2

SEZIONE 1

Si definiscano sinteticamente i seguenti termini anche con l’ausilio, se necessario, di formule e/o grafici:

Teoria del consumatore

a) Elasticità incrociata al prezzo

E’ il rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata di un bene (X) e la variazione percentuale del prezzo di un altro bene (Y). b) Elasticità al reddito

E’ il rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata di un bene (X) e la variazione percentuale del reddito (I) che l’ha provocata. c) Pendenza del vincolo di bilancio

In valore assoluto la pendenza del vincolo di bilancio è: y

x

PP

e rappresenta il costo opportunità di x

in termini di y (cioè indica a quante unità di y devo rinunciare per avere una unità di x in più) d) Costo opportunità

Il costo opportunità di un bene è dato dal valore del più prezioso t ra i beni alternativi ai quali si rinuncia per averlo. e) Bene inferiore

Un bene si dice inferiore se il suo consumo diminuisce con l’aumentare del reddito, ceteris paribus

f) Valore attuale

La cifra massima che sareste disposti a pagare oggi per avere diritto a riscuotere, a una data scadenza futura, una certa somma di denaro. g) Assioma di completezza

Dati due panieri di beni qualsiasi, il consumatore è sempre in grado di dire quale dei due preferisce o se li considera equivalenti. h) Bene di lusso

La definizione di bene di lusso è legata al concetto di elasticità della domanda al reddito,che misura la sensibilità della domanda di un bene a variazioni nel reddito. Più precisamente, elasticità della domanda al reddito è il rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata di un bene e la variazione percentuale del reddito che l’ha provocata.

xI

Ix

II

xx

Ix ⋅∆∆

=∆

∆

=,ε

Quando l’elasticità al reddito è positiva (∆X/∆I >0) e maggiore di 1, il bene si definisce “di lusso”. All’aumentare del reddito la domanda del bene aumenta in modo più che proporzionale

3

Teoria dell’impresa

i) Costo marginale

E’ la variazione del costo totale dovuta alla produzione di un’unità aggiuntiva di prodotto. (Data la funzione di costo Ctot= f(Y), il costo marginale è dato da: MC= dCtot/dY) Può essere di lungo o breve periodo a seconda del costo totale che si sta considerando. j) Rendimenti di scala decrescenti

Si hanno rendimenti di scala decrescenti quando, aumentando la quantità utilizzata di tutti i fattori nella stessa proporzione, il prodotto aumenta meno che proporzionalmente. In termini analitici:

),(),( KLtftKtLf < . k) Isocosto

E’ la curva che indica tutte le combinazioni di fattori per le quali il costo di produzione rimane invariato. l) Rendimenti marginali decrescenti

Si hanno quando il prodotto marginale di un fattore diminuisce al crescere della quantità utilizzata dello stesso fattore, a parità di utilizzo degli altri fattori produttivi. m) Tecnologia con fattori perfetti complementi

Nel caso dei perfetti complementi gli input, capitale e lavoro, devono essere utilizzati secondo una proporzione fissa. ( )KLq βα ,min= n) Saggio marginale di sostituzione tecnica

Indica in quale rapporto una data tecnologia consente di sostituire un fattore produttivo con un altro. E’ pari all’opposto della pendenza dell’isoquanto. o) Isoquanto

L’isoquanto è la curva indicante tutte le combinazioni di due inputs che consentono di ottenere lo stesso volume di produzione. p) Ricavo marginale

La variazione del ricavo totale dovuta alla vendita di un’unità aggiuntiva di prodotto.

Equilibrio economico generale

q) Primo teorema dell’economia del benessere

Stabilisce che l’allocazione raggiunta da un equilibrio concorrenziale è Pareto-efficiente. r) Curva dei contratti

La curva dei contratti identifica l’insieme delle allocazioni Pareto-efficienti, ovvero quelle per cui non è possibile migliorare la posizione di un soggetto senza peggiorare quella dell’altro. Analiticamente corrisponde alla condizione che MRSA = MRSB, dove A e B sono i due soggetti.

4

s) Secondo teorema del benessere

Se tutte le curve di indifferenza e tutti gli isoquanti sono convessi, per ogni allocazione di risorse Pareto-efficiente esistono un insieme di prezzi e una distribuzione delle dotazioni iniziali che consentono di raggiungere tale allocazione come un equilibrio economico generale concorrenziale.

Monopolio

t) Monopolio naturale

Il monopolio naturale è un’industria in cui un’unica impresa è in grado di produrre la quantità domandata complessivamente a un costo medio inferiore rispetto a quello che dovrebbero sostenere più imprese produttrici. Il monopolio naturale è dunque favorito dalla presenza di economie di scala, vale a dire da costi medi decrescenti. u) Discriminazione di prezzo perfetta.

Pratica che prevede di vendere ogni unità prodotta al prezzo che coincide esattamente con la cifra massima che ciascun consumatore è disposto a pagare per quell’unità.

Teoria dei giochi - Ologopolio

v) Equilibrio di Nash

Un equilibrio di Nash di un gioco è un profilo di strategie tale che ogni giocatore massimizza la propria utilità date le scelte dei propri avversari.

Scelte in condizioni di incertezza

w) Avversione al rischio

Un individuo è avverso al rischio se preferisce un pagamento certo ad uno incerto con uguale valore atteso (rifiuta sempre una scommessa equa). La funzione di utilità di un individuo avverso al rischio è concava nella ricchezza totale. x) Amore per il rischio

Un individuo è amante del rischio se ad un pagamento certo ne preferisce uno incerto con uguale valore atteso (accetta sempre una scommessa equa). La funzione di utilità di un individuo amante del rischio è convessa nella ricchezza totale.

Q

AC

5

y) Equivalente certo.

In presenza di una scommessa cui viene associata un’utilità attesa, l’equivalente certo è quel valore che se garantito con certezza rende l’agente indifferente tra il partecipare o meno alla scommessa.

Informazione asimmetrica ed esternalità

z) Esternalità positiva

Si ha un’esternalità positiva quando il comportamento di un so ggetto ha un effetto positivo sul benessere di altri, senza che questi ultimi lo ricompensino per i benefici ottenuti. aa) Esternalità negativa

Si ha un’esternalità negativa quando il comportamento di un soggetto ha un effetto negativo sul benessere di altri, senza che questi ultimi vengano ricompensati dal primo per i danni subiti. bb) Selezione avversa

Fenomeno per cui, in presenza di asimmetria informativa su caratteristiche nascoste, i soggetti che appartengono alla parte più informata del mercato si autoselezionano in un modo che risulta dannoso per i soggetti che appartengono alla parte meno informata.

6

SEZIONE 2

Si stabilisca se i seguenti enunciati sono veri, falsi, o incerti (cioè veri solo sotto ipotesi restrittive non contenute nell’enunciato). Si fornisca una spiegazione della risposta. [La spiegazione è più importante della corretta classificazione]

Teoria del consumatore

a) Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero e tempo dedicato al lavoro, un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più in seguito ad un aumento del salario. -

Falso. Se il tempo libero è un bene normale, in seguito all’aumento del salario si ha un aumento dell’offerta di lavoro per effetto di sostituzione, ma una diminuzione dell’offerta di lavoro per effetto di reddito. L’effetto complessivo è dunque incerto e, se prevale l’effetto reddito, l’offerta di lavoro potrebbe anche diminuire in seguito un aumento del salario. b) In un modello biperiodale di scelta di consumo in cui il risparmio è soggetto ad una tassa sugli interessi, una riduzione della tassa genera sempre un aumento dell’offerta di risparmio da parte di un individuo risparmiatore. -

Falso. Una riduzione della tassa sugli interessi equivale ad un aumento del tasso di interesse attivo, in seguito al quale, se il consumo presente è un bene normale, un individuo risparmiatore è portato a risparmiare di più per effetto di sostituzione, ma anche a risparmiare di meno per effetto di reddito. L’effetto complessivo è dunque incerto. L’offerta di risparmio aumenta solo se prevale l’effetto di sostituzione. c) Un consumatore ha una funzione di utilità definite da u(x,y)= x + y. Il prezzo del bene x è 0.5 e il prezzo del bene y è 1. Il reddito del consumatore è 10. Se il prezzo del bene x sale a 2, la variazione nella domanda del bene x è interamente dovuta all’effetto sostituzione. –

Vero. I paniere ottimale passa da (20,0)( punto A) a (0,10) (punto C). L’effetto sostituzione è dato dal passaggio dal punto A al punto B, mentre l’effetto reddito è dato dal passaggio dal punto B al punto C. Solo il passaggio dal punto A al punto B implica una variazione non nulla nella domanda del bene x.

Vincolo di bilancio iniziale

A=(20,0)

C=(0,10)

B

x

Vincolo di bilancio compensato

Vincolo di bilancio finale

Curve di indifferenza

y

7

d) “Se vengono consumati due beni e il consumatore spende tutto il suo reddito, non è possibile che entrambi i beni siano beni inferior i”.

Vero. Difatti se il reddito aumenta, il consumo di entrambi i beni dovrebbe diminuire ma ciò contraddice l’assunzione, derivante dal principio di non sazietà, che tutto il reddito venga speso. e) “Se il tempo libero è considerato un bene inferiore, una riduzione del salario fa sempre diminuire la quantità di ore di lavoro offerte dagli individui”.

Vero. Per l’effetto di sostituzione, l’offerta di lavoro si riduce. Per l’effetto di reddito, la domanda di tempo libero aumenta (essendo questo un bene inferiore), sicché l’offerta di lavoro diminuisce. Perciò, col tempo libero bene inferiore, l’effetto di sostituzione e quello di reddito vanno nella stessa direzione e provocano una diminuzione dell’offerta di lavoro. f) Per un individuo mutuatario, un calo del tasso di interesse ha un effetto ambiguo sul suo livello di indebitamento.

Falso. Se il consumo presente è un bene normale, sia l’effetto di reddito che l’effetto di sostituzione vanno nella direzione di aumentare il consumo corrente, e quindi l’indebitamento. g) La curva di Engel è sempre inclinata positivamente.

