Geometria e Topologia delle superfici -...

Geometria eTopologia

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Che cosa èunasuperficie?

Costruzione disuperfici

Superficiorientabili

Superficichiuse

Classificazionedelle superfici

Proprietàmetriche dellesuperfici

Studio di unasuperficie:parametrizza-zione epunti

Geometria e Topologia delle superfici

Alessio Savini

15 marzo 2017

Alessio Geometria e Topologia delle superfici 15 marzo 2017 1 / 37

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Che cosa è una superficie?

Due amici entrambi iscritti all’università, il primo a Matemati-ca, il secondo ad Architettura, si incontrano per prendere uncaffè. Improvvisamente qualcosa va storto e la discussioneprende una piega strana...Architetto: Scusami se te lo chiedo, ma ogni tanto ti sentoparlare di superfici. Mi sai dire cosa sono?Matematico: Certamente, sono 2-varietà reali.Architetto: L’unico varietà che conosco è il genere televisivo,ma temo non sia quello che intendi.Matematico: Cerchiamo di essere più precisi: una varietàè uno spazio topologico T2, second countable e localmenteeuclideo...Architetto: Fermati immediatamente! Topo-che? Localmen-te cosa? 2T? Scusami ma non potresti essere più chiaro?Fai degli esempi che anche io possa capire!

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Matematico: Facciamo così. Iniziamo da esempi architetto-nici. Partiamo dal toro. Un ottimo esempio è l’Icon Hotel diDubai.

Icon Hotel di Dubai

Architetto: Ma scusa, il toro non ha le corna? Forse mi stoperdendo qualcosa.Matematico: Colpa mia: in matematica parliamo di toro perriferirci alla ciambella.. Alessio Geometria e Topologia delle superfici 15 marzo 2017 3 / 37

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Icon Hotel di Dubai

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Icon Hotel di Dubai

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Matematico: Facciamo altri esempi

Moebius Strip Building a Taiwan

Architetto: Carino, sembra difficile orientarsi lì dentro.Matematico: Vedo che mi vuoi anticipare: di orientazione neparleremo dopo.

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Matematico: Torniamo a noi. Conosci il teatro dell’opera diSydney?Architetto: Certamente!.Matematico: Ecco, la forma del teatro è costruita pensandoa pezzi di superficie. La sfera, volendo essere precisi.

Sidney Opera Hall

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Architetto: Stai dicendo che conoscere le superfici potrebbepersino aiutarmi nello studio dell’architettura?Matematico: Questo lo stai dicendo tu. Magari potrebbe es-serti utile per comprendere meglio la forma di alcune strut-ture architettoniche e forse potrebbe fornirti ispirazione ungiorno. Tutto può essere di ispirazione.

Figura: L’ispirazione di Frank Gehry ne I Simpson.Alessio Geometria e Topologia delle superfici 15 marzo 2017 6 / 37

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Architetto: Faccio un’obiezione: non mi hai ancora risposto.Cos’è una superficie?Matematico: Temo di non poter rispondere correttamente aquesta domanda senza usare i giusti strumenti matematici.Potremmo partire da come si costruiscono le superfici.Architetto: Cioè? Spiegati meglio.Matematico: Supponiamo di prendere un foglio di carta o dicartoncino. Disegniamo un poligono regolare di 4n-lati, conn numero naturale qualuque. Adesso ritagliamolo e iniziamoa incollare coppie di lati.Architetto: Mi sembri Giovanni Mucciaccia. Questo è un ArtAttack!Matematico: Torna serio per un momento, per favore.

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Costruzione di superfici

Primo esempio di superficie: nastro di Moebius

Figura: Identificazione latidi un quadrato

Figura: Il nastro diMoebius: superficieottenuta dall’incollamentodei lati

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Secondo esempio di superficie: il toro

Figura: Il toro: superficieottenuta dall’incollamentodei lati

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Terzo esempio di superficie: la bottiglia di Klein

Figura: La bottiglia diKlein: superficie ottenutadall’incollamento dei lati

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Architetto: Interessante. Posso prendere un poligono conqualunque numero di lati? Posso identificare i lati comevoglio?Matematico: Come in ogni gioco che si rispetti ci sono delleregole.

Costruzione delle superficiTutte le superfici chiuse e orientabili sono ottenibili incol-lando i lati di un poligono regolare di 4n lati con lo schema diincollamento indicato in figura. Analogamente tutte le super-fici chiuse e non orientabili sono ottenibili incollando i lati diun poligono regolare di 2n lati con lo schema di incollamentoriportato in figura.

