1. Generalità sulle onde

Un�onda è una perturbazione, periodica o impulsiva, che si propaga conuna velocità de�nita. Le onde originano da una sorgente che produce laperturbazione.Esistono molti tipi di onde: onde di origine meccanica, come le onde

elastiche (ad es. onde sonore in un gas), o come le onde sismiche generatenei terremoti, o le onde sulla super�cie di un liquido. Tutti questi tipi dionde si possono propagare solo in presenza di un mezzo e sono generatedalla vibrazione di una sorgente che mette in moto le particelle del mezzocircostante. Ci sono poi le onde elettromagnetiche, generate da un motodi cariche elettriche; esse non hanno bisogno, per la loro propagazione, delsupporto di un mezzo, ma possono propagarsi anche nel vuoto.Sebbene l�onda si propaghi in un mezzo non si ha trasporto netto di mate-

ria: gli atomi o le molecole del mezzo vengono posti in movimento ed oscillanoattorno a delle posizioni di equilibrio. L�onda trasporta invece quantità dimoto ed energia.L�onda viene descritta come la perturbazione, rispetto alla con�gurazione

di equilibrio, di un campo opportuno; il campo può avere carattere scalare(ad es. campo di pressione per le onde sonore), o vettoriale (p.es. campo elet-tromagnetico per le onde elettromagnetiche). Descriviamo la perturbazionedel campo con una funzione delle coordinate spaziali x, y, z, e del tempo t: �(x; y; z; t) Tale funzione può essere periodica, oppure impulsiva. Se co-munque deve rendere conto di un fenomeno che si sposta con velocità Voccorre che le coordinate spaziali e temporali soddis�no a una condizioneopportuna. Consideriamo per semplicità un�onda che si propaghi solo in unadirezione (x): dunque �(x; t) descrive il �pro�lo�dell�onda e ad un istante�ssato t1 e nel punto di ascissa x1 il campo ha il valore �1 = �(x1; t1). Sel�onda si propaga nel verso positivo dell�asse delle x (onda progressiva), ad unistante successivo t2 > t1 (�gura 1) ritroveremo il valore �1in una posizionex2 tale per cui: x2 = x1 + v(t2 � t1) . Se dunque dev�essere �1 = �(x2; t2)occorre che l�argomento della funzione sia del tipo: x� vt. Infatti in questocaso: �(x2; t2) = � [x1 + v(t2 � t1)� vt2] = � [x1 � vt1] = �1 e ritroviamo ilvalore �1 all�istante t2 in corrispondenza ad un valore dell�ascissa spostatoverso destra, come ci si aspetta in un fenomeno di propagazione.

1

Anche un argomento del tipo x+ vt nell�espressione della funzione �(x; t)descrive un�onda, che tuttavia si propaga nel verso negativo dell�asse delleascisse, come si riconosce immediatamente (onda regressiva).In conclusione, qualunque funzione del tipo �(x � vt) descrive un�onda

che si propaga con velocità V de�nita lungo l�asse delle x, in un verso o inquello opposto, senza deformarsi. Tali onde sono dette piane (vedremo piùavanti il perché di tale denominazione).

2. L�equazione delle onde

Vediamo a quale equazione soddisfa una funzione del tipo �(x � vt). Siveri�ca subito che tale funzione soddisfa all�equazione:

detta equazione delle onde o di D�Alembert; in tre dimensioni si ottiene:

L�equazione è omogenea (manca il termine noto) e lineare (la funzione �compare, attraverso le sue derivate, solo alla prima potenza). Questo impli-ca che, se �1 e �2 sono due possibili soluzioni dell�equazione, lo è anche unaloro combinazione lineare: ��1 + ��2 con � e � coe¢ cienti costanti (prin-cipio di sovrapposizione). Fisicamente signi�ca che due o più onde possonoattraversare lo stesso spazio contemporaneamente senza in�uenzarsi recipro-camente. Per es. voci di persone diverse che parlano contemporaneamente

2

nello stesso luogo continuano ad essere riconoscibili come se ciascuna di essefosse presente da sola.In presenza di onde di grande ampiezza il principio di sovrapposizione

non vale più ed altre equazioni sostituiscono la (1) o la (2). Casi del generesi presentano in onde impulsive prodotte da esplosioni, oppure onde sullasuper�cie dell�acqua generate da terremoti (tsunami).

