E NCICLOPEDIA EINAUDI [ 1 982 ]

GEOMETRIA E TOPOLOGIA

Massimo Galuzzi — GEOMETRIA E TOPOLOGIA p ag .4

Massimo Galuzzi — CURVE E SUPERFICI pag .9

Giuseppe Geymonat, Aristide Sanini, Paolo Valabrega

G EOMETRIA E TO P OLOGIA p ag .2 9

Claudio Procesi — INVARIANTE pag .83

Geometria e topologia I22 I23 Geometria e topologia

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curve e superfici I 73 7 3 S 2 2 3 7 ' 9 2 9

geometria e topologia 6 4 7 z S 72 6

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invariante 3 4 6 6 • 7 4 4

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geometria e topologia 3 3 5 5 4 3 6 9 • 62 5 7 5

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e topologia superfici

invariante 7 4geometria e topologia 6

curve e superfici 6

ambiguità a gcompetenza/esecuzione codice

Geometria e topologia fon«tica immagine avanguardia Geometria e topologiagrammatica metafora classico

concetto analogia e metafora lessico • egno criticaesistenza argomentazione lingua significato filologia bello/brutto

essere interpretazione lingua/parola simbolo letterature creativitàfenomeno linguaggio maniera espressioneforma metricaastrauo/concreto poetica fantasticoidea semanticadialettica alfabeto retorica gUSto

identità/difierenza proposizione e giudizio sens%ignificato ascolto imitazionetraduzionemetfiszione gesto immaginazione unthroposoppizizionc/contraddizioue universah/particolan lettura progetto cultura/culture

qualità/quantità etnocentrismiatti linguistici luogo comune riproduzione/riprodunbilitàtotalità naturajculturadicibile/indicibile orale/scritto discorso sensibilità

uno/molti enunciazione comunicazione parola linzione SPazialitàdecisione

distribuzione statistica presupposizione e allusione errore ritmo genen artigianatodato referente informazione scrittura narrazione/narratività artistagiochi acculturazioneetica voce stile attribuzioneinduzione statistica civiltàfilosofia/filosofie tema/motivoprobabilità oggetto futuroragione antico/moderno testo

rappresentazione statistica catastrofi produzione artistica selvaggio/barbaro/civilizzatorazionale/irrazionale calendarioteoria/pratica soggetto/oggetto ciclo decadenra armonia colore escrementiuguaglianza evento escatologia

melodia disegno/progetto fertilitàcaos/cosmo valori periodizzazione età miticheritmica/metrica visione educazionecurve e superfici infinito vero/falso tempo jtemporolità genesi abbigliamento nascita

scala canto generazionigepmetriz e.topologie macrocosmo/microcosmo volontà passato/presente sensi

coltivazionemondo progresso/reazione suon%umore corpo sessualità infanzia

alchimia culiura materialeinváriante storia tonale/atonale danza vecchiaia mortenatura astrologia atlante amore industria ruralemascheraosservazione vita/morte

cabala collezione desiderio materialimodadeduzione/prova reale elementi documento/monumento eros prodottiarmi credenze ornamento

equivalenza unità clinicaesoterico/essoterico fossile isteriadilfereniiale frontiera dialetto scena

formalizzazione ineauoria pulsione angoscia/colpa cura/no rmahzzazionefunziodi enigmalogica guerrarovina/restauro soma/psiche castrazione e complesso esclusione/integrazione

fuocoinfinitesimai fiabae imperipossibilità/necessità analisi/sintesi cannibalismo sonno/sogno censura farmaco/droga homo1onàle/glebole nazione mostroreferenza/verità anticipazione funzione identificazion e transfert follia/delirio

dèisistemi di riferimento popolare inconscio mano/manufatto

ricorsività tattica/strategiaIpotesi misura medicina/medicalizzarioncdivino tecnica

stabilità/instabiùtà matematiche modello proverbi nevrosi/psicosi normale/anormalealienazione crei utensile

ùariazionc. metodo struttura tradizioni piacere salute/malattiacoscienza/autocoscienza demagogia iniziazione

ceotrmo/acentrato teoria/modello sintomo/diagnosiimmaginazione sociale discriminazione

combinatoriamagia demoni alimentazioncpace repressione ateo messia divinazione agonismo animaleapplicazioni grafo serv%ignore terrore chierico/laico millennio castacerimoniale cucinaassibma/postulato caso/probabilitàlàbirinto uomo tolleranza/intolleranza mit%ito donnachiesa persona festa domesticamentocontinuo/discreto causa/efiettorete • nythos/logoautopia ioitUI'S diavolo puro/impuro feticcio endogamia/esogamia

dipendenza/indipendeàza " . abaco certezza/dubbio fameviolenza originieresia religione famiglia

gioCOdiàisibilità algoritmo coerenza vegetale

libertino sogno/visione incestoluttodualità apptetsimszione convenzione categorie/eategorizzazione libro stregoneria maschile/femminileregalitàinsieme calcolo determinato/indeterminato matrimonioconoscenza ritorazionale/algebrico/tmseendènte numero empiria/esperienza

peccato elacoppie filosofiche parentsacro/profano caccia/raccoltasimmetria zero esperimento disciplina/discipline totesantità borghesi/borghesia dono

alrnthrre sneteitszti legge enciclopedia burocrazia economia uomo/donna eccedentetrasformazioni ilatuszli / categorie libertà/necessità innovazione/scoperta elessi formazione economico-sociale pastorizia

metafisica contadini lavorocontroBC/rctroazloue insegnamento p r llllitlvo

invenzione consenso/dissenso ideologia modo di produzione reciprocità/ridistribuzione

analogico/digitale ' :=. / CquiTibrlo/squiTibf/o paradigmarappresentazione egemonia/dittatura masse proprietà

intellettualiricerca proletariato riproduzioneautoma d/ interazione previsione e possibilità libertàsistematica e dassificazione rivoluzione transizione abbondanza/scarsitàintelligenza aidficisle P ordine/disordine I riduzione maggioranza/minoranza bisognomacchina .I organizzazione f partiti consumoprogramma ' semplice/complessolt politica ccumulazione impostasimulazione . . ' à sistemo / spiegnzione

apprendimento atll illllùs t ras ionelusso

strumento h soglia verificabilità/falsificabilità cervello autoregolazione/equilibrazione comunità capitale

confiitto ci'I SI oro c argentovincolo comportamento cognizione costitunone distribuzione pesi c misure

e condizionamento induzione/deduzione consuetudine élitedemocrazia/dittatura fabbrica produzione/distribuzione

controllo sociale innato/acquisito diritto gergonorma ricchezza

astronomia emozione/motivazione istinto giustizie ' gestionegrUppopano imperialismo scambio

cosmologie istituzioniatomo e molecola mente operazioni marginalità

impresagravitazione conservazione/invarianza percezione responsabilità potcrc opinione sprecomercatoluce entropia quoziente intellettuale potere/autorità povertà

mercernzterla pubblico/privato propagandafisica società civile monetaspazio-tempo atmosfera y forza/campocellula ruol%tatus

adattamcnto statodilferenziam«nto abitazione socializzazione pisnificazione

occzfll evoluzione immunità acqua • ocietà profittomutazione/selezione ambiente renditaindividualità biologica spazio socialepolimorfismo salariointegrazione città

utilitàspecie invecchiamento clima

relativitàorganismo ecumene valore/plusvalore

insediamentoregolazione agricolturareversibilità/irreversibilità catalisistato fisico sviluppo e morfogenesi migrazione città/campagna

coloniemacromolecole paesaggiocommerciometabolismo popolazioneindustriaomeostasi regione

eredità risorse spazio econoruicoorganie%norganicoosmosi gene suolo sviluppo/aonoaviluppo

V its genotipo/fenotipo terrarazza territoriosangue villaggio

277 Geometria e topologia

Geometria e topologia cartesiana sembrerà poca cosa. In termini moderni, se si pensa una curva data

Curve e superfici, Geometria e topologia, da una coppia di equazioni

Invariante

appaiono «escluse» da Descartes quelle curve per le quali non c'è un'equazioneSi è spesso osservato come la matematica, in confronto ad altri ambiti co­ algebrica che leghi dx/dt e dy/dt. Letta alla luce del calcolo differenziale, la li­

noscitivi, abbia, all'apparenza, una caratterizzazione molto particolare. Sembra mitazione cartesiana appare cosi artificiosa che non pochi studiosi presenterannoinfatti che in essa profondi rivolgimenti, radicali cambiamenti di punti di vista, l'opera di Descartes come intesa a delimitare arbitrariamente il p atrimoniodisovvertimenti profondi insomma, si risolvano poi, in qualche modo, in un ac­ curve del quale egli poteva disporre. Inutile indulgere a facili ironie sul «sennocrescimento «cumulativo» delle conoscenze. di poi ». Piu utile invece osservare come il meccanismo di crescita dell'estensione

Al termine del mutamento si presenta l'immagine d'una piu vasta e piu or­ del concetto di curva che si ha con il calcolo differenziale sembra consistere an­ganica totalità ove nuovi «oggetti » sono aggiunti ai precedenti. E questi ultimi cora nell'aggiunta di nuovi enti.appaiono, nella totalità, quasi come il frutto di arbitrarie limitazioni, quasi frut­ L'evoluzione del concetto di continuità, dal primitivo senso settecentesco ato di preclusioni «ideologiche». quello di Cauchy e poi di Weierstrass, si lega intimamente a un'altra importante

Certo questa è una radicale semplificazione del procedere delle conoscenze suddivisione: se s'intende per curva una coppia di funzioni continue x (t), y(t),matematiche, e se anche si qualificasse questa determinazione, affatto genera­ l'ente che cosi viene a definirsi non è in generale una curva dotata di tangente:le, in modo da ottenere particolari tipologie, si sarebbe ben lontani dalla con­ continuità e derivabilità sono concetti separati.cretezza del processo. Le argomentazioni successive sono dunque «esempi», con Ma quante determinazioni apparentemente legate alla continuità si rivelanotutto ciò che di limitante il concetto di esempio reca con sé, e come tali vanno illusorie! «Essendo dato un arco di curva continua, senza fare ipotesi ulteriori,considerate, non è sempre possibile racchiuderlo in un'area arbitrariamente piccola», osser­

Descartes, all'inizio del secondo libro della sua Géométrie (r637), rifletten­ va Peano in una celebre memoria del igiio. Una curva data da x (t) e y(t) con­do sulla divisione tradizionale delle curve (cfr. +Curve e superfici+) in «geome­ tinue, con t variabile in (o, t) può essere tale che il suo grafico passa per tutti itriche» e «meccaniche» — che egli forse enfatizza, amplificando un celebre luogo punti ( x,y) con o<x< i, o<y < t . I l suo grafico è quindi i l quadrato stesso,di Pappo —, ricercando il senso di tale divisione, giunge a criticarne il fondamen­ questo l'esempio della celebre «curva di Peano».to stesso : «Non saprei capire perché le abbiano chiainate Meccaniche, piuttosto E fin troppo ovvio che una scienza ove la «curva di Peano» è una curva le­che Geometriche. Perché, dicendo che era a causa del fatto che c'era bisogno di gittima non si ottiene per semplice estensione quantitativa del concetto di+cur­qualche macchina per descriverle, occorrerebbe respingere, per la stessa ragione, va+. Quando si considera però, per fare un esempio, la circonferenza come unail cerchio e le linee rette, visto che si descrivono sulla carta solo con il compasso curva algebrica; tra le curve algebriche una curva del secondo ordine; e trao con la riga, che si possono pure chiamare macchine». queste, cioè tra le curve del tipo ax~+bxy+cy~+dx+ey+ f = o, caratterizzata

La critica cartesiana allarga enormemente l'ambito della geometria (cfr. da a ~ c e b = o, la circonferenza che viene cosi ad aversi non è del tutto identica+Geometria e topologia+) : «Non c'è bisogno di supporre altro, per tracciare alla curva oggetto della XV definizione del primo libro degli Elementi?tutte le linee curve che io pretendo qui di introdurre, se non che due o piu linee Un oggetto dato quasi come primitivo negli Elementi è certo differente dal­possano essere mosse l'una mediante l'altra, e che le loro intersezioni determini­ l'identico oggetto quale ci appare carico di molteplici determinazioni. Ma è in­no altre curve». negabile che queste determinazioni lasciate progressivamente cadere sembra­

Nella nuova geometria che si viene a costruire le curve precedenti, con po­ no inserire l'oggetto prima, e poi le sue estensioni, in ambiti seinpre piu vasti.che eccezioni, hanno pieno titolo di legittimità, ma accanto ad esse ve ne sono Si può osservare tuttavia che per quanto il concetto di curva svolga un ruoloaltre. Tra queste ultime alcune, già note agli antichi, erano escluse per ragioni assai importante nella matematica, tuttavia esso non corrisponde a una parti­che al vaglio di un'attenta disamina non appaiono piu sostenibili. zione disciplinare. Questo, in qualche modo, può indebolire il senso dell'esem­

Sembra che non il concetto di curva sia messo in discussione da Descartes pio precedente: un singolo oggetto può ben essere un'eccezione!— o almeno non questo principalmente — ma la sua estensione: si tratta di rico­ Si consideri allora, accanto a questo esempio, il sorgere della+geometria+noscere che le curve legittime sono assai piu di quelle considerate tali dagli an­ non-euclidea ove è ben chiaro che, questa volta, un'intera disciplina è posta intichi. discussione.

In breve volgere di anni, con il calcolo differenziale, si avrà una ulteriore Fin dall'antichità si hanno tentativi per dimostrare come il quinto postulatocosi radicale crescita della quantità di curve da considerarsi, che l'estensione debba conseguire dai precedenti. Esso sembra «vero», della stessa verità delle

Sistematica locale z78 z79 Geometria e topologia

altre assunzioni. Che la somma degli angoli d'un triangolo debba valere due retti me nella nuova situazione creatasi la «nuova» geometria euclidea appare del

è un fatto usato come il paradigma della verità stessa. E non solo questo enun­tutto immutata. Si ha conferma del fatto che un postulato è appunto tale. Nellaforma di Playfair esso è: «Dati una retta ed un punto fuori di essa, esiste unaciato, ma tanti altri del pari equivalenti al postulato in questione, sembrano cosied una sola retta per il punto dato parallela alla retta data». Ebbene, se si so­

carichi di evidenza da suggerire che debba pur esservi un modo per dimostrarli. stituisce alla richiesta «una ed una sola», «nessuna», oppure «almeno una», siNel r7gg, nell'anno stesso della sua morte, il gesuita Saccheri, riprendendo leidee della sua giovanile e fondamentale Logica demonstrativa ( i697), dà infine

ottengono teorie non contraddittorie. Non solo : all'interno della geometria eu­

alle stampe l'Euclides ab omni naevo vindicatus. clidea è possibile costruire dei modelli (la sfera e la pseudosfera nel caso piano)L'idea di Saccheri è che il postulato in questione sia «talmente vero» che per le nuove geometrie. Ma se si accetta che vi sia una ed una sola parallela,

allora si ha esattamente la geometria degli Elementi.esso debba scaturire dalla sua propria negazione. Come le entità eterne per san Si è visto l'evolversi di una disciplina in «piu» discipline, attraverso l'analisiTommaso: l'essere deve seguire anche dall'ipotesi che venga negato l'esserestesso. Si tratta dello schema della «consequentia mirabilis», che Saccheri, co­

d'uno dei suoi presupposti. Ma il fondamento di una disciplina può essere in­dagato anche in diversa maniera, studiando la ragione piu profonda del succes­me egli stesso dichiara, ricava dal commento di Clavio alla IX, iz degli Elementi, so dei suoi meccanismi operativi. Poncelet, nel suo celebre Traité des propriétés

ma che probabilmente gli era familiare anche per i suoi studi teologici. Que­st'idea dimostrativa, già usata nella Logica, anima di un grande pathos il suo projectives desfigures (i8zz), si pone il problema della buona riuscita della geo­

Euclides, ove Saccheri riesce a dimostrare che l'ipotesi della geometria ellitticametria analitica, che ha «mezzi generali e uniformi per giungere alla soluzionedelle questioni che si presentano nella ricerca delle proprietà delle figure» in

è incompatibile con l'infinità della retta. Ma fallisce, naturalmente, con la geo­confronto alla geometria sintetica che «procede a caso», seguendo un camminometria iperbolica. Cerca di dedurre il postulato in questione dall'«essenza» della che «dipende completamente dalla sagacia di colui che lo segue».

retta, cerca di applicarvi il calcolo differenziale che pure non maneggia appieno Procedendo nella sua analisi raffinata, Poncelet ha modo di mettere in evi­e cade in un errore. Beltrami, che avrà tuttavia il grande merito di riproporredenza il ruolo fondamentale del «principio di continuità», ma ancor piu pre­agli studiosi l'opera di Saccheri, non esita ad ironizzarvi. Ma Saccheri era a tal gnante diviene il suo discorso allorché egli esamina i meccanismi primordiali

punto appassionato della questione da non esitare a correre dei rischi per sta­bilire la «verità». che sono alla base della geometria descrittiva e della geometria analitica (me­

todo delle coordinate) : «Rifiettendo attentamente su ciò che costituisce il prin­Che è rimasto di questo pathos quando Klein scrive il programma di Erlan­ cipale vantaggio della Geometria descrittiva e del Metodo delle coordinate, agen, nel i872? La V nota che egli appone al programma ha per titolo Sulla cosi ciò che fa si che queste branche delle Matematiche offrano il carattere di unadetta Geometria non Euclidea, e vi si legge questa sobria osservazione: «Le ri­ vera e propria dottrina... non si tarda a riconoscere che ciò consegue unicamentecerche sulla teoria delle parallele cui noi alludiamo hanno progredito in modo dall'uso che esse fanno della proiezione».da raggiungere matematicamente da due lati un valore preciso. Esse mostrano Si esamini il caso della geometria analitica, nel piano. Cosa è alla base del­una buona volta — e questo loro ufficio può considerarsi come relativo al pas­ l'intero procedere? Assegnate due rette a, b, che s'intersecano in O, per ognisato, ed ora esaurito — che l'assioma delle parallele non è conseguenza mate­ punto P risulta assegnata una coppia di numeri x, y considerando per P le pa­matica di quelli che generalmente gli si premettono... Inoltre tali r icerche ci rallele alle rette b ed a, come suggerisce la figura:hanno fatto dono di un prezioso concetto matematico, quello di varietà a cur­vatura costante». In che consiste il darsi d'una geometria ellittica, iperbolica o.euclidea? Nell'essere la curvatura totale maggiore, minore, oppure uguale a o.Ecco infine l'«essenza della questione».

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Cosi semplificando certo si è giunti al paradosso. Lo stesso Klein osservasi che al matematico come tale non deve interessare la questione dei fondamentimatematici sui quali debba appoggiarsi l'assioma delle parallele, ma non certoper escludere come oggetto di studio i fondamenti piu generali delle nostre co­ O P' agnizioni. In tal modo punti e coppie di numeri si corrispondono perfettamente, tanto

Ma certamente al tentativo appassionato, e talora drammatico, di dimo­ che il piano si pensa identico alle coppie di numeri reali.strare l'intera verità della geometria euclidea viene a sostituirsi una situazione

Ma il modo con il quale a P si assegna una coppia di numeri, per quantoove sussistono «piu»+geometrie+. Dapprima antagoniste e sostenute o negate semplice, è suscettibile di analisi ulteriore. Prima dei numeri x e y, si hanno deicon polemiche accese, poi pacificamente coesistenti, come appunto s'è visto ri­

punti, P' e P", ottenuti proiettando P lungo le direzioni di b e di a. Il processofiettersi nelle parole di Klein. rivela un'operazione primordiale : il proiettare. Questa operazione di proiezioneSi tornerà tra breve sul programma di Klein, ma preme ancora osservare co­

Sistematica locale z8o z8r Geometria e topologia

e la sua correlativa di sezione, analizzate secondo le loro proprietà, dànno luogo E gli oggetti geometrici suscettibili d'essere trattati in piu geometrie, e di es­a una «dottrina delle proiezioni », la geometria proiettiva. sere in esse oggetti «differenti», non costituiscono una pluralità di casi disarti­

L'analisi di Poncelet, sulle ragioni dei successi della geometria analitica, colati e disomogenei, ma, distribuiti in una totalità organica, mostrano l'inesau­finisce con il dar luogo a una nuova geometria interamente diversa. ribilità dei concetti degli enti geometrici.

L'indirizzo sintetico e quello analitico coesistono dapprima, e si fronteg­ All'opera di Hi lbert qui considerata viene attribuito talora anche un altro

giano talora nelle polemiche di studiosi sostenitori dell'uno o dell'altro indiriz­ significato del quale è opportuno occuparsi brevemente. Hilbert, costruendozo. Ancora Klein, con la prima nota del suo programma — Sul contrasto fra l'in­ modelli aritmetici per illustrare situazioni geometriche — secondo un program­dirizzo sintetico e quello analitico nella geometria moderna —, dà conto dell'evolu­ ma che avrebbe poi trovato il suo maggior sviluppo negli anni tra le due guerre,zione successiva: «La differenza fra la nuova geometria sintetica e la nuova geo­ ma che in quest'opera si può considerare già presente, almeno in una primametria analitica non deve piu considerarsi oggigiorno come essenziale, poiché i fase —, avrebbe portato a compimento l'idea che Descartes aveva solo manife­concetti e le argomentazioni si sono informati a poco a poco dall'una e dall'altra stata nella Géométrie senza dare ad essa un compimento organico, la riduzioneparte in modo affatto simile». della geometria all'algebra.

Con «geometria proiettiva» Klein indica perciò entrambe le discipline, e, Ora, una parte importante di quest'idea richiede di considerare la Géomé­«se il metodo sintetico procede di piu per mezzo dell'intuizione dello spazio», trie secondo un'ottica particolare : in essa m olti aspetti della successiva «geome­tuttavia «le formole della geometria analitica si possono concepire come espres­ tria analitica» — l'equazione della retta, della circonferenza, le formule per ilsione esatta e trasparente delle relazioni geometriche». cambiamento di assi, ecc.— non troverebbero posto per ragioni «contingenti»,

Con il sorgere delle geometrie non-euclidee, con la geometria proiettiva e essendo quest'opera solo un inizio, una prima fase di un programma da elabo­poi con la prima sintesi del programma di Klein, sembra aver luogo un processo rarsi successivamente. Certo non molti si sentirebbero di sottoscrivere oggi ilche troverà, si dice spesso, il suo termine naturale con i Fondamenti della geo­ paragone di Loria, tra Descartes e Cristoforo Colombo, ma nel complesso lametria (Grundlagen der Geometrie, x8gg) di Hilbert: il distacco della geometria tesi alla quale si è accennato continua ad avere una sua diffusione,dall'evidenza intuitiva. La geometria non dovrebbe piu avere il suo punto di Ma nella Géométrie Descartes, commentando la soluzione del problema dipartenza nella realtà visibile o ideale. Si tratta, stabilito un sistema di assiomi, Pappo, osserva ben chiaramente che l'equazione ax+ by+ c = o rappresenta unadi dedurre da questi le proposizioni geometriche. retta, né gli sfugge quale sia l'equazione di una circonferenza, ché anzi di questa

Bisogna essere molto cauti nel cogliere il senso di queste affermazioni che si serve per risolvere, in modo geniale e spesso misconosciuto, il problema dellesono spesso ripetute in modo acritico : nelle impostazioni prima di Hi lbert gli tangenti.enti geometrici venivano definiti («Punto è ciò che non ha parti », negli Elementi) I piu semplici enti geometrici non sono trattati con equazioni — a giudizioattraverso proposizioni che s'immaginava dovessero dar luogo a una chiara ed di chi scrive — poiché il discorso cartesiano è volto ad acquisizioni che vanno alinequivocabile identificazione degli enti in questione. Ora, l'idea di Hilbert, al di là della geometria elementare. Chi consideri le costruzioni poste all'iniziodi là di certe formulazioni talora semplificate, è che il concetto degli enti geo­ della Géométrie, le stesse costruzioni del libro VI degli Elementi, non può nonmetrici non è esaurito dalla loro definizione, ed anzi questa, dando di esso una ricavarne l'impressione che il discorso cartesiano accetti come presupposto la geo­minima parte, può anche sopprimersi; il concetto è frutto dell'intero discorso metria elementare.geometrico che su di essi viene fatto. Ogni proposizione geometrica che venga Di fatto poi, storicamente, alla trattazione sistematica degli enti piu elemen­dimostrata, ricorrendo agli assiomi, provvede a completare e determinare quei tari della geometria per mezzo della geometria analitica si arrivò sulla spinta diconcetti che all'inizio possono ben essere puri nomi. altre motivazioni e partendo dagli enti spaziali. Tale processo viene compiuto

Come ben si vede, non solo questa posizione non è in contrasto con l'avere con Monge, Lagrange e Lacroix. È Lagrange che in una celebre memoria della realtà come punto di partenza, ma essa della realtà coglie l'aspetto piu pro­ I773 ricava le formule per le facce, gli spigoli, il volume, ecc. di una piramidefondo, che consiste nell'essere il reale frutto di molteplici determinazioni. data nello spazio mediante le coordinate dei suoi vertici. A Lagrange si deve la

E in questo senso l'opera di Hi lbert è realmente il punto terminale d'uno formulazione del problema: gli enti spaziali, non essendo altrettanto facilmentesviluppo. Naturalmente oggetto dell'opera di Hilbert non è piu un'unica geo­ raggiungibili dalla nostra intuizione degli enti del piano, sono trattati con van­metria e vi sono considerate non solo geometrie non-euclidee, ma anche non­ taggio mediante il metodo delle coordinate. In effetti la figura costituita dal­archimedee, non-desarguesiane, ecc. Se in esse si parla di punti e rette e piani, l'insieme delle rette incidenti a tre rette sghembe, che con il calcolo si mostraè ovvio che non sono gli stessi gli enti in questione. Ma ciò non vuoi dire che facilmente essere un iperboloide rigato, pur essendone la definizione formulatas'abbia a che fare con puri «nomi» oggetti in ogni caso d'un discorso formale. in termini del tutto elementari, non altrettanto elementarmente si offre alla no­Vuoi dire invece che ogni discorso in sé considerato racchiude, circoscrive, dei stra intuizione spaziale. Ecco dunque il vantaggio della trattazione mediante leconcetti di punti, rette e piani diversi da caso a caso. coordinate.

Sistematica locale z8z z8) Geometria e topologia

Ora, quando si considera per esempio nel trattato di Lacroix, come è data sumendo le varie posizioni che egli ha esposte, dice che ogni approccio gli sem­l'equazione del piano, come piano assiale, ossia come luogo dei punti equidi­ bra in qualche modo fecondo — il che è indubitabilmente vero — e non si debbastanti da due punti fissi P = (a, b, c) e P = (x, P, y), ossia dall'equazione dunque artificialmente rinunziare ad un approccio anche quando questo sem­

(x — u)'+(y — b)'+(z — ~)'= (x — ~)'+(y — P)'+(z — Y)' bri in netta contrapposizione con un altro. Una possibile induzione è che sidarà infine un punto di vista ove la contrapposizione non avrà piu luogo, e que­

e cioè da una equazione della forma Ax +By+ Cz+ D = o, la struttura stessa del sto è ben credibile, alla luce di quanto storicamente ci ha preceduti.ragionamento costringe a osservare come una consimile equazione in due sole Ma meno credibile sembra essere il fatto che questo punto di vista possavariabili debba rappresentare la retta, ed è un'esigenza di unità e di sistematicità emergere disponendo degli stessi dati, quasi come per deduzione analitica. Ep­che spinge dunque in primo piano la retta della geometria analitica. pure, riflettendo ancora sugli esempi precedenti, si può notare con molta evi­

Analogo discorso potrebbe ripetersi per altri enti elementari. Presentati al­ denza proprio questa caratteristica: il cambiamento radicale si volge in un ac­lora in modo analitico gli enti elementari (non si dimentichi poi che il termine crescimento cumulativo nel riequilibrarsi in modo diverso dei termini del pro­'geometria analitica' è mutuato dalla «meccanica analitica» di Lagrange ), si po­ blema.ne in modo quasi ovvio l'idea di vedere se i principali fatti geometrici ad essi Si è spesso osservato come molti dei problemi che trovano il loro luogo na­relativi sono formulabili in questo modo ed ecco dunque quel programma, che turale nella topologia generale (cfr. +Geometria e topologia+), come quello delsarà soprattutto di Gergonne, che finirà a configurare la geometria analitica qua­ passaggio al limite e della continuità, sono già presenti nell'antichità, e certo,le oggi viene ancora intesa. per esempio, nelle opere di Archimede. Ciò è vero, in un senso molto generale,

Tra Descartes e Hilbert vi è dunque un lungo e complicato processo, ove cosi come è vero che molto si deve per il suo sviluppo ad Eulero e poi a Riemannpossono distinguersi molte articolazioni e molte «decisioni». Ora il giudicare e Poincaré. Ma molta importanza ha anche una precisa volontà unificante che siuna situazione B, successiva ad A, come termine di un processo è cosa ben di­ manifesta verso la fine dell'Ottocento e nei primi anni del Novecento e che tro­versa dal vedere B come «deducibile» da A, senza ulteriori mediazioni, alla luce va una manifestazione quasi paradigmatica in celebri memorie di Fréchet suidi certe caratteristiche molto generali. In quest'ultimo caso è evidente che il «Rendiconti del circolo matematico di Palermo». Se è vero che Fréchet, che purmodo stesso con il quale si pone il collegamento tra A e B rende assai difficile dà un adeguato concetto di spazio metrico, non darà una formulazione altrettan­un atteggiamento critico. Cosi molte idee recenti sui fondamenti della matema­ to felice del concetto di spazio topologico, per il quale provvederà Hausdorfftica ove viene problematizzata l'aritmetizzazione della geometria — pur rico­ nel rgry, va tuttavia notata l'istanza di fondo: si tratta di considerare in modonoscendone ovviamente la necessità datasi storicamente — richiedono come uniforme enti per i quali si avverte che esiste come fondamento un unico con­complemento una ricca ed articolata visione storica che crei «gli spazi » per que­ cetto di vicinanza.ste idee, mostrandole come possibili approfondimenti piuttosto che come sem­ La topologia generale come strumento unificante ha avuto, e ha, un'impor­plici «alternative». La discussione dunque della misura in cui Hi lbert porti a tanza fondamentale nella matematica di questo secolo. Nel campo della geo­compimento un programma cartesiano non è senza rilievo per misurare della metria algebrica essa ha segnato progressi decisivi la cui importanza va forse alrilevanza delle idee fondazionali recentemènte proposte da Lawvere e dalla sua di là dello specifico della disciplina stessa. Il concetto di topos elaborato dascuola, che il lettore troverà piu volte discusse in molti degli articoli di Manin di Grothendieck e dai suoi collaboratori nei vari volumi del Séminaire de géométriequesta Enciclopedia, oltre che in «Funzioni » e in «Trasformazioni naturali / ca­ algé brique(SGA), generalizzato in quello di topos elementare, sembra offrire untegorie». contesto cosi flessibile per trattare vari ordini di questioni — dalla semantica di

All'apparenza ci si è un po' allontanati dal tema proposto all'inizio. Gioverà Kripke agli schemi affini, dagli insiemi astratti agli insiemi «variabili» — da sug­allora osservare come il senso di quel «procedere cumulativo» di cui si va di­ gerire anche la possibilità di nuove valenze metodologiche: uno studio del con­scorrendo sembri meno evidente quando ci s'immerge nel vivo di idee attuali, tinuo in termini piu diretti ed immediati di quelli che conseguono alla sua arit­di dispute che si dànno nel presente. E tuttavia, siccome non è in discussione metizzazione.il modo di questo procedere, perché è difficile immaginare che proprio nel mo­ Ma al tempo stesso, e per vie certo non facilmente prevedibili, si ha un «re­mento presente vi sia una netta e radicale rottura con il passato — del resto an­ cupero»: la logica intuizionista. Se si considera per esempio un anello A nelche in quest'ultimo s'è visto l'«agitarsi delle passioni », ad esempio in Saccheri —, topos dei fasci sopra un certo spazio topologico X, il che equivale ad un fasciosi capisce come ciò giovi a meglio precisare il problema: non è tanto l'accu­ di anelli su X, in questo anello «variabile» valgono le leggi della logica intuizio­mulo delle conoscenze a imporsi alla nostra attenzione, quanto il fatto che re­ nista, il che implica per esempio che diverse definizioni di campo, equivalentistando esse all'apparenza le stesse, si matura un punto di vista ove i contrasti classicamente, conducono ad oggetti diversi nella categoria dei fasci su X, og­sembrano di necessità conciliarsi. getti tuttavia non banali. Per esempio, solamente la piu forte tra le definizioni di

A conclusione del suo libro sui fondamenti della matematica, Hatcher, rias­ campo, Va[3x (ax = r ) v(a = o)], equivale al fatto che per ogni punto x di X

Sistematica locale z8y z8g Geometria e topologia

la spiga éi sia un campo, mentre altre definizioni di campo equivalenti classi­ curvatura costante e positiva mentre il piano ha curvatura nulla è di una sem­camente a quella data conducono a richieste piu deboli. plicità disarmante di fronte alla drammaticità con la quale si poteva porre il pro­

Si capisce allora che studiare «in che modo» una struttura è campo, cioè blema, caratteristica che è condivisa da ogni soluzione che si dia in termini disecondo quale formulazione, equivale a studiare in modo non banale una de­ invariante: il problema è ridotto a un calcolo.terminata struttura. Per dare un esempio concreto, se per un anello commuta­ Con queste brevi osservazioni si conclude, riassumendo un poco, quanto ètivo A il fascio strutturale éi nella categoria dei fasci su Spec (él) è un campo se­ stato detto fin qui: l ' impressione d'un'effettiva crescita del sapere al di là deicondo la definizione precedente, allora A è un anello regolare (nel senso di contrasti, reali o ideologici, sembra confermata dall'esame di alcuni degli ar­Neumann), e viceversa. Studiare allora gli anelli regolari equivale a studiare gomenti fondamentali degli articoli che qui si considerano. Anzi, essa sembra(con opportune precisazioni sulla traducibilità delle formule) i campi secondo la talvolta «fin troppo» confermata suscitando appunto l'idea d'un edificio che,formulazione precedente, pur di usare in quest'ultimo caso la logica intuizio­ costruibile armoniosamente pezzo per pezzo, se non è in tal modo edificato, nonnista. è, per ragioni contingenti, eliminabile.

La logica intuizionista, che appare cosi con motivazioni diversissime da quel­ Certo, si giunge a questa formulazione attraverso molte semplificazioni, ta­le originali di Brouwer e portata innanzi con intenti assai diversi, è, almeno for­ lora drastiche, talora eccessive. Tuttavia, che questo modo di crescere effettivo,malmente, «la stessa» logica intuizionista. ordinato possa agire, almeno come ideale, sembra che non possa negarsi. In

Ma mentre all'origine essa pareva opporsi alla matematica classica, limi­ questo ideale certo confluiscono molti degli aspetti che dànno alla matematicatando le capacità dimostrative e producendo una «mutilazione» della matema­ il suo fascino particolare. [M.c.].tica che suscitava non poche perplessità, ora essa appare come un arricchimento,amplia le nostre possibilità di studio piuttosto che diminuirle, estendendole adoggetti «variabili ». Anche in questo caso pare che il senso originario del contra­sto venga a perdersi, ma è pur vero che occorre un lungo ed elaborato processo Aleksandrov, P. S.

durato piu di settant' anni per giungere a questa acquisizione. 1947 Kombinatornaja topologija, oorz, Moskva-Leningrad (trad. it. Einaudi, Tor ino r957).

Qui almeno non viene a realizzarsi solo un cambiamento di punto di vista, Artin, M. ; G rothendieck, A.; e Verdier, J.-L.[t963-64] Thé orie des topos et cohomologie étale des schémas. Compte rendu du séminaire de

restando immutati altri dati, il che mostra come la questione vada considerata, géometrie algebrique du Bois-Marie n. 4, 1963-z964, I. Theorie des topos, Springer, Ber­in generale, con molta cautela. Ma certo ancora, l'aspetto che piu colpisce la l in — Heidelberg — New York s97z.

riflessione è come la logica intuizionista, dopo essere stata per lungo tempo «op­ Bourbaki, N,

posta» alla logica classica, finisca con il confluire in una situazione, piu ricca, s96o El éments d'histoire des mathématiques, Hermann, Paris ( t rad. i t . F e l t r inell i, M i l anot 963).

di coesistenza. x97x El éments de mathématique, VII. Groupes et algèbre de Lie, Hermann, Paris.In molte delle questioni considerate, in modo essenzialissimo nel program­ Dieudonné, J.

ma di Erlangen, era implicito il concetto d'+invariante+. In realtà questo con­ t974 Cours de géométrie algébrique, voli. I e I I , P resses Universitaires de France, Paris.

cetto appare in molte situazioni cosi fondamentali che sembra talvolta che la ri­ t977 Panorama des mathématiques pures. Le choix bourbachique, Gauthier-vi l lars, Paris.

cerca di invarianti coincida con il discorso matematico stesso. Esso ha perciò Grothendieck, A., e Dieudonné, J.t96o Elé ments de géométrie algébrique, Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Paris; ed.condiviso la sorte di molt i concetti fondamentali che, mescolati nella pratica Springer, Berlin — Heidelberg - New York t 97 t .

quotidiana, stentano a divenire trasparenti alla nostra ragione (si pensi per esem­ Heyting, A.pio al concetto di insieme). Non è da stupire cosi che solo con il secolo scorso si r956 In t u i t ionism. An In t roduction, North-Ho l land, Amsterdam.

sia giunti a formulare in modo preciso che cosa debba intendersi per invariante. Moser, J.Tuttavia da allora molte delle questioni piu fondamentali della matematica e 1973 Stable and Random Motions in Dynamical Sy~tems, Princeton University Press, Prin­

non solo la «teoria degli invarianti» hanno ricevuto una formulazione adeguata ceton N.J.

ad esso. Cosi in qualche modo esso fornisce, dal nostro punto di vista, uno stru­ Mumford, D.1965 Ge ometrie lnvariant Theory, Academic Presa, New York .

mento per una lettura « trasversale» di determinate evoluzioni. Weil, A.Dopo secoli di tentativi per realizzare una carta geografica che rappresenti 1949 Number of solutions of equations in finite fields, in s Bulletin of the American Mathe­

adeguatamente la superficie terrestre sul piano, Gauss, con le famose Disquisi­ matical Society», LV, pp. 497-5og.

tiones generales circa superficies curvas (r8z8), ricercando quali proprietà di una Weyl, H.

superficie (cfr +Curve e superfici+), che s'immagini fatta di un tessuto flessibile 1939 Classical Crroups, their 1nvariants and Representations, Princeton Un i v e rsity P resa,Princeton N.J. r946s.

ed inestendibile, rimangano inalterate per deformazione, giunge alla «curvatura Zariski, O., e Samuel, P.gaussiana», e risolve negativamente il problema. L'osservazione che la sfera ha 1958 Commutati««e Algebra, Van Nostrand, Princeton N.J.

3z5 Curve e superficiCurve e superfici Queste tre geometrie hanno origine in momenti storici differenti. Non bisogna

tuttavia pensare ad un rapporto di subordinazione. Non vi è un'evoluzione dallageometria sintetica a quella differenziale. Con l'introduzione del metodo dellecoordinate divengono formulabili certe proprietà delle curve e superfici descrivi­

Curve e superfici costituiscono gli elementi fondamentali della geometria.È chiaro quindi come una trattazione dell'argomento imponga un confronto con

bili in modo algebrico : il grado, la classe, ecc. È possibile introdurre il concetto di

questa scienza.punto singolare ed indagarne la natura. Tutto questo certo è nuovo, ed è impen­sabile senza l'introduzione del metodo delle coordinate. Ma non è men vero che

La geometria nacque come scienza nell'antichità classica, ad opera soprattutto successivamente si sono scoperte importanti proprietà geometriche — proprietàdei Greci. Ad essi risale la considerazione delle prime e piu semplici curve e su­ proiettive — tipiche dell'ambito della geometria sintetica.perfici : le rette ed i piani, le sezioni coniche e le quadriche piu elementari, quelle Un'opera classica di geometria proiettiva, la Geometria di posizione di Staudtdi rotazione. Curve e superfici piu complesse compaiono come mezzi per la riso­

[r847], compare a inetà Ottocento, ossia circa due secoli dopo Descartes,luzione di problemi geometrici classici: duplicazione del cubo, trisezione del­ Ancora, non è men vero che con l'introduzione del calcolo di8erenziale la geo­l'angolo, quadratura del cerchio. Si vedrà in seguito qualche esempio relativo. metria algebrica subirà una battuta d'arresto, cedendo il passo al prorompere im­

La geometria può essere ripartita, in maniera abbastanza plausibile, in geo­ petuoso dei risultati della geometria differenziale; ma verso la fine del secolometria sintetica, geometria algebrica, geometria diff erenziale; anche la tratta­ scorso, con l'introduzione sistematica del metodo del cambiamento di riferimentozione del nostro argomento sarà quindi considerata sotto questo triplice aspetto, e con la teoria degli invarianti, la geometria algebrica riacquisterà un interesse dima si tratterà prevalentemente l'ultimo, perché gli altri due saranno trattati an­che in altri articoli.

prim'ordine, ed avrà una parte fondamentale nella nascita dell'algebra astratta.Guardando poi la situazione attuale, si osserva come la geometria differenziale

A titolo orientativo, vale la pena di accennare una definizione dei tre aspetti sia profondamente connessa alla teoria della relatività, e ne è quindi chiara l'im­considerati. Essa in qualche modo può leggersi anche come una rudimentale sto­ portanza. D'altro canto la geometria algebrica è attualmente uno dei campi di ri­ria della geometria e permetterà dunque di ripristinare quei collegamenti che una cerca piu attivi e ricchi di risultati.trattazione specifica deve necessariamente recidere. All'interno della geometria sintetica, la geometria proiettiva che pareva in una

Ad esempio quando — trattando curve e superfici dal punto di vista algebrico­ certa forma giunta alla>sua completa evoluzione, si rivela di grandissima utilitàsi considera Newton in rapporto alla sua opera di classificazione delle curve piane per gli aspetti della matematica finitistica di recente creazione.del terzo ordine, è chiaro che ci si pone in un'ottica assai limitata in rapporto sia Si può parlare dunque di tre aspetti, dei quali ha senso naturalmente inda­allo stesso Newton sia alla considerazione della scienza nel suo complesso. Tut­ gare volta per volta quale sia quello fondamentale, ma senza pretendere che latavia il lettore può risalire da questa particolare considerazione delle curve e su­ questione acquisti un assetto definitivo.perfici dal punto di vista algebrico, mediante la conoscenza di altri aspetti dell'at­tività di Newton, con l'aiuto della collocazione storica implicita, alla complessadialettica della geometria algebrica in rapporto alla matematica ed alla scienzanella sua interezza.

i. Cur ve e superfici dal punto di vista proiettivo.

La geometria sintetica può definirsi come quella ove si considerano le figure La geometria proiettiva ha origine nel Seicento, come elaborazione teoricadirettamente, senza strutture algebriche. Essa è quindi necessariamente la geome­ dei problemi connessi con la prospettiva lineare, e quindi in stretto legame con latria dei predecessori di Descartes, dell'epoca precedente alla geometria analitica. pittura, l'architettura e le arti visive in genere. Per illustrare la natura dei suoiCon l'introduzione del metodo delle coordinate la geometria sintetica diverrà metodi e dei suoi scopi può giovare un semplice esempio (fig. i). Si consideri ununa parte autonoma della geometria con metodi e problemi propri, Della geome­ osservatore O cbe guarda una figura F che per semplicità supponiamo tracciatatria sintetica si tratterà solamente un argomento particolare : la geometria proiet­ su un piano ir, attraverso una lastra di vetro ir' interposta, e s'immagini che da ognitiva. Questo per la particolare facilità di cogliere i legami con il contesto culturale punto di F parta un raggio luminoso che raggiunga l'osservatore O, La figura Fnel quale ha origine la geometria proiettiva. darà luogo ad una figura F' sulla lastra di vetro ir'.

La geometria algebrica consiste nello studiare le proprietà delle figure geome­ La figura F' — accettando tutte le drastiche semplificazioni implicite: visionetriche attraverso relazioni algebriche fra le loro coordinate o le loro equazioni,Essa ha quindi origine dopo l'introduzione del metodo delle coordinate.

monoculare, non-deformazione delle linee rette, ecc. — è quella che un pittoredeve dipingere se s'immagina che ir' sia la tela ed E la figura da riprodursi.

La geometria di8erenziale ha origine naturalmente dopo la «scoperta» del Naturalmente la pratica della pittura non consente di operare nel modo de­calcolo differenziale. Si considerano le proprietà delle figure mediante gli stru­menti di questo calcolo.

scritto e si pone dunque il problema di esaminare come si trasformano le proprietàdi E, e quali eventualmente si conservano, nel passaggio ad F'. Utilizzando il lin­

327 Curve e superficij-r@» ««

guaggio della geometria proiettiva si dirà proiezione la figura che si ottiene con­@ir giungendo i punti di F con O. Si chiamerà poi sezione la figura che si ottiene

intersecando questa figura con il piano rr', ossia F' è la sezione della proiezione diF da O.

Oggetto della geometria proiettiva può definirsi ora l'indagine sistematica del­le proprietà che rimangono invariate per proiezione e sezione. Una di tali proprie­tà, d'importanza fondamentale, che può illustrare assai bene la natura delle pro­

O prietà proiettive, è espressa dal teorema di Desargues, il quale fu uno dei fonda­tori di questa scienza.

Figura x. Si supponga che un osservatore O consideri un triangolo ABC. Congiungendo

Un osservatore, posto in O, vede la figura F del piano r«, su una lastra di vetro interpo­A, B e C con O si ottiene una proiezione del triangolo. Se ora si considera una se­

sta w', secondo la figura F'. zione di questa proiezione, si ottiene un nuovo triangolo A'B'C'; Il teorema diDesargues afferma ora che le rette AB e A'B', BC e B'C', AC e A'C' s'incontranoin tre punti P, Q, R che giacciono su una stessa retta.

Si accenna la dimostrazione, nel caso particolarmente semplice nel quale idue triangoli sono nello stesso piano. Questa dimostrazione, pur essendo moltofacile, contiene nella sua essenza quello che è il «metodo» della geometria pro­iettiva. A conclusione di essa si cercherà quindi di porre in evidenza quali sianogli aspetti concettuali piu rilevanti.

- C' Si consideri la figura z. Si tratta di dimostrare che P, Q ed R appartengonoad una medesima retta, cioè, per esempio, che R appartiene alla retta di P e diQ. La dimostrazione consiste ora nell'alterare la figura — conservando invariatala proprietà che si vuole dimostrare — riducendosi ad una figura piu favorevole,

A' per la quale la proprietà risulti evidente. Se si considera la proiezione della figurain esame da un punto S esterno al piano e successivamente una sezione con unpiano rr', ossia una proiezione su vc', la proprietà da dimostrare è vera nel piano

P dato se e solo se essa è vera nel piano rr'. Ma si può scegliere rt' in maniera op­Figura z. portuna, cioè parallelo al piano che contiene la retta PQ ed il punto S. In tal modoI lati AB, A 'B ' , BC, B 'C ' , AC, A 'C ' , p rolungati, determinano tre punti a l l ineati P e Q vengono «mandati all'infinito», ossia le rette che originariamente si interse­

P,Q,R. cavano in questi punti divengono parallele. Non solo : le rette parallele del piano

Orr' sono tutte e solo le rette che provengono, per proiezione dal piano originario,da rette che prima si intersecavano sulla retta PQ. Cosi si tratta ora di dimostrareche, essendo divenute parallele le rette AB e A'B', e AC e A'C' (conservando glistessi nomi per i punti immagine su rr' ), anche le rette BC e B'C' sono divenuteparallele.

La dimostrazione è dunque ricondotta a: Dati i due triangoli ABC e A'B'C'tali che le rette AA', BB', CC' sono concorrenti in O, se AB è parallela ad A'B',

B' AC è parallela ad A'C', allora anche BC è parallela a B'C'. Si consideri dunquela figura 3. La retta AB per ipotesi è parallela ad A'B' e la retta AC ad A'C'. Al­lora dal teorema di Talete, si ha

OA : OA.' = OB : OB'C'OA : OA'=OC: OC'

e dunqueFigura 3. OB ; OB' = OC : OC'.Con una proiezione su r«' la retta P Q viene mandata all'«infinito». Si tratta ora di di­

mostrare che i lati AB, A 'B ' , BC, B 'C ', e AC, A 'C' sono paralleli.

Curve e superfici 3z8 3z9 Curve e superfici

Applicando ora il teorema inverso di quello di Talete, si ha che le rette BC e Se si considerano una conica K arbitraria e due punti A~ e B* su di essa, iB'C' sono parallele. coefficienti m ed m' delle rette che proiettano un punto variabile P sulla conica

È molto facile cogliere l'essenza della dimostrazione data. Si deforma una sono legati appunto dalla relazione amm' + bm+ cm'+ d = o. Questo fatto si spiegafigura badando al fatto che la deformazione non alteri certe proprietà. Si ottiene osservando che mediante trasformazioni proiettive, ossia proiezioni e sezioni, èuna nuova figura piu semplice per la quale la dimostrazione da compiersi risulta possibile trasformare il cerchio nella conica K in modo che i punti A e B del cer­molto facilitata. Questo metodo, presente in forma embrionale in Desargues, per­ chio divengano i rispettivi punti A~, B~ di K. In tale trasformazione la primafezionato poi da Pascal, giungerà a completa chiarezza metodologica con Poncelet relazione si trasforma nella seconda. Viceversa, ogni tale trasformazione è subor­e la sua scuola, cioè durante i primi anni dell'Ottocento. Raggiungerà infine la dinata da una trasformazione della conica nel cerchio.forma classica con Steiner e soprattutto con Staudt. Poiché il cerchio è generato dai punti P che verificano mm' + r = o, si ha ana­

Poiché la deformazione da scegliersi per ridursi al caso piu favorevole dipende logamente il teorema sulla generazione proiettiva delle coniche.dalla figura originaria, si capisce come, pur essendo date delle indicazioni metodo­logiche, sia pur sempre una questione di immaginazione, di intuito, di esperienza, TEOREMA. Una conica K può essere descritta considerando due arbitrari punti

cogliere quale sia la giusta trasformazione. Si capisce cosi come s'incontrino nella A~ e B~ ed assegnando tra le coordinate delle rette che escono da A ~ e da B~ un le­

geometria proiettiva metodi, artifici, ingegnosità che la rendono simile ad un'arte. game del tipoAl tempo stesso si capisce come essa possa degenerare spesso, soprattutto a livello amm' + hm+ cm'+ d = o.di insegnamento, in fantasie mistico-irrazionalistiche.

I punti della conica sono ottenuti considerando l'intersezione delle rette omologhe.Un altro esempio particolarmente affascinante è dato dalla generazione proiet­ Ossia, fissato un certo valore m si risolve l'equazione in m' che ne consegue e siinter­

tiva delle coniche (Steiner ). Si assuma — senza dimostrarlo — il risultato che ogni secano le rette cosi ottenute.conica, ossia ogni curva sezione di un cono con un piano, possa essere ottenutamediante successive proiezioni e sezioni a partire da un cerchio, Si consideri la Un aspetto concettuale molto importante della geometria proiettiva, che siseguente proprietà del cerchio: se da due punti estremi di un diametro A, B si enuncia per il caso della geometria piana per semplicità, ma che è molto facileproietta un punto P, variabile sulla circonferenza, le rette AP e BP risultano trasferire alla geometria spaziale od iperspaziale, è fornito dalla legge di dualità.perpendicolari (fig. y) ; e inversamente, se dal punto estremo A di un segmento Essa si fonda sull'osservazione che se si effettua nel linguaggio della geometriaAB si conduce una retta r e da B una retta r' perpendicolare ad r, le due rette proiettiva piana (opportunamente formalizzato) la sostituzione punto ~~rettas'intersecano in un punto P del cerchio avente per diametro AB. Se si traduce un enunciato «vero» viene mutato in un altro enunciato «vero». Ad esempio daalgebricamente la relazione che intercede tra le rette uscenti da A e da B, si ot­ Due rette distinte determinano uno ed un sol punto, si ottiene Due punti distinti de­tiene la relazione mm'+ z =o, ossia l'equazione di una particolare proiettività terminano una ed una sola retta ; naturalmente si fa riferimento al piano proiettivo,tra le coordinate m ed m'. In effetti questa equazione appartiene al tipo piu ge­ ossia al piano ordinario «completato» in modo che due rette abbiano semprenerale amm'+hm+cm'+d = o. Ma in quale senso un'equazione è piu generale un punto d'intersezione. Questa osservazione trova il suo fondamento nel fattodell'altra (oltre naturalmente al fatto ovvio che la prima può ottenersi dalla se­ che è possibile dare agli assiomi della geometria proiettiva una forma autoduale ;conda per una particolare scelta dei coefficienti )l ossia eseguendo su un assioma la sostituzione di 'punto' e 'retta' (e adeguando

opportunamente il linguaggio) si ottiene un altro assioma. È chiaro allora che daogni teorema si ottiene un teorema «duale» sostituendo ovunque nella dimo­strazione i termini 'retta' e 'punto'.

La legge di dualità è dunque ora un teorema della geometria proiettiva o, sesi vuole essere piu precisi, un metateorema. Infatti essa non è dedotta a partiredagli assiomi della geometria proiettiva, come dovrebbe essere per un teorema,ma è oggetto di una riflessione sugli assiomi, sulla loro forma. Questo forse spiegaperché la sua scoperta sia avvenuta in tempi relativamente recenti. Infatti essafu formulata per la prima volta da Gergonne, verso la fine del Settecento, ripresada Poncelet e dalla sua scuola all'inizio dell'Ottocento e giunse infine a completachiarezza solo con Steiner e soprattutto con Staudt.

Figura ~ Un esempio piuttosto suggestivo di applicazione di questa legge è fornitoLe rette AP e BP, che proiettano un punto variabile P dagli estremi di un d iametro, dal passaggio dal teorema di Pascal al teorema di Brianchon. Ecco il pr imo

sono perpendicolari. enunciato :

Curve e superfici 33o 33I Curve e superfici

TEOREMA (Pascal). Se A, B, C, D, E, F sono i punti di un esagono inscritto in è ottenuto da quello di Pascal semplicemente sostituendo le parole 'retta' euna conica, le rette opposte AB ed ED, BC ed EF, AF e CD s'intersecano in tre punto .punti P, Q, R che sono allineati. Nell'enunciare il principio di dualità si è fatto riferimento, di sfuggita, alla

possibilità di trattare la geometria proiettiva come una scienza formulabile inSe si dispongono i punti dati secondo la figuraforma ipotetico-deduttiva, con assiomi posti a fondamento, ecc. Ad una tale

A B formulazione si è giunti solamente in tempi relativamente recenti, con la presa diF C coscienza dell'importanza, per le discipline matematiche, della forma assiomatica.

E D L'opportunità di trattare in forma assiomatica la geometria proiettiva in par­ticolare, e non di essa all'interno della geometria euclidea o di una geometriarisulta immediatamente chiaro cosa debba intendersi per rette oppost . La di­

mostrazione si riconduce al caso nel quale A, B, C, D, E, F siano i vertici di un piu vasta, sceride dalla omogeneità dei suoi teoremi e dei suoi metodi che la con­figurano assai bene come un oggetto unitario, come del resto era stato riconosciutoesagono regolare inscritto in un cerchio (fig. g) : allora la proprietà si riduce al

fatto che AB ed ED, BC ed EF, CD ed AF sono paralleli, ossia s'intersecano sulla da Staudt, piu di un secolo fa.E allo stesso Staudt risale l'avvertenza che questa trattazione separata viene«retta impropria».

Un'applicazione molto importante di questo teorema è fornita dal fatto che perseguita per motivi di chiarezza concettuale, di analisi di particolari proprietàe non certo alla esigenza di opporre una «geometria proiettiva» come scienza geo­esso permette, assegnati cinque punti A, B, C, D, E, di determinare altri punti

arbitrari della conica. Se si pensa che una conica è il percorso di un pianeta in­ metrica particolare ad altre geometrie. «Trattare tutta la geometria di posizioneda sé, senza introdurre concetti metrici che le sarebbero estranei, costitui untorno al Sole, secondo la legge di Keplero, ciò significa che da cinaue osserva­grande progresso, poiché se è vero che le varie scienze debbono prestarsi scam­zioni astronomiche è possibile descrivere la traiettoria del pianeta. E dunque un

teorema di grande importanza pratica. Cosa si può dedurre da esso applicando bievoli ajuti e che molte grandi scoperte sono derivate appunto dal collegare fra

la legge di dualità! loro dottrine apparentemente molto disparate, non è meno vero che risultatialtrettanto importanti si son visti ad esempio nell'analisi, nella geometria, nella

TEOREMA (Brianchon). Se a, b, c, d, e, f sono le rette di un esagono circoscritto meccanica quando in ciascuna di esse si è cercato di ridurre i postulati, i metodiad una conica, i «punti opposti » ab e ed (con ab si deve intendere il punto d'interse­ e gli strumenti di ricerca al minor numero possibile. Da questa purezza di meto­zione di a e di b, ecc.), bc ed ef, af e cd stanno su tre rette p, q, r, che passano per un do si rese visibile che, come osservò F. Klein, la geometria projettiva vale indi­medesimo punto. pendentemente dal postulato sulle parallele. Solo da essa fu messa in piena luce

la legge di dualità tra le proprietà descrittive delle figure e provato come questaCiò che si è osservato sull'importanza del teorema di Pascal per la descrizione legge si possa utilizzare in tutta la sua pienezza fin dai principii» [Segre I88g,

di una conica come luogo di punti, si può ora ripetere per il teorema di Brianchon PP. XI-XII ].e per la descrizione di una conica come inviluppo delle sue tangenti. E qui appare chiaramente l'opportunità della trattazione della geometria pro­

Dal principio di dualità segue ora che non si deve dare nessuna dimostrazione iettiva in sé. Ma che ciò non dovesse dar luogo ad una scienza separata è confer­del teorema di Brianchon. Esso è «vero» per la forma del suo enunciato, perché mato dalla progettazione di una successiva opera di Staudt sulla geometria me­

trica, la quale non ebbe luogo solo a causa della sua morte.Si esamina ora un'impostazione assiomatica della geometria proiettiva.Per limitarsi al caso semplice della geometria proiettiva piana si possono dare

i seguenti assiomi:

I) Per due punti passa una ed una sola retta.z) Due rette si intersecano in uno ed un solo punto.3) Esistono quattro punti tali che tre qualsiasi tra di essi non sono allineati.

Questi assiomi permettono di svolgere in maniera semplice e rigorosa lamaggior parte delle considerazioni che abbiamo fatte in precedenza. Essi meri­tano tuttavia un ulteriore commento. È chiaro, dalla loro forma, che essi preve­

Figura g. dono esplicitamente anche la presenza di piani proiettivi finiti, pur prescrivendo,La figura serve per dimostrare il teorema di Pascal in un caso semplice. Ls dimostra­ mediante 3), opportune limitazioni. Che senso ha la struttura di piano proiettivo

zione generale si riconduce al caso particolare. finito!

Curve e superSci 332 333 Curve e superfici

Non è qui il caso di porre una discussione generale sulla questione, occorretuttavia qualche considerazione. Curve e superfici dal punto di vista algebrico.

I) La presenza di modelli finiti (ad esempio quello dato dai sette punti Si tratterà questo argomento molto in breve, perché molte delle questioni diA, B, C, D, E, F, G e dalle sette rette AFB, BDC, CEA, AGD, BGE, maggiore interesse sono contenute in altri articoli di questa Enciclopedia.CGF, DEF) risolve automaticamente le questioni di consistenza. Gli as­ Si è già osservato come curve e superfici, con l'introduzione del metodo dellesiomi i ), z), 3) sono certo consistenti, ed il modello dato lo dimostra. coordinate, possano essere definite mediante equazioni o sistemi di equazioni.

II ) La distanza tra il modello previsto da I ), z), 3) ed il piano proiettivo Quando queste equazioni sono rappresentate da polinomi uguagliati a zero, cur­classico può essere colmata progressivamente, aggiungendo gradualmente ve e superfici divengono oggetti di studio della geometria algebrica.assiomi. Ciò fornisce un'analisi efficace della struttura dello spazio pro­ Naturalmente l'algebricità costituisce un vincolo assai notevole, rimane tut­iettivo classico. tavia oggetto di studio una classe di curve, superfici, in generale di varietà, assai

iii ) L'esistenza di modelli proiettivi finiti permette di geometrizzare certe si­ vasta.tuazioni «concrete». Una quantità finita di elementi può immaginarsi Si tratterà principalmente delle curve algebriche piane, poiché è il soggettoappartenere ad un piano proiettivo di ordine opportuno e dunque essere che piu si presta ad esporre i concetti essenziali. Una curva algebrica è dunque iltrattata in modo geometrico. luogo dei punti del piano che hanno coordinate x, y che soddisfano ad un'equa­

Queste semplici considerazioni già mostrano come la geometria proiettiva zione del tipo f(x, y) = o, ovef (x, y) è un polinomio a coefficienti reali, Ad esem­finita, ed in generale la geometria finita, siano dotate di grande importanza e si­ pio una circonferenza è rappresentata da (x — a)'+ (y — b)~= ra. Una retta dagnificatività. Ecco dunque alcuni risultati. Si ha intanto: ax+by+c = o, ove, per ottenere le equazioni, si tiene conto delle particolarità

DEFINIzIoNE, Un piano proiettivo è detto di ordine n se una delle sue rette con­ geometriche delle curve che si vogliono rappresentare.

tiene n+I punti. Si pongono in maniera naturale un certo numero di definizioni. L'ordine diuna curva algebrica è dato dal grado del polinomio che la rappresenta. Esso ha

Si deduce allora agevolmente che ogni retta contiene lo stesso numero di un evidente significato geometrico; se si considera l'intersezione della curvapunti e, per dualità, che ogni punto appartiene ad n+ I rette. Dunque un piano f(x, y) = o con una retta ax+by+c = o, si è condotti a risolvere il sistemaproiettivo di ordine n contiene n~+n+ I punti e lo stesso numero di rette. La«rigidità» di questa situazione mostra come l'esistenza di un piano proiettivo di f(x, y) = o

un dato ordine non sia un problema facile. In effetti già per n = Io non si sa se ax+ by+ c = oesista o meno un piano proiettivo di quest'ordine.

Tuttavia l'esistenza di un corpo finito di n elementi per n =p" dà: ove, eliminando ad esempio la y fra le due equazioni, si ottiene un'equazione ri­sultante in x, di grado n (in generale). Un polinomio a coefficienti reali di grado n,

TEQREMA. Se n =p", con p primo, esiste un piano proiettivo di ordine n. uguagliato a zero, ha al piu n radici, opportunamente contate. Da ciò si ha cheSi concludono queste considerazioni sulla geometria proiettiva osservando co­ «l'ordine di una curva algebrica rappresenta il numero massimo d'intersezioni

me gli assiomi I ), z), 3), per quanto semplici ed eleganti, tuttavia non sono in che questa può avere con una retta».forma comoda per dedurre il principio di dualità. Infatti in essi punti e rette com­ Con un ragionamento sostanzialmente analogo, per quanto assai piu compli­paiono in maniera dissimmetrica. Ciò può essere evitato, a scapito della forma cato, si conclude che due curve algebriche di ordine rispettivamente n ed mintuitiva, considerando un'unica relazione «su», che riassuma al tempo stesso i hanno al piu nm punti in comune.concetti «un punto appartiene ad una retta», «una retta contiene un punto». Gli Questi risultati, per quanto naturali e rigorosi, sono tuttavia assai insoddisfa­assiomi assumono la forma seguente [cfr. Menger Ig48 ] : centi dal punto di vista teorico. Assai meglio sarebbe poter garantire che una cur­

I ) Vi è una ed una sola retta su due punti distinti, ed uno ed un solo punto va e una retta hanno esattamente n punti in comune, che due curve di ordine n

su due rette distinte. ed m s'intersecano in esattamente nm punti.

z) Esistono due punti e due rette tali che ognuno dei punti è su una sola Questi problemi di aspetto cosi «innocente» sono in realtà di fondamentale

delle due rette ed ognuna delle rette è su uno solo dei punti. importanza per la teoria delle curve ed in generale delle varietà algebriche e dun­

3) Esistono due punti e due rette, i punti non essendo sulle rette, tali che il que si cercherà di analizzarli e di mostrare come una loro soluzione, almeno in casi

punto sulle due rette è sulla retta sui due punti. particolari, illumini fatti altrimenti inesplicabili.Per quale motivo può succedere che una curva e una retta abbiano meno di n

Il principio di dualità è ora evidentemente deducibile dalla forma autoduale intersezioni> Piu in generale, per quale motivo due curve di ordine n ed m pos­degli assiomi. sono avere meno di mn intersezioni>

Curve e superfici 334 335 Curve e superfici

Si consideri l'esempio della circonferenza x~+y~ = r e della retta y= z. La Si veda come questo punto di vista permetta di svelare la natura di fenome­ricerca delle intersezioni conduce all'equazione x' + 3 = o, la quale è priva di ra­ ni altrimenti inesplicabili.dici, nel campo reale. Una prima difficoltà sorge dunque dal fatto che limitandosi Si considerino due ellissi ; esse, come curve del secondo ordine, possono avereal campo reale questo non è algebricamente chiuso. Una soluzione del problema al piu quattro intersezioni nel piano reale, come suggerisce la figura 6. Se si con­non può darsi se non ampliando il campo dei coefficienti ad un campo algebri­ siderano invece due circonferenze (cioè ellissi particolari ), queste non possonocamente chiuso, ad esempio il campo complesso. Sebbene per molte ragioni il avere piu di due intersezioni reali. Infatti se si considerano le equazioni di duecampo complesso sia perfettamente adeguato, tuttavia si vedrà tra poco come sia circonferenzeinopportuno fissare una volta per tutte il campo complesso ma sia utile pensare x~+ys+ax+by+c = oad un campo algebricamente chiuso o addirittura ad un campo variabile.

x'+y + a 'x+ b'y+ c' = oSorvolando per un attimo su tali questioni, s'immagini di operare in un cam­po algebricamente chiuso K, la curva sarà perciò data dal luogo degli zeri di un il sistema che fornisce le intersezioni è equivalente apolinomio f(x, y) con coefficienti in K.

Si può ora dire che il problema è risolto? Si consideri l'esempio della curva xs+ya+ ax+ by+ c = o

xs — ys — r =o e della retta x +y = r. L'eliminazione della variabiley conduce al­ (a — a') x+ (b — b') y + (c — c') = ol'equazione x — x =o, che, essendo di primo grado, fornisce una sola radice. Siha dunque un solo punto d'intersezione. Questa volta la responsabilità non va il quale può avere al piu due soluzioni. Come è possibile spiegare questoattribuita al campo dei coefficienti, ma al fatto che la rimanente radice è «andata fatto?all'infinito». La retta che abbiamo consider .to è parallela all'asintoto dell'iper­ L'equazione di una circonferenza scritta mediante le coordinate X, Y, Z èbole x' — y' = x. Questa volta, per ripristinare una situazione soddisfacente, oc­ Xa+ Ys+aXZ+b Y Z + c Zs =o e , ponendo Z=o, s i o tt iene Xs + Ya=o. Po­

corre aggiungere i punti all'infinito. Ciò può essere fatto sostituendo alla rappre­ nendosi ora dal punto di vista complesso, si ottengono i due punti (r,i, o),sentazione dei punti mediante una coppia di numeri (x, y) una rappresentazio­ (r, — i, o). Questi punti, che vengono detti punti ciclici, spiegano il comporta­ne mediante una terna (X, Y, Z) ponendo l'uguaglianza X/Z = x, e Y/Z =y , e mento delle circonferenze. Dunque, per spiegare un fenomeno semplicissimo,convenendo che due terne (X, Y, Z) e (X', Y', Z') rappresentino lo stesso punto si è avuto bisogno d'introdurre tanto il piano proiettivo che le coordinate com­

se esiste un fattore p tale che X'= pX, Y'= p Y e Z'= pZ. Questa rappresen­ plesse.tazione appare ridondante per i punti del piano, ma dà luogo ad altri enti: le Il terzo tipo di difficoltà è rappresentato dal fatto che una curva algebrica puòterne del tipo (X, Y, O) che non sono riducibili ai punti ordinari. Queste terne avere punti singolari. Si consideri ad esempio la curva di equazione ys = xs e la

rappresentano i punti al l ' infinito. Si veda un esempio concreto. L'equazione retta ax+by = o. Eliminando la y, si ha (a/b)sxs=xs, ossia x ' = o e x= (a/b)~.dell'iperbole diviene con le nuove coordinate Xa — Ys — Z~=o e quella della In altre parole ogni retta — contando la molteplicità due come due intersezioni­

retta X+ Y — Z = o. Intersecando si ottiene Z (X — Y) — Za= o ed oltre alla so­ interseca la curva in due punti coincidenti in (o, o). La curva data ha in (o, o)luzione precedente si ha Z = o, X = ­ Y. In altre parole le due curve hanno un punto singolare. Per risolvere il problema dell'intersezione delle curve alge­l'ulteriore intersezione data da (a, — a, o). briche occorre sapere quante intersezioni vanno contate in presenza di punti

Per dare una soddisfacente soluzione al problema occorre dunque immagi­ singolari, in particolare quando si sovrappongono due punti singolari.nare di operare con un campo algebricamente chiuso e di considerare invece del Si è dunque enucleato un nuovo problema, quello dell'analisi delle singolari­«piano» dato dalle coppie di elementi (k„k,) del campo il piano proiettivo delle tà. Subordinatamente a questo problema si può porre quello di quante e qualiterne ( K„X„ K , ) , singolarità possa avere una data curva in rapporto all'ordine o ad altre carat­

teristiche.L'analisi delle singolarità è un problema assai delicato, e risolto in maniera

soddisfacente per le varietà qualsiasi solo recentemente (Hironaka). Invece dellateoria, che necessariamente potrebbe essere presentata solo in modo rudimentale,si espone con un esempio l'idea fondamentale di scioglimento delle singolarità.Quest'idea consiste nel sottoporre la curva da esaminare ad una trasformazionenota la quale fa «esplodere la singolarità». Esaminando il risultato finale, si con­clude sulla natura della singolarità. Siano le due curve

Figura 6. y'+ (x' — y') = oPossibili intersezioni di due ellissi sul piano reale. y'+xs = o.

Curve e superfici 336 337 Curve e superfici

Esse hanno entrambe un punto singolare per x = o, y = o. Si consideri la trasfor­ figura 7. Poiché si ha un incremento dell'angolo di zIc, si ha per la prima deter­mazione di coordinate X= I /x, Y = I /y. L'effetto di questa trasformazione di minazionecoordinate è di spostare all'infinito i punti che sono vicini all'origine; di conse­guenza l'effetto della trasformazione va esaminato per le curve trasformate sulla V P~ cos +isin = V Pp c os + Ic + i s i n — + I c«retta all'infinito». Si osserva che la prima curva viene trasformata in x»+y»­— x'y = o, mentre la seconda viene mutata in sé. Se ora si esaminano le interse­zioni con la retta impropria eccettuando (o, I, o ) che è un punto singolare per la e per la secondatrasformazione, si ottengono nel primo caso due punti distinti, nel secondo si ri­trova (o, I, o ) contato due volte. Il primo punto singolare viene trasformato in V p cos '+ + Ii + i s i n

++w

due punti distinti, il secondo in due punti coincidenti; si hanno dunque duesingolarità di comportamento diverso. Il primo punto viene denominato puntodoppio ordinario, il secondo punto cuspidale. ~Pp COS + ZTC + i Sin + zii = ~ Pp COS + i Sin

È stato accennato come non si dia una geometria algebrica soddisfacente quan­do si considerano curve e superfici, piu in generale varietà, rappresentate da po­linomi a coefficienti reali. Tuttavia, anche se è piuttosto naturale considerare le E dunque, tornando la variabile z esattamente nel punto iniziale, le due deter­

varietà a coefFicienti complessi, l'atteggiamento piu «naturale» è quello di con­ minazioni si sono scambiate! Ciò mostra che non è possibile concepire due fun­

siderare invece un corpo base variabile. N aturalmente questo atteggiamento non zioni distinte.

s'è imposto immediatamente. La prima estensione è stata quella al campo com­ Poiché lo «scambio» avviene consentendo un incremento dell'angolo di zic,

plesso, Successivamente però, a partire dal 19$0, si è imposta l'idea di fare una si potrebbe risolvere il problema limitando la variabilità della z', Se ad esempio

geometria qualsiasi, su un corpo di base arbitrario, ma fissato (Weil, Chevalley, s'immagina di togliere dal piano complesso l'asse positivo delle ascisse, si otten­

Zariski). Con Grothendieck e la sua scuola giunge a completa chiarezza l'idea di gono due funzioni perfettamente definite. Ma certo questo non può apparire sod­

considerare il corpo di base come variabile, o addirittura di pensare ad un anello disfacente. Risolvere la contraddizione impedendosi di calcolare la radice di unvariabile, per tener conto di altre realtà geometriche. numero reale positivo non può essere giudicato un modo naturale di procedere.

Mediante questo atteggiamento, perseguito sistematicamente da Grothen­ La soluzione della contraddizione è data invece dalla superficie di Riemann.

dieck, è possibile, seppure in maniera assai sofisticata, introdurre nella geome­ S'immaginino due piani sovrapposti ove possa scorrere la variabile complessa.

tria algebrica il concetto di «punto infinitamente vicino» che si rivela di tanta Con (z, I ) sia indicato il punto sul primo piano e con (z, z) il punto sul secondoutilità in altri settori della matematica, per esempio nella geometria differenziale. piano, come nella figura 8a. Si è già osservato come non sia possibile definire

~z sul primo piano e — ~z sul secondo, poiché ad un certo punto le due deter­minazioni si scambiavano. L'idea ora è semplicemente quella di «raccordare»

3. Superfici di Riemann. i due piani in maniera da rendere possibile questo scambio. Ciò, in termini in­tuitivi, può essere effettuato nel modo seguente : si effettua un taglio sul primo

In questo capitolo viene illustrato brevemente il concetto di superficie di Rie­ piano, in corrispondenza all'asse delle ascisse, secondo una piccola apertura ret­

mann. A tal fine va analizzato il concetto di funzione di variabile complessa. tilinea data dalle rette aibi e cidi che si immaginano «infinitamente vicine» (fig.Sia co= f(z) una funzione di variabile complessa : ciò significa che ad un dato

valore della variabile z corrisponde uno ed un solo valore zp, il quale è comple­tamente determinato da z. Nella pratica matematica s'incontrano dei «legami»,coinvolgenti due variabili cp e z, i quali, pur senza avere questo carattere funzio­nale, tuttavia sembrano risolvibili in una o piu specificazioni di questo concetto.Se ad esempio si considera la relazione (tra cp e z) ics — z= o, essa pare, a primavista, equivalente a to = ~z, zo = — ~z, cioè a due funzioni. Se si esamina piuattentamente la cosa, tuttavia, ciò appare contraddittorio.

Sia sp = pp cos &p+i sin &p. Si ha allora ~ap ­— ~pp [cos(&p/2)+i sin(&p/z)],~Sp = ~ Pp[cos [(&p/z) +rc] +i sin [(&p/2) +ic]] e dunque (suPPonendo Pp Po) Figura 7.

due valori distinti che si possono immaginare appartenenti a due diverse funzioni. Q uando la variabile z descrive la curva in f igura, le due determinazioni d i V z s iSi supponga tuttavia che la variabile z descriva una curva chiusa come nella scambiano.

Curve e superffci 338 339 Curve e superfici

8b). Corrispondentemente, nel secondo piano, si tracciano le rette a«bs e cada Ma ciò che è importante non è tanto l'espediente che abbiamo descritto, per(fig. 8c). Si raccordano poi i fogli sovrapposti (che per semplicità sono rappre­ quanto interessante in sé esso sia, quanto la possibilità ora di svolgere su questasentati distinti ) secondo la figura 8d, ossia aibi con c,d, e c,d, con arbi. Si badi che superficie una teoria delle funzioni, diversa ma confrontabile con quella sullatutto questo non è che un'immagine visiva e l'autoattraversamento che compare retta complessa.

nella figura è legato a questa immagine, ma non ha nessuna «realtà». I fogli sono Ciò suggerisce, in generale, l'idea di definire la superficie di Riemann comesovrapposti e le distanze tra le rette sono «infinitesime»! Tuttavia questo espe­ un ambiente nel quale abbiano senso i concetti di funzione olomorfa e meromorfadiente grafico dovrebbe avere reso chiaro il concetto di superficie di Riemann e (cfr. oltre, ) 4.5).conseguentemente, ora, la definizione della radice quadrata su questa superficie Si hanno dunque come primi esempi la stessa retta complessa C e immedia­dev' essere chiara: tamente la retta complessa ampliata con il punto all'infinito. Una funzione olo­

V (», z) = p(cos ­+isin ­)8 . . S lmorfa in z= ~ è definita ponendo al posto della variabile z la variabile x /z evedendo poi se la nuova funzione è olomorfa per z = o. Poiché il piano complesso

2 con l'aggiunta del punto all'infinito è equivalente ad una sfera, si ha dunque unateoria delle funzioni sulla superficie sferica. Per il teorema di Liouville, essendo

V (z, z) =p cos ­ +< + isin — +r« la superficie sferica compatta, le funzioni olomorfe sono solamente le costanti e lefunzioni meromorfe sono tutte e sole le funzioni razionali. Ciò illumina comple­

È poi invalso l'uso di denotare (z, i ) e (z, z) semplicemente con z. Quando ora tamente la teoria delle funzioni sulla sfera.la variabile z arriva alla retta cidi descrivendo un giro intorno all'origine, come in Analogamente a quanto s'è fatto per la radice quadrata, si può poi costruire laprecedenza, «scivola» nel piano sottostante. superficie di Riemann in corrispondenza ad una funzione algebrica P(w, z) = o.