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Architetto: Interessante. Posso prendere un poligono conqualunque numero di lati? Posso identificare i lati comevoglio?Matematico: Come in ogni gioco che si rispetti ci sono delleregole.

Costruzione delle superficiTutte le superfici chiuse e orientabili sono ottenibili incol-lando i lati di un poligono regolare di 4n lati con lo schema diincollamento indicato in figura. Analogamente tutte le super-fici chiuse e non orientabili sono ottenibili incollando i lati diun poligono regolare di 2n lati con lo schema di incollamentoriportato in figura.

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Costruzione delle superfici orientabili

Figura: Identificazione lati per superfici orientabili

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Costruzione delle superfici non orientabili

Figura: Identificazione lati per superfici non orientabili

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Architetto:

Cosa vuol dire tutte? Che senso ha parlare di superficiorientabili e non orientabili? Che cos’è una superficie chiu-sa?Matematico: Vedo che mi ascolti quando parlo. Andiamocon ordine.

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Architetto:

Cosa vuol dire tutte? Che senso ha parlare di superficiorientabili e non orientabili? Che cos’è una superficie chiu-sa?Matematico: Vedo che mi ascolti quando parlo. Andiamocon ordine.

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Superfici orientabili e non orientabili

Matematico: Una superficie si dice non orientabile se, do-po aver camminato lungo una curva chiusa che giace sullasuperficie, mi ritrovo in posizione ribaltata rispetto alla posi-zione iniziale. Questo ad esempio succede lungo una curvasul nastro di Moebius. Se questo non accade si dice che lasuperficie è orientabile.

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Superfici chiuse

Architetto : Ok, con il concetto di orientabilità ci siamo.Cosa vuol dire che una superficie è chiusa?Matematico: Proseguiamo nel nostro esempio e continuia-mo a supporre di camminare su una qualche superficie. Difronte a noi c’è un sassolino. Sarebbe scortese non tirareun calcio al sasso. Questo, dopo il calcio, avanzerà rispet-to la nostra posizione. Se continuando a calciare il sasso,giungiamo in una posizione, in cui calciando il sasso, que-sto cade scomparendo nel vuoto, abbiamo raggiunto il bordodella superficie. Diremo che una superficie con questa pro-prietà è dotata di bordo. Se il sasso non scompare mai, lasuperficie è priva di bordo. Una superficie si dice chiusase è senza bordo e soddisfa un’altra condizione di finitezza(detta compattezza).

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Architetto : Ok, con il concetto di orientabilità ci siamo.Cosa vuol dire che una superficie è chiusa?Matematico: Proseguiamo nel nostro esempio e continuia-mo a supporre di camminare su una qualche superficie. Difronte a noi c’è un sassolino. Sarebbe scortese non tirareun calcio al sasso. Questo, dopo il calcio, avanzerà rispet-to la nostra posizione. Se continuando a calciare il sasso,giungiamo in una posizione, in cui calciando il sasso, que-sto cade scomparendo nel vuoto, abbiamo raggiunto il bordodella superficie. Diremo che una superficie con questa pro-prietà è dotata di bordo. Se il sasso non scompare mai, lasuperficie è priva di bordo. Una superficie si dice chiusase è senza bordo e soddisfa un’altra condizione di finitezza(detta compattezza).

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Superfici con bordo

Figura: Quando raggiungiil bordo di una superficie

Figura: Esempio disuperficie con bordo

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Classificazione delle superfici

Architetto: Ormai ci siamo. Cosa vuol dire tutte le superfici?Matematico: I matematici sono limitati e sentono un bisognointeriore di raggruppare gli oggetti di studio utilizzando le lo-ro proprietà comuni. Pensiamo alle macchine: ancor primadi distinguere per marca, abbiamo differenti tipologie comemacchina familiare, utilitaria, SUV, crossover, coupé ...

Tipi di classificazioneLe possibili classificazioni delle superfici sono

TopologicaMetricaAltro che non citeremo

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Architetto: È già la seconda volta che parli di topologia.Cosa vuol dire topologia?Matematico: Decisamente difficile da definire. Hai mai gio-cato col das o col didò?Architetto: Sì, ma non vedo questo come possa aiutare.Matematico: E invece ci aiuta. La topologia studia defor-mazioni continue di spazi. Supponiamo di avere un oggettofatto interamente di didò. Potrai stirare, tendere, stropicciareil tuo oggetto, mentre sarà vietato tagliare, bucare o incollareimpropriamente altro didò.

