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Facoltà di Psicologia

Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione n°:

Titolo: Attività n°:

Docente:

© 2007 Università degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004

Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 - [email protected]

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SEMINARIO: LA RICERCA EMPIRICA E LA STATISTICA DESCRITTIVA

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Docente:




INTRODUZIONE AL CORSO:

L’UTILITà DELLA PSICOMETRIA

• Psicodiagnosi

• Aggiornamento

• Analisi bibliografica della tesi di laurea

• Analisi dei dati (tesi, valutazione dell’efficacia

dell’intervento psicologico, ecc.)





Docente:




CONSIGLI PER LO STUDIO

• Leggere il programma più volte focalizzandosi

sulla comprensione e non sulla

memorizzazione

• Creare esercizi in autonomia

• Autosomministrarli estrapolati dal contesto di

spiegazione





Docente:




LA PSICOMETRIA E LE ALTRE DISCIPLINE

Metodologia della ricerca

Statistica è usata dalle discipline che usano il

procedimento scientifico per la verifica delle ipotesi

Descrivere - predire - spiegare





Docente:




L’INDAGINE EMPIRICA

1. quesito ipotesi di ricerca

(affermazione che mette in relazione due variabili: se x allora y)

2. COSTRUTTI TEORICI (VARIABILI LATENTI)

OPERAZIONALIZZAZIONE

INDICATORI OSSERVABILI (VARIABILI MANIFESTE) (variabile qualsiasi caratteristica che cioè che può assumere valori diversi)

3. MISURAZIONE





Docente:




DEFINIRE LE VARIABILI

ESAUSTIVITA’: devono essere classificati tutti i casi

ESCLUSIVITA’: ogni caso deve essere assegnato ad una sola categoria

QUALITATIVE: caratterizzate da categorie (nominali e ordinali)

QUANTITATIVE: caratterizzata da valori che variano in grandezza

(a intervalli e a rapporti)

CONTINUE: possono assumere qualsiasi valore in un insieme continuo

DISCRETE O DISCONTINUE: prevedono categorie distinte e possono

assumere solo valori interi

INDIPENDENTE: manipolata dallo sperimentatore o dagli eventi

DIPENDENTE: ciò che consegue alla manipolazione

D’ERRORE/INTERVENIENTI: che producono errori (casuali o sistematici)





Docente:




RELAZIONI TRA VARIABILI

E LIVELLI DI INDAGINE EMPIRICA

1) L’INDAGINE DESCRITTIVA: dare una rappresentazione

2) L’INDAGINE CORRELAZIONALE: si ipotizza una compresenza

sistematica, senza alcuna relazione di causa ed effetto

3) L’INDAGINE SPERIMENTALE: ha l'obiettivo di spiegare il

comportamento y in funzione di una causa x; ipotizza una relazione

di causa ed effetto tra x e y

4) L’INDAGINE QUASI SPERIMENTALE: i soggetti da assegnare

alle diverse condizioni sono selezionati da gruppi già esistenti





Docente:




LA MISURAZIONE

Misurare significa costruire un omomorfismo (f) tra un

sistema relazionale empirico (E) e un sistema relazionale

numerico (N)

[la funzione f di omomorfismo rappresenta la regola sistematica che

consente l'assegnazione dei numeri (N) a oggetti ed eventi (E)]

Si distinguono diversi livelli di misura a seconda delle

proprietà che caratterizzano il sistema empirico e il sistema

numerico.

[In psicologia ci sono quattro livelli di misura: la scala nominale,

la scala ordinale, la scala ad intervalli e la scala a rapporti.]





Docente:




SCALA NOMINALE

sistema empirico classificatorio: sistema in cui

esiste solamente la suddivisione in categorie distinte,

esaustive e mutualmente escludentesi (classi di

equivalenza).

sistema numerico classificatorio ha la sola proprietà

di simbolo ragion per cui si potrebbero usare altrettanto

bene le lettere dell'alfabeto o altri sistemi simbolici





Docente:




CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA NOMINALE





Docente:




SCALA NOMINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI

Ogni funzione numerica che stabilisca una corrispondenza biunivoca tra sistema

relazionale empirico e sistema relazionale numerico

ESEMPIO: A (colori) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (rosso) = {a, b, c}, C (verde) =

{d, e}, D (giallo) = {f, g, h, i}





Docente:




SCALA ORDINALE

sistema empirico ordinato : gli elementi componenti

godono della stessa caratteristica ma in quantità o grado

diverso, ordinabile rispetto a tale grado

sistema numerico ordinato : indica la posizione

reciproca degli elementi quindi i numeri non implicano

alcuna nozione di grandezza ma l’assegnazione non è

arbitraria come nella scala nominale (graduatoria).





