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Psicometria con Laboratorio di SPSS 2Analisi della varianza

(v. 1.6, 27 marzo 2018)

Germano Rossi1

[email protected]

1Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

2017-18

G. Rossi (Dip. Psicologia) Psico 2017-18 1 / 54

Analisi della varianza

Analysis of variance (Anova, AOV) è una tecnica statistica checonfronta due o più gruppi fra di loroÈ un’estensione del t-test che si usa quando si hanno più di 2gruppiLa variabile dipendente dev’essere quantitativaLe variabili indipendenti devono essere qualitative


Tipi di anova

Le situazioni più comuni sono:Variabili Anova

1 VD (I/R) suddivisa in base ad 1 VI con 3o+categorie (N/O)

1 fattore

1 VD (I/R) suddivisa in base a 2o+ VI (N/O) con2o+ categorie

2o+ fattori

1 VD (I/R) misurata più volte (cioè misureripetute, MR)

misure ripetute,Manova

1 VD (I/R) suddivisa in base a 1o+ VI e MR mista1 VD (I/R) [disegni precedenti]+covariate Ancova,

Mancova

VD = variabile dipendente; VI = variabile indipendente;MR = Misure ripetute; I/R = Intervallo/rapporto; N/O = Nominale/ordinale


Tipi di anova

I modelli anova si distinguono anche come:

Modelli

between, tra tutte le osservazioni sono indipendenti rispetto alle VI(estensione del t-test per campioni indipendenti)

within, entro le VD misurano più volte lo stesso caso statistico(estensione del t-test appaiato)

misti ci sono sia variabili misurate più volte sia VDcovariati quando le VD vengono “depurati” dall’influenza di

una variabile molto correlata con loro

Per spiegare i concetti userò l’anova a 1 fattore indipendente epresenterò un esempio di anova a 2 fattore indipendente; l’anovasarà affrontata al corso del II anno


Analisi della varianza

Disegni a 1 via: quando c’è una sola variabile indipendente (anovaunivariata)

Disegni fattoriali: con 2 o più variabili indipendenti (anova multivariata)

Disegni tra i soggetti (between subjects): quando, rispetto ad una VI, isoggetti sono misurati una sola volta (ad es. ansia misurata fra maschi efemmine)

Disegni entro i soggetti (within subjects): quando, rispetto ad una VI, isoggetti sono misurati più di una volta (ad es. ansia prima e dopo unesame)


Esempio empirico

In un campione di persone abbiamo misurato l’autoritarismo(variabile Y) usando la scala di Karen Stenner (5 item sulle coseimportanti da insegnare ad un bambino, maggiore il punteggio,maggiore l’autoritarismo) e l’orientamento politico (su una scalada 1 a 10, da sinistra a destra)Raccogliamo i 10 punteggi dell’orientamento politico in 3categorie (variabile X): 1-3 => SX, 4-7 => Centro, 8-10 => DXL’autoritarismo è uguale nei tre gruppi? Oppure ognisottocampione (in base all’orientamento politico) ha parametridella popolazione diversi?Se usassimo il t-test (differenza delle medie, dovremmo fare 3confronti a coppie: SX vs. Centro, SX vs. DX, Centro vs. DX)Usiamo l’analisi della varianza


Esempio empirico

Stenner

N Media Dev. std. Err. std. Minimo Massimo

SX 154 13,16 4,159 0,335 5 25Centro 182 14,63 4,391 0,326 5 27

Dx 80 15,94 5,321 0,595 5 30

Totale 416 14,34 4,607 0,226 5 30

ANOVA univariataSomma Mediaquadrati df quadrati F Sig.

Fra gruppi 433,245 2 216,622 10,68 0,000Entro gruppi 8373,964 413 20,276

Totale 8807,209 415

C’è almeno un gruppo che ha una media statisticamente diversa da quelle degli altri(cioè è stato estratto da una popolazione con parametri diversi)


Esempio empirico

Quale? Usiamo i confronti a posteriori

Test post hoc - Sottoinsiemi omogenei StennerStudent-Newman-Keuls

N Sottoinsieme per alfa = .051 2 3

SX 154 13,1623Centro 182 14,6319

Dx 80 15,9375

Sig. 1,000 1,000 1,000

Le tre medie sono tutte diverse fra di loro, ovvero i campioni su cui sono statecalcolate sono stati estratti da popolazioni con parametri statistici diversi


