SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI di un Polinomio

Programma svolto al primo anno del liceo artistico 2009/2010 da Cotroni Grazia

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Che cosa significa “scomposizione”?

Scomporre un polinomio significa esprimerlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore

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Come faccio a scomporre

in fattori un polinomio?

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Ripassiamo i prodotti notevoli

NOME TIPO SVILUPPO

Quadrato di un

binomio ( a + b )2

a2 + 2ab + b2

Somma per

differenza

( a + b ) ( a – b ) a2 – b2

PROSEGUIAMO

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• Vedo se c’è da raccogliere un fattore comune fra tutti i monomi, cioè faccio il:RACCOGLIMENTO TOTALE

PRIMA DI TUTTO…

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Racccoglimento a fattor comune

o raccoglimento totale Quando tutti i termini di un polinomio hanno un divisore comune, questo può essere messo in evidenza. In generale si cerca di prendere come fattore comune il M.C.D. fra i termini in modo da mettere in evidenza tutto ciò che è possibile. In questo modo si esegue una scomposizione del polinomio perché lo si scrive come prodotto di due fattori.

Es. aax + aay + aaz = a a(x + y + z)

Es. 15 x2y – 9xy2 + 3xy = 3xy3xy(5x – 3y + 1)

Es. x(a+b) - 2a(a+b) +3y(a+b)=(a+b)(a+b)(x – 2a + 3y)

ritorna

in questo caso i coefficienti sono tutti divisibili per 3 poi tutti hanno la x e la y

in questo caso tutti hanno in comune la stessa parentesi (a+b)

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RACCOGLIMENTO TOTALE:raccolgo l’ M.C.D. dei monomi

3a3a22b - 5ab - 5a33bb4 4 + a+ a44bb6 6 ==

aa22bb ( 3 - 5ab( 3 - 5ab3 3 + + 4a4a22bb5 5 ))

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Raccoglimento parziale A volte non è possibile eseguire un raccoglimento a fattor comune perché non c’è un divisore comune a tutti i

monomi. In alcuni casi, però, ci si può ricondurre a una situazione di

questo tipo eseguendo prima dei raccoglimenti con gruppi di monomi.

Es. 22a + 22b + axx + bxx

I primi due monomi hanno in comune 22 che si può mettere in evidenza, mentre gli altri due hanno in comune xx, per cui 2(a + b) + x(a + b) E poiché le due parentesi sono uguali, tale espressione si può mettere in evidenza, raccogliendo a fattor comune (a + b)(2 + x) Quindi 2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)

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RACCOGLIMENTO PARZIALE

10a10a33b + 2xb - 5ab + 2xb - 5a3 3 – x – x ==

5a5a3 3 ( b – 1 )( b – 1 ) + 2x + 2x ( b - 1)( b - 1) ==

( b – 1 )( b – 1 )( 5a( 5a3 3 + + 2x )2x )

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Conto quanti monomi costituiscono il polinomio ed eventualmente cerco di riconoscervi qualche prodotto notevole

• BINOMIO

• TRINOMIO

ALTRIMENTI

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Binomi

• Differenza di due quadratiDifferenza di due quadrati A2 – B2 = (A-B)(A+B)

• Somma di due quadratiSomma di due quadrati A2 + B2 : è indecomponibile

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Differenza di due quadrati Se un binomio è costituito dalla differenza di

due monomi, o di due espressioni, che sono dei quadrati, per scomporlo basta individuare le basi dei due quadrati ed indicare il prodotto della loro somma per la loro differenza.

Es. x2 – 4y2

Basi:(x) (2y) si scompone come somma per differenza quindi x2 – 4y2 = (x + 2y)(x – 2y) Es. 25x4 – 16y6

(5x2) (4y3) Quindi 25x4 – 16y6 = (5x2 + 4y3)(5x2 - 4y3)

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Trinomi Sviluppo del quadrato di un binomioSviluppo del quadrato di un binomio : A2±2AB+B2 = (A±B) 2

Trinomio particolare di secondo gradoTrinomio particolare di secondo grado: b1) primo tipo:b1) primo tipo:

x2 + sx + p = (x +a )( x+b ) dove s = a+b e p= ab ;

es. x2 – 5x +6 = ( x-2 )( x-3 )

infatti è -5 =-2-3 e +6 = (-2)(-3)

b2) secondo tipo: b2) secondo tipo:

ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn.

Il polinomio si scrive a x2 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale. Es 3x2 -7x +4 = 3 x2 -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = raccogliamo (x-1) e abbiamo (x-1)(3x-4);

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Quadrato di un binomio è un trinomio formato da:è un trinomio formato da:

due quadratidue quadrati e dal e dal doppio prodottodoppio prodotto delle delle basi basi

16a16a44 + + bb22 - - 8a8a22bb = =

(4a(4a22 - b) - b)22

Es. 4x2 – 12xy + 9y2 =

basi: (2x) (3y)

Quindi 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2Questo termine non scompare, va

dentro il quadrato!

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Trinomio particolare primo tipo

Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha:

Grado due rispetto a quella lettera Coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 Coefficiente del termine di primo grado che può

essere espresso come somma di due numeri a e b Termine noto uguale al prodotto degli stessi numeri a

e b quindi del tipo: x2 + (a+b)x + ab= si scompone come (x + a)(x + b) Infatti è x2 + (a+b)x + ab = x2 + ax + bx + ab = x(x+a) + b(x+a) = (x + a)(x + b)

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Esempio trinomio primo tipo

Esercizio: x2 -5x + 6= Cerco due numeri che moltiplicati danno +6 e

sommati danno +5. Parto dal prodotto e considero tutte le possibilità

Una volta trovati i due numeri scriverò al posto del -5 x2 +(-3-2)x+6= x2 -3x-2x + 6= e farò il raccoglimento parziale x(x-3)-2(x–3)= (x-3)(x-2)

+6·+1-6 ·-1+3 ·+2-3·-2

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Trinomio particolare secondo tipo

Un polinomio di tre termini ordinato secondo le potenze di una certa lettera che ha:

Grado due rispetto a quella lettera Coefficiente del termine di primo grado che può essere

espresso come somma di due numeri Il termine noto per il coefficiente del termine di grado

massimo uguale al prodotto degli stessi numeri quindi del tipo: ax2 +bx + c dove b = m+n e ac=mn.

Il polinomio si scrive a x2 +mx + nx +c quindi si applica il raccoglimento parziale.

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Es 3x2 -7x +4 = devo trovare due numeri che

moltiplicati danno +12 e sommati danno -7.

Scrivo tutte le possibilità

3x2 -3x -4x+4= 3x(x-1) -4(x-1) = raccogliamo (x-1) e abbiamo (x-1)(3x-4);

Trinomio particolare secondo tipo

+12· +1-12 · -1+6 · +2-6 · -2-3 · -4+3 · +4

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Riassunto programma svolto sulla scomposizione

BinomioDifferenza di quadrati a2 – b2

Somma di quadrati a2 + b2

Trinomio

Sviluppo quadrato di un binomio a2 +2ab+ b2 oppure a2 -2ab+ b2

Trinomio particolarex2 + (a+b)x + ab= oppure ax2 +bx + c

Quadrinomio

vedi se c’è un raccoglimento parziale

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