Docente:




LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA ORDINALE





Docente:




SCALA ORDINALE: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI

Ogni funzione monotòna crescente ossia qualsiasi modificazione che preservi

l’ordine tra i membri.

ESEMPIO: A (stadi piagettiani) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, B (sensomotorio) = {a, b,

c}, C (preoperatorio) = {d, e}, D (operatorio concreto) = {f, g}, E (operatorio

formale) = {h, i, l}





Docente:




SCALA A INTERVALLI

sistema empirico delle differenze: è possibile stabilire un'unità di misura

sistema numerico delle differenze: l’unità di misura indica l'entità delle

differenze di intensità della caratteristica

parte da uno 0 che non è assoluto, ma arbitrario

possiamo fare rapporti tra intervalli, che rimangono costanti, non

possiamo fare rapporti diretti tra valori, ovvero dire che un valore e il doppio,

metà, un quarto dell’altro.

ESEMPIO:

Agli elementi A, B, C, D, E, sono associati rispettivamente i numeri 4, 6, 12, 14, e 18.

Possiamo affermare che la differenza di caratteristica associata ad A e B è uguale a

quella associata a C e D, e inoltre che la differenza di intensità di caratteristica tra B e C

e tripla di quella tra A e B o tra C e D.

NON possiamo però dire che il valore di C è doppio rispetto a quello di B.





Docente:




LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A INTERVALLI





Docente:




SCALA A INTERVALLI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI

Ogni funzione lineare y = ax + b con a > 0 (coefficiente angolare a maggiore

di 0): funzione monotòna crescente e lineare o trasformazione lineare

positiva (aggiunta di una costante, moltiplicazione per una costante positiva).

ESEMPIO: Si consideri la prestazione in un test di vocabolario composto da 20 parole per

ognuna delle quali bisogna scegliere il sinonimo fra 5 alternative. Anche se un soggetto desse 0

risposte corrette, questo non significa che ha una conoscenza del vocabolario pari a 0. Quale

unità di misura si sceglie una differenza pari a 1 risposta corretta.





Docente:




SCALA A RAPPORTI

sistema empirico additivo: è possibile stabilire

un'unità di misura e un elemento di intensità nulla

sistema numerico additivo : godrà di tutte le

proprietà dei numeri reali

il valore 0 è assoluto

la regola di trasformazione potrà comprendere anche l'uguaglianza

del rapporto diretto tra valori

la scala non può assumere valori negativi





Docente:




LE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DELLA SCALA A RAPPORTI





Docente:




SCALA A RAPPORTI: TRASFORMAZIONI PERMISSIBILI

Ogni funzione lineare y = ax + b con a > 0 e b (intercetta) = 0

Sono dette anche similitudini dirette o trasformazioni moltiplicative

(moltiplicazione per una costante positiva).





Docente:




IDENTIFICARE IL LIVELLO DI MISURA

La conoscenza del tipo di scala su cui sono misurati i dati è importante

perché non si arrivi a conclusioni sbagliate

Differenza tra livello teorico e uso pratico: le scale Likert





Docente:




RELAZIONI TRA SCALE E QUANTITA’ DI INFORMAZIONE

Ogni scala di livello superiore ha le caratteristiche

della scala precedente con l'aggiunta di una propria

peculiare caratteristica.

È sempre possibile trasformare le misure ottenute su

una scala superiore in misure su scale inferiori

sopportando una inevitabile perdita di informazione;

non è mai possibile compiere l'operazione inversa





Docente:




STATISTICA

Una statistica è una qualunque funzione che

associa un numero reale, chiamato statistica, a un

sistema relazionale numerico.

Quindi, dato un sistema numerico, una statistica associa

(secondo qualche regola) a ogni insieme di numeri n

tratto dal sistema numerico un numero reale.