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Architetto: Mi riesce un po’ ostico seguirti. Avrei bisognocome sempre di un esempio visivo.Matematico:Ogni tuo desiderio è un ordine.

Esempio di deformazione topologica

Figura: Deformazione continua di un toro in una tazza

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Architetto: Quindi cosa significa in questo caso raggrupparele superfici secondo le loro proprietà topologiche?Matematico:Due superfici si diranno topologicamente equi-valenti se esiste una deformazione topologica che permettedi passare dall’una all’altra e viceversa. Se possiamo cioèdeformare con continuità la prima per ottenere la seconda.È un po’ come con i gemelli omozigoti. Sappiamo benissi-mo che sono due persone diverse, ma hanno talmente tantecaratteristiche comuni che non riusciamo a distinguerli.Arichitetto: Due superfici topologicamente equivalenti sonogemelle?Matematico: Bravo! Questa si chiama classificazione to-pologica delle superfici.

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Matematico:Se vogliamo riepilogare quanto detto finora

Costruzione/Classificazione delle superficiIncollando i lati di un poligono regolare di 4n lati con lo sche-ma di incollamento indicato in figura è possibile ottenere tuttele superfici chiuse e orientabili. Analogamente tutte le super-fici chiuse e non orientabili sono ottenibili incollando i lati diun poligono regolare di 2n lati con lo schema di incollamentoriportato in figura. In entrambi i casi si assume di identificarefra loro superfici topologicamente equivalenti.

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Matematico:Se vogliamo riepilogare quanto detto finora

Costruzione/Classificazione delle superficiIncollando i lati di un poligono regolare di 4n lati con lo sche-ma di incollamento indicato in figura è possibile ottenere tuttele superfici chiuse e orientabili. Analogamente tutte le super-fici chiuse e non orientabili sono ottenibili incollando i lati diun poligono regolare di 2n lati con lo schema di incollamentoriportato in figura. In entrambi i casi si assume di identificarefra loro superfici topologicamente equivalenti.

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Architetto:Inizio a capirci qualcosa. Ma non sono ancorasoddisfatto. In fin dei conti mi hai dato un poligono su unpiano. C’è modo di sapere il prodotto finale che otterrò unavolta identificati i lati?Matematico: Certamente. Ma riesco a mostrarti solo le su-perfici chiuse orientabili. Quelle non orientabili hanno unproblema di immergibilità.Architetto: Che cosa c’entra adesso l’acqua?Matematico: Scusa, errore mio. Intendo dire che, data laloro complessità nel disegnarle, non riusciamo a visualizzarele superfici chiuse non orientabili.

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Classificazione delle superfici orientabili

Classificazione delle superfici orientabiliEcco una lista completa delle superfici chiuse orientabili.

Figura: Classificazione delle superfici orientabili

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Proprietà metriche delle superfici

Architetto: Finora hai parlato di classificazione topologicadelle superfici. Ma prima hai citato anche la classificazionemetrica? Di cosa si tratta?Matematico: Le proprietà metriche di una superficie sonoun argomento più delicato da trattare. Potremmo fare un pa-ragone sportivo. Prendiamo una palla da bowling, una datennis e una da ping pong. La forma di tutte queste palle dagioco è una sfera, giusto? Ma non giocheresti mai a bowlingcon una pallina da tennis!Architetto: Cosa stai cercando di dirmi?Matematico: Voglio dirti che se in precedenza tutte questepalle corrispondevano a superfici topologicamente equiva-lenti (la sfera), se ci soffermiamo sulle loro proprietà metrichedovremo necessariamente distinguerle (per le loro dimensio-ni, ad esempio).

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Matematico: Dare una struttura metrica a una superficie,significa poter parlare di

distanza fra punti,misura di un angolo,misura di un’area,etc...

Architetto: Quindi, se capisco bene, quando misuriamo ladistanza fra due città come Roma e Dubai stiamo supponen-do di assegnare una struttura metrica alla superficie terre-stre, ovvero alla sfera?Matematico:Esattamente!