Esempio empirico


La logica dell’anova

Possiamo pensare all’autoritarismo (Y) come ad una variabilecasuale il cui valore atteso è la sua media

E(Y ) = 𝜇y

Tuttavia l’orientamento politico (X) può influenzare l’autoritarismoaggiungendo un certo valore

Ysx = 𝜇y + 𝜇sx

Ydx = 𝜇y + 𝜇dx

e infine si aggiunge un possibile errore casuale (𝜀) che dipende daogni singolo soggetto



quindi il punteggio di ogni soggetto i appartenente al gruppopolitico j è

yij = 𝜇+ 𝛼i + 𝜀ij

cioè dipende dalla media della variabile nella popolazione

�� = y

da un fattore di correzione dovuto all’influenza della variabileindipendente (fattore del trattamento)

��1 = (yi. − y..)

e ad un errore dovuto al caso statistico (fattore di correzione)

𝜀ij = (yij − yi.)



per l’Anova assumiamo (fra l’altro) che1 normalità: la variabile dipendente (autoritarismo) sia quantitativa e

che si distribuisca normalmente2 omogeneità della varianza: i diversi campioni (in base alla v.

indipendente) siano estratti dalla stessa popolazione e abbianoquindi varianza uguale fra loro e con quella della popolazione

𝜎21 = 𝜎2

2 = · · · = 𝜎2k

e quindi𝜎2

1 = s21 · · ·

3 indipendenza dei soggetti: le osservazioni siano fra loroindipendenti e quindi le differenze individuali siano casuali



Ipotizziamo che tutti i gruppi abbiano la stessa media

H0 : 𝜇1 = 𝜇2 · · ·

L’ipotesi alternativa sarà che almeno un gruppo ha media diversadagli altri

H1 : 𝜇i = 𝜇j · · ·

per semplicità usiamo campioni di uguale numerosità


Una logica alternativa

Between

Totale

Within

trattamento

punteggio

errore

Seguendo un altro ragionamento,possiamo considerare il punteggio Ydi un soggetto come formato da unpunteggio vero (dovuto altrattamento) e da una componented’errore (dovuta ai singoli soggetti)Noi conosciamo solo il valoremisurato (Y ) e la sua varianza totaleL’anova ipotizza che il punteggio verosia uguale alla media dei singolicampioni (Y ) e che l’errore sia Y − YF è calcolato con la varianza delpunteggio vero divisa la varianzadell’errore



Se sono veri i primi due assunti, i gruppi formati dall’indipendentesono uguali, hanno la stessa forma e la stessa varianzaSe hanno la stessa varianza, possiamo calcolare la stima dellavarianza della popolazione come media delle varianze dei singolicampioni

��21 = s2

1 · · · ��2e =

∑s2

ik

=

∑ni=1

∑kj=1(yij − yi.)

2

k(n − 1)

con yij = il punteggio di un individuo in un certo gruppo, yi. = lamedia di quel gruppo, n=l’ampiezza del singolo gruppo ek=numero dei gruppi



Se H0 è vera, allora la varianza della popolazione è stimabileanche tramite la distribuzione campionaria delle medie

𝜎2Y =

𝜎2

n

Le medie dei singoli gruppi sono utilizzate per stimare la varianza,quindi con

��2t = n��2

y =n∑k

j=1(yi. − y..)2

k − 1dove n è l’ampiezza, yi. è la media calcolata su ogni gruppo e y.. èla media delle medie



La varianza totale (yij − y ) considera tutti i casi statistici come unsolo gruppo e viene quindi scomposta in due diverse stime dellavarianza della popolazioneyij − yi.: La prima è calcolata “entro i gruppi” (chiamata anchewithin o varianza d’errore = MSe) perché si basa sulle differenzeindividuali rispetto alla media dei singoli gruppiyi − y..: La seconda “fra i gruppi” (chiamata anche between ovarianza di trattamento = MSt ) perché considera uguali gliindividui di un gruppo e imputa le differenze al trattamento (lavariabile categoriale usata per suddividere il campione in gruppi)



il loro rapporto si distribuisce secondo la curva di probabilità di F

F =MSt

MSe

con k − 1 e k(n − 1) gradi di libertàSe il rapporto è piccolo (e non significativo) le due stime sonouguali e quindi non vi è differenza fra i gruppiSe il rapporto è grande (e significativo), le due stime sono diversee vi è differenza fra i gruppi


