POLINOMIO DE GRADO N MATEMATICA BASICA II

Regla de Ruffini Al dividir un polinomio

012

22

21

1 axaxaxaxaxaPn

nn

nn

n

...............

por un polinomio Q de grado 1 de la forma x - xQEl resultado ser un

polinomio C de grado n 1 01

22

22

11 cxcxcxcxcC

nn

nn

...............

Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectas se escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado decreciente

an an-1 an-2 a2 a1 a0 . . . . . . .

Se ubica convenientemente el valor

y se procede con el siguiente algoritmo

Bajamos el coeficiente principal an como cn-1

cn-1

multiplicamos cn-1 x y colocamos debajo de an-1

cn-1

Sumamos an-1+ cn-1

cn-2

y multiplicamos ese resultado cn-2 x y colocamos debajo de an-2

cn-2

cn-3

c2 c1 c0

c1 c0 r

Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes

8a

9

8b

8c

10

8e

En el esquema a2 a1 a0 . . . . . . .

cn-1

cn-1

cn-2

cn-2

cn-3

c2 c1 c0

c1 c0 r

an an-1 an-2

Los ci son los coeficientes del polinomio cociente

012

22

21

1 cxcxcxcxcCn

nn

n

...............

Y r es el resto que resulta de dividir P / Q P

r

Q

C

Observe que si P es divisible por Q, r = 0

y tambin que si r = 0 ; es raz del polinomio

. . . . . . .

. . . . . . . 8a

9

8b 8c

10 8e

Teorema de Gauss

012

22

21

1 axaxaxaxaxaPn

nn

nn

n

...............Sea

Si P admite races racionales, stas races sern de la forma qp

donde p es divisor de a0

Si P = x3 - 2x2 x + 2 a0 = 2 y an = 1 p: divisores de 2 son 2 ; 1

q: divisores de 1 son 1 1

1

11

1

12

1

22

1

2

qp

posibles races son: 2 ; 1

Es claro que los valores p/q hallados no son necesariamente las races, sino que pueden ser races,

porque, si el polinomio admite races racionales, entonces esas races son de la forma p/q pero . . .

No todos los p/q tienen que ser necesariamente races

del polinomio P

Si las races no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarn entre los

valores hallados de la forma p/q

y q es divisor de an

9

8a

8b

8c

Para comprobar cuales son races y cuales no, una alternativa es especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p /q que son

posibles races.

y las posibles races son: 2 ; 1 Si P = x3 - 2x2 x + 2

Para x = 2 P = 23 2 22 2 + 2 = 8 8 2 + 2 = 0 x = 2 es raz

Para x = -2 P = (-2)3 2 (-2)2 (-2) + 2 = - 8 8 + 2 + 2 = -12 x = - 2 no es raz

Para x = -1 P = (-1)3 2 (-1)2 (-1) + 2 = - 1 2 + 1 + 2 = 0 x = -1 es raz

Para x = 1 P = 13 2 12 1 + 2 = 1 2 1 + 2 = 0 x = 1 es raz

P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres races; por ser las tres races racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema de Gauss

Observe tambin que la aplicacin del Teorema de Gauss nos proporcion una posible raz de la forma p/q; x = -2 que result no ser raz de P

Porque el teorema de Gauss proporciona todas las races racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen

necesariamente que ser races del polinomio

9

8a

8b

8c

Descomposicin de un polinomio en un producto de factores binomiales

012

22

21

1 axaxaxaxaxaPn

nn

nn

n

...............Sea

Cuyas races son 1; 2; 3; . . . . . n-1; n El polinomio P puede escribirse

)x()x(...)x()x()x(aP nnn 1321

Observe que si x toma el valor de cualquiera de las races i

Habr al menos un factor que ser (x - i) = (i - i ) = 0 Haciendo P = 0

Puede suceder que un valor i sea r veces raz de un polinomio

entonces tenemos una raz mltiple; y suponiendo que 1 es dos veces raz del polinomio y 2 es tres veces raz del polinomio y las restantes

races son simples, el polinomio factoreado ser . . .

)x()x(...)x()x()x(aP jjn 133

22

1

9

8a

8b

8c 8d

8e

8 a) Para hallar las races de 122 23 xxxP

Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2 y a0 = -1

Los divisores de a0 son p = 1 Los divisores de an son p = 1; 2

Las posibles races son de la forma 2

1

2

111 ;;;

qp

Podramos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaramos solamente comprobando si esos valores son o no races del polinomio; en cambio si aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raz, hallamos tambin un polinomio de grado inferior que es submltiplo de P y en consecuencia sus races son races

de P; de manera que si las races no fueran todas racionales, vamos situndonos en mejores condiciones para resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini.