Per tornare nello stesso punto occorrono ora du» giri, il che risolve la contrad­ Se si pensa alla funzione scritta a«w"+ a,w"-'+ . . . + a„ = o, si ha immediatamentedizione. Si è cosi definita la radice quadrata ma non come funzione di C in C; che, ove non è nullo il discriminante del polinomio in w, ossia salvo che per va­è una funzione della superficie di Riemann, sia essa Jl in C, ossia ~z : %~C. lori particolari di z, vi sono n valori distinti w„. . . , w„che si organizzeranno su

una superficie ad n fogli. In corrispondenza ai valori eccezionali ove le radiciw»» vengono a coincidere, del tutto o in parte, si avranno dei punti di dira­

q (z, x) b, b, mazioni, simili, ma piu complicati, all'origine nel caso della radice.Un importante teorema sulla teoria delle funzioni su questa superficie di Rie­

O c, d, p Ca d,(z, z) mann è quello di Riemann-Roch. Esso fa intervenire il genere p della superficie,

ossia un invariante legato al numero di « tagIi » necessario per ridurre la superficiea) ad essere semplicemente connessa. Tale teorema misura la generalità di una

funzione razionale sulla superficie di Riemann, che abbia assegnati poli.

b, a« TEQREMA. La piu generalefunzione razionale su una superficie di Riemann cheha poli del primo ordinein qualcuno o tutti i punti di un dato gruppo, ma che è in ogni

Ct dl altro puntofinita, dipende da un numero di parametri uguale alla somma dell'ordinedel gruppo e del genere della superficie, meno l'indice di specializzazione.

Senza soffermarsi a descrivere l'indice di specializzazione, nozione piuttostotecnica, si vuoi sottolineare come questo teorema descriva appunto, tra le fun­

b, zioni sulla superficie di Riemann, le funzioni razionali.

C» d,Curve e superfici dal punto di vista differenziale.

La considerazione delle curve e superfici dal punto di vista differenziale ini­d)

Figura 8.zia quasi contemporaneamente all'introduzione del calcolo differenziale stesso.Naturalmente all'inizio si tratta di osservazioni sparse nel piu generale contesto

I quattro schemi suggeriscono il «raccordo» mediante il quale si realizza la superficied i Riemann di ~z . dell'analisi matematica. Con Gauss e le sue Disquisi tiones generales circa superficies

Curve e superfici 34o 34' Curve e superfici

curtdas [i 8z8] si può dire che queste osservazioni trovano forma sistematica in una Ponendoci dal punto di vista fisico, immaginando che il parametro t rappre­scienza autonoma: la geometria differenziale. senti il tempo, x (t) può pensarsi come la traiettoria di un punto mobile. Allora

Questa scienza si svilupperà poi con Riemann e diverrà uno dei pilastri della x'(t) ed x" (t) s'interpretano rispettivamente come la velocità e l'accelerazione delteoria della relatività. Nella trattazione che segue, adotteremo una forma siste­ punto il cui movimento è descritto da x (t). Si badi però, il vettore tangente ed ilmatica, accennando ove possibile i r i ferimenti storici. Inizieremo dalle curve vettore accelerazione fanno riferimenti non al concetto di curva regolare che ab­piane, che sono il caso piu semplice ma contengono la maggior parte delle idee biamo dato ma al concetto di curva regolare con una fissata parametrixxaxione.che verranno sviluppate poi. Infatti dal punto di vista fisico è di grande importanza non solo la forma della

traiettoria, ossia la curva regolare, ma anche la sua legge di percorrenza.4.i. Curve piane. Una delle idee direttrici del calcolo differenziale è che un tratto « infinitesimo»

di curva possa essere considerato come rettilineo, e conseguentemente che unaDall' esperienza si trae che è utile trattare, all'interno della geometria diffe­ curva possa immaginarsi come una poligonale con lati infinitesimi. Sono passati

renziale, con una particolare classe di curve piane, le curve regolari. quasi tre secoli da quando queste idee apparivano completamente legittime e ri­Una curva regolare può essere definita come il luogo dei punti del piano rap­ gorose ed una critica spietata ha costretto a rielaborarle e riproporle in forma as­

presentati da un vettore sai piu sofisticata. Ma la sostanza di esse è rimasta inalterata, ed in esse si trova una

y„< t < P facile ed intuitiva motivazione per definire la lunghezza di una curva regolare.Consideriamo un incremento dt del parametro t. Ne consegue una variazione del­

nel piano (x„xa ) al variare di t nell'intervallo specificato. Si pongono le ipotesi : le funzioni xi (t) ed xa(t). Avremo cioè due incrementi dxi e dxa. Se pensiamo

a) x(t) ha derivate seconde continue; che lo spostamento « infinitesimo» sia avvenuto lungo un tratto rettilineo ed indi­

b) x'(t), il vettore derivato di x (t), non è ma d nullo. chiamo con ds la lunghezza di questo tratto (fig. io), abbiamo dal teorema di Pi­tagora ds = dxz+dx~. Ossia, osservando che dxi= x i d t , e dxa=xadt, si ha

Le ipotesi che abbiamo posto sull'esistenza di derivate possono apparire abbastan­ dss= [(xt)sp (xa)a] dta, e dunque definiremo come lunghezza di una curva traza restrittive. Esse sono tuttavia opportune per una trattazione spedita e con­ due punti A e B corrispondenti ai valori s( eP del parametro t la quantitàcettuale.

L'esistenza del vettore x' (t) prevista implicitamente dalla a) e la condizione b)che garantiscono come esso non sia mai nullo, permettono, per ogni punto dellacurva, di assegnare una direzione privilegiata, che diremo la direzione della ret­ta tangente. Precisamente, se consideriamo un punto Ps, di coordinate (xi(ts),

Osservando come (xi) + (x~) = x'(t).x'(t), si ha, naturalmente,

xs(ta)), possiamo definire la retta tangente come la retta passante per Po con dire­zione definita dal vettore x' (ta)= (xi(ts), xs(ts)) ossia la retta individuata dalvettore x' (ta). È utile, per facilitare l'intuizione, pensare il vettore x' (ts) comeposto nel punto Pa, come illustra la figura (). Abbiamo dunque in ogni punto P per esprimere la stessa quantità.della curva un vettore ; risulta cosf. definito un «campo» di vettori tangenti.

x'(t,)

ds JxsP,

dx,

x(t)dx,

Figura (). Figura io.

Il vettore tangente x' (ts) si pensa applicato nel punto Ps. La figura suggerisce la formula ds =dx,'+dxs.

Curve e superfici 34z 343 Curve e superfici

Se consideriamo la lunghezza della curva da un punto fisso, corrispondenteal valore 0t del parametro, ad un punto variabile, si ha

ft

thtt' (t). x'(t) ch

e perciò

— = ~ x' (t) . x' (t ) ck V =x' (t )'dt

Figura 11.

Poiché x'(t) ~o, si ha che la lunghezza dell'arco può sempre essere scelta come L a curvatura totale kr è data da kr & t Q p .

parametro per una curva regolare. Con una tale scelta si ricava poi, indicando laderivata rispetto ad s con un punto sovrapposto alla funzione, 1x(s)1= 1. Quandosi sceglie come parametro l'arco, il vettore tangente diviene un vettore unitario, si ha cioè una retta. La curvatura esprime dunque quanto una curva è diiferente

ossia un versore. da una linea retta.Vogliamo ora introdurre un concetto di importanza fondamentale per le curve L'importanza della curvatura è in parte spiegata dal seguente fondamentale

piane : la curvatura. Introduciamo dapprima il concetto di curvatura totale. Con­sideriamo l'angolo che la tangente alla curva forma con l'asse x„che indichiamo

TEQREMA. Se è assegnata una funrione continua arbitraria k (s) per s0 <S<si

con &(s). La curvatura puo essere definita come la differenza dei valori di S neiallora esiste una ed una sola curva regolare (definita a meno di un movimento ri­

punti terminali della curva,gido) per la quale k (s) è la curvatura ed s la lunghezza dell'arco.

Con riferimento alla figura ri , indicando con kz la curvatura totale, si ha Accenniamo la dimostrazione. Poiché, se esiste la curva che andiamo cer­dunque k = S — & . Una volta introdotto il concetto di curvatura totale, vieneT 1 0' cando, deve essere k= &(s) è naturale porreabbastanza naturale (si pensi ai due concetti di velocità media e di velocità istan­tanea) definire la curvatura nel punto con p

&(s) = &(o)+ k(1-) d~.S(s+As) — 8 (s) 0

k(s) = lim — S(s).Ap~o 4S Una volta definita la quantità & (s), si pone x(s) = cos 8 (s) ui + sin S(s) ua e poi

Osservando che p S

x(s) = cos &(s) ui+ sin 8 (s) u, x(s) = x(o)+u, c os&(~)d~+u, s i n &(~)dt .0 0

si had8 Hi tratta poi di dimostrare che la curva cosi definita verifica le condizioni poste,

x(g)= ( — sin & (s) ui + cos & (s) ua) —.ds i1 che può calcolarsi direttamente.

Vogliamo concludere il discorso sulle curve piane con le equazioni di Frenet,Ossia Ic quali in sostanza ripropongono il teorema che abbiamo appena visto, in una

x(s) = ( — sin&(s) ut +cos~(>) ut) 1()rina però che puo essere generalizzata al caso delle curve sghembe e delle«uperfici.

Un calcolo diretto dà allora Introduciamo in ogni punto della curva una coppia di vettori ortogonali ed

)k)="prx x = fx1.uiiitari vi e va. Poniamo v, (s) = x(s).

Osservando che x (s) x(s) = r, si ha x(s) x(s) = o, ossia il vettore x (s) è or­Osserviamo che se k = o per ogni'valore di s, allora h)atonale al vettore tangente. Possiamo perciò porre kva = x.

Osserviamo ora che ogni vettore piano può essere espresso come combina­x = o «h)uc lineare di v, e di v,. Perciò, in particolare

e perciò V1 = Xtvi+ 0(avax(s) = A+Bs A, B cos tanti,

Va = )rvr+ )ava.

Curve e superfici 344 345 Curve e superfic1

Poiché v i . vi = v 2 v 2 = 1 , e v i v , = o, si ha

V L V2+ V L V 2= O 4.z. Curve spaziali.V L V L = V 2 ' V 2 = 0 . Dopo quanto abbiamo visto sulle curve piane, possiamo procedere sbrigati­

Allora vamente per trattare delle curve spaziali. Una curva regolare è definita similmenteV L'VL = X ) V L V i + X2 V L V 2 = X l come il luogo dei punti descritti dal vettore x (t) = (xL(t), x2(t), x2(t)) con leV2 V2 = P LVL V2+ )2V2 V2 f 2 stesse ipotesi di derivabilità, ed ancora x' (t) po.

I n modo analogo si può definire la lunghezza di una curva mediantee cioè xi =p2 = o. poi s(t) = f(,~ xv ) x (v ) dv, ia curvatura mediante k(s) = ~x~ Va osservato tut­

V2 ' VL = XLV2 ' V L+ X2V2 V2 = X 2 tavia che nel caso delle curve spaziali non è possibile assegnare un significato geo­

VL V2 = f LVL Vi+f 2VL V2= f L metrico al segno della curvatura, contrariamente a quanto avviene per le curvepiane.

e quindi p L+x 2=o. Finalmente, abbiamo Anche nel caso delle curve spaziali possiamo introdurre un riferimento for­

VL = X2VLmato questa volta da tre vettori vi , v2, v2, assumendo

V 2 = X 2V L • vi = x

Osservando che vi = kv2, abbiamo infine V2 = X

Vs =VL X V2VL = kV2

v2 = — kvi e possiamo definire la torsione di una curva spaziale in modo analogo a quanto èstato fatto per la curvatura in relazione alla tangente. Si pone cioè la torsione

cioè le equazioni di Frenet. totaleQueste equazioni costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari dl

omogenee, che consente la determinazione di vi (s) e di v2 (s). Questo sistema con­ 'Tr(r = V V2 ' V2 JS

sente dunque ancora di risalire alla curva, con lo stesso grado di arbitrarietà, dO

sebbene in maniera molto piu complicata. e dunque

La maggiore complessità del calcolo è tuttavia ripagata dal fatto che la stessa f~f= V (v )' = Iv,l.idea può essere riproposta per altre situazioni piu generali. Vogliamo concluderela trattazione differenziale delle curve piane con un esempio. Supponiamo di

Se poi si osserva che v2 vs = 1, si ha vs. v2 = o . Poi vi v 2 = o e dunque v .v +1 8

assegnare la curvatura k = cost. Abbiamo allora +v, vs = o . M a v , = kv2 e allora kv, v2+vL 'vs = vL'vs = o, cioè v2 è perpen­dicolare a v,. Essendo anche v, perpendicolare a v, si ha che va=+ ) v 2. Es­

o sendo fvsf= fwf si ha f~f= fXf. Per ragioni di semplicità, si sceglie poi ~ in modo&(s) = &(o) y k dL..

che vs = — ~ v2.0 In mn modo analogo si procede per ricavare le equazioni di Frenet e si ottiene

Assumendo S(o) =o, si ha semplicemente & (s) = k s; allora questa volta :v, = o+kv,+o

x(s) = cos ks uL+ sin ks u2. v2 = — kvi + o + ~V2

Assumendo come versori ui, u2 i versori fondamentali degli assi xL, x„si ha V2=0 — CV2 +O.

x(s) = (cos ks, sinks). Gli zeri che abbiamo scritto servono a sottolineare il carattere particolare edemisimmetrico della matrice

Perciò/r . I o k o

x(s) = x(o)+ ( ­sinks, — — cosks — k o

ed abbiamo dunque l'equazione di una circonferenza, con centro nel punto x(o), o — 't o

di raggio x/k. ed è facile da questa forma estrapolare il seguente risultato generale:

346 347 Curve e superficiCurve e superfici

TEQREMA. Assegnata la matrice emisimmetrica n xn dellaforma detto piano tangente nel punto considerato. Il suo significato geometrico è illu­

strato dal

o ci o TEQREMA. Il piano tangente è definito dalle rette tangenti alle curve regolari— Ci 0 C» passanti per il punto considerato.

O — Cs ODIMosTRAzIoNE. Una curva regolare è definita assegnando i due parametri u e v

comefunzioni del parametro t. Si ha cioè x (u(t), v(t)) =x (t), e quindi x'(t) =

o o — Cn — 1 = x,u +x»v e dunque ogni curva regolare ha la tangente nel piano considerato.f /

ove le c, sono assegnate funzioni differenziabili di classe 8" ', 8" ,..., C di un pa­

Poiché u' e v' possono assumere tutti i valori (basta porre u= at, v = bt), si ha che

rametro s esiste una ed una sola curva dello spazio R", definita a meno di movimentiil piano viene descritto interamente al variare della curva regolare.

rigidi, per la quale la matrice precedente dia le equazioni di Frenet La scelta in ogni punto del piano tangente determina anche in ogni punto unadirezione perpendicolare, e quindi un vettore xs unitario che viene detto il ver­

Vi = Ci v» sore normale alla superficie. I suoi parametri direttori sono perciò proporzionaliVo = — CIVi+ Cov» ai minori estratti dalla matriceVn = — Cn i V n — 1

òx,La dimostrazione si effettua in maniera sostanzialmente analoga a quanto òu ò u òu

fatto nello spazio ordinario. Le ipotesi sulla differenziabilità sono poste in modo òx, òx ,che la scrittura delle equazioni di Frenet abbia significato, ò v ò v

4.3. Superfici dello spazio ordinario dal punto di vista locale. Consideriamo ancora una curva tracciata sulla superficie, ossia x (t) = x(u(t),

Lo studio delle superf ici che vediamo ora è considerato « in piccolo» ossia nel­v(t)). La sua lunghezza è data da

l'intorno di un punto. Vedremo poi come si effettui lo studio «in grande» colle­ t

zionando pezzi di superficie. Successivamente vedremo anche qualche elemento r(t) = af(x'(v))' dv

di geometria intrinseca, secondo le idee di Riemann."l

Anche nel caso delle superfici è opportuno trattare con una classe ristretta di ed allora

superfici regolari. Una superficie regolare è il luogo dei punti dello spazio eucli­deo tridimensionale definiti da un vettore x (u, v) = (xi(u, v), xs(u, v), x»(u, v)) = x' x'=E ­ +zF ­ — +G­ove le funzioni x,, i = I, z, 3, sono definite su un aperto connesso del piano u, vdei parametri ed hanno derivate parziali sino all'ordine quattro (anche qui si po­

trebbero assumere ipotesi piu generali). È inoltre necessario supporre che i dueutilizzando le lettere E, F, G, i n t rodotte da Gauss, per denotare E=x i ' x i1 i r

vettori coordinati x, = òx jòu, X«= òx/òv, siano indipendenti. Ciò significa che= xi X», G = x». x~. La forma quadratica Eu'«+ zFu'v'+ Gv" è detta la prima

forma fondamentale. Essa è definita positiva, si annulla cioè solamente perla matrice u'= v'= o. Si può dimostrare infatti che EG — F») o, il che equivale alla condizio­

òx ne da dimostrare. Un altro fatto d'importanza fondamentale è che, pur nonò u ò u essendo i coefficienti E, F, G invarianti per un cambiamento di parametri tale è

òx, òx , la prima forma fondamentale. Questo fatto è ovvio se si pensa alla superficie

òv ò v òv immersa nello spazio tridimensionale, Vedremo come nella geometria riemannia­na si assuma una posizione diversa ; si chiede cioè l'invarianza di tale forma, pre­

ha caratteristica z. Questa ipotesi assicura che le funzioni x; dipendono effettiva­scindendo dalla immersione. È un altro fatto importante che anche l'angolo te 'ango o ra

mente da due parametri u e v, e non per esempio da u + v, uv, ... In tal caso si ot­ due direzioni definite da due curve regolari che s'intersecano in un punto della

terrebbe infatti una curva e non una superficie.superficie possa essere espresso mediante le quantità E, F, G, ed anche l'area fa

Se consideriamo in un punto della superficie, corrispondente ad una sceltaintervenire ie stesse quantità, avendosi infatti d= ffs ~ EG Ed s de , ove — q

dei valori dei parametri u e v i vettori xi e X», essi definiscono un piano che vieneè la regione dei parametri u, v.

Curve e superfici 348 349 Curve e superfici

La seconda forma fondamentale è introdotta per studiare la deviazione di una TEQREMA. La curvatura K dipende solamente dai coefficienti della prima formasuperficie dal piano tangente. Se supponiamo che il punto in esame sia dato dai fondamentale e da certe loro derivate prime e seconde.

valori u = v = o dei parametri, si ha sviluppando in formula di Taylor L'espressione di tale dipendenza è data dalla formula:X(Q> V) = X (O> O) + X1Q+ X2V + (X11Q + 2X12QV+X22V )/Z+

à ( FE„— EG„) à EF„— FE„— EE,avendo posto S"( EVEG F­'I S"( É VEG F­* )

ò'x ò'x àsXx X x 2211

Da questa formula non appare un'altra proprietà fondamentale della curva­àu òv tura gaussiana, essa è invariante rispetto alle trasformazioni di parametri.

Moltiplicando ora per xs otteniamo la misura dello scostamento dal piano tan­Il theorema egregium suggerisce la possibilità di studiare trasformazioni piu

gente mediante la seconda forma fondamentale Lu' + zMuv+Nvs, avendo posto generali dei movimenti rigidi dello spazio d'immersione. Se noi consideriamo tra­

questa volta L = x11 xs , M = x,s xs, N = x22 xs.sformazioni che conservano la lunghezza delle curve tracciate sulla superficie,

Lo studio del punto della superficie può ora essere compiuto con l'aiuto delcome si dice delle isometrie, abbiamo ancora la possibilità di definire la curvatura

paraboloide osculatore 2= (Lu +zMuv+Nv )/ z , portando alla distinzione tra i gaussiana K. Ciò significa in ultima analisi studiare la geometria delle superfici

casi ellittico, iperbolico, parabolico, planare, a seconda della natura di tale pa­in modo intrinseco, ossia prescindendo dall'immersione. Accenneremo questo

raboloide. Il comportamento della superficie nell'intorno del punto consideratopunto di vista successivamente.

è qua i a ival'tativamente simile a quello descritto dal p raboloide osculatore. In modo analogo a quanto fatto per le curve, vediamo ora di ricavare le equa­

Un'altra quantità d'importanza fondamentale è la curvatura gaussiana, c eche zioni differenziali della teoria delle superfici. Ancora abbiamo un riferimento

in ic eremo cod' h o con K. Essa può essere definita nel modo seguente: si considera x„xs, xs formato dai due vettori fondamentali e dal vettore normale e dunque i

l'immagine sferica del versore xs(u, v) ossia si trasporta il vettore xs para e a­x ar a l lela­ vettori derivati x;; = òsx/òu' òut e xs; = òxs/àu; (ove si sono indicati i parametri

mente a se stesso in modo che il punto iniziale si trovi nell'origine o. Mentrecon u', us invece che con Q, v per avere un formalismo piu comodo ) sono espri­

x (u v ) descrive una certa regione della superficie, x, (u, v) descrive in corrispon­ mibili come combinazione lineare dei vettori fondamentali. Abbiamo un primo

denza una certa regione sulla sfera unitaria. La curvatura gaussiana è ora definita gruppo di equazioni dovuto a Gauss, che si ottiene dall'uguaglianza

come il rapporto tra l'elemento d'area dell'immagine sferica e l'elemento d'area (r) X,1 ­— I's,x,+a,,x ,della superficie (fig. 1z). Il calcolo diretto dà per K la espressione

LN — M' ove si è soppresso il simbolo di sommatoria, sostituendolo con la convenzione,

EG — F' dovuta ad Einstein, che un indice ripetuto, in basso ed in alto o viceversa, signi­fichi la stessa cosa.

e dunque la curvatura gaussiana è definita mediante la prima e la seconda forma Scriviamo la prima forma fondamentale, introducendo la matrice

fondamentale. Si ha però il fondamentale theorema egregium di Gauss:G g11 g 12

g21 g22

Rs ds' p g12 =g 21 e rispettivamente E = g„ , F = g 2, G =g „ ne l l a f o rmads dss =g,<du'du~ con le stesse convenzioni sulla soppressione del simbolo di som­

matoria. Poniamo anche per comodità

Rs

x(u, v)Ora operiamo sulle equazioni date. Si ha intanto x,; xt ­— g;t., perciò, se moltipli­chiamo la (1) per x, si ha X;1, x = i",>gs . Si tratta ora di valutare i simbolil'tt introdotti da Christoffel. Un calcolo diretto fornisce

Figura 12. ' (àglIl rapporto ds'fds definisce la curvatura gaussiana. z ( òu< àus à u J

Curve e superSci 35o 35i Curve e superflci

La quantità x;z. x è dunque nota a partire dalla g;>. Posto x;>. x = 1';>, ab­ dedursi da essa; dunque un atteggiamento naturale è assegnare solamente essabiamo 1;„ = 1';i,g, e perciò astrattamente.

Quest'idea, di studiare intrinsecamente le super6ci (piu in generale le varietàdi dimensione qualsiasi), è dovuta a Riemann. Vale la pena di citarne le parole:

che dà infine il valore dei simboli I",>. «Nel concetto di superficie, insieme alle relazioni metriche intrinseche nelle qualiOsservandopoichexi x s = osiha, ancoradalla (i), x i , xs =a;ze,ricordando viene presa in considerazione solo la lunghezza dei percorsi tracciati su di essa,

come sono de6niti i coefficienti della seconda forma fondamentale (e ponendo sono contemporaneamente sempre presenti i suoi rapporti con punti che si tro­per comodità L = Lii M = L i , = Lsi N = Lsd) s l ila o ' i = L'i Ab b iamo 6ilal­ vano al di fuori di essa. Si può tuttavia fare astrazione dalle relazioni estrinseche,mente le equazioni di Gauss quando si fanno subire alle superfici cambiamenti che lascino immodificata la

lunghezza delle linee tracciate su di esse; cioè immaginando di incurvare le su­perfici a piacere, senza che subiscano stiramenti, e considerando equivalenti tut­

Con ragionamenti analoghi si ottengono le equazioni di Weingarten te le superfici che nascono in questo modo l'una dall'altra. Per esempio, una su­

xs, = ­ L,;g maxi. perficie cilindrica o conica qualsivoglia viene considerata equivalente a un pianodal momento che la si può ottenere da quest'ultimo semplicemente flettendolo,

Le equazioni che abbiamo ottenuto, di Gauss e di Weingarten, sono scritte mentre rimangono invariate le relazioni metriche interne; e tutti i teoremi chemediante i coefficienti g,i, della prima forma fondamentale, ed i coefficienti L;i, riguardano questa nuova superficie — l'intera planimetria — ri inangono piena­della seconda forma fondamentale. Per esse, che sono analoghe alle equazioni di mente validi ; essa è invece sostanzialmente diversa da una superficie sferica, cheFrenet, in quanto esprimono i vettori derivati a partire dai vettori x„ xs, xa, si non può venir trasformata in un piano senza stiramento» [Riemann i854, trad.pongono gli stessi problemi; it. p. zi4 ].

i) esistenza di una data superficie assegnati i coefficienti g;i ed L;i ' , Come si vede è espresso con grande chiarezza un «programma» di studioz) unicità di questa superficie.

della geometria intrinseca. Naturalmente esso è significativo nella misura in cuiè possibile trattare intrinsecamente i concetti di curva sulla superficie, di angolo

Il problema nel caso delle superfici è fondamentalmente diverso da quello fra direzioni, di vettori tangenti e cosi via.delle curve. Mentre infatti si può garantire la unicità, il problema dell'esistenza Nel seguito introdurremo queste quantità utilizzando l'immersione della su­richiede il veri6carsi di condizioni di compatibilità. Ciò del resto è chiaro, se con­ perficie nello spazio euclideo, ma avendo cura di mostrare come esse siano defi­sideriamo il theorema egregium di Gauss. Un'espressione contenente le g;@ e le nibili solamente a partire dalle g;i. Cosi sarà poi facile dare senso ai concetti della

L,< si esprime solamente mediante le g,>, il che esprime appunto un legame tra geometria riemanniana.le due quantità. Un concetto fondamentale che vogliamo illustrare è quello di trasporto pa­

Perché esista una soluzione del problema i ) occorre che siano verificate rallelo, introdotto da Levi-Civita.(oltre alla condizione espressa dal theorema egregium) anche le equazioni di Co­ In un punto P della superficie, abbiamo definito il piano tangente come luogodazzi e Mainardi, delle quali omettiamo di scrivere l'espressione analitica piut­ dei vettori che sono combinazione lineare dei vettori coordinati. Naturalmentetosto tecnica. questo fa riferimento alla immersione, è però possibile svincolarsi da essa, Si ri­

cordi infatti che il piano tangente era il piano dei vettori tangenti alle curve re­

4.4. Geometria intrinseca, considerata con l'aiuto dell'immersione. golari passanti per il punto. Una curva regolare può essere definita ponendou'=u ' (t) e supponiamo che il punto nel quale vogliamo definire il piano tan­

Abbiamo già avuto modo di osservare, trattando del theoremu egregium di gente si ottenga per t = o. Allora un vettore tangente è dato assegnando iu (o),Gauss, come una trasformazione della superficie che lasci inalterata la lunghezza us(o). Si può dunque prendere come definizione di vettore tangente in un puntodelle curve ivi tracciate lasci inalterata anche la curvatura gaussiana K, Vi sono l'insieme delle derivate prime (u'(o), u'(o)). Abbiamo dunque un concetto didunque proprietà geometriche che non dipendono dall'immersione della super­ vettori della superficie che prescinde dall'immersione ; un vettore in P è natural­ficie nello spazio euclideo tridimensionale. mente un vettore del piano tangente definito in P.

Si può dunque pensare di studiare una geometria intrinseca delle superfici Immaginiamo ora di considerare due punti diversi P e Q della superficie,confinando l'attenzione al piano dei parametri, de6nendo un elemento lineare È possibile istituire un confronto tra le due geometrie dei due piani tangenti? Èds~=g;> du'du~ mediante le funzioni g;> in modo che la forma di8erenziale possibile in particolare istituire una nozione di parallelismo> Daremo dappri­quadratica sia definita positiva. È come se si ritenesse importante per lo studio ma una definizione provvisoria, che si rivelerà inefFiciente. Dalla critica a questadi una superficie solamente la prima forma fondamentale e tutto ciò che può definizione, apparirà cosa deve essere fatto.

Curve e superflci 35z 353 Curve e superfici

Supponiamo dunque che Q appartenga ad un intorno di P, e sia v un vettore Osserviamo ora che se le equazioni vengono integrate lungo due differentidel piano tangente in P. Un vettore parallelo a v nel piano tangente in Q non può curve con lo stesso punto iniziale e terminale, non vi è alcuna ragione perchéessere definito semplicemente come un vettore parallelo in senso ordinario, poi­ debba trovarsi nel punto terminale lo stesso risultato.ché può darsi che la direzione di v non appartenga al piano tangente in Q. La Con l'introduzione di questa nozione di parallelismo ciò che prima appa­piu naturale definizione è allora quella di considerare «parallelo» il vettore vs riva bizzarro è ora perfettamente naturale. Anzi, parrebbe ora strano che lungoche forma con v l'angolo minimo. Il vettore vs è cosi perfettamente definito ed è un una curva chiusa il trasporto parallelo debba condurre allo stesso risultato.vettore del piano tangente in Q. Nel definire il trasporto parallelo lungo una curva si è fatto uso dell'immer­

Al variare di Q in un intorno di P possiamo pensare cosi di avere definito un sione. Si può però dimostrare che le equazioni di Levi-Civita possono porsi nellacampo di vettori paralleli. Tuttavia, se tentiamo di estendere questa nozione di formaparallelismo all'intera superficie, incontriamo una contraddizione. Consideriamo v»y v'u.i'a. = oj t jad esempio una sfera ed un punto P su di essa e supponiamo di trasportare il vet­tore v parallelamente (secondo la definizione data) da P a Q, poi in R, poi an­ con il che sono rese perfettamente indipendenti dall'immersione.

cora in P, come illustra la figura i3. Il vettore v restando parallelo dà origine, Vediamo ora qualche proprietà del trasporto parallelo.

tornando in P, a due vettori digerenti! Evidentemente non si ha una buona no­ i ) Il prodotto scalare di due vettori ha valore costante lungo una data curvazione di parallelismo. C. Infatti

L'idea fondamentale di Levi-Civita è quella di definire la nozione di paralle­ dlismo lungo una specifica curva della superficie. Consideriamo una curva sulla su­ — (v u) = vu+vu

dsperficie assegnando ui = u' (t), ua= us(t). Possiamo definire, come in precedenza,la nozione di parallelismo, questa volta lungo la curva. Supponiamo che P cor­ e poiché u e v sono vettori tangenti e u' e v' sono normali si ha

risponda al valore to del parametro. Se consideriamo un incremento ht del para­ dmetro e definiamo v~ (to+At) parallelo in to+At, si osserva che il vettore diRe­ — (v u)= o .

Jsrenza v~(to+b,t) — v(to) è un vettore normale alla superficie a meno di terminidel secondo ordine in At . Al l o ra v iene naturale chiedere che la derivata Naturalmente anche qui si fa uso dell'immersione, ma si può ancora ve­dv/dt = v lungo la curva sia sempre un vettore normale alla superficie. dere come se ne possa dare una dimostrazione indipendente.

La condizione di parallelismo secondo Levi-Civita è allora espressa da: Da questa proprietà segue immediatamente:V x i = o z) Il trasporto parallelo conserva le lunghezze e gli angoli.V • xs = o. 3) Nel piano ordinario il parallelismo di Levi-Civita coincide con il paral­

lelismo ordinario.Queste condizioni determinano una coppia di equazioni differenziali del pri­

mo ordine che determinano il vettore v (t) lungo ogni assegnata curva regolare. Queste tre proprietà affermano dunque che la geometria intrinseca appro­Infatti, se v (t) = v'(t)x,(t), si ha v x j = v gt j+ v i x , x j = vgt j + v o t t j= o . fondisce e generalizza la geometria ordinaria. Un altro fatto di fondamentale im­

portanza è dato dalP TEQREMA. Tutte e sole le superfici per le quali il trasporto parallelo non dipende

dalla curva lungo la quale esso viene effettuato sono le superfici per le quali % = o.

Abbiamo già osservato, trattando delle curve, come una quantità di impor­tanza fondamentale è costituita dalla curvatura. Questa può naturalmente esseredefinita anche per una curva tracciata sulla superficie, ma chiaramente non rima­ne invariante trasformando la superficie con una. isometria. Ne consegue la neces­sità di ricercare una definizione di curvatura che abbia questa caratteristica, ossiauna definizione di curvatura intrinseca.

Questa curvatura, che viene detta curvatura geodetica, può essere definitaFigura t3. nel modo seguente: si considera un campo di vettori paralleli nel senso di Levi­

Il vettore v, muovendosi parallelamente a se stesso secondo due diversi percorsi, dà Civita lungo la curva. Questo permette di definire un angolo 8 ('s) tra il vettore tan­luogo a due vettori distinti ! gente alla curva ed il vettore del campo scelto. Poiché nel piano il parallelismo

Curve e superfici 354 355 Curve e superfici

di Levi-Civita coincide con il parallelismo ordinario, questo angolo è quello la simo per P e Q è la linea geodetica che congiunge questi punti. Se noi togliamo uncui derivata definisce la curvatura. Quest'idea si estende alla situazione che stia­ punto R, come in figura, da questa linea, evidentemente non abbiamo piu unamo considerando : la curvatura geodetica è la derivata di S (s), ove S(s) è definito linea che «realizza» la minima distanza, per quanto vi siano linee che la approssi­come l'angolo tra la tangente alla curva ed il vettore del campo scelto. mano tanto quanto si vuole. Con la soppressione di R, non abbiamo piu alcuna

Con questa definizione è chiaro il carattere intrinseco della curvatura geode­ linea geodetica tra P e Q.tica. Abbiamo tuttavia un risultato che mostra come, in piccolo, le cose vanno ab­

Nel caso del piano, le linee con curvatura uguale a zero sono le linee rette. bastanza bene; si ha infatti:Questo suggerisce di considerare le linee sulla superficie caratterizzate dall'averecurvatura geodetica uguale a zero. Esse sono dette linee geodetiche. TEOREMA. Per un dato punto P di una superficie, esiste sempre unintorno tale che

Due fatti importanti sono dimostrabili per le linee geodetiche: ogni punto Qin esso può essere congiunto a P da una linea geodetica la quale realizzala minima lunghezza.

i ) I vettori tangenti ad una linea geodetica formano un campo di vettoriparalleli. Vogliamo concludere questo paragrafo accennando ai collegamenti che inter­

z) La normale principale ad una curva geodetica concide con la normale alla cedono tra la geometria di8erenziale e le geometrie non-euclidee. In un certo sen­superficie. so il punto di vista della geometria differenziale «spiega» le geometrie non­

euclidee.La proprietà r ) generalizza la proprietà che, lungo una linea retta, il vettoretangente è sempre diretto come la retta stessa. ~ a z) consente in casi particolari Osserviamo intanto che superfici isometriche necessariamente hanno la stessa

di individuare le linee geodetiche. Per esempio consente di riconoscere che i cer­ curvatura gaussiana, ma naturalmente non vale il r isultato reciproco. Non è

chi massimi sono linee geodetiche sulla sfera. detto che superfici con la stessa curvatura gaussiana siano isometriche. Questo

Nel caso del piano, ancora, le linee rette possiedono un'importante proprietà : risultato è però vero se la curvatura gaussiana è costante.

esse sono le linee di minima distanza. Dati due punti A e B la linea «piu breve» TEOREMA. Due superfici aventi lo stesso valore costante della curvatura gaus­che congiunge A e B è una linea retta. Dati due punti su una superficie le linee siana sono isometriche.geodetiche realizzano ancora questa proprietà> Questo conduce a due proble­mi distinti, prima di tutto l'esistenza di una linea geodetica che congiunge due Per ogni valore (costante) di K vi è dunque un modello di superficie.punti, e poi la unicità. Considerazioni molto semplici mostrano come non si possa Un altro fondamentale risultato per le superfici con curvatura costante chedare una risposta completamente esauriente. enunciamo in forma intuitiva è :

Abbiamo già osservato che le linee geodetiche sulla sfera sono i cerchi mas­simi. Se consideriamo due punti diametrali, allora essi sono congiunti da infiniti TEOREMA (Gauss). Su una superficie di curvatura costante unafigura può es­cerchi massimi, il che mostra che non vale in generale la unicità. sere spostata arbitrariamente senza alterare angoli e lunghezze.

Per il problema dell'esistenza, basta considerare la figura i4. Il cerchio mas­Questo sta a significare che su una superficie di curvatura costante è possibile

fare della geometria esattamente come nel piano. Ma quale tipo di geometria?Vediamo due importanti risultati.

TEoREMA. L'angolo tra la posizione iniziale e finale di un vettore trasportatoper parallelismo lungo una linea chiusa è dato dall'integrale della curvatura gaus­siana esteso alla regione delimitata dalla curva.

Se indichiamo con A questa regione, indicando con x quest'angolo, si ha laformula ot =ff>h dS, ove dS è l'elemento d'area. Da questo teorema consegueil risultato già incontrato in precedenza, il trasporto per parallelismo è indipen­dente dal percorso se e solo se %=o.

B L'altro risultato è la celebre formula di Gauss-Bonnet. Consideriamo unFigura x4. «poligono» tracciato sulla superficie, ossia una curva chiusa composta da un cer­Togliendo il punto R dalla superficie sferica, non esiste piu una linea che realizza la to numero di archi regolari, che si congiungono in «vertici » cioè punti ove cade

minima distanza. la derivabilità. Se indichiamo con C tale poligono e con A la regione interna,

Curve e superfici 356 357 Curve e superfici

si ha, con riferimento alla figura I5, indicando con ks la curvatura geodetica, Su una varietà topologica n-dimensionale V si può dare una struttura diffe­renziabile, secondo la definizione seguente :

f k dS+ k ~ ds= zht — g (ht — p,). DEFINIzIQNE. Una strut tura differenziabile è data da una collezione (U;,f;)A O tale che

Consideriamo in particolare un triangolo geodetico, formato da tre geodetiche I ) UU, = V;per le quali k = o. Allora n) per ogni áperto U; è data una applicazione topologicaf; in un aperto

f;(U,) di R";nI ) se U; e U> sono due aperti del ricoprimento e consideriamo f;, f„, UIA Uz

sarà mandato da f; in f; (Utg U>)i da fz in f>(U; g Uh,). Si richiede chel'applicazione f; of~ sia un C o meomorfismo di f„(U; A U„.) in f; (U; n

E dunque la somma degli angoli interni di un tr iangolo è maggiore uguale oA U>) (cfr. fig. I6),

minore di ht a seconda che K sia positiva nulla o negativa, cioè proprio la fonda­mentale distinzione tra geometrie euclidee e non-euclidee. La condizione ui ) potrebbe essere indebolita richiedendo semplicemente

Le geometrie euclidee e non-euclidee possono dunque essere presentate se­ che f; e f> si a un diffeomorfismo di classe C~, ma per semplicità preferiamocondo un punto di vista che consente di coglierne la unità. l ipotesi posta.

Abbiamo visto come sulle superfici di curvatura costante, in base al teorema di Possiamo ora porre la definizione seguente:Gauss, sia possibile il movimento rigido. Minding ha mostrato anche ( I83h)-yo) DEFINIzIQNE. Una varietà differenziabile è data da una varietà topologica sullacome questa proprietà sia caratteristica di queste superfici. Cioè: se è possibile quale è def hnita una struttura differenziabile.il movimento rigido la curvatura è costante.

Questa proprietà delle superfici di curvatura costante, opportunamente La pratica del calcolo con le piu semplici varietà, curve, superfici, ecc. sugge­estesa, è stata una delle motivazioni fondamentali del già citato lavoro di Rie­ risce naturalmente che diverse strutture differenziabili diano luogo alla «stessa»mann e dei lavori di Helmholtz sull'analisi del concetto di spazio. varietà. Ciò motiva la seguente definizione:

DEFINIzIQNE. Due strutture differenziabili ttU,, f;} e (V>, gI} si dicono equi­

g.5. Geometria differenziale in grande. Definizione di varietà riemanniana.valenti se la loro unione è ancora una struttura dhfferenziabile.

E un fatto notevole, dimostrato da Milnor nel ih)56, che su una stessa varietàPer trattare la geometria differenziale in grande occorrono notevoli strumenti topologica possono esservi strutture differenziabili non equivalenti. Ciò significa

di topologia. Ci limiteremo quindi ad accennare alcune cose essenziali.Occorre, innanzi tutto, la definizione di varietà topologica n-dimensionale.

Essa è la seguente:

DEFINIzIoNE. Una varietà topologica n-dimensionale è uno spazio di Hausdorffche è localmente omeomor fo ad uno spazio euclideo R".

Per semplicità supporremo anche che una varietà topologica ammetta unabase numerabile.

f; (U; A Ux) f~(Ui A Uh)i

Figura hg. Figura i6.

Il poligono tracciato è utilizzato per la dimostrazione della formula di Gauss-Bonnet. f„(U> >Us) è mappato da f> cf„ h su f>(Uhf) U„).

Curve e superfici 358 359 Curve e superfici

che la struttura topologica non «condiziona», almeno in generale, la struttura appare meglio descritto come specificazione del concetto piu generale di fibratodifferenziabile. L'aspetto topologico e l'aspetto differenziale, per quanto pro­ vettoriale.fondamente interconnessi, devono tuttavia necessariamente essere pensati come È conveniente, per dare la definizione in modo semplice, considerare primamomenti separati. il caso particolare del fibrato banale. Esso è dato nel modo seguente: Sia X uno

Si osserverà come la struttura di varietà differenziabile sia un terreno abba­ spazio topologico di Hausdorff. I l fibrato vettoriale banale n-dimensionale èstanza povero per fare della geometria. Non si può parlare di lunghezze, di an­ dato dalla terna (p, X x R", X) ove p è la proiezione dal prodotto sul primo fat­goli, ecc. Si tratterà dunque di introdurre questi concetti, il che dovrà farsi natu­ tore, ossia P(x; xi, ..., x„ ) = x.ralmente in maniera intrinseca, poiché non abbiamo a disposizione alcun con­ Per ogni punto x della «base» X, è definito uno spazio vettoriale p-' (x),cetto di immersione. dato da tutte le n + r-uple (x; x i ... X„ ) con x fissato. Le operazioni sono natu­

Tuttavia è utile dare, già a questo livello astratto, i due concetti di applica­ ralmentezione differenziabile e di fibrato tangente. ( i 1 " xn) + ( i l l > " '>Bn) ( x i x l + 3 1 '" xn+3n)

La prima definizione si pone in maniera completamente naturale. Se V e D' ~(x; x„ . . ., x„) = (x; ~x„..., ~x„).sono due varietà differenziabili con strutture (U;, f;) e (V>, g>) rispettivamente,allora una funzione continua 4 : V~ D' è detta un'applicazione differenziabile Si ha dunque una collezione di spazi vettoriali, variabile al variare di x in X.se per ogni j e k Il concetto di fibrato vettoriale può pensarsi ora come un modo di assegnare una

«variazione continua» dello spazio vettoriale indicato dagli elementi x, mante­nendo tuttavia «localmente» la stessa struttura. Formalmente un fibrato vetto­

è differenziabile di classe C . In particolare, ponendo D' = R, ove quest'ultimo riale di dimensione n è una terna (ir, E, B ) ove E, B sono spazi topologici diha la struttura differenziabile data dall'aperto totale e dalla identità, abbiamo il Hausdorff e vr : E~B è un'applicazione continua e suriettiva tale che per ogniconcetto di funzione C su V . beB ir ­ (b)=F~ è omeomorfo ad R". Si ha poi:

Ciò pone in maniera naturale il seguente punto di vista: su V pensata come i) Su ogni «fibra» F> si ha una struttura di spazio vettoriale n-dimensio­varietà topologica si può istituire il concetto di funzione a valori reali. Si ha cosi nale su R, ed inoltre le due operazioni di somma e di prodotto esternoC(V), l'algebra delle funzioni reali definite su V. La struttura differenziabile de­ sono continue nella topologia di E.termina le funzioni di C (V) che dobbiamo ritenere «differenziabili». Il concetto ii ) Per ogni bcB esiste un intorno U di b in modo tale che(ir /ir ' (U),di varietà differenziabile appare quindi come quello di una struttura ove abbia rc (U), U) sia isomorfo al fibrato vettoriale n-dimensionale banale su Usenso istituire un calcolo differenziale per le funzioni sopra definite [cfr. Chern (naturalmente occorre una definizione di isomorfismo tra fibrati, ma que­i959> P 35]. sta è totalmente implicita nella definizione).

Per definire il concetto di curva tracciata sulla varietà non vi è alcuna diffi­coltà. Su un aperto U;, la funzionef, permette di definire delle coordinate locali, Se ora consideriamo una varietà differenziabile V, per ogni punto p è defi­diciamole u'. Se ora queste coordinate locali vengono pensate come funzioni di nito lo spazio vettoriale tangente T ( V)„. Possiamo pensare che tale spazio costi­un parametro t abbiamo una curva tracciata in U;. Una curva globale della va­ tuisca la fibra di un fibrato, appunto il fibrato tangente. Occorrerà naturalmenterietà sarà data specificando per ogni U; una curva ivi tracciata e ponendo oppor­ definire una topologia sulla totalità delle fibre T (V)„. In termini intuitivi ciòtune condizioni di raccordo. Una volta definito un concetto di curva superficiale significa specificare quando due vettori tangenti vengono ritenuti «vicini». Maconsegue anche immediatamente quello di vettore tangente. Si ricordi che per una questo è molto facile: occorre intanto che siano vicini i punti di applicazione. Sesuperficie si era definito il piano tangente come il piano dei vettori tangenti a p e p' sono ora due punti di applicazione «vicini », sarà possibile scegliere le coor­tutte le curve tracciate. Ciò suggerisce di fare nel modo seguente: se p è un punto dinate in modo che due vettori tangenti in p e p' siano dati rispettivamente da :della varietà dato per t = o dai valori u (o), ..., u" (o), un vettore tangente in palla curva assegnata è dato da u (o), ..., u" (o). In tal modo si definisce, in p, lo ai — + ... +a„'spazio vettoriale tangente, uno spazio che questa volta risulta essere n-dimensio­nale. La presenza di due o piu sistemi di coordinate nello stesso punto ha perconseguenza il fatto che lo spazio tangente viene mutato in sé da una sostitu­ ul I y y r t u

zione lineare data dallo jacobiano di un sistema rispetto all'altro.Per ogni punto p della varietà V abbiamo dunque uno spazio tangente, che e si chiederà ora ulteriormente che le due n-uple (ai, ..., a„') e (a~', ..., a'„') siano

,indicheremo con T (V) . Per descrivere questa totalità e per porre in evidenza la «vicine» nell'ordinario senso euclideo.sua «continuità» è opportuno introdurre il concetto di fibrato tangente, il quale Abbiamo dunque il fibrato vettoriale tangente (vr, T(V), V) ove la ir è defi­

Curve e superfici )6o )6I Curve e superfici

nita, naturalmente, dall'assegnare ad un vettore di T (V)„ il punto di applica­ tura, ecc. Pensiamo che ormai l'idea sia sufficientemente chiara e non occorra

zione, cioè p. proseguire con gli sviluppi tecnici.

Mediante il concetto di fibrato tangente è ora possibile specificare il con­ Uogliamo illustrare con un ultimo esempio come la curvatura gaussiana, in­

cetto di «campo continuo di vettori tangenti ». Piu in generale si può dare per un trodotta originariamente facendo riferimento all'immersione, e rivelatasi poi

fibrato qualsiasi (rc, E, B) la seguente invariante per isometrie, abbia in sé anche un importante significato topologico.Per questo occorre fare cenno ad una tecnica importante per trattare le varietà

DEFINIzIoNE. Un'applicazione continua f : B~ E è detta sezione se Ir cf = I i i .topologiche, la triangolazione. Il nome fa evidentemente riferimento alle superfici,

Il concetto di sezione si rivela di grande utilità per indagare la struttura dei fibrati. e significa la possibilità di costruire una superficie mediante triangoli, opportu­

Se ( = (rr, E, B) è un dato fibrato, le sue sezioni $ (E) costituiscono in generale namente accostati ponendo i lati in contiguità. Nel caso di varietà di dimensioni

un modulo proiettivo sull'anello delle funzioni continue definite su B. Si può maggiori si tratterà di poliedri, iperpoliedri, ecc.

mostrare (con opportune ipotesi su B) che tale modulo è libero se e solo se il Per una varietà topologica di dimensione arbitraria non è ancora noto se è

fibrato è banale. sempre possibile «triangolarla», tuttavia ciò è possibile per una superficie, e ciò

Nel caso del fibrato tangente, una sezione equivale esattamente ad assegnare spiega in parte la maggiore semplicità della trattazione della teoria delle superfici.

per ogni punto p un vettore di T(V)„variabile con continuità con le specificate Nel caso delle varietà differenziabili, tuttavia, non si hanno problemi, poiché

topologie di V e di T (V). Una sezione del fibrato tangente è dunque un esplicato è stato dimostrato da Whitehead come ogni varietà diflerenziabile sia triangola­

completamente adeguato del concetto di campo continuo di vettori. bile.

Un problema importante — anche per il suo significato fisico, si può pensare In particolare per una superficie si può considerare una triangolazione effet­

ad esempio che un vettore tangente rappresenti la velocità di un fluido che scorre tuata mediante triangoli geodetici.

sulla varietà — è quello di determinare un campo continuo di vettori mai nullo, Immaginiamo comunque, in generale, di avere una superficie chiusa, ossia

Si può mostrare, ad esempio [cfr. Steenrod i95 I, p. I4I], che se si considera una triangolabile mediante un numero finito di triangoli. Ad essa è possibile asse­

sfera S», non è possibile definire una sezione mai nulla, mentre invece ciò è possi­ gnare un invariante topologico: la caratteristica di Eulero-Poincaré. Indicando

bile per la superficie torica. Quest'ultimo fatto può spiegarsi in maniera molto la superficie con S e la caratteristica di Eulero con y ($), si hasemplice (oltre che con il teorema dell'indice di Poincaré) osservando come il

y($) = F — E+ Vfibrato tangente alla superficie torica sia banale.

Lo studio del fibrato tangente, della possibilità o meno di definire sezioni mai ove F, E, U rappresentano rispettivamente il numero delle facce, dei lati e deinulle, ecc. è dunque intimamente collegato alla struttura topologica della varietà. vertici di una triangolazione arbitraria. Sottolineiamo il fatto che tale numero

Come abbiamo già osservato, su una varietà differenziabile non è possibile non dipende dalla triangolazione ed è pure invariante per deformazioni conti­parlare di lunghezze ed angoli. La considerazione di queste quantità dipende dal­ nue delle superfici. Non solo, vale anche il notevolel'assegnazione di una metrica riemanniana [sulla possibilità di assegnare una talemetrica per una varietà diff erenziabile cfr. Steenrod I95I, p. 58]. In un sistema TEQREMA. Due superfici chiuse che abbiano la stessa caratteristica di Eulero­

di coordinate locali si assegna l'elemento lineare ds»=g;> du' du~ badando na­ Poincaré, che siano entrambe orientabili oppure non orientabili, sono omeomorfe.

turalmente che questa lunghezza sia invariante per ogni sistema di coordinate (il La caratteristica di Eulero è dunque una condizione sufficiente per fissare lache ancora equivale a stabilire una sezione di un opportuno fibrato). La condi­ struttura topologica di una superficie [cfr. Aleksandrov I947, trad. it. p. I4I ].zione da porsi passando dalle coordinate u alle coordinate u, è Tornando ora al caso che c'interessa, immaginiamo di avere una superficie

òu' òu chiusa sulla quale è data una triangolazione effettuata mediante triangoli geo­ai =gimò„­ detici. Applicando la formula di Gauss-Bonnet, si ha:

òu; òu

cioè le g„.e costituiscono un tensore della varietà.La lunghezza di una curva è ora definibile con

La curvatura gaussiana dà quindi origine ad un invariante topologico!g,I.— ­ dt È molto interessante ripercorrere la strada che ha condotto a questo risultato.

I a curvatura gaussiana è stata introdotta studiando nello spazio euclideo «quan­

e si dimostra la invarianza'rispetto alle coordinate scelte. to» una superficie differisse da una sfera. S'è poi visto come questa quantità non

In modo analogo si procede poi per introdurre i concetti di angolo, di curva­ rlipendesse dalla «forma» della superficie, come fosse invariante per deforma­

Curve e superfici g6z

zioni della superficie lascianti inalterate le lunghezze delle curve tracciate. Ora,con quest'ultimo risultato abbiamo, a partire da K, un invariante non solo iso­metrico, ma addirittura topologico. Il pieno significato di tale invariante com­pare tuttavia quando esso viene presentato come classe di Chern. [M. c.].

Aleksandrov, P. S.t947 Kombinatornaj a topologija, ootz, Moskva-Leningrad (trad. it. Edizioni Scientifiche Ei­

naudi, Torino 1957).Chern, S. S.

z959 Di+erentiableltfanifcdds, Institudo de Fisicay Matemática, Universidadde Recife, Recife.

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Menger, K.x948 Se if-dual postulates in projeetive geometry, in «American Mathematical Monthly», LV.

Riemann, B.[t854] Ub er d ie Hypvthesen, welrhe der Geometrie zu Grttnde liegen..., Dieterich, Gòttingen

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Segre, C,t889 C. G. C. v. Staadt ed i suoi lavori, prefazione alla traduzione italiana di Staudt t847.

Staudt, C. G. C. vont847 Ge ometrie der Lage, Korn, Ni i rnberg (trad. it. Bocca, Torino t889).

Steenrod, N.t95t The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Presa, Princeton N.J.

Curve e superfici sono gli elementi fondamentali della geometria (cfr. geometria/topologia) e sono considerate secòndo il punto di vista proiettivo (cfr. disegno/proget­to, visione), algebrico (cfr. razionale/algebrico/trascendente, strutture matema­tiche) e difFerenziale (cfr. anche infinitesimale). Si esamina, con il ricorso o meno acoordinate (cfr. sistemi di r iferimento), ciò che rimane invariante secondo le tra­sformazioni specifiche della situazione che si considera (cfr. applicazioni), ponendo inrilievo l'opposizione dei concetti locale/globale e il ruolo della continuità (cfr. con­tinuo/discreto). I l egami profondi con la teoria delle funzioni sono mostrati dallesuperfici di Riemann, mentre il punto di vista differenziale si collega con la teoria dellarelatività. Per gli sviluppi della geometria proiettiva finita cfr. combinatoria.

6ip Geometria e topologia

Geometria e topologia La geometria algebrica moderna (cfr. )) 3 e 6) per molti aspetti notevolinasce con Riemann. Dalla teoria degli integrali abeliani, alla scoperta della su­perficie di Riemann associata ad una curva, fino alla prima definizione di equiva­lenza birazionale di due superfici di Riemann quando abbiano lo stesso corpo

i. In tr o duzione. delle funzioni razionali, Riemann pone le basi per lo studio delle proprietà geo­metriche che non siano soltanto invarianti per trasformazioni proiettive (come

<(Il metodo per non sbagliare è ricercato da tutti. I logici pretendono di con­ nella geometria precedente) ma anche per tipi di trasformazioni piu generali.durvi, ma solo i geometri vi arrivano, e, al di fuori della loro scienza e di ciò che In nuce vi si trova già quello che diventerà uno dei problemi dominanti dellala imita, non vi sono vere dimostrazioni». La geometria cui si riferisce questa geometria algebrica (e piu in generale di quasi tutta la geometria ) : la classifica­affermazione di Pascal [t656, ed. iq63 p. 3g8] è quella della grande tradizione zione. Questa problematica si farà piu chiara dopo il programma di Erlangengreca di Pitagora, Euclide ed Archimede. Pur senza ripercorrere le tappe dello di Klein () z.3). Lo sviluppo della geometria algebrica (cfr. ) 6) sarà caratte­sviluppo e della fortuna della geometria greca, è però importante metterne in rizzato dall'opposizione intuizione/rigore: la grande scuola italiana (Cremona,evidenza i due aspetti sempre presenti fin dai tempi piu antichi: teoretico e tec­ Bertini, Corrado Segre, Fano, Castelnuovo, Enriques, Severi...) ha una conce­nico-pratico. Il primo è legato sia alla teoria dei numeri (Pitagora) sia alle esi­ zione del rigore completamente diversa da quella degli «algebrizzatori» (Hil­genze di rigore presenti tanto nella costruzione logico-deduttiva di Euclide (i bert, Zariski, Weil, Serre, Grothendieck...)cui Elementi per venti secoli hanno costituito il modello insuperabile), quanto Lo studio delle traiettorie percorse dai punti materiali in movimento e ilnell'opera di Archimede in cui esse si uniscono ad una grande intuizione per problema della rappresentazione cartografica della superficie terrestre possonoottenere profondi risultati (che verranno veramente compresi quasi duemila essere affrontati in modo rigoroso solo con lo sviluppo del calcolo infinitesima­anni piu tardi con l'introduzione del calcolo infinitesimale). L'aspetto tecnico­ le ; sono le proprietà locali delle curve e superfici a costituire l'oggetto principalepratico è sottolineato dall'uso della geometria per la costruzione di modelli qua­ di studio della geometria differenziale (cfr. ( 5) fino alla metà del secolo xixlitativi (nel sistema astronomico tolemaico per esempio) e dall'interesse appli­ quando Riemann introduce le varietà in generale, che non sono sottoinsiemicativo essenziale in Archimede, coltivato dalla scuola alessandrina di Ctesibio dello spazio euclideo, e forniscono modelli per la geometria non-euclidea (cfr.e di Erone e sempre presente nella società romana. Basti ricordare a questo ) z.z). In Riemann peraltro gli aspetti differenziale, algebrico e topologico sonoproposito che i mensores, ai quali erano affidati compiti sia civili sia militari strettamente connessi : i possibili prolungamenti analitici di una serie di potenze(calcolo delle imposte agrarie, misurazione dei beni demaniali, costruzione degli convergente si congiungono l'uno con l'altro per formare una funzione a un soloaccampamenti, divisione delle colonie, ecc.), ricoprirono cariche importanti valore definita sulla superficie di Riemann che esprime pertanto la natura glo­nella burocrazia imperiale; il piu famoso, Sesto Giulio Frontino, fu anche detto bale del processo locale di prolungamento analitico. Un altro impulso fondamen­«geometricae artis inspector providissimus». Per i mensores furono istituite in tale allo sviluppo della geometria differenziale e piu in generale della topologiatutto l'impero numerose scuole, e nei testi da loro usati furono introdotti lunghi (cfr. ) 4) viene da Poincaré che affronta in modo completamente originale il pro­estratti geometrici, tanto che geometria ed agrimensura rimasero unite in tutta blema della stabilità del sistema solare esaminando il comportamento globalela tradizione manoscritta medievale, e traccia di tale unione si trova ancora nel delle traiettorie di un sistema dinamico (cfr. ) p).doppio significato di geometra in italiano (e di géomètre in francese). Proprio per dare delle basi matematiche solide alle intuizioni di Riemann,

Senza dubbio le applicazioni alla meccanica furono alla base dello sviluppo Poincaré introduce, in una serie di ricerche sull'analysis situs, alcuni degli stru­della geometria degli indivisibili di Galileo e soprattutto di Bonaventura Ca­ menti fondamentali della topologia algebrica e della topologia differenziale.valieri — che reinventa il metodo di Archimede per la misura delle aree — e di «Tali discipline si sono dapprima sviluppate abbastanza lentamente, e solo aTorricelli, molte delle cui ricerche rimasero purtroppo inedite. Proprio tali pro­ partire dal ig3o esse hanno avuto un grande slancio, moltiplicando, diversifi­blematiche e l'introduzione della geometria analitica di Descartes inaugurarono cando, raffinando i propri metodi ed invadendo progressivamente tutte le altreun periodo fecondissimo per la ricerca matematica alla quale rimase però so­ parti della matematica, senza che si possa ancora distinguere il ben che minimostanzialmente estranea la geometria euclidea che, forse per la perfezione nell'or­ rallentamento in questa marcia conquistatrice» [Dieudonné irlpp, p. i ]. Anchedinamento logico-deduttivo, fini per essere una scienza eminentemente statica, in quest'ambito uno dei problemi fondamentali è quello di classificare gli spazisenza crisi ma anche senza sviluppi veramente innovatori, fino alla metà del se­ topologici associando ad essi opportuni invarianti (che possono essere numeri,colo scorso quando la crisi dei fondamenti e l'introduzione delle geometrie non­ gruppi, anelli, ecc.) in modo che due spazi siano omeomorfi solo se hanno glieuclidee (cfr. $ z) aprirono nuovi orizzonti alle ricerche geometriche. stessi invarianti: tale classificazione pare però attualmente irraggiungibile tran­

Molto schematicamente si possono individuare due linee nello sviluppo della ne che in pochi casi particolarmente fortunati.geometria dopo la crisi dei fondamenti: algebrica e differenziale-topologica. In realtà le due linee dello sviluppo della geometria precedentemente deli­

Geometria e topologia 6?8 6?9 Geometria e topologia

neate sono assai intrecciate, poiché ad esempio gli strumenti topologici sono es­ metria, per cui si rinvia all'articolo «Disegno/progetto» di questa stessa Enci­senziali nello sviluppo della geometria algebrica moderna (cfr. ) 6.z) e gli stru­ clopedia, si puo dire che è la geometria proiettiva che fornisce il fondamentomenti algebrici sono essenziali in tutta la matematica, cosicché ogni divisione teorico ai vari metodi di rappresentazione della geometria descrittiva.rigida fra i due aspetti della geometria sarebbe completamente erronea. Se una Si deve inoltre tenere presente che, molto prima dell'avvento della geometriadivisione si vuole tentare, questa potrebbe eventualmente effettuarsi ricercando descrittiva, nella prima metà del Seicento, per opera soprattutto di Descartes el'origine delle diverse problematiche; in questo senso si può dire che, dopo lo di Fermat, ha inizio la geometria analitica: la geometria non è piu soltanto lascossone di Riemann, la problematica della geometria algebrica ha piuttosto scienza delle figure con le loro proprietà, in cui i numeri intervengono sempli­origini interne alla disciplina stessa o a qualche altro ramo della matematica cemente come misure di grandezze, ma gli stessi oggetti di cui si occupa la geo­(ad esempio la teoria dei numeri ). Diversa è la situazione per la geometria dif­ metria sono rappresentabili mediante numeri ed equazioni e le proprietà delleferenziale che con Poincaré (ma in realtà già in precedenza con la Mécanique figure, le loro posizioni, si leggono con procedimenti di calcolo.Analytique (?8??) di Lagrange) e successivamente con Elie Cartan (Lefons sur La possibilità che ne consegue di utilizzare i metodi dell'algebra e dell'ana­les invariantsintégraux, ?9zz) risulta essere l'ambiente naturale in cui si situano lisi è a fondamento del rapido ed imponente sviluppo della geometria alge­i fondamenti della meccanica analitica. La geometria differenziale è quindi di­ brica e della geometria differenziale: tale sviluppo avrà come sbocco finale laventata uno strumento fondamentale nello studio dei sistemi dinamici che crisi del modello della geometria euclidea verso la metà dell'Ottocento e quindihanno a loro volta stimolato lo sviluppo di sempre nuove problematiche con un un modo diverso di concepire la geometria stessa, che è alla base della geometriarapporto teoria/applicazioni assai fecondo (si pensi ad esempio alla stabilità moderna.strutturale ed alla teoria delle catastrofi ). Mentre dopo Riemann prevale l'aspetto analitico della geometria rispetto

La complessità e l'attualità degli argomenti che saranno affrontati, pur cer­ a quello grafico ed intuitivo, c'è un momento in cui i due aspetti sembrano bi­cando una mediazione fra esposizione analitica ultraspecialistica e generico ri­ lanciarsi. È il periodo caratterizzato dallo sviluppo della geometria proiettiva,chiamo sintetico, richiede strumenti delicati; per tale motivo le tematiche ge­ in cui operano, seguendo l'indirizzo iniziato da Monge, Brianchon e Poncelet,nerali svolte nei precedenti articoli di carattere matematico di questa Enciclo­ che pubblica per primo nel ?822 un trattato di geometria proiettiva, e quindipedia costituiranno un costante termine di r i ferimento. Mobius e Plucker, che ne studiano soprattutto le questioni analitiche, mentre

Va infine sottolineato come la grande varietà e ricchezza della geometria e Staudt sviluppa gli aspetti sintetici introducendo per via grafica anche le coor­della topologia abbiano reso necessaria una scelta che ha sacrificato problemati­ dinate proiettive e contribuendo «a schiarire le idee sul ruolo sostenuto dagliche classiche e ricerche moderne il cui elenco sarebbe lungo quasi quanto "scalari" reali o complessi nella geometria classica e ad introdurre in tal modoquesto stesso articolo. la concezione delle geometrie su un arbitrario corpo di base» [Bourbaki ?96o,

trad. it. p. ?gg].Gli aspetti analitico e sintetico fanno della geometria proiettiva un modello

z. Dal l a geometria non-euclidea al programma di Erlangen. di teoria difficilmente superabile per semplicità ed eleganza; essa continueràper molto tempo ad influenzare non solo la ricerca ma anche l'insegnamento del­

z.?. Il metodo delle coordinate e la geometria proiettiva. la geometria nelle università, soprattutto italiane, sia perché costituisce il primoapproccio birazionale alla geometria algebrica, sia anche come base della geo­

Fino alla metà del Seicento i progressi della geometria, rispetto agli Elementi metria descrittiva.di Euclide, sono piuttosto scarsi: il settore in cui si è avuta una certa evoluzioneè quello applicativo, per merito dei grandi artisti del Rinascimento. Le regole Ampliamento improprio. Le operazioni fondamentali nei metodi di rappre­da essi ottenute mediante acute meditazioni su fatti geometrici hanno portato sentazione sono le operazioni di proiezione e sezione. Nel piano, proiettare unalla conoscenza sistematica della rappresentazione delle figure solide e con­ punto P da un punto A vuoi dire costruire la retta AP, sezionare una retta pcorso alla fioritura di uno dei periodi piu fecondi per l 'arte. con una retta a vuoi dire costruire il loro punto d'intersezione; una situazione

Sarà tuttavia molto piu tardi, attraverso l'opera di Monge, Géométrie descrip­ piu ricca si ha nello spazio in cui gli. elementi che si possono proiettare o sezio­tive (? 79g), che verrà codificato in una teoria scientifica tutto quel complesso di nare sono punti, rette, piani.regole, indispensabili anche oggi sia per la tecnica sia per l'insegnamento della Mentre le operazioni di proiezione sono sempre ben definite, non altrettan­geometria elementare, e che permettono di rappresentare con disegni le f igur to lo sono quelle di sezione, ad esempio nel caso di due rette parallele; è ladello spazio e, viceversa, di ricostruire dai disegni le proprietà fondamentali del­ stessa situazione in cui ci si trova talvolta in aritmetica ove, dopo aver definitole figure stesse. un'operazione, si scopre l'impossibilità di definire l'operazione inversa a me­

Pur senza riproporre questo aspetto importante dell'applicazione della geo­ no che non si amplii l ' insieme numerico su cui si opera: lo stesso criterio vie­

Geometria e topologia 6zo 6zr Geometria e topologia

//

- - 8 P(»y) / - - —­ -- — — -+ P(» y, z)I

I II IO I

S O U P(x) I / yI

Pa I'

Figura z.

Figura 1. Sistemi di r i fer imento e coordin;Ite cartesiane dei punti della retta, del piano e dello

Corrispondenza biunivoca tra fascio di rette e retta ampliata. Invarianza del bi rap­ spazio.

porto per proiezione e sezione.

coordinate omogenee del punto P, mentre x prende il nome di coordinata non

ne utilizzato nella geometria mediante l'introduzione degli elementi impropri. omogenea.

Si consideri nel piano la corrispondenza tra i punti di una retta a e le rette Quando P si allontana inde6nitamente da O in uno dei due versi della retta,del fascio avente come centro il punto A non appartenente ad a che associa ad l'ascissa x tende a + ~ ; è ragionevole pertanto assumere come coordinate omo­

ogni punto P di a la retta AP (6g. 1) ; si vede che questa corrispondenza è solo genee del punto all'infinito della retta una coppia del tipo (o, x,) con xr+o.generalmente biunivoca, non essendo definito il punto corrispondente alla retta Fissato quindi un riferimento cartesiano, i punti della retta ampliata corrispon­l per A parallela ad a. La corrispondenza si puè> tuttavia rendere biunivoca in dono biunivocamente alle coppie di numeri reali (xp, x,) definite a meno di unmodo naturale aggiungendo ai punti di a (detti anche punti propri ) un punto fattore di proporzionalità non nullo e con esclusione della coppia (o, o).improprio o all'in6nito P ch e rappresenta la direzione comune di I ed a e si È importante osservare che si presenta la stessa situazione quando si consi­

considera come corrispondente di l . dera un fascio di rette, o di piani, o di circonferenze, ecc. ; cosi, se sul piano si

Pertanto ogni retta possiede un punto improprio comune alle sue parallele; considera il fascio individuato dalle due rette di equazioni ax+by+c = o ,

l'insieme r dei punti impropri del piano si chiama retta impropria sia perché a x+ b y + c' = o, ogni retta del fascio si scrive h(ax+ by + c) + lt (a x+ b y + c)= oè intersecato da ogni retta in un solo elemento, sia perché r è l ' e lemento co­ e si ha una corrispondenza biunivoca tra le rette del fascio e le coppie non nulle

mune al piano e ad ogni altro piano parallelo ; analogamente la totalità dei punti di numeri reali (), p,) definite a meno di un fattore di proporzionalità.impropri dello spazio prende il nome di piano improprio. In maniera analoga si possono introdurre le coordinate omogenee per i pun­

Col termine 'retta' o 'piano' o 'spazio ampliato' s'intende l'insieme degli ti di un piano, associando ad un punto P di coordinate cartesiane (x, y) la ternaelementi propri ed impropri di tali enti e per essi si possono enunciare in forma di numeri reali (xp, x„x2 ) per cui:generale le varie proprietà di proiezione e sezione: cosi due punti del piano in­dividuano una retta, due rette del piano individuano un punto. 1

x = ­

Xp

Rappresentazione analitica. I p u n t i propri di una retta, di un piano, dellospazio, una volta che si sia 6ssato un sistema di riferimento cartesiano, si rappre­ 2

sentano rispettivamente con un numero reale (x), una coppia di numeri realiXp

(x, y), una terna (x, y, z) (fig. z) ; si ottengono cosi la retta affine A'(R), il piano (x„, x„x 2) sono le coordinate omogenee del punto P e sono de6nite a meno diaffine A2 (R) e lo spazio affine As (R). >rn fattore di proporzionalità non nullo.

Il primo problema che si pone, una volta eseguito l'ampliamento, è quell<> Se si considera la retta del piano passante per il punto Pp di coordinate nondi dare una rappresentazione che permetta d'individuare con numeri sia gli ele­ I>rnogenee (a, b) e parallela al vettore di componenti 1, m, il punto generico Pmenti propri sia quelli impropri. Ili tale retta ha coordinate non omogenee: x =a +lt, y = b+mt (t parametro)Nel caso della retta, al punto P di ascissa x nel riferimento cartesiano aventc quindi coordinate omogenee (x„, x„xz) tali cheorigine O e Punto unità U, si associa la coPPia di numeri reali (xp, xr) con xp+ oin modo che X =X, /xp' è chiaro che ad ogni Punto P si Possono associare Pir>coppie di numeri, fra loro in proporzione; ognuna di tali coppie costituisce lc

x : x , : xa= r : (a+ It) : (b+ mt) = — :( — + l) : ( — +rn'l ;) ( t

Geometria e topologia 6zz 6zg Geometria e topologia

quando il punto P si allontana indefinitamente sulla retta (cioè t~+ ~ ) l e sue La retta ampliata, i fasci di rette, di piani, ecc. sono tutti modelli di retta pro­iettiva reale.coordinate omogenee tendono ai numeri (o, l„m) con cui si rappresenterà il

punto improprio della retta.Agli elementi P, Q, R, S di una retta proiettiva corrispondono, in un fis­

Se una retta del piano è rappresentata in coordinate non omogenee dall'e­ sato riferimento, quattro elementi x, y, x, t della retta reale ampliata col sim­

q uazione cartesiana u1x+u,y+ u p = o, essa si scrive anche, mediante la sostitu­ bolo ~. Si definisce come birapporto di x, y, z, t i l numero

zione (1), nella forma omogenea upxp+u1x1+upx2= o e (up, u„u2 ) sono le coor­dinate omogenee della retta; per u, = u2=o si ot t iene la retta impropria del (4) ( y t ) =

(x — t)(y — ~) 'piano.

Si noti che l'equazione omogenea della retta è simmetrica rispetto alle coor­ che è invariante rispetto ai cambiamenti di coordinate proiettive e quindi hadinate di punto e di retta: in questo sta la giustificazione del principio di dua­ senso definire il birapporto dei quattro elementi P, Q, R, S come: (PQRS) =

lità del piano ampliato, per cui, se è vera una certa proprietà J r iguardante = (xyzt).punti e rette, è vera anche la proprietà J ' che si ottiene da J scambiando la Va sottolineato che le equazioni (z) (ovvero la (g)), una volta che si siaparola 'punto' con la parola 'retta'. fissato un sistema di riferimento sulla retta proiettiva X, stabiliscono una cor­

Cosi una conica può considerarsi come luogo dei suoi punti oppure come rispondenza biunivoca tra i punti di X, in cui si associano punti di coordinateinviluppo delle sue tangenti ed è in ogni caso rappresentata da un'equazione (xp x1) e (xp, x1) (ovvero x e x' ) ; queste corrispondenze sono dette trasforma­omogenea di secondo grado nelle coordinate di punto o di retta. zioni proiettive e formano un gruppo rispetto alla composizione: il birapporto

Come per il piano, anche i punti dello spazio ampliato si possono rappre­ è un primo esempio d'invariante rispetto a un gruppo di trasformazioni.sentare in coordinate omogenee costituite in questo caso da quaterne di numeri Le stesse equazioni si possono interpretare anche come quelle di una corri­reali (xp x1 x2 xs) definite a meno di un fattore di proporzionalità non nullo; spondenza, detta proiettività, tra punti di due rette proiettive X, X' , tali chei punti impropri sono caratterizzati da xp = o. in ognuna di esse si sia fissato un riferimento proiettivo; il birapporto di quat­

La retta, il piano e lo spazio ampliato costituiscono rispettivamente un mo­ tro elementi è invariante per proiettività e quindi per operazioni di proiezionedello di retta proiettiva reale P' (R), di piano proiettivo reale P2(R), di spazio e sezione; con riferimento alla figura 1. si ha: (PQRS) = (pqrs).proiettivo reale Pp(R). I concetti di piano e di spazio proiettivo si possono introdurre in maniera

analoga.Spazi proiettivi. In g e nerale si chiama retta proiettiva reale un insieme Un piano proiettivo reale è un insieme X i cui elementi si possono porre in

X che si può porre in corrispondenza biunivoca con la totalità delle coppie di corrispondenza biunivoca con le terne di numeri reali (xp, x„x2) definite anumeri reali (xp, x,) definite a meno di un fattore di proporzionalità non nul­ meno di un fattore non nullo mediante un riferimento proiettivo che è costituitolo; una tale corrispondenza è individuata dalla scelta di tre elementi distinti di da quattro elementi di X a tre a tre non allineati, cioè che non verifichino unaX che costituiscono un riferimento proiettivo. La relazione tra le coppie (xp, stessa equazione lineare nelle incognite xp, x„x, ; un cambiamento di r i feri­

x,), (xp, x1) associate ad uno stesso elemento di X da due riferimenti proiet­ mento induce un cambiamento tra le coordinate di uno stesso punto, dato dativi è rappresentata da xp=a~ + a,x1+a , x

x„' = ax,+bx, I

(z) 1 10 0+ 11X1+ 12 2

xr = Cxp+ dx1 x, = a2pxp+ a21x, + a22x2t

ove a, b, c, d sono numeri reali definiti a meno di un fattore di proporzionalità con i coefficienti a;t definiti a meno di un fattore di proporzionalità non nulloe tali che sia non nullo il determinante « tali che det (a;t)po.

a b Formule equivalenti si possono ottenere utilizzando coordinate non omo­= ad — bc.

C genee x = x1/xp y = x2/xp, x' = x1/xp y x2/xp Una trasformazione proiettivaè una corrispondenza tra punti di un piano proiettivo rappresentata da equa­

Se invece delle coordinate omogenee (xp, x,) si usa l'ascissa proiettiva non omo­ zioni del tipo (g).genea x = x,/xp, convenendo di associare il simbolo alla coppia (o, x,), al Il piano ampliato, la totalità delle rette o dei piani dello spazio passantiposto delle (z), si ha pcr uno stesso punto sono modelli di piano proiettivo.