Esempio di calcolo della varianza

Gruppo (X − X )2∑

X 2 (∑

X )2

19 0,4444444 81

12 5,4444444 1448 2,7777778 64∑

29 8,6666667 289 841

X = 29 /3 = 9,667

292= 841

289 − 841 /33 − 1

Per i calcoli ricordiamo che

var =

∑(Xi − X )2

N − 1=

∑x2 − (

∑x)2

NN − 1

=

∑X 2 − (

∑X )2 /N

N − 1

e che il numeratore si chiama anche somma dei quadrati, ildenominatore può essere pensato come un gdl


Esempio di calcolo: fase 1-varianza totale

EsempioAov1.savGruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati

9 4 3 81 16 912 2 6 144 4 36

8 5 3 64 25 9∑29 11 12 289 45 54

M 9,667 3,667 4,000

(∑

Xij)2 = (29 + 11 + 12)2 = 2704∑

X 2ij = 289 + 45 + 54 = 388

SStot =∑

X 2ij − (

∑Xij)

2/N = 388 − 2704/9 = 87.556 totale

gdl = N − 1 = 8MStot = var(X ) = SStot/gdl = 10.944


Esempio di calcolo: fase 2-varianza fra i gruppi

Sostituisco i valori con le medie dei gruppi

Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati

9,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,0009,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,0009,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,000

29,000 11,000 12,000 280,353 40,341 48,000

(∑

x)2 = (29 + 11 + 12)2 = 2704∑x2 = 280,353 + 40,341 + 48 = 368.694

SSt =∑

x2 − (∑

x)2/N = 368.694 − 2704/9 = 68.25 fra

gdl = k − 1 = 2MSt = SSt/gdl = 34.125


Esempio di calcolo: fase 3-varianza entro i gruppi

Sostituisco i valori con gli scarti dalla media: Xi − X

Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati

-0,667 0,333 -1,000 0,444 0,111 1,0002,333 -1,667 2,000 5,444 2,778 4,000

-1,667 1,333 -1,000 2,778 1,778 1,000

0,000 0,000 0,000 8,667 4,667 6,000

(∑

x)2 = (0 + 0 + 0)2 = 0∑x2 = 8,667 + 4,667 + 6 = 19.334

SSe =∑

x2 − (∑

x)2/N = 19.334 − 0/9 = 19.334 entro

gdl = k(n − 1) = 6MSe = SSe/gdl = 3.222


Esempio di calcolo: fase finale

Risultati da calcoli a manoSS gl MS F Sig

Trattamento 68,222 2 34,111 10,586Errore 19,334 6 3,222

Totale 87,556 8 10,944

Risultati da SPSSSomma dei Media dei

quadrati gl quadrati F Sig.

Fra gruppi 68,222 2 34,111 10,586 0,011Entro gruppi 19,333 6 3,222Totale 87,556 8


In SPSS: univariata 1 fattore

Analizza | Confrontamedie | ANOVAunivariata...

trascinate almeno unavariabile quantitativa(Intervallo o a rapporto) nelriquadro Variabilidipendenti

se indicate più dipendenti, verrà calcolata una anova per ognivariabile indicatatrascinate una variabile qualitativa (Nominale o Ordinale) nelriquadro Fattore:

Date l’OK


In SPSS: univariata, Risultati

Usando il file EsempioAov1.sav


Analisi della varianza 2-fattori between

L’analisi della varianza si può usare anche con più variabiliindipendenti categorialiIpotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasced’età), il modello generale dell’anova diventerà

X = 𝜇+ 𝛼+ 𝛽 + 𝜑+ 𝜀

ovvero il punteggio X è scomponibile come:una parte dovuta alla variabile dipendente (𝜇 = X...)

una parte dovuta alla prima indipendente (𝛼 = (Xi.. − X...))una alla seconda indipendente (𝛽 = (X.j. − X...))una alla loro interazione (𝜑 = 𝜇ij − 𝜇− (𝛼+ 𝛽))e alle differenze individuali (o errori 𝜀 = (Xijk − Xij.))




