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Prof. Marco La Fata

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Scomposizione in fattori di un polinomio Prof. Marco La Fata Le tecniche per scomporre un polinomio in fattori sono molte, ma vediamo i più comuni: Raccoglimento a fattor comune Questo procedimento è chiamato “mettere in evidenza” o raccogliere i fattori comuni Es. Scomporre il polinomio 3xy+ 9ax I due termini hanno in comune 3x ( che è il loro M.C.D. ) che si mette in evidenza: 3x y+3a( )

Es. Scomporre il polinomio 4a2x2 −8ax3 + 2a2x − 6ax I quattro termini hanno in comune 2ax ( che è il loro M.C.D. ) che si mette in evidenza 2ax 2ax − 4x2 + a−3( ) Scomponi i seguenti polinomi

• 8x2y− 2x = • 6xy2 − 4x2 +10xy = • 3a x + y( )− b x + y( ) = • 8a4b2 + 4a3b2 + a2b2 = • a+ b( ) x2 − a+ b( ) y2 + a+ b( ) = • a5 −3a2 + 4a2b = • x3 − 2x2 + 6x = • a2x2 + ax4 + a2x3 = • 3a2 − 9ab+12a = • x a− b( )+ a− b( ) = • 4x + 7( )− a 4x + 7( ) = • 2− 5y( )+3a 2− 5y( ) =

• a+ b( )2 +3 a+ b( ) = • a x −1( )+ b x −1( ) =

Scomporre in fattori un polinomio significa trasformare il polinomio, che è una somma algebrica di monomi, nel prodotto di fattori con il

grado più basso possibile.

Se tutti i termini del polinomio hanno uno o più fattori in comune, si applica “ al contrario “ la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e si scrive il polinomio come moltiplicazione dei fattori comuni per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio per

tali fattori

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Raccoglimento parziale a fattore comune Quando non è possibile il raccoglimento totale fra tutti i termini, si può tentare di raccogliere in maniera parziale e successivamente effettuare un raccoglimento totale. Es. Scomponi in fattori il polinomio: ab+ b+3a+3= Osserviamo che la lettera b compare solo nel primo e nel secondo termine e il numero 3 nel terzo e nel quarto. Raccogliamo quindi b nei primi due termini e 3 negli ultimi due: b a+1( )+3 a+1( ) = Raccogliamo ancora a+1( ) : a+1( ) b+3( ) Es. Scomponi in fattori il polinomio: ax + bx − ay− by Possiamo mettere in evidenza x nei primi due termini e – y negli ultimi due : a+ b( ) x − y a+ b( ) = Raccogliamo ancora a+ b( ) : a+ b( ) x − y( ) Es. Scomponi in fattori il polinomio: ax + ay− x − y = Nei primi due termini mettiamo in evidenza la a; nel terzo e nel quarto termine mettiamo in evidenza il segno meno a x + y( )− x + y( ) = Raccogliamo ancora x + y( ) x + y( ) a−1( ) Scomponi i seguenti polinomi • ax + bx + ay+ by+ 2a+ 2b = • 4xy+ 6y+10x2 +15x • 6ax −8by−3a+ 4b = • ax + 2x +3a+ 6 = • 3x + 6− ax − 2a = • 5ax + 5bx + ay+ by = • ax + x + a2 + a = • x3 + x2 + x +1= • 2ax + 2x − ay− y = • 2ax2 + 2ax − x −1= • ax − ay+ x − y = • ab− a− 2b+ 2 = • ax − 2bx − a+ 2b = • x −1− ax + a = • 3x3 − 6x2 + 5x −10 = • 3a−3b− a2 + ab+ ay− by = • ax − 2y+ 2y− ay =

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Differenza di due quadrati Se il polinomio è la differenza di due quadrati, si possono ricavare i due fattori applicando “ al contrario” il prodotto notevole della somma di due monomi per la loro differenza

a2 − b2 = a+ b( ) a− b( ) Attenzione: La somma di due quadrati, del tipo a2 + b2 , non si può mai scomporre in fattori. Sono irriducibili i binomi come a2 +1; y2 + 4 ; … Es. 4x2 − 25y2 = 2x + 5y( ) 2x − 5y( ) Differenza di due quadrati = Somma per differenza

