Settimana N° 3 OMEOMORFISMI DI SPAZI TOPOLOGICI, …ferrario/geo1-2016/wen3.pdf · Settimana N° 3...

Settimana N° 3

OMEOMORFISMI DI SPAZI TOPOLOGICI, TOPOLOGIAPRODOTTO E TOPOLOGIA QUOZIENTE

§5. FUNZIONI CONTINUE

(Cfr.)*Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può

dimostrare, esattamente come in (3.12) e in (2.13), che vale la seguenteproposizione.

(5.1) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi topologici. Le quattro proposi-zioni seguenti sono equivalenti:

(i) f è continua

(ii) ∀A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A).

(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1(C) ⊂ X è chiuso in X.

(iv) Se B è una base per Y, allora per ogni elemento della base B ∈ B lacontroimmagine f −1B è aperto in X.

(5.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua.

Dim. Sia f : X → Y una funzione continua e g : Y → Z una funzione continua. Lacomposizione gf : X → Z è continua se e solo se (gf )−1(A) è aperto in X ognivolta che A è aperto in Z. Ora,

(gf )−1(A) = {x ∈ X : g( f (x)) ∈ A}= {x ∈ X : f (x) ∈ g−1(A)}= f −1(g−1(A))

e dunque se A è aperto anche g−1(A) è aperto in Y (dato che g è continua),e poiché f è continua f −1(g−1(A)) è aperto in X. ⨳

*Cfr: Sernesi vol II, cap I, §4 [1].

33

34 #3. OMEOMORFISMI, PRODOTTI E QUOZIENTI

(5.3) Teorema. Sia f : X → Y una funzione continua. Se S ⊂ X ha la topologiaindotta, allora la restrizione f |S è continua.

Dim. Sia B ⊂ Y un aperto. La controimmagine f −1(B) è aperta in X, dato chef è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f |S èdata dall’insieme

{x ∈ S : f (x) ∈ B},e quindi da S ∩ f −1(B). Per definizione di topologia indotta, questo è unaperto di S. ⨳(5.4) Osserviamo che la funzione di inclusione i : S → X definita da i(x) = xper ogni x ∈ S ⊂ X è una funzione continua, se S ha la topologia indotta daquella di X. Allora la restrizione f |S è una funzione continua, dato che ècomposizione delle due funzioni continue f |S = f ◦ i.

(5.5) Definizione. Una funzione f : X → Y tra spazi topologici è un omeomor-fismo se è biunivoca e sia f che la funzione inversa f −1 sono continue. Sidice allora che X e Y sono omeomorfi (e si indica con X ≈ Y).

(5.6) Nota. Osserviamo quindi che X ≈ Y se e soltanto se esistono duefunzioni continue f : X → Y e g : Y → X tali che g ◦ f = 1X e f ◦ g = 1Y. Infatti,se f : X → Y è un omeomorfismo, allora l’inversa g = f −1 è continua, e perdefinizione di inversa si ha che f −1 ◦ f = 1X e f ◦ f −1 = 1Y. D’altro canto, seesistono f e g come sopra, allora f è biunivoca e continua, e ha inversauguale a g, quindi ha inversa continua.

La topologia studia gli spazi a meno di omeomorfismo. Infatti, unabiiezione non è altro che un “cambiamento di coordinate” in uno spa-zio, e l’essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti vieneconservata.

(5.7) Esempio (I sette ponti di Königsberg). Il grande matematico LeonhardEuler (1707–1783) nel 1735 si trovò ad affrontare il seguente problema:trovare una passeggiata (cammino) nella città di Königsberg (o Regiomontiumil latino; ora è chiamata Kaliningrad) che attraversi una e una sola voltatutti i sette ponti (si veda la figura 3.2). La sua soluzione (negativa)fu data nel 1736 e pubblicata nel 1741 in Solutio problematis ad geome-triam situs pertinentis (Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae8, 1741, pp. 128-140)*. Si parla di questo lavoro come la nascita dellatopologia. Nella foto da satellite 3.3 è possibile notare che negli anniun certo numero di ponti sono stati distrutti. È possibile ai giorni nostririsolvere in modo positivo il problema dei ponti superstiti di Kaliningrad?

(5.8) Esempio. Sia X l’insieme delle matrici 2× 2 a coefficienti reali. Siad la metrica munito della metrica

d((ai j), (bi j)) = maxi j

(|ai j − bi j |) .