X = 𝜇+ 𝛼+ 𝛽 + 𝜑+ 𝜀

ovvero il punteggio X è scomponibile come:una parte dovuta alla variabile dipendente (𝜇 = X...)una parte dovuta alla prima indipendente (𝛼 = (Xi.. − X...))

una alla seconda indipendente (𝛽 = (X.j. − X...))una alla loro interazione (𝜑 = 𝜇ij − 𝜇− (𝛼+ 𝛽))e alle differenze individuali (o errori 𝜀 = (Xijk − Xij.))




X = 𝜇+ 𝛼+ 𝛽 + 𝜑+ 𝜀

ovvero il punteggio X è scomponibile come:una parte dovuta alla variabile dipendente (𝜇 = X...)una parte dovuta alla prima indipendente (𝛼 = (Xi.. − X...))una alla seconda indipendente (𝛽 = (X.j. − X...))

una alla loro interazione (𝜑 = 𝜇ij − 𝜇− (𝛼+ 𝛽))e alle differenze individuali (o errori 𝜀 = (Xijk − Xij.))




X = 𝜇+ 𝛼+ 𝛽 + 𝜑+ 𝜀

ovvero il punteggio X è scomponibile come:una parte dovuta alla variabile dipendente (𝜇 = X...)una parte dovuta alla prima indipendente (𝛼 = (Xi.. − X...))una alla seconda indipendente (𝛽 = (X.j. − X...))una alla loro interazione (𝜑 = 𝜇ij − 𝜇− (𝛼+ 𝛽))

e alle differenze individuali (o errori 𝜀 = (Xijk − Xij.))




X = 𝜇+ 𝛼+ 𝛽 + 𝜑+ 𝜀

ovvero il punteggio X è scomponibile come:una parte dovuta alla variabile dipendente (𝜇 = X...)una parte dovuta alla prima indipendente (𝛼 = (Xi.. − X...))una alla seconda indipendente (𝛽 = (X.j. − X...))una alla loro interazione (𝜑 = 𝜇ij − 𝜇− (𝛼+ 𝛽))e alle differenze individuali (o errori 𝜀 = (Xijk − Xij.))


Scomposizione della varianza

Totale

Within (Errore) Between (Trattamento)

A B AxB

La varianza totale è quindi scomponibile in una parte dovuta alledifferenze individuali (within=errore) e una parte dovuta aitrattamenti (che in questo caso sono 2 diversi)La varianza dovuta ai trattamenti (Between) è scomponibile inuna parte dovuta solo al primo trattamento (A), una dovuta solo alsecondo trattamento (B) e una parte dovuta alla loro interazione(AxB)


Esempio concreto

EsempioAov2.sav

Var. dipendente:Errori ad un testVar. indipendenti:Alcool;Deprivazione disonno

Deprivazione sonno4h 12h 24h

Alcool 16 18 2212 16 2417 25 32

No Alc. 11 13 129 8 14

12 11 12

1 Questi dati possono essere considerati come un solo campione (mediatotale)

2 Ignorando la variabile alcool (i 3 gruppi della deprivazione di sonno)3 Ignorando la variabile deprivazione di sonno (i 2 gruppi di alcool)4 Considerando i 6 sottogruppi


Varianza totale (18 punteggi)

Depriv. sonno Quadrati

4h 12h 24h

Alcohol 16 18 22 256 324 48412 16 24 144 256 57617 25 32 289 625 1024

No Alc. 11 13 12 121 169 1449 8 14 81 64 196

12 11 12 144 121 144

Somma 77 91 116 1035 1559 2568

(∑

x)2 = (77 + 91 + 116)2 = (284)2 = 80656∑X 2 = 1035 + 1559 + 2568 = 5162

SQtot = 5162 − 80656/18 = 681.111gdl = N − 1 = 18 − 1 = 17


Varianza dell’errore (18 scarti dalle relative medie)

Depriv. sonno Quadrati

4h 12h 24h

Alcohol 1,000 -1,667 -4,000 1 2,778 16-3,000 -3,667 -2,000 9 13,444 42,000 5,333 6,000 4 28,444 36

No Alc. 0,333 2,333 -0,667 0,111 5,444 0,444-1,667 -2,667 1,333 2,778 7,111 1,7781,333 0,333 -0,667 1,778 0,111 0,444