Es. a2 − 4b2 = a+ 2b( ) a− 2b( ) Scomponi i seguenti polinomi:

• b2 − 9x2 = • x4 − y4 = • x2 −1= • a2b4 − 9c4 = • 4b2 −81= • x4 − 49 =

• 9x2 − 116

y2 =

• 14x2 −1=

• 1681x4 − 49 =

• 125x8 − 1

9

• x8 −1=

• 116

− x4 =

• a4b4 −1=

• 1− 1625y2 =

• 649x2 −100

49y2 =

• 9− x2y2 = • 4x4 − 9y4 =

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Trinomio scomponibile nel quadrato di binomio: Se il polinomio ha tre termini ( trinomio ) di cui due sono quadrati e l’altro è il giusto doppio prodotto , si applica “ al contrario” il prodotto notevole del quadrato di binomio: a2 + 2ab+ b2 = a+ b( )2 Quadrato doppio prodotto Quadrato Es. Scomponi in fattori il seguente trinomio: E’ un trinomio: 4x2 +12xy+ 9y2 quadrato di 2x quadrato di 3y doppio prodotto di 2 ⋅ 2x( ) ⋅ 3y( ) Es. Scomponi in fattori il seguente trinomio: E’ un trinomio: 9x2 − 6x +1 = 3x −1( )2 quadrato di 3x quadrato di 1 doppio prodotto di 2 ⋅ 3x( ) ⋅ 1( ) Scomponi i seguenti polinomi:

• a4 − 2a2b2 + b4 =

• 6a4 − 6a2b+ b2 = • 4a2 − 20ab+ 25b2 = • 9a2 − 42ab+ 49 = • x4 − 6x3y+ 9x2y2 = • 36x2 −12xy+ y2 = • 16a6 +8a3 +1= • a6 − 2a3b5 + b10 = • a2 +8ax +16x2 = • 4x2 + 9−12x = • 25a4b2 −10a2bc2 + c4

• 14a2 + 1

3ab+ 1

9b2

• a4 − 32a2x + 9

16x2 =

Attenzione: I quadrati devono essere

sempre positivi

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Polinomio scomponibile nel quadrato di un trinomio. Se il polinomio ha sei termini, di cui tre sono quadrati positivi e tre sono gli esatti doppi prodotti, si applica “al contrario” il prodotto notevole del quadrato di un trinomio. a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc =

tre quadrati tre doppi prodotti

= a+ b+ c( )2

Es. Scomporre il polinomio a2 + 9b2 + 4c2 − 6ab− 4ac+12bc

Il polinomio ha sei termini di cui i primi tre sono quadrati : a2 = a( )2 ; 9b2 = 3b( )2 ; 4c2 = −2c( )

2

Gli altri tre sono i giusti doppi prodotti: 2 a( ) −3b( ) ; 2 a( ) −2c( ) ; 2 −3b( ) −2c( ) Quindi : a2 + 9b2 + 4c2 − 6ab− 4ac+12bc = a−3b− 2c( )2

Es. Scomporre il polinomio 25x2 + y2 +1+10xy−10x − 2y

Il polinomio ha sei termini di cui i primi tre sono quadrati : 25x2 = 5x( )2 ; y2 = y( )2 ; 1= 1( )2

Gli altri tre sono i giusti doppi prodotti: 2 5x( ) y( ) ; 2 5x( ) −1( ) ; 2 y( ) −1( )

Quindi : 25x2 + y2 +1+10xy−10x − 2y = 5x + y−1( )2

Scomponi i seguenti polinomi:

• 4x2 + y2 + z2 + 4xy+ 4xz+ 2yz = • a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc = • a2 + 4b2 + x2 − 4ab+ 2ax − 4bx = • a4 + b2 + c4 + 2a2b− 2a2c2 − 2bc2 = • a8 + a2 + 4+ 2a5 − 4a4 − 4a = • 16a2 + 9a4b2 + 4b4 + 24a3b−16ab2 −12a2b3 = • 9x4 +16a2x2 + a6 − 24ax3 − 6a3x2 +8a4x =