Si può definire infine analiticamente uno spazio proiettivo reale di dimen­(3) sione n qualsiasi, P"(R), come l'insieme delle (n+ 1)-pie di numeri reali defi­

Geometria e topologia 6zy 6zg Geometria e topologia

nite a meno di un fattore di proporzionalità non nullo; o anche, un punto di gorosa di una serie di proposizioni indipendenti dal postulato delle parallele,P"(R) è una retta di R"+' privata dell'origine. il Saccheri, convinto dell 'unicità della geometria euclidea, dimostra erronc; i­

Se si considera la sfera di raggio unitario S~ di R"+', ad ogni elemento di mente che sono assurde le altre due ipotesi, mentre invece l'ipotesi dell'angolo

P"(R) corrispondono due punti diametralmente opposti di S" ; detti equiva­ acuto non presenta alcuna contraddizione e risulterebbe coerente anche l'ipo­

lenti due tali punti, P" (R) si può considerare come lo spazio quoziente di S tesi dell'angolo ottuso qualora si rinunziasse anche al secondo postulato di Eu­

rispetto a questa relazione d'equivalenza; come conseguenza, poiché S" è com­ clide, relativo all'infinità della retta.

patta, anche P" (R) è compatto (cfr. ) g.t ). Bisogna tuttavia attendere il secolo successivo con le opere di Gauss, Lo­bacevskij e Giovanni Bolyai per vedere la costruzione di geometrie diverse da

Ampliamento complesso. Ragioni analoghe a quelle che inducono a prolun­ quella di Euclide.gare il campo dei numeri reali al campo dei numeri complessi sono alla base Si tratta certamente di una rivoluzione nell'ambito della scienza, i cui effettidell'ampliamento complesso della retta, del piano, dello spazio e in generale sembra fossero motivo di preoccupazione persino per Gauss che in una lettera

di A"(R); tale ampliamento si ottiene considerando, oltre ai punti rappresen­ a Bessel del r8zrl dichiarava di temere «gli strilli dei beoti» se avesse manife­

tati da coordinate reali, anche i punti con coordinate complesse, che si dicono stato completamente le sue idee al riguardo.

punti complessi, il cui insieme si indica con A"(C). Ma, quando entra in crisi il vecchio modello assiomatico-deduttivo, si assi­Se si fa sia l'ampliamento improprio sia l'ampliamento complesso ad esem­ ste a uno sviluppo enorme della geometria verso ogni direzione con l'apparizione

pio del piano, si ottiene il piano proiettivo complesso P~(C) costituito dalla to­ di problemi e di argomenti di ricerca che ancor oggi mantengono la loro validità.

talità delle terne non nulle di numeri complessi (sp zi zs) definite a meno di un La geometria diventa una scienza ipotetico-deduttiva, cioè una scienza che

fattore di proporzionalità complesso ; se è possibile scegliere tale fattore in mo­ pone di volta in volta i suoi principi, preoccupandosi della loro coerenza, e si

do da ottenere una terna reale, il punto corrispondente si dice reale e si ha un in­ sviluppa in base ad essi.clusione naturale di Ps (R) in P~(C). Tutto ciò comporta da una parte un problema di classificazione delle geo­

metrie che in tal modo si possono costruire e che trova una risposta nel program­

z.z. Le geometrie non-euclidee.ma di Erlangen (cfr. ) z.3); dall'altra parte i nuovi principi permettono allageometria di essere utilizzata sempre piu nei suoi metodi e nei suoi risultati an­

Gli Elementi di Euclide hanno trovato commentatori e critici fino dall'anti­ che in situazioni diverse da quelle dello spazio ordinario, come per gli spazi a

chità : in particolare il quinto postulato di Euclide, o «postulato delle parallele», piu dimensioni o per lo studio di vari problemi dell'algebra e dell'analisi.che riguarda l'esistenza e l'unicità della retta passante per un punto e parallela Anche la teoria della relatività di Einstein trova uno dei suoi fondamenti

a una retta assegnata, aveva suscitato molte perplessità. Ad Euclide stesso dove­ nella geometria non-euclidea.

va essere sembrato meno evidente degli altri postulati, poiché nella sua costru­zione cerca di utilizzarlo il piu tardi possibile. I modelli di geometrie non-euclidee. La geometria proiettiva costituisce un

Tuttavia, fino all ' inizio dell 'Ottocento, nessuno pensava a una geometria primo esempio di geometria non-euclidea in quanto in essa perde di significatoin cui non valesse il postulato delle parallele; ma la tendenza dei critici era la nozione di parallelismo : tuttavia è una geometria piuttosto lontana da quella

quella o di sopprimerlo come tale e di farlo dipendere dagli altri postulati o di di Euclide e storicamente hanno avuto maggior risalto altri modelli, ottenuti

sostituirlo con affermazioni che si ritenevano piu semplici e piu evidenti. con procedimenti diversi, che rappresentano altrettanti punti di vista da cui si

È emblematica in questo senso l'opera di Gerolamo Saccheri del rpgg dal può pervenire a tali geometrie.

titolo Euclides ab omni naevo t~indicatus. Considerato un quadrangolo piano Le prime costruzioni riguardano la geometria iperbolica e sono di tipo ele­

ABCD con A, B angoli retti e AD = BC, prescindendo dal postulato delle pa­ mentare, analoghe a quelle degli Elementi di Euclide, con le dovute modifiche;

rallele si ha che C = D ed il Saccheri distingue quindi tre casi, considerati al­ in questo ambito è notevole la costruzione di Lobacevskij che introduce fral'inizio tutti possibili, che prendono il nome di ipotesi dell'angolo retto, dell'an­ l'altro un t ipo di t r igonometria iperbolica, analoga alla trigonometria sferica,

golo acuto e dell'angolo ottuso a seconda che siano tali gli angoli uguali C, D. ma per una sfera di raggio immaginario. Altre importanti costruzioni sonoIn corrispondenza alle tre ipotesi viene dimostrato che la somma degli an­ quelle di tipo metrico-proiettivo, dovute a Cayley e Klein, e quelle di tipo dif­

goli di un triangolo è rispettivamente uguale, minore o maggiore di due retti; ferenziale originate dalla memoria di Riemann del x854 — che segna l'iniziocosi i casi ipotizzati dal Saccheri corrispondono a quelle che oggi si dicono, nel­ anche della geometria ellittica — e sviluppate da Beltrami.

l'ordine, la geometria euclidea, la geometria iperbolica e la geometria ellittica Per avere un'idea del modello metrico-proiettivo, si consideri una circonfe­

del piano, secondo la denominazione ad esse attribuita da Klein. renza l' del piano; si dirà piano iperbolico l'insieme costituito dai punti interni

Dopo un lavoro notevole, che costituisce il primo esempio di costruzione ri­ a V, punti propri, e dai punti di I", punti impropri, mentre le rette del piano

22

Goometxia e topologia 6z6 6zp Geometria e topologia

B V x

l'igura s.

Modello di piano iperbolico: le rette PU, PV sono parallele alla retta AB; i p un t i Figura g.

t t, V hanno distanza infinita da A, B . Modelli di superfici di rotazione con curvatura negativa ; i meridiani sono geodetiche.

si>no le corde della circonferenza. Come distanza proiettiva dei punti A, B s i delle rette è ricoperto dalle geodetiche della superficie (per la sfera sono i cer­ci>nsidera il numero (AB) = clog(ABUV), ove c è una costante reale, U, V chi massimi) e questo fatto è in accordo con la relazione, dovuta a Gauss:lc intersezioni della retta AB con 1". Cosi, se l' è la c irconferenza di centrol 'origine e raggio r e A, B sono due punti sull'asse x, i punti A, B, U , Vlianno ascisse a, b, — r, r e dall'espressione del birapporto (4) si ottiene:

(+ )(b- ) dove ABC è un «triangolo» della superficie M avente per lati tre segmenti geo­(a — i) (b+ i) detici (cfr. anche l'articolo «Curve e superfici» di questa stessa Enciclopedia,

Se si tiene fisso A e si fa tendere B a V (b~ i), ovvero si tiene fisso B e si fatendere A a U (a~ — r), risulta in ogni caso che lim (AB) = ~, c ioè su ogni

retta AB i punti U, V sono a distanza infinita da ogni altro punto della retta z.g. Il programma di Erlangen.medesima.

Si può definire in maniera analoga l'angolo fra rette; le rette che uniscono I.a distinzione tra geometria elementare e geometria proiettiva era già pre­

il punto P (fig. 3) con i punti U, V sono da considerarsi parallele ad AB; si sente nella prima metà delPOttocento e costituiva un esempio di classificazione

ottiene cosi un modello di geometria iperbolica: si perviene allo stesso risultato delle geometrie; .Cayley, in una memoria del r8gtl, dà una prima definizione

prendendo una qualsiasi conica non degenere l' a punt i reali, che prende il esplicita di una metrica di t ipo proiettivo e osserva che «la geometria metrica

nome di assoluto. appare cosi come una parte della geometria proiettiva e la geometria proiettiva

Se invece di una conica a punti reali si considera una conica assoluto l' è tutta la geometria» [ t8gtl, ed. r889 p. 5tlz].non degenere a punti complessi si ottiene, con considerazioni analoghe, un Nel frattempo si erano venute lentamente affermando le geometrie non-eu­

modello di piano ellittico i cui punti sono tutti i punt i del piano proiettivo. clidee e la necessità di stabilire un confronto con le altre geometrie si poneva in

I modelli di tipo differenziale di geometrie non-euclidee del piano sono for­ modo netto; se a tutto questo si aggiunge l'influenza su Klein di Sophus Lie,

niti dalle superfici a curvatura gaussiana (cfr. ) g. i) costante, che è l'unico ti­ la cui opera era tutta orientata verso i gruppi di trasformazioni, si ha un qua­

po di superficie dotato di un gruppo suff icientemente grande di isometrie, cioè dro sufficientemente chiaro per comprendere la situazione in cui Klein scrive la

di trasformazioni, analoghe ai movimenti del piano, che sovrappongono la su­ sua memoria Vergleichende Betrachtungen tlber neuere geontetrische Forschungen

perficie a se stessa, mantenendo inalterate le lunghezze di curve corrispondenti. [i8pz], piu nota come programma di Erlangen.Se una superficie M ha curvatura gaussiana K costante, essa si puo identifi­ L'elemento essenziale del pensiero di Klein consiste nella presentazione

care localmente col piano se K = o, con la sfera di raggio r /gK se K ) o, della geometria come una coppia costituita da un insieme di elementi, lo spazio

mentre„se K( o , l a superficie M si può identificare localmente con una delle S, e da un gruppo di trasformazioni G di S; le proprietà geometriche dei sot­

superfici di rotazione della figura g, dette pseudosfere. toinsicnii di 8 sono le proprietà invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni

Le superfici a curvatura costante forniscono un modello di geometria ellit­ considerato.

t ica, euclidea o iperbolica piana a seconda che Koo, K = o o K( o ; i l r uo lo Questa semplice idea porta in maniera naturale all'esistenza di diversi tipi

Geometria e topologia 6z8 6zrl Geometria e topologia

di geometrie e stabilisce una gerarchia fra essi. Resta inoltre chiarito il significa­ clici ed è quindi una proprietà metrica, fatto già noto a Poncelet che scriveva:to di proprietà di una figura: le proprietà della geometria elementare sono quelle «Circonferenze poste arbitrariamente nel piano non sono del tutto indipendenti,invarianti rispetto al gruppo delle similitudini, che Klein indica come il «gruppo come si potrebbe credere, ma hanno idealmente due punti immaginari comuniprincipale»; proprietà proiettive di una figura sono quelle invarianti rispetto all'infinito» [i8zz, ed. t865 p. y8 ].alle trasformazioni proiettive e cosi di seguito; inoltre, passando da un gruppo Infine, si è visto al ) z.z che i modelli metrico-proiettivi delle geometriedi trasformazioni G a uno piu grande G' che lo contiene, vi sono proprietà che non-euclidee del piano sono caratterizzati da una conica assoluto I" che è asi mantengono e altre che perdono significato. punti reali per la geometria iperbolica e a punti complessi per quella ellittica;

pertanto I' può essere rappresentata con un'equazione del tipo x~+ p (xi + xs) = oEsempi. Il g ruppo delle trasformazioni proiettive del piano, per le (5), è con p(o nel primo caso, p)o nel secondo.

un gruppo ad otto parametri, essendo i coefficienti a,, definiti a meno di un I gruppi di trasformazioni delle geometrie non-euclidee relative a questi mo­fattore di proporzionalità non nullo. Proprietà proiettive di elementi del piano delli sono i gruppi a tre parametri di trasformazioni proiettive del piano chesono le proprietà invarianti per queste trasformazioni : sono tali ad esempio il bi­ mutano I' in se stessa.rapporto di quattro elementi di una retta, il concetto di ordine di una curva al­ Mediante la dualità del piano, si può associare a l' una conica inviluppo,gebrica, che si esaminerà piu avanti, il concetto di conica non degenere. Dal costituita dalle rette upÃp+l lyx i + 1 lox, = o tangenti a I' , e che è rappresentatapunto di vista proiettivo due rette distinte hanno un punto in comune e quindi dall'equazione pu~+u,+u~ = o; per p = o, tale inviluppo degenera nei puntila nozione di parallelismo tra rette non è di t ipo proiettivo; in questo ambito ciclici — cioè nei fasci di rette per tali punti — che caratterizzano la geometriainoltre tutte le coniche non degeneri sono equivalenti, cioè trasformabili l'una euclidea. Si può pertanto dire che la geometria non-euclidea «diventa» la geo­nell'altra per trasformazione proiettiva, e non vi è alcuna distinzione tra quelle metria euclidea quando l'assoluto l' degenera come inviluppo nei punti cicliciche si chiamano ellisse, parabola, iperbole. del piano; il gruppo associato diventa in questo caso un gruppo a quattro pa­

Se si considera il sottogruppo delle trasformazioni proiettive che muta in se rametri.stessa una retta, si ottiene il gruppo affine del piano; supposto che la retta fissaabbia l'equazione x~= o, introducendo le coordinate non omogenee x = x,/x ii, Importanza dell'opera di Klein. Ne l l ' introduzione della sua memoria Kleiny =x, / x„ x ' = x,'/x,', y' = x,'/x.„', le trasformazioni lineari affini del piano sono con molta modestia dichiara: «Noi non veniamo certo a sviluppare alcuna idearappresentate da essenzialmente nuova, ma solo delineiamo con chiarezza e precisione ciò che

X = Qi + o i i x + Q gy Clii Oif fu già pensato da taluno con piu o meno esattezza. Ma il pubblicare siffatte

con +o= Q +opix+Q gy considerazioni comprensive appariva tanto piu giustificato, in quanto che la

geometria, che pur è unica nella sua sostanza, nel rapido sviluppo cui andò sog­e costituiscono un gruppo a sei parametri. Si può quindi affermare che le pro­ getta negli ultimi tempi si è troppo suddivisa in discipline quasi separate, cheprietà affini di una figura sono le proprietà proiettive della figura e della retta vanno progredendo alquanto indipendentemente le une dalle altre» [i87z, trad.f issata, che viene usualmente detta retta all'infinito (i suoi elementi sono i pun­ it. p. 3o8].ti all'infinito o impropri ) ; sono concetti di tipo affine il parallelismo tra due ret­ Tuttavia l ' interesse suscitato dal programma di Er langen dev' essere statote, perché cio equivale all'avere in comune un punto all'infinito, e la distinzione notevole se ben presto venne tradotto sia in i t a l iano sia in f rancese. Scriveper le coniche in tipo ellittico, parabolico, iperbolico, perché basata sul compor­ Corrado Segre nella presentazione dell'edizione italiana: «Tante idee generalitamento della conica nei confronti della retta all' infinito. ed ingegnose che si trovano in queste pagine, come l'identità sostanziale fra

Se invece si considerano le trasformazioni proiettive che lasciano fissa la varie discipline matematiche (ed in particolare fra discipline analitiche e geo­coppia di punti complessi coniugati (o, i, + i ) , detti i punti ciclici, si ottiene il metriche! ) che si rappresentano l'una sull'altra quando si tenga conto dei gruppigruppo a quattro parametri delle similitudini del piano che, in coordinate non di trasformazioni che in esse si pongono a base ; le varie considerazioni su questiomogenee, sono rappresentate nella forma gruppi ; tante giuste osservazioni che mettono sotto la luce piu vera e precisano

(x' = atp+/l(x c os()+y sin>) nel miglior modo il carattere di vari argomenti e varie dottrine, e specialmente

y' = a,~+ sh ( — x sin ~!~+y cos q>) di alcune piu discusse, come quella delle varietà piu volte estese, e la geometrianon euclidea: tutte queste son cose o non sufficientemente conosciute e studiate

(s = +i) e caratterizzano la geometria euclidea del piano; in particolare, per dai giovani, o note solo per via indiretta» [t88q, p. 307j.h = i, si ottengono i movimenti del piano. Le proprietà metriche di una figura Anche Dieudonné nella prefazione di una riedizione del programma sotto­piana sono le proprietà proiettive della figura e della coppia di punti ciclici : cosi linea l'importanza dell'opera di Klein come «linea di separazione delle acque»per una conica l'essere una circonferenza equivale al passaggio per i punti ci­ ed inizio della geometria moderna.

Geometria e topologia 6go 6gr Geometria e topologia

Infatti da una parte, come si è cercato di i l lustrare negli esempi, il pro­ cento (si vedano le aspre polemiche con Frege), è in realtà estremamente mo­gramma di Erlangen si può considerare come un punto finale della geometria derno: basti pensare al ruolo dell'assiomatica negli Eléments de mathématiquesproiettiva e di quelle subordinate ad essa, comprese le geometrie non-euclidee, di Nicolas Hourbaki.in quanto chiarisce i rapporti fra le diverse geometrie ed il significato algebrico, Fino ai nostri giorni si manifesta in modo decisivo l'influenza di Hi lbert:come invarianti, delle proprietà degli enti geometrici. la cosiddetta geometria elementare, che ha origine negli Elementi di Euclide,

D'altra parte i vari tipi di trasformazioni considerati da Klein, fra cui figu­ è ancor oggi basata sulla trattazione hilbertiana.rano anche le trasformazioni birazionali ed i gruppi di omeomorfismi, ma so­ Accanto all'interesse logico, e a questo strettamente connesso, si nota inprattutto il ruolo predominante che Klein nella costruzione della geometria Hilbert un forte interesse aritmetico-algebrico, che completa in certo senso ilattribuisce al gruppo, rispetto allo spazio su cui esso opera, proiettano il pro­ programma di Descartes: il suo modello di geometria euclidea viene infatti co­gramma nella geometria moderna. struito algebricamente, a partire dall'insieme dei numeri interi tramite le sole

Cosi viene esplicitamente introdotto e chiarito con vari esempi il concetto operazioni di somma, differenza, prodotto, quoziente e radice quadrata, in mo­di « isomorfismo» tra geometrie, in relazione ai gruppi di trasformazioni che le do da evitare, nel presentare la geometria analitica, qualsiasi ricorso all'intuizio­caratterizzano. Inoltre lo studio dei rapporti tra un gruppo e lo spazio su cui ne spaziale. Analogamente propone un modello di geometria non-archimedeaesso opera contiene dei temi che verranno poi ampiamente sviluppati nellatopologia, mediante lo studio dello spazio delle orbite (che Klein chiama corpi)

sopra un corpo base ottenuto dagli interi con le precedenti operazioni e l'ag­giunta di una variabile; sicché la geometria archimedea e non-archimedea ven­

di un gruppo, e nella geometria differenziale, attraverso il concetto di spazio gono trattate in modo del tutto parallelo e vengono ad avere lo stesso grado diomogeneo, che è un tipo di spazio definito sostanzialmente attraverso un gruppo verità. È dunque costante in Hilbert il ricorso, per garantirsi da contraddizioni,di trasformazioni, a fatti elementari riguardanti campi numerici di semplice costruzione a partire

dagli interi, anziché all'intuizione spaziale, che vuole anzi bandire.2.4. Hilbert e la nuova assiomatica. L'accostamento ritorno ai fondamenti - ritorno all'algebra è quello stesso

che si ritrova quarant' anni piu tardi in Zariski quando si proporrà di dare saldeIl processo di distacco della geometria dall'evidenza intuitiva, iniziato con

la costruzione di modelli non-euclidei e reso piu chiaro dalla formulazione delbasi alla geometria algebrica. Non è un caso che anche nel settore della geo­metria algebrica i contributi notevolissimi di H i lbert abbiano tutti carattere

programma di Frlangen, prosegue con incertezze verso la fine dell'Ottocento algebrico, dal teorema delle sizigie, al Nullstellensats, al teorema della basead opera soprattutto di Pasch, di Peano, di Veronese (ideatore di una geometria finita.non-archimedea). Ma soltanto con la pubblicazione dei Grundlagen der Geome­ La geometria (e la matematica) moderne sono dunque debitrici a Hilbert,trie [tgqg] di Hi lbert l ' innovazione diventa esplicita e radicale: la geometrianon deve necessariamente descrivere il mondo fisico, né trarre in alcun modo il

oltreché di notevoli risultati in numerosi settori, anche e soprattutto della nuova

impostazione,attenta ai fondamenti e al rigore, che Hilbert riesce a trovare nel­suo punto di partenza dalla realtà, sia quella visibile o quella ideale. La geome­ l'aritmetica e nell'algebra, dove il ricorso all'intuizione è minimo e ha caratteretria deve soltanto stabilire un sistema iniziale di assiomi e dedurre da questi le generalmente elementare.sue proposizioni, in base alle leggi della logica. Gli oggetti di cui essa tratta, cioè La grandezza di Hilbert però sta nella sua capacità di non limitarsi al solopunti, rette, piani non devono essere identificati con gli oggetti indicati comu­ ;<spetto logico-formale per cogliere invece l'essenza dei problemi geometricinemente con lo stesso nome e corrispondenti ad astrazioni che provengono dal­ anche dai loro aspetti intuitivi (come risulta ad esempio da Hllbert e Cohn­lo spazio fisico: essi sono «deflniti implicitamente» dagli assiomi e la termino­ Vossen [t<lgz]).logia geometrica può essere applicata a qualunque sistema di oggetti che soddisfiagli assiomi stessi. Analizzando in modo profondo diverse assiomatiche, Hilbertconsidera la possibilità di geometrie non soltanto non-euclidee, ma anche non­ 3. 1ntroduzione elementare alla geometria algebrica.pascaliane, non-desarguesiane, non-archimedee; non gl'interessa stabilire un;<qualche «verità» per i suoi assiomi, se non quella di carattere logico che consist«nel provare che non comportano contraddizioni. Hilbert ha poi la consapevo­ q.t. Le coniche.

lezza del fatto che gli assiomi descrivono enti realmente esistenti, se non sono «I.a geometria algebrica è senza dubbio la parte della matematica in cui ècontraddittori; e ci possono essere sistemi di enti aventi le nature piu divers«che soddisfano a uno stesso gruppo di assiomi; sicché si può affermare che <u:<ssimo lo scarto tra le idee intuitive che ne formano il punto di partenza e i

«<ricetti astratti e complessi che sono alla base delle ricerche moderne». Cosiun'assiomatica è un'intelaiatura di carattere logico applicabile in infinite situa­ i<firia l'introduzione al Cours degéométrie algébrique [ 1974, p. 5] di Jean Dieu­zioni diverse Questo punto di vista, fortemente avversato ai primi del Novc­ <I«««é, il cui punto di vista può essere largamente condiviso. Gli oggetti della

633 Geometria e topologiaGeometria e topologia 63z

dinate di assi x e y e origine O, si vede facilmente che le equazioni che seguonogeometria algebrica, cioè le curve e le superfici algebriche, piu generalmente le rappresentano le varie specie di coniche prima considerate:varietà algebriche di dimensione qualsiasi che godono di proprietà riposte edelevate, comprendono infatti alcune curve particolarmente semplici che sono

y — xs = o è u n a parabola

state oggetto di studio fin dall'antichità sia per il loro interesse teorico sia perxs+yys — r = o è un'ellisse

le loro immediate applicazioni ai vari settori della scienza.xs — ys — r = o è un'iperbole

Tali sono la circonferenza, l'ellisse, l'iperbole e la parabola che soddisfanoxa — ys = o è una coppia di rette distinte

a proprietà metriche elementari (legate cioè alla nozione di distanza) : ad esem­ x = o è u n a coppia di rette coincidenti2=

pio l'ellisse è il luogo dei punti la somma delle distanze dei quali da due puntixa+ya=o è un solo punto (l'origine O).

fissi (fuochi) è costante, ecc. Assieme alle caratteristiche geometriche che diRe­ Osservando che tutte le equazioni ora scritte sono algebriche (ossia esprrenziano tali tipi di curve, ve ne sono altre che risultano invece comuni a tutte

p essea po inomi ) di secondo grado nelle variabili x, y, si è condotti piu generalmente

le curve suddette; la piu notevole (nota fin dall'antichità, ad esempio ad Apol­ a considerare il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano a un'equa­lonio) è questa: tali curve si possono tutte ottenere come sezioni di un cono zione algebrica di secondo grado:circolare retto con un piano, donde la loro denominazione di coniche (o sezioni

coniche : cfr. fig. 5). Se il piano è perpendicolare all'asse del cono si ha una cir­ (r) f (x,y ) =a»x +za»xy+a„ y + z a ,sx+zassy+a33 o

conferenza, che diventa un'ellisse spostando leggermente il piano; se il piano è dove gli elementi a;~ sono numeri reali tali che arr a,s, ass non sono tutti nulli.parallelo a una generatrice del cono si ottiene invece una parabola, che diventa Definendo conica tale insieme di punti si ottengono tutte le sezioni conicheun',iperbole quando il piano taglia tutte e due le falde del cono. Se poi il pia­ precedentemente considerate nonché r ) le coppie di rette parallele (ad esem­no passa per il vertice del cono, esso lo taglia in una «conica degenere» costi­ pio con l'equazione x (x — r) = o); rr) l ' insieme vuoto (conica priva di puntituita da una coppia di rette distinte o coincidenti oppure da un solo punto (il reali, ad esempio con l'equazione x' +y'+ r = o).vertice), Per comprendere meglio la natura delle situazioni eccezionali r ) e rr) indi­

Il metodo delle coordinate cartesiane permette di determinare altre proprietà cate sopra si possono fare queste considerazioni. Una coppia di rette parallele,comuni alle coniche oppure atte a differenziarle, consentendo altresi di scoprirne anche se non può mai ottenersi come sezione di un cono, può però essere ri­qualcuna meno evidente all'intuizione. Fissato nel piano un sistema di coor­ guardata come sezione piana di un cilindro con un piano parallelo all'asse. Ora,

un cilindro è una superficie costituita da rette fra loro parallele, aventi dunquela stessa direzione o — come si è visto nel ) z.r — un punto comune all'infinito(punto improprio) ; esso può dunque riguardarsi come un cono particolare colvertice improprio e quindi le coniche del tipo l ) possono rientrare, sia pure comecaso limite, tra le sezioni coniche.

Inoltre, considerando punti della conica (r ) anche i punti a coordinate com­plesse, il luogo associato a un'equazione del tipo rr ) non è piu un insieme vuoto,ma può essere riguardato come un'«ellisse immaginaria». Anche la conica d'lequazione x +ys= o non è piu costituita da un solo punto, bensf. dalle due rette2 2 =

a coefficienti complessi (rette immaginarie coniugate) x+ry = o, x — iy = o.

Quest ultima considerazione potrebbe suggerire un'ulteriore generalizza­7

zione della definizione di conica, consentendo ai coefficienti dell'equazione (r)di variare nel campo complesso. In tal modo si dovrebbe riesaminare la classi­hcazione delle coniche (ellissi, iperbole, parabole, ecc.) indicata prima, anche secon questo vantaggio: la conica x'+y' = o, che nel piano complesso è costituitada due rette distinte, sarebbe definita dal polinomio riducibile (x+iy)(x — iy) enon da un polinomio irriducibile quale è xs+ya nel campo reale. Si manterràcomunque la definizione (r ) di conica a coefficienti reali riservandosi di immer­

a) c) gerla nel piano affine complesso oppure nel piano proiettivo reale o complesso(considerando in tal caso anche i punti impropri ).

Figura 5 Ecco ora alcune proprietà algebriche elementari delle coniche ; le prime sonoSezioni coniche: a) ellisse; b) iperbole; c) parabola.

Geometria e topologia 634. 635 Geometrxa e topologta

strettamente legate al fatto che l'equazione (I) è di secondo grado, mentre le del piano afFine nel piano proiettivo, dove un punto improprio è del t ipoaltre si prestano a generalizzazioni alle curve algebriche piane associate a poli­ (o, x,y). L'estensione della conica f(x, y) = o dal piano alFine a quello proiet­nomi f(x, y) di grado qualsiasi. tivo è data dall'equazione f(x,/xp, x2/xp)=g (xp xi x»)/xp= o, ovvero dall'equa­

a) Se la conica è una parabola, oppure un'ellisse (reale o immaginaria ), o zione g(xp, x„x, ) = o, dove g(xp, x„x2) risulta dunque un Polinomio omogeneoun'iperbole, o anche un punto reale, il polinomio f(x, y) di secondo grado che di secondo grado tale che g ( i., x, y) = f(x, y). I punti impropri di f( x, y) = ola definisce è nel campo reale irriducibile, cioè non si può scrivere come pro­ sono dati dalle terne (o, x,y) tali che g(o, x, y) = o.dotto di due polinomi a coefficienti reali di primo grado ; viceversa, se la conica Le due rette y = +x costituiscono gli asintoti dell'iperbole x 2 — y2 — I = o,

è riducibile (o degenere) in due rette reali (distinte o coincidenti), il polinomio a cui si avvicinano indefinitamente. Nel piano proiettivo le intersezioni dell'a­f(x, y) è riducibile. s intoto x2 = x, coli'iperbole «estesa» (xi/xp) ( x 2 /xp)= I s i t r ovano col s i­

b) Il determinante dei coefFicienti, cioè il numero stema x,— x, = xi — x2 — xp = o, il quale conduce alle due soluzioni coincidenti

a,3 Xi = I X2 = I Xp = o ; dunque esso non solo interseca l'iperbole nel piano pro­2 2 2

d = ai2 i122 Q23 ll11022 + zi i i i Cl 1122 + 13 11 12 iettivo, ma risulta persino tangente ad essa nel punto improprio (o, I, I ). Im­ai3 Cl»3 +33

mergendo poi il piano proiettivo reale nel piano proiettivo complesso e tenendoconto anche della molteplicità d'intersezione, si perviene facilmente alla con­

è uguale a o se e soltanto se la conica è riducibile in due rette reali o è un pun­ clusione che ogni retta ha sempre due intersezioni con ellisse, parabola, iperboleto (due rette nel campo complesso). (proprie o improprie, reali o complesse, distinte o coincidenti ).

c) Per ogni punto P di un'ellisse, parabola o iperbole passa una retta tan­ f) Si considerino ora le intersezioni di due conichef(x, y) = o, g(x,y) = o,gente alla conica; si suoi dire che la tangente ha due intersezioni con la conica dove, per non ricadere nel caso d), f(x, y) e g(x, y) sono due polinomi di secon­riunite in P. Ad esempio, la retta y = o è la tangente nell'origine alla parabola do grado privi di fattori comuni. Per determinare tali intersezioni, si deve eli­y — x2 = o; le intersezioni della retta con la parabola si calcolano risolvendo il minare la variabile x (oppure la y) dal sistema f(x, y) =g (x, y) = o. Tale elimi­sistema y — x2=y= o che si r iduce a y= x ' = o e l'ultima uguaglianza, con la nazione, pur non essendo cosi semplice come nel caso e) precedente, si può co­presenza del quadrato, indica che la soluzione x =y = o va contata due volte in munque effettuare in modo abbastanza rapido e conduce in generale a un'equa­accordo col fatto geometrico. Si suoi dire anche che la retta y = o ha moltepli­ zione di quarto grado. Si perviene quindi alla conclusione che nel piano proiet­cità d'intersezione z con la parabola nell'origine. tivo complesso due coniche hanno sempre quattro punti d'intersezione contati

d) Si consideri ora una conica spezzata in due rette distinte; se P è un suo con la dovuta molteplicità (è un caso particolare del «teorema di Bezout» ).punto, la tangente alla conica in P co incide con la retta su cui è s ituato P, g) Nel piano afFine reale si nota, relativamente al problema delle intersezio­con questa eccezione: se P coincide con il punto Q comune alle due rette che ni, una differenza tra l'ellisse, da una parte, e l'iperbole oppure la parabola,costituiscono la conica, non esiste una retta tangente alla conica in Q; si può dall'altra. Un punto P di un 'ell isse non può mai ottenersi come intersezioneinvece dire che esistono in Q due rette tangenti alla conica, cioè le due rette nelle «completa» con molteplicità I dell'ellisse con un'altra curva, che taglia neces­quali la conica è spezzata. Si può notare che ogni retta passante per Q ha due sariamente l'ellisse in almeno un altro punto Q, generalmente distinto da Pintersezioni con la conica (ad esempio la retta y = zx ha due intersezioni nell'o­ ed eventualmente coincidente con P nei casi di tangenza.rigine con la conica xy = o, spezzata nei due assi cartesiani). Si dice allora che Q Un punto P di un' iperbole è invece ottenibile come intersezione completaè un punto doppio per la conica. dell'iperbole con un'altra curva: basta prendere, come già visto in e ), una retta

e) Ellisse, parabola, iperbole non hanno lo stesso comportamento, nel piano per P parallela a un asintoto. E la medesima conclusione vale per la parabola,reale, rispetto alle intersezioni con una retta. Una retta non tangente a un'el­ dove il ruolo dell'asintoto viene invece assunto dall'asse.lisse la incontra sempre in due punti oppure non la interseca affatto. Invece una L osservazione ora fatta, opportunamente ripresa con adeguati strumentiretta parallela all'asse della parabola ha con questa una sola intersezione e lo algebrici, ha rilievo nella teoria della fattorialità delle varietà algebriche a cui sistesso fatto succede per l'iperbole intersecata da una retta parallela a (ma non farà cenno piu avanti.coincidente con ) uno dei due asintoti; ciò non toglie che vi siano anche rette h) Fissati un punto O di un'ellisse, iperbole, parabola, e una retta r del pia­che incontrano la parabola o l'iperbole in due punti oppure in nessun punto. no, a ogni punto P della conica si può far corrispondere biunivocamente (con

Se si considera l'ampliamento proiettivo del piano, le intersezioni di un'iper­ eccezioni ) il punto P' intersezione della retta OP con la retta r. Si dimostra chebole con una retta possono aumentare e comprendere un punto improprio. Si tale corrispondenza è espressa da funzioni razionali (quozienti di polinomi ) ericordi, come già visto nel ) z.i, che i punti del piano proiettivo reale sono de­ ilunque ogni conica è in corrispondenza birazionale con una retta.finiti come terne (xp, xi x2) di numeri reali non tutti nulli, a meno di un fattore Un esempio particolarmente semplice di t rasformazione birazionale tranon nullo di proporzionalità ; l'applicazione (x, y) ~ ( I, x, y ) dà un'immersione conica e retta è il seguente. Le equazioni x = t, y = I /t fanno corrispondere al

Geometria e topologia 636 637 Geometria e topologia

u>

punto P' di una retta, associato al parametro reale t (con l'eccezione del valorenell origine la retta y = o ; tuttavia, anche da un punto di vista intuitivo, il con­

t = o) il punto P = (x, y) = (t, r /t) che varia sull'iperbole di equazione xy — r= o ; tatto di tangenza si presenta un po' anomalo nel caso della curva y' — x3= o

l'applicazione inversa è data dalla relazione t = x (oppure dalla relazione t = r /y, in quanto la retta y = o appare come doppiamente tangente alla curva nell'ori­gine. Questo fatto trova una conferma eloquente dal lato algebrico : si vedrà in­

dove si tenga conto che xy = t ). fatti che l'origine va riguardata come un punto di molteplicità z per tale cubica.Anche la cubica y2 — x2 — x» = o ha un punto «doppio» nell'origine (fig. 6b) ;

3.z. Le curve algebriche piane. Irriducibilità, molteplicità, intersezioni. ma questa volta il fatto è molto piu appariscente. Infatti la curva presenta unaspetto nodale e il nodo è situato nell'origine; si suole anche dire che nell'in­

La definizione algebrica di conica suggerisce immediatamente la generaliz­ torno dell'origine vi sono due rami distinti con rispettive tangenti distinte.

zazione alle curve (algebriche) piane reali definite da un polinomio f(x, y) di Si è quindi in presenza, nel caso delle cubiche, di una situazione che non hagrado qualsiasi (rispetto a un riferimento cartesiano prefissato). Una curva al­ riscontro nel caso delle coniche. L'ellisse, l'iperbole e la parabola sono prive di

gebrica di ordine n viene quindi definita come luogo dei punti le cui coordinate punti doppi; questi ultimi sussistono solo nel caso di una conica spezzata in

soddisfano a un'equazione algebrica f(x, y) = o, dove f (x, y) è un polinomio di due rette passanti per un punto. Invece le cubiche y 2 — x3 = o e y2 — x' — x3 = o

grado n nelle due variabili x, y che può scriversi sono irriducibili e hanno entrambe un punto doppio. La presenza dei puntimultipli per le curve irriducibili ha una notevole importanza per diverse que­

f(x, y) = g a„; x 'y~' stioni che saranno esaminate tra poco.O< i+j<n

dove a;. sono numeri reali tali che almeno un monomio di grado complessivo Irriducibilita. Si è de t to, senza alcuna giustificazione,che le cubichen sia non nullo. y — x = o e y — x' — x3= o sono curve irriducibili. Ciò è vero, ma non ci si può2 3 = 2 2 3 ­

Dopo le rette e le coniche, gli esempi piu semplici di curve algebriche piane basare solamente sul fatto intuitivo che il grafico di quelle curve presenta le ca­

si ottengono quindi in corrispondenza a polinomi di terzo grado: tali curve sono ratteristiche dell'irriducibilità : del resto il grafico dell'iperbole si presenta co­

denominate cubiche. me composto di due rami distinti, anche se si è giustamente asserito a suo tem­

La cubica y — x3= o ha un andamento del tutto simile a quello della parabola po che l'iperbole è una curva irriducibile.y — x' = o nel primo quadrante, ma a differenza di quest'ultima, che è simme­ Si presenta a questo punto necessaria una definizione precisa d'irriducibilità

trica rispetto all'asse delle y, la cubica è simmetrica rispetto all'origine (in per le curve algebriche ; la si può dare cosi: una curva algebrica è irriducibile se

realtà sotto altri aspetti risultano molto diverse; cfr. p. 684 ). non è unione di due curve algebriche entrambe distinte da essa (questa defini­La cubica y 2 — x»=o ha un comportamento simile a quello della parabola zione è soltanto un adattamento alla presente situazione della definizione di in­

y — x2 = o nel primo quadrante, però è simmetrica rispetto all'asse delle x. sieme algebrico irriducibile, che verrà data piu avanti nel quadro degli insiemi

Questo fatto ha come conseguenza un comportamento della curva nell'origine algebrici).

che è sensibilmente diverso da quello delle curve y — x2= o e y — x3 = o; queste Non è affatto detto in generale che un polinomio f(x, y) irriducibile definiscaultime si presentano «lisce» nell'origine (o, se si preferisce, in un intorno del­ una curva algebrica irriducibile. Si è già visto che, se ci si limita a considerazioni

l'origine), mentre la cubica y 2 — x»=o ha nell'origine un punto angoloso o nel campo reale, il polinomio x2+y 2 definisce una «conica» ridotta al solo punto

«cuspidato» (fig. 6a). Tutte e tre le curve ora considerate hanno come tangente (o, o) (dunque in tal caso si ha una situazione limite o degenere e non si puòparlare di conica o curva nel senso intuitivo e appropriato del termine ) ; analo­gamente il polinomio (x — r)2+y 2 definisce il punto (r, o). Ora, il polinomio(x(x — r))2+y 2, che è irriducibile, definisce la «curva» costituita dai due punti(o, o) e (r , o) che può appunto essere considerata come unione delle due«curve», ognuna costituita da uno dei due punti precedentemente indicati.

Si pone allora la domanda seguente; nel campo reale, che relazione c'è fral'irriducibilità di una curva e l'irriducibilità del polinomio f che la definisce>Gli esempi visti persuadono che un polinomio irriducibile può definire una cur­va riducibile, sia pure di t ipo degenere. Vale però il seguente teorema:

a) 7EQREMA. Sef è un polinomio irriducibile sul campo reale avente infiniti zeri(cioè vi sono infiniti punti a coordinate reali che soddisfano all'equazione f = o),Figura 6. allora la curvaf = o è irriducibile.

a) Cuspide (le due tangenti coincidono) ; b) nodo (due tangenti distinte).

Geometria e topologia 638 639 Geometria e topologia

Per stabilire la proprietà suddetta si può usare un procedimento algebricoda cio segue che sef(x) è un polinomio di grado n a coefficienti complessi (in

elementare di eliminazione (basato sul « lemma di Gauss» relativo alla divisibi­particolare reali ), l'equazione f(x) =o ha sempre n soluzioni complesse, se

lità nell'ambito degli anelli di polinomi) per dedurre che se f(x, y) e g(x,y)ciascuna viene contata con la dovuta molteplicità. Il passaggio dal campo reale

sono due polinomi privi di fattori comuni (ovvero primi tra loro) i punti co­R a C, se anche toglie una completa efficacia alla rappresentazione grafica, con­

muni alle due curve sono necessariamente finiti ; da questo fatto il nostro assertosente però il recupero totale delle soluzioni finite nel caso di problemi d'inter­

segue facilmente. Il criterio indicato è quindi molto utile per stabilire situazionisezioni di curve. Inoltre il passaggio dal piano affine A' (C) al piano proiettivo

d'irriducibilità nel campo reale. Ad esempio si vede molto facilmente che le dueP~(C) consente l'ulteriore recupero dei punti all'infinito della curva, che appaio­

curve y — x = o e y' — xP = o hanno infiniti punti reali e dunque si giustifica l'ir­ no quando invece di f(x,y) =o si considera g (xp xi xs ) = o ove g (xp xi x~)riducibilità di tali curve asserita precedentemente.

è un Polinomio tde che f(x,/xp xz/xp)=g (xp x i xe)/xp ed n è il g rado di f.Nel campo complesso il problema della irriducibilità si chiarisce in modo

Si dimostra immediatamente che le intersezioni di una retta con una curvadi

completo grazie al teorema degli zeri di Hi lbert, di cui si parlerà piu avantii ordine n in P' (C) sono esattamente n se contate con la dovuta molteplicità

(cfr. ) 3.5). Con le nozioni finora introdotte si può però già affermare che, nel(purché la retta non sia parte della curva).

campo complesso, una curva è irriducibile se e soltanto se tale è il polinomio f Ad esempio una retta del tipo y = tx incontra la cubica y' — xP — xs = o in tre

che la definisce, in quanto ogni curva complessa ha necessariamente infinitipunti perché due intersezioni sono assorbite nell'origine (un punto doppio ) : al­

zeri. In effetti, se si suppone per semplicità che f(x, y) contenga effettivamentegebricamente si trova il sistema y — tx = x' (t — x — r) = o a cui corrispondono il

la variabile y, per ogni scelta x = ae C della variabile x ci sono certamente nel punto (o, o) contato due volte e il punto (t P — i, ts — t) variabile con t. Si può

campo complesso soluzioni y = b dell'equazione f(a, y) = o. Pertanto tutti g l i notare che il terzo punto (t~ — i, ts — t ) coincide anch' esso coi primi due se

infiniti punti (a, b) appartengono alla curva. Ad esempio il polinomio x~+y P, t=+ i. C iò porta a riguardare le due rette y=+ x co me tangenti alla cubica

che nel campo reale ha solo uno zero, nel campo complesso si annulla su tuttinell origine O in quanto hanno tre intersezioni con la cubica assorbite dal puntoO (geometricamente le due rette risultano rispettivamente tangenti ai due ra­

i punti delle rette y = +ix. mi del «nodop). Analogamente l'intersezione della retta y = tx con la «cubica

1Vlolteplicità. Ri p rendendo ora in esame le cubiche, si vede che ve ne sonocuspidata» y~ — xs= o porta al sistema y — tx = xa(ta — x) = o, da cui r isultano

alcune spezzate in una retta e una conica irriducibile (ad esempio, la cubicasempre tre intersezioni della retta con la curva di cui due assorbite dall'origine

(x — y)(y — xP) = o) e altre spezzate in tre rette (ad esempio: xy(x +y — r) = o). O s e t = o si hanno tre intersezioni riunite in O e quindi la rettay= o è l a tan­

In tal modo hanno origine i punti doppi o multipli delle curve in questione pro­gente nell'origine che va contata due volte perché t =o è radice doppia dell'e­

dotti dalle intersezioni a due a due delle varie componenti irriducibili di taliquazione ta = o.

curve : è una situazione del tutto simile a quella del punto doppio di una coni­Piu generalmente, se una curva ha in P un punto s-uplo (punto multiplo o

ca spezzata in due rette. Tuttavia va tenuto ben presente il fatto, indicato pri­singolare di molteplicità s) i ), ogni retta del piano passante per P ha almeno

ma, che possono esserci punti multipli anche sulle curve irriducibili. Sarà utiles intersezioni riunite in P; si potrebbe vedere che fra tali rette ve ne sono sol­

nel seguito ricordare che, data la curva proiettiva C di equazione f(x, y) = o (nel tanto s (eventualmente non tutte distinte ) che hanno una ulteriore intersezione

piano affine xp = i ) i suoi punti multipli si ottengono risolvendo il sistemacolla curva in P: queste s rette sono le tangenti alla curva in P.

Il calcolo delle intersezioni di due curve di ordine qualsiasi richiede invece

f(x, y) = o 1 uso di strumenti piu laboriosi in quanto, già nel piano reale, si tratta di eli­

òf(x, y)/òx = o minare una delle due variabili x, y da un sistema del tipo f(x y) =g (x y) = o.Si è già accennato a un primo tipo elementare di eliminazione. Ve n'è un altro,

òf(x y)l/òy= o ormai classico, che conduce allo stesso risultato e che fa uso del «risultante»

Questo calcolo non tiene conto dei punti multipli all' infinito, che si possonodi Sylvester. Con procedimenti di questo tipo si perviene a stabilire per viaelementare il teorema di Bezout:

recuperare considerando il piano affine x, = r (o x~ = r).TEQREMA (Bezout). Due carve algebriche piane proiettive, prive di curve co­

Intersezioni. Per calcolare il numero delle intersezioni di una retta con una muni, di ordini rispettivi m ed n, hanno sempre m n intersezioni in P~(C), purchécurva conviene ancora, come nel caso delle coniche, immergere il piano affine siano contate con la dovuta molteplicità (naturalmente per curve affini, su R o sureale (nell'ambito del quale si sono svolte le considerazioni precedenti) nel pia­ C, e per curve del piano proiettivo reale, le intersezioni sono al piu m n ).no proiettivo complesso. Ciò è dovuto ai seguenti motivi di carattere generale. Ilcampo complesso C è un campo algebricamente chiuso, cioè tale che ogni equa­

L' enunciato di cui sopra, molto spedito e comprensibile, mette in risalto la

zione algebrica in una variabile a coefFicienti in C ammette sempre soluzioni;iiatura globale del problema ma non consente una visione approfondita del suo

Geometxia e topologia 6go 6yz Geometria e topologia

aspetto «locale» che consiste nel computo della molteplicità d'intersezione di E quindi possibile definire gli anelli quozienti A. = k[x, y]i,/(f) (che dicesi

due curve in un loro punto comune P. anello locale della curva f = o nel punto P ) e B = A[x, y]i,/(f, g). Quest'ultimo

È chiaro che, se due curve hanno in comune un punto multiplo e qualche anello B, sef e g sono privi di fa ttori comuni, r isulta uno spazio vettoriale

tangente, il numero d'intersezioni, calcolato per via algebrica in modo oppor­ di dimensione finita sul corpo k.

tuno, può essere molto alto : se P è r-uplo per una curva e s-uplo per l'altra, ci I due anelli A e B introdotti sopra consentono una traduzione algebrica no­

saranno in P almeno r s intersezioni senza escludere che siano di piu, nel caso tevole di proprietà geometriche relative alla molteplicità di un punto P di una

di tangenti comuni. Dunque la tangente o le tangenti comuni sono segno di curva e d'intersezione in P di due curve.

contatto intimo fra le curve. Ad esempio le due curve y = xs e y = xs hanno nel­ Ad esempio, si ha il risultato seguente: il punto P è un punto semplice (cioè

l'origine la stessa retta tangente (y = o) e le intersezioni riunite in tale punto non multiplo, ovvero con molteplicità t ) per la curva irriducibile f = o se e sol­

sono due, come si deduce dal fatto che nel sistema y — xa= xs(t — x) = o il pun­ tanto se nell'anello A ogni elemento è multiplo di un elemento fisso g (in alge­

to (o, o) è soluzione doppia.bra commutativa si usa questa denominazione: A è un anello «di valutazionediscreta», oppure A è un anello «locale regolare di dimensione t ») (cfr. ) 6.g).

Anello quoziente e anello locale. Il metodo di eliminazione col risultante non Si può inoltre definire la molteplicità d'intersezione delle due curve f = o

è l'unico strumento algebrico atto a definire la molteplicità d' intersezione e g = o nel punto P mediante la dimensione su A dello spazio vettoriale B;

di due curve in un loro punto comune. Si conoscono oggi proprietà algebri­ anche il teorema di Bezout per le curve piane può essere dimostrato comple­

che (afferenti piu precisamente all'algebra commutativa) che consentono un tamente sulla base di tale definizione.

diverso approccio alla nozione di molteplicità e al teorema di Bezout; esse sono È questo un tipico esempio di «algebrizzazione» di un problema geome­

basate sul concetto di anello quoziente e di anello locale (cfr. il ) g dell'articolo trico: i l problema viene a un tempo chiarito e allontanato dall'intuizione.

«Divisibilità» di questa stessa Enciclopedia).Gli elementi dell'anello k [x, y] (cioè i polinomi in due variabili a coeffiicien­ 3.3, Trasformazioni birazionali e genere delle curve piane.

ti nel corpo commutativo k ) sono particolari funzioni (o applicazioni) definitenel piano affine A~ (k) a valori in k. Se f(x, y) =o è una curva piana, si consi­ Le considerazioni svolte sulla corrispondenza birazionale tra una retta e una

derino le restrizioni di tali funzioni polinomiali alla curva; vi possono essere conica possono essere riprese nell'analisi delle curve algebriche di ordine su­

allora due polinomi distinti g (x, y) e h(x, y) che individuano la stessa funzione periore.

ristretta alla curva (ad esempio x+y e y hanno gli stessi valori in ogni punto in Si consideri una cubica con un punto doppio nodale O e una retta r ; ad un

cui è x = o ) : basta che g e h differiscano per un multiplo di f. Ora, vi è un pro­ punto P variabile sulla cubica si può far corrispondere biunivocamente(con

cedimento algebrico di carattere generale che consente di « identificare» due eccezioni ) il punto P' in tersezione della retta OP con r. La corrispondenza in­

polinomi siffatti definit i sulla curva f = o; questa identificazione si chiama versa è univoca in quanto, fissato P', la retta OP' ha due intersezioni fisse con

«passaggio al quoziente». Le funzioni polinomiali cos{ ottenute costituiscono I i cubica in O e la terza è data da un punto P che viene appunto associato

ancora un anello (cioè due funzioni siffatte si possono sommare e moltiplicare univocamente a P', quando P' è ta le che la retta OP' coincide con una del­

in modo appropriato) e, nel caso in questione, tale anello quoziente dicesi anello le due tangenti in O al la cubica, il punto corrispondente a P' è O; quindi al

delle coordinate della curva f = o. Sef ha infiniti punti razionali su k (cioè con pimto O corrispondono due punti della retta (e questa è l'unica eccezione alla

le coordinate a valori in k ), ogni polinomio nullo nei punti dove f = o è un mul­ biunivocità).

tiplo di f; in tal caso l'anello quoziente di cui sopra coincide con A[x, y]/( f ), La corrispondenza di cui sopra, sia in un senso sia nell'altro, è espressa da

anello quoziente di k [x, y] modulo f, i c u i e lementi sono classi di polino­l''iinzioni razionali; si tratta quindi di una trasformazione birazionale tra la cu­

mi che differiscono per multipli di f. La nozione di anello quoziente ha una liica e la retta. Ad esempio, se P' = (t) varia sulla retta, il punto P = (x, y) =

validità molto piu generale; se ad esempio, in luogo dell'insieme dei polinomi, , / a 2(t' — r, t(t — t)) varia sulla cubica ya — x' — xs=o; l'applicazione inversa è

multipli di f, si considera l'insieme Q dei polinomi che possono scriversi nella espressa dalla funzione razionale t =y /x.

forma hf+ lg (dove h ed 1 sono polinomi), insieme denominato ideale generatoNelle considerazioni di cui sopra la presenza del punto doppio è essenziale:

da f eg, si può definire analogamente l anello quoziente A[x,y]/3 = A[x, y]/(f g). non solo non si può in alcun modo ripetere il ragionamento per una cubica pri­

Se poi in luogo dell'anello dei polinomi k[x, y] si considerano le frazioni va ili punti multipli (quale, ad esempio, x +y — t =o ), ma la birazionalità tra

g/h, dove h è un polinomio non nullo in P (cioè la curva h= o non passa per P), < «bica e retta in tal caso non sussiste. Peraltro (come spesso nel seguito) le ar­

si ottiene un nuovo anello contenente k[x, y], che dicesi anello locale del piano g<uuentazioni svolte in precedenza valgono anche se il punto doppio è una «cu­

nel punto P; tale anello si denota k[x, y]i e ha un solo ideale massimale (cor­ ~~fide di prima specie» (ad esempio l'origine per la curva y' — xs= o il cui punto

rispondente geometricamente al punto P). vaihihile ha coordinate x = t ' , y =ts ).

Geometria e topologia 6yz 643 Geometrxa e topologia

Il ragionamento precedente, che permette di trovare una corrispondenza anche C è razionale. Dunque, essere una curva razionale, ovvero la condizionef

birazionale fra la cubica nodata (dotata cioè di un nodo, punto doppio con due p = o, è una proprietà della curva invariante per trasformazioni birazionali.tangenti distinte) e la retta, si può estendere a curve di ordine n, purché siano Quanto detto sopra è molto limitato, rispetto a quanto si può invece asse­dotate di un numero sufficientemente alto di nodi. Precisamente, si può far rire con tutta generalità ponendosi da un punto di vista meno elementare. In ef­vedere che la birazionalità si ottiene con d = (n — r)(n — z)/z= [n(n — 3)/z]+r fetti si può definire (e in vari modi ) il genere p di una curva algebrica qualsiasi,nodi esattamente. Il procedimento è solo piu complicato dal punto di vista del non necessariamente piana; naturalmente tale genere puo calcolarsi con la for­calcolo, ma concettualmente identico. Ad esempio, per una quartica (curva di mula indicata sopra nel caso di curve piane munite di sole singolarità nodali (ogrado 4) con 3 = (y — r)(g — z)/z nodi si procederà come segue: le coniche pas­ cuspidate di prima specie).santi per i tre punti doppi e per un ulteriore punto semplice della quartica for­ P er avere un esempio di trasformazione birazionale tra due curve piane dimano un fascio, cioè si possono ottenere come combinazione lineare di due tipo meno elementare di quelli considerati prima, è opportuno considerare lequalsiasi di esse: g (x, y)+ th(x, y) = o, dove t è un parametro reale. La coni­ trasformazioni birazionali tra due curve piane come restrizione di una trasforma­ca generica del fascio e la quartica hanno (nel piano proiettivo complesso) zione birazionale tra due piani. E, per esigenze di completezza, conviene con­S = g z intersezioni, grazie al teorema di Bezout; di queste, due sono raccolte siderare due piani proiettivi anziché due piani affini.in ciascuno dei punti doppi e una nel punto semplice; in totale sette sono fis­ Le piu semplici trasformazioni birazionali tra due piani proiettivi sono lesate. Per ottenere l'ottava ci si riduce a risolvere un'equazione di primo grado, proiettività espresse dalle relazioni lineariche fornisce le coordinate x e y come funzioni razionali di t . (2) x'; = az'+ a;,x, + a„,x, o < i < 2,

Si osservi ancora che un punto doppio per la cubica, ovvero tre punti doppiper la quartica, sono il massimo possibile di punti multipli compatibili con l'ir­ con la condizione che il determinante della matrice (a") sia non nullo.ij

riducibilità della curva stessa. Ad esempio, se una cubica possiede due nodi L e (z) esprimono il passaggio dal punto (x~, x„x,) del piano proiettivoP e g, la retta Pg ha con la cubica due intersezioni almeno in P e due almeno P'(C) al corrispondente punto (x~, xr', x,') del piano proiettivo P'a(C) ed è fa­in g ; cioè ha almeno quattro intersezioni, contro il teorema di Bezout, che pone cile mostrare che anche la trasformazione inversa è espressa da relazioni analo­

tre come limite superiore. Allora necessariamente la retta è parte della cubica, ghe alle (z).composta dalla retta e da un'altra curva (una conica, o due rette ulteriori). L e proiettivita forniscono trasformazioni birazionali (intere) senza ecce­

Si può dunque affermare che la birazionalità con la retta si ottiene quando zioni che conservano completamente la molteplicità dei punti e la natura della

una curva di grado n possiede il massimo numero di nodi che le è consentito loro singolarità; ora questo è proprio il loro limite nei problemi di natura bi­

dalla condizione di non essere spezzata, oppure ha punti multipli (singolari) razionale, dove occorrono trasformazioni che alterino la natura dei punti sin­

tali da compensare il difetto dei punti doppi nodali. Perciò, se una curva piana golari, cioè trasformino punti singolari di molteplicità s in punti singolari diproiettiva, dotata al piu di sole singolarità nodali, non è birazionalmente equi­ molteplicità t ps, tangenti distinte in tangenti coincidenti e viceversa.

valente a una retta, essa «ha pochi nodi».Una curva C (non necessariamente piana) in corrispondenza birazionale con Trasyortnazioni quadratiche. Le p i u s emplici t rasformazioni b i razionali

i punti di una retta si dice razionale. E dunque interessante considerare il «di­ non lineari sono le trasformazioni quadratiche; esse sono espresse da polinomi

fetto di razionalità» della curva, calcolabile in termini di nodi (quando non ci tli secondo grado e costituiscono un caso particolare delle cosiddette «trasfor­

siano singolarità piu complicate, che fanno modificare tutto il discorso). Se C inazioni cremoniane» (dal matematico italiano Luigi Cremona), definite piuha grado n e ha d nodi, vi è un numero, indicato con p~ o semplicemente con p, generalmente come trasformazioni birazionali tra spazi di dimensione qualsiash

denominato «genere (geometrico )» della curva C, che esprime convenientemen­ Si consideri ad esempio la trasformazione quadratica u espressa da:

te il difetto di razionalità della curva; esso è dato dalla formula p = [(n — r) x p xp à t

(n — z)/z] — d= [n(n — 3)/z]+ r — d quando la curva C è piana. (3) 2

Si può dimostrare che una curva piana proiettiva complessa dotata di solexr xr

singolarità nodali è razionale se e soltanto se p = o ; in particolare p è nullo per x2 = xeuna retta, come subito si verifica in quanto n = r e d = o. che fa passare dal punto (x~, xn x~) di P'(C) al punto (x~, xr' xg) dl P (C),

Se tra le curve C, C' sussiste una corrispondenza birazionale, se cioè le Si vede facilmente che la trasformazione inversa c» ' di u è espressa da:I '

coordinate dei punti di C si esprimono mediante funzioni razionali delle coor­ <2

dinate dei punti di C' e viceversa, si dice che C e C' sono birazionalmente equi­xp xp

valenti; tale relazione di equivalenza birazionale è manifestamente transitiva, xr xpxr

da cui in particolare: se C' è birazionalmente equivalente a C e C è razionale,l I

x2 xlx2

Geometria e topologia 644 64S Geometria e topologia

Si ha infatti: Pù-'tù (xp xy x») = Cù (xp x[, x») = & (xpxn x»n xpx») = (xpxy, xpxn permette addirittura di trasformare una curva algebrica piana in una priva di

xpxyx») = xpxr(xp xr x») = (xp xr x») dove l Ultima UgUaglianza segUe dal fatto singolarità, contenuta però nello spazio a tre dimensioni anziché nel piano. AI

che le coordinate di un punto sono definite a meno di un fattore di proporzio­ problema di trovare un modello birazionale non singolare di una curva connalità. Le (3') mostrano che anche cù t è una trasformazione quadratica. singolarità qualsiasi si sono dedicati parecchi geometri e con metodi diversi

È opportuno notare subito che vi sono però delle eccezioni alla corrispon­ (algebrici o puramente geometrici ) Brill e Noether, Clebsch, Bertini, Hensel.denza birazionale (g) che compaiono nei punti (xp, x„x,) tali che xp = o oppure Un importante aspetto di questi studi consiste nella possibilità di analizzare e di

xt = o (casi in cui si annulla il fattore di proporzionalità xrxp trovato prima, onde classificare le singolarità delle curve algebriche, tenendo conto della moltepli­il ragionamento precedente cade in difetto). Ed infatti le (g) non fanno corri­ cità, ma anche di vari altri fattori : il numero di tangenti distinte, la molteplicitàspondere alcun punto di P'»(C) al punto Q = (o, o, r) di P»(C) ; ad ogni punto dei vari punti che si ottengono nelle trasformazioni quadratiche intermedie,

(o, xr xp), cioè ad ogni punto della retta xp = o distinto da Q corrisponde, sem­ che conducono alla desingolarizzazione. Ad esempio, si può caratterizzare un

pre mediante le (g), il «punto fisso» (o, r, o) e ad ogni punto (xp, o, x, ) distinto nodo come un punto doppio che, in una trasformazione quadratica diventa una

da Q corrisponde sempre il punto (o, o, t). Analoghe eccezioni sussistono in coppia di punti semplici, una cuspide di prima specie come un punto doppiosenso inverso. che diventa un punto semplice, ecc. I punti che si ottengono a partire da un dato

Si consideri nel Piano P (C) la quartica C di equazione xp(x» — x,)+xyx» o . punto singolare mediante trasformazioni quadratiche si dicono «infinitamenteMediante le (g') si vede che l'equazione della curva C', trasformata di C nel vicini» al punto dato e, pur non essendo punti della curva data inizialmente,

Piano P' (C), ha equazione xp (X» x[ x g xp )+x[ xp x» =xp x [ (xpx» xp + per certi aspetti si comportano come se lo fossero. Si è detto, ad esempio, che,

+x[ x») = o. A parte le eccezioni, costituite dai punti di P ' (C) in cui xp = o per calcolare il genere p di una curva con soli nodi e di ordine n, basta calcolare

oPPure x» = o, si Può dire che la trasformata C' di C è la cubica di equazione il numero [(n — r)(n — z)/z] — d, dove d è il numero dei nodi ; se invece la curvaxpx» xp + x r x»= o. Un semplice computo di derivate parziali permette di ve­ ha singolarità piu complicate si può usare una formula analoga alla precedentedere che la quartica C ha due punti doppi: il punto doppio nodale P = ( t, o, o) in cui si tenga conto anche dei punti singolari infinitamente vicini. Ad esempio,(origine) e il punto doppio cuspidale Q = (o, o, r) (punto improprio dell'asse se una quartica ha un punto doppio, cui succede infinitamente vicino un altro

y) ; invece C' è una cubica «liscia», cioè priva di punti doppi. Ciò è in accor­ punto doppio che a sua volta diventa semplice in un passo, allora il genere pdo col calcolo del genere di C e C' ottenuto con la formula [(n — r )(n — z)/z] — d è il numero r =g — z, in quanto dobbiamo tener conto di entrambi i punt i

che fornisce t in entrambi i casi. doppi, quello che appare e quello nascosto e che emerge solo con la trasforma­

Per determinare i punti di C' che corrispondono a P, tenuto presente dalle zione quadratica,

(g') che P proviene mediante tù r dai punti del piano P'»(C) tali che x[ = o, si Dunque la teoria dei punti singolari permette fra le altre cose di vedere indeve risolvere i l s istema X,' = xpx» xp +x[ x» =o che conduce ai tre Punt i modo piu penetrante il genere di una curva algebrica: il «difetto di razionalità»P' = (o, o, r) (privo di immagine in P (C)), P»= (r, o, t) e P R= ( — r, o, t) ; coincide con un numero che si calcola tenendo conto della piu riposta struttura

dunque PR e P» sono i punti di C' che corrispondono a P. Si può poi estendere «lei punti singolari. Pertanto lo scioglimento delle singolarità permette di get­in modo naturale, ricorrendo per esempio a nozioni di continuità, la rù — ' an­ (Rr luce sul primo invariante birazionale studiato dai geometri algebrici dopo

che nel punto P,' = (o, o, t) (dove non risulta definita mediante (g')) e conclu­ Riemann, cioè il genere.dere che il punto P [ = (o, o, r) è l 'unico punto di C ' corrispondente a Q.Con ragionamenti ancora piu raffinati si potrebbe poi associare, in un certo mo­ Il teorema di Riemann-Roch per le curve. A R iemann è dovuta la prima for­

do, i due punti P,' e P» alle due tangenti in P a C e il punto P,' all'unica tangentc tnulazione del celebre «teorema di Riemann-Roch» per le curve, che nel lin­

in Q (sono le situazioni in cui si parla di punti «infinitamente vicini» ). guaggio classico si esprime in termini di «serie lineari»; esso può essere illu­Mediante le trasformazioni quadratiche si possono trasformare i punti sin­ strato brevemente, con riferimento a una curva piana priva di punti mult ipl i ,

golari della curva originaria in punti di molteplicità inferiore e meno compli­ Usando la nozione di sistema lineare di curve piane. Un tale sistema si ottiene

cata; si ha inoltre uno strumento notevole per un'analisi profonda dei punti considerando r+ r curve Cp, ..., C„, tutte dello stesso grado m e formando le loro

singolari. ~U>ssibili combinazioni lineari a coefficienti complessi ; sef, = o è l'equazione omo­

Questi fatti erano ben noti ai geometri dell'Ottocento; ad esempio Brill c genea di C;, il sistema lineare è formato dalle curve del tiPo apfp+,, + a, f„= o.Noether, negli anni t 8po-8o, riescono a provare che, applicando una successione ()gni curva taglierà su C un gruppo di punti, esattamente m n grazie al teorema

finita di trasformazioni quadratiche, si può trasformare una curva piana dotata <li Bezout, se li si conta sapientemente. Questi gruppi di m n punti, variabilidi punti multipli qualsiasi, arbitrariamente complicati, in un'altra curva piana «on i coefficienti a;, formano una «serie lineare» sopra la curva C. D'ora in poi

dotata di soli nodi (eventualmente priva di punti multipli). Questo procedi­ si supporrà che le equazioni f.„.= o siano indipendenti e che nessuna delle curve

mento, opportunamente integrato da un altro tipo di trasformazione birazionale, (', contenga C come parte. È evidente che i gruppi di punti sono in corrispon­

647 Geometria e topologiaGeometria e topologia 6y6

denza biunivoca con le (r+ 1)-uple di numeri complessi (a», ..., a„). Siccomedi altri punti di vista, basati sulla teoria degli integrali e sulle proprietà topo­logiche.

queste ultime variano nello spazio proiettivo P" (C) si può dire che la serie li­neare ha dimensione r; essa si denota g" ,dove s= m.n. Il problema di Riemann Si è finora considerata una curva algebrica complessa dal punto di vista della

consiste nel trovare quali relazioni intercorrono fra i due numeri r ed s, facendoteoria dei polinomi: essa è definita dall'annullarsi di un polinomioomogeneo a

intervenire invarianti birazionali della curva come il genere, quando la seriecoefficienti complessi e le sue proprietà discendono da quelle del polinomio:

sia «completa», cioè tagliata dal sistema di tutte le curve di ordine m (esclu­grado, intersezione con altre curve, genere, ecc, In realtà una curva algebrica

se quelle che contengono C ). In questa direzione Riemann (1857) prova checomplessa può essere associata in modo naturale a una superficie algebrica reale,quando si pensi che la variabile complessa 2 = x+iy può essere considerata co­

si ha sempre r)s — p se p è i l g enere di C; qu indi la d isuguaglianza può me una coppia di variabili reali. Pertanto le proprietà delle curve algebriche com­scriversi come un'uguaglianza r = s — p+i, purché si sappia interpretare geo­

plesse possono essere studiate sulla varietà reale associata, che viene chiamatametricamente il numero i detto indice di specialità. Ciò si può fare in terminidi «serie canonica», usando ad esempio il seguente metodo di Bril l e Noe­

superficie di Riemann. Esempio : si consideri il cerchio di equazione 2 2+z 2= 1 ,1 2 I

t her; si considerano perciò tu tte le curve del piano di ordine n — 3; talidove zr e z2 sono due variabili complesse. Se si pone z, = x, +iy, e xz ­— x2+iy„

curve si chiamano aggiunte e formano un sistema lineare avente dimensionesi ottiene, in termini delle variabili reali x„ y „ x 2, y„ l 'equazione(x,+iy,) ++ (x24-iy2)' = 1, cioè

n(n — 3)/z, in quanto dipendono da [n(n — 3)/z]+ 1 coefficienti complessi omo­

genei (tanti sono i monomi di grado n — 3). Pertanto le aggiunte di ordine n — 3X2 1— y12+X2 2— y2 2 = 1

tagliano su C una serie lineare g, "dove r è la dimensione n(n — 3)/z e s è il nu­ 1y1+ »y2mero di punti di ogni gruppo, cioè s = n(n — 3), per il teorema di Bezout. Si è Si hanno cosi due equazioni nelle quattro variabili reali x„y 1 x2 y» fissandonevisto che, per una curva non singolare, il genere p coincide con il numero una, ad esempio y, = c (costante), ci si trova in uno spazio reale a tre dimensio­(n — t)(n — z)/z= [n(n — 3)/zj+1; quindi la serie canonica è una , rie del tipo ni con le variabili restanti. Le due equazionig22'„'2 (ed è l'unica avente questa dimensione e ordine). L'indice di specialitàdella serie lineare di partenza si può facilmente esprimere mediante la serie ca­ x',+x',— y',= r +c'

nonica. Precisamente i coincide con il numero di gruppi della serie canonica cxr+x2y. = 0

che contengono un gruppo assegnato della serie in questione (pertanto i = 1

per la serie canonica stessa e i=o per gruppi di punti tagliati da curve di definiscono una curva reale dello spazio a tre dimensioni, intersezione di duequadriche, un iperboloide a una falda, e un paraboloide iperbolico (una coppiaordine abbastanza alto).

Il teorema di Riemann-Roch per le curve è un risultato notevolissimo di na­di piani se c= o). Al variare di c nel campo reale si ottiene una famiglia di curvea tre dimensioni che riempiono una superficie reale «isomorfa a una sfera», co­

tura birazionale.Nell'ambito del programma di Erlangen di Klein la geometria algebrica ve­

me si può verificare, peraltro con una certa difficoltà e tenendo conto del com­

niva catalogata come lo studio delle proprietà geometriche invarianti per tra­portamento all'infinito del cerchio e della superficie.

sformazioni birazionali. Tale impostazione, già presente nei pionieri della geo­L esempio ora discusso suggerisce che, in generale, a una curva algebrica

proiettiva complessa debba corrispondere una varietà reale di dimensione z emetria algebrica della scuola tedesca (Riemann, i Noether, Brill , Kummer,Klein, ecc.) e italiana (Cremona, Bertini, Ueronese, Corrado Segre) veniva

compatta. Alla retta complessa (isomorfa al cerchio complesso) corrisponderà

fatta propria dai «successori» Castelnuovo, Enriques, Severi che (fra i l 18gouna sfera reale; a curve piu complicate, superfici con altre caratteristiche topo­

e il 1114o) estendevano alle superfici, superando difficoltà notevoli, vari risultatilogiche, come un toro o una «sfera a piu manici o buchi». Le superfici algebri­

e classificazioni di natura birazionale già stabiliti per le curve (cfr. ( 6.3).che reali (compatte, connesse e orientabili ) possono essere classificate in base al

I metodi d'indagine usati sono stati per lunghi decenni di tipo geometrico onumero dei cosiddetti manici : la sfera ordinaria ne è priva, il toro ne ha uno, ecc.

trascendente, mentre quelli di carattere algebrico sono rimasti lungamente in (fig. 7). Si ottiene cosi il genere, cioè proprio il numero che Riemann associaalla curva algebrica complessa come genere. Esso è strettamente collegato alla

sordina e venivano preferibilmente evitati dai grandi geometri. caratteristica di Eulero-Poincaré, di cui si parlerà nel ( y.3, Solo in seguito il

Rie111ann e la geometria birazionale. Si sono visti in precedenza vari aspettigenere viene visto e calcolato algebricamente, basandosi esplicitamente sulle

elementari della geometria algebrica, collegati all'impiego dell'algebra; tuttaviaproprietà dell'equazione della curva.

la storia della geometria algebrica non segue generalmente lo sviluppo dal sem­L invarianza birazionale del genere, già nota a Riemann, costituisce uno dei

plice all'elevato. In certo senso lo studio delle curve algebriche fatto da Brill,primi esempi di teorema avente carattere birazionale. L'importanza di consi­

Max ed Emmy Noether, la teoria algebrica delle varietà in termini di anelli,derare proprietà che si conservano per trasformazioni birazionali risale dunque

ideali, eliminazione di Emil Art in, Uan der Waerden, Zariski sono piu recenti:1 Riemann, anche se questa tematica non era ignota ai suoi predecessori. Essa

Geometria e topologia 648649 Geometrxa e topologxa

non è piana, ma effettivamente «spaziale» o «gobba», in quanto ogni piano deltipo a x+by+cz+d = o la incontra in tre punti complessi (corrispondenti allesoluzioni dell'equazione ats+bta+ct+d =o ); per tale motivo la curva datadalle (4) dicesi cubica gobba.

Sorgono però subito dei problemi: x ) Se il parametro t non fosse comparsoal primo grado sarebbe stato ugualmente possibile eliminare la t e dedurne

Sfera: g = o Toro: g = I Sfera con due manici : g = al'algebricità della curva? z ) Supposto che si risponda positivamente a x ) è al­

Figura 7. lora sempre vero che equazioni del tipo (4) pongono una corrispondenza biu­nivoca tra retta e curva? g ) Come si possono esprimere in generale le curveGenere di una superficie.algebriche dello spazio non razionali (ovvero non descrivibili mediante unarappresentazione parametrica del tipo (4))?

si riferisce alla corrispondenza birazionale fra superfici di Riemann e si collega Ebbene le risposte ai quesiti ora posti non sono ovvie. Alla prima domanda la

piu o meno direttamente con lo studio degl'integrali abeliani (che conservano risposta è affermativa, ricorrendo però (come già detto nel discorso relativo allelo stesso valore se si applica una trasformazione birazionale). intersezioni di curve ) alla teoria dell'eliminazione che fa comunque ricorso a

Gli integrali abeliani sulla curva algebrica complessaf(z, u)= o sono della nozioni algebriche. Anche la risposta alla seconda domanda è affermativa, maformaf>R(z, u) dz dove I è una linea del piano complesso z e u è funzione al­ in modo non banale : si può sempre cambiare il parametro in modo da ottenere

gebrica di e attraverso la relazione f(a, u) = o; già noti ad Abel, Legendre, Ja­ la voluta corrispondenza biunivoca (con eccezioni), facendo ricorso a un teore­cobi e Gauss furono studiati in modo nuovo da Riemann, a cui si deve la sco­ ma algebrico piuttosto profondo dovuto a Li i roth (cfr. ) 6.g).perta della coincidenza del genere col massimo numero d'integrali abeliani di Alla terza questione si può rispondere solo parzialmente, soddisfacendo cer­prima specie indipendenti. tamente le prime curiosità, ma senza esaurire problematiche tuttora aperte.