Somma 0,000 0,000 0,000 18,667 57,333 58,667

(∑

x)2 = (0 + 0 + 0)2 = (0)2 = 0∑X 2 = 18,667 + 57,333 + 58,667 = 134,667

SQtot = 134,667 − 0/18 = 134,667gdl = N − kA * kB = 18 − 3 * 2 = 12


Varianza sonno (3 medie del fattore A)

Depriv. sonno Quadrati4h 12h 24h

Alcohol 12,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,778

No Alc. 12,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,778

Somma 77 91 116 988,167 1380,167 2242,667

(∑

x)2 = (77 + 91 + 116)2 = (284)2 = 80656∑X 2 = 988,167 + 1380,167 + 2242,667 = 4611

SQA = 4611 − 80656/18 = 130.045gdl = kA − 1 = 3 − 1 = 2


Varianza alcool (2 medie del fattore B)


Alcohol 20,222 20,222 20,222 408,938 408,938 408,93820,222 20,222 20,222 408,938 408,938 408,93820,222 20,222 20,222 408,938 408,938 408,938

No Alc. 11,333 11,333 11,333 128,444 128,444 128,44411,333 11,333 11,333 128,444 128,444 128,44411,333 11,333 11,333 128,444 128,444 128,444

Somma 94,667 94,667 94,667 1612,148 1612,148 1612,148

(∑

x)2 = (77 + 91 + 116)2 = (284)2 = 80656∑X 2 = 1612,148 + 1612,148 + 1612,148 = 4836,444

SQB = 4836,444 − 80656/18 = 355.405gdl = kB − 1 = 2 − 1 = 1


Varianza interazione (fattore AxB)

Deprivazione sonno

4h 12h 24h

Alcohol 15,00 19,67 26,00 20,22No Alc. 10,67 10,67 12,67 11,33

Il calcolo dei puntegginecessari per calcolare lavarianza dell’interazionesono un poco piùcomplessi

Si parte dalle medie dei singoli gruppia cui si sottrae la media di una delle variabili categoriali (A o B):15 − 20.222 = −5.222 e 10.667 − 11.333 = −0.666si calcola la media di colonna:(3 * (−5.222) + 3 * (−0.666))/6 = −2.944che si sottrae ai singoli valori di quella colonna:−5.222 − (−2.944) = −2.278 e −0.666 − (−2.944) = 2.278


Varianza interazione (6 medie del fattore AxB)


Alcohol -2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938

No Alc. 2,278 -0,056 -2,222 5,188 0,003 4,9382,278 -0,056 -2,222 5,188 0,003 4,9382,278 -0,056 -2,222 5,188 0,003 4,938

Somma 0 0 0 31,130 0,019 29,630

(∑

x)2 = (0 + 0 + 0)2 = (0)2 = 0∑X 2 = 31,130 + 0,019 + 29,630 = 60.778

SQAxB = 60.778 − 0/18 = 60.778gdl = (kA − 1)(kB − 1) = 2x1 = 2


Riepilogo: calcolato e SPSS

Sorgente SQ gdl MQ F

Effetti principali Sonno 130,111 2 65,056 5,80Alcohol 355,556 1 355,556 31,68

Interazioni SxA 60,778 2 30,389 2,71Errore 134,667 12 11,222

Totale 681,111 17 40,065

Test degli effetti fra soggetti Variabile dipendente: errori

Sorgente SQ df MQ F Sig.

Modello corretto 546,444(a) 5 109,289 9,739 0,001Intercetta 4.480,889 1 4.480,889 399,287 0,000

alcool 355,556 1 355,556 31,683 0,000sonno 130,111 2 65,056 5,797 0,017

alcool * sonno 60,778 2 30,389 2,708 0,107Errore 134,667 12 11,222Totale 5.162,000 18

Totale corretto 681,111 17

(a). R quadrato = ,802 (R quadrato corretto = ,720)


Per capire i risultati

Per capire e interpretare i risultati dobbiamo guardare le medie(marginali stimate) degli effetti significativi (con soli fattori between,coincidono con quelle calcolate, salvo missing)

Variabile dipendente: errori

alcool Media Errore std. Intervallo di confidenza 95%Limite inferiore Limite superiore

Alcool 20,222 1,117 17,789 22,655No alcool 11,333 1,117 8,900 13,766

sonno Media Errore std. Intervallo di confidenza 95%Limite inferiore Limite superiore

4h 12,833 1,368 9,854 15,81312h 15,167 1,368 12,187 18,14624h 19,333 1,368 16,354 22,313


In Spss: univariata 2 fattori

Analizza | Modello linearegeneralizzato |Univariata...