Falso. La curva di Engel è inclinata positivamente nel caso di beni normali, ed inclinata negativamente nel caso di beni inferiori h) Un consumatore ha una funzione di utilità definita da u(x,y)= min{ },x y . Il prezzo del bene x è 0.5 e il prezzo del bene y è 1. Il reddito del consumatore è 10. Se il prezzo del bene x sale a 2, la variazione nella domanda del bene x è interamente dovuta all’effetto di sostituzione.

E’ esclusivamente l’effetto di reddito che modifica la domanda dei due beni. L’effetto sostituzione è dato dal passaggio da A a B, cioè è nullo dato che i due punti coincidono. Solo il passaggio a C implica una variazione non nulla della domanda del bene x, e tale variazione è dovuta all’effetto di reddito.

i) Se un bene è considerato inferiore, una diminuzione della tassa sul reddito non servirà a stimolarne la domanda.

x

y

10

5

0.5xp =

20

2xp =

A=B

C

Vincolo di bilancio compensato

8

Vero. La diminuzione della tassa genera un incremento del reddito disponibile per il consumo. Nel caso di beni inferiori, all’aumentare del reddito diminuisce la domanda. Quindi, il provvedimento non stimola la domanda del bene, anzi ne produce una riduzione.

Teoria dell’impresa

j) Data una funzione di produzione y = min(L,K), una variazione del prezzo di uno dei due fattori produttivi non ha effetto sulla combinazione di fattori utilizzata per produrre una data quantità di output, ma solo sul costo complessivo di produzione. -

Vero. Poiché si tratta di una tecnologia in cui i fattori produttivi sono perfetti complementi, la combinazione economica efficiente dei fattori produttivi è sempre quella corrispondente al vertice della curva di indifferenza corrispondente al livello di produzione desiderato. Il costo di produzione, invece, varia al variare del prezzo dei fattori: aumenta quando questi aumentano e diminuisce in caso contrario. k) La funzione di produzione y = L + K è caratterizzata da rendimenti di scala costanti. - Parziale 6 Aprile 2004 (v/f. c, turno B)

Vero. ),()(),( KLtfKLttKtLtKtLf =+=+= l) In una funzione di produzione del tipo Y=f(L,K)=min(L,K), dove Y è l’output e L e K i due fattori produttivi, i rendimenti di scala sono sempre costanti. Vero o falso? Si motivi la risposta. -

Vero, in questo caso i rendimenti di scala sono costanti: infatti, considerato un numero qualsiasi h, si ha: min(hL; hK) = h*min(L;K) = hY.

I costi – L’impresa che non fa il prezzo

m) Per un’impresa che non fa il prezzo, nel breve periodo, data la situazione illustrata nel grafico sottostante la scelta migliore è non produrre nulla. – Generale 8 Giugno 2004 (v/f. b)

P*

Costo Marginale (sia economico che e contabile)

Quantità

P

Costo medio

totale, ovvero,

nella terminologia

del K-R: Costo

medio contabile:

AFE

Costo medio

variabile, ovvero,

nella terminologia

del K-R: Costo

medio

economico: AC

9

Falso. Non producendo nulla l’impresa consegue una perdita contabile superiore rispetto a produrre la quantità in corrispondenza della quale il prezzo è uguale al costo marginale. Il punto di chiusura per un’impresa che non fa il prezzo, nel breve periodo, è identificato dalla condizione P<AC, dove AC è il costo medio variabile (ovvero: il costo medio economico). n) Per un’impresa che non fa il prezzo, nel breve periodo, data la situazione illustrata nel grafico sottostante la scelta migliore è non produrre nulla.

Vero, entrambi i costi medi minimi sono superiori al prezzo di mercato, quindi l’impresa non produce sia nel breve che nel lungo periodo. o) Se i costi marginali sono sempre superiori ai costi medi, la tecnologia è caratterizzata da diseconomie di scala.

Vero. Quando i costi marginali sono superiori ai costi medi, questi ultimi sono crescenti. Costi medi crescenti denotano diseconomie di scala.

L’equilibrio nei mercati concorrenziali

p) In un’industria in concorrenza perfetta la curva di offerta di mercato di breve periodo e di lungo periodo sono crescenti.

Falso (incerto). La curva di offerta di breve periodo è sempre crescente, mentre la curva di offerta di lungo periodo può essere costante, crescente o decrescente a seconda dell’andamento dei prezzi dei fattori. q) Un’impresa in concorrenza perfetta, nel breve periodo, ottiene profitti nulli. -

Falso. In equilibrio di breve periodo un’impresa in concorrenza perfetta produce ad un livello per cui ACMCP >= , quindi i profitti sono positivi. r) Nel caso in cui la curva di domanda di mercato sia perfettamente rigida e quella di offerta sia inclinata positivamente, un’accisa che colpisce i consumatori modifica il prezzo e la quantità di equilibrio.

P*

Costo medio totale

Costo marginale

Quantità

€

Costo medio variabile

10

Falso. In questo caso, la curva di offerta non si sposta e la curva di domanda di mercato dovrebbe spostarsi verso il basso. Essendo la curva di domanda perfettamente verticale il prezzo e la quantità di equilibrio non variano.

Equilibrio economico generale

s) “Se valgono tutte le ipotesi del teorema di Coase, l’assegnazione dei diritti di proprietà è irrilevante dal punto di vista dell’efficienza ma non da quello dell’equità”.

Vero. Sotto le ipotesi del teorema di Coase, l’assegnazione dei diritti di proprietà all’una o all’altra delle parti è irrilevante dal punto di vista dell’efficienza, ma non da quello dell’equità: i diritti di proprietà hanno valore economico e assegnarli ad una parte piuttosto che all’altra modifica la distribuzione del reddito. t) In un’economia di puro scambio operano due persone Luca e Victoria, che hanno a disposizione complessivamente 100 mele e 100 arance. Se Luca e Victoria hanno le stesse preferenze allora in equilibrio Luca e Victoria consumeranno la stessa quantità di beni.

Falso/Incerto. Dipende dall’allocazione iniziale. Consideriamo un’allocazione iniziale in cui tutte le mele e tutte le arance sono detenute da Victoria. Se le preferenze soddisfano l’assioma di non sazietà e sono regolari l’unica allocazione d’equilibrio è quella iniziale.

Monopolio

u) Il sovrappiù totale (benessere sociale) è massimo in concorrenza perfetta e in monopolio qualora il monopolista applichi una discriminazione di prezzo perfetta. - Parziale 8 Giugno 2004 (v/f. c, turno B)

Vero. Infatti con discriminazione perfetta la quantità complessivamente venduta è uguale a quella di concorrenza perfetta. Il sovrappiù totale è perciò uguale a quello di concorrenza perfetta, cioè è quello massimo. Qui accade però che il monopolista si appropria di tutto il sovrappiù del consumatore. v) Un’impresa monopolista in equilibrio non produce mai una quantità in corrispondenza del tratto inelastico della curva di domanda.

Vero. In fatti in corrispondenza del tratto della curva di domanda con elasticità minore di uno il ricavo marginale è negativo. w) Un’impresa che opera in regime di monopolio all’aumentare della produzione incrementa i propri ricavi in misura inferiore al prezzo dell’ultima unità venduta. c)

Vero. Per vendere una unità addizionale del bene, il monopolista deve ridurre il prezzo applicato su tutte le unità, anche quelle inframarginali (la disponibilità a pagare dei consumatori è decrescente). Quindi, al maggiore ricavo per l’unità addizionale venduta si contrappone un minore prezzo ricavato sulle unità che si vendevano anche in precedenza. Per un monopolista, dunque, un aumento unitario di produzione genera un ricavo pari a: prezzo dell’unità addizionale – perdita di ricavo sulle unità inframarginali.

11

Teoria dei giochi - Oligopolio

x) Un equilibrio perfetto nei sottogiochi è sempre anche un equilibrio di Nash. -

Vero. Un equilibrio nei sottogiochi è un equilibrio di Nash a cui aggiungere la credibilità delle minacce (o delle promesse) y) Un equilibrio di Nash è sempre un equilibrio in strategie dominanti -

Falso. E’ un equilibrio in strategie dominanti che è sempre un equilibrio di Nash. z) In un settore in cui si compete sulle quantità, due imprese si dividono sempre a metà il mercato.

Falso, dipende dalla struttura dei costi delle due imprese. Se il duopolio è simmetrico allora le imprese si dividono sempre a metà il mercato. Nel caso in cui invece sostengano costi marginali diversi l’impresa con costi più elevati produrrà in equilibrio una quantità inferiore rispetto alla concorrente. aa) “In un equilibrio di Cournot, le imprese si spartiscono sempre a metà il mercato.” Vero o falso? Si motivi la risposta.

Falso, dipende dalla struttura di costi che hanno le due imprese. Se la funzione di costo è la stessa, allora si avranno funzioni di reazione simmetriche e quindi la stessa quota di mercato. Se invece le funzioni di costi sono diverse, allora si avranno anche funzioni di reazione differenti e diversi quantità prodotte.

Scelte in condizioni di incertezza

bb) “Se il premio al rischio per un soggetto è strettamente positivo, allora questi sarà sicuramente avverso al rischio”.

Vero. Il premio al rischio è definito come la differenza tra il valore atteso di una lotteria e il suo equivalente certo: Premio al rischio=EV-EC. Se il premio al rischio è >0 allora EV>EC, e tale condizione individua i soggetti avversi al rischio. cc) Se un individuo investiva tutto il suo reddito in azioni un aumento del rendimento atteso delle azioni non muterà la sua scelta.

Vero, se l’individuo investiva in azioni il rendimento atteso più che compensava il premio per il rischio. Un aumento ulteriore del rendimento delle azioni (coeteris paribus) non potrà mutare le scelte d’investimento dell’individuo.

Informazione asimmetrica ed esternalità

dd) Attraverso la segnalazione si risolve il problema della selezione avversa e si torna all’efficienza raggiunta nel caso di informazione perfetta.

Falso. L’acquisizione del segnale comporta un costo, che non si sarebbe dovuto sostenere con informazione perfetta. Tale costo rappresenta quindi una perdita di efficienza (soluzione di “second best”).

