Dipartimenpeople.na.infn.it/~scotti/Area studenti/1a. Fisica I e Laboratorio... · Rette di massima...

Errori e incertezze di misura

� rassegna critica e proposte per l�insegnamento �

Giulio D�AgostiniDipartimento di Fisica dell�Universit�a di Roma �La Sapienza�

E mail� dagostini�roma��infn�itURL� http��wwwzeus�roma��infn�it��agostini�

Roma� N��

Maggio �� Versione corretta� Gennaio ��

INDICE �

Indice

� Introduzione �

� Inevitabilit�a delle incertezze �

� Raccomandazioni ISO�BIPM �

� Cause delle incertezze di misura �

� Valutazioni usuali delle incertezze ��

Critica della �teoria degli errori massimi� ��

�� y �P

i

�� y�xi��xi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Regola della mezza divisione � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� t � �� s � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Imperativo categorico di riportare le �barre di errore� � � � � � �� Rette di massima e minima pendenza � � � � � � � � � � � � � � ��

� Critica degli �errori statistici� ��

� Riassumendo ��

Da dove ricominciare� �

� Probabilit�a soggettiva ��

�� Formalismo sulle variabili casuali� �f�x�� E�X� e � �

�� Valutazione dell�incertezza di misura� schema generale �

�� Imparare dagli esperimenti� il problema dell�induzione ��

�� Dalla probabilit�a degli e�etti alla probabilit�a delle cause �� Verosimiglianza � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Probabilit�a iniziale e probabilit�a �nale � � � � � � � � � � � � � � �� Paura dei �pregiudizi� Inevitabilit�a di principio e frequente

irrilevanza pratica delle prior � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Scorciatoia al ragionamento bayesiano� il cane e il cacciatore � �

�� Imparare dall�esperienza �

� Risultati delle misure dirette in assenza di errori sistematici �� Condizioni di ripetitivit�a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Singola osservazione con �r nota � � � � � � � � � � � � � � � � � �� n osservazioni indipendenti con �r nota � � � � � � � � � � � � � �� Caso di �r ignota � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Misure ripetute della stessa grandezza �sica � � � � � � � �� Singole misure di grandezze �siche variabili �gra�ci� � � ��

c� G� D�Agostini ��

INDICE �

�� Bisogna sempre ripetere le misure Rarit�a delle situa�zioni in cui �r sia completamente ignota � � � � � � � � � ��

�� Propagazione delle incertezze ��

�� Come tener conto degli errori sistematici �� Condizioni di riproducibilit�a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Correzione dei risultati per tener conto di errori sistematici noti

� calibrazioni � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Incertezze dovute all�inesatta conoscenza dell�entit�a di un pos�

sibile errore sistematico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Imperfetta conoscenza delle costanti di calibrazioni e dei para�

metri di in�uenza � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Errore di zero �o�set� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Errore di scala � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Importanza delle misure per di�erenza � � � � � � � � � �

�� Casi di errore di pi�u di�cile schematizzazione � � � � � � � � � � �� Incertezza su un fattore di in�uenza � � � � � � � � � � � � � � � �� Propagazione senza derivate � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Calibrazione� intercalibrazione e �randomizzazione� � � � � � � � �

� Coe�ciente di correlazione �� Valutazione pratica di � dovuto ad errori di calibrazione � � � � �� Propagazione di varianze e covarianze � � � � � � � � � � � � � �

� Raccomandazioni BIPM�ISO ��

�� Valutazione delle incertezze di tipo B �

�� Esempi numerici �

�� Fit di andamenti lineari �� Gra�ci e parametri della retta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Inferenza bayesiana e metodo dei minimi quadrati � � � � � � � �� Analisi gra�ca � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� E�etto degli errori sistematici � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Esempio numerico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Altri tipi di �t � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Riabilitazione del computer� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Rette di taratura � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Note sulla didattica ��

�� Conclusioni �

� Nota biblioga�ca �

A Capacit�a di interpolazione fra le tacche e incertezza di lettura ��A�� Errore ed incertezza di misura �commento all�esperienza di in�

terpolazione fra le tacche� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��


INDICE �

B Tempo di reazione e misure di cronometraggio ��

C Distribuzioni triangolari ��

D Teorema del limite centrale ��

E Deviazione standard della media aritmetica ��E�� Stime di segmenti alla lavagna � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��E�� Media di valori distribuiti uniformemente � � � � � � � � � � � � ��

F Soluzione dell�esercizio di interpolazione fra le tacche ��



� Introduzione

Scrivendo questa nota ho cercato di venire incontro a tutti coloro che trova�no motivi di insoddisfazione nella trattazione dei cosiddetti �errori di misura��studenti poco convinti di quanto viene loro insegnato� in quanto spesso privo diconsistenza logica e di corrispondenza con l�esperienza di laboratorio� laurean�di e neolaureati che� inseriti nella ricerca� sia pura che applicata� sperimentanol�inadeguatezza dei metodi appresi per far fronte alle analisi complesse chesi presentano e sono confusi dalle tante �ricette monouso�� spesso contrad�dittorie� che trovano in libri� note tecniche e articoli� ricercatori che� delusidall�incongruenza fra teoria e pratica� a�ermano francamente di non usarela statistica o� addirittura� di non essere interessati al �calcolo degli errori��docenti universitari che si rendono conto� specialmente se interagiscono conambienti di ricerca internazionali� che le cose stanno cambiando ed in e�ettiprovano a riaggiornare i corsi� pur ostacolati dalla mancanza di testi validi eda colleghi con i quali devono interagire per uniformit�a di programma� inse�gnanti delle scuole medie superiori in dubbio su come comportarsi nei corsi dilaboratorio e indecisi se a�rontare o meno il discorso delle incertezze di misura�con quali metodi e a quale livello�

Questo lavoro �e basato sull�esperienza acquisita nella ricerca �nel campodella Fisica Subnucleare� e nell�insegnamento� arricchita da interazioni� diretteo indirette� con metrologi e probabilisti� da discussioni con colleghi di diversenazionalit�a e dal feedback ricevuto in seminari e corsi di perfezionamento im�partiti in Italia e all�estero� Negli ultimi anni ho anche bene�ciato di contatticon gli insegnanti dell�AIF �Associazione per l�Insegnamento della Fisica� diRoma e con gli studenti del Corso in Perfezionamento in Didattica della Fisica�

La trattazione non pretende di avere nessun carattere di completezza� Haper�o il vantaggio di o�rire una vista d�insieme che permette al lettore la possi�bilit�a di confrontare i metodi che vengono criticati con quento viene proposto�E� pertanto opportuno fare alcuni chiarimenti preliminari sul taglio del lavoroe sulle conoscenze che si presuppongono da parte del lettore�

� L�impostazione della parte di rassegna critica �e deliberatamente provoca�toria� con la speranza di suscitare le reazioni di chi non condivide questopunto di vista e di innescare un dibattito costruttivo su eventuali temicontroversi dal quale bene�ciare tutti� studenti in primo luogo�

� Una trattazione delle incertezze di misura che fornisca soltanto formulepratiche� anche se ritenute ragionevoli dai pi�u e supportate dalle racco�mandazioni delle massime organizzazioni di metrologia� costituisce unacostruzione vacillante se non si presenta in modo coerente� con delle basisulle quali eventualmente convenire e dalle quali derivare le consequenzelogiche�

� Le basi di partenza di questa impostazione sono semplicemente�

�� la constatazione dell�inevitabile stato di conoscenza incertezza cuil�induzione d�a luogo �ricollegabile alla famosa �critica di Hume� ditale processo��



�� l�accettazione della validit�a del concetto di probabilit�a per classi�ca�re la plausibilit�a delle a�ermazioni quando si �e in stato di incertezza�riconducibile alla visione originale di probabilit�a la quale �e stataripresa e consolidata dopo i primi decenni di questo secolo ed �eattualmente nota come �soggettiva� o �bayesiana��

Una volta accettati questi presupposti� tutto il resto viene derivato comeconseguenza logica� Si tratta soltanto di formalismi� approssimazioni edeventuali scorciatoie per sempli�care la trattazione dei normali problemidi routine�

� Si presuppone che il lettore sia gi�a stato esposto alla problematica del�l�incertezza di misura e che abbia una conoscenza elementare del calcolodelle probabilit�a� In particolare� si assume che egli abbia le nozioni dibase per trattare le variabili casuali ��f�x�� E�X�� distribuzioneuniforme e normale�� Alcuni di questi concetti verranno reinterpretatialla luce della probabilit�a soggettiva� ma i risultati formali del calcolodelle probabilit�a sono gli stessi dell�approccio convenzionale�

� Anche se il concetto di funzione densit�a di probabilit�a �e importante percapire il ragionamento che si svilupperanno� la parte applicativa far�auso solo di deviazioni standard� in quanto l�ipotesi di normalit�a �distri�buzione gaussiana� �e spesso soddisfacentemente soddisfatta nei casi diroutine� Anche il teorema di Bayes� sul quale sar�a basato il processodi aggiornamento della conoscenza� sar�a scavalcato con argomentazioniintuitive�

� Venendo alle applicazioni della cosiddetta inferenza bayesiana all�incer�tezza di misura� saranno mostrate procedure alternative a quelle criticatenella parte iniziale� Molti riconosceranno metodi che gi�a conoscono e usa�no� spesso visti per�o come una tecnica ad hoc per risolvere un problemaparticolare�

� In�ne verranno dati dei suggerimenti per la didattica�

� Il lavoro si conclude con un�appendice in cui vengono riportati alcuniargomenti accessori e illustrate alcune semplici esperienze�

Ovviamente sar�o felicissimo di avere scambi di idee con tutti coloro che avran�no critiche� commenti o proposte sul testo�

Giulio D�Agostini Roma� Maggio ��

Questa versione corretta ha bene�ciato dei commenti di Maria Grazia Ian�niello e dell�attentissima lettura di Marco Schioppa�

Roma� Gennaio ��


� Inevitabilit�a delle incertezze �

Osservazioni

Valore diuna grandezza

Teoria(modello)

(*)

Ipotesi discretecontinue

Figura �� Dalle osservazioni alle ipotesi� La relazione fra valore della grandezzae teoria sta ad indicare che in genere le grandezze hanno signi�cato soltantoall�interno di una teoria o un modello�

� Inevitabilit�a delle incertezze

Cerchiamo di capire quali sono le ragioni di fondo che� nella ricerca scienti�ca�conducono ad uno stato di incertezza� La �gura � schematizza l�attivit�a del�sico o di qualsiasi altro ricercatore� Dai dati sperimentali si cerca di determi�nare il valore di una certa grandezza o di stabilire quale teoria descrive meglioi fenomeni osservati� In realt�a entrambi i processi possono essere visti comedue aspetti dello stesso problema� come passare dalle osservazioni alle ipotesi�Infatti i due problemi possono essere riformulati nei seguenti modi�

A quali valori sono �pi�u� compatibili con la de�nizione della grandezzaoggetto della misura� avendo letto certi numeri sugli strumenti �e subor�dinatamente a tutte le conoscenze sugli strumenti e sulla grandezza inquestione�

B quale teoria �e �pi�u� compatibile con i fenomeni osservati �e subordinata�mente alla credibilit�a della teoria basata su argomenti formali� estetici edi semplicit�a��

La sola di�erenza fra i due processi di apprendimento �e che� mentre nel secondocaso si ha a che fare generalmente con un piccolo numero di ipotesi� nel primocaso il numero di ipotesi �e virtualmente in�nito �le grandezze assumono i valorinumerici con continuit�a� almeno in linea di principio��

Il motivo per cui non si arriva mai alle condizioni ideali di certezza� ovverotali che soltanto una delle tante �o in�nite� ipotesi sia da ritenersi vera e tuttele altre false� pu�o essere compreso analizzando lo schema che segue�

A� Per quanto riguarda la determinazione del valore di una grandezza si dicecomunemente che l�incertezza sia dovuta ad inevitabili �errori di misu�ra� ��uttuazioni della risposta� calibrazione degli strumenti� condizioniambientali non perfettamente note� etc��

�Si vedr�a come queste postille di subordinazione delle conclusioni scienti�che a cono�scenze e �pregiudizi� a priori giocano un ruolo fondamentale nei processi di misura enell�accettazione di teorie da parte della comunit�a scienti�ca�



B� Quando si tratta di una teoria possiamo distinguere due casi�

�B�� La legge �e probabilistica� ovvero �le osservazioni non sono unamera conseguenza logica della teoria�� Un classico esempio �e quellodella genetica� Un esempio pi�u semplice �e quello del lancio di unamoneta� E� noto dal calcolo delle probabilit�a che� lanciando unamoneta regolare� le due sequenze di testa �T� e croce �C�

T TT T T T TT T T T T TT T T T TT T T T T TT ��

T TC C C C CT T T T C TT C C T TT C T C T TC ��

hanno la stessa probabilit�a� Quindi sar�a impossibile arrivare aconclusioni certe sulla regolarit�a di una moneta ignota pur avendoosservato una sequenza di lunghezza arbitraria��

�B�� La legge �e deterministica� Non �e di�cile convincersi come questadenominazione sia valida solo in linea di principio� Infatti� in tutti icasi� �le osservazioni dipendono anche da molti altri fattori esternialla teoria�� siano essi condizioni iniziali e ambientali� errori spe�rimentali� e cos�� via� Ne segue quindi che le inevitabili incertezzesu questi fattori rendono la relazione teoria�osservazione di tipoprobabilistico anche in questo caso�

� Raccomandazioni ISO�BIPM

Il fatto che a qualcuno la frase �le incertezze sono dovute ad errori di misura�possa suonare come una tautologia �e un indizio della forte disomogeneit�a di lin�guaggio e di metodologia riscontrabile nel campo degli errori e delle incertezzedi misura� Questo �e in e�etti il caso�

Indicativo dello stato di confusione su questo argomento �e il recente sforzo� tuttora in corso � delle massime organizzazioni di metrologia per suggeriredei criteri generali di comportamento� In particolare� nel �� l�Organizzazio�ne Internazionale per la Standardizzazione �ISO� ha pubblicato una �Guidaall�espressione dell�incertezza di misura�� Essa �e basata sulle raccomandazionidell�U�cio Internazionale di Pesi e Misure �BIPM� e fornisce una descrizionedelle procedure suggerite� con esempi pratici� La Guida accenna anche la baseteorica sulla quale essa si fonda� ma in forma molto breve� dato il caratteresuccinto di collezione di norme� tipico delle pubblicazioni ISO�

La Guida riassume comunque� in un centinaio di pagine� � anni di lavorodelle pi�u autorevoli organizzazioni mondiali di metrologia�

�Ma dopo l�osservazione della prima delle sequenze �e forte il sospetto che si tratti di unamoneta con due teste� qualora ci siano delle buone ragioni per far sorgere un simile dubbio�ad esempio non si �a modo di veri�care direttamente la regolarit�a della moneta� Il concettodi probabilit�a servir�a a quanti�care il grado di tale sospetto�



BIPM Bureau International des Poids et MesuresIEC International Electrotechnical CommissionIFCC International Federation of Clinical ChemestryISO International Organization for StandardizationIUPAC International Union of Pure and Applied ChemestryIUPAP International Union of Pure and Applied PhysicsOIML International Organizaztion of Legal Metrology

Oltre alle organizzazioni internazionali che sponsorizzano l�iniziativa� aderisco�no molti istituti nazionali ad esse a�liati� come ad esempio� la tedesca DIN�Deutsches Institut f�ur Normung�� l�americano NIST �National Institute ofStandards and Technology�� l�italiano UNI �Ente Italiano per l�Uni�cazione��

Se andiamo a consultare la Guida ISO riguardo i termini incertezza ederrore troviamo�

� Incertezza� �un parametro che caratterizza la dispersione dei valori chepossono essere ragionevolmente attribuiti al misurando��

� errore� �di�erenza fra il risultato di una misura e un valore vero delmisurando��

Si noti che�

�� la de�nizione ISO di incertezza chiarisce il concetto� per quanto riguardala de�nizione operativa si fa uso della �incertezza standard�� che indicala deviazione standard �� dei possibili valori che pu�o assumere il mi�surando �ciascuno di essi pesato con il suo �grado di �ducia�� nel sensoche sar�a chiarito nel paragrafo ��

�� per quanto riguarda l�errore� �e evidente come esso sia generalmente igno�to� in quanto relativo �al� valore vero della grandezza di interesse ��al��e fra virgolette a causa delle implicazioni del prossimo punto��

�� l�uso dell�articolo indeterminativo davanti a �valore vero� �e intenzionalee ha delle profonde ragioni ��loso�che� che saranno brevemente illustratenel seguito�

La de�nizione ISO di valore vero �e infatti�

� valore vero� �un valore compatibile con la de�nizione di una data gran�dezza particolare��

Questa de�nizione potr�a sembrare vaga� ma� a pensarci bene� �e quella pi�upragmatica �si veda anche il punto � della lista delle cause delle incertezze dimisura del prossimo paragrafo��

��Grandezza particolare� �altezza di una certa torre� massa dell�elettrone� accelerazio�ne di gravit�a a Roma �e in contrapposizione con �grandezza generale� �lunghezza� massa�accelerazione�


� Cause delle incertezze di misura �

� Cause delle incertezze di misura

Vale la pena di riportare la lista delle possibili cause di incertezza nelle misure�cos�� come compare nella Guida� con l�aggiunta di alcuni esempi esplicativi�Essa rappresenta una specie di �decalogo� da scorrere ogni volta che si cercanole possibili sorgenti di errore�

�� Incompleta de�nizione del misurando�Ad esempio la �percentuale di potassio nell�acqua del Mar Adriatico�non de�nisce completamente il misurando e il risultato pu�o dipendereda dove �e prelevato il campione� Lo stesso vale per l��accelerazione digravit�a al livello del mare�� in quanto essa dipende anche dalla latitudinee� potendo eseguire la misura con precisione in�nita� dal punto esatto�quale �e il livello del mare�� Si capisce quindi come ogni indetermina�zione sulla de�nizione si ri�ette su una in�nit�a di valori che soddisfanola de�nizione �vedi de�nizione del valore vero�� Nel paragrafo �� sar�atrattato numericamente il caso di �densit�a dell�aria��

�� Imperfetta realizzazione della de�nizione del misurando��Vita media di decadimento dell�isotopo X� e �sezione e�cace di unneutrone bombardato da un fascio di elettroni� sono de�nizioni univoche�almeno in linea di principio� In pratica non �e facile ottenere un campioneassolutamente puro di sostanza o e�ettuare delle misure nelle condizioniideali della de�nizione�

Per fare altri esempi� si pensi a� �accelerazione di un corpo lungo unpiano inclinato privo di attrito� e �periodo di un pendolo semplice dilunghezza l�� Qui si fa chiaramente riferimento ad astrazioni di cui gliapparati sperimentali sono imperfette realizzazioni�

�� Campione non rappresentativo� ovvero il campione misurato non rappre�senta il misurando de�nitoCaso classico sono i sondaggi per stimare � misurare � la �percentua�le della popolazione in possesso di un certo carattere� �in senso lato��Non avendo a disposizione le risorse economiche e il tempo per eseguireun�indagine adeguata� o in mancanza di un modello teorico per la scel�ta del campione si rischia di e�ettuare un sondaggio su coloro che sonocaratterizzati da un�altra propriet�a comune dalla quale pu�o dipendere ilcarattere oggetto della ricerca �ad esempio si pu�o rischiare di intervistaresolo amici o concittadini� o solo coloro che vedono la televisione ad unacerta ora o che trascorrono il pomeriggio a casa�� Altro esempio �e quellodell�analisi chimico��sica di un quadro che comporta la distruzione di uncampione di tela� Le informazioni che si ricavano da un lembo periferico� pi�u facilmente ottenibile per l�analisi � possono di�erire da quelle otte�nibili da parti artisticamente pi�u interessanti del quadro �convinceresteil Louvre a cedervi un occhio della Gioconda��

�Si capisce quindi come la de�nizione di valore vero come �quello che si otterrebbe dopouna serie in�nita di misure con strumentazione ideale� non �e migliore di quella ISO� anzi�questa d�a l�illusione che questo valore sia� almeno idealmente� unico� mentre la de�nizioneISO tiene conto che le misure vengono eseguite in condizioni reali e con tutte le cause diincertezza che saranno elencate in questo paragrafo�


� Cause delle incertezze di misura ��

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

o=1 + x (T - To)

1 + M (T - To)

To

ToT >

o

Figura �� Esempio di errore sistematico dovuto all�utilizzo di uno strumento atemperatura diversa da quella nominale�

�� Imperfetta conoscenza delle condizioni ambientali di in�uenza o inade�guata conoscenza degli e�etti di tali condizioniAd esempio una misura di precisione pu�o essere falsata dalla non esattaconoscenza della temperatura ambientale� La �gura � mostra� ad esem�pio� l�errore introdotto nella misura� se questa viene eseguita ad unatemperatura T diversa da quella di riferimento T�� Conoscendo i coef��cienti di dilatazione termica �e possibile correggere il valore ottenuto�come mostrato in �gura�� ma ogni eventuale incertezza sul valore di T�e� in misura minore� su �� si �propaga� nell�incertezza sulla lunghezzal�

� Errore di lettura di uno strumento�La lettura delle scale analogiche dipende dall�acuit�a visiva e dall�abilit�adi stima dello sperimentatore� E� da notare inoltre che la qualit�a delleinterpolazioni della lettura dipendono molto dalle condizioni di lavoro�illuminazione e facilit�a di lettura� e dal fatto che la grandezza �sicasia statica o rapidamente variabile con il tempo� Non �e inoltre da tra�scurare la dipendenza dall�importanza che lo sperimentatore d�a a priorialla qualit�a della determinazione di tale grandezza �sica� Infatti �e inu�tile sforzarsi a leggere i decimi di millimetro per dare al falegname ledimensioni di un tavolo�

Da queste considerazioni ne segue che l�incertezza da associare all�erroredi misura non �e univocamente determinata dal tipo di strumento�

�� Risoluzione �nita o soglia di discriminazione dello strumento�Ad esempio� se la lettura avviene con uno strumento digitale si �e limitatialla cifra meno signi�catica del display anche se la qualit�a del segnale di


� Cause delle incertezze di misura ��

misura �e tale da essere signi�cativamente sensibile a variazioni di valoriben minori dell�entit�a dell�ultima cifra del display�Come esempio numerico prendiamo un dispositivo elettronico che pro�duce una variazione nella tensione di uscita di �� mV se la pressionecambia di � mbar Assumiamo che a �� mbar il segnale di misura siapari a �� V e che sia covertito direttamente in mbar e mostrato su undisplay digitale a � cifre e che indica il valore direttamente in mbar� Unavariazione di �� mbar non produce nessuna variazione dell�indicazione�� pur causando una variazione di �� mV sul segnale di misura�

�� Valori inesatti dei campioni e dei materiali di riferimento�Si pensi ad esempio ad una massa campione con gra�� polvere e ossida�zioni� oppure ad una soluzione campione di pH che si �e contaminata dalmomento della sua preparazione�

I campioni servono a calibrare �o ricalibrare� gli strumenti� Ogni incer�tezza sul valore del campione si ri�ette sulla costante di calibrazione equindi su tutte le misure che saranno eseguite con tale strumento� Leincertezze su queste misure saranno quindi correlate�

�� Valore inesatto di costanti e altri parametri che intervengono nell�analisidei dati�Spesso le misure indirette dipendono da costanti e parametri misuratidallo setsso sperimentatore� da suoi colleghi o semplicemente riportatesu articoli o libri� Ogni incertezza su queste grandezze si propaga suquelle misurate�

�� Approssimazioni e assunzioni che intervengono nel metodo e nella pro�cedura di misura�Ad esempio� nel modello teorico elementare che descrive l�oscillazionedel pendolo sono usualmente trascurati gli e�etti che derivano dal fattoche l�angolo di oscillazione �e diverso da zero� Se si conoscono i terminicorrettivi si pu�o ottenere� in linea di principio� il valore T �� dalvalore misurato T �� Se invece si �e coscienti di e�etti che non si�e in grado di calcolare� oppure se si pu�o e�ettuare soltanto una stimagrossolana degli stessi� allora si dovr�a introdurre un ulteriore contributoall�incertezza�

�� Variazioni in osservazioni ripetute del misurando sotto condizioni di mi�sura apparentemente identiche�Queste variazioni sono legate ai cos�� detti errori casuali�

Si noti che�

� non �e facile e�ettuare una suddivisione netta fra le diverse sorgentidi incertezza e� in particolare� tutte quelle dei punti �� hanno unaqualche in�uenza sul punto � in quanto di�cilmente esse produrrannoesattamente un identico e�etto durante una serie di misure�

� nella maggior parte delle misure lo sperimentatore fa parte integrantedel processo di misura� Il risultato dipende molto da abilit�a ed espe�rienza di chi e�ettua le misure� sia per quanto riguarda la manualit�a


� Valutazioni usuali delle incertezze ��

nell�operare gli strumenti nella lettura di strumenti analogici� che per lacapacit�a di vagliare i vari contributi all�errore di misura� Quindi �e dif��cile separare l�incertezza �intrinseca� dovuta allo strumento da quelladi altri contributi�

� Valutazioni usuali delle incertezze

Vediamo ora quali sono le tecniche di valutazione delle incertezze ��errori��usate dalla maggior parte dei laureati in materie scienti�che e tuttora inse�gnate nelle scuole secondarie superiore e anche all�Universit�a �si noti comealcuni metodi variano leggermente a seconda dell�Universit�a di provenienza�nel seguito si fa riferimento a quello che� grosso modo� rappresenta lo standardromano��

Cominciamo esaminando attentamente la seguente lista di nozioni tipiche�Esse saranno analizzate in dettaglio nei prossimi paragra�� Questa list erastata originariamente elaborata per l�introduzione ad una serie di seminari te�nuti alla �ne del �� ad insegnanti dell�AIF e serviva a valutare il backgroundcomune�

�� Propagazione degli errori massimi��

�y �� y�x�

��x� �

�� y�x��x� � � � � ��

ad esempio

y � x� � x� � �y � �x� � �x�

�� Propagazione degli errori statistici��

��y� �

��y

�x�

��

��x��

��y

�x�

��

��x��

ad esempio

y � x� � x� � ��y� �p��x�� x��

�� Regola della �mezza divisione��

�x ��

�divisione � �

�� I punti sperimentali vanno riportati sui gra�ci sempre con le �barredi errore��

� Rette di massima e di minima pendenza�


� Critica della �teoria degli errori massimi ��

�� Avendo eseguito un numero n �abbastanza grande� di misure� il risul�tato va riportato come

�� x� � ��

oppure

�� x� �p

n��

Inoltre� molto importante�

che signi�cato si attribuisce a queste due espressioni�

Il risultato del sondaggio �confermato sostanzialmente in altri seminari e corsidi perfezionamento� �e stato che�

� i partecipanti conoscevano molto bene questi concetti� con eccezione delpunto ��

� per quanto riguarda il punto �� alcuni mostravano addirittura una prefe�renza ad una stima dell�incertenza pi�u conservativa ��x � � divisione��

� sulla scelta fra �� e ��pn� c�era una netta preferenza ad utilizzarecome incertezza il valore della deviazione standard delle singole misureanzich�e dividerlo per

pn ��altrimenti diventa troppo piccolo�� Co�

munque� a parte il numero da mettere nell�espressione� c�era l�unanimeconsenso che l�espressione stesse a signi�care �una certa probabilit�a che� sia compreso nell�intervallo��

� Critica della �teoria degli errori massimi

Passiamo ora in rassegna i concetti e le procedure che abbiamo illustrato�cercando di capire su cosa sono fondate e cosa implicano�

�� y �P

i

�� y�xi

��xi

Questa espressione starebbe a signi�care che

se siamo �praticamente certi� che il valore vero xvi �e compreso nell�in�tervallo dato da xi � �xi� ne segue che siamo �praticamente certi� cheil valore vero di yv �e compreso nell�intervallo dato da y ��y�

E� opinione comune che� a�nch�e la formula sia valida� debba valere �xi � xi�giusti�cazione usuale�� Se accettiamo per buona tale espressione di �pro�pagazione lineare degli errori massimi� e i presupposti sui quali essa si basaandiamo incontro ad incongruenze� come mostrano gli esempi che seguono�

�� Se x� � �� e x� � � � � quanto vale ��x� � x�� La secondacondizione non �e pi�u valida��


�� y �P

i

�� y�xi��xi ��

�� Misuriamo due spessorini� uno di � mm e l�altro di � mm �valori �esatti��con un righello aventi divisioni di � mm� Otteniamo x� � �� mme x� � �� mm� da cui x��x� � �� mm� Come si recita in questicasi� le due misure sono �uguali entro gli errori�� Ci�o nonostante� unaqualsiasi ispezione visuale suggerisce che uno spessore �e circa il doppiodell�altro� Nessuno potr�a giurare che il rapporto fra i due sia esattamente�� potrebbe essere �� o forse �� o �� ma sicuramentesono esclusi i valori prossimi a �� Si ottiene quindi un risultato formale innetta contraddizione con quanto si crede� una conclusione paradossale

�� Consideriamo un termometro a mercurio� avente divisioni di ��C e dicui sappiamo che potrebbe essere scalibrato al pi�u di ��C� Conside�riamo le seguenti letture� lasciando sospese le incertezze e le successiveelaborazioni�

T� � �� C ��

T� � �� C ��

T� � T� � � � �� C ��

La risposta usuale a questo quesito �e che �T� e �T� sono pari a ��C�mentre

T� � T� � �� C �

�Qualcuno� sospettando un tranello� azzarda un ��T� � T�� C��Non �e di�cile convincersi che� mentre incertezze di �� C su ciascunamisura sono ragionevoli� se intese come �errori massimi�� quella sulladi�erenza non �e a�atto sensata� La calibrazione assoluta non pu�o averealcun e�etto sulla di�erenza fra valori di temperatura cos�� prossimi� Allaluce delle considerazioni del punto precedente� possiamo a�ermare che lastima pi�u ragionevole dell�incertezza su T��T� sia inferiore a ��C �perarrivare ad valore numerico bisogner�a premettere altre considerazioni esaperne di pi�u sul termometro� sulle condizioni di misura e su chi haeseguito le letture��

�� Torniamo ora all�espressione �praticamente sicuri��

� cosa signi�ca

� cosa si paga se non �e vero �se dovesse risultare che il valore vero�e al di fuori dell�intervallo indicato� o almeno �molto al di fuori��visto che non si trattava di certezza assoluta�

� �e quello che serve veramente

Analizziamo quest�ultimo punto� Prendiamo� come esempio� la sommadi tante grandezze di uguale valore e incertezza �tanto per sempli�care iconti��

�xi � costante � �x

xi � costante � x


�� y �P

i

�� y�xi��xi ��

La somma degli n valori e la sua incertezza� calcolata usando la �� sono

yn �nXi��

xi � nx

�yn �nXi��

�xi � n�x

Confrontiamo questo risultato con quanto si ottiene mediante un pic�colo programma di simulazione � assumendo che il valore vero delle xipotrebbe essere in qualsiasi punto entro l�intervallo xi � �xi� La �gu�ra � mostra i risultati di � simulazioni� per n�� e � Per comodit�a l�asse delle ascisse �e preso fra yn � �yn e yn � �yndati dalla formula precedente� Come si vede dalla �gura� �e senz�altrocorretto a�ermare di essere �praticamente certi� che il risultato sia inquell�intervallo� ma� al crescere di n� la prudenza �e tale che il risultatosi �e �impoverito� rispetto alle sue potenzialit�a originarie�

Si potrebbe obiettare che in pratica si fanno solo poche misure� Questopu�o essere vero in una semplice esperienza di laboratorio� ma nel mondoreale la propagazione delle incertezze �e in principio illimitata� ognunoutilizza informazioni precedentemente ricavate da lui o da altri� e leconclusioni verranno utilizzate da altri ancora� etc� �nessuno fa unamisura per incorniciare il risultato a casa� senza nessuna in�uenza peraltri � � � ��

Riassumendo� possiamo a�ermare che l�uso della cosiddetta �teoria� deglierrori massimi conduce a

� una tendenza a sovrastimare le incertezze�

� all�impossibilit�a di trattare propriamente gli e�etti delle correlazioni�

Ora� qualcuno potrebbe pensare che l�e�etto delle correlazioni possa essereuna �nezza e che la sovrastima delle incertezze sia da ritenere addirittura essereun pregio� Se gli esempi precedenti� che hanno mostrato come facilmente siarriva a sovrastime di un ordine di grandezza non dovesse bastare� citiamo laGuida ISO in proposito�

�The method �quello raccomandato dalla Guida� stands� therefore� incontrast to certain older methods that have the following two ideas incommon�

� The �rst idea is that the uncertainty reported should be �safe� or�conservative� � � � � � In fact� because the evaluation of the uncertainty of a measurement result is problematic� it was often madedeliberately large

�Non ci sarebbe alcun bisogno di simulare il processo al computer� dato che la soluzionepu�o essere ottenuta analiticamente mediante il calcolo delle probabilit�a� ma l�esperienza miinsegna che le simulazioni possono essere pi�u convincenti per alcune persone�

�Ci si potrebbe chiedere come mai questo processo non porta ad un collasso� Semplice�mente perch�e nei laboratori non si seguono queste regole e� invece di nascondere la testa nellasabbia degli errori massimi� si cerca di ricalibrare in continuazione strumenti e procedure�Questo �e quanto dovrebbe imparare subito anche lo studente


�� y �P

i

�� y�xi��xi ��

Figura �� Simulazione della distribuzione del valore vero ottenuta sommando nrisultati aventi gli stessi limiti di errore� Per confronto viene anche riportatala distribuzione normale avente come media il centro dell�intervallo e deviazionestandard

pn�p

�� vedi appendice sul teorema del limite centrale��


�� Regola della mezza divisione ��

� � � �

� � � � � if the �maximum error bound� �the largest conceivable deviation

from the putative best estimate� is used � � � � � the resulting uncertainty �

� � � � will be unusable by anyone wishing to incorporate it into subsequent

calculations � � � � ��

Comunque� il motivo principale per cui vanno evitate le sovrastime delle in�certezze �e che in questo caso �e pi�u facile arrivare a risultati in accordo �arti��ciosamente� con valori noti o con quelli di altri esperimenti� Questo impediscedi identi�care i possibili e�etti sistematici che possono distorcere il risultato�si ricordi che spesso dietro gli errori sistematici c��e quasi sempre della Fisica�dispersioni termiche� rumore elettromagnetico� approssimazioni rozze� etc�� odi scoprire addirittura una nuova fenomenologia �ma questo non capita nelleesperienze di laboratorio didattico � � � �� Aumentare arti�ciosamente le in�certezze equivale a ri�utarsi di imparare� Farlo per �paura di sbagliare� �epuerile� �

�� Regola della mezza divisione

Questa �e una delle regole pi�u radicate nella mente di chi ha seguito corsi diteoria della misura� una sorta di dogma al quale credere� scarsamente suppor�tato �se preso alla lettera� da giusti�cazioni teoriche o pratiche� In realt�a �eabbastanza semplice convincersi che�

� �x � ��

divisione non corrisponde all�errore di lettura�� provare per cre�dere Ad esempio� una semplisissima esperienza consiste nel fare dellemisure con un calibro e confrontare il valore stimato interpolando fra letacche �distanziate un millimetro� con quello letto sul nonio �vedi tabella� in Appendice�� Il risultato che si ottiene �e ben lontano da un errore dimezza divisione� Si notano scarti tipici al pi�u dell�ordine di un decimo didivisione e la deviazione standard tipica degli scarti interpolazione�nonio�e inferiore al decimo di divisione� con un massimo di frequenza intorno a� �� decimi� un valore niente a�atto casuale alla luce di quanto vedremofra breve�

In e�etti� questo �e in linea con la tradizione classica �tuttora in voga ingiro per il mondo� che raccomanda di sforzarsi di leggere fra le divisioni�Mostriamo� come curiosit�a� una �gura tratta da un articolo su Nature�del �� marzo �� Vol� �� pag� �� sull�astronomo Nevil Maskelyne�

�Questo aspetto psicologico non riguarda soltanto gli studenti� Non �e raro vedere anchenella ricerca avanzata risultati in sorprendente accordo fra di loro o con predizioni teorichenonostante le loro enormi barre di incertezza� o �sici sperimentali preoccupati se i loro valoridi eriscono di un paio di deviazioni standard da una �solida predizione� o da un risultatoprecedente�

�A volte lo si sente chiamare anche errore di sensibilit�a� o addirittura semplicemente�sensibilit�a� �in una nota per studenti si legge testualmente �l�indeterminazione su taligrandezze pu�o essere presa pari alla sensibilit�a del termometro impiegato� ovvero mezzatacca�� In questo caso �sensibilit�a� starebbe per �risoluzione� �vedi norma DIN �� che incontreremo fra poco� E� raccomandabile utilizzare il termine �sensibilit�a� per indicare� � � la sensibilit�a� ovvero� detto alla buona� �il rapporto fra la variazione della risposta e lavariazione dello stimolo��


�� Regola della mezza divisione ��

Figura �� Istogramma dell�ultima cifra signi�cativa nei dati di Maskelyne e in quellidel suo assistente�

Questi licenzi�o il suo assistente� accusandolo di non essere accurato nelleletture �qualcuno insinua che questo non sia stato il motivo principale�ma per noi �e irrilevante�� La �gura � riporta la distribuzione dell�ultimacifra �ovvero quella stimata interpolando fra le tacche� delle misure diMaskelyne e del suo assistente� Si noti come anche quest�ultimo abbiauna certa tendenza ad arrotondare un po� troppo� o a predilire certecifre� ma niente a che vedere con la super�cialit�a di Kinnebrook�

E� interessante vedere cosa raccomandano le varie norme degli istituti dimetrologia a proposito degli strumenti a lettura analogica�

� �Line scales mainly have a scale numbering with regular spacing and are

mostly intended for a continuous indication of measured values� �DIN�� part �� !Per �continuo� si intende che la quantizzazionedella lettura alla mezza divisione �e arbitraria�"

� �Unduly small scale spacing �less than approx � mm� should be avoi

ded� since such scales are tiring to read and in particular the estimating

of tenths is impossible so that the observation is rendered less certain�

�DIN �� part ��

� �In some areas of metrology the term �resolution� is used This is under

stood to mean the small change in the value of the measurand which is

necessary to produce a perceptible �often speci�ed� small change in the


�� Regola della mezza divisione �

response �in the case of measuring instruments with scale indication� for

example� �� of the scale interval�� DIN �� part ��

� �In un formato per osservatore umano l�incertezza di lettura dipende dalle

caratteristiche costruttive della scala e dell�indice� dalle modalit�a d�osser

vazione� dal rumore eventuale e dall�abilit�a dell�osservatore Per esempio

se si ammette che un osservatore di normale abilit�a� leggendo lo strumento

nella posizione appropriata� possa stimare �� di divisione� si indicher�a

come incertezza di lettura �� divisioni�� UNI � ��

Ne segue che� quando le condizioni di misura lo permettono� bisognasforzarsi a leggere fra le tacche� �

� �x � ��

divisione non corrisponde all�errore di calibrazione �si sente ri�petere spesso �il costruttore ha disegnato le tacche in modo tale che � � �� Per convirsene� �e su�ciente leggere le norme �ISO� DIN� UNI� a cuii costruttori di strumenti si devono attenere� Si scopre allora come ilpossibile errore di calibrazione possa essere� in taluni casi� ben inferioreal decimo di divisione �nel caso dei righelli� per esempio�� mentre in altrisi arriva addirittura ad alcune divisioni �il caso di alcuni termometri��Ad esempio� la norma su �Attrezzi da disegno � Modalit�a di controllo eprecisione per squadre� righe e multidecimetri� �UNI �� riporta�

� Sulla lunghezza l della parte millimetrata �e ammessa una tolleranzadi

�� l

��

Quindi per i normali righelli abbiamo tolleranze di circa �� mm perletture fatte a fondo scala �ed� in ogni caso� le letture prossime sononecessariamente correlate� in quanto un eventuale difetto dello strumentosi ripercuote in entrambe��

Un ultimo commento sulla regola della mezza divisione� essa implicherebbeche

� questo sia il solo errore in gioco� mentre� come visto precedentemente�sono molte le cause di incertezza e molto spesso lo sperimentatore faparte integrante del processo di misura�

� i vari errori siano non correlati �per quanto riguarda il successivo usonelle propagazioni��

Da questa regola discende inoltre l�imperativo di riportare i punti sperimentalisui gra�ci sempre con le loro �barre di errore�� che sar�a commentato fra breve�

�Essere praticamente sicuri che il valore sia entro il �� di divisione� vuol dire che� se cisi sforza al interpolare al meglio� ci si aspetta una deviazione standard dell�errore di letturadi circa ��

p�� divisioni� compatibile al valore di � �� che si osserva sperimentalmente�

�Perch�e non cambiare strumento� Domanda legittimissima� Il problema �e che questonon �e sempre possibile� Quindi �e importante� all�occorrenza� imparare a sfruttare tutta lapotenzialit�a degli strumenti a disposizione� Queste dovrebbero essere le regole del gioco

sulle quale sviluppare un corso di teoria e pratica di valutazione delle incertezze di misure�


�� t � �� s� ��

�� t � �� s�

Accenniamo rapidamente ad un�altra regola non giusti�cata� Si dice spessoche l�errore dovuto nelle misure di cronometraggio manuale sia di due decimidi secondo� dovuto ai ri�essi umani�

Anche se �e vero che il tempo medio di ri�esso �e di circa �� s �intorno a�� ms per studenti mediamente svegli� questo non ha niente a che vedere conl�errore sulla misura di cronometraggio� Questo dipende invece dall�entit�a delle�uttuazioni rispetto al ritardo medio� se� per assurdo� il dito di uno studenterispondesse anche � secondo dopo lo stimolo� ma senza �uttuazioni� l�erroresarebbe nullo� Quindi� ancora una volta la misura dipende dalla persona�ci aspettiamo che Max Biaggi si comporter�a meglio di qualsiasi vincitore dipremio Nobel � � � � e dalle condizioni di misura� In Appendice �paragrafoB� vengono illustrate delle semplici esperienze per permettere a ciascuno divalutare le proprie capacit�a� E�ettuandole si potranno osservare errori tipicidi alcuni centesimi di secondo��

�� Imperativo categorico di riportare le �barre di errore

Nessuno mette in dubbio l�importanza di riportare sui gra�ci i valori misuraticon le relative barre di incertezza� Il solo problema �e che queste barre dovreb�bero essere veramente associate ad una incertezza� in modo consistente con lasua de�nizione� Purtroppo questo non �e vero se� come succede spesso�

� si utilizza la regola della mezza divisione come punto di partenza�

� le incertezze su grandezze misurate indirettamente vengono valutate conla propagazione lineare delle incertezze�

Anche se si facesse uso di altri criteri e procedure meno criticabili� sia perl�incertezza dovuta allo strumento che per la legge di propagazione� partireda tali incertezze implica trascurare altri fattori che intervengono nell�incer�tezza e che possono essere pi�u importanti di quella di lettura e di eventualecalibrazione dello strumento�

Quello che si fa generalmente nel mondo della ricerca �e riportare sul gra�cosemplicemente i punti osservati e valutare l�incertezza dalla dispersione dei dati��residui�� lungo un andamento noto �o ipotizzato� dei dati sperimentali�La �gura mostra due gra�ci relativi al comportamento di una bilancia dialtissima precisione� pubblicati da T� Quinn�� direttore del BIPM �tanto perprendere un ricercatore al di sopra di ogni sospetto � � � ��

�� Rette di massima e minima pendenza

Anche la procedura di stimare i parametri di un andamento lineare dalle co�siddette rette di massima e minima pendenza �e un derivato della �teoria degli

��Si noti inoltre che� quando si misura una grandezza �sica �X in funzione del tempo �t�non ha molto senso parlare di errori su t e su X� in quanto ogni di erenza dell�istante dilettura dal tempo nominale si ri�etter�a in un errore sulla grandezza �sica� Quindi� ai �ni delrisultato �nale� �e pi�u che ragionevole attribuire tutto l�errore a X e considerare t esente daerrore �si veda anche il paragrafo ��

��T�J� Quinn� �The beam balance as an instrument for very precise weighing�� Meas� Sci�Technol��


�� Rette di massima e minima pendenza ��

0 1 2 4 53

I1(tN+1)+ Ic(2)

I1(tN)

I1(t1)

I1(to) + Ic(1)

1µA/µg

I2(t2)

I1(tN-1)

C

Serv

o cu

rren

t I

Time/hour

MI =

µg m

851.5

.4

.3

.2

.1

851.0

.9

850.5

.7

.6

.8

8 12 16 20 24 4 8 12 16 20 24 4 8 12 16 20 24

Date

hoursSaturday 20 February 1988Friday 19 February

1 . 10-10

1 µg

Figura � Gra�ci relativi ad una bilancia di altissima precisione �deviazione standard di � parti su �� pubblicati dal direttore del BIPM� si noti l�assenza dellebarre di incertezza�


�� Rette di massima e minima pendenza ��

y

x

Figura �� Regione di plausibilit a della legge �sica che descrive i dati sperimentali�come risulta dal risultato dato secondo la procedura delle rette di massima eminima pendenza�

errori massimi�� ove l�intervallo di valori fra le barre �e considerato certo� Daquesto punto di vista c��e almeno una certa coerenza logica in quello che� allaluce dell�esperienza� si rivela come un paradosso che infastidisce gli studenti�

� peggiore �e l�accordo fra i punti sperimentali �con le loro barre di incer�tezza�� migliore �e spesso in modo imbarazzante� alla luce di valori verinoti� �e la precisione sui parametri�

A questo �e da aggiungere che�

� il risultato simultaneo dei due parametri �e spesso �non informativo�� nelsenso che si presta ad interpretazioni molto vaghe e non accettabili allaluce dei dati sperimentali� Infatti� nel presentare un risultato con�

m � m� ��mc � c� ��c

�m e c stanno rispettivamente per coe�ciente angolare e intercetta� siperdono informazioni� chi non ha accesso al gra�co pu�o immaginare unandamento vero che pu�o essere compreso� senza alcuna preferenza� fra

y � �m� ��m�x� �c ��c�

e

y � �m� � �m�x� �c � �c� �

Questo corrisponde� in alcune esperienze didattiche ad aver misurato pi�uo meno niente �vedi ad esempio �gura ��


� Critica degli �errori statistici ��

� Il risultato dipende dalla scelta degli assi e non �e invariante per traslazio�ne� Ad esempio� la regione di plausibilit�a si riduce se si sceglie l�originedell�asse delle ascisse al centro dei punti� In particolare� con un po� difortuna �o di sfortuna� si pu�o ottenere �c � Questo �e dovuto alfatto che con questa procedura non c��e alcun modo di tener conto dellecorrelazioni fra i parametri� correlazioni inevitabili in quanto essi sonoottenuti dalle stesse informazioni di partenza�

Critica degli �errori statistici

L�altra regola di propagazione di incertezze generalmente nota �ma� al dire ilvero� non troppo fra gli insegnanti di scuola media� �e quella cosiddetta degli�errori statistici�� che riportiamo per comodit�a�

��y� �

��y

�x�

��

��x��

��y

�x�

��

��x��

Essa �e decisamente meglio di quella precedente� se non altro in quanto si so�stituiscono probabilit�a a incertezze� Ma all�atto pratico anche questa formulapresenta i suoi problemi�

� Innanzitutto �e da premettere il dato di fatto che molti studenti studianoquesta formula in modo astratto� senza nessuna applicazione durantel�intero corso di laurea� e quindi si crea un atteggiamento di di�denzanei suoi confronti� E difatti� alla prima occasione in cui si tenta diapplicarla� nascono i problemi�

� Seconda premessa �e che la �� non �e completa� essendo valida soltantonel caso in cui le xi sono indipendenti� condizione che �e violata qualorale grandezze sono misurate con lo stesso strumento� un caso tutt�altroche astratto�

� Comunque� il primo problema legato a tale formula �e quello di interpre�tazione� Per qualcuno potr�a sembrare un cavillo �loso�co� ma in realt�a�e un punto cruciale� Cosa signi�ca y��y� La stragrande maggioranzadelle persone interpellate sono concordi nell�a�ermare che �assunto unmodello gaussiano� essa voglia indicare

P !y � ��y� � yv � y � ��y�" � �� # � ��

�c��e il �� # di probabilit�a che il valor vero di y si trova nell�in�tervallo y � ��y��

Quando poi si chiede cosa sia la probabilit�a si ottengono risposte tipiche��casi favorevoli su casi possibili� e �limite della frequenza�� che noncontemplano a�ermazioni probabilistiche sui valori veri� cos�� come sonoespresse dalla ��

� Un problema pratico tipico �e quello di �cosa mettere nelle ��xi�� della�� Siccome questa formula deriva dal calcolo delle probabilit�a� appli�cato alle variabili casuali� le xi e la y che entrano nella formula devono


Riassumendo ��

avere il signi�cato di variabile casuale e le ��xi� quello di deviazionestandard� Quindi� se non si associano variabili casuali ai valori veri�l�uso della �� e arbitrario�

� Nel caso di n misure ripetute� si impara che le ��xi� vanno calcolatecome ��

pn� �nonostante si incontra ancora qualcuno di�dente del

fattore ��pn e che preferisce ometterlo per �non avere errori troppo

piccoli�� Purtroppo� non sempre �e possibile e�ettuare molte misure chemostrino una variabilit�a da manuale dei valori letti� Come comportarsi�ad esempio� se�

� si e�ettua una sola misura �n � ��

� si legge un grandissimo numero di volte ��n�� lo stesso valore�ad esempio �� V su uno strumento digitale�

� Come comportarsi se sono presenti anche �errori sistematici�

� Come valutare e gestire le correlazioni fra diverse misure introdotte� adesempio� da errori sistematici comuni

La conseguenza di questi problemi tecnici �usualmente quello di principio sul�l�interpretazione della probabilit�a non viene nemmeno preso in considerazione��e che in genere gli studenti imparano delle formule che poi non utilizzerannoe seguitano a lavorare con gli errori massimi��

� Riassumendo

Volendo fare il punto prima di proseguire� diciamo che la situazione apparesconfortante� la teoria degli �errori massimi� �e visibilmente incongruente dalpunto di vista teorico e insoddisfacente dal punto di vista pratico� non si sabene come comportarsi con quella degli �errori statistici��

In particolare� questa rassegna critica dovrebbe aver fatto sorgere al lettoredei seri dubbi su