3. Onde in una corda tesa

Consideriamo una corda tesa lungo l�asse delle x e spostiamola di pocodalla sua posizione di equilibrio. Sia �(x; t) la funzione che descrive lo sposta-mento; mostriamo che soddisfa alla (1). Sia dl un elementino di corda sotto-posto ai suoi estremi alla tensione T, la quale forma con l�asse x gli angoli �e �0 (�gura 2).

Le componenti della forza sono:

3

Uguagliamo la forza così ottenuta al prodotto della massa del tratto dicorda dl per l�accelerazione; la massa è dm = �Sdl �= �Sdx, essendo S lasezione della corda e � la sua densità di volume, mentre l�accelerazione vale:

ay =@2�@t2

In conclusione si ottiene:

ovvero:

@2�

@x2= �S

T@2�

@t2= �

T@2�

@t2(3)

essendo � la densità lineare di massa (massa per unità di lunghezza dellacorda; si misura in kg=m).Troviamo che la legge di Newton si �trasforma�nell�equazione delle onde

(3), e la velocità con cui si propaga l�onda sulla corda è data da: V =q

T�,

come si ottiene confrontando la (1) con la (3). Lo spostamento dalla po-sizione di equilibrio � è perpendicolare alla direzione di propagazione x: siparla di onde trasversali. Si noti che tale condizione discende dal fatto chela componente della forza in direzione del moto, Fx , è nulla, una conseguen-za dell�ipotesi di piccole perturbazioni. Se si dà uno spostamento grandesi generano anche onde parallele alla direzione di propagazione (onde longi-tudinali). Un esempio di quest�ultimo tipo si ha per le onde sonore in ungas.

4

4. Onde sonore in un gas

Consideriamo del gas contenuto in un lungo tubo, di sezione unitaria,disposto nella direzione x, e siano �0 e p0 la densità e la pressione del gasall�equilibrio. All�estremità del tubo variamo la pressione del gas tramite undispositivo (ad es. un pistone) che oscilli periodicamente; si otterrà unavariazione locale di pressione e di densità, che verranno successivamentetrasmesse al resto del gas. Nell�ipotesi di piccole variazioni: � = �0 + d�;p = p0 + dp. Indichiamo come al solito con �(x; t) il generico spostamentodalla posizione di equilibrio. Sia dm = �0dx la massa di gas compresa tradue sezioni passanti per i punti di coordinate x e x+ dx (�gura 3)

In conseguenza della perturbazione la massa dm subisce uno spostamentoe all�istante t la si ritrova tra i piani passanti per i punti: x+ �(x; t) e x +dx+ �(x+ dx; t), per cui la sua dimensione lineare sarà:

La densità cambia, in quanto la stessa massa occupa un volume diverso:

Trascurando l�ultimo termine in quanto in�nitesimo di ordine superiore ericordando che dm = �0dx si ottiene:

5

Per quanto riguarda la pressione, possiamo trovarne la variazione a partiredalla de�nizione del modulo di compressione:

� = �V dpdV

(5)

Siccome la massa m = �V = costante, di¤erenziando risulta: V d� +�dV = 0, ossia: dV

V= �d�

�.

Sostituendo, otteniamo:

� = �dpd�

Allora:

dp = p� p0 = � d��0 = ��@�@x

dove abbiamo utilizzato la (4), per cui

p = p0 � � @�@x (6)

La variazione di pressione provoca un moto del gas, in quanto è numeri-camente uguale alla forza agente sulla massa dm (ricordiamo che la sezioneè unitaria); quindi la forza complessivamente agente sulle due sezioni puòscriversi come:

Uguagliando la forza al prodotto della massa contenuta tra le sezioniunitarie per l�accelerazione @2�

@t2si trova

6

vale a dire:

Pertanto lo spostamento della massa dalla posizione di equilibrio sod-disfa all�equazione (1). Deduciamo che lungo il gas si propaga un�onda di

spostamento con velocità V =q

��0.