12

SEZIONE 3

Teoria del consumatore Esercizio 1 -

Considerate la scelta di un genitore che deve decidere quanto spendere nell’istruzione della propria figlia e quanto in altri beni. Si denoti con X il numero di ore di lezione effettuato dalla figlia e con Y tutti gli altri beni. Il prezzo di tutti gli altri beni è unitario ( 1=Yp ). Il costo di 1 ora di lezione è di € 6, e il reddito del genitore è di € 900 mensili. Le preferenze del genitore sono rappresentate dalla funzione di utilità:

( ) 2, XYYXU = a) Scrivete il vincolo di bilancio del genitore e indicatelo nel seguente grafico, indicando intercette e pendenza.

In generale il vincolo di bilancio è: IYpXp YX =+

Nel nostro caso:

XYYX

69009006

−==+

Le intercette sono date da 9000 =→= YX ( )900;0 intercetta verticale 1500 =→= XY ( )0;150 intercetta orizzontale

La pendenza è: 6−=−Y

X

pp

b) Trovate l’equilibrio e rappresentatelo nel grafico precedente.

Anzitutto, calcoliamo il saggio marginale di sostituzione:

XY

XYY

YMUXMU

XYMRS22

2

, ===

La scelta ottima del consumo è data dalla soluzione del sistema composto dalla condizione di ottimo e dal vincolo di bilancio:

-6

900

Y

X 150

13

=+

=

IYYpXXpYPXP

XYMRS ,

=+

=

9006

62

YXX

Y

=+=

90012612

XXXY

==⋅=

506005012

XY

( )600;50E

c) Supponete che il governo ritenga importante che le ore di istruzione mensili dei propri cittadini siano almeno 60, e che a tal fine dia un sussidio in somma fissa a ciascuna famiglia pari a € 90, che le famiglie sono libere di spendere come vogliono. Riuscirà il governo a raggiungere il proprio scopo?

Di fatto il governo ha aumentato di 90 il reddito della famiglia. Risolvendo come al punto precedente:

+=+

=

909006

62

YXX

Y

=+=

99012612

XXXY

6055 <=X

Il governo non raggiunge l’obiettivo. d) Calcolate il sussidio minimo che il governo deve dare per indurre la scelta 60=X e rappresentate il vecchio e il nuovo equilibrio nel grafico sottostante.

Sulla base del ragionamento precedentemente svolto:

=+=+

=

609006

62

XgYX

XY

=+=+

=

60900126

12

XgXX

XY

1809006018 =−⋅=g

Il sussidio minimo è pari a 180. Abbiamo cos un nuovo vincolo di bilancio con un nuovo livello del reddito

10806 =+ YX Le intercette sono date da

10800 =→= YX ( )1080;0 intercetta verticale 1800 =→= XY ( )0;180 intercetta orizzontale

La pendenza è: 6−=−Y

X

pp

600

50

E

900

Y

X 150

14

Esercizio 2 -

Matteo, laureando in Ingegneria, riceve un’offerta di lavoro che prevede un contratto per due anni, con un reddito nel primo anno I0 = 20, ed un reddito nel secondo anno I1 = 33. a) Sapendo che Matteo può prendere e dare a prestito ad un tasso di interesse i = 0,10 e indicando con C0 e C1 il consumo nel primo e nel secondo anno, rispettivamente, si scriva il vincolo di bilancio di Matteo e lo si rappresenti graficamente, indicando i valori delle intercette, della pendenza e della dotazione iniziale.

C0 + (C1 /1,1) = 20 + (33/1,1) C1= -1,1 C0 + 55 (VDB) Pendenza = -1,1 Intercette: C0 = 0→ C1= 55 (0;55) intercetta verticale C1= 0→ C0= 50 (50;0) intercetta orizzontale b) Supponendo che la funzione di utilità di Matteo sia 3/1

13/1

010 ),( CCCCU = , si calcoli 01CCMRS , si

trovi il punto di equilibrio e lo si rappresenti nel grafico precedente. Matteo è risparmiatore o mutuatario?

600

50

E

900

Y

X 150

1080

180 60

E’

55

27,5

33

C1

C0 20 25

E D

15

MRSC1C0 = MUC0/MUC1 = C1/C0

0

1

CC

= 1,1

C1= -1,1 C0 + 55 Matteo è mutuatario perché C0* > I0 c) Supponete, ora, che lo stato introduca un’imposta t = 0,05 proporzionale agli interessi attivi (cioè agli interessi percepiti sulla somma prestata da chi risparmia). Come si modifica il vincolo di bilancio? Scrivete il nuovo vincolo di bilancio e disegnatelo nel grafico precedente.

iR = 0,1 (1-0,05) = 0,095 (tasso d’interesse quando è risparmiatore) iM = 0,1 (tasso d’interesse quando è mutuatario) Nuovo vincolo di bilancio è una spezzata: C0 + (C1/1,1) = 20 + ( 33/1,1) C0>20 C0 + (C1/1,095) = 20 + ( 33/1,095) C0<20 d) Determinate il nuovo punto d’equilibrio e rappresentatelo nel grafico precedente, specificando se il comportamento di Matteo varia rispetto al punto b). [Non è necessario effettuare calcoli]

L’equilibrio non varia rispetto al caso precedente, così come il comportamento di Matteo, che continua ad essere mutuatario, come al punto b) Esercizio 3 -

Giovanni vuole emanciparsi dalla famiglia e deve scegliere come allocare il proprio reddito annuale (pari a € 18000) tra l’affitto di una casa grande X mq. e il consumo di tutti gli altri beni (Y). Il prezzo di ogni mq. affittato è di € 200, mentre 1=Yp . Le preferenze di Giovanni sono rappresentate dalla funzione di utilità:

( ) YXYXU 2, = a) Scrivete il vincolo di bilancio di Giovanni e rappresentatelo nel seguente grafico, indicando intercette e pendenza.

In generale il vincolo di bilancio è: IYpXp YX =+

Nel nostro caso:

XYYX

2001800018000200

−==+

Le intercette sono date da 180000 =→= YX ( )18000;0 intercetta verticale 900 =→= XY ( )0;90 intercetta orizzontale

C1* = 27,5 C0* = 25

16

La pendenza è: 200−=−Y

X

pp

b) Quanto sarà grande l’appartamento scelto da Giovanni e quanto spenderà di affitto all’anno?

Rappresentate l’equilibrio nel grafico precedente.

Anzitutto, calcoliamo il saggio marginale di sostituzione:

XY

XXY

YMUXMU

XYMRS 22

, 2 ===

La scelta ottima del consumo è data dalla soluzione del sistema composto dalla condizione di ottimo e dal vincolo di bilancio:

=+

=

IYYpXXpYPXP

XYMRS

,

=+

=

18000200

2002

YXXY

=+=

18000100200100

XXXY

==⋅=

60600060200

XY

( )6000;60E Spesa in affitto: €1200060200 =⋅=S

c) I genitori di Giovanni ritengono troppo piccolo l’appartamento che il figlio vorrebbe affittare e decidono di regalargli 6000 € che possono essere spesi esclusivamente per l’affitto

6000

60

E

18000

Y

X 90

-200

18000

Y

X 90

17

dell’appartamento. Disegnate il nuovo vincolo di bilancio di Giovanni e individuate, sia analiticamente che graficamente, il nuovo equilibrio.

Si ha uno spostamento a destra del vincolo in quanto i 6000 € donati costituiscono un incremento di reddito. Il tratto tra il punto A e l’asse verticale è orizzontale in quanto i 6000 € non possono essere spesi in tutti gli altri beni. Con i 6000 € Giovanni può pagare l’affitto di 30 mq. mantenendo intatto il reddito iniziale. Analiticamente:

≥=+<=

30240002003018000

XperYXXperY

=+

=

24000200

2002

YXXY

=+=

24000100200100

XXXY

>==

30808000

XY

d) Cosa sarebbe cambiato nella scelta di Giovanni se i genitori non avessero posto alcuna restrizione sull’equilibrio sull’utilizzo dei 6000 €? (Non sono richiesti calcoli).

L’equilibrio sarebbe rimasto invariato, poiché si trova sul tratto del vincolo di bilancio non interessato dal vincolo di utilizzo (cioè a destra di A). Esercizio 4 -

Matteo, studente di Ingegneria, deve scegliere tra consumo (c) e tempo libero (n). Egli percepisce una borsa di studio mensile fissa e pari a 1000 Euro e lavora come barista, ricevendo un salario orario w = 10 Euro. a) Sapendo che la dotazione di tempo di Matteo è di 50 ore al mese e che pc = 1, si scriva il vincolo di bilancio di Matteo e lo si rappresenti graficamente, indicando chiaramente i valori della pendenza e delle intercette.

Pc c + w n = w T + M c + 10 n = 500 + 1000

Y

X

18000

30 120

E’ 8000

80

A

18

c = -10 n + 1500 (VDB) pendenza = -10 Intercette: n = 0 → c = 1500 (0; 1500) è l’intercetta verticale c = 0 → n = 150 ma, dal momento che T = 50, l’intercetta orizzontale sarà (50;0) Il VDB sarà dunque una spezzata:

30 50 150 250 n

1000

12001250

1500

c

E

E'

b) Supponendo che la funzione di utilità di Matteo sia 54

51

),( cncnU = , si calcoli cnMRS , si trovi il punto di equilibrio (n*, c*) e lo si rappresenti nel grafico precedente. Quante ore al mese deciderà di lavorare Matteo?

MRScn= MUn/MUc = nc

41

nc

41

= 10

c = -10 n + 1500 c) Matteo riceve una brutta notizia dal padrone del bar, che gli riduce il salario orario da 10 a 5 Euro. Come si modifica il vincolo di bilancio? Si scriva l’espressione analitica del nuovo vincolo di bilancio e lo si rappresenti nel grafico precedente, indicando chiaramente i valori della pendenza e delle intercette.

pc c + w’n = w’T + M c + 5 n = 250 + 1000 c = -5 n + 1250 (nuovo VDB) pendenza = -5 Intercette: n = 0 → c = 1250 (0; 1250) è l’intercetta verticale c = 0 → n = 250 ma, dal momento che T = 50, l’intercetta orizzontale sarà (50;0) Il VDB sarà nuovamente una spezzata (si noti che l’intersezione tra il vecchio e il nuovo vincolo avviene in corrispondenza di (50; 1000)) d) Si determini il nuovo punto di equilibrio. Matteo lavora di più o di meno rispetto al punto b)?

nc

41

= 5

c = -5 n + 1250

c* = 1200 n* = 30 l* = 50-30 = 20

c** = 1000 n** = 50 l** = 50-50 = 0 Matteo lavora di meno rispetto al punto b) infatti impiega l’intera dotazione di tempo in tempo libero

19

Esercizio 5 -

Alessia ha 16 anni, e consuma esclusivamente libri (X) e concerti musicali (Y). Il prezzo unitario dei libri è pari a 4 euro e quello dei concerti 7. Inoltre le preferenze di Alessia per questi due beni possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità:

U(X,Y)=X0,3Y0,7 a) Scrivete e rappresentate il vincolo di bilancio sapendo che il reddito di cui dispone Alessia è di 280 euro settimanali, indicando chiaramente le intercette e l’inclinazione.

