Alla ricerca della topologia nascostain difesa della geometria perduta…

Viareggio, 10 settembre 2010M. Dedò

Il Centro matematita ha da tempo inserito la topologia fra le sue proposte dirette alle scuole (mostre, kit, laboratori).

Con esiti contraddittori

I commenti a posteriori da parte di chi le ha effettivamente sperimentate

sono molto positivi

Pochi insegnanti le richiedono

però

• qualche motivazione (perché la topologia?)• esempi di proposte di natura topologica già rodate dal Centro (in mostre, laboratori, kit, …) • un esempio nuovo (non rodato)

Perché proprio la topologia?

La topologia è ricca di esempi, spunti, problemi che si prestano bene allo scopo di stimolare e incuriosire i ragazzi (non soltanto la topologia, naturalmente!).

Può anche aiutare a riportare l’attenzione su alcuni aspetti (utili non solo in matematica!) come la fantasia, l’immaginazione, (oltre a ragionamento e attenzione al linguaggio) … che tempo fa erano stimolati dalla geometria sintetica e che ora si stanno perdendo.

alla ricerca della geometria perduta…

Alcune obiezioni

“È troppo difficile”Se si intende che richiede strumenti: falso.Alcune attività (magari formulate diversamente) sono state utilizzate nelle scuole medie e in istituti professionali.

Se si intende che fa pensare: vero! E non vogliamo rinunciarci!!!

“Non è in programma”Vero, però…

la matematica è un blocco unico, in cui tutto è collegato con tutto: ciò che “non è in programma” può rivelare nessi inaspettati con i contenuti classici del programma!

(anche se non è in programma…)

• ragionamenti di tipo qualitativo (la matematica non comprende solo tecniche di calcolo!)

• dare esempi di modellizzazione di un problema concreto (esempio: grafi)

• sviluppare l’attenzione al linguaggio

A cosa può servire la topologia?

• sviluppare l’immaginazione e la capacità di visualizzazione

(anche se non è in programma…)

A cosa può servire la topologia?

A cosa può servire la topologia?

• fornire spunti (provocazioni?) per incuriosire e indurre un atteggiamento di ricerca

• creare occasioni per rompere gli schemi

• mettere i ragazzi su uno stesso piano per una ricerca comune (non occorrono prerequisiti)

(perché non è in programma!)

Abilità trasversali messe in gioco da problemi

“anomali” discussi una tantum:

• leggere il testo del problema e farsene una pittura mentale prima di procedere• dopo aver finito, controllare il risultato (anche con criteri di buon senso…!)

Si tratta di abilità che mirano a dare

significato a ciò che si sta facendo

“Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’è una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema può essere semplice, ma se mette alla prova la tua curiosità e mette in gioco le tue capacità di invenzione, e se tu lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi provare la tensione e il trionfo della scoperta. Queste esperienze possono creare un gusto per il lavoro intellettuale e lasciare la loro impronta sulla mente e sul carattere per tutta la vita.”

(G. Polya, 1945)

Scoprire cosa succede quando si taglia un nastro di Moebius (e soprattutto perché succede) può diventare un’esperienza “che si ricorda”.

C’è bisogno di recuperare, anche nelle scuole secondarie superiori, la curiosità e il gusto della scoperta.

Esempio dei giochi online

Le risposte corrette sono sempre maggiori alle scuole elementari rispetto alle scuole medie. Perché?

Forse i bambini delle elementari ci provano (e così danno un significato al problema); i ragazzini della scuola media cercano una risposta meccanica e non cercano più di dare un significato al problema.

E cosa succederebbe alle superiori??

da un utilizzatore del kit “Grafi e superfici”

… questo laboratorio ha formato gli alunni a spostare l’attenzione dalle tecniche di calcolo alla gestione del pensiero creativo sottoposto alla logica, anche nello studio dei temi curriculari…La consapevolezza della solidità del lavoro svolto venne quando qualche alunno mangiava nella ricreazione “tori e ciambelle” e giocava con i concetti appresi nel laboratorio di topologia.

Il tempo “perso” in problemi “anomali” (che “non sono in programma”) viene riguadagnato dal fatto che i ragazzi tornano ai problemi “normali” da una posizione di forza (“guardandoli dall’alto”), il che fa anche risparmiare tempo…

Alcune proposte già rodate

Attività laboratoriali testate inizialmente nei laboratori offerti presso il Dipartimento o in occasione di mostre o eventi come il Festival della Scienza di Genova, BergamoScienza, ecc… e facenti parte ora di kitdisponibili per il prestito alle scuole.