L'introduzione del genere per via geometrica, riflessa nella presentazione Si è già osservato che la curva (4) è esprimibile con le due equazionielementare che si è data, ha maggiori legami coli'algebra ed è anche suscettibile y — zs = x — as = o. Ciascuna delle due equazioni y — as = o, x — as = o può essere

di estensioni a un corpo base diverso dal corpo complesso; essa tuttavia oscura interpretata come superficie nello spazio, anzi in questo caso si tratta di super­

sensibilmente la «storia» che vi è dietro, in cui risultano l'intuizione topologica fici molto particolari. Infatti y — es= o è, nel piano yx, una parabola; dunquedi Riemann e la potenza dei metodi «trascendenti» (computo di manici e cal­ y — vs= o è un «cilindro» (infinito ), con le generatrici parallele all'asse x e pas­colo di integrali, cioè operazioni non algebriche). sante per la parabola; analogamente, x — zs= o è l'equazione di un cilindro con

le generatrici parallele all'asse y.È allora del tutto naturale pensare a una superficie algebrica come luogo dei

g.4. Curve e superfici algebriche dello spazio. punti dello spazio (x, y, a) soddisfacenti a un'equazione f (x, y, z) = o dovef(x, y, z) è un pol inomio a coefficienti reali nelle tre indeterminate x,y, z.Le considerazioni sulle curve piane precedentemente svolte non possono Dopo ciò si può pensare una curva algebrica come l'intersezione di due super­

estendersi in modo immediato alle curve dello spazio a causa di qualche compli­ fici algebriche del tipo suddetto ; in tal modo una curva algebrica è espressa dacazione di tipo algebrico. un sistema f(x, y, z) =g (x, y, z) = o. Tale impostazione, pienamente accetta­

È comunque molto facile dare qualche semplice esempio di curva alge­ bile a un primo livello, si presta però ad osservazioni critiche circa la sua limi­brica nello spazio. Ad esempio le relazioni tazione che si vedranno in un secondo momento.

x = t

(4) Superfici algebriche. Anzitutto va commentato l'uso del termine 'superficie'z = t per un'equazione del tipo f(x, y, a) = o. In effetti si può pensare all'individuazio­

ne di un punto del luogof = o fissando ad arbitrio un punto del piano (xe, ye)pongono una corrispondenza biunivoca tra un punto P' associato a un parame­ e determinando poi la quota z risolvendo, eventualmente nel campo complessotro reale t variabile nella retta reale e il punto P = (x, y, z) che, al variare di t, (solita estensione da R a C), l'equazionef(x„y«, z) = o che ha, in generale, undescrive un luogo geometrico nello spazio a tre dimensioni a cui è naturale ri­ numero finito di soluzioni. Si hanno quindi «due gradi di libertà» nella deter­ferire la denominazione di «curva algebrica dello spazio». L'«algebricità» è minazione di un punto della superficie: uno per la scelta di x e l'altro per lagiustificata dal fatto che il legame tra le coordinate x, y, z è espresso dalle re­ scelta di y; dopo ciò la z è condizionata da un'equazione. Ciò porta ad attri­lazioni y — vs= x — es=o ottenute eliminando il parametro t. Inoltre la curva

buire la dimensione z al luogof(x, y, z) = o e alla denominazione di superficie

6gi Geometria e topologiaGeometria e topologia 6go

Si può porre subito la questione di definire l'ordine di una curva C dataA questo punto il parallelismo tra la teoria delle curve algebriche e quello dalle equazioni f (x, y, z) =g (x, y, z) = o. Il modo piu naturale sembra quello

delle superfici algebriche risulta del tutto evidente. Le equazioni di pr imo di definire tale intero come il numero delle intersezioni di C con un p ianogrado in x,y, z forniscono i piani ax+by+cz +d = o, cosi come le equazioni generico. Ma come calcolare tale numero> Se si estendono le due superficiax+by+c =o sono equazioni di rette. Le equazioni di secondo grado forni­ f e g allo spazio proiettivo complesso e si suppone chef e g abbiano ordini ri­scono le quadriche, la cui teoria è un po' pié complicata ma ha molte analogie s pettivi m ed n, i l numero delle intersezioni della curva con un piano l= ocon quella delle coniche che risultano sezioni piane di quadriche (ma, come si coincide col numero delle intersezioni delle tre superfici f, g, l che, contate col­è visto, possono già bastare le sezioni di un cono quadrico per ottenere tutte i 'opportuna molteplicità, sono esattamente m.n. i =m n, in v i r tu del teoremale coniche). La classificazione delle coniche affini reali può essere effettuata di Bezout. Sembra allora del tutto naturale definire «ordine di C» il numero m.n.immergendo Aa(R) in P~(C) e considerando le intersezioni delle coniche con la Ma possono sorgere difficoltà: ad esempio una retta r di un cono è intersezioneretta impropria (luogo dei punti impropri (o, x, y), situati sulla retta x~ = o) ; del cono col piano tangente al cono lungo r e allora, secondo il ragionamentoanalogamente si ha una classificazione delle quadriche reali in ellissoidi, iper­ fatto sopra, la retta r verrebbe ad avere ordine z, ciò che è contraddittorioboloidi (a una o due falde), paraboloidi (ellittici o iperbolici), coni e cilindri in­ il fatto è che nell esempio ora considerato la retta va considerata come interse­1

tersecando col piano improprio. Ad esempio, la sfera è un particolare ellissoide : zione «doppia» del cono con il piano tangente e dunque si deve escludere talel'equazione x +y'+z ' — i = o rappresenta una sfera con centro nell'origine e eventualità.raggio i. Se dunque si considerano soltanto curve C che siano intersezioni semplici

Alcune quadriche, non soltanto i coni e i cilindri, sono rigate, cioè ricoperte e non multiple di due superfici, occorre definire la molteplicità di tale inter­da rette. Le superfici algebriche rigate costituiscono un esempio particolarmen­ sezione, eventualmente ricorrendo al teorema di Bezout ed escludere inoltrete significativo di superfici algebriche (cfr. ) ) 6.p e 6.y). che 1 ordine di C dipenda dalla particolare coppia f, g di superfici intersecantesi1>

Si può definire l'ordine di una superficie f(x, y, s) = o intersecando la su­ lungo C. In effetti la nozione generale di. ordine di una curva dello spazio rite­perficie con una retta (espressa come intersezione di due piani o in forma pa­ nuta intuitiva ed elementare dai geometri classici è in realtà tutt' altro che banalerametrica) ; l'ordine è dato dal numero dei punti comuni alla retta e alla super­ e per introdurla con tutta generalità occorrono strumenti piu raffinati ; i l fat toficie, previa immersione dello spazio ordinario reale As(R) nello spazio proiet­ che tale nozione si presenti quasi immediata in vari esempi semplici (del tipotivo complesso Ps(C). della cubica definita dalle equazioni (g)), può trarre in inganno e condurre a

La decomposizione di una superficie in superfici irriducibili può ottenersicome per le curve piane, con qualche lieve difficoltà in piu. La molteplicità di

uno dei tanti trabocchetti di cui è disseminata la geometria algebrica.È curioso notare che l'ordine di una curva appare fin dai piu semplici esempi

un punto di una superficie è analoga a quella rispettiva delle curve piane, mentre un invariante proiettivo (cioè un invariante rispetto alle trasformazioni proiet­si hanno maggiori difficoltà per la molteplicità d'intersezione di due o piu su­ tive). Sarebbe sotto certi aspetti piu facile per una curva spaziale definirne ilperfici. Sussiste comunque i l seguente teorema di Bezout nello spazio: tre genere che risulta invece un invariante rispetto alle trasformazioni birazionalisuperfici proiettive complesse dello spazio di ordini r ispettivi m, n, p, prive di solito molto piu complicate delle proiettività.di superfici e curve comuni, hanno m n p punti comuni se contati con la loro Vi sono altre questioni relative alle curve dello spazio, che sembrano delmolteplicità. tutto elementari e sono invece ancora irrisolte. Una di queste riguarda un co­

Si considerino ora di nuovo le curve algebriche dello spazio espresse come siddetto «problema d'intersezione completa» relativo alle curve dello spazio af­intersezione di due superfici.

La curva C sia dunque espressa come luogo dei punti dello spazio le cuiline (o proiettivo ) a tre dimensioni, cui si accennerà nel seguito, dopo aver pre­messo la nozione di dimensione di una varietà algebrica afFine.

coordinate soddisfano al sistema f (x, y, a) =g (x, y, a) = o. La teoria dell'elimi­nazione (che veramente andrebbe condotta nello spazio proiettivo complesso,anziché in quello reale, con la solita omogeneizzazione e l'aggiunta di una in­ 3.5. Generalità sugli insiemi algebrici. Irr iducibilità. Dimensione. Inter­

determinata ) consente di eliminare una variabile, ad esempio z, e di determi­ sezioni complete.

nare un'equazione h(x, y) = o che aggiunta a una precedente fornisce un siste­ma equivalente a quello dato. In tal modo si può vedere che per determina­

Le nozioni di curva algebrica e di superficie algebrica s'inquadrano nel mo­

re un punto del luogo C si può assegnare arbitrariamente x e dopo vi è soloilii piu naturale in quella d'insieme algebrico. D'altra parte è proprio partendoil;i una definizione piu generale, strettamente collegata a quella di ideale di

un numero finito di scelte per y, condizionato dalla relazione h(x,y) = o, e iiii anello, che è possibile avere delle idee piu precise anche sui luoghi geome­quindi per x. Dunque vi è un solo grado di libertà per la determinazione di un trici elementari, quali le curve dello spazio ordinario per le quali, come si èpunto del luogo, da cui resta giustificata la denominazione di curva attribuita visto, possono sorgere difficoltà impreviste.al luogo C.

65z 653Geometria e topologia Geometria e topologia

In luo o di una o ue equd d azioni algebriche si consideri un insieme finito multiplo di f, la risposta è affermativa perché(f) è un ideale primo (in virtu

di tali e uazioni; s i supponga ino tre c e ii'

;

'' ltre che il numero delle indeterminate sia della fattorialità dell'anello A ). Ora se K è un'estensione algebricamente chiusa

ar i'

,

' '1 so di due o tre indeterminate che costitui­arbitrario, dopo aver esaminato i caso i uedi k e V( f ) vi ene esteso a K", l 'uguaglianza 3(V(f)) = (f) è vera, come si

vano l'ingrediente a ge rico p'

' ' r inar io.d 1 b ' er le in d agini nel piano e nello spazio or inario.rdinario. può vedere sfruttando un lemma di eliminazione già invocato in piu di un'oc­

Siano dunque f i (xi» " xn)» " f m(xi»" x n. .. x ) ...,f (x i • • x„) m polinomi dell anello A = casione. Tuttavia tale uguaglianza è un caso particolare del molto piu generale

= k [x i .. x+] de i o l i l l om i i l l n v a l ' i ab i l i a coefficieIlt i II1 ull col po (comIIl i i teorema degli zeri di Hi lbert (detto anche Nullstellensatz forte):e k che solo er fissare le idee, può essere assunto come il corpo TEQREMA (Hilbert). Se K è un'estensione algebricamente chiusa di k, per ogni

rea e opp1 oppure il corpo complesso. Le n-up e (x„. .., x„) a i c e ideale p di A il radicale di p, cioè l'ideale degli xc A tali che x" c $ per almeno un' d' nti o gli elementi dello spazio affine ( ) = n) I, coincide con 8 (V(p)).

i ( I< i < m j è e t o un in '' ( ' j ' d tt n insieme algebrico di k". Talvolta, in analogia con quanto Se p è un ideale primo, dunque coincidente con il proprio radicale, si ha

d l io dal ca mpo reale a quello complesso, può essere u i e co­allora p = 3(V(p)) e in particolare 3(U(f)) = (f) per ogni polinomio irri­

siderare gli «zeri» dei polinomi f; in un campo K contenen e . Qua ducibile f. Il teorema degli zeri forte è conseguenza del cosiddetto teorema de­

sono ambiguita re ative a ab' ' 1 t' e a tale campo, l'insieme algebrico definito a f„..., f~ gli zeri debole che si enuncia cosi:

si indica con V(f„ . . ., f~ j. Si può notare che, se ai polinomi f„ . . ., f si aggiun­ .TEDREMA. Ogni ideale proprio >>I di k [x„. .., x„] ha zeri in K", cioè V(8) ~ gge una que una qualsiasi combinazione lineare Zg, f; p ' ' f~ (g è l ' insieme vuoto).A, l'insieme algebrico associato resta invariato. Ora,. O l 'i n s ieme di tutte le com­

' d ' l' ' f ch e comprende come elementi gli stessi f;, Si possono dare svariatissime dimostrazioni di questo teorema, tuttora og­

costituisce un ideale Q dell'anello A. (la somma di due elementi di Q e i pro­Q e il r o­ getto di indagini quando K non è un'estensione algebricamente chiusa di k,

di 3 e r un elemento di A appartengono ancora ad 3). caso in cui si possono ottenere soltanto risultati con validità meno generale.

È u indi del tutto naturale definire piu generalmente «insieme a ge rico asso­e al ebrico asso­ Una notevole conseguenza del Nullstellensatz è che, se 3 è un ideale massi­

cia o ' , V(8) l' ' me dei punti le cui coordinate annullanociato all'ideale 3», notato ( ), ins iemmale, allora V (3) è un punto; questo fatto, vero quando K sia algebricamente

t utti i o l i nomi e i e a eP d 11'd l 3 . I n realtà questa seconda definizione è solo appa­ chiuso, è falso in generale, come si può vedere considerando l'ideale massimale

rentemente piu generale della prima, in quan o, pin uanto e r i l « teorema della base» di di R[x, y] generato dai polinomi x' + I e y»+ I (sopra R definisce l'insieme vuo­

Hilbert ogni ideale 3 ha un numero finito di generatori f„ . .., f~ e quin i to e sopra C i punti (+i , + i ) , s icché non è piu massimale).Se V è una varietà irriducibile l'anello quoziente k [V] = A/3(V) (anello

e al ebrico V è irriducibile, e viene detto varietà affine,delle coordinate o delle funzioni polinomiali di V ) è un dominio di integrità

è unione di due sottoinsiemi algebrici non vuoti strettamente conntenuti in esso. (cioè privo di divisori di o ) e si può considerare il grado di trascendenza su k

Si può dimostrare con un procedimento molt p ' gl o sem lice che o ni insieme ai­ «lei suo corpo delle frazioni k (V). Questo grado di trascendenza è un numero

gebrico si decompone (e in(e in modo unico) nell'unione di insiemi algebrici irri­ intero d (o<d<n) che definisce in modo preciso quella nozione di «grado di

ducibili; ciò segue a a o c ed 1 f tt h nel l ' anello A. ogni catena ascendente di i ea '' libertà» di cui si è parlato relativamente alle superfici e alle curve dello spazio;

stazionaria e ta e atto c ile fatto chiamato «noetherianità di A» (dal nome i m m y è dunque naturale definire l'intero d «dimensione della varietà V». La nozione

Noether ) è equivalente alla finitezza dei generatori eg i i ea i iri de li ideali di A stabilita, di dimensione può essere definita anche in modo piu algebrico, applicabile a

da Hilbert.un anello noetheriano qualsiasi, basandosi sulla teoria delle catene d'ideali pri­

Tuttavia l'esistenza della decomposizione di cui sopra non r iesceui so ra non r iesce molto uii introdotta da Kru l l .

utile er fornire esempi concreti di varietà irriducibili (oltre a quelli piu ele­ Si può cosi definire con tutta generalità una curva algebrica irriducibile co­l' ' ) Se Q ( V) denota l'ideale dei polinomi nulli me una varietà algebrica di dimensione I. E allora, tornando un momento in­

su V vale la proprietà: «3(U) è un ideale primo (cioè afe(V), b<g( ) im­ dietro, si pone questo problema relativamente alle curve dello spazio ordinario:

o(V) j 1 V è una varietà irriducibile», La difficoltà è quindi i vero che ogni curva C dello spazio ordinario k» è intersezione di due superfici/' c g? Questo è tuttora un problema aperto ; vi è un'antica congettura per una

Gli ideali piu semplici sono gli ideali principali = (f) generati a un so o i'isposta affermativa, ma si conoscono solo risultati parziali come il seguente:

elemento f; i n t a caso (f) vi1 V(f ) vien e denominata ipersuperficie, nozione chei>gni curva di k» può ottenersi come intersezione di tre superfici. Il problema di

eneralizza uella di curva piana e di superf icie dello spazio ordinario. cid sopra riguarda le cosiddette «intersezioni complete in senso insiemistico».IVla vi sono problemi interessanti e attuali anche per le «intersezioni complete»

3(U(f)) è primo? Se 3(U(f))= (f), cioè se ogni polinomio nullo su f è {hi senso algebrico); solo recentemente è stato ottenuto il seguente risultato:

Geometria e topologia 6SS Geometria e topologia

ogni curva C di k» di genere o oppure i è intersezione completa (algebrica) di ancora 1 anello delle coordinate di una varietà algebrica W detta normalizza­

due superfici, cioè: esistono due polinomi f(x, y, z), g(x, y, z) tali che 3(C) = zione di V. Pertanto si può affermare che V W d ' 'ec e e so no ue varietà algebriche

= (f, g) (ideale generato da f e da g). Quest'ultimo risultato non è assoluta­ in corrispondenza birazionale. Applicando tale procedimento a W si verifica

mente valido nello spazio proiettivo, dove ad esempio l'estensione proiettiva che la normalizzazione di W è ancora W.

della cubica gobba data dalle equazioni (g) non è intersezione completa (alge­

brica) di due superfici. si può dimostrare che esiste un numero finito d'

Una varietà V tale che ogni sua sottovarietà di codimensione r (ipersuper­ i ; in generale tale gruppo di punti si ridurrà a un punto solo, ma ci sono ec­

ficie di V) sia intersezione completa (in senso algebrico) di V con un'altra iper­ cezioni a questo fatto. Se invece P' è un u t d W ,' un pun o i , esso ' a certamente uno ed

superficie si dice «varietà contenente solo intersezioni complete». Una varietà V un solo corris ondente so ra V.I p p . In queste condizioni si dirà che la normalizza­

siffatta puo essere caratterizzata algebricamente nel modo seguente: l 'anello z ione dà un «morfismo» di W sopra V n I s h, ne senso c e su " ' non ci sono punti

delle coordinate k [Vj è fattoriale ; per tal motivo si dice anche, piu brevemente, privi ù immagini o con iu d i un'1>' p' ' immagine (pur essendovene nel senso inver­V è fattoriale(si veda la proprietàg) delle coniche). Anche lo studio delle varietà so, cioè nel passaggio da V a W ). Esempio: l'anello A [t', t5] (dove t è una va­fattoriali, già condotto con metodi geometrici o trascendenti da Noether, Lef­ riabile) è isomorfo all'anello delle co '

' ' 'ee e coordinate della quintica piana di equazione

schetz, Severi, è stato ripreso in epoca recente sotto vari aspetti da Samuel, y =x5 e il suo corpo delle frazioni è L= A r t ' h '2 5 r i; c i a ramente t è in tero sopra

Grothendieck, Deligne assieme ad altri algebristi e geometri e costituisce un k[t, t' ] , in quanto t2 appartiene a k[t-", t5] ; sulla base di tale osservazione si può

esempio particolarmente interessante dei legami che sussistono tra algebra e vedere che la normalizzazione di k [ t t» ' l ' 11 k"

geometria, livello elementare e livello piu avanzato di uno stesso tipo di tema­ nello delle coordinate di una retta.

tica ispirata alla geometria algebrica. z) Si è visto nel t . c h e le tJ3.3 rasformazioni quadratiche possono mi l ioraremig iorareNell'ambito delle varietà algebriche cosi definite si può riprendere la nozio­ o far scomnarire le sin olp ' e singo arità di una curva piana. Una loro variante m Iti n e r m o o

ne di anello locale di un punto, introdotta nel ( 3,2, e discutere algebricamente piu notente~ è lo «sc' ' p

) è o «scoppiamento» (strumento sistematicamente utilizzato dai l concetto di punto singolare e semplice (incontrando però difficoltà molto a, c r. < .g) . i c o nsideri i l caso della quintica piana dimaggiori che nel caso delle curve piane). equazione y»=x5, con anello delle coordinate A [x,y]/( 2 — X5i = kr ' d

Inoltre, come si sono visti esempi di applicazioni birazionali fra curve,cosi si può introdurre i l concetto di applicazione birazionale ira varietà al­ /((y/x) — x ) è o scoppiamento di A con centro nel punto O= (o, o), corri­gebriche affini. Da un punto di v ista algebrico si considerano le due varietà spondente all'ideale tx, 'i. Ponendo =

''

'iones '

( ,y ) . n o y/x = z cioè applicando la trasformazione

(irriducibili, per semplicità) V e W definite dagli ideali( radicali) 3 e $ i n X = x e y = xz, si può anche riscrivere B = A[x, z]/(z' — x ) ; quest'ultima scrit­k[x„ . . ., x„] e k[x„ . . . , x~] rispettivamente; ad esse sono associati i due anelli tura (nelle variabili x e z ) fa capire che B è l'anello delle coordi d 'delle funzioni regolari B = A[x i , x j/3 e C = k[x i ,, x ] / p che trattandosi

di domini di integrità, hanno corpi delle frazioni (cioè delle funzioni razionali) c cosi pure la curva di anello B. Ma sa se si applica un secondo scoppiamento, po­L ed M. Al lora un'applicazione birazionale fra V e W altro non è che un iso­ nen o z /x = w, si ottiene l'anello C= k [x, «ii]/(zii2 — x), cioè l'anello delle coor­morfismo fra i corpi L ed M (che tenga fisso k) ; se poi c'è addirittura un isomor­ <linate della arabola x=«ii2 ch hp = «ii2, c e ha nell origine (e in ogni altro punto' t= «ii- c h ' ' ' '

oi un punto

fismo fra gli anelli B e C si dice che le due varietà sono isomorfe; mentre l'ap­ semplice.

plicazione birazionale è biunivoca con qualche eccezione, l'isomorfismo(detto Pertanto due scoppiamenti successivi permettono di far scomparire la sin­

anche applicazione biregolare) non presenta eccezione alcuna. golarità. Si noti che il metodo della 'e ie a normalizzazione consente ugualmente e ie a 1 ein

i in solo asso ip so di far scomparire i punti singolari ; tuttavia esso «salta» in certo

Due signtf icntk~i esempi di applicazioni birazionali: normalizzazione e scop­ senso i punti singo ari el pr imo scoppiamento, per passare subit I d ,u i o a secon o,piamenlo. i ) Sia V u n a varietà algebrica avente anello del le coordinate pedendo I analisi delle singolarità interm d' ' ' fime ie 'o in n i tamente vicine :

A = k[x,, ..., X„]/3 e corpo delle funzioni razionali L. Un elemento x di L s i ('l'r.. . Nel 6 .(' l'. ) 3.3). Nel ) 6.5 si riprenderanno questi concetti da u t di a un punto i v i sta piu

dice intero sopra A se è radice di un'equazione del tipo X' +a,x' ' + . . . +ar = o, I iencraie.

dove a;cA per ogni i (e il primo coefficiente è i.). Non è diff icile verificare che

l'insieme A di tutti gli elementi di L in teri sopra A è un anello intermedio fra co«iderate sono affini e fra queste c e lo spaz ffiA e L, detto normalizzazione (o chiusura integrale) di A. Per il modo stesso in = ( ). e si studiano invece le varietà proiettive oc­

cui è costruito A, i due anelli A e ZT hanno lo stesso corpo I del le funzioni ra­ i orrc considerare l'anello dei polinomi krxrrc '' '

i [ x„ , ..., X j in n+ r v a r iabili; i puntizionali. Si noti inoltre che, grazie a un risultato di Zariski, A si può scriven c (n+ r)-uple di elementi di k a meno di un f t t ­ 1 l' un a ore mo tip icativo non

nella forma: k [x„. .., x„]/'), dove I è un ideale primo. Ciò significa che A i e equazioni delle varietà proiettive si ottengono annullando i polinomi

Geometria e topologia 656 657 Geometria e topologia

omogenei, ecc. Nell'ambiente proiettivo si possono definire le applicazioni bi­n auge er Mengenlehre[ i(li4 ] una topologia 'V sull msieme E viene

razionali, la normalizzazione, lo scoppiamento ; si discuterà di tali questioni piudefinita assegnando per ogni punto xe E la f ' l ' 1.a amig ia l ' x ' degli intorni di x

in dettaglio nei $$ 6.z e 6.5, quando si farà uso di nozioni topologiche finora e cioè una famiglia di sottoinsiemi di E ta l i che

escluse. In effetti uno dei «grandi balzi» della geometria algebrica modernar) per ogni Ue"l l (x) r isulta xe U;

consiste nell'introduzione di metodi topologici, collegati alla cosiddetta «topo­z) ogni sottoinsieme di E che contiene un insieme della famiglia l l (x) è

logia di Zariski», che ha significato sopra un corpo base qualunque e sostituiscei n~ll x ;

la topologia ordinaria indotta sopra una varietà algebrica dall'immersione in5) ogni intersezione finita d'insiemi di % (x) è in "ll(x) ;

A" (C) o P"(C), che ha pure notevole importanza nello studio della geometriag) se Ue@l(x) esiste un insieme Wc@.(x' tale h(X) a e C e per ogni yE W risulta

algebrica con metodi «trascendenti» (cfr. ( ( 6.z e 6.g). U%' ' .

Agli assiomi precedenti Hausdorff a iunaggiunge l assioma di separazione (o di

Topologia. 5) sex+y sono due elementi di E esistono un i t d 'o un intorno i x e un intorno dio un i t yaventi intersezione vuota.

4.r. Topologia generale. In realtà, per asse> nare la to olo iap ogia su E basta assegnare un sistema fonda­

Il problema del passaggio al limite e quello della continuità erano sentiti m entale di intorni di o n i un t1' ' g ' p o xc E, e cioè una famiglia di intorni di x tale

già nell'antichità; ad essi è collegata una delle dicotomie fondamentali dell'e­ c e per ogni intorno V di x esista W in tale famiglia con Wc: V.

sperienza umana: quella continuo/discreto. Anche se alcuni invarianti topolo­gici (in particolare quelli connessi con i poliedri ) sono già stati introdotti da Esempio i ,

Eulero nel Settecento, il primo ad affrontare coscientemente il problema to­S' = ; p g ' e su si ottiene assumendo come sistemSia E = R; allora lato olo ia usuale s ema

pologico è Riemann il quale afferma: «Nello studio delle funzioni che si ot­on amentale di in tor

'

torni di ogni punto x gl i i n tervalli( x — r/n, x+i/n) e rx — r n, x+i n p e rtengono con l'integrazione dei differenziali esatti, qualche teorema di analysis n = i, z, 5, ... Tale topologia è separata.

situs è quasi indispensabile. Sotto questo nome, usato da Leibniz in un senso E sempio z ,leggerinente diverso, è possibile designare quella parte della teoria delle gran­dezze continue che studia queste grandezze non come indipendenti dalla loro

Sia E = R"', i cu i e lementi sono x = x x . . . xi = " ' ,

'' '

= (x„x „ . . . , x~); la topologia usuale è

posizione e misurabili le une per mezzo delle altre, bensl facendo astrazione dao l'd

:

'fondamentale di intorni di x è formatoo a a a metrica euclidea: un sistema

qualsiasi idea di misura, e studiando solo i rapporti di posizione e di inclu­a (x ; 8)= (ze R'" f fluì — xff(8) ove (l = i /n, n = i, z, ... e ffreff= (ro +«o +

+...+w~)' , S i t r atta di una topologia separata. Identificando C con R s isione» [t857, p. io5].

Quarant' anni dopo, Poincaré, in un lavoro fondamentale per lo sviluppoottiene la usuale topologia su C.

ulteriore della topologia algebrica e differenziale, afferma: «Si è molto spesso Esempioripetuto che la Geometria è l'arte di ben ragionare su figure mal fatte; tuttaviatali figure, per non ingannarci, devono soddisfare a determinate condizioni;

Si dice che E è uno spazio metrico quando su E è definita una distanza e

le proprietà possono essere alterate in modo grossolano, ma le posizioni relativecioè una applicazione di Ex E in R ta le che

delle diverse parti non devono essere capovolte. L'uso delle figure ha dunque r) d(x,y) = d(y,x) ) o per ogni x,yeIz

innanzitutto lo scopo di farei conoscere determinate relazioni tra gli oggetti z) dlx, >=o(,y) s e e solo se x= y

studiati, e tali relazioni sono quelle di cui si occupa un ramo fondamentale della 5) d(x, ~>(dtx ~ d) ( , y )+ (y , a ) (dis u guaglianza triangolare).geometria, detto analysis situs, nel quale si descrive la situazione relativa dei 1

punti, delle linee e delle superfici, senza alcuna considerazione per la loro gran­e è u n o spazio metrico si può definire la topologia indotta dalla metrica d

assumendo come sistema fondamentale di ' ' ' 'i

dezza» [r895, p. z]. D(x 8' = (a ~ E d x a (

Intorni La prima caratteristica da considerare in tale contesto è quellaggior parte egl i spazi funzionali (ad esempio

della vicinanza dei punti; è proprio per tale motivo che Hilbert nel r(toz in­que i i i er t e d i Banach) la topologia è indotta da una metrica. P t ler ae

troduce (seppure in modo ristretto al problema considerato) la nozione di in­ motivo ne li anni i zo­g ' 'iI o-5o la scuola polacca (Lusin, Souslin Banach l Ianac ' e a scuo a

torno indicando chiaramente che essa va assunta a fondamento per una tratta­di Mosca (Aleksandrov Tihonove san rov, i o n ov , Smirnov) studiarono approfonditam t lene a

zione assiomatica dell'analysis situs. Tale nozione viene ripresa da Hausdorfftopolo ia di uno s aziog' ' pazio metr ico al fine di trovare condizioni necessarie e sufli­

Geometria e topologia 658 65~1 Geometrxa e topologta

cienti affinché una topologia sia metrizzabile; particolarmente significativo fu il Se si indica con E i l complementare del unto o i incriterio di Nagata-Smirnov. Tuttavia, «come spesso accade nella storia della dfi

'' a a 'x,y '~ x " r — y) è un omeomormatematica, sembra che l'importanza del problema della metrizzazione risiedanon tanto nella sua soluzione quanto nelle nuove nozioni delle quali esso ha è omeomor a a un t r ian olofavorito lo sviluppo» [Bourbaki iq6o, trad. it. p. 170 ]. 1 '

'1 c l 1, a un qua unque poligono i cui lati non s'intersechino.

Esempio Compatte za. Una ro r i età fSi possono sempre definire almeno due topologie su di un insieme E: di R ' : O

P p' ondamentale degl'intervalli chiusi e !im'

quella (ovviamente non separata) per la quale il solo intorno di x è tutto E;a o a insiemi aperti contiene un ricoprimento

formato da un n

e la topologia discreta (ovviamente separata) per la quale tutti i sottoinsiemi di, c e ne seguito verrà indicata

E che contengono x sono intorni di x. Se G, e Ga sono due topologie definitep p • • ( )

re è separato, allora E è com atto. Un sott isu E, si dice che 'G, è piu fine di 'Ga se per ogni xc E tutti gli intorni di x per risp. compatto) se munito della to olo ia in"Ga sono anche intorni di x per 'G,; ciò significa che la topologia'Gi ha «piu in­

p. )'

opoog'

o' o p ­

o risp. compatto). Se E è com atto otorni» della topologia 'Ga e quindi distingue meglio fra di loro i punti di E.

p ogma o. g n i p ro 'otto di insiemi com at i 'p ' ' ' e p t

E sempio 5 . e è un'applicazione continua di uno s azio uasi-coLa topologia di Zariski (cfr. ) 6.z) costituisce un significativo esempio di , a ora immaginef(E) è un insieme uasi­

topologia non separata. 1 ll ~r E

Sia A un sottoinsieme non vuoto di E; gli intorni di xeA per la topologiai in , se ne educe che S'

è un sottoinsieme comp tt d ' R a l'a o i e ta i son o anc eindotta da E sono le intersezioni con A degli intorni di x per la topologia di E.

che tutte le circonferenze, tutte' e u ti i po igoni omeomorfi ad S'Un sottospazio di uno spazio separato è separato. In uno s azio mp

'etrico tutti gli insiemi com atti sono

A partire dagli intorni si definiscono gli insiemi aperti della topologia G:pa i sono anche hmit t i e c io

n ( x ; ' con ( + ~ .un sottoinsieme A di E è aperto se per ogni xE A esiste un intorno di x comple­ La proiezione stereografica so ra considerata

tamente contenuto in A ; l'insieme vuoto è aperto. Gli insiemi chiusi di G sonoL a o p

'erata suggerisce la possibilità di

a i care» agg i ungendogli i l unto ~ ini complementari degli insiemi aperti. Una topologia può anche essere introdotta

~un o ~ in modo da rendere taleoroiezione sterp

'e stereografica un omeomorfismo di S' su RU

definendo gli aperti, oppure i chiusi, mediante opportuna assiomatica(in pra­ 's ema on amentale di in torni d i

tica si userà una base degli aperti) : cfr. il ) 3.4 dell'articolo «Applicazioni» diquesta stessa Enciclopedia. Un ro fondo tp eorema di Aleksandrov assicura che se E è uno s azio

Trovano la loro naturale formulazione nell'ambito topologico molte proprie­ gico separato tale che ogni punto di E os siedetà messe in evidenza per i numeri reali e per le funzioni reali di variabile reale Rdai matematici dell'Ottocento.

g e i ca le ~p~t~~i del t~~~~m~ di Aleksandrov èContinuità. S i af un'applicazione di E< in F. Si dice chef è continua in x«,

rispetto alla topologia G di E ed a quella "G' di F, se per ogni intorno V di f(x«) eg!i spazi R un insieme è com atto se e sole !i ' ' ' ' pa o se e solo se è chiuso e limitato; si trat­in I' esiste un intorno V di x« in E tale che f(V) < — V. La funzione è poi detta an o c i spazi localmente com atti che ossocontinua in E se è continua per ogni xo di E; sef inoltre è biiettiva ed f ' è

pa i c e possono essere compattificati coni un punto, il cosiddetto punto all'infinito. C = C< c~

anche continua, allora f è un omeomorfismo e gli spazi E ed F sono omeomorfi. i>on è che la retta proiettiva P' (C) ' a, è omeomorfo ad Sa laL'omeomorfismo è una relazione di equivalenza nell'insieme degli spazi to­

a sfera ordinaria a duedimensioni di Rs R"U [~) d'iventa omeomorfo afo al!a sfera S attraverso la proie­n

pologici. zii>ne stereografica.Per ogni d reale l'applicazione t~ (cost, sint) di [d, d+z' ] su S ' è conti­

nua; tale applicazione è un omeomorfismo se ristretta a [d, d+zrc) oppure a S i tratta d i u n a ro

(d, d+zr t] S ' è omeomorfa ad una qualsiasi ellisse del piano di equazionc R cosi' Proprieta ondame

cosi caratterizzata: «Per ogni co ia di a erti(x — x«) /a + (y — y«)'jb' = r con a, b) o me diante l 'omeomorfismo (x, y) ­>

cosi . oppia i aperti (o di chiusi) B e C tali che+ g , Q g Cg g » (che nel seguito verrà in­' 8 e I A C + g , a l lora l+B C

(xo+ax, y +by). con ( )) ; essa significa intuitivamente che I ' < fe è « o rmato au n solo pezzo».

66oGeometria e topologia 66i Geometria e topologia

Uno spazio topologico E è detto connesso se non è riunione di due insiemi Una volta costruita tale corrispondenza è facile provare che se f : E~F è u naperti, non vuoti e disgiunti (cioè con intersezione vuota). Un sottoinsieme I omeomorfismo, allora f„ : G(E)-~G(F) è un isomorfismo di gruppi. Non valedi uno spazio topologico è connesso se verifica (D) e cioè se è connesso per la . però in generale il viceversa, nel senso che l'isomorfismo di G

(E) con G(F)topologia indotta. Una riunione di insiemi connessi con intersezione non vuota non implica in generale l'omeomorfismo di E con F.

è un insieme connesso; un prodotto di insiemi connessi è connesso. Si puo sperare tuttavia, ed è questo uno degli obiettivi della topologia al e­

Se f è un'applicazione continua di E in F, allora per ogni insieme connesso brica, di costruire un numero sufficiente di invarianti (non solo gruppi ma an­che numeri, anelli, ecc.) in modo che E ed E risultino omeomorfi se e solo se

ruppi, ma an­I di E ri sultaf(I) connesso in F.

La componente connessa di x in E è la piu grande parte connessa di E chc tutti i loro invarianti coincidono: tale classificazione è stata realizzata solo per

contiene x; si tratta di un insieme chiuso. pochissime famiglie di spazi topologici. Ad esempio, Markov ha provato che

Uno spazio topologico E è localmente connesso se ogni punto di E ha un i pro ema della classificazione è insolubile per le varietà di dimensione ) 4

sistema fondamentale di intorni connessi; il prodotto di un numero finito di infatti per ogni gruppo individuato da un numero finito di generatori e relazioni

spazi localmente connessi è localmente connesso. è possibile costruire una varietà a quattro dimensioni avente tale gruppo come

La circonferenza S' è connessa, in quanto immagine di un intervallo, e primo gruppo di omotopia (cfr. oltre ) ; se si disponesse di un algoritmo perquindi anche ogni altra circonferenza od ellisse. Una iperbole del piano eucli­ classificare tali varietà, se ne potrebbe dedurre uno per i l problema dell'iso­

deo è un insieme non connesso, ma avente due componenti connesse(i due rami morfismo dei gruppi cosi generati, ma questo problema è indecidibile e cioè

dell'iperbole ), inoltre un'iperbole non è un insieme compatto; una parabola èun insieme connesso ma non compatto. Nel seguito si i l lustreranno due fondamentali costruzioni della topologia

Nel piano proiettivo (reale o complesso), però, tutte le coniche (anche de­ algebrica: quella dei gruppi di omotopia e quella dei gruppi di omologia e

generi) sono compatte perché sottoinsiemi chiusi di uno spazio compatto; coomologia, entrambe sostanzialmente introdotte da Poincaré[ i8gg].

esse sono anche connesse,4.z. Omotopia.

Completezza. L'estensione della nozione di successione numerica conver­

gente e di limite è stata proposta nell'ambito degli spazi topologici in due modiSiano E ed F due se spazi topologici e f» ed f, due applicazioni continue di E

distinti (anche se equivalenti) da Moore-Smith nel tgzz e da Weil nel iq37.in F. Si dice che f è omoto a adffp pa ad f„e si scrive f~ f „ s e esiste un'applicazione

In particolare Weil ha aRrontato il problema della completezza degli spazi to­continua <& : Ex [o, i]~E tale che ii>(x, o) = f»(x) e 4(x, r) = f,(x) per ogni

pologici ed ha dato una esauriente generalizzazione della costruzione di Cantorx i . vien e detta omotopia dif~ su f,. Se s'interpreta tc [o, t] come ara­

dei numeri reali a partire dai numeri razionali, con il procedimento di comple­rnetro temporale, allora al variare di t fra o e t l'applicazione

f» viene deformatatamento degli spazi uniformi. Anche l'insieme Z può essere topologizzato c

con continuità nell'a licazi' pp 'one f, passando attraverso le applicazioni continue

completato ottenendo notevoli informazioni sulla teoria dei numeri.f, : x~<&(x, t) di E in F. Se risulta inoltre che 4(a, t) = f»(a) = f i (a) per o niac Ac:E e er tc [o t ] si d'

= » a = i a per o g n ip [ , ] dice chef» ed f, sono omotope relativamente ad A.

Il problema della classificazione. Come si è visto in precedenza l omeomor­n Due spazi topologici E ed E hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono

fismo è una relazione di equivalenza fra gli spazi topologici ; tuttavia, se si hannodue spazi topologici E ed F, il p roblema di decidere se essi sono omeomorti

L'L omotopia è una relazione di equivalenza nello spazio delle applicazioni

è assai arduo: si deve infatti costruire un omeomorfismo di E su E, oppure,continue da E in E e i l t i'po di omotopia è una relazione di equivalenza fra gli

cosa forse ancora piu difficile, dimostrare che non esiste un tale omeomorfismo.sl>azi topologici. Si tratta però di una relazione «meno precisa» dell'omeomor­

L'approccio a tale problema, sostanzialmente proposto da Poincaré [i8r)5] lismo, in quanto due spazi omeomorfi hanno ovviamente lo stesso tipo di omo­

per generalizzare i risultati fino ad allora ottenuti nel caso delle superfici com­lopia, ma non viceversa(cfr. l'esempio r piu avanti ).

patte connesse ed orientabili, e che si è rivelato assai fruttuoso, è il seguente:Una parte notevole degli invarianti costruiti nell'ambito della geometria

si supponga di saper associare ad ogni spazio topologico E un gruppo G(I',') iilgcbrica sono invarianti per omotopia e cioè coincidono per spazi E ed F

in modo che un'applicazione continua f : E~F in duca un omomorfismo di i hc hanno lo stesso tipo di omotopia, fatto che rende assai complicato il proble­

glllppl f+ .i f . G( E) ~ G(F) verificante le seguenti proprieta funtoriali :iii;i della classificazione a nche se in molti casi la classificazione omotopica èi iiilhciente.

A) all'omeomorfismo identità id> di E è associato l'isomorfismo identità di Un sottoinsieme A c:E è un retratto per deformazione di E se esiste un'ap­

G(E) ; li ic;izione continua r : E~ A , de t ta retrazione, tale che r(a) = a per ogni aeA

B) considerata l'applicazione continua g : F ~ H ,risulta (g of)~ =gii of„. i iiinotopa ad id> relativamente ad A ; E e A hanno allora lo stesso tipo di omo­

66zGeometr»a e topolocra

66g Geometria e topologia

topia. Se jx I,} è un re ra o pert t t p e r deformazione di E, allora E è detto contraibileda [o, 1] su S' e quindi si può definire la loro giustapposizione che corrisponde

(nel punto x~). Se E è contraibile, allora ogni applicazione continua di uno spa­a un'applicazione di S in E ind icata conf i g ta le che fg ( , ) = «. S [j]

zio topologico X in E è omotopa a un'applicazione costante.è a c asse di omotopia dif e [g] quella di g allora si pone [f]- [g] = [f~g].Si dimostra che rispetto a tale legge di composiz' (E, j 'osizione 11„(, xp) è un gruppo il

E sempi o 1 .cui elemento neutro è la classe di omotopia dell'a l'e app icazione costante per cui

O gni sottoinsieme convesso Ap g d i R ~ (e in particolare tutto R'") èf(S" = [x . Tf( " )= [xs}. Tale gruppo, che è commutativo per n)z , v iene detto n-esimo

contraibile in ogni suo punto x«, definendo 4 (, ) — ( — )e(x t) ­— (1 — t)x+tx pe r o gni gruppo di omotopia di E con punto base x .D'

(x,t)eA x [o,r] . Questo esempio illustra bene quanta informazione si perdeI gruppi di omotopia sono associati in modo «naturale» allo spazio topo­

passando dall'equivalenza topologica (omeomorfismo) allo stesso tipo di omo­ogico E nel senso che sono verificate le condizioni A) c B) di . 66 o 1) e ) i p . o e ino tr e

risulta :topia. omotope relativamente a x allora

Esempio momorfis1111 Indott

La sfera unità S" è un retratto per deformazione di+~~I },d' R"+'<~ ~Io} la retrazione d' ' ' o otopii E

r è data da r (x) =x /~~x~~ e l'omotopia tra l'identità di R"+I+( o} ed r è la defor­ I~o»orfism fra i grupp1 ~ (E )

xo c x1 e n rsce un

mazione radiale 4(x, t) = (1 — t+t/))x)))x. n( ( I l,y' ) ) è i somorfo alla somma diretta (E )ni ~ xe) Ir„ (, y )

EsempioSe ne deduce che quando due spazi hanno lo stesso tipo di omotopia

{in par­

Sia B„ = [xeR" ( ~~x~~(1}. Si considerino le applicazioni continue di B„ intico are sono omeomorfi ) allora i corrispondenti gruppi di omotopia sono iso­morfi. Inoltre, se A è un retratto per deformazione di E e se i è l'immersione

' d d' se ve ne è qualcuna senza punti fissi (cioè tale c e f (x)/ x

er ogni xcB„ ). L'esistenza di una f siRatta implica che S'"1 (i o r o i „)

(continua) di A in E, allora i è un isomorfismo di (A ) (E,o nl x EA .

è un retratto per deformazione di B„. In fatti per ogni xeB„s i p uò definire

ogni xllE . Se E è connesso per archi la struttura del gruppo 11„(E, xll) non di­

r(x) e S" come l'intersezione di S" con la retta per f(x) e x orientata positi­pende dal punto base x„; si scriverà pertanto 11„ (E).

vamente da f(x) a x e quindi l 'omotopia 4 (x, t) = (1 — t )r(x)~ tx . A l la luceIl gruppo 111(E, x«), detto gruppo fondamentale, venne introdotto da Poin­

degli esempi 1 e z appare quindi plausibile che ogni applicazione continua di

caré [ 18gg]. E viene detto semplicemente connesso quando è connesso per

B, in sé abbia almeno un punto fisso, come in eRetti si proverà piu avanti.,( ) ' b anale, e cioè ridotto al solo elemento neutro; se E è

ln sc a contraibile in un punto allora E è semplicemente connesso. (E ) h

Gruppi di OIIIotopia. Una curva (o cammino od arco) da x„a x1 nello spa­non essere commutativo, viene in generale definito mediante un sistema digeneratori e di relazioni; per tale motivo Tietze h t f i d l 8 l

zio topologico E è un'applicazione continua lz : [o, 1]~E con «1(o)= xp c sc

xll = x, si parla di cappio di punto base x«. Se «1 è un cammino da xll ad x, e [1

ema e l ' isomorfismo di due gruppi non commutativi individuati da sistemi

un cammino da x, ad x~, il cammino x V [l da x«ad x~, giustapposizione di «1 edi generatori e relazioni: si tratta di un esempio di problema di decisione, trat­tato nel $ z.3 dell articolo «Dipendenza/indipendenza» di questa stessa En­d 11'

[1, è definito da

( lz(zt) per o( t ( 1/z I gruppi superiori di omotopia furono introdotti da Cech 1cla

ec ne I l lgz e ripresi

[[1(zt ­ 1) per 1 / z ( t ( 1.c a Hurewicz in una serie di lavori (111gg-g6) che ebbero una grande influenzasullo sviluppo ulteriore della topologia algebr'e rica.

Naturalmente non va confuso il cammino x con la sua immagine «1(fo, 1]) c: E. I l r oproblema della determinazione dei gruppi di omotopia è all'origine di

I o spazio topologico E è detto connesso per archi se dati due punti qualunquel»o tissime ricerche sia nell'ambito della topologia algebrica (ad esempio Mil­llor, Quillen) sia in altri rami della matematica.

di E vi è un cammino che li congiunge; se E è connes o ps e r a rchi allora E è

connesso, ma non viceversa. r

Sia E uno spazio topologico; si indica con i „(E, x«) l'insieme del e c as­ Si indica con GL (N C) il gruppo linea d 11

si di omotopia, relativamente ad A = <(I o o)} &S pp '. .. o)}c:S" del le a l i cazioni ' o"d»e N a c oeflicrent,,n C m un t d 11

f : S~~E per cui f( 1, o, ..., O) = x». In 11„(E, x«) si puo introdurre una strut­ gn1 mat

tura di gruppo con una procedura che s'illustra qui nel caso11= 1. Siano f e g lln vettore con Ns elementi; tale topologia è compatibile con la struttura di

due applicazioni di S in E con f(1, o) =g (1, o) = x«; ad esse corrispondono duc11 r I l P Po.

cappi di punto base x« in E ottenuti per composizione con t~(coszIrt, sin211 ) Sia f un'applicazione continua di $1 in GL (1, C) = Cg(o} e cioè un cam­

Geometria e topologia 66y 66« Geometria e topologia

mino chiuso in R'+sto }. Il «numero di allacciamento» o grado di f, indicato con di Bott. A m i o avviso questa nuova dimostrazione fornisce una chiave per

deg f, è il «numero di giri » che tale cammino chiuso percorre intorno all'origine; comprendere effettivamente i legami tra operatori ellittici e gruppi l ineari»

esso può essere calcolato ad esempio approssimando f con un'applicazione dif­ ibid., p. zgzj.

ferenziabileg e ponendo degf = ( i (zrri) [dg]g. Si verifica che due applicazioni

f«ed fi continue da S' in CQ(o} sono omotope se e solo se deg f« = degf„ I gruppi di omotopia delle sfere. È abbastanza facile dimostrare che sr„($")inoltre per ogni ksZ l 'applicazione di ze S in z»aC+so} ha grado k. Tali è isomorfo a Z utilizzando il grado di un'applicazione di S in sé e che sono ba­

risultati significano che rr,(CQ(o}) e ir, (S ) sono isomorfi a Z. nali i gruppi rr. (Sn) per m(n e ir,„ (SI ) per m) i . Peraltro invece la determi­

Il grado di f può anche essere determinato in altri modi : i ) geometricamen­ nazione di sr„, (S") per m) n) i è un problema assai complicato e non ancora

te: si approssima f(~f~ con un'applicazione differenziabile g di Si in sé e per completamente risolto. In effetti Heinz Hopf ha dimostrato (I93I ) l'esistenza

un qualsiasi valore regolare yeS' di g si conta — algebricamente, e cioè positi­i un'infinità di classi di applicazioni omotope di Ss in S' caratterizzandole con

vamente, risp. negativamente, quando g conserva, risp. inverte, l'orientamento un invariante, detto poi invariante di Hopf, che può assumere tutti i valori interi :

— il numero dei punti di g — '(y) (cfr. oltre, ( 5.z) ; z) algebricamente : si appros­ pertanto ir»(S») è isomorfo a Z. In tale lavoro Hopf esibisce una decoma ecomposizio­

sima f con una serie di Fourier finita g a„z" e si pone degf= (numero de­ ne i in sot t o insiemi omeomorfi ad S , lo spazio dei sottoinsiemi essendo

n = ­» proprio S'. si tratta del primo esempio di fibrato non banale. Tale risultato ven­

gfi zeri) — (numero dei poli) di tale funzione nel disco ~z~(i. n e esteso da Hopf stesso nel I935 al caso delle classi di omoto i d ' l'o opia I app Icazioni

Il fatto che vr;,(S') sia isomorfo a Z e che B» sia contraibile permette (cfr. i S" in S"; in tale occasione Hopf provò che l'invariante numerico da lui

l'esempio 3) di provare nel caso n = z il seguente teorema: costruito assume valori dispari nei casi n= z, y, 8. Solo nel i958 Adams riusci

TEDREMA DEI. Pii»ITO Fi sso (Brouwer, i9iz). Ogni applicazione continua dia provare che in tu tt i g l i a l tr i casi l ' invariante di Hopf non può assumere

B„ in sé ha almeno un punto fisso, e cioè un punto x tale chef(x) = x. valori dispari, risolvendo cosi un problema al quale nel frattempo erano statededicate molte ricerche.

Un primo risultato fondamentale nello studio del problema generale delle Successivamente ( I937) un certo numero di gruppi di omotopia delle sfere

classi di omotopia delle applicazioni f di S" — ' in GL (N, C) è il seguente teo­ è stato determinato da Freudenthal osservando che S" si può ottenere, a meno

rema:di un omeomorfismo, per sospensione dal suo equatore S" ' (e cioè come dop­

TEOREMA DI PERIODICITÀ (Bott, 1959 ) . Sia z ¹ n; se n è d ispari ogni f èpio cono di base S" ' e con i vertici nei due poli di S" ) e quindi provando

omotopa a un'applicazione costante, mentre se n è pari si può definire un intero,che l'omomorfismo dei gruppi <„+„ (S") r r „+„+i(S"+ ) indotto dalla sospen­

degf, e fo, f, risultano omotope se e solo se degf~= degf„' inoltre per ogni kc Zsione è un isomorfismo per n)p +z ed è suriettivo per n=p + i. A partire dair isultati di Ho f su r r rS"p» n , ( ) Freu d enthal ha potuto cosi calcolare un certo

esiste un'applicazione f con deg f = k. numero di gruppi di omotopia delle sfere.

«Io credo che sia giusto asserire che questo teorema di Bott va considerato Nuovi risultati (I95I ) sul calcolo dei gruppi di omotopia, in particolare

come una vera conquista della topologia ed è certamente qualcosa di cui ognu­delle sfere, vennero ottenuti da Serre il quale fra l ' l t

,

' h

no dovrebbe essere cosciente. L'esistenza del grado è ovviamente abbastanzadi omotopia della sfera sono gruppi finiti, salvo i r,„ , (S") per n pari (che è som­

facile : si tratta di omologia ; ma il fatto che applicazioni con lo stesso grado pos­ ma diretta di un gruppo abeliano libero con un solo generatore e di un gru

sano essere deformate una nell'altra è veramente non banale: si tratta di omo­nito ) e ovviamente salvo rr„ (S"). Lo studio dei gruppi di omotopia delle sfere

topia. Tale fatto è assolutamente non intuitivo, e ci basta solo considerare al­ a ricevuto nuova attenzione in seguito a loro insospettate applicazioni al pro­

tri casi di omotopia per vedere quanto siamo fortunati. Per questo le classi>lema della biforcazione globale delle orbite periodiche dei sistemi di equazioni

di omotopia di applicazioni di sfere in sfere sono straordinariamente compli­differenziali ordinarie x= f(x, X) al variare del parametro reale X (Alexander­

cate ed ancora, in generale, ignote. Lo stesso avviene per le applicazioni Yorke e Ize, I974-75).$" — I~GL (N, C) quando zN(n » [ A t iyah I967, p. 239].

Tale teorema è stato recentemente collegato, proprio da Atiyah e Bott, con Altri esempi. Un importante esempio di spazio topologico connesso e com­

uno dei risultati piu significativi dell'analisi e della topologia di questi ultimi patto è il toro T che può essere approssimativamente descritto come una super­

vent' anni. il teorema dell'indice di Atiyah e Singer (cfr. oltre, ) 5.5) per gli icie omeomorfa alla superficie di un anello o di un salvagente; in modo piu

operatori ellittici esteso al caso in cui si considerino anche le condizioni al bor­ preciso il toro può essere definito come a) uno spazio topologico om fomeomor o

do. «Un aspetto interessante di questa connessione è che, cercando di compren­ pro o o x S ; b) uno spazio topologico omeomorfo a ((x,y, z)eR ~dere il significato topologico delle condizioni al bordo, Bott ed io siamo stati ~ (x»+y')' ' — z] +z = i } e cioè l'insieme ottenuto ruotando la circonferenza

ineluttabilmente condotti ad una nuova dimostrazione elementare del teorema (,Y -- 2) +z = I Ilei piailo xz li l tor i lo all asse z'. Gl azle alla. proprietà C) d l p. 663

666 66p Geometria e topologiaGeometria e topologia

Un complesso simpliciale K in Rm è l'unione di un numero finito di simplessi«<h (di dimensione ( m) tali che

x) se s è un simplesso di K a l lora ogni faccia di s è in K;z2

21 z) due simplessi non disgiunti hanno in comune esattamente una faccia.

Xp La dimensione di K, d imK , è la piu grande dimensione dei simplessi checompongono K.

Figura 8. È importante sottolineare che un complesso simpliciale K non è uno spazioDue cammini con punto base xp nel piano «bucato» in z, c - 2 . topologico, ma solo un insieme i cui elementi sono simplessi. Il sottoinsieme di

R f o rmato dai punti che appartengono ad almeno uno dei simplessi di K,

dei gruppi di omotopia e a quanto già si è visto per ht,(Sh) si ricava che hth(T) munito della topologia indotta, è uno spazio topologico compatto e metrizza­

è isomorfo a Z®X e cioè è un gruppo abeliano libero con due generatori.bile, indicato con ~K~ e detto anche poliedro con triangolazione K. Ad esempio

Se si considera una sfera con due manici M (c fr . fig. p) allora htx(M) èun n-simplesso s non è un complesso simpliciale, ma è possibile associarvi il

il quoziente del gruppo libero di generatori a„b „ az, b, modulo il sottogruppocomplesso simpliciale K (s) formato da s e da tutte le facce di s; risulta tuttavia

normale generato da axbxay bi azb,az'bz', si tratta di un gruppo non commu­ ~K(s)~= s come sottoinsieme di R~. Si osservi inoltre che per due complessi

tativo.simpliciali Kvs-L può risultare ~K~= ~L~.

Si considerino il Piano Privato di due Punti z, e zz ed i cammini ah e c<zDati due complessi simpliciali K ed L, un'applicazione simplicialef di K

in L è un'applicazionef : (K[~~L~ tale che(fig. 8) ; c<x V»pz non e omotopo a «<zV»<xQualora E sia un gruppo topologico allora si può dimostrare che xth(E, xa) x) se a è un vertice di un simplesso di K, a l lora f(a) è un vertice di un

è commutativo. simplesso di L;2) se a„, a„.. ., a„sono i vertici di un n-simplesso di K, allora f(aa), f(a,),

4.3. Omologia e coomologia. ..., f(a„) generano un simplesso di L;3) f è lineare affine su ogni simplesso di K.

Poincaré introduce anche, nella già citata memoria [x895], il concetto digruppo di omologia per una varietà; in seguito alle critiche di Heegaard (x898),

Le applicazioni simpliciali sono quindi applicazioni continue di ~K~ in ]L~ che

Poincaré (x899) sostituirà alla nozione un po' imprecisa di varietà, fino ad alloraconservano la struttura simpliciale. Il fondamentale teorema di approssimazio­

usata, la nozione di poliedro, che verrà assunta a base della topologia combina­ne simpliciale afferma che ogni applicazione continua di ~K~ in ~L) può essere

toria nell'articolo «Analysis Situs» (x9o8) scritto da Heegaard in collaborazioneapprossimata, in modo preciso quanto si vuole, da un'applicazione simpliciale

con Dehn per l'edizione tedesca dell'Enzyhlopadie der mathematischen Wissen­di ~K<">~ in ~<L~, ove K<' è un complesso simpliciale ottenuto per suddivisione

schaften (Enciclopedia delle scienze matematiche). L'aspetto algebrico viene pe­baricentrica opportuna dei simplessi di K e quindi ~K<"( = (K(.

rò messo in completa evidenza solo nel x9z8 da Heinz Hopf sotto lo stimoloL'importanza dei simplessi e dei complessi simpliciali in topologia è molto

di Emmy Noether, e da allora esso diverrà fondamentale in tutto lo sviluppogrande; in effetti, secondo Aleksandrov, si può formulare «il problema fonda­mentale della teoria topologica degli insiemi nel modo seguente: Determinare

della teoria. la struttura di quegli insiemi che si possono collegare col materiale intuitivo fornito

Complessi simpliciali. Se guendo Hopf, un simplesso chiuso s di dimensionedalla topologia elementare dei poliedri, e che perciò sono suscettibili di essere con­

n (o n-simplesso) è l'inviluppo convesso, chiuso e limitato, di n + x punti, detti siderati come figure geometriche, sia pure nel senso phu generale della parola.

vertici, affinemente indipendenti in Rm (m) n) : ad esempio un segmento è unVien da sé che questa formulazione del problema ne implica un altro e cioè

x-simplesso, un triangolo non degenere è un z-simplesso, un tetraedro noni l problema dello studio sistematico delle strutture del t ipo r ichiesto. Tale

degenere è un 3-simplesso, ecc. Ogni insieme di r+ x vertici (o< r ( n ) sceltistudio deve essere basato su quelle proprietà che permettono di r iconoscere

fra gli n+ x di un n-simplesso definisce un simplesso r-dimensionale detto la­effettivamente il collegamento menzionato, rendendo possibile, di conseguenza,

to o faccia del simplesso dato (i vertici sono o-simplessi). Un simplesso è in­ la geometrizzazione dei concetti piu generali della teoria degli insiemi» [in Hil­

dividuato dall'insieme dei suoi vertici, due simplessi coincidono se hanno glibert e Cohn-Vossen x93z, trad. it. p. 453].

stessi vertici. Due simplessi sono omeomorfi se esiste una trasformazione lineareUna triangolazione dello spazio topologico E è costituita da un complesso

affine di uno nell'altro e quindi un n-simplesso è individuato (a meno di omeo­simpliciale K e da un omeomorfismo q : ~K~ ~E, munito della triangolazioneK, lo spazio E viene detto triangolato. La «struttura simpliciale» di E non di­

morfismi ) dalla dimensione.

Geometria e topologia 668 66ti Geometria e topologia

a8 a8as a8

ò8

ao a> ao a, a> ao a,

[a> a8 as] [ o a> a,] Figura ro.

Figura o. L 'operazione bordo su [ao, a„a, ] .Due z-simplessi con orientamento opposto.

per o <p < dimK con la convenzione che C, (K; G) = o e che ò = o = ò .pende dalla triangolazione. Ogni superficie compatta è triangolarizzabile con un

— 1 i o d im lr+l'Gli li elementi di Z~ (K; G) sono detti p-cicli a coefficienti in G . q 1 1 ' d '

complesso simpliciale di dimensione z. B K .„( ; G) sono detti p-bordi a coefficienti in G, H„ (K; G) è il p-esimo grup­po di omologia di K a coefficienti in G. Se G=Z si scrive solo C lK~ Z„~K~

Gruppi di omologia. Un n -simplesso ordinato (n) t) è definito dagli n+ i ecc. Si scrivera à invece di à quando non vi è pericolo di confusione. Per de­vertici assegnati in un certo ordine (fig. g) ; due simplessi ordinati sono equiva­ finizione di gruppo quoziente, due p-cicli a coefficienti in G, siano c, e ca so­lenti qualora i vertici di uno si deducano da quelli dell'altro con una permuta­

1 2 >no omologhi (e si scrive c, c2 ) se c,— c2 è un p-bordo e cioè se esiste una

zione pari. Per passaggio al quoziente si ottiene la definizione di n-simplesso (p+ i )-catena d tale che ò„+ id = c,— c2.chiuso orientato indicato con [s] = [ao, a„..., a„], Gli o-simplessi hanno solo Se E è uno spazio topologico triangolato da K, il p-esimo gruppo di omolo­una orientazione. Un complesso simpliciale i cui simplessi sono tutti orientati gia di E a coefficienti in G, indicato con H„ (E; G), è H„(K; G). Usando ilè detto complesso simpliciale orientato. teorema di approssimazione simpliciale, si dimostra che i gruppi di omologia

Dati il complesso simpliciale orientato K e il gruppo abeliano G (in generale sono associati in modo «naturale» allo spazio topologico triangolarizzabile EG è Z, R, C oppure Z2), il gruppo C~(K; G) delle p-catene di K a coefficienti nel senso che sono verificate le condizioni A ) e a) di p. 66o e inoltre, se qoin G è, per o <p < dim K, l' insieme delle combinazioni lineari formali e t[>, sono due applicazioni omotope di E in F, allora gli omomorfismi indotti

gg,[s] con g,eG da H~(E; G) in H~(F; G) sono gli stessi. Se ne deduce che quando due spazi8 topologici triangolarizzabili E ed F hanno lo stesso tipo di omotopia (in parti­

ove la somma è estesa a tutti i p-simplessi orientati di K con la convenzione checolare sono omeomorfi ), allora i corrispondenti gruppi di omologia sono iso­morfi.

g,[ao, ai, , a „ ] + g , [a„ ao,..., a„] = o. Se p = dimK+ t a l l ora C„(K; G) = o .

Se G è un corpo commutativo, allora C„(K; G) è uno spazio vettoriale suSiccome H„ (E; G) è un gruppo commutativo finitamente generato, esso è

G la cui dimensione è il numero dei p-simplessi di K.la somma diretta di un numero finito di gruppi abeliani liberi a un solo gene­

Sia [s] = [ ao, a„..., a~+,] un (p + i )-simplesso orientato, allora il bordo ratore (isomorfi a Z ) e di un numero finito di gruppi ciclici di ordine finito.Il numero dei fattori isomorfi a Z è detto rango di H„ (E; G) ed è per definizio­

àp+i [s] di [s] è la p-catena definita da ne il p-esimo numero di Betti di E, mentre gli ordini dei gruppi ciclici finiti

òz+,[s] = [ai, a2, ..., a>+t] — [ao, a2, ..., a +i] + [ao, ai, as, ..., a +i] + ... + sono i coefficienti di torsione p-dimensionali. I gruppi di omologia di ~K~ sonocalcolabili in un numero finito di passi con un procedimento effettivo intro­

+ ( — i)t'+' [ao, a„..., a„]. ducendo la cosiddetta base standard di K. Tale risultato implica quindi la pos­

Ad esemPio ò, [ao a i] = [ai] [ o ] à2[ao ai a2]= [a» 2] [ o 2]+[ao ai] = sibilità di verificare in un numero finito di passi se due spazi topologici triango­

= [ao, a,]+ [a,, a2]p [a2, ao] (cfr. fig.' io ). larizzabili E ed F hanno gruppi di omologia non isomorfi, nel qual caso E ed F

L'applicazione bordo à„+,. C„+, (K; G)~C„(K; G) è l 'omomorfismo di non sono omeomorfi; cfr. anche la congettura di Poincaré a p, 67z.

gruppi definito da à~+t(Zg,[s]) = hg»à„+,[s] e gode della proprietà ò„eò~+i ­— o I gruppi di omologia H„ (E; G) con G gruppo abeliano qualunque possono

per ogni p)o . Si possono pertanto definire i gruppi:essere calcolati a partire dal caso G =Z grazie a un teorema di Eilenberg-Mac­l ane ( tq4x) In particolare se G è un corpo commutativo (ad esempio Q, R

Z„(K; G) = [ce C~(K; G) ~ à~c= o ] o C) risulta H„ (E; G) = H (E) ®z G, e quindi i numeri di Betti coincidono con

B„(K; G) = [de C~(K; G) ~ esiste cc C„+, (K; G) con à„+,c= d) hi dimensione, su G, dei G-spazi vettoriali H~(E; G).H>(K; G) = Z>(K ; G)/B>(K; G)

Geometria e topologia 67o 67r Geometrta e topologta

Ad esempio, se E è una superficie compatta, y (E) = F — S+ U ove F, S, VGruppi di coomologia. An che se i gruppi di omologia a coefficienti interi indicano rispettivamente il numero delle facce, degli spigoli e dei vertici della

furono introdotti da Poincaré, lo studio dei gruppi duali è iniziato molto piu triangolazione K; nel caso dei poliedri è quest '1 t d E 1o i eorema i u er o (r75o)recentemente, intorno al r935, per opera soprattutto di Alexander, Cech e Whit­ a qua e è possibile dedurre che esistono solo cinque l' d ' 1que po ie ri rego ari : tetrae­ney. Ciò è comprensibile poiché il contenuto intuitivo di questi gruppi duali è dro cuboro, cubo (o esaedro), ottaedro, dodecaedro ed icosaedro (si tratta dei cosiddettimolto meno evidente, anche se attualmente il concetto di dualità svolge un ruolo solidi platonici, perché già noti a Platone, che attribui loro una grande im or­preponderante in molti ragionamenti matematici (cfr. l 'articolo «Dualità» di ) ; per essi, e piu in generale per ogni superficiequesta stessa Enciclopedia). Precisamente, il gruppo abeliano delle p-cocatene omeomorfa alla sfera, risulta tE > =) = 2 mentre per una sfera con g manici (cfr.del complesso simpliciale K a coefficienti nel gruppo abeliano G è l ' insieme p. 647) risulta y(E) = z( i — g) : per il toro si ha quindi y (E) = o.C~(K; G) = Hom(C„(K),G) di tu tt i gl i omomorfismi di C (K ) i n G . Ogni I gruppi di omologia, e cioè i numeri di Betti, determinano compi t tomp e amentep-cocatena è quindi individuata quando se ne conosce il valore sui p-simplessi le clas 'ssi di omeomorfismo per le superfici com ttpa e, connesse e' orientabili;di K che formano un sistema di generatori per C„(K), i l valore della p-coca­ come osserva Poincaré in dimensione sup ' f fi h ' dperiore «a nc é due varietà chiusetena oi' sul p-simplesso orientato s~ è indicato con (<st', s~) : è un elemento di G. siano omeomorfe non basta dunque che bb' l'esse a i ano g i s tessi numeri di

L'operazione bordo ò a m mette un'operazione trasposta, detta cobordo, Betti» «e questo fatto ci mostra quanto le questioni di Analysis situs si com­

d~, : C i' ' (K; G)~C i' (K; G) che viene definita sulla (p — l)-cocatena iri'- ' p icano quando il numero delle dimensioni aumenta» [i 8 , 8 j .[ r 95> PP' 3> 7i j 'ponendo, per ogni p-simplesso s„, (d„ ics, s >)= (ci> —, ò„s ). È facile veri­ a caratteristica di Eulero-Poincaré può essere c 'd tficare che d„+lod~ = o ; definendo il gruppo Zi' (K; G) dei p-cocicli come il sot­ versi (c r. $) 6.i e 6.4); essa è stata generalizzata da Lefschetz i 9 6 ' 1togruppo delle p-cocatene con cobordo nullo e i l sottogruppo Bl'(K; G) dei guente :sia f un applicazione continua di E in sé e siaf~> l'endomorfismocobordi delle (p — r )-cocatene, allora viene detto p-esimo gruppo di coomolo­ in otto in H„ (E; R) ; allora il numero di Lefschetz di f ègia il loro quoziente Hr (K; G)= Zi' (K; G)(Bri (K; G). Nel caso in cui G sia un dimX

corpo commutativo si verifica che lo spazio vettoriale Hr(K; G) è il G-duale L(f) = y ( — r)~tr(f, )di H~(K; G); si t ratta di spazi vettoriali di dimensione finita. i>=0

In modo analogo a quanto fatto per i gruppi di omologia si può definire il ove tr (f~~) è la traccia dell'endomorfismo f~~. Un teorema di Hopf assicuragruppo H"(E; G) per uno spazio topologico con triangolazione K e si hanno c e

proprietà analoghe a quelle dei gruppi di omologia. ili n> X

Le proprietà algebriche astratte dei gruppi di omologia e di coomologia tro­ (f) = Z ( — ')" «(f,)vano una naturale formalizzazione nell'ambito delle categorie e dei funtori in­

+ = O

trodotti in questo contesto da Eilenberg e MacLane (r945) e poi ampiamentequalora f~ sia un endomorfismo di C„ (E; R) che induce f~~ su H (E; R). Se f

usati nella matematica moderna (cfr. gli articoli «Assioma/postulato» e «Fun­è l'identità di E, allora L (f) =y (E) ; la formula di Hopf coincide allora con la

zioni» di questa stessa Enciclopedia).'ormula (r) di Poincaré. Il teorema del punto fisso di Lefschetz, generalizza­zione i auello di Brouwer asr' a , afferma che sef è omotopa ad un'applicazione sen­

La caratteristica di Eulero-Poincaré. Sia E uno spazio topologico triango­ za punti fissi allora L (f) = o. L(f) = . e fschetz ha inoltre dimostrato l'uguaglianza di

larizzato dal complesso simpliciale K; la caratteristica di Eulero-Poincaré di E l.(f) con la somma degli «indici» dei punti fissi di f : è la cosiddetta formula

è il numero interodel punto fisso di Lefschetz ulteriormente ripresa (r966) da Atiyah e Bottnell'ambito dei complessi ellittici.

dim I< dina K

y(E) = g ( — r)i' dimH„ (E; R) = g ( — r)i ' dimHt' (E; R)i>=0 S>=0

Calcolo di alcuni gruppi di omologia. Se r è il numero delle componenti

ove dim H~(E; R) è la dimensione su R dello spazio vettoriale reale H„ (E; R)connesse di E, allora HO(E) è isomorfo a Z" giacché due o-cicli sono omolo hi

uguale a dim Hr (E; R) — poiché i due spazi sono duali uno dell'altro — e ugua­sc appartengono alla stessa componente connessa della triangolazione K di E.

le al p-esimo numero di Betti di E. Un r isultato assai significativo dovuto aSiccome S' può essere triangolato come bordo di un z-simplesso, risulta

,( ' ) ; p g ' r -sim p lessi della triangolazione possono esserePoincaré è il seguente: orientati in modo che Z [sj sia un ciclo. S d d h Z , je ne e uce c e g, j s] è un ciclo

dim tc( ) X(E) = Z ( — )" (K) nc c solo se g,=g, per qualunque s, t e quindi C,($') è generato da Z[s].

i>=0 ll,(S ) è dunque un gruppo abeliano libero con un solo generatore isomorfo«l

dove or.„(K) è il numero dei p-simplessi di K, e cioè dimC„(K; R ). pertanto a Z.

Geometria e topologia 67z 673 Geometria e topologia

In modo analogo si verifica che H„ (S") è isomorfo a Z; ri sulta inoltreH~($~) = o per i <p < n — i estendendo la seguente dimostrazione del caso Aspetti della geometria differenziale.n = z, p = i : ogni cammino chiuso su S' è un bordo e quindi omologo a zero.

Ricordando che la retta proiettiva reale è omeomorfa ad S', se ne ricavano La geometria differenziale nasce sostanzialmente insieme all'analisi per ri­i gruppi di omologia; per il piano proiettivo reale si ottiene : H,(P~(R)) isomor­ spondere all'esigenza di dare un significato geometrico a diverse operazioni difo a Z, mentre il secondo gruppo è banale. calcolo e si sviluppa fino al Settecento soprattutto come studio locale di curve

Per quanto riguarda gli spazi proiettivi complessi, risulta H„(P"(C)) = o e superfici dello spazio euclideo a tre dimensioni.per i <p<zn — i dispari e H (P"(C)) isomorfo a Z per o<p<zn pari; il caso L'impostazione moderna ha inizio nel i8z7 con l'opera di Gauss Disquisi­

n= i segue dai calcoli fatti per S', che è omeomorfa alla retta proiettiva com­ tiones generales circa superficies curvas; in essa per la prima volta una superficieplessa. viene rappresentata in forma parametrica, avvio del concetto di varietà diffe­

Il calcolo dei gruppi di omologia di B„non presenta difficoltà, e si ottiene renziabile, e viene chiarito il significato di proprietà intrinseca di una super­

H (B„) = o per i <p< n . C onfrontando tale risultato con quello ottenuto per ficie, cioè di proprietà dipendente solo dalla metrica e non dalla forma con cuiS" si ricava che B„e $" ' non hanno lo stesso tipo di omotopia e quindi una di­ la superficie si presenta nello spazio.mostrazione del teorema del punto fisso di Brouwer per confronto con quanto Un nuovo impulso alla geometria differenziale viene dato dalla tesi di Rie­detto nell'esempio 3 di p. 66z. mann (scritta nel i854, ma pubblicata nel i866 ) Uber die Hypothesen, roelche

Se E è una varietà compatta, connessa e orientabile di dimensione n, allora der Geometrie zu Grunde liegen (Sulle ipotesi fondamentali della geometria ). InH„(E) è isomorfo a Z, altr imenti è banale; in ogni caso Però H„(E; Za) è essa la varietà appare come un ente astratto, i cui elementi sono individuati da

isomorfo a Za, Piu in generale il teorema di dualità di A lexander-Poincaré n numeri e affiiora anche la possibilità di considerare varietà di dimensione infi­assicura che, se E è orientabile, allora H>(E) è isomorfo ad H" r (E), mentre nita: ma l'elemento caratteristico di Riemann è quello di considerare la varietàin ogni caso risulta H„ (E; Z,) isomorfo a H" r (E; Z,). dotata di una forma quadratica che permette di eseguire delle misure di distan­

ze e di angoli; anche oggi col termine 'geometria riemanniana' s'intende quellaIl teorema di Hurervicz ( rg') . Nel caso in cui lo spazio topologico trian­ parte della geometria differenziale che si occupa delle proprietà metriche delle

golarizzabile E sia connesso per archi Hurewicz ha fornito il seguente metodo varietà.generale per collegare i gruppi di omotopia n„(E) con i gruppi di omologia Piu avanti Christoffel e quindi Ricci Curbastro introducono il calcolo dif­

H„(E) per n) i . S ia f : S" ~E un r a ppresentante della classe di omotopia ferenziale assoluto il cui significato geometrico, in relazione a varietà rieman­

xF rr„ (E) ; si definisce allora h„ (x) = fs,„(o„) ove o.„è un generatore di H„($") niane, verrà messo in evidenza da Levi-Civita e costituirà una delle basi mate­

e f~„è l'omomorfismo di H„(S") in H„(E) indotto da f. Si verifica che h„è un matiche della teoria della relatività.omomorfismo di rr„ (E) in H„(E) ; nel caso n = i esso è suriettivo e il suo nucleo Della scuola di geometria differenziale italiana occorre segnalare ancheè il sottogruppo dei commutatori di r r ,(E). Se risulta inoltre rc„(E)= o per l 'attività di Corrado Segre, di Bianchi, che è autore di trattati molto noti, e

i <r <n, allora h„è un isomorfismo. Il teorema di Hurewicz permette di deter­ quindi di Fubini, Terracini e Bompiani, che hanno contribuito in maniera no­minare molti gruppi di omotopia, riducendo tale problema a quello di carattere tevole allo sviluppo della geometria proiettivo-differenziale.

combinatorio, e quindi piu semplice, del calcolo dei gruppi di omologia. I progressi di altri filoni della matematica, quali i gruppi di Lie, la topologiaalgebrica e la topologia differenziale, avranno notevole infiuenza sulla geome­

I.a congettura di Poincaré. Co me si è visto in precedenza, tutte le superfici tria differenziale, ammesso che si possano chiamare con nomi diversi settori di

compatte, orientabili e semplicemente connesse sono omeomorfe alla sfera S', ricerca tanto vicini : l'opera di Elie Cartan sembra la piu rappresentativa dellenel quinto supplemento ( igoy) alla sua memoria del r895, Poincaré costruisce nuove tendenze

un esempio di varietà E a tre dimensioni il cui gruppo Hi(E) è banale, mentre La sua attività è orientata principalmente verso tre settori: la teoria dei

rc,(E) non lo è, ed enuncia una congettura per cui ogni varietà compatta, sem­ gruppi, lo studio dei sistemi di equazioni differenziali e la geometria differen­plicemente connessa ed orientabile è omeomorfa ad S', Tale congettura può ziale.essere formulata in dimensione n nel modo seguente : ogni varietà di dimensione Nella recensione di un l ibro di Cartan scriveva Hermann Weyl: «Cartann, compatta, semplicemente connessa ed avente gli stessi gruppi di omologia (o è indubbiamente il piu grande maestro vivente nella geometria differenziale...

di coomologia) di S" è omeomorfa ad S"? Con un risultato ( iil6o) assai sorpren­ l)evo ammettere che ho trovato il l ibro, come la maggior parte dei lavori di

dente Smale ha risposto positivamente per n) 5 a tale questione, mentre nei Cartan, di difficile lettura. Può essere la ragione di questo solo nella grande tra­casi n = 3, 4 la congettura di Poincaré resta un problema aperto, malgrado i dizione geometrica francese in cui Cartan opera, ed i cui stile e contenuti eglinumerosissimi studi ad essa finora dedicati. suppone piu o meno acquisiti come fondamento comune per tutti i geometri,

675 Geometria e topologiaGeometria e topologia 674

mentre noi, nati ed educati in altre nazioni, non ne siamo partecipi?» [I938,e superfici» di questa stessa Enciclopedia ). Se si considerano tutti i punti de]­'aperto U di M con z ) o , essi si possono rappresentare nella forma:

p. 6oi ].La realtà è che i lavori di Cartan presentano forti innovazioni ed occorre­ u' v'

ranno alcuni decenni per comprendere, evidenziare e sistemare nella forma at­ ( i ) z = u y = v a' b"tuale i risultati piu significativi contenuti in essi.