Sostituendo nell’equazione generale del vincolo di bilancio PxX + PYY = I i dati del problema, si ottiene 4X + 7Y = 280. La pendenza del vincolo di bilancio di Alessia è data da –4/7, mentre le intercette orizzontale e verticale sono rispettivamente date da E = 280/4 = 70 e F = 280/7 = 40.

b) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Alessia? Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico precedente.

In questo caso, il saggio marginale di sostituzione è dato da MRS Y,X = MUX/MUY = 3Y/7X. Eguagliando l’MRS con il rapporto fra i prezzi e mettendo a sistema con il vincolo di bilancio si ottiene:

==

⇒

=+

=2821

2807474

73

YX

YXXY

Nel grafico, l’equilibrio è indicato con la lettera A. c) Alessia riceve dai genitori un aumento della paghetta settimanale ed il suo nuovo reddito sarà pari a 320 euro. Come varierà la quantità di libri e concerti che Alessia vorrà acquistare? Calcolate il nuovo equilibrio e rappresentatelo graficamente.

Il nuovo sistema che ci consente di determinare l’equilibrio di Alessia (punto B nel grafico) diventa:

==

⇒

=+

=3224

3207474

73

YX

YXXY

Y

A

F

E X

U 28

21

20

d) Supponete ora che Alessia, invece di ottenere un aumento della paghetta, possa ricevere in regalo dai genitori 10 libri (Alessia non può rivendere i libri che le vengono regalati). Quale delle due alternative sarà la preferita da Alessia?

Dati i prezzi di mercato, 10 libri hanno un valore di 40. Poiché quando il reddito viene aumentato di 40, Alessia decide in equilibrio di consumare solo tre libri in più, un trasferimento in natura di uguale valore aumenta l’utilità di Alessia sicuramente meno del trasferimento monetario. Quindi Alessia preferirà l’aumento della paghetta. Esercizio 6 -

Gianni è uno studente universitario. Per mantenersi agli studi, Gianni riceve dai genitori una rendita mensile pari a M = 30; tuttavia, egli ha anche la possibilità di lavorare. La dotazione di tempo rispetto al quale può scegliere se lavorare o dedicarsi alle proprie attività del tempo libero è T = 120, mentre il salario orario è pari a w = 3/2. a) Si scriva l’espressione analitica del vincolo di bilancio, e lo si rappresenti graficamente indicando le intercette e la pendenza del vincolo di bilancio.

Il vincolo di bilancio è dato da C = (T – N)w + M se N ∈ [0 , 120] (dove N indica il tempo libero). Sostituendo: C = (120 – N)·3/2 + 30 C = 210 – (3/2)N Graficamente:

Y

X

B 32

24

pendenza = -3/2

210

E

C

70 120

105

30

N

21

b) Si determinino i valori del consumo e delle ore dedicate al lavoro sapendo che la funzione di utilità di Gianni ha la seguente espressione analitica: U(C,N) = C 1/2·N 1/2 (dove C è il consumo ed N il tempo libero). Si rappresenti l’equilibrio nel grafico precedente.

Data la funzione di utilità, l’MRS è uguale a NC

MUMU

C

N = . Il sistema che occorre risolvere è il

seguente:

⇒

=+−=

wMRSMwNTC *)(

===

⇒

=

−=

5070105

23

23

210

lavoroNC

NC

NC

Il punto di equilibrio corrisponde al punto E nel grafico al punto a).

c) Supponete ora che i genitori di Gianni vogliano evitare che il proprio figlio lavori, e per questo motivo aumentino la rendita M, portandola a 60. Riusciranno i genitori nel loro scopo?

In questo caso, il sistema da risolvere risulta essere il seguente:

=−=

==

=

⇒

=

−=

4080120

803

240120

23

23

240

lavoro

N

C

NC

NC

I genitori, quindi, non raggiungeranno il loro scopo perché Gianni continuerà a lavorare (anche se meno ore che nel caso precedente) d) Qual è il valore minimo della rendita M per cui Gianni sarebbe disposto a non lavorare?

Occorre trovare quel valore di M per cui N=120 risulta la soluzione ottima. Quindi il sistema da risolvere diventa:

==

⇒

=

+−=

180180

23

120

23

)120120(

MC

C

MC

I genitori quindi dovranno incrementare la rendita fino a 180 per indurre Gianni a non lavorare. Esercizio 7 -

Un consumatore è appassionato di frutta (F) e gelati (G). I prezzi dei beni che può acquistare sono rispettivamente: PF = 4 per la frutta e PG = 2 per i gelati. Ha a disposizione un reddito pari a I = 100, mentre la sua funzione di utilità è rappresentata da U = F0,4 G 0,6 a) Scrivete l’equazione del vincolo di bilancio e disegnatelo, indicando chiaramente intercette e pendenza.

Il vincolo di bilancio è: 4F + 2G = 100 ð G = 50 – 2 F

22

b) Calcolate le quantità consumate di frutta (F*) e di gelati (G*).

La condizione di ottimo è: MRSG,F = MUF/MUG = PF/PG il calcolo viene semplificato dalla presenza di una funzione Cobb-Douglas: (0.4/0.6) ·(G/F) = 2 ð G = 3F sostituisco questo valore nel vincolo di bilancio: 4F+ 2(3F) = 100 ð 4F + 6 F= 100 ð F* = 10 ð G* = 30 Il consumo di equilibrio è E (10, 30). c) Ricavate la funzione di domanda della frutta (F) in corrispondenza del livello del reddito I=100.

La funzione di domanda dei singoli beni, nel caso di una Cobb-Douglas, è data da: F = 0.4 (I/PF) che, in corrispondenza di I=100, diventa F= 40/PF Oppure: (0.4/0.6) ·(G/F) = PF/2 G =(¾) PF/F F = 100/PF –(2/ PF )G F =100/PF –(3/2)F F=40/ PF d) Calcolate l’elasticità al prezzo della frutta (eF) nel punto di equilibrio.

L’elasticità al prezzo si deriva dalla funzione di domanda: eF = |(dF/dp)·(p/F)| dF/dp = –40/(PF)2 ð eF = |–40/(PF)2 ·PF/(40/PF)| ð eF = 1, elasticità unitaria Esercizio 8 -

A Tommaso è offerto un contratto a tempo determinato per due anni. Il contratto prevede una retribuzione di 800 euro e di 1220 il secondo. Tommaso può prendere e dare a prestito ad un tasso d'interesse di mercato pari al 10% (i=0,1). Denotiamo con C0 il consumo presente e con C1 il consumo futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad 1).

a) Scrivete il vincolo di bilancio intertemporale in valore futuro di Tommaso e rappresentatelo graficamente, indicando chiaramente le intercette, la pendenza e il paniere delle dotazioni D.

E G = 50 – 2 F pendenza = –2

F

G

(I/pG) = 50

(I/pF) = 25

23

b) Le preferenze di Tommaso sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale:

},min{),( 1010 CCCCU = . Determinate i livelli ottimali di consumo nei due periodi. E disegnate sul grafico il paniere di equilibrio.

==

(1,1) C - 2100 CC C

01

10 ð C1=2100- C1(1,1) ð 2,1C1=2100

ð C1=1000 e C0 =1000

c) Tommaso dà o prende a prestito in equilibrio? Calcolate l'ammontare eventualmente dato o preso a prestito.

Tommaso è mutuatario perché nel primo periodo consuma più di quanto guadagna. Prende a prestito un importo pari a C0-I0 =200. d) Ipotizzate che il tasso d’interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20% (i=0,2). Come si modifica la condizione di Tommaso? Darà o prenderà a prestito? (Non è necessario fare calcoli.)

Tommaso prenderà a presto qualunque sia il tasso di interesse in quanto la retta dei panieri di equilibrio è a sinistra del punto di dotazione iniziale. Esercizio 9 -

Lorenzo è uno studente di dottorato. Egli spende tutto il suo reddito in due soli beni: manuali di econometria (X) e tavolette di cioccolato (Y). La funzione di utilità di Lorenzo è data da

U(x,y) = 10x + y.

Il prezzo dei manuali di econometria è di 20 Euro, mentre il prezzo delle tavolette di cioccolato è di 1 Euro. a) Che relazione sussiste fra i due beni nelle preferenze di Lorenzo?

I due beni sono perfetti sostituti b) Scrivete e rappresentate nel grafico sottostante il vincolo di bilancio di Lorenzo sapendo che il reddito di cui dispone è di 800 Euro al mese, corrispondente alla sua borsa di studio. Indicate chiaramente le intercette e l’inclinazione.

C0 (1+i)+ C1 = I0 (1+i)+I1 C1=I1 + (1+i ) (I0-C0) C1= 2100 - C0 (1,1) A=2100 B=2100/1,1 Pendenza α= -(1+i)= -1,1

E

C0

C1

A

B

D

800

1220

24

Analiticamente, il vincolo di bilancio è dato da 20x+y=800, la pendenza è pari 20 in valore assoluto, e le intercette verticali ed orizzontali sono rispettivamente 800 e 40. Il vincolo è rappresentato dalla linea in grassetto. c) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Lorenzo? Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico precedente.

