. Metodo di Lagrange.

Gli spazi affini ed i sistemi di coordinate. Sottospazi affini. Parallelismo. Combinazioni affini e baricentro. Poligini convessi. Affinita'. Il rapporto semplice. I teoremi di Ceva e Menelao (senza dimostrazione). Rette e piani nello spazio. Spazi affini orientati. Spazi euclidei. Isometrie. Area (orientata) di un poligono. Il prodotto vettoriale. Proiezioni ortogonali. Calcolo di distanze tra punti, rette e piani nello spazio.

Coniche nel piano affme e loro scrittura matriciale. Classificazione affine ed invarianti affini. Coniche a centro. Tangenti a una conica. Asintoti dell'iperbole. Coniche nello spazio euclideo. Fuochi e proprieta' focali. Classificazione metrica delle coniche (senza dimostrazione). Cenni sulle quadriche.

E' stato seguito il testo di M. Artin - "Algebra" - ed. Boringhieri. Sulla geometria analitica sono state distribuite delle note, reperibili presso il servizio fotocopie del Dipartimento di Matematica.

Il corso e' stato affiancato da esercitazioni facoltative presso il laboratorio di calcolo, utilizzando il sistema di calcolo simbolico -"Derive"- ed alcune librerie software contenute nel testo - "Algebra lineare e Geometria con Derive" - Manara, Perotti - ed. Mc Graw-Hill.

PROGRAMMA DEL CORSO DIGEOMETRIA II

Prof. Ancona

Complementi Di Algebra Lineare: Riduzione di una matrice quadrata alla figura di Jordan

Topologia:Spazi topologici. Assiomi degli aperti e dei chiusi. Applicazioni continue e omeoformismi. Prodotti e quozienti di spazi topologici. Assiomi di separazione. Connessione e connessione per archi; componenti connesse. Assiomi di numerabilita'. Compattezza. Compattificazione di Alexandroff. Spazi metrici; compattezza negli spazi metrici; spazi metrici completi.

Teoria Delle Funzioni Olomorfe Di Una Variabile: serie di potenze. Funzioni analitiche compresse. Funzioni C - derivabili; equazioni di Canchy - Riermann. Il teorema e le formule integrali di Canchy. Equivalenze fra C. Derivabilita' e analiticita'. Teorema di Lionville. Teorema di convergenze uniforme di Weierstrass.Primitive di funzioni complesse. Funzioni di logaritmo. Cenni alle funzioni armoniche. Teorema della media e principio del massimo. Serie di Laurent. Singolarita'. Residui.

Elementi Di Geometria Differenziale Di Curve E Superficie: Curve differenziabili. Vettori tangenti e normali. Ascissa curvilinea. Piano osculatore. Formule di Trenet. Superficie. Spazio tangente e versore normale. Curvatura di Grauss e curvatura media. Area di una superficie.

Cenni Sulle Varieta' Algebriche Affini

PROGRAMMA DEL CORSO DIGEOMETRIA SUPERIORE

Prof. Fabio Podesta'

Preliminari su varieta' differenziabili: fibrato tangente, cotangente, tensori, partizioni dell'unita'. Sottovarieta' immerse e embedded, distribuzioni differenziabili e teorema di Frobenius: slices e dimostrazione del teorema di Frobenius in piccolo; enunciato del teorema globale. Metriche Riemanniane, connessione di Levi Civita (esistenza ed unicita') e simboli di Christoffel. Campi lungo le curve e campi paralleli. Trasporto parallelo. Geodetiche come curve autoparallele: teorema di esistenza ed unicita'. Mappa esponenziale: insieme di definizione e suo differenziale. Coordinate normali. Lemmi di convessita' ed esistenza di intorni convessi. Lemma di Gauss; le geodetiche radiali sono minimizzanti in piccolo. Geodetiche come minimi locali del funzionale lunghezza. La distanza associata ad una metrica Riemanniana. Completezza e il teorema di Hopf-Rinow. Orientabilita' e il rivestimento doppio orientabile. Integrazione su varieta'.Forme differenziali, differenziale esterno, pull-back, Lemma di Poincare': esistenza di un operatore di omotopia. Il complesso delle forme differenziali e la coomologia di de Rham; successioni esatte di complessi e successione esatta lunga a livello di coomologia (operatore di cobordo). Omotopia tra applicazioni differenziabili e loro effetto a livello di coomologia. Coomologia relativa e la successione esatta della coppia; coomologia a supporto compatto. Successione di Mayer-Vietoris; i gruppi di coomologia di una varieta' compatta sono finito-dimensionali. Dualita' di Poincare' e teorema di Kuenneth. Fibrati vettoriali: trivializzazioni e funzioni di transizione. Esistenza di fibrati vettoriali in termini di funzioni di transizione ed equivalenza. Fibrati banali e parallelizzabilita'. Somme di Whitney e prodotto tensore. Orientabilita' di fibrati. Riduzione del gruppo di struttura. Pull-back di fibrati; omotopia e fibrati isomorfi. Coomologia a supporto