Docente:




STATISTICA DESCRITTIVA

Lo scopo è di descrivere e riassumere i dati attraverso un numero

limitato di indici, senza dover elencare tutti i casi che lo costituiscono

Popolazioni parametri (lettere dell’alfabeto greco)

Campioni indici statistici o statistiche (lettere dell’alfabeto latino).

Distribuzione di frequenza,

tabelle di frequenza

rappresentazioni grafiche

indici di tendenza centrale

Tre classi di misure riassuntive: indici di variabilità/dispersione

indici di posizione





Docente:




STATISTICA DESCRITTIVA

indici di tendenza centrale: statistiche che esprimono la tendenza

prevalente o principale che emerge da un campione di dati. i dati non si

presentano uniformemente distribuiti in tutte le classi in cui possono

cadere, ma hanno la tendenza a comparire con frequenze più elevate al

centro della distribuzione.

indici di variabilità/dispersione: descrivere quantitativamente la

dispersione rispetto al valore di tendenza centrale; indicano quindi se i dati

di un campione sono molto diversi o molto simili tra loro.

indici di posizione: consentono di individuare la posizione di un

punteggio in relazione agli altri presenti nella distribuzione





Docente:




SCALA NOMINALE

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

È una funzione, che ad ogni classe di equivalenza di un sistema

relazionale (empirico o numerico) associa – tramite un’operazione di

classificazione – il numero (detto frequenza) degli elementi che

appartengono alla classe stessa

L’insieme delle frequenze nelle varie classi da origine appunto ad

una distribuzione di frequenze.

La sommatoria (Σ) di tutte frequenze (f) delle classi (i) è uguale a N

N=f

k

1=i

i∑





Docente:




SCALA NOMINALE

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA ESEMPIO

Sistema relazionale numerico

A = {1, 7, 4, 2, 1, 4, 4, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 7, 2, 1, 4, 2}.

La sua distribuzione di frequenza è rappresentata dalle 4 classi di equivalenza 1,

2, 4, 7 e dal numero di elementi appartenenti a ciascuna di esse

La sommatoria di tutte le frequenze delle 4 classi è uguale a 18:

182556=f=f4

1=i

i

k

1=i

i =+++∑∑





Docente:




SCALA NOMINALE

TABELLE DI FREQUENZA

1. Tabella semplice o a entrata singola

2. Tabella o tavola di contingenza detta anche

tabella a doppia entrata

3. Tabella ad entrata plurima o multipla

La scelta dipende dal numero delle variabili





Docente:




SCALA NOMINALE

FREQUENZE RELATIVE E PERCENTUALI

Per attuare dei confronti tra distribuzioni.

Confronto non eseguibile direttamente se il numero delle osservazioni

all'interno delle distribuzioni è differente.

Percentuale: proporzione moltiplicata per 100

• somma delle proporzioni = 1; somma delle percentuali = 100

• non si calcolano le percentuali se la frequenza nelle classi è molto bassa (20)

• riportare il valore di proporzioni e percentuali assieme al valore assoluto della frequenza

• calcolabili sui marginali di riga, di colonna o totali

N

fk

100xN

fk

Proporzione (o frequenza relativa): rapporto tra la

frequenza di una classe o categoria (fk) e il numero totale

delle osservazioni compiute (N)





Docente:




SCALA NOMINALE

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Diagramma a barre (semplice, complesso, composto)

Grafico a torta (semplice,fetta esplosa, torta esplosa)





Docente:




SCALA NOMINALE

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MODA

Mo o Md: classe che compare con frequenza più alta all’interno

della distribuzione

Distribuzioni: unimodale, bimodale, multimodale/plurimodale, amodale.

È utile accompagnare la moda con la sua frequenza percentuale

ESEMPIO:





Docente:




SCALA NOMINALE

INDICE DI DISPERSIONE: NUMERO DELLE CLASSI DI EQUIVALENZA

NdE: statistica che associa ad un insieme di elementi

il numero di categorie in cui viene ripartito il sistema

Non permette di capire se i dati sono distribuiti in modo uniforme nelle varie classi o se

si concentrano quasi tutti in una o in poche classi.