Gli sviluppi degli ultimi tempi hanno fatto superare diversi confini che i set­tori della matematica si erano storicamente dati e, se da una parte ciò ha contri­

queste formule definiscono un omeomorfismo /i>« tra l'aperto U di M e l 'aperto

buito a renderla «piu difficile», si è anche assistito alla scoperta di risultati mol­i R' costituito dai punti (u, v) per cui i — ua/as — vt /bs>o; se tp<(P) = (u, v),

to piu generali. Dallo studio infinitesimale e locale dei problemi, fatto con l'usosi dice che (u, v) sono le coordinate locali di P nella carta (U, /i><,) (cfr. fig. i x).

di derivate, che è tipico della geometria differenziale, si è cercato di avere infor­Se si considerano invece i punti dell'aperto V di M per cui y) o, essi si pos­

sono rappresentare con le equazioni parametrichemazioni su proprietà globali, magari di tipo topologico, delle varietà, e, d'altraparte, per lo studio di problemi in grande, è indispensabile e talvolta sufficiente u vconoscere il problema nei suoi aspetti locali. x = u y = b i — ­

.

Quello che segue, dopo alcune premesse, non potendo essere un'esposizio­a c

ne sistematica e coordinata dei diversi problemi della geometria e della topolo­ e si ha un omeomorfismo ti>>, di V su un aperto di Rs.gia differenziale, è soltanto un tentativo di i l lustrare con alcuni esempi quanto Se Pe UA V, tra le coordinate locali (u, v), (u', v') di P ne l le due cartesi è detto. sussistono le relazioni

lt u' v'5.i. Considerazioni elementari di geometria differenziale.

u = t l , V =c(

I — — — —.bs

Per illustrare alcuni dei concetti che verranno utilizzati nel seguito, è op­ Siccome è possibile trovare un certo numero di aperti del tipo U, V, ... con cui1 '

portuno considerare qualche problema che si presenta in maniera naturale nello ricoprire l'ellissoide e inoltre poiché il passaggio tra le coordinate locali in carte

studio di una superficie e, per semplicità, si esaminerà di solito un tipo precisodiverse è espresso da funzioni differenziabili di R' in R', si dice che l'ellissoide

di superficie: l'ellissoide M di equazione cartesiana x' /a'+y ' /bs+zs/c' = i c he ha una struttura di varietà differenziabile reale di dimensione z.

è un esempio di superficie connessa e compatta.Lo spazio tangente. Si consideri una curva y passante per il punto P ap­

Varietà differenziabile. Un modo diverso per rappresentare la superficie, i>artenente all'intorno coordinato U; per assegnare la curva y basterà esprimere

piu conveniente per gli scopi della geometria differenziale, è quello d'individuar­u, v come funzioni di un parametro t in modo che, se P ha coordinate locali up,

ne le varie parti mediante equazioni parametriche (cfr. ) 4.5 dell'articolo «Curve v >p> f>sulti up u (tp)> vp = V (tp).Il vettore tangente j (tp) alla curva y (t) in P rispetto al riferimento naturale

<li Rs ha coinponenti, come risulta dalle ( i ), date da

C

p e I> 'mche

U e> T M, --4 - o - - ,'

// + — o, i ,

I

Da ciò segue che la totalità dei vettori tangenti in P ad M è uno spazio vet­v,(p) i C' II» i@le T>M di dimensione z (cfr. fig. i i ), una cui base è costituita dai vettori

r> ­( i, o, (òz/òu)i) ed es = (o, i, (òz/òv)z), che sono tangenti rispettivamenteF igura r i . I>llc linee u = t , v = vp e u = up v =t passanti per P.Carta locale di un el l issoide e piano tangente nel punto P.

Geometria e topologia 6 67 677 Geometria e topologja

Considerato l' insieme 5 (M) delle funzioni differenziabili a valori realidefinite su M, ogni funzione f in un in torno di P si esprimerà nella formaf(u, v); i l vettore tangente j ( to) definisce un'applicazione lineare di 5 (M) in

R data da/

Or ~ ­ o

dt " àu dt òv dt 2zI

I

in particolare si haa) b)

,u) = —,f„ au) =—", .

c)

Figura rz.

per cui la base «naturale» e„e2 si indica anche generalmente con (ò/àu)p, Grafici di una funzione di due variabili nell' intorno di un punto critico non degene­re: a) minimo, b) massimo, c) punto di sella.

(à/àv)p, e ogni vettore tangente si scrive

+V ­ l'analogo della derivata seconda di una funzione in una sola variabile, cioè lamatrice hessiana di f in Q:,

ò2f ò2fV, )P si dicono le componenti di ) i n tale base. à„,(Q) àu à,(Q)

La totalità dei vettori tangenti ad M costituisce il fibrato tangente TM, l a Ho(f) =

cui fibra in ogni punto P di M è TpM. Un campo vettoriale X su M è una leggeò2f ò2f

che associa a ogni punto di M un vettore tangente con componenti che dipen­ à, àu(Q) à,,(Q)dono differenziabilmente dalle coordinate locali del punto e quindi X è una se­ se il determinante di H< (f) è diverso da zero, il punto Q si dice non degenerezione differenziabile di TM.

Considerati due vettori qualsiasi di Tp M — A =A (à/òu)p+) t (ò/òv)p e ed f presenta in Q un minimo, un massimo relativo oppure un punto di sella

it = p.' (ò/àu) p~ i t2(à/òv) p —, utilizzando i l p rodotto scalare di R s si ha a seconda che gli autovalori di H< (f) siano entrambi positivi, entrambi nega­

'yg, (), tit p) 2p,' ) pg X p.' ove r i sulta g„ = I l(à/òu)pll, gt2 = tivi oppure di segno opposto ; ognuno di tali punti è isolato, cioè esiste un con­

= (ò/òu)p. (ò/òv)p, g22 ­— ll(ò/òv)pll2 si Può quindi eseguire il Prodotto scala­ veniente intorno di ognuno di essi in cui non cadono altri punti critici (fig. xz).

re in ogni spazio tangente e i prodotti scalari g,s degli elementi della base na­Una situazione meno precisa si ha se det H< (f) = o; in tal caso il punto Q

turale variano differenziabilmente col punto P; questo fatto si esprime dicen­si dice degenere e non basta piu l'uso delle derivate seconde per decidere sul

do che M ha una struttura riemanniana, quella che eredita come sottovarietàcomportamento della funzione; i casi che si possono presentare sono, oltre aquelli già indicati, svariati altri (come ad esempio quelli della figura tg ). La

di Rs.La presenza della struttura riemanniana permette il calcolo di diverse gran­

classificazione dei punti crit ici degeneri delle funzioni differenziabili da R"

dezze, quali gli angoli tra vettori tangenti, le aree, le lunghezze di archi di curva;ad R è alla base della teoria delle catastrofi elementari e una funzione dotata

ad esempio, la curva y (t) (cc<t<P) ha lunghezza data da L(y)= J'„Ilj(t)ll dt, solo di punti critici non degeneri si dice anche di Morse.

Considerata una superficie M, si fissi un punto Po dello spazio e si consideriove la funzionef definita da f(P) = IIP — Polis per ogni punto P di M; si può vedere,

(dut ' du dv / dv) 2anche per motivi geometrici intuitivi, che f ha un punto critico in Q se e solo

llv(t) II=

se il segmento QP« è perpendicolare al piano tangente in Q ad M; cosi, ritor­nando all'esemPio dell'ellissoide, se Po è un Punto (o, o, zo) dell'asse z, IIP — Pali

Punti critici di funzioni definite sulla varietà. Lo scopo di quanto segue è presenterà punti critici in C (o, o, c) e C'(o, o, — c). Per studiare la funzione nel­quello di evidenziare alcune proprietà di funzioni a valori reali definite su

M. le vicinanze del punto C, basterà considerarne la restrizione all'intorno coordi­

ogni funzione f in un intorno coordinato U si rappresenta, come già si è detto, nato U in cui, per le (r), è rappresentata danella formaf(u, v) come funzione da R 2 a R e un punto Q di M si dice critico

u2per f se si ha (hf(àu)ct ­— (òf/òv)ct ­— o. IIP — Poli' = f(u, v) = u '+v' + c t ­

— , ­ —,— z,Per studiare il comportamento di f vic ino a un punto critico, si considera a

Geometria e topologia 67S679 Geometria e topologia

. r~

A i, L>

O ,<L,I

/rI

a) b) c)Figura >4.

l'igura tg . Curvature principali: a) punto ell i t t ico C; b) punto iperbolico A. Nel toro c) si haGrafici di funzioni di due variabil i nol i ' intorno di punt i c r i t ic i degeneri. In a) è una regione I d i punt i el l i t t ici, una regione I I d i punt i iperbolici e due curve L L,

rappresentata la funzione f (u, v) = v' con una retta di punti crit ici ; in b) (sella di scimmia))

>1di punti parabolici.si ha una superficie tale che ogni piano per n la interseca in una curva con un flesso in O :ad esempio la funzione f pud essere data da f(u, v)=u' — guv',

Se si considera ad esempio un toro mentre nei punti esterni (reg' I' ( gionedel

il comportamento di f in C è determinato dalla posizione di Po e dalla formae la figura r4c) si ha un comportamento analogo a quello dell'ellissoide, per i

dell'ellissoide; cosi, se Po è l'origine (z»= o), se a> c e b) c f ha un minimo inpunti della regione II in cui il piano tangente taglia la superficie si otterrà unacurvatura gaussiana negativa; basta osservare che nel punto A,

C, mentre ha un massimo se a(c e b(c , una sella se ad esempio a (c ( b .pun o , per esempio, i

Fissato l'ellissoide, se si cerca per quali valori di zo la funzione consideratacentri di curvatura variano sulla retta normale n al di fuori del segmento RSe le curvature principali, che sono gl'inversi delle misure con segno di AR e

presenta in C un punto critico degenere, si trova che ciò avviene se e solo se AS, hanno segno opposto. Nei punti delle linee L, ed Lz si ha che una dellez» = c — (a /c), oppure zn = c — (b /c) ; si trovano cosf in generale due punti R, c urvature principali è nulla e quindi K = o .S dell'asse z, che vengono detti punti focali relativamente alla superficie M e I punti di una superficie in cui K) o, K = o, K( o s i dicono rispettivamenteal punto C. I punti R, S sono strettamente legati, come si vedrà, alla geome­ ellittici, parabolici, iperbolici.tria della superficie M in un in torno del punto C. Un primo risultato interessante relativo alla curvatura K, noto come teo­

Curvature di una superficie. Se s 'interseca l'ellissoide M con un piano s<rema «egregium» di Gauss, è che, pur definendo la curvatura gaussiana utiliz­zando l'immersione della superficie nello spazio, in realtà K è un ente intrinse­

passante per la retta n perpendicolare ad M in C si ottiene un'ellisse <s il cuicentro di curvatura, relativo al punto C, cioè il centro del cerchio (detto anche

co e dipende solo dalla metrica della superficie: due superfici come il p' 1ci in ro, che localmente hanno la stessa metrica, hanno entrambi la stessa cur­

«osculatore») che meglio approssima <r in C, varia lungo il segmento RS al va­ vatura, che è nulla,riare di o< intorno alla retta n.

Le lunghezze dei segmenti congiungenti C con R e con S, con un segno op­Un altro risultato fondamentale riguarda la curvatura totale di una superficie

portuno dipendente dall'orientamento introdotto sulla retta n, si dicono i raggi<>rientata e compatta, definita dal numero f»tK dS, ove dS è l'elemento di area.Sc ad esempio M è una sfera di raggio r, si ha K = r /rz e la curvatura totale va­

di curvatura principali, i loro inversi sono le curvature principali, il cui prodott<> le 4rt, cioè non dipende dal raggio ; ma si ha molto di piu : se si deforma la sfe­rappresenta la curvatura gaussiana di M in C che è perciò data da K = c'/a'b'-'.

ra, pur variando la curvatura gaussiana e l'elemento d'area, la curvatura totaleIn generale, se si fissa un punto di una qualsiasi superficie M, le curvature

principali si possono calcolare direttamente (cfr. anche il $ 4,4 dell'articol<>non varia finché non compaiono buchi sulla superficie, cioè la curvatura totale

«Curve e superfici» di questa stessa Enciclopedia) come il massimo e il minim<><~ un invarianté topologico. Si dimostra infatti che, indicando con y (M) la ca­

della curvatura (con segno) delle sezioni normali di M in quel punto ; bisogn;>riitteristica di Eulero-Poincaré (cfr. p. 67o) di M, si haf~K dS = zit a(M), risul­

t enere presente inoltre che, a differenza dell'ellissoide in cui è ovunque K) <>l;ito noto come teorema di Gauss-Bonnet, che verrà ripreso in seguito.

( fig. r4a), vi saranno anche dei punti in cui K ( o ( f i g . i 4b) e K = o.Cosi per il toro si ha curvatura totale nulla e la cosa appare ragionevole dal

l>iinto di vista intuit ivo in quanto al contributo positivo dato dai punti della

68o 68r Geometria e topologiaGeometria e topologia

regione I (fig. r4c) bisogna sottrarre il contributo che proviene dalla regione Il.L'annullarsi di y (M) per una superficie e piu in generale per ogni varietà p

l

compatta è inoltre condizione necessaria e sufliciente per l'esistenza su M diun campo vettoriale continuo ovunque non nullo : se il riccio è ovunque ricoper­to da aculei, non è possibile «pettinarlo» completamente, ma esiste almeno unaculeo che resta non tangente, perché la superficie del riccio ha la stessa ca­ratteristica di Eulero-Poincaré della sfera.

5.z. Applicazioni tra varietà differenziabili.

Varietà differenziabili. Oggetto della geometria e della topologia differen­p' p

ziale è lo studio delle varietà differenziabili, arricchite eventualmente di strut­ D

ture ed operatori, e delle applicazioni tra varietà. a)

Una varietà differenziabile M di dimensione reale n, come è già stato scritto Figura tg .

in altre parti di questa stessa Enciclopedia e come risulta anche dall'esempio a) Nastro di Mobius; b) bottiglia di K le in.

del $ g.r, è uno spazio topologico che si può ricoprire mediante aperti omeo­morfi ad aperti di R" che permettono di attribuire a ogni punto x di un apertoU di M delle coordinate locali (x') tali che il passaggio ad altre cáordinate ne considerando un tubo aperto con un'estremità piu stretta dell'altra e saldan­

(yi), definite in un diverso intorno di x, avvenga mediante funzioni differenzia­done i bordi dopo aver fatto penetrare l'estremità piu stretta attraverso la parete

bili. Un diffeomorfismo tra due varietà differenziabili è un omeomorfismo dif­del tubo stesso (fig. reb).

ferenziabile, cioè un omeomorfismo che in coordinate locali si esprime attra­ Una sottovarietà W di una varietà M è un sottoinsieme tale che per ogni

verso funzioni differenziabili. punto toelV esiste un sistema di coordinate locali ( x') in un intorno U d i t a

Se nella definizione di varietà differenziabile si sostituisce R" con C" e le in M in modo che per i punti di UA W si abbia x' = . . . = x<=o (e il numero q

funzioni che esprimono il cambiamento di coordinate locali sono olomorfe, si si dice la codimensione di IV ).ha il concetto di varietà complessa di dimensione n (e dimensione reale zn).

Nel seguito si esamineranno in generale varietà reali; M si dice orientabile Campi vettoriali. Lo s pazio vettoriale tangente a M nel punto x, T,M, è

se è possibile ricoprirla mediante intorni coordinati in modo che il passaggio costituito dagli operatori lineari a valori reali v = v'(ò/òx') ( in cui si sommi,

tra carte sia espresso da funzioni yi =y) (x') per cui risulti positivo il determi­ come nel seguito, rispetto agi'indici ripetuti ) definiti sull'algebra 5(M ) delle

nante della matrice jacobiana (òy'/òx') : una varietà orientabile ha due orienta­ funzioni differenziabili su M secondo la legge v (f) = v'(òf/òx') .

zioni e, quando se ne sceglie una, si dice che la varietà è orientata. Il piano, l'el­La totalità delle sezioni differenziabili del fibrato tangente TM, c ioè dei

lissoide, il toro sono esempi di varietà orientabili e la scelta di un'orientazionecampi vettoriali su M, si indicherà con 7 (M) o piu semplicemente con g;

equivale alla scelta di un verso per la normale in ogni punto della varietà, da cui esso, oltre ad una struttura di 5 (M)-modulo, ha anche una struttura definita

venga visto un senso di rotazione nel relativo piano tangente. Vi sono natural­dall'operazione [, ] t ra campi vettoriali X, Y t ale che[X, Y](f) = X(Yf)­

mente varietà non orientabili; ad esempio lo spazio proiettivo P"(R) è orien­— Y(Xf), da cui segue che [X, Y] è un nuovo campo vettoriale; rispetto a

tabile se e solo se n è dispari. [ , ], g ha una struttura di algebra di Lie.

Tra le superfici non orientabili si segnalano, oltre al piano proiettivo reale,Una curva y (t) di M si dice una curva integrale del campo vettoriale X se

il nastro di Mobius e la bottiglia di Klein. Un modello di nastro di Mobius si X(y(t)) è il vettore j (t) tangente alla curva nel punto y (t) ; dal teorema di esi­

ottiene considerando una striscia di carta rettangolare ABCD e saldandone istenza e di unicità dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie segue che per

relativi estremi dopo la torsione di un mezzo giro in modo che A coincida conogni punto y di M esiste ed è unica la curva integrale y (t) di X soddisfacente alla

C e B con D (cfr. fig. r ga). Non è possibile orientare una normale da una partecondizione iniziale y (o)=y e risulti inoltre definita in un intervallo massimale

o dall'altra dappertutto perché, percorrendo ad esempio la curva PP' sul na­ j(y) ; tale curva viene detta l'orbita di X passante per y e, per ricordare la sua

stro, le due parti si scambiano fra di loro o, come anche si dice, il nastro didipendenza dalla condizione iniziale, si pone y (t) = p (t,y).

Mobius è ad una sola banda, a differenza della sfera o del toro; inoltre è no­Se si considerano le varie curve integrali uscenti dai punti di un intorno U

tevole che, se si taglia il nastro lungo PP', esso resta connesso.di y, si ha l 'applicazione tf, : z~rg (t, a) ; se t è sufficientemente piccolo, cp,

Un modello di bottiglia di Klein, che è compatta e non orientabile, si ottie­ è un diffeomorfismo di U su un aperto di M e i no l tre risulta <p, o q>,=cg,+„

Geometria e topologia 68z 68g Geometria e topologia

sempre nell'ipotesi che t, s siano prossimi allo zero ; per questi motivi <p, si dice esso prende il nome di grado di f e si indica con degf; il g rado è un inva­il gruppo locale di trasformazioni locali generato dal campo X. Se ti>, è definito riante per omotopia (cfr. p. 664).per ogni teR allora il campo vettoriale è detto completo ed il gruppo ti>, è detto Se y è un valore regolare di f : M~N, l' i nsieme f '( y ) , se non è vuoto, èil flusso di X. Se M è compatta„ogni campo vettoriale è completo. una sottovarietà di M la cui dimensione è data dalla diflerenza tra le dimen­

Campi tensoriali. Ol t re al fibrato tangente vi sono altri fibrati vettoriali su sioni di M ed N; cosi ad esempio se si considera la funzionef : R»~R tale che

M che intervengono spesso nelle applicazioni, i cosiddetti fibrati tensoriali della f(x, y, z) =xs +yz — z'-, si ha che l ' insieme dei punti definiti dall 'equazione

varietà; è tale il fibrato cotangente TeM, duale di TM; la f ibra di T~M ne l x +y — z = a è una sottovarietà di Rs di dimensione z, qualunque sia ago,

punto x di M è costituita dalle applicazioni lineari a valori reali di T M e le sue mentre a = o è l'unico valore critico di f..sezioni, dette i-forme, sono localmente rappresentate da co(x) = o>;(x) dx',dove (dx') è la base duale di {òjòx'). Trasversalità. Ta l i p roprietà dif '( y ) s i estendono mediante la nozione

Piu in generale si possono considerare i fibrati A" (M), le cui sezioni o r­ di trasversalità, d'importanza fondamentale per dare un significato preciso al

forme (r = o, i, ..., n) sono le applicazioni 5 (M)-lineari alternate di X x ... XX concetto di genericità, come si vedrà nel seguito ; anche il normal crossing, che è

in 5(cVf) e sono localmente rappresentate da co(x) = co;, ; {x) dx'rl>,...Adx' r', uno strumento importante per la desingolarizzazione delle varietà algebriche,

ovviamente risulta A (M) =,5(M), A (M) = TaM. È inoltre definito un ope­ è collegato alla trasversalità.

ratore di differenziazione esterna d : A" (M) ~A"+ (M) per cui da = o; ciò per­ Sia W una sottovarietà di N ; u n 'applicazione differenziabilef : M~N

mette d'introdurre una coomologia, la coomologia di De Rham (cfr. il >j g.z si dice trasversa a W nel punto x di M se si presenta una delle eventualità:

dell'articolo «Differenziale» di questa stessa Enciclopedia). a) f(x) non appartiene a W;In generale, mediante prodotti tensoriali di TM e TaM, si ottengono i di­ b) f(x) appartiene a W e si ha (df),T,M+ T<<z>W= T«z>N.

versi tipi di fibrati tensoriali su M (cfr. ad esempio il ( i .z dell'articolo «Dua­lità» di questa stessa Enciclopedia). L'applicazione f è detta trasversa a W se è trasversa in ogni punto x di M ed

in tal caso f (W ) , se non è vuota, è una sottovarietà di M con la stessa codi­Differenziale di un'applicazione. Ne l lo studio delle applicazioni fra due mensione di H .

varietà è importante valutare il comportamento da esse indotto sugli spazi tan­genti, che costituisce sostanzialmente l'approssimazione del primo ordine del­ E sempi o i .

l'applicazione; precisamente, se f : M~N, il differenziale di f nel punto x di M Se f : R" ~R, allora a è un valore regolare di f se e solo sef è trasversa allaè l'aPPlicazione lineare (df)„ : TzM ~ T «z>N, tale che, qualunque sia la fun­ sottovarietà, di codimensione i, costituita dal punto a di R.zione q a valori reali definita in un intorno di f(x), risulti ((df) t>)(p) = t>(ti> o f),t>e T M.

E sempi o z .

Utilizzando coordinate locali, si verifica che (df) è l 'applicazione lineare in­ Sia M = R, N = Ra e W coincidente con l'asse x; si consideri l'applicazionedividuata dalla matrice jacobiana in x delle funzioni che esprimono le coordinate f : M~ N de f in ita daf(t) = (t, tz). Essa è trasversa a W in ogni punto teco;di f(y) mediante quelle di y, con y variabile in un intorno di x ; diverse proprie­ perturbando di poco f si ott iene una funzione trasversa a W (fig. i6 ).tà di applicazioni tra varietà sono precisate attraverso il rango del differenziale.

Un punto x di M si dice un punto critico oppure un punto regolare dell'ap­plicazione f : M~ N a seconda che(df) abbia rango inferiore o uguale alla di­mensione di N. Un punto y di N si dice un valore regolare di f se ogni punto xdi f i (y) è un punto regolare, altrimenti y si dice un valore critico; un celebreteorema di Sard precisa che l'insieme dei valori critici di un'applicazione dif­ferenziabile ha misura nulla.

Se M, N sono varietà orientate con la stessa dimensione, si dice che l'appli­cazione f conserva l'orientazione o la inverte in un punto regolare x di M aseconda che (df)„abbia determinante positivo o negativo, e si pone rispettiva­ a) c)mente sign (df) uguale a i oppure a — i. Supposte inoltre M compatta ed Nconnessa, se y è un valore regolare di f, il grado di f in y è il numero dato da Figura i6 .deg(f, y) = g s ign(df)z. Poiché tale intero non dipende dal valore regolare y, I a funzione f(t) = (t, ts) è trasversa alpasse x in tutt i i punt i d iversi da t =o. In b) e

zef rty> c) si hanno i grafici di due perturbazioni di f ov unque trasverse all'asse x.

Geometria e topologia 685 Geometria e topologia

Ora, se si considera l'insieme di tutte le applicazioni differenziabili tra dueSpazio dei getti e stabilità. In m o l t i problemi non è sufficiente il tipo di varietà con la relativa topologia di Whitney, si ha uno spazio topologico piutto­

approssimazione fornito dal differenziale, ma occorre tenere conto di derivate sto complicato: una proprietà è generica se è soddisfatta da un insieme residuale

di ordine superiore: si perviene cosi allo spazio dei getti. Il concetto di getto di (cioè intersezione numerabile di insiemi densi e aperti ) di applicazioni.un'applicazione differenziabile, che ha avuto una sistemazione definitiva ad ope­ Lo strumento fondamentale nello studio della genericità, che traduce tale

ra di Ehresmann, era ben presente nella trattazione degli elementi differenziali problema in termini algebrici, è dato da un teorema di René Thom, secondoe delle calotte superficiali, dovuta in particolare a Bompiani. cui è residuale l'insieme Tr (W) costituito dalle applicazioni f : M~N ta l i che

Se f : M ~N, il getto di ordine k dif in un punto x di Mj ~f(x), è l'ente rap­ j "f : M~ P ( M , N) sia t rasversa a una sottovarietà B d i P(M, N).presentato dalle coordinate locali di x (sorgente del getto ) e di f(x) (bersaglio) Cosi le funzioni di Morse su una varietà sono stabili e la proprietà di essere

e inoltre dai coefficienti dei polinomi di Taylor di ordine k che rappresentano f una funzione di Morse è una proprietà generica, perché si può esprimere in

in un intorno di x ; la totalità dei getti di ordine k delle applicazioni differenzia­ termini di trasversalità. Mentre per decidere se una funzione è di Morse basta

bili di M in N si i nd ica con jt(M, N) e fissata una funzione f, se il punto x calcolare delle derivate prime e seconde (è cioè un problema di tipo infinite­varia in M, resta definita un'applicazione j "f : M~ j t ' (M, N) che associa al simale) vi è tutto uno studio topologico delle varietà collegato all'esame delle

punto x il getto j~f(x). Lo spazio delle applicazioni differenziabili tra due varie­ funzioni di Morse definite sopra di esse (è un esempio del rapporto locale/tà si può dotare di un'opportuna topologia, detta di Whitney, in cui si valutano globale) ; cosi si dimostra che se M è una varietà compatta su cui è definitale distanze fra i getti di due applicazioni; con questi strumenti vengono studiati una funzione di Morse con due soli punti critici, M è omeomorfa a una sfera.diversi problemi della topologia differenziale e in particolare quello della stabi­ Si segnala infine che, se si considera una famiglia generica di funzioni da R"lità di un'applicazione. ad R dipendente da r parametri (r( y ) , per quasi tutti i valori dei parametri si

Due applicazioni differenziabili f g : M~N s i d i cono equivalenti se esi­ ottengono delle funzioni di Morse, ma esistono nella famiglia anche delle fun­stono due diffeomorfismi h : M~ ll7, k : N~ N ta li che k of =g o h zioni con singolarità piu elevate: partendo dallo studio e dalla classificazione

di tali singolarità, Thom è pervenuto ai famosi sette modelli di catastrofi ele­M ~ N mentari.

jt.M ' N 5.3. Strutture su una varietà differenziabile.

ossia se, con un opportuno cambiamento di coordinate, f e g si rappresentano In molti problemi le varietà differenziabili vengono supposte dotate di op­localmente nello stesso modo. Si dice chef : M~ N è s tabile se c'è un intorno portune strutture che permettono la trattazione di questioni specifiche: cosi, se

di f nella topologia di Whitney costituito da applicazioni equivalenti adf. si vogliono studiare problemi in cui intervengono calcoli di lunghezze, volumi,

Cosi, per funzioni da R ad R, sono stabili le funzioni di Morse, cioè le fun­ angoli, occorrerà supporre la varietà dotata di una struttura riemanniana.

zioni con derivata seconda non nulla nei punti in cui si annulla la derivata pri­ Secondo Shoshichi Kobayashi, «tutte le strutture geometriche non sono

ma (ad esempio f(x ) = x") ; mentre la funzione f(x) = x' non è stabile, perché state create uguali: certe sono creazioni divine mentre altre sono prodotti delle

funzioni del tipo x~+ax, con a arbitrariamente piccolo, pur essendo vicine ad f, inferiori menti umane. Tra le prime emergono le strutture riemanniana e com­

non sono equivalenti ad essa, avendo punti critici di natura diversa. plessa per la loro bellezza e ricchezza» [ icipz, p. v ].Il problema della stabilità è un problema difficile: uno dei risultati piu si­ Si può aggiungere a tale considerazione che vi sono poi delle strutture la cui

gnificativi in questa direzione è stato ottenuto da Mather che ha dimostrato rilevanza dipende dalle scienze che le utilizzano ; è questo il caso della struttura

come tale problema, per sua natura locale, può essere ricondotto, se M è com­ simplettica, di fondamentale importanza nella meccanica analitica.

patta, ad un problema infinitesimale, adattando opportunamente il teorema Nel seguito si esamineranno alcune proprietà relative a strutture, ognuna

di preparazione di Weierstrass e Malgrange ; lo studio del problema viene cosi definita da un campo tensoriale S; una tale struttura è detta integrabile se esi­

trattato con strumenti puramente algebrici, utilizzando opportuni spazi di getti. ste un sistema di coordinate locali in cui S ha componenti costanti. Oltre aquello dell'integrabilità, i problemi che hanno maggior interesse riguardano:

Genericità. Un a l t ro problema importante relativo a proprietà di appli­ a) esistenza di strutture ed eventuale isomorfismo tra esse;cazioni tra varietà è quello della genericità. Il termine 'generico' ricorre spesso b) automorfismi di strutture, cioè trasformazioni della varietà compatibili

in matematica (è ad esempio tipico della geometria algebrica italiana) per in­ con la struttura, con particolare riguardo agli automorfismi infinitesimi,

dicare una proprietà soddisfatta da «quasi tutti» gli elementi di un dato insie­ ossia ai campi vettoriali che generano gruppi locali di automorfismi;me, anche se poi può essere difficile verificarla con calcoli effettivi. c) operatori differenziali, in particolare connessioni, adattate alla struttura.

686 68p Geometria e topologiaGeometria e topologia

positivi e negativi di g, si dice che M è dotata di una struttura pseudoriemannia­Per lo studio di alcuni aspetti piu generali delle strutture, anche non in­ na, fondamentale nella teoria della relatività; a differenza della struttura rie­

dotte da campi tensoriali, si utilizzano opportuni sottofibrati del fibrato dei ri­ manniana, ci sono ostruzioni all'esistenza di strutture pseudoriemanniane.ferimenti; tali sottofibrati sono associati a sottogruppi G del gruppo l ineareGL(n, R) delle matrici reali invertibili di ordine n: da qui i l termine di G­ Strutture complesse. Una struttura quasi complessa su una varietà diffe­strutture; ad esempio nel caso delle strutture riemanniane G è il sottogruppo renziabile M di dimensione reale zn è costituita da un campo di endomorfismiortogonale O(n). j di TM ta le che j«= ­ I (I designa l'identità).

Varietà rierncdnniane. La struttura riemanniana su una varietà 1VI si ottie­Se si ha una varietà complessa di dimensione complessa n dotata di coor­

ne, nello stesso modo introdotto localmente da Riemann, assegnando un campodinate locali z~ = x"+iyi in un aperto U, essa ha una struttura canonica di va­

tensoriale simmetrico g definito positivo, g : 'X(M) x,'X(1Vl)~$(M) e quindi rietà quasi complessa definita localmente da j< (ò/à') = (ò/à'), j (d(ò/òy') =

un prodotto scalare g„, in ogni spazio tangente T,(M) ; g~ è individuato in coor­= ­ (ò/à' ) ; le condizioni di Cauchy-Riemann permettono di estendere lastruttura a tutta la varietà.

dinate locali (x') da una matrice (g; (x)).La metrica riemanniana g stabilisce una dualità tra TM e T *M me d iante

Una struttura quasi complessa è integrabile se proviene da una struttura

gli isomorfismi «musicali» di abbassamento e innalzamento degli indici; essacomplessa; l'integrabilità può essere anche caratterizzata dall'annullarsi di un

inoltre permette di definire un'operazione d'integrazione per le funzioni a va­certo campo tensoriale introdotto da Nijenhuis o dall'esistenza di una connes­

lori reali o complessi con supporto compatto in M, che si indica jf)sf o anche sione lineare a torsione nulla compatibile con j .

J~ f dV dove dV è l'elemento di volume di M (se M è orientabile). Se il sup­ Esistono ostruzioni all'esistenza di strutture quasi complesse; Borei e Serre

porto di f è contenuto in un aperto coordinato U dotato di coordinate localiad esempio hanno dimostrato che le sole sfere che ammettono una strutturaquasi complessa sono S~ e S«,

(x') mediante la carta (i) : U~R", si pone Su ogni varietà quasi complessa M è possibile introdurre una metrica rie­

f f =f(x)eedeedx(x) dx'...dx',manniana g compatibile con g, cioè tale che qualunque siano i campi vettoriali

flf <(e(U) X, Y r isulti g ( jX, j Y ) =g (X, Y); la varietà si dice allora quasi hermitiana(e hermitiana se j è in t egrabile) ; considerata la z - forma 4 d e f in ita da

ove il secondo membro è un ordinario integrale di R"; in generale, l'integrale C>(X, Y) =g {X, gY) se 4 è chiusa (dC>= o ) la varietà si dice quasi kahlerianadi una funzione a supporto compatto sarà somma di un numero finito d'inte­ (e kahleriana se j è integrabile ).grali del tipo precedente. Lo spazio proiettivo complesso e le sue sottovarietà algebriche non singo­

Se E è un fibrato vettoriale su M con fibre dotate di prodotto scalare (, ), lari sono esempi di varietà kahleriane compatte e questo è uno dei «ponti»si può definire un prodotto scalare globale (, ) sullo spazio I; (E) delle sezioni tra geometria differenziale e geometria algebrica che ha permesso alla secondadi E a supporto compatto in M: ( X , Y ) = ff)r{X, Y), che interviene nello di usufruire d'importanti strumenti di t ipo coomologico (cfr. ) 6.z).studio degli operatori.

Ogni varietà può essere dotata di una struttura riemanniana; se tale strut­ Strutture simplettiche. Un a s truttura quasi simplettica (o quasi hamilto­tura è integrabile, cioè esistono sistemi di coordinate locali in cui le funzioni niana) su una varietà M di d imensione reale zn è definita da una z-forma odg,t sono costanti, la varietà viene detta localmente euclidea o piatta, perché si di rango massimo. cioè per ogni punto x di M la matrice emisimmetrica costi­puo identificare localmente (e anche globalmente se sono verificate certe con­ tuita dalle componenti di <o(x) è invertibile. Se la forma od è chiusa la struttu­dizioni di tipo topologico) con R" dotato della solita metrica. ra è integrabile e si dice simplettica o hamiltoniana; allora localmente si può

Le trasformazioni che conservano una struttura riemanniana sono le iso­ porre od = dx'f),dx"+' +...+dx" f ),dx ". L'esistenza su una varietà di una strut­metrie, mentre le isometrie infinitesime si chiamano anche campi di K i l l ing. tura quasi simplettica è equivalente a quella di una struttura quasi complessaSono noti diversi risultati relativi alle isometrie di M , che costituiscono un e l'integrabilità della struttura si può caratterizzare in entrambi i casi attraversogruppo di Lie con dimensione non superiore a (i /z) n(n+ i ) ed esistono carat­ le connessioni; in particolare, tutte le varietà kahleriane hanno una strutturaterizzazioni delle varietà con tante oppure poche isometrie; nel caso di varietàcompatte lo studio delle isometrie infinitesime fornisce anche delle informazioni

simplettica.L'esempio di struttura simplettica piu significativo è fornito dal fibrato

di tipo topologico.Esiste inoltre un'unica connessione compatibile con g con torsione nulla,

cotangente T"M; se in esso si assumono come coordinate locali i n umeri(x', p,), ove p; sono le componenti di un vettore cotangente rispetto alla base

detta di Levi-Civita, che verrà studiata nel prossimo paragrafo. naturale (dx'), la z-forma fondamentale su T~M ha l'espressione o)= dx'f),dp;.Se la varietà M è dotata di un campo tensoriale simmetrico non degenere

g di segnatura (p, q), ove p, q indicano rispettivamente il numero di autovalori

Geometria e topologia 688 68g Geometria e topologia

da cui segue che, fissati un punto x e un vettore v di T M, esiste ed è unico l'ar­5.4. Operatori differenziali su una varietà. co di geodetica y =y (t), te (a, b), tale che y(o) =x, j (o) = v .

Ogni connessione lineare individua due campi tensoriali, la torsione T e laNello studio delle varietà differenziabili si presentano in modo naturale de­ curvatura R definiti da

gli operatori differenziali, che sono estensione di enti analoghi definiti su R".Nel seguito verranno considerati due tipi di operatori differenziali, le connes­ T(X, Y) = Vx Y — V,X — [X, Y]sioni lineari e l 'operatore di Laplace, mentre altri aspetti piu generali degli R(X, Y) Z = VxVi Z — VrvxZ — V[x, v>Zoperatori verranno trattati nel paragrafo successivo. ove X, Y,Zcg (M) ; la connessione si dice simmetrica se T =o .

Lo studio delle connessioni permette di misurare «l'incurvamento» di unavarietà riemanniana, cioè di quanto essa si discosti dallo spazio euclideo R" e

L'operatore di derivazione covariante V si può estendere a campi tensoriali

inoltre, mediante l'estensione della connessione ai fibrati vettoriali e ai fibratiqualsiasi S; se risulta VXS= o qualunque sia X, il campo $ si dice parallelo oanche che la connessione è compatibile con S. Cosi dire che una connessione è

dei riferimenti, costituisce uno degli strumenti piu semplici per l'introduzionedelle classi caratteristiche.

compatibile con un campo di endomorfismi g equivale alla condizione Vx ( jY) =

L'operatore di Laplace è il prototipo degli operatori differenziali «interes­ = j Vx Y, mentre V è compatibile con una metrica riemanniana g se si haX(g(Y, Z)) =g (VXY Z)+g(Y V XZ).santi» soprattutto nelle applicazioni e lo studio dei suoi autovalori fornisce in­ Già si è detto () 5.3) che la possibilità di trovare una connessione simmetri­formazioni sulla struttura riemanniana di una varietà compatta.ca compatibile con una struttura quasi complessa o anche con una struttura

Connessioni lineari. Il c o ncetto di connessione venne introdotto mediantequasi simplettica equivale all'integrabilità della struttura. Esiste invece ed è

l'operazione di differenziazione covariante come una «correzione» dell'ordina­ unica la connessione simmetrica compatibile con una metrica riemanniana g,detta di Levi-Civita, le cui componenti sono date da

ria operazione di derivata parziale che permettesse di ottenere campi tensorialida campi tensoriali; i l concetto di trasporto per parallelismo diede quindi unsignificato geometrico a tale operazione (cfr. anche il ) 4.4 dell'articolo «Curve

" .j =- g ' " (òtg'.>+ òjgtr — ò,g; j)2e superfici» di questa stessa Enciclopedia).

La presentazione moderna di connessione è piuttosto «algebrizzata», ma èin cui (g~") indica la matrice inversa di (g,j). Nel seguito si utilizzerà tale con­

in un certo senso piu semplice e si estende facilmente a fibrati vettoriali qualsiasi.nessione, il cui tensore di curvatura dipende quindi solo dalla metrica g.

Una connessione lineare viene definita di solito come un operatore V sulSe a, b è una coppia di vettori ortonormali tangenti in un punto x di M,

fibrato TM che a due campi vettoriali X, Y associa il campo vettoriale Vx Y,detto p il loro piano, la curvatura sezionale di p è il numero K (p) =g(R(a, b) b, a)

detto la derivata covariante di Y r ispetto ad X, in modo che, qualunque sia lae coincide con la curvatura gaussiana nel punto x della superficie luogo delle

funzione f, siano soddisfatte le seguenti condizioni:geodetiche di M tangenti in x al piano p; la curvatura sezionale in ogni puntoindividua il tensore di curvatura e il suo annullarsi caratterizza le varietà local­

V. „ , Y = V,, Y+V., Y V,.Y = f V.Y mente euclidee. Le varietà per cui la curvatura sezionale K è indipendente da x

V r ( Yi + Y 2) Vx Yi + Vx Y 2 x ( f Y )= X (f ) Y +f VX Y.e da p si dicono a curvatura costante; un celebre teorema di Schur precisa che,se M ha dimensione ) 3 e K (p) non dipende da p, allora non dipende da x.

In coordinate locali, se X = X'ò;, Y = Y'ò; (ò, = ò/òx'), posto V> iòj = l'; ò», Il tensore di Ricci è il tensore simmetrico p definito da

ove 1» sono certe funzioni dette le componenti della connessione, risulta n

Vx Y = X'(ò; Y +1 ~~.Yj)ò». Se v è un vettore tangente a M nel punto x e X p(u, v) = P g(R(e;, u) v, e;)i 1

è un campo vettoriale tale che X (x) = v, la derivata covariante di Y r ispettoa v, V, Y, è l'elemento di T M de f inito da V,, Y= (Vx Y)(x). Inoltre, la deri­

ove u, ve l ' M e (e;) è una base ortonormale di tale spazio; infine la curvatu­

vata covariante di un campo Y lungo una curva y, V„Y, ove j è i l vettore tan­ ra scalare i è la t raccia del tensore di Ricci e quindi

gente a y, dipende solo dai valori di Y su y; il campo Y si dice parallelo lungoy se Vt Y = o e y si dice una geodetica se V„j = o. In coordinate locali le equa­

w=g p(ej, ej) = g g(R(ee ej) e;, e;) ;j = l 4,j -1

zioni parametriche x'(t) di una geodetica y soddisfano il sistema di equazionidifferenziali

la curvatura scalare di una superficie risulta pertanto il doppio della curva­tura gaussiana.

d'x» dx' dxj+ l';-(. (t)) ­ — =

dt' " dt dt

24

Geometria e topologia 69o 691 Geometria e topologfQ

Geodetiche e campi di gacobi. Si può verificare che le geodetiche definiteproprietà spettrali interessanti si ha che la funzione Z (t) = P e "~' per t ~o

+ lt=o

mediante la connessione di Levi-Civita coincidono con le solite geodetiche otte­ ha un comportamento asintotico del t i po (yvrt) " (ao+a, t+ . . .+a>t t+...).nute come curve di lunghezza stazionaria congiungenti due punti di una varietà M entre era noto che ao rappresenta il volume di M , a i = (1/6)fitte ove x èMx~riemanniana M. La varietà M si dice geodeticamente completa se ogni arco di la curvatura scalare, McKean e Singer in un fondamentale lavoro del 1 6a voro e 1 9 pgeodetica y (t), definito per te (a, b), si può prolungare a una geodetica definita provano che tutti i coefficienti a; sono legati alla struttura metrica della varietà,

su tutto R. Un teorema di Hopf-Rinow afferma che la completezza geodetica potendosi esprimere come integrali di funzioni polinomiali, invarianti rispetto

è equivalente alla completezza ordinaria di M come spazio metrico e in tal caso al gruppo ortogonale, del tensore di curvatura e delle sue derivate covarianti.

due punti di M possono essere congiunti da una geodetica minimale. La ricerca di legami fra autovalori di A e proprietà metriche della varietà

Sia y(t) (te (a, b)) un arco di geodetica e ot : ( — s, s) x (a, b) ~M un'appli­ compatta M è stata significativamente espressa come il problema di «udire la

cazione tale che aa(t) = ot(u, t} sia una geodetica per ogni u e inoltre ot(o, t) = forma di un tamburo»; ma Milnor per primo ha dato un esempio di varietà= y (t) ; l'applicazione ot si dice una variazione per geodetiche di y e il campo isospettrali non isometriche.

V(t) = (òct/òu)(o, t) prende il nome di campo di Jacobi lungo y. Due puntix, y di y si chiamano coniugati se esistono campi di Jacobi non identicamente g.g. Da Gauss-Bonnet al teorema dell'indice.nulli su y, che si annullano in x, y; sono coniugati ad esempio due punti dia­metralmente opposti di una sfera. Una proprietà notevole è che, se tra i punti Il teorema di Gauss-Bonnet costituisce uno dei punti d'incontro piu signi­

x„z di una geodetica y esiste un punto y coniugato a x, l'arco di geodetica xz ficativi tra geometria differenziale e topologia; l ' interesse per questo teorema

non è minimale tra gli archi di curva congiungenti x, z. è sempre stato notevole e molti progressi della matematica si possono leggere

Vi sono diversi importanti risultati che collegano questioni di curvatura con ne la «storia» delle successive generalizzazioni del teorema stesso.

distanze di punti coniugati e che si riflettono su proprietà topologiche dellavarietà; due risultati in un certo senso agli antipodi sono: ndice di un campo vettoriale. La caratteristica di Eulero-Poincaré (M)

dl' una varieta compatta M è stata introdotta nel ) y.g mediante le triangola­a) il teorema di Cartan secondo cui varietà semplicemente connesse (cfr. zioni e quindi le dimensioni dei gruppi di omologia e coomologia reali. Si vedrà

p. 66g) e complete con curvatura sezionale non positiva sono prive di ora come il numero y (M) si possa mettere in relazione con i punti singolari dicoppie di punti coniugati e risultano diffeomorfe ad R"; un campo vettoriale X sulla varietà M.

b) i teoremi di Myers e Bonnet che esprimono sostanzialmente che ogni Se X ha uno zero isolato nel punto x di una varietà orientata M, resta defi­arco geodetico di lunghezza maggiore di irr (r>o) contiene punti coniu­ nito un numero intero, l'indice di X in x. Ad esempio, se M è il piano con lagati se la curvatura sezionale è ovunque ) 1 / rs; inoltre, se la varietà è solita orientazione antioraria, l'indice di X nello zero isolato x rappresenta ilcompleta, è anche compatta e ha diametro non superiore a rtr. numero di giri (presi col segno positivo o negativo a seconda che avvengano in

Gradiente, divergenza ed operatore di Laplace. Sia M una varietà rieman­niana di dimensione n con metrica g ; il gradiente di una funzione f a valori realiè il campo vettoriale gradf caratterizzato da g(grad f, Y) = Y(f), qualunquesia il campo vettoriale Y.

La divergenza di un campo vettoriale X è la t raccia delPendornorfismo• ~ •

V~Vi X, ove V è la connessione di Levi-Civita.Componendo i due precedenti operatori si ottiene l'operatore di Laplace

(o di Laplace-Beltrami ) sulle funzioni definito da: hf = ­ divgrad f; il segnonegativo non è comune a tutte le definizioni, ma è opportuno quando si estendaA alle forme differenziali. a)

In coordinate locali si verifica che /trf = — g" (ò ò, f — l'ztò»f). Se M è unavarietà compatta, l'operatore 5 è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare or­ Figuro rp.dinario ( f ,g) = J~ fg e lo spettro di A, cioè l'insieme dei suoi autovalori, co­stituisce una successione discreta (o = ),o(Ai ( , } che tende a +~ ; per ogni

Alcuni esemPi di curve integrali di campi vettoriali del p iano neli'intorno di unpunto singolare isolato O: a ) punto di spirale e indice i ; b) sorgente e indice i; c ) punto

autovalore Xf, il corrispondente autospazio ha dimensione finita. Fra le varie di sella e indice — i; d) punto con indice a.

Geometria e topologia 69z 69g Geometria e topologia

senso antiorario od orario ) compiuti dal vettore X(y) quando y descrive una esP™e mediante un polinomio d'curva semplice chiusa che circonda il punto singolare x, lasciando al di fuori c urvatura della connession~ d; L ; C . P e ensore dil gra o m nelle com onenti del t

altre eventuali singolarità (fig. r7). Un importante teorema di Poincaré-Hopfone i evi - C iv i ta; zoiz è la classe di Eulero di TM

afferma che su una varietà orientata e compatta M la somma degl'indici di un Verso i( teorema dell'indice. I l teorem d ' G Bcampo X, dotato solo di zeri isolati, è la caratteristica y(M) : da ciò segue fra

a i aus s­ onnet nellgenerale rientra, come il t d' R' ­ er e varie 'i eorema i iemann-Roch e r l e varie 'l'altro l'indipendenza della somma degli indici dal campo e ancora una voltal'indipendenza di y (M) dalla triangolazione.

su tati che sono stati ottenuti nello studio deglii e i ic i u n ' ' '

evoluzione che hanno comeInoltre l'annullarsi di y (M) è la condizione necessaria e suff liciente per o s u io i r e azioni tra invarianti di t ipo analitico e di t i o

l 'esistenza di campi vettoriali continui su M pr ivi di singolarità, cioè y(M) è gico definiti da opportuni op t fib' opera ori tra rati vettoriali.un'ostruzione all'esistenza di sezioni di TM ovunque non nulle ; tale ostruzione L o studio di questi problemi richiede l'uso di strsi può anche esprimere mediante un'opportuna classe caratteristica, la classe di

'c ie e uso i s t rumenti molto raRinati dianalisi e di to olo ia che i opo ogia, che sono cosi strettamente colle ate da ius '

Eulero, che s'introdurrà nel seguito e che costituisce una classe di cooinologiaega e a giustificare il ter­

ica, proposto a Atiyah I;i 6 , . z 8 ei 9 7 P 4 ] P " 'd i M, nulla solo per y(M) = o.

Il teorema di Gauss-Bonnet. Come già si è detto nel ) 5.z, il teorema diSenza entrare nei dettagli si cercherà d'illustrare nel se u

I h t to d I obiGauss-Bonnet per una superficie orientata e compatta M è espresso da Siano E, F fib rati vettoriali complessi su una varietà com a

operatore differenziale d E ' F d'Q' 'i in i ordi n e k ; cioè ad o

(z) KdS = zir y (M), r ispetto a una base locale l'o erla sezione @=P (7) di F ra re

operatore P fa corrispondere

dove K è la curvatura gaussiana della superficie, cioè è l'unica curvatura se­e p = ( ) i rapp r esentata localmente da componenti del tipo

zionale definita dalla connessione di Levi-Civita; la rilevanza del teorema con­ $ a~A„(x) DARsiste nel fatto che, mentre il primo membro della (z) si costruisce con quan­ IA I < k

tità di tipo differenziale come K e l 'elemento d'area dS, il secondo membro ove A è un mul t i indice intero A = ca

è un invariante di tipo topologico. Una deformazione topologica di M, ad esem­= (a„..., a„) (n= dim M) e

pio la deformazione di una sfera in un ellissoide, altera in generale sia K che a l AlaD~X" =l 'elemento d'area, ma non modifica la curvatura totale fir KdS.

=a~; ...a*„"'

La prima estensione del teorema di Gauss-Bonnet è dovuta a Hopf e riguar­da una sottovarietà orientata compatta di dimensione zm immersa in R' + ; fAf = a +.. .~a... + „ , mentre o = r , . .., q e i = i ... r esse, q = l, ..., r, essendo q, r rispettivamente

se si considera l'applicazione di Gauss n che associa a ogni x di M i l vettorei i , ( c ioè le dimensioni delle fibre di E, 1').

unitario n (x) normale a M, n è un'applicazione di M in Szm, il cui determinanteFissato un vettore covariante Ee T~~M, il s imbolo o P di P as so '

jacobiano Kz„, (x) viene detto la curvatura gaussiana di M in x (e, per m = l , ( E ) 1 'o o o fi oE F d faA~cA ' s'

coincide con la curvatura gaussiana precedentemente considerata di una super­ficie); il teorema di Gauss-Bonnet nella forma estesa è espresso da

esempio, per l'operatore di Laplace (cfr. . 6 o(3) Kz~ dV = — y„(M) voi(S ~). na varietà riemanniana e a valori com lessi che so

111 o oïl d' ' ll (e i r ango i , s i ha o (A~(x, "~= — " rxLa validità di questa formula è stata poi generalizzata da Allendoerfer e Fen­ er o e qu i n i A è e l l i t t ico.chel per sottovarietà orientate compatte di dimensione zm immerse in R'~+~: Una metrica riemanniana su M in

che questo potesse considerarsi come il caso generale si è compreso solo pi6 e si può quindi considerare il fibrato sfera S(M) su M i cui elementi

tardi, quando Nash e Kuiper hanno dimostrato la possibilità di un'immersioneisometrica di ogni varietà riemanniana compatta in un opportuno R@.

sono le coppie (x, F) con ff(ff= t ; la proiezione ir : S (M)~M , definita da

Tuttavia, data la natura intrinseca della (g), si poneva la necessità di unair (x, F) = x, permette di introdurre i fibrati rc~E rc~F su S (M)i , e, se è e l l i t t ico, cs(P) è un isomorfismo tra rc~E e vr~F.

sua dimostrazione con gli stessi requisiti; questa è stata data nel i944 da Chern(il cui nome ormai si accompagna a quelli di Gauss e Bonnet ). Si osservi a

n 'e c e, per ogni operatore ellittico P, han­

questo ProPosito che K,„, dV è una forma differenziale chiusa olz~, che si 'indice di P de tto anche i( c e indice analitico per il modo stesso con cui viene de­

Geometria e topologia 694 695 Geometria e topologia

finito ) è i l numero intero ind(P) = dimKerP — dimCokerP, e dipende solodal simbolo rs(P). Inoltre simboli omotopi (come isomorfismi di iraE in ic~F) 6 S«n luppt moderni della geometna algebnca

hanno lo stesso indice, che dà quindi origine a una funzione a valori interisull'insieme delle classi di omotopia degli isomorfismi tra rcaE e rc~F; cosi

Gli Eléments de géométrie algébrique (EGA) di A lexandre Grothendieck,

ad esempio, nel caso particolare in cui E, F siano fibrati tr iv iali di rango iscritti negli anni '6o con la collaborazione di Jean Dieudonné si pr d'onné, si propongono i

(cioè fibrati con una sezione globale come base), gli isomorfismi tra r»~E e rifondare la geometria algebrica, proponendo all'attenzione dei matematici

w~F sono applicazioni da S(M) all'insieme dei numeri complessi C~ = C+(o); nuove tecniche e nuovi punti di vista ; da quest'opera parte il presente esame de­

poiché C~ ammette una retrazione su S, l ' indice è definito sulle classi d'omo­g i sviluppi moderni della geometria algebrica. Nell'introduzione alla prima edi­

topia [$(M), S i ].zione [ i96o] si trova la dedica del trattato a Oscar Zariski e André Weil, quali

Quanto detto sopra ha indotto Gel'fand a porre il problema di una defini­ispiratori del «nuovo corso» della geometria algebrica. Perché la scelta di que­

zione topologica dell'indice. Atiyah e Singer hanno fornito tale formula in ter­sti due matematici > Il tentativo di spiegare questo fatto sarà l'occasione di un

mini di classi di Chern legate all'operatore e di classe di Todd della varietà eriesame di varie tematiche della geometria algebrica, viste anche in luce storica

hanno provato ( i963) l'uguaglianza dell'indice topologico cosi definito con l'in­ con particolare riferimento alla scuola geometrica italiana della seconda gene­razione.

dice analitico: è questo il «teorema dell'indice».Occorre ancora tenere presente che, oltre a strumenti di topologia algebrica,

intervengono nei problemi dell'indice metodi differenziali, collegati agi'inva­ 6.i. L ' infiuenza di André Weil

rianti di curvatura della varietà e a connessioni su fibrati vettoriali, e problemirelativi alla teoria spettrale degli operatori, con sviluppi asintotici analoghi a

Per quanto riguarda Weil, Grothendieck afferma chiaramente di essere

quelli dell'equazione del calore, il cui nome è spesso accoppiato al teorema del­stato respinto dall'aridità del suo classico trattato Foundations of Algebraic

l'indice: questi metodi traggono origine dal già citato lavoro di McKean e Sin­Geometry e di aver perciò voluto scrivere gli EGA per rendere accessibili ai

ger sullo spettro dell'operatore di Laplace e sono stati sviluppati da Gilkey egiovani e fare apprezzare le tecniche necessarie a studiare (e a risolvere, se os­

quindi da Atiyah, Bott, Patodi.si ile) le celebri «congetture di Weil » in geometria diofantina. In effetti il piano

Ecco infine uno dei modi con cui la caratteristica di Eulero-Poincaré puòe 'opera (mai completata) comprende come xni e ult imo capitolo lo studio

essere letta come indice di un operatore ellittico: si tratta in sostanza di unadella coomologia di Weil e quindi la discussione delle congetture. Va detto che,

conseguenza del teorema di Hodge sulle forme armoniche, che del resto ha ispi­mentre la parte conclusiva degli EGA non è mai uscita, le congetture di Weil

rato la successiva teoria delVindice.sono state completamente risolte da Deligne, allievo di Grothendieck, proprio

Sulla varietà compatta M, o l tre al l 'operatore di di fferenziazione esternacon l'i mpiegodelle tecniche introdotte negli EGA e ne l l 'altra fondamentale

d : A"(M) A" + ( M) , si può definire un operatore 3 : A"+' (M)~A"(M), det­ opera redatta da Grothendieck insieme con numerosi suoi allievi, il Séminaire

to il codifferenziale, che è l'aggiunto di d in un opportuno prodotto scalare trade géométrie algébrique (SGA).

forme differenziali. L'operatore D =­d+S : ZAr(M) ­>XAr (M) è autoaggiunto Anche se le dimostrazioni hanno richiesto un qu t d ' 1, d

ed ellittico, da cui in particolare ind(D) = o, poiché il conucleo di un operatore n ré e i, i n un suo celebre articolo[i949] enuncio le congetture sul nume­

ellittico è canonicamente isomorfo al nucleo dell'aggiunto. Il quadrato di Dro di soluzioni di c erte equazioni a coeff icienti sopra un corpo finito, si uòIll op s i puo

è l'operatore di Laplace A sulle forme e si ha KerD = KerD', da cui, detto tentare di fornire alcu fne informazioni piu dettagliate e comprensibili su tali

H" = Ker AAAr (M) lo spazio delle r-forme armoniche, si ottiene Ker D= XHr. congetture.

Bisogna osservare che D non conserva i gradi delle forme ; se si poneSi consideri in primo luogo un corpo finito k = F avente q elementi e la

A+== P A" e A = Q A", restano definiti da D due operatori D+:A+~ A ,sua chiusura algebrica k; data una varietà algeb ' X kge rica sopra si puo costruire

D :A ~ A + , aggiunti l 'uno dell'altro, tali che D = D++D , e si ha ind(D+)=r pari r disparila varietà X= X x»k, ottenuta per estensione degli scalari da k a i« (e quindi

è una k-varietà). Per ogni intero r) i s i indichi con k l 'estensione "i ", en= dim Ker D+ — dim Ker D, ossia tro i«, avente esattamente q" elementi (cioè k = F r). I ' d' X

ra k c ioè a(4) ind(D+) = g dimH" — g d im Hr=p ( — i)" dimH". pra „, cioè aventi tutte le coordinate in k„ sono in numero finito: Nr. Si può

r pari r dispari r ora definire esplicitamente la funzione Z relativa alla varietà X, che consiste in

Poiché il teorema di Hodge afferma che gli spazi delle forme armonicheuna serie di potenze nella variabile t a coefficienti razionali : Z (X, t) = e '~ rur ' ' .

sono isomorfi ai corrispondenti gruppi di coomologia su M : H" H "(M; R), e congetture di Weil riguardano la funzione Z (X, t) = Z(t) nel caso in cui X

dalla (4) e dalla definizione di caratteristica di Eulero-Poincaré (cfr. p. 6qo) sia una varietà algebrica non singolare di dimensione n definita sul corpo k7esse a ermano:

segue y (M) = ind(D+).

Geometria e topologia 696 697 Geometria e topologia

a) Z(t) è una funzione razionale di t, cioè è quoziente di due polinomi a corpo k. E chiaro che, se a ammette radice p-esima b in k (cioè se a = b" concoefficienti razionali ; b E k), il polinomio f è r iducibile, in quanto si ha x~+y" — a = (x+y — b)~; se

b) Z(t) si può scrivere nel modo seguente (analogo dell'ipotesi di Riemann) : invece a non ammette radice p-esima in k, i l pol inomio è irr iducibile. Ciò

Z(t) = Pi (t)...P~» — i(t)/P»(t)...Pzn(t)significa che, se il corpo k è imperfetto, cioè contiene elementi a senza radicep-esima in k, una curva su k del tipo ora indicato è irriducibile, mentre diventa

dove si ha : P~(t) = i — t, P~„ (t) = i — q"t, P; (t) = Ht( i — a;~t), con gli a, i riducibile non appena si passa a una qualsiasi estensione k' di k che contengainteri algebrici aventi norma uguale a q'~~, e inoltre P;(t) ha coefficienti b=~ a . Co si ad esempio il passaggio alla chiusura algebrica k trasforma lainteri, per ogni i = i , . . . , zn — i ; curva irriducibile in una retta contata p volte. Non solo: l'anello delle coordi­

c) esiste un opportuno intero E tale che Z(t) soddisfa all'equazione fun­ nate A = k[x, y]/(f) della curva è un anello regolare, nel senso che ogni puntozionale Z (i /q"t) = + q"@ "t Z (t) ; della curva si ott iene, almeno localmente, intersecandola con una sola altra

d) se vale b) si può considerare l'i-esimo numero di Betti B; (X) =grado curva del piano; ciò si esprime anche dicendo che tutti i punti della curva sonodel polinomio P, (t). Allora si ha: E = Z( — i)'B,(X). Se poi si suppone semplici (o non singolari, cfr. ( g.z). Tuttavia basta passare alla chiusura al­che X si ottenga per riduzione modulo l'ideale primo ' Q da una varietà gebrica k (o a qualsiasi corpo intermedio contenente b= ~>' a) per ottenere unadefinita sopra un anello R di numeri algebrici, allora B;(X ) coincide con curva spezzata in p rette coincidenti e, quindi, dotata solo di punti mult ipli.il rango del gruppo di coomologia H'(Y„; Z), essendo Y„ lo spazio ana­ Questo fatto suggerisce di studiare le curve che sono dotate di punti semplicilitico associato alla varietà algebrica Y x RC, dove C è il corpo complesso non soltanto nello speciale corpo base fissato inizialmente, ma anche nella chiu­(cfr. ) 6.4). sura algebrica o in altre estensioni, cioè le curve «assolutamente non singolari»

È proprio nell'introduzione alla seconda edizione degli EGA ( i97I ) che o «lisce».

l'autore, pur omettendo la dedica a Zariski e Weil, spiega in che senso si èispirato a quest'ultimo. Vari altri aspetti delle congetture di Weil, oltre al cambio del corpo di base,

La geometria classica ha come oggetto lo studio delle soluzioni di certi si­hanno infiuenzato gli EGA e tu t ta la geometria algebrica moderna. Un'idea

sterni di equazioni a coefficienti in un corpo, generalmente complesso. Ta. T l e centrale era nota a Weil quando studiava il numero di soluzioni di certe equa­

corpo resta fissato una volta per tutte, cioè i «punti» di cui si occupa la geo­ zioni su corpi finiti. Data la varietà X definita sopra k = F e la var ietà X=metria hanno coordinate scelte in tale corpo.

= X x > k ottenuta per cambio di base, si può considerare il cosiddetto morfi­

Solo verso gli anni '4o, con Weil (ma anche Zariski, Chevalley e poi Kahler, smo di Frobeniusf : X~ X , c he trasforma il punto P di coordinate (a;), doveper non citare che i maggiori), si afferma l'idea di cambiare il corpo base. Ad aie k, nel punto f(P) di coordinate (a i ). Non è difficile vedere che le coordinateesempio le congetture di Weil coinvolgono contemporaneamente un certo corpo

di P appartengono al corpo k,=F r avente q" elementi se e soltanto se P è un

finito k, la sua chiusura algebrica k e altri corpi intermedi fra questi; altre ri­punto fisso del morfismo f", ottenuto iterando r volte f. Ora, grazie a una for­

cerc e ric ih r i chiedono il passaggio da un corpo valutato al suo completamento. mula di Lefschetz, si può calcolare il numero di tali punti fissi in termini di

Tuttavia questo ricorso al cambio di base è in qualche modo «mascherato a gruppi di coomologia (cfr. anche ) g.g), il che permette di tradurre il problema

partito preso di restringersi una volta per tutte a sottocorpi di un corpo fissatoiniziale in un altro problema, apparentemente molto diverso, consistente nel

algebricamente chiuso abbastanza grande (il corpo universale), il che fa restare calcolo di certi gruppi di coomologia, o nello studio di proprietà di questi

ancora vicini al punto di vista classico in cui il corpo C aveva la stessa funzione»<dtimi.

[Grothendieck e Dieudonné i96o, ed. i97i p. 6 ]. Negli EGA ci si l ibera da Va detto che la quinta congettura di Weil, soggiacente a quelle esplicita­

questo limite considerando estensioni del corpo base k che siano arbitrarie,mente formulate, afferma che deve esistere una coomologia a coefficienti in

anche soltanto anelli e non necessariamente corpi, tantomeno scelti all'intern<>iin corpo di caratteristica nulla adatta ad affrontare i suoi problemi diofantini.

di un insieme prefissato. È un aspetto centrale nella geometria algebrica mo­ I n effetti uno dei progressi piu recenti della geometria algebrica consiste nel­

derna il fare astrazione dalle proprietà particolari delle soluzioni di un sistem; i l 'introduzione della coomologia l-adica; i contr ibuti d i G r o thendieck e di

a coefficienti in un dato corpo k, per considerare invece le soluzioni a coefficien­iVI 'Viichael Artin in questo settore hanno permesso a Deligne di risolvere

(1974)ti in ogni k-algebra k' ; ha poi notevole rilievo lo studio delle proprietà che sono

in modo completo le congetture di Weil. Ecco dunque un altro contributo fon­

stabili per «cambio di base». Ciò risulta chiaro dal seguente> lamentale di Weil: l ' impulso a introdurre sistematicamente nella geometria al­gebrica tecniche coomologiche, precedentemente usate soprattutto in topolo­

E sempi o . gh>, da cui provengono, e nell'ambito della teoria delle funzioni di variabili

Sia k un corpo di caratteristica p+o e a un suo elemento; dato il polinomi<> i »mplesse.

f( , ) = i '+y> — a, l'insieme dei suoi zeri è una curva piana definita sopra il

Geometria e topologia 698 699 Geometria e topologia

Dal nuovo putito di vista una varietà algebrica affine è uno spazio topologico

6.z. Tecniche topologiche in geometria algebrica: fasci e coomologia.isomorfo a quello ora descritto, quando nell'isomorfismo si tenga conto siadella topologia sia del fascio. Una varietà algebrica qualsiasi è uno spazio to­

La nozione d'insieme algebrico (( 3.5} si introduce in termini di ideali nel­ pologico munito di un fascio di anelli locali, localmente isomorfo (rispetto allal'anello dei polinomi k [xi ... xn] (k sarà ora algebricamente chiuso) e molte topologia di Zariski ) a una varietà algebrica affine; naturalmente si dovrà tener

proprietà di tali insiemi si provano studiando l'anello delle coordinate {o fun­ conto, nell'isomorfismo, del fascio di anelli locali. Nel caso di due varietà alge­

zioni regolari ); tale anello per la geometria algebrica classica è una k-algebra briche entrambe affini l ' isomorfismo significa isomor6smo fra gli anelli delle

finitamente generata e ridotta, cioè priva di elementi nilpotenti (per il Nul l­ coordinate. Una corrispondenza birazionale fra varietà si puo de6nire come un

stellensatz); inoltre si può provare che tutte le k-algebre ridotte e finitamente isomorfismo fra due aperti densi delle due varietà (conservandosi cosi, e preci­

generate sono anelli di coordinate di insiemi algebrici; qualora si tratti di k­ sandosi, il principio della biunivocità con eccezioni, che possono presentarsi

algebre integre (prive di divisori dello o), esse corrispondono alle varietà alge­ nei punti fuori dei due aperti isomorfi ).briche (insiemi algebrici irriducibili). Negli anni 'zo-4o la scuola geometrica L introduzione del fascio, già nota e utilizzata in altri settori della matematica) '

tedesca (Emil Artin, Emmy Noether, Van der Waerden) considera la geome­ ma non ancora in geometria algebrica, permette dunque di «incollare» agevol­

tria algebrica essenzialmente come studio degli ideali negli anelli di polinomi. mente varietà aflini, ottenendo le varietà algebriche qualsiasi (e fra queste,Il fatto nuovo dell'introduzione di una struttura topologica nelle varietà al­ come caso particolare, le varietà proiettive ). A questo punto riesce anche na­

gebriche risale a Zariski, che fa uso di una speciale topologia, in seguito detta turale (ed estremamente fecondo) trasportare nella geometria algebrica il mac­«topologia di Zariski», nello studio algebrico delle super6ci di Riemann astrat­ chinario topologico associato ai fasci, e cioè la coomologia (cfr. l'articolo «Dif­te. Nel 1949 Weil osserva che tale topologia può essere introdotta in generale ferenziale» di questa stessa Enciclopedia ). A Serre si devono fra l'altro i primi

sopra una varietà anche astratta; in6ne nel i954 Serre (Faisceaux algébriques teoremi di annullamento della coomologia delle varietà affini e proiettive e il

cohérents, o FAC ) sostituisce sistematicamente la topologia usuale (dei com­ celebre teorema di dualità, che è uno dei piu profondi risultati di tipo coomolo­

plessi) con la topologia di Zariski, applicabile a una varietà qualunque. gico (ed è strettamente collegato a Riemann-Roch).Nel caso affine, sia V una varietà de6nita sopra il corpo base k; allora gli Il punto di v ista di Serre è reso ancora piu radicale negli EGA, dove

insiemi chiusi della topologia di Zariski sono tutti e soli i sottoinsiemi algebrici uno schema affine si costruisce a partire non da un quoziente dell'anello dei

di V; è facile vedere che si ottiene uno spazio topologico, però di un tipo molto polinomi, ma da un arbitrario anello commutativo con unità; precisamente,

particolare, perché non soddisfa in generale all'assioma di separazione visto nel detto Spec(A) l'insieme di tutti gli ideali primi dell'anello A, vi s'introduce la

) 4.r, valido invece nella topologia usuale del piano reale o complesso. Se V topologia di Zariski considerando chiusi gli insiemi V (Q) formati da tutti gliè una varietà definita sul corpo reale o complesso, essa è fornita dunque di due ideali primi contenenti l'ideale fissato Q~A. I l fascio strutturale O di Spec(A}topologie, quella di Zariski e quella ordinaria; quest'ultima consente l'impiego ha come spiga nel punto x, corrispondente all'ideale primo $, l'anello locale

di metodi molto potenti (i metodi trascendenti ), in cui intervengono operazioni A ~, localizzato di A i n ®, mentre all'aperto D (f) = Spec(A) — V(f) asso­non algebriche come il calcolo di integrali, mentre la prima permette di trat­ cia, per ogni AA , l ' anello A>, localizzato di A ne l l ' insieme S= ( i( i

tare con metodi topologici anche le varietà di caratteristica positiva. Salvo f , ...) (tali D(f) fo rmano una base degli aperti). Lo spazio topologico Spec(A)n

avviso in contrario la topologia di una varietà sarà d'ora in poi quella di Zariski. fornito di tale fascio, si chiama schema affine; il piu generale schema si ottieneincollando piu schemi affini (anche in numero infinito ). Piu esattamente uno

Fasci e schemi. La seconda idea innovatrice di Serre consiste nell'usare in schema è uno spazio topologico dotato di un fascio di anelli locali, localmente

geometria algebrica la nozione di fascio di anelli locali (cfr. il ) 3.8 dell'articolo isomorfo a uno schema afFine (ove si tenga conto della topologia e del fascio).«Applicazioni » di questa stessa Enciclopedia), già sperimentata in geometria ana­ Nel linguaggio degli schemi si ritrova lo spazio affine n-dimensionale A"(C)litica. In effetti la struttura topologica da sola «dimentica» in certo senso le pro­ come Spec{C[y„ , y „ ] ) , dove le y sono variabili indipendenti; i nuovi puntiprietà algebriche dell'anello delle funzioni regolari sulla varietà. Il fascio struttu­ ilcllo spazio affine sono tutti gli ideali primi di C [y„ . . ., y„] e fra questi gli idealirale O< della varietà V associa a ogni aperto U (complementare di un sottoin­ inassirnali corrispondono ai punti nel senso classico, per il Nul lstellensatz di

sieme algebrico) l'anello A(U) delle funzioni razionali sulla varietà e regolari I lilbert (cfr. $ 3.5). Gli insiemi algebrici affini sono ora del tipo Spec (C[yi, ...,(cioè prive di poli) sull'aperto. La spiga del fascio nel punto P della varietà, li­ v„]/3), dove 3 è un ideale qualsiasi dell'anello dei polinomi. Il fascio struttu­mite diretto di tutti gli anelli A (U) al variare di U nell'insieme degli intorni di P, nilc O~n associa all'aperto D (f) = A" — V(f), per ogni feC[yi, ...,y„], l 'anellocoincide con l'anello locale A~, dove ttt è l ' ideale massimale di P nell'anello C~yo ..., y„Q localizzato di C[y„ . . ., y„] nelle potenze di f; gli elementi di tale

delle coordinate A (si ricordi che, su un corpo algebricamente chiuso, i punti anello sono le frazioni g (y)/f", dove g(y) è un polinomio qualsiasi nelle y ecorrispondono agli ideali massimali per il Nul lstellensatz}. ri:N. Incollando n spazi affini si ott iene lo spazio proiettivo n-dimensionale

Geometria e topologia 700 70I Geometna e topologia

P"(C), che è uno dei piu semplici esempi di schema non affine (cioè non è questi possono essere definiti localmente sui vari pezzi affini, purché sia possi­per n> i spettro di alcun anello). bile l'incollamento, e sono la controparte topologica del concetto algebrico di A­

modulo. Anzi, per uno schema affine Spec(A), c'è un'equivalenza fra la cate­Lo spazio proiettivo P" (C) come schema. Nello spazio affine (n+ i )-dimen­ goria degli A-moduli e quella dei fasci cosiddetti «quasi coerenti» sopra

sionale Spec(C[xo, ..., x„]) = Spec(A), si consideri l'insieme di tutti gli ideali Spec(A) (cfr. anche l'articolo «Dualità» di questa stessa Enciclopedia ). Si apreprimi $ che siano omogenei, cioè generati soltanto da polinomi omogenei; qui la strada all' impiegomassiccio di tecniche topologiche, come la coomolo­ciò significa che, se un elementofcA appartiene a un tale 'Q, allora tutte le com­ gia o, piu esattamente, le coomologie, essendovi numerose possibilità alterna­ponenti omogenee di f stanno in 'Q; inoltre si vede facilmente che $ è neces­ tive a seconda della problematica e degli scopi (per la definizione di coomologiasariamente contenuto nell'ideale 5+ di tutti gli elementi di grado maggiore od si veda anche l'articolo «Differenziale» di questa stessa Enciclopedia). Comeuguale a i. Si indichi conProj(A) l ' insieme di tali primi da cui sia escluso 'K+ si vedrà nel $ 6,y, la coomologia ha una posizione centrale in tutta la geometriastesso. La topologia di Zariski di Spec (A) induce sopra Proj(A) una topo­ algebrica moderna, permettendo d'interpretare agevolmente e di generalizzarelogia: gli aperti della base D+(f) = D(f) AProj(A) sono formati dai pr imi importanti concetti della geometria algebrica classica (cfr. anche ) 6.g).omogenei '$ che non contengono f, dove f varia nell'insieme degli elementi Le tecniche topologiche e coomologiche in geometria comportano lo svi­omogenei di %+. Non è difficile vedere che gli aperti D+(x;) formano già una luppo in un'ulteriore direzione, cioè verso la teoria delle categorie e la logica.base degli aperti. Per ogni i = o, ..., n, si consideri l'anello A,, localizzato di A Già l'introduzione alla seconda edizione degli EGA segna questa svolta, pre­nelle potenze di x; e si ponga: grado di a/x'; =grado di a — s. Gli elementi di sentando la geometria algebrica come studio di un certo funtore; e, mentre il

grado o (cioè le frazioni omogenee a/x'; con grado di a = s) formano un sotto­ capitolo o della prima edizione cominciava con richiami algebrici, il nuovo ca­anello che si denota A<,>. Si definisca ora la seguente applicazione q : D+(x;) ~ pitolo o si apre con la teoria dei funtori rappresentabili. In questa direzione si~ Spec(A< „), che al primo omogeneo 'Q associa il primo $' formato da tutte collocano naturalmente la teoria degli spazi algebrici di Michael Artin e lae sole le frazioni a/x'; doveac@è omogeneo di grado s. Si può vedere che <i> teoria dei topoi, che, oltre a sviluppi geometrici, ha anche veri e propri sviluppiè un omeomorfismo di spazi topologici ; pertanto si può trasferire sopra D+(x,) logici e categoriali, ad esempio nelle ricerche di Lawvere.la struttura di schema affine che ha Spec (A<,>). Inoltre l'anello A< i> è isomorfoall'anello C[xo, ..., x„] /(x; ­ i ), cioè all'anello dei Polinomi che si ottiene eli­ Fasci, divisori, classe canonica in P" (k). L e nozioni sui fasci e la coomo­minando la variabile x,; la qual cosa significa che D+(x,) altro non è che uno logia in P" (k) qui di seguito esposte saranno utili per la lettura dei )) 6.g e 6.g.spazio affine n-dimensionale. Se $ è un punto di D+ (x;) l'anello locale in $ Un divisore D sopra P"(k) si assegna nel modo seguente: si fissa un ricopri­coincide con l'anello locale di Spec (A<~<>) in $' sopra definito, cioè con l'anello mento aperto (per la topologia di Zariski, unica possibile se k +R o C) (Us)i , tdelle frazioni omogenee aventi denominatore non in 'g. Tutta la prece­ e per ogni ieI si sceglie una funzione razionale f„sopra U, ivi non nulla iden­dente costruzione naturalmente si applica a qualunque aperto D+(f), che ri­ ticamente; gli elementi f; sono soggetti alla condizione che, per ogni i >j,sulterà affiine e isomorfo a Spec (A<t>). I vari aperti affini D+(x;) si possono unire f,/f; e f;/f; sono funzioni razionali prive di zeri e di poli sopra U<A U,. Se siin uno schema poiché i fasci strutturali si possono incollare nelle intersezioni che può scegliere il ricoprimento ridotto al solo P" (k) e quindi una sola funzionesono gli aperti D+(x<x,). Si può in realtà verificare che D+(x;x-) si identifica razionale f che definisca il divisore, questo si dice principale. Due divisoriallo schema affine indotto da Spec(A<~,.>) sopra Spec(A<...,>) e anche con lo sche­ .D e D' si dicono linearmente equivalenti se il divisore D — D', ottenuto local­

ma affine indotto da Spec{A< >) sopra Spec(A<„,i>): ciò significa che Proj (A) mente mediante il quoziente delle rispettive funzioni f,, coincide con un di­è appunto uno schema. visore principale. Il divisore D è positivo o effettivo se Ie sue funzioni locali

Le varietà proiettive si possono ottenere con analoga costruzione, a partire f, sono regolari sopra U;, per ogni i, cioè non hanno poli in U;. Non è difficiledall'anello B = C[xo,..., x„]/3, dove 3 sia un qualsiasi ideale omogeneo diverso persuadersi che un divisore effettivo altro non è che un sottoschema chiuso di di­da K+, si tratterà ancora di schemi ottenuti per incollamento di n schemi affini. mensione n — i (codimensione i ), unione di sottoschemi chiusi e irriducibili tutti

Si noti che ogni varietà proiettiva sui complessi è munita di due topolo­ di codimensione i ; D è semplicemente definito localmente dalle equazioni f . = o.logie, quella naturale di P"(C) e quella di Zariski; questo fatto (di cui si r i­ Ad esempio, nel caso n = z, i divisori positivi sono le curve del piano, nel casoi

parlerà al ) 6.g) implica la possibilità di studiare la geometria algebrica da due n = 3, le superfici dello spazio. A ogni divisore D sopra P (k) si può associarepunti di vista diversi, con i metodi della geometria differenziale e dell'analisi il fascio coerente Opn«>(D)( = O(D)), definito localmente come l'O(U,)-mo­complessa, oppure algebricamente. Qualora si consideri però lo spazio proiet­ duloo avente come unico generatore i /f; ; si tratta dunque di un fascio localmentetivo P" (k) (definito in modo analogo a P" {C) sopra un corpo base qualunque k ) libero e di rango i (detto anche invertibile ) contenuto nel fascio delle funzionisolo il metodo algebrico è consentito, mancando la topologia complessa. <i>zionali. La corrispondenza divisore-fascio trasforma divisori linearmente equi­

Oltre al fascio strutturale si possono considerare altri fasci sopra uno schema ; valenti in fasci isomorfi e viceversa.

