Parlando di oggetti, persone, elementi in genere, usiamo spesso il termine di insieme con il significato di un raggruppamento di oggetti, persone ecc.

In matematica il termine insieme non è così generico; infatti si può parlare di insieme in senso matematico solo se sono ben definiti i suoi elementi, cioè solo se:

-si può dire con certezza se un elemento appartiene o no all’insieme;-si può dire con certezza se un elemento appartiene o no all’insieme;

-è possibile distinguere l’uno dall’altro gli elementi che lo compongono.

In senso matematico non possiamo parlare di un insieme di animali affettuosi, perché non possiamo decidere con esattezza quale animale fa parte o non dell’insieme.

In matematica ha senso invece parlare, per esempio, dell’” insieme degli animali a quattro zampe ”, perché in questo caso noi possiamo dire con assoluta certezza che, per esempio, un elefante appartiene all’insieme mentre un pappagallino non vi appartiene.

� sono insiemi gli alunni di una classe, i fiumi d’Europa, i numeri pari, i giocatori di una squadra ecc.;

� non sono insiemi i libri interessanti di una biblioteca, le città più belle d’Italia, i ragazzi più simpatici di una classe ecc.

Le persone, gli animali, le cose …. che appartengono

Possiamo quindi concludere che:

Finiti Infiniti

Se sono costituiti da un numero finito di elementi (es. “gli alunni di una classe”)

Se sono costituiti da un numero infinito di elementi (es. “i numeri dispari”)

Gli insiemi possono essere:

Le persone, gli animali, le cose …. che appartengono a un insieme si dicono elementi dell’insieme.

Che cosa significano i simboli che compaiono in questa pagina?

Per indicare gli insiemi si usano le lettere maiuscole A, B, C, X ,… mentre per gli elementi di un insieme si usano le lettere minuscole a, b, c, x, y ,….

Se con x, y, z, k, t indichiamo gli elementi di un insieme X, scriveremo:

X = x, y, z, k, t

e leggeremo:“l’insieme X formato dagli elementi x, y, z, k, t ”

{ }

Il simbolo è detto di appartenenza

E quindi per indicare che l’elemento t appartiene all’insieme X, scriveremo:

t X

Il simbolo è detto di non appartenenza.

E quindi per indicare che l’elemento a non appartiene all’insieme X, scriveremo:

a X

∈∉

∈

∉

Che cosa significano i simboli che compaiono in questa pagina?

Un insieme privo di elementi si dice vuoto e lo si indica con il simbolo o con il simbolo

Per esempio

“l’insieme delle persone alte 3 m” è

“l’insieme delle settimane di 9 giorni” è

∅ { }

∅{ }“l’insieme delle settimane di 9 giorni” è

Il simbolo si chiama “quantificatore universale” e sta per “qualunque sia” o “qualsiasi”.

Per esempio se tutti gli elementi dell’insieme K sono quadrupedi potremo dire che “qualunque elemento x appartenente a K è un quadrupede” e scrivere:

x K è un quadrupede∈

∀

{ }

∀

1) Per elencazione o in forma tabulare : consiste nello scrivere entro parentesi graffe tutti gli elementi dell’insieme, separati da un punto e virgola:

� Consideriamo l’insieme A formato dalle città che sono capoluoghi di provincia del Lazio; tale insieme può essere rappresentato per elencazione:

{ }ViterboRietiLatinaFrosinoneRomaA ; ; ; ;=

2) Per caratteristica : consiste nello scrivere entro parentesi graffe la proprietà che caratterizza tutti gli elementi dell’insieme:

E si legge: “L’insieme A, formato dagli elementi a, tali che ogni a è un capoluogo di provincia del Lazio”.

{ }LaziodelprovinciadicapoluogounèaaA =

3) graficamente (rappresentazione di Eulero – Venn ): consiste nello scrivere tutti gli elementi entro una linea chiusa (un’ellisse) che rappresenta l’insieme.

Roma

Viterbo

Frosinone

Rieti

Latina

A

Quando è preferibile usare una rappresentazione piuttosto che un’altra?