Ogni classe di equivalenza deve contenere almeno un elemento; non si contano le

categorie vuote

ESEMPIO:





Docente:




SCALA NOMINALE

INVARIANZE

Mo o Md: di riferimento

NdE: assoluta

ESEMPIO:





Docente:




SCALA ORDINALE

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E TABELLE

Le classi di equivalenza sono disposte secondo il loro giusto

ordine di successione, monotono, crescente ESEMPI:





Docente:




SCALA ORDINALE

FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE

Proporzione (o frequenza relativa)

Percentuale

Frequenze cumulate (fc) indicano quante frequenze si accumulano

fino a una certa misura, comprendendo la misura stessa

- La somma delle frequenze deve coincidere con la frequenza cumulata dell'ultima categoria

ESEMPIO:

N

fk

100xN

fk





Docente:




SCALA ORDINALE

FREQUENZE E FREQUENZE CUMULATE

Frequenze cumulate relative (fc relative) non sono altro che le

frequenze cumulate espresse in proporzione. Si calcolano dividendo la

frequenza cumulata per il totale N dei casi osservati

Frequenze cumulate percentuali non sono altro che le

frequenze cumulate espresse in percentuale (fc %). Si calcolano

moltiplicando la frequenza relativa cumulata per 100.

N

fc

100xN

fc





Docente:




SCALA ORDINALE

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Istogramma: (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali)

l’ordine delle barre deve rispettare l’ordine implicito nella variabile

poligono cumulativo o ogiva (delle frequenza cumulate frequenze cumulate percentuali)





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI DISPERSI

Me o Mdn: è la misura che occupa la posizione centrale in un

campione di dati disposti in ordine crescente in base al loro valore.

Divide la distribuzione di frequenza a metà in modo tale che il 50% dei

casi cadono al di sotto e il 50% al di sopra di esso.

Quando n è dispari, rango Mdn = posizione

Quando n è pari, posizione < rango Mdn < posizione

2

1+n

2

n 1+2

n





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI DISPERSI

Quando n è dispari, rango Mdn = posizione

ESEMPIO

I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 8, 2} con n = 13,

I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8}

Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8) = 4

Quando n è pari, posizione < rango Mdn < posizione ESEMPIO

I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12,

I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7}

Mdn (2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7) 3<Mdn<4.

2

1+n

2

n1+

2

n





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI IN CLASSI

Nel caso in cui l’insieme sia costituito da un numero elevato di osservazioni, per trovare la posizione mediana della distribuzione di frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate

ESEMPI O: n è pari

La posizione della mediana è tra e , cioè tra e

20=2

4021=1+

2

40

2

n1+

2

n





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI IN CLASSI

ESEMPI O: n è dispari

Il rango della mediana è 25=2

1+49=

2

1+n





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA MEDIANTE fc%

Tramite tabella di dati Tramite ogiva





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: RANGHI

Consentono di:

individuare la posizione di un punteggio in relazione agli altri presenti nella

distribuzione

confrontare due prestazioni dello stesso soggetto entro due diverse

distribuzioni

confrontare le prestazioni di soggetti diversi in differenti distribuzioni

Rango R: numero che indica la posizione che quell'osservazione occupa nell'insieme ordinato a cui appartiene

Se all'interno di una distribuzione ci siano dei punteggio uguali fra loro il loro rango corrisponde al rango medio dei valori uguali.

Il rango è strettamente dipendente del numero delle osservazioni della distribuzione





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: RANGHI

ESEMPIO

I = {27, 12, 14, 19, 13, 17, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 18, 16, 20} con n = 15

I = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27}

ESEMPIO

I = {27, 12, 12, 19, 13, 22, 21, 15, 22, 24, 26, 11, 22, 16, 20} con n = 15

I = {11, 12, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 26, 27}





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: QUANTILI

Sono indici statistici di posizione e vengono individuati relativamente al numero di frequenze che si trovano al di sotto della loro posizione in un insieme di misure disposte in ordine crescente

Terzili, quartili, quintili, decili, centili (o percentili)

CALCOLO (stesso procedimento usato per la mediana):

DATI DISPERSI: disporre i dati in ordine crescente

DATI IN CLASSI: calcolare le frequenze cumulate.