Geometria e topologia 702 7o3 Geometria e topoiQgiQ

Dato un divisore D sopra P"(k) si può definire il sistema lineare completogenerato da D come l'insieme ~D~ di tutti i divisori equivalenti a D ed effet­ Coomologia dei fasci coerenti su P" (k). I gruppi di coomologia di uno sche­tivi. Ad esempio, una ipersuperficie S di P" (A) di equazione omogenea E = o ma afFine Spec(A) si possono calcolare esplicitamente quando A sia un anelloavente grado d genera il sistema lineare completo ~$~ che contiene tutte e sole noetheriano; si può provare che l ' i-esimo gruppo Ht {Spec(A); 8) è nullole altre ipersuperfici dello stesso ordine. I l s istema lineare ~D( può essere per ogni i ) o e pe r ogni fascio quasi coerente 8, mentre Ho(Spec(A); $)messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle sezioni globali del fascio coincide con il modulo delle sezioni globali di 8. La coomologia di Cech per­

O(D), esclusa la sezione nulla, quando s'identifichino due sezioni che differi­ mette di fare il calcolo dei gruppi di coomologia anche per gli spazi proiettiviscono per un fattore moltiplicativo non nullo in k. Siccome tale identificazione ( ove i risultati sono meno banali ). Sia U = (Ui);,< un ricoprimento aperto af­significa che lo spazio vettoriale delle sezioni globali viene considerato come ne di P"= P"(k) con un buon ordinamento per I. Per ogni (io, ..., i )cIp+'spazio proiettivo, la dimensione di quest'ultimo è la dimensione di ~D~. Si con­ si on a U = U.,

P~ "> pp g , , ;p = U;,A ... A U; . Se 8 è un fascio coerente su P" (cioè se lo­

sideri ad esempio il sistema lineare ~Sj di tutte ipersuperfici di un dato ordine calmente i moduh delle sezioni sono finiti sopra k [xo, ..., x„]<,o) si definisced in P" (k); allora il fascio O ($) è isomorfo al fascio O(d), definito dalla con­

dizione di avere, sull'aperto D+(x;), come k[x~,..., x~]<„,>-modulo delle se­ C (U, 8) = Q B ( U;, ;p)zioni globali quello generato dai polinomi omogenei di grado d. Pertanto le tp( t y ( . . . ( t p

sezioni globali di tale fascio formano uno spazio vettoriale (su k), che ha di­ (ove II = prodotto diretto ). L'applicazione d : Cp~Cp+ definita sull'apertp'(ngdh , l'n+ dh

mensione ( ) ;cosi dim p+ln n(dpa);, ; , = P( — i) a;,

Differenziali e classe canonica di P"(k). Se A è una k-algebra commuta­tiva si può definire il modulo dei differenziali Qz,@ nel modo seguente: nell'A­

(con tt, viene indicata l'esclusione di it dalla somma), verifica dp+,odp =o e

modulo libero M generato dagli elementi dx, al variare di x in A, sia N il sotto­quin i è p ossibile definire (cfr. $ 4.3) 11 p-esimo gruppo d i c oomologia

A-modulo generato dalle relazioni d (x+y) = dx+dy e d(xy) = xdy+ydx; al­ H"(P"; 8) = Kerd„/Imdp, . Si può fare il calcolo diretto per i fasci O(d) (con

lora Qz>> ­— M/N. In altre parole, ad ogni xe A resta associato dxe Q>+, in mo­ dcZ), ottenendo:

do tale che l'operatore d si comporti come una derivazione rispetto a somma '( " ; ( )) = o se t= o e d < o , oppure o<t<n e d q ualunque, oppuree prodotto (è in realtà una derivazione astratta). i = n e d <o, oppure i)n ;

Per ogni aperto affine U = Spec(A) è definito il modulo dei differenziali '( " ; O(d)) =spazio vettoriale delle forme di grado d nelle variabili xo,

Qz>>. La collezione dei moduli Q>t> dà luogo al fascio Q dei differenziali so­ ..., x„se i = o e d )o ;pra P" (k), che è un Oi pii>-modulo localmente libero di rango n, cioè isomor­ H'(P"; O(d)) =duale dello spazio delle forme di grado — d — n — i nelle va­fo localmente alla somma diretta di n copie di Opniii. Ha quindi senso con­ riabili xo, ..., x„se d< — n — i e i =n.siderare il fascio oi = oipn+> ­— A"Q (n-esima potenza esterna ), che si chiamafascio canonico ed è localmente libero di rango i. Un qualunque divisore K

In particolare si ha: H (P"„Opn) = k; siccome H è l ' insieme delle sezioni glo­

associato al fascio canonico si dice divisore canonico dello spazio proiettivo ebali, ciò significa che solo le costanti sono sezioni globali sullo spazio proiet­

~K~ è il sistema canonico di P"(k). Si può dimostrare che il fascio canonico ètivo P"=P" (A). Ana( ). ..nalogo calcolo (con risultati diversi ovviamente) può essere

isomorfo al fascio O( — n — i), inverso del fascio O{n+ i ) (e cioè tale che fatto per ogni varietà proiettiva Y.

O( — n — i)QxO(n+i) s ia isomorfo a O (o) = Or.n). Quindi il sistema canonico Sarà utile nel seguito sapere che i generi aritmetico e geometrico di una

~K~ è, per ogni n) i, v uoto, essendo O(l) privo di sezioni globali non nullevarietà proiettiva si possono definire in termini coomologici. Ad esempio, per

per l negativo.una superficie algebrica X~P" (k)

Naturalmente tutte le costruzioni precedenti, con qualche difficoltà di det­ Pa = dim>H (X; O~) — dimi H (X; O>)taglio, si applicano a qualunque varietà proiettiva. Si deve tuttavia notare cheuna varietà proiettiva X, anche priva di singolarità, può avere la classe cano­ Pe = iH (Xi ®x) (oi~ = fascio canonico).nica non vuota e variamente complicata. Anzi, per ogni m intero positivo si puòconsiderare la classe ~mK~ dei divisori equivalenti a mK ed effettivi: il numero 6.3. La geometria algebrica italiana.

P~ = dim]mK)+ i è un importante invariante birazionale numerico di X, dettom-esimo plurigenere di X (cfr. )) 6.3 e 6.4), introdotto da Enriques. Prima di affrontare l'esame della figura di Zariski è opportuno un breve

riesame della geometria algebrica italiana, che costituisce per molti aspetti il

Geometria e topologia 7ok 7o5 Geometria e topologia

punto di partenza dell'opera di Zariski e condiziona buona parte della geome­ considerati preparatori rispetto allo studio delle superfici algebriche. Nell'am­tria d' oggi, bito di queste due tematiche la scuola italiana sviluppa una gran varietà di ri­

Negli anni fra il i 89o e il ti ngo la geometria algebrica è dominata dal punto sultati, che storicamente si articolano intorno alle problematiche seguenti.di vista birazionale, iniziato da Riemann ma enunciato con chiarezza program­matica solo nel programma di Erlangen ( i87z ), che indica esplicitamente il Il teorema di Riemann-Roch. Il p r oblema posto da Riemann consiste nel­gruppo delle trasformazioni birazionali. Soprattutto i geometri algebrici italia­ l'esprimere la dimensione di un sistema lineare completo sopra una curva o una

ni della seconda generazione (Castelnuovo, Enriques e poi Severi) sono con­ superficie algebrica in termini di caratteri numerici del sistema stesso e d'inva­vinti assertori dell'impostazione birazionale e in questa direzione ottengono no­ rianti birazionali numerici della varietà ambiente. Si è vista la soluzione per letevolissimi risultati per le varietà su C. Che cosa significa esattamente geome­ curve nel ( 3.3 ; per una superficie il problema è molto piu complicato e vienetria birazionale per gli i taliani> Si tratta soprattutto di due problematiche: risolto da Enriques e Castelnuovo, e poi ulteriormente perfezionato da Severi.

i) la ricerca degli invarianti numerici birazionali, cioè di quei caratteri nu­Esso afferma che, se S è un sistema lineare completo sopra una superficie non

merici associati a una varietà algebrica complessa che si conservano nellesingolare X, avente genere virtuale p, grado virtuale n, indice di specialità j

trasformazioni birazionali. Ad esempio per le curve si è visto che il generee dimensione r,

p è un invariante birazionale numerico, nel senso che due curve sono bi­ ( i ) r) n — p+p,+ i — j,razionalmente equivalenti soltanto se hanno lo stesso genere;

z) classificazione delle varietà algebriche, cioè suddivisione delle varietà dove il genere virtuale e il grado virtuale sono quelli eAettivi se S è un sistemaalgebriche aventi una data dimensione n in classi, ciascuna contenente irriducibile, coincidono cioè rispettivamente con il genere della curva genericatutte le varietà birazionalmente equivalenti a una data varietà e caratte­ del sistema e con il numero di punti comuni a due curve nel sistema. Si notirizzazione delle proprietà di ogni classe di equivalenza. che, per le superfici, vale soltanto una disuguaglianza: la differenza fra i due

membri è la «sovrabbondanza» e il suo significato, non chiaro per i geometriNel caso delle curve algebriche la cosa è semplice, in quanto due curve sono italiani [cfr. anche Severi iil58, p. 36], può essere spiegato in termini coomolo­

birazionalmente equivalenti soltanto se hanno lo stesso genere ; inoltre due cur­ gici come la dimensione sul corpo base h del primo gruppo di coomologiave non singolari birazionalmente equivalenti sono addirittura isomorfe (cioè si H'(X; Or( D) ), dove S= ~D~.ottengono l'una dall'altra con una trasformazione birazionale biregolare). Per­tanto entro ogni classe di birazionalità c'è una sola curva non singolare, il che Caratteristiche geometriche legate all'annullarsi di invarianti birazionali nu­rende il problema della classificazione di carattere elementare. I problemi i ) merici. Ad e sempio la razionalità di una curva è caratterizzata dall'annullarsie z) si presentano entrambi molto piu difficili per le superfici algebriche. del genere. Nel caso delle superfici la razionalità (cioè l'equivalenzabirazionale

Già a Max Noether, intorno agli anni i87o, è noto che per le superfici si con il piano proiettivo complesso) è caratterizzata dal celebre teorema di Ca­possono definire due generi, il genere geometrico p collegato al sistema canoni­ stelnuovo: una superficie algebrica complessa non singolare è razionale se eco, e il genere aritmetico p«, collegato a certe superfici aggiunte di ordine n — 4 soltanto se sono nulli il genere aritmetico p~ e il secondo plurigenere P, (cfr.(dove n è l'ordine della superficie). E nel i87i Cayley costruisce una superfi ci

p. 7oz) ; non è invece sufficiente l'ipotesi piu debole che siano nulli p, e q (cioèrigata in cui i due generi sono diversi, Zeuthen prova sotto qualche ipotesi l in­ P, e P.).varianza birazionale del genere aritmetico, mentre l'invarianza del genere geo­ Anche le superfici rigate (cioè birazionalmente equivalenti al prodotto dimetrico p, è sostanzialmente nota a Noether. L'invarianza birazionale del genere una curva liscia per la retta proiettiva ) possono caratterizzarsi mediante l'an­aritmetico viene provata in generale da Enriques nel i8il6, con una dimostra­ nullamento di invarianti birazionali, grazie al teorema di Enriques:zione che mette in r i l ievo l ' importanza dell'invariante birazionale q =p,— p„detto da Enriques irregolarità della superficie. Nelle dimostrazioni d'inva­ TEQREMA (Enriques). La superficie non singolare X è rigata se e soLtanto serianza birazionale viene fatto largo uso di proprietà anche sottili dei sistemi sono nulli tutti i Plurigeneri P, ovvero se e soltanto se è nullo il dodicesimo Pluri­lineari di curve sopra una superficie e di teoremi non strettamente birazionali, gen8r8 Pi«.come i teoremi di Bertini sul punto multiplo variabile di un sistema linearee sulla riducibilità dei membri di un sistema lineare. Tuttavia tali teoremi, stu­ Soluzione de/ problema ai Luroth per le superfici. Si t r a t ta del celebre teo­diati per il loro interesse intrinseco dai geometri della generazione precedente rema di razionalità delle involuzioni piane dovuto a Castelnuovo.

(come appunto il Bertini ) vengono ora visti soprattutto come strumenti per lo Esiste in effetti una variante debole del concetto di razionalità per una va­studio birazionale. rietà algebrica, nota ai geometri classici (Liiroth, Castelnuovo, Fano ). Preci­

Anche gli studi sulle curve algebriche di Castelnuovo, Enriques, Severi sono samente la varietà algebrica non singolare X di dimensione n è razionale se è

Geometria e topologia 7o6 7o7 Geometria e topologia

birazionalmente equivalente a P" (k), cioè se il suo corpo delle funzioni raziona­ In primo luogo va osservato che, nella geometria italiana, numerose intui­li è puramente trascendente sopra k; X è invece unirazionale se il suo corpo L zioni felici e idee rofp onde e innovatrici si sono sempre accompagnate a un'ec­delle funzioni razionali è una sottoestensione di un'estensione puramente tra­ cessiva fiducia nell'intuizione geometrica e a una scarsa attenzione alle temati­scendente di k. Quando L abbia grado di trascendenza r sopra k, si può di­ che algebriche, con il risultato di produrre una certa mancanza di rigore. Parec­mostrare con tecniche di teoria dei corpi abbastanza elementari (teorema di c ie dimostrazioni di fatti oggi riconosciuti giusti sono controverse o lacunoseLiiroth ) che L è puramente trascendente; pertanto le curve unirazionali sono o, almeno, incomplete. Lo stesso Castelnuovo, nell'introduzione al volume Lerazionali (ed è vero per ogni corpo base k). Nel caso di una superficie comples­ superficie algebriche di Enriques del r949, segnala alcuni punti cruciali a suosa X si può dedurre dal teorema di Castelnuovo che caratterizza le superficirazionali il fatto che ogni superficie unirazionale è razionale. Nel caso della ca­

parere privi di una dimostrazione corretta; del pari Zariski, nelle Algebraic

ratteristica positiva è stato chiarito da Zariski che il teorema non vale in gene­Surfaces del t935, una specie di rassegna dei risultati noti nel settore, segnalaspesso difficoltà e lacune.

rale, ma solo sotto opportune ipotesi. Negli anni tra il r95o e il I970 avviene un lavoro di rielaborazione dei ri­In dimensione maggiore di due il problema di Lùroth (dell'equivalenza fra sultati della geometria italiana, con l'utilizzazione di nuovi e raffinati strumenti

razionalità e unirazionalità ) è rimasto aperto fino a tempi recenti, nonostante presi dalla geometria differenziale, dalla topologia, dall'analisi complessa, co­il tentativo di controesempi dovuto già a Fano; solo Clemens e Griffith da una me le tecniche coomologiche, la teoria di Hodge delle forme armoniche, ecc.parte, Iskovskij e Manin dall'altra hanno risolto negativamente la questione, Ecco una breve rassegna dei principali risultati.con esempi di ipersuperfici di P (C), di gradi 3 o 4 (ad esempio: xs+xy+xg++ x', +- x4' ­— o). Teorema di Riemann-Roch e dualità di Serre. L'introduzione della coo­

Classificazione delle superfici algebriche secondo le classi di birazionalità. Amologia permette di scrivere il teorema di Riemann-Roch come un'uguaglian­

questo problema si dedicò soprattutto Enriques, iniziando la classificazione perza, grazie all'interpretazione della sovrabbondanza come dimensione del primogruppo di coomologia del fascio Oz.(D), D essendo un divisore del sistema li­i primi generi; si vedranno nel seguito gli sviluppi di questi risultati dovuti a

Kodaira, 8afarevic, Mumford, Bombieri, che dovranno utilizzare un ulterio­neare di cui si studia la dimensione. Detto K un divisore canonico della super­

re invariante birazionale (la dimensione di Kodaira ), collegato ai plurigenerificie proiettiva non singolare X, si può enunciare Rier4nann-Roch come segue:

e introdotto da Safarevic nel r965. (2) g (Or ( D) ) ( i /2)D (D K) + i +Pg)2

Va osservato che l'estrema difficoltà di lettura dei risultati della scuola ita­dove y indica la caratteristica di Eulero-Poincaré V ( — r)4 dimH4(X O (D))

liana dipende soprattutto dal fatto che, con il termine 'superficie' essa indica si può vedere che dimH (X; O<(D)) — r corrisponde alla dimensione rgeneralmente tutta la classe di birazionalità di una data superficie, con l'impli­cita convenzione di scegliere di volta in volta il modello piu conveniente, sia

della formula (t), dimH' (X ; O>-(D)) è la sovrabbondanza, mentre (r/ 2)D.. D — Kesso non singolare, come garantito dal teorema di scioglimento delle singo­

. ( — ) c o r r isponde alla differenza n — p fra grado e genere virtuale(D Dessendo il grado). In realtà questo enunciato presuppone l'uguaglianza fra la

larità di Beppo Levi, oppure sia ottenuto da uno non singolare per proiezione dimensione di H (X; O>(D)) e la dimensione di H (X; Or (D)~Qxoi>), dovee immerso in Ps (C) con ciò introducendosi alcuni tipi standard di singolarità oi< è i fascio canonico della superficie e ~ significa duale. Et f t t d '(curve doppie nodali, con punti tripli isolati, che sono tripli anche per la su­ e a t eorema di dualità di Serre: per uno schema proiettivo non singolare

perficie) [cfr. a questo proposito Mumford r97t ].La scuola geometrica italiana si avvale di varie tecniche, sia puramente

i i m ensione n ta le dualità implica infatti l ' uguaglianza dimH'(X; 5) ='( ; Q ~ ) qu i nd i che per una curva non singolare c'è un solo

geometriche, sia basate sull'analisi, come l'uso di integrali. Non si avvale però genere (cosa ben nota altrimenti ai classici ).in alcun modo dei metodi e dei risultati puramente algebrici sviluppati in Ger­ In questo ambito coomologico va citato il celebre teorema di annullamentomania da Max Noether, Krull , Kronecker, Hilbert, ecc. di Kodaira che afferma: se X è una varietà proiettiva non singolare su C di

imensione n e 8 è un fascio ampio invertibile, allora H'(X; BQxo> ) = o er

6.4, Moderni sviluppi della problematica introdotta dalla scuola italiana. o ni i >o e FX'tX 5 ' ~=g ' '( ; 6' ) = o per ognii ( n , i due fatti equivalendosi per la dua­

lità di Serre. Questo teorema viene provato da Kodaira con metodi analitico­Il materiale elaborato dalla scuola di Castelnuovo, Enriques, Severi ha avu­ complessi e finora non ci sono dimostrazioni algebriche; anzi, in caratteristica

to una notevolissima influenza sulla geometria algebrica successiva, di cui si p>o ci sono controesempi. Senza entrare nei dettagli di questo profondo e dif­richiamano qui i pr incipali risultati di geometria birazionale che completano ci e risultato, si ricordi che esso è collegato al classico teorema di regolaritàquelli classici. del sistema aggiunto, provato da Picard ed esteso da Kodaira stesso.

Geometria e topologia 7o8 709 Geometria e topologia

algebrica con quella analitica. Se si aggiunge il teorema di Chow, in l»:s<Classifica~ione delle superfici algebriche. Per le superfici su corpi di carat­ quale le sottovarietà analitiche compatte della varietà analitica P"(C) s»n<» : I

teristica nulla i risultati completi sono dovuti a Kodaira e Safarevic, per la ca­ gebriche (cioè sono associate a una varietà algebrica), ne risulta la possil>ili! >ratteristica positiva (ancora con qualche esclusione) a Mumford e Bombieri. di dimostrare proprietà delle varietà algebriche con tecniche della gc<»»«t>i:>

Si è visto che per le curve una prima classificazione si ha in base al genere, differenziale e dell'analisi complessa: forme armoniche, uso di integrali, c«<.. (imentre per le superfici ci sono difficoltà di varia natura. In primo luogo gli metodi trascendenti). Ad esempio i teoremi di geometria algebrica di I <<><h>i«:invarianti birazionali sono almeno due, i generi aritmetico e geometrico; in sono generalmente ottenuti con metodi trascendenti.

secondo luogo entro una classe di birazionalità ci possono essere piu modelli Un esempio notevole di risultato algebrico provato per via trascendente < h>

non singolari non equivalenti biregolarmente, al contrario delle curve. generalizzazione a ogni dimensione del teorema di Riemann-Roch, ottenuta <I;<Tuttavia si può limitare il problema della classificazione ai modelli mini­ Hirzebruch. Tuttavia, mentre di parecchi fatti provati per via trascendcnl«

mali ; in effetti è noto che, entro una classe di birazionalità di superfici non sin­ ignoto se esista una dimostrazione algebrica, non è questo il caso di Rienu«»>

golari, esiste sempre una superficie minimale rispetto alla relazione d'ordine Roch, provato da Grothendieck per un corpo algebricamente chiuso qu;<lsi;<si.

determinata dai morfismi birazionali. Inoltre tale modello minimale è unico Limitatamente al caso delle varietà complesse, il teorema di Riem;<»»

oppure nella classe di birazionalità c'è una rigata, come prova Zariski estenden­ Roch-Hirzebruch è anche conseguenza (cfr. ) g.g) del teorema dell'indie« l ido al caso di un corpo algebricamente chiuso un teorema noto ai geometri ita­ Atiyah-Singer. Ad esempio, nel caso di una curva, il carattere di Chern dcl <li'­

liani per C. Pertanto la classificazione delle superfici può ricondursi allo studio visore D è i +D e la classe di Todd della curva è i ­ ( i/z)K (K = classe c;ui<>dell'unico modello minimale entro ogni classe di birazionalità ovvero allo stu­ nica) e allora il teorema dell'indice afferma che si ha y (Or(D)) =grad<> <lidio dei vari modelli per le superfici rigate. (D — (i/z)K); siccome grado di K=zp — z, si ottiene y (O~(D)) = r — p+g><<­

Strumento centrale in questa teoria, oltre ai generi, è la dimensione >< di do di D, che è la formulazione di Serre del teorema di Riemann-Roch per I<Kodaira; per una superficie proiettiva non singolare >c può assumere i valori curve.

— i, o, x, z e coincide con la massima dimensione dell'immagine di X n e lmorfismo determinato dalla classe nK (multiplo n-esimo della classe canonica 6.5. Zariski e la rifondazione della geometria algebrica.di X), al variare di n. Ecco la discussione dei quattro casi possibili:

A proposito della dedica degli Eléments de géométrie algébri<iue a Weil cCaso i : >c= — i . Questo fatto equivale all'annullarsi di P,s, cioè al fatto che Zariski, si è discusso del primo ma solo accennato per ora al secondo. Rispetto

izK = g ; si tratta delle superfici rigate (in particolare razionali). alle ricerche citate nel ) 6.4, che ridimostrano o estendono con dimostrazioniCaso z: >< =o. Questo fatto equivale all'annullarsi della classe izK c ioè rigorose fatti di geometria birazionale piu o meno noti alla geometria italiana,

P» ­— i. Si tratta di una superficie di uno dei tipi seguenti: a ) superficie un posto particolare spetta a Zariski. Nella citata introduzione il suo nome èKg, con classe canonica nulla e irregolarità <l = o; b) superfici di Enri­ indicato soprattutto per l'articolo Theory and applications of holomorphic func­ques, che hanno p~=pe ­— o e inoltre zK= o; c) le varietà abeliane di di­ tions on algebraic varieties over arbitrary ground fields (<95i). Il punto di par­mensione z, che hanno p~= — i, p e = i ; d ) le superfici iperellittiche (o tenza di questo articolo è il cosiddetto principio di degenerazione, che, nellabiellittiche), che hanno pe= o e p, = — i. formulazione di Enriques, afferma che, se una varietà irriducibile V (sopra i

Caso 3: x = i. Si tratta di certe superfici ellittiche, cioè superfici S con un complessi) varia in un sistema continuo e degenera, al limite, in una varietà ri­morfismo (cfr. ( 3.5) suriettivo su una curva liscia C avente per fibra ge­ ducibile V„, allora Vo è connessa. Zariski enuncia e prova il principio in unanerica una curva ellittica, e inoltre nullo l' invariante birazionale K~. forma piu generale.

Caso 4 ><= z. Sono le superfici di tipo generale, analogo in dimensione z L'interesse per Grothendieck e per la geometria algebrica moderna non èdelle curve di genere maggiore di i . In questa classe ci sono quasi tutte costituito tanto dal risultato provato da Zariski, quanto dalle tecniche e daglile intersezioni complete (cfr. ) 3.5) e i prodotti di curve di genere al­ strumenti usati per arrivare alla dimostrazione, completamente nuovi rispettomeno 2. al patrimonio della geometria italiana, In effetti Zariski introduce il concetto di

funzione olomorfa sopra una varietà affine e proiettiva: tale funzione, local­Varietà analitiche complesse compatte e varietà algebriche sopra i complessi. mente, è un elemento del completamento ttt-adico dell'anello delle funzioni

A una varietà algebrica X definita sui complessi può essere associata una varietà regolari sulla varietà. Questo fatto conduce Zariski a definire i l concetto dianalitica complessa X>, nel senso dei ) ) g.z e 5.3 ; inoltre X e X>, hanno la stessa c<>mpletamento m-adico di un anello noetheriano qualsiasi A, dove m è un idealecoomologia, come provato da Serre nel celebre articolo Géométrie algébrique ; irbitrario: si t ratta sostanzialmente dell'anello delle serie formali del t i poet géométrie analiti<iue o CAGA (r9)6), dove confronta appunto la geometria a,>+a,m,+...+a„m„+ . .., dove a„e A e m„cm" (dove m" è l ' ideale prodotto

Geometria e topologia 7IQ 7II Geometria e topo1ogia

di ttt per se stesso n volte). Esso coincide con l'anello delle ordinarie serie for­mali quando A sia k [xe ..., x„] e N. sia l'ideale delle variabili x;, ma ha una Recupero di tematiche non birasionali e apertura verso nuovi problemi. Nel­portata molto piu vasta e generale. l'introduzione alla Commutative Algebra scrive : «La geometria algebrica astratta

L'utilizzazione del completamento ttt-adico per studiare proprietà delle si è rivelata recentemente non solo il principale campo di applicazione dell'al­varietà algebriche è in certo senso la controparte astratta delle tecniche cosid­ gebra commutativa, ma anche il principale incentivo per nuove ricerche nel­dette trascendenti; Zariski sostituisce gli sviluppi in serie e i relativi problemi l'algebra commutativa» [Zariski e Samuel r958, p. v ]. In effetti la nuova im­di convergenza con le serie formali, con ciò inventando tecniche nuove di «di­ postazione algebrica permette, oltreché di dare una fondazione rigorosa allascesa» dalle serie ai polinomi. Con questo lavoro si è già nel pieno della nuova geometria birazionale, anche di porre l'attenzione a problemi piu semplici, diimpostazione zariskiana della geometria algebrica, che consiste nell'algebrizza­ natura non direttamente geometrica, o di natura geometrica piu elementare:zione della geometria, nella ricerca di strumenti algebrici adatti a studiare i studio degli anelli locali regolari e normali, polinomio di Hilbert-Samuel e sueproblemi geometrici classici. Questa tendenza non è del tutto nuova negli anni generalizzazioni, derivazioni e differenziali negli anelli geometrici, struttura dei'4o e '5o, in cui opera Zariski, essendo già stata portata avanti dalla scuola te­ completamenti, ecc. Questo è uno degli aspetti piu felici e innovatori dell'o­desca (cfr. ) 3.5), la cui produzione è considerata oggi di estremo interesse an­ pera di Zariski, perché apre prospettive di ricerche non banali a un arco piuche geometrico, ma è stata pienamente apprezzata e, in certo senso, rivalutata, vasto di studiosi e in definitiva promuove un allargamento della cultura mate­solo dopo Zariski o, come nel caso del teorema delle sizigie (r89o;cfr. l'articolo matica.«Dipendenza/indipendenza» di questa stessa Enciclopedia), ancora piu tardi, Accanto a queste aperture non strettamente geometriche si assiste al recu­quando si comincia a sviluppare l'algebra omologica di cui Hilbert è precursore. pero di problematiche non birazionali; fra queste, del concetto di punto sem­Zariski proviene dalla scuola italiana e in questo ambito, birazionale, rientrano plice in geometria algebrica (caratterizzato da un criterio jacobiano valido peri suoi primi lavori, all'incirca fino al I935. Tuttavia si accorge ben presto che la caratteristica nulla e quella positiva ), dei teoremi di Bertini e dei problemila mancanza di rigore rischia d'investire tutta la teoria e non soltanto qualche ri­ di intersezioni complete e di connessione.sultato. È dunque verso il r935 che Zariski impone una svolta alle proprie Sia nello studio di tematiche geometrico-birazionali che di altri problemi,ricerche, ritornando sui fondamenti della geometria algebrica, con quella che è sempre presente in Zariski l'attenzione a enunciare e dimostrare i suoi risul­si potrebbe chiamare «rivoluzione culturale» all'interno della geometria. Sche­ tati con la massima generalità, ove possibile unificando 1a caratteristica nullamaticamente si possono riassumere le sue tematiche suddividendole in t re e quella positiva, il caso del corpo algebricamente chiuso e quello del corpoaspetti, peraltro connessi fra loro. qualunque, addirittura talvolta sostituito da un anello di valutazione discreta

o un anello arbitrario. Quando la l imitazione al campo complesso gli paiaRitorno ai fondamenti e algebrizzaaione della geometria. Za r iski rit iene che necessaria, indica sempre con precisione in quali dettagli delle dimostrazioni

nell'algebra si debba cercare il fondamento della geometria algebrica. Avvalen­ essa interviene. Ciò da una parte rinforza il rigore algebrico e, dall'altra parte,dosi dei risultati già raggiunti dalla scuola tedesca, riesamina dalle origini i fon­ apre ancora possibilità di ricerche su certe parti algebriche delle sue dimostra­damenti algebrici: la struttura degli anelli geometrici, cioè delle algebre di tipo zioni, allo scopo di fare delle estensioni o comunque di capire la differenza frafinito sopra un corpo, i completamenti ttt-adici, le localizzazioni, le estensioni il caso del corpo complesso e quello generale.di anelh. È in certo senso significativo che, deciso a scrivere un trattato digeometria algebrica, si sia trovato di f ronte un tale materiale algebrico pre­ Geometria birazionale e sci glimento delle singolarità. Ne l s e t tore dellaparatorio da convincersi a scrivere piuttosto un trattato di algebra commuta­ geometria birazionale Zariski estende alla caratteristica positiva (e prova contiva (uno dei testi piu conosciuti e studiati anche fra i geometri algebrici a tut­ rigore per la caratteristica nulla ) vari teoremi classici: il criterio di razionalitàt'oggi [è in collaborazione con il suo allievo Pierre Samuel 1958]). di Castelnuovo, precisando i limiti di validità del teorema di razionalità delle

Fra gli strumenti algebrici introdotti da Zariski uno dei piu felici è la chiu­ involuzioni piane; il teorema di Riemann-Roch; il teorema che caratterizza lesura integrale di un anello (cfr. ) 3.5), che permette di definire la normalizza­ superfici minimali nelle varie classi di equivalenza birazionale. E, a monte dizione di una varietà algebrica proiettiva qualsiasi, ottenuta per incollamento del­ tutto ciò, riesamina a fondo il concetto di trasformazione birazionale, preci­le normalizzazioni affini. Essa consente, fra le altre cose, la risoluzione delle sando le proprietà delle trasformazioni quadratiche e monoidali e della norma­singolarità per le curve (come si è visto alla fine del ( 3.5) e l'eliminazione delle lizzazione.curve multiple sopra una superficie, in quanto l'insieme dei punti singolari di Ma il problema piu significativo, cui dedicò la massima attenzione, è quellouna varietà algebrica normale (coincidente con la sua normalizzazione) ha co­ dello scioglimento delle singolarità. La desingolarizzazione di una varietà alge­dimensione ahneno z e quindi è vuoto sopra una curva e contiene al piu punti brica si ottiene attraverso trasformazioni birazionali (ad esempio quadratiche)isolati sopra una superficie. c quindi è un classico problema birazionale. La geometria italiana conosceva

Geometria e topologia 7I2 7'3 Geometria e topologia

vari teoremi di scioglimento: quello di Max Noether per le curve e quello di con quelli di Weil, dominati da tematiche profonde di teoria dei numeri e col­Beppo Levi per le superfici ; tuttavia lo considerava piu che altro uno strumento legate alle ipotesi di Riemann.necessario per lo studio della classificazione delle superfici. In effetti la presenza L'opera di Zariski è variamente continuata sia sotto l'aspetto algebrico (Sa­di un modello non singolare entro ogni classe di birazionalità permette di re­ muel, Chevalley, Seidenberg e Lipman ) sia per quello piu propriamente geo­stringere lo studio alle super6ci non singolari (con qualche difficoltà relativa ai metrico (Mumford, Artin, Abhyankar, Hironaka, Hartshorne).modelli minimali ) o a superfici di Pa ottenute da queste con trasformazioni Hironaka è forse il continuatore piu diretto, sia per le tematiche affrontate,

standard. Invece Zariski recupera l'interesse per la desingolarizzazione de ed lie sia per l'impostazione algebrica. Già nella tesi di dottorato con Zariski, Hiro­per6ci e varietà algebriche in se stessa, come problema geometrico a sé naka si occupa di scoppiamenti elaborandone una teoria generale nella categoria

stante. Ed ancora, oltre che sull'obiettivo finale di produrre un modello privo i degli schemi; prepara cosi lo strumento per affrontare e risolvere il problema

singolarità, fissa l'attenzione anche sui passaggi intermedi, ad esempio i singoli classico dello scioglimento delle singolarità per le varietà algebriche. Gli stru­scoppiamenti e le normalizzazioni (cfr. ( 3.5), ricavandone anche informazioni menti e le tecniche di Zariski, validi per le dimensioni z e 3, risultano inade­sulla struttura dei punti singolari. Lo strumento algebrico usato da Zariski per guati al caso generale: ad esempio il passaggio alla normalizzazione, che falo scioglimento delle singolarità di una superficie algebrica e di una varietà a tre scomparire le curve multiple di una superficie, lascia singolarità anche compli­

dimensioni è l'anello di valutazione. Si è visto nel $ 3.z che l'anello locale di un catissime in dimensione alta. Tuttavia Hironaka affronta il problema nello spi­

pun o semp ice i unanto semplice di una curva è un anello di valutazione discreta (cioè il suo ideale rito algebrico di Zariski. Ed è cruciale per lui la scelta della categoria nella qualemassimale è generato da un solo elemento) ; inoltre si è visto nei )) 3.3 e 3.5 operare la desingolarizzazione. In effetti un attento esame dell'analisi 6ne degli

che, attraverso le normalizzazioni o gli scoppiamenti, si può raggiungere, a par­ anelli locali, condotta da Zariski, Chevalley e Nagata, lo porta ad introdurre

tire da un punto singolare di una curva, un punto non singolare appartenente (insieme a Grothendieck ) il concetto di anello locale eccellente, in base al com­alla normalizzazione (o alla curva ottenuta dopo un certo numero di scoppia­ portamento nel passaggio al completamento. E la categoria naturale per lo scio­menti ). Pertanto il procedimento di scioglimento può essere concepito come un glimento non è quella degli schemi di tipo finito sopra un corpo (cioè delle va­tentativo di raggiungere un anello di valutazione discreta, il che avviene con rietà algebriche ), bensi quella degli schemi di tipo finito sopra un anello localeun passo, oppure un numero 6nito, a seconda della via scelta. Nella teoria del­ eccellente, che, oltre alle varietà algebriche, comprende anche le varietà alge­

1 s per6ci compaiono situazioni analoghe, ma piu complicate. Ad esempio è broidi. Il risultato principale del lavoro è ottenuto attraverso un esame accurato

tipica la seguente : si ha una successione di punti singolari e relativi anelli loca i delle singolarità e del loro comportamento negli scoppiamenti.ciascuno ottenuto dal precedente applicando uno scoppiamento seguito da nor­ Mentre il problema di sciogliere le singolarità è ancora aperto in caratteristica

malizzazione. Si tratta di quella che viene classicamente chiamata successione positiva per il caso generale, esso è risolto, proprio con le tecniche di Zariski edi punti infinitamente vicini alla super6cie di base X o, in altre parole, un di Hironaka, nel caso delle superfici ad opera di Hironaka stesso, Abhyankar

ramo uscente dal punto P~ della superficie da sciogliere. Gli anelli locali A,. e Lipman.della successione sono tutti contenuti nel corpo L de l le funzioni razionali suX e quindi anche l'anello A = l imite diretto degli A; = QA;. Si tratta ancora

di un anello locale, ma non noetheriano, che gode della seguente proprietà: Geometria /topoLogia e meccanica.dato ago in L, a oppure r/a sta in A. Questa condizione equivale anche a direche, fra tutti gli anelli locali aventi L come corpo delle frazioni, non ne esiste 7.i. Sistemi meccanici.alcuno dominante propriamente A. Dunque l'anello A, detto appunto di valu­tazione rispetto a L, si può pensare come limite di anelli locali integralmente Spazio delle configurazioni. Ne l c aso del movimento di un s istema di Nchiusi, ovvero come unione di anelli locali di punti successivi inf initamente vi­ punti P„P „ . .. , Pz aventi masse m„m~, ..., mz l'insieme delle posizioni pos­

cini. Pertanto il concetto di anello di valutazione traduce algebricamente quello sibili per i l sistema (detto spazio di con6gurazione o delle configurazioni ) èdi singolarità infinitamente vicina, ben noto alla geometria classica. È proprio per definizione il prodotto cartesiano di N esemplari di Rs. Qualora fra i puntiun'analisi accurata delle valutazioni dei corpi di funzioni algebriche in due va­ siano imposti r vincoli olonomi allora, come ha osservato Lagrange, lo spazioriabili che permette lo scioglimento delle superfici e varietà tridimensionali. delle configurazioni costituisce una varietà differenziabile V d i d imensione

n = 3Ar — r coincidente con il numero dei gradi di libertà del sistema, le cui coor­

6.6. Continuazione dell'opera di Zariski.dinate locali q', ..., q" sono dette coordinate lagrangiane.

Nel caso del pendolo piano, ad esempio, V= S ' , la coordinata locale è la

Negli obiettivi che si propone Grothendieck negli EGA si t rovano uniti coordinata angolare; nel caso del pendolo (matematico ) sferico V = 8~, nelcome ispiratori Weil e Zariski; in realtà gl'interessi di Zariski non convergono caso del pendolo piano doppio V = S' x S'.

Geometria e topologia 7'4 715 Geometria e topolot<i«

Il moto alla Poinsot è il moto di un solido pesante intorno al suo centro di Nel caso del moto di un punto di massa m in R 2 le ( i) sono le equazi<»>i <ligravità che si suppone coincidente con l'origine O di R 2 in cui è fissato un si­ Newton, nel caso di un sistema di N pu n t i materiali soggetti alpattri>zi<»><stema di riferimento. Se s'introduce in R2 anche il sistema di riferimento iner­ gravitazionale le ( i ) sono le equazioni del problema degli N corpi:ziale (legato al solido) i cui assi sono gli assi principali d'inerzia del solido, laposizione del solido è individuata dalla rotazione ae SO (g) che trasforma il ri­ d'x~ ò U d2yt, ò U d221. ò U

(z) mt. — , = ­ ml.— , = ­ m~ferimento inerziale nel riferimento prefissato di R2. Il gruppo delle rotazioni dt2 hxq dt' òy~ dta òz~SO(3) (le cui coordinate locali sono per esempio gli angoli di Eulero) è una (con k = l, . .., N ) ; nel caso del pendolo semplice si ottienevarietà differenziabile diffeomorfa allo spazio proiettivo reale P 2(R).

d2q(g) — + pp2 sin q = o.

Energia cinetica. Sia TV il f i b rato tangente a V, le cui coordinate locali dt2

sono (q', q'), le qt essendo le cosiddette velocità generalizzate (TV costituisce E importante sottolineare che le curve integrali di ( i ), e cioè le traiettori«<1< Iquindi lo spazio degli stati ). L'energia cinetica del sistema meccanico è, in moto, sono indipendenti dalle coordinate locali.coordinate locali, una forma quadratica T (q, q)= Zg;;(q) q'qt/z definita positivache individua quindi una struttura riemanniana sulla varietà V. Nel caso in cui Sistema hamiltoniano. Il s istema(i) è un sistema differenziale del seco«<l»gli N punti siano privi di vincoli, l'energia cinetica è ordine sulla varietà V; esso può però essere trasformato nel modo seguent.« i»

un sistema del primo ordine sulla varietà T" V, che è lo spazio delle fasi <liT = Z i ("t+y';+,')/' , coordinate (q', p;) del sistema lagrangiano ( i ). La metrica riemanniana in<ti

i = l vidua infatti un isomorfismo canonico di TqV su Tq®V con il quale le ( i ) s<>r><>nel caso del pendolo semplice è T = mq'/z, ove q è la velocità angolare; ecc. equivalenti al sistema, scritto in coordinate locali,

òH . òHPotenziale. Le f o rzef„che agiscono sul sistema meccanico formano un (4) q' = ­

p; = — — . i = l , .. . , nsistema potenziale se esiste una funzione (detta energia potenziale o solo po­ òp; ' òq'

tenziale) Ue 8 ( V ) pe r l a q uale le forze, in coordinate locali, si scrivono (q> p)= ( g' (q)p,pt)/z+ U(q), detta hamiltoniana del sistema, è un «1< .f, = ­ òU/òq'. Nel caso del pendolo semplice è U = — pp2cosq, nel moto alla mento di 5 (T" V); i l passaggio da L(q, q) ad H(q, p) costituisce la cosid­Poinsot è U = o, nel caso di un sistema di N punti soggetti all'attrazione gra­ detta trasformazione di Legendre di L considerata come funzione di q; risult;>vitazionale è (con una opportuna normalizzazione) U = g m>m >/rl.„, ove inoltre H (q, p) = E(q, q) per p = òL/òq. È possibile dare un'interpretazi<>n<r~,= ((~~ — ~,) 2+(y~ — y )'+(~~ — ~ )')nq geometrica intrinseca del sistema (4) osservando che (q', p;) sono le coordinat>«

Un sistema meccanico è dunque individuato dalla terna (V,g, U), ove V locali di una curva integrale del campo vettoriale X ~=I (dH) su T~V, ov« Iè una varietà differenziabile (spazio delle con6gurazioni ), g è una metrica rie­ è'l'isomor6smo di T~~(T~V) su 2~(T~V) che in coordinate locali è rappn­manniana cui è associata l'energia cinetica T (q, q) e U è il potenziale da cui o 15derivano le forze esterne; L = T — U è la lagrangiana del sistema meccanico sentato dalla matrice ( ), l essendo la matrice-identità in dimension«n.

t,— I o(V, g, U), l'energia totale del sistema è E = T+ U: sono elementi di B (TV). Una volta conosciute le curve integrali di Xtr su T~V è possibile determinar«

Il principio di minima azione di d'Alembert-Maupertuis dice che un mo­ le traiettorie dei movimenti del sistema meccanico (V,g, U) prendendonc 1:>vimento nel sistema meccanico (V, g, U) è una curva ) : [tp, tt] ~ V estremale proiezione canonica su V.del funzionale (detto azione) ri>() )= [,'>L(j ) dt, ove j è i l vettore velocità del Su T*V la z-forma chiusa <p indotta dalla metrica riemanniana, che in coo<­movimento, j (t)e Tr«>V per ogni te [tp tl ]. »

Le coordinate locali q' di un punto in un movimento nel sistema mecca­ dinate locali si scrive p> =gdq'Adp;, viene detta fondamentale ed indivi<l<i:>t= l

nico verificano le equazioni di Lagrange la struttura simplettica di T~V (cfr. 11 5.g). La varietà T~ V è orientabile c ild òL òL volume di Liouville p>"= <p p, p> A... t>, tp su T~V è invariante per ogni camp<>

(1) — — . = — . t = r , . . . , n .dt òq' òq' hamiltoniano. Si può veri6care che H è un integrale primo del campo e ci<><

,Yzl(H) = o (è la legge di conservazione dell'energia). Ogni curva integrale <liL'immagine della curva ) è detta anche traiettoria delle equazioni della dina­ .'t tl è dunque contenuta su una super6cie di livello H (q, p) = h; la costante I>mica (x). D'abitudine òL/òq' è detta forza generalizzata, òL/òq' =p, è detto detta l'energia totale della curva integrale poiché ivi H (q, p) = E(q, q). Ilimpulso generalizzato, (q', p;) sono le coordinate canoniche e individuano un gnippo locale associato al campo hamiltoniano conserva la struttura simpl«tpunto del 6brato cotangente T~V. tic;t di T*V e cioè la z-forma oi; Poincaré ed Elie Cartan hanno costruito alt«<

Geometria e topologia 7r6 7'7 Geometria e topologia

forme differenziali invarianti. Si osservi inoltre che, anche con V compatta, — come opposta o meglio complementare della teoria quantitativa, numerica oT~V non è compatta e quindi un campo vettoriale su T~V non è in generale analitica — fu considerata per la prima volta nel r88t da Poincaré nella suacompleto. famosa memoria Sur les courbes définies par une équation différentielle. Questo

L'importanza della struttura simplettica individuata dalla 2-forma co è do­ articolo era talmente avanzato rispetto al suo tempo, nell'obiettivo e nelle pro­vuta al fatto che i cambiamenti di coordinate nello spazio delle fasi T~U che spettive, che dovettero trascorrere due o tre decenni prima che venisse assimi­conservano tale struttura (detti trasformazioni canoniche) conservano le equa­ l ato e fosse possibile progredire nella via indicata. Ancora oggi la lettur d '

a izioni di Ham!1ton (4) ; tali sono ad esempio le trasformazioni del gruppo lo­ tlta e memoria può essere remunerativa per i l r i cercatore matematico poichécale associato al campo hamiltoniano. qua e là egli può trovare in un angolo oscuro — e ve ne sono parecchi in quel

vasto edificio — un problema interessante o un'idea da sviluppare ulteriormente»

Flusso geodetico. Nel caso in cui U= o e X> è completo(ad esempio quan­ [Peixoto zg67, p. g6g].do V è compatta) il flusso generato da Xtt è detto flusso geodetico su T~U;le corrispondenti equazioni di Lagrange definiscono le geodetiche della varietà Orbite di un flusso. Vi sono tre possibili tipi di orbite(o traiettorie ):V: un punto materiale costretto a restare su una varietà riemanniana V si muo­ve lungo una geodetica. È questo il caso del moto alla Poinsot che genera un

r ) i punti fissi o d i equil ibrio del flusso e cioè i punt i xe M t a l i che

flusso geodetico su T~SO (3) munito di un'opportuna metrica riemanniana.cp,(x)=x per ogni teR; essi possono essere caratterizzati come gli zeri

Nel caso in cui U +o le traiettorie dell'equazione della dinamica sono an­del campo vettoriale associato a p„'

cora geodetiche di una metrica riemanniana; precisamente per un certo heR2) le orbite periodiche tali che cp,(x) = x per un tgo ; s iccome usualmente

si consideri su V l ' insieme dei q tali che U (q)(h e ivi la metrica riemannianasi escludono i punti fissi vi è un minimo periodo t«) o tale che ~~,

(x) = xr tp

o di matrice p;t = (h — U(q))g;,. Allora le traiettorie del sistema meccanico3) le orbite ordinarie per le quali l'applicazione t ~ p, (x) di R in M è iniet­

(V,g, U) aventi energia totale h sono geodetiche rispetto alla metrica p. Intiva; per tali orbite è significativo il comportamento per t~ + ~ , in

particolare se h) sup U (q), allora la metrica si deduce da g con una omo­particolare ha interesse determinare se vi è convergenza verso un punto

qcv fisso oppure verso un'orbita periodica.tetia di rapporto k) o dipendente dal punto q ma non dalla direzione: gli an­ T

goli coincidono dunque nelle due metriche. Ad esempio, nel caso del pendoloL insieme di tutte le orbite viene detto quadro delle fasi del sistema dina­

mico.piano doppio, in cui V = S' x S, per ogni n ed m interi vi è una geodetica chiu­sa che avvolge il toro m volte secondo un parallelo e n volte secondo un meridia­

Nell'ambito dello studio del comportamento asintotico di un sistema dina­

no: ciò significa che per un valore abbastanza grande della costante di energia mico, un punto pe M è detto non dimenticante per il flusso p, se per ogni in­

h vi è un movimento periodico nel quale una massa effettua m rivoluzioni men­torno U di p in M e per ogni t«) o esiste t con ~t~) to tale che p,

(U) A U+ g ;tre l'altra ne effettua n nello stesso intervallo di tempo. Si tratta di una delle

l'insieme di tali punti, indicato con Q = Q(q>,), forma un sottoinsieme chiusopossibili applicazioni allo studio dei sistemi meccanici dei teoremi topologici

di M invariante per il flusso (e cioè p,(Q) c: Q per ogni t) ed ovviamente con­relativi alle geodetiche sulle varietà riemanniane.

tenente i punti fissi e le orbite periodiche.Un punto yeM è detto punto ro-limite (risp. x-limite) di un punto xcM

se esiste una successione t„~ +~ (risp. — ~) tale che limp, (x) =y l ' i nsieme7.2. Sistemi dinamici. <n

di tali punti è indicato con L„ (x) (risp. L,(x)) e viene detto insieme ro-JimiteCon le notazioni del ( 5.2 un sistema dinamico su una varietà M è un si­ (risp. u-limite) di x; tali insiemi sono naturalmente contenuti in Q.

stema di equazioni diflerenziali ordinarie definite attraverso un campo vetto­riale completo X. AI sistema dinamico è dunque associato il flusso q,; reci­ Equivalenza topologica. Due sistemi dinamici q>, e $, sono topologicamen­procamente, a ciascun flusso e, su M è possibile associare un campo vetto­ te equivalenti se esiste un omeomorfismo h di M in sé che trasforma le orbiteriale tangente a M definendo per ogni xeM i l v e t tore X(x)c T„.M come di q>, in orbite di $< orientate positivamente; si scrive allora rp, $, ovvero(dp,(x)/dt),~ = X(x). Risulta cosi <p,(x) soluzione dell'equazione differenziale X Y p e r i corrispondenti campi vettoriali. Se x è un punto fisso di <p„e cioèordinaria dy, (x)/dt = X(q,(x)), con p«(x) =x. Si può dunque parlare indiffe­ X(x) =o, allora h (x) è un punto fisso di $„e cioè V(h(x)) =o; in modo ana­rentemente di sistema dinamico, di campo vettoriale completo o di flusso su M logo se y è un'orbita periodica uscente da x di minimo periodo T allora h

( )(I flussi hamiltoniani su T~V considerati nel $ 7.t sono particolari sistemi di­ è un orbita periodica per $, uscente da h(x) di minimo periodo T' in generalenamici su una varietà non compatta ). diverso da T. Se ne deduce che i punti fissi e le orbite periodiche sono invarianti

«La teoria qualitativa o geometrica delle equazioni diflerenziali ordinarie per l'equivalenza topologica.

Geometria e topologia 7r8 7'9 Geometria e topologia

Usando tale relazione di equivalenza Kneser ha classificato ( I924) i campi te reahzzato che 1 aspetto signi6cativo di tale risultato non e tanto la stabihta

vettoriali che non si annullano sul toro, e cioè ha esibito le corrispondenti classi strutturale, quanto la «genericità» oltre alla «semplicità» della classi6cazione

di equivalenza. che ne consegue; in effetti egli ha dimostrato nel i966 che esiste una varietài dimensione 4 sulla quale i sistemi strutturalmente stabili non sono densi e

Il dogma della stabilità. Se M = T~V e X è un campo di vettori hamilto­ peraltro egli ha provato che per varietà di dimensione arbitraria sono Q-stabiliniano che rappresenta l'evoluzione di un sistema fisico, allora piccole pertur­ (e cioè piccole perturbazioni dànno luogo a Russi topologicamente equivalentibazioni di X devono condurre a un sistema con lo stesso aspetto qualitativo: su Q) i Russi che verificano proprietà analoghe alla a ) e alla b) espresse inquesto dogma della stabilità è almeno in parte contenuto nella nozione di pro­ termini di t rasversalità.

blema ben posto secondo Hadamard; peraltro Thom, in Stabilité structurelleet morphogenèse ( i967), ha suggerito che «la stabilità, formulata in modo pre­ 7-3. La stabilità del sistema solare.ciso in una specifica teoria, venga. aggiunta al modello come ipotesi addizionale.Tale formalizzazione, anche se rischia di condurre a un sistema assiomatico in­ L'consistente, riduce il criterio di stabilità a un aspetto del criterio di adeguatezza,

L osservazione qualitativa del moto degh astri et 1 d 1 S ldella Lu in par ico are e o e e

e può inoltre permettere ulteriori teoremi o predizioni nel modello. Fino ad orae a Luna è stata sempre al centro dell'interesse dell'umanità, fin dall'epoca

nessuna implicazione di questo assioma è nota per la meccanica celeste, mapreistorica. L'interpretazione di tali fenomeni ha grandement ' fl

IThom ha descritto alcune conseguenze nel suo modello per i sistemi biologici»

svi uppo e la matematica e in particolare della geometria; i dati astronomici

[Abraham i967, p. 4].racco ti a i Caldei, dai Babilonesi e dagli Egiziani vennero nell'antichità ela­

Si indicherà con X l ' insieme di tutt i i campi vettoriali su M m unito diorati in modelli matematici qualitativi, il piu famoso dei quali è senza alcun

un'opportuna topologia di Whitney; seguendo Andronov e Pontrjagin ( i937)u i o i m o dello tolemaico[una moderna ed affascinante esposizione di tali

si dice che X è strutturalmente stabile se X Y p e r ogni Y in un intorno di Xproblematiche si trova in Neugebauer t975].

rispetto alla topologia di X. Si deve a Smale la chiara determinazione ( i96o)Keplero, Galileo e Newton, realizzando una rivoluzione scientifica che ha

del problema fondamentale della teoria qualitativa dei sistemi dinamici su M:assunto un ruolo paradigmatico nella storia del pensiero, proposero un nuovomodello ua litativo d

«Esibire in "f un insieme denso tale che i comportamenti dei corrispondenti q' '

del sistema solare ancora universalmente accettato, anche

sistemi siano abbastanza semplici da renderli classi6cabili. È allora naturalese lo studio matematico rigoroso di esso è ben lungi dall'essere completato. Sesi indicano infatti con m ( i ( i ( .V ­suddividere il problema fondamentale in due parti: il problema di approssima­ ; ( ' Ã — i ) le masse dei pianeti e con mi,, la massa

zione e quello di classi6cazione. A tale proposito vi sono due punti da precisare.del Sole, le traiettorie dei pianeti e del Sole verificano il sistema di e uazioni

Innanzitutto non si deve cercare di classificare tutti i sistemi di X poiché ciò èdifferenziali ordinarie degli At corpi (z). Una semplice ispezione delle formule

troppo difficile. È facile convincersene considerando i campi vettoriali su S':mostra come tali equazioni siano de6nite solo p

per rkr o e se r&p si avvicina a

classi6carli significa classificare i sottoinsiemi chiusi di S . In secondo luogo nonzero si parla di collisione, mentre se r>„diventa in6nito si parla di

f u a. I l r o ­blema rinci aie è!si deve a tutti i costi cercare una classi6cazione rispetto alla relazione di equi­

p ' p ' !o studio del comportamento delle soluzioni per un intervallo

valenza di ome omor6smi che trasformano traiettorie in t raiettorie. Se sii tempo infinito: esistono soluzioni che non presentano collisioni o fughe?

cerca di classificare una famiglia densa, ci si può decidere per qualcosa di pi6esistono soluzioni per le quali max (r. r ' ) ' 1 't t ?{ i~, rz„) è imi tato per ogni t? Una ri­

i <k (i> < rvdebole di . L ' i dea nella formulazione di Smale è allora quella di combinare i sposta a tali problemi può essere ottenuta costruendo soluzioni periodiche, ma

requisiti di "genericità", intesa nel senso preciso di densità in X, e di "sempli­ tali soluzioni sono eccezionali oppure formano un insieme aperto o almeno di

cità" intesa in un senso un po' vago di comportamento cosi semplice da per­ misura positiva nello spazio delle fasi? Le prime ricerche in questo campo sonomettere una classificazione» [Peixoto i967, p. 47z ]. Una relazione di equiva­ state motivate da esigenze astronomiche (calcolo delle orbite dei pianeti e pre­lenza proposta da Smale e che si è rivelata assai utile è : <pi e f, sono topologica­ visione delle effemeridi ) ma, siccome il moto dei pianeti e dei satelliti ha pertur­mente equivalenti su Q se esiste un omeomorfismo h : Q (il~,) ~Q($,) che con­ azioni di carattere secolare, è sorto il problema della stabilità del sistema pla­serva le orbite. netario, Laplace e Lagrange dimostrano ad esempio l'invariabilità degli assi

Nel caso in cui M sia una varietà compatta di diinensione z, Peixoto ha pro­ maggiori delle ellissi percorse dai pianeti; usando la tecnica degli sviluppi invato ( i96z) che i sistemi strutturalmente stabili sono caratterizzati dalle se­ serie rispetto ai parametri perturbativi, Laplace conclude che «il sistema delguenti proprietà: a ) Q è formato solo da un numero finito di punti 6ssi e <li mondo non fa che oscillare attorno ad uno stato medio dal quale non si allon­

orbite periodiche; b) nessuna traiettoria congiunge due punti di sella. tana che per una piccolissima quantità. Esso, per merito della sua costituzione

Peixoto ha inoltre provato che l'insieme d.ei sistemi strutturalmente stabifi e per merito della legge della gravitazione, gode di una stabilità che può essereè aperto e denso in ~. Il grande merito di Smale è stato di avere immediatamen < istrutta soltanto da cause estranee e noi siamo certi che la loro azione è in­

Geometria e topologia 72072 I Geometria e topi»logi~

sensibile a partire dalle osservazioni piu antiche sino ai nostri giorni» [i786-88, nati con il teorema dell mdice di Atlyah Smger hanno evidenziato legami preed. I8I)g pp. 248-4i)].

La tecnica degli sviluppi in serie venne ripresa da Lagrange, da Poisson ecedentemente insospettati fra la geometria, l'analisi e l'algebra.

in particolare da Dirichlet, senza però che si pervenisse a risultati conclusivi,Senza alcun dubbio una ragione del fascino della matematica è nel fatto

tanto che su suggerimento di Weierstrass e Mittag-Lefiier, il re Oscar II d iche da almeno un secolo i due aspetti del rigore e dell'intuizione convivono inmodo proficuo. «In particolare, in geometria, la tendenza astratta ha dato ori­

Svezia proponeva un premio per la soluzione del problema di determinare unosviluppo in serie per le coordinate degli N corpi valido per ogni t. Nel i889

gine ai grandiosi edifici sistematici della geometria algebrica, della geometriariemanniana e della topologia, nei quali si applicano su vasta scala i metodi del

tale premio fu attribuito a Henri Poincaré, anche se egli non aveva fornito una ragionamento astratto, del simbolismo e del calcolo. Tuttavia si ascrive anchesoluzione completa del problema. I suoi risultati, però, «e la scoperta di Bruns

( i877) che nessun metodo quantitativo oltre agli sviluppi in serie poteva risol­oggigiorno una grande importanza al concetto geometrico intuitivo, non solo

vere il problema degli N corpi, segnarono la fine del periodo quantitativo. Perper il suo alto valore euristico, ma anche perché esso ci permette di compren­

la meccanica celeste tale situazione rappresentava un grave dil emma, compara­dere e apprezzare meglio i risultati della ricerca scientifica» [Hilbert e Cohn­

bile alla crisi associata alla relatività e alla meccanica quantistica in altri ramiVossen ri)gz, trad. it. p. vH ].

della matematica. La soluzione è dovuta al genio di Poincaré che risuscitò ilLe pagine che precedono non possono avere che la speranza di descrivere

punto di vista qualitativo, unito a metodi matematici assolutamente originali.alcune parti della geometria, ben sapendo peraltro, come dice un verso del Tao

Le invenzioni di Poincaré, culminate nella topologia e nella geometria diffe­Te Ching, che «i pezzi del carro non son carro» e che gli argomenti trattati pos­

renziale moderna, costituiscono un esempio recente e meno noto di svilupposono non essere considerati dal lettore i soli degni d'interesse in tale vasto edi­

concomitante di matematica e meccanica, comparabile con l'analisi, le equazionificio. Va tuttavia ricordato che «come per tutte le pubblicazioni su un argo­

differenziali e la teoria variazionale» [Abraham it)67, p. I]. Va sottolineato tut­mento scientifico complesso, esiste un solo lettore ideale : l'autore. Gli argomenti

t' h ' ecenti risultati di Kolmogorov, Arnol'd e Moser hanno invece pro­

sono scelti, i punti di vista sono esaminati, le risposte sono formulate in funzionea viac e i r dell'effetto che hanno sui suoi gusti e pregiudizi» [Neugebauer xt)75, p. vn ].vato che per «la maggior parte» dei movimenti (almeno nel caso e pro ema

ristretto dei tre corpi ) gli sviluppi in serie convergono e rappresentano solu­Essendo tre gli autori, con pareri spesso discordi, v'è dunque poca speranzache esista tale lettore ideale. [c. a., A. s. e p. v. ].

zioni «affidabili» [cfr. ad esempio Moser It)7g e Arnol'd x«)74]. In questo sensosi può dire che l'affermazione di Laplace è sostanzialmente corretta.

Abraham, R.8. Co n clusione. r 967 Fo undations of Mechanics, Benjamin, Reading Mass.

Arnol'd, V.Il problema testé considerato della stabilità del sistema solare è significativo rg74 Matematiceshie metodi hlassiceshoi mehanihi, Nauka, Moskva.

anche perché, pur avendo un'evidenza intuitiva, ha dato origine a un macchi­ Atiyah, M. F .

nario astratto e complesso con il quale l'affermazione fideistica di Laplace viene 1967 Al g ebraic topology and elliptic operators, in «Communications on pure and applied ma­

giustificata, ma con una dimostrazione rigorosa che è comprensibile solo aglithematics», XX, pp. 237-49.

Bourbaki, N.specialisti.

L'opposizione intuizione/rigore che attraversa tutta la ricerca scientifica èr g6o El é ments d histoire des mathematiques, Hermann, Paris (trad. it. Feltrinelli, Milano r963).

sempre stata presente in tutto lo sviluppo della geometria. Se infatti alcuniCayley, A.

grandi matematici hanno potuto, e in parte possono ancora, intuire risultati fon­1839 A si ceth memoir upon quantics, in «Philosophical 'l ' ransactions of the Royal Society of

London», CXL IX , pp . 6r -go ; ora in Collected Mathematical Papers, H, Cambridge

damentali che aprono strade significative per tutti i r icercatori, è ben vero cheUniversity Presa, Cambridge r889, pp. 36 1-92.

tale intuizione è riservata a poche persone e quindi difficilmente permette unal)ieudonné, J.

larga diffusione della ricerca scientifica. La dimostrazione rigorosa di un teo­rg74 Cou rs de geométrie algebrique,voli. I e H , P r esses Universitaires de F rance, l 'a r ia.

rema (che ne è parte integrante) non solo è essenziale per la diffusione della1977 Panorama des mathématiques pures. Le choix bourbachique, Gauthier-Villars, Paris.

(lrothendieck, A., e Dieudonné, J.

conoscenza scientifica, in quanto fornisce a tutti la possibilita di capire il r i­ rg6o Fl é ments de geometrie algébrique, Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Paris; ed.

sultato di cui si t ratta, ma spesso permette di determinare quale è la portataSpringer, Berlin — Heidelberg — New York rg7r .

effettiva del risultato ottenuto e del metodo usato per ottenerlo. In questo sensoI lausdorff, F.

sono indubbiamente emblematici i teoremi di Gauss-Bonnet (cfr. ) ri.g) e di r 9 r 4 Grundzilge der Mengenlehre, Veit, Le ipzig.

Riemann-Roch (cfr. f) IJ g.8, 6.g e 6.4), i cui diversi approfondimenti, culmi­I l ill)crt, D.

189g Gr u n d lagen der Geometrie, Teubner, Leipzig (trad. it. Feltrinelli, Mi lano rg7o ).

Geometria e topologia 722 723 Geometria e topologia

Hilbert, D., e Cohn-Vossen, S.z93z Anschauliche Geometrie, Springer, Berlin ( trad. i t. Boringhieri, Tor ino z96o). All'origine della geometria stanno sia motivazioni pratiche (misura dei terreni, navi­

Klein, F. gazione, architettura e urbanistica, ecc. ; cfr. disegno/progetto, tecnica) sia speculativez87z Ve r g leichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen. Programm zum Ein­

d' h l p h ' h F ulti i t und den Senat der k. Friedrich-Alexanders-Universitát(come quelle connesse alle varie trasformazioni dell' idea di numero). Le applicazioni

zu Erlangen, Deichert, Erlangen (trad. it. in «Annali di Ma tematica», serie II, XVI I all'astronomia e alla meccanica hanno favorito lo stesso sviluppo del calcolo e la na­

(z889), pp. 307-49), scita della znoderna fisica matematica; lo studio delle traiettorie dei punti materiali in

Kobayashi, S. moto e i l p r ob lema della rappresentazione cartografica della superficie terrestre (cfr.z972 Transformations Groups in Differential Geometry, Springe,

'

­

' g ­r Berl in — Heidelber — New atlante, terra), che possono venir affrontati in modo adeguato solo con lo sviluppo delYork. calcolo infinitesimale, hanno costituito la motivazione prima della cosiddetta geometria

Laplace, P.-S. de differenziale: sono infatti le proprietà locali (cfr. locale/globale) delle curve e su­z786-88 Su r l équation séculaire de la lune, in «Mémoires de l'Académieroyale dee Sciences de perfici che costituiscono l'oggetto principale di tale indirizzo di ricerca. Da parte sua la

Paris s; ora in CEuvrescomplètes, voi. X I , G a u t h ie r-Vi l lars, Paris z895, pp. 243-7z. geometria algebrica (cfr. razionale/algebrico/trascendente e anche divisibilità) co­Moser, J.

z973 Stable and Random Motions in Dynamical Systems, Princeton University Press anress andstituisce oggi l'ambito naturale di molti problemi di classificazione degli enti geometrici

University of Tokyo Prese, Princeton N.J.secondo opportuni invarianti (cfr. invariante). Il raffinarsi di tradizionali opposizioni(quali continuo/discreto, quali tà/quantità) ha avuto infine come esito il costituirsi

Mumford, D.z97z Prefazione a O. Zariski, Algebraic Surfaces, Springer, Berlin - Heidelberg - New York

della topologia come settore di r i cerca relativamente autonomo.

z97z Ora modello di rigore formale (cfr. assioma/postulato, logica), ora ricca di sugge­

Neugebauer, O.rimenti euristici con la sua vasta gamma di procedimenti analitici e sintetici (cfr. analisi/

z975 A History o f Ancient Ma thematical Astronomy, Springer, Berlin - Heidelberg - New sintesi), la geometria ha dato origine, con una progressiva astrazione (cfr. astratto/con­York. creto), a grandiosi edifici sistematici, ove la ricerca procede in modo altamente speciali­

Pascal, B. stico (per alcuni specifici settori il lettore è rimandato ad altri articoli della presente Enci­[z656] De l 'esprit géométrique et De l'art de persuader, II. De ! 'art de persua er, s. e., arie clopedia, per esempio a combinatoria e grafo per le cosiddette geometrie finite, ecc.).

z7r8; ora in tE uvres complètes, Seuil, Paris z963, pp. 355-59. Ciò non ha affatto diminuito le possibilità applicative : ad esempio geometria differenzia­Peixoto, M. M . le e topologia sono oggi strumenti essenziali per l' ideazione di modelli (cfr. modello)

z967 Qu a l i tat ive Theory of Diifferential Equations and Structural Stability, in J. K. H a le eJ. P. La Salle (a cura di), Differential Equat tons and Dynamical Systems, Academic Prese,

nello studio dei sistemi dinamici (si pensi alle questioni di stabi l i tà/ instabil ità e alla

New York — San Francisco - London, pp. 469-8o.teoria delle catastrofi), mentre è indiscutibile il ruolo della geometria nelle teorie fisiche

Poincaré, H.(per gli aspetti epistemologici connessi cfr. teoria /modello, paradigma e anche con­

z895 Analysis Situs, in «Journal de l 'Ecole Polytechnique !h serie 11, I, pp. z-zzz. venzione) che piu hanno contribuito a mutare le nostre concezioni della natura (cfr.

Poncelet, J,-V.in particolare cosmologie, relatività, spazio/tempo, sistemi di riferimento e per

z8zz Tra i té des propriétés projectives desfigures, Bachelier, Paris; ed.d. Gauthier-Villars Paris! altri aspetti simmetria).

z 865s. Al di là delle differenti motivazioni e applicazioni sussiste infine nella geometria un'u­

Riemann, B. nità profonda ; piu che un'unica teoria o un unico metodo, essa rappresenta oggi un punto

z 57 e sa8 7 L hr tz e aus der analysis situs fur die Theotde der Integrale von zroeigliedrigen vollstdn­ di vista unitario per le rnateznatiche (cfr. per esempio dualità ), che fornisce spunti perdigen Differentialien, in «Journal fur re ine und angewandte Mathezna », , pp. una revisione dei fondamenti (cfr. trasformazioni naturali / categorie) e un conti­z 05- to. nuo banco di prova per le varie filosofie della matematica (cfr. filosofia/filosofie).

Segre, C.i889 N o t a a l la t rad. it . d i K l e in z87z.

Severi, F.z958 Il teorema di Riemann-Roch per curve, superficie e varietà, Questiom collegate, Springer,

Berlin.

Weil, A.z949 Number of solutions of equations in finite fields, in s Bulletin of the American Mathe­

matical Society», LV, pp . 497-508,

Weyl, H.z938 Recensione a E. Cartan, La Théorie des Groupes finis et continus et la Géométrie Diffr'­

rentielle traitées par la Méthode du Repère Mobile, Gauthier-Villars, Paris z937, in «Bul­Ietin of the American Mathematical Society», XLI V , p p . 5 98-6oz.

Zariski, O., e Samuel, P.z958 Co nnnutative Algebra, Van Nostrand, Princeton N. J.

8qo

sione) che Invariante'va. L'in­

".onte­'nne

alLa parola 'invariante' descrive un processo comune a tutte le scienze ma­

tematiche e piu in generale fisiche e naturali. In questa nozione è racchiusa apriori l' idea di matematizzare la realtà, ovvero di trasformare problemi quali­tativi in problemi quantitativi e quindi costruire formalismi astratti e il calcolosu dt essn

Ogni dottrina matematica è suscettibile di una lettura in chiave «invarian­tiva», ma per non forzare il senso della tesi e per essere piu precisi ci si limite­rà all'aspetto matematico che piu di altr i i l lustra le idee formulate ovvero aimetodi algebrici e geometrici. Anche in questo la selezione degli argomenti pre­si ad esemplificazione non sarà certo completa ma piuttosto ispirata ai temiche, anche sotto il profilo tecnico, sono stati di volta in volta classificati come« teoria degli invarianti ».

Tali temi si possono «grosso modo» classificare per periodi storici come:invarianti delle equazioni algebriche in una variabile (Lagrange, Galois, t7oo­inizio zqoo) ; la teoria degli invarianti proiettivi del xtx secolo ed i suoi sviluppi(programma di Klein, teoria di Hilbert, ecc. ) ; invarianti di strutture topologi­che, differenziali, analitiche, ecc. (xx secolo).

Anche limitandosi a questi argomenti le diramazioni possibili sono numero­sissime e abbracciano vasti campi della fisica (per quanto riguarda le teorie re­lativistiche, la meccanica quantistica, la meccanica dei continui ), della chimica(per quanto riguarda la teoria dei cristalli, le simmetrie molecolari ), ecc. Su que­sti aspetti non sarà però possibile dare alcun cenno.

t. Equ azioni algebriche,funrioni simmetriche, teoria di Galois.

Si inizia la discussione degli aspetti algebrici della teoria degli invarianticon lo studio di una equazione algebrica:

x" + atx" t + aaxn 2+... + a„ t x+ a

Il numero n viene chiamato il grado dell'equazione. e gli elementi a; i suoi coef­ficienti. I coefficienti sono dei numeri; di quali numeri si tratti dipende dallivello di generalità in cui si cerca di studiare l'equazione. Storicamente essisono stati considerati numeri naturali, razionali, reali, complessi o elementidi un campo astratto a seconda del grado di sviluppo raggiunto dalla nozionestessa di numero e dalle regole di calcolo sviluppate.