Se le compressioni ed espansioni sono rapide il gas, schematizzato comeideale, non ha tempo per scambiare calore con l�ambiente circostante; percui l�onda si propagherà in condizioni adiabatiche. Se inoltre consideriamo ilgas prossimo all�equilibrio, potremo utilizzare l�equazione: pV = costante;se la riscriviamo equivalentemente: V dp+ pV �1dV = 0 otteniamo:

Dunque, il modulo di compressione adiabatico è pari al prodotto dellapressione per la costante e la velocità dell�onda prevista risulta:

V =q

p�0

(9)

In condizioni standard per l�aria, considerata come un gas perfetto bi-atomico, �0 = 1:29 Kg=m3, p = 101325 Pa. = 1:4; sostituendo si trovaV = 331:61 m=s,L�onda di spostamento è longitudinale: infatti, lo spostamento dell�ele-

mentino di massa avviene lungo l�asse delle x. Si noti comunque che ognielementino di massa compie delle oscillazioni costituite da compressioni edespansioni, ma non c�è trasporto netto di massa lungo il tubo.Lungo la colonna di gas si propagano anche un�onda di pressione e un�on-

da di densità; si può dimostrare che hanno la stessa velocità dell�onda dispostamento

5. Onde piane armoniche

Studiamo un tipo particolare di onda piana, l�onda armonica:

7

�(x; t) = �0 sin(k(x� V t))

�0 è detta ampiezza dell�onda; la costante k è necessaria per ragioni di-mensionali (l�argomento di una funzione trigonometrica non può avere dimen-sioni), è l�inverso di una lunghezza ed è detta numero d�onda. Solitamente siscrive, inserendo il numero d�onda all�interno della parentesi:

�(x; t) = �0 sin(kx� !t)

e la grandezza

! = kV

è detta pulsazione dell�onda armonica. Se �ssiamo un istante di tempo te �facciamo una fotogra�a�della funzione, vediamo che essa è una sinusoidelungo l�asse delle x. Il suo periodo spaziale � è dato dalla minima distanzatra due coordinate x1 e x2 in corrispondenza delle quali la funzione assumelo stesso valore:

e ciò è possibile se gli argomenti delle due funzioni seno di¤eriscono per2�

che fornisce:

� = x2 � x1 = 2�k

Se ora �ssiamo un punto di coordinata x1 la funzione �0 sin(kx1 � !t)mostra le variazioni temporali che si hanno in corrispondenza di x1, vari-azioni sempre sinusoidali. Il periodo temporale della funzione T è la minimadi¤erenza tra due istanti di tempo t1 e t2 in corrispondenza dei quali lafunzione assume lo stesso valore. Ragionando come in precedenza troviamo:

8

da cui:

T = t2 � t1 = 2�!

Ricordando la de�nizione di frequenza f = 1Ttroviamo che f = !

2�e

utilizzando le relazioni precedenti otteniamo:

V = �f

Questa è un�importante relazione che lega tra loro frequenza, lunghezzad�onda e velocità dell�onda.L�argomento della funzione seno, kx�!t, è dettofase dell�onda; in termini più generali può scriversi come:

kx� !t+ �

essendo � un angolo qualunque, detto fase iniziale. Il suo signi�cato lo sidesume per x = t = 0; in tal caso la funzione d�onda assume il valore �0 sin�,diverso in generale da zero.

6. Intensità delle onde sonore.

Riprendiamo l�espressione della pressione in un gas percorso da un�onda(6):

p = p0 � � @�@x

Se S è la sezione ortogonale del tubo, la forza F su un elemento dellacolonna vale:

(p� p0)S = ��S @�@x

dove � = �0 sin(kx�!t) rappresenta l�onda di spostamento che si propagacon velocità V =

q��0.

La potenza istantanea risulta:

P =�!F � �!V = F @�

@t= ��S @�

@x@�@t= �Sk�20! cos

2(kx� !t)

9

Per la potenza media occorre mediare la precedente espressione su unperiodo; siccome il valore medio del coseno è pari ad 1=2, si ha:

Pm =12�Sk�20!

Se ricordiamo che � = �0V2 e che k = !

Vpossiamo anche scrivere:

Pm =12�0S!

2V �20

Se dividiamo per la sezione S otteniamo l�intensità I, che rappresental�energia media che attraversa nell�unità di tempo una sezione unitaria or-togonale alla direzione di propagazione (si ricordi che la potenza è l�energiaper unità di tempo):

I = 12�0!