verticale compatto; isomorfismo di Thom e classe di Thom. Esistenza di intorni tubolari per sottovarieta' compatte, fibrato normale e forma duale di Poincare'. Classe di Eulero e numero di Eulero. La caratteristica di Eulero di una varieta' compatta e' il numero di Eulero del suo fibrato tangente.Introduzione alla teoria di Morse: Punti critici e definizione dell'Hessiano. Punti critici non degeneri e loro indice. Lemma di Morse. Primo teorema di Morse e teorema di Reeb. Secondo teorema di Morse e attaccamento di k-celle. Funzioni di Morse separanti. Disuguaglianze deboli e forti (senza dimostrazione). Teoria dei fasci: prefasci, fasci, fasci associati a prefasci, prefasci completi. Sezioni continue, omomorfismi di fasci. Fasci fini e risoluzioni fini. Assiomi di una teoria coomologica a valori in un dato fascio: teorema di esistenza ed unicita' di una teoria coomologica. Esempi della teoria coomologica singolare e di de Rham. Definizione della coomologia di Cech: mappe di raffinamento e limiti diretti. Cenno alla dimostrazione che la coomologia di Cech e' una teoria coomologica. Ricoprimenti di Leray. Richiami di analisi complessa in una variabile: funzioni olomorfe, formula di Cauchy, zeri di una funzione olomorfa, funzioni meromorfe e poli. Ordine di zeri e poli. Operatore e risoluzione fine del fascio strutturale. Superfici di Riemann: genere, divisori e teorema di Riemann-Roch. Formula di Riemann Hurwitz.

Testi consigliati:F.W. Warner, - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups -

Springer VerlagR.Bott - L.W. Tu, - Differential Forms in Algebraic Geometry - Springer VerlagJ. Milnor - Morse Theory - Princeton University PressR. Godement - Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux - Hermann.R.C. Gunning - Lectures on Riemann Surfaces - Princeton Math. Notes (1966)

PROGRAMMA DEL CORSO DIISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA

prof. G. Busoni

Modelli meccanici rappresentabili con equazioni alle derivate parziali. Equazioni di continuità o di bilancio; vibrazioni di corde flessibili, si sbarre elastiche; sistema dei telegrafisti; equazione della diffusione e del calore.

Operatori integrali in C (Ω). Equazioni lineari integrali di Fredhohm e di Volterra di 2a specie. Metodo iterativo per la dimostrazione di esistenza ed unicità della soluzione. Autovalori ed autovettori. Alternativa di Fredhohm e di Volterra per nuclei degeneri e per nuclei non degeneri. Operatori integrali a nucleo debolmente singolare.

Equazioni differenziali a derivate parziali lineari. Il metodo delle linee caratteristiche per le equazioni del 1° ordine. Equazioni del 1° ordine non lineari: strisce caratteristiche.

Equazioni delle derivate parziali del 2° ordine lineari: classificazione. Linee caratteristiche.

Cenni sullo sviluppo in serie di Fourier.Equazioni delle onde, omogenee e non omogenee in una dimensione spaziale.

Operatore aggiunto iperbolico e metodo di Riemann.Operatori ellittici e problemi tipici delle condizioni al contorno. Formule del

valore medio. Principio di massimo forte, teorema di Hopf. Funzioni di Green per problemi di Dirichlet e di Neumann.

L'equazione del calore. Integrale di Poisson. Principio di massimo in forma debole. Formula rappresentativa. Esempi di costruzione della funzione di Green per la sbarra.

PROGRAMMA DEL CORSO DIISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE.

Prof. N. Fusco

La misura di Lebesgue. Integrazione astratta. Misure di Borel positive. Spazi Lp. Spazi di Hilbert.

Spazi di Banach. I teoremi di Hahn-Banach. I teoremi di Banach - Steinhaus e del grafico chiuso. Topologie deboli. Spazi riflessivi. Spazi separabili. Spazi uniformemente convessi. Funzioni a variazione limitata. Funzioni assolutamente continue. Funzioni armoniche.

Testi utilizzati:N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone - Analisi Matematica due - (Cap. 9 )W.Rudin - Analisi Reale e Complessa - (Cap. 1, 2, 3, 4 e 5 )H.BrÈzis - Analisi Funzionale - (Cap. 1, 2 e 3) Appunti

PROGRAMMA DEL CORSO DIISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE

Prof. G. Gentili

Argomenti di Topologia Algebrica: Superficie topologiche con e senza bordo. Triangolabilità delle superficie connesse compatte: enunciato del Teorema di Radò. Studio della topologia quoziente indotta da funzioni continue e surgettive tra spazi topologici. Esempi: toro, bottiglia di Klein, spazio proiettivo, nastro di Moebius. L' operazione di taglia e incolla e la sua giustificazione topologica. Superficie compatte e connesse come quozienti di poligoni del piano. Somma connessa di superficie. Il teorema di classificazione topologica delle superficie connesse, compatte, senza bordo. Omotopia e omotopia relativa per applicazioni. Tipo di omotopia per spazi topologici. Spazi contrattili. Omotopia di cammini. Il gruppo fondamentale per uno spazio topologico connesso per archi e le sue principali proprietà. Prodotti liberi di gruppi e loro quozienti. Gruppi liberi e loro quozienti. Due teoremi di Van Kampen per il calcolo del gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Attaccamento di una "n-cella" ad uno spazio topologico. Calcolo del gruppo fondamentale di spazi ottenuti attaccando una n-cella ad uno spazio topologico (compreso il caso delle superficie compatte connesse senza bordo).Rivestimenti di uno spazio topologico di Hausdorff connesso per archi. Teorema di sollevamento per i cammini e per l'omotopia di cammini. Sollevamenti di applicazioni tra due spazi topologici: condizioni. Classificazione dei rivestimenti di uno spazio: rivestimenti isomorfi e condizioni algebriche per l'isomorfismo. Il gruppo delle trasformazioni di un rivestimento. Rivestimenti regolari. esistenza del rivestimento di assegnato gruppo fondamentale. Uso del rivestimento per il calcolo del gruppo fondamentale dello spazio base.Argomenti di Geometria Differenziale delle Superficie: Definizione di superficie. Superficie come grafici e come controimmagini di valori regolari di funzioni differenziabili. Il cambio di parametri. Funzioni differenziabili tra superficie. Diffeomorfismi. Spazio tangente ad una superficie in un punto. Il differenziale di un'applicazione differenziabile tra superficie e la sua rappresentazione. Diffeomorfismi locali tra superficie, il teorema di inversione locale.La I forma fondamentale. Lunghezza di curve e area di regioni su superficie. La forma di volume. Superficie orientabili e non orientabili. La mappa di Gauss. Il differenziale della mappa di Gauss. La II forma fondamentale. Curvatura normale. Curvature principali, direzioni principali. Linee di curvatura. La curvatura di Gauss di una superficie, e la classificazione dei punti a seconda della loro curvatura. Superficie connesse costituite interamente di punti ombelicali. Direzioni asintotiche, curve asintotiche. Il differenziale della mappa di Gauss in coordinate locali. Le equazioni di Weigarten. Studio locale dei punti ellittici e iperbolici. Alcune intrpretazioni geometriche per la curvatura di Gauss. Superficie minime: variazione normale, punti stazionari del funzionale area e curvatura media. Superficie minime in coordinate isoterme: armonicità della coordinate.