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI

Primo quartile (Q1): rango

Secondo quartile (Q2): posizione

Terzo quartile (Q3): rango

Se n+1 non è multiplo di 4 si considera la misura immediatamente inferiore

alla posizione calcolata ovvero si effettua un’operazione di troncamento

alla parte intera del numero.

ESEMPIO

con n = 5, = 1.5 e = 4.5; si considerano le posizioni 1 e 4.

4

1+n

4

)1+n(2

4

)1+n(3

4

1+n

4

)1+n(3





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI DATI DISPERSI

ESEMPIO

I = {4, 3, 7, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 6, 7, 2} con n = 12.

I = {2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7}.

Q1. = 3.25, Q1 = 2 la misura che occupa la 3°

posizione nella distribuzione.

Q2. = = 6.5, Q2 = 3 la misura che occupa il 6°

rango nella distribuzione.

Q3. = 9.75, Q3 = 5 la misura corrispondente

alla posizione 9 all’interno dell’insieme ordinato.

4

1+12=

4

1+n

4

)1+12(2

4

)1+n(2

4

)1+12(3=

4

)1+n(3





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI DATI IN CLASSI

Come per la Mdn, nel caso in cui l’insieme sia costituito da un numero elevato di osservazioni, per trovare la posizione dei quartili nella distribuzione di frequenza, occorre calcolare le frequenze cumulate

ESEMPI O

Q3. = 225.75 il soggetto in posizione 225 cade all’interno della

classe di equivalenza 6 quindi Q3 = 6. 4

1+300=

4

)1+n(3





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: QUARTILI MEDIANTE fc%

Tramite ogiva





Docente:




SCALA ORDINALE

INDICE DI POSIZIONE: RANGHI QUANTILI

È una strategia di standardizzazione dei punteggi, (procedimento attraverso il quale vengono portati tutti i punteggi sulla stessa scala di misura): per svincolarsi dalla dipendenza del rango dalla numerosità della distribuzione

Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci dice che quantile è di una distribuzione quel particolare punteggio grezzo.

Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile:





Docente:




SCALA ORDINALE


Le procedure di calcolo si differenziano ancora una volta a seconda che i dati siano:

1. dispersi

2. raggruppati in classi

- rango medio

- frequenza cumulata





Docente:




SCALA ORDIINALE

INDICE DI DISPERSIONE: RANGE E DIFFERENZA INTERQUARTILE

1. Range o intervallo interquartile (IQ): all’intervallo di punteggi compreso tra Q3 e Q1.

2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 – Q1

3. Semidifferenza interquartile:

2

1Q3Q=

2

DIQ=SIQ

-





Docente:




SCALA ORDINALE

INVARIANZE

Mo o Md: di riferimento e di confronto

Mdn: di riferimento e di confronto

NdE: assoluta

Quantili: di riferimento e di confronto





Docente:




SCALA A INTERVALLI

Importanza delle trasformazioni lineari positive che rendono i dati più agevoli da usare

Importante distinguere i casi in cui i dati sono realmente discreti oppure sono continui o sottendono una caratteristica di tipo continuo





Docente:




SCALA A INTERVALLI


Costruzione degli intervalli di classe (con perdita di informazione)

• limite tabulato inferiore e limite tabulato superiore

• limite esatto (o reale) inferiore e limite esatto (o reale) superiore

• valore centrale;

La classe è chiusa a sinistra e aperta a destra

Le frequenze relative ad ogni punteggio vanno considerate come

uniformemente distribuite all’interno dell’intervallo

Se si raccolgono in intervalli di classi i dati di una variabile discreta

(purché misurata su scala a intervalli o a rapporti), la variabile andrà

considerata come se fosse continua.