La soluzione sarà una soluzione d’angolo. Occorre confrontare l’ MRS con il rapporto fra i prezzi. In questo caso:

y

xyx p

pMRS =<= 2010

Di conseguenza, Lorenzo deciderà di consumare solo tavolette di cioccolato. In equilibrio, 0* =x e

8001

800* ==y

L’equilibrio è rappresentato dal punto E. d) Insoddisfatto della performance degli studenti di dottorato italiano, il Ministero dell’Istruzione decide di introdurre un sussidio per l’acquisto di libri scientifici. Allo stesso tempo, però, per finanziare la riforma, decide di ridurre la borsa di studio per gli studenti di dottorato. Dopo la riforma, il prezzo dei manuali di econometria diventa 12 Euro, mentre l’ammontare della borsa di studio (che costituisce l’unica fonte di reddito per Lorenzo) è pari a 750 Euro. Ritenete che Lorenzo sarà favorevole o contrario alla riforma?

Nel nuovo equilibrio,

y

xyx p

pMRS =<= 1210

Di conseguenza, Lorenzo continuerà di consumare solo tavolette di cioccolato. In equilibrio,

0* =x e 7501

750* ==y .

800

40

pendenza=-20

x

y

E

25

Poiché il consumo di x è rimasto inalterato, ed il consumo di y si è ridotto, Lorenzo vede la sua utilità ridotta in equilibrio, e quindi sarà contrario alla riforma. Esercizio 10 -

Giulio è un dottorando. Le sue fonti di reddito sono una borsa di studio finanziata dal Ministero dell’Istruzione pari a K e la possibilità di offrire ripetizioni in statistica. Il salario orario è w e il numero massimo di ore che può lavorare in un giorno è 16. Giulio spende il suo reddito per acquistare un bene di consumo, il cui prezzo è Cp . Ogni giorno Giulio deve scegliere quante ore lavorare e quante ore dedicare allo studio (sia N il numero di ore dedicate alla ricerca e L il numero di ore lavorate). a) Si scriva il vincolo di bilancio di Giulio e lo si rappresenti graficamente indicando chiaramente intercetta e pendenza.

( )16 CK w N p C+ − =

16C C C

K w wN C

p p p

+ − =

b) Si assuma che la funzione di utilità di Giulio sia ( ) 4/14/3, NCNCU = . Si determini il saggio marginale di sostituzione tra consumo ed ore dedicate alla ricerca.

,

13

NN C

C

MU CMRS

MU N= =

c) Si supponga che 2=w , 16=K e 1=Cp . Quante ore di ripetizione offrirà Giulio e quanto consumerà? Rappresentate graficamente la soluzione trovata.

( )

1 23 1

16 2 16C

C wN p

N C

= = + − =

6

48 2C N

N C=

− =

486

836

N

C

= = =

d) Insoddisfatto della performance (in termini di ricerca) degli studenti di dottorato, il Ministero dell’Istruzione decide di introdurre un sussidio giornaliero per tutti gli studenti di dottorato (S).

N

C

16C C

K wp p

+

16Kw

+

C

wp

−

166

36

26

Qual è il valore minimo del sussidio tale per cui Giulio si dedicherà esclusivamente alla ricerca (N=16)?

( )

1 23 116 2 16

CN

S N C

= + + − = ( )

6

16 2 16

C N

S N C

= + + − =

6

68

C NS

N

=

+ =

Dove N deve essere uguale a 16, quindi 6 168S

+ = . Dalla precedente espressione ricaviamo che S

deve essere almeno pari a 80. Esercizio 11 -

Dante dispone di un reddito pari a 1000 Euro, che impiega per l’acquisto di libri (L) e di visite ai musei cittadini (M), i cui prezzi rispettivi sono PL = 5 e PM = 4. a) Scrivete l’espressione del vincolo di bilancio e rappresentatelo nel grafico sottostante, indicando intercette e inclinazione.

I= PL L + PM M 1000 = 5 L + 4 M Inclinazione = - 5/4 b) Sapendo che la funzione d’utilità di Dante è: U(L,M) = LM, calcolate il paniere ottimo e rappresentatelo nel grafico precedente.

1000 = 5L + 4M L* = 100 , M*=125

(5/4)= M/L M= (5/4)L c) A seguito di una riduzione dell’IVA sui libri, il prezzo di questi scende a 4 Euro. Calcolate il nuovo paniere ottimo.

1000 = 4L + 4M L* = 125 , M*=125

(4/4)= M/L M= L

M

E

250

150

60 200 L

27

d) Quale valore assume l’elasticità incrociata della domanda di visite ai musei rispetto al prezzo dei libri?

L’elasticità incrociata è nulla. Al variare del prezzo di libri, la domanda di M non cambia. I due beni sono non correlati. Esercizio 12 -

Giovanni deve decidere come ripartire il consumo tra il primo periodo (C1) ed il secondo (C2), dato che il reddito percepito nei due periodi è rispettivamente I1 = 190 €, e I2 = 286 €. Il tasso d’interesse di prendere e dare a prestito è i=0,1. Il prezzo del generico bene di consumo C non varia tra il primo e secondo periodo ed è uguale ad 1, cioè: p1=p2=1. a) Scrivete l’espressione del vincolo di bilancio e rappresentatelo nel grafico sottostante, indicando intercette, inclinazione e dotazione iniziale.

12

12

1122

1,14951,1190*1,1286))(1(

CCCC

CIiIC

−=−+=

−++=

b) Indicate sul grafico precedente un punto del vincolo di bilancio in cui Giovanni prende a prestito e un punto del vincolo di bilancio in cui Giovanni dà a prestito. Motivate la risposta.

Il punto in grigio indica che Giovanni è risparmiatore, poiché nel primo periodo consuma meno del suo reddito (che è 190), mentre il punto in bianco indica che Giovanni è mutuatario, in quanto nel primo periodo consuma di più di quanto guadagna.

c) Sapendo che la funzione d’utilità di Giovanni è:

U (C1;C2) = C10,4 C2

0,6 calcolate il paniere ottimo.

==

⇒

−=

=

198270

1,1495

1,123

2

1

12

1

2

CC

CC

CC

C2

190

286

450

495 Risparmiatore

Mutuatario

Dotazione

C1

28

d) Giovanni prende o dà a prestito?

Poiché Giovanni consuma nel primo periodo 270 e il suo reddito è di 190, Giovanni sarà mutuarlo per 80 euro.

Teoria dell’impresa

Esercizio 13 -

L’impresa Alfa fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = 2L+5K, dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTSKL).

Perfetti sostituti MRTSKL= MPL/MPK = 2/5 b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, PL=1, PK=1, scrivete l’espressione analitica del generico isocosto.

TC= PLL + PK K TC = L + K, fascio di rette parallele con pendenza = -1 c) Supponete che l’impresa intenda produrre una quantità Q = 50. Trovate la combinazione di fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente.

Isoquanto di riferimento: 50 = 2L + 5 K, retta con pendenza = -2/5 ed intercette (0;10) (25;0) Isocosti: vedi b) MRTSKL<(PL/PK) → soluzione verticale (0;10) d) Supponete, ora, che il prezzo del capitale PK salga a 5. Che effetto avrà tale aumento sulla combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente.

Nuova mappa di isocosti: TC= PLL + PK’ K TC = L + 5 K, fascio di rette parallele con pendenza = - 1/5

E’

E 10

K

L 25

29

MRTSKL>(PL/PK) → soluzione orizzontale (25;0) Esercizio 14 -

L’impresa Beta fronteggia la seguente funzione di produzione: Q = min(K, L), dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale, gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti nel grafico sottostante e indicate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra capitale e lavoro (MRTSKL).

Perfetti complementi Retta uscente dall’origine: K=L (retta 45°) Sul tratto verticale degli isoquanti → MRTSKL = ∞ Sul tratto orizzontale degli isoquanti → MRTSKL = 0 Nei punti angolosi MRTSKL non definito b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, PL=3, PK=4, scrivete l’espressione analitica del generico isocosto.

TC= PLL + PK K TC = 3 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -3/4 c) Supponete che l’impresa intenda produrre una quantità Q = 60. Trovate la combinazione di fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente.

Isoquanto di riferimento: 60 = min (K, L) Isocosti: vedi b) 60 = min (K, L) K = L d) Supponete, ora, che il prezzo del lavoro PL salga a 7. Che effetto avrà tale aumento sulla combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente.

Nuova mappa di isocosti: TC = PL’L + PK K TC = 7 L + 4 K, fascio di rette parallele con pendenza = -7/4

K* = L* = 60

E = E’

K

L

K=L

60

30

La combinazione di fattori impiegata in equilibrio non varia, E=E’ Esercizio 15 -

Nonna Nuccia prepara le sue famose crostate utilizzando due soli ingredienti: pasta frolla (F) e marmellata di more (M). La funzione di produzione delle crostate di Nonna Nuccia è la seguente:

2.08.0),( MFMFgY == , dove Y è la quantità di crostate. a) Verificate analiticamente che la funzione di produzione delle crostate presenta rendimenti di scala costanti.

),()()(),( 2.08.02.02.0 MFtgMtFtMtFtMtFg === per ogni t>0 b) Supponendo che i prezzi unitari della pasta frolla e della marmellata di more siano rispettivamente 4 Euro e 1 Euro, scrivete la generica equazione di una retta di isocosto, e rappresentate graficamente i due isocosti corrispondenti ad un costo di produzione pari a 20 e a 50 Euro, indicando le intercette verticali, orizzontali e le pendenze.

L’equazione della generica retta di isocosto è data C=4F+M. I due isocosti richiesti hanno equazione, rispettivamente M=20-4F e M=50-4F. La pendenza è in valore assoluto pari a 4. Le intercette verticali sono 20 e 50 e le intercette orizzontali 5 e 12.5. c) Per il compleanno di Sara, la sua adorata nipotina, Nonna Nuccia decide di preparare dieci crostate. Quale sarà l’ammontare totale di pasta frolla e marmellata di more che Nonna Nuccia utilizzerà, volendo minimizzare i costi di produzione? Rappresentate l’equilibrio nel grafico precedente.

Occorre risolvere il seguente sistema:

=

=

2.08.010 MF

pp

MRSTM

FMF

Di conseguenza,

M

F

E 10

10 5 12,5

20

50

pendenza=-4

31

=

=

2.08.010

44

MFFM

In equilibrio

=

=

10

10*

*

F

M

Nel grafico, l’equilibrio è rappresentato dal punto E.

d) Se invece di regalare a Sara le dieci crostate, Nonna Nuccia decidesse di venderle ad un prezzo unitario di 8 Euro, quale sarebbe il suo profitto complessivo?