Isometrie locali tra superficie. Superficie localmente isometriche e caratterizzazione degli intorni isometrici. Applicazioni conformi locali tra superficie. Conformalità locale di due superficie qualunque.I simboli di Christoffel. L'equazione di Gauss e il Teorema Egregium. Le equazioni di Mainardi Codazzi. Il teorema di Bonnet.Campi di vettori su una superficie. Derivata covariante di un campo lungo un altro. Campi paralleli. Trasporto parallelo di un campo lungo una curva e sue proprietà. Curve geodetiche. Valore algebrico della derivata covariante di un campo lungo una curva. Curvatura geodetica. Formula di Liouville. Teorema delle "turning tangents". Il teorema di Gauss-Bonnet locale, il teorema di Gauss-Bonnet globale e loro applicazioni.Introduzione alle Geometria Differenziale (indirizzo generale): Atlanti, atlanti massimali, strutture differenziabili. Varietà differenziabili, CK, analitiche, complesse. La sfera di Riemann. Lo spazio proiettivo complesso CP1. Germi di funzioni. Derivazioni. Spazio tangente ad una varietà differenziabile. Applicazioni, immersioni locali, immersioni e sottovarietà, sommersioni. Campi di vettori e fibrato tangente. Flussi locali e campi vettoriali. Campi vettoriali proiettabili. La parentesi di Poisson e la derivata di Lie. Fibrati vettoriali e teorema di struttura. Fibrazioni di sfere su sfere. Operazioni sui fibrati vettoriali, con particolare riferimento al prodotto tensore di fibrati. Metriche lungo le fibre di un fibrato. Varietà riemanniane. Forme differenziali su una varietà. Il lemma di Volterra Poincaré. I gruppi di deRham.

Testi di riferimento:

W. S. Massey, - Algebraic Topology: An Introduction - Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1987.

Manfredo P. Do Carmo - Differential Geometry Of Curves And Surfaces - Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, - Lezioni Di Geometria Differenziale - Bollati Boringhieri, Torino, 1995.

PROGRAMMA DEL CORSO DILINGUAGGI PROGRAMMATIVI

Prof. E. Barcucci

Linguaggi e grammatiche, insiemi ed espressioni regolari., grammatiche regolari e context-free. Derivazioni e ambiguità grafo di una grammatica, analizzatori sintattici discendenti ed ascendenti, in larghezza e in profondità. Trasformazione di grammatiche, forme normali di Greibach di Chomsky. Automi a stati finiti deterministici e non; automi e espressioni regolari, automi e grammatiche regolari. Automi a pila e linguaggi context-free. Pumping lemma e proprietà di chiusura per linguaggi Automi linearmente limitati e linguaggi contestuali. Gerarchia di Chomsky.

Problemi di decisione, arresto delle macchine di Turing, sistemi Semi-Thue, Sistemi di Post, problemi indecidibili per linguaggi e grammatiche. Analizzatori e grammatiche LL(k). Analizzatori e grammatiche LR(k). Caratteristiche e realizzazione dei linguaggi programmativi. Il linguaggio C.

Testi consigliati:

T. Sudkamp, - Languages and Machines-, Addison-Wesley; Ghezzi e M. Jazayeri, -Concetti dei Linguaggi di Programmazione - Franco Angeli.Ulteriori testi di riferimento: J. Hopcroft e J. Ullman, -Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley-; T. Pratt, -Linguaggi di Programmazione-, Gruppo editoriale Jackson.

Corso di Programmazione Logica e Linguaggio PrologM. C. Verri

Richiami sui linguaggi della logica delle proposizioni e dei predicati. Teorie assiomatiche. Introduzione alla programmazione logica. Unificazione e calcolo del MGU. Regola di risoluzione. Risoluzione SLD. Il linguaggio Prolog. Predicati di sistema e metapredicati. Alcune strutture fondamentali: liste, liste differenza,

simulazione di predicati bottom up. La negazione in programmazione logica: CWA e negazione per fallimento finito.

Libro di testo:

Console, Lamma, Mello, "Programmazione Logica e Prolog", Utet.Altri libri di riferimento:

Furlan, Lanzarone, "Prolog", Franco Angeli.J. W. Lloyd, "Foundations of Logic Programming", Springer Verlag.Mendelson, "Introduzione alla Logica Matematica", Boringhieri.

