Tipi di relazione tra 2 variabili quantitative Covarianza e correlazione Un esempio completo Un esercizio

Corso di Psicometria Progredito5. La correlazione lineare

Gianmarco AltoèDipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia

Università di Cagliari, Anno Accademico 2013 - 2014

Tipi di relazione tra 2 variabili quantitative Covarianza e correlazione Un esempio completo Un esercizio

Sommario

1 Tipi di relazione tra 2 variabili quantitative

2 Covarianza e correlazione

3 Un esempio completo

4 Un esercizio

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Covariazione e causazione

Abbiamo una covariazione quando semplicementeosserviamo che due variabili X e Y presentano variazioniconcomitanti: al variare di una varia l’altra.

Si ha invece causazione quando ipotizziamo che unavariazione di X produca una variazione di Y .

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Esempio di covariazione

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Covariazione

Attenzione ai termini:

covariazione: è il termine generale che indica il fenomeno(sinonimo di associazione). Si riferisce quindi sia allarelazione tra variabili quantitative che categoriali.

covarianza: misura assoluta della covariazione tra duevariabili quantitative. (non ha un minimo e un massimo,dipende dall’unità di misura delle variabili).

correlazione: misura standardizzata della covariazione tradue variabili quantitative. (varia tra -1 e 1, è indipendentedall’unità di misura delle variabili).

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Esempio di causazione

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Tipi di relazioni causali

Esistono vari tipi di relazioni causali:

relazione diretta

relazione reciproca

relazione spuria

relazione indiretta (mediazione)

relazione condizionata (moderazione o interazione)

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Relazione diretta

Si tratta della relazione causale di primo ed immediatointeresse da parte del ricercatore.

Due variabili X e Y sono legate da una relazione causalediretta quando un mutamento nella variabile causa (X)produce un mutamento nella variabile effetto (Y ).

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Relazione reciproca

Quando viene meno la distinzione fra variabile causa eeffetto, quando le variabili si influenzano reciprocamente,quando in sostanza viene meno l’asimmetria del rapporto traX e Y si parla di relazione causale reciproca.

Altri termini usati per indicare una relazione reciproca sono:retroazione, simultaneità e mutua relazione.

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Relazione spuria

Il caso della relazione spuria è il caso classico di presenza dicovariazione pur in assenza di causazione.

Nella ricerca, le relazioni spurie non sono sempre semplici darilevare!!

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Relazione indiretta o mediazione

Abbiamo una relazione causale indiretta fra X e Y quando illoro legame causale è mediato da una terza variabile Z (Zfunge da ponte tra X e Y ).

Si parla di relazione indiretta totale quando tutto l’effetto diX su Y è mediato da Z, mentre si parla di relazione indirettaparziale quando X agisce su Y sia direttamente cheattraverso Z.

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Relazione condizionata o moderazione

Si parla di relazione condizionata quando la relazione tra duevariabili X e Y

cambia (è moderata) da una terza variabile Z. E’ il classicocaso di interazione: l’effetto di X su Y dipende dai livelli di Z.

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Leggere BENE le avvertenze ... prima dell’uso!

Soprattutto nei fenomeni studiati in psicologia, le relazionitra variabili sono molto complesse. Trarre conclusioni daanalisi bivariate, per altro utilissime a livello esplorativo, puòportare a errori di valutazione considerevoli. Quando èpossibile è certamente preferibile utilizzare approccimultivariati.

Nel provare la causalità di una relazione è determinantel’ipotesi teorica del ricercatore. Un modello statistico dasolo, non può mai provare la causalità di una relazione!

Al limite, un modello statistico può suggerire l’assenza di unarelazione causale . . . ma mai provarne l’esistenza!

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La covarianza

Date due variabili quantitative X e Y si definisce covarianzatra X e Y la seguente quantità:

σXY =

∑ni (Xi −X)(Yi − Y )

n

mentre la stima della covarianza della popolazione sulla basedei dati campionari è:

sXY =

∑ni (Xi −X)(Yi − Y )

n − 1

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La covarianzaLa covarianza consente di valutare se tra due variabili quantitative X eY esiste un legame lineare e di valutare se tale legame è positivo onegativo o nullo:

covarianza > 0:prevalenza di unità statistiche per le quali scartipositivi dei valori di X sono associati a scarti positivi dei valori di Ye scarti negativi dei valori di X sono associati a scarti negativi neivalori di Y. Covariazione positiva, all’aumentare di una variabile èassociato un aumento dell’altra.

covarianza < 0: prevalenza di unità statistiche per le quali scartipositivi dei valori di X sono associati a scarti negativi dei valori di Ye scarti negativi dei valori di X sono associati a scarti positivi neivalori di Y. Covariazione negativa, all’aumentare di una variabile èassociata una diminuzione dell’altra.

covarianza = 0: non esiste associazione tra scarti sulla X e scartisulla Y. Covariazione nulla, non esiste associazione lineare.

... vediamolo graficamente :-) !

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Grafico a dispersione nel caso di covarianza positiva

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Grafico a dispersione nel caso di covarianza negativa

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Grafico a dispersione nel caso di covarianza nulla

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La correlazione

La covarianza è un indice che dipende dalla unità di misuradelle variabili considerate.

E’ utile però poter disporre di un indice relativo dicovariazione che sia indipendente dall’unità di misura dellevariabili e che sia quindi maggiormente interpretabile.