2V �20

All�onda di spostamento si accompagna un�onda di pressione:

�p = p� p0 = �� @�@x = ��k�0 cos(kx� !t) = �0V !�0 sin(kx� !t+�2)

l�onda di pressione è sfasata di �2(è in quadratura) rispetto all�onda di

spostamento ed ha ampiezza:

(�p)max = �0V !�0 = 2�f�0V �0

avendola espressa in funzione della frequenza f . L�intensità può quindianche scriversi:

I =(�p)2max2�0V

Le onde sonore si estendono per convenzione su un intervallo di frequenzecompreso tra 20 e 20000 Hz; in tale intervallo, infatti, rientrano tutti i suoniudibili dall�orecchio umano.Le onde le cui frequenze si estendono oltre il limite di udibilità (> 20000

Hz) sono dette ultrasuoni. Alle frequenze degli ultrasuoni corrispondonolunghezze d�onda piuttosto piccole: infatti � = V

f; per es. in aria � < 1:7

cm, mentre in acqua (V = 1500 m=s) � < 7:5 cm. Ciò consente di formarefasci ultrasonori sottili e ben collimati, utili in numerose applicazioni tecniche,per es. per studi di difetti in materiali metallici e polimerici, per trattamentidi pulizia delle super�ci di materiali, per la misura di distanze in condizionidi non visibilità (sonar), per indagini diagnostiche (ecogra�e).

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7. Onde sferiche

Finora abbiamo considerato onde che si propagano lungo l�asse delle x eaventi ampiezza costante (onde piane):

�(x; t) = �0 sin(kx� !t)

La loro caratteristica è che la fase dell�onda, kx�!t, ad un dato istante ècostante in tutti i punti x = costante, che rappresenta nello spazio un pianoortogonale all�asse x. Questo è il motivo per cui tali onde sono chiamatepiane. In generale de�niamo fronte d�onda una super�cie su cui la fase del-l�onda è costante ad un dato istante. Il fronte d�onda si sposta con la velocitàdi propagazione dell�onda. La linea ortogonale al fronte d�onda in un datopunto rappresenta, in quel punto, la direzione di propagazione dell�onda edell�energia ad essa associata; tale linea prende il nome di raggio.Le onde piane non sono le uniche onde che possiamo concepire. Immag-

iniamo che una sorgente puntiforme posta nell�origine generi delle onde chesi propaghino in tutte le direzioni (emissione isotropa); per simmetria i frontid�onda di tali perturbazioni sono sferici. Si parla in tal caso di onde sferiche;anch�esse sono possibili soluzioni dell�equazione di D�Alembert tridimension-ale. Vediamo di ricavare alcune caratteristiche di queste onde, senza risolverel�equazione.Abbiamo visto in precedenza (eq. 27) che l�intensità di un�onda è pro-

porzionale al quadrato dell�ampiezza:

I = 12�0!

2V �(r)2

dove ora ammetteremo che l�ampiezza possa essere funzione della distanzar dalla sorgente. La potenza media trasmessa attraverso una super�cie sfericadi raggio r vale dunque:

Pm = IS = 4�r2I = 1

2�0!

2V �(r)4�r2

Tale potenza deve rimanere costante, qualunque sia la super�cie sferica,perché corrisponde alla potenza media emessa dalla sorgente. Questo implicache per un�onda sferica l�ampiezza diminuisca con la distanza:

�(r; t) = �0r

Se l�onda sferica è armonica scriveremo:

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�(r) = �0rsin(kr � !t)

Ovviamente, l�intensità dell�onda varia in modo inversamente proporzionaleal quadrato della distanza dalla sorgente. Abbiamo tratto queste conclusioniutilizzando il principio di conservazione dell�energia: la potenza emessa dallasorgente a un dato istante dobbiamo ritrovarla a un istante successivo su unasuper�cie sferica di raggio opportuno.Osserviamo che all�aumentare della distanza dalla sorgente i fronti d�onda

(sferici) hanno raggio sempre maggiore, per cui una porzione limitata delfronte d�onda sferico può essere approssimata da una super�cie piana. L�ondapiana è dunque una approssimazione dell�onda sferica, quando ci si ponga asu¢ ciente distanza dalla sorgente. In questo caso l�ampiezza dell�onda sfericanon varierà di molto su distanze limitate e potrà essere considerata costante,come richiesto per un�onda piana.