E’ possibile anche costruire intervalli di classe di ampiezze diverse

tra loro





Docente:




SCALA A INTERVALLI


ESEMPIO 68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 73 79 88 73 60 93 71 59 85 75

61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60

98 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 62 67 98 78 85 76 65 71 75

65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77





Docente:




SCALA A INTERVALLI

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Istogramma (con dati raggruppati in classi uguali o di diversa ampiezza)

poligoni di frequenza (semplice, cumulata, cumulata percentuale)





Docente:




SCALA A INTERVALLI

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

Grafici a dispersione o Scatterplot





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA DATI NON RAGGRUPPATI (n pari):

media aritmetica dei due valori che occupano la posizione e la posizione

DATI RAGGRUPPATI DISCRETI:

Stesso procedimento visto per dati ordinali

DATI RAGGRUPPATI CONTINUI:

metodo dell’interpolazione lineare

Mdn = Limite reale inferiore classe mediana + x A

Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale

2

n 1+2

n





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIANA

Possibile individuarla mediante ogiva come con scala ordinale





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA

Media del campione o media campionaria:

Media del campione o media campionaria con dati raggruppati:

Media della popolazione:

n

n

n

=i

i

=n

x+...+x+x+xx 3211

∑=MX

n

nnx+...+fx+fx+fxf==

3322111

n

xfn

=i

ii∑MX

N

xn

=i

i∑1µ =





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INDICE DI TENDENZA CENTRALE: MEDIA ARITMETICA

1) È possibile calcolare le media di un gruppo ottenuto dall’unione di due gruppi distinti senza ricorrere alle distribuzioni iniziali dei dati.

2) La media è influenzata inoltre dalla grandezza dei dati ossia sfrutta le caratteristiche quantitative dei dati. Come conseguenza la media è molto più influenzata dai valori estremi della distribuzione rispetto alla mediana.

3) La media può essere definita come il centro di gravità (o baricentro) della distribuzione dei dati. Per forza di cose, non può quindi essere inferiore al valore minimo né superiore al valore massimo.

4) Scarto di un dato xi dalla media M o deviazione: xi – M

Positivo significa che il numero è maggiore del valore medio; negativo significa che il

numero è inferiore al valore medio.

La somma di tutti gli scarti dalla media è zero 0=M)(1

∑n

=i

i -x





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INVARIANZE INDICI DI TENDENZA CENTRALE

Mo o Md: di riferimento

Mdn: di riferimento

M: di riferimento

1) Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per uno

stesso numero positivo a, la moda, la mediana e la media vengono

anch’esse moltiplicate per lo stesso numero

2) Se a tutti i dati di una distribuzione viene aggiunta una costante b,

la moda, la mediana e la media vengono tutte aumentate o diminuite di

una quantità b a seconda che b sia positivo o negativo.





Docente:




SCALA A INTERVALLI

IDICI DI TENDENZA CENTRALE E FORMA DELLA DISTRIBUZIONE





Docente:




SCALA A INTERVALLI


La definizione tiene conto dei rapporti di distanza intercorrenti tra i dati e delle caratteristiche di continuità

CALCOLO DATI DISPERSI (stesso procedimento usato per la mediana):

1. disporre i dati in ordine crescente

2.

3. Se la cifra ottenuta è un numero intero si procede individuando nella distribuzione

il valore relativo alla posizione trovata.

Se la cifra ottenuta è un numero decimale si procede individuando nella

distribuzione il valori inferiore (valinf) e il valore superiore (valsup) alla posizione trovata.

Infine si calcolerà il quantile in base alla formula:





Docente:




SCALA A INTERVALLI


CALCOLO DATI DISCRETI RAGGRUPPATI (stesso procedimento usato

per la scala ordinale)

CALCOLO DATI CONTINUI RAGGRUPPATI (stesso procedimento delle mediana)

metodo dell’interpolazione lineare

Quantile = Limite reale inferiore classe del quantile + x A

Possibile individuarli mediante ogiva come su scala ordinale





Docente:




SCALA A INTERVALLI


È una strategia di standardizzazione dei punteggi, (procedimento attraverso il quale vengono portati tutti i punteggi sulla stessa scala di misura): per svincolarsi dalla dipendenza del rango dalla numerosità della distribuzione

Il rango quantile, associato a un punteggio di una distribuzione, ci dice che quantile è di una distribuzione quel particolare punteggio grezzo.