� validit�a del concetto stesso di errore massimo�

� dogma della �$� divisione�

� propagazioni lineari degli errori massimi�

� imperativo categorico delle barre d�errore�

� retta di massima e minima pendenza�

� validit�a delle a�ermazioni probabilistiche sui valori veri�

��Qualcuno prova a trasformare �errori massimi� in �errori statistici�� considerando �x ��x e� nella direzione opposta� ��x � �x�

p� �assumendo una distribuzione uniforme del

valore vero di x entro ��x� La seconda trasformazione �e ragionevolissima se veramentesi crede che x possa assumere qualsiasi valore entro ��x� sebbene questo credere sia incontrasto con le interpretazioni usuali di probabilit�a� La trasformazione inversa �� con l�uso successiva delle propagazioni lineari �e invece assurdo in quanto in contrasto con leproprie credenze �gli errori massimi assumono� tacitamente� indi erenza entro ��


� Da dove ricominciare� ��

� uso pratico della propagazione degli errori statistici�

� terminologia varia�

Anticipiamo� tanto per fare una lista completa�� altri punti che a�ronteremo�

� concetto di probabilit�a�

� �dogma dell�immacolata osservazione��

� classi�cazione dell�incertezza in �statistica� e �sistematica��

Si tratta quindi di rivedere completamente il processo che permette di impararedai dati sperimentali� Parafrasando Kant!�" si pu�o dire �sostituendo le parolein corsivo con quelle fra parentesi��

�Tutti i meta�sici ��sici� sono quindi solennemente e legittimamente so

spesi dalle loro funzioni �no a tanto che abbiano soddisfacentemente ri

sposto alla domanda come sono possibili le conoscenze sintetiche a priori

��e possibile imparare dalle osservazioni��

Chiaramente� questa citazione �e da prendere in modo scherzoso �per quantoriguarda l�invito a sospendere le attivit�a � � � �� ma� ri�ettendoci bene� si notacome essa sia pi�u pertinente di quanto si possa pensare inizialmente� Infattila critica di Hume al problema dell�induzione� che aveva �interrotto il sonnodogmatico� del grande �losofo tedesco� �e sopravvissuta anche all�analisi dellostesso Kant�� Ritorneremo su questo argomento fra qualche paragrafo�

� Da dove ricominciare

Per ricostruire una teoria delle incertezza di misura che non so�ra di tutte iproblemi mostrati� partiamo da alcune considerazioni�

�� Un po� in analogia del �cogito� cartesiano� a questo punto� l�unica af�fermazione sulla quale �e di�cile non essere d�accordo �e quanto dettonell�introduzione�

��Un altro punto molto critico� ma su cui non entreremo� �e quello legato ai cosiddetti �testdi ipotesi��

��Ho sentito questa espressione dal neurologo Sergio Della Sala durante la conferenzaannuale del CICAP �Comitato Italiano per il Controllo delle A ermazioni sul Paranormale�Padova� Novembre �� L�originale dovrebbe essere di Umberto Eco� forse in �Kant el�ornitorinco� � � �Il signi�cato che attribuisco a questa espressione in questo contesto sar�a chiaro a partire dalparagrafo �� la mera osservazione empirica ��un numero su un display� non accresce laConoscenza� se questa informazione viene avulsa dal contesto di �credenze� che contornanomisurando� strumento di misura e processo di misura�

��E� molto espressivo il commento di Bruno de Finetti sull�insuccesso di Kant a far frontealla critica di Hume �Ma le reazioni contro ogni chiari�cazione intelligente sono semprepronte e pieno di sacro zelo� in difesa della sacra ottusit�a ecco il povero Kant a annarsia tamponare la falla aperta da Hume ed a rabberciare la sconnessa fabbricazione tradizio�nale� dove il ragionamento induttivo si vuole a forza ricollegato e inserito� al pari di quellodeduttivo� nelle strutture anguste della logica del certo��


� Da dove ricominciare� ��

il processo di induzione dalle osservazioni ai valori di grandez�ze �siche conduce ad a�ermazioni che� inevitabilmente� sonoa�ette da un certo grado di incertezza�

�� Il concetto naturale sviluppato dalla mente umana per quanti�care laplausibilit�a delle a�ermazioni in situazioni di incertezza �e quello di proba�bilit�a�

Si tratta quindi di costruire una teoria probabilistica �probabilistica e non�genericamente� �statistica�� dell�incertezza di misura�

Questi due punti di partenza sembrano assolutamente ragionevoli� ma ilsecondo appare in contraddizione con la critica sull�interpretazione probabi�listica del risultato� avanzata nel paragrafo precedente� In realt�a questo non�e un vero problema� ma soltanto un prodotto di una visione distorta �cio�ediversa da quella naturale� del concetto di probabilit�a� In e�etti la maggiorparte dei �sici stessi� pur �credendo� che la probabilit�a sia �il rapporto fra casifavorevoli e casi contrari� o �limite della frequenza�� si stupiscono quandovengono a sapere che l�a�ermazione

P �x� �pn� � � x �

�pn

� � �� # ��

�e illegittima�� indichiamo con � il valore vero e con x il valore osservato��Infatti� secondo la statistica convenzionale� non hanno senso a�ermazioni pro�babilistiche sul valor vero� Esso sarebbe un valore �costante� ma ignoto�� Intale approccio si pu�o a�ermare soltanto che

P �� pn� x � � �

�pn

� � �� # � ��

Ma questa �e un�a�ermazione probabilistica su x� dati � e �� Non sono ammesseinvece a�ermazioni probabilistiche su �� sebbene sia a queste che lo sperimena�tore faccia riferimento quando esegue un esperimento per �diminuire lo statodi incertezza su ��

��Assumiamo che il lettore sia al corrente delle �de�nizioni� standard� quelle che si studianocomunemente

��Nessun testo serio di probabilit�a convenzionale riporta la �� Si parla invece di �inter�vallo di �ducia�� che ha per�o tutt�altro signi�cato� anche se diversi testi e molti insegnantine suggeriscono un�interpretazione probabilistica� Senza entrare nei dettagli� ad uso di chi�e familiare con questi concetti� chiariamo brevemente come la ragione di fondo di questacontraddizione sia da ricercarsi nel ri�uto di accettare l�interpretazione di probabilit�a co�me grado di �ducia� Il concetto frequentistico di intervallo di �ducia �e quindi una sortadi forzatura inventata per caratterizzare l�incertezza in un modo consistente con la visionefrequentistica di probabilit�a �vedi nel seguito� Purtroppo � �e un dato di fatto � tentare diclassi�care lo stato di incertezza evitando il concetto di probabilit�a conduce a fraintendimen�ti� Emblematico di questi ben noti problemio �e quanto risultava da una tavola rotonda frastatistici americani alla quale ho assistito in occasione del loro congresso annuale del ��i nostri studenti non capiscono gli intervalli di �ducia��


�� Probabilit�a soggettiva ��

�� Probabilit�a soggettiva

Quindi il primo concetto da rivedere �e quello di probabilit�a� Nei limiti dispazio di questa trattazione� diciamo soltanto che�

� sostanzialmente si assume che il concetto di probabilit�a sia primitivo�ovvero vicino a quello del senso comune� Per dirlo in un modo scherzoso�il concetto di probabilit�a �e quello che si ha �prima di andare a scuola� eche si seguita ad usare inconsciamente dopo� �nonostante quello che si �e

appreso��

� detto altrimenti� la probabilit�a �e una misura del grado di �ducia �o dicredenza� in inglese degree of belief� che una qualsiasi a�ermazione risultiessere vera�

� il valore di probabilit�a va da a � per a�ermazioni che vanno dall�im�possibile al certo�

� siccome quanto pi�u si crede che una certa a�ermazione sia vera� tantopi�u si �e disposti a scommettere su di essa� la scommessa �coerente��

pu�o essere utilizzata per de�nire operativamente il valore di probabilit�a�

� �e facile convincersi che le �de�nizioni� standard non possono invece de��nire il concetto di probabilit�a in quanto esse assumono il concetto diprobabilit�a� Prese alla lettera� esse sono infatti de�nizioni circolari�

� �de�nizione combinatoria�

p �numero dei casi favorevoli

numero dei casi possibili �se egualmente probabili��

� �de�nizione frequentista�

p � numero delle prove favorevoli

numero totale delle prove�

quando sono state e�ettuate un grande numero di prove nelle stessecondizioni �equiprobabilit�a��

��Questa osservazione deriva dalla constatazione che� come detto� la maggior parte dei�sici interpellati sia convinta in buona fede della legittimit�a della �� pur sostenendo chela probabilit�a sia il �limite della frequenza��

�Senza entrare nel dettaglio� chiariamo brevemente cosa si intende per �coerente� �o �re�versibile� una volta �ssate le quote di scommessa pro e contro l�evento �proporzionali allaprobabilit�a dell�evento e del suo opposto� deve essere indi erente allo scommettitore il versodella scommessa se c��e una netta propensione pro� vuol dire che bisogna alzare la quota infavore dell�evento� nel caso opposto bisogna alzare l�altra quota� Il rapporto delle quote� incondizione di indi erenza sul verso da scegliere� �e una valutazione del rapporto delle proba�bilit�a� Quindi il valore della probabilit�a �e dato dalla quota di scommessa sull�evento divisaper il totale delle quote�Si pu�o dimostrare che la coerenza fornisca �come teoremi� le regole sintattiche della probabi�lit�a analoghe a quelle espresse dai ben noti assiomi� Inoltre da essa si deriva anche la relazioneche lega probabilit�a condizionata alla probabilit�a congiunta evento�condizionante e a quelladel condizionante �mentre nell�approccio assiomatico questa formula �e una de�nizione� con ilrisultato di produrre conseguenze paradossali� Un�altro aspetto importante della coerenza�e che essa fa s�� che le valutazioni soggettive siano tutt�altro che �arbitrarie��


�� Formalismo sulle variabili casuali� �f�x�� E�X� e � ��

� le due �pseudo�de�nizioni� sono prontamente recuperate come regole divalutazione della probabilit�a� qualora colui che e�ettua la valutazioneritenga che le clausole siano soddisfatte�

Il concetto di probabilit�a che abbiamo brevemente illustrato �e quello dellacosiddetta probabilit�a soggettiva� ad indicare che il valore dipende dallo statodi informazione del soggetto che e�ettua la valutazione� Anche se questo ap�proccio alla probabilit�a pu�o sembrare inizialmente sospetto �l�aggettivo �sog�gettivo� suona decisamente male per tutti coloro che� in perfetta buona fede�desiderano il progresso della scienza� nel modo pi�u �oggettivo� possibile�� esso�e quello meglio fondato e il pi�u produttivo� come anche riconosciuto nella gi�acitata Guida ISO�

�� In contrast to this frequencybased point of view of probability

an equally valid viewpoint is that probability is a measure of the degree

of belief that an event will occur

� � � � � Recommendation INC� � � � � � implicitely adopts such a viewpoint

of probability � � � � ��

Il punto di forza di questa interpretazione della probabilit�a �e� oltre al recu�pero del concetto intuitivo� la possibilit�a di fare a�ermazioni probabilistichesu qualsiasi evento� indipendentemente dal fatto di avere un problema per�fettamente simmetrico ��casi possibili e casi favorevoli�� o di poter ripeterel�esperimento un grande numero di volte ��limite della frequenza��

�� Formalismo sulle variabili casuali� �f�x�� E�X�e �

Prima di procedere alle applicazioni� ricordiamo brevemente la terminologiasulle variabili casuali �nel linguaggio della probabilit�a soggettiva��

� Una variabile casuale� o numero aleatorio� �e qualsiasi numero rispetto alquale si �e in stato di incertezza� Facciamo due esempi nel contesto dellemisure�

�� Pongo un chilogrammo campione su una bilancia di laboratoriocon indicazione �digitale� dei centesimi� Che valore legger�o �ingrammi� ��

�� Leggo su una bilancia di laboratorio �� g� Quanto vale il valorevero della massa del corpo ��

Nel primo caso la variabile �e la lettura x �subordinatamente ad un certovalore vero�� nel secondo caso la variabile �e il valore vero � �subordina�tamente ad un certo valore letto��

� Ai possibili valori della grandezza viene associata una funzione f�x� chequanti�ca il grado di �ducia ad essi assegnato� Quindi scrivere chef�x�� f�x�� sta ad indicare che si crede pi�u a x� che a x�� A se�conda che la variabile x sia discreta o continua� f�x� ha l�accezione difunzione di probabilit�a o di funzione densit�a di probabilit�a�


�� Valutazione dell�incertezza di misura� schema generale �

� Tutte le propriet�a di f�x� apprese nei corsi convenzionali rimangonovalide nell�approccio soggettivista� In particolare si ricorda che il valoreatteso� indicato con E�X� e calcolato come media dei possibili valoridi x pesati con f�x�� d�a il baricentro della distribuzione� la deviazionestandard� indicata con � e calcolata come radice quadrata del momentodi inerzia della distribuzione �leggi varianza� �media dei quadrati degliscarti�� fornisce la dispersione di valori che �e possibile attendersi dallavariabile�

� Tutte le distribuzioni di variabile casuale sono subordinate ad un certostato di informazione� Utilizzando i due esempi precedenti possiamoperci�o scrivere

f�x� �� f�x j� � ��

f�� f�� j x � ��

ove �j� si legge �dato�� subordinatamente a�� etc�

� L�intero stato di incertezza sui valori della grandezza di interesse �e espres�so da f�� Da questa funzione �e possibile calcolare la probabilit�a chela grandezza abbia un valore compreso in un certo intervallo� Per sem�plicit�a� spesso si riassume lo stato di informazione di f�� in due solinumeri� E�� e �� E� interessante l�interpretazione conoscitiva di questedue grandezze� Esse possono essere viste come la previsione e l�incertezzadi previsione del numero aleatorio�

� Fra le distribuzioni di probabilit�a� quella pi�u importante per la tratta�zione delle incertezze di misura �e indubbiamente la ben nota gaussiana�che assumiamo nota� Altre distribuzioni interessanti per le applicazionisono la distribuzione uniforme e la distribuzione triangolare� Anche ladistribuzione uniforme �e generalmente ben conosciuta� Ricordiamo sol�tanto che essa ha una deviazione standard pari alla sua larghezza divisap

�� Utilizzando la semilarghezza �� si ha�

��distr� uniforme� �� p

��

�p��

Essendo la distribuzione triangolare meno nota� essa �e descritta in Ap�pendice C�� Nel caso �isoscele� �triangolare simmetrica� di semiampiezza� la deviazione standard vale

��triangolare� ��p��

�� Valutazione dell�incertezza di misura� schemagenerale

Avendo presentato tutti gli ingredienti necessari� vediamo come sviluppareuna teoria delle incertezze di misure� Nei prossimi paragra� a�ronteremo ilproblema a diversi gradi� cercando di limitare il formalismo e le complicazionimatematiche�


�� Valutazione dell�incertezza di misura� schema generale ��

�� Il primo passo consiste nella valutazione dello stato di incertezza su unagrandezza misurata direttamente� ossia il cui valore sia letto su uno stru�mento� senza compiere altri calcoli� Si terr�a conto del fatto che a voltepossono essere eseguite pi�u misure indipendenti sullo stesso misurandonelle stesse condizioni�

Prima di passare alla parte puramente applicativa sono necessarie anco�ra delle premesse di carattere generale sul processo di apprendimento�Dobbiamo infatti�

� capire cosa vuol dire� dal punto di vista generale� riaggiornare lostato di incertezza sul valore del misurando�

� introdurre brevemente il problema delle inversioni di probabilit�a�ovvero di come passare dalla distribuzione di probabilit�a dell�osser�vabile alla distribuzione di probabilit�a della grandezza �sica�

� accennare al meccanismo di aggiornamento bayesiano�

� risolvere in modo intuitivo� anzich�e formale� l�apprendimento baye�siano nel caso di semplici problemi di routine�

�� Il secondo passo consiste nel propagare l�incertezza su grandezze misura�te direttamente a grandezze misurate indirettamente� Anche in questocaso ci accontenteremo di medie e deviazioni standard�

�� Il terzo passo riguarda la trattazione delle incertezze dovute ad errorisistematici di valore ignoto� Questo non �e altro che un aspetto particolaredella propagazione delle incertezze �sulle costanti di calibrazioni e altrifattori di in�uenza�� Bisogner�a per�o tenere conto dei seguenti fatti�

� innanzitutto occorre convincersi che� anche se le incertezze sullecostanti di calibrazioni sono spesso descritte da un modello nongaussiano e valutate in modo abbastanza approssimativo� si pu�oarrivare a distribuzioni �nali gaussiane �teorema del limite centrale�vedi appendice D��

� in secondo luogo� le correlazioni indotte dagli errori sistematici sudiverse grandezze misurate con lo stesso strumento rendono compli�cato il calcolo della propagazione delle incertezze� Occorre quinditrovare delle scorciatoie per risolvere il problema� almeno nei casisemplici� e indicare una via generale �magari approssimativa��

�� Sar�a quindi introdotta la classi�cazione BIPM$ISO delle incertezze dimisura in tipo A e tipo B� facendo notare la coerenza con quanto svi�luppato in questo scritto�

� Come ultimo passo� considereremo la determinazione dei parametri dellaretta che meglio si adatta ai punti sperimentali� Nonostante la tendenzaattuale di delegare tali compiti a programmi automatici su computer�raccomanderemo l�uso dell�analisi gra�ca� pi�u istruttiva delle scatole nereinformatiche e che possono portare a risultati numerici confrontabili aquelli ottenibili con ��t mediante i minimi quadrati��


�� Imparare dagli esperimenti� il problema dell�induzione ��

�� Imparare dagli esperimenti� il problema dell�in�duzione

Ogni misura �e eseguita lo scopo di accrescere la conoscenza di chi la eseguee di chi ha interesse a quella speci�ca conoscenza� Questi possono essereuna certa comunit�a scienti�ca� un medico che ha prescritto una certa analisio un commerciante che deve acquistare un prodotto� E� anche chiaro chela necessit�a stessa di eseguire misure indica che ci si trovava in uno stato diincertezza su qualcosa di interesse� Questo �qualcosa� pu�o essere una costante�sica o una teoria sull�origine dell�universo� lo stato di salute di un paziente�la composizione chimica di un nuovo prodotto� In tutti i casi la misura ha loscopo di modi�care un certo stato di conoscenza�

Si sarebbe tentati di dire addirittura �acquisire�� anzich�e �modi�care�� lostato di conoscenza� come ad indicare che la conoscenza possa essere creatadal nulla nell�atto della misura� Non �e di�cile convincersi� invece� che nel�la maggior parte dei casi si tratta invece soltanto di un aggiornamento allaluce di fatti nuovi e di un certo raziocinio� Prendiamo ad esempio la misu�ra della temperatura di una stanza� e�ettuata con un termometro digitale �tanto per escludere contribuiti soggettivi alla lettura dello strumento � e sup�poniamo di ottenere �� C� Anche se si potr�a dubitare del decimo di grado�indubbiamente la misura �e servita a restringere l�intervallo di temperature ri�tenute plausibili prima della misura � quelle compatibili con la sensazione di�ambiente confortevole�� In base alla conoscenza del termometro usato� o deitermometri in generale� ci saranno valori di temperatura in un certo intervallointorno a �� C ai quali crediamo di pi�u e valori al di fuori ai quali crediamodi meno�

E� per�o altres�� chiaro che se il termometro avesse indicato� a parit�a disensazione �siologica� �� C si sarebbe tentati a ritenere che esso non funzionibene� Non si avrebbero invece dubbi sul suo malfunzionamento se avesseindicato �� C

I tre casi corrispondono a tre diversi gradi di aggiornamento della cono�scenza� Nell�ultimo caso� in particolare� l�aggiornamento�� e nullo�

Il processo di apprendimento dalle osservazioni sperimentali �e chiamatodai �loso� induzione� Probabilmente a molti lettori sar�a anche noto che in�loso�a esiste l�irrisolto �problema dell�induzione� dovuto alla critica di Hu�me a tale processo� Questa pu�o essere sintetizzata a�ermando che l�induzionenon �e �giusti�cata�� nel senso che �e impossibile dimostrare� con la stessa forzadi un teorema matematica� che da certe osservazioni possano seguire necessa�riamente determinate conclusioni scienti�che� L�approccio probabilistico cheabbiamo appena intrapreso sembra essere l�unica via d�uscita a tale critica��

��Ma anche in questo caso si �e imparato qualcosa� cio�e che il termometro non funziona � � ��Molto spesso si pensa che l�unico metodo scienti�co valido sia quello della falsi�cazione�

Non ci sono dubbi che� se una teoria non �e in grado di descrivere i risultati di un esperimento�essa vada scartata o modi�cata� Ma poich�e non �e possibile dimostrare la certezza di unateoria� diventa impossibile decidere fra tutte le �in�nite ipotesi non falsi�cate� Il metodoprobabilistico permette di fornire una scala di credibilit�a a tutte le ipotesi considerate �orapporti di credibilit�a fra ogni coppia di ipotesi� Un caso in cui il metodo di falsi�cazione�e completamente inadeguato �e quello relativo agli incertezze di misura� Infatti� prendendoalla lettera tale metodo� si sarebbe autorizzati soltanto a veri�care se il valore osservato sullo


�� Dalla probabilit�a degli e�etti alla probabilit�a delle cause ��

...

"verosimiglianze"

n cause

m effetti

P(Ei

C1 C2 Cn...

E1 E2 Em

|Cj)

Figura �� Relazioni causee�etti viste in termini di condizionanti e eventicondizionati

�� Dalla probabilit�a degli e�etti alla probabilit�a del�le cause

Per formalizzare il discorso appena fatto� occorre associare variabili casua�li sia ai possibili valori delle grandezze �siche che ai valori osservabili sullostrumento� Fatto ci�o� si tratter�a di imparare come inferire la distribuzione diprobabilit�a del valore vero� ossia come valutare� per ogni possibile valore dellagrandezza� un corrispondente grado di �ducia�

�� Verosimiglianza

Cominciamo con la distribuzione di probabilit�a dei valori osservabili� indicaticon x� Come detto�

f�x j��

sta per la funzione densit�a di probabilit�a �x �e una variabile continua� dal puntodi vista pratico� di osservare�� un certo valore x� dato un determinato valorevero �� Tutti i possibili valori di � possono essere visti come le in�nite causeresponsabili del valore x osservato �il loro e�etto�� La �gura � dovrebbe aiutaread illustrare il problema�

La funzione f�x j�� ci d�a la verosimiglianza che � possa causare x e perquesto �e chiamata semplicemente verosimiglianza� Essa va stimata dalla co�noscenza del comportamento dello strumento e� pi�u in generale� dell�insiemedi tutte le procedure di misura� Molto spesso si utilizza per la verosimiglianzaun modello gaussiano� giusti�cato un po� dall�esperienza e soprattutto dalleaspettative teoriche� basate sul teorema del limite centrale� Consideriamo�

strumento �e compatibile o no con un valore vero� niente di pi�u� Si capisce come� con questepremesse� non si possa fare molta strada�

��Attenzione a non confondere la probabilit�a di osservare un certo valore x� subordina�tamente ad un certo valore di �� con la probabilit�a del valore che �e stato e ettivamenteosservato� Essendo questo un numero certo �a meno di non essere ubriachi� ad esso nonsi applica il concetto di probabilit�a� Cos�� pure� si faccia attenzione a non chiamare f�x j��probabilit�a che x venga da �� il nome corretto � trascurando il fatto inessenziale che sitratta di una densit�a di probabilit�a e non di una probabilit�a � �e �probabilit�a di x� dato uncerto valore �� che �e chiaramente ben altra cosa��


�� Probabilit�a iniziale e probabilit�a �nale ��

quindi nel seguito� per semplicit�a� una verosimiglianza del tipo

f�x j�� p��

exp

��x� ��

��

��

con � che non dipende dal valore di � �stiamo assumendo che lo strumentorisponda nello stesso modo a tutti i possibili valori di ��

�� Probabilit�a iniziale e probabilit�a �nale

Una volta �ssata la funzione di verosimiglianza e un valore osservato x� sitratta di costruire la f�� j x�� Per arrivare in modo euristico alla formula ge�nerale� consideriamo soltanto due possibili valori di �� Se� in base alle nostreconoscenze� riteniamo i due valori ugualmente probabili� ci sembrer�a naturaleprotendere per il valore per il quale la verosimiglianza di osservare x �e mag�giore� Ad esempio� se �� e x � �� si �e tentati a credere chel�osservazione sia dovuta pi�u verosimilmente alla causa �� che alla causa ��Se per�o la grandezza di interesse �e de�nita positiva� la causa �� crolla da causapi�u probabile a causa impossibile� Ci sono poi casi intermedi in cui� per motivilegati all�esperienza precedente� si tende a credere a priori pi�u ad una causache all�altra� Ne segue che il grado di �ducia risultante di un certo valore di �sar�a proporzionale sia alla verosimiglianza che esso produca il valore osservatoche al grado di �ducia che si attribuiva a � prima dell�osservazione��

f�� j x� f�x j�� f��

Questo �e uno dei modi di scrivere il teorema di Bayes� che ha un ruolo centralenelle inferenze probabilistiche� L�inessenziale fattore di proporzionalit�a �e rica�vato dalla condizione di normalizzazione �l�integrale su tutti i possibili valoridi � deve dare �� f�� e chiamata distribuzione iniziale� o a priori �o pi�usinteticamente� in inglese� �prior�� mentre f�� j x� �e la distribuzione �nale� oa posteriori� ove il �prima� e il �dopo� �e rispetto alla nuova osservazione x enon �e da intendersi in modo strettamente temporale� La funzione f�� rias�sume lo stato di incertezza su � alla luce di tutte le conoscenze a disposizione�a parte il veri�carsi del dato sperimentale x� Quindi distribuzione iniziale e�nale dovrebbero essere scritte� pi�u precisamente come�

f�� f�� j I��f�� j x� � f�� j �I�%x��

�� Paura dei �pregiudizi � Inevitabilit�a di principio e fre�quente irrilevanza pratica delle prior