I costi totali associati alla produzione di 10 crostate sono a pari a 4*10+1*10=50. I ricavi totali sono 8*10=80. Di conseguenza, i profitti sono 80-50=30 . Esercizio 16 -

La Paperon Dollars produce barrette di gomma da masticare (Y). La gomma da masticare è prodotta con gomma arabica (G) e zucchero (Z) in proporzioni fisse: ogni barretta richiede 1 unità di zucchero e 2 unità di gomma arabica. a) Si rappresenti analiticamente la funzione di produzione per Y. Si dia anche la rappresentazione grafica di un generico isoquanto.

== GZGZgY

21

,min),(

b) Si dimostri analiticamente se la produzione di gomma da masticare presenta rendimenti di scala crescenti, decrescenti o costanti.

Rendimenti costanti: tYGZtGttZ =

=

21

,min21

,min

c) Il prezzo unitario della gomma arabica è pari a 3 euro, mentre quello dello zucchero è pari a 1 euro. La Paperon Dollars produce ogni quantità di gomma da masticare minimizzando i costi di

Z

E

G

1000 1000

2000

32

produzione. Si derivi la funzione di costo della Paperon dollars. Si derivino, inoltre, le quantità di equilibrio di gomma arabica e zucchero per un volume di produzione pari a 1000 barrette di gomma da masticare giornaliere e si rappresenti l’equilibrio ottenuto nel grafico precedente.

Dovendo valere in equilibrio Z=0.5G, ed essendo Y=min[Z,0.5G] si ha che Z=Y e G=2Y. Dato inoltre C=3G+Z, la funzione di costo è C=7Y. Per Y=1000, Z=1000 e G=2000. Nel grafico, l’equilibrio è rappresentato dal punto E.

d) Supponete che in seguito ad un cattivo raccolto il prezzo dello zucchero aumenti del 10%. Che conseguenze avrà questo shock sulle quantità di equilibrio di gomma arabica e zucchero e sui costi di produzione per 1000 barrette giornaliere? Non è necessario fare calcoli.

Le quantità restano invariate e i costi aumentano in seguito all’aumento del prezzo dello zucchero. Esercizio 17 -

L’impresa Beta produce il bene B impiegando due fattori produttivi, X e Y, secondo la funzione di produzione:

B(X,Y) = 2X + Y a) Calcolate il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS) tra il fattore X ed il fattore Y. Quale relazione sussiste fra i due fattori produttivi?

MRTSYX = MPX/MPY

Dove XMP e YMP sono rispettivamente la produttività marginale del fattore X e Y. In questo caso:

MPX = df/dX= 2 MPY = df/dY =1

Di conseguenza: MRTSYX = 2

I due fattori sono perfetti sostituti (MRTSyx costante) b) Rappresentate graficamente ed analiticamente gli isoquanti corrispondenti alla produzione di 20 e 40 unità di B.

40

Y

20

20 10 X

33

I due isoquanti per i livelli di produzione 20 e 40 sono rispettivamente:

20 = 2X + Y à Y = 20 – 2X 40 = 2X + Y à Y = 40 – 2X Essi sono rappresentati graficamente dalla linea continua (produzione pari a 20) e dalla linea tratteggiata (produzione pari 40). c) Sapendo che il prezzo di X è tre volte più grande del prezzo di Y, quale dei due fattori produttivi sarà più utilizzato?

Data la natura di perfetti sostituti dei fattori, occorre confrontare il prezzo relativo dei fattori ed il saggio marginale di sostituzione tecnica. In questo caso:

23 =>= YXy

X MRTSpp

Questa relazione implica una soluzione d’angolo nella quale solo il fattore Y è utilizzato. d) Supponete che il prezzo unitario del fattore X sia 12, mentre il prezzo del fattore unitario del fattore Y sia 4. Quale sarà il costo di produrre 20 unità del bene B?

Dato il rapporto fra i prezzi, solo il fattore Y è utilizzato (vedi punto precedente). La produzione di un generico livello di output pari a B richiede un impiego di Y pari esattamente a B (per ogni unità di B si impiega una unità di Y). Quindi per produrre 20 unità di B si impiegano 20 unità di Y per un costo pari a Ctot= 20*Py = 80

L’equilibrio nei mercati concorrenziali

Esercizio 18 -

Considerate un mercato con 3 imprese, ciascuna delle quali si comporta come price-taker e ha una funzione di offerta data da pyi 2= , dove iy è la quantità offerta dalla i-esima impresa. a) Qual è la funzione di offerta di mercato SY ?

( ) ppY S 623 == b) Se la funzione di domanda di mercato è data da pY D −= 14 , qual è la quantità offerta in equilibrio da ciascuna delle 3 imprese?

In equilibrio DS YY = , ⇒ pp −= 146 ⇒ 2* =p , 12* =Y . Per cui: 43

12* ==iy .

Se si considera direttamente la funzione di offerta della singola impresa, 42*2* ==iy . c) Se nella funzione di costo di ciascuna delle imprese sono assenti costi fissi di qualunque tipo, quali sono i suoi profitti in equilibrio? (Se lo ritenete opportuno, potete aiutarvi con un grafico)

I ricavi totali di ciascuna impresa sono TR=p*yi*=2x4=8

34

In assenza di costi fissi, i costi totali dell’impresa sono dati dall’area del triangolo sottostante la

curva di offerta inversa 2iy

p = (che rappresenta anche i costi marginali) fino al livello di

produzione yi*=4: TC=: 42

2*4=

Perciò: Π=8-4=4 d) Ipotizzate che lo Stato ponga un’accisa di 7 euro su ogni unità prodotta. Come varierà la funzione di offerta della singola impresa?

Funzione di offerta inversa singola impresa prima della tassa: 2

iyp =

Funzione di offerta inversa singola impresa dopo la tassa: 72

+= iyp

Funzione di offerta dopo la tassa:

≥−=<=

7per 142y7per 0

i pppy i

Esercizio 19 -

In un mercato di concorrenza perfetta operano due tipi di imprese. Le imprese appartenenti al tipo A sono due; ciascuna ha costi marginali di lungo periodo MC=2y+2 e raggiunge il costo medio minimo di lungo periodo in corrispondenza del volume di produzione y=2. Le imprese appartenenti al tipo B sono in numero infinito; ciascuna ha costo medio minimo di lungo periodo uguale a 8. a) Calcolate il costo medio minimo di lungo periodo per le imprese di tipo A.

MC e AC s’intersecano nel punto di minimo dei costi medi, quindi sapendo che AC minimo si ha per y=2, AC minimo=2*2+2=6 b) Ipotizzando che il costo dei fattori produttivi impiegati dalle imprese rimanga costante al variare della produzione totale, si derivi la curva di offerta di lungo periodo per l’intero mercato e la si disegni nel grafico sottostante.

{ }

>=

∞++∞

<<

=<

−=

8per 8per ][6,

86per

6per 6per

2

0,2,40

pp

p

pp

py

y 6 2 4 10

p

8

6

E

35

c) Se la domanda di mercato è data da y=18-p, in equilibrio quale sarà la quantità totale prodotta e a quale prezzo sarà venduta? Si rappresenti l’equilibrio nel grafico precedente.

Per p<8 si hanno eccessi di domanda; per p>8 eccessi di offerta; l’unico equilibrio è p=8 e y=10. L’equilibrio è il punto E nel grafico precedente. d) Ipotizzando che le imprese di tipo B raggiungano il costo medio minimo in corrispondenza del volume di produzione y=1, si calcoli il numero totale di imprese che operano nel mercato in equilibrio.

Le due imprese di tipo A sono entrambe presenti, producendo ciascuna y=3. Il resto del mercato è servito da 4 imprese di tipo B, ciascuna con y=1. Esercizio 20 -

I produttori di bastoni da passeggio operano in un mercato perfettamente concorrenziale, fronteggiando una domanda pari a:

Q = 144 - 2P

Ognuna delle 80 imprese sul mercato ha le seguenti funzioni di costo medio e costo marginale di breve periodo

AC = 4qi MC = 8qi

a) Calcolate la curva di offerta della singola impresa e fornitene una rappresentazione grafica.

P = MC P= 8qi

(per P= 0) ovvero qi = P/8 (per P= 0) b) Calcolate quantità e prezzo di equilibrio di mercato.

Offerta di mercato Q = 80 qi = 80 (P/8) = 10P per P =0 Equilibrio: Domanda=Offerta 144 – 2P = 10P P = 12 Q = 120

c) Calcolate i profitti realizzati dalla singola impresa.

La singola impresa produce qi = P/8 =(oppure Q/n)= 1,5 Π = RT – CT = P. qi – 4 qi

2 = 18 – 9 = 9

MC P

qi

36

d) Cosa accade nel mercato dei bastoni nel lungo periodo? Argomentate.

Essendo i profitti positivi, vi è incentivo per altre imprese ad entrare. Aumenterà quindi l’offerta e, a parità di domanda, si ridurranno il prezzo e i profitti. La dinamica di entrata si interrompe quando i profitti divengono nulli.

Monopolio Esercizio 21 -

L’impresa Ecis produce macchine da cucire in regime di monopolio. La curva di domanda inversa è data da p = 100 – 4q, dove q è la quantità prodotta e p il prezzo. La sua funzione di costo è data da C = 20q. a) Derivate la curva dei ricavi marginali (MR) e la curva dei costi marginali (MC) e rappresentatele graficamente insieme alla curva di domanda.

La funzione di ricavo totale è data da 24100)4100( qqqqTR −=−= .

Di conseguenza, qdq

dTRMR 8100 −== . I costi marginali sono dati da 20==

dqdC

MC .

Graficamente:

b) Calcolate l’equilibrio nel mercato, in termini di quantità e prezzo, e rappresentatelo nel grafico precedente.

La condizione di massimizzazione del profitto ci dà MCMR = .Quindi 100 - 8q=20, che implica 10* =q . Di conseguenza, 60* =p .

c) Supponete che grazie ad un investimento in Ricerca e Sviluppo, l’impresa possa ridurre i suoi costi, fronteggiando ora una funzione di costo pari a C = 12q. Calcolare la nuova quantità e prezzo d’equilibrio.