Propedeuticità: Teoria e Applicazione delle macchine calcolatriciValutazione: Esame orale previa presentazione di un progetto realizzato in linguaggio C ed uno in linguaggio Prolog

PROGRAMMA DEL CORSO DILOGICA MATEMATICA

Prof. P. Mangani

Calcolo degli enunciatiPrincipio di induzione e teorema di revulsioneAlgebra di BooleAtomi, filtri e ultrafiltriCalcolo dei predicati del primo ordineFunzioni semicomputabiliFunzioni ricorsiveFunzioni parziali ricorsiveMacchine di turingPrimo e secondo teorema di incompletezza di GoedelFiltri e ultrafiltri su insiemi non vuotiProdotti diretti, prodotti ridotti e ultraprodotti di struttureTeorema di Loss e applicazioni ai modelli non standardCenni di ligoche non classiche.

PROGRAMMA DEL CORSO DIMATEMATICHE COMPLEMENTARI

Prof. Vincenzo Ancona

Elementi di Algebra computazionale e geometria algebrica. L'anello dei polinomi in più variabili. Ordini monomiali. Divisione fra polinomi. Basi standard di un ideale. Il teorema di Buchberger. Il teorema della base di Hilbert.Moduli e moduli graduati sull'anello dei polinomi. Il teorema delle sizigie.

Varietà affini e varietà proiettive. Il teorema degli zeri di Hilbert.Introduzione all'uso di strumenti di calcolo simbolico per l'algebra commutativa

e per la geometria algebrica, con particolare riferimento ai programmi computazionali CoCoa, Mathematica (pacchetto Basi di Groebner), Macaulay. Elementi di linguaggi di programmazione per l'algebra computazionale.

Applicazioni1) Elementi di robotica: i problemi cinematici diretto e inverso e la programmazione del moto.2) Dimostrazione automatica di teoremi.

Esercitazioni.: sono previste sessioni di esercitazioni al calcolatore.

Corso integrativo. Nell'ambito del corso saranno tenute dal Prof. Marco Pellegrini 10 lezioni su argomenti di geometria computazionale . Tali argomenti faranno parte a tutti gli effetti del programma di esame.

Modalita' d'esame. L'esame consta di una prova orale. Lo studente puo' chiedere di sostenerlo separatamente in due colloqui, uno sugli argomenti di algebra computazionale, l'altro sugli argomenti del corso integrativo. Il voto sara' comunque assegnato sulla base di una valutazione complessiva.

Testi consigliati.D. Cox, J. Little, D. O'Shea. Ideals - varieties and algorithms. - Spriger 199 - G. Ottaviani. - Introduzione alle varieta' algebriche: un punto di vista costruttivo.

PROGRAMMA DEL CORSO DIMATEMATICHE SUPERIORI

Docente: E. Mascolo .

Introduzione al Calcolo delle Variazioni. Metodi Classici e Metodi Diretti Sviluppo storico. Esempi: principio di Fermat, Problema di Newton, Bernoulli e la Brachistocrona. Superfici minime di rotazione. Sistemi meccanici. Problemi isoperimetrici. Integrali Multipli: problema della membrana e superfici minime.

Cenni di Analisi funzionali. Spazi metrici e normati, funzionali lineari, spazi duali. Topologia debole e debole*.Teoremi principali.

Spazi Lp: Definizioni e proprietà. Funzionali lineari in Lp, topologia debole di Lp e topologia debole* in L . Funzioni test e mollificatori.

Introduzione agli spazi di Sobolev. Derivate deboli. Definizioni e proprietà degli spazi di Sobolev. Teoremi di immersione. Teoremi di immersione compatta. Disuguaglianza di PoincarË.

Equazione di Euler-Lagrange. Differenziabilità secondo Gateaux e di Frechet di un funzionale. Derivazione dell'equazione di Euler-Lagrange. Osservazioni ed esempi .

Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni. Principio di Dirichlet. Applicazione dei Metodi Diretti all'Integrale di Dirichlet.

Problemi di minimo nella classe delle funzioni Lipschitziane. Condizione della pendenza limitata: Teorema di esistenza e unicità. Tecnica delle Barriere. Applicazioni al problema delle superfici minime. Teoremi di esistenza per problemi non convessi nella classe delle funzioni Lipschitziane . Funzionale rilassato e cenni sui problema di rilassamento.

Semicontinuità. Caso scalare: Teorema di Tonelli. Condizioni necessarie e sufficienti alla semicontinuità. Funzionali coercivi e teoremi di esistenza. Caso vettoriale: Condizioni necessarie per la semicontinuità. Funzioni quasi convesse, policonvesse e convesse di rango uno. Teoremi di semicontinuità. Applicazioni all'elasticità non lineare.

Regolarità .Cenni sulla regolarità dei minimi. Dimostrazione del teorema di regolarità nel caso unidimensionale.

La bibliografia sul Calcolo delle Variazioni é molto vasta. La bibliografia che segue é relativa solo ai testi principali consultati nella preparazione di alcuni appunti

E. Pascal - Calcolo delle Variazioni e delle Differenze Finite - Manuali Hoelpli, 1918;

O.Bolza - Lectures on the Calculus of Variations, Dover - Pubblications Inc., New York,1961;

N.I.Akhiezer - The Calculus of Variations, Tradotto dal russo by A.H.Frink - Blaisdell Publ, 1962;

I.M.Guelfand-S.V.Fomin - Calculus of Variations - Prentice-Hall,Inc., Englewood Cliff, N.J., 1963;

CB Morrey - Multiple integral Problems in the Calculus of Variations and related Topics - University of California Press, Berkeley, 1966;

R.Adams - Sobolev Spaces - Accademic Press 1975; G.Talenti - Calcolo delle Variazioni - UMI 1977;D.Gilbarg-N.S.Trudinger - Elliptic Partial Differential Equations of second

order - Springer-Verlag,1977;E.Giusti - Equazioni ellittiche del secondo ordine - quaderni UMI,1978; A.N.Kolmogorov-S.V.Fomin - Elementi di teoria delle funzioni e di Analisi

Funzionale - Ed.MIR , 1980;H;Brezis - Analyse Functionelle - Masson ,1983;M.Giaquinta - Multiple Integrals in the Calculus of Variaztions and non linear

elliptic systems - Princeton University Press, 1983;B.Dacorogna - Direct methods in the Calculus of Variations - Appl. Mat. 78,

Springer-Verlag, 1989;

E.Giusti - Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni - UMI 1994.