*http://www.math.dartmouth.edu/{~{}}euler/pages/E053.html

[http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geo1-2016] : 2016-03-17

§5. FUNZIONI CONTINUE 35

Figura 3.1: Omeomorfismi tra una ciambella, una tazza e una ghiria(kettlebell)

Figura 3.2: I sette ponti di Königsberg (figura originale di Euler)



Figura 3.3: I (sette?) ponti di Kaliningrad

X è omeomorfo a R4 con la metrica euclidea

d((xi), (yi)) =

�� 4∑

i=1(xi − yi)2

tramite l’omeomorfismo

(a1,1 a1,2a2,1 a2,2

)�→

a1,1a2,1a1,2a2,2

Dimostrazione: esercizio (3.1).

(5.9) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale(proiezione stereografica). La sfera meno un punto è omeomorfa al piano,analogamente. Esercizio (3.2): in coordinate.

(5.10) Esempio. La retta reale è omeomorfa ad un segmento aperto: R ≈ (a, b)per ogni a < b. Definiamo f : (−1, 1) → R f (x) =

x1 − x2 . La funzione è continua

perché composizione di funzioni continue. Osserviamo poi che f (x) = f (y) see soltanto se

x(1 − y2) = y(1 − x2) ⇐⇒ xy2 − x2y + y − x = 0⇐⇒ xy(y − x) + (y − x) = 0⇐⇒ (xy + 1)(y − x) = 0,



x, ξ

y, η

z, ζ

N

P̂

S

Pβ

φ

a

Figura 3.4: Proiezione stereografica

e quindi se x, y ∈ (−1, 1) e f (x) = f (y), allora x = y, dato che certamente xy + 1 ̸= 0(perché?). Quindi f è iniettiva*. Mostrare che è suriettiva equivale amostrare che per ogni y ∈ R esiste un x ∈ (−1, 1) tale che f (x) = y, cioè chel’equazione

yx2 + x − y = 0

ha una soluzione in x compresa tra −1 e 1. Se y = 0, allora è vero. Sey ̸= 0, dato che ∆ = 1+ 4y2, delle due soluzioni dell’equazione almeno una deveavere norma minore di 1, visto che il loro prodotto è uguale a −1,

(x − x1)(x − x2) = x2 +xy− 1.

Quindi f è suriettiva. Le due soluzioni sono

x1 =−1 +

√1 + 4y2

2y, x2 =

−1 −√

1 + 4y2

2y.

*La funzione è iniettiva, anche perché è differenziabile e monotona crescente f ′(x) =x2 + 1

(1 − x2)2 .



Per ogni y > 0 si ha −x2 >1+2y

2y > 1, e di conseguenza per ogni y < 0 x2 > 1: quindinecessariamente x1 ∈ (−1, 1). In altre parole, la funzione inversa di f è

g(y) =√

1 + 4y2 − 12y

=(1 + 4y2) − 1

2y(√

1 + 4y2 + 1)

=2y√

1 + 4y2 + 1,

e anch’essa è continua, dato che è composizione di funzioni continue. Perfinire: omeomorfismo lineare

(a, b) ≈ (−1, 1) ≈ R.

(5.11) Esempio. La funzione f : [0, 2π) ⊂ R → S1 ⊂ R2(∼= C) definita ponendof (t) = (cos(t), sin(t)) ∈ S1 per ogni t è continua e biunivoca. Ma non è aperta:f ([0, 1)) non è aperto in S1, ma [0, 1) ⊂ [0, 2π) è aperto in [0, 2π). Quindi non èun omeomorfismo. Vedremo in seguito che non possono esistere omeomorfismitra [0, 2π) e S1 (cioè i due spazi non sono omeomorfi).

(5.12) Esempio. Quali tra i seguenti spazi sono omeomorfi tra di loro?

A B C D E F G H I J K L M N OP Q R S T U V W X Y Z

(5.13) Esempio (Curva di Peano). Esiste una funzione continua e suriettivaf : I = [0, 1] → I2 ⊂ R2. Si può costruire come limite di funzioni continue, conun procedimento iterativo che si dovrebbe desumere dalla Figura 3.5.