Inserite la variabile da studiare inVariabile dipendente

Inserite le variabili categoriali inFattori fissi

Scegliete i contrasti o post-hoc se li volete

Nel pulsante Opzioni, selezionare le Medie marginali stimate (sevolete)

Date l’OK


Possibili esempi di interazione

ipotizzando 2 INDIP (3x2) e unendo i valori medi di una indipendentesuddivisi e separatamente per l’altra, otteniamo due lineeLa forma di interazione più comune è quando le linee si incrociano (fig 1e 2)Ma anche quando in corrispondenza di un valore c’è una differenzaparticolarmente diversa (fig 3)


Possibili esempi di interazione

Anche se non èsignificativa (p=.107)

questa è l’interazione fraAlcool e Sonno dei datiprecedenti

Se le differenze perSonno in Alcool=1fossero state più ampie,l’interazione sarebbeprobabilmentesignificativa


Anova 1 fattore: Opzioni

Si possono chiedere le descrittive(medie, dev.st.)e 3 diversi test di omogeneitàdella varianzaSe il primo è significativo, si puòchiedere una versione corretta diF (Brown-Forsythe; Welch)si può chiedere larappresentazione grafica dellemedie


Anova 1 fattore: Opzioni

Levene non sig.; si usa la Fnormale

Se Levene è sig., meglio Welch salvo se 1media è elevata con ampia varianza


Univariata: Opzioni


Confronti post-hoc

Sono confronti che si fanno a posteriori, se l’Anova è significativae se ci sono più di 2 gruppi in una variabile indipendenteLa logica è quella di tenere sotto controllo i problemi disignificatività legati ai confronti multipli.

In Spss, premete il bottone Post Hoc... e selezionate tutti i testche voletegli output sono di due tipi: confronti multipli completi oppure gruppiomogeneiVi sono diverse procedure che effettuano confronti post-hoc


Anova 1 fattore: Post-hoc


Confronti post-hoc: confronti multipli



Confronti post-hoc: confronti multipli

HSD di Tukey - Variabile dipendente: ABA

Differenza Intervallo difra medie Err. std. Sig. confidenza 95%

Lim. sup. Lim. inf.

SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168 -2,409 8,002Dx 7,859 2,7597 0,0128 1,369 14,349

Centro SX -2,796 2,2137 0,4168 -8,002 2,409Dx 5,063 2,6940 0,1459 -1,273 11,398

Dx SX -7,859 2,7597 0,0128 -14,349 -1,369Cent. -5,063 2,6940 0,1459 -11,398 1,273

Viene fornita la differenza delle medie (ma non le medie), la sig. e l’intervallo diconfidenza (se include 0, non significativo)

Ogni gruppo viene confrontato con tutti gli altri

Non è significativa: le medie dei 2 gruppi sono simili

È significativa: le medie dei 2 gruppi sono diverse


Confronti post-hoc: gruppi omogenei


ogni colonna numerata riportale medie dei gruppi omogeneifra loroin questo esempio, 2 e 3 sonoomogenei fra loroin fondo alle colonne numeratecompare la probabilità rispettoad H0

ovvero se dico che i gruppiindicati non sono omogenei,corro il rischio di sbagliareindicato


Confronti post-hoc: gruppi omogenei

HSD di Tukey

trepol N Sottoinsieme per alfa = .052 1

Dx 87 33,580Centro 191 38,643 38,643SX 165 41,439

Sig. 0,120 0,521

Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei.