8. Interferenza

Consideriamo due onde armoniche che si propaghino nella stessa direzionee nello stesso verso, emesse da due sorgenti poste in punti di¤erenti dell�assedelle x e supponiamo per il momento che abbiano la stessa frequenza f e lastessa ampiezza, potendo di¤erire quindi al più per la fase iniziale �. Possi-amo supporre che una sorgente sia posta nell�origine, mentre l�altra sia postaa distanza d dalla prima. Scriviamo l�espressione delle due onde nel punto x:

�1 = �0 sin(kx� !t)�2 = �0 sin(k(x� d)� !t+ �)

L�onda risultante è:

� = �1 + �2 = 2�0 cos�kd��2

�sin�k�2x�d2

�� !t+ �

2

�dove si è usata l�identità

sin�+ sin � = 2 sin �+�2cos ���

2

L�onda risultante è ancora sinusoidale e la sua ampiezza,2�0 cos�kd��2

�,

dipende da � e da d, cioè dalla distanza tra le sorgenti e dalla loro di¤erenza difase iniziale. Trattiamo per semplicità il caso in cui � = 0: questo signi�ca chele due sorgenti emettono con la stessa fase iniziale (sono sincrone). Se kd =

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2n�, con n intero, le due onde sono in fase, interferiscono costruttivamentee l�oscillazione risultante ha ampiezza massima. Se kd = (2n + 1)� le ondesono in opposizione di fase e l�ampiezza dell�oscillazione è sempre nulla: siha interferenza distruttiva. Ricordando che k = 2�

�troviamo che per:

9. Ri�essione di onde

Supponiamo che un�onda piana progressiva che si propaga in un mezzoincontri un ostacolo (ad es. una parete) che costituisca una discontinuitàdi grandi dimensioni rispetto alla lunghezza d�onda. Se indichiamo con i edr gli angoli che un raggio (ossia la normale al fronte d�onda) forma con lanormale alla parete nel punto di incidenza dell�onda, valgono le seguenti dueleggi:

1) il raggio incidente, quello ri�esso e la normale alla super�cie ri�ettentenel punto d�incidenza giacciono tutti nello stesso piano;2) l�angolo d�incidenza è pari a quello di ri�essione (i = r)

Queste leggi, stabilite sperimentalmente da Snell, possono dedursi daprincipi generali (principio di Huygens). Esse valgono anche quando la su-per�cie ri�ettente non è piana, e per onde di natura diversa da quelle quiconsiderate (ad es. per le onde luminose).Vogliamo ora determinare la relazione di fase tra l�onda incidente e quel-

la ri�essa. Consideriamo dapprima una super�cie ri�ettente rigida postanell�origine. L�onda incidente sia armonica

�i = �0 sin(kx� !t+ �i)

Per l�onda ri�essa scriviamo

�r = �0 sin(kx+ !t+ �r)

Il vincolo di rigidità impone la condizione che lo spostamento complessivosia nullo sulla parete

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�ijx=0 + �rjx=0 = �0 [sin(�!t+ �i) + sin(!t+ �r)] = 0

che implica:

sin(!t+ �r) = sin(!t� �i)

ossia

!t+ �r = !t� �i ) �r = ��i

In altri termini, l�onda ri�essa ha segno opposto rispetto all�onda inci-dente. Nel caso di onde longitudinali:

Sulla parete (x = 0) si vede (osservando la relazione precedente) chele due derivate sono uguali. Ricordando che la variazione di pressione èproporzionale a @�

@x(eq. 6) si deduce che le variazioni di pressione dell�onda

incidente e di quella ri�essa sono uguali sulla parete.Come esempio si può considerare il caso di un�onda sonora che si propaghi

nell�aria contenuta in un tubo a pareti rigide e terminato da una pareteanch�essa rigida (p. es. una canna d�organo). Il caso di un�onda su una cordaavente un estremo �ssato a una parete rigida è analogo, anche se l�onda inquesto caso è trasversale.Se la parete non o¤re alcuna resistenza (parete cedevole), la condizione

da imporre è che le due derivate spaziali degli spostamenti siano nulle; sitrova che �r = � � �i il che implica che �i = �r, cioè gli spostamenti incorrispondenza della super�cie ri�ettente sono uguali, mentre le variazionidi pressione dovute all�onda incidente e a quella ri�essa sono opposte. Lacondizione è dunque duale rispetto al caso di parete rigida e si applica peres. ad onde sonore con�nate in un tubo che giungano all�estremità apertadel tubo (p. es. un �auto).