(5.14) Definizione. Una funzione f : X → Y è

(i) aperta se l’immagine f (A) di ogni aperto A di X è aperta in Y.

(ii) chiusa se l’immagine f (C) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y.

(5.15) Una funzione f : X → Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delledue proprietà è vera:

(i) f è biunivoca, continua e aperta.

(ii) f è biunivoca, continua e chiusa.

(5.16) Nota. Nell’esercizio (5.11) qualcuno magari ha notato la comparsadel simbolo C. Questo indica sì il piano C ∼= R2, ma con una struttura inpiù. Gli elementi del piano (cioè le coppie (x, y) ∈ R2 con x, y ∈ R), sonointesi come numeri complessi.



Figura 3.5: Curva di Peano



Osserviamo che se e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), allora gli elementi di R2 sonotutte e sole le combinazioni lineari

z = xe1 + ye2, x, y ∈ R .

Per semplificare, omettiamo di scrivere e1 e scriviamo i invece che e2.Quindi, gli elementi di R2 li scriviamo come

z = x + yi .

Cioè, il vettore

[xy

]∈ R2 lo si può scrivere come x + yi, o anche come (x, y).

Chiamiamo numeri complessi gli elementi di R2 scritti come z = x + yi. Sex = 0, lo indichiamo semplicemente con yi invece che 0 + yi. Se y = 0, loindichiamo semplicemente con x invece che x + 0i. I numeri del tipo 0+ yi sonoi numeri puramente immaginari. I numeri del tipo x + 0i sono i numeri reali.La coordinata x si chiama la parte reale di z = x + yi, la coordinata y sichiama la parte immaginaria di z = x + yi.

L’insieme di tutti i numeri complessi viene indicato con il simbolo C.È chiaro che R2 ∼= C. Dato che R2 è uno spazio vettoriale a coefficienti inR, lo è anche C: è quindi possibile moltiplicare i numeri complessi perun numero reale, e sommare tra loro numeri complessi:

c(x + yi) = cx + (cy)i (x + yi) + (a + bi) = (x + a) + (y + b)i .

Definiamo ora il prodotto di numeri complessi. Vogliamo che il prodottosia commutativo e associativo, cioè che per ogni a, b, c ∈ C si abbia

ab = ba, (ab)c = a(bc) .

Inoltre, vogliamo che sia distributivo rispetto alla somma, cioè per ognia, b, z ∈ C si deve avere

(a + b)z = az + bz .

Dalla commutatività e distributività si deduce che

(a + bi)(x + yi) = ax + (bx + ay)i + byi2

=?

Basterebbe quindi soltanto definire che cosa è i2… dato che è un numerocomplesso, basta decidere cosa siano le sue coordinate, cioè i due numerireali α e β tali che

i2 = α + βi .

Qualsiasi cosa siano α e β, già da qui deduciamo che 1 è l’elemento neutrorispetto alla moltiplicazione.

La scelta che si fa è quella di porre α = −1 e β = 0*, cioè di imporre che

(5.17) i2 = −1 .*Lo studente diligente potrebbe controllare nel corso di Algebra, per capire quali altre

scelte avrebbero potuto esserci per α e β.



Da (5.17) segue che

(a + bi)(x + yi) = ax + (bx + ay)i + byi2

= (ax − by) + (bx + ay)i .

Fino a qui dovrebbe essere semplice. Ora si aggiunge una ulterioreoperazione, su C: il coniugio. Se z ∈ C è un numero complesso, il numerocomplesso z ∈ C indica il complesso coniugato di z, che è definito da

z = x + yi =⇒ z = x − yi .

Conto semplice, ricordando la definizione di norma ∥z∥ di un vettore zdi R2 ∼= C2:

z = x + vi =⇒ zz = (x + yi)(x − yi) = x2 + y2 = ∥z∥2 .

Conseguenza: se z ̸= 0 = 0 + 0i ∈ C, allora

zz∥z∥2 = 1 =⇒ 1

z=

z∥z∥2

e quindi esiste l’inverso rispetto alla moltiplicazione degli elementinon-nulli di C (e quindi C è un campo).

Abbiamo definito la somma e il prodotto su C, non rimane che provare adefinire l’esponenziale. Una definizione possibile è la seguente:

ex+ti = exeti = ex(cos t + i sin t) .

