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Introduzione L’esame di Economia Politica Le pulci d’acqua Corso di Psicometria Progredito 4.2 I principali test statistici per la verifica di ipotesi: Il test F Gianmarco Altoè Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia Università di Cagliari, Anno Accademico 2013 - 2014
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Introduzione L’esame di Economia Politica Le pulci d’acqua
Corso di Psicometria Progredito4.2 I principali test statistici per la verifica di ipotesi:
Il test F
Gianmarco AltoèDipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia
Università di Cagliari, Anno Accademico 2013 - 2014
Introduzione L’esame di Economia Politica Le pulci d’acqua
Sommario
1 Introduzione
2 L’esame di Economia Politica
3 Le pulci d’acqua
Introduzione L’esame di Economia Politica Le pulci d’acqua
La verifica dell’omogeneità delle varianze
Nella lezione precedente abbiamo imparato a verificarel’ipotesi riguardante l’uguaglianza tra le medie di duecampioni indipendenti.
E se volessimo verificare l’omogeneità delle varianze di duecampioni indipendenti?
Esistono vari test statistici in grado di testare tale ipotesi.
Nel corso di questa lezione vedremo il test F o del rapportotra due varianze.
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Un po’ di storia sulla distribuzione F diFisher-Snedecor
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La distribuzione F di Fisher-SnedecorDistribuzione F al variare dei gradi di libertà
F
Densità
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
gradi di libertà (5,5)gradi di libertà (5,10)gradi di libertà (10,10)gradi di libertà (15,10)gradi di libertà (20,20)
Nota bene: A differenza della distribuzione Normale e della t di Student la
distribuzione F è definita solo per valori (quantili) positivi.
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Il test F: i passi fondamentali1 L’ipotesi nulla del test prevede l’omogeneità delle varianze
dei due campioni (omoschedasticità). L’ipotesi alternativaprevede l’eterogeneità delle varianze dei due campioni(eteroschedasticità).
2 La statistica test è data dal rapporto tra la varianzamaggiore e la varianza minore.
3 Sotto H0 la statistica test si distribuisce come una F diFisher-Snedecor con gradi di libertà rispettivamente pari a: lanumerosità del campione con varianza maggiore meno uno,la numerosità del campione con varianza minore meno uno.
4 Se il valore osservato di F è superiore al valore critico,individuato per un livello di significatività α fissato a priori,l’ipotesi nulla deve essere rifiutata.
... vediamo subito un esempio ;-)
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L’esame di Economia Politica
A due gruppi di studenti, ciascuno di 9 persone, vienesottoposta una simulazione dell’Esame di Economia Politica.Gli studenti del Gruppo A hanno frequentato il corso diEconomia Politica, mentre gli studenti del Gruppo B hannostudiato ciascuno per conto proprio senza frequentare ilcorso.
Sapendo che, la deviazione standard campionaria dei risultatidel Gruppo A è pari a 5 mentre quella dei risultati del GruppoB è pari a 10, si può concludere ad un livello di significativitàdel 5% (α = 0.05) che i due gruppi non hanno varianzaomogenea?
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1. La costruzione del sistema di Verifica di Ipotesi
{H0 : σ
2a = σ
2b
H1 : σ2a 6= σ2b
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2. Calcolo del valore osservato della statistica testLa statistica test è data dal rapporto tra la varianza campionariamaggiore e la varianza campionaria minore:
FOSS =s2maxs2min
=102
52= 4
Dalla teoria sappiamo che se vale H0 la statistica test sidistribuisce come una F di Fisher-Snedecor connmax − 1 ; nmin − 1 (8 ; 8 nel nostro caso) gradi di libertà.
Note:
s2max ; s2min sono rispettivamente le varianze campionarie del gruppo con
varianza maggiore e minore
nmax ; nmin sono rispettivamente le numerosità campionarie del gruppocon varianza maggiore e minore
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3. Confronto tra valore osservato e valore critico
Distribuzione F con (8,8) gradi di libertà
F
Densità
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
FCRIT = 3.438 FOSS = 4
Rifiuto Ipotesi NullaNon Posso Rifiutare Ipotesi Nulla
α = 0.05
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3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico edecisione finale
Dall’analisi condotta emerge che il valore osservato dellastatistica test è superiore al valore critico.L’ipotesi nulla che prevede l’omogeneità delle varianze deidue gruppi deve essere rifiutata ad un livello di significativitàdel 5%.
... in sostanza, dal punto di vista statistico, i dati nonsupportano l’omogeneità delle varianze dei due gruppi.
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Le pulci d’acqua (esercizio proposto)Nella seguente tabella sono riportate (in millimetri) lelunghezze di alcune pulci d’acqua. Le prime 5 pulci sonosono state prelevate dallo stagno A, mentre le altre 7 sonostate prelevate dallo stagno B.
Gruppo A Gruppo B3 43 55 44 32 6
56
Valutare ad un livello di significatività del 5% (α = 0.05)l’omogeneità delle varianze dei due gruppi di pulci.