• a2 + 14b2 + 4c2 − ab− 4ac+ 2bc =

• 94x2 + x2y2 + 4y4 +3x2y+ 6xy2 + 4xy3 =

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Quadrinomio scomponibile nel cubo di binomio:

Se il polinomio ha quattro termini, di cui due sono cubi e due sono gli esatti tripli prodotti, si applica “ al contrario “ il prodotto notevole del cubo di binomio.

Tripli prodotti

a3 +3a2b+3ab2 + b3 =

Cubi = a+ b( )3

Es. Scomporre il polinomio 27x3 − 54x2 +36x −8 Il polinomio ha quattro termini di cui il primo e l’ultimo sono cubi : 27x3 = 3x( )3 ; −8 = −2( )3

Gli altri due sono i giusti tripli prodotti : −54x2 = 3 3x( )2 −2( ) ; +36x = 3 3x( ) −2( )2

Quindi : 27x3 − 54x2 +36x −8= 3x − 2( )3

Es. Scomporre il polinomio 8x3 −12x2 + 6x −1

Il polinomio ha quattro termini di cui il primo e l’ultimo sono cubi : 8x3 = 2x( )3 ; −1= −1( )3

Gli altri due sono i giusti tripli prodotti : −12x2 = 3 2x( )2 −1( ) ; +6x = 3 2x( ) −1( )2

Quindi : 8x3 −12x2 + 6x −1 = 2x −1( )3 Scomponi i seguenti polinomi:

• 27a3x3 + 27a2x2 + 9ax +1=

• 8−12a+ 6a2 − a3 =

• 27x3 + 54x2 +36x +8 =

• x3y3 − 6x2y2 +12xy−8 =

• a6b3 − 6a4b2 +12a2b−8=

• a9 − 6a6b2 +12a3b6 −8b9 =

• −a3 +3a2b−3ab2 + b3=

• 1+3x2 +3x4 + x6 =

• 8x3 −12x2 + 6x −1=

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• Scomposizione del trinomio notevole Chiamiamo trinomio notevole o trinomio particolare un polinomio nella forma :

x2 + A+B( ) x + A ⋅B Dove A e B sono due numeri. Il trinomio notevole è:

• Di secondo grado rispetto ad una lettera; • Ha il primo coefficiente, cioè il coefficiente di x2 sempre uguale a 1; • Ha il secondo coefficiente, cioè il coefficiente di x uguale alla somma di due numeri A e B; • Ha il terzo coefficiente, cioè il termine noto, uguale al prodotto dei due numeri A e B;

Es. Scomporre il polinomio x2 − 5x −14 Dobbiamo trovare, per tentativi, due numeri la cui somma sia −5( ) e il cui prodotto sia −14( ) cioè:

x2 − 5x −14 somma prodotto S = −5P = −14"#$

i due numeri sono : +2( )e −7( )

Quindi la scomposizione sarà: x2 − 5x −14 = x + 2( ) x − 5( )

Es. Scomporre il polinomio a2 + 5a+ 6 Dobbiamo trovare, per tentativi, due numeri la cui somma sia +5( ) e il cui prodotto sia +6( ) cioè: S = +5P = +6!"#

i due numeri sono: +2( )e +3( )

Quindi la scomposizione sarà: a2 + 5a+ 6 = x + 2( ) x +3( ) Scomponi i seguenti polinomi:

• x2 + 9x +8= • x2 − 9x +8 = • x2 − 7x +10 = • a2 −8a+15= • x2 −15x +36 = • x2 −11x +30 = • a2 − a− 20 = • x2 −10x +16 = • a2 −15a−16