Cioè, si estende la consueta definizione dell’esponenziale ponendo eti =cos t + i sin t per i numeri puramente immaginari, e mantenendo le proprietàformali (algebriche) dell’esponenziale. Perché si può fare? È argomento dialtri corsi, di solito di analisi.

Ricordiamo che cosa sono le coordinate polari di un punto in R2. Se(x, y) ∈ R2, allora esistono r ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π) tali che (x, y) = (r cos θ, r sin θ): bastaporre (per (x, y) ̸= (0, 0)) r =

√x2 + y2 e

θ =

arccos(

xr) se y ≥ 0

π + arccos(− xr) se y < 0.

Osserviamo che se y = 0, si haxr∈ {−1,+1}. In questi casi si ha

arccos(1) = 0, π + arccos(−1) = 2π, arccos(−1) = π, π + arccos(1) = π

Osserviamo quindi che, passando in coordinate polari, ogni numero complessopuò essere scritto come

z = reiθ = r cos θ + ir sin θ,

dove r = ∥z∥, e θ è l’angolo rispetto alla semiretta dei reali positivi.



§6. TOPOLOGIA PRODOTTO

(Cfr.)*

(6.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesianoX ×Y ammette una topologia, chiamata topologia prodotto definita a partiredalla base

base = {U ×V ⊂ X × Y : U è aperto in X e V è aperto in Y } .

Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effetti-vamente l’insieme di aperti sopra descritto costituisca una base per X × Y:esercizio (3.4).

Le funzione p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y definite da p1(x, y) = x e p2(x, y) = ysi dicono le proiezioni.

(6.2) Se X ×Y ha la topologia prodotto, allora X ×Y ≈ Y × X (sono omeomorfi),e le proiezioni p1 : X × Y → X, p2 : X × Y → Y sono continue e aperte.

Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di uninsieme finito di spazi topologici X1,X2,…, Xn, che ha come base la famigliadi sottoinsiemi del tipo U1 ×U2 × · · · ×Un ⊂ X1 × X2 × · · · × Xn.

(6.3) Proposizione. Una funzione f : X → Y1 × Y2 (che si può scrivere quindicome f (x) = ( f1(x), f2(x))) è continua se e solo se le sue due componenti ( f1 = p1 ◦ fe f2 = p2 ◦ f) sono continue.

Dim. Se f è continua, allora f1 e f2 sono continue perché composizioni dif con le funzioni continue p1 e p2. Viceversa, se f1 e f2 sono continue,allora se V1 ×V2 ⊂ Y1 × Y2 è un aperto della base per la topologia (prodotto)di Y1 × Y2, si ha

f −1(V1 ×V2) = {x ∈ X : ( f1(x), f2(x)) ∈ V1 ×V2}= {x ∈ X : f1(x) ∈ V1 e f2(x) ∈ V2}= f −1

1 (V1) ∩ f −12 (V2),

che è aperto perché intersezione di due aperti. ⨳(6.4) Esempio. La topologia di Rn indotta dalla metrica euclidea (topologiametrica) è uguale alla topologia prodotto.

(6.5) Esempio. I × I è il quadrato (pieno) di R2. Analogamente, In è il cubodi dimensione n.

(6.6) Esempio. Le proiezioni p1 : X × Y → X e p2 : X × Y → Y sono aperte mapossono non essere chiuse. Per esempio, se X = Y = R,

C = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}*Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §6 [1].


§7. SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE 43

è chiuso, map1(C) = {x ∈ R : x ̸= 0} = R ∖ {0}

non è chiuso.

(6.7) Nota. Nell’esercizio precedente C è chiuso perché, se si pone f : R2 → R

definita da f (x, y) = xy, si ha che f è continua e

C = f −1({1}),

che è chiuso in R2, dato che {1} è chiuso in R (con la topologia metrica).

(6.8) Nota. In generale non è detto che f : X → Y continua e biunivoca siaun omeomorfismo (potrebbe non essere una mappa aperta e/o chiusa, cioèl’inversa di f potrebbe non essere continua). Per gli spazi euclidei, però,vale il seguente teorema dimostrato da Brouwer nel 1912 (di cui non possiamodare la dimostrazione – Hanc marginis exiguitas non caperet).

(6.9) Teorema (Invarianza del dominio). Se X ⊂ Rn è un aperto e f : X → Rn

(lo spazio Rn è inteso con la topologia metrica) è una funzione continuae iniettiva, allora f è anche una mappa aperta.