PROGRAMMA DEL CORSO DIMECCANICA RAZIONALE

Prof. G. Busoni

Vettori applicati e teoria dei momenti: Cenni di calcolo vettoriale. Vettori applicati. Momento polare e assiale. Asse centrale. Sistemi equivalenti. Centro di vettori paralleliFondamenti geometrici e cinematici della meccanica lagrangiana: Curve nel piano. Lunghezza di una curva e parametrizzazione naturale. Versore tangente, versore normale e curvatura. Curve in R3. Campi vettoriali e curve integrali. Superficie. Varieta' differenziabili riemanniane. Sistemi vincolati e coordinate lagrangiane. Spazio delle configurazioni. Sistemi olonomi. Spazio delle fasi Dinamica: leggi generali e dinamica del punto: Richiami e commenti sui postulati della meccanica classica. Il principio di relativita' galileiana e le forze d'interazione. Lavoro, campi conservativi. Dinamica del punto vincolato con vincoli olonomi lisci. Vincoli con attrito. Punto soggetto a vincoli unilaterali Moti unidimensionali: Analisi qualitativa del moto dovuto a una forza posizionale. Il pendolo semplice. Piano delle fasi, equilibrio. Oscillazioni smorzate, oscillazioni forzate. Risonanza. Battimenti. Moti centrali. Formula di Binet. Moti pianiDinamica dei sistemi discreti. Formalismo lagrangiano: Equazioni cardinali. Sistemi olonomi a vincoli lisci.Le equazioni di Lagrange. Determinazione delle reazioni vincolari. Vincoli con attrito. Sistemi conservativi. Funzione lagrangiana. Equilibrio dei sistemi olonomi a vincoli lisci. Potenziali generalizzati. Simmetrie e leggi di conservazione. Equilibrio, stabilita' e piccole oscillazioni Meccanica dei sistemi rigidi: Proprieta' di carattere geometrico. Angoli di Eulero. Cinematica dei sistemi rigidi. La formula fondamentale. Asse istantaneo di moto. Spazio delle fasi per le precessioni. Cinematica relativa. Dinamica relativa. Rigate di un moto rigido. Preliminari sulla geometria delle masse. Ellissoide e assi principali di inerzia. Omografia di inerzia. Grandezze dinamiche di rilievo nella dinamica dei rigidi. Dinamica dei sistemi liberi. Dinamica dei sistemi rigidi vincolati. Equazioni di Eulero per le precessioni. Precessioni per inerzia. Le rotazioni permanenti. Precessioni dei giroscopi. Precessioni di un giroscopio pesante (trottola). RotazioniMeccanica analitica: Formalismo hamiltoniano. Trasformazioni di Legendre. Funzione di Hamilton. Le equazioni di Hamilton. Teorema di Liouville. Teorema di Poincare'. RicorrenzaCenni di relativita' speciale:Concetti di spazio e tempo. Spazio di Minkowski. Trasformazioni di Lorentz. Principio di relativita'. Moto relativo. Simultaneita'. Dilatazione del tempo. Contrazione dello spazio. Velocita' relativa. La velocita' della luceMeccanica dei sistemi continui: Il modello dei sistemi continui. Coordinate lagrangiane. Cinematica. Equazione di continuita'. Il modello delle forze nella meccanica dei continui. Le equazioni cardinali per i sistemi continui. Tensore degli sforzi. I sistemi fluidi. Isotropia degli sforzi. Statica dei fluidi barotropici. Dinamica dei fluidi perfetti

PROGRAMMA DEL CORSO DIMECCANICA SUPERIORE

Prof. A. Fasano

Transizioni Di Fase: Problema di Stefan unidimensionale a una fase. Soluzioni autosimilari. Esistenza (globale), unicita', dipendenza continua e monotona dai dati per il problema a una fase nel range naturale di temperature. Altri problemi a frontiera libera per equazioni paraboliche riconducibili a quello di Stefan. Il problema di reazion~diffusione con nucleo inerte. Risoluzione del caso stazionario. Risoluzione di problemi coi dati di Cauchy sulla frontiera libera a problemi del tipo di Stefan. Esistenza (locale), unicita' e dipendenza continua dai dati per il problema di Stefan unidimensionale a una fase senza vincoli di segno sui dati. Il problema di Stefan multidimensionale, formulazione debole, esistenza e unicita'.

Problemi Di Filtrazione: Legge di Darcy. Il problema di Green Ampt. Il problema della diga: proprieta' a priori delle soluzioni, formulazione variazionale, riduzione a un problema di ostacolo.Il problema del caffe' espresso. Alcuni problemi di filtrazione nella fabbricazione di materiali compositi.

Problemi Di Fluidodinamica Industriale: Flussi di Bingham (caso laminare piano, esistenza e unicità di soluzioni classiche). La degradazione reologica di slurries.