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Scomposizione con la regola di Ruffini Se con i metodi precedenti non si riesce a scomporre il polinomio, si può tentare di utilizzare la regola di Ruffini, secondo il procedimento descritto nell’esempio. Es. Scomporre il polinomio x3 − 6x2 + 4x +1 Si considerano tutti i divisori del termine noto +1: essi sono : ±1 Per tentativi si controlla se uno di essi, sostituito alla x nel polinomio, lo annulla:

Sostituiamo −1( ) P −1( ) = −1( )3− 6 −1( )2 + 4 −1( )+1= −1− 6− 4+1= −10 ≠ 0

Sostituiamo +1( ) P +1( ) = +1( )3− 6 +1( )2 + 4 +1( )+1= +1− 6+ 4+1= 0

Poiché P +1( )= 0, il polinomio è divisibile per x −1( ) Usando lo schema della divisione di Ruffini, si esegue la divisione 1 -‐6 +4 +1 +1 +1 -‐5 -‐1 1 -‐5 -‐1 0 La scomposizione sarà : x3 − 6x2 + 4x +1= x −1( ) x2 − 5x −1( ) Es. Scomporre il polinomio x3 + 6x2 +11x + 6 Si considerano tutti i divisori del termine noto +6: essi sono : ±1; ±2 ; ±3 ; ±6 Per tentativi si controlla se uno di essi, sostituito alla x nel polinomio, lo annulla:

Cominciamo con il più piccolo, cioè sostituiamo −1( ) P −1( ) = −1( )3 + 6 −1( )2 +11 −1( )+ 6 = −1+ 6−11+ 6 = 0 Poiché P −1( ) = 0, il polinomio è divisibile per x +1( ) Usando lo schema della divisione di Ruffini, si esegue la divisione 1 +6 +11 +6 -‐1 -‐1 -‐5 -‐6 1 +5 +6 0 La scomposizione sarà : x +1( ) x2 + 5x + 6( ) Possiamo ulteriormente scomporre il trinomio notevole x2 + 5x + 6( ) in x + 2( ) x +3( ) Pertanto il nostro polinomio di partenza x3 + 6x2 +11x + 6 potrà essere scritto come: x +1( ) x + 2( ) x +3( )

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Osservazioni: In generale si può dire che la scomposizione di un polinomio, con la regola di Ruffini, non è sempre possibile e, ammesso sia possibile, a volte è difficile determinare il divisore. Per facilitare i tentativi di ricerca del divisore ( radice ) ricordiamo le seguenti regole: Es. Determina le radici del polinomio: x3 − x − 6 Poiché Il coefficiente della x di grado massimo è 1 le eventuali radici sono da ricercare, per tentativi, tra i divisori, positivi e negativi del temine noto cioè: D (6) = ±1; ±2 ; ±3 ; ±6

Es. Determina le radici del polinomio: 6x2 − 2x −1 In questo caso il coefficiente della x di grado massimo è diverso da 1 e allora le radici sono da ricercare tra i numeri :

±1; ± 12; ±1

3; ± 1

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Frazioni che hanno per numeratore i divisori del termine noto e per denominatore i divisori del coefficiente della x di grado maggiore Osservazioni importanti Es. Nel polinomio 8x3 +17x − 25 i coefficienti 8 , 17 , -‐25 , danno per somma zero, quindi il polinomio è divisibile per x −1( ) Es. Nel polinomio 2x4 +8x3 + 4x2 +3x + 5 si ha : La somma dei coefficienti di grado pari sono 2+ 4+5=11 che è uguale alla somma dei coefficienti di grado dispari cioè 8+3 = 11 Quindi il polinomio è divisibile per x +1( )

• Dato un polinomio a coefficienti interi , le eventuali radici intere del polinomio sono da ricercare tra i divisori, positivi e negativi, del suo termine noto, quando il coefficiente di grado massimo è uguale a 1

• Se il coefficiente di grado massimo del polinomio è diverso da 1 , tra le eventuali radici razionali vi possono essere numeri non interi che si possono ricercare fra le frazioni che hanno per numeratore i divisori del termine noto e per denominatore i divisori del coefficiente di grado massimo