(6.10) Corollario. Se f : Rn → Rn è continua e biunivoca, allora è unomeomorfismo.

§7. SPAZI DI IDENTIFICAZIONE E TOPOLOGIE QUOZIENTE

(Cfr.)*Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composi-

zione e restrizione di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazitopologici a partire da spazi dati.

Ricordiamo che una relazione su un insieme X è detta relazione diequivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. In genere una rela-zione di equivalenza su X viene indicata con il simbolo “∼”. Quindi x ∼ x,(x ∼ y ⇐⇒ y ∼ x) e (x ∼ y ∧ y ∼ z =⇒ x ∼ z) Il fatto fondamentale è questo: ad unarelazione di equivalenza si associa naturalmente una partizione di X inclassi di equivalenza. Cioè, per ogni x si definisce il sottoinsieme di X

[x] = {y ∈ X : y ∼ x} ⊂ X,

e risulta che x ∼ y ⇐⇒ [x] = [y]. Le classi di equivalenza distinte sono adue a due disgiunte

[x] ∩ [y] ̸= ∅ =⇒ [x] = [y]

*Cfr: Sernesi, Vol II, Cap II, §7 [1].



e X è l’unione delle sue classi di equivalenza. L’insieme di tutte leclassi di equivalenza in X viene indicato con X/∼, ed è detto anche in-sieme quoziente. La funzione p : X → X/∼ che associa ad ogni x ∈ X la suaclasse di equivalnza [x] ∈ X/∼ è chiamata la proiezione sul quoziente. Quindiuna relazione di equivalenza determina una funzione suriettiva p : X → X/∼sull’insieme delle classi di equivalenza.

Viceversa, data una funzione suriettiva f : X → Y, Y è in corrispondenzabiunivoca con l’insieme delle classi di equivalenza date dalla relazione

∀x, y ∈ X, x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y).

Quindi le relazioni di equivalenza su X e le funzioni suriettive condominio X si corrispondono.

Problema: sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico,e f : X → X/∼ = Y la proiezione sull’insieme quoziente. Come dare ad X/∼ unatopologia?

Le relazioni di equivalenza in un certo senso corrispondono con l’o-perazione di “incollamento” di punti diversi di uno spazio topologico,cioè “identificando” tra loro punti diversi (che quando appartengono allastessa classe di equivalenza, saranno identificati ad un punto dell’insiemequoziente).

(7.1) Esempio. (i) I0∼1: incollare tra di loro gli estremi di un segmento.

(ii) R con x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z. Cos’è l’insieme quoziente? La classe diequivalenza di x ∈ R è per definizione

= {y ∈ R : y − x ∈ Z}= {y ∈ R : ∃k ∈ Z, y − x = k}= {y ∈ R : ∃k ∈ Z, y = x + k}= {x + k : k ∈ Z}= x +Z.

Qui usiamo la notazione x +Z = {x + z : z ∈ Z}, se Z è un insieme di elementiche si possono sommare a x.

(iii) R2 con x = (x1, x2) ∼ y = (y1, y2) ⇐⇒ x − y ∈ Z2.

(iv) Nastro di Möbius: è possibile costruirlo incollando in modo opportunogli estremi di un nastro.

(7.2) Definizione. Sia F : X → Z una funzione tra insiemi, e ∼ una relazionedi equivalenza su X, con proiezione sul quoziente p : X → X/∼, p(x) = [x] ∈ X/∼.Si dice che la funzione F passa al quoziente se è possibile definire unafunzione sul quoziente f : X/∼ → Z con la proprietà che per ogni x ∈ X

F(x) = f (p(x)).



(7.3) Sia X come sopra un insieme con una relazione di equivalenza ∼, eF : X → Z una funzione qualsiasi. Allora F passa al quoziente se e soltantose è costante sulle classi di equivalenza in X.

Dim. Supponiamo che F passi al quoziente. Allora esiste f : X/∼ → Z tale cheper ogni x ∈ X si ha F(x) = f ([x]). Ma allora per ogni y ∈ [x] vale p(y) = [y] = [x],e quindi

F(y) = f (p(y)) = f ([x]) = F(x),

cioè F è costante sulla classe di equivalenza [x].Viceversa, se F è costante sulle classi di equivalenza, definiamo f : X/∼ →

Z ponendof ([x]) = F(x).