Le medie di Centro e DX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e lasig. di questa scelta è 12%

Le medie di Centro e SX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e lasig. di questa scelta è 52,1%

Le medie di DX e SX non sono omogenee fra loro (vengono da duepopolazioni diverse)


Univariata: Post hoc

Con + VI,bisogna primaindicare lavariabile dausareNon ha sensoindicare una VIcon 2 solecategorie


Confronti post-hoc: metodi

alcuni presumono che le varianze fra i gruppi siano uguali: LSD(Least Significant Difference), Bonferroni, Sidak, Scheffé, SNK(Studentized-Neumann-Kouls), Tukey HSD (Honesty SignificantDifference), Duncan, Hochberg, Gabriel, Waller-Duncan, Dunnettaltre no: Tamhane, Dunnett, Games-Howell, C di Dunnettrichiedono che le N dei gruppi siano = o di poco =: LSD, HSD, F-H(LSD modificata), REGWQ (Ryan, Einot, riel e Welsch Q), Gabrielaccettano gruppi con N =: Hoch GT2, Games-Howell, Gabriel,Tamhane T2, Dunnett T3, Dunnett CN piccoli: Games-Howell è molto potente ed accuratoMeglio con solo 3 gruppi: LSDMeglio 4 o più gruppi: HSD, F-H, Bonferroni, Tukey, REGWQTukey è conservativo, quindi adatto a molti confronti


Confronti post-hoc

Bonferroni è adatto alle ricerche esplorative, è molto potente conpoche medie da confrontareREGWD è quello che viene suggerito perché è potente e tienesotto controllo l’errore di tipo I meglio di tutti gli altri (però richiedeampiezze uguali)

Per concluderegruppi con stessa numerosità e varianza uguale: REGWD o Tukey(potenti e controllo Tipo I); Bonferrori per pochi confrontiampiezze leggermente diverse: Gabriel (molto potente)ampiezze molto diverse: Hoch GT2se ci sono dubbi sull’omogeneità delle varianze: Games-HowellField (2003) suggerisce di usare sempre Games-Howell inaggiunta agli altri


Confronti a priori

Oltre ai post hoc si possono effettuare dei confronti a prioriovvero decisi prima ancora di effettuare l’anova, sulla base di unateoriaQuesti confronti si chiamano anche contrastiperché contrastano la media di uno o più gruppi con quella di altriAnche in questo caso ci sono due possibilità:

contrasti predefiniti: lineare, quadratico, Helmert. . .contrasti decisi da noi, tramite t-test

Ovviamente, si usano quando si ha una teoria di partenzaI post-hoc si usano quando invece non c’è una teoria di partenzaÈ possibile quindi che dopo i post-hoc si decisa di usare i confronti


Confronti a priori

In Spss, premete il bottone Contrasti...

se selezionate Polinomiale, poi potete scegliere fraLineare: ipotizzo che le medie aumentano o diminuiscono nellevarie categorie in modo lineareQuadratico: in forma di U o U rovesciata (1 punto di cambiamentodella direzione)Cubico: 2 punti di cambiamento della direzione

altrimenti dovrete inserire dei coefficienti (uno alla volta e poi

premere Aggiungi ).Dovete inserire tanti coefficienti quanti sono i gruppi previsti dallavariabile indipendentela somma dei coefficienti dev’essere 0.dopo aver inserito un contrasto è possibile inserirne un secondo

tramite il pulsante Successivo


Confronti a priori: contrasti a scelta

Vengono contrastati (confronti)i gruppi che hanno lo stessopesoI pesi vanno inseriti nell’ordinedei gruppi da contrastareUno alla volta, poi AggiungiLa somma dei pesi dev’essere0 (zero)Non è necessario chevengano usati tutti i gruppi.Usando Avanti possiamoinserire altri contrasti


Confronti a priori: contrasti a scelta

Se ho 4 gruppi, i coefficienti -1 0 .5 .5 (oppure -2 0 1 1)confrontano il primo con la somma del terzo e quarto, ignorando ilsecondoSi devono confrontare sempre e soltanto 2 raggruppamenti.

1 confronto fra SX e DXContrasto trepol

SX Centro Dx

1 1 0 -1

Risultato di Test di contrasto

Contrasto Valore di Sig.contrasto Err. std. t df (2-code)

Assumi var. = 2,775 0,621 4,472 413 0,000Assumi var. = 2,775 0,683 4,064 130,333 0,000


Confronti a priori: Lineare

ANOVA univariataStenner

Somma dei Media deiquadrati df quadrati F Sig.

Fra gruppiCombinato 433,245 2 216,622 10,684 0,000Termine Non pesato 405,482 1 405,482 19,998 0,000lineare Pesato 432,589 1 432,589 21,335 0,000

Deviazione 0,656 1 0,656 0,032 0,857Entro gruppi 8.373,964 413 20,276Totale 8.807,209 415


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