Grafi eulerianiI sette ponti di KonigsbergSedici ponti a Parigi

Grafi hamiltoniani

Una passeggiata lungo gli spigoli di un dodecaedro

Altri problemi sui grafi…

Un percorso sui grafi

Dal kit “Grafi e superfici”

Il problema delle tre case

… sul piano … su altre superfici

Un ponte tra grafi e superfici

Dal kit “Grafi e superfici”

Superfici

Dai poligoni alle… superfici topologiche Riconoscere superfici topologicheCilindri e nastri di Moebius

Caratteristica di EuleroUn numero per distinguere le superfici

Superfici

Dal kit “Grafi e superfici”

N.B. Tutto il materiale scritto relativo a questo kit è online nel sito della mostra Simmetria, giochi di specchi

http://specchi.mat.unimi.it/matematica/grafi.html

Nastri

Dal kit “Uguali? Diversi!”

Attività per tutti i livelli (dalla scuola primaria alla secondaria di secondo grado)

Nastri da classificare in base a diversi punti di vista:• con quale rettangolo si realizzano• quante curve di bordo• cosa succede tagliandoli a metà

Dai nastri alle superfici

Dal kit “Uguali? Diversi!”

Per le scuole secondarie di secondo grado l’attività prosegue con un avvio alla classificazione delle superfici

Oggetti di uso comune

Poligoni da immaginare con le zip

Le superfici in formastandard

N.B. Tutto il materiale scritto relativo a questo kit sarà inserito prossimamente onlinenel sito della mostra Simmetria, giochi di specchi

http://specchi.mat.uni

mi.it/matematica/grafi.

html

La simmetria dal punto di vista (della topologia) dei quozienti

Una proposta nuova e ancora non rodata

… con una “m” sola!

Il filo conduttore del DVD Simetria

Trovare TUTTE le (24) possibili “macchine per costruire la simmetria”.

Dal punto di vista matematico, si tratta di trovare tutti i possibili

quozienti del piano rispetto a gruppi (discreti) di isometrie.

Per i disegni che si ricostruiscono in una camera di specchi, il quoziente è … ciò che si inserisce nella camera.

La camera di specchi è proprio una “macchina” che (a partire dalla mattonella-quoziente) ricostruisce il disegno sull’intero piano

Il quoziente funge da “timbro”; ovvero, diventa una “macchina” con la quale si possono ricostruire disegni con esattamente QUEL tipo di simmetria.

Due “macchine per costruire la simmetria”, che non sono legate agli specchi

Altri esempi…

Rosoni con simmetria ciclica (può variare solo l’apertura del cono)

Rosoni con simmetria diedrale (può variare solo l’angolo fra i due specchi)

Fra i rosoni: infiniti schemi di simmetria diversi fra loro, però di soli due tipi

Fregi e mosaici: può sembrare di avere una libertà infinita … e invece NO. Ci sono solo un numero FINITO di schemi possibili, 7 per i fregi e 17 per i mosaici.

Le “ostruzioni” sono regolate da un numero, razionale (non necessariamente intero), che ha a che fare con la caratteristica di Eulero (il numero intero V-S+F) e che tiene conto di certe caratteristiche del timbro, come per esempio:• punti conici (quanti e di che angolo)• linee specchio• angoli nella linea specchio• …

24 “oggetti”: ciascuno funzionacome un timbro e riproduce sulpiano un disegno con un datotipo di simmetria.

24 (x5) disegni: da ciascuno si può ricostruire il timbro corrispondente

Trovare tutti i 24 possibili timbri: cioè tutte le possibili combinazioni di buchi, punti conici, punti d’angolo… in maniera tale che il numero di Eulero si annulli.

… però NON è necessario aver chiare tutte queste cose per iniziare a utilizzare il DVD (scatta la “comprensione operativa”…)

L’animazione cloudi tutto il DVD

Si può partire da una foto per generare immagini con un dato tipo di simmetria

Si può analizzare un’immagine per scoprirne il tipo di simmetria

Due animazioni di carattere più tecnico

Due strumenti preziosi

caratteristica di Eulero

Il teorema di Jordan

Topologia

il Centro matematita metterà on line il materiale che via via verrà sperimentato nei laboratori:consultare http://specchi.mat.unimi.it/oppure iscriversi alla newsletter del Centroscrivendo a giovanna.dimitolo@unimi.it

per info o domande sul DVD e/o per segnalare esempi di utilizzo di parti del DVD scrivere a maria.dedo@unimi.it

Un libro bellissimo che tratta la simmetria da questo punto di vista dei quozienti