La definizione di f è ben posta, perché se [x] = [y], allora F(x) = F(y) peripotesi, e quindi f ([x]) = f ([y]). E per ogni x si ha F(x) = f (p(x)), per cui Fpassa al quoziente. ⨳(7.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X → Y una funzionesuriettiva, allora si definisce la topologia quoziente su Y come la to-pologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi A ⊂ Y per cui lacontroimmagine f −1(A) ⊂ X è aperto. Lo spazio Y si dice spazio quoziente diX rispetto alla proiezione f.

(7.5) La definizione (7.4) è ben posta: la classe di aperti descritta è ineffetti una topologia su Y.

Dim. Sia f : X → Y come nella definizione (7.4).f −1(∅) = ∅ ⊂ X =⇒ ∅ aperto di Y.

f −1(Y) = X =⇒ Y aperto di Y;∀i, Ai ⊂ Y aperto , f −1 (∪i Ai) = ∪i f −1Ai =⇒ ∪i Ai aperto di Y .

A1, A2 ⊂ Y aperti , f −1 (A1 ∩ A2) = f −1A1 ∩ f −1A2 =⇒ A1 ∩ A2 aperto di Y . ⨳(7.6) Se f : X → Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y ècontenuta nella topologia quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nellatopologia quoziente di X).

Dim. Per definizione di continuità, se f : X → Y è continua e A ⊂ Y è apertonella topologia di Y, allora f −1(A) è aperto in X, e quindi per definizionedi topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente. ⨳(7.7) Teorema. Sia X uno spazio topologico, e p : X → X/∼ = Y la proiezionesullo spazio quoziente Y. Se una funzione F : X → Z è continua e passa alquoziente, allora la funzione indotta sul quoziente f : X/∼ → Z è continua.



Dim. La funzione indotta f : Y = X/∼ → Z è continua se e soltanto se per ogniaperto A ⊂ Z, la controimmagine f −1A ⊂ Y è un aperto di Y. Ma gli aperti diY sono tutti e soli i sottoinsiemi B ⊂ Y le cui controimmagini p−1B sonoaperti di X. Quindi f −1A è aperto se e soltanto se p−1 f −1A ⊂ X è aperto inX. Ma p−1 f −1A = F−1A, dato che F = f ◦ p per ipotesi, e dal momento che F ècontinua F−1A è un aperto di X. ⨳(7.8) Definizione. Se X è un insieme e A ⊂ X un sottoinsieme, si scrive X/A(quoziente di X su A) per indicare l’insieme ottenuto identificando tuttoA ad un punto, che è l’insieme ottenuto dalla relazione di equivalenza incui le classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di X ∖ A e l’interoA.

(7.9) Esempio. Consideriamo i due esempi I0∼1 e X = R/∼ definiti nell’esempio(7.1). Se indichiamo con ∂I = {0, 1} il bordo di I, allora 0∼1 è l’insiemeottenuto identificando ∂I ⊂ I = [0, 1] ⊂ R ad un punto, secondo la definizione(7.8).

Osserviamo che I0∼1 e X sono in corrispondenza biunivoca. Infatti, lafunzione

F : I → X

definita ponendo F(t) = [t] = t +Z ∈ X passa al quoziente. Per (7.3), bastaverificare che F è costante sulle classi di equivalenza in I. Ma vistoche c’è una sola classe in I con più di un elemento (cioè ∂I = {0, 1}), bastaverificare che F(0) = F(1). Infatti, F(0) = Z ⊂ R, mentre F(1) = 1 +Z = Z ⊂ R.

Dimostriamo anche che la funzione indotta f : I/0∼1 → X è biunivoca. Infatti,siano [s] e [t] due punti distinti di I0∼1, cioè due classi di equivalenza. Datoche sono distinti, almeno uno dei due è diverso dalla classe ∂I. Supponiamoche quindi s ∈ (0, 1). Se fosse vero che f ([s]) = f ([t]), allora per definizionedovrebbe essere che s+Z = t +Z, cioè esiste k ∈ Z tale che s− t = k. Osserviamoche s ∈ (0, 1) e t ∈ [0, 1], quindi −t ∈ [−1, 0] e

s − t < 1 − t ≤ 1 − 0 = 1s − t > 0 − t ≥ 0 − 1 = −1,

e quindi k = s − t è un intero compreso nell’intervallo −1 < k < 1. Ma l’unicointero possibile è k = 0, e quindi s = t contro l’ipotesi che [s] ̸= [t]. Quindif è iniettiva.