La nuova condizione di massimizzazione del profitto MCMR = ci dà 100 - 8q=12, che implica 11* =q . Di conseguenza, 56* =p

d) Indicando con I la spesa in Ricerca e Sviluppo, qual è il valore massimo di I per cui l’impresa troverà conveniente effettuare l’investimento?

Occorre confrontare i profitti del monopolista nei due equilibri.

Domanda

P

q 25

100

20 MC

60 E

MR

10

37

Nel primo caso: 40010*2010*60* =−=−=Π Cqp Nel secondo caso:, 48411*1211*56* =−=−=Π Cqp . Quindi l’impresa troverà conveniente investire in Ricerca se i profitti dopo l’investimento, al netto di I, risultano superiori ai profitti senza l’investimento. Per cui I < 84. Esercizio 22 -

L’impresa Maas produce canne da pesca in regime di monopolio. La curva di domanda inversa è data: P= 50 – 2q, dove q è la quantità prodotta e p il prezzo. La sua funzione di costo è data da: C=10q. a) Derivate la curva dei ricavi marginali (MR) e la curva dei costi marginali (MC) e rappresentatele graficamente insieme alla curva di domanda.

La funzione di ricavo totale è data da 2250)250( qqqqTR −=−=

Di conseguenza, qdq

dTRMR 450 −== . I costi marginali sono dati da 10==

dqdC

MC .

Graficamente, b) Calcolate l’equilibrio del monopolista: quantità e prezzo, e rappresentatelo nel grafico precedente.

La condizione di massimizzazione del profitto ci dà MCMR = . Quindi 50-4q=10, che implica 10* =q . Di conseguenza, 30* =p .

c) Supponete ora che lo stato introduca un sussidio alla produzione pari a 8 per ogni unità prodotta. Calcolate il nuovo equilibrio in termini di prezzi e quantità.

Il sussidio alla produzione riduce i costi dell’impresa, e dal punto di vista dell’impresa, rende la funzione di costo C=2q. La nuova condizione di massimizzazione del profitto MR=MC ci dà 50-4q=2, che implica

12* =q . Di conseguenza, 26* =p . d) Lo stato propone all’impresa, come alternativa al sussidio, un trasferimento in somma fissa pari a 80 . L’impresa accetterà l’offerta dello stato?

Occorre confrontare i profitti del monopolista nei due equilibri. Nel primo caso, 20010*1010*30* =−=−=Π Cqp . Nel secondo caso, 28812*212*26* =−=−=Π Cqp .

Domanda

P

q 25

50

10 MC

30 E

MR

10

38

I profitti aumentano di un ammontare pari a 88, che è superiore al trasferimento che lo stato propone. Quindi l’impresa non accetterà l’offerta dello stato, preferendo il sussidio. Esercizio 23 -

L’impresa Rintel è l’unica produttrice di semiconduttori nel paese di Silicionia. Per produrre microprocessori essa sostiene costi totali pari a TC = 16 + 4Q ove con Q si indica la quantità totale prodotta. L’impresa si confronta con una curva di domanda di mercato P = 20 – Q. a) Calcolate il costo marginale ed il ricavo marginale di Rintel. Rappresentateli nel grafico sottostante insieme alla funzione di domanda di mercato, esplicitando tutte le intercette.

4=MC QMR 220 −=

b) Qual è la quantità di microprocessori offerti dall’impresa in equilibrio? Calcolate inoltre il prezzo di equilibrio ed i profitti. Rappresentate nel grafico precedente il punto di equilibrio trovato.

12820*8*4220 =−=⇒=⇒=−⇒= PQQMCMR

( ) ( ) 48488*12416 *** =−=+−=−=Π QQPTCTR c) Supponete ora che lo stato introduca una tassa pari a 2 per ogni unità venduta. Quali saranno il nuovo prezzo e la quantità di equilibrio in questo caso? Calcolate inoltre l’ammontare totale incassato dallo stato ed il nuovo profitto di Rintel.

La tassa modifica il ricavo marginale che ora diventa: 2220 −−= QMR

In equilibrio si produrrà ora Q* = 7 ad un prezzo P* = 13. L’ammontare totale delle tasse incassate sarà pari a T = 7 * 2 = 14. Il nuovo profitto sarà pari a:

( ) ( ) ( ) 331444911428167*13416 *** =−−=−+−=−+−=−−=Π TQQPTTCTR d) Secondo voi il nuovo equilibrio ottenuto dopo l’introduzione della tassa è più o meno efficiente dal punto di vista sociale di quello trovato al punto b)? (Non sono richiesti calcoli)

MR D

Q

MC4

10

20

20

P

8

12 E

MR D

Q

MC4

10

20

20

P

8

12 E

MR D

Q

MC4

10

20

20

P

Q

MC4

10

20

20

P

8

12 E

39

Dal momento che la quantità prodotta in equilibrio diminuisce, il nuovo equilibrio sarà meno efficiente di quello trovato al punto b). Esercizio 24 -

Nel mercato delle motociclette della Birmania vi è un unico produttore, la RangoonBike, che sostiene un costo marginale costante pari a 50. La curva di domanda inversa delle motociclette è data da:

p = 500 – ½Q.

a) Calcolate il prezzo e la quantità di equilibrio nel mercato delle motociclette.

p = 500 – Q/2 MR= MC à 500 – Q = 50 à Q = 450 à p = 500 – 450/2 = 275 b) Calcolate il profitto (o la perdita) della RangoonBike in corrispondenza di tale equilibrio.

Π = (p – AC)Q = (275-50)*450 = 101.250 (Nota bene: AC=MC=50) c) Una nuova impresa, la MotorBir, entra sul mercato, sostenendo costi uguali alla RangoonBike. Calcolate il nuovo prezzo di equilibrio e i profitti delle due imprese nel caso queste competano sui prezzi. Quale modello di oligopolio state applicando?

Oligopolio di Bertrand

p = MC = 50

Dalla funzione di domanda:

50 = 500 – Q/2 Q = 450*2 = 900

qR=qM=450 nell’ipotesi che la domanda si ripartisca in modo uguale fra le 2 imprese

Π = 0 d) Riportate sul grafico la curva di domanda, nonché i prezzi e le quantità di equilibrio trovate ai punti a) e d). Calcolate il surplus dei consumatori nelle due situazioni.

Surplus consumatorimonopolio = area A = 50.625 Surplus consumatorioligopolio =area A+B+C = 202.500

A 500

1000 Q

MC=50

QMON.

= 450

QOLIGOP.

= 900

pMON.= 275

B C

40

Teoria dei giochi – Oligopolio

Esercizio 25 -

L’impresa Hein&Ken s.p.a. (H) e l’impresa Biperoni s.p.a. (B) sono oligopolisti nel mercato della birra. Le loro funzioni di costo totale sono:

TCH ( qH ) = 4 qH per Hein&Ken TCB ( qB ) = 40 qB per Biperoni

La domanda di mercato è data da P = 100 - 2Q , dove Q = qH + qB, e le due imprese competono scegliendo la quantità da produrre. a) Trovate le funzioni di risposta ottima delle due imprese.

Impresa H (condizione di massimizzazione): 100 - 2qB - 2qH - 2qH – 40 = 0 da cui: qH =15 - (1/2)qB per H Per simmetria: qB =15 - (1/2)qH per B b) Disegnate nel grafico sottostante le funzioni di risposta ottima, avendo cura di specificare le intercette e le pendenze.

c) Quali saranno la quantità prodotte da ciascuna impresa, la quantità totale e il prezzo di equilibrio nel mercato?

Risolvendo il sistema tra le due funzioni di reazione: qH =15-(1/2)( 15-(1/2)qH ) da cui: q*H = q*B = 10 Quindi: Q* = 20 P* = 60 d) In seguito ad un’innovazione di processo l’impresa Hein&Ken (H) riesce a ridurre i propri costi. Ora la sua funzione di costo totale è pari a: TCH ( qH ) = 20qH (mentre per l’impresa B la funzione di costo totale resta invariata). Rappresentate qualitativamente questo nuovo equilibrio nel grafico precedente (non è necessario fare calcoli).

L’impresa H che ora ha costi marginali minori produrrà di più rispetto a prima a scapito dell’impresa B che ora produrrà di meno. Graficamente si ha uno spostamento della funzione di reazione di H verso l’esterno.

Risposta ottima di B (pendenza –1/2)

Risposta ottima di H (pendenza –2)

Nuova risposta ottima di H (pendenza –2)

qB

qH

30

10

15

30 10 15

41

Esercizio 26 -

Il mercato delle automobili e’ dominato da due sole imprese: l’impresa Barchetta s.p.a. (B) e l’impresa Huno s.p.a. (H). Le loro funzioni di costo totale sono:

CTB(qB)=20qB CTH(qH)=30qH

Le due imprese competono scegliendo la quantita’ da produrre. La domanda di mercato e’ data da P=100-Q, dove Q= qH + qB. a) Siete in grado di stabilire se le due imprese in equilibrio produrranno la stessa quantita’ o meno? Spiegate perche’ senza fare calcoli!

No, infatti l’impresa B che ha costi marginali minori produrra’ di piu’ rispetto all’impresa H che produrra’ di meno. b) Trovate le funzioni di reazione delle due imprese.

Impresa B: 100- qH -2qB = 20 qB =40-1/2qH Impresa H: 100- qB - 2qH = 30 qH =35-1/2qB c) Calcolate la quantità prodotta da ciascuna impresa, la quantita’ totale e il prezzo di equilibrio nel mercato.

Risolvo il sistema tra le due funzioni di reazione. qH =35-1/2(40-1/2qH) da cui: q*H= 20 e q*B=30 Quindi: Q*=50 P*=50 d) Disegnate nel grafico sottostante l’equilibrio trovato indicandolo con EC. Rappresentate poi nello stesso grafico una situazione in cui la funzione di costo totale dell’impresa B e’ data da: CTB(qB)=30qB (quella dell’impresa H resta invariata rispetto a prima) e indicate il nuovo equilibrio con EC’ (non occorre fare calcoli ne’ specificare le intercette e le pendenze).

qH

qB

Ec

Ec’

42

Esercizio 27 -

Si consideri il seguente gioco simultaneo rappresentato in forma normale.