Problemi Nella Scienza Dei Polimeri: Cristallizzazione, polimerizzazione

PROGRAMMA DEL CORSO DIRICERCA OPERATIVA

Prof. L. Brugnano

Elementi introduttivi: Generalita' sui problemi di ottimizzazione. Richiami sugli insiemi convessi e sull' Algebra Lineare Numerica: fattorizzazione LU di una matrice, pivoting, fattorizzazione LDLT per matrici simmetriche e definite positive. Tecniche di memorizzazione per matrici sparse. Richiami sulle pseudopotenze. Cenni sul linguaggio Matlab.Problemi di Programmazione Lineare (PL): Forma standard di un problema di Programmazione Lineare. Il teorema fondamentale della Programmazione Lineare. Il metodo del Simplesso standard; algoritmo ed implementazione Matlab. Trattamento di soluzioni basiche degeneri. Il metodo del Simplesso a due fasi. Variabili con limite superiore. Forma matriciale del metodo del Simplesso. Il metodo del Simplesso rivisto, forma prodotta e reinversione. Metodo del Simplesso e fattorizzazione LU. Il metodo di decomposizione di Dantzig-Wolfe. Problema duale di un problema di PL e teorema della dualita'. Moltiplicatori del Simplesso ed utilizzo della teoria della dualita' in teoria dei giochi. Sensitivita' della soluzione di un problema PL. Proprieta' di scarto complementare. Il metodo del Simplesso duale. Il metodo primale-duale del Simplesso. Riduzione di diseguaglianze lineari.P roblemi di ottimizzazione su grafo: Il problema del trasporto bilanciato: 1' algoritmo del NordOvest per il calcolo di una soluzione basica accettabile, triangolarita' delle basi, interezza delle soluzioni. L' algoritmo del trasporto: degenerazione e problema delle assegnazioni. Problemi di flusso su rete; il problema del flusso di minimo costo. Il metodo del Simplesso rivisto per problemi di flusso di minimo costo. Procedura ad albero. Problema del massimo flusso. Il metodo primale-duale per il problema del trasporto: algoritmo e forma matriciale. Il metodo ungherese per il problema delle assegnazioni.Programmazione Lineare Intera (PLI): Cenni sul metodo di Gomorv e sul metodo branch and bound. Casi particolari: il problema delle assegnazioni, il problema dello zaino, il problema del commesso viaggiatore.Problemi di Programmazione senza Vincoli: Condizioni per minimi locali. Funzioni convesse. Teorema di convergenza globale per metodi di discesa. Metodi di discesa: line search e metodo del gradiente. Il metodo di Newton e sue modifiche: il metodo di

Levenberg-Marquardt. Il metodo delle direzioni coniugate e il metodo del gradiente coniugato.Programmazione Nonlineare vincolata: Condizioni per minimi locali. Funzione Lagrangiana. Cenni sui metodi di penalita' e sui metodi barriera. Esempio: il problema della catenaria.

Testo consigliato:

D.G.Luenberger, - Linear And Nonlinear Programming - Addison-Wesley, 1984.

PROGRAMMA DEL CORSO DISTATISTICA MATEMATICA

Prof. G. Goodman

Lo scopo del corso è di presentare certi modelli probabilistici legati a sistemi dinamici che servano ad illustrare le connessioni reciproche fra il Caos deterministico e il Caso.

Fra gli argomenti trattati ci saranno:Il modello aritmetico di Borel per i lanci di una moneta.Il ruolo della mappa binaria e dei rami della mappa inversa.Le funzioni di Rademacher e di Walsh e le loro generalizzazioniLe leggi dei grandi numeri e il loro significato dinamico.I numeri normali.La funzione di Hellinger ed altre funzioni autoaffinigli oggetti frattali.L'algoritmo del "Chaos Game" e certi problemi probabilistici legati alla sua implementazione.La dinamica caotica dei triangoli podali.

PROGRAMMA DEL CORSO DISTORIA DELLE MATEMATICHE

Dott. S. Giuntini

Le prime scuole matematiche in Grecia - Talete - La scuola pitagorica - Aristotele.Gli Elementi di Euclide (cenni al contenuto) - Il metodo di esaustione - La teoria delle proporzioni.Archimede: vita ed opere - Il metodo - La quadratura della parabola - Conoidi e sferoidi - Sulla sfera e sul cilindro.La seconda scuola alessandrina - Diofanto.La matematica indiana.La matematica araba.Leonardo Pisano - Le scuole d'abaco.Cardano, Tartaglia e la risoluzione delle equazioni di III e IV grado - Bombelli - I numeri complessi.L'algebra e Francois Viète.Commandino, Maurolico e Luca Valerio.Il moto e Galileo Galilei.Buonaventura Cavalieri: vita ed opere.Descartes: vita ed opere. Il contenuto della Geometrie.Fermat e il problema della tangente ad una curva e i[ problema dei massimi e minimi.Roberval, De Sluse ed il problema della tangente ad una curva.I contributi di iludde e Schoothen alle edizioni latine della Geometrie di Descartes.Isaac Newton: vita ed opere. Il metodo delle flussioni. I Principia. De Analysi.

G.W. Leibniz: vita ed opere. La Nova Methodus.I primi leibniziani: i fratelli Bernoulli, il marchese de l'Hopital, J. Hermann.La diffusione del calcolo leibniziano in Italia - Hermann e il problema inverso delle forze centrali.Il problema del rigore nel calcolo e l'opera di Cauchy.

PROGRAMMA DEL CORSO DISTRUTTURE ALGEBRICHE

Prof. P. Mangani

Assiomi per la teoria assiomatica degli insiemi di Zermzlo - Fraenkel (ZF).Ordinali e Cardinali.Schema di riflessione.Insiemi definibili in termini di ordinali e consistenza relativa a ZF dell'assioma

di scelta.Modelli di Fraenkel - Mostowski e loro applicazione alla prova di consistenza

relativa con ZF della negazione di AC, senza assioma AF di fondazione.Insiemi costruibili di Godel, consistenza relativa con ZF + AF dell'assioma AC e

dell' ipotesi generalizzata del continuo (2 S a = S a + 1).