El sentido de aplicar Ruffini es que si es raz del polinomio P, entonces P es divisible por (x - ). Detectamos si es raz del polinomio P y al mismo tiempo

obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas races son los mismos valores de races que nos restan encontrar an

Ruffini Gauss

8 e 8 d 8 c 8 b

122 23 xxxP

-1

1

2

2

1 3

3 1

2

2 -1 2

2

1

2

111 ;;;

qp

0 1 No es raz del polinomio

-1

-1

2

-2

-3 5

-5 3

-6

2 -1 2

0 -1 No es raz del polinomio

-1

2

1

0 2

1 0

0

2 -1 2

1/2 ES raz del polinomio

2

1

Ruffini Gauss

8 e 8 d 8 c 8 b

2

-1

-1

2 0 2

2

1

0 No es raz del polinomio

2

1

Hemos encontrado que 1/2 es raz del polinomio, entonces es posible escribir

122 23 xxxP como )x)(x(P 2221 2

Buscamos ahora races para el polinomio mltiplo de

menor grado 2

1

2

5

De (2x2 + 2) = 0 despejamos x 022 2x 22 2 x ix 1

Entonces: 122 23 xxxP )ix)(ix)(x( 2

12

Las races son 1 = 1/2 ; 2 = i ; 3 = -i Observe que se cumple que: si P tiene

races racionales, stas son de la forma p/q; en este caso existe una raz racional y dos races complejas

asimismo se verifica que: si un nmero complejo es raz de un polinomio, su conjugado tambin es

raz del mismo polinomio.

Ruffini Gauss

Factoreo

Como ejercicio te propongo que verifiques los resultados obtenidos

8 e 8 d 8 c 8 b

8 b) Para encontrar las races de 32

113

2

1 23 xxxP

Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fraccin y hallamos un polinomio equivalente

6116 23 xxxP Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus races son las mismas

an = 1 y a0 = -6

p = 1; 2; 3; 6 y q = 1 6321 ;;;qp

-6

1

1

-5 6

6 -5

0

1 -6 11

1

entonces

6116 23 xxxP )xx)(x( 651 22

Buscamos ahora las races de )xx( 65 22

Para aplicar el Teorema de Gauss

Aplicando la Regla de Ruffini

Ruffini Gauss

Factoreo

8 e 8 d 8 c

Aplicando la frmula de la ecuacin de segundo grado encontramos las races de

065 22 xx

2

15

12

61455 2)(x2 = 3

x3 = 2

Las races de

Son x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3

6116 23 xxxP

)x)(x)(x(P 321 Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y que hemos

comenzado multiplicando por 2 para trabajar con mas comodidad; de manera que lo recomponemos

dividiendo todo el polinomio factoreado por 2

)x)(x)(x(P 3212

1

Comprobamos que las races obtenidas son racionales (enteros) y estn incluidas entre las posibles races de la forma p/q

Factoreo Gauss

8 e 8 d 8 c

8 c) Al polinomio xxxxP 44 234 Le falta el trmino independiente

Podemos comenzar sacando factor comn x )xxx(xP 4423

Encontramos que la primera raz x1 = 0 (si x = 0 al ser x un factor, se anula toda la expresin)

Buscamos entonces las restantes races en 4423 xxx

an = 1 y a0 = -4

p = 1; 2; 4 y q = 1 421 ;;

qp

donde

-4

1

1

2 -2

-2 2

1 1 -4

1

-6 0

1 No es raz

-4

1

-1

0 -4

4 0

1 1 -4

-1

0

-1 ES es raz; x2 = -1

p son divisores de a0

q son divisores de an

Ruffini Gauss

Factoreo

8 e 8 d

despejamos 042 x 4x

el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un producto de factores binomiales)