Molti possono rimanere perplessi al pensiero che le conclusioni scienti�chepossano dipendere dal �pregiudizio� sulla grandezza �sica ��pregiudizio� ha

��Si noti l�uso dello stesso simbolo f�� per indicare funzioni di diverse variabili� anche sesarebbe formalmente pi�u corretta una scrittura della �� del tipo

�� jx � L�x j� � �� con �� L�� e �� che ricordano dal nome� rispettivamente� la finale� la verosimiglianza�in inglese likelihood e la prior�


�� Scorciatoia al ragionamento bayesiano� il cane e il cacciatore ��

correntemente un signi�cato prevalentemente negativo� ma in realt�a signi�casemplicemente un giudizio a priori� basato su una esperienza precedentemen�te acquisita�� Non potendo addentrarci con la dovuta profondit�a in questoaspetto interessante del problema� aggiungiamo alcune note esplicative� Pre�mettiamo una citazione di Poincar�e�� non tanto per tentare di convinceremediante il principio di autorit�a� quanto perch�e il concetto �e espresso conmolta chiarezza�

�Un e�etto potrebbe essere prodotto dalla causa a o dalla causa b L�ef

fetto �e appena stato osservato Ci domandiamo la probabilit�a che sia

dovuto alla causa a Questa �e una probabilit�a di causa a posteriori Ma

non la potrei calcolare� se una convenzione pi�u o o meno giusti�cata non

mi dicesse in anticipo qual��e la probabilit�a a priori che la causa a entri

in gioco�

Detto altrimenti� il contributo delle probabilit�a a priori �e cruciale nei problemidi inferenza� Questo non deve per�o spaventare� in quanto�

� �e assolutamente ragionevole trarre le conclusioni non in modo meccanico�ma alla luce della ragione�

� nelle misure di routine l�intervallo di �accettanza a priori� dei possibilivalori �e talmente ampio� rispetto alla larghezza della verosimiglianza�che in pratica �e come se tutti i possibili valori di � fossero ritenuti apriori ugualmente possibili� La prior viene allora ad essere assorbitanella costante di normalizzazione�

f�x j�� f�� prior molto vaga

f�x j��

� quando invece questo non �e vero �ad esempio se si usa uno strumentocon il quale non si ha con�denza� oppure se si deve valutare il risultatodi una misura eseguita da persona inesperta� �e assolutamente legittimocredere pi�u ai propri pregiudizi che al dato empirico� E� infatti moltopi�u facile che uno studente sbagli la misura che scopra una nuova leg�ge �sica� Poincar�e fa un bell�esempio di questo tipo di valutazioni nelsuo libro �Scienza e ipotesi� dal quale sono state tratte anche le altrecitazioni� Racconta infatti delle molte soluzioni al problema della qua�dratura del cerchio sottoposte all�Accademia di Francia da sconosciuti eche venivano cestinate senza che neanche si perdesse tempo a vagliarle�Questo comportamento � commenta Poincar�e � deriva dall�aver soppesatola probabilit�a a priori che �ci sia un pazzo pi�u in Francia� con quella cheuno sconosciuto potesse risolvere un problema sul quale avevano fallitoeminenti matematici�

�� Scorciatoia al ragionamento bayesiano� il cane e il cac�ciatore

Terminiamo questa succinta introduzione all�inferenza bayesiana mostrandoun ragionamento intuitivo che aiuta a capire meglio cosa si intenda per in�

��H� Poincar�e� �Scienza e Ipotesi�� molto interessante il capitolo XI sul calcolo delleprobabilit�a�


�� Imparare dall�esperienza ��

versione di probabilit�a e quindi ad accettare con serenit�a il contributo delleprobabilit�a a priori nelle inferenze�

Consideriamo un cacciatore che si aggira in un bosco con il suo cane sem�pre in continuo movimento intorno a lui� Supponiamo che la probabilit�a che ilcane si trovi entro un raggio di � m dal cacciatore sia del #� Osserviamoil cane in una certa posizione� cosa possiamo dire sulla p!osizione dove si trovail cacciatore Nessuno esiter�a a dire che� al #� si trover�a entro � m dalcane� Chiaramente il cacciatore sta per � e il cane per l�osservazione x� Manon �e di�cile convincersi che per arrivare in modo intuitivo a questo risultato�si sta tacitamente assumendo che il cacciatore possa essere� a priori� in ognipunto del bosco� Le cose cambiano se il cane sta costeggiando un �ume� secorre in una certa direzione con la preda in bocca o se �e dentro un terreno re�cintato �ad esempio a oltre � metri dal �lo spinato� in cui lui pu�o entrare e ilcacciatore no� Detto pi�u chiaramente� si sta assumendo una distribuzione ini�ziale uniforme �del cacciatore nella foresta� e una verosimiglianza simmetrica�Ogni variazione da questo modello porta a conclusioni diferenti� Nel seguitoconsidereremo semplici misure di routine in cui il modello cacciatore�cane ecane�cacciatore funziona secondo l�inversione intuitiva che abbiamo descrit�to� Ci sono per�o dei problemi �specialmente in �sica di frontiera� in cui questo�e tutt�altro che vero�

�� Imparare dall�esperienza

A questo punto cerchiamo di ricapitolare� senza formule� cosa abbiamo impa�rato�

la qualit�a della conoscenza di una grandezza �sica� dopo aver e�et�tuato delle osservazioni sperimentali� dipende dalla verosimiglianzache un valore della grandezza possa aver prodotto le osservazionie da quanto si sapeva a priori sulla grandezza �sica prima dellenuove osservazioni �

Analizziamo i due contributi�

� la verosimiglianza descrive lo stato di conoscenza su

� strumentazione�

� condizione ambientali e fattori di in�uenza�

� contributo dello sperimentatore

� etc� etc� �vedi �decalogo� ISO al paragrafo ��

� la prior sui possibili valori della grandezza �sica implica una buonaconoscenza della fenomenologia sulla quale si sta investigando�

Quindi l�insegnamento di fondo di questo approccio si riconduce a quello chetutti i �sici sanno gi�a�

per ottenere risultati scienti�ci di qualit�a �e necessario avere fami�liarit�a con tutti gli aspetti sperimentali della misura e una appro�fondita conoscenza della �sica�


�� Risultati delle misure dirette in assenza di errori sistematici ��

E� soltanto il bilanciamento fra questi due contributi che permette di accet�tare un risultato� confrontarlo con altri� ripetere le misure� calibrare la stru�mentazione� etc�� e� in conclusione� produrre risultati utili per la comunit�ascienti�ca�

Si noti quanto sia cruciale il ruolo normativo della scommessa coerente�Essa infatti estirpa dal campo di lavoro tutte le contaminazioni dogmatiche�regola della mezza divisione� etc�� responsabilizza lo sperimentatore sulle pro�prie a�ermazioni e� in ultima analisi� fa appello alla sua onest�a scienti�ca� Sequalcuno a�erma� ad esempio� che� al �� #� un tavolo �e lungo �� mm� deve sentirsi sicuro di questa a�ermazione quanto lo �e della possibilit�a diestrarre una pallina bianca da una scatola che contiene �� palline bianche e ��nere� Se lo �e di pi�u �come spesso capita� o di meno vuol dire che �e disonesto�nel senso che �e cosciente che la sua a�ermazione trarr�a in inganno gli eventualiutilizzatori del suo risultato�

E� interessante citare il seguente avvertimento della Guida ISO� in lineacon quanto detto�

�Although this Guide provides a framework for assessing uncertainty� it

cannot substitute for critical thinking� intellectual honesty� and profes

sional skill The evaluation of uncertainty is neither a routine task nor a

purely mathematical one� it depends on detailed knowledge of the nature

of the measurand and of the measurement The quality and utility of the

uncertainty quoted for the result of a measurement therefore ultimately

depend on the understanding� critical analysis� and integrity of those who

contribute to the assignment of its value�

In�ne� lo slogan bayesiano �imparare dall�esperienza� ci fornisce anchedelle indicazioni sulla didattica del laboratorio di Fisica� Ne parleremo breve�mente nel paragrafo ��

�� Risultati delle misure dirette in assenza di errorisistematici

Veniamo ora a come riportare i risultati delle misure dirette� ovvero misuree�ettuate con uno strumento opportunamente calibrato che fornisce diretta�mente il valore della grandezza� senza la necessit�a di e�ettuare altri conti�Questo �e il livello pi�u basso del processo di misura� Eventualmente da que�ste misure se ne possono ottenere altre� per via indiretta� mediante successiveelaborazioni dei risultati di questo stadio�

E� noto � lo ripetiamo per �ssare le idee e aggiungere delle precisazioni � cheripetendo pi�u volte delle misure della stessa grandezza e nelle stesse condizionisi ottengono valori diversi a causa degli inevitabili errori casuali� Le cause diquesti errori sono quelle elencate nel paragrafo ��

�� Condizioni di ripetitivit�a

Prima di procedere� �e importante de�nire un po� meglio cosa si intende per�stesse condizioni�� Esse sono pi�u propriamente denominate condizioni diripetitivit�a e comprendono�


�� Condizioni di ripetitivit�a ��

� stesso procedimento di misura�

� stesso osservatore�

� stessi strumenti� utilizzati nelle stesse condizioni�

� stesso luogo�

� ripetizione delle misure in un breve periodo di tempo�

La bont�a dell�accordo fra risultati di misure successive e�ettuate in questecondizioni �e indice della ripetitivit�a dei risultati�

In caso di totale assenza di errori sistematici� le letture seguono una di�stribuzione pressoch�e gaussiana intorno al valore vero� A questa distribuzioneviene associata la funzione di verosimiglianza di cui si �e parlato precedente�mente�

Per quanto riguarda la valutazione a priori� possiamo dire che se l�espe�rimento �e ben piani�cato �scelta di strumenti� procedure� etc�� l�entit�a deglierrori di misura �e molto minore dell�incertezza con la quale �e possibile co�noscere il valore del misurando prima dell�operazione di misura �ad esempio�dovendo misurare l�esatta lunghezza di una barra di circa un metro� �e di�ciletrovare delle persone per le quali l�intervallo di �accettanza del risultato� siainferiore di una decina di centimetri� �in�nitamente maggiore� di quello dovu�to ai possibili errori di un normale strumento di misura�� Quindi� in questecircostanze� possiamo utilizzare l�inversione di probabilit�a intuitiva del cane edel cacciatore� bypassando l�uso esplicito del teorema di Bayes��

Come primo passo� assumiamo di conoscere la deviazione standard che de�scrive l�entit�a delle �uttuazioni� Chiamiamola �r� ove r sta a ricordare �ripe�titivit�a�� o anche �random�� casuale�� Si noti che essa contiene l�eventualecontributo delle �uttuazioni di stima di lettura degli strumenti analogici� Altraassunzione che facciamo �e che �r non dipenda dal valore di � nell�intervallodi interesse �a volte succede invece che una procedura di misura abbia unaprecisione dipendente dal valore del misurando��

Consideriamo prima il caso semplice di una singola misura e quindi quellodi molte misure ripetute�

��Le prior non devono mai sparire completamente dalla mente� ma devono servire a vigilareattentamente il �usso dei dati e intervenire al minimo sospetto che qualcosa non vada�

��Una prior uniforme e una verosimiglianza gaussiana producono� in virt�u della �� ilseguente risultato

f�� jx � f�x j� � exp

�� x� ��

� ��r

�

� exp

�� x�

��r

��

in cui nell�ultimo passaggio sono stati invertiti � e x� al �ne di ricordare che la variabiledella nuova funzione �e � e non pi�u x �questo diventa il parametro che d�a il centro delladistribuzione� Ne segue che il valore vero �e distribuito intorno al valore osservato secondouna gaussiana avente la stessa deviazione standard della verosimiglianza

f�� jx � �p��r

exp

�� x�

��r

��


�� Singola osservazione con �r nota ��

�� Singola osservazione con �r nota

Si osserva x� Siccome si crede che i possibili valori dell�osservabile abbianouna distribuzione di probabilit�a gaussiana con

��x� � �r

intorno a �� dall�inversione di probabilit�a si ha che i possibili valori di � hannouna analoga distribuzione di probabilit�a intorno a x con

�� x� � �r �

Ne segue che

� � x� �r al � �� # di probabilit�a

� x� � �r al � � # di probabilit�a

� � � �

Nel seguito considereremo come standard l�incertezza data ad una deviazionestandard� essa �e chiamata incertezza standard!��"�

Concludiamo questo paragrafo invitando a ri�ettere al signi�cato probabi�listico di espressioni del tipo � � x� �r sul quale �e gi�a stato detto preceden�temente e a di�tare da interpretazioni del tipo �se io ripetessi la misura ungrande numero di volte� allora nel ��# dei casi otterrei risultati compresinell�intervallo x � �r�� oltre a forzature interpretative si commette un errorenumerico di

p�� come mai

�� n osservazioni indipendenti con �r nota

Cominciamo con due osservazioni� ad esempio x� e x�� Innanzitutto �e chiaroche� alla luce di ciascuna delle due osservazioni si avrebbe�

�jx� � x� � �r

�jx� � x� � �r �

ove �jxi sta ad indicare �� subordinato all�osservazione di xi� �si �e preferitoscrivere cos�� anzich�e �� e �� per ricordare che stiamo parlando della stessagrandezza �sica�� Cosa possiamo dire ora su � alla luce di x� e x�

�jx��x� �

Dal punto di vista generale si possono percorrere tre strade diverse�

�� Si pu�o considerare il risultato f�� j x�� come prior antecedente l�osser�vazione di x� e inserirla nella formula dell�inferenza bayesiana� In modosimmetrico si pu�o rovesciare l�ordine di osservazione� prima x� e poix�� Se la procedura �e corretta le conclusioni �nali non devono dipenderedall�ordine�

�� In alternativa� si pu�o considerare la verosimiglianza di osservare� da�to un valore di �� la coppia fx�� x�g e applicare il teorema di Bayesall�inversione�

f�x�� x� j�� f�� j x�� x��


�� n osservazioni indipendenti con �r nota �

�� C��e in�ne un terzo modo di procedere� euristico� in quanto assume chela soluzione di prova sia quella buona e fornisce soltanto il valore del�l�incertezza� Per semplicit�a illustriamo questo �per gli altri c��e poco daspiegare� si tratta solo di fare i conti � � � ��

Assumiamo� ragionevolmente� che il valore centrale intorno al quale �edistribuito �j x� � x� sia la media aritmetica�

x �x� � x�

��

Subordinatamente ad un certo valore di � anche la media aritmetica x �euna variabile casuale� in quanto �e funzione di variabili casuali� Anch�essa�per simmetria� ha una distribuzione di probabilit�a intorno a �� In questocaso il processo di inferenza �e del tipo��

f�x j�� f�� j x� �

La di�erenza rispetto al caso precedente �e nella diversa deviazione stan�dard di x intorno a �� Anche se per arrivare all�esatto fattore di ri�duzione si rimanda ad un testo di calcolo delle probabilit�a �vedi ancheAppendice�� il risultato pu�o essere giusticato dicendo che� essendo x�e x� indipendenti� le �uttuazioni della media tendono a compensarsi�Quantitativamente si ottiene che

��x� ��x�p

��

�rp��

Quindi� utilizzando ancora una volta il ragionamento di inversione diprobabilit�a intuitivo� possiamo dire che

�� x� ��rp

��

In e�etti si pu�o dimostrare che tutte e tre le strade conducono al medesimorisultato� Nel caso generale di n osservazioni indipendenti� si ha�

�� rpn�

da cui�

� � x� �rpn� ��

Quindi� la soluzione giusta al quesito � del paragrafo �e quella con ��pn��

Ci�o nonostante� �e ragionevole preoccuparsi di un�incertezza che tende a zeroall�aumentare di n� Questo induce molti a di�dare di questa formula e ignorareilpn� Ci�o �e dovuto alla mancanza di una visione globale del problema� La

formula �� e assolutamente corretta� ma non tiene conto di altre possibilicause di incertezza� Queste vanno identi�cate e il loro contributo va combinatoinsieme a ��

pn in maniera appropriata �vedi paragrafo��

��Il fatto che il solo valore della media aritmetica sia in grado di produrre una inferenzastatistica della stessa qualit�a dei singoli valori osservati �e legato al concetto statistico di�su�cienza��


�� Caso di �r ignota ��

�� Caso di �r ignota

Il caso precedente �e indubbiamente quello pi�u semplice� Quando invece �r �eignota� essa va stimata dagli stessi dati� o da altre informazioni �esperimentianaloghi� esperienza di colleghi� etc�� Nel caso di assoluta ignoranza �ma �edi�cile trovarsi in tale stato � �e assolutamente impossibile e�ettuare stimedell�incertezza e quindi presentare risultati in modo scienti�camente corret�to� Un caso di assoluta ignoranza potrebbe essere quello� assurdo� di tentaredi stimare l�incertezza partendo da un numero locato in una memoria di uncomputer� scritto con un grandissimo numero di cifre in quanto risultato diuna operazione matematica� senza sapere a quale esperimento si riferisca� conquale strumentazione �e stato ottenuto e cos�� via�

Consideriamo ora due casi tipici che capitano in laboratorio�

�� Misure ripetute della stessa grandezza �sica

Questo caso si riconduce a quello di � nota quando il numero di misure �eabbastanza grande�

� il valore vero �e in prossimit�a della media aritmetica� con una incertezzache decresce come ��

pn�

� la deviazione standard dell�errore statistico ��valore osservato meno va�lore vero�� pu�o essere stimato dalla deviazione standard degli scarti deisingoli valori osservati rispetto alla media��

�r � �n��

con �i � xi � x�

Quando invece n �e piccolo �al di sotto della decina� tipicamente�� nascono altrecomplicazioni� in quanto�

� innanzitutto �� non �e una buona stima di �r �si pensi al caso limitedi n � ��

� in secondo luogo� la verosimiglianza dipende dal parametro ignoto �rsul quale c��e stato di incertezza� la banale inversione di probabilit�a tipocane�cacciatore non �e pi�u ovvia�

Come si pu�o intuire� il problema diventa complicato� La soluzione usuale dellastatistica convenzionale consiste in

�� aumentare la deviazione standard stimata per tenere conto che la media�e legata ��vincolata�� ai valori stessi e che quindi la deviazione standardtende ad essere sottostimata rispetto a quanto si otterrebbe disponendo

��Si ricorda che� ai �ni del calcolo pratico essa �e valutata come

��n�� n�x � x� � x� �

ove ��n sta ad indicare� secondo la convenzione delle calcolatrici tascabili� che la varianza �ecalcolata come media dei quadrati degli scarti�


�� Caso di �r ignota ��

di un campione pi�u numeroso �si pensi al caso limite n � �� si preferisceallora usare �n��

�n �� n��

rn

n � ��n �

�� cambiare il tipo di distribuzione �nale� dalla gaussiana alla cosiddetta tdi Student�

In realt�a� anche se questi metodi vanno in qualche modo �nella direzione� giu�sta� bisogna fare attenzione a non prenderli troppo alla lettera� Ad esempio�se si osservano due valori che di�eriscono di �� mm e si applica ciecamentequesto metodo ne risulta un intervallo di incertezza di quasi � cm qualora sirichiedesse un �livello di con�denza� del ��#� Qualsiasi meccanico trovereb�be ridicola questa conclusione� Molto spesso� quando n �e veramente dell�ordinedell�unit�a� pu�o essere pi�u sensato quello che si sapeva su �r prima della mi�sura di quanto si possa ricavare dai dati stessi �su questo punto ritorneremofra breve�� Quando invece il problema �e veramente critico �e essenziale ripe�tere pi�u volte le misure� Quando in�ne n �e gi�a dell��ordine di �� ma anche �� pu�o andare abbastanza bene�� l�inversione gaussiana diventa abbastanzaragionevole�

�� Singole misure di grandezze �siche variabili �gra�ci�

Quando si devono fare molte misure di una grandezza in funzione di un�altraper poi riportare su un gra�co l�andamento� pu�o diventare veramente lungoe noioso ripetere molte volte le misure per ciascun punto delle ascisse� Intaluni casi non �e nemmeno pensabile �si immagini ad esempio la misura diuna grandezza rapidamente variabile con il tempo�� Questo �e il caso tipico incui non ha senso riportare delle barre di incertezza sul gra�co� Al contrario� �e lostesso gra�co che permette di stimare le incertezze �con alcune ipotesi e previaattenta ispezione visuale�� Se� ad esempio� le incertezze sulle ascisse sono

trascurabili� � e quelle sulle ordinate sono ��si pensa che siano�� costanti �omodellizzabili in qualche modo semplice� �e possibile valutare �r delle ordinate�o ��yr�� per chi preferisce ricordare nel simbolo che si tratta di ordinate� dagliscarti fra il singolo valore osservato e l��andamento medio� dei punti �leggi�la curva �motivata �sicamente� che approssima meglio i dati sperimentali��Questa procedura si chiama metodo dei residui �vedi �gura e paragrafo ��

Da quanto detto in questo paragrafo si capisce la critica� avanzata nelparagrafo �� all�obbligo di riportare immediatamente i punti sperimentalicon le barre di incertezza� Nella maggior parte dei casi di laboratorio questaregola rigida �e semplicemente assurda� in quanto sono i gra�ci stessi che devonoservire a stimare le incertezze�

�In realt�a questo �e una condizione non necessaria� legata ad un modo semplicistico divedere le cose anche se ci sono incertezze sulle ascisse� queste possono essere ri�esse suquelle delle ordinate e la soluzione pratica non cambia�



�� Bisogna sempre ripetere le misure� Rarit�a delle situazioniin cui �r sia completamente ignota

I casi precedentemente trattati potrebbero indurre a credere che� ogni voltache si deve determinare il valore di una certa grandezza �sica� si debba neces�sariamente ripetere la misura tante volte� o avere e�ettuato nel passato unalunga serie di misure di quel misurando in quelle condizioni� o almeno avere�ettuato misure in condizioni prossime a quelle di interesse� In realt�a� questonon �e assolutamente necessario� come ben sanno anche meccanici� falegnami emuratori� Ognuno di loro� nel suo ambito e con i propri strumenti� �e perfet�tamente cosciente di quanto credere al valore misurato� In e�etti �e veramenteraro il caso in cui un professionista faccia delle misure senza avere nessunaidea dell�errore �o dell�errore percentuale� che pu�o commettere e� quindi� dellacorrispondente incertezza sul valore della grandezza di interesse� L�esperienzaacquisita su misure analoghe permette di valutare �r anche nei casi in cui sisia eseguita una sola misura� Questo valore pu�o essere quindi utilizzato nellastima delle incertezze� come �e stato sempre fatto� pi�u o meno coscientemente�dagli sperimentatori e come raccomandato nella Guida ISO �vedi paragrafo��

Terminiamo con un�ultima raccomandazione� dedicata a tutti coloro chea�ermano� a ragione� che nella loro attivit�a di ricerca ��e impossibile il calcolodegli errori�� Sono perfettamente d�accordo con loro se si riferiscono al mo�dello standard stereotipato di deviazione standard� propagazione� etc�� ovveroa schematizzare il processo inferenziale nel paradigma prior�verosimiglianza�posterior� In questi casi non banali� l�extrema ratio �e una valutazione pu�ramente soggettiva� alla luce della regola normativa della coerenza� eseguitarispondendo a domande del tipo� �quanto credo � io � nel numero che hoottenuto�� quanto �e ampio l�intervallo di valori tale da essere in stato diindi�erenza rispetto all�eventualit�a che il valore vero vi sia compreso o no��Questo de�nisce un intervallo al # di probabilit�a�� Ci si rende conto allorache in realt�a� molto spesso� si sa molto di pi�u di quello che si pensava� Questo�e il motivo per cui anche quelli che �non calcolano gli errori� poi� in pratica�quando sono messi alle strette con queste domande� limitano le cifre con cuiforniscono il risultato� o si esprimono sull�eventuale accordo con valori teorici ocon altri risultati� sebbene i numeri sono diversi fra loro in senso matematico�Questo ultimo discorso verr�a formalizzato meglio nel paragrafo �� quando sidiscuter�a la valutazione delle cosiddette incertezze di tipo B�

� Propagazione delle incertezze

Il problema della propagazione delle incertezze �e molto pi�u semplice dei prece�denti� almeno per quanto riguarda le questioni di principio o le stime sogget�tive� Infatti �c��e poco da pensare�� si fa semplicemente uso delle tecniche delcalcolo delle probabilit�a per propagare l�incertezza su variabili di partenza inquella sulle variabili derivate� La propagazione entra quindi in gioco quandosi e�ettuano� genericamente parlando� misure indirette��

��Vedremo come entrano in gioco anche pi�u per valutare e etti di errori sistematici dimisure dirette�



b� �

� �� a � ��

��

Tabella �� Combinazione di � valori di a con � valori di b che danno luogo a possibili valori della somma c � a � b� Se si assume l�equiprobabilit a di a e di bsi arriva ad una distribuzione di probabilit a del tipo triangolare �discreta��

Prima di andare avanti c��e da fare una osservazione sulla notazione� Peralleggerire le formule indicheremo con x� y� etc� direttamente i valori veridelle grandezze �precedentemente indicati con �x� �y � etc�� e non pi�u quelliosservati� Con �x e �y saranno invece indicati i valori attesi dei valori veri �inpratica le medie aritmetiche ottenute dalle misure dirette��

Per capire bene il problema� partiamo da variabili discrete� Per semplicit�aprendiamo due grandezze� a e b� che possono assumere soltanto tre valori� condistribuzione uniforme� Ad esempio� a� � �� a� � �� a� � �� b� � �� b� � �b� � �� Essendo tutti i valori equiprobabili abbiamo� f�ai� � f�bi� � �� Seadesso siamo interessati alla variabile c � a � b� l�incertezza sul valore di a edi b si propaga sul valore di c�

Il caso discreto con tre soli valori possibili permette di seguire il ��usso diincertezza�� come mostrato in tabella �� La variabile c pu�o essere un numerocompreso fra �� e �� ma a di�erenza di a e di b� i valori non sono tuttiequiprobabili� Infatti� mentre i valori estremi si possono veri�care per unaparticolare coppia di a e di b� ci sono pi�u coppie che possono produrre gli altrivalori� In particolare� il valore c � � �e quello pi�u probabile semplicementeperch�e esso pu�o essere ottenuto da possibili coppie�

Un caso analogo� leggermente pi�u complicato� �e mostrato in �gura �� Sitratta delle distribuzioni di probabilit�a della somma degli esiti di �� e �dadi� Si noti il graduale l�addensamento della probabilit�a nei valori centrali�dovuta ad un semplice e�etto combinatorio� Per questo motivo la deviazionestandard non cresce linearmente con l�ampiezza massima della distribuzione�Ad esempio� combinando due distribuzioni uniformi fra e � ��e il limite diun dado con in�nite facce�� non si ottiene ��

p�� bens��

p��p

� volte pi�upiccola �si riconosce la deviazione standard di una distribuzione triangolare ��Quelle che invece crescono linearmente sono le varianze ��

Si capisce inoltre come� per simmetria� la distribuzione delle di�erenzeintorno al valore centrale debba essere uguale a quella delle somme�

Quindi� per due variabili indipendenti si ottiene la seguente regola di pro�pagazione�

��x� y� � ��x� � ��y� � ��

Consideriamo successivamente una trasformazione di scala� y � c x� Anchela scala delle possibili �uttuazioni si trasforma nello stesso modo e� poich�e ilsegno di c �e inin�uente� si ottiene�

��c x� � jcj ��x� � ��



2 6 8 10 12 14 16 18

5

10

15

4

Lancio di n dadi

n = 1

n = 2

n =3

P(Yn)(%)

Yn =ni=1 Xi

Figura �� Distribuzione della somma dei risultati ottenuti dal lancio di n dadi� Laconcentrazione della probabilit a al centro della distribuzione e dovuta all�elevatonumero di combinazioni risultanti in valori della somma intermedi e giusti�caqualitativamente il teorema del limite centrale�

Combinando i risultati espressi dalle formule �� e �� si ottiene la regolagenerale della varianza di una combinazione lineare di variabili casuali�

��

�Xi

cixi

��Xi

c�i ��xi��

E� importante notare che questa regola dipende soltanto dalla de�nizione divarianza e non dal tipo di distribuzione di probabilit�a delle variabili casuali�

Dalla �� si ottiene la regola generale per una funzione qualsiasi� mediantelinearizzazione intorno ai valori attesi� Infatti se indichiamo con Z � Z�X� Y �la generica funzione delle due variabili casuali X e Y � abbiamo

z � z�x� y� � z��z � �z� ��z

�x

��x��y

�x� �x� ��z

�y

��x��y

�y � �y� � � � �

� k ��z

�x

��x��y

x ��z

�y

��x��y

y � � � �

��z� �

��z

�x

��

��x� �

��z

�y

��

��y� � ��

dove k contiene tutti i termini che non dipendono dalle variabili casuali e chequindi sono inin�uenti ai �ni del calcolo della varianza� L�ultimo passaggio


� Come tener conto degli errori sistematici ��

�e stato ottenuto facendo uso della �� E� generalmente sottointeso che lederivate vadano calcolate nel punto di migliore stima di x e di y� Il casogenerale va da s�e�

Si ricordi che la �� e basata su una linearizzazione� La funzione deveessere abbastanza lineare un certo numero di deviazioni standard intorno allemigliori stime delle variabili di partenza� Questo �e generalmente vero se le �sono molto minori delle stime� Se la funzione �e lineare non c��e nessun vincolosul valore di �� Ad esempio� se z � x� y� con x � �� e y � �� siha z � ��

Per quanto riguarda l�uso della formula di propagazione� si raccomanda difare una lista dei contributi all�incertezza totale dovuti a ciascun termine dacui la grandezza �nale dipende� Questo permette di capire quale contributosia maggiormente responsabile e sul quale bisogna intervenire al momento dipiani�care un nuovo esperimento� Quindi la formula �� pu�o essere riscrittanel seguente modo� didatticamente pi�u valido�

��z� �

��z�x��x�

��z�y��y� � ��

ove con � � si �e indicata l�operazione di somma in quadratura� E� inoltreimportante dare alle derivate il signi�cato di coe�ciente di sensibilit�a!��"�

�� Come tener conto degli errori sistematici

Oltre agli errori casuali che abbiamo descritto precedentemente ogni misu�ra pu�o essere a�etta da errori sistematici� dei quali �e impossibile accorgersioperando in condizioni di ripetitivit�a� Essi infatti si mantengono pressoch�ecostanti durante il periodo di tempo durante il quale sono ripetute le misuree quindi non contribuiscono alla dispersione dei dati rispetto alla media�

�� Condizioni di riproducibilit�a

Anche le cause degli errori sistematici sono quelle della lista del paragrafo ��Per rendersi conto di eventuali errori sistematici bisogna misurare lo stesso

misurando �ovvero la stessa grandezza �sica de�nita operativamente nellostesso modo� in condizioni di riproducibilit�a�� Per fare questo bisogna variare�

� principio di misura�

� metodo di misura�

� osservatore�

� strumenti di misura�

� condizioni di utilizzazione degli strumenti�

��La Guida ISO de�nisce reproducibility �of results of measurements �closeness of theagreement between the results of measurements of the same measurand carried out underchanged conditions of measurement� �i risultati si intendono gi�a corretti per eventuali errorisistematici noti�


� � Correzione dei risultati per tener conto di errori sistematici noti � calibrazioni ��

� luogo�

� tempo di osservazione�

�� Correzione dei risultati per tener conto di errori sistema�tici noti � calibrazioni

In genere� essendo impossibile per ogni misura e�ettuare tutte queste varia�zioni ci si calibra su grandezze �siche il cui valore vero �e noto �entro i limitidi accuratezza necessari�� Qualora si trovano di�erenze fra i valori ottenuti ei valori veri si studiano accuratemente tutti i contributi al raggiungimento delrisultato� e�ettuando eventualmente calibrazioni individuali sui singoli pezzidell�apparato� Alla �ne i risultati vengono opportunamente corretti�

�� Incertezze dovute all�inesatta conoscenza dell�entit�a di unpossibile errore sistematico

Nel modo semplicistico con cui �e stata posta la questione sembra che gli errorisistematici non costituiscano un problema� In realt�a non �e sempre possibiledisporre di campioni di riferimento per ciascuna delle grandezze di interesse�Ne deriva la necessit�a di utilizzare strumenti commerciali calibrati� anch�essia�etti da un�inevitabile incertezza di calibrazione�

Si noti comunque che� anche potendo far uso di materiale certi�cato� l�accu�ratezza non �e mai assoluta ed inoltre anche il processo di calibrazione �ottenutouguagliando due valori entro il limite di risoluzione� �e soggetto ad incertezzeresidue�

In conclusione� bisogna abituarsi a convivere con le incertezze dovute aglierrori sistematici e a tenerne conto nel corso delle misure�

�� Imperfetta conoscenza delle costanti di calibrazioni e deiparametri di in�uenza

In questa trattazione sempli�cata ci occuperemo di

� errori sulle costanti di calibrazioni di zero e di scala dello strumento�

� errori sulle variabili di in�uenza�

Anche se li abbiamo divisi per convenienza la trattazione generale �e assoluta�mente analoga�

�� Errore di zero �o�set�

Cominciamo con il considerare uno strumento a�etto da un possibile errore dizero �ove intendiamo una possibile costante additiva� in inglese o�set� da ag�giungere ai valori letti�� Questo caso �e illustrato in �gura ��a� dove �e mostratala lettura sullo strumento ��risposta�� in funzione del valore della grandezza�&stimolo��

L�e�etto di questo tipo di errore �e che la curva di risposta potrebbe esseretraslata lungo le ordinata� ma di un valore incognito� Infatti� anche se unostrumento �e stato calibrato� e quindi crediamo che il valore pi�u plausibile


� � Imperfetta conoscenza delle costanti di calibrazioni e dei parametri di in�uenza ��

0 2,5 5,1 7,7 10,3 12,9 15 17,6 20,2 22,8 25

lettura (mm)

d max

devi

azio

ne (

µm

)

-4-3-2-101234

R

S

a)R

S

b)

R

S

c)d)

Figura �� Alcuni tipi di errori sistematici di strumenti� a� errore di zero� b� erroredi scala� c� deviazione dalla linearit a� d� caso di pi u di�cile modellizzazione �ipunti lungo l�ascissa mostrano un esempio di accertamento delle deviazioni�� Rsta per risposta e S per stimolo�

dell�o�set sia � la non esattezza della calibrazione ci fa ritenere che anche�piccoli� valori intorno a siano possibili�

Assumiamo di potere descrivere i diversi gradi di �ducia dell�o�set con unagaussiana�� centrata in e di deviazione standard �z � Chiamiamo inoltre z lavariabile casuale ad esso associata �z sta per �zero vero�� Abbiamo detto che�in assenza di errore sistematico� la grandezza ha una incertezza �� r�

pn�

Facciamo ora questa trasformazione di notazione

� �� r ��

�� r� ��

ovvero aggiungiamo il pedice r per indicare che questi sono i valori veri ot�tenuti tenendo conto dei soli e�etti casuali� Per ottenere il valore che tengaconto anche della non perfetta calibrazione bisogna sottrarre a �r il valor verodell�o�set�

� � �r � z �

ove z � � �z� Dalla propagazione delle incertezze otteniamo�

�� r� � ��z � ��

L�incertezza standard globale �e quindi ottenuta combinando in quadratural�incertezza standard dovuta ai soli e�etti casuali con quella dell�o�set�

��In realt�a non c��e bisogno che la distribuzione sia normale� in quanto faremo uso soltantodelle propriet�a generali della varianza� Anche dal punto di vista pratico� �e pi�u frequente ilcaso di una distribuzione uniforme o triangolare�


� � Imperfetta conoscenza delle costanti di calibrazioni e dei parametri di in�uenza ��

Quando si hanno pi�u grandezze misurate con lo stesso strumento si applicala stessa procedura a tutte le grandezze�

��i� � ��ri� � ��z �

Sorge ora il problema che tutte le incertezze sono correlate� se il valore verodello zero dovesse valere Z � z tutte le misure sarebbero sbagliate di questovalore� Per studiare l�e�etto delle correlazioni� immaginiamo due grandezze�� e �� e facciamone la di�erenza e la somma� D � �� S � �� Applicando la propagazione delle incertezze che abbiamo visto� sembrerebbeche

��D�� r�� r�� z

��S�� r�� r�� z

Ma c��e qualcosa che non convince� infatti� intuitivamente ci si aspetta cheuna incertezza dovuta all�o�set debba essere inin�uente sulle di�erenze� untermometro pu�o anche essere scalibrato di ��C� ma questo non pu�o in�uenzareuna misura di di�erenza di temperature� Riscriviamo allora i valori veri apartire da quelli �solo random� pi�u l�e�etto dell�o�set�

�� r� � z

�� r� � z

D � �� r� � �r�S � �� r� � �r� � � z �

Ne segue quindi

��D� � ��r�� r��

��S� � ��r�� r�� z ��

ben diverse da quelle precedenti e molto pi�u ragionevoli�

�� Errore di scala

Per il caso di fattore di scala si procede nello stesso modo� In questo casochiamiamo f il valore vero della costante di scala� Se lo strumento �e calibratoal meglio� si crede che

f � �� f �

Ne segue che� � f �r

e quindi

�� r� � ��r �f ��

Anche in questo caso l�incertezza globale �e una combinazione quadratica diquella dovuta ai soli e�etti casuali e di quella dovuta all�incertezza di cali�brazione� la quale �e proporzionale al valore del misurando� Come nel casoprecedente� pi�u misure e�ettuate con lo stesso strumento sono correlate� Se


� � Imperfetta conoscenza delle costanti di calibrazioni e dei parametri di in�uenza �

in successive elaborazioni di queste si utilizzassero semplicemente le incer�tezze globali nella formula di propagazione� senza tener conto degli e�etti dicorrelazione� si otterrebbero risultati errati�

E� istruttivo� nel caso dell�incertezza di scala� considerare il prodotto P �� il rapporto R � �� e la di�erenza D � �� Lasciando per eser�cizio i risultati errati che si otterebbero con il procedimento na��ve� ricaviamoi risultati corretti� riscrivendo prima

P � �� f� �r� �r�

R ��

��r��r�

D � �� f ��r� � �r��

Si vede subito che l�eventuale errore di scala �e inin�uente nel rapporto� nelprodotto viene ampli�cato� nelle di�erenze esso dipende dalla di�erenza stes�sa e diventa trascurabile per valori molto vicini� Passando alle incertezze�abbiamo�

��P � � ��r��

�r�� f ��

� ��

��R� ��r ��

�� r��

��

��

��D� � ��r �� r�� f D� � ��

�� Importanza delle misure per di�erenza

Questi risultati� insieme a quanto imparato nel caso dell�errore di zero� ci in�segnano che� nel caso si sia interessati alle di�erenze� gli eventuali errori dicalibrazione dello strumento tendono a sempli�carsi e quindi ad essere irrile�vanti ai �ni del risultato �nale� Questo �e particolarmente vero quando i valorisono molto vicini�

Il caso delle di�erenze �e importante perch�e molto spesso sono queste dacui dipendono i risultati �nali� In particolare�

� tutte le misure di termologia dipendono da di�erenze di temperatura�

� ogni volta che si �e interessati a �coe�cienti angolari� �derivata di unagrandezza in funzione di un altra� si misurano� sostanzialmente� rapportifra di�erenze�

In�ne� da questo risultato si impara che� quando �e possibile� �e preferibilemisurare per di�erenza� Questo vale� ad esempio� per�

� misura di massa mediante bilancia� controllare l�indicazione a vuoto�aggiungere arti�cialmente tare aventi masse diverse per e�ettuare la mi�sura in diverse zone all�interno della portata� mediando i risultati qualoradi�eriscano fra di loro al �ne di sempli�care eventuali deviazioni dallalinearit�a della risposta�

� misura di volumi di liquidi mediante cilindri graduati� fare misure perdi�erenza svuotando parzialmente il recipiente e facendo attenzione atener conto del menisco del liquido sempre nello stesso modo�


� � Casi di errore di pi�u di�cile schematizzazione ��

� anche nella misura di lunghezze mediante righelli da disegno �e racco�mandabile eseguire misure partendo anche da tacche diverse da quelledello � se �e richiesta una elevata accuratezza del risultato�

Suggerimenti analoghi valgono anche per misure di di�erenze di potenziale esimili�

�� Casi di errore di pi�u di�cile schematizzazione

Per terminare� consideriamo il caso d� di �gura �� Essa indica che le deviazio�ni della lettura dal valore vero non sono schematizzabili n�e con un sempliceerrore di zero n�e con uno di scala� Il caso riportato �e quello di un calibro Pal�mer� secondo le norme DIN �� La �gura sta ad indicare che il costruttoregarantisce che� se lo strumento �e usato nel modo corretto e alla temperaturadi riferimento� la di�erenza fra indicazione e valore vero non ecceder�a i limitiindicati� in tutto l�intervallo di misura dello strumento� La curva spezzata vaintesa soltanto in modo illustrativo dell�irregolarit�a delle deviazioni �a menoche non sia veri�cata con blocchetti di calibrazione� ma in questo caso le de�viazione andrebbero utilizzate per correggere i dati e non per la valutazionedell�incertezza�� Uno strumento che si comporta pi�u o meno in questo mo�do �e il cosiddetto �strumento universale analogico� �tipo tester ICE ancorautilizzato nei laboratori di esperienze didattiche��

Chiaramente� la modellizzazione di questo caso �e pi�u problematica� spe�cialmente per quanto riguarda le correlazioni� Le indicazioni di massima chesi possono suggerire sono le seguenti�

� per quanto riguarda una singola misura� l�incertezza standard da associa�re ad una possibile deviazione sistematica �e pari alla deviazione standarddi una distribuzione uniforme nell�intervallo di tolleranza �� larghezzadell�intervallo divisa

p��

� due letture abbastanza ravvicinate sono fortemente correlate e quindigli e�etti sistematici possono essere ignorati se si �e interessati alle lorodi�erenze�

� due letture molto distanti possono essere considerate scorrelate�

� se si e�ettua una serie di misure in funzione di un�altra� al �ne di studiar�ne l�andamento� queste piccole deviazioni possono essere considerate� al�ne dell�analisi� come contributi casuali �vedi paragrafo �� e primopunto del paragrafo ��

� volendo sfruttare le potenzialit�a di precisione dello strumento� ovviandoai limiti di accuratezza� �e necessario eseguire delle calibrazioni assolu�te su valori di riferimento� o almeno calibrazioni relative con qualcheaccorgimento��

��Ad esempio un voltmetro pu�o essere calibrato in modo relativo �rispetto al valore di fondoscala utilizzando un partitore di precisione ogni deviazione dalla linearit�a sar�a imputato alcomportamento del voltmetro e la lettura potr�a essere corretta� Per fare un buon partitoreeconomico �e su�ciente prendere una ventina di resistori all�� tutti uguali e presi nuovidalla stessa striscia con cui sono confezionati� Le variazioni relative di resistenza sono beninferiori all�� e la loro combinazione riduce ancora di pi�u le incertezze relative�


� � Incertezza su un fattore di in�uenza ��

�� Incertezza su un fattore di in�uenza

A�rontiamo questo argomento con un caso speci�co� Supponiamo di dover de�terminare la lunghezza di una barretta di materiale avente un alto coe�cientedi dilatazione termica� A�nch�e la misura abbia senso� occorre speci�care nellade�nizione del misurando anche il valore della temperatura di riferimento� Ingenere si utilizza come riferimento T� � ��C� Questo non implica che bisognalavorare esattamente a questa temperatura� essendo ci�o impossibile in lineadi principio� Il valore di temperatura pu�o essere� al pi�u� nominalmente ��C�con una incertezza di �T � oppure la misura viene eseguita ad una temperaturaT � �T diversa da T� �ad esempio se non �e possibile trasportare il misurandoin un piccolo ambiente termostatato��

In questi casi �e possibile sia

� correggere il valore misurato per e�etto della di�erenza di temperatura�

� associare al risultato un nuovo contributo all�incertezza globale� dovutoall�eventuale incertezza sulla temperatura�

a condizione che sia noto il coe�ciente di dilatazione termica

��

�noto anch�esso con una eventuale incertezza � � � ��Indicando con l la lunghezza e �T � T � T�� considerando � � � e assu�

mendo �per semplicit�a� che lo strumento di misura non subisca la dilatazionetermica� si ha �vedi anche �gura ��

lT � lT�� T �

lT� �lT

�� T �� lT �� T � � lT ��

��lT�� lT � � l�T��

� �� T ��lT � � l�T��T �� T

� ��

Si noti che�

� anche se �T � �T � T�� resta sempre una incertezza dovuta alla nonperfetta conoscenza della temperatura�

� se il coe�ciente di dilatazione non �e ben noto �� grande�� e rac�comandabile cercare di e�ettuare la misura ad una temperatura moltoprossima a quella di riferimento�

� se invece � �e �perfettamente noto� il risultato non dipende dalla tempe�ratura alla quale si e�ettuano le misure�

� se si eseguono pi�u misure a temperature diverse da T� �anche diversefra loro�� le loro incertezze saranno correlate a causa del comune coe��ciente di dilatazione usato per correggere i risultati� nel caso di analisisuccessive se ne pu�o tenere conto come visto per costanti di calibrazione�

L�esempio mostrato si estende in modo immediato ad altri fattori di in�uenza�eventualmente anche concomitanti�


� � Propagazione senza derivate ��

�� Propagazione senza derivate

Come inciso facciamo notare che �e sempre possibile propagare le incertezzelinearizzando la dipendenza fra valore della grandezza di interesse e quella diuna variabile di in�uenza mediante sviluppo in serie analitico� Molto spessopu�o essere pi�u comodo e rapido �o anndirittura sarebbe impossibile altrimen�ti� studiare come varia il valore della grandezza apportando variazioni di �� alla variabile di in�uenza� Se la dipendenza �e circa lineare� le variazioni risul�tanti corrispondono circa alla deviazione standard della grandezza di interesse�Chiaramente� il concetto �e lo stesso� Si sta soltanto facendo una derivata conmetodo numerico� Va anche da s�e che �e importante controllare che l�andamen�to sia circa lineare� In genere un controllo rapido �e consiste nel veri�care chele deviazioni per �� e �� siano della stessa entit�a�

�� Calibrazione� intercalibrazione e �randomizzazione

Anche se abbiamo visto come gestire le incertezze che derivano da errori si�stematici tipici� �e preferibile� nei limiti del possibile� lavorare con strumenticalibrati al meglio� ovvero con possibili errori residui di calibrazione dell�ordinedi grandezza �o minori� delle deviazioni standard di ripetibilit�a �r�

Va da s�e che strumenti ben calibrati signi�ca strumenti costosi� e non �esempre possibile avere a disposizione tali strumenti per esperienze didattiche�e nemmeno sempre per la ricerca�� E� allora opportuno imparare ad opera�re mediante intercalibrazioni� Questa procedura� unita a quelle delle misureper di�erenza� permette di minimizzare gli errori sistematici strumentali edi sempli�care le elaborazioni dei dati� Da quanto detto seguono i seguentisuggerimenti�

�� e bene avere almeno uno strumento di riferimento costoso ad alta �pre�cisione� �in realt�a bisognerebbe dire ad alta accuratezza�� ricalibrandosu di esso gli strumenti economici �e equivalente ad avere tanti strumenticostosi�

�� quando si devono misurare contemporaneamente diverse grandezze omo�genee� �e opportuno almeno intercalibrare gli strumenti�

Accenniamo ancora ad un ultimo metodo per ridurre� all�occorrenza� ipossibili errori sistematici degli strumenti� qualora non sia possibile e�ettuareuna calibrazione assoluta per diversi valori della grandezza e a�tres�� non siapossibile lavorare per di�erenze� oppure ci�o sarebbe possibile ma l�errore dellostrumento non �e di facile modellizzazione �tipo il caso d� di �gura ��

In questi casi si possono ripetere le misure con diversi strumenti� preventi�vamente intercalibrati per un valore centrale delle letture� Mediando i risultatisi ottiene una compensazione dei diversi fattori casuali di ciascuno strumento�casuale nel solito senso di incerto� anche se la curva di risposta dello strumen�to rimane �ssa� per ciascuno di essi non si sa quale essa sia�� Questa tecnicapu�o essere chiamata di randomizzazione�


�� Coe�ciente di correlazione ��

�� Coe�ciente di correlazione

A questo punto� avendo introdotto nel paragrafo �� il concetto di correlazionefra valori di grandezze �siche che hanno incertezze comuni e avendo mostratola loro importanza nelle inferenze successive� �e d�obbligo un brevissimo accennoal coe�ciente di correlazione� Esso �e indicato con �� pu�o avere valoricompresi fra �� e � ed �e atto a misurare il grado di correlazione �lineare��fra le due grandezze� Il concetto intuitivo �nell�applicazione alle misure� �e ilseguente

� �� sta ad indicare che� se il valore vero �� e maggiore diquello stimato� anche il valore vero �� e maggiore del corrispondentevalore vero�

� se �� ad una sovrastima di una grandezza corrisponde unasottostima dell�altra�

� se �� sovrastime e sottostime dei due valori sono indipenden�ti�

E� chiaro quindi che� nel caso di errori di zero e di scala� il coe�ciente dicorrelazione fra due grandezze misurate direttamente con lo stesso strumentopu�o essere soltanto � � tutti i valori saranno eventualmente mal determinatinello stesso verso�

Per quanto riguarda l�entit�a delle possibili sovrastime e sottostime� si pu�odimostrare che esse sono misurate in termini della deviazione standard�

se �� e sovrastimato di k volte �� allora �� e sovrastimato dik volte ��

Spesso si fa uso anche di un�altra grandezza per quanti�care le correla�zioni� sebbene in modo molto meno immediatamente percepibile� Essa �e lacovarianza� indicata con Cov�� e legata al coe�ciente di correlazione da