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La correlazione

Dalla teoria sappiamo che:

−σXσY ≤ σXY ≤ σXσY

Possiamo quindi costruire un indice relativo, dettocoefficiente di correlazione di Bravais-Pearson,semplicemente dividendo tutti i membri della disequazioneper il reciproco del prodotto delle deviazioni standard.

ρ =σXYσXσY

Tale indice naturalmente varierà tra -1 e 1.

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Il coefficiente di correlazione lineare diBravais-Pearson

Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais Pearson misura iltipo e l’intensità della relazione lineare tra due variabili X e Y .

Esso si indica con:

con la lettera greca ρ se viene calcolato su tutta lapopolazione oggetto dell’indagine;

con la lettera r se viene calcolato su un campionerappresentativo della popolazione.

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Il coefficiente di correlazione lineare varia tra -1 e 1

Il segno di r (+ o -) da informazioni sul tipo di relazione:

il segno positivo indica che le due variabili aumentano odiminuiscono assieme (relazione lineare positiva)

il segno negativo indica che all’aumentare di una variabilel’altra diminuisce e viceversa (relazione lineare negativa)

Il valore assoluto di r, che varia tra 0 e 1, da informazioni sullaforza della relazione lineare:

è massimo (assume valore 1) quando esiste una perfettarelazione lineare tra le due variabili.

tende a ridursi al diminuire dell’intensità della relazionelineare e assume il valore 0 quando essa è nulla.

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Alcuni esempi

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Alcuni valori di riferimento nelle scienze sociali

r = ±.1⇒ effetto piccolor = ±.3⇒ effetto medior = ±.5⇒ effetto grande

Statistical power analysis for behavioral science (2nd ed).Cohen, J. (1988)

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I libri di casaUn insegnante di lingua e letteratura italiana delle scuole superiori ha svoltouna piccola indagine sui suoi 9 studenti per esplorare la relazione tra il numerodi libri presenti in casa e il profitto finale ottenuto in italiano. I dati sonopresentati nella seguente tabella:

Codice studente Profitto Y Libri in casa X1 10 462 6 203 7 184 4 225 9 306 3 157 4 408 9 229 5 28

1 Rappresentare graficamente i dati e commentarli.2 Calcolare il coefficiente di correlazione tra Profitto in Italiano e Numero

di Libri in casa e fornirne una breve interpretazione.3 Verificare per α = .05 la significatività della correlazione osservata.4 Commentare i risultati ottenuti.

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1. Rappresentazione grafica dei dati

15 20 25 30 35 40 45

02

46

810

(X) Numero di libri in casa

(Y) P

rofit

to in

ital

iano

Osservando il diagramma a dispersione tra le variabili osservatesembra emergere una relazione diretta e moderatamente linearetra il numero di libri posseduti in casa e il profitto in italiano.

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2.1 Il calcolo del coefficiente di correlazione

Il coefficiente di correlazione r è dato dalla seguente formula:

r =sXYsXsY

dove:

sXY =

∑ni (Xi −X)(Yi − Y )

n − 1

Al numeratore quindi abbiamo la covarianza campionaria sXYe al denominatore il prodotto delle deviazioni standardcampionarie sXsY

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2.2 Il calcolo del coefficiente di correlzione

Calcoliamo, per prima cosa, medie e deviazioni standardcampionarie delle 2 variabili, Numero di libri (X) e Profitto(Y):

X = 26.78 sX = 10.39

Y = 6.33 sY = 2.55

Calcoliamo la covarianza campionaria:

sXY =(46− 26.78)(10− 6.33) + · · ·+ (28− 26.78)(5− 6.33)

9− 1 = 10.08

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2.3 Il calcolo del coefficiente di correlazione

Sostituendo opportunamente i valori calcolati otteniamo ilcoefficiente di correlazione r :

r =10.08

10.39× 2.55 = .38

La correlazione calcolata, rispetto ai valori di riferimentoproposti da Cohen (1988), può essere considerata di mediadimensione.

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3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico econclusioni

Consultando le tavole statistiche si osserva che i valori criticidel coefficiente di correlazione per 7 (n − 2) gradi di libertà eun livello critico del 5% sono ±.67

Essendo il valore osservato rOSS = .38 compreso tra i valoricritici ±.67, l’ipotesi nulla, che prevede l’assenza dicorrelazione tra profitto e numero di libri, non può essererifiutata

Da un punto di vista descrittivo emerge una correlazione dieffetto medio e positiva tra il numero di libri posseduti e ilprofitto in italiano. Tendenzialmente quindi all’aumentare delnumero di libri presenti in casa sembra essere associato unaumento del profitto in italiano. Tale correlazione tuttavianon risulta statisticamente significativa per un livello criticodel 5%

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Empatia e bullismoNella seguente tabella sono riportati i punteggi ottenuti a duetest, uno sull’empatia (X) e uno sul bullismo (Y ), da 8 ragazzimaschi di età compresa tra i 12 e i 14 anni. In entrambi i test unpunteggio elevato indica un livello elevato del costrutto misurato.

Codice soggetto Empatia X Bullismo Y1 8 22 7 53 10 44 2 75 3 66 5 57 6 48 8 3

1 Rappresentare graficamente i dati e commentarli.2 Calcolare il coefficiente di correlazione tra Empatia e Bullismo e fornirne

una breve interpretazione.3 Verificare per α = .05 la significatività della correlazione osservata.4 Commentare i risultati ottenuti.

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Riferimenti bibliografici

Corbetta, P. (1992). Metodi di analisi multivariata per le scienzesociali. Bologna: Il Mulino.

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