)xxx(xP 4423

)x)(x(xP 41 2

)x)(x)(x(x 221

42 x

Factoreo Buscamos ahora las races de 42 x

entonces )x)(x(x 41 2 )xxx(xP 4423

x3 = 2 y x4 = -2

Con x1 = 0 y x2 = -1 hallados

8 e 8 d

124

71433 2

ix

2

11 x

ix2

7

2

73

2

793

2

43

2

12 x

ix2

7

2

74

4

73 24 xxP

Puede factorearse como

ixixxxP

2

7

2

7

2

1

2

1

a = 1; b = 3; c= -7/4

Factoreo

Es posible aplicar la frmula para la ecuacin bicuadrtica, que no es otra cosa que: a la frmula de la ecuacin de segundo grado

aacbb

x2

4221

Aplicarle nuevamente raz cuadrada, y as

aacbb

x2

42

4321

4

73 24 xxP8 d) Si Polinomio de grado cuatro con los

trminos de grado 3 y 1 nulos

8 e

-5

i

1

i

-5 + i 6 - 5i

5 + 6i -1 - 5i

6i

1 -5 7 6

-6

0

-i

-5 6 0 1

-i 5i -6i )xx)(ix)(ix(P 652

12

61455 2

32

)(x 2

15

2

2425532

x

33 x

24 x

Finalmente

)x)(x)(ix)(ix(P 23

]ix)i(x)i(x)[ix(P 6565 23

Ruffini Factoreo

6575 234 xxxxP8 e) Si Sabiendo por la consigna que

i es raz del polinomio

Entonces i tambin es raz del polinomio; aplicaremos Ruffini para esas dos races conocidas y el polinomio de grado 4

quedar reducido a un polinomio de grado 2

Factorear un polinomio es transformar la expresin

012

22

21

1 axaxaxaxaxaPn

nn

nn

n

...............

En otra de tipo

)x)(x.....().........x)(x(aP nnn 121

Donde los i son las races del polinomio con 1 i n

Puede suceder que 1 = 2 = 3 entonces diremos que ese valor de 1 es tres veces raz del polinomio lo que es lo mismo 1 es raz triple de P

En un polinomio de grado 8 (que tiene n races) pueden haber, por ejemplo 2 races dobles, una triple y una simple, en ese caso ser

)x()x()x()x(aP n 43

32

22

1

1 es raz doble 3 es raz triple

2 es raz doble 4 es raz simple

Races mltiples

9 10

9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que

x = 2 es una raz doble.

Buscamos las restantes races aplicando Ruffini

-8

2

1

2

-2 2

4 -4

-4

1 -4 6 8

-8

0

2

0 2 0 1

2 0 4

Por ser x = 2 raz doble, volvemos a aplicar Ruffini para x = 2

Ahora despejamos x de la expresin resultante

022 x 2xix 23

ix 24 Conocidas todas las races, factoreamos el polinomio

)ix)(ix)(x)(x(P 2222 Que tambin se puede escribir

)x()x(P 22 22

)xxx)(x(P 4222 23

)x)(x)(x(P 222 2

Ruffini Factoreo

10 a) determinar la multiplicidad de = 1 en P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1)

P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ; y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7

Significa que P tiene 7 races, que pueden repetirse varias veces; o ser todas iguales ser todas diferentes, etc.

Analizamos por separado cada factor (x - 1)2 = (x - 1) (x - 1) Ac x = 1 es dos veces

raz del polinomio

(x2 - 1) = (x 1 ) (x + 1) ac x = 1 es una vez ms raz del polinomio

En x3 1 -1

1

1

1 1

1 1

0

1 0 0

1 Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se obtienen las restantes races

1 es nuevamente una vez mas raz del polinomio

tambin x = -1 es raz del polinomio

Ruffini Factoreo

10 b

ixix)x()x()x()x(P

2

3

2

1

2

3

2

11111 2

= 1 es cuatro veces raz de P; el orden de multiplicidad de =1 es 4

Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la frmula de la ecuacin de segundo grado

Para a x2 + b x + c = 0

acabb

x

2

42

21

Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1

12

11411 2

2

31

2

31 i

ix2

3

2

11

ix2

3

2

12

P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1) es

ixix)x()x()x()x()x(P

2

3

2

1

2

3

2

111111

Diferencia de cuadrados

Factoreo

10 b

Factoreamos P y obtenemos

Con seguridad el factor

Podemos afirmar entonces que el orden de multiplicidad de la raz = 0 en

10 b) Para determinar la multiplicidad de = 0 en

Es k = 3

368 6xxxP

)xx(xP 6353

635 xx No tiene raz 0

)xx(xP 6353

Factoreo

Relaciones entre Races y Coeficientes Dado un polinomio

012

22

21

1 axaxaxaxaxaPn

nn

nn

n

...............