In genere la scelta dipende da ragioni di praticità: è il nostro buon senso a suggerirci, di volta in volta, la migliore rappresentazione da utilizzare.

Per esempio:Per esempio:

•Se l’insieme da rappresentare è un insieme infinito è evidente che di dovrà ricorrere all’uso della rappresentazione per caratteristica; lo stesso succede quando l’insieme, pur essendo finito, contiene un numero elevato di elementi.

•Quando invece l’insieme è finito e contiene pochi elementi, può essere più comodo, o più immediato, utilizzare la rappresentazione tabulare.

In un raggruppamento qualsiasi di oggetti, persone, animali ecc. , gli insiemi ci permettono una loro classificazione secondo una ben precisa proprietà o caratteristica che li accomuna in modo inequivocabile.

Se fra tutti gli “amici di Carlo” consideriamo l’insieme:

{ }CarlodiclassedicompagnounèaaA = { }CarlodiclassedicompagnounèaaA =

operiamo una classificazione degli amici di Carlo secondo la caratteristica “essere un compagno di classe di Carlo”.

Nell’insieme

operiamo adesso un’altra classificazione secondo la caratteristica “gioca a pallone”.

{ }CarlodiclassedicompagnounèaaA =

Possiamo considerare quindi un altro insieme:

{ }palloneagiocacheCarlodiclassedicompagnounèbbB =

Osserviamo bene le due immagini, ci accorgiamo che tutti gli elementi di B sono anche elementi di A. Diremo che B è incluso in A o , ancora, che B è un sottoinsieme proprio di A e scriveremo:

)" " " " ( AdimesottoinsieBoAincontenutoBleggiAB ⊂

inclusononleggisimbolo

inclusocontenutoleggisimbolo

/

⊄⊂

Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A, ma c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B.

Dagli esempi fatti deduciamo che:

Adi

impropri misottoinsie dicono si misottoinsie due Questi

A A e A

:stesso A insiemel' e insiemel' A di misottoinsie Sono

⊂⊂∅∅

c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B.

Apriamo una scatola di gettoni di forme e colori diversi e consideriamo alcuni insiemi.

•Siano:

{ }{ }.

;

circolareformadigettoneunèbbB

quadrataformadigettoneunèaaA

=

=

{ }. circolareformadigettoneunèbbB =

A B

C

Consideriamo adesso l’insieme C.

{ }. circolareformadioquadrataformadigettoneunèccC =

Esso è formato da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B , diciamo che C è l’insieme unione di A e B, o che su A e B abbiamo eseguito l’operazione di unione .

A B

C

In simboli scriveremo:

.unione di detto è simbolo Il

). (

∪∪= BunioneAugualeCBAC

Consideriamo adesso i due insiemi:

{ }{ }circolareformadigettoneunèbbB

rossocoloredigettoneunèaaA

=

=

A BConsideriamo l’insieme unione C:

{ }circolareformadiorossocoloredigettoneunèccC =

A

C

B

Esso è formato da tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B , ma gli elementi che fanno parte sia di A sia di B vanno considerati una sola volta.

Consideriamo infine i due insiemi:

{ }{ }circolareformadirossogettoneunèbbB

rossocoloredigettoneunèaaA

=

=

A BConsideriamo ancora l’insieme unione C:

{ }rossocoloredigettoneunèccC =C

A BEsso è formato da tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B , ma poiché B è un sottoinsieme di A, B A, l’insieme unione coincide con l’insieme A.

Possiamo concludere dicendo che:Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, A B, l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad A e a B , prendendo una sola volta gli elementi comuni ai due insiemi.

Dati due insiemi A e B, si dice intersezione di tali insiemi, A B, l’insieme formato da quegli elementi che appartengono sia ad A sia a B.

Dati gli insiemi A = {1; 3; 5; 7; 9; 11} e B = {7; 8; 9; 11}

Rappresentiamo l’insieme intersezione:

• Per elencazione: { }11 ;9 ;7=∩ BA

• Per caratteristica

• Con i diagrammi di Eulero - Venn

A

{ }BxeAxxxBA ∈∈=∩ :

B

BA∩

13

57

9

11

8