Verifichiamo che è suriettiva: per ogni x ∈ R esistono un intero n (laparte intera di x) e un δ ∈ R tali che

x = n + δ, n ∈ Z, 0 ≤ δ < 1 .

Quindi per ogni x ∈ R si ha che esiste δ ∈ [0, 1) tale che x − δ ∈ Z, cioè[x] = [δ]. Ma questo implica che f è suriettiva, dato che esiste t = δ per cuil’elemento [t] ∈ I0∼1 ha immagine mediante f uguale a [x].



Figura 3.6: Incollare in due modi diversi gli estremi di un nastro

Figura 3.7: Chiudere una cerniera e …? (vedere anche la figura 3.9)



Figura 3.8: Toro, ≈ S1 × S1

(7.10) Esempio. Il toro (superficie di una ciambella)*: [0, 1] × [0, 1] con leidentificazioni (i.e. relazione di equivalenza…)

(i) (0, 0) ∼ (1, 0) ∼ (1, 1) ∼ (0, 1).

(ii) (x, 0) ∼ (x, 1) per 0 < x < 1.

(iii) (0, y) ∼ (1, y) per 0 < y < 1.

È omeomorfo a S1 × S1?

(7.11) Esempio. Il disco: D1(0, R2) = D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}, quozientatorispetto alla relazione di equivalenza:

x ∼ y ⇐⇒

x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2 (x e y stanno sul bordo)

x = y altrimenti

Il quoziente risulta essere omeomorfo ad una sfera. Perché?

(7.12) Esempio. Il piano proiettivo†: D2 quozientato rispetto alla rela-zione:

x ∼ y ⇐⇒

x = −y se x ∈ ∂D2 ∧ y ∈ ∂D2

x = y altrimenti

Analogo: S2/∼ dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale). Perché le due definizionisono equivalenti? Lo vedremo meglio più avanti.

(7.13) Esempio. Nastro di Möbius: si prenda un nastro sufficientementelungo, e si incollino i due estremi, dopo aver fatto fare mezzo giro alnastro. Lo spazio che risulta deve avere una faccia sola‡. Cosa succede

*Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Toro_(geometria) per approfondimenti.†Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Piano_proiettivo per approfondimenti. Comunque

ritorneremo più avanti sul piano proiettivo.‡ Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius e http://areeweb.polito.it/didattica/

polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Aprile_07/AnelliMobius.htm per approfondimenti.



x

−x

Figura 3.9: Identificazione antipodale dei punti sul bordo del disco

Figura 3.10: Il nastro di Möbius



Figura 3.11: Bottiglia di Klein: somma di due nastri di Möbius, incollatilungo i bordi

se si taglia un nastro di Möbius esattamente a metà, lungo la sua lineamediana? Si ottengono due nastri di Möbius? Due cilindri? Un nastro diMöbius? Un cilindro? E se il taglio inizia a 1/4 dalla linea mediana?

(7.14) Esempio. La bottiglia di Klein si può ottenere come somma di duenastri di Möbius, incollati lungo i bordi, oppure identificando opportuna-mente i lati opposti di un quadrato, a due a due, in modo che due sianoidentificati per il medesimo verso, e due per il verso opposto*.

*Si veda http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein per approfondimenti.


Esercizi 51

ESERCIZI

(3.1) Si dimostri quanto affermato nell’esempio (5.8): le due metriche sonoequivalenti su R4, e quindi i due spazi sono omeomorfi.

(3.2) Si trovi l’espressione esplicita (in coordinate) delle proiezionistereografiche della circonferenza su R e della sfera su R2, come indicatonell’esempio (5.9).

(3.3) Si consideri la funzione f : [0, 2π) ⊂ R → S1 ⊂ R2 definita come in (5.11),cioè

f (t) = (cos(t), sin(t)) ∈ S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.Si determini una espressione esplicita per la funzione inversa f −1 : S1 →[0, 2π).

(3.4) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U ×V, con U aperto in Xe V aperto in Y è una base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano)X × Y.