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10. Onde stazionarie

Studiamo ora un caso particolare ma molto importante di interferenza,dovuto a onde elastiche che si propaghino nella stessa direzione ma in versiopposti. Supponiamo che le due onde abbiano la stessa ampiezza:

�1 = �0 sin(kx� !t)�2 = �0 sin(kx+ !t)

L�onda risultante è

� = �1 + �2 = 2�0 sin(kx) cos(!t)

Questa funzione non può rappresentare un�onda, in quanto la variabilespaziale e quella temporale sono separate. In altri termini, l�argomento dellafunzione � (x; t) non è del tipo (x � vt). La funzione � si presenta come ilprodotto di due funzioni, una dipendente solo da x, l�altra dipendente solo dat. Se consideriamo un punto particolare, esso compie oscillazioni sinusoidalicon la frequenza delle onde componenti; tuttavia, l�ampiezza d�oscillazionedipende dalla scelta del punto. In particolare, per

kx = (2n+ 1)�2

l�ampiezza di oscillazione è massima: i valori di x per i quali si veri�catale situazione si chiamano ventri. Nei punti in cui:

kx = n�

l�ampiezza d�oscillazione è sempre nulla: sono i nodi. Un ventre dioscillazione ed il nodo adiacente sono separati da una distanza data da

k�x = �2

cioè

�x = �4

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Due nodi (o due ventri) successivi sono separati da una distanza pari a�2.Si osservi che, dopo che onde stazionarie si sono stabilite in una regione,

non vi è trasferimento di energia da un punto all�altro. Il fatto è evidente sesi tiene presente che attraverso i nodi non può �uire energia, essendo puntifermi. Se si vuole una dimostrazione formale, occorre costruire la potenzaassociata all�onda stazionaria:

P = (p� p0)SV = ��S @�@x@�@t

sostituirvi le derivate:

@�@x= 2�0k cos(kx) cos(!t)

@�@t= �2�0! sin(kx) sin(!t)

ottenendo:

P = 4�20�Sk! sin(kx) cos(kx) sin(!t) cos(!t)

e osservare che, essendo una funzione dispari di t, il suo valor medio suun periodo è nullo.Un�onda stazionaria, a stretto rigore quindi, non propaga energia. E�la

denominazione stessa di �onda�che in questo caso è equivoca; la si chiama cosìsolo in quanto deriva dalla sovrapposizione di due onde di uguale frequenzaed ampiezza, una progressiva e una regressiva.Il modo più semplice di ottenere onde stazionarie è quello di sfruttare

le ri�essioni di un�onda che si veri�cano in presenza di una discontinuitàdel mezzo di propagazione (parete rigida): avremo quindi onde stazionariesu una corda �ssata alle due estremità o in un tubo contenente dell�aria,chiuso agli estremi. Pizzicando una corda tesa in un punto generiamo, comeabbiamo visto, delle onde che, in un breve transitorio, si propagano �nendoalle estremità �ssate della corda. Qui devono ri�ettersi invertendo la fase:la corda diviene sede di onde progressive e regressive che interferiscono. Gliunici modi che �sopravvivono� sono le onde stazionarie, dette anche modinormali di vibrazione della corda. Le loro caratteristiche dipendono dallalunghezza L della corda: se richiediamo che alle due estremità lo spostamentodell�onda risultante sia nullo, abbiamo le seguenti condizioni:

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�jx=0 = 0; �jx=L = 0

La prima è automaticamente soddisfatta; la seconda impone

kL = 2��L = n�

cioè

� = 2Ln

con n intero positivo. Se questa condizione non è soddisfatta l�interferenzatra le varie onde ri�esse è distruttiva e la vibrazione cessa molto rapidamente.Le lunghezze d�onda dei modi normali (e quindi le frequenze: f = V

�= V n

2L

non possono quindi essere scelte ad arbitrio, ma sono legate alla lunghezzadella corda:

� = 2L; L; 23L; L

2::::

I modi sono cioè quantizzati. Il modo avente la massima lunghezza d�ondaha i nodi negli estremi stessi (fondamentale o prima armonica); il secondomodo (seconda armonica) ha un nodo a metà della corda, il terzo modo hadue nodi, e così via. In �gura 4 sono rappresentate le prime 5 armoniche diun�onda stazionaria su una corda di lunghezza L con estremi �ssi, e la 20�

armonica.