Cov��

Si noti come la covarianza abbia dimensioni che sono il prodotto delle dimen�sioni delle due grandezze� Per questo �e di�cile dal suo valore farsi un�ideaintuitiva dell�entit�a delle correlazioni�

�� Valutazione pratica di � dovuto ad errori di calibrazione

Per ottenere in modo euristico una regoletta pratica per il calcolo del coe��ciente di correlazione dovuto ad errori di calibrazione di zero o di scala si pu�oragionare nel seguente modo�

� per quanto detto precedentemente il coe�ciente di correlazione �e � �

� se lo strumento �e perfettamente calibrato� non si introduce alcuna corre�lazione fra le misure e� nel contempo� �e nullo il contributo all�incertezzatotale�

��Questo �e un punto importante� ma sul quale purtroppo non possiamo entrare in dettaglio�


�� Propagazione di varianze e covarianze ��

� se l�incertezza dovuta alla calibrazione �e molto maggiore di quella do�vuta agli e�etti casuali� essa domina l�incertezza globale e quindi lacorrelazione sar�a di �� #��

Il coe�ciente di correlazione calcolato come

� �prodotto delle incertezze �comuni�

prodotto delle incertezze totali

soddisfa questi requisiti ��comuni� sta per �introdotte dall�e�etto sistematicocomune�� In e�etti� si pu�o dimostrare che� per i casi che ci interessano� laformula �e corretta�

Otteniamo quindi� per i due tipi di errori considerati�

errore di zero

�� zp

��r�� z � ��r �� z��

errore di scala

��

�fr

��r �� f

� ��r��

�f

� � ��

�� Propagazione di varianze e covarianze

Le �� e �� permettono di calcolare i coe�cienti di correlazione e le cova�rianze fra grandezze misurate con lo stesso strumento� Ma le correlazioni sonogenerate anche per altre cause� Infatti� vale in generale�

pi�u grandezze ottenute per misura indiretta a partire da un insiemecomune di grandezze di base� ciascuna nota con una sua incertezza�hanno in genere valori correlati�

Le grandezze misurate con lo stesso strumento sono soltanto un caso partico�lare in cui le stesse informazioni comuni sono le costanti di calibrazione� Altricasi importanti sono�

� pi�u grandezze misurate indirettamente da un insieme di grandezze mi�surate direttamente�

� i parametri delle curve che descrivono una legge �sica �ad esempio inter�cetta e coe�ciente angolare di un �t lineare� �

Per comodit�a diamo la regola generale di propagazione che tiene conto del�le correlazioni fra variabili di partenza e fornisce anche le correlazioni fra levariabili di arrivo� senza voler dare una dimostrazione o giusti�cazione� Persempli�care le formule usiamo la seguente notazione�

xi sono le n variabili di partenza �corrispondenti alle �Xinel formalismo usato

�nora��


�� Propagazione di varianze e covarianze ��

yk sono le m variabili di arrivo �corrispondenti a �Yk ��

�xij� �e una notazione compatta che riassume varianze e covarianze�

� se i � j esse sono le n varianze delle xi�

�xii � ��xi � ��Xi� �

� se i �� j esse sono le covarianze�

�xij � Cov�Xi� Xj� �

� essendo� per ovvi motivi� ��Xi� Xj� � ��Xj� Xi�� ne segue che ancheCov�Xi� Xj� �e uguale a Cov�Xj� Xi� e quindi �xij � �xji �

�yklsono le analoghe delle �xij per le Yk�

Yk � Yk�x��x�� xn� sono le funzioni che legano le Yk alle Xi�

le derivate si intendono calcolate in corrispondenza dei valori attesi ��mi�gliori stime�� delle Xi�

Con questa notazione la formula compatta di propagazione di varianze ecovarianze �e�

�ykl �Xi�j

�yk�xi

�yl�xj

�xij � ��

dove la sommatoria si estende alle n � n combinazioni degli indici i e j� Gliindici k e l variano invece fra � e m�

Come esempio� ricaviamo mediante la �� l�incertezza della somma e delladi�erenza di due grandezze a�ette da errore di zero comune facendo uso della�� e della �� Inoltre possiamo calcolare la covarianza fra S e D �e daquesta� banalmente� il coe�ciente di correlazione��

X� � �� vecchia notazione�

X� � �� vecchia notazione�

Y� � S � X� � X�

Y� � D � X� �X�

��S�� y�� x�� x�� x�� x��

��r�� z

� ��z � ��z �

��r�� z

� ��r�� r�� z

��D�� y�� x�� x�� x�� x�� r�� r��

Cov�S�D�� y�� r�� z

� �� z �

�� z � �� r�� z

� ��r�� r��


�� Raccomandazioni BIPM�ISO ��

Abbiamo riottenuto ��S� e ��D� che conoscevamo �vedi �� e ��Per quanto riguarda la covarianza� si noti come il risultato non sia af�

fatto intuitivo� Questo dovrebbe insegnare che� quando i problemi diven�tano importanti e complicati� bisogna fare molta attenzione agli e�etti dicorrelazione�

�� Raccomandazioni BIPM�ISO

Confrontiamo ora i risultati ottenuti con quanto raccomandato dal BIPM edall�ISO�

�� The uncertainty in the result of a measurement generally consistsof several components which may be grouped into two categoriesaccording to the way in which their numerical value is estimated�

A� those which are evaluated by statistical methods�

B� those which are evaluated by other means�

There is not always a simple correspondence between the classi�ca�tion into categories A or B and the previously used classi�cation in�to �random� and �systematic� uncertainties� The term �systematicuncertainty� can be misleading and should be avoided�

The detailed report of the uncertainty should consist of a complete

list of the components� specifying for each the method used to obtain

its numerical result�

La prima raccomandazione a�erma� sostanzialmente� che tutte le incer�tezze possono essere trattate probabilisticamente� La distinzione fra tipoA e tipo B �e sottile e potrebbe essere fuorviante per chi pensasse che �me�todo statistico� sia sinonimo di �metodo probabilistico�� perch�e allorasembrerebbe che le incertezze di tipo B non siano probabilistiche� Inrealt�a� qui �statistico� �e legato a �dati statistici�� ovvero a osservazioniottenute ripetendo l�esperimento� Possiamo dire che� a grandi linee e permolte applicazioni� le incertezze di tipo A siano quelle dovute ad erroricasuali e quelle di tipo B ad errori sistematici� Ma questo non �e semprevero� Questa �e la ragione della strana nomenclatura�

Come esempio di un caso di incertezza di tipo B dovuta ad errori sta�tistici� si pensi al seguente esperimento� eseguo molte misure per trevalori di pH �intorno a �� e �� e trovo tre deviazioni standard fra lorocompatibili� �r � �� successivamente eseguo una sola misura con lostesso strumento� nelle stesse condizioni� di un�altra soluzione e ottengo �� L�incertezza dovuta ad errori statistici �e chiaramente �� ma essa�e di tipo B in quanto proviene da misure su un altro misurando�

�� The components in category A are characterized by the estimated

variances s�i �or the estimated �standard deviations� si and the

number of degrees of freedom �i� Where appropriate� the covariances

should be given�

Le si di cui si parla corrispondono alle stime delle �r ottenute mediantemisure ripetute sul misurando di interesse �e non note da conoscenze


�� Raccomandazioni BIPM�ISO ��

precedenti�� Il numero di gradi di libert�a �e legato al problema dei pic�coli campioni e all�uso della t di Student� Come discusso nel paragrafo�� questo �e un problema delicato che non andrebbe trattato mecca�nicamente� In ogni caso� fornire la numerosit�a del campione utilizzato �esicuramente una buona pratica� Quando non lo si fornisce vuol dire che�e �grande�� In�ne� quando si eseguono simultanemente coppie �almeno�di misure va anche fornita la stima della varianza �o del coe�ciente dicorrelazione��

�� The components in category B should be characterized by quantities

u�j � which may be considered as approximations to the corresponding

variances� the existence of which is assumed� The quantities u�jmay be treated like variances and the quantities uj like standard

deviations� Where appropriate� the covariances should be treated in

a similar way�

Chiaramente� questa norma ha senso solo se la probabilit�a �e intesa insenso soggettivo� Vedremo nel seguito come valutare questo contributo�Anche queste incertezze possono essere correlate� Ad esempio se una mi�sura dipende dalla curva di calibrazione di un certo strumento� ricavatada misure precedenti� l�incertezza dipende dall�incertezza sui parametridella curva� i quali sono in genere correlati�

�� The combined uncertainty should be characterized by the numerical

value obtained by applying the usual method for the combination of

variances� The combined uncertainty and its components should be

expressed in the form of �standard deviations��

Si tratta della propagazione delle incertezze di cui abbiamo parlato� An�che in questo caso �e importante il punto di vista secondo il quale anchei valori veri sono variabili casuali�

� If� for particular applications� it is necessary to multiply the com�

bined uncertainty by a factor to obtain an overall uncertainty� the

multiplying factor used must always stated�

L�ultima raccomandazione a�erma ancora una volta che l�incertezza do�vrebbe essere per convenzione la deviazione standard della distribuzionedi probabilit�a del valore vero� Eventualmente si possono usare altre de��nizioni di incertezza� ad esempio un intervallo di credibilit�a del �� o �� #� purch�e venga esplicitamente dichiarato� Ad esempio� sotto ipo�tesi di distribuzione gaussiana del valore vero intorno al valore stimatoquesti intervalli possono essere calcolati dalle tabelle della distribuzionenormale�

Riassumendo� i presupposti teorici che sono alla base delle raccomandazioniBIPM$ISO sono�

Probabilit�a soggettiva� permette di parlare di probabilit�a� e quindi di de�viazione standard� dei valori di qualsiasi grandezza �sica� essa �e� inparticolare� cruciale per�

� incertezze di tipo B�


�� Valutazione delle incertezze di tipo B ��

� propagazione delle incertezza�

� interpretazione probabilistica del risultato�

Incertezza come deviazione standard�

� �e �standard��

� le regole di propagazione si applicano alle varianze e non agli inter�valli di credibilit�a�

Incertezza standard combinata� �e ottenuta dalla formula di propagazionedelle varianze e fa uso di varianze� covarianze �o coe�cienti di correla�zione� e derivate prime� si ricordi sempre che si tratta di una formulaapprossimativa che assume un andamento circa lineare intorno ai valoriattesi delle grandezze�

Teorema del limite centrale� fa s�� che� sotto opportune condizioni� il va�lore vero sia distribuito normalmente anche quando sia ottento da gran�dezze la cui incertezza non �e descritta da un modello gaussiano�

�� Valutazione delle incertezze di tipo B

Le incertezze di tipo B sono indubbiamente quelle pi�u critiche da valutare�Vediamo innanzitutto cosa raccomanda la Guida� poi mostriamo degli esempi�

For estimate xi of an input quantity�� Xi that has not been obtainedfrom repeated observations� the � � � standard uncertainty ui is evaluatedby scienti�c judgement based on all the available information on thepossible variability of Xi� The pool of information may include

� previous measurement data�

� experience with or general knowledge of the behaviour and proper�ties of relevant materials and instruments�

� manufacturers speci�cations�

� data provided in calibration and other certi�cates�

� uncertainties assigned to reference data taken from handbooks�

Detto nel linguaggio probabilistico adottato� si cerca di modellizzare� in basealla migliore conoscenza del problema� la distribuzione dei gradi di �ducia�considerando� ad esempio� gli estremi dell�intervallo di valori possibili� se cisono valori pi�u credibili di altri� e cos�� via� e successivamente se ne ricavala deviazione standard� Anche se la modellizzazione �e rozza e la deviazionestandard che ne deriva �e incerta� �e importante notare che�

� le deviazioni standard valutate da piccoli campioni di dati sperimentalinon sono meno incerte di quelle ottenute �by scienti�c judgement�� adesempio in un modello gaussiano l�incertezza relativa sulla valutazione �eapprossimativamente uguale a ��

p� �n� �� Per n � � � e � essa �e

� � � �� e �� #�

��Per �grandezza d�ingresso� la Guida ISO intende tutte le grandezze che contribuisconoalla valutazione del valore della grandezza di interesse �costanti di calibrazione� parametri diin�uenza� valori tabulati� risultati di esperimenti precedenti� etc��


�� Valutazione delle incertezze di tipo B �

� �e preferibile dare le stime pi�u verosimili delle deviazioni standard� invecedi sovrastimare per motivi di prudenza� se si danno sempre le miglioristime� le incertezze globali saranno mediamente corrette� se si sovrastimaad ogni passo� saranno mediamente esagerate anche le incertezze globali�

� il modello �nale di distribuzione del valore vero �e reso circa normale dallacombinazione delle varianze �teorema del limite centrale� indipendente�mente dalla forma esatta della distribuzione assunta�

Facciamo degli esempi�

�� Misure di altre grandezze particolari� prossime a quella di interesse edeseguite nelle stesse condizioni� hanno fornito una deviazione standarddi ripetitivit�a �r� E� ragionevole assumere per l�incertezza

u � �r �

�� Il certi�cato di calibrazione di un costruttore dichiara che l�incertezza�de�nita come k deviazioni standard� �e ��

u ��

k�

�� Un ricercatore a�erma che una certa grandezza vale� al � #� � � �� Assumendo� ragionevolmente� un modello gaussiano�

u ��

��

�� Una pubblicazione riporta un risultato come x�� speci�cando che lamedia �e stata eseguita con � valori �� gradi di libert�a� e che l�incertezza �edata al � #� Si deduce che� verosimilmente� l�intervallo �e stato calcolatomediante la t di Student� Ne segue �consultando opportune tabelle��

u ��

��

� Un manuale di istruzione dichiara che l�errore massimo che lo strumentofornisce �e compreso entro �� In mancanza di ulteriori a�ermazioni� sipu�o assumere una distribuzione uniforme�

u ��p

��

�p�

� � ��

�� Un parametro �e compreso� con la quasi sicurezza� entro �� ma si tendea credere pi�u ai valori centrali che a quelli estremi� In questo caso� �e pi�uragionevole ipotizzare una distribuzione triangolare�

u ��p

��

In modo alternativo� l�informazione potrebbe essere anche compatibi�le con un modello gaussiano con l�intervallo a � o � �� Si otterebberoallora u � �� o �� valori a cavallo di quanto ottenuto con la trian�golare� Quindi quest�ultima pu�o essere considerata un compromesso perquanti�care quello stato di incertezza�


�� Esempi numerici ��

�� Si legge un valore su uno strumento digitale� in cui l�intervallo di scala �lavariazione della grandezza associata alla variazione di una unit�a della ci�fra meno signi�cativa� vale I � Il valore vero potrebbe essere ovunque nel�l�intervallo ampio I � Quindi L�incertezza da associare alla quantizzazionedella lettura �e pari a

u �Ip��

� �� I � �� I �

�� Esempi numerici

Facciamo ora degli esercizi numerici su alcuni dei concetti pi�u critici�

�� Riprendiamo il problema del termometro del paragrafo �� Per dare il ri�sultato occorre valutare la deviazione standard di ripetibilit�a� che tieneconto anche dell�errore di lettura� E�ettivamente bisognerebbe saperequalcosa di pi�u sulla misura� Come mero esercizio accademico� assu�miamo che la misura sia disagevole� addirittura tale che ci sentiamo�tranquilli� entro una divisione� Ne segue �r � ��C �punto delparagrafo precedente�� Inoltre� possiamo interpretare �scalibrato al pi�udi �� C� come una incertezza descritta da una distribuzione uniformedi semiampieza �� C e deviazione standard �� C� Abbiamo quindi�

T� � �� CT� � �� C

��T�� T��

T� � T� � �� C �

�La risposta na��ve per la di�erenza sarebbe �� C�

�� Usando un voltmetro digitale� applicato in due punti di un circuito� sileggono i seguenti valori� �� e �� V� Le misure vengono ripetutepi�u volte e i valori si ripetono esattamente uguali� Le istruzioni del testera�ermano che l�errore massimo che il tester pu�o commettere �e pari allo��#� Determinare la di�erenza di potenziale fra i due punti�

Chiaramente� l�incertezza su ciascuno dei punti �e �� V �� V� ma l�errore di calibrazione non pu�o in�uenzare la di�erenza fravalori cos�� vicini� specialmente se �e stato veri�cato che� alternandole letture� e�ettivamente i valori si ripetono Nella di�erenza contaallora soltanto l�incertezza di digitalizzazione�

�V � �� mV �

�La risposta na��ve sarebbe ��mV L�incertezza di ��mV �e datada

q��

p��

�

�

�� Si e�ettuano delle misure dello spessore di tre blocchetti con un calibroPalmer fabbricato secondo le norme DIN �� Esso ha divisioni di �$�di mm e la massima escursione dell�indicazione rispetto al valore vero �edi ��m� Per ogni spessore si eseguono � misure� ottenendo i seguentivalori di media e deviazione standard �in mm�� x� � ��



x� � �� x� � �� Quanto valgono itre spessori Valutare anche la di�erenza del secondo e del terzo rispettoal primo�

Per ciascuno spessore l�incertezza totale �e data dalla combinazionein quadratura dell�incertezza di tipo A ��i�

p�� e quella di tipo B

�u � ��m�p�� Nelle di�erenze bisogna tener conto delle eventuali

correlazioni Il tipo di strumento e di misura in oggetto appartengono al caso non �facilmente schematizzabile� discusso nel paragrafo�� Ragionevoli conclusioni sono�

x� � �� mmx� � �� mmx� � �� mm

x� � x� � �� m �e non ��m�x� � x� � �� mm

�� Sui dati del problema precedente� Supponiamo che il coe�ciente di di�latazione termica del calibro sia �c � �� K�� e quello dei blocchetti�b � �� K�� Lo sperimentatore purtroppo ha dimenticato di misura�re la temperatura� ma� dalla memoria della sensazione �siologica all�attodella misura� �e convinto che essa fosse �molto probabilmente fra � e �gradi e quasi sicuramente compresa fra � e �� gradi� Come verrannoforniti i risultati alla temperatura di riferimento di � �C

I gradi di �ducia sui possibili valori di temperatura possono esseremodellizzati con una triangolare o con una gaussiana a �� sigmaSi ha� rispettivamente� nei tre casi� u� � �� C� u� � �� C eu� � �� C Prendendo il valore intermedio si ottiene�

�T � �� C �

Applichiamo ora la correzione per la temperatura� ricordando che

l � l�� b�T

� �c�T�

Invertendo e trascurando i termini di ordine superiore a �T �essendoi coe!cienti � molto piccoli��

l� � l� �c�T

� �b�T

� l �� c�T � �b�T � � l �� b � �c��T �

� � �� b � �c��T � �� l� � �� mml� � �� mml� � �� mm

l� � l� � �� ml� � l� � �� mm



� �Pesa pi�u un chilogrammo di piombo o un chilogrammo di polistirolo�suona come una domanda per ingannare i bambini� ma� opportunamenteriformulata� mette in imbarazzo i grandi� �se si pongono su una bilan�cia di precisione un kg di piombo e un kg di polistirolo� in quale casosi legger�a il valore maggiore� La risposta �e ovviamente �il piombo�in quanto il polistirolo risente molto di pi�u della spinta di Archimededell�aria �si era assunto che la bilancia non operasse sotto vuoto� ovvia�mente�� Facciamo un esempio� un parallelepipedo di polistirolo ha i latidi �� cm� �� cm e �� cm �incertezze scorrelate�� Es�so �e posto su una bilancia perfettamente calibrata� posta in una stanzain cui la densit�a dell�aria vale esattamente ��kg m�� vedremo nelprossimo esercizio quanto questa a�ermazione sia realistica�� Sulla scaladigitale si legge ��g� Determinare massa e densit�a del polistirolo�

Il volume V vale �� m� e la massa apparente Ma

�� kg� da cui�M � Ma �ariaV � �� g�p �

M

V� �aria

Ma

V� �aria �a � �� kgm��

�� Quanto vale la densit�a dell�aria Qualcuno si sar�a insospettito dal valore�esatto� di ��kg m�� specialmente quando in molti libri di testo sitrova ��kg m�� Questo �e un caso di incertezza dovuta ad �inesattade�nizione del misurando�� Cos�e l��aria� Il valore di ��kg m��

vale per �aria di riferimento�� # N�� # O�� # Ar�� con lo ��# di CO� �invece dell�usuale valore di riferimento di��#� alle seguenti condizioni ambientali� temperatura di � �C� pres�sione atmosferica di �mbar e umidit�a relativa del #� Quanto valeallora l�incertezza sulla densit�a dell�aria Essa dipende dall�incertezzasui fattori di in�uenza�

Facciamo il seguente caso � sta per umidit�a relativa��

xCO�� "

T � �� Cp � �� mbar � �� ovvero �� "� �

Per fare i conti utilizziamo seguente formula�

� � �� A� �� xCO�� "��

dove �� e il valore della densit�a dell�aria secca� dipendente da temperatura e pressione� e A �e un coe!ciente che dipende soltanto dallatemperatura �vedi tabella �� Eseguendo le derivate per via numerica �vedi paragrafo �� troviamo i seguenti contributi all�incertezzatotale

xCO�� " � u� � �� kgm

��

T � �� C � u� � �� kgm��

p � �� mbar � u� � �� kgm��

� �� " � u� � �� kgm��

��I valori che seguono� la formula �� e la tabella � sono presi da F� Kohlrausch� �Prak�tische Physik�� B�G� Teubner Stuttgart �� La sezione �� sulla densit�a dell�aria �e curatada M� Kochsieck dell�istituto tedesco di metrologia di Braunschweig�


�� Fit di andamenti lineari ��

T p �mbar� A��C� �� kg m��

��

� ��

��

Tabella �� Densit a dell�aria secca �in kgm�� per alcuni valori di temperatura epressione� A rappresenta il coe�ciente di dipendenza dall�umidit a relativa �vediformula ��

Si vede quindi come il contributo pi�u importante sia dovuto all�incertezza sulla pressione Il valore della densit�a dell�aria con questostato di conoscenza dei fattori di in�uenza vale quindi

� � �� kgm��

�� Quanto dovrebbe essere il controllo sulle variabili di in�uenza per potera�ermare che la densit�a dell�aria sia esattamente �� kgm��

A�ermare che � � �� kgm�� sia esatto vuol dire che il solo errorepossibile �e quello di arrotondamento Quindi u��

p��

� � ��kgm�� Se le quattro incertezze contribuiscono allo stessomodo� ciascuna di esse deve valere al pi�u ui � �� kgm�� Neseguono i seguenti requisiti�

��xCO�� "

��T � � �� C

��p� � ��mbar

�� " �

condizioni di lavoro tutt�altro che banali# Si capisce allora come� neicasi pratici� non abbia molto senso far riferimento ad una densit�adell�aria con pi�u di tre cifre signi�cative

�� Fit di andamenti lineari

A�rontiamo ora il problema dello studio delle curve che approssimano meglioi punti sperimentali� Per semplicit�a ci limitiamo ad andamenti lineari� ovvero

y � mx � c �

Consideriamo� ad esempio� i dati sperimentali� raccolti da un gruppo di stu�denti� dello studio dell�allungamento e del periodo di una molla appesa a ungancio� in funzione della massa applicata �vedi tabella �� Consideriamo sol�tanto la prima serie di misure� Si noti l�assenza� a questo livello� di incertezzeassociate alle misure� Infatti ogni stima sarebbe arbitraria� I valori sono statiriportati con tutte le cifre che si riuscivano ad apprezzare sugli strumenti� Sinoti come gli studenti abbiano deciso� nonostante le raccomandazioni contra�rie� che� date le condizioni di lavoro� fosse di�cile e�ettuare letture al di sottodel millimetro� Vedremo nel seguito se� con il senno del poi� avrebbero dovutosforzarsi un po� e quali sono le conseguenze sul risultato�


�� Gra�ci e parametri della retta ��

Prima serie Seconda serie Terza serien M l T � � l T � � l T � �

�g� �mm� �s� �mm� �s� �mm� �s� ��

� � � ��

Tabella �� Dati dell�esperienza della molla� n e il numero dei dischetti sospesi� l e l�allungamento �l� � � e T il periodo di oscillazione� Il peso di �� dischetti epari a �� g e la massa della molla stessa �parte oscillante� e pari a circa �� g�

�� Gra�ci e parametri della retta

I punti sperimentali sono riportati su due gra�ci �allungamento in funzionedella massa e periodo in funzione della radice quadrata della massa� per ovvimotivi�� La �gura � mostra i due gra�ci� Per quanto riguarda l�elaborazionesuccessiva si pu�o considerare

� un�analisi gra�ca�

� un�analisi mediante metodo dei minimi quadrati�

Anche se oggigiorno ci sono programmi al computer che �fanno tutto�� essisono in genere poco raccomandabili dal punto di vista didattico �specialmentese usati nelle prime esperienze�� Infatti�

� siccome sono pochi i laboratori che dispongono di un computer per ognibanco di lavoro per l�intera durata dell�esperienza� gli studenti si abi�tuano a separare la fase di raccolta dati da quella di rappresentazionegra�ca e di elaborazione� Qualsiasi �sico sperimentale raccomanda difare i gra�ci immediatamente dopo la presa dati �idealmente addiritturadurante�� almeno per le prime serie di misure� Questo �e il solo modoper controllare che tutto stia procedendo per il verso giusto e che non cisiano sbagli nelle procedure�

� E� pi�u facile sbagliare ad inserire i dati nel computer che a tracciare unaretta ad occhio fra i punti sperimentali�

� I programmi sono scatole nere che a volte non usano le assunzioni cor�rette e quasi mai danno il coe�ciente di correlazione fra i parametri�di cruciale importanza per elaborazioni successive �in genere i parame�tri dei �t lineari� nelle esperienze tipiche di laboratorio� sono correlatiall�� # ��


�� Gra�ci e parametri della retta ��

Figura �� Gra�ci dell�allungamento in funzione della massa sospesa alla mollae del suo periodo di oscillazione in funzione della radice quadrata della massa� Icerchietti indicano i punti utilizzati per il calcolo dei parametri della retta�


�� Inferenza bayesiana e metodo dei minimi quadrati ��

� Gli studenti dovrebbero avere accesso soltanto a programmi ben testatie soltanto dopo che abbiano e�ettuato a mano tutti i conti in un paio diesercitazioni �una sorta di �patente� che li abiliti a usare i programmi��L�ideale sarebbe che essi possano sviluppare i programmi di analisi di cuinecessitano� in quanto i problemi non banali richiedono in genere unasoluzione adatta al problema speci�co�

�� Inferenza bayesiana e metodo dei minimi quadrati

Nel seguito mostreremo come ricavarsi i parametri della retta mediante unaprocedura gra�ca che fornisce risultati molto simili a quelli del �t con minimiquadrati �che supponiamo noti� almeno a grandi linee��

Prima di procedere �e per�o opportuno far notare che anche questo metodopu�o essere fatto discendere dai principi dell�inferenza bayesiana� anche se nonstaremo a dimostrarlo� Ne segue che� anche in questo caso� le grandezze asso�ciate ai parametri della retta possono essere considerate variabili casuali� contutte le sempli�cazioni tecniche e interpretative che ne discendono�

�� Analisi gra�ca

Vediamo quali sono i passi necessari per un�analisi gra�ca che� condotta atermine �no in fondo� produce risultati quantitativi in accordo con quelli otte�nibili mediante �t con i minimi quadrati� In molte esperienze� comunque� non�e necessario procedere ad un�analisi cos�� accurata come quella proposta �vedidiscussione nel paragrafo �� e ci si pu�o fermare al primo passo�

Stima dei parametri

� Si traccia ad occhio la retta� cercando di passare in mezzo a tutti ipunti� Questa retta praticamente coincide con quella che si ottienecon i minimi quadrati�

� Si ricavano quindi dal gra�co due punti che giacciono sulla retta�che siano ben distanziati e ben leggibili� Da questi si ricavano m ec �l�intercetta si ottiene in genere pi�u agelvomente in modo diretto�come �e ben noto��

Per quanto riguarda le cifre con cui rileggere i valori si noti come ipunti della retta sono �pi�u stabili� di quelli delle singole misure equindi possono essere riletti anche con una cifra in pi�u� Si ottengonoquindi c e m con il numero di cifre che seguono dalle solite regolettesulle cifre signi�cative�

Stima dell�incertezza sui parametri ripetendo le misureIl modo pi�u semplice� e che per le prime esperienze �e indubbiamenteistruttivo� �e quello di ripetere pi�u volte la misura e studiare le �uttuazionidei risultati� Si tenga conto che� non facendo calcoli di �errori massimi�n�e propagazioni varie� �e molto facile ripetere pi�u volte le misure in alcuneore�

Stima dell�incertezza della singola misura dai residuiIn realt�a non c��e alcun bisogno di ripetere le serie di misure� Se ciascuna


�� Analisi gra�ca ��

Figura �� Residui e barre di incertezza ��r��

serie contiene un numero su�ciente di punti �tipicamente� leggermentesuperiore al numero di parametri che si vogliono valutare� essa racchiudein s�e le informazioni necessarie alla valutazione delle incertezze� o almenoa quelle derivanti da errori casuali� mediante il metodo dei residui� Unavolta tracciata la retta si pu�o leggere dal gra�co� per ogni punto� ilresiduo ei� ovvero la di�erenza fra l�ordinata misurata e il valore dellaretta in corrispondenza dell�ascissa misurata� come mostrato in �gura�� Si ottiene quindi� dalla media dei quadrati dei residui� la stima delladeviazione standard delle ordinate� assumendo che sia la stessa per tuttii punti e attribuendo soltanto alle ordinate le deviazioni dal valore vero�

�r �

sPni�� e

�i

n� ��

Il nome �r sta a indicare sia che essa �e calcolato dai residui sia cherappresenta l�equivalente della deviazione standard di ripetitivit�a dellemisure� Il fattore n�� al posto di n ha la stessa giusti�cazione dell�n��nella deviazione standard� tenendo conto che ora ci sono due vincolifra i dati� Ripetiamo ancora una volta quanto detto a proposito di�n�� anche se le ragioni profonde di questa scelta non sono semprecondivisibili� il risultato �va nella direzione giusta�� Anche qui� quandon �e dell�ordine della decina� la correzione �e inin�uente ai �ni pratici�

A questo punto� �nalmente si conosce l�errore casuale sulle ordinate incondizioni di ripetivit�a �nell�ipotesi che quello sulle ascisse sia trascura�bile�

Ovviamente� si pu�o anche fare l�esercizio opposto e attribuire tutto l�erro�re alle ascisse �senza dover fare tutti i conti� si pu�o propagare �r su ��rx�mediante la derivata� �rx � �r�jmj�� E� interessante notare che� anchese il punto di vista cambia drasticamente� saranno invarianti le conclu�sioni sulle grandezze �siche di interesse� legate a coe�ciente angolare eintercetta�

Valutazione sempli�cata di �rSpesso non c��e tempo per rileggere tutti i punti della retta e calcola�


�� Analisi gra�ca ��

re �r dalla somma dei quadrati dei residui� Oppure� semplicemente�ci si accontenta di una sua stima al �� #� �sembra tanto� ma ancheun�incertezza del # su �r �e pi�u che accettabile per molte applicazioni�specialmente se essa �e ottenibile in tempi rapidi�� In questi casi si pos�sono tracciare� simmetricamente alla retta di migliore stima� due retteparallele tali che contengano i �$� circa dei punti� La distanza� lungol�asse delle ascisse� fra le due rette �e approsimativamente uguale a �r�Analogalmente� si possono considerare la �quasi totalit�a� dei punti� econsiderarlo un intervallo a � o a � deviazioni standard�

Barre di incertezzaSoltanto a questo punto �e lecito riportare le barre di incertezza sui puntidel gra�co� Ogni barretta verticale �e centrata sul punto sperimentale edha lunghezza � �r�

Incertezza dei parametri mediante �r ricavata dai datiNota la deviazione standard da attribuire alle singole �uttuazioni delley� si possono usare le formule delle incertezza che si ricavano dal me�todo dei minimi quadrati� che qui riportiamo per comodit�a� riscritte intermini delle grandezze che si conoscono e di quanto altro sia facilmentevalutabile per via gra�ca�

��m� ��p

Var�x�

�rpn

��

��c� �

sVar�x� � x�

Var�x�

�rpn

��

��m� c� � � xpVar�x� � x�

� ��

Si noti che Var�x� non �e legata alle incertezze sulle X �convenzional�mente nulle�� essa misura invece la dispersione delle x e la sua radicequadrata �e legata al cosiddetto �braccio di leva� dei dati sperimentali�E� interessante notare come questo possa essere valutato agevolmentedal gra�co se i punti sono circa spaziati lungo l�ascissa �caso tipico delleesercitazioni di laboratorio�� Approssimando i punti sperimentali ad unadistribuzione uniforme si ottiene infatti��p

Var�x� � xmax � xminp��

�

Si faccia inoltre attenzione a non confondere il coe�ciente di correlazionefra i parametri �indicato con ��m� c�� con il coe�ciente di correlazione

��Si noti che questa espressione �e valida per variabili continue� Per variabili discreteequispaziate fra xmin e xmax� la formula esatta �e

xmax � xminp��

rn! �

n� ��

che tende alla deviazione standard del caso continuo quando n �e molto grande� Comunque�gi�a per n � � il fattore correttivo �e del �� e per n � �� e del ��


�� E�etto degli errori sistematici �

fra ascisse e ordinate dei punti sperimentali �indicato con ��x� y�� lagrandezza di interesse ai �ni del risultato �e ��m� c��

Analisi nel baricentroOsservando le formule �� e �� si nota che� se x �e uguale a zero�il coe�ciente di correlazione si annulla e anche l�espressione di ��c� �euguale a �r�

pn� Questo suggerisce che per sempli�care i conti conviene

scegliere l�asse delle ascisse in corrispondenza del baricentro dei punti�ovvero e�ettuare la trasformazione di variabili

x� � x� x �

questo �e particolarmente comodo se successivamente si deve utilizzarela retta trovata per delle estrapolazioni o� in generale� come curva ditaratura� Chiaramente si otterrano in questo caso valori m� e c� diversida m e da c ed �e facile dimostrare che c� �e uguale al baricentro delle y�

Se si vuole visualizzare l�incertezza su m� e su c� sar�a su�ciente

� tracciare le rette passanti per il baricentro e di pendenze m��m��

� disegnare una barra verticale centrata nel baricentro e di semiam�piezza ��c��

E� possibile passare poi dai parametri nel sistema del centro di massa aquelli nel sistema originale tenendo conto che m � ��m� � m� � ��m��c � c� � xm e valutando ��c� e ��m� c� dalle �� e ��

�� E�etto degli errori sistematici

La storia in principio non �e ancora �nita� Cosa abbiamo dimenticato Inquesti casi bisogna ripassarsi rapidamente i primi � punti del �decalogo� delparagrafo � �il punto � �e l�unico di cui abbiamo tenuto conto� al meglio diquello che si poteva fare��

Consideriamo soltanto l�e�etto di errori di calibrazione dello strumen�to� Vediamo quali sono i possibili contributi all�incertezza� Per comodit�aci riferiamo alla �gura ��

Errori sistematici dipendenti dal valore della grandezzaSi tratta del caso d� di �gura �� Di questo si �e gi�a tenuto conto� impli�citamente� quando �e stata valutata �r dai residui� Infatti ogni piccolaincertezza di taratura nell�intervallo di scala utilizzato in�uenza �r� cos��pure ogni piccola di�erenza fra le masse dei diversi dischi�

Errore di zero

� L�errore di zero� sia esso sulle ascisse che sulle ordinate� non hanessuna in�uenza sul coe�ciente angolare� in quanto esso �e valutatocome rapporto di diferenze�

��m�jzx � ��m�jzx � �


�� E�etto degli errori sistematici ��

� Un errore di zero sulle ordinate ��zy� si ri�ette direttamente sul va�lore dell�intercetta� in quanto tutti i punti potrebbero essere traslaticoerentemente verso l�alto o verso il basso� Quindi il contributo a��c� �e

��c�jzy � �zy �

� Un errore di zero sulle ascisse ��zx� causerebbe una traslazione oriz�zontale di tutti i punti� Quindi esso si ri�ette sull�intercetta attra�verso la pendenza della retta� Ne segue che il contributo a ��c� �e�trascurando l�e�etto di ordine superiore dovuto all�incertezza sullapendenza stessa��

��c�jzx � jmj�zx �Se entrambi i contributi sono presenti� essi vanno considerati in quadra�tura�

Errore di scalaPer capire il comportamento degli errori di scala� sia sulle ascisse che sulleordinate� consideriamo due punti sulla retta P� � �x�� y�� e P� � �x�� y��in corrispondenza del primo e dell�ultimo punto sperimentale� Da questipunti �e possibile ricavarsi m e c�

m �y� � y�x� � x�

� ��

c � y� � y� � y�x� � x�

x� � ��

Consideriamo ora i fattori di scala fx e fy che� come al solito� riteniamoessere

fx � �� fxfy � �� fy �

e inseriamoli esplicitamente nelle espressioni di m e di c�

m �fy�y� � y��

fx�x� � x��

c � fyy� � fy�y� � y��

fx�x� � x��fxx� � fy

�y� � y� � y�

x� � x�x�

��

Ne concludiamo quindi che

� Il coe�ciente angolare risente allo stesso modo dei due fattori discala�

��m�jfx � jmj �fx ��

��m�jfy � jmj �fy ��

� L�errore di scala sulle ascisse �e inin�uente sull�intercetta� mentrequello sulle ordinate vi si ri�ette proporzionalmente�

��c�jfx � ��

��c�jfy � jcj �fy ��


�� Esempio numerico ��

Come al solito� i vari contributi si combinano quadraticamente�

Deviazione dalla linearit�aEventuali deviazioni dalla linearit�a degli strumenti si ri�ettono su unadeviazione dalla linearit�a dell�andamento� Non �e possibile dare delleregolette ad hoc� Qualora si notino tali e�etti nei punti sperimentali� bi�sogna cercare di capire se l�e�etto �e da attribuire a uno dei due strumenti�o a entrambi�� oppure �e la legge �sica ad essere inadeguata� o si trattasoltanto di una �uttuazione� Si cerca quindi di sostituire o ricalibraregli strumenti� di apportare correzioni fenomenologicamente giusti�cateai dati sperimentali� oppure si utilizza semplicemente la zona nella qua�le ci sono dei buoni motivi per presupporre che l�andamento sia quelloipotizzato� Un caso macroscopico �e quello del gra�co dell�allungamentoin funzione della massa di �gura �� la molla non si allunga a�atto al disotto di una massa critica �� g� e quindi i primi tre punti non vannoconsiderati nell�analisi�

La valutazione di e�etti sistematici rimane invariata se i parametri della rettasono valutati con i minimi quadrati anzich�e con l�analisi gra�ca�

�� Esempio numerico

Come esercizio ricaviamoci i parametri dell�andamento dell�allungamento infunzione della massa di �gura ��

� Si traccia a occhio la retta che meglio passa fra i punti�

� Si ricavano due punti sulla retta ben leggibili �quelli cerchiati� e da essi i valori

di m e di c��

P� � �� kg� �� cm�

P� � �� kg� �� cm�

m �� m�� kg � ��

m

kg�

c � y� �mx� � ��m� �� cm�

� Utilizzando i valori dei poarametri della retta ricavata dal gra�co� si calcolanoi valori �teorici� dell�allungamento per gli � valori di massa Essi sono� inmm� �� Si ottengono quindi iresidui dalla di�erenza fra allungamenti misurati e allungamenti calcolati lungola retta� �� La somma dei loro quadrati �epari a ��mm�� da cui si ricava

�r � �� mm�

Probabilmente gli studenti avrebbero fatto meglio a non accontentarsi dellalettura al millimetro La deviazione standard ottenuta �e infatti compatibilecon quella dovuta al solo e�etto di arrotondamento al millimetro Siccometutte le incertezze che seguiranno saranno proporzionali a �r� sarebbe statoimportante leggere al meglio i valori� a costo di �inventarsi i decimi� L�analisidei residui sfronda poi� in modo automatico� tutte le cifre super�ue

��Per quanto riguarda il numero di cifre signi�cative� si noti come ne sia stata aggiuntauna in pi�u rispetto alle regolette usuali� Esse verranno aggiustate in seguito alla luce di ��me di ��c� Nel caso in cui l�esperienza non preveda un�analisi completa delle incertezze dimisura sarebbe stato su�ciente scrivere m � ��mkg�� e c � �� cm�



� Conoscendo �r si possono �nalmente riportare le barre di incertezza sul gra�coNel caso in considerazione le barre risulterebbero invisibili sulla �gura in quantoconfrontabili con le dimensioni dei pallini con i quali sono stati indicati i puntistessi

� Per calcorare le incertezze serve conoscere anche il braccio di leva e il baricentrodella distribuzione delle ascisse Dal gra�co valutiamo�

x � �� kgpVar�x� �

�� kgp��

� �� kg

� Finalmente abbiamo il risultato�

m � �� mkg

c � �� mm �� m��m� c� � ��

Si noti l�altissima correlazione negativa fra i due parametri� detto alla buona��e un po� come se� invece di aver misurato � grandezze �nel senso di � grandezzeindipendenti�� ne avessimo misurate ��

Confrontiamo il risultato con quanto si ottiene con un �t di minimi quadratieseguito al computer�

�r � ��mm

m � �� mkg

c � �� mm �� m��m� c� � ��

L�accordo �e pi�u che soddisfacente��

� Per mostrare l�importanza del coe!ciente di correlazione ci calcoliamo il valoredell�allungamento previsto per una massa di ��kg �� Propagando lo statodi incertezza sui parametri della retta sul valore estrapolato� abbiamo�

��y� � x��m� ��c� �x ��m� c��m��c�

� �� mm� � ��mm�

��y� � ��mm

y � � �� mm�

�Le piccole di erenze numeriche sono dovute all�uso della formula approssimata per ilbraccio di leva� Corretto per il fattorer

n! �

n� ��

esso diventa �� kg� da cui ne segue un risultato praticamente identico a quello ottenutomediante programma

m � �� m

kg

c � �� mm

��m�c � ��

��Si noti come nella propagazione non si debba tener conto di un�eventuale incertezza sullamassa se essa �e simile a quella dei pesetti con i quali sono state e ettuate le misure� in quantoquesto contributo �e gi�a compreso in �r�



Tralasciando il coe!ciente di correlazione si sarebbe ottenuto ��y� � ��mm

Il computer fornisce invece � �� mm� �� Mentre la di�erenza di ��mmsul valore centrale �e attribuibile alla lieve di�erenza fra i valori ottenuti con idue metodi e arrotondamenti interni dei valori� ��y� � ��mm �e decisamentesospetta Facendo dei controlli ci si accorge che� questo valore �e inconsistentecon i risultati del �t� il programma era sbagliato# Un�ulteriore confermadell�invito a di!dare delle scatole nere informatiche��

Si noti in�ne come l�e�etto dovuto al termine di correlazione sia ancora pi�u importante per valori all�interno della distribuzione dei punti sperimentali� con unmassimonel baricentro�� Per una massa di �� kg si prevede un allungamentodi �� mm �che diventerebbe �� omettendo le correlazioni�

� Per quanto riguarda in�ne le incertezze dovute ad errori sistematici dello strumento� si pu�o dire tranquillamente che essi sono trascurabili�

� le letture degli allungamenti sono state e�ettuate su un foglio di carta millimetrata solidale con il supporto della molla� deviazioni dell�indicazionedell�ordine di grandezza di �� mm o maggiori sono impensabili�

� i pesetti sono stati misurati tutti insieme� per sottrazione rispetto allatara� e quindi qualsiasi loro combinazione ha un�incertezza standard beninferiore ad una parte su mille� anche un�eventuale incertezza di � g�proprio a voler esagerare� sulla massa iniziale �n � �� che si ri�ette sututti i valori di massa e va perci�o considerata come un errore di zero�produce al pi�u un�incertezza sull�intercetta di ��mm� in�ne� le eventualidi�erenze�� fra un pesetto e l�altro sono gi�a incluse� indirettamente� in �r

Possono essere molto pi�u importanti altri errori che si comportano come errorisistematici costanti in questa serie di misure� ma che possono cambiare e�ettuandone un�altra Possono essere dovuti� ad esempio� al modo di operare di chiha eseguito le misure o ad un suo errore costante di parallasse Con il metodo

��Questa non �e una sceneggiata� Cos�� come �e vero che i dati sperimentali sono statie ettivamente presi da studenti e che l�analisi gra�ca l�ho fatta io prima di veri�care i risultatial computer� �e anche vero che� in data �� aprile �� al momento di completare questoesercizio� mi sono accorto che il programma dava risultati sbagliati� in quanto dimenticavail termine di correlazione� Si trattava di un programma sviluppato da studenti durante unaborsa di collaborazione� i cui risultati erano stati testati �con eccezione delle estrapolazioni�perch�e sembrava la parte meno critica e sulle quali erano state convenute le formule dausare�

Il valore di ��y consistente con i risultati del �t dello stesso programma sarebbe dovutoessere ��mm�

��Come abbiamo gi�a fatto notare� il sistema del baricentro �e molto conveniente� in quanto� si annulla� L�espressione di ��y �e particolarmente semplice e istruttiva

��y � ��c� ! x��

��m� �

Si riconosce la combinazione in quadratura dell�incertezza dovuta all�intercetta con quelladel coe�ciente angolare �proiettata� ad una distanza jx�j dal baricentro�Siccome ��y deve essere invariante per traslazioni� antitrasformando da x� a x� otteniamo

la formula

��y ��rn

! �x� x��m ��rn

!�x� x�

Var�x

��rn

�

Si vede quindi come la previsione sull�ordinata abbia una precisione che �e massima in corri�spondenza del baricentro dei punti e si deteriora quando ci si allontana dalla regione in cuisono state e ettuate le misure�

��Naturalmente� per ottenere la massima accuratezza sulla precisione dei parametri sareb�be stato meglio misurare individualmente ciascuno dei pesetti� al �ne di ridurre �r � ma aquesto livello non ne vale la pena�


�� Altri tipi di �t ��

gra�co proposto� anche una scelta non ottimale della retta migliore producevariazioni nel risultato �tipicamente trascurabili� Questi e�etti possono esserestudiati soltanto ripetendo le misure �si ricorda che l�ideale sarebbe di poter fare la misura in condizioni di riproducibilit�a� ovvero tenendo �ssa la de�nizionedel misurando� cambiare tutto il resto�

�� Per concludere� tornando al punto �� cerchiamo di chiarire� anche con esempinumerici� il signi�cato delle diverse deviazioni standard associate alle ordinateche si incontrano e�ettuando i �t

�a� Abbiamo indicato con ��y� la deviazione standard che quanti�ca l�incertezza della previsione del valore ��vero�� di Y � per un dato valore di XCome abbiamo visto� questa incertezza �e minima in corrispondenza delbaricentro dei punti sperimentali e aumenta quando ci si allontana daesso

�b� �r �e dovuta invece alle �uttuazioni attese del singolo valore misuratointorno all�andamento medio dei punti sperimentali Si sarebbe tentati didire che essa misura le �uttuazioni dei valori delle y letti avendo �ssatoX� ma in realt�a essa tiene conto anche delle piccole �uttuazioni del valoredi Y da un valore di X all�altro

�c� C��e in�ne un�ultima deviazione standard� che chiamiamo �t�y� che tieneconto della combinazione dei due e�etti Essa risponde alla domanda��che valori di y potrei osservare se facessi l�esperimento �ssando il valoredi x�� L�incertezza sui parametri si ri�ette sul valore vero di y ed inoltrela singola misura ha un�ulteriore incertezza intorno al valore di y medioSi pu�o dimostrare che queste due incertezze si combinano� come al solito�quadraticamente�

��t �y� � ��y� ��r � ��

Facciamo due esempi�

x � �� kg � �t�y� � �� mm

x � �� kg � �t�y� � ��mm�

�� Altri tipi di �t

Dato il taglio e le dimensioni di questo scritto� �e impossibile a�rontare tuttigli aspetti dei �t� o farne una trattazione generale� Si possono incontrare leggipi�u complicate dell�andamento lineare �casi tipici sono la parabola e l�espo�nenziale�� avere incertezze �veramente� note a priori e generalmente diversefra di loro� oppure incertezze ignote e diverse fra di loro� ma modellizzabili inqualche modo�

�� Riabilitazione del computer

Quando il problema diventa pi�u complicato del semplice caso lineare che ab�biamo mostrato la trattazione quantitativa rigorosa richiede necessariamentel�uso dei minimi quadrati� possibilmente con l�ausilio di programmi al calcola�tore� Anche se alcuni dei casi possono essere trattati a mano� essi necessitanodi lunghe elaborazioni e quindi� una volta che si sa bene come comportarsi�soltanto una perdita di tempo� Ad un certo punto diventa inevitabile l�uso delcomputer� tenendo per�o conto che�


�� Rette di taratura� ��

� devono essere sotto controllo le ipotesi di lavoro del programma edbisogna essere sicuri che esse corrispondano al caso in questione�

� il programma deve fornire l�incertezza standard dei parametri e il coe��ciente di correlazione di ogni coppia di essi� sarebbe opportuno che essodia anche la deviazione standard �r ricavata dai residui� oppure il va�lore del �� fra curva e punti sperimentali� a seconda che il �t sia statoeseguito con incertezze ignote o note a priori�

� gli eventuali e�etti sistematici vanno stimati a parte� ad esempio varian�do di �� le costanti di calibrazioni e i fattori di in�uenza� combinandopoi in quadratura �se i vari contributi sono indipendenti� le variazionipropagate sui parametri�

�� Rette di taratura�

Molti avranno imparato� oltre alle rette di massima e minima pendenza� lecosiddette rette di taratura� Con esse si intendono delle rette �parallele oconvergenti � a seconda della posizione dei punti e dell�entit�a degli errori� � � �che delimitino la massima zona di piano entro la quale sono compresi i puntisperimentali�� Esse servono a risalire� in modo assolutamente empirico� dallavariabile x alla variabile y� e viceversa� propagando anche le relative incertezze�Nel caso di andamenti non lineari� le rette diventano una specie di striscia alarghezza variabile che segue i punti sperimentali�

Questa procedura di taratura artigianale� che so�re dei problemi del me�todo delle rette di massima e minima pendenza� �e sostituita� nei metodologiapi�u moderna� dal risultato del �t� Noti i parametri� con le loro incertezze ecorrelazioni� �e possibile passare facilmente da una variabile all�altra� Esempinumerici sono gi�a stati mostrati nel paragrafo �� punti � e �� In partico�lare� si faccia attenzione al signi�cato della deviazione standard della variabiledi arrivo �punto ��

��M� Severi� �Introduzione alla esperimentazione �sica�� Zanichelli� ��



�� Note sulla didattica

Probabilmente� chi ha letto attentamente gli ultimi paragra� sulle applicazionirimarr�a stupito venendo a sapere che� nella maggior parte delle esercitazioni�gli studenti del mio corso non fanno calcoli di incertezze di misura� Questascelta didattica �e basata sugli stessi presupposti a base della teoria di incertezzadi misura qui illustrata� riassunta dallo slogan �imparare dall�esperienza��e su alcune considerazioni sulla �nalit�a del corso di esercitazioni di laboratorio�

Ricordiamo che le �nalit�a del laboratorio di Fisica sono molteplici�

�� Prima fra tutte c��e � a mio avviso � l�importanza di veri�care di personadelle leggi �siche� anche se in modo approssimativo e semiqualitativo�Questo avviene� in genere� dopo che tali leggi sono state studiate dalpunto di vista teorico� ma �e anche pro�cuo far precedere l�esperienzaalla teoria� con grandi vantaggi per l�apprendimento��

�� C��e poi l�aspetto legato allo sviluppo di una certa con�denza e manualit�anell�uso degli strumenti di misura e all�apprendimento di tecniche dimisura�

�� C��e quindi la parte di interpretazione quantitativa dei risultati e divalutazione delle incertezze� sulla quale abbiamo lungamente parlato�

�� In�ne� come sintesi dei punti precedenti� si pu�o arrivare ad una piani��cazione qualitativa e quantitativa degli esperimenti�

Alla luce di questi obiettivi e della metodologia di analisi dei dati illustrata�seguono un certo numero di proposte� tutte sperimentate con successo nel miocorso�

� Gli studenti dovrebbero cominciare a frequentare il laboratorio e a ese�guire misure il pi�u preso possibile� a�rontando inizialmente sempliciesperienze� per acquisire le basi della metodologia scienti�ca �metodoe ordine nell�acquisizione dei dati� tabelle� gra�ci� prime elaborazioniquantitative� etc��

� Finch�e gli studenti non abbiano sperimentato di prima persona� ripeten�do gli esperimenti e$o confrontando fra di loro i risultati� quale sia ilsigni�cato di errore ed incertezza di misura e non abbiano imparato� inparallelo� il linguaggio per trattare le incertezze �quello della probabilit�a�non dovrebbero subire una teoria astratta su errori e incertezze� Frasidel tipo �dicesi errore � � � � dovrebbero seguire e non precedere la lorodiretta esperienza�

� Ne segue che� nelle esperienze iniziali� �e da evitare qualsiasi valutazio�ne di incertezze� al di l�a di quelle che vengono spontanee agli studentialla luce delle cifre da loro apprezzabili sugli strumenti� della sempli�ce propagazione del numero di cifre signi�cative e della constatazione

��A mio giudizio� sapere �tutto� prima di andare in laboratorio pu�o essere poco stimolantein quanto elimina l��e etto sorpresa�� Trovo spesso utile informare gli studenti soltanto sucome fare la misura ma non su quello che verr�a fuori� specialmente se il risultato pu�o esserea prima vista controintuitivo�



che� ripetendo le misure� essi ottengono generalmente risultati diversi�Trovo che sia particolarmente stimolante provocare gli studenti con do�mande del tipo �quanto ci credi�� magari ra�orzate dalla proposta discommesse coerenti con poste uguali��

� Siccome procedendo in questo modo gli studenti devono fare pochissimiconti� essi hanno pi�u tempo per ripetere le misure� sviluppando l�intuitoper le �verosimiglianze�� o per fare altre esperienze� arricchendo il campodella fenomenologia sperimentabile durante il corso�

� In parallelo gli studenti dovrebbero apprendere le basi del calcolo delleprobabilit�a �e non solo una collezione di formulette� e dell�inferenza sta�tistica� A tale scopo sono molto utili semplici esperienze di statistica oanalisi di dati simulati� a�nch�e anche l�apprendimento della teoria dellaprobabilit�a sia visto come risposta a problemi concreti e non un semplicesviluppo matematico�

� Soltanto essi quando hanno acquisito una certa esperienza di laboratorioe il linguaggio della statistica inferenziale �anche nella forma sempli�catasecondo la traccia che abbiamo qui illustrato� possono apprezzare appie�no una sistemazione pi�u formale dei termini di metrologia� delle cause dierrori e della valutazione delle incertezze� Sar�a allora molto interessanterianalizzare vecchie esperienze alla luce delle nuove conoscenze� come � adesempio� confrontare le rette calcolate con i minimi quadrati con quelletracciate a occhio ��e anche istruttivo rileggere il quaderno di laboratorioa distanza di mesi ��

� Non �e detto che una volta appreso come calcolare le incertezze di misuraessi debbano farlo sempre� o farlo sempre nella maniera pi�u rigorosa�alcune esperienze sono complicate e richiederebbero un tempo enorme�in altre sono pi�u importanti gli aspetti fenomenologici e$o strumentaliche l�analisi quantitativa rigorosa dei risultati�

Ad esempio� nelle esperienze sui circuiti elettrici l�interesse primario �equello di familiarizzarsi con la strumentazione e con l�in�uenza deglielementi circuitali� piuttosto che misurare al percento un�ampli�cazioneo uno sfasamento� Per queste esercitazioni� ogni analisi dell�incertezzache vada oltre un controllo della ragionevolezza delle cifre signi�cativepu�o essere addirittura controproducente�

Quello che �e importante �e che lo studente si senta sicuro che all�occor�renza� magari con giorni di lavoro� consultando documentazione� infor�mandosi in giro ed eventualmente sviluppando appositi programmi alcomputer� possa a�rontare un�analisi delle incertezze condotta in modoprofessionale�

��Ad esempio� dovendo stimare una temperatura ambiente� se dicono �� C si scom�mette pro� se dicono �� C si scommette contro� e cos�� via �nch�e non si converge adrisultato di indi erenza che de�nisce un�intervallo di credibilit�a al ��


�� Conclusioni ��

�� Conclusioni

Credo che non ci siano migliori conclusioni riguardo la valutazione delle in�certezze di misura che riproporre quanto a�ermato in proposito dalla GuidaISO�

�Although this Guide provides a framework for assessing uncer�tainty� it cannot substitute for critical thinking� intellectual hone�sty� and professional skill The evaluation of uncertainty is neithera routine task nor a purely mathematical one� it depends on detai�led knowledge of the nature of the measurand and of the measu�rement The quality and utility of the uncertainty quoted for theresult of a measurement therefore ultimately depend on the under�standing� critical analysis� and integrity of those who contribute tothe assignment of its value

Per quanto riguarda l�insegnamento� aggiungerei che per gli studenti la valuta�zione delle incertezze non dovrebbe essere una vessazione� essendo molteplicile �nalit�a delle esercitazioni di laboratorio�


�� Nota biblioga�ca �

�� Nota biblioga�ca

Per una introduzione generale sulla probabilit�a soggettiva si pu�o consultare laraccolta di articoli pubblicata sotto il titolo di Probabilit�a e giochi d�azzardo!�"�Un buon libro che illustra per esteso i molti aspetti del �ragionare bayesiano� �equello di C� Howson and P� Urbach!�"� Su di esso �e basato l�articolo su Naturedegli stessi autori!�"� Passando a testi veri e propri� si raccomanda quello diRomano Scozzafava! " e� per chi vuole approfondire lo studio� il classico duevolumi di Bruno de Finetti!�"� Un�introduzione meno formale!�� "� ma pi�uvicina alle applicazioni sulle incertezze di misura� �e disponibile sotto forma didispense presso il Dipartimento di Fisica�

Per quanto riguarda l�introduzione alla metodologia di laboratorio consi�stente con quanto illustrato qui si rimanda ad altre dispense!�"� mentre perchi vuole saperne di pi�u sulla teoria sulle incertezze di misure qui presentatasi consiglia la lettura di due note!�� " disponibili anche su internet� Per leformule relative ai �t si consigliano altre dispense!��" o il Barlow!��"� In�ne�si noti come non ci siano ulteriori referenze riguardo ad alcune delle tecnichepresentate �come l�analisi gra�ca degli andamenti lineari e la trattazione sem�pli�cata delle incertezze dovute ad errori sistematici� compreso il caso dei �t�in quanto questa �e la prima volta che esse compaiono in forma scritta�

La Guida ISO!��" a cui abbiamo fatto pi�u volte riferimento �e consultabilepresso la biblioteca di Dipartimento�

In�ne� chi �e interessato al tipo di esercitazioni che svolgono gli studenti delmio corso pu�o procurarsi la raccolta dei �foglietti�!��" che vengono distribuitiagli studenti�

Riferimenti bibliogra�ci

!�" D� Costantini e P� Monari �curatori�� Probabilit�a e giochi d�azzar�do�� Franco Muzzio Editore� �� Si vedano� in particolare� i contri�buti di U� Garibaldi� L� Vianelli �interessante anche i molti rimandibibliogra�ci� e G� Dall�Aglio�

!�" C� Howson and P� Urbach� �Scienti�c reasoning � the Bayesianapproach�� Open Court� Chicago and La Salle� ��

!�" C� Howson and P� Urbach� �Bayesian reasoning in science�� Nature�Vol� � � � April �� pag� ��

!�" B� de Finetti� �Theory of probability�� J� Wiley % Sons� ��

! " R� Scozzafava� �La probabilit�a soggettiva e le sue applicazioni�� Masson�editoriale Veschi� Roma� �� Per una introduzione a livello pi�u ele�mentare si raccomanda anche �Primi passi in probabilit�a e statistica��Decibel$Zanichelli� ��

!�" G� D�Agostini� �Probabilit�a e incertezze di misura � Parte �� dal con�cetto di probabilit�a ai problemi di probabilit�a inversa�� Dispense delDipartimento di Fisica� Dicembre ��


RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI ��

!�" G� D�Agostini� �Probabilit�a e incertezze di misura � Parte � va�riabili casuali�� Dispense del Dipartimento di Fisica �disponibileprossimamente��

!�" G� D�Agostini� �Laboratorio virtuale � Introduzione alla metodologia dilaboratorio�� Dispense del Dipartimento di Fisica� Ottobre ��

!�" G� D�Agostini� �Probability and measurement uncertainty in Physics� a Bayesian primer�� Nota Interna del Dipartimento di Fisica ��Dicembre �� anche DESY�� e hep�ph$� �� http�$$www�zeus�desy�de$zeus papers$desy papers�html��

!�" G� D�Agostini� �A theory of measurement uncertainty based on con�ditional probability�� Nota Interna del Dipartimento di Fisica ��Novembre �� physics$��http�$$xxx�lanl�gov$ps$physics$��

!��" G� D�Agostini� �Introduzione alla elaborazione statistica dei dati spe�rimentali�� Dispense del Dipartimento di Fisica� Ottobre �� possi�bilmente la versione con �contenuto ridotto�� essendo la prima partesostituita dalle dispense !�" e !�"��

!��" R�J� Barlow� �Statistics�� John Wiley % Sons� ��

!��" International Organization for Standardization �ISO�� Guide to theexpression of uncertainty in measurement�� Geneva� Switzerland� ��

!��" G� D�Agostini� �Raccolta dei promemoria per le esercitazioni di la�boratorio del corso di �Fisichetta� per Chimici M�Z�� Dispense delDipartimento di Fisica� Maggio ��


A Capacit�a di interpolazione fra le tacche e incertezza di lettura ��

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

A B C D E F G H I J

K L N O P Q R S TM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Figura �� Esercizio di lettura dei decimi di divisione� Le soluzioni sono riportatenel paragrafo F�

A Capacit�a di interpolazione fra le tacche e incer�tezza di lettura

Mostriamo ora una semplicissima misura legata alla questione della liceit�a dileggere il valore indicato da uno strumento stimando un valore fra le tacchedi una scala analogica� Uno strumento che si presta bene per tale scopo �e ilcalibro ventesimale�

L�esperienza consiste nel posizionare a caso il cursore e nello stimare al me�glio il valore misurato coprendo il nonio �eccetto la prima tacca� ovviamente��Il valore stimato viene riportato in una tabella� Servendosi poi dell�informa�zione del nonio si scrive il valore letto sulla seconda colonna ��e preferibile chela lettura del nonio sia e�ettuata da un�altra persona�� Le di�erenze fra idue numeri� opportunamente elaborate statisticamente a tempo debito� for�niranno una stima quantitativa dell�incertezza di interpolazione fra le tacche�La tabella � riporta i dati sperimentali ottenuti da studenti alla loro primaesercitazione �in qualche modo i risultati daranno una stima pessimistica dellacapacit�a di interpolazione��

La �gura �� permette al lettore di valutare rapidamente la propria capacit�adi interpolazione senza dover eseguire l�esperienza con un calibro vero�

A� Errore ed incertezza di misura �commento all�esperienzadi interpolazione fra le tacche�

L�esperienza appena descritta illustra molto bene i concetti di errore e diincertezza di misura� gi�a introdotti a livello intuitivo e sui quali si torner�a in


A� Errore ed incertezza di misura �commento all�esperienza di interpolazione fra letacche� ��

LT PPi lS lN � lS lN ��

CP SMi lS lN � lS lN ��

CU LPi lS lN � lS lN ��

FN AMi lS lN � lS lN ��

Tabella �� Dati sperimentali relativi alla capacit a di interpolazione fra le tacchedi alcuni studenti �identi�cati dalle iniziali del nome� alla prima esercitazione dilaboratorio� lS e il valore stimato interpolando a occhio e lN il valore letto sulnonio� Tutti i valori sono in millimetri� Il valore in grassetto e sospetto� sembrapi u un errore di scrittura che di valutazione�


B Tempo di reazione e misure di cronometraggio ��

termini pi�u formali nel seguito�La di�erenza fra i valori stimati e quelli letti al nonio rappresenta l�errore

di stima che si commette di volta in volta� in quanto il valore letto al nonio�e in buona approssimazione �quello vero�� Dalla conoscenza di questi erroritipici �da meglio de�nire� si pu�o risalire all�incertezza della misura derivantedalla sola stima� Consideriamo alcuni casi particolarmente istruttivi�

�� Supponiamo di sapere che l�ipotetica persona A �nessuna di quelle dellatabella �� si sbaglia �in media� di �� cm sia in pi�u che in meno� Sein una misura succesiva e�ettuata in condizioni analoghe lui stimer�a�� cm� quanto si creder�a a questa a�ermazione Ragionevolmente sitender�a a credergli �entro ��cm��

�� Immaginiamo invece che l�altrettanto ipotetica persona B tenda in mediaa sovrastimare le lunghezze di �� cm e che la dispersione degli erroriintorno a questo errore sistematico medio sia soltanto di �� cm� Secostui stimer�a � �� cm chiaramente si tender�a a credere che il valorevero sia �entro �� cm� intorno a � �� cm� avendo corretto la sua stimaper l�errore medio�

�� Supponiamo che sei persone che si comportino come A stimino �� cm� Chiaramente� non essendoci nessunmotivo per ritenere qualcuna di queste stime pi�u o meno giusta delle altresi tender�a a pensare che �in medio stat virtus�� E �n qui va bene� Per�ose si prova a stimare l�ampiezza dell�intervallo entro cui si pu�o credereche il valore vero sia compreso� l�intuizione potrebbe dare una risposta��entro �� cm�� ben lontana da quella corretta ��entro �� cm�� Perarrivare a queste conclusioni bisogner�a prima aver imparato che le stimemedie e�ettuate indipendentemente da � persone equivalenti sbaglianomediamente di un fattore ��

p� in meno della stima di ciascuna delle

persona�

�� Supponiamo di porci nelle condizioni �� ma di sapere che lo strumentousato non �e calibrato perfettamente� ma che pu�o essere scalibrato media�mente dello � #� in pi�u o in meno� Ci�o signi�ca che� anche se la letturafosse perfetta� si creder�a al risultato entro �� cm� Quindi l�incertezzadovuta all�errore di lettura di �� mm diventa trascurabile� E� anchechiaro che non ha nessun senso fare medie fra pi�u letture o sforzarsi dileggere al meglio quando si �e coscienti di una incertezza �inevitabile� diquesto tipo�� Se questa incertezza �e intollerabile per le misure che sivogliono fare bisogna ricalibrare lo strumento o procurarsene un altromigliore�

B Tempo di reazione e misure di cronometraggio

Semplici misure complementari a quelle descritte nel paragrafo precedentepermettono di valutare l�errore che lo sperimentatore introduce nelle misure

��Questa limitazione cade se si e ettuano misure su grandezze �siche aventi valori prossimifra di loro e siamo interessati soltanto alle loro di erenze�



Tempi di ri�essi �ms�� G�D��

Tempi di ri�essi �ms�� D�P��

Periodo del pendolo �s�� G�D��

Periodo del pendolo �s�� D�P��

Tabella � Due situazioni di misure manuali di tempo� tempo di ri�esso e cronometraggio applicato a misure del periodo del pendolo� La costanza del periododurante le due serie di misure e stata monitorata con un cronometro elettronico�il quale ha sempre misurato �� s�

manuali di tempo� Queste permetteranno di valutare le incertezze su misureeseguite in condizioni analoghe�

Il primo esperimento consiste nel misurare il tempo di reazione fra la com�parsa di un segnale luminoso sul monitor di un computer e l�istante in cui vienepremuto un tasto� Il secondo consiste nel misurare molte volte il periodo diun pendolo che e�ettua piccole oscillazioni� La costanza del periodo durantele misure viene controllata con un sistema elettronico� I dati sono riportati intabelle e si riferiscono a due persone�

Chiaramente le situazioni di tempo di reazione �e diversa da quella di cro�nometraggio� Mentre nella prima c�e� un ritardo medio rispetto allo stimolocon �uttuazioni che a volte possono diventare anche grandi a causa di piccoledistrazioni� nel secondo caso si hanno �uttuazioni positive e negative rispettoal tempo �vero�� Inoltre nel secondo caso si combina una �uttuazione sullostart e una sullo stop�

C Distribuzioni triangolari

Quando la variabile casuale �e de�nita in un certo intervallo� ma ci sono delleragioni per ritenere che i gradi di �ducia decrescano linearmente dal centro �x��verso gli estremi si ha la cosiddetta distribuzione triangolare �o di Simpson��Anch�essa �e molto utile per il calcolo delle incertezza di misura� in quanto inmolte circostanze� questo modello pu�o essere pi�u realistico di quello uniforme�

Se la variabile pu�o veri�carsi con sicurezza nell�intervallo x� �� il valore



xo

f(x)

x

xo

Figura �� Esempio di distribuzione triangolare simmetrica e asimmetrica�

atteso �e x� e la deviazione standard vale

� ��p

��

I conti vengono lasciati per esercizio�C��e un�altra distribuzione triangolare che pu�o avere interessi pratici� il

valore al quale si crede di pi�u �e x� e i gradi di �ducia decrescono linearmenteverso gli estremi a e b� ma x� non corrisponde con il centro dell�intervallo�Chiamando

�� b� x� � ��

�� x� � a � � ��

si ottengono i seguenti risultati per valore atteso e varianza

E�X� � x� ��

��

��

� � ��

��

le cui dimostrazioni vengono lasciate come esercizio�Quando �� si riottengono le formule del caso precedente� E�

interessante inoltre notare che� se la di�erenza fra �� e �� e piccola si ottieneuna deviazione standard circa pari a quella ottenibile con un valore intermediofra i due�

� � �p�

��p�

��

��

come pu�o essere veri�cato mediante una espansione in serie della � ��Un sottocaso particolare della triangolare asimmetrica �e quando uno dei

due � �e nullo ed il triangolo diventa rettangolo� Questa distribuzione pu�omodellizzare gradi di �ducia che decrescono linearmente in un certo intervallo�Ad esempio� ci possono essere delle ragioni per ritenere che una grandezzade�nita non negativa valga molto verosimilmente e che comunque non debbaeccedere un certo valore a� si ottiene una previsione di a�� a��

p��


D Teorema del limite centrale ��

D Teorema del limite centrale

Ricordiamo brevemente quanto a�erma il teorema del limite centrale� la com�binazione lineare di n variabili indipendenti �Y �

Pni�� iXi� tende ad essere

distribuita normalmente� con �y �Pn

i�� i�xi e ��y �Pn

i�� i �

�xi

� quando

n�� se� a� le �xi sono �nite� b� ��i ��xi� ��y per ciascuna variabile Xi non

distribuita normalmente� �Un altro modo di esprimere la seconda condizione�e che le �xi devono essere dello stesso ordine di grandezza e solo variabili gi�adistribuite normalmente possono fare eccezione� non �e invece necessario chesiano dello stesso ordine di grandezza anche le �xi � in quanto eventuali costantiadditive non in�uenzano la distribuzione��

Si noti che il teorema non dice niente sul numero minimo di componentinecessarie a�nch�e esso sia valido� Dipende dalle distribuzioni delle Xi� Adesempio� nel caso di variabili aventi la stessa distribuzione uniforme �e su�cien�te n � �� a�nch�e l�approssimazione sia ragionevole ��e molto convincente la�gura �� che pu�o essere reinterpretata� a parte un fattore n come la distribuzio�ne della media�� Se le distribuzionioni hanno invece un massimo centrale sonosu�cienti �� componenti �si noti come � triangolari di uguale � equivalgono a� uniformi�� Siccome nelle applicazioni alle incertezze di misura le variabili dipartenza sono spesso �quasi gaussiane� la convergenza �e generalmente moltorapida��

E Deviazione standard della media aritmetica

Se si hanno n variabili indipendenti Xi� tutte con la stessa distribuzione di pro�babilit�a� avente valore atteso � e deviazione standard ��X�� la nuova variabilecasuale media aritmetica

Xn ��

n

nXi��

Xi

ha valore atteso � e deviazione standard

��Xn� ��X�p

n�

Questo �e un risultato generale che segue dalla propriet�a della varianza di unacombinazione lineare di variabili casuali�

Inoltre� quando n �e �abbastanza grande�� la distribuzione della media �enormale� in virt�u del teorema del limite centrale�

Si possono pensare molti semplici esperimenti per �provare� queste leggidella probabilit�a �in realt�a non si �prova� un bel niente� al pi�u si osservanorisultati compatibili con esse�� Ne proponiamo due�

E� Stime di segmenti alla lavagna

Questa prima esperienza �e molto semplice ed istruttiva� Si tracciano dei seg�menti alla lavagna� orientati disordinatamente e di varie lunghezze �ad esempio

��Come controesempio si immagini di avere un milione di variabili indipendenti� aventidistribuzione poissoniana con � � �� La somma delle variabili �e ancora poissoniana� con� � �� ben lontana da una gaussiana �in questo caso servono �� milioni di contributi�


E� Media di valori distribuiti uniformemente ��

da � a cm circa�� A�anco a ciascuno si scrive la sua lunghezza� misuratacon un righello� Successivamente si disegna un segmento di lunghezza incogni�ta e si chiede agli studenti di indovinarne la lunghezza e di registrare il valorestimato sul quaderno� Si istogrammano quindi alla lavagna i valori ottenutise ne calcola la media �o si stima ad occhio il baricentro della distribuzionestatistica�� Ripetendo l�esperimento pi�u volte si noter�a la grande di�erenzafra gli errori tipici del singolo studente e quello della media della classe� Sipu�o anche notare un miglioramento della capacit�a di previsione degli studentinel corso delle misure� come risultato del processo di autocorrezione�

Sar�a poi simpatico raccontare che questo era il metodo usato secoli fa dagliartiglieri per stimare la distanza del bersaglio� chiedendo l�opinioni dei soldatie mediando le stime�

Questo esercizio �e molto utile per introdurre il discorso sull�inversione dellaprobabilit�a proponendo domande del tipo� �quanto si pu�o credere al valorestimato da uno studente�� quanto si pu�o credere al valore attenuto mediandotutte le stime�

E� Media di valori distribuiti uniformemente

Un�altra esperienza molto semplice consiste nell�utilizzare i numeri casualidella calcolatrice �tasto RAN'� RNDM� o simili�� Si possono estrare n numericasuali �ad esempio n � � gi�a pu�o essere su�ciente� e mediarli� Ripetendotante volte � �� questa procedura si pu�o fare alla �ne la medie delle medie�per la quale ci si aspetta il valore � � e la deviazione standard delle medie�per la quale ci si aspetta ��

pn�� Con una classe numerosa di studenti si

possono mettere su un unico istogramma tutte le medie� la curva somiglier�aad una gaussiana �

F Soluzione dell�esercizio di interpolazione fra letacche

Questi sono i valori riletti� mediante lente d�ingrandimento dotata di scalagraduata� su una stampa di qualit�a standard� A� �� B� �� C� �� D� �� E� �� F� �� G� �� H� �� I� �� J� �� K� �� L� �� M� �� N� �� O� �� P� �� Q� �� R� �� S� �� T� ��

E�etti dovuti a quantizzazioni di stampa potrebbero causare piccoli scarti�� cm� da questi valori che per�o non alterano la sostanza dell�esercizio�

Quanto vale il tuo errore quadratico medio di lettura

�Qualcuno potrebbe parlare di �dimostrazione sperimentale� della propriet�a delle medie�Ma a rigore questa non �e una dimostrazione� Meglio parlare di �accordo con le previsioni��E� vero per�o che questo accordo serve a ra orzare la convinzione che le valutazioni a priorisiano corrette�


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