Quando la somma dei coefficienti del polinomio è uguale a zero il numero 1 è senz’altro una radice del polinomio che risulterà divisibile per

Se invece la somma dei coefficienti dei termini di grado pari di un polinomio è uguale alla somma dei coefficienti dei termini di grado dispari, allora il numero -‐1 è una radice del

polinomio che sarà divisibile per

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Il polinomio è la somma di due cubi: La scomposizione è basata sulle formule : x3 + y3 = x + y( ) x2 − xy+ y2( )

quadrato della seconda base somma delle basi

prodotto delle basi con segno meno quadrato prima base

Es. Scomponi a3 +8 Si tratta della somma di due cubi che sarà uguale :

• somma delle basi a+ 2( ) • quadrato della prima base + a2 • prodotto negativo delle basi -‐ 2a • quadrato della seconda base + 4

-‐ quindi la scomposizione sarà: a+ 2( ) a2 − 2a+ 4( ) Il polinomio è la differenza di due cubi: La scomposizione è basata sulle formule :

x3 − y3 = x − y( ) x2 − xy+ y2( )

Differenza delle basi quadrato seconda base Prodotto delle basi con segno + Quadrato prima base

Es. Scomponi 1− x3 Si tratta della differenza di due cubi che sarà uguale :

• differenza delle basi 1− x( )

• quadrato della prima base 1( )2=1

• prodotto delle basi con segno positivo 1( ) x( ) = +x • quadrato della seconda base x2

-‐ quindi la scomposizione sarà: 1− x( ) 1+ x + x2( ) Scomponi i seguenti polinomi :

• 27a3 − x3 = • x3 − a3b6 = • a6b3 −1= • 8a3 +1= • 27+ x6 = • x6 −1=

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M.C.D. e m.c.m di polinomi Per determinare il M.C.D e il m.c.m di polinomi si esegue il seguente procedimento:

1. si scompongono in fattori tutti i polinomi; 2. Per il M.C.D. si prendono i fattori comuni con il minor esponente; 3. Per il m.c.m. si prendono i fattori comuni e non, con il massimo esponente

Es. Trova il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi: x2 + 5x + 4 x2 +8x +16 x2 + 4x Per prima cosa scomponiamo in fattori: x2 + 5x + 4 è un trinomio particolare che sarà uguale x +1( ) x + 4( )

x2 +8x +16 è lo sviluppo del quadrato di binomio x + 4( )2 x2 + 4x raccogliamo a fattor comune la x e si otterrà x x + 4( ) Il M.C.D. è x + 4( ) che rappresenta il polinomio comune

Il m.c.m. è x x +1( ) x + 4( )2 dato dai tutti i fattori comuni e non, con il maggiore esponente Es. Trova il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi:

x2 − 9 2x2 +12x +18 3x3 −81 Per prima cosa scomponiamo in fattori:

x2 − 9 è la differenza di due quadrati quindi : x −3( ) x +3( ) 2x2 +12x +18 raccogliamo a fattor comune 2 x2 + 6x + 9( ) il trinomio in parentesi è lo sviluppo del quadrato di

binomio e quindi si avrà 2 x +3( )2

3x3 −81 raccogliamo a fattore comune il 3 e si avrà: 3 x3 − 27( ) il binomio dentro parentesi è la differenza di due cubi e quindi si avrà 3 x −3( ) x2 +3x + 9( )

Il M.C.D. è x −3( ) che rappresenta il polinomio comune Il m.c.m. è 2 ⋅3 x −3( ) x +3( )2 x2 +3x + 9( ) dato dai tutti i fattori comuni e non, con il maggiore esponente Trova il M.C.D. e il m.c.m dei seguenti polinomi

• a2 − b2 ; a+ b • a3 − b3 ; a2 − ab • x2 −3x − 4 ; x − 4 • a3 − b3 ; 3a2 − 6ab+3b2 ; 3b3 −3a2 • x2 − x + ax − a ; x2 −1 ; x2 + 2ax + a2 • x2 + x − 2 ; x3 −3x + 2 ; x4 − 4x2

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