Fig. 4

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L�onda generale che si instaura su una corda ad estremi �ssi è una combi-nazione lineare di modi normali. Lo stesso discorso vale nel caso di un tubochiuso alle estremità, come in molti strumenti a �ato.Una corda in tensione nello spazio che stia vibrando trasmette la vi-

brazione alle molecole d�aria circostanti generando suoni di ampiezza moltopiccola: non è dunque una sorgente e¢ ciente. Per aumentare l�e¢ cienza deglistrumenti musicali ad arco si tendono quindi le corde vicino a delle cavitàche, risuonando, possono rinforzare le vibrazioni prodotte nell�aria diretta-mente dalle corde. Infatti in questo caso si tratta di eccitare qualche modoproprio della cavità, ottenendo una vera e propria risonanza: il suono ne escefortemente ampli�cato. Ciò è ottenuto munendo la cavità di aperture dis-poste opportunamente e sagomate. Si possono dare alla cavità forme diverse:l�esperienza dimostra che la frequenza fondamentale della cavità cresce conl�area della super�cie, decresce con il suo volume e non dipende praticamentedalla forma.

10. La scala dei decibel

Supponiamo di generare un suono avente una determinata frequenza:1000 Hz, di metterci a una distanza �ssata dalla sorgente, di misurare l�in-tensità sonora con un opportuno strumento e nello stesso tempo di e¤ettuareesperimenti di percezione sonora tramite individui giovani dotati di un sis-tema uditivo privo di difetti. Il suono verrà percepito a partire da un datovalore d�intensità, che risulta pari a I0 = 10�12 Wm�2:Si parla di soglia diudibilità. Se aumentiamo l�intensità del suono con continuità esso verrà per-cepito come sempre più intenso �no a raggiungere una sensazione dolorosa:si dice che si raggiunge la soglia del dolore. Ciò avviene per un�intensitàpari a ID = 1 Wm�2 . Pertanto il nostro orecchio, in condizioni ottimali, a1000 Hz, è in grado di coprire ben dodici ordini di grandezza di livelli sonori.E�opportuno in questi casi esprimere la grandezza (intensità) in una scalalogaritmica, a partire da un livello di riferimento convenzionale. La sceltapiù naturale è di riferire le intensità a I0, per cui la generica intensità vieneespressa nella cosiddetta scala dei decibel:

IdB = 10 logII0

Tale scala non fornisce una misura assoluta dell�intensità, ma solo relativa.La soglia di udibilità è pari a 0 dB, mentre la soglia del dolore risulta pari a

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120 dB. In acustica questa grandezza è detta livello di potenza acustica. Unsuono che superi un altro di 10 dB ha quindi una potenza 10 volte maggiore;3 dB in più corrispondono a un raddoppio della potenza sonora.Dall�equazione

I =(�p)2max2�0V

che si può scrivere

I =hp20i�0V

dove hp20i rappresenta il valore medio del quadrato della pressione, pos-siamo trovare i livelli di pressione (più correttamente: di variazioni di pres-sione) corrispondenti alla soglia di udibilità e alla soglia del dolore. Tenendoconto dei valori della densità dell�aria (1:225 kg m�3) e della velocità delsuono in aria (343 m s�1), si trova:

Pmin =php20i = 2 � 10�5 Pa per la soglia di udibilità

Pmax =php20i = 20:5 Pa per la soglia del dolore

Siccome gli strumenti di misura rispondono alla pressione piuttosto cheall�intensità, si suole esprimere in decibel anche il livello di pressione sonora:

Si noti che le scale per I e per P sono di fatto coincidenti. La tabella 1fornisce esempi di livello sonoro relativi a diverse sorgenti.

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