(3.5) Dimostrare che se X × Y ha la topologia prodotto e A ⊂ X, B ⊂ Y sonosottospazi, allora A× B = A× B, e che A× B è aperto in X × Y se e solo se Aè aperto in X e B è aperto in Y.

*(3.6) Dimostrare che [0, 1) × [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] × [0, 1).

(3.7) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione, A è un sottospazio di Ycon la topologia indotta tale che f X ⊂ A ⊂ Y, allora la funzione f : X → Y ècontinua se e solo se lo è la funzione fA : X → A, dove fA indica la funzionedefinita da fA(x) = f (x) ∈ A ⊂ X per ogni x ∈ X.

(3.8) Dimostrare che Q = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma cheQ non ha punti interni in R.

(3.9) Dimostrare che il quadrato

{(x, y) ∈ R2 : max(|x|, |y|) = 1}

è omeomorfo alla circonferenza {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

(3.10) Dimostrare che la mappa diagonale ∆ : X → X × X definita da x �→ (x, x) ècontinua.

*(3.11) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappaquoziente.

*(3.12) È vero che la mappa di proiezione p1 : X × Y → X è sempre una mappachiusa?



(3.13) Sia p1 : R2 = R ×R → R la proiezione sulla prima coordinata. Sia

A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∨ y = 0},e f : A→ R la restrizione di p1 a A. La mappa f è aperta/chiusa?

(3.14) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione tra insiemi allora larelazione x ∼ y ⇐⇒ f (x) = f (y) è una relazione di equivalenza, e la funzionef induce una funzione biunivoca tra l’insieme delle classi di equivalenzae f (X) ⊂ Y.

*(3.15) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di unnastro di Möbius?

(3.16) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguentispazi:

(i) Cilindro = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1∧ z2 ≤ 1}.(ii) Cono = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 = x2 + y2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.(iii) Toro (≈ S1 × S1 ≈ . . .).(iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1

e z = −1) di bordo identificate ad un punto.

(v) La sfera {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.(vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto.

(vii) Il piano R2.

*(3.17) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazionicontinue su R.

(3.18) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R2:

(i) {(x, y) : xy = 1}.(ii) (x, y) : x2 + y2 = 1}.(iii) {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.(iv) {(x, y) : x3 + y3 = 1} (e in generale, {(x, y) : xn + yn = 1}).*(3.19) Sia f : X → Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esisteuna funzione continua g : Y → X (inversa destra) tale che f ◦ g è l’identità diY, allora f è una mappa quoziente. Se g = i è l’inclusione di un sottospazioi : Y = A ⊂ X (dove A ha la topologia indotta da X), allora il fatto che isia inversa destra di f si legge f ◦ i = 1Y, e cioè ∀x ∈ A, f (x) = x, cioè larestrizione f |A è uguale all’identità 1A. In questo caso la mappa f si diceretrazione.


Esercizi 53

*(3.20) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q (sela differenza è razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente R/∼?(Dimostrare che è la topologia banale.)

(3.21) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappaquoziente.

(3.22) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è unomeomorfismo.

*(3.23) Siano X e Y due spazi metrici con metriche dX e dY. Dimostrare chela funzione d : X × Y → R definita da

d ((x1, y1), (x2, y2)) =√

dX(x1, x2)2 + dY (y1, y2)2

è una metrica sul prodotto X ×Y. Dimostrare anche che la topologia indottada d coincide con la topologia prodotto.

*(3.24) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l’unione delle circonferenze {(x, y) ∈R2 : (x − 1

n )2 + y2 = ( 1

n )2}, per n = 1, 2, 3 . . . con la topologia indotta da R2, e sia

Y lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi Z ⊂ R ad un punto.Determinare (in modo intuitivo) se X e Y sono omeomorfi o meno.

(3.25) Dimostrare che le due funzioni s : R2 → R e p : R2 → R definite da

s(x, y) = x + y, p(x, y) = xy

sono continue.


Settimana N° 3 OMEOMORFISMI DI SPAZI TOPOLOGICI, …ferrario/geo1-2016/wen3.pdf · Settimana N° 3...

Documents

Transcript of Settimana N° 3 OMEOMORFISMI DI SPAZI TOPOLOGICI, …ferrario/geo1-2016/wen3.pdf · Settimana N° 3...