Mr. Colonna

SINISTRA CENTRO DESTRA

ALTO (8, 15) (9, 13) (13, 5) Mr. Riga

BASSO (12,7) (10,11) (2,7) a) Si individuino gli equilibri di Nash (o l’equilibrio di Nash, nel caso fosse unico).

Mr. Colonna SINISTRA CENTRO DESTRA

ALTO (8, 15) (9, 13) (13, 5) Mr. Riga BASSO (12,7) (10,11) (2,7)

L’equilibrio di Nash è unico ed è dato dalla coppia di strategie: Mr. Riga: Basso, Mr. Colonna: Centro. b) Gli equilibri trovati sono Pareto-efficienti?

Sì, in questo gioco l’equilibrio di Nash è Pareto-efficiente: qualunque altro esito del gioco comporta infatti la diminuzione del payoff di almeno uno dei due giocatori. Supponete ora che Mr. Colonna conosca la decisione di Mr. Riga prima di fare la propria scelta.

c) Rappresentate il nuovo gioco in forma estesa.

d) Si individui l’equilibrio perfetto del nuovo gioco.

L’equilibrio perfetto nei sottogiochi è dato dalla coppia di strategie: Mr. Riga: Basso; Mr. Colonna: (Sinistra, Centro).

Riga

Colonna

A

B

S

S

C

C

D

D

(9, 13)

(13, 15)

(8, 15)

(12, 7)

(10, 11)

(2, 7)

43

Scelte in condizioni di incertezza

Esercizio 28 -

Supponete che la funzione di utilità dell’ambiziosa Jamelia sia data da:

U = X (1/3). dove X indica il suo reddito. Se Jamelia diventerà cassiera al supermercato, otterrà un reddito pari a X=27 annui con certezza. Se invece decidesse di intraprendere la carriera di cantante R&B, potrebbe ottenere X=1000 annui nel caso in cui fosse ingaggiata da una prestigiosa casa discografica di Londra, ma solo X=8 all’anno in caso di ingaggio da parte di una piccola band londinese. La probabilità di avere successo nel campo dell’R&B (e quindi di essere ingaggiata dalla suddetta casa discografica) è 0,2. a) Vista la funzione di utilità, come si può caratterizzare l’atteggiamento di Jamelia nei confronti del rischio? Rappresentate graficamente la funzione di utilità di Jamelia indicando chiaramente le variabili sugli assi!

Jamelia è avversa al rischio dal momento che la sua funzione di utilità e’ concava. b) Calcolare il valore di monetario atteso del reddito di Jamelia nel caso in cui decida di diventare cassiera e nel caso in cui decida la carriera di cantante.

EVC = 1 * 27 = 27 EVF = 0,2 * 1000 + 0,8 * 8 = 200 + 6,4 = 206,4 c) Calcolare l’utilità attesa che Jamelia otterrebbe dalle due opzioni.

EUC = 1 * 271/3 = 3 EUF = 0, 2 * 10001/3 + 0,8 * 81/3 = 0,2 * 10 + 0,8 * 2= 2 + 1,6 = 3,6 d) Quale delle due opzioni sceglierebbe?

La seconda percheè le conferisce una utilità attesa maggiore, in base al principio di Von-Neumenn e Morgenstern.

e) Definite il concetto di equivalente certo e calcolatelo nel caso Jamelia decidesse di intraprendere la carriera di cantante.

Quantità di denaro ricevuta con certezza che conferisce a Jamelia la stessa utilità dell’evento incerto (scommessa). EUF= X1/3 Quindi qui: 3,6 = X1/3 ossia X= circa 46,6

U(X)

X

44

Esercizio 29 -

Supponete che la funzione di utilità della ambiziosa Jennifer sia data da:

U(X) = X1/3

dove X indica il suo reddito. Se Jennifer decidesse di intraprendere la carriera di cantante R&B, potrebbe ottenere X=1000 annui nel caso in cui fosse ingaggiata da una prestigiosa casa discografica di New York, ma solo X=125 all’anno in caso di ingaggio da parte di una piccola band locale. La probabilità di avere successo nel campo dell’R&B (e quindi di essere ingaggiata dalla suddetta casa discografica) è 0,5. Jennifer ha comunque l’opportunita’ di abbandonare la carriera di cantante e di diventare cassiera al supermercato, ottenendo un reddito certo pari a X=216 annui. a) Calcolare il valore monetario atteso del reddito per Jennifer nel caso in cui decida di tentare la carriera di cantante e nel caso in cui decida di diventare cassiera.

EVC = 1 * 216 = 216 EVF = 0,5 * 1000 + 0,5 * 125 = 500 + 62,5 = 562,5 b) Calcolare l’utilità attesa che Jennifer otterrebbe dalle due opzioni.

EUC = 1 * 2161/3 = 6 EUF = 0, 5 * 10001/3 + 0,5 * 1251/3 = 0,5 * 10 + 0,5 * 5= 5 + 2,5 = 7,5 c) Quale delle due opzioni sceglierebbe? Motivate la risposta.

La seconda, perchè le conferisce una utilità attesa maggiore, in base al principio di Von-Neumann e Morgensten.

d) Date una rappresentazione grafica dell’utilità che Jennifer trae dall’intraprendere la carriera di cantante, indicando anche l’ammontare di denaro corrispondente all’equivalente certo.

EUF= X1/3 quindi qui: 7,5 = X1/3 ossia X= circa 421,875

5

7,5

125 562,5 421.8 1000

10

X

u(x)

45

Informazione asimmetrica ed esternalità

Esercizio 30 -

Sul mercato dei Personal Computers usati si possono acquistare sia PCs di buona qualità sia PCs di qualità scarsa. I venditori di PCs di buona qualità sostengono un costo di 790 Euro per ogni pezzo venduto. I venditori di PCs di cattiva qualità invece sostengono un costo pari a 450 Euro per ogni computer. L’acquirente tipo pagherebbe 1000 Euro per un buon PC e 500 Euro per uno di cattiva qualità. a) Supponete che l’acquirente non sia in grado di distinguere un tipo di PC dall’altro al momento dell’acquisto ma sappia che esiste il 50% di probabilità di acquistarne uno di cattiva qualità. Qual è il prezzo che il consumatore tipo sarebbe disposto a pagare in questo caso?

Il prezzo coincide con il valore atteso. VA = 0.50 ? (1000) + 0.50 (500) = 750 b) Ipotizzando che i venditori fissino un prezzo uguale a quello trovato al punto a) calcolate il profitto unitario ottenibile dalla vendita di PC di buona e cattiva qualità.

∏ (PC scarsi) = 750 – 450 = 300 ∏ (PC buoni) = 750 – 790 = – 40 c) Che tipo di PCs vi aspettate venga offerto sul mercato (motivate la risposta)?

Solo PCs di cattiva qualità perché solo in questo caso i profitti sono positivi. d) I venditori di PC di buona qualità decidono ora di offrire una garanzia della buona qualità del prodotto. Grazie all’introduzione della garanzia, i consumatori sono in grado di distinguere fra PC di buona e cattiva qualità. Tuttavia, offrire la garanzia comporta ai venditori di PC di buona qualità un costo aggiuntivo. Qual è il massimo costo della garanzia per il quale i venditori di PC di buona qualità saranno effettivamente disposti ad offrirla?

Con la garanzia, i venditori di PC di buone qualità vendono ora ad un prezzo massimo di 1000 Euro. Indicando con G il costo della garanzia, essi faranno un profitto massimo di: ∏ (PC buoni con garanzia) = 1000 – 790 – G la garanzia sarà offerta solo se: ∏ (PC buoni con garanzia) > 0 1000 – 790 – G > 0 G< 210 Al massimo la garanzia potrà costare 210 perché il venditore abbia interesse ad introdurla. Esercizio 31 -

Sul mercato dei mobili etnici, su cui operano ormai un numero elevato di compratori e venditori, sono offerti sia mobili autentici, importati dai paesi di origine, che imitazioni realizzate da falegnami locali. Queste ultime rappresentano il 50% dei mobili etnici presenti sul mercato. L’acquirente tipo è disposto a pagare 1000 Euro per un mobile autentico e solo 200 Euro per un’imitazione, ma non è in grado di distinguere l’uno dall’altro al momento dell’acquisto. Il costo marginale per i venditori di mobili etnici autentici è costante è pari a 650 Euro, mentre il costo marginale per i venditori di imitazioni è pari a 100 Euro, anch’esso costante.

46

a) Qual è il valore atteso di un mobile etnico per l’acquirente tipo? Attendendosi che il valore atteso di un mobile etnico per l’acquirente tipo coincida con la sua disponibilità a pagare, i venditori fissano il prezzo uguale al valore atteso. Calcolate il profitto unitario ottenuto sulla vendita di mobili etnici originari e quello ottenuto sulla vendita di imitazioni.

Valore Atteso di un mobile = 0.5x1000+0.5x200=600 600 650 50 0Autenticiπ = − = − < 600 100 500imitazioniπ = − =

b) Che tipo di mobili etnici vi aspettate venga offerto sul mercato (motivate la risposta)?

Solo imitazioni, poiché i produttori di mobili autentici incorrerebbero in profitti negativi

c) Supponete ora che i venditori di mobili offrano una certificazione che attesta l’autenticità del mobile. Per ottenere tale certificazione devono sostenere un costo pari a 150 Euro. Che effetto ha questa decisione sul prezzo a cui i due tipi di mobili vengono venduti sul mercato? E sui profitti?

La certificazione consente di distinguere i due tipi di mobili all’atto dell’acquisto. Di conseguenza i prezzi dei due tipi coincidono con la disponibilità a pagare da parte dei consumatori e i profitti nei due casi sono:

1000 650 150 200Autentici certificazioneπ + = − − =

200 100 100imitazioniπ = − = d) Anche i venditori di imitazioni potrebbero cercare di ottenere la certificazione, ma ad un costo unitario più alto: 810 Euro. Ritenete che sia per essi conveniente acquistare la certificazione?

No, perché i profitti sarebbero inferiori: 1000 100 810 90 100imitazioni certificazioneπ + = − − = <