Equazioni particolari di pr imo e secondo grado sono state trattate fin daitempi dell'antichità, in relazione a svariati problemi di geometria elementare.La formula risolutiva per l 'equazione di secondo grado xa+bx+c = o, cioè

bb- V b' — bc ­

2

InvarianteInvariante 81l z

era nota ai matematici di tu tte le culture antiche anche se essi, non posse­cercare la soluzione generale dell'equazione di grado n per estrazione di radic;di.

dendo il simbolismo a noi ormai usuale, la esprimevano in modo piu o menoIl risultato finale di tali ricerche, dovuto parzialmente a Paolo Ruffini ed in fr ir­

complicato. La soluzione piu antica (circa 4ooo anni fa ) sembra essere dovuta ma completa ad Abel, è l'impossibilità di risolvere tale equazione per radic:di

ai matematici babilonesi. per n) 5. Prima di arrivare a discutere questo punto è opportuno metterc iu

Il numero A = b3 — 4c, detto discriminante dell'equazione, svolge un ruolo evidenza il contributo di Lagrange, che porterà all'interno delle idee modcrnc

assai importante. Se A) o l ' equazione possiede due radici reali distinte. Sedell'algebra e della nozione di invariante.

A = o le due radici sono coincidenti. Infine, secondo i matematici fino al xvII,Si ricorda che il polinomio f(x) = x" pa,xn ' + ...+a„ ,x+ a n ammette n

xvIII secolo, non ci sono radici se A( o ; essi r icercavano infatti le soluzionir a ici x „ x3, ..., xn (eventualmente non tutte distinte ) nel campo dei nunlcri

nel campo dei numeri reali. In effetti per quasi tutti i matematici antichi le complessi, e pertanto si scrive nella forma f(x) = (x — x )(x — x. )...(x — x ).

radici dovevano ricercarsi solo fra i numeri positivi, e i numeri negativi en­ a e teorema, noto come teorema fondamentale dell'algebra, è dovuto in

trarono nell'uso comune della matematica solo con gli Arabi e nel Rinasci­forma definitiva a Gauss anche se alcune dimostrazioni parziali furono fornit«

mento. Le radici appaiono però, e distinte, non appena si introduca il campo da vari matematici, fra cui Eulero e d'Alembert. Dalla fattorizzazione data di

C dei numeri complessi, ovvero numeri dati formalmente da espressioni del ~(x) si deduce che i coefficienti a„a „ . . . , an si esprimono tramite le radici ncl

tipo a+ib, a,b@R (i reali ), sui quali si opera con la regola di calcolo is = — I. modo seguente :

L'introduzione di tali numeri è dovuta a Bombelli (xvI secolo) che iniziò a, = ­ (x,+x,+...+x )per essi anche lo sviluppo del calcolo algebrico. Il valore dell'opera di Bom­belli non fu d i f a tto completamente riconosciuto dai suoi contemporanei i

2 1 3+ 1 3+"'+ X IXn+X3X3+X3X4+ " + Xn — 1Xn

quali, legati all'interpretazione geometrica euclidea delle equazioni algebriche,negavano la validità di tale calcolo.

La scoperta delle formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto gradoa;= ( — I)' P x7 x; ...x,

1<7y<77< ... <71<n

è uno dei grandi successi dell'algebra italiana del Rinascimento. È facile tra­sformare, tramite un cambiamento lineare della variabile, una equazione di an = ( — I)nX,X,.-X. .terzo grado in una nuova della forma x '+ ax+b = o. Per quest'ultima equazio­

ne le radici sono espresse da Le n espressioni scritte sono simmetriche nel senso che non variano (formal­3 3 mente) permutando le radici fra loro. Esse vengono chiamate funzioni sirn­

b b3 a ' b b' a' metriche elementari.x = — -+ — + — + — — ­ — + —.

27 2 4. 27 I l te r morema fondamentale di Lagrange asserisce che ogni espressione poli­nomiale simmetrica delle radici x„ x „ .. . , x „ può essere espressa formalmentc

Tale formula, contenuta nel fondamentale lavoro di Cardano Ars Magna, è come polinomio nelle funzioni simmetriche elementari. Il metodo di Lagrangcdovuta a Scipione del Ferro. Un' importante caratteristica di questa formula, è effettivo e perlnette quindi di calcolare il valore di una. espressione simmetri­come fu osservato dallo stesso Cardano, è che può essere (b /4)+ (a /27)(o ca nelle radici x„ x „ . . . , x„a partire dai coefficienti dell'equazione(senza cioèeppure esistere una soluzione reale. Un esempio, analizzato a fondo da Bombelli, dover risolvere l'equazione stessa). Tale principio fornisce un algoritmo perè fornito dalla equazione x — l ux — 4= o di cui 4 è radice. La ragione di que­ rispondere a numerose questioni relative alla natura delle radici di una o pi 11sta difficoltà si può chiarire solo con l.'introduzione dei numeri complessi; co­ equazioni date,me nell'algebra dei numeri interi si devono manipolare espressioni contenenti Per esempio si supponga di voler determinare se due polinomi f(x) =

numeri negativi anche se il risultato finale è un numero naturale, ugualmente = x"+alx" + .. . +a „ e g (x ) =x + b, x — '+...+b, hanno una radice in co­nell'algebra delle equazioni è necessario introdurre i numeri complessi anche m une. Dette xl, x„ . . . , x„ e r i spettivamente p„ p „ . . . ,) l e radici, non note,se si ricercano solo soluzioni reali. Per l'equazione precedente si ha dl f(x) e g(x), sl formi l 'espressione

3 3

x = V z+ r ri+ ~z — r ri = s + i+ z — i= i . R(x,, ),.)= P(x,.La soluzione della equazione di quarto grado, contenuta anch' essa nell'Ars

'47

Magna, è dovuta a Luigi Ferrari e consiste nel ridurre l'equazione di quartoEssa è simmetrica nelle xt e nelle ) separatamente e pertanto si può esplicita­

grado ad un'equazione cubica. La formula finale coinvolge l'estrazione succes­ re, secondo il metodo di Lagrange, come un polinomio negli elementi a aI l 2>...a eb b ... b . T 7lsiva di radicali quadratici e cubici.. .., a„ e 1 3 , „ b~ Tale polinomio, detto risultante delle due equazioni, sva­

La scoperta di queste formule spinse molte generazioni di matematici a nisce se e solo se una delle x coincide con una delle 11..I 7'

Invariante 89 Invariante

Un altro contributo importante di Lagrange è l'aver riconosciuto che un grado la quale ammette come gruppo di Galois il gruppo Ss di tutte le permu­polinomio f(x) di g rado n è univocamente determinato dai valori (», P», ..., tazioni su cinque elementi e tale gruppo non è risolubile. Un esempio con­

che esso prende in n+ i p u n t i d is tinti x „ x „ ... , x „+1. Infatti sussiste la creto è l'equazione x' — 16x+z = o.formula (detta di interpolazione) Esiste una vasta letteratura sui gruppi r isolubili ; un teorema recente di

(X x i ), ( X x ' 1)(x X' ) ( X x ) Feit e Thompson [1963], la cui dimostrazione è molto difficile (nella versionef ( ) = 5 >,

x=l (xs xl )" • (xs xs 1) (xs xs+1) "• (xs xn+1)originaria occupa zero pagine del «Pacific Journal of Mathematics»), è il se­guente :

Si descrivono ora i contributi di Galois alla teoria delle equazioni. Sia da­ta un'equazione f(x) = o con radici x„x , . . . , x„e s ia K un campo di nume­ TEQREMA (Feit e Thompson ). Ogni gruppo G con un numero dispari di ele­

menti è risolubile.ri contenente i coefficienti (campo di numeri significa un insieme di numerichiuso rispetto alle quattro operazioni ). Si consideri l'insieme I dei polinomi Un altro teorema, che rappresenta in modo diverso uno dei punti culmi­in n variabili x„x „ . .. , x „a c oefficienti in K che calcolati per x,= x» x, = x ~ , nanti della teoria delle equazioni algebriche in una variabile è il teorema di. .., x„ = x„diano come risultato zero. In generale permutando le variabili x„ Sturm. Esso fornisce un criterio effettivo per determinare il numero di radicix», ..., x„ in un polinomio di I è possibile che il polinomio trasformato non sia reali di una equazione f(x) = o contenute in un intervallo (a, b) preassegnatopiu in I, cioè non svanisca sulle radici di f(x). Le permutazioni che trasformano (a, b non radici di f(x)). Sturm costruisce in modo esplicito n polinomi gi(x),espressioni nulle in espressioni nulle formano un insieme particolare G di per­ g,(x), ..., g„(x) con un procedimento ricorrente simile al metodo delle divisionimutazioni che gode della proprietà evidente di essere chiuso rispetto alla com­ successive di Euclide (iii secolo a. C. ), a partire da f(x) e dalla sua derivata.posizione. Nel linguaggio attuale G è un gruppo di permutazioni, detto grup­ Indicato poi con s il numero dei cambiamenti di segno nella successione di nu­po di Galois su K dell'equazione f(x) = o; esso è un invariante aritmetico fon­ meri g,(a),g~(a). . . g „ (a), e con t il numero dei cambiamenti di segno nelladamentale della equazione f(x) = o. Esiste un metodo effettivo per la determi­ Sg successione gi (b), g~(b), ..., g„(b), risulta che il numero delle radici di f(x) nel­nazione di G, che per brevità viene omesso. l'intervallo (a, b) è s — t.

Sia E l ' insieme dei numeri ottenuti operando sugli elementi di K e sul le Un ultimo punto molto importante nella teoria delle equazioni algebricheradici x„ x~, ..., X„con le quattro operazioni. E è un campo di numeri. Se è il seguente: dato un numero complesso x è possibile trovare un polinomioa = h(x„x~, ..., X„ ) cE (in cui h è un'espressione razionale) e oc G, il numero f(x) =x" +a,x" ' + . . . + a„ a coefficienti a, razionali tale chef(x) = o> In casoa '= is (x,<,» x~<~>, ..., x,~„~) dipende solo da o e non dall'espressione h scelta positivo x si dirà algebrico e fra tutti i polinomi di cui x è radice ve ne è uno,a rappresentare a. Dato un gruppo di permutazioni H contenuto in G ( un univocamente determinato, di grado minimo. Tale grado è un invariante nu­sottogruppo di G, per definizione) sia EE = (ac E ~ a' = a, per ogni o e H } merico di x che ha una notevole importanza. Gauss, rappresentando grafica­l'insieme degli elementi di E invarianti per H; E+ è un campo contenente K mente i numeri complessi sul piano, osservò che il punto associato ad un nu­e contenuto in E. mero x può apparire in una costruzione con riga e compasso solo se il grado

Il teorema di Galois afferma che in questo modo si stabilisce una corri­ del polinomio minimo di x è potenza di z (ma la condizione non è sufficiente).spondenza biunivoca fra i sottogruppi del gruppo di Galois G ed i campi In particolare poté dare risposta ad alcuni quesiti della matematica greca: noncompresi fra K ed E. si può per esempio costruire con riga e compasso il poligono regolare con y o

Il teorema di Galois permette di trovare un criterio per la risolubilità per con 9 lati, ma è possibile costruire quello con 17 lati.radicali di una equazione di grado n. Il c r i terio di Abel-Ruffini afferma che Quasi ottant' anni dopo Hermite e Lindemann dimostrarono che i numerif(x) = o è risolubile per radicali se e solo se il gruppo di Galois G dell'equa­ e, rr non sono algebrici, in particolare non esiste una soluzione con riga e com­zione è «risolubile». Per definizione un gruppo G si dice risolubile se esiste passo al problema della quadratura del cerchio.una catena di sottogruppi G = G p& Gi & G » H H G = ( i } con la proprietàseguente: esiste un'applicazione q> (omomorfismo) di G; in un gruppo G,' taleche: L'algebra lineare, il determinante, la dimensione.

i) V(ab) = V(a) V(b)z) G'; è commutativo (cioè a'b' = b'a', per a', b' e G',) ; Nella teoria algebrica delle equazioni si cerca di studiare le soluzioni di un

3) q>(a) = r se e solo se ae G;+1. «sistema» di equazioni in molte indeterminate (ad esempio un sistema di dueequazioni in due incognite: x' +y — zx+3y — i = o; x»+x y — zy +y = o). Un

L'impossibilità in generale di risolvere l'equazione di quinto grado per ra­ tale sistema esprime generalmente la traduzione algebrica di un problema geo­dicali segue da questo criterio in quanto si può esibire una equazione di quinto metrico, seguendo le idee di coordinatizzazione della geometria (Descartes).

Invariante 896 897 Invariante

Nel paragrafo precedente si è accennato allo studio di una equazione in La regola di Cramer si può cosi formulare:

una variabile. In questo paragrafo si accennerà alla teoria dei sistemi di equa­ all 12 " ' l l i +l ' . . a l nzioni lineari, cioè di primo grado in tutte le variabili.

Secondo una notazione ormai standard in matematica (che risale a Leibniz) a21 22 " ' 2 2i +1 '.. a 2n

un tale sistema si può scrivere:

allxl + alZx2 +. . . + alnxn = bl

aslxl +aZ,x2 + ... +a2nXn bZ ani n2 " ' n ni ! 1 " ' nn

alZ

mlxl+ mZ XZ+. . . + amnXn= bm 21 22 '' 2' 2 +1 " ' 2

(1) viene chiamato un sistema di m equazioni in n variabili (xl, x2, ..., xn) ;si suppone qui che i numeri a,", b> siano noti e si voglia ricavare da essi l'e­spressione degli xl. nl n2 " ' ni ni+ l " nn

In base a un principio, che può essere reso matematicamente preciso, untale sistema « in generale» non avrà alcuna soluzione se m) n, avrà una soluzione ovvero l'i-esimo numero xi della soluzione si esprime come quoziente di due

unica se m = n e ne avrà infinite se m<n. Si esplicita il significato dell'espres­ determinanti di matrici: al denominatore la matrice A del sistema, al nume­

sione 'in generale' in tre tappe: ratore la matrice ottenuta da A sostituendo la colonna i-esima con i termini

1) n = m, la regola di Cramer. Il calcolo pratico delle soluzioni di un si­ noti b„bz, ..., bn.stema, che si può effettuare per successiva eliminazione delle variabili, portò L'espressione 'in generale' può ora essere precisata; il sistema ha un'unica

Cramer a formulare una regola generale che va sotto il suo nome. In realtà soluzione se e solo se il determinante detA è d iverso da zero. Se detA = o,tale regola era già nota a Leibniz, ma questo fatto fu per lungo tempo igno­ può darsi che il sistema non abbia soluzioni, o che ne abbia infinite, come sirato Icfr. Muir 19o9-zg. A tale scopo, presi i coefficienti del sistema, si for­ vedrà fra breve.mi la tabella seguente, detta matrice del sistema: z) In generale, data una matrice rettangolare

all a12 a13 ' " al n " •

a21 a22 a23 " 2n • • •

nl n2 n3 " n n, ami am2 " amn

Data una tabella quadrata A di numeri (matrice), è possibile costruire un nu­ e dati k indici 1< i l< i2« .. . il < n d i colonna e k indici 1< j l <j2« j i < mmero, detto determinante della matrice, e indicato con detA ovvero IAI, se­ di riga, si può formare «il minore kx k », indicato con (iliZ...i> I j,ja...ji,.)>condo la formula estratto da tali righe e colonne. Esplicitamente

det A = ge aala( naZa(2~... ana(n) a a . ... a11>1 l l ( 2 11<2

dove o è una permutazione qualunque degli indici l, z, ..., n ed s, il suo segno, a1221 1222 12>k

è +1 oppure — r a seconda che il numero di inversioni necessarie per costruire (ili2- 4 I j jl 2- j ' ) =

rr sia pari o dispari. Pertanto tale determinante è somma di n! te rmini. Peresempio :

alLtl ayki2 aykll

per n = z det A = al,a,Z — a,Za21

per n = 3 det A = a„a„ a33 — al,a»a32+ a12a23a31 a12asla33+Si definisce rango della matrice B, rkB, il massimo intero k per cui esista

un minore kxk a determinante non nullo.+ a13a21 32 13 22 31'

Invariante 898 899 Invariante

Il criterio per l'esistenza della soluzione al sistema di equazioni lineari (1) luzione evidentemente è data da y = f(x) = x/4; ma ad essa si può aggiungereè il seguente una qualunque soluzione dell'equazione omogenea y" +gy = o ottenendo an­

cora una soluzione dell'equazione completa. D'altra parte l ' insieme delle so­TEOREMA (Rouché-Capelli). Il s istema è risolubile se e solo se le due matrici luzioni dell'equazione omogenea ha una struttura algebrica semplice: se g (x),

all al z ... al a ,l a l z ... aln bl h(x) sono soluzioni e a, b due numeri, anche ag(x)+bk(x) è una soluzione;azz " az n b z in effetti si vede facilmente che le soluzioni di tale equazione si esprimono in

modo unico nella forma: y =a coszx+b sinzx. Queste considerazioni e quelleche si esporranno nei paragrafi successivi hanno portato alla necessità di astrarregli ingredienti essenziali della teoria delle equazioni lineari.

a ni a n 2 "' a nn ani a n2 ' . . ann b„ La prima nozione astratta che se ne deduce è quella di spazio vettoriale suun campo. (Si ricordi che un campo F è un campo di numeri ovvero un in­

hanno lo stesso rango. sieme astratto su cui si possono fare le quattro operazioni e con le regole usualidell'algebra). Uno spazio vettoriale su un campo F è un insieme V, i cui ele­

3) Se questa condizione è verificata e se k ((n ) è i l rango, il sistema ha menti si chiamano vettori, munito di due operazioni: la somma V +soc V disoluzioni, nel senso che si p recisa. Si può t r ovare una soluzione due elementi qualunque v,«ce V; i l p rodotto xvE V di xc F con VE V. Tali(cl, cz, ..., cn) del sistema (1). Ogni altra soluzione del sistema è della forma operazioni devono soddisfare (con v,zc,ze V; z,p@F) gli assiomi seguenti:(C,+p„Cz+pz, ..., Cn+pn) dOVe (p„pz> ...> pn) è SOluZiOne del SiStema «OmO­

geneo» 1) V+«o = «o+V2) (V+'W) + Z = V + ('W+z')

allX1 + al2X2 + "• +a lnXn = O 3) x(v+ to) = xv+««toazlX1 + azZX2 + ... + a nXn = O O) ~(PV) = (~P) v

g) (u+ P)V = av+Pv6) 1 V = V .

m1 1+ mzX2+ "'+ a j nnXnI primi modelli di spazi vettoriali che vengono in mente sono: lo spazio

Le soluzioni di (z) si possono cosi descrivere: E sempre possibile trovare formato dalle n-pie di numeri (a„a„ . . . , an) e gli spazi di funzioni.n ­ s lu i n' ( p , ' )p,', ...,pnu), (pP,p,') ...,p„')) ...) ( p," p, " .. . , pn'" ') Nella teoria astratta degli spazi vettoriali le nozioni fondamentali sono quel­con la proprietà che ogni altra soluzione, (p„p„ . . . , pn) di (z) si scrive nellaforma

le di sottospazio Uc: V (U un sottoinsieme chiuso rispetto a tutte le operazio­n — k ni) e di combinazione lineare: dati elementi v„ v „ . . . , vl.e V si dice loro combi­

p, g y p (j) nazione lineare un elemento della forma z,v, +c«zvz+... +xlv2, con an cc„...,j = l x>e.F. Da ciò si arriva alla nozione di dimensione. La dimensione di uno spa­

per ogni i = x, z, ..., n, dove gli n — k coefficienti A sono univocamente deter­ zio V, indicata con dimV, è i l m in imo numero di vettori V,, v„ . . . , V< perminati. mezzo dei quali ogni altro vettore si possa esprimere per combinazione lineare;

In generale una matrice con h righe e k colonne ha rango uguale al minimo un tale insieme di vettori si chiamerà base di V. (Si osservi che la dimensionefra h e k (perché il rango sia inferiore occorre che siano verificate delle con­ può anche essere infinita ).dizioni sui coeflicienti ); pertanto, se il numero m delle equazioni del sistema La formula fondamentale che regola la dimensione dello spazio e dei suoiè superiore al numero n delle incognite, il teorema di Rouché-Capelli implica sottospazi è quella di Grassmann: dati i sottospazi U„Uzc: V si formi l ' inter­che non vi saranno (in generale) soluzioni. sezione U,AU, e la somma U, + U, = (u,+uz' u lE Ul uzza Uz), allora si ha

L e stesse considerazioni giustificano le asserzioni fatte nel caso m( n . dim(U 1 g Uz)+ dim(U 1+ Uz) = dim(U 1)+dim(Uz).La dimensione è un invariante fondamentale, per varie ragioni. È natu­

Vi sono due osservazioni importanti relative all'analisi fatta per i sistemi rale nell'algebra astratta, dati due oggetti di un certo tipo, per esempio duelineari. La prima, piu superficiale, riguarda le notazioni usate: esse sono molto campi, due gruppi, o, nel nostro caso, due spazi vettoriali, chiedersi se sianoesplicite, ma pesanti da manipolare formalmente. La seconda, piu sostanziale, «uguali» da un punto di v ista astratto. La formalizzazione di tale nozione si

è che la teoria delle equazioni lineari esposta, in realtà, ha un campo assai piu ha tramite la nozione di isomorfismo. Dati due insiemi con «struttura algebrica»,

vasto di applicazioni. G e G', un morfismo è un'applicazione p : G~G' che rispetta tutte le ope­Si consideri per esempio l'equazione differenziale y" +4y =x. Una sua so­ razioni presenti in G, G', se cp è biunivoca essa si dice un isomorfismo. Si è

Invariante 900 901 Involante

stati imprecisi nella nozione di struttura algebrica ma nel caso degli spazi vet­ Il «numero» di tali soluzioni, cioè la dimensione di Kerf, è legato al rangotoriali è possibile precisare: un morfismo (applicazione lineare) fra due spazi rk(f) dalla formulavettoriali V e W sul campo F è un'applicazionef : V~ W per cui f(uv+ Pv')=

dim(Kerf)+rk(f ) = dimV.=x f(v)+)f (v') per ogni «<,)cF, V,V's U. Se f è biunivoca essa sarà un iso­morfismo per definizione. Vale il fondamentale Si può precisare la struttura algebrica degli insiemi di matrici (rispettiva­

TEOREMA. V e W sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. mente: applicazioni lineari ); si può procedere in due modi distinti, ma difatto equivalenti. Si possono prima considerare le operazioni fra le applicazioni

In generale, data f : V~ W, l'immagine f(V) = («ce W ~ rc= f(v), ve V} è un e poi tradurle in operazioni fra le corrispondenti matrici, oppure si possonosottospazio lineare di W, la cui dimensione è chiamata rango della f. definire direttamente le regole di somma e di prodotto fra matrici, ottenendo il

Si precisa ora il legame fra la teoria degli spazi vettoriali e la teoria delle calcolo matriciale. A questo proposito si osservi che la matrice di un'applica­equazioni lineari. Quest'ultima può descriversi nel l inguaggio astratto degli zione dipende dalle basi fissate negli spazi vettoriali, ma è facile esplicitare co­spazi vettoriali e viceversa in base al seguente metodo di traduzione: Se V, W me essa vari quando si effettuino cambiamenti di base.sono di dimensione finita, scelta una base V„..., vn di V e una base w„ . . ., «cm Si scrivono qui compattamente le formule fondamentali del calcolo matri­di W, ogni elemento v di V si scrive in modo unico nella forma ciale. Siano

n ali . .. a i n b» "v =g ~ ivi 4 F

e V viene cosi identificato (in modo isomorfo ) ad F". Dunque sef è una ap­plicazione lineare, f : V~ W, dagli assiomi si avrà; amn bm, ... bmn

f(v) = f P Alvi =P i f(vi) due matrici (risp. g,f : V~ W due applicazioni). Si pone

i =l i = l

ove f(vi) e W e quindi a ll + b l l . . . aln+ b l n,m

f (v i)= g a; «c, a,i e F, A+B =

j =l

da cuimi + ml " mn+ mn

f(v) = P $ X,a;,rc,.i=li=l (risp. {g+f) (v)=g (v)+f {v)). Se A è la matrice di cui sopra, ed «< appartiene

Pertanto, datoal campo base F, si pone

<zalizo =pb,n,,

s= l

il problema di risolvere l'equazione f(x) = «c è perfettamente equivalente a quel­lo della soluzione del sistema ml " <i< mn

ga ixi = b j = l, . . . , m . (risp. «<f(v) = o<(f(v))). Si riconosce allora che l'insieme delle matrici m x n (ri­i =l spettivamente l'insieme delle applicazioni lineari di U~ W, indicato Hom (V, W))

La matrice di tale sistema si chiama matrice di f nelle basi date. Il rango di tale è uno spazio vettoriale di dimensione mn.matrice è il rango di f, e si i nd ica con rk(f). I l s istema omogeneo asso­ Date le matriciciato definisce il sottospazio Kerf <: U, Ker f = (V e U ~f(v) = o}. Pertanto, nel

al n b „ . . . bimlinguaggio astratto, data una soluzione c di f(x) = «c le altre si ottengono tro­vando una base p"', p"' , ..., p'" di Ke rf e considerando gli elelnenti

A

c+g>,,pO~.

j =< ami " amn b„, ...b

Invariante 902 9o3 Invariante

rispettivamente m x n e p x m, si definisce matrice prodotto di B e A (nell'or­ ria delle matrici o delle trasformazioni lineari. Nel caso che le soluzioni del si­dine) la matrice p x n : stema vengano ricercate in un particolare insieme di numeri, la corrispondente

Cli . .. C ln teoria delle matrici può essere sviluppata anche per via aritmetica. Gauss, peresempio, studiò la risolubilità di un sistema in cui i coefFicienti e le soluzioni ri­cercate sono numeri interi: nel caso n = m non basta piu supporre non nullo ildeterminante della matrice dei coefficienti ; è sufFiciente invece che valga + I.

pl '" nnPiu in generale si può sempre trasformare un sistema in uno equivalente,

ove C, =gbaah-. ovvero trasformare una matrice A in A' = BAC con det(B) = det(C) = I (B, Ch =l a coefficienti interi ) in modo tale che

Intrinsecamente, se f : V~ K ', g : D '~Z s o no applicazioni di cui A, Bsono matrici, BA è la matrice della composizione g cf : V~ R, ove (g o f)(v)= iil o o " ' o=g (f(v)). Nel caso in cui A e B siano entrambe n xn, vale l'importante teo­ O i i z O " ' Orema che lega il prodotto fra matrici alla nozione di determinante: det (BA) =

= detB x detA. Si not i come il calcolo fra matrici n x n sia simile a quellofra numeri, nel senso che valgono tutte le proprietà formali del calcolo, ad ec­cezione delle due seguenti: o o o ... d n

I ) In genere non è vero che AB = BA : se A = e B = allorao o I O -, dn — 1)d„(~ significa «divide»). rii, d„ . .., d„, invarianti aritmetici di

A, non cambiano moltiplicando A a destra o a sinistra per una matrice intera dideterminante + I ; il prodotto d idz...dt dei primi i elementi è il Mc' dei determi­nanti dei minori i xi estratti dalla matrice A. Fatta questa trasformazione, l'esi­

2) Data una matrice Ago, in generale non si può trovare una matrice Bstenza o meno della soluzione del sistema dipende solo da proprietà di divisibilità.

(denotata anche con A ' ), per cui valga AB = I, ove I è la matrice n x n:Si può anche studiare il sistema come sistema di congruenze, riducendo tutti icoefficienti modulo p; si verifica allora che il sistema è risolubile con soluzione

I O intera se e solo se è risolubile come sistema di congruenze modulo ogni numeroO I O .. . O p primo (di fatto basta eseguire un numero finito di verifiche).

Si può infine notare un legame tra la teoria dei sistemi lineari e quella delleequazioni algebriche. Infatti se si impone ad un polinomio f(x„ xz, ..., xn) diannullarsi per un valore (x„u „ . . . , ci„ ), di fatto si scrive un'equazione lineare

o o nei coefficienti del polinomio. Ad esempio si arriva ad esplicitare il r isultantedi due polinomi f (x) = xn+ a,xn — '+...+an, e g(x) =x + b lx~ +...+b (c f r .

(ovvero la matrice della applicazione identica 11, . V~ U, con I i , (v) =v per ) I) come determinante della matrice (formula di Sylvester) :IO Ih

ogni v E U). Esempio A = ( J. Infatti tale matrice B = A ' si può trovare, al az ... ... a o o ... ... oo o

o I a l . .. . . . . .. an o . . . ... oed è unica, se e solo se det Ag o e la regola di Cramer per i sistemi lineari o o I a l . .. . . . ... an " •permette poi facilmente di vedere come si determini A ' a part ire dalla ma­trice A. La matrice A- ' p rende il nome di matrice inversa della matrice A.

Se f : V~ V è una applicazione lineare di uno spazio V di d imensione fi­nita n in se stesso alloraf è un isomorfismo se e solo se il determinante della o o o anmatrice di f, in una base data, è non nullo. Se A, A' sono le matrici di f in due I b , b , b o .. . obasi distinte, si ha det A = det A' e A' = BAB, ov e B è una matrice quadrata o I b, b . . . on x n a determinante non nullo, e B ' è la matrice quadrata n x n, determinatadalla proprietà BB ' = I. Pertanto il determinante di una trasformazione linea­re f è un invariante, nel senso che è indipendente dalla scelta d'una base in V.

Si è fin qui visto come si corrispondono la teoria dei sistemi lineari e la teo­ o o o b

Invariante 9o4 9o5 Invarr ante

Il fatto ora descritto è del tutto generale; se U +o la quadrica si può vederc,3. Coniche,forme quadratiche e simplettiche. nello stesso modo, come una forma in un numero inferiore di variabili ovvero

come cilindro.Il passo successivo nello studio delle equazioni algebriche è rappresentato, I l caso piu interessante è perciò il caso U= o (caso della forma non dege­

seguendo lo sviluppo storico della teoria, dallo studio di una equazione di se­ nere). Esso si individua mediante la seguente condizione algebrica: costruitacondo grado in n variabili (prima di tutto ovviamente è stato sviluppato il caso la matrice simmetrican = z). all a12 • " a l n

È conveniente porre l'equazione nella forma an

f(x„ . . . , xn)= $ a;,xix,y gb , xi — c= Q(x)+q)(x) — c= o

i,j =l i= l

ove Q(x) è la parte quadratica omogenea che per ipotesi soddisfa la a,t = al;; nl n 2 " ' nn

p(x) è la parte lineare della f. Per n = z l'equazione descrive un luogo piano,cioè una curva, nota col nome di conica; per n = 3 un luogo nello spazio, cioè associata alla forma ga;;X;E, si ha che U = o se e solo se detgg ouna superficie, nota col nome di quadrica. La forma u a dratquadratica Q (x„..., xn) può essere scritta in «forma canonica»,

La teoria per le equazioni quadratiche assume forme profondamente diverse ossia con un'equazione particolarmente semplice, facendo uso di un cambia­

a seconda che se ne studino gli aspetti algebrico-geometrici, cioè le soluzioni nel mento lineare di variabili. Tale forma canonica dipende però dal campo di

caso complesso o reale, ovvero se ne studino gli aspetti aritmetici. numeri in considerazione.Una forma quadratica sui complessi si può scrivere in modo unico nella

forma standard3.r. Aspetto algebrico-geometrico. k

Q(x„x,» ... x ) = $(xi) 2,

È conveniente dal punto di vista astratto in cui ci si pone ormai comune­ i = l

mente prescindere dalla considerazione di un sistema di coordinate esplicito e risulta non degenere se e solo se k = n. In ogni caso il numero k è determi­

per poter arrivare, tramite cambiamenti di variabili, a porre l 'equazione in nato intrinsecamente dalla forma Q e costituisce un invariante fondamentale

forma canonica. della forma quadratica sui complessi.

Scritta l'equazione nella forma Q (x)+q>(x)=c, si studia il caso in cui la Una forma quadratica sui reali si può scrivere in modo unico con la seguente

parte lineare sia identicamente nulla. L 'equazione pertanto si scriverà nella espressioneh h+k

forma Q(x„x 2, ..., xn) = c dove Q è una espressione omogenea e quadratica. Q (x„x , . . . x ) = P (x ) — g (x )Considerando x l . xn come coordinate di un vettore di uno spazio vettoriale i =l i = h+l

V ad n dimensioni, Q si può descrivere come una applicazione Q : V~F (F i l e la forma è non degenere se e solo se h~k =n. Si ha che i numeri h, k sono

campo di numeri su cui si lavora). La proprietà di quadraticità si può espri­ determinati intrinsecamente dalla forma (legge di inerzia di Sylvester ). Se lamere dicendo che la funzione di due variabili vettoriali B(v,w) = (Q(v+ te)­ forma Q è non degenere vi è un modo semplice di calcolare h e k. Se A è la ma­

— Q(v) — Q( to))/z è bilineare, cioè lineare in v e ro. In coordinate, se v = (xl , trice simmetrica della forma Q, considerati i determinanti dei minori:

" > xn)> «o= (4» " En) a l lora B ( x l» " xn > (1»" ( n )= gaitx P~. La f o rma anB(v, ro), che è determinata dalla Q, è «simmetrica», cioè B(v, to) = B(zu, v).

Tale forma permette di dare una nozione di «ortogonalità» fra vettori di V;si dirà che «v è ortogonale a to» (secondo B ) (in simboli v I ro) se B(v, «o)= o. l all ..., >h>„ = /AjLo spazio U dei vettori ortogonali ad ogni altro vettore è il nucleo della forma. a21 a

Geometricamente si esprime, per esempio nel caso n = 3, cosa vuoi direche la forma ha un nucleo di dimensione r. Si scelga una base dello spazio V akl

in cui U sia l'asse z, e quindi il vettore (o, o, z) è ortogonale al vettore ((l (2 (3) vale la seguente regola di Cayley: i numeri h e k sono calcolabili a partire dai

per ogni scelta di z e („F 2, F3. Questo implica che alcuni coefficienti a;; di B cambiamenti di segno nella successione A„A 2, A„..., 5n. È conveniente intro­sono nulli e la quadrica Q si scrive nella forma allx +2a12xy+a22y c = o ov­ durre come invariante fondamentale di una forma quadratica reale il numero

vero è il cilindro con generatrici parallele all'asse 2 e passante per i punti del­la conica data dalla medesima equazione nel piano x, y. U 'Un applicazione della legge di inerzia di Sylvester è la seguente: dato un

Invariante 906 9o7 Invariante

polinomio f(x) a coefficienti reali e con radici x„ . . . , x„, si puo costruire la ma­'I Si potrebbe altrettanto facilmente esplicitare il risultato per quadriche reali ;

trice simmetrica, detta bezoutiante, definita dal prodotto ci si limiterà solo ad osservare che se una forma quadratica Q è indefinita (cioènon è solo positiva o solo negativa ), esistono spazi lineari formati interamente

I I « 1 (xl)' " ( xi ) " da vettori « isotropi » cioè con Q(v) = o. Tale osservazione permette di ricono­Xl I x , (x,)' ... (x,)" scere sistemi di rette all'interno di quadriche che le presentano come superfici

(x()' ( x Z)' - (x ) ' «rigate», cioè ottenute movendo una retta nello spazio.All'inizio dello studio di tipo algebrico-geometrico si è visto come si pos­

sa associare ad una forma quadratica Q(x) una forma bilineare simmetricaB(x, y) da essa determinata e fare lo studio della Q studiando la B. Si possono

(x.)" ' (x2)" ' " ( x ) " I x „ (x„)' ... (x„)" prendere in esame forme bilineari B (x, y) godenti della proprietà B (x, y) =

= ­ B(y, x), cioè forme bilineari antisimmetriche, ovvero simplettiche. In que­41 CZ 4„— 1 sto caso la teoria corrispondente è particolarmente semplice :

I ) Se la forma B(x, y ) è non degenere, la dimensione dello spazio vettorialeV cui appartengono i vettori x e y è di dimensione pari zm. In questo caso la for­ma si può portare, con un cambiamento di variabili, alla « forma canonica» :

B(x, y) = B((x l , - -, x~, xl , " , x~), (yl, " , y~, yl > y . )) =g(xiyi xiyi).4=1

ove 4 =<~(xi)i è una funzione simmetrica delle radici e quindi si può calcola­xi z) In ogni caso la matrice A = (a,,) della forma (ove a,, = B(e;, e~) è il va­

re, ricorsivamente, a partire dai coefficienti di f(x), secondo p 'j =ld formule sem lici lore della forma calcolata su due vettori e;, e; della base dello spazio vettoriale

dovute a Newton. La bezoutiante corrisponde ad una forma quadratica la cuiV), è una matrice antisimmetrica, ossia risulta a;, = — a,, :

segnatura coincide con il numero di radici reali di f(x). Si ottiene cosf un le­game fra la legge d'inerzia e il teorema di Sturm (cfr. ) z). — a o

Si ritorni ora al caso generale in cui l'equazione di secondo grado f (x„. . . ,12

x„) sia completa e quindi del tipo

f (xl " x ) = Q(xl " xn) y (i)(x„ . .., x„) — c= o.

Effettuando un cambiamento di variabili è facile vedere che ci si puo sempreridurre, nel caso reale, ad una delle seguenti forme canoniche :

Si ha detA = o se n è dispari. Se n = zm allora detA = (Pf(A))2, dove Pf (A)è un polinomio, detto pfaffiano della matrice A, che si esprime con la formula

i = h+l di Jacobi-Cayley :h m I I

(z) g (xi ) -g (x i)' ­ „ + l = o . (~) m ( g Sa a(1) a(2) a(3) a(4)"' a ( 2m — 1) a(Zm)z m,i =l i = h+l

Nel caso complesso si hanno le stesse espressioni canoniche con h = m. Per esem­ Per esempio :

pio nel caso n = z si ha la seguente classificazione (affine) delle coniche reali. / « ) I I

(121 O Z 2) ( 12 +21) (<2( = — ~(2)XZ+y 2 = I ellisse (equivalente alla circonferenza)x'+y ' = — I conica immaginaria non degenere Infine, su uno spazio vettoriale V sui complessi è utile considerare le forme

2 2x — y = I iperbole hermitiane, cioè le forme H (x, y) (x,y e V), l ineari in x ed antilineari in y,2x — y = o parabola tali quindi che2 2x — y = o due rette distinte reali H(x lxl+ x»xZ y ) = x(H�(x l, y) + x2 H(x», y)x2+y 2 p due rette distinte immaginarie

x2 o due rette coincidenti. H(x P l y, +02y2) ) I H ( x y l ) + l 2 ( , y 2)

Invariante 9o8 909 Invariante

()i coniugato di Pi). Per esse risulta quindi H (x, y) = H(y, x). Se H (x,x))o lubili. In ogni caso il punto cruciale della riduzione è la legge di reciprocitàper ogni xvio allora la forma si dice positiva. Rispetto ad una base e„..., e„ quadratica di Gauss [ 18ol ], che domina il caso piu semplice dell'equazionedi V, posto ait = H(e;, et), risulta a,, = ali ed inoltre (ah .

H(x,y) = H P ei e,,/y«ce)= Pexxy. .

ays­= x» modp (caso m = z). Si indica con ( — ) il simbolo di Legendre, ovea 4)

j= +l a seconda che la congruenza scritta abbia o no una soluzione non

Il numero colnplesso H (x, y), valore di H sulla coppia di vettori x e y, si puo nulla. La legge di reciprocità afferma allora che:scrivere come somma della sua parte reale ed immaginaria H (x, y) = S(x, y)++iA(x, y). Si vede facilmente che S ed A sono forme bilineari sullo spazio V p <P-1) (« — 1)iE1) ­ — = ( — l) 4 per p e q due primi dispariconsiderato come spazio reale e sono rispettivamente la prima simmetrica e la pseconda simplettica. ~2

Uno spazio V con una forma hermitiana positiva prende il nome di «spazio z) ­ = ( — )' per p un pr imo dispari

di Hilbert»; tale nozione si generalizza ed è particolarmente importante, anchenel caso che la dimensione di V sia infinita. — 14

3) ­ = (-l ) ' per p un pr imo dispari.p)3.z. Aspetto aritmetico. Questa legge fondamentale permette, dato un primo p, di considerare un nu­

Esso è notevolmente piu complesso ; se si studiano le soluzioni, ad esempiomero finito di progressioni aritmetiche ax+b„ax+ bs, ..., tali che p è residuoquadratico modq se solo se q appartiene ad una tale progressione,

razionali, di una equazione quadratica, Tramite la legge di reciprocità ed ulteriori considerazioni sul simbolo din

ga;;xix,,Legendre è possibile studiare effettivamente il p roblema delle congruenze

i, j =l gai(xi)'=— o modq [cfr. Borevich e Shafarevich 1966 ].si può prima di tutto metterla in forma diagonale

Curve algebriche piane e loro invarianti proiettivi.gai(xi )' = o

i = l Nell'ordine di idee in cui ci si è posti, il caso successivo da trattare, nello stu­

(si esclude il caso banale in cui ci sia un termine lineare). dio delle equazioni algebriche, è quello di un'equazione in due variabili e di gra­I numeri ai non sono univocamente determinati, ma evidentemente possono do n qualunque (si osservi che il primo caso ancora non trattato è n= 3).

essere modificati a meno di quadrati cambiando le variabili (questa è la ragione Questo studio porta all'introduzione di idee nuove appartenenti a vari ramidella forma semplice sui reali o sui complessi in cui i coeflicienti si possono della matematica: l ' idea algebrico-geometrica di una geometria con grupporidurre tutti a +-1, rispettivamente a +1). Lo studio di una tale equazione si strutturale, l'idea topologico-analitica di superficie di Riemann, la teoria deglisvolge nel modo seguente: si assume di aver scelto gli ai interi; allora, oltre al­ integrali abeliani. Ciascuna di queste teorie comporta la considerazione di inva­

l 'equazione data, si possono considerare le congruenze gai (x i )s = o modq rianti opportuni di natura diversa; si accennerà qui solo ad alcuni degli inva­4=1 rianti principali (cfr. anche l'articolo «Geometria e topologia» in questa stessa

(dove a­= b modq significa q ~ a — b), essendo q un numero preassegnato.. Il Enciclopedia). In questo paragrafo, in particolare, si cercherà di mettere in luceprincipio fondamentale che permette di risolvere il problema aritmetico è da­ il passaggio fra l'aspetto algebrico relativo allo studio di una equazione e la ge­to dal seguente nesi della geometria algebrica, in particolare la geometria proiettiva.

y»

TEQREMA (Hasse-Minkowski ). L'equazione g ai(x.;) = o ha una soluzione ra­ Sia f(x, y) un polinomio di grado n; esso può essere scritto nella formay= l

zionale non nulla se e solo se ha una soluzione reale non nulla, e, come congruenza f(x, y) = Z,gi(y)x i

modq, ha una soluzione non nulla per ogni q suff)cientemente grande. i=O

Il principio esposto si presta a una verifica in termini di invarianti della for­ove gi(y) è un polinomio in y. Si può risolvere l'equazionef (x, y) = o assegnan­

ma quadratica. Per la soluzione reale basta che la forma sia indefinita. Per do un valore y alla y e calcolando le m radici dell'equazione (in x)

quanto riguarda le congruenze ci si può ridurre a priori ad un numero finito fn

di verifiche In effetti se m) g tutte le congruenze sono automaticalnente riso­ P gi (y) xi = o.x = O

Invariante 9I0 9II Invar tante

Procedendo in questo modo ci si accorge dei due seguenti fenomeni: r) per Questa costruzione algebrica del piano proiettivo scaturisce da operazioni

alcuni valori di y le m radici possono non essere distinte; z) per alcuni valori di proiezione e sezione dello spazio, quest'ultime sviluppate già nel Rinasci­

di y l 'equazione in esame può abbassarsi di grado. mento con lo studio della prospettiva. Un esempio significativo è il seguente. Si

Si analizzi il secòndo caso : se si fa variare y con continuità verso il valore y seghi un cono con un piano ct tale che la sezione (conica) sia una ellisse. Se si

per il quale l'equazione si abbassa di grado, almeno una radice tende verso sposta il piano fino a renderlo parallelo ad una generatrice, la conica sezione di­

l'infinito. Il metodo usato per descrivere questo fenomeno, e che ha portato a venta una parabola. Un ulteriore spostamento del piano permette di ottenere

frutti notevoli nell'algebra e nella geometria, può essere descritto come segue. una iperbole (cfr, fig. r).Si raccolgono innanzitutto nel polinomio f(x, y) le sue parti omogenee, cioè Le operazioni di sezione effettuate sul cono sono equivalenti alla conside­

razione di una ellisse che si muova su un piano proiettivo fino a divenire tan­n

f(x, y) =g g a, x'yj gente alla retta all'infinito (parabola) e successivamente a segarla in due puntik = o i + j = k (iperbole) (cfr, fig. z). La giustificazione intuitiva di quest'ultima affermazione

si associa quindi un polinomio omogeneo di grado n (forma), introducendo unasi ottiene considerando in un piano tt una sua retta r qualunque (al finito)ed una ellisse che muovendosi si porti successivamente nella posizione tangente

nuova variabile a' o secante (fig. g). Proiettando da un punto S non appartenente a rr su un pianorr' parallelo al piano u. determinato da r ed S si vede che i punti di r vanno«all'orizzonte», cioè «all'infinito» e quindi un'ellisse in tt si proietta in una el­

Si hanno le relazioni f(x, y) = $(x,y, r) e g(x,y, z) = s f(x/z, y' ) l e quah lisse, parabola o iperbole rispettivamente a seconda della sua posizione rispettomostrano il legame fra le soluzioni di f = o e quelle di ) = o. In particolare ad r. La proiezione da S del piano rr sul piano rr' fornisce un primo esempiosi può stabilire una corrispondenza biunivoca fra le soluzioni di f = o e quelle di trasformazione fra piani che muta rette in rette e trasforma una retta r (alsoluzioni di / = o per cui zvko, pur di considerare, per quest'ultima equazio­ finito) nella retta all'infinito. Con questo, dopo aver introdotto la retta all'in­ne, equivalenti tutte le soluzioni fra loro proporzionali. Le soluzioni di $ = o finito ci si è liberati del suo carattere privilegiato. Portando fino in fondo que­per cui z = o si possono pensare come soluzioni «all'infinito» di f = o. sto punto di vista si arriva alla considerazione del gruppo delle trasformazioni

La costruzione algebrica ora effettuata diventa chiara quando se ne considera proiettive che, nel piano proiettivo reale, sono caratterizzate geometricamentela geometria soggiacente. Ogni terna di numeri (xs, ys, ss) e tutte le terne ad es­ dalla proprietà di mutare rette in rette, e che algebricamente si possono espri­sa ProPorzionali, cioè (Xxs,)ys, Ass) con X ~ o, si considerano come terne di mere nella formacoordinate di un «punto»; si esclude solo la terna (o, o, o). L'insieme di questispunti» si chiama piano proiettivo. Si è ottenuto cosi un ampliamento del piano

I = rlrrx+ Qtsy+ rtrsz trrt rrtz Qts

(affine) usuale di coordinate x, y, nel senso che i punti del piano proiettivo cor­ y +srx+ rtzsy + assz con det as, ass ass +o.rispondenti alle terne omogenee (Xxs, Xys, Ass) con ss+o possono essere scritte I = rrstx +rtssy+ trsss' "st trss ~ssin modo unico come (x, y, r) ; i punti per cui ss = o sono detti «punti all'infi­nito» del piano affine; essi costituiscono la «retta all'infinito». L'equivalenza fra la caratterizzazione algebrica e quella geometrica dipende

dalla proprietà, specifica del campo reale, di non possedere automorfismi. Sesi prende solo il punto di vista algebrico è d'altra parte evidente come vadano

Figura z.Figura r

Ellisse, parabola ed iperbole come sezioni coniche. Posizioni reciproche di una retta e di una ellisse.

Invar lante 9rz 9'3 Invartante

estese le definizioni di spazio proiettivo n-dimensionale P'(F) su un campo F retta. Piu in generale, date due curve C e P' di ordini n ed n' si può assegnare aqualunque e il corrispondente gruppo proiettivo. ciascun punto di intersezione di C e P' una molteplicità in modo tale che la

Il problema centrale della geometria proiettiva è quello di classificare le con­ somma delle molteplicità sia esattamente m.n (teorema di Bezout ).figurazioni geometriche e le forme a meno di trasformazioni proiettive. Tale Una curva di ordine n, f(x, y, z) = o, possiede molti invarianti, relativi adproblema ha una soluzione completa solo in casi particolari ; in generale si cerca esempio alla natura dei suoi punt i o d e l le sue tangenti. Dato un puntodi costruire opportuni invarianti che descrivono proprietà dell'oggetto in esa­ P = (xp yp zp)F C ed una retta r per esso, la molteplicità di intersezione in Pme anche se non lo classificano completamente. fra r e P è in generale t per ogni posizione di r, ad eccezione di una ben de­

L'esempio piu semplice in cui si ottiene una classificazione proiettiva com­ terminata retta, detta retta tangente, di equazionepleta è costituito dalle coniche. Nel caso reale, data una equazione omogeneadi secondo grado, con una trasformazione proiettiva, essa si muta in una ed una x + — y + — z = o.sola delle seguenti equazioni :

xs+ya+z' = o co n ica immaginaria Un tale punto si chiama semplice.x»+y» — zs = o conica realexa — ya = o conica degenere reale Può però accadere che nel punto P si annull ino le t re derivate parziali

x'+y '= o con i ca degenere immaginaria òf/àx, òf/òy, òf/òz; in tal caso ogni retta r per P ha molteplicità di interse­

xs = o conica doppiamente degenere.zione maggiore di t in P con C. Un tale punto si dice singolare per la curva;anche per esso può definirsi una nozione di retta tangente nel punto, ma il nu­

La distinzione affine fra ellisse. iperbole e parabola, di cui si è parlato nel ( 3, mero di tali tangenti è maggiore di t (cfr. fig. g), in generale.non esiste piu essa però può riottenersi dalla classificazione proiettiva introdu­ Le nozioni di punto semplice, singolare e retta tangente sono invarianti

cendo una retta privilegiata e l'informazione suppletiva del tipo d intersezione proiettivi. Nel caso dei punti singolari e delle tangenti si può fare un'analisiche la conica ha con tale retta. piu approfondita e dedurre una vasta classe di invarianti (analisi tramite gli

Il luogo C degli zeri di una forma f(x, y, z) di grado n si chiama curva al­ scoppiamenti: cfr. i l già citato articolo «Geometria e topologia», p. 6gg, nelI ebrica di ordine n. L'ordine di una curva algebrica ha un significato intrinseco, voi. VI di questa stessa Enciclopedia).ossia invariante rispetto a trasformazioni proiettive; geometricamente esso rap­ Una delle idee chiave della geometria proiettiva è quella di considerare le

presenta il numero di punti in cui C interseca una retta r generica. In effetti il curve P di grado n fissato come uno spazio proiettivo di dimensione n (n+3)/z,numero di punti in cui 8 interseca una retta fissata può essere inferiore ad n; assumendo come coordinate proiettive di 8 i coefficienti di una sua equazione.

di fatto si può attribuire a ciascun punto d'intersezione una molteplicitàmag­ Per esempio le rette del piano formano esse stesse un piano detto «piano duale»

iore o uguale a t molteplicità che descrive il tipo di contatto fra la curva e la del piano dato.L'imporre ad una curva C il passaggio per un punto P semplice è equivalen­

te a scrivere un'equazione lineare sui coefficienti ; se il punto è doppio si otten­gono tre condizioni lineari, ecc. Uno dei problemi centrali della geometria al­gebrica è lo studio delle curve che soddisfano a varie condizioni lineari, detteanche sistemi lineari di curve. Tale studio è stato grandemente facilitato dalle

I I I r I l /I 1 p I /I I /I I II I II I II I I p /p I P I

P l PI I II II l II I II I II I

a) c) d)

Figura Z. Figura 4.

Proiezione di una ellisse del piano Ir da un punto S It Ir. a) punto semplice; b), c), d) punti singolari con tangenti distinte o coincidenti.

Invariante 9I4 9I5 Invariante

tecniche sviluppate negli ultimi vent' anni, in particolare dalla teoria dei fasci [(n — 1)(n — z)/z] — v è un invariante proiettivo detto deficienza. Il suo signifi­(cfr. ( i z ) cato viene esplicitato tramite la considerazione della superficie di Riemann Z

Si torna ora ad esempi piu classici che porteranno nel vivo della teoria degli associata a C ; in tal modo si vede che esso è un invariante puramente topologico,

invarianti del secolo scorso. detto anche genere di Z, che verrà descritto nel ) 11.Si supponga di voler determinare le condizioni affinché una curva f(x, y, s) =

= o di grado n non abbia punti singolari. Questo evidentemente vuoi dire cheil sistema Invarianti e covarianti. I l metodo simbolico.

f(x, y, z) = o

òf Dalle considerazioni svolte nel paragrafo precedente si vede il ruolo cen­— (x,y, a) = oòx trale attribuito al gruppo proiettivo nello studio delle forme algebriche. Si è

òf già visto come esso operi sui punti, sulle rette e sulle coniche. Prima di af­— (x,y, s) = o frontare il problema generale degli invarianti, si vuole fornire un ul terioreòy esempio. Un teorema fondamentale di geometria proiettiva afferma che dateòf— (x,y, z) = o (x, P, y, 8), (x', P', y', l ' ) due quaterne di punti nel piano proiettivo, tali che

in ciascuna quaterna tre dei quattro punti non sono mai allineati esiste un'uni­ca trasformazione proiettiva A con A (x) = 01', A (p)= p', A (y) = p', A (8) = 8'.

ha soltanto la soluzione nulla. Poiché All'opposto, prese due quaterne di punti allineati non è detto che l'una sia tra­sformabile nell'altra. Per esempio, se entrambe sono formate da punti distinti,la condizione di equivalenza proiettiva è fornita dalla considerazione di un in­variante fondamentale : il birapporto. Dati sulla retta i punti 01, p, y, 8 il loro bi­

basta studiare l'incompatibilità del sistema delle derivate parziali prime. A tale rapporto è dato dall'ascissa del punto 8 quando si assume il riferimento in mo­scopo si moltiplicano le equazioni in esame per opportuni monomi in x, y, z, do tale che ai punti 01, p, y corrispondano rispettivamente le ascisse o, i , ~ .in modo da ottenere un sistema di equazioni, lineari nei coefficienti delle for­ Il birapporto è essenzialmente l'unico invariante proiettivo delle quaterne dime, che abbia lo stesso numero di equazioni e di incognite. Il sistema originario punti allineati, nel senso che tali quaterne sono proiettivamente equivalenti seè incompatibile se e solo se quest'ultimo è incompatibile, cioè se il determi­ e solo se esse hanno lo stesso birapporto.

nante A dei coefficienti è non nullo. Tale determinante è un polinomio nei coef­ Nella teoria classica degli invarianti del secolo xix il primo problema che sificienti della forma f(x, y, z) detto discriminante ed è un invariante proiettivo è studiato è stato quello di trovare tutti gli invarianti di alcune configurazioni

nel senso specificato nel paragrafo successivo. geometriche, per poterle classificare.Un secondo esempio si ottiene considerando la hessiana di una forma f(x) = Procedendo con un esempio, si considerino tre punti nel piano Xp= (xpp,

= f(x„ . . . , x ) = o di grado n. Essa è definita da xip xpp) X i = (xpi xi i xeni) Xp= (xpp xip xpa) e si formi il dete™nante dellamatricem ò2f

H( y ) = Z ò ò y ,y, 00 01 X02

s j l t j10 11 X12

ove si è introdotta una nuova serie di variabili y. Pensata la H (x, y) come una 20 21 X22

forma quadratica nelle variabili y se ne può formare il discriminante h (x), cheè una forma di grado m(n — z) nelle sole x,. L'intersezione fraf(x) = o e h(x) = o Applicando una trasformazione proiettiva, di matrice A., si otterranno tre nuo­

avviene in punti di natura particolare per f = o (punti doppi, punti di flesso). vi punti le cui coordinate sono le colonne della matrice X ' = A X . P ertantoL'analisi di questo fenomeno porta, anche in questo caso, all'introduzione di detX' = (detA) (detX). In particolare detX= o se e solo se detX' = o; que­invarianti proiettivi. sta condizione è equivalente all'essere i tre punti allineati. Il fatto che il deter­

Uno degli invarianti principali in una curva piana L si ottiene dalla consi­ minante di X, pensato come polinomio nelle coordinate dei tre punti, vienederazione dei suoi punti singolari. Se 8 è irriducibile e di grado n, può posse­ moltiplicato per detA, tramite la trasformazione proiettiva, si esprime dicen­

dere al piu (n — 1) (n — z)/z punti doppi ; se li possiede tutti può essere parame­ do che esso è un seminvariante o invariante proiettivo relativo. Piu in generale,

trizzata biunivocamente (tranne un numero finito di eccezioni ) in forma razio­ dati n+ i Punti Xp = (xpp> x,p, x,p), ..., X„ = (xp» x», xp„ ), un Polinomio f(x;;)nale con un parametro t. Piu in generale se possiede v punti doppi, il numero nelle coordinate di tali punti si dirà seminvariante se, data una trasformazione

Invariante 916 917 Invariante

proiettiva di matrice A = (a,") e dette (xp;, xl,, x2,) le coordinate di AX,, si ha po proiettivo sullo spazio ad n dimensioni induce un gruppo di proiettività su

f(x;j) = f(A) f (x,'j), $(A) un numero dipendente solo da A. Si ha allora il questo nuovo spazio il quale, tranne il caso m = 1, è effettivamente distinto dalgruppo di tutte le trasformazioni proiettive. La ricerca algebrica degli invarianti

TEoRz24it (Cayley). r) $(A) = det(A) , per m opportuno. 2) f è un polinomio delle forme consiste nel trovare i polinomi, g (a;„, , ) , ne i coefficienti dellanei determinanti forma, che risultino seminvarianti rispetto a tali trasformazioni. Per esempio

Xpi Oj Ok nel caso di una quadrica g a; x;xj, a,"=a ; , un invariante è il discriminanteAjjk xli x l j x l k i,j

A, cioè il determinante della matrice simmetrica (a,"). Cambiando infatti lecoordinate con una trasformazione proiettiva di matrice A, i l nuovo discri­

Si osservi che tale invariante dipende a priori dalle coordinate scelte a meno di minante d' è dato da det (A)2 k. Si può facilmente verificare che un inva­

un fattore di proporzionalità. riante di una quadrica è necessariamente della forma Xt} k, essendo X un numero.

È possibile, d'altra parte, costruire invarianti assoluti in modo facile; per Piu in generale si possono studiare i covarianti delle forme, che si passa a

esempio per cinque punti X;, i =o, 1, z, g, 4, la funzionedefinire. Date le formefj(x), un loro covariante è una forma $(a, x) i cui coef­ficienti sono polinomi nei coefFicienti delle f, e con la proprietà che, operando

A012 A034 una trasformazione proiettiva A sulle variabili e quindi sulle forme fj, si haA018 A024 $(a', x') =y (A)$(a, x), con y(A) dipendente solo da A (è facile vedere che

è invariante assoluto. y(A) è della forma det (A) ).Si è osservato che una trasformazione proiettiva A. del piano muta rette in

Esempi classici di covarianti sono la hessiana, che si è già considerata nel

rette e che l' insieme delle rette è esso stesso un piano, coordinatizzato daiparagrafo precedente, e lo jacobiano di n +r fo rme (in xp, x„. . ., x„) definitodal determinante

coefficienti (ap, al, a,) dell'equazione della retta apxp+a,x i +a2X2 =o. La t ra­

sformazione A' indotta sulle rette è ancora una trasformazione proiettiva, la cui òf, òf, òf,matrice si può calcolare a partire dalla matrice di A. Sia infatti B = (b;j) la ma­ òx, òx , òx„trice inversa della matrice A ; si ha allora che la matrice di A' è la cosiddetta « tra­ òf, òf òf ,sposta» di B, cioè è ottenuta da B scambiando le righe con le colonne. òx, òx, " ' òx „

Dati i punti X ; = (xp;, xl;, x2;) e rette r = (apj, a,, a2j) si possono studiaregli invarianti simultanei. Si ha il

TEQREMA. Ogni int>ariante relativo è un polinomio nei determinantiòf„ òf„ òf „

Xoi Xoj Xo a p a l a2 •òXp òX1

"òx„

Aij k xl j x l j x l k aoj a i ' az'

X 24 X2j X 2 k apk al k 2k In casi speciali è possibile trovare tutti gli invarianti e covarianti. Nel caso bi­nario (cioè per due variabili ) sono stati calcolati con successo per le forme fino

e nei «prodotti scalari » ap,xp<+a„xu+a»x 2u al grado 8. Per esempio per la cubica binaria f(xp, xl) si ha il risultato di Cayley:I teoremi enunciati valgono piu in generale per spazi proiettivi a n dimensioni ; il discriminante D, la hessiana H e lo jacobiano Q dei polinomi f e zH ge­in questo caso i determinanti sono formati con n+l ri ghe e colonne. nerano tutti i covarianti di f(xp, x,) e sono soggetti ad una relazione (sizigia di

Le ricerche del secolo scorso partivano dai teoremi enunciati per trovare Cayley) : Q2+Df 2+yH O= o.

gli invarianti di altri oggetti, per esempio delle curve o ipersuperfici. In gene­ Per calcolare i covarianti fu sviluppato, da Clebsch, Gordan, Aronhold,

rale nello spazio proiettivo a n dimensioni si considerano le forme di grado m Sylvester, Cayley ed altri, il metodo simbolico. Tale metodo è strettamente le­gato a quello che in termini moderni viene chiamato «calcolo tensoriale». Lo si

Z ai„, ' „xppxi i . . .xn" presenta nella sua veste originale, Siano date delle variabili vettoriali>>>=ip+il+...+4»

Gli zeri di un tale polinomio sono per definizione i punti di una ipersuperficie X= (xp> X„..., X )di grado m. I coefficienti di una forma possono essere considerati come co­ S = bp Xn" S )

/m~n)ordinate di un punto di uno spazio proiettivo di dimensione ( ) .Il grup­

Invariante 918 919 In variante

Una forma ip(x, y, ..., z), di gradi n in x, m in y, ..., p in z, è un polinomio za di un insieme finito di invarianti da cui tutti gli altri si generano (per som­nelle variabili x;, y, ..., 2@ che abbia ogni monomio di grado complessivo n nelle ma e prodotto ). Tale metodo è basato sullo sviluppo di Clebsch-Gordan di

x;, m nelle y-, ..., p nelle zl.. Le forme di grado prescritto nelle x, y, ..., z for­ una forma binaria, sviluppo ripreso da Capelli nel caso generale. Si accenna

mano uno spazio vettoriale Pn . Si sottopongano le variabili vettoriali ad ora brevemente a tale sviluppo: si studiano le forme in m variabili vettoriali

una trasformazione lineare di matrice A = (a,") ; si scriva xi = (xli, ..., x„i) e si pone

app api " . apn X p 4;; =� / „ — .,x = òx„

, ecc. Con tali operatori si costruisce il seguente determinante

anp " " ' nn xn ~11+ A21 ~ 2 1

e si ponga f~(x, y, ..., z) = f(A lx, A y, . . ., A — z) per ogni forma. Le forme 422+m — z 4»considerate sono allora sottoposte ad una applicazione lineare indotta da A. ~12 522+m gIn Pn m „si consideri l'insieme 8' delle forme del tipo a(x)".b(y)m ... c(z)>con a(x), b(y), ..., c(z) lineari. Si ha: l) II ' viene mutato in se stesso dalla A ;z) II' genera linearmente lo spazio P„ (ovvero ogni forma è somma diforme appartenenti a S" ). Al m — 1 m — l m — 1+1 ~mm — l

Il secondo punto del metodo simbolico è la polarizzazione, ovvero processodi Aronhold. Eccone un esempio tipico. Se f (x) è una forma di grado m nellavariabile vettoriale x e si sostituisce ad x una combinazione lineare x = RA;y, Le proprietà formali di tale operatore sono (identità di Capelli);d i variabili vettoriali y„ y 2, ..., ym, si ha, sviluppando rispetto alle potenzedei ),;, 1) se n(m, Hf = o;

f Z h yi = Z ~1'~2'" Àf;, ; „(yl,.- y )­ z) se n = m,i =l iq+i2+...+im = m ò à à

La f;, ; è omogenea di gradi l'„ i 2, ..., l' in yl,y2, ...,ym rispettivamente. In Xll X21àX11 àX12 àXI

particolare f = fl 1 1 è multilineare. Ponendo tutti gli yi uguali a x e sfruttan­ ò à òdo l'omogeneità, si ha (ZX ) f(x) = Z V l...),imf ; (x , x , ..., x); confrontando X22 ' X n p

i coefficienti di X„Xz, ..., Xm si ha f(x) = (i/m!) f(x, x, ..., x). La forma f vieneòx, òx , òx „

chiamata polarizzata completa di f. Piu in generale una forma in k variabilivettoriali si può polarizzare completamente rispetto a tutte le variabili. Se laforma iniziale è invariante rispetto ad un gruppo di trasformazioni, anche la po­

ò à òlarizzata è tale. Dalle osservazioni fatte si deduce che, almeno in linea teorica, X l n X 2n ' " Xnnlo studio degli invarianti e covarianti si può ricondurre allo studio di quelli mul­ òx„ òxn

tilineari. 8) se n)m,

à à(di gradi n, m, ..., p rispettivamente) e un loro invariante multilineare$(a;. li " li

b ;, i , ..., t i ; ), calcolando g su lle forme speciali a (x)", b(x), ..., c(x)" òxl i òx ;,

(a(x) = Mai+i, b(x) = Zb,xl, ..., c(x) = Zc>xl ), si otterrà un invariante di gradi H =

n, m, ..., P nelle forme lineari a = (ap, ..., an), b= (bp, ..., b„), ... Un tale inva­ i,<i 2«., i mriante, per il teorema di Cayley, è un polinomio nei determinanti ; viceversa ognitale polinomio dà luogo ad un unico invariante delle forme date. Pertanto vi è

xmi~ " xm i mun modo per generare tutti gli invarianti; è questo il punto di partenza del me­ àx ;todo simbolico. Per rendere effettivo tale metodo è necessario trovare le regoledi moltiplicazione fra invarianti generati in questo modo. Un metodo effettivo Da tali proprietà formali Capelli dedusse i seguenti importanti teoremi di ri­

fu sviluppato principalmente da Gordan, nel caso binario, per provare l'esisten­ duzione delle forme: 1 ) f(x„ . . .> xm)= Zl, f , f ; = C>, f (dove l'-, 4- sono Po­

32

Invariante 920 92I Invariante

linomi negli operatori A,„, f, dipende solo da x„. . ., x„) ; 2) piu precisamente si cui le altre si deducono, ovvero esistono (h",, hzi', ..., h>"), j = I, . . . , s c o npuò assumere che f di penda solo dai minori Zhls'f :=o ta l i che, se Zh, f, = o è una relazione, allora h,=RA h~li', con?

polinomi. Le relazioni fra tali relazioni sono ancora generate da un numerofinito di relazioni. Si può quindi continuare induttivamente e calcolare le re­lazioni fra relazioni, ecc. Le relazioni al passo i-esimo si chiamano i-sizigie.

TEQREMA DELLE sIzIGIE. Esiste una opportuna costruzione induttiva per lei-sizigie in modo tale che le n + I sizigie sono banali (ossia le uniche relazioni

XiiI" " ' X I2 2 fra le n-sizigie hanno tutti i coefficienti o).

Tale espansione fu usata con successo da Weyl, per il calcolo degli invarianti dei Questo importante teorema ha avuto recentemente un utile complemento,

gruppi classici e inoltre fornisce un teorema generale (dovuto a Peano) di ri­ congetturato da Serre e provato da Quillen e Suslin indipendentemente: co­

duzione per gli invarianti. Tale espansione è strettamente legata alla teoria delle munque si generino le i-sizigie per i= I, . . ., n — I si può trovare un sistema di

rappresentazioni del gruppo lineare e del gruppo simmetrico ed è stata la base generatori indipendenti per le n-sizigie (cioè le n+I s izigie sono nulle).dei lavori di Young su quest'ultimo argomento. I primi due teoremi enunciati furono usati da Hi lbert per provare il se­

guente

TEQREMA. Gli invarianti di un sistema arbitrario di forme sono sempref in­6. La t eoria di Hilbert. itament generati.

L'algebra della teoria degli invarianti, nel secolo scorso, si concentrava sui Il teorema si riferisce al gruppo lineare operante su un sistema di formee in caratteristica o. Hilbert aveva in mente due possibili gradi di generaliz­

problemi seguenti : zazione dei suoi risultati e li presentò sotto forma di problema, il quattordi­a) Dato un sistema di forme, trovare un numero finito di invarianti da cui cesimo della famosa lista di ventitré da lui esposta al Convegno internazionale

tutti gli altri si potessero dedurre (come polinomi ). di matematica del I9oo:b) Trovare le eventuali relazioni esistenti fra tali invarianti (per cercare

eventualmente di eliminare invarianti sovrabbondanti) ovvero trovare for­I ) Dato un gruppo qualunque G di sostituzioni lineari su n variabili x„

me canoniche per gli invarianti stessi. . .., x„, esiste un numero finito di polinomi, invarianti rispetto a G, dacui tutti gli altri si possano generare?

Nel famoso lavoro Uber die Theorie der algebraischen Formen (Sulla teoria 2) (Versione originaria del quattordicesimo problema di Hilbert ). Dati undelle forme algebriche) Hilbert risolse brillantemente questi problemi gettando anello di polinomi A = K[x„ . . . , x„] e un campo E in termedio fra K ele basi dell'algebra moderna. Si descrivono rapidamente le idee chiave in esso il campo delle funzioni razionali in x i x„è vero che ARE è f in i ta­contenute che si esplicitano in alcuni famosi teoremi: mente generato su K?

TEQREMA (Basissatz). Dati comunque infiniti polinomi f„(x„. . . , x„) in n va­ Nel momento in cui Hilbert presentò questo problema sembrava che il casoriabili, è possibile fra essi sceglierne un numerofinito, siano essi f,, ..., fi, in modo I ) fosse stato risolto positivamente da Maurer, ma la dimostrazione di Maurer

k era sbagliata ed in elfetti Nagata [ I959] ha mostrato che il problema I ) (e quin­tale che ogni altro f„ sia esprimibile nella forma f„ =­

P g; f; (ovvero le equazioni di anche il 2 )) ha in generale una risposta negativa (indipendentemente dallaf„ = o sono conseguen~e dellef; = o). caratteristica del campo base K ). Si elencano ora i progressi compiuti in questo

TEQREMA (Nullstellensatz). Sia f , = o, ...,f i, = o un sistema di equazioni, ove secolo nello studio del medesimo problema:f, è un polinomio in xi, ..., x„. Se g è un polinomio in x„. . . , x„che si annulla sututte le soluzioni del sistema dato, allora per un k opportuno risulta g~= Zh; f;, I) Hurwitz introduce la media sui gruppi di Lie compatti (che rimpiazzacon h, polinomi, l'operatore Q di Cayley),

2) Weyl mostra come il metodo di Hurwitz, insieme al cosiddetto truccoPrima di enunciare il teorema delle sizigie si introducono alcuni concetti unitario, implica che le rappresentazioni dei gruppi semisemplici sono

preliminari. Dati k polinomi f„ . .., f i. in xi . . . x< si considerino le relazioni completamente riducibili in caratteristica o. Come conseguenza il quat­fra essi esistenti, cioè le espressioni del tipo Z h,f, = o con h; polinomi in tordicesimo problema di Hilbert ammette una soluzione positiva per ta­xi, ..., x„. Innanzitutto si prova che esiste un numero finito di relazioni da li gruppi.

Invariante 922 9z3 In variante

3) Mumford congettura per i gruppi semisemplici in caratteristica p una essa divide il piano in due parti: si indica con X una.delle due e si restringeforma debole della completa riducibilità delle rappresentazioni (gruppi G al sottogruppo che muta X in se stesso. Il gruppo G opera transitivamentegeometricamente riduttivi ) e Nagata mostra come da tale ipotesi segua sui punti e sulle rette di X. I no l tre su X si può dare una nozione di distan­una risposta affermativa al problema di Hilbert. za fra i punti che risulta invariante rispetto alle trasformazioni di G. Espli­

4) La congettura di Mumford è provata (Haboush, Formanek-Procesi). citamente, dati due punti P, Q c X si consideri la retta r tracciata per essi cLa controparte geometrica della teoria algebrica esposta consiste nello stu­ siano M, N i due punti segati da r sulla conica C. Il birapporto (PQMN) dci

dio dell'equivalenza degli oggetti, su cui opera il gruppo dato, tramite gli inva­ quattro punti P, Q, M, N è chiaramente un invariante, rispetto al gruppo G,rianti trovati. I teoremi principali sono dati ancora da Hilbert e generalizzati della coppia PQ. Per ottenere una nozione di distanza basta prendere comeda Mumford. Ecco un'idea molto generale di questa teoria; sia G un gruppo definizione PQ = h1og(PQMN), essendo h una costante positiva se P è reale,riduttivo che opera su uno spazio vettoriale V; un vettore ve V si dice semi­ e immaginaria per C immaginaria. Analogamente l'angolo fra due rette r ed s

stabile se esiste una forma omogenea f di grado ) o s u V i nvariante rispetto si può ottenere dal birapporto fra le due rette e le due tangenti a P tracciate dal

a G, con f(v)~o. I ve t tori non semistabili vengono detti «forme nulle». punto d'intersezione di r ed s. La subordinazione delle geometrie non-euclidee

I punti principali sono: alla geometria proiettiva è valida anche nel caso della geometria euclidea; in

x) I vettori semistabili V" sono un aperto di V, invariante rispetto al grup­questo caso si tratta di lasciare fissa la retta all'infinito e su di essa i due punticiclici (x, i, o), (i, x, o). In tutti i casi vi è un ente da lasciare fisso per ottenere

po G.z) L'anello degli invarianti è l'anello delle coordinate di una varietà alge­

il gruppo dei movimenti della geometria (tale ente è detto «assoluto» (Cayley)).

brica W e la proiezione rr : V"'~ W è un quoziente, ovvero xr è sopraQuesto approccio alle geometrie, tramite lo studio del gruppo delle tra­

e Uc: W è aperto se e solo se rx x (U) è aperto.sformazioni compatibili con i dati, portò Klein a formulare un programma ge­nerale (relativo allo studio delle geometrie ) nel lavoro Vergleichende Betrach­

3) Due punti a, b e V"' hanno gli stessi invarianti se e solo se le chiusuredelle orbite di a e di b si intersecano, cioè GaAGb~ g .

tungen uber neuere geometrische Forschungen [x87z]. Tale programma è notosotto il nome di programma di Erlangen e può cosi essere riassunto: il dato

4) Un vettore v è una «forma nulla» se e solo se oc Gb; inxLuesto caso esi­ iniziale di una geometria è un gruppo G operante su un insieme X e lo studioste un sottogruppo ad x parametro H di G tale che oe Hb. della geometria consiste nell'analisi delle proprietà delle «configurazioni» in

I teoremi ora enunciati hanno numerose applicazioni geometriche che qui X, invarianti rispetto a G. In pratica G viene sempre ottenuto come il gruppo

non è possibile riportare [cfr. Mumford x965]. delle trasformazioni di X che fissano una qualche configurazione data a priori :«un assoluto». Naturalmente in questa generalità il programma è eccessivamen­te astratto e impreciso. Scendendo a condizioni piu precise su G e su X si ot­

Le geometrie non-euclidee e il programma di Erlangen. tengono importanti teorie matematiche:

Tornando a considerazioni piu elementari che sono state di importanza fon­x) la teoria dei gruppi continui, dei gruppi di Lie e degli spazi simmetrici ;

damentale per lo sviluppo della teoria dei gruppi di trasformazioni e dei loroz) la teoria dei gruppi finit i e le geometrie combinatorie;

invarianti, uno dei grandi successi della geometria all'inizio del secolo scorso fu la 3) la teoria dei gruppi algebrici e delle varietà abeliane ;

scoperta dell'indipendenza del quinto postulato di Euclide dagli altri postulati.4) la teoria delle funzioni automorfe e dei gruppi aritmetici.

Tale postulato afFerma che, dati comunque una retta r e un punto P fuori di Prima di parlare del contenuto di tali teorie è opportuno discutere altri sviluppi,

essa, è possibile tracciare (in modo unico) la parallela ad r per il punto p. di natura puramente algebrica, fondamentali per comprendere piu compiuta­La scoperta dell'indipendenza di tale postulato avvenne tramite la costru­ mente gli altri aspetti che si presentano nelle teorie medesime. Essi verranno

zione effettiva di geometrie non soddisfacenti ad esso, che sono dette geome­ trattati nel prossimo paragrafo.trie non-euclidee ; per esse si possono presentare vari fenomeni : per P puònon passare alcuna parallela ad r oppure possono passarne infinite. Queste geo- lmetrie sono strettamente legate alla geometria proiettiva di cui si è parlato ne 8. L' a l gebra non-commutati va nell'Ottocento.) 4; le si descrive qui dal punto di vista di Klein [x8px].