PROGRAMMA DEL CORSO DITEORIA E APPLICAZIONI DELLE MACCHINE CALCOLATRICI

Prof. R. PINZANI

Le Strutture Informative: Le strutture interne: strutture sequenziali, strutture concatenate. Le strutture astratte: le liste lineari, la pila, la coda. Gli alberi.La Ricerca Interna: Il problema della ricerca. La ricerca nei vettori e nelle tabelle. Analisi del caso medio e del caso pessimo. La ricerca negli alberi. La ricerca casualeLa Ricerca Esterna: Paginazione alberi binari. B-alberi, B*~alberi, B+-alberi, k-d-alberi. Metodi hash in memoria secondaria.L'ordinamento: Il problema dell'ordinamento. Ordinamento per inserzione. Analisi del caso medio e del caso pessimo. L'ordinamento delle tabelle. Fusione e ordinamento per fusione. Analisi del caso medio e del caso pessimo.

Metodi di enumerazione: Relazioni di ricorrenza. Funzione generatrici. Metodi asintotici.Supporti di programmazione: Introduzione a MAPLE V.Generazione casuale: Alberi. Cammini nel piano. Animali direzionati. Poliomini.

Esercitazioni (Dott.ssa E. Grazzini)

parte A

Algoritmi: Definizione e proprietà degli algoritmi. Linguaggi di descrizione. Analisi top-down e bottom-up. Analisi strutturata. Complessità computazionale. Ordini di grandezza della complessità Classi di algoritmi.Tecniche di progettazione: "Divide et Impera". Programmazione dinamica. algoritmi "greedy".Classi P e NP: Definizione delle classi P e NP. La riduzione come strumento di indagine nella classe NP. Problemi NP-completi.Il Problema della Selezione: Il problema della Selezione. Limiti inferiori e metodo dell' "oracolo". Massimo e minimo di un insieme. La seconda chiave pia grande e metodo del torneo. Algoritmo di Selezione e sua valutazione.String matching: Algoritmo di Kunth-Morris-Pratt. Algoritmo di Boyer Moore. Strngi Matching approssimato.

parte B

L'organizzazione dei sistemi di elaborazione: J processori: esecuzione delle istruzioni, l'organizzazione della CPU. La memoria: i bit, indirizzi di memoria, ordinamento dei byte, la memoria secondaria. Dispositivi di Input/Output. La memoria cache. Logica digitale e circuiti combinatori.Linguaggi a basso livello e assemblatori: I formati delle istruzioni. L'indirizzamento. Tipi di istruzioni. Il flusso di controllo. Le procedure. Le macro istruzioni. Le interruzioni.Linguaggi ad alto livello e compilatori :I linguaggi formali. Analisi sintattica. Automi a stati finiti e automi riconoscitori. Struttura di un compilatore. Architettura dei programmi. Programmi a blocchi e regole di visibilità dei nomi. Sottoprogrammi e metodi di trasmissione dei parametri.Architetture di calcolatori avanzate: Architetture parallele. Algoritmi di ordinamento parallelo: "Merging and Sorting", "Odd-Even Merging".Linguaggi ad alto livello e compilatori: I linguaggi formali. Analisi sintattica. Automi a stati finiti e automi riconoscitori. Struttura di un compilatore. Architettura dei programmi. Programmi a blocchi e regole di visibilità dei nomi. Sottoprogrammi e metodi di trasmissione dei parametri.

Architetture di calcolatori avanzate: Architetture parallele. Algoritmi di ordinamento parallelo: "Merging and Sorting", "Qdd-Even Merging".

PROGRAMMA DEL CORSO DI

TEORIA DELLE FUNZIONIProf. S. Calafiore

Corpo complesso C. Funzioni da C in C e relative propietà. Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze intere in una variabile (struttura algebrica e topologica). Funzioni elementari ez, zn e quelle da esse dedotte. Problema di invertibilità, cenni sui punti rami. Teoria elementare delle funzioni olomorfe (Teorema di Cauchy, funzione integrale, sviluppo in serie di Taylor, Teorema di Liouville, Teorema fondamentale dell'algebra). Serie di Laurent. Residui e applicazioni al calcolo degli integrali impropri. Teorema di Rouchè. Principio del massimo modulo. Rappresentazione conforme. Trasformazioni omografiche, modello della geometria iperbolica; Teorema di Riemann. Zeri di funzioni olomorfe. Prodotti infiniti. Teorema di Weierstrass e G euleriana. Prolungamento analitico. Serie di Fourier - alcuni criteri di convergenza. fCenni su misura e integrale di Lebesgue. Cenni su funzioni di classe L2 (Teorema di Riesz Fischer, uguaglianza di Parseval).

N.B. prima di sostenere la prova orale, i candidati debbono presentare una relazione scritta su argomenti ed esercizi, concordati con il titolare del corso.