Formula inversa usata per calcolare la posizione del quantile:

Con dati raggruppati in classi





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INDICI DI DISPERSIONE

1. Range o intervallo interquartile (IQ): all’intervallo di punteggi compreso tra Q3 e Q1.

2. Differenza interquartile: DIQ = Q3 – Q1

3. Semidifferenza interquartile:

4. Campo di variazione (range, gamma, intervallo di variazione): Range = xmassimo – xminimo

5. Scostamento semplice medio (SSM) o scarto semplice medio o deviazione media:

2

1Q3Q=

2

DIQ=SIQ

-

n

M

=SSM 1

∑n

=i

i -x





Docente:




SCALA A INTERVALLI


6. Varianza (s2 o MS nel campione e σ2 - sigma quadro - nella popolazione)

Devianza: Formula abbreviata =

∑n

i

i Mx1=

2) -( =ss

n

ss=

n

) -(

=s 1=

2

2

∑n

i

i Mx

2

n

=i

2

i

M-

x

n=s 12

∑





Docente:




SCALA A INTERVALLI


Varianza con dati raggruppati Formula abbreviata =

n

M)(

=s 1

2

2

∑n

=i

i i -xf

21=2 -n

=s M

xfn

i

2

ii∑





Docente:




SCALA A INTERVALLI


7. Deviazione standard o standard deviation o scarto quadratico medio (s o DS o SD nel campione e σ - sigma - nella popolazione) =

radice quadrata della varianza.

Formula abbreviata =

n

M) -(x

s

n

1=i

2i

2

∑s

2

n

=i

2

i

M-

x

n=s 1

∑





Docente:




SCALA A INTERVALLI


Deviazione standard con dati raggruppati Formula abbreviata =

n

M)(

=s 1

2∑n

=i

i i -xf

2

n

i

2i

M

fx

-n

=s1 =

∑





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INDICI DI DISPERSIONE La variabilità di un campione è sempre minore della variabilità della popolazione dalla quale il campione è stato estratto

Denominatore formule per il calcolo della varianza e della deviazione standard:

- nei campioni = n – 1

- nella popolazione = n





Docente:




SCALA A INTERVALLI

DEVIAZIONE STANDARD E DISTRIBUZIONE NORMALE





Docente:




SCALA A INTERVALLI


8. Coefficiente di variazione (CV) Talvolta viene espresso mediante percentuale

Consente di confrontare :

distribuzioni di dati relativi a variabili che hanno unità di misura diverse

la variabilità nei punteggi ottenuti su una stessa prova da gruppi diversi di soggetti

M

s=CV

100×M

s=CV





Docente:




SCALA A INTERVALLI

LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z

Le distanze dalla media hanno un significato diverso a seconda della variabilità della distribuzione dei dati

Serve una statistica che tiene conto degli scarti dalla media in funzione della variabilità usa la deviazione standard come nuova unità di

misura

Se esprimiamo tutti i valori della distribuzione secondo i punti z otteniamo una distribuzione standard, che è omomorfa a quella originale e ha media 0 e deviazione standard 1

sM -x

z =σ

μ-xz =





Docente:




SCALA A INTERVALLI

LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: I PUNTI Z

Formule inverse: per ricavare il valore di x a partire dal valore di z (media e la deviazione standard del campione o della popolazione devono essere note)

zsMx = zσμx =





Docente:




SCALA A INTERVALLI

LA STANDARDIZZAZIONE DELLE MISURE: ALTRI INDICI

Trasformazione lineare dei punti z

Nella costruzione di tali scale si parte quindi sempre dai punti z ottenuti dai punteggi originali

Punti T. M = 50 e S = 10 T = 50 + 10 ▪ z

Sten (da standard ten). M = 5.5 e S = 2 Sten = 5.5 + 2 ▪ z

Stanine (da standar nine). M = 5 e S = 2 Stanine = 5 + 2 ▪ z





Docente:




SCALA A INTERVALLI

INVARIANZE: INDICI DI POSIZIONE E DISPERSIONE

Ranghi percentili: invarianza assoluta

Punti z: invarianza assoluta

DIQ: invarianza di confronto

Campo di variazione: invarianza di confronto

Varianza e deviazione standard: invarianza di confronto

Se si aggiunge una costante a tutti i dati di una distribuzione, il campo

di variazione, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard

rimangono invariati.

Se tutti i dati di una distribuzione vengono moltiplicati per una costante

positiva, la gamma, la differenza interquartile, la varianza e la deviazione standard

risultano moltiplicati per lo stesso numero positivo.


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