La teoria di Klein si basa sulle considerazioni seguenti: data una conica C Si discute ora il contributo di t re algebristi del secolo scorso: Hamilton,

non degenere del piano proiettivo reale si considera il gruppo G delle proietti­ Grassmann e Clifford.

vità che la lasciano invariante. Se P è puramente immaginaria (geometria ellit­ La scoperta dei quaternioni da parte di Hamilton ebbe per l'algebra lo stes­tica) si indica con X il piano proiettivo reale ; se C è reale (geometria iperbolica) so impatto della scoperta delle geometrie non-euclidee in geometria. Hamilton

9z5 Invarsa(1( qInvariante 924

scopri che è possibile costruire dei numeri nei quali valgono formalmente le pro­guardo. Inoltre esso dà gli strumenti algebrici per trattare il calcol<> <lci s<>((t>

prietà usuali dei numeri reali eccetto la proprietà commutativa del prodottospazi. In particolare se si cerca di studiare l'insieme dei sottospazi <li <Ii»><»

(un tale oggetto algebrico è detto corpo numerico). Tali numeri, chiamati dasione k di V si osserva che, generando un tale spazio con k vettori v „q >2, . . . , q , ,

Hamilton quaternioni, per una ragione che apparirà subito evidente, si possonoil «vettore» z>i R ... Az>2 è determinato dal sottospazio a meno di uno scal »e» tt»

scrivere formalmente nel modo seguente: a»t +a>i+azj+azk dove a », a„a„a znullo e pertanto tale A-spazio corrisponde a un punto dello spazio pn>i< ((i«>P(A2V) dello spazio vettoriale A~V.

sono quattro numeri reali arbitrari, i, j, k sono simboli soggetti alle regole del s'

calcolo i ' = j = Az = — i , ij = k, Ai = j , j k = i,j i = — k, ik = — j, kj = ­ i. È facile L insieme dei k-spazi di V v iene pertanto a corrispondere ad un s<>((<>i<>

verificare che i quaternioni soddisfano le usuali proprietà; per quanto riguardasieme di P (A~U). Esso è in realtà una varietà algebrica, ovvero è il lu<>g<> <I<

la divisione si osserva che (a«+a(i+azj +azk)(a» — a,i — a,j — azk)= a~+a,+ gli zeri di certi polinomi quadratici che si possono scrivere esplicitamente. ()<>t

+a~~+a~ ~da cui si deduce facilmente la regola per la divisione. Dato un quater­sta teoria è strettamente legata al teorema fondamentale della teoria degli iuv; i

nione q = a»+a,i+az''+azk si Pone q = a« — a,i — a,j — azk e si verifica cherianti di Cayley (cfr. ) g) in quanto le coordinate pluckeriane si possono i»(< >

q = q, q,q, = q,q, e qq = N(q) = a<>+ a, + az+ as è un numero reale (detto norma).pretare come invarianti di n vettori a A coordinate rispetto a Sl (A K).

Un'importante applicazione di questo calcolo si ha considerando l'insieme A Il calcolo di Clifford è una sintesi delle idee di Hamilton e Grassmann. I ):<"dei quaternioni tali che a» = o. A può essere geometricamente pensato come

io spazio a t e ditueosio i, co i 'usuaie dista za data da zz>q<q,— qq ) >qua.tet­ to uno spazio V con una forma quadratica Q( tv) (scritta per esempio in u<>:<

nioni q con norma i si possono pensare come una sfera a tre dimensioni. Sebase Q(x„ . .., x„) = Zaixzi), si costruisce da V un'algebra con la regola f<>n<l;i

p c A, N(q) = 1, si ha qpq ' c A ; q induce in tal modo una trasformazione orto­mentale di calcolo vz= Q(v). In questo modo si dimostra che si ottiene un':<I"

gonale nello spazio A a tre dimensioni. Si mostra allora che ogni trasformazionegebra che ha come base i monomi e,,e,,...ei„,i,< i , « . . . i i , se(e,, „ e „ ) i <»>:<

ortogonale che mantenga l'orientazione dello spazio è ottenibile in tale modobase di V. Se Q=— o si ritrova l'algebra di Grassmann; ma, ad esempi<>, s<

2

esattamente da due quaternioni. Q(x„..., x„) = ­ Zxi si trovano generalizzazioni dell'algebra dei quaterni<>ui,a quale coincide con l'algebra di Clifford nel caso n =z.

Il contributo di Grassmann è molto importante; egli ha dato un metodo cheIl calcolo di Clifford si è mostrato particolarmente fruttuoso: esso ha d:>(<>

si è mostrato fruttuoso per effettuare, con i sottospazi di uno spazio vettorialeorigine alla nozione di gruppo spinoriale che ha avuto un'interessante inter(>r<tazione in ineccanica quantistica. L'idea della costruzione risiede nel fatto «h<

U su K, calcoli di natura algebrica e geometrica. L'idea algebrica di Grassmannè semplicissima; si provi a definire un prodotto fra le coppie v, zo di vettori di

l'algebra di Clifford possiede un gruppo di automorfismi, generato dal grupl><>

V indicato con v Az<>(prodotto che non sarà piu in V), con la regola che se dueortogonale della forma quadratica; tali automorfismi sono dati coniugan<l<>

vettori sono dipendenti, il loro prodotto è o (tale calcolo per n = g era già notol'algebra di Clifford tramite elementi che generano appunto il gruppo spinori;>1«.

ma era considerato un prodotto interno allo spazio vettoriale Rz). La regola(Si confronti la discussione nel caso dei quaternioni ).

dà subito per 2>e V, tv Az>= o; d a c ui o = (z>+z<>) R (v+z<>)=<vAu>+z<> Rv ov­

vero vRzo = — z<>Rv. Se si calcola con questa regola, usando una base e„ez, Completa questa breve rassegna la menzione di un teorema di Frobenii>s

..., 8„, ll prodotto z t, R vz R ... R ve, coil v, = ai,d (+ ... + ai„c„, . . ., 2>y ­— ai(8, +... + che è un importante complemento alla teoria di Hamilton:

+ ak»eq>, si o t t i ene t i Rvz R ... Av> ­— p ( ii iz...i(d) ei, Ae;, R ... Ae,, do ve 'l'EQRENA. Gli unici corpi numerici che si possono costruire su uno spazirr <lii >«. . . > 2

(i(iz...is), detta coordinata pluckeriana, denota il determinante formato con len-uple di numeri reali sono i reali, i complessi e i quaternioni.

colonne i„ iz, ..., i2 nella matrice A x n

aii aiz -" a i n 9. I gruppi continui.

Nello studio della geometria proiettiva e negli sviluppi del programma di

Pertanto l'algebra generata da V in t ale modo ha come base gli elementiErlangen l'attenzione dei matematici del secolo scorso era focalizzata su alcuni

ei, R . . . Aei con i , < i , « ... i i . La parte generata dai prodotti.di k vettori vie­modelli geometrici aventi gruppi particolari di trasformazioni. Verso la fine d<.l

ne denotata con A~V e si chiama potenza esterna k-esima di U.secolo però, sotto Pinfluenza di Lie, Engel, Ki l l ing, Cartan ed altri, i l punt<>

La possibilità di svolgere effettivamente questo calcolo simbolico permettedi vista si è sviluppato in una teoria generale che pone al centro delle proprie ri­

di sviluppare in maniera estremamente elegante le regole del calcolo con lecerche una classificazione, in un certo senso, di tutti i possibili gruppi e di tutt i

matrici e di spiegare la natura intrinseca di fenomeni che si presentano al ri­e possibili geometrie. Uno degli aspetti piu fruttuosi è stato lo studio dei gruppi

In variante 9z6 9z7 Invariante

dipendenti da parametri continui e piu in generale, come conseguenza dellosviluppo della topologia, quello dei gruppi topologici. C[G] di G si scrive in modo semplice. I suoi elementi sono della forma g uig,

i =1

Se G è un gruppo topologico si cerca, prima di tutto, di vedere se è possi­ (zie C, G = (gt,gs, ...,g„}). I l p rodotto si fa usando la legge di prodotto in­bile fare la media su G di una funzione su esso definita. Nel caso in cui G sialocalmente compatto la r isposta a tale quesito è positiva. Infatti esiste su G

terna a G. La teoria precedente implica che C [G] p+ (C)„,, ove k è il numeroi= t

una misura di Borei invariante rispetto alla moltiplicazione a destra fatta con delle rappresentazioni irriducibili di G di dimensioni n„n „ . . . , n<.elementi del gruppo. Tale misura è unica a meno di un fattore costahte (misura Questo teorema ha un'importante generalizzazione, dovuta a Wedderburn.di Haar). In particolare se G è compatto e opera con continuità su uno spazio Sia A un'algebra associativa e di dimensione finita su un campo F. Si supponevettoriale V di dimensione finita su C, si può operare la media su G di una for­ che in A non esistono elementi ago tal i che axa= o per ogni x e ' . I n t a l ima hermitiana su V e pertanto trovare una metrica hermitiana su U invariante ipotesi A è isomorfa alla somma diretta di algebre S;, dove Si (Di)„ 1 è l'al­rispetto a G Da ciò si deduce che G è un gruppo di trasformazioni unitarie gebra delle matrici ni x ni su un corpo Di (non necessariamente commutativo ).su V. Ritornando alla teoria generale, se G è un gruppo localmente compatto e

Questo fatto ha un'importante implicazione: se Wc: V è un sottospazio di commutativo, l ' insieme G delle sue rappresentazioni unitarie 1-dimensionaliV, invariante rispetto al gruppo G, e W~ è l'ortogonale a W rispetto alla forma assume in modo naturale una struttura di gruppo localmente compatto e si hahermitiana invariante, si ha la decomposizione V = W+ W~, o = WA W eJ in tal modo un'antiequivalenza all'interno dei gruppi localmente compatti,W~ è esso stesso G-invariante. Da questo segue che lo spazio V si decompone detta dualità di Pontrjagin. In particolare: 1 ) G = G; z) G è compatto se e solocome somma di sottospazi G-invarianti ed irr iducibili (ovvero privi di sotto­ se G è discreto; g ) esiste una misura di Haar p. su G e una misura j. su G inspazi propri G-invarianti ). In particolare questi risultati si possono applicare modo tale che f@f dP.= f<f dp,, dove, se pe G , f(p)= fsf rp dp. è la trasformatanel caso di un gruppo finito G con n elementi (in questo caso si pensa in G di Fourier generalizzata; 4 ) se Ha G è un sottogruppo discreto e G/H è com­la topologia discreta, e la misura di massa t /n in ogni elemento di G ). patto allora (G/H)a6 è discreto e G/(G/H) = 8 è compatto. Vale inoltre la

Lo studio degli spazi su cui G opera, ovvero delle rappresentazioni di G, formula di somma di Poissonè particolarmente facilitato dalla teoria dei caratteri, sviluppata da Frobenius­Schur per i gruppi finit i ed estesa da Peter-Weyl per i gruppi compatti. Se Z f(k) = Z f(k)

A@H kc (l'/A)G opera su uno spazio V e gc G, g induce una trasformazione lineare su V lacui traccia y(g) viene detta carattere della rappresentazione. Se G è compat­ ove f è una funzione definita su G e soddisfacente opportune ipotesi.to, con una misura di Haar p. di volume 1, si ha, integrando sul gruppo G, Uno dei casi piu interessanti nella teoria dei gruppi continui è la teoria

foyer(g)y1(g)= r e fcy1(g)ys(g) =o se y1~ys ove y1 e ys sono caratteri di dei gruppi continui dipendenti da un numero finito di parametri reali. Fu con­rappresentazioni irriducibili. Questa legge fondamentale di ortogonalità dei getturato da Hilbert (quinto problema della famosa lista) e provato da Gleasoncaratteri permette di svi luppare l'analisi armonica sul gruppo compatto G, e altri che ogni tale gruppo può essere reso analitico, cioè su un tale gruppo Ganaloga all'analisi di Fourier per le funzioni periodiche. Infatti l'analisi di Fou­ esiste una struttura di varietà analitica tale che le operazioni gruppali di pro­rier classica è relativa al gruppo moltiplicativo T = (u eC ~ ~x~= 1 }. Per tale dotto e inverso sono analitiche.gruppo le rappresentazioni irriducibili sono tutte 1-dimensionali e del t ipo La teoria di tali gruppi, detti gruppi di L ie, fu iniziata da Sophus Lie e+~x , essendo m un intero prefissato. L'ortogonalità fra i caratteri si riduce Killing alla fine del secolo scorso. Fu portata poi a grande sviluppo da Cartanin questo caso alla nota legge f~~e"'s e isd9 =o se n +m. e Weyl all'inizio di questo secolo e piu recentemente da Chevalley, Harish­

La seconda proprietà dei caratteri è la completezza; essa discende dalla Chandra e numerosi altri autori. La teoria di Lie è basata su un potente me­struttura algebrica dell'analisi di Fourier su G che può essere cosi descritta: todo infinitesimale, cioè la teoria delle algebre di Lie.sia C(X) l'algebra delle funzioni continue su G; su C (X) si può mettere una Si accenna ai punti essenziali di tale metodo. Prima di tutto si ricorda che,nuova moltiplicazione, la convoluzione data da (f ~g)(x) = f<f(xy ')g(y) dy. se su una varietà M si ha una famiglia ad un parametro di movimenti x'= $(t, x),Rispetto a tale moltiplicazione, gli ideali minimi dell'algebra C (X) sono iso­ ogni punto xeM percorre, al variare di t, una curva. Quest'ultima ha, permorfi ad algebre complete di matrici (C)ru e corrispondono a rappresentazioni t = o, un vettore tangente che descrive a livello infinitesimale il movimento. Unirriducibili del gruppo G. Infatti ogni rappresentazione irriducibile di G appa­ tale dato, cioè l'assegnazione di un vettore tangente a x per ogni xe ' , è notore in C(X) tante volte quanta è la sua dimensione e la somma di tutte le rap­ come campo vettoriale su M (se M è compatta tale dato si può sempre integrarepresentazioni irriducibili isomorfe è un tipico ideale minimale. Inoltre la som­ e corrisponde effettivamente a dare la velocità in o di un movimento effettivoma diretta di tutti questi ideali (C)„, è densa in C(X) r ispetto a varie topolo­ g(t, x)). Se G è un gruppo di Lie, esso opera come gruppo continuo di mo­gie naturali. In particolare se G è un gruppo finito, l'algebra di convoluzione vimenti su se stesso (per moltiplicazione, per esempio a destra) ; i campi di vet­

929 Invariniii «Invariante 9z8

la trasformazione lineare di g data da adx : y~ [x, y]. Dati poi x, ye q si <I< lil>itori velocità associati a questi movimenti sono esattamente quelli invarianti a sce (x,y) = Tr(adx.ady). In questo modo si viene a costruire una f<>r»»: l>idestra rispetto alla moltiplicazione per elementi di G. Dare un campo vetto­ lineare canonica su g, detta forma di Ki l l ing. Essa contiene le segucnii i»l<>lriale invariante vuoi dire, sostanzialmente, dare la velocità solo nel punto r e G mazioni: r ) g è risolubile se e solo se la forma di Kil l ing è nulla; z ) <i i s<e trasportarla poi a tutto G per invarianza. Pertanto i campi vettoriali invarianti misemplice se e solo se la forma di Ki l l ing è non degenere.formano uno spazio vettoriale di dimensione uguale alla dimensione di G. I La teoria di Cartan si basa su I ) e z) per arrivare alla classificazi<>n«<»»>campi vettoriali posseggono inoltre una operazione di moltiplicazione, detta pleta delle algebre di Lie semisemplici sui complessi e sui reali. Si acce»»;( I» <parentesi di Poisson, scritta [X, Y] ; se si pensa ai campi vettoriali come operatori vemente alle idee principali di tale classificazione: se g è un'algebra di l, i«s<.differenziali in effetti [X, 'Y] = XY — YX. Tale composizione rifiette l'eventuale

misemplice complessa e xcg è un e lemento scelto in modo abbasta»z<( l <non-commutatività dei movimenti effettivi associati ai campi vettoriali. In par­ticolare i campi invarianti sono chiusi rispetto a questa operazione e formanopertanto un'algebra non associativa G di dimensione n, la cui struttura algebrica I I I Isoddisfa le seguenti proprietà:

XI X( I Xl

r ) [X, Y] = ­ [ Y, X] (anticommutatività) ;z) [[X, Y], Z]+[[Y, Z], X]+[[Z, X], Y] = o (identità di Jacobi). 2 I

B(Un'algebra soddisfacente tali proprietà viene chiamata algebra di Lie. L'idea Xl-l Xl

fondamentale è che l'algebra di Lie associata a G contiene gran parte dell'in­formazione data da G o meglio dalla componente connessa G<' di r in G, Que­ I I 2

C(sto principio non è altro che una forma rafFinata del metodo basilare di tradu­ X< Xa X( ( X(

zione infinitesimale e differenziale dei problemi di movimento o evoluzione (ov­vero di sistemi meccanici ). La sua esplicitazione porta ai teoremi seguenti :

I I I Ir) Se G, H so no g ruppi d i L i e , g , f l l e r i s pettive algebre di L ie e

q : G~H un omomorfismo, allora q induce un omomorfismo d<i> : g~fl XI XI X( I X(

di algebre di Lie.z) Ogni algebra di Lie g (d i d imensione finita) è associata ad un unico

gruppo di Lie G connesso e semplicemente connesso. Ogni altro gruppo I I I I I

di Lie connesso G' associato a g è della forma G/H dove H è un sotto­gruppo discreto nel centro di G (H è isomorfo a rri(G')).

8) Se G, H, g, f) sono come sopra e G, H sono semplicemente connessi,ogni omomorfismo g : g~f) è il differenziale d<i> di un unico omomorfi­ I I I

smo <p : G~H di g ruppi di L ie . EI

L'analisi successiva dei gruppi (ovvero delle algebre) di Lie comporta l'in­troduzione della nozione di r isolubilità e semisemplicità. La definizione digruppo risolubile è stata già data nella discussione della teoria di Galois (cfr. I I I I I I

E,) r ). Un'algebra di Lie g si dice risolubile se esistono sottospazi g a g,a g, a. ..ag„ = o tali che [g,, g<]cg;+I. Si puè mostrare inoltre che G è risolubilese e solo se g lo è. I I 2 2

In generale, dato un gruppo di Lie G, esiste un sottogruppo normale H F<

risolubile e massimale rispetto a tale proprietà; tale sottogruppo viene chia­mato radicale di G e G si dice semisemplice se H = i. Si ha una nozione ana­ 3 I

loga per le algebre di Lie in cui un sottogruppo normale è sostituito da unideale fi di g (ovvero un sottospazio per cui [g, f)]<:fi). Figura 5.

Lo studio della semisemplicità è basato su un metodo invariantivo fon­Diagrammi di Dynkin per classificare le algebre di Lie semplici.damentale dovuto a Kil l ing e a Cartan. Se xe g (un'algebra di Lie ), sia adx

Invariante 930 93' Il>v>ll'I ill>lu

nerale, lo spazio fl = (yeq; [x, y] = o} è una sottoalgebra di Lie a moltipli­ un grande contributo al programma di Er langen. I l I>ri»><> < «<>s(il»il<> <I;>II;>cazione nulla, detta algebra di Cartan di g. Per essa si ha: determinazione di tutte le algebre di Lie semplici sui n»>»«ri r«;<li < I>«.»»>(<>

i ) la forma di Ki l l ing su II è non degenere; l'analoga classificazione dei gruppi. Tale teoria è basata sul l«ll<> «I><»»';<II <

2) vi è un numero finito di forme lineari su Il : xi, ..., x», dette radici di g, bra q semisemplice reale resta tale se complessificata (ovvero q' >1C i" s<»<i:«»>

e un numero finito di vettori non nulli x„ . . . , x> tali che ad (h) xi = xi (h) x; plice). Ne segue che per la classificazione basta ricercare, p«r <>g»i ;>Ii < I».><I>

per ogni i e ogni he fI; Lie g' semisemplice complessa (quindi data dalla classificazi<m«pn «<I<»«h

3) le radici generano il duale II~ di I l sui reali. tutte le algebre reali il che dànno i3' per complessificazionc. 'l'<<le ri«:'.><'~«' »>

effetti possibile e dà luogo ad una classificazione completa. Pcr cs«>»I>i<> I>< >Scelta una R-base )1, ..., p„di Il~ fra le radici, si può dare una nozione di gruppo SO(m, C) si ottengono come forme reali i gruppi ort<q«»»>li » I;><>< >

positività per gli elementi di 'fl~ un elemento di coordinate (X„..., X„) essendo k »>

positivo se e solo se la prima coordinata non nulla è positiva. A tale nozione sialle forme quadratiche sui reali px; — g x , . Per m= 4, k = 3 si h;< il g>»I>I><>

i = 1 i= k + lpuò associare quella di radice semplice, ovvero una radice che non si possa speciale di Lorentz che è a fondamento della meccanica relativistic;>.spezzare come somma di radici positive. Si ottiene allora che le radici semplici Un importante complemento, dovuto a Weyl, è dato dall'osserv><zi<»>«. -I><,

xi, ..., x„sono una base di fI~ e, usando la forma di Ki l l ing su II~ (che è iso­ fra tutte le algebre di Lie reali g aventi una data g' come complessific;<»< v<»<morfo ad I I t r amite la f o rma d i K i l l ing stessa) si definiscono i numeri è una, unica, il cui gruppo di Lie reale associato è compatto. Questa i I:< I»;:,<.A,, = z(x;, xi)/(xi> xi ). Gli A;; sono interi : A;i = z e se i+ j si ha o A;i = o = Ai;, del cosiddetto «trucco unitario» di Weyl. Per esempio, la forma co»>I>;<l»> <I>oppure dei due numeri A,, e A,; uno è — i e l'altro è — i, — z o — 3. Sl(n, C) è SU(n, C), ovvero il gruppo speciale unitario delle matrici ;« I«< >

g) Si mostra che la matrice dei numeri Ai , detta matrice di Cartan, deter­ minante 1 che lasciano fissa la forma hermitiana gx,x; .mina completamente l'algebra di Lie. i =l

Il secondo grande contributo di Cartan è la risoluzione del probi«m;> <I< II:<Infine, per classificare le algebre di Lie semplici (quelle senza ideali) si classificazione degli spazi simmetrici. Uno spazio simmetrico è una v:>ri< I <

costruisce un diagramma classificante (diagramma di Dynkin ). Il procedimen­ connessa X con una nozione di distanza fra i punti e tale che : i ) le trasl<>r»»:to è i l seguente: si disegnano p punti, corrispondenti alle radici semplici zioni su X che lasciano la distanza invariante (isometrie) operano tr<»>siliv:>xi, ..., x„; si unisce xi e x, con A;IA;i l inee e si attribuisce al punto xi i l peso mente sui punti; z ) dato comunque un punto p e X esiste ununica «sim»>< i> i >»(x;, xi). Si vede cosi che, pur di normalizzare i pesi, i diagrammi di Dynkin di X rispetto a p, cioè un'isometria rc : X~X che fissa p e scambia ogni <Ii«connessi (i quali corrispondono alle algebre di Lie semplici ), sono dati dalla zione uscente da p con l'opposta.classificazione riportata in figura 5. La definizione data include le strutture geometriche note e la classific;>zi<>»<

Nei primi quattro casi l è un intero variabile da i a infinito e le quattro di tali spazi è, in questo senso, la classificazione di un'ampia classe di g«<»»<classi infinite corrispondenti sono associate ai gruppi «classici» ovvero: trie. La classificazione fornisce pertanto uno dei maggiori contributi al progr:»»

Sl(l+ r, C) il g r uppo speciale lineare delle matrici(l+ i ) X (l+ i ) con ma di Erlangen.determinante i . Uno spazio simmetrico si ottiene, a meno di fattori del tipo spazio cuclid«>

Bi SO ( z l+ i , C) i l g r u ppo speciale ortogonale delle matrici ortogonali o circonferenze, come quoziente di un gruppo di Lie semisemplice G m<>1l«I<>

(zl+i ) x (z l + i ) a determinante i (ovvero che lascia­ un sottogruppo compatto H, ottenuto dall'insieme dei punti fissi per un a»1<>­

no invariata una forma simmetrica ), morfismo S : G~ G d i o rd ine z. Pertanto la classificazione degli spazi sim»><

Ci Sp(zl, C) i l grup p o simplettico delle matrici che lasciano inva­ trici si ottiene dalla classificazione dei gruppi di Lie e dei loro automorfiis»>i.

riata una forma antisimmetrica. Ad esempio si consideri il gruppo SO (n, R) e l'automorfismo S dato dalla «<>­D< SO(zl, C) i l grup p o speciale ortogonale delle matrici ortogonali niugazione con la matrice

zlx zl a determinante i .

Le rimanenti cinque algebre, dette algebre eccezionali, possono essere co­struite considerando delle strutture algebriche piu complesse (numeri di Cay­ ove I„è la matrice unità h x h. Si prova facilmente che se si denota con II i lley, algebre di Jordan eccezionali ) . Dei quattro tipi di gruppi infiniti i l t ipo sottogruppo fissato da &, lo spazio simmetrico SO (n, R)(H si può identific;»<SO(zl+ i, C) non è semplicemente connesso. I gruppi semplicemente connessi alla grassmanniana degli h-piani di R".ad esso associati sono costruibili a partire dalle algebre di Clifford. Un altro importante esempio [cfr. Siegel 196g] è dato dalla geometria si>»­

Vi sono due importanti passi successivi nella teoria di Cartan, comportanti plettica, la quale fornisce l'analogo multidimensionale del modello di Kl«i»­

Invariante 93z 933 Invariante

Poincaré della geometria iperbolica. Si considerano le matrici n x n della forma zioni algebriche. L'importanza di tali gruppi è duplice : da una parte essi sonoM = A+iB (A , B matrici reali), tali che M' = M e B è s immetrica positiva. legati alla geometria algebrica su un campo qualunque ; dall'altra, scegliendo perSu questo spazio di matrici opera un gruppo, associato al gruppo simplettico, K un campo 6nito, permettono di ottenere classi di gruppi semplici finiti. Lodato dalle trasformazioni del tipo: studio di gruppi finit i che 'provengono da gruppi classici, cioè le classi A,,,

UM+V /U U B„C„ D„ r i sale a Galois, Jordan, e piu sistematicamente a Dickson(che stu­M~

TM+W (T Wcon

( e Sp(zn, R). diò anche G, ), Dieudonné, Artin.Si riassumono rapidamente i punti piu signi6cativi degli sviluppi piu re­

Sul medesimo spazio di matrici è possibile dare una metrica in modo che il centi di tale teoria: r ) Chevalley mostra che le algebre di Lie semplici su Cgruppo considerato sia il gruppo delle isometrie. posseggono un'opportuna base, con legge di moltiplicazione a coefficienti in­

Una ulteriore direzione di studio di geometria, nel senso di Klein, viene teri, che permette di definire i gruppi «di tipo Lie» anche su anelli commuta­direttamente dai lavori di Weyl sui gruppi di L ie compatti, nei quali si rico­ tivi qualunque, in particolare su campifiniti. Tramite tale costruzione si ot­nosce l'importanza del gruppo W (gruppo di Weyl) generato dalle riflessioni tengono nuove classi di gruppi semplici 6niti (corrispondenti ai tipi eccezionalidello spazio euclideo g~ (f) algebra di Cartan di un'algebra di Lie g semisem­ di algebre di Lie ). z) Borei mostra l'importanza dei sottogruppi connessi ri­plice) rispetto agli iperpiani associati alle radici. W è un gruppo f inito che può solubili massimali (sottogruppi di Borei ) per la teoria di struttura dei gruppiessere descritto in vari modi ; ad esempio W = N(T, ove T è un t o ro mas­ algebrici. 3) La classificazione dei gruppi semisemplici in ogni caratteristica ri­simale del gruppo compatto associato a g ed N il suo normalizzatore. Lo studio sulta analoga a quella nel caso complesso (Chevalley). y) Bruhat trova un'im­dei gruppi generati da riflessioni fu sviluppato da Coxeter e si ricongiunge ad portante decomposizione per un gruppo di Lie semplice G; risulta G = Q Bv)B,un altro 6lone algebrico-geometrico che può, a pieno diritto, considerarsi par­ W

ove B è un sottogruppo di Borei e u) varia fra i rappresentanti del gruppo dite del programma di Erlangen. Si tratta dello studio dei poliedri regolari e delladecomposizione dello spazio secondo «pavimentazioni regolari» [per maggiori Weyl del toro massimale contenuto in B, 5) La decomposizione di Bruhat, lc

ragguagli storici e bibliografici confrontare Bourbaki 197I, capp. iv, v, vr ]. cui proprietà sono state assiomatizzate da Tits con la teoria delle BN-coppie,

Coxeter determinò tutti i gruppi finiti generati da riflessioni e fra essi i gruppiha importanti conseguenze. Fra esse la dimostrazione della semplicità di taligruppi e la classificazione dei gruppi parabolici, cioè quei sottogruppi P tali chccristallografici; la teoria è simile a quella clei gruppi di L ie, ma oltre ai grup­G(P sia una varietà proiettiva.

pi di Weyl compaiono altri esempi. Ci si limita qui a citare un notevole teoremadi Chevalley sugli invarianti di tali gruppi :

TEQREMA Se V è uno spazio vettoriale di dimensionefinita n sui reali e G r r. I g r u ppi classici.è un gruppo finito di trasformazioni ortogonali di U generato da rtJiessioni, alloral'anello dei polinomi su V invarianti rispetto a G è esso stesso un anello di poli­ Si accenna ora a una teoria che è un logico sviluppo della teoria degli inva­nomi in n variabili indipendenti. rianti del secolo scorso, cioè la teoria della decomposizione degli spazi tenso­

Questo teorema, che può pensarsi come una generalizzazione del teorema sulla riali rispetto ai gruppi classici. La teoria si può sviluppare a partire dalle se­

generazione delle funzioni simmetriche (cfr. ( i ) , ha interessanti conseguenze guenti osservazioni: se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita e Vo"'

per la teoria delle rappresentazioni dei gruppi di L ie. è la potenza tensoriale m-esima, il gruppo lineare di V ed il gruppo S d e l lepermutazioni su m elementi operano su Uo secondo le regole:

i ) g(viQxv»Ox... Qxv~) =g ( v,) Oxg(v,) Qx ... Oxg(v~) g e Gl ( V )io. Gru ppi algebrici. 2) (r(viOxv»8... Oxv~) = v,-s(i) Oxv~­1(o) Ox... Oxv -1(~) (r&S~.Come conseguenza della teoria dei gruppi di Lie si ha che se tl è un'algebra I due gruppi Gl (U), Sm generano due algebre di operatori su V@"' indi­

di Lie semplice sui complessi ad essa corrisponde un gruppo semplice G, det­ cate rispettivamente con U~ e Z~. Si ha il seguente risultato, dovuto inizial­to gruppo aggiunto, che può essere descritto come il gruppo degli automorfismi mente a Shur in caratteristica o e a De Concini e Procesi in generale:di (3. Esso è il sottogruppo del gruppo Gl (g) delle trasformazioni lineari di gche preservano la moltiplicazione; è quindi evidente che G è in Gl (q) il luogo TEQREMA. Z è l ' a lgebra di tutti gli operatori che commutano con gli ele­

degli zeri di un sistema di equazioni algebriche. Motivati da questo, e da altri menti di U e v i ceversa.

esempi che si vedranno in seguito, è possibile studiare i gruppi di tale natura, Nel caso che V sia uno spazio vettoriale su di un campo F di caratteristica o,cioè sottogruppi di GI (n, K) (essendo K un campo arbitrario) de6niti da equa­ questo teorema permette di studiare la decomposizione dello spazio V™ r i­

Invariante 934 935 Invariantc

spetto ai due gruppi Gl (V) e S~. Tale studio si può fondare sulla teoria di curva piana data alla fine del ) 4, e se ne precisa il significato topologico. Ci siYoung del gruppo simmetrico. Le rappresentazioni di S p o ssono essere de­ ponga per semplicità nel caso in cui la curva P sia priva di punti doppi; in t;ilscritte mediante tabelle. Data una tabella della forma caso l'insieme dei suoi punti con coordinate complesse forma una superf i ci

compatta orientabile Z, detta superficie di Riemann. Una tale superficie pu<>essere classificata topologicamente (cioè ha la forma ) come una ciambella cong buchi, ove g è esattamente il genere di F dato proiettivamente (cfr. fig. 6).Il legame fra topologia e struttura proiettiva si arricchisce ancora di piu con lateoria delle funzioni algebriche su C. Si hanno i famosi teoremi:

r) Lo spazio $ (L) dei differenziali (di prima specie) algebrici su P e senzapoli ha dimensione g.

z) Sia V, lo spazio delle funzioni che, su dei punti Qi , Q e Pi Pt.

con un totale di m caselle, la si riempia con i numeri i, z, ..., m in modo tale che preassegnati su P, hanno poli di ordine al piu m„ . .., ma e rispettivamente

i numeri siano crescenti sulle righe e sulle colonne. Una tale tabella viene dettazeri di ordini almeno n„. . ., n> (e nessun altro polo ). Sia V, lo spazio dei

standard. L'insieme delle tabelle standard di una forma preassegnata può es­ differenziali che su Q„. .., Q,, hanno zeri di ordine almeno m„ . . . , ma esu P„. . . , Pt, poli di ordine al piu n„. . . , nz. Dette d, e d, le dimensionisere preso come base di una rappresentazione irriducibile di S~. Ogni rappre­

sentazione irriducibile di S è a ssociata alle tabelle di data forma. Le rap­di V, e Va r ispettivamente si ha d,— d,=Km,— Zn,— g+i .

presentazioni irriducibili di S~ che appaiono in V" sono esattamente quelle in Questo teorema di Riemann-Roch permette di fornire per ogni curva alge­cui la prima riga possiede al piu n elementi (n = dim V). In corrispondenza di brica un modello proiettivo canonico, ovvero l'equivalenza analitica fra curveuna tale rappresentazione di S v i è una rappresentazione irriducibile di Gl (V) coincide con l'equivalenza proiettiva fra i modelli canonici.descritta ancora dalla stessa tabella. In questo caso però per ottenere una base 3) Fissata una curva chiusa y su una superficie di Riemann Z si integrinodella rappresentazione si deve riempire la tabella con i numeri i, z, ..., m, in su y i differenziali di prima specie; si ottiene in questo modo un elementomodo tale che i numeri su ogni riga siano strettamente crescenti mentre sulle dello spazio duale Qa (C) di $(P). Le forme associate a tutte le curvecolonne siano solo non decrescenti (si ammette cioè la possibilità di ripetere un chiuse formano un sottogruppo X l ibero su zg generatori. Si fissi su Zindice). un punto base P, e, dati i punti P„ . . . , Pi. e Q,, ..., Qt„si congiunga PSi può sviluppare una teoria analoga per gli altri gruppi classici. Per esempio e P; e P e Q con curve y, e y, (fig. p). Si calcoli poiper il gruppo ortogonale si deve considerare che lo spazio tensoriale Vo™ ol­tre alle simmetrie di Sm possiede altri operatori che commutano con il gruppo dv ­$ dv dv~ $ ( C)dato. Solo restringendosi al sottospazio di V" fo r mato dai tensori che si an­ i Yi ' Y'nullano rispetto alle contrazioni si ha una teoria, simile alla precedente, chemette in relazione il gruppo ortogonale con il gruppo simmetrico Gl i svi lup­

si ottiene una forma q> lineare su 9 (P). Si ha allora il seguente

pi della teoria accennata sono contenuti nel trattato Classical Groups di Weyl TEOREMA (Abel). ii>e 3f se e solo se esiste unafunzione algebrica su Z che ha[tq3il ]. In esso sono anche esposti i legami fra questa teoria e la teoria classica esattamente P,, ..., P< come zeri e Q,,..., Qi, come poli.degli invarianti ed in eRetti i teoremi citati vengono dimostrati util izzando l'e­ Si possono ora ricollegare questi sviluppi con il programma di Erlangen.spansione di Capelli che è stata a sua volta la base della teoria di Young. Una curva C di genere t ha un modello costituito da una cubica piana non

singolare di equazione y' = xspg>x+g,. La teoria delle funzioni analitiche su P

tz. In v a r ianti algebrico-geometrici, topologici e differenziali.

Vi è una direzione completamente diversa, nella ricerca degli invarianti,che si distacca notevolmente dalle idee del programma di Erlangen: si trattadella ricerca di invarianti nel caso in cui gl i oggetti in esame (varietà, spazitopologici, ecc. ) non abbiano un gruppo di t rasformazioni sufficientementegrande. Figura 6.

Per introdurre la discussione si ritorna alla definizione di genere di una Una ciambella con tre buchi.

936 937 Invarian toInvariante

coincide con la teoria delle «funzioni ellittiche». Infatti, detti xù, e rùs i due pe­9(P) f<dvhdso e identi6cato $(P) con S~(P) tramite essa, la sua parte al­

riodi ottenuti integrando il differenziale di prima specie dx/y sui due generatori terna prende valori interi su 3E. Da questo si deduce l'esistenza di numcros«

Yl ( se y del toro (cfr. fxg. 8) le funzioni algebriche su C si identificano alle fun­funzioni meromorfe su $~ (P) e periodiche relativamente agli elementi di ;i('.

zioni meromorfe sul piano, periodiche e di periodi xù, e cùs. In particolare leNe segue che la varietà analitica Ss (P)/3f. è in effetti una varietà algebrica

funzioni x e y si identi6cano rispettivamente alla funzione P (z) di Weierstrass (varietà jacobiana di P ). La teoria generale dei reticoli di periodi nello spazioC" per cui vi sono molte funzioni meromorfe periodiche è nota come « teoria

e alla sua derivata, ove delle varietà abeliane».I I I l

P(z) = ­ + Z j rù = llcùx+ mas',rl,mGZ. Si cita infine il teorema di Torelli che afferma che una curva P è individuata

~+p (z — pù) cù dalla sua varietà jacobiana J (P), pur di considerare su J (P) una struttura sup­plementare (la polarizzazione principale data dal divisore O ).

Inoltre la curva P si identi6ca analiticamente al gruppo quoziente del piano Si ritorni a considerazioni piu elementari. Presa una superficie chiusa Z, percomplesso modulo il sottogruppo generato dai due periodi. esempio immersa nello spazio a tre dimensioni, vi è una stretta relazione fra il

Nel caso in cui P è una curva di genere g) x vi è una funzione analitica uni­ suo genere ed un carattere differenziale locale della superficie: la curvatura. In­formizzante: vc : H~P. ove H = (zcC ~ Imz)o ) è i l semipiano superiore. La tuitivamente l'idea è la seguente: si guarda la superficie in un piccolo intornocurva C risulta essere il quoziente di H rispetto al gruppo G delle trasformazio­ di un suo punto ; tagliando la super6cie secondo piani ortogonali al piano tangen­ni analitiche di H che lasciano invariante rl. Interpretando H come piano iper­ te, si hanno curve sezioni con raggio di curvatura variabile. Fra esse ve ne saràbolico, tale gruppo è un gruppo discreto di isometrie e si può presentare alge­ una con raggio minimo r, e una con raggio massimo r„ la curvatura gaussianabricamente con zg generatori x„ y „ x„ y s , . . ., x«,y«ed una unica relazione è P = I /r,rs. Essa è Pertanto una funzione sulla suPerficie (immersa) che descrivex y x ty ' x x x ~~ ' „ .x y x ' y t = x. Inoltre si può pavimentare il piano iper­x xyx"x yx sys s ys " « « « in certo modo come la superficie si piega in ogni punto. Il teorema principalebolico con poligoni equivalenti e con zg lati i quali, tramite xl, coprono la su­ che lega questo invariante con il genere g già studiato è fornito dalper6cie di Riemann Z associata a C, con sole identificazioni sui lati, Anche inquesto caso si ha che le funzioni meromorfe su 8 coincidono con le funzioni TEQREMA (Gauss Bonnet) p do 2 2gmeromorfe su H e invarianti rispetto a G. 2 rr

Lo studio dei gruppi discreti di movimenti di H e delle funzioni per essiinvarianti (funzioni automorfe) è un campo molto vasto che ha profondi legami

Questo invariante p e il teorema medesimo ammettono profonde generaliz­

con la teoria dei numeri. Ci si limita ad osservare che fra i gruppi di movimen­zazioni. Il punto focale consiste nel poter calcolare la derivata tangenziale di un

ti di H v i è i l g r uppo l ' d e l le t rasformazioni del t ipo z ~ ( a z+ b )/(cz+d), vettore variabile su Z. Cosi si arriva alla nozione di connessione affine per unavarietà differenziabile. Dato un campo di vettori tangenti X, da considerare co­

ad — cb= x, con a, b, c, d interi.Le funzioni meromorfe su H invarianti rispetto a l' e soddisfacenti un'op­

me le direzioni della derivazione, si deve poter derivare un campo qualunque

portuna condizione all'infinito sono funzioni razionali di un'unica funzionel', e ottenere un nuovo campo VA.(V), detto derivata covariante. Gli assiomi so­

j(z) detta funzione modulare. Tramite la considerazione di funzioni ad essano tali da permettere di pensare V (la connessione affine) come un'operazione dai

))strettamente legate, Klein dette le formule risolutive dell equazione di quinto

I campi di vettori ai campi di vettori, con coefficienti forme differenziali (cfr.

grado; su tali funzioni si basa inoltre un"importante parte della teoria dei nu­l'articolo «Geometria e topologia», ( 5.4). Usando le classiche notazioni, cioè i

meri (teoria della moltiplicazione complessa). Gli argomenti sopra esposti tro­«simboli di Christofell», in coordinate locali si ha

vano la loro generalizzazione nella teoria dei «gruppi aritmetici»,Tornando al teorema di Abel, si cita una proprietà importante del sottogrup­

V ­ = QI',";.— dx,

po 5f.. Esso è un reticolo in $~(P) ; inoltre, considerata la forma hermitiana su

P, P,

PQs

Figura 8.Figura 7.

Il toro (superficie di genere t ) con i suoi due generatori.Esempi di curve sul toro.

Invariante 938 939 Invariante

Se si deriva due volte con tale connessione si ha La caratteristica di Eulero-Poincaré è solo il primo di molti invarianti es­senziali nello studio di uno spazio X. La teoria si può cominciare a spiega­re facendo riferimento ad un esempio semplice di carattere fisico, cioè il pro­blema dell'esistenza del potenziale: da un campo di forze f (p) si cerca di tro­

cioè vare una funzione P della sola posizione tale che f(p) = grad P. Fissato un pun­

, ò to p„ la P(p) si ottiene in generale integrando il campo di forze lungo una cur­V ' — =g a , , ­

òxi " òx. va C che unisce po e p. Il potenziale è indipendente da tale curva purché: r ) ilcampo sia conservativo; z ) non vi siano poli nel campo di forze; altrimenti

dove le a;,­= ZR,""~ dxi, dxi. sono forme differenziali di secondo grado. Il punto esso dipende da quante volte 8 si è avvolta attorno a tali poli.essenziale è che la matrice (a,") è un tensore (il tensore di curvatura Qi Riemann), In generale, su una varietà M si pone il problema dell'integrazione dellecioè si trasforma per cambiamenti di coordinate con le leggi dell'algebra multi­ forme differenziali. Dare una forma differenziale g di grado k su una varietàlineare. M vuoi dire, intuitivamente, assegnare un volume con segno ad ogni k-polie­

I coefficienti del polinomio caratteristico di tale tensore sono delle forme dro infinitesimo orientato e in modo tale che la variazione di tale volume siadifferenziali ci le quali hanno un carattere invariante particolarmente significa­ differenziabile (fig. ir) . Questo è, di fatto, un modo per assegnare una misurativo (come si spiegherà in seguito). Il teorema di Gauss-Bonnet si estende a ad ogni sottovarietà k-dimensionale immersa in M. Con i simboli usuali dell'a­varietà di dimensione qualunque, ma per spiegare questo punto è necessario nalisi, in coordinate locali x„ x „ . . . , x„ d e lla varietà, g è della formaritornare agli invarianti topologici delle varietà.

Si è già accennato al fatto che la superficie di Riemann di una curva di gene­ fi„ , ;„ ( x „ . . . , x„) dx,,ndx,,p,...ndx,,re g è ottenibile da un poligono di zg lati con opportune identificazioni sul bor­

i l<is«. ia

do. In generale si studiano gli spazi che si possono ottenere incollando fra loro e i simboli dx; verificano le regole formali dell'algebra di Grassmann (cfr. $ 8).lungo le facce piramidi di qualunque dimensione. Tali spazi vengono detti trian­ Per integrare $ bisogna assegnare un «cammino» di integrazione ovvero)

golabili. Se X è triangolabile, esso lo è in infiniti modi ed è per questo che as­ una sottovarieta k-dimensionale di M. Poiché l ' integrazione è un'operazione

sumono importanza capitale gli invarianti di X che non dipendono dalla trian­ suscettibile di essere spezzata, si possono dare come «cammini» tante k-pira­

golazione ma che sono calcolabili tramite una qualunque di esse Il piu sempli­ midi orientate in M. L ' integrazione delle forme differenziali è determinata dal

ce fra questi invarianti è un invariante numerico, detto caratteristica di Eulero­ fondamentale teorema di Stokes, che ora si i l lustra.

Poincaré, denotato con y (X) e calcolato nel modo seguente. Sia no, n„na, ..., n~ Un cammino o. di integrazione, di dimensione k ha un bordo naturale òil numero di piramidi di dimensione rispettivamente o, r, z, ..., m che appaiono ( e facce delle piramidi di tr), di dimensione k — r ; d'altra parte vi è una nozionel

naturale di differenziale di una formain una triangolazione di X (fig. 9) ; risulta allora y(X) = P( ­r)ini y (X) di­pende solo da X e non dalla decomposizione scelta. òf

E sempi o .dg=d g f; , ; ,dx;,n...r,áx;„)= g g — dx

) )ir* dx,,i ww d x , , . , .

Si consideri lo spazio X tratteggiato in f igura io. Per la prima decompo­ P ertanto, dato un cammino ri di dimensione k ed una forma $ di dimensionesizione si ha: np=j n , = i z , n a= g e g(X) = o. Per la seconda decomposizio­ k — r restano individuati i due numeri f d$ e f>, g. I l teorema di Stokes af­ne: no=y , n i = 6 , n z ­— z e sempre y (X) = o. ferma che i due integrali scritti sono uguali. Se ne deduce facilmente che, se $

Nel caso di una superficie di Riemann Z di genere g si verifica immediata­mente che y (Z) = z — zg. (Poiché la superficie è determinata dal genere, ci sidoveva aspettare a priori un'espressione di y (Z) tramite g).

= (topologicamente)

dim = o I 2 3

Figura ti Figura ro.

Esempi di m-simplessi o piramidi di dimensione m. Due spazi triangolabili con uguale caratteristica di Eulero-poincaré.

Invariante 940 94i Invariante

è una forma tale che dg = o (forma chiusa), il suo integrale sul bordo di uncammino è nullo. Il formalismo e la teoria che se ne deducono sono fondamen­

z) Teoria di Hodge. Se su M si considera una metrica riemanniana, que­sta permette di definire sullo spazio delle k-forme un operatore differenziale

tali in tu tta la moderna geometria.Un primo passo in questa direzione è la formalizzazione della nozione di

del secondo ordine A, detto operatore di Laplace-Beltrami. Le forme $ per

«cammino». Se X è uno spazio topologico, un k-simplesso di X è un'applica­cui Ag = o vengono dette forme armoniche e costituiscono uno spazio vetto­

zione continua o in X della piramide standard k-dimensionale h.r.­— ((x„..., x>) ~riale H~. Il teorema di Hodge asserisce che Z" = B @+Hi'. Nel caso di uno spa­zio simmetrico si può scegliere la metrica, e quindi A„ in modo che siano inva­

Z ( x -) o ii s : 5 ~ X . U n a c atena a coefficienti in un dato anello A èxi I, xs o)> <7 rianti; in corrispondenza si ottiene C~= H~.una combinazione lineare formale di simplessi: c = Ra o., a eA (spesso si as­ Si torni infine al teorema di Gauss-Bonnet. Sia M una varietà riemannianasume A = Z, Z/(p), Q, R o C). Il bordo ào. di un simplesso è la restrizione di oal bordo di b,>, il bordo di una catena c = Ra,a è dato da òc = Ra òa. Se ne de­

compatta di dimensione zn e sia (a;>)= (ZR,"s~ da,p,dxi.) = Q la matrice del

duce la nozione di ciclo, cioè una catena con bordo nullo, e quella di gruppi ditensore di curvatura. Q è antisimmetrica e se ne può costruire quindi lo pfaf­fiano K (cfr. ) g), che risulta una forma di dimensione zn; pertanto K può es­

omologia singolare dello spazio a coefficienti nell'anello A: H;(X, A) = grup­sere integrato su M e si ha r /(zar)."fstK =y (M).

po dei cicli di dimensione i, modulo il sottogruppo dei bordi.I punti fondamentali di tale costruzione sono : i) il passaggio dalla geome­

tria all'algebra, z ) la possibilità effettiva di calcolo di tali gruppi, i quali sonodi tipo finito (per A = Z), nel caso in cui X è un poliedro finito; 3) il fatto che

rg. Gl i s v i luppi della topologia algebrica e differenziale.

una varietà compatta si può costruire come un poliedro finito. In particolare,per un poliedro finito X, H; (X, Q) è uno spazio vettoriale di dimensione fi­

Le idee rapidamente esposte nel ) r z hanno dato luogo a vaste aree di ricer­

nita b (b.= o per i grande). Gli interi b; sono degli invarianti topologici e sica: topologia algebrica, algebra omologica, teoria dei fasci, ecc, Di esse si può

(chiamano numeri di Betti; essi sono legati alla caratteristica di Eulero-Poin­

dare solo un cenno. Si inizia dalla topologia algebrica: questa parte della ma­tematica si è sviluppata negli ultimi settant' anni ad opera di numerosissimi

caré dalla formula y (X) = Z( — i)'b;.Il legame fra i gruppi di omologia (che sono degli invarianti topologici ) e le

matematici. Il suo punto di partenza sono state le idee legate allo studio topo­logico delle superfici di Riemann: la classificazione, lo studio delle curve su di

forme differenziali è fornito dal famoso teorema di De Rham. Sia M una varietà esse, i rivestimenti e tutto quel materiale che, pur strettamente legato alla teo­compatta; se si integra una forma chiusa g di dimensione k sui cicli k-dimen­ ria algebrico-geometrica, si può trattare con metodi combinatori o di continuità.sionali, il valore dell'integrale dipende solo dalla classe di omologia dei cicli edè nullo se $ = dp (forma esatta). Si ottiene pertanto un omomorfismo j dello

Il tentativo di estendere i risultati, estremamente completi nel caso delle super­fici di Riemann, a varietà di dimensione piu elevata si è dimostrato un progetto

spazio Z /B", coomologia di De Rham delle forme chiuse modulo le forme esat­ di grande difficoltà e, nonostante i grandissimi progressi fatti, è ancora lontanote, nello spazio duale di Hi,(X, R) : (Z~/B~) ~H<(X, R)~. Il teorema di De dall'avere risposte soddisfacenti.Rham afferma che j è un isomorfismo.

Il teorema di De Rham acquista una prospettiva ancora piu significativa seGli invarianti topologici, costruiti per attaccare i problemi geometrici in og­

getto, sono molteplici. Prima di tutto vi sono i gruppi di omologia singolare asi considerano dei casi speciali e i successivi sviluppi. cui si è accennato nel paragrafo precedente e i gruppi di coomologia costruiti

i) Se M è uno spazio simmetrico la teoria risale a Cartan, il quale ha provato in modo duale; in secondo luogo i gruppi di omotopia ir, (X) di uno spazio to­che detto C~ lo spazio delle k — forme differenziali invarianti rispetto al gruppo pologico. Essi sono definiti come applicazioni continue di una sfera S' ad i­delle isometrie, si ha Zt ' = Bi'O+Ci. dimensioni in X a meno di una equivalenza, detta omotopia. L'omotopia pre­

scrive come equivalenti due applicazioni f,g : S'~X s e esiste una deforma­zione continua F (x, t), con xcS ' , t pa rametro variabile in [o, r], tale che

+///////F(x, o) = f(x), F(x, i ) =g (x). I gruppi di omotopia sono invarianti che con­tengono molte informazioni sulla geometria di X; ma sono estremamente diffi­cili da calcolare. Solo informazioni parziali, ad esempio, sono note per i gruppidi omotopia delle sfere.

L'utilizzazione di tali gruppi per i problemi di classificazione comporta unaserie di questioni, alcune insolute. La piu famosa congettura in questa direzioneè dovuta a Poincaré: se X è una varietà orientabile n-dimensionale equivalente

Figura xr. omotopicamente ad una sfera, è vero che X è una sfera>k-poliedro infinitesimo sulla varietà l l f. I risultati in questa direzione sono sorprendenti ; non è nota la risposta per

94z 943 InvarianteInvariante

n = 3 e 4 mentre per n) 5 la r isposta, dovuta a Smale, è affermativa. Inoltre dipende dal descrivere l'eventuale spazio classificante e nel calcolarne la coo­

se si pone l'attenzione sull'asserzione «X è una sfera» ci si rende conto che mologia e l'omotopia. Uno degli esempi piu signi6cativi è dato dal teorema di

essa si presta a varie interpretazioni. X può essere una sfera nel senso pura­classi6cazione dei 6brati con.gruppo strutturale G, i quali possiedono uno spa­

mente topologico, cioè esiste un'applicazione X~S" biunivoca e continua (un zio classificante, denotato con B<. Nel caso in cui G sia un gruppo di Lie com­

omeomorfismo ). X può essere una sfera nel senso differenziabile, cioè esiste patto è possibile calcolare la coomologia di B< (teorema di Chern-Weil ) e per­

una applicazione X~S" b iunivoca e differenziabile insieme alla sua inversa tanto calcolare la teoria delle classi caratteristiche corrispondenti. Questo teo­

(un diffeomorfismo). Le due asserzioni sono equivalenti per n(7 ma per n) 7 rema è legato a quello sugli invarianti dei gruppi di ri flessioni (cfr. $9). Leesistono delle varietà omeomorfe ad S" ma non diffeomorfe [Milnor i956] ; ta­ applicazioni geometriche che se ne deducono sono molteplici: dallo studio del

li varietà vengono chiamate sfere esotiche. cobordismo all'analisi delle singolarità dei campi vettoriali e alla classificazione

Una delle tecniche geometriche piu fruttuose nello studio di queste que­ delle immersioni di una varietà in un'altra.

stioni è stata la teoria di Morse ed i l cobordismo. Uno dei teoremi piu interessanti in questa direzione è il teorema di periodi­

L'idea della teoria di Morse è la seguente. Su una varietà X sia data una cità di Bott. Tale teorema asserisce che i gruppi di omotopia ir; (SU(n)) delfunzione f (detta funzione di Morse) le cui singolarità (punti critici) siano non gruppo unitario speciale sono periodici per n>)i. In efletti rr; (SU(n)) = o per

degeneri (ovvero se i pari e rr;(SU(n)) = Z per i dispari (sempre n>) i ). Un'altra ma piu complessaàf periodicità vale per il gruppo ortogonale e simplettico.

= 0 s = I ) 2 > . . . ) nòx; „ Si può riprendere ora il discorso fatto sul tensore di curvatura di Riemann ;

i coefficienti o.; del suo polinomio caratteristico sono forme differenziali chiusein un punto di coordinate p=— (xi, ..., x„ ) allora la matrice hessiana che corrispondono in coomologia alle classi caratteristiche del fibrato tangente

alla varietà riemanniana data.ò2fòx,òx,. „

è a determinante non nullo ). Se un numero c non è un valore assunto da f neir4. Alg ebra omologica e teoria deifasci.

punti critici (valori critici ), la parte X' di X dove f ha valore (c è una varietàcon bordo (parte del bordo di X e la superficie di l ivello f(x) = c in X ). Il

L'algebra omologica è stata sviluppata in primo luogo per calcolare gli in­varianti che sorgono in topologia algebrica. Essa ha avuto, però, importanti ap­

punto fondamentale è la descrizione di come varia X' quando c passa attraverso plicazioni in numerose aree della matematica : algebra commutativa, geometriaun valore crit ico. Se ci ( c ~ e X ' )+X '«contiene un solo punto critico p, allora algebrica, teoria dei numeri, ecc.X'~ è omotopicamente equivalente allo spazio ottenuto attaccando ad X' i un

disco di dimensione pari al numero degli autovalori negativi della matrice hes­Le nozioni fondamentali dell'algebra omologica, che formalizzano le pro­

prietà algebriche dell'omologia degli spazi, sono quelle di complesso algebricosiana nel punto p. Con tale descrizione è possibile analizzare come una varietà e relativa omotopia. Un complesso è una successione di gruppi abeliani edè costruibile attaccando dischi.

La teoria accennata è legata alla teoria di Thom del cobordismo. Due va­ omomorfismi ... ~ C~ ~ C~ i '~ C~ e ~ . tal i che ò„ , o à„= o per

rietà senza bordo X, Y, d i d imensione n, si dicono cobordanti se esiste una ogni n.

varietà W di dimensione n+i avente come bordo XU Y. La ' teoria di Morse Il gruppo Z; = Kerà; è detto il gruppo degli i-cicli e B, = Imà;+, è detto

mostra come tutte le superfici di livello di una funzione di Morse sono cobor­ gruppo degli i-bordi; infine Hi = Z,/B, è l'omologia del complesso. Se H; = o

danti fra loro; viceversa se XU Y è il bordo di W, sulla varietà W si può co­ per ogni i si d ice che il complesso è una successione esatta.

struire una funzione di Morse di cui X e Y s iano le superfici di livello per i Tali dati riflettono algebricamente svariate situazioni geometriche ed uno

valori o ed i . .

dei primi compiti dell'algebra omologica consiste nel fornire metodi di calcolo

La possibilità di rendere algebricamente calcolabili i problema' di cobordismo sui complessi. Nel cercare di sviluppare tali metodi è stato necessario introdurre

è dovuta ad altre idee fondamentali della topologia algebrica: le idee di spazio nuovi invarianti e nuove costruzioni; la piu importante è la nozione di fun­

classificante e di classi caratteristiche. Esse si fondano sui seguenti metodi: tore e dei suoi satelliti. La situazione tipica è la seguente: si parte da una «ca­

i) Classificare oggetti geometrici su uno spazio X tramite le classi di omotopia tegoria abeliana» di; ovvero una classe di oggetti che abbia le stesse proprietà for­

di applicazioni di X in uno spazio fisso Y detto lo spazio classificante della si­ mali della classe dei moduli su un anello, le rappresentazioni continue di un

tuazione in oggetto. z ) Associare agli oggetti geometrici alcuni invarianti coo­ gruppo topologico, i fasci di moduli, i fasci coerenti su una varietà algebrica o

mologici, le classi caratteristiche, ottenute dalla coomologia di Y a p a r t i re analitica, ecc. e i loro morfismi. In d( ha senso la nozione di complesso e di suc­

dall'applicazione classi6cante f : X~ Y. Pertanto l'applicabilità di queste idee cessione esatta, ecc. Successivamente su dl, si considera un «funtore semiesat­

Invariante945 Invariante

to» F, cioè un'applicazione che ad ogni oggetto XeA associa un oggetto F(X) Data una superficie algebrica Z i suoi invarianti fondamentali si possonodi un'altra categoria abeliana 9 e ad ogni morfismof : X~ I ' u n m o r f i­ ottenere, come nel caso delle curve, dallo studio delle forme di f ferenzialismo F(f) : F (X ) ~ F ( Y ) , con la condizione che se o~Xi ~ X ~ ~ X s è esatta olomorfe. Se si studia lo spazio delle i- forme olomorfe si trova in particola­allora anche o~F (X,) ~F(X~) ~F(X,) è esatta. Ad ogni funtore semiesatto re che esso ha dimensione finita q„detta irregolarità della superficie; inoltre loF si può associare, sotto ipotesi opportune, un'intera successione di funtori spazio delle z-forme o piu in generale quello delle potenze simmetriche n-esi­F' : A~S l egati fra loro in modo da fornire un'unica successione esatta o~ me delle z-forme ha anch' esso dimensione finita, detta n-genere. Questi inva­~F(X i) ~F(X,) ~F(Xs) ~F (X,) ~F'(X,) ~F'(Xa) ~F'(X,) ~ ... ~F" (Xi) ~ rianti dànno delle importanti informazioni sulla geometria della superficie.~F"(X,)~F"(Xs)~F"+ (X i)~... I f un tori F' sono detti funtori derivati o Lo studio di una superficie è basato sostanzialmente sull'analisi delle curvesatelliti di F. In questo modo si ottengono ad esempio i funtori Ext' e Tor' . algebriche tracciate su di essa e piu in generale dei divisori ovvero combina­

zioni lineari formali di curve a coefficienti interi. I d iv isori si possono som­La teoria dei fasci è uno strumento fondamentale nella moderna geometria mare e sottrarre e formano un gruppo. Sui divisori di Z si possono considerare

algebrica. La sua origine risiede in una delle dimostrazioni del teorema di De alcune importanti equivalenze: l'equivalenza algebrica definita a partire dal­Rham e di Riemann-Roch. l'idea di deformazione di un divisore in un altro mediante una famiglia alge­

Un fascio tF su uno spazio topologico X consiste nell'assegnare ad ogni a­ brica; l'equivalenza lineare ottenuta dalla considerazione dei divisori degli zeriperto Uc:X un gruppo abeliano 5 (U), i cui elementi vengono detti sezioni di e dei poli delle funzioni su Z. Tali divisori formano un sottogruppo I' del grup­@ su U, e un'operazione di restrizione (omomorfismo ) 8(U)~5(V) (s~s~<) po di tutti i divisori. L' insieme dei divisori positivi D li nearmente equivalentiper ogni aperto Va U; si assume inoltre che una sezione s su un aperto U ad un divisore fissato A (ovvero per cui D — A e I' ) forma uno spazio proiet­che sia ricoperto da aperti U, sia determinata non appena siano date le sue tivo detto sistema lineare completo associato a A. Tali sistemi sono strettamenterestrizioni s; = s;~<, sugli aperti U,; e infine tali restrizioni possono essere as­ legati alle immersioni di Z negli spazi proiettivi. I d i v isori algebricamentesegnate arbitrariamente purché soddisfino le proprietà di incollamento s,~ ti,«, ­­

equivalenti a o sono un sottogruppo del gruppo di tutti i d ivisori; i l gruppo~jl Vin Vi quoziente è un invariante di Z e r isulta sempre finitamente generato (teoriaI fasci su X formano una categoria abeliana e quindi possono ad essi esse­ della base di Severi ).re applicati i metodi dell'algebra omologica. In particolare i funtori derivati del La differenza fra equivalenza algebrica ed equivalenza lineare è legata al­

funtore S~tr (X) sono invarianti fondamentali, detti gruppi di coomologia di X l 'irregolarità q tramite la considerazione di un u l teriore invariante di Z : l ae coefficienti in 8 ed indicati con H' (X, 8). Nelle situazioni geometriche piu varietà di Albanese; essa è una varietà abeliana di dimensione q che parame­interessanti X è una varietà differenziabile oppure analitica oppure algebrica; trizza una famiglia algebrica massimale di curve non linearmente equivalenti.in ogni caso X è dotata di un « fascio strutturale» & di anelli ove $(U) = l'anello

Il punto di partenza della teoria è dato dal teorema di Riemann-Roch che de­delle funzioni C , r ispettivamente analitiche o algebriche, su U. È allora utile scrive il legame fra la dimensione del sistema lineare completo associato ad unconsiderare fasci di moduli su 8", ad esempio, dato un fibrato vettoriale E divisore A ed altri invarianti della superficie. Lo si descriverà ampiamente nel(su X), C, ol omorfo o algebrico, il fascio delle sezioni di E è un fascio di prossimo paragrafo.8-moduli. Nel caso algebrico o analitico hanno particolare rilevanza alcuni fa­sci di moduli di t ipo speciale: i fasci coerenti; ad essi si riferiscono impor­tanti teoremi di Oka, Chow, Cartan, Serre, Kodaira, ecc. i6. Il te o rema di Riemann-Roch generale e il teorema dell'indice.

I metodi algebrici e geometrici cui si è accennato (cobordismo, teoria deii5. Gl i i n varianti delle super/ci algebriche. fasci, omotopia, algebra omologica, accoppiati con le idee analitiche e differen­

ziali di De Rham, Hodge, ecc.) hanno portato negli ultimi vent' anni a potentiLa geometria algebrica, dopo lo sviluppo della teoria delle curve, ha avuto estensioni delle tecniche classiche sviluppate per le curve e le superfici. In par­

grandi successi nello studio del caso successivo: la teoria delle superfici alge­ ticolare il teorema di Riemann-Roch, formulato e provato da Hirzebruch per lebriche (che, come varietà, hanno dimensione reale 4). I nomi che si devono ri­ varietà analitiche di qualunque dimensione, è stato generalizzato da Grothen­cordare in questa direzione sono quelli di Castelnuovo, Enriquez, Picard, Se­ dieck ed infine legato ad una piu generale teoria dell'indice degli operatori el­veri e piu recentemente Kodaira, Bombieri. La base della teoria consiste nel littici da Atiyah e Singer. Si cercherà ora di accennare a questi sviluppi.tentare di estendere alle superfici gli invarianti noti nel caso delle curve, svi­ Come si è visto precedentemente (cfr. ( rg), su una varietà coinplessa Xluppare poi il teorema di Riemann-Roch e quindi la teoria delle curve sulle su­ (di dimensione complessa n) vi sono le classi caratteristiche c„c„. . . , c„, detteperfici e la loro classificazione. classi di Chern, ove c; è una classe di coomologia di dimensione zi. Indicata

Invariante 946 947 Invarianto

con g, la dimensione dello spazio delle i — forme olomorfe su X, un p r imo Una potente generalizzazione del teorema è dovuta a Grothendieck il qualeosserva anzitutto che la caratteristica y (X, E) è additiva nel senso chc, sc

problema di tipo Riemann-Roch consiste nell'esprimere la somma P( ­r)'g,. o~E,~EOLIE»~o è una successione esatta di fibrati su X, si ha y (X, F.,) =

i =O

in termini topologici. Severi congetturò che tale numero fosse esprimibile solo=y (X, E 1)+ j(X, Eo). L'idea di Grothendieck è di costruire formalmente un

tramite le classi C,. Todd costrui per ogni n un polinomio esplicito T„ (detto gruppo abeliano, detto gruppo di K-teoria ed indicato con K (X), i l quale èpolinomio di Todd ) il cui valore nelle classi di Chern T„ (c,, ..., C„) è una clas­ generato dalle classi di isomorfismo dei fibrati vettoriali [E] modulo le relazioni

[Ep] = [E1] + [Eo] (per ogni successione esatta). La caratteristica di Eulero­se di coomologia di dimensione zn, e congetturò che il numero g ( — 7)'g; Poincare y (X, E) si può pensare come un omomorfismo y(X, — ) : K(X)~Z

s= O

fosse il valore di T„ (c1 , c o) sulla classe fondamentale. Tale congettura è dal gruppo di K-teoria agli interi.

conseguenza della teoria di Hirzebruch. Per esempio per n= 2, Ta = (c1+ co)/12.Il punto fondamentale è la possibilità effettiva di calcolare K (X), avvalen­

Un'altra conseguenza di tale teoria è la dimostrazione di una seconda con­ dosi del fatto che i gruppi di K-teoria posseggono alcune delle proprietà formali

gettura di Severi, il quale, nel caso in cui X sia una varietà proiettiva, affermavadella coomologia. In particolare, dato un morfismo di varietà algebriche nonsingolari f : X~ Y si può definire un omomorfismof, : K(X) ~K( Y), che nel

che il numero g( — 1)'g; coincideva con un invariante proiettivo: i l genere caso in cui la varietà Y' sia un punto si riduce alla caratteristica y (X, — ). Lat = O versione di Grothendieck del teorema di Riemann-Roch asserisce che il dia­

aritmetico po. Tale invariante p, si deduce dalla formula di postulazione diHilbert che ora si illustra. Sia X una varietà proiettiva nello spazio ad n di­

gramma

mensioni ed I = Q+Im l'ideale omogeneo delle forme nulle su X. Si consideri K(X) — 'H+(X, Q)

lo spazio Am delle forme di grado m nelle variabili xo, ..., x„modIm; la formu­ lI'la di Postulazione afferma che la dimensione d de llo sPazio Am è esPrimi­ K( Y) ~ Ho(Y, Q)bile, per m sufficientemente grande, come polinomio in m, Tale polinomio èevidentemente un invariante proiettivo di X; i l suo termine costantè è, per de­

commuta a meno della moltiplicazione per le classi di Todd, PT;, di X ed Yi

finizione, il genere aritmetico. rispettivamente (f~ è l'omomorfismo dedotto dalla dualità di Poincaré in co­La teoria di Hirzebruch mostra, piu in generale, come si possa calcolare la omologia).

caratteristica di Eulero-Poincaré y (X, E) di un fibrato vettoriale complesso E Le idee di Grothendieck insieme al teorema di periodicità di Bott hannosu X. Per definizione y (X, E) = Z( — 1)'dimH'(X, E), dove H'(X, E) è la portato ad un punto di vista completamente nuovo in topologia algebrica. Ilcoomologia del fascio delle sezioni di E. Se E è il fibrato 1-dimensionale banale gruppo K(X) può essere definito infatti nello stesso modo a partire dai fibratisu X, la sua caratteristica coincide con il numero Z ( — 1)'g, in virtu del seguente vettoriali topologici su uno spazio X. Sfruttando i teoremi di classificazione deiteorema di dualità: fibrati la periodicità di Bott s i i n terpreta allora come isomorfismo K (X)

TEOREMA (Serre). Posto Hl «(X, E) = H«(X, Egx.Al T~ ) con T" fi brato co­ K (Z'X) (Z»X è la doppia sospensione di X, definita da X x S ' /XVS').tangente, si ha l'isomorfismo canonico H" «(X, E) (H" l' " «(X, E~))~. Si passa ora ai collegamenti con il problema dell'indice. Un operatore dif­

ferenziale di ordine m si scrive in coordinate x„. . . , x„, conRitornando alla teoria di Hirzebruch, si ha la formula a

P = g f l ( x ) — I multi i n d ice ;­ " ch.—,(E) T,(c1 " c;)

X(X,E) = Z III <m

j =O esso si dice ellittico se i l pol inomio P fl(x)E non è m ai nu l lo per F=

dove T; è il polinomio di Todd e ch(E) =g chk(E) è il carattere di Chern di= P.1 " 4 )+o. Il I =­m

k Un sistema di operatori differenziali si scrive ancoraE. ch(E) è un polinomio nelle classi di Chern definito nel modo seguente: seE è un fibrato di rango h si considerano, formalmente, le sue k classi di Chern P = P fl (x) ­ fl (x) matrici ;c1 ,, ck come funzioni simmetriche elementari in k-variabili y1, ..., yk, ch (E) I7I ( òX

è definito allora dalla formula ch (E) = / evi. La formula di Hirzebruch forni­ esso si dice ellittico se la matrice o,, (X, F)= p f l(X) E, ha determinante nonI I I= m

i = 1

sce risposta affermativa alle congetture di Severi; essa estende i teoremi clas­ nullo per ogni (~o. La matrice ol, (X, F) viene detta simbolo di P. Le defini­sici di Riemann-Roch per le curve e le superfici e viene di solito citata come zioni poste si possono pensare relative a coordinate locali e si prestano ad esse­

« teorema di Riemann-Roch-Hirzebruch». re globalizzate:esse dànno luogo alla nozione di operatore lineare ellittico sulle

Invariante 94g 949 Invariante

Klein, F.sezioni di due fibrati vettoriali E ed F su una stessa varietà X: C (X, E)~ x87x f) b er die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie, in «Mathematische Annalen», IV, pp.

~C (X , F). Se X è compatta si può dimostrare che lo spazio delle autosolu­ 573-6z5.

zioni dell'operatore P e dell'aggiunto Ps (rispetto ad una metrica riemanniana x87z Ve r g leichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen. Programm zum Ein­tritt in die philosophische Facultat und den Senat der h, Friedrich-Alexanders-Univer­

fissata) sono di dimensione finita ; si pone indice P = dim(Ker P) — dim(Ker Ps). sitott zu Erlangen, Deichert, Erlangen (trad. it. in «Annali di Ma tematica», serie I I,

Il punto essenziale è che l'indice di P non varia per perturbazione dei coeffi­ XVII (x889), pp. 307-49).

cienti, in particolare esso dipende solo dal simbolo. Se si riflette sul significato Milnor, J. W.

intrinseco del simbolo si vede che xrP si può interpretare come un isomorfismo x956 On manifolds homeomorphic to the seven-sphere, i n «Annals of Mathematics», LXIV,PP 399 4o5.

fra i fibrati E' ed F' ottenuti da E ed F per pu/l back sullo spazio X' dei vet­ Muir, Th.tori cotangenti di X d i m odulo i ; l ' indice di P di pende quindi solo dalla x909-23 Th e Theory of Determinantsin the Historical Order of its Development, 4 voli., Mac­classe di omotopia di xrP. All'operatore P si associa poi un fibrato vettoriale millan, London.

U(xyp) nel modo seguente: lo spazio base X" è ottenuto considerando due cop­ Muxnfod, D.

ie X e X del l o spazio dei vettori cotangenti di modulo (i in c o l late lungo x965 Ge ometrie Invariant Theory, Academic Press, New York.

il sottospazio X'. L ' isomorfismo xrP permette di incollare i pull back di E ed' dF Nagata, M.x959 On t he x4" P roblem of Hilbert, in «American Journal of Mathematics», pp. 766-72.

su Xx e Xs (rispettivamente) lungo X'. I 1 fib rat V (cxP ) ora costruito determina Siegel, C. L.un elemento di K (X"), viceversa ogni elemento di K (X") si ottiene come dif­ x 964 Symplectic Geometry, Academic Prese, New York.ferenza di fibrati corrispondenti ad operatori. L ' indice si interpreta pertanto Weyl, H.

me un omomorfismo i : K (X") ~Z. Il problema dell'indice consiste nel de­ x939 Classical Groups, Their Invariants and Representations, Princeton Un ivcrsity Presa,

scrivere tale omomorfismo in termini coomologici. I l t eorema dell' indice ie dl Princeton N.J. x946s.

nAtiyah-Singer risponde con la formula: indice P =/Th(X)ch„h(V(xrP)) a

b=o

tale questione (ove il secondo membro si intende calcolato sulla classe fonda­ Il concetto di invariante è fondamentale sia per la matematica (cfr. strutture ma­mentale di X" ). tematiche) sia per le scienze fisiche e naturali (cfr. fisica, legge, scienza) (ma haI l teorema di periodicità di Bott permette di r idurre i l calcolo di tale anche rilievo nelle discipline linguistiche e antropologiche; cfr. ad esempio linguaggio,identità ad alcuni casi speciali. Per dare un'idea del legame fra il teorema di pe­ fonetica, natura/cultura), int imamente legato al concetto di descrizione matematicariodicità ed il teorema dell'indice si torna al calcolo del generatore del gruppo del reale, alla trasformazione dei problemi da qualitativi a quantitativi (cfr. qualità/di omotopia xrs„, (G1(N, C)). Si può seguire il seguente metodo. Si considera quantità), alle possibilità di formalizzazione e di calcolo e, piu in generale, al con­l'algebra di Clifford sullo spazio 2n-dimensionale (en ..., e,„) data dalla forma cepimento del rapporto astratto/concreto.

— Zxg tale algebra si può rappresentare come algebra di matrici su uno spazioxi ' Ogni teoria matematica, o forse piu in generale ogni teoria (cfr. anche teoria/pratica)a z" d i m ensioni. Se Zx;= i (cioè (x„ . .., xs„)cS' " ) l a matrice corrisPon­ è suscettibile d'una lettura in termini d i i nvariante, ma l 'esplicazione matematica piu

dente a Zxiei è invertibile e si ha un'applicazione S'" ' ~ Gl (z" ', C), che for­ rigorosa è particolarmente legata ai metodi algebrici (cfr. razionale/algebrico/trascen­dente) e geometrici (cfr. geometria e topologia). Restringendosi anche a questi argo­

nisce appunto il generatore cercato. menti, sono evidenti numerose mediazioni che conducono a vasti campi della fisica (cfr.Il legame con la teoria degli operatori ellittici viene dal lavoro di Dirac il quanti, relatività) o della chimica.

qua e u ''

uale utilizzò l'algebra di Clifford per la fattorizzazione dell'operatore di La­ Dalle equazioni algebriche, dallo studio delle funzioni simmetriche (cfr. simmetria)place — Zòz/òx;.= [Ze;(ò/òxi)]'. [c. p.]. e dalla teoria di Galois, provengono i primi aspetti importanti della teoria degli invarianti,

cosi come dall'algebra lineare (cfr. anche applicazioni, dipendenza/indipendenza,dualità) e dallo studio delle forme geometriche, quali le curve e superfici, con riguar­do alle loro trasformazioni proiettive o piu generali (cfr. anche trasformazioni naturali /categorie).

Borevich, Z. I. , e Shafarevich, I. R.x966 Nu mber Theory, Academic Presa, New York.

Aspetti importanti della matematica moderna, quali lo studio dei gruppi continui(cfr. continuo/discreto), algebrici e classici, la topologia differenziale, l'algebra omo­

Bourbaki, N.x97x Elémersts de mathématique, VII. Groupes et Algèbre de Lie, Hermann, Paris.

logica, la teoria dei fasci (cfr. anche differenziale) e, naturalmente, i problemi di classi­ficazione (cfr. sistematica e c lassificazione), mostrano la grande ricchezza del con­

Feit, W., e Thompson, J. G. cetto di invariante.x963 So lvssbility of groups of odd order, in « Pscific Journsl of M a thematics», XI I I , p p .

775- x oz9.Gauss, C. F.

x8ox Di s ttuisitiones arithmeticae, Fleischer, Le ipzig.