PROGRAMMA DEL CORSO DITOPOLOGIA Prof. M. Furi

Topologia DifferenzialePreliminari: Applicazioni lisce tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei. Diffeomorfismi. Teorema della funzione inversa locale. Teorema della funzione implicita. Cono tangente ad un insieme in un punto. Spazio tangente (come spazio generato dal cono tangente). Differenziale in un punto di un'applicazione liscia tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei (come restrizione allo spazio tangente del differenziale di una qualunque estensione liscia ad un intorno). Proprieta' del differenziale. Confine di un insieme (insieme dei punti singolari). Teorema di invarianza del confine per un diffeomorfismo e conseguenze. Fibrato tangente ad un arbitrario sottoinsieme di uno spazio euclideo. Massimi e minimi per applicazioni reali (su arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei). Condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine). Condizioni sufficienti (del primo e del secondo ordine).Varieta' differenziabili: Varieta' differenziabili negli spazi euclidei. Varieta' con bordo. Carte e parametrizzazioni. Caratterizzazione dello spazio tangente ad una varieta' differenziabile in un punto. Primo teorema di regolarita' delle soluzioni. Punti critici e regolari. Valori critici e regolari. Una dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra. Lemma di Sard. Lemma del taglio. Secondo teorema di regolarita' delle soluzioni. Fibrato tangente ad una varieta' differenziabile. Massimi e minimi sulle varieta' differenziabili. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (condizioni necessarie). Condizioni sufficienti (del secondo ordine) associate al metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Alcuni metodi per la ricerca dei punti critici per applicazioni tra varieta' differenziabili. Alcuni esempi fisici di varieta' differenziabili (e calcolo dello spazio tangente in un punto): asta rigida in un piano, asta rigida nello spazio, corpo rigido, pendolo piano, pendolo sferico, pendolo doppio. Orientazione di un varieta' differenziabile. Orientazione complementare di una sottovarieta'. Orientazione del bordo di una varieta' orientata.Teoremi di punto fisso e grado topologico: Proprieta' del punto fisso. Retratti di uno spazio topologico (e legame con la proprieta' del punto fisso). Teorema di punto fisso di Brouwer. Principio di continuazione in dimensione finita e applicazioni ai sistemi non lineari. Teorema di punto fisso di Schauder. Principio di continuazione in dimensione infinita. Teorema di esistenza di Peano per le equazioni differenziali ordinarie. Applicazioni del teorema di Schauder e del principio di continuazione ai problemi ai

limiti per equazioni differenziali non lineari. Grado modulo due tra varieta' non necessariamente orientabili. Grado di Brouwer tra varieta' orientate. Proprieta' fondamentali del grado di Brouwer. Calcolo del grado per alcune applicazioni. Grado (topologico) di un polinomio. Alcune conseguenze della teoria del grado: teorema fondamentale dell'Algebra, teorema di non pettinabilita' delle sfere di dimensione pari, teorema di punto fisso di Brouwer. Indice di Hopf di un campo vettoriale tangente ad una varieta' differenziabile. Proprieta' fondamentali dell'indice di un campo vettoriale. Teorema di Poincare'-Hopf. Teoria della biforcazione in dimensione finita. Condizione necessaria per l'esistenza di un punto di biforcazione. Applicazione (dell'indice di un campo vettoriale) alla teoria della biforcazione: condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di biforcazione. Teorema di punto fisso di Schauder. Teorema di esistenza di Peano per equazioni differenziali ordinarie. Principio di continuazione di Leray-Schauder e applicazioni ai problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie. Cenni sulla teoria della biforcazione in dimensione infinita.

TOPOLOGIA ALGEBRICA

Elementi di teoria delle categorie: Categorie. Vari tipi di morfismi: monomorfismi, epimorfismi, retrazioni, coretrazioni, isomorfismi, endomorfismi. Prodotto e coprodotto. Groppo degli automorfismi. Principali esempi di categorie: insiemi, gruppi, spazi topologici, spazi metrici, spazi vettoriali, spazi di Banach, gruppi abeliani graduati, classi di omotopia tra spazi topologici, spazi topologici puntati, coppie di spazi topologici, varieta' differenziabili (con applicazioni lisce). Categoria delle applicazioni multivoche. Categoria delle applicazioni locali. Funtori covarianti tra due categorie. Funtori controvarianti. Funtori smemorati. Funtori della Topologia Differenziale. Trasformazioni naturali tra due funtori. Categoria ammissibile (per la teoria dell'omologia).Teoria dell'omologia: Assiomi di Eilemberg-Steenrod per la teoria dell'omologia. Principali conseguenze degli assiomi. Gruppi ridotti di omologia. Sospensione di uno spazio topologico. Funtore sospensione. Omologia delle sfere. Simplessi. Orientazione di un simplesso. Complessi simpliciali. Poliedri. Poliedri topologici (spazi triangolabili). Numero di Eulero di un complesso simpliciale finito. Gruppo abeliano libero generato da un insieme. Complesso di catene associato ad un complesso simpliciale (orientato). Omologia di un complesso simpliciale. Applicazioni simpliciali. Omomorfismo indotto da un'applicazione simpliciale. Omologia simpliciale relativa. Calcolo dei gruppi di omologia simpliciale di alcuni spazi triangolabili (sfera, spazio proiettivo, bottiglia di Klein, toro). Simplessi singolari. Complesso di catene associato ad uno spazio topologico (e ad una coppia topologica). Cicli, bordi e gruppi di omologia. Omomorfismo indotto da un'applicazione continua. Verifica degli assiomi di Eilemberg-Steenrod per l'omologia singolare. Numeri di Betti. Caratteristica di Eulero-

Poincare'. Numero di Lefschetz. Teorema di Lefschetz. Grado topologico per applicazioni tra sfere. Teorema di Hopf.

Testi consigliati:Greenberg M.J. - Lectures on Algebraic Topology - W.A. Benjamin, Inc., 1966.Guillemin V.-Pollak A. - Differential Topology - Prentice-Hall, Inc., 1974.

Hirsch M.W. - Differential Topology, Graduate Texts in Math. - Vol. 33, Springer Verlag, 1976.

Hu S.T. - Homology Theory - Holden-Day, 1970.Lloyd N.G. - Degree Theory, Cambridge Tracts in Mathematics - Vol. 73,

Cambridge University Press, 1978.Milnor J.W. - Topology from the differentiable viewpoint - The Univ. Press of

Virginia, 1965.Spivak M. - Calculus on Manifold - W.A. Benjamin, Inc., 1965.