Con races 1; 2; 3; . . . . n-1; n Es posible establecer

relaciones entre las races i y los coeficientes ai de P 1 + 2 + 3 + n-1 + n =

1 2 + 1 3 + . . . . + n-1 n =

n

n

aa 1

n

n

aa 2

1 2 3 + . . . . + n-2 n-1 n = n

n

aa 3

1 2 3 n-2 n-1 n =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n

n

aa

)( 01

La suma de las races es igual al segundo coeficiente cambiado de signo,

dividido por el coeficiente principal

La suma de los productos binarios de las races es igual al tercer coeficiente, dividido por el coeficiente principal

Anlogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios, cuaternarios, etc, con signos + alternativamente

El producto de las n races es igual al trmino independiente dividido por el coeficiente principal, con signo + -, segn que n sea par o impar,

respectivamente

11a 11b 11c

11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus races sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.

Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 races

Por relaciones entre races y coeficientes

1 2 3 =

2

61 3)(

1 2 3 n-2 n-1 n = n

n

aa

)( 01

331 ))((3

1 2 3 = 3

1 2 = 1 1 3 = 3 3 = 3

-6

2

6

-5 2

6 -15

0

2 -11 17

3

pero entonces

ahora resolvemos la ecuacin

0252 2 xx

22

22455 221

x 4

35

4

95

x1 = 2

x2 = 1/2 Factoreando )x)(x)(x(P 21232

Aplicamos Ruffini con la raz conocida

Te propongo la verificacin de los resultados, que consiste en efectuar el producto de los factores binomiales y obtener el polinomio P 11 c 11 b

11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las races de P sean opuestas

Si las races de P deben ser opuestas 1 = - 2

Aplicando relaciones entre races y coeficientes 1 + 2 = n

n

aa 1

en nuestro caso

1 + 2 = m)m(

8

17 pero por otro lado,

sabemos que 1 + 2 = - 2 + 2 = 0

Entonces podemos escribir 1 + 2 = 08

17

m)m(

entonces m 0

y 017 )m( 077 m 77 m 1m

Verificamos para m = 1 11178 2 x)(xP 18 2 xP

Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las races

018 2 x8

1x

ix8

11

ix8

12 11 c

11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las races de P sean recprocas

Si las races de P deben recprocas

Aplicando relaciones entre races y coeficientes 1 2 = na

a0

en nuestro caso

1 2 = m81 pero por otro lado,

sabemos que 1 2 =

Entonces podemos escribir

1 2 = con m 0

y 18 m

2

1

1

m811

2

2

2

2

1

m81

8

1m Verificamos para

118

17

8

18 2 x)(xP 1

8

492 xxP Igualando el

polinomio P a 0 y aplicando la frmula

que resuelve la ecuacin de 2 grado

8

1m

12

1148

49

8

492

21

x

9651 ,x

1702 ,x

11 c

P tiene dos races (grado 2) y si las races son iguales 1 = 2

En la frmula que resuelve la ecuacin de 2 grado a

cabb2

42

042 cab Para que al quedar como soluciones solamente ab

2

sean 1 = 2

ma 8 )m(b 17 1c

042 cab 018417 2 )m()]m([ 032149 2 m)m(

0321249 2 m)mm( 032499849 2 mmm 04913049 2 mm

Resuelvo ahora la ecuacin de 2 grado

492

49494130130 2)(

11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las races de P sean reales e iguales

hacemos

98

7296130

98

2161301

m

98

2161302

m

11 c

11 c i) Para hallar las races de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 sabiendo que 1 + 2 = 0

Planteamos 2

1

2

1321

Pero si 1 + 2 = 0

2

10 3 entonces 2

13

9

2

1

0 -18

-9 0

0

2 -1 -18

2

1Buscamos las restantes races

0182 2 x 92

182 x

Entonces 1 = 3 y 2 = - 3 Factoreando

2

13329182 23 x)x)(x(xxxP

Aplicamos Ruffini

Podemos escribir

)x)(x(xxxP 1822

19182 223

Recuerde que se trata de un polinomio no mnico (an 0 ) El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente

principal

11 c) ii) Para hallar las races de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 sabiendo que 1 = 2 + 3

Planteamos 21

2321 Pero si 1 = 2 + 3

211 entonces 22 1

2

1

-1

1 2

-2 -1

0

1 2 3 Buscamos las restantes races

022 xx

Factoreando

ixix)x(P

2

7

2

1

2

7

2

11

luego 11

-1

12

21411 2

2

811

La raz cuadrada de un nmero negativo es un nmero imaginario, que lo resolvemos calculando la raz cuadrada del valor absoluto y agregamos el imaginario i

i2

7

2

12

i2

7

2

13

Aplicamos Ruffini