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Struttura metrica sulla superficie terrestre

Figura: Come misurare la distanza fra due città

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Matematico: Una volta assegnata una struttura metrica auna superficie, potremo parlare di superfici metricamenteequivalenti. Due superfici S e S′ saranno metricamenti equi-valenti se esiste una funzione biettiva F : S → S′ che pre-serva le distanza fra punti, ovvero d(x , y) = d(F (x),F (y))per tutti i punti x , y ∈ S.Architetto: A parte le astrusità matematiche, sembra unacondizione decisamente più restrittiva dell’equivalenza topo-logica...Matematico: Lo è infatti. Due sfere di raggio diverso, saran-no topologicamente equivalenti ma non metricamente equi-valenti!

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Parametrizzazione di una superficie

Architetto: Inizio a comprendere. Siccome l’appetito vienmangiando, se volessi studiare più nel dettaglio queste su-perfici?Matematico: Potresti partire studiando il toro o la sfera. Tifarebbe comodo una parametrizzazione?Arichitetto: Una cosa?Matematico: Torniamo a camminare sulle superfici. Anziandiamo in macchina.Architetto: Cosa è questa fissa di muoversi sulle superfici?Matematico: Aiuta a semplificare. Supponiamo di avereun’avaria alla macchina mentre siamo in viaggio. Una vol-ta chiamati i soccorsi, questi chiedono la nostra posizione.Tu cosa diresti?

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Architetto: Se dico che mi trovo su una superficie, temo miprendano per pazzo. Se mi perdessi in un bosco e avessimodo, trasmetterei le mie coordinate. Longitudine e latitudi-ne.Matematico: Hai detto le parole magiche, anche se in ma-niera imprecisa. Diciamo che conoscere longitudine e latitu-dine sulla sfera permette di individuare le nostre coordinatee quindi la nostra posizione. Una parametrizzazione è unmeccanismo simile nel caso di superfici.

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Architetto: Se dico che mi trovo su una superficie, temo miprendano per pazzo. Se mi perdessi in un bosco e avessimodo, trasmetterei le mie coordinate. Longitudine e latitudi-ne.Matematico: Hai detto le parole magiche, anche se in ma-niera imprecisa. Diciamo che conoscere longitudine e latitu-dine sulla sfera permette di individuare le nostre coordinatee quindi la nostra posizione. Una parametrizzazione è unmeccanismo simile nel caso di superfici.

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Parametrizzazione della sfera di raggio r

Figura: Sfera

Parametrizzazione della sfera in R3.

ϕ : (0,2π)×(−π/2, π/2)→ S2x(θ, φ) = r cos(θ) cos(φ),y(θ, φ) = r sin(θ) cos(φ),z(θ, φ) = r sin(φ).

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Parametrizzazione del toro di raggio r1 e r2

Figura: Toro

Parametrizzazione del toro in R3.

ϕ : (0,2π)×(0,2π)→ T2x(θ, φ) = (r1 cos(θ) + r2) cos(φ),y(θ, φ) = (r1 sin(θ) + r2) cos(φ),z(θ, φ) = r2 sin(φ).

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Tipologie di punti su una superficie

Matematico: Oltre a una parametrizzazione potresti studiarei punti della tua superficie. Ne esistono 4 diverse tipologie.Architetto: Immagino mi propinerai altre definizioni incom-prensibili...Matematico: Abbi un po’ di fiducia. Finora non mi sembravadi essere andato male... Tornando a noi, i punti di una su-perficie (immersa, detto fra i denti in modo che nessuno cisenta) sono distinguibili in

punti ellitticipunti iperbolicipunti parabolicipunti planari

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Architetto: Mi sembra una lista della spesa. Non potrestifarmi qualche esempio come al solito?Matematico: Certamente. Sempre pronto! Ma prima hobisogno di sapere: conosci il piano tangente a una superficiein un punto?Architetto: Così su due piedi ti direi di no, quindi ricordame-lo, per favore.Matematico: Il piano tangente a una superficie in un suopunto è il piano che meglio approssima la superficie in quelpunto. Ricordati, ad esempio, la retta tangente a un puntonel caso di una circonferenza.

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Tipologie di punti

Figura: Punto ellittico Figura: Punto iperbolico

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Tipologie di punti

Figura: Punto parabolico Figura: Punto planare

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Architetto: Sai che sto iniziando a divertirmi?Matematico: Sono contento. Ci sarebbe molto altro da dire,ma temo il nostro tempo scarseggi.